Functional Differential Geometry Gerald Jay Sussman Jack Wisdom

Functional Differential Geometry Gerald Jay
Sussman Jack Wisdom download
https://ebookbell.com/product/functional-differential-geometry-
gerald-jay-sussman-jack-wisdom-56400908
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Differential Geometry Differential Equations And Special Functions
Galina Filipuk
https://ebookbell.com/product/differential-geometry-differential-
equations-and-special-functions-galina-filipuk-45146288
Analysis With Mathematica Volume 3 Differential Geometry Differential
Equations And Special Functions Galina Filipuk Andrzej Kozowski
https://ebookbell.com/product/analysis-with-mathematica-
volume-3-differential-geometry-differential-equations-and-special-
functions-galina-filipuk-andrzej-kozowski-50338870
Arithmetic Lfunctions And Differential Geometric Methods Regulators Iv
May 2016 Paris Progress In Mathematics 338 1st Ed 2021 Pierre
Charollois Editor
https://ebookbell.com/product/arithmetic-lfunctions-and-differential-
geometric-methods-regulators-iv-may-2016-paris-progress-in-
mathematics-338-1st-ed-2021-pierre-charollois-editor-51992374
Synchronization Of Integral And Fractional Order Chaotic Systems A
Differential Algebraic And Differential Geometric Approach With
Selected Applications In Realtime 1st Edition Rafael Martnezguerra
https://ebookbell.com/product/synchronization-of-integral-and-
fractional-order-chaotic-systems-a-differential-algebraic-and-
differential-geometric-approach-with-selected-applications-in-
realtime-1st-edition-rafael-martnezguerra-5054118

Functional Differential Equations And Applications Fdea2019 Ariel
Israel September 2227 1st Ed 2021 Alexander Domoshnitsky
https://ebookbell.com/product/functional-differential-equations-and-
applications-fdea2019-ariel-israel-september-2227-1st-
ed-2021-alexander-domoshnitsky-38289220
Functional Differential Equations Advances And Applications 1st
Edition Constantin Corduneanu
https://ebookbell.com/product/functional-differential-equations-
advances-and-applications-1st-edition-constantin-corduneanu-5435158
Stability Analysis Of Impulsive Functional Differential Equations
Ivanka Stamova
https://ebookbell.com/product/stability-analysis-of-impulsive-
functional-differential-equations-ivanka-stamova-51123760
Nonoscillation Theory Of Functional Differential Equations With
Applications 1st Edition Ravi P Agarwal
https://ebookbell.com/product/nonoscillation-theory-of-functional-
differential-equations-with-applications-1st-edition-ravi-p-
agarwal-2629546
Bifurcation Theory Of Functional Differential Equations 1st Edition
Shangjiang Guo
https://ebookbell.com/product/bifurcation-theory-of-functional-
differential-equations-1st-edition-shangjiang-guo-4317960

Functional Diﬀerential Geometry

Functional Diﬀerential Geometry
Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom
with Will Farr
The MIT Press
Cambridge, Massachusetts
London, England

c2013 Massachusetts Institute of Technology
This work is licensed under the Creative Commons
Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported License. To view a
copy of this license, visit creativecommons.org.
Other than as provided by this license, no part of this book may be reproduced, transmitted, or displayed by any electronic or mechanical means without permission from the MIT Press or as permitted by law.
MIT Press books may be purchased at special quantity discounts for
business or sales promotional use. For information, please email
special
[email protected] write to Special Sales Department, The
MIT Press, 55 Hayward Street, Cambridge, MA 02142.
This book was set in Computer Modern by the authors with the L
ATEX
typesetting system and was printed and bound in the United States of
America.
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
Sussman, Gerald Jay.
Functional Diﬀerential Geometry / Gerald Jay Sussman and Jack Wisdom;
with Will Farr.
p. cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 978-0-262-01934-7 (hardcover : alk. paper)
1. Geometry, Diﬀerential. 2. Functional Diﬀerential Equations.
3. Mathematical Physics.
I. Wisdom, Jack. II. Farr, Will. III. Title.
QC20.7.D52S87 2013
516.3
'6—dc23
2012042107
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

“The author has spared himself no pains in his endeavour to
present the main ideas in the simplest and most intelligible form,
and on the whole, in the sequence and connection in which they
actually originated. In the interest of clearness, it appeared to
me inevitable that I should repeat myself frequently, without pay-
ing the slightest attention to the elegance of the presentation. I
adhered scrupulously to the precept of that brilliant theoretical
physicist L. Boltzmann, according to whom matters of elegance
ought be left to the tailor and to the cobbler.”
Albert Einstein, inRelativity, the Special and General Theory,
(1961), p. v

Contents
Preface xi
Prologue xv
1 Introduction 1
2 Manifolds 11
2.1 Coordinate Functions 12
2.2 Manifold Functions 14
3 Vector Fields and One-Form Fields 21
3.1 Vector Fields 21
3.2 Coordinate-Basis Vector Fields 26
3.3 Integral Curves 29
3.4 One-Form Fields 32
3.5 Coordinate-Basis One-Form Fields 34
4 Basis Fields 41
4.1 Change of Basis 44
4.2 Rotation Basis 47
4.3 Commutators 48
5 Integration 55
5.1 Higher Dimensions 57
5.2 Exterior Derivative 62
5.3 Stokes’s Theorem 65

viii Contents
5.4 Vector Integral Theorems 67
6OveraMap 71
6.1 Vector Fields Over a Map 71
6.2 One-Form Fields Over a Map 73
6.3 Basis Fields Over a Map 74
6.4 Pullbacks and Pushforwards 76
7 Directional Derivatives 83
7.1 Lie Derivative 85
7.2 Covariant Derivative 93
7.3 Parallel Transport 104
7.4 Geodesic Motion 111
8 Curvature 115
8.1 Explicit Transport 116
8.2 Torsion 124
8.3 Geodesic Deviation 125
8.4 Bianchi Identities 129
9 Metrics 133
9.1 Metric Compatibility 135
9.2 Metrics and Lagrange Equations 137
9.3 General Relativity 144
10 Hodge Star and Electrodynamics 153
10.1 The Wave Equation 159
10.2 Electrodynamics 160
11 Special Relativity 167
11.1 Lorentz Transformations 172
11.2 Special Relativity Frames 179

Contents ix
11.3 Twin Paradox 181
A Scheme 185
B Our Notation 195
C Tensors 211
References 217
Index 219

Preface
Learning physics is hard. Part of the problem is that physics is
naturally expressed in mathematical language. When we teach
we use the language of mathematics in the same way that we
use our natural language. We depend upon a vast amount of
shared knowledge and culture, and we only sketch an idea using
mathematical idioms. We are insuﬃciently precise to convey an
idea to a person who does not share our culture. Our problem
is that since we share the culture we ﬁnd it diﬃcult to notice
that what we say is too imprecise to be clearly understood by a
student new to the subject. A student must simultaneously learn
the mathematical language and the content that is expressed in
that language. This is like trying to readLes Mis´erableswhile
struggling with French grammar.
This book is an eﬀort to ameliorate this problem for learn-
ing the diﬀerential geometry needed as a foundation for a deep
understanding of general relativity or quantum ﬁeld theory. Our
approach diﬀers from the traditional one in several ways. Our cov-
erage is unusual. We do not prove the general Stokes’s Theorem—
this is well covered in many other books—instead, we show how it
works in two dimensions. Because our target is relativity, we put
lots of emphasis on the development of the covariant derivative,
and we erect a common context for understanding both the Lie
derivative and the covariant derivative. Most treatments of diﬀer-
ential geometry aimed at relativity assume that there is a metric
(or pseudometric). By contrast, we develop as much material as
possible independent of the assumption of a metric. This allows
us to see what results depend on the metric when we introduce
it. We also try to avoid the use of traditional index notation for
tensors. Although one can become very adept at “index gymnas-
tics,” that leads to much mindless (though useful) manipulation
without much thought to meaning. Instead, we use a semantically
richer language of vector ﬁelds and diﬀerential forms.
But the single biggest diﬀerence between our treatment and
others is that we integrate computer programming into our expla-
nations. By programming a computer to interpret our formulas
we soon learn whether or not a formula is correct. If a formula
is not clear, it will not be interpretable. If it is wrong, we will
get a wrong answer. In either case we are led to improve our

xii Preface
program and as a result improve our understanding. We have
been teaching advanced classical mechanics at MIT for many years
using this strategy. We use precise functional notation and we
have students program in a functional language. The students
enjoy this approach and we have learned a lot ourselves. It is the
experience of writing software for expressing the mathematical
content and the insights that we gain from doing it that we feel is
revolutionary. We want others to have a similar experience.
Acknowledgments
We thank the people who helped us develop this material, and
especially the students who have over the years worked through
the material with us. In particular, Mark Tobenkin, William
Throwe, Leo Stein, Peter Iannucci, and Micah Brodsky have suf-
fered through bad explanations and have contributed better ones.
Edmund Bertschinger, Norman Margolus, Tom Knight, Re-
becca Frankel, Alexey Radul, Edwin Taylor, Joel Moses, Kenneth
Yip, and Hal Abelson helped us with many thoughtful discussions
and advice about physics and its relation to mathematics.
We also thank Chris Hanson, Taylor Campbell, and the com-
munity of Scheme programmers for providing support and advice
for the elegant language that we use. In particular, Gerald Jay
Sussman wants to thank Guy Lewis Steele and Alexey Radul for
many fun days of programming together—we learned much from
each other’s style.
Matthew Halfant started us on the development of the Scmutils
system. He encouraged us to get into scientiﬁc computation, using
Scheme and functional style as an active way to explain the ideas,
without the distractions of imperative languages such as C. In the
1980s he wrote some of the early Scheme procedures for numerical
computation that we still use.
Dan Zuras helped us with the invention of the unique organi-
zation of the Scmutils system. It is because of his insight that the
system is organized around a generic extension of the chain rule
for taking derivatives. He also helped in the heavy lifting that was
required to make a really good polynomial GCD algorithm, based
on ideas we learned from Richard Zippel.
A special contribution that cannot be suﬃciently acknowledged
is from Seymour Papert and Marvin Minsky, who taught us that

Preface xiii
the practice of programming is a powerful way to develop a deeper
understanding of any subject. Indeed, by the act of debugging we
learn about our misconceptions, and by reﬂecting on our bugs and
their resolutions we learn ways to learn more eﬀectively. Indeed,
Turtle Geometry[2], a beautiful book about discrete diﬀerential
geometry at a more elementary level, was inspired by Papert’s
work on education. [13]
We acknowledge the generous support of the Computer Sci-
ence and Artiﬁcial Intelligence Laboratory of the Massachusetts
Institute of Technology. The laboratory provides a stimulating
environment for eﬀorts to formalize knowledge with computational
methods. We also acknowledge the Panasonic Corporation (for-
merly the Matsushita Electric Industrial Corporation) for support
of Gerald Jay Sussman through an endowed chair.
Jack Wisdom thanks his wife, Cecile, for her love and support.
Julie Sussman, PPA, provided careful reading and serious criticism
that inspired us to reorganize and rewrite major parts of the text.
She has also developed and maintained Gerald Jay Sussman over
these many years.
Gerald Jay Sussman & Jack Wisdom
Cambridge, Massachusetts, USA
August 2012

Prologue
Programming and Understanding
One way to become aware of the precision required to unam-
biguously communicate a mathematical idea is to program it for
a computer. Rather than using canned programs purely as an
aid to visualization or numerical computation, we use computer
programming in a functional style to encourage clear thinking.
Programming forces us to be precise and unambiguous, without
forcing us to be excessively rigorous. The computer does not toler-
ate vague descriptions or incomplete constructions. Thus the act
of programming makes us keenly aware of our errors of reasoning
or unsupported conclusions.
1
Although this book is about diﬀerential geometry, we can show
how thinking about programming can help in understanding in a
more elementary context. The traditional use of Leibniz’s notation
and Newton’s notation is convenient in simple situations, but in
more complicated situations it can be a serious handicap to clear
reasoning.
A mechanical system is described by a Lagrangian function of
the system state (time, coordinates, and velocities). A motion of
the system is described by a path that gives the coordinates for
each moment of time. A path is allowed if and only if it satisﬁes
the Lagrange equations. Traditionally, the Lagrange equations are
written
d
dt
∂L
∂˙q
−
∂L
∂q
=0.
What could this expression possibly mean?
Let’s try to write a program that implements Lagrange equa-
tions. What are Lagrange equations for? Our program must take
a proposed path and give a result that allows us to decide if the
path is allowed. This is already a problem; the equation shown
above does not have a slot for a path to be tested.
1
The idea of using computer programming to develop skills of clear thinking
was originally advocated by Seymour Papert. An extensive discussion of this
idea, applied to the education of young children, can be found in Papert [13].

xvi Prologue
So we have to ﬁgure out how to insert the path to be tested.
The partial derivatives do not depend on the path; they are deriva-
tives of the Lagrangian function and thus they are functions with
the same arguments as the Lagrangian. But the time derivative
d/dtmakes sense only for a function of time. Thus we must
be intending to substitute the path (a function of time) and its
derivative (also a function of time) into the coordinate and velocity
arguments of the partial derivative functions.
So probably we meant something like the following (assume
thatwis a path through the coordinate conﬁguration space, and
sow(t) speciﬁes the conﬁguration coordinates at timet):
d
dt
⎛
⎜
⎝
∂L(t, q,˙q)
∂˙q
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
q=w(t)
˙q=
dw(t)
dt
⎞
⎟
⎠
−
∂L(t, q,˙q)
∂q
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
q=w(t)
˙q=
dw(t)
dt
=0.
In this equation we see that the partial derivatives of the La-
grangian function are taken, then the path and its derivative
are substituted for the position and velocity arguments of the
Lagrangian, resulting in an expression in terms of the time.
This equation is complete. It has meaning independent of the
context and there is nothing left to the imagination. The earlier
equations require the reader to ﬁll in lots of detail that is implicit
in the context. They do not have a clear meaning independent of
the context.
By thinking computationally we have reformulated the La-
grange equations into a form that is explicit enough to specify
a computation. We could convert it into a program for any sym-
bolic manipulation program because it tells ushowto manipulate
expressions to compute the residuals of Lagrange’s equations for
a purported solution path.
2
2
Theresidualsof equations are the expressions whose value must be zero if
the equations are satisﬁed. For example, if we know that for an unknownx,
x
3
−x= 0 then the residual isx
3
−x.Wecantryx=−1 and ﬁnd a residual
of 0, indicating that our purported solution satisﬁes the equation. A residual
may provide information. For example, if we have the diﬀerential equation
df(x)/dx−af(x) = 0 and we plug in a test solutionf(x)=Ae
bx
we obtain
the residual (b−a)Ae
bx
, which can be zero only ifb=a.

Prologue xvii
Functional Abstraction
But this corrected use of Leibniz notation is ugly. We had to
introduce extraneous symbols (qand ˙q) in order to indicate the ar-
gument position specifying the partial derivative. Nothing would
change here if we replacedqand ˙qbyaandb.
3
We can sim-
plify the notation by admitting that the partial derivatives of the
Lagrangian are themselves new functions, and by specifying the
particular partial derivative by the position of the argument that
is varied
d
dt
((∂
2L)(t, w(t),
d
dt
w(t)))−(∂
1L)(t, w(t),
d
dt
w(t)) = 0,
where∂
iLis the function which is the partial derivative of the
functionLwith respect to theith argument.
4
Two diﬀerent notions of derivative appear in this expression.
The functions∂
2Land∂ 1L, constructed from the Lagrangian
L, have the same arguments asL. The derivatived/dtis an
expression derivative. It applies to an expression that involves
the variabletand it gives the rate of change of the value of the
expression as the value of the variabletis varied.
These are both useful interpretations of the idea of a derivative.
But functions give us more power. There are many equivalent
ways to write expressions that compute the same value. For
example 1/(1/r
1+1/r 2)=(r 1r2)/(r1+r2). These expressions
compute the same function of the two variablesr
1andr 2.The
ﬁrst expression fails ifr
1=0butthesecondonegivestheright
value of the function. If we abstract the function, say as Π(r
1,r2),
we can ignore the details of how it is computed. The ideas become
clearer because they do not depend on the detailed shape of the
expressions.
3
That the symbolsqand ˙qcan be replaced by other arbitrarily chosen non-
conﬂicting symbols without changing the meaning of the expression tells us
that the partial derivative symbol is a logical quantiﬁer, like forall and exists
(∀and∃).
4
The argument positions of the Lagrangian are indicated by indices starting
with zero for the time argument.

xviii Prologue
So let’s get rid of the expression derivatived/dtand replace it
with an appropriate functional derivative. Iffis a function then
we will writeDfas the new function that is the derivative off:
5
(Df)(t)=
d
dx
f(x)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
x=t
.
To do this for the Lagrange equation we need to construct a
function to take the derivative of.
Given a conﬁguration-space pathw, there is a standard way
to make the state-space path. We can abstract this method as a
mathematical function Γ:
Γ[w](t)=(t, w(t),
d
dt
w(t)).
Using Γ we can write:
d
dt
((∂
2L)(Γ[w](t)))−(∂ 1L)(Γ[w](t)) = 0.
If we now deﬁne composition of functions (f◦g)(x)=f(g(x)),
we can express the Lagrange equations entirely in terms of func-
tions:
D((∂
2L)◦(Γ[w]))−(∂ 1L)◦(Γ[w]) = 0.
The functions∂
1Land∂ 2Lare partial derivatives of the func-
tionL. Composition with Γ[w] evaluates these partials with coor-
dinates and velocites appropriate for the pathw, making functions
of time. ApplyingDtakes the time derivative. The Lagrange
equation states that the diﬀerence of the resulting functions of
time must be zero. This statement of the Lagrange equation is
complete, unambiguous, and functional. It is not encumbered
with the particular choices made in expressing the Lagrangian.
For example, it doesn’t matter if the time is namedtorτ,andit
has an explicit place for the path to be tested.
This expression is equivalent to a computer program:
6
5
An explanation of functional derivatives is in Appendix B, page 202.
6
The programs in this book are written in Scheme, a dialect of Lisp. The
details of the language are not germane to the points being made. What is
important is that it is mechanically interpretable, and thus unambiguous. In
this book we require that the mathematical expressions be explicit enough

Prologue xix
(define ((Lagrange-equations Lagrangian) w)
(- (D (compose ((partial 2) Lagrangian) (Gamma w)))
(compose ((partial 1) Lagrangian) (Gamma w))))
In the Lagrange equations procedure the parameterLagrangian
is a procedure that implements the Lagrangian. The derivatives
of the Lagrangian, for example
((partial 2) Lagrangian),are
also procedures. The state-space path procedure
(Gamma w)is
constructed from the conﬁguration-space path procedure
wby the
procedure
Gamma:
(define ((Gamma w) t)
(up t (w t) ((D w) t)))
whereupis a constructor for a data structure that represents a
state of the dynamical system (time, coordinates, velocities).
The result of applying the
Lagrange-equationsprocedure to
a procedure
Lagrangianthat implements a Lagrangian function
is a procedure that takes a conﬁguration-space path procedure
w
and returns a procedure that gives the residual of the Lagrange
equations for that path at a time.
For example, consider the harmonic oscillator, with Lagrangian
L(t, q, v)=
1
2
mv
2
−
1
2
kq
2
,
for massmand spring constantk. This Lagrangian is imple-
mented by
(define ((L-harmonic m k) local)
(let ((q (coordinate local))
(v (velocity local)))
(- (* 1/2 m (square v))
(* 1/2 k (square q)))))
We know that the motion of a harmonic oscillator is a sinusoid
with a given amplitudea, frequencyω, and phaseϕ:
x(t)=acos(ωt+ϕ).
that they can be expressed as computer programs. Scheme is chosen because
it is easy to write programs that manipulate representations of mathematical
functions. An informal description of Scheme can be found in Appendix A.
The use of Scheme to represent mathematical objects can be found in Ap-
pendix B. A formal description of Scheme can be obtained in [10]. You can
get the software from [21].

xx Prologue
Suppose we have forgotten how the constants in the solution relate
to the physical parameters of the oscillator. Let’s plug in the
proposed solution and look at the residual:
(define (proposed-solution t)
(* ’a (cos (+ (* ’omega t) ’phi))))
(show-expression
(((Lagrange-equations (L-harmonic ’m ’k))
proposed-solution)
’t))
cos (ωt+ϕ)a

k−mω
2

The residual here shows that for nonzero amplitude, the only
solutions allowed are ones where (k−mω
2
)=0orω=

k/m.
But, suppose we had no idea what the solution looks like. We
could propose a literal function for the path:
(show-expression
(((Lagrange-equations (L-harmonic ’m ’k))
(literal-function ’x))
’t)) kx(t)+mD
2
x(t)
If this residual is zero we have the Lagrange equation for the
harmonic oscillator.
Note that we can ﬂexibly manipulate representations of math-
ematical functions. (See Appendices A and B.)
We started out thinking that the original statement of La-
grange’s equations accurately captured the idea. But we really
don’t know until we try to teach it to a naive student. If the
student is suﬃciently ignorant, but is willing to ask questions, we
are led to clarify the equations in the way that we did. There
is no dumber but more insistent student than a computer. A
computer will absolutely refuse to accept a partial statement, with
missing parameters or a type error. In fact, the original statement
of Lagrange’s equations contained an obvious type error: the
Lagrangian is a function of multiple variables, but thed/dtis
applicable only to functions of one variable.

1
Introduction
Philosophy is written in that great book which
ever lies before our eyes—I mean the
Universe—but we cannot understand it if we do
not learn the language and grasp the symbols in
which it is written. This book is written in the
mathematical language, and the symbols are
triangles, circles, and other geometrical ﬁgures
without whose help it is impossible to comprehend
a single word of it, without which one wanders in
vain through a dark labyrinth.
Galileo Galilei [8]
Diﬀerential geometry is a mathematical language that can be used
to express physical concepts. In this introduction we show a typ-
ical use of this language. Do not panic! At this point we do not
expect you to understand the details of what we are showing. All
will be explained as needed in the text. The purpose is to get the
ﬂavor of this material.
At the North Pole inscribe a line in the ice perpendicular to
the Greenwich Meridian. Hold a stick parallel to that line and
walk down the Greenwich Meridian keeping the stick parallel to
itself as you walk. (The phrase “parallel to itself” is a way of
saying that as you walk you keep its orientation unchanged. The
stick will be aligned East-West, perpendicular to your direction of
travel.) When you get to the Equator the stick will be parallel to
the Equator. Turn East, and walk along the Equator, keeping the
stick parallel to the Equator. Continue walking until you get to
the 90
◦
E meridian. When you reach the 90
◦
E meridian turn North
and walk back to the North Pole keeping the stick parallel to itself.
Note that the stick is perpendicular to your direction of travel.
When you get to the Pole note that the stick is perpendicular to
the line you inscribed in the ice. But you started with that stick
parallel to that line and you kept the stick pointing in the same
direction on the Earth throughout your walk—how did it change
orientation?

2 Chapter 1 Introduction
Theansweristhatyouwalkedaclosedlooponacurvedsur-
face. As seen in three dimensions the stick was actually turning as
you walked along the Equator, because you always kept the stick
parallel to the curving surface of the Earth. But as a denizen of
a 2-dimensional surface, it seemed to you that you kept the stick
parallel to itself as you walked, even when making a turn. Even
if you had no idea that the surface of the Earth was embedded in
a 3-dimensional space you could use this experiment to conclude
that the Earth was not ﬂat. This is a small example of intrinsic
geometry. It shows that the idea of parallel transport is not sim-
ple. For a general surface it is necessary to explicitly deﬁne what
we mean by parallel.
If you walked a smaller loop, the angle between the starting ori-
entation and the ending orientation of the stick would be smaller.
For small loops it would be proportional to the area of the loop
you walked. This constant of proportionality is a measure of the
curvature. The result does not depend on how fast you walked,
so this is not a dynamical phenomenon.
Denizens of the surface may play ball games. The balls are
constrained to the surface; otherwise they are free particles. The
paths of the balls are governed by dynamical laws. This motion
is a solution of the Euler-Lagrange equations
1
for the free-particle
Lagrangian with coordinates that incorporate the constraint of
living in the surface. There are coeﬃcients of terms in the Euler-
Lagrange equations that arise naturally in the description of the
behavior of the stick when walking loops on the surface, connecting
the static shape of the surface with the dynamical behavior of the
balls. It turns out that the dynamical evolution of the balls may
be viewed as parallel transport of the ball’s velocity vector in the
direction of the velocity vector. This motion by parallel transport
of the velocity is calledgeodesic motion.
So there are deep connections between the dynamics of particles
and the geometry of the space that the particles move in. If we un-
derstand this connection we can learn about dynamics by studying
geometry and we can learn about geometry by studying dynam-
ics. We enter dynamics with a Lagrangian and the associated
Lagrange equations. Although this formulation exposes many im-
portant features of the system, such as how symmetries relate to
1
It is customary to shorten “Euler-Lagrange equations” to “Lagrange equa-
tions.” We hope Leonhard Euler is not disturbed.

Chapter 1 Introduction 3
conserved quantities, the geometry is not apparent. But when we
express the Lagrangian and the Lagrange equations in diﬀerential
geometry language, geometric properties become apparent. In the
case of systems with no potential energy the Euler-Lagrange equa-
tions are equivalent to the geodesic equations on the conﬁguration
manifold. In fact, the coeﬃcients of terms in the Lagrange equa-
tions are Christoﬀel coeﬃcients, which deﬁne parallel transport
on the manifold. Let’s look into this a bit.
Lagrange Equations
We write the Lagrange equations in functional notation
2
as fol-
lows:
D(∂
2L◦Γ[q])−∂ 1L◦Γ[q]=0.
In SICM [19], Section 1.6.3, we showed that a Lagrangian de-
scribing the free motion of a particle subject to a coordinate-
dependent constraint can be obtained by composing a free-particle
Lagrangian with a function that describes how dynamical states
transform given the coordinate transformation that describes the
constraints.
A Lagrangian for a free particle of massmand velocityvis just
its kinetic energy,mv
2
/2. The procedureLfreeimplements the
free Lagrangian:
3
(define ((Lfree mass) state)
(* 1/2 mass (square (velocity state))))
For us the dynamical state of a system of particles is a tuple of
time, coordinates, and velocities. The free-particle Lagrangian
depends only on the velocity part of the state.
For motion of a point constrained to move on the surface of
a sphere the conﬁguration space has two dimensions. We can
describe the position of the point with the generalized coordi-
nates colatitude and longitude. If the sphere is embedded in 3-
dimensional space the position of the point in that space can be
2
A short introduction to our functional notation, and why we have chosen it,
is given in the prologue: Programming and Understanding. More details can
be found in Appendix B.
3
An informal description of the Scheme programming language can be found
in Appendix A.

4 Chapter 1 Introduction
given by a coordinate transformation from colatitude and longi-
tude to three rectangular coordinates.
For a sphere of radiusRthe procedure
sphere->R3implements
the transformation of coordinates from colatitudeθand longitude
φon the surface of the sphere to rectangular coordinates in the
embedding space. (The ˆzaxis goes through the North Pole, and
the Equator is in the planez=0.)
(define ((sphere->R3 R) state)
(let ((q (coordinate state)))
(let ((theta (ref q 0)) (phi (ref q 1)))
(up (* R (sin theta) (cos phi)) ; x
(* R (sin theta) (sin phi)) ; y
(* R (cos theta)))))) ; z
The coordinate transformation maps the generalized coordi-
nates on the sphere to the 3-dimensional rectangular coordinates.
Given this coordinate transformation we construct a correspond-
ing transformation of velocities; these make up the state trans-
formation. The procedure
F->Cimplements the derivation of a
transformation of states from a coordinate transformation:
(define ((F->C F) state)
(up (time state)
(F state)
(+ (((partial 0) F) state)
(* (((partial 1) F) state)
(velocity state)))))
A Lagrangian governing free motion on a sphere of radiusRis then
the composition of the free Lagrangian with the transformation of
states.
(define (Lsphere m R)
(compose (Lfree m) (F->C (sphere->R3 R))))
So the value of the Lagrangian at an arbitrary dynamical state is:
((Lsphere ’m ’R)
(up ’t (up ’theta ’phi) (up ’thetadot ’phidot)))
(+ (*1/2 m (expt R 2) (expt thetadot 2))
(*1/2 m (expt R 2) (expt (sin theta) 2) (expt phidot 2)))

Chapter 1 Introduction 5
or, in inﬁx notation:
1
2
mR
2˙
θ2
+
1
2
mR
2
(sin (θ))
2˙
φ2
. (1.1)
The Metric
Let’s now take a step into the geometry. A surface has a metric
which tells us how to measure sizes and angles at every point on
the surface. (Metrics are introduced in Chapter 9.)
The metric is a symmetric function of two vector ﬁelds that
gives a number for every point on the manifold. (Vector ﬁelds are
introduced in Chapter 3). Metrics may be used to compute the
length of a vector ﬁeld at each point, or alternatively to compute
the inner product of two vector ﬁelds at each point. For example,
the metric for the sphere of radiusRis
g(u,v)=R
2
dθ(u)dθ(v)+R
2
(sinθ)
2
dφ(u)dφ(v), (1.2)
whereuandvare vector ﬁelds, anddθanddφare one-form ﬁelds
that extract the named components of the vector-ﬁeld argument.
(One-form ﬁelds are introduced in Chapter 3.) We can think of
dθ(u) as a function of a point that gives the size of the vector ﬁeld
uin theθdirection at the point. Notice thatg(u,u)isaweighted
sum of the squares of the components ofu. In fact, if we identify
dθ(v)=
˙
θ
dφ(v)=
˙
φ,
then the coeﬃcients in the metric are the same as the coeﬃcients
in the value of the Lagrangian, equation (1.1), apart from a factor
ofm/2.
We can generalize this result and write a Lagrangian for free
motion of a particle of massmonamanifoldwithmetricg:
L
2(x, v)=

ij
1
2
mgij(x)v
i
v
j
. (1.3)
This is written using indexed variables to indicate components
of the geometric objects expressed with respect to an unspeciﬁed
coordinate system. The metric coeﬃcientsg
ijare, in general, a

6 Chapter 1 Introduction
function of the position coordinatesx, because the properties of
the space may vary from place to place.
We can capture this geometric statement as a program:
(define ((L2 mass metric) place velocity)
(* 1/2 mass ((metric velocity velocity) place)))
This program gives the Lagrangian in a coordinate-independent,
geometric way. It is entirely in terms of geometric objects, such as
a place on the conﬁguration manifold, the velocity at that place,
and the metric that describes the local shape of the manifold.
But to compute we need a coordinate system. We express the
dynamical state in terms of coordinates and velocity components
in the coordinate system. For each coordinate system there is
a natural vector basis and the geometric velocity vectors can be
constructed by contracting the basis with the components of the
velocity. Thus, we can form a coordinate representation of the
Lagrangian.
(define ((Lc mass metric coordsys) state)
(let ((x (coordinates state)) (v (velocities state))
(e (coordinate-system->vector-basis coordsys)))
((L2 mass metric) ((point coordsys) x) (* e v))))
The manifold pointmrepresented by the coordinatesxis given
by
(define m ((point coordsys) x)). The coordinates ofmin a
diﬀerent coordinate system are given by
((chart coordsys2) m).
The manifold pointmis a geometric object that is the same point
independent of how it is speciﬁed. Similarly, the velocity vectorev
is a geometric object, even though it is speciﬁed using components
vwith respect to the basise.Bothvandehave as many compo-
nents as the dimension of the space so their product is interpreted
as a contraction.
Let’s make a general metric on a 2-dimensional real manifold:
4
(define the-metric (literal-metric ’g R2-rect))
4
The procedureliteral-metricprovides a metric. It is a general symmetric
function of two vector ﬁelds, with literal functions of the coordinates of the
manifold points for its coeﬃcients in the given coordinate system. The quoted
symbol
’gis used to make the names of the literal coeﬃcient functions. Literal
functions are discussed in Appendix B.

Chapter 1 Introduction 7
The metric is expressed in rectangular coordinates, so the coordi-
nate system is
R2-rect.
5
The component functions will be labeled
as subscripted
gs.
We can now make the Lagrangian for the system:
(define L (Lc ’m the-metric R2-rect))
And we can apply our Lagrangian to an arbitrary state:
(L (up ’t (up ’x ’y) (up ’vx ’vy)))
(+ (*1/2 m (g
00 (up x y)) (expt vx 2))
(*m(g01 (up x y)) vx vy)
(*1/2 m (g11 (up x y)) (expt vy 2)))
Compare this result with equation (1.3).
Euler-Lagrange Residuals
The Euler-Lagrange equations are satisﬁed on realizable paths.
Letγbe a path on the manifold of conﬁgurations. (A path is a
map from the 1-dimensional real line to the conﬁguration mani-
fold. We introduce maps between manifolds in Chapter 6.) Con-
sider an arbitrary path:
6
(define gamma (literal-manifold-map ’q R1-rect R2-rect))
The values ofγare points on the manifold, not a coordinate repre-
sentation of the points. We may evaluate
gammaonly on points of
the real-line manifold;
gammaproduces points on theR
2
manifold.
So to go from the literal real-number coordinate
’tto a point
onthereallineweuse
((point R1-rect) ’t)andtogofrom
apoint
minR
2
to its coordinate representation we use((chart
R2-rect) m)
. (The procedurespointandchartare introduced in
Chapter 2.) Thus
5
R2-rectis the usual rectangular coordinate system on the 2-dimensional real
manifold. (See Section 2.1, page 13.) Wesupply common coordinate systems
for n-dimensional real manifolds. For example,
R2-polaris a polar coordinate
system on the same manifold.
6
The procedureliteral-manifold-mapmakes a map from the manifold im-
plied by its second argument to the manifold implied by the third argument.
These arguments must be coordinate systems. The quoted symbol that is the
ﬁrst argument is used to name the literal coordinate functions that deﬁne the
map.

8 Chapter 1 Introduction
((chart R2-rect) (gamma ((point R1-rect) ’t)))
(up (qˆ0 t) (qˆ1 t))
So, to work with coordinates we write:
(define coordinate-path
(compose (chart R2-rect) gamma (point R1-rect)))
(coordinate-path ’t)
(up (qˆ0 t) (qˆ1 t))
Now we can compute the residuals of the Euler-Lagrange equa-
tions, but we get a large messy expression that we will not show.
7
However, we will save it to compare with the residuals of the
geodesic equations.
(define Lagrange-residuals
(((Lagrange-equations L) coordinate-path) ’t))
Geodesic Equations
Now we get deeper into the geometry. The traditional way to
write the geodesic equations is
∇
vv=0 (1.4)
where∇is a covariant derivative operator. Roughly,∇
vwis a
directional derivative. It gives a measure of the variation of the
vector ﬁeldwas you walk along the manifold in the direction ofv.
(We will explain this in depth in Chapter 7.)∇
vv= 0 is intended
to convey that the velocity vector is parallel-transported by itself.
When you walked East on the Equator you had to hold the stick so
that it was parallel to the Equator. But the stick is constrained to
the surface of the Earth, so moving it along the Equator required
turning it in three dimensions. The∇thus must incorporate the
3-dimensional shape of the Earth to provide a notion of “paral-
lel” appropriate for the denizens of the surface of the Earth. This
information will appear as the “Christoﬀel coeﬃcients” in the co-
ordinate representation of the geodesic equations.
The trouble with the traditional way to write the geodesic equa-
tions (1.4) is that the arguments to the covariant derivative are
7
For an explanation of equation residuals see page xvi.

Chapter 1 Introduction 9
vector ﬁelds and the velocity along the path is not a vector ﬁeld.
A more precise way of stating this relation is:
∇
γ
∂/∂t
dγ(∂/∂t)=0. (1.5)
(We know that this may be unfamiliar notation, but we will ex-
plain it in Chapter 7.)
In coordinates, the geodesic equations are expressed
D
2
q
i
(t)+

jk
Γ
i
jk
(γ(t))Dq
j
(t)Dq
k
(t)=0, (1.6)
whereq(t) is the coordinate path corresponding to the manifold
pathγ,andΓ
i
jk
(m) are Christoﬀel coeﬃcients. The Γ
i
jk
(m)de-
scribe the “shape” of the manifold close to the manifold pointm.
They can be derived from the metricg.
We can get and save the geodesic equation residuals by:
(define geodesic-equation-residuals
(((((covariant-derivative Cartan gamma) d/dt)
((differential gamma) d/dt))
(chart R2-rect))
((point R1-rect) ’t)))
whered/dtis a vector ﬁeld on the real line
8
andCartanis a
way of encapsulating the geometry, as speciﬁed by the Christoﬀel
coeﬃcients. The Christoﬀel coeﬃcients are computed from the
metric:
(define Cartan
(Christoffel->Cartan
(metric->Christoffel-2 the-metric
(coordinate-system->basis R2-rect))))
The two messy residual results that we did not show are related
by the metric. If we change the representation of the geodesic
equations by “lowering” them using the mass and the metric, we
see that the residuals are equal:
8
We establishedtas a coordinate function on the rectangular coordinates of
the real line by
(define-coordinates t R1-rect)
This had the eﬀect of also deﬁningd/dtas a coordinate vector ﬁeld anddtas
a one-form ﬁeld on the real line.

10 Chapter 1 Introduction
(define metric-components
(metric->components the-metric
(coordinate-system->basis R2-rect)))
(- Lagrange-residuals
(* (* ’m (metric-components (gamma ((point R1-rect) ’t))))
geodesic-equation-residuals))
(down 0 0)
This establishes that for a 2-dimensional space the Euler-Lagrange
equations are equivalent to the geodesic equations. The Christof-
fel coeﬃcients that appear in the geodesic equation correspond to
coeﬃcients of terms in the Euler-Lagrange equations. This anal-
ysis will work for any number of dimensions (but will take your
computer longer in higher dimensions, because the complexity in-
creases).
Exercise 1.1: Motion on a Sphere
The metric for a unit sphere, expressed in colatitudeθand longitudeφ,
is
g(u,v)=dθ(u)dθ(v)+(sinθ)
2
dφ(u)dφ(v).
Compute the Lagrange equations for motion of a free particle on the
sphere and convince yourself that they describe great circles. For exam-
ple, consider motion on the equator (θ=π/2) and motion on a line of
longitude (φis constant).

2
Manifolds
Amanifoldis a generalization of our idea of a smooth surface
embedded in Euclidean space. For ann-dimensional manifold,
around every point there is a simply-connected open set, thecoor-
dinate patch, and a one-to-one continuous function, thecoordinate
functionorchart, mapping every point in that open set to a tuple
ofnreal numbers, thecoordinates. In general, several charts are
needed to label all points on a manifold. It is required that if a
region is in more than one coordinate patch then the coordinates
are consistent in that the function mapping one set of coordinates
to another is continuous (and perhaps diﬀerentiable to some de-
gree). A consistent system of coordinate patches and coordinate
functions that covers the entire manifold is called anatlas.
An example of a 2-dimensional manifold is the surface of a
sphere or of a coﬀee cup. The space of all conﬁgurations of a planar
double pendulum is a more abstract example of a 2-dimensional
manifold. A manifold that looks locally Euclidean may not look
like Euclidean space globally: for example, it may not be simply
connected. The surface of the coﬀee cup is not simply connected,
because there is a hole in the handle for your ﬁngers.
An example of a coordinate function is the function that maps
points in a simply-connected open neighborhood of the surface
of a sphere to the tuple of latitude and longitude.
1
If we want
to talk about motion on the Earth, we can identify the space of
conﬁgurations to a 2-sphere (the surface of a 3-dimensional ball).
The map from the 2-sphere to the 3-dimensional coordinates of a
point on the surface of the Earth captures the shape of the Earth.
Two angles specify the conﬁguration of the planar double pen-
dulum. The manifold of conﬁgurations is a torus, where each
point on the torus corresponds to a conﬁguration of the double
pendulum. The constraints, such as the lengths of the pendu-
lum rods, are built into the map between the generalized coordi-
1
The open set for a latitude-longitude coordinate system cannot include either
pole (because longitude is not deﬁned at the poles) or the 180
◦
meridian (where
the longitude is discontinuous). Other coordinate systems are needed to cover
these places.

12 Chapter 2 Manifolds
nates of points on the torus and the arrangements of masses in
3-dimensional space.
There are computational objects that we can use to model man-
ifolds. For example, we can make an object that represents the
plane
2
(define R2 (make-manifold R^n 2))
and give it the nameR2. One useful patch of the plane is the one
that contains the origin and covers the entire plane.
3
(define U (patch ’origin R2))
2.1 Coordinate Functions
A coordinate functionχmaps points in a coordinate patch of a
manifold to a coordinate tuple:
4
x=χ(m), (2.1)
wherexmay have a convenient tuple structure. Usually, the co-
ordinates are arranged as an “up structure”; the coordinates are
selected with superscripts:
x
i
=χ
i
(m). (2.2)
The number of independent components ofxis the dimension of
the manifold.
Assume we have two coordinate functionsχandχ
ﬀ
.Thecoor-
dinate transformation fromχ
ﬀ
coordinates toχcoordinates is just
the compositionχ◦χ
?1
,whereχ
?1
is the functional inverse of
χ
ﬀ
(see ﬁgure 2.1). We assume that the coordinate transformation
is continuous and diﬀerentiable to any degree we require.
2
The expressionR^ngives only one kind of manifold. We also have spheres
S^nandSO3.
3
The wordoriginis an arbitrary symbol here. It labels a predeﬁned patch in
R^nmanifolds.
4
In the text that follows we will use sans-serif names, such asf, v, m, to refer
to objects deﬁned on the manifold. Objects that are deﬁned on coordinates
(tuples of real numbers) will be named with symbols likef,v,x.

2.1 Coordinate Functions 13
χ’
χ’χ
−1
oR
n
R
n
χ
M
m
Figure 2.1Here there are two overlapping coordinate patches that are
the domains of the two coordinate functionsχandχ
ﬃ
. It is possible to
represent manifold points in the overlap using either coordinate system.
The coordinate transformation fromχ
ﬃ
coordinates toχcoordinates is
just the compositionχ◦χ
ﬃ?1
.
Given a coordinate systemcoordsysfor a patch on a manifold
the procedure that implements the functionχthat gives coordi-
nates for a point is
(chart coordsys). The procedure that imple-
ments the inverse map that gives a point for coordinates is
(point
coordsys)
.
We can have both rectangular and polar coordinates on a patch
of the plane identiﬁed by the origin:
5,6
;; Some charts on the patch U
(define R2-rect (coordinate-system ’rectangular U))
(define R2-polar (coordinate-system ’polar/cylindrical U))
For each of the coordinate systems above we obtain the coordi-
nate functions and their inverses:
5
The rectangular coordinates are good for the entire plane, but the polar
coordinates are singular at the origin because the angle is not deﬁned. Also,
the patch for polar coordinates must exclude one ray from the origin, because
of the angle variable.
6
We can avoid explicitly naming the patch:
(define R2-rect (coordinate-system-at ’rectangular ’origin R2))

14 Chapter 2 Manifolds
(define R2-rect-chi (chart R2-rect))
(define R2-rect-chi-inverse (point R2-rect))
(define R2-polar-chi (chart R2-polar))
(define R2-polar-chi-inverse (point R2-polar))
The coordinate transformations are then just compositions. The
polar coordinates of a rectangular point are:
((compose R2-polar-chi R2-rect-chi-inverse)
(up ’x0 ’y0))
(up (sqrt (+ (expt x0 2) (expt y0 2))) (atan y0 x0))
And the rectangular coordinates of a polar point are:
((compose R2-rect-chi R2-polar-chi-inverse)
(up ’r0 ’theta0))
(up (*r0 (cos theta0)) (*r0 (sin theta0)))
And we can obtain the Jacobian of the polar-to-rectangular trans-
formation by taking its derivative:
7
((D (compose R2-rect-chi R2-polar-chi-inverse))
(up ’r0 ’theta0))
(down (up (cos theta0) (sin theta0))
(up (*-1 r0 (sin theta0)) ( *r0 (cos theta0))))
2.2 Manifold Functions
Letfbe a real-valued function on a manifoldM: this function
maps pointsmon the manifold to real numbers.
This function has a coordinate representationf
χwith respect
to the coordinate functionχ(see ﬁgure 2.2):
f
χ=f◦χ
−1
. (2.3)
Both the coordinate representationf
χand the tuplexdepend
on the coordinate system, but the valuef
χ(x) is independent of
coordinates:
f
χ(x)=(f◦χ
−1
)(χ(m)) =f(m). (2.4)
7
See Appendix B for an introduction to tuple arithmetic and a discussion of
derivatives of functions with structured input or output.

2.2 Manifold Functions 15
χ
χ
f
f
f(m)
M
m
R
n
Figure 2.2The coordinate functionχmaps points on the manifold
in the coordinate patch to a tuple of coordinates. A functionfon the
manifoldMcan be represented in coordinates by a functionf
χ=f◦χ
−1
.
The subscriptχmay be dropped when it is unambiguous.
For example, in a 2-dimensional real manifold the coordinates
of a manifold pointmare a pair of real numbers,
(x, y)=χ(m), (2.5)
and the manifold functionfis represented in coordinates by a
functionfthat takes a pair of real numbers and produces a real
number
f:R
2
→R
f:(x, y)ϕ →f(x, y). (2.6)
We deﬁne our manifold function
f:M→R
f:mϕ →(f◦χ)(m). (2.7)
Manifold Functions Are Coordinate Independent
We can illustrate the coordinate independence with a program.
We will show that an arbitrary manifold functionf, when deﬁned
by its coordinate representation in rectangular coordinates, has
the same behavior when applied to a manifold point independent
of whether the point is speciﬁed in rectangular or polar coordi-
nates.

16 Chapter 2 Manifolds
We deﬁne a manifold function by specifying its behavior in rect-
angular coordinates:
8
(define f
(compose (literal-function ’f-rect R2->R) R2-rect-chi))
whereR2->Ris a signature for functions that map an up structure
oftworealstoareal:
(define R2->R (-> (UP Real Real) Real))
We can specify a typical manifold point using its rectangular co-
ordinates:
(define R2-rect-point (R2-rect-chi-inverse (up ’x0 ’y0)))
We can describe thesame pointusing its polar coordinates:
(define corresponding-polar-point
(R2-polar-chi-inverse
(up (sqrt (+ (square ’x0) (square ’y0)))
(atan ’y0 ’x0))))
(f R2-rect-point)and(f corresponding-polar-point)agree,
even though the point has been speciﬁed in two diﬀerent coordi-
nate systems:
(f R2-rect-point)
(f-rect (up x0 y0))
(f corresponding-polar-point)
(f-rect (up x0 y0))
Naming Coordinate Functions
To make things a bit easier, we can give names to the individual
coordinate functions associated with a coordinate system. Here we
name the coordinate functions for the
R2-rectcoordinate system
xandyand for theR2-polarcoordinate systemrandtheta.
(define-coordinates (up x y) R2-rect)
(define-coordinates (up r theta) R2-polar)
8
Alternatively, we can deﬁne the same function in a shorthand
(define f (literal-manifold-function ’f-rect R2-rect))

2.2 Manifold Functions 17
This allows us to extract the coordinates from a point, indepen-
dent of the coordinate system used to specify the point.
(x (R2-rect-chi-inverse (up ’x0 ’y0)))
x0
(x (R2-polar-chi-inverse (up ’r0 ’theta0)))
(*r0 (cos theta0))
(r (R2-polar-chi-inverse (up ’r0 ’theta0)))
r0
(r (R2-rect-chi-inverse (up ’x0 ’y0)))
(sqrt (+ (expt x0 2) (expt y0 2)))
(theta (R2-rect-chi-inverse (up ’x0 ’y0)))
(atan y0 x0)
We can work with the coordinate functions in a natural manner,
deﬁning new manifold functions in terms of them:
9
(define h (+ (* x (square r)) (cube y)))
(h R2-rect-point)
(+ (expt x0 3) (*x0 (expt y0 2))
(expt y0 3))
We can also applyhto a point deﬁned in terms of its polar coor-
dinates:
(h (R2-polar-chi-inverse (up ’r0 ’theta0)))
(+ (*(expt r0 3) (expt (sin theta0) 3))
(*(expt r0 3) (cos theta0)))
Exercise 2.1: Curves
A curve may be speciﬁed in diﬀerent coordinate systems. For example, a
cardioid constructed by rolling a circle of radiusaaround another circle
of the same radius is described in polar coordinates by the equation
r=2a(1+cos(θ)).
9
This is actually a nasty, but traditional, abuse of notation. An expression
like cos(r) can either mean the cosine of the angler(ifris a number), or the
composition cos◦r(ifris a function). In our system
(cos r)behaves in this
way—either computing the cosine of
ror being treated as(compose cos r)
depending on whatris.

18 Chapter 2 Manifolds
We can convert this to rectangular coordinates by evaluating the residual
in rectangular coordinates.
(define-coordinates (up r theta) R2-polar)
((- r (* 2 ’a (+ 1 (cos theta))))
((point R2-rect) (up ’x ’y)))
(/ (+ (*-2ax)
(*-2 a (sqrt (+ (expt x 2) (expt y 2))))
(expt x 2) (expt y 2))
(sqrt (+ (expt x 2) (expt y 2))))
The numerator of this expression is the equivalent residual in rectangular
coordinates. If we rearrange terms and square it we get the traditional
formula for the cardioid
(x
2
+y
2
−2ax)
2
=4a
2
(x
2
+y
2
).
a.The rectangular coordinate equation for the Lemniscate of Bernoulli
is
(x
2
+y
2
)
2
=2a
2
(x
2
−y
2
).
Find the expression in polar coordinates.
b.Describe a helix space curve in both rectangular and cylindrical co-
ordinates. Use the computer to show the correspondence. Note that we
provide a cylindrical coordinate system on the manifoldR
3
for you to
use. It is called
R3-cyl; with coordinates(r, theta, z).
Exercise 2.2: Stereographic Projection
A stereographic projection is a correspondence between points on the
unit sphere and points on the plane cutting the sphere at its equator.
(See ﬁgure 2.3.)
The coordinate system for points on the sphere in terms of rectan-
gular coordinates of corresponding points on the plane is
S2-Riemann.
10
The procedure(chart S2-Riemann)gives the rectangular coordinates
on the plane for every point on the sphere, except for the North Pole.
The procedure
(point S2-Riemann)gives the point on the sphere given
rectangular coordinates on the plane. The usual spherical coordinate
system on the sphere is
S2-spherical.
We can compute the colatitude and longitude of a point on the sphere
corresponding to a point on the plane with the following incantation:
10
The plane with the addition of a point at inﬁnity is conformally equivalent to
the sphere by this correspondence. This correspondence is called the Riemann
sphere, in honor of the great mathematician Bernard Riemann (1826–1866),
who made major contributions to geometry.

2.2 Manifold Functions 19
N
φ,λ
ρ,θ
Figure 2.3For each point on the sphere (except for its north pole)
a line is drawn from the north pole through the point and extending to
the equatorial plane. The corresponding point on the plane is where the
line intersects the plane. The rectangular coordinates of this point on
the plane are the Riemann coordinates of the point on the sphere. The
points on the plane can also be speciﬁed with polar coordinates (ρ, θ)
and the points on the sphere are speciﬁed both by Riemann coordinates
and the traditional colatitude and longitude (φ, λ).
((compose
(chart S2-spherical)
(point S2-Riemann)
(chart R2-rect)
(point R2-polar))
(up ’rho ’theta))
(up (acos (/ (+ -1 (expt rho 2))
(+ +1 (expt rho 2))))
theta)
Perform an analogous computation to get the polar coordinates of the
point on the plane corresponding to a point on the sphere given by its
colatitude and longitude.

3
Vector Fields and One-Form Fields
We want a way to think about how a function varies on a mani-
fold. Suppose we have some complex linkage, such as a multiple
pendulum. The potential energy is an important function on the
multi-dimensional conﬁguration manifold of the linkage. To un-
derstand the dynamics of the linkage we need to know how the
potential energy changes as the conﬁguration changes. The change
in potential energy for a step of a certain size in a particular di-
rection in the conﬁguration space is a real physical quantity; it
does not depend on how we measure the direction or the step size.
What exactly this means is to be determined: What is a step size?
What is a direction? We cannot subtract two conﬁgurations to
determine the distance between them. It is our job here to make
sense of this idea.
So we would like something like a derivative, but there are prob-
lems. Since we cannot subtract two manifold points, we cannot
take the derivative of a manifold function in the way described
in elementary calculus. But we can take the derivative of a co-
ordinate representation of a manifold function, because it takes
real-number coordinates as its arguments. This is a start, but it
is not independent of coordinate system. Let’s see what we can
build out of this.
3.1 Vector Fields
In multiple dimensions the derivative of a function is the multiplier
for the best linear approximation of the function at each argument
point:
1
f(x+Δx)≈f(x)+(Df(x))Δx (3.1)
The derivativeDf(x) is independent of Δx. Although the deriva-
tive depends on the coordinates, the product (Df(x))Δxis in-
1
In multiple dimensions the derivativeDf(x) is a down tuple structure of
the partial derivatives and the increment Δxis an up tuple structure, so the
indicated product is to be interpreted as a contraction. (See equation B.8.)

22 Chapter 3 Vector Fields and One-Form Fields
variant under change of coordinates in the following sense. Let
φ=χ◦χ
ﬀ?1
be a coordinate transformation, andx=φ(y). Then
Δx=Dφ(y)Δyis the linear approximation to the change inx
whenychanges by Δy.Iffandgare the representations of a
manifold function in the two coordinate systems,g(y)=f(φ(y)) =
f(x), then the linear approximations to the increments infand
gare equal:
Dg(y)Δy=Df(φ(y)) (Dφ(y)Δy)=Df(x)Δx.
The invariant product (Df(x))Δxis thedirectional derivative
offatxwith respect to the vector speciﬁed by the tuple of
components Δxin the coordinate system. We can generalize this
idea to allow the vector at each point to depend on the point,
making avector ﬁeld.Letbbe a function of coordinates. We then
have a directional derivative offat each pointx, determined byb
D
b(f)(x)=(Df(x))b(x). (3.2)
Now we bring this back to the manifold and develop a useful gen-
eralization of the idea of directional derivative for functions on a
manifold, rather than functions onR
n
.Avector ﬁeld on a man-
ifoldis an assignment of a vector to each point on the manifold.
In elementary geometry, a vector is an arrow anchored at a point
on the manifold with a magnitude and a direction. In diﬀerential
geometry, a vector is an operator that takes directional deriva-
tives of manifold functions at its anchor point. The direction and
magnitude of the vector are the direction and scale factor of the
directional derivative.
Letmbe a point on a manifold,vbe a vector ﬁeld on the man-
ifold, andfbe a real-valued function on the manifold. Thenv(f)
is the directional derivative of the functionfandv(f)(m)isthe
directional derivative of the functionfat the pointm. The vector
ﬁeld is an operator that takes a real-valued manifold function and
a manifold point and produces a number. The order of arguments
is chosen to makev(f) be a new manifold function that can be
manipulated further. Directional derivative operators, unlike or-
dinary derivative operators, produce a result of the same type as
their argument. Note that there is no mention here of any coordi-
nate system. The vector ﬁeld speciﬁes a direction and magnitude
at each manifold point that is independent of how it is described
using any coordinate system.

3.1 Vector Fields 23
A useful way to characterize a vector ﬁeld in a particular coor-
dinate system is by applying it to the coordinate functions. The
resulting functionsb
i
χ,v
are called thecoordinate component func-
tionsorcoeﬃcient functionsof the vector ﬁeld; they measure how
quickly the coordinate functions change in the direction of the
vector ﬁeld, scaled by the magnitude of the vector ﬁeld:
b
i
χ,v
=v

χ
i

◦χ
−1
. (3.3)
Note that we have chosen the coordinate components to be func-
tions of the coordinate tuple, not of a manifold point.
A vector with coordinate componentsb
χ,vapplies to a manifold
functionfvia
v(f)(m)=((D(f◦χ
−1
)bχ,v)◦χ)(m) (3.4)
=D(f◦χ
−1
)(χ(m))b χ,v(χ(m)) (3.5)
=

i
∂i(f◦χ
−1
)(χ(m))b
i
χ,v
(χ(m)). (3.6)
In equation (3.4), the quantityf◦χ
−1
is the coordinate representa-
tion of the manifold functionf. We take its derivative, and weight
the components of the derivative with the coordinate components
b
χ,vof the vector ﬁeld that specify its direction and magnitude.
Since this product is a function of coordinates we useχto extract
the coordinates from the manifold pointm. In equation (3.5), the
composition of the product with the coordinate chartχis replaced
by function evaluation. In equation (3.6) the tuple multiplication
is expressed explicitly as a sum of products of corresponding com-
ponents. So the application of the vector is a linear combination
of the partial derivatives offin the coordinate directions weighted
by the vector components. This computes the rate of change off
in the direction speciﬁed by the vector.
Equations (3.3) and (3.5) are consistent:
v(χ)(χ
−1
(x)) =D(χ◦χ
−1
)(x)b χ,v(x)
=D(I)(x)b
χ,v(x)
=b
χ,v(x). (3.7)
The coeﬃcient tupleb
χ,v(x) is an up structure compatible for
addition to the coordinates. Note that for any vector ﬁeldvthe co-
eﬃcientsb
χ,v(x) are diﬀerent for diﬀerent coordinate functionsχ.

24 Chapter 3 Vector Fields and One-Form Fields
In the text that follows we will usually drop the subscripts onb,
understanding that it is dependent on the coordinate system and
the vector ﬁeld.
We implement the deﬁnition of a vector ﬁeld (3.4) as:
(define (components->vector-field components coordsys)
(define (v f)
(compose (* (D (compose f (point coordsys)))
components)
(chart coordsys)))
(procedure->vector-field v))
The vector ﬁeld is an operator, like derivative.
2
Given a coordinate system and coeﬃcient functions that map
coordinates to real values, we can make a vector ﬁeld. For exam-
ple, a general vector ﬁeld can be deﬁned by giving components
relative to the coordinate system
R2-rectby
(define v
(components->vector-field
(up (literal-function ’b^0 R2->R)
(literal-function ’b^1 R2->R))
R2-rect))
To make it convenient to deﬁne literal vector ﬁelds we provide
a shorthand:
(define v (literal-vector-field ’b R2-rect))
This makes a vector ﬁeld with component functions namedb^0
andb^1and names the resultv. When this vector ﬁeld is applied
to an arbitrary manifold function it gives the directional deriva-
tive of that manifold function in the direction speciﬁed by the
components
bˆ0 andbˆ1:
((v (literal-manifold-function ’f-rect R2-rect)) R2-rect-point)
(+ (*(((partial 0) f-rect) (up x0 y0)) (bˆ0 (up x0 y0)))
(*(((partial 1) f-rect) (up x0 y0)) (bˆ1 (up x0 y0))))
This result is what we expect from equation (3.6).
We can recover the coordinate components of the vector ﬁeld
by applying the vector ﬁeld to the coordinate chart:
2
An operator is just like a procedure except that multiplication is interpreted
as composition. For example, the derivative procedure is made into an oper-
ator
Dso that we can say(expt D 2)and expect it to compute the second
derivative. The procedure
procedure->vector-fieldmakes a vector-ﬁeld op-
erator.

3.1 Vector Fields 25
((v (chart R2-rect)) R2-rect-point)
(up (bˆ0 (up x y)) (bˆ1 (up x y)))
Coordinate Representation
The vector ﬁeldvhas a coordinate representationv:
v(f)(m)=D(f◦χ
−1
)(χ(m))b(χ(m))
=Df(x)b(x)
=v(f)(x), (3.8)
with the deﬁnitionsf=f◦χ
−1
andx=χ(m). The functionbis
the coeﬃcient function for the vector ﬁeldv.Itprovidesascale
factor for the component in each coordinate direction. However,v
is the coordinate representation of the vector ﬁeldvin that it takes
directional derivatives of coordinate representations of manifold
functions.
Given a vector ﬁeld
vand a coordinate systemcoordsyswe can
construct the coordinate representation of the vector ﬁeld.
3
(define (coordinatize v coordsys)
(define ((coordinatized-v f) x)
(let ((b (compose (v (chart coordsys))
(point coordsys))))
(* ((D f) x) (b x)))))
(make-operator coordinatized-v))
We can apply a coordinatized vector ﬁeld to a function of coordi-
nates to get the same answer as before.
(((coordinatize v R2-rect) (literal-function ’f-rect R2->R))
(up ’x0 ’y0))
(+ (*(((partial 0) f-rect) (up x0 y0)) (bˆ0 (up x0 y0)))
(*(((partial 1) f-rect) (up x0 y0)) (bˆ1 (up x0 y0))))
Vector Field Properties
The vector ﬁelds on a manifold form a vector space over the ﬁeld
of real numbers and a module over the ring of real-valued manifold
functions. A module is like a vector space except that there is no
multiplicative inverse operation on the scalars of a module. Man-
ifold functions that are not the zero function do not necessarily
3
Themake-operatorprocedure takes a procedure and returns an operator.

26 Chapter 3 Vector Fields and One-Form Fields
have multiplicative inverses, because they can have isolated zeros.
So the manifold functions form a ring, not a ﬁeld, and vector ﬁelds
must be a module over the ring of manifold functions rather than
a vector space.
Vector ﬁelds have the following properties. Letuandvbe
vector ﬁelds and letαbe a real-valued manifold function. Then
(u+v)(f)=u(f)+v(f) (3.9)
(αu)(f)=α(u(f)). (3.10)
Vector ﬁelds are linear operators. Assumefandgare functions
on the manifold,aandbare real constants.
4
The constantsaand
bare not manifold functions, because vector ﬁelds take derivatives.
See equation (3.13).
v(af+bg)(m)=av(f)(m)+bv(g)(m) (3.11)
v(af)(m)=av(f)(m) (3.12)
Vector ﬁelds satisfy the product rule (Leibniz rule).
v(fg)(m)=v(f)(m)g(m)+f(m)v(g)(m) (3.13)
Vector ﬁelds satisfy the chain rule. LetFbe a function on the
range off.
v(F◦f)(m)=DF(f(m))v(f)(m) (3.14)
3.2 Coordinate-Basis Vector Fields
For ann-dimensional manifold any set ofnlinearly independent
vector ﬁelds
5
form abasisin that any vector ﬁeld can be expressed
as a linear combination of the basis ﬁelds with manifold-function
4
Iffhas structured output thenv(f) is the structure resulting fromvbeing
applied to each component off.
5
A set of vector ﬁelds,{v i}, is linearly independent with respect to manifold
functions if we cannot ﬁnd nonzero manifold functions,{a
i}, such that
ﬀ
i
aivi(f)=0(f),
where0is the vector ﬁeld such that0(f)(m) = 0 for allfandm.

3.2 Coordinate-Basis Vector Fields 27
coeﬃcients. Given a coordinate system we can construct a ba-
sis as follows: we choose the component tupleb
i(x)(seeequa-
tion 3.5) to be theith unit tupleu
i(x)—an up tuple with one
in theith position and zeros in all other positions—selecting the
partial derivative in that direction. Hereu
iis a constant function.
Likeb, it formally takes coordinates of a point as an argument,
but it ignores them. We then deﬁne the basis vector ﬁeldX
iby
X
i(f)(m)=D(f◦χ
−1
)(χ(m))u i(χ(m))
=∂
i(f◦χ
−1
)(χ(m)). (3.15)
In terms ofX
ithe vector ﬁeld of equation (3.6) is
v(f)(m)=

i
Xi(f)(m)b
i
(χ(m)). (3.16)
We can also write
v(f)(m)=X(f)(m)b(χ(m)), (3.17)
letting the tuple algebra do its job.
The basis vector ﬁeld is often written
∂
∂x
i
=Xi, (3.18)
to call to mind that it is an operator that computes the directional
derivative in theith coordinate direction.
In addition to making the coordinate functions, the procedure
define-coordinatesalso makes the traditional named basis vec-
tors. Using these we can examine the application of a rectangular
basis vector to a polar coordinate function:
(define-coordinates (up x y) R2-rect)
(define-coordinates (up r theta) R2-polar)
((d/dx (square r)) R2-rect-point)
(*2 x0)
More general functions and vectors can be made as combinations
of these simple pieces:
(((+ d/dx (* 2 d/dy)) (+ (square r) (* 3 x))) R2-rect-point)
(+ 3 (*2 x0) (*4 y0))

28 Chapter 3 Vector Fields and One-Form Fields
Coordinate Transformations
Consider a coordinate change from the chartχto the chartχ
ﬀ
.
X(f)(m)=D(f◦χ
−1
)(χ(m))
=D(f◦(χ
ﬀ
)
−1
◦χ
ﬀ
◦χ
−1
)(χ(m))
=D(f◦(χ
ﬀ
)
−1
)(χ
ﬀ
(m))(D(χ
ﬀ
◦χ
−1
))(χ(m))
=X
ﬀ
(f)(m)(D(χ
ﬀ
◦χ
−1
))(χ(m)). (3.19)
This is the rule for the transformation of basis vector ﬁelds. The
second factor can be recognized as “∂x
ﬀ
/∂x,” the Jacobian.
6
The vector ﬁeld does not depend on coordinates. So, from
equation (3.17), we have
v(f)(m)=X(f)(m)b(χ(m)) =X
ﬀ
(f)(m)b
ﬀ
(χ
ﬀ
(m)). (3.20)
Using equation (3.19) withx=χ(m)andx
ﬀ
=χ
ﬀ
(m), we deduce
D(χ
ﬀ
◦χ
−1
)(x)b(x)=b
ﬀ
(x
ﬀ
). (3.21)
Becauseχ
ﬀ
◦χ
−1
is the inverse function ofχ◦(χ
ﬀ
)
−1
, their deriva-
tives are multiplicative inverses,
D(χ
ﬀ
◦χ
−1
)(x)=(D(χ◦(χ
ﬀ
)
−1
)(x
ﬀ
))
−1
, (3.22)
and so
b(x)=D(χ◦(χ
ﬀ
)
−1
)(x
ﬀ
)b
ﬀ
(x
ﬀ
), (3.23)
as expected.
7
It is traditional to express this rule by saying that the basis
elements transformcovariantlyand the coeﬃcients of a vector in
6
This notation helps one remember the transformation rule:
∂f
∂x
i
=
ﬃ
j
∂f
∂x
ﬀj
∂x
ﬀj
∂x
i
,
which is the relation in the usual Leibniz notation. As Spivak pointed out in
Calculus on Manifolds, p.45,fmeans something diﬀerent on each side of the
equation.
7
For coordinate pathsqandq
ﬀ
related byq(t)=(χ◦(χ
ﬀ
)
−1
)(q
ﬀ
(t)) the velocities
are related byDq(t)=D(χ◦(χ
ﬀ
)
−1
)(q
ﬀ
(t))Dq
ﬀ
(t). Abstracting oﬀ paths, we
getv=D(χ◦(χ
ﬀ
)
−1
)(x
ﬀ
)v
ﬀ
.

3.3 Integral Curves 29
terms of a basis transformcontravariantly; their product is invari-
ant under the transformation.
3.3 Integral Curves
A vector ﬁeld gives a direction and rate for every point on a mani-
fold. We can start at any point and go in the direction speciﬁed by
the vector ﬁeld, tracing out a parametric curve on the manifold.
This curve is anintegral curveof the vector ﬁeld.
More formally, letvbe a vector ﬁeld on the manifoldM.An
integral curveγ
v
m
:R→Mofvis a parametric path onMsatisfying
D(f◦γ
v
m
)(t)=v(f)(γ
v
m
(t)) = (v(f)◦γ
v
m
)(t) (3.24)
γ
v
m
(0) =m, (3.25)
for arbitrary functionsfon the manifold, with real values or struc-
tured real values. The rate of change of a function along an inte-
gral curve is the vector ﬁeld applied to the function evaluated at
the appropriate place along the curve. Often we will simply write
γ, rather thanγ
v
m
. Another useful variation isφ
v
t
(m)=γ
v
m
(t).
We can recover the diﬀerential equations satisﬁed by a coor-
dinate representation of the integral curve by lettingf=χ,the
coordinate function, and lettingσ=χ◦γbe the coordinate path
corresponding to the curveγ. Then the derivative of the coordi-
nate pathσis
Dσ(t)=D(χ◦γ)(t)
=(v(χ)◦γ)(t)
=(v(χ)◦χ
−1
◦χ◦γ)(t)
=(b◦σ)(t), (3.26)
whereb=v(χ)◦χ
−1
is the coeﬃcient function for the vector ﬁeld
vfor coordinatesχ(see equation 3.7). So the coordinate pathσ
satisﬁes the diﬀerential equations
Dσ=b◦σ. (3.27)
Diﬀerential equations for the integral curve can be expressed
only in a coordinate representation, because we cannot go from
one point on the manifold to another by addition of an increment.

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

ymmärrän sen siunaavan hellyyden, millä hän käsitteli karun
pohjolan ohrakakkuja.
Matkaa jatkettiin yhdessä. Yleensä näyttivät ihmiset aavistelevan,
mitä miehiä me olimme; niinpä eräänkin talon isäntä sanoa jurahutti
suoraan: "Taidatte olla niitä Saksaan pyrkijöitä." Toiset meitä
pelkäsivät ja epäröivät antaessaan ruokaa, toiset kohtelivat meitä
ilmeisellä myötätunnolla. Tietysti me heille syötimme jos
jonkinkaltaisia valheita, metsäyhtiöistä, koskentarkastuksista j.n.e. —
Niin päästiin vihdoin Rovaniemen lähettyville. Viimeistä taivalta
tehdessä olin minä toverini kanssa joutunut erään väkäleukaisen
maitomuijan rekeen, joka pelkäsi käänteissä ja pienenkin
heilahduksen sattuessa huusi Herraa Jeesusta. Reki oli tavallinen
puulaatikko, ja kun muija kietoi ainoan ryijyn ympärilleen, saimme
me kapealla laudalla istuen ja kesäpalttoissa (hiihdon varalta ei
paksuja vaatteita voinut ottaa mukaan) värjöttää ankarassa
pakkasessa; toiset veikot vain vetelivät sauhuja lämpimien
nahkasten alle hautautuneina. Poikkesimme erääseen taloon, missä
kuuleman mukaan piti olla meikäläis-mielisiä, kysymään, miten
selviäisimme kaupungin läpi. Mutta osuimmekin pelkurin pakinoille.
Vaikka isäntä oli aivan nuori mies, hätääntyi hän pahasti, kävi
kirjavaksi kasvoiltaan ja vapisi. Ryssistä hän meille jotakin sammalsi
ja oli kiitollinen, kun sai meidät ovesta ulos. Toiset nousivat nyt
suksilleen, lähtien kaupunkia kiertämään, mutta toverini ja minä
olimme niin ärtyisinä ja kankeina kylmästä, että istahdimme
hiihtomiehiä kyydinneen pojan rekeen ja ajoimme suoraan
Rovaniemen majataloon.
Siellä isäntä meitä ankarasti tutki, tarkasteli kiireestä kantapäähän
ja luki matkatodistuksemme alusta loppuun.

— Merkillisellä tavalla sitä nuorta väkeä nyt pakkaa pohjaan päin,
sanoi hän epäröiden.
— Olisi vähän kiire. Ehkä isäntä käskee heti valjastamaan hevosen.
— Tiedä häntä… Ei teillä ole kunnon papereitakaan. Voi joutua
syyhyn.
— Mitä helkkarin papereita te sitten täällä napamailla oikein
tahdotte? Kyllä näillä ainakin etelässä pärjää.
— Löysivät tässä taannoinkin kaksi saksalaista pakoonpyrkijää
asemalta. Rekeen oli piilotettu…
— Meillä on kiire tosiaankin.
Isäntä raapi epäröiden korvallistaan, mutta ei enää sanonut
mitään, astuihan vaan ulos, ja ennen pitkää oli hevonen valjaissa.
Hyvä juoksija olikin ja reima kyytimies.
Seuraavassa kievarissa oli meidän määrä odottaa toisia, mutta
kohtasimmekin kauhuksemme kaksi asestettua venäläistä sotilasta.
Pamppailevin sydämin astuimme sisään, tilasimme kupin kuumaa ja
hankkiuduimme nopeasti matkalle, välittämättä jälkeen jääneistä;
ryssät katselivat rauhallisina lähtöämme.
Jälleen kievarista kievariin! Jälleen unia lämpimäin nahkasten
peitossa, reenjalasten naristessa, pakkasen puristaessa hengityksen
huuruksi. Etäiset vaarain laet hohtivat talvipäivän kelmeässä
kuulteessa, tai revontulten jumalaisessa loimussa. Väinö Katajan
kiveliöitä, nukkuneita metsiä, hukkuneita teitä, poroja pulkkineen,
suksineen! Erämaan kylmä, synkkä ihanuus ympärillä. —

* * * * *
Olimme taas jo pitkän matkan taivaltaneet yhdessä, kaikki kuusi,
kun eräänä iltapäivänä saavuimme metsätaloon, josta Pellon kylään
oli enää runsas peninkulma; tänne jäimme odottelemaan yötä. Ilma
oli suotuisa, lunta satoi hiljalleen ja pakkanen oli laskenut. Mutta
jännitys vaivasi, tehden ajan sietämättömän pitkäksi.
Kello kuuden tienoissa lähdimme ajamaan, kolmella hevosella,
kaksi miestä kussakin reessä. Äänettömyys. Vain metsän hiljainen
humu ja lumihiutaleitten perhostanssi. Ei keskusteltu, eikä laulettu
kuten tavallisesti. Savukkeiden päät vain hehkuivat pimeässä, kun
hermostuneet huulet kiihkeästi imivät… Joku silloin tällöin kysäsi,
oliko vielä pitkälti matkaa… Mutta jokainen hautoi mielessään, miten
paraiten selviäisimme kyytimiehistä, miten voisimme selittää sen
seikan, että kesken matkaa aioimme nousta suksille ja pyörtää
hevoset takaisin — puhumattakaan ryssistä, joita kylässä kuului
olevan kymmenkunta.
Jo alkoi laitakylän talojen tulia vilkkua. Jännitys ja levottomuus
ahdistivat entistä enemmän. Kunnes Saksan-poika, joka R:n kanssa
istui viimeisessä reessä, yhtäkkiä kiljaisi kyyditsijälle:
— Poika perhana, mitenkä tästä paraiten pääsee Ruotsin puolelle?
Poika ällistyi, hätääntyi, seisautti hevosen, yritti kankeasti nauraa
ja vastasi.
— No joen poikki suoraan:
Syntyipä äkkiä kuumeista touhua. Kaikki kyytimiehet pyörsivät
nopeasti hevosensa, heittivät suksemme ja tavaramme kiireimmän

kaupalla reestä, malttoivat tuskin odottaa maksua, ja sen saatuaan
laskettivat aika luikua kotia kohti. Me nakkasimme reput selkään,
hyppäsimme suksille ja lähdimme hiljalleen kylään päin, Jussi V.
johtajana. Alkujaan oli meillä suunnitelmana mennä rantatietä
pohjoisempaan, pois kylän alueelta, ja joltakin yksinäiseltä,
metsäiseltä kohdalta yli. Mutta eipäs! Ihan keskelle kylää me
painuimme ja peräkanaa laskimme rantatörmältä alas joelle. Muuan
tyttö katseli akkunasta nenä ruutuun litistettynä, kädet varjostaen
kulmilla. Mitä lienee neitonen kuudesta hurjannäköisestä
reppuniekasta arvellut?
Oli muuten onni, että me teimme yrityksemme kylän kohdalta.
Sillä mikäli Jussi V. myöhemmin Suomessa käydessään sai kuulla, oli
meitä ajettu takaa, ja samaisena yönä olivat nämä etsiskelijät
väijyksissä juuri tuolla rantatiellä, jota meidän alkuperäisen
suunnitelman mukaan oikeastaan piti kulkea. Häikäilemättömyys oli
tässä kuten yleensäkin vaaran paikoissa menestykseksi. —
Ranta-äyräs oli korkea ja jyrkkä, ja kun toinen polyteekkari satutti
johonkin hangesta esiinpistävään puuhun jalkansa, kaatui hän
päistikkaa keskelle mäkeä. Me odottelimme häntä joen jäällä,
kyyristyneinä liikkumattomiksi suksillemme ja tuskallisella
tarkkuudella vaanien ympärillemme. Ainakin minun sydämeni
pamppaili ihan kuuluvasti. Kun hän oli meidät saavuttanut,
jatkoimme kiiruusti matkaa. Joki oli kuitenkin niin haarainen ja
täynnä saarekkeita — joka tapauksessa meistä siltä näytti — että
emme ollenkaan tienneet, olimmeko jo sivuuttaneet rajan, vai
olimmeko yhä Suomen puolella. Muuan asunto sijaitsi rannalla ja
Saksan-poika päätti käydä kyselemässä — hänet otti vastaan
tullimies, suuri revolveri kädessä ja melko lailla ihmeissään. Ruotsin

puolella kuitenkin oltiin, sen hän meille ilmoitti, vaikka ei voinutkaan
tarjota yösijaa, jota Jussi V. häneltä kylmäverisesti anoi.
Osoittautui sangen vaikeaksi saada yöksi kattoa päänsä päälle,
sillä oli jo myöhä. Pääsimme kuitenkin erään kalastajaparin majaan,
missä söimme tyhjäksi suuren viili-kehlon ja kunnioitettavan kasan
ohraleipää; sen jälkeen paneusimme pitkäkseen, mikä vuoteelle,
mikä lattialle luudaksien päälle, joita tupaan oli tuotu melkoinen
röykkiö.
Seuraavana aamuna alkoi kievarikyyti pitkin Tornionjoen
länsirantaa etelään päin. Ruotsin Ylitorniossa meitä kestittiin — sattui
juuri olemaan Runebergin päivä. Siinä hotellissa, jonne menimme
yöksi, osui nimittäin istumaan muutamia herrasmiehiä lasien
ääressä, ja kuultuaan outojen tulokkaiden olevan suomalaisia,
kutsuivat he meidät pöytään. He tuntuivat olevan sangen selvillä
matkastamme ja utelivat kiihkeästi, mutta kun me kohteliaasti
selitimme, että me periaatteen kannalta olimme päättäneet vaieta,
mukautuivat he siihen ymmärtävästi hymyillen.
Haaparannalla, joka sivumennen sanoen on epämiellyttävin
kaupunki, minkä olen nähnyt, otti meidät vastaan "alhaalta"
komennettu etappimies. Hän oli lyhyenläntä, huono-ihoinen ja
teräväsilmäinen nuorukainen, jonka hikiset kasvot ja herkät,
ahnaasti piippua-imevät huulet säilyvät ilmi-elävinä muistossani.
Hänessä huomasin myöskin ensikerran sen omituisen tyyneyden ja
salaperäisen liikkumattomuuden, joka sittemmin niin usein on
pistänyt silmiini suomalaisia jääkäreitä katsellessani… Saimme
ruokaa ja yösijan majakodissa, jonka epäsiisteys meitä inhotti,
etenkin kun sattui sellainen hirveä onnettomuus, että jokunen lude
tuli meitä nukkuessamme tervehtimään. Kun tästä pidimme mökää,

väreili etappimiehen piippua-imevillä huulilla tuskin huomattava
hymy. — Täällä tapahtui myöskin muuan seikka, jolle en silloin
osannut antaa suurtakaan arvoa, mutta jonka merkityksen vasta
myöhemmin, onnettomuuksien sattuessa, täysin oivalsin. Meiltä
nimittäin kysyttiin, olimmeko selvillä matkamme tarkoituksesta ja
yleensä siitä, mihin asemaan Saksassa joutuisimme. Ei pälkähtänyt
päähänkään vastata muuten kuin myöntävästi — seikka, jota moni
on saanut katua, ei kuitenkaan meistä kuudesta kukaan.
Jussi V:lle jätimme hyvästit Haaparannassa, hänet käännettiin
suoraa päätä takaisin Suomeen, uusille asioille. Seuraamme liittyi
sensijaan kolme meille tuntematonta miestä, joista kaksi oli aito
sälliä, kolmas omituinen ja näppärän näköinen veitikka, joka
itsetietoisena veteli sauhuja, komeat riukuvarret jaloissa. Kun kysäsin
hänen ammattiaan, vastasi hän päätään keikauttaen: "Työtä en tee,
enkä varasta; arvatkaas millä elän?" Hänen kädessään oleva tatuoitu
naisenkuva todisti merimatkoista, hän puhui sujuvasti ruotsia, osoitti
myöhemmin olevansa kyvykäs kymmenniekka ja on hyvin tunnettu
"kapteenin" nimellä, mutta ei häntä pidä sekoittaa kuuluisaan ja
verrattomaan kapteeni Maxiin.
Saatuamme matkarahat, saatettiin meidät junalle — toveriltani
L:ltä ja minulta olivatkin rahat pitkällä matkalla niin tyystin
huvenneet, että olimme pakoitetut myömään revolverimmekin.
Kuten muinaisilta munkeilta, otettiin meiltä vaiteliaisuuden ja
kuuliaisuuden lupaus — köyhyys oli selvää itsestään — ja meitä
kehoitettiin pitämään silmällä äskenmainittuja sällismiehiä. Oli
nimittäin sellaistakin sattunut, että joku oli ottanut runsaat
matkarahat, ajanut pari asemaväliä ja lähtenyt omille teilleen.

Sitten alkoi yhtämittainen körötys junassa Malmöhön saakka.
Täällä meidät johti erikoinen vastaanottaja yömajaan, missä me
pianoa soitellen ja hienottaria tanssittaen saimme hauskasti illan
kulumaan. Seuraavana päivänä tultiin Trelleborgiin, missä etappi-
mies kuljetti meidät ilman tarkastusta tullin läpi lautalle; tullimiehet
vain ymmärtävästi naurahtivat, kun menimme ohi. Yhtä helposti
tuntui Sassnitzin "vastaanottaja" selviävän saksalaisista tarkastajista.
Ja niin olimme siis tulleet Saksanmaahan.
Yhä enemmän ja enemmän alettiin meitä pitää valvonnan alla ja
kohdella kuin vankeja. Se tuntui sitäkin ihmeellisemmältä, kun se
meidän mielestämme oli täällä, vieraassa maassa, tuiki tarpeetonta.
Emme siitä kuitenkaan suurin piitanneet, paljon enemmän meitä,
kiinnitti ihmisten uteliaisuus, kun he ällistelivät meidän pukujamme
ja kamppeitamme. Ja olihan todellakin vähän omituista, kun esim.
Hampurissa, missä sää silloin oli suunnilleen sellainen kuin
Helsingissä lokakuulla, vaelteli villinnäköinen nuorukaisjoukko
paulakengät punaisine tupsunauhoineen jaloissa ja pontevat
karvalakit päässä. Ainoastaan parilla meistä oli nimittäin ollut kylliksi
rahaa tavallisten kenkäin ostoon.
Hampurissa vietimme viimeisen vapaan yön; seuraavana päivänä,
10 p:nä helmikuuta saavuimme määrän päähän, L.L:ään,
Lockstedter Lageriin.

II.
LOCKSTEDTIN LEIRILLÄ
1.
VASTAANOTTO.
Lockstedtin kylä sijaitsee Hampurista luoteeseen, pienen Izehoen
kaupungin lähettyvillä. Ympäristö on tasaista ja suomalaiseen
luontoon tottuneelle kolkkoa; suuria, kuloheinäisiä harjoituskenttiä
avartuu toinen toisensa jälkeen pienten, tiheään kasvaneiden
metsäsaarekkeiden välillä, toisin paikoin on sentään hauskemmankin
näköisiä lehtoja ja kunnaita. Pohjanmeren kosteat tuulet pitävät
talven leutona, mutta sumuisena ja räntäisenä; lunta sataa niukalti,
eikä pakkanen nouse yli 15° C. Kesällä sensijaan on aavoilla kentillä
hyvinkin kuuma, ja kiusaavan suorilla teillä runsaasti pölyä.
Kylä itse on tavallista saksalaista mallia, jyrkkäkattoisine,
räikeänvärisine taloineen, lukuisine kapakoineen ja
kauppapuoteineen. Sen laidassa sijaitseva leiri on niinikään erikoista
huomiota ansaitsematon kaupungin katuja muistuttavine teineen ja
säännöllisesti järjestettyine parakkeineen, joista toiset ovat tiilestä ja
valkeiksi rapatut, toiset — kesä-asunnoiksi tarkoitetut —
rautapellistä. Se on korkean aitauksen ympäröimä, ja portilla seisoo
vahti.
* * * * *

Kun olimme astuneet junasta, yritti kuljettajamme, jääkäri, joka
vartavasten oli lähetetty Sassnitziin meitä noutamaan ja joka esiintyi
siviilipuvussa, ensi kertaa järjestää meidät jonkinlaiseen riviin.
Uljaasti marssimme me, kaukaisen Pohjolan karhunpenikat,
karvalakkinemme ja paulakenkinemme läpi lumettoman kylän, ja
vaikka asukkaat olivatkin tällaisiin tulokkaihin tottuneet, seurasi
meidän kulkuamme suuri joukko uteliaita ja naureskelevia ihmisiä.
Käännyimme sisään leirin portista ja meidät johdettiin
pataljoonamme, Kuninkaallisen Preussilaisen 27. jääkäripataljoonan
"schreibstuben", toimitushuoneen pihaan, johon saimme jäädä
mahdollisimman hyvässä rivissä seisomaan, oppaan mennessä
sisään ilmoittamaan asianomaiselle upseerille uudet miehet
saapuneiksi.
Pihamaan aidan ääreen kerääntyi yhä kasvava joukko tulevia — ja
entisiä — tovereitamme, joilla nähtävästi ei ollut oikeutta tunkeutua
tälle aidatulle alueelle. Uteliaina he silmäilivät meitä, etsien
joukostamme tuttuja kasvoja ja saadakseen terveisiä kotimaasta.
Kuului hillityitä huudahduksia, kahdesti tai kolmasti minäkin kuulin
nimeäni mainittavan, mutta en voinut joukosta erottaa, kuka sen
teki.
* * * * *
Ei ollut suinkaan ilahuttavaa ja rohkaisevaa katsella näitä nuoria.
Kaikilla heillä oli omituinen kelmeys kasvoilla, aivan omalaatuinen
leima, joka merkitsi heidät tinkimättömästi. Vaikutelmaa vielä tehosti
se, että heillä oli päässään mauttomat, kaljut kenttälakit, ja kun
hyvin useilla sattui jostakin syystä olemaan päällä drillichpuku,
valkeasta, karkeasta kankaasta tehdyt vaatteet, joita käytettiin
siivoustöissä, muistuttivat he mielestäni melkolailla vankeja. Vasta

kun tarkemmin katsoi heitä silmiin, huomasi, mitä miehiä he olivat ja
saattoi arvata heidän mielialansa. Noissa silmissä oli ikävää,
kaipausta, jonka juuri kotimaasta saapuneet olivat hetkiseksi
paisuttaneet täyteen voimaansa, oli omituista, miettivää tuijotusta,
mutta myöskin hyvin paljon eloa, iloisuutta, veitikkaa, tarmoa,
rohkeutta. Kaikille heille näytti olevan yhteistä eräänlainen miltei
arvokas tyyneys, sanoisinko hitaus, joka kuulsi läpi vilkkaiden
liikkeidenkin, läpi huutojen ja naurun.
Upseeri tuli ulos — majurin adjutantti muuten, kuten myöhemmin
sain kuulla. Hän oli pitkä, elävä herra, joka tervehti meitä
ystävällisesti, kyseli kuulumisia kotimaasta sekä miltä paikkakunnalta
kukin oli kotoisin, halusi tietää, oliko jollakulla tuttavia täällä ja
pyrkikö asianomainen näiden kanssa samaan komppaniaan.
Ylioppilas R—r joutuikin toivomustensa perusteella kolmanteen
komppaniaan, kaikki muut toiseen.
Sitten meidät vietiin asuntoomme. Käännyimme sisään portista,
jonka pielessä huomasin sanat: "Ausbildungstruppe Lockstedt", ja
saavuimme pitkän, matalan peltiparakin eteen, jonka toisessa päässä
sijaitsi meille varattu tupa. Juuri silloin tunsin jonkun tarttuvan
käteeni ja korviini kajahti reipas: "terve". Käännyin. Anttihan se siinä
seisoi saksalaisen jalkaväen kenttäharmaa puku päällään, mutta
kuinka muuttuneena, sanoakseni hiljentyneenä. "Terve, terve",
enempää en kerennyt vastata, piti kiiruhtaa sisälle.
Tuvassa oli tilaa noin kahdellekymmenelle miehelle, laskien
vuoteista, jotka oli asetettu peräseinälle täsmälliseen riviin, kaksi
aina päällekkäin, määrätyn välimatkan päähän toisistaan. Valo
yrittelihe sisään muutamasta hikisestä ikkunantapaisesta. Pitkin
seiniä kulki kaksi tavarahyllyä, mutta nyt niillä upeili ainoastaan rivi

pahasti ruostuneita läkkisiä ruoka-astioita ja läjä pesuvateja. Neljä
viisi korkeaa, korvaniekkaa vesikannua törrötti nurkassa, ja lattialla
seisoi kaksi suurta, vankkaa pöytää, joita ympäröi lukuisa joukko
palleja. Keskellä tupaa oli kamiina ja sen vieressä tyhjä hiiliastia, ja
kun vielä mainitsen kivääritelineen, luulisin "huoneen"
kalustoluettelon olevan kutakuinkin täydellisen. Permanto oli
likainen, ja vuoteitten epäjärjestyksessä olevista patjoista retkotti
olkia, joita oli valunut lattiallekin.
Tuleva kotimme ei siis ollut kovin ihastuttava, ja siviilimiehen
mieltä noudattaen tulisi tästä syyttää jääkäritovereita. Olisihan
heidän pitänyt ajatella, kuinka masentavan vaikutuksen tällainen
epäjärjestys teki mukavista oloista juuri irtautuneihin miehiin,
etenkin, kun verrattain vähäisellä työllä olisi koko tuvan voinut saada
paljoa kodikkaammaksi. Mutta soturia tällainen turhanaikaisuus vain
naurattaa. Mitä leirillä tekee sellaisella miehellä, joka ei pysty
asuntoaankaan siivoamaan? Ankara elämä ja alituinen kiire koventaa
siinä määrin mielet, ettei kukaan piittaa nahkapoikain
nenännyrpistyksistä.
Meitä oli nyt tullut paimentamaan oma korpraalimme,
gruppenführer (ryhmänjohtaja) Jussi S. [sen "luutnantti" S:n veli,
josta Vilkuna puhuu. Tekijän huom.], vakava ja jyry mies, paljon
maailmaa nähnyt, sitkeä ja tavattoman hillitty. Ensi työkseen
komensi hän meidät ruuanhakuun. Saimme kuurata läkkipakit
kirkkaiksi hiekalla ja vedellä, ja Silläaikaa kuin korpraalimme jakoi
leipä-osuuttamme, marssimme me komppanian kyökin luo.
Ikkunasta pistettiin astiat sisään, kokki kaatoi niihin kauhallisen
soppaa, kukin sai makkaranpalasen käteensä ja sitten tupaan. Ruoka
ei maistunut meistä hongalle eikä haavalle, vaikka se kieltämättä oli
hyvää verrattuna myöhempiin annoksiin. Se oli jonkinlaista

hedelmäsoppaa, joka sisälsi ryynejä, veskunoita, sokeria ja
varmaankin myös suolaa, ja sitä tarjottiin — makkaran kera. Kukaan
meistä ei syönyt sitä loppuun, vaikka olimme nälkäisiä. — Saimme
nyt myöskin kuulla tavallisen täkäläisen ruokajärjestyksen: aamulla
kahvia, päivällinen klo 12 tienoissa, 1/2 5 aikaan taas kahvia ja illalla
maitosoppaa, — jota ainakaan minä en saattanut milloinkaan oppia
syömään; mielestäni se muistutti liisteriä, jota meillä käytetään
ikkunanpapereita kiinnitettäessä — toisinaan myöskin savustettua
silliä, tai suolasilliä ja perunoita; sekä teetä.
Kun pöydät oli siistitty, ruoka-astiat pesty ja asetettu kauniisti
hyllylle, marssittiin komppanian varastohuoneeseen pukuja
noutamaan. Meille annettiin monesta kohden paikatut, veren
tahraamat, mutta tarkkaan puhdistetut jalkaväen univormut
harjoitusvaatteiksi. Kukin sai kaksi paria alushousuja ja sukkia, kaksi
paitaa sekä saappaat ja nauhakengät. Saappaat eivät mitenkään
tahtoneet sopia rinnasta suomalaiselle, saksalaisten jalka kun on
pitkä ja litteä, aivankuin kapeaan voileipään olisi pistetty kahveli
pystyyn.
Varastohuoneelta selvittyämme vietiin meidät saunaan,
puhdistumaan syöpäläisistä, kuten sanottiin. Tämä sauna ei nyt ollut
aivan suomalaista mallia. Se käsitti kaksi suurehkoa huonetta, joista
toinen oli tietenkin pukeutumista varten. Betonilattia oli
auttamattomasti ropakoinen; saunaan oli varattu suuri joukko
korkeapohjaisia puukenkiä, joilla pääsi kuivin jaloin purjehtimaan sen
yli. Kun nopeasti olimme riisuutuneet, alkoi katossa olevista
suihkuista juosta tihutella kylmänhaileata vettä niskaamme. Kovaksi
onneksi ei meillä ollut saippuaa, sillä se oli kunkin itsensä hankittava.
Pyrki tulemaan vilu, mutta ei siellä kauan tarvinnut viipyäkään, sillä
sotilaan saunamatka kestää vain noin 15 minuuttia. Uudet vaatteet

pantiin päälle ja vanhat vietiin karvalakkineen päällystakkineen
keitettäviksi, desinfisioitaviksi. — Kun ne aikojen kuluessa saatiin
takaisin, ei niitä tahtonut omikseen tuntea, niin olivat ne rypistyneet.
Mainitsematta ei saa myöskään jäädä, että puukot, nuo
suomalaisten pelätyt ja hirmuiset aseet, otettiin pois, varustettiin
nimilipuilla ja vietiin varastohuoneeseen talteen. Sieltä ne annettiin
vasta rintamalle lähdettäessä takaisin omistajilleen.
Sitten alkoi suursiivous. Tuvan permanto pestiin, samoin pöydät ja
tuolit, ja kukin mies järjesti varastohuoneelta saamansa tavarat
kauniisti hyllyosalleen. Vuoteet laitettiin kuntoon; niihin pantiin
puhtaat, hyvät lakanat. Jokainen oli saanut kolme oivallista filttiä,
jotka määrätyllä tavalla taitettiin pussimaisen, siniruutuisesta
kankaasta tehdyn peitteen sisään. Hiiliä käytiin noutamassa, mutta
kamiinaa ei saatu millään palamaan. — Kun puoli viiden tienoissa
joimme kahvia, johon siihen aikaan vielä oli sekoitettu vähän sokeria
ja maitoa, tuntui uudessa asunnossamme jo melko kodikkaalta.
Illemmalla riitti aikaa käydä Anttia tervehtimässä. Hänen tupansa,
jossa miehet paraikaa puhdistivat kivääreitään, oli suuri ja paljon
mukavampi, kuten tiiliparakkien huoneet yleensä. Siellä asui
neljäkymmentä poikaa, joilla kullakin oli oma tavarakaappinsa, ja se
oli ennen kaikkea lämmin. Tilanahtauden tautta oli meidät täytynyt
sijoittaa kylmään, kesä-asunnoksi tarkoitettuun peltiparakkiin.
Kello 7 oli parole; luettiin ääneen seuraavan päivän työohjelma.
Miehet olivat järjestyneet kahteen riviin ja perusasennossa seisten
kuuntelivat korpraaliaan: Herätys klo 6 a.p., 7—8 luento, 8,30—
11,30 harjoitusta kentällä, 1,30 saappaitten ja nauhakenkäin
tarkastus, 2—4 voimistelu- ja pistintaisteluharjoituksia, 5—6
saksankielen opetusta, 6—7 kiväärinpuhdistusta, vaatteitten

korjausta y.m., nukkumaan klo 9. — Olen maininnut tämän kaiken
esimerkkinä saksalaisen sotilaan normaalityöpäivästä.
Oli vielä jäljellä juhlallinen toimitus. Heti parolen jälkeen vietiin
kaikki uudet tulokkaat komppanian lukusaliin, järjestettiin kahteen
riviin ja komennettiin olemaan hiljaa. Hetken kuluttua astui sisään
upseeri, äsken mainittu majurin adjutantti, ja tulkiksi määrätty
ryhmänjohtaja ilmoitti sotilaallisesti.
— Kahdeksan uutta miestä paikalla.
Sitten meille luettiin sekä saksaksi, että suomeksi välikirja, jonka
mukaan me sitouduimme urhoollisesti taistelemaan Saksan puolesta
millä rintamalla vain määrättiin, tottelemaan ehdottomasti
saksalaisen päällystön käskyjä, sekä rikoksen tapahtuessa
alistumaan saksalaisen sotalain rangaistaviksi. Tämä oli siis
jonkinlainen lippuvala, joka meidän tuli vahvistaa pusertamalla
asianomaisen upseerin kättä kunniasanamme merkiksi, sekä
omakätisesti kirjoittamalla nimemme sitoumuksen alle.
Suusanallisesti selitettiin kyllä, ettei meitä missään tapauksessa
vietäisi muuanne kuin itäiselle rintamalle, että siis
kysymyksenalainen kohta välikirjassa oli pelkkä muodollisuus. Mutta
siitä huolimatta oli jokaisen naama muuttunut totiseksi.
Hämmästyneinä ja neuvottomina me vilkuilimme toisiimme
pakoitetun hiljaisuuden vallitessa. Mitään tällaista emme olleet
osanneet odottaa. Tiesimme kyllä, että meistä tehtäisiin sotilaita,
olimme kyllä valmiit taisteluun, mutta vain Suomessa ja Suomen
puolesta. Kaikkein korkeintaan oli ajateltu, että joutuisimme kenties
itäiselle rintamalle, mutta vain siinä erikoistapauksessa, että
tehtäisiin odotettu ja toivottu hyökkäys Pietaria kohti ja tuo hyökkäys
näyttäisi menestykselliseltä. Nyt täytyi sitoutua kokonaan muuhun.

Siinäkin tapauksessa, että Saksa alkaisi hävitä, tai tekisi
erikoisrauhan Venäjän kanssa, olimme me velvoitetut yhä seisomaan
rivissä ja mahdollisesti kaatumaan viimeiseen mieheen. Kuten
sanottu, suullisesti kyllä toista vakuutettiin, mutta minkätautta oli
sitten sitoumus laadittu tähän muotoon?
Epäilemättä on tässä raskain syytös, mikä liikkeen järjestäjille
voidaan tehdä. Suomessa toimivat värvärit eivät antaneet riittävän
tarkkoja selityksiä ja Haaparannalla tapahtuva kysely, josta jo on
ollut puhe, oli pettävä kuin ansa. Tästä oli seurauksena, että useita
nuoria miehiä oli varsinkin alkuaikoina tullut "upseerikouluun",
työläisiä oli lähtenyt "paremmille ansioille" j.n.e. Minulle itselleni oli
sanottu 6—8 viikon harjoittelun olevan välttämätöntä; sen jälkeen
saksalaiset kyllä tietäisivät, mihin mies olisi sopivin. Tämän kaiken
saattaa kyllä ymmärtää. Suomessa verhosi näitä asioita
salaperäisyys, ja värvärit olivat siksi vaaranalaisessa asemassa, ettei
heidän ollut hyvä juurtajaksaen joka miehelle kaikkea selitellä.
Sitäpaitsi he tuskin olivat itsekään joka kohdasta selvillä. Mutta
kuitenkin kaikitenkin olisi matkaan lähtijöiltä pitänyt kysyä, olivatko
he terveitä, kykenivätkö marssimaan kolme neljä peninkulmaa raskas
taakka seljässä, uskalsivatko sydänverensä isänmaan puolesta, oliko
heistä yleensä sotureiksi. Nyt oli tänne saapunut ruumiillisesti liian
heikkoja miehiä, sydänvikaisia, sairaita, jopa kyttyräselkäisiäkin.
Tottahan toki Suomessa oli yllin kyllin sellaisia nuoria, jotka kaikesta
tietoisinakin olisivat tälle retkelle uskaltaneet — vai epäiltiinkö sitä?
— Toinen haitallinen seikka oli se, että niille suomalaisille, jotka
sodan alusta olivat viruneet saksalaisissa vankileireissä, lähetettiin
kutsu pataljoonaan. Tietysti he ottivat sen ilomielin vastaan,
päästäkseen vain vapaaksi vangin tukalasta asemasta, ilman että
heillä tarvitsi olla minkäänkaltaista innostusta asian aatteelliseen

puoleen. — Kuten myöhemmin saamme nähdä, syntyikin näiden
epäkohtien vuoksi ikäviä rettelöitä.
Tulkkina toimiva ryhmänjohtaja huomautti meille, että kaikki tähän
asti saapuneet olivat allekirjoituksen tehneet, ja sitäpaitsi selitti, että
jos me kieltäydymme, ei meitä suinkaan päästetä kotimaahan, vaan
saamme Saksassa odotella rauhantaloa, todennäköisesti joudumme
vankileiriin. Tämä ehkä tuntuu kovalta, mutta täytyy muistaa, että
joukossamme olisi saattanut olla — ja olikin — venäläisiä vakoojia.
Näin ollen meillä tuskin oli muuta mahdollisuuttakaan kuin
kirjoittaa. Omasta puolestani tein sen vallan kevein mielin. Upseeri
puristi meitä kutakin kädestä, toivottaen menestystä uudelle uralle,
ja niin saimme marssia tupaan.
Pöydällä oli meitä odottamassa läkkinen vesikannu täynnä
höyryävää teetä, jota aina avulias korpraalimme oli noutanut, vaikkei
se suinkaan kuulunut hänen toimiinsa. Äänettöminä ja kenties
hiukan masentuneina ryypiskelimme sitä läkkisistä mukeistamme.
Kellään ei tuntunut olevan jutteluhalua, ja korpraalimme, joka näytti
ymmärtävän mielentilamme, vetäytyi nurkkaansa kirjoittelemaan,
tekemättä ainoaakaan kysymystä.
Tuli maatapanon aika. Kun lattia oli lakaistu ja tupa kaikin puolin
mallikelpoisesti järjestetty, alkoi yksi toisensa jälkeen riisuutua. Valot
sammutettiin. Ulkona tohisi kylmä tuuli, joka tunkeusi koleana
majaamme, kantaen korviini yksinäisen hanurin sävelen
lähiparakista. Kynttilänliekki, jonka ääressä korpraalimme yhä
työskenteli, hänellä kun oli oikeus valvoa myöhempään, lepatti
rauhattomasti, heittäen omituisia varjoja hänen kasvoilleen. Vilusta
väristen kääriydyin peitteeseeni katsellen korpraalin vakavia, tyyniä
piirteitä ja kirjoittavaa kättä, joka näytti paremmin soveltuvan toisiin

tarkoituksiin. Sitten muistin tovereitani, etenkin molempia
polyteekkareita, jotka olivat hienosta kodista… Ovi avautui ja
päivystävä ryhmänjohtaja astui sisään.
— Alle zu Hause? (Kaikki kotona?)
— Jawohl.
— Gute Nacht! (Hyvää yötä!)
Vallitsi hiljaisuus. Silloin tällöin kuului joku köhähdys, joku
rauhaton käännähtely vuoteella. Vihdoin yhä useammasta kohden
raskasta, tasaista hengitystä… Ajattelin kotimaata, entistä elämääni,
Annaa… Mieleeni juolahti Ibsenin syvämietteinen paradoksi:
"Vain kadotettu on ikuisesti omaamme."
2.
ENSIMÄINEN PÄIVÄ.
Heräsin voimakkaaseen huutoon: Aufstehen! (Ylös!).
Tuossa tuokiossa oli hypättävä vuoteelta, peseydyttävä, ja
peseydyttävä kunnollisesti, rinta, kainalokuopat ja käsivarret oli
huuhdottava kylmällä vedellä. Sitten oli järjestettävä vuode tarkkojen
sääntöjen mukaan, peitteen piti olla määrätyllä tavalla poimutettu,
eikä lakanassa saanut näkyä ryppyjä. Tupapoika ja vesipoika
(Stubendienst, Wasserdienst), jotka valittiin vuorokaudeksi
kerrallaan, ryhtyivät hommiinsa; edellinen lakaisi lattian, jälkimäinen

nouti kyökistä kahvia. Huone oli niin kylmä, että permannolla oleva
lätäkkö oli riitteessä, mutta kamiina ei vain toiminut.
Seitsemältä alkoi luento. Kokoonnuimme pöydän ympärille, istuen
suorina palleillamme kuin pyhäkoululapset ja korpraali ryhtyi
selittämään sotamiehen alkeellisimpia velvollisuuksia, kunniantekoa,
käyttäytymistä esimiehiä kohtaan, tupajärjestystä. Sitten saimme
kuulla pataljoonamme kokoonpanosta: meillä oli neljä tavallista
jääkärikomppaniaa, yksi konekivääri- ja yksi pionieri-komppania,
joissa yhteensä oli tätä nykyä alun toistatuhatta miestä. Johtajana oli
majuri Bayer ja meidän komppaniamme päällikkönä hauptmanni
Bade. Kullakin komppanialla oli omat saksalaiset luutnanttinsa,
vääpelinsä ja aliupseerinsa, joiden rinnalla toimivat suomalaiset
ylennetyt miehet. Näistä suomalaisista oli korkein herra nimeltään
hauptzugführer (pää-joukkueenjohtaja), jonka olkalapuissa oli
merkkinä kaksi valkeata nauhaa ristissä, ja johon arvoon ainoastaan
yksi mies oli kohonnut. Sitten seurasi oberzugführer (yli-
joukkueenjohtaja), poleteissa kaksi leveätä valkeaa nauhaa
rinnakkain, zugführer (joukkueenjohtaja), jolla oli yksi leveä ja yksi
kapea nauha, gruppenführer (ryhmänjohtaja), merkkinä leveä
nauha, ja hilfsgruppenführer (apuryhmänjohtaja), olkalapuissaan
kapea valkonauha. Heitä oli kaikkia kohdeltava esimiehinä,
viimeksimainittua kuitenkin vain erikoistapauksissa…
Kesken luentoa tuli joku sisään suurella ryminällä. Upseeri ei hän
ollut, koska hänen olkapäillään ei ollut kiiltäviä poletteja, mutta
tuima katse pienistä, erittäin terävistä silmistä ja kauniiden verevien
kasvojen ilme osoittivat, että hänelläkin oli käskyvaltaa. Korpraali
karjaisi täyttä kurkkua: achtung! (huomio!), ja kimmahti pystyyn.
Sitten astui hän reippaasti tulijaa kohti, pysähtyi kolmen askeleen
päähän löi kantapäänsä yhteen, jotta raudoitetut korot napsahtivat,

painoi kädet sivuilleen ja ilmoitti: "Tupa numero X luennolla." Huuto
oli meitä säikäyttänyt. Ällistyneinä katselimme toisiimme, emmekä
tienneet mitä tehdä. Vääpeli Höfelmeyer — nimen kuulimme
myöhemmin — mulkoili meitä vihaisesti ja sanoi terävällä äänellä:
weitermachen! (jatkakaa!). Korpraali opetti nyt, että tällaisen
karjaisun kajahtaessa, oli joka miehen hypättävä jaloilleen,
käännyttävä esimieheen päin ja asennossa seisten tuijotettava häntä
suoraan silmiin, kunnes hän antoi luvan liikkua. Saksalaiset itse
huusivat achtungia ainoastaan upseereille, mutta kunnioituksen
merkiksi oli suomalaisten tapana tehdä se vääpeleillekin. —
Höfelmeyer kuunteli hetkisen ja kääntyi sitten ovea kohti. Jälleen
sama huuto. Ja nyt me jo ymmärsimme toimia.
Sitten luento jatkui: Kussakin komppaniassa oli kaksi luokkaa A ja
B. B-luokkaan kuuluivat uudet tulokkaat nahkapojat. Heitä opetettiin
erikseen, pienissä ryhmissä, alkaen voimisteluliikkeistä, joista
vähitellen siirryttiin varsinaisiin sotilastemppuihin. He eivät saaneet
poistua leirialueelta ilman komppanianjohtajan tai vääpelin lupaa ja
heidän palkkansa oli pienempi. Kun he olivat harjoitelleet 8—12
viikkoa, pidettiin koe, jonka perusteella heidät muutettiin A-luokkaan.
Tällöin saivat he olkalappuihinsa vihreän merkkinauhan, vihreän ja
hienon jääkärin univormun, jota kuitenkin käytettiin ainoastaan
sunnuntaina ja juhlatilaisuuksissa, heille maksettiin täysi sotilaan
palkka s.t.s. 33 Saksan penniä päivältä, ja he saivat mennä luvatta
kylälle.
Kun luento oli loppunut ja kello ehtinyt neljänneksen yli 8, alkoi
kuulua äänekkäitä huutoja: heraustreten! (ulos!). Mekin asetuimme
tuvan ovelle riviin ja korpraalimme johdolla marssimme tiiliparakin
edustalle, joka oli komppanian kokoontumispaikka. Kaikilta portailta
tulvi jääkäreitä. A-luokkalaisilla oli päässä kaski, tasapohjainen,

kaksoiskotkalla varustettu nahkakypärä ja selässä tornisteri,
sotilasreppu. B-luokalla sitävastoin ei ollut mitään taakkaa ja kasken
asemasta kenttälakki; uusimmilla ei ollut edes kivääriä. Oli siinä
huutoa ja hälinää, aseiden kalsketta, teräviä saksalaisia
komentosanoja ja herra ties mitä. Korpraalit ilmoittivat vääpelille
tupakuntansa miesluvun, sitten alkoi vääpeli tarkastaa, olivatko
vaatteet ja varustukset kunnossa sekä saappaat puhtaina. Armias
taivas, jos joltain sattui olemaan esim. nappi auki. "Te olette hullu.
Te tulette alasti ulos. Kas kun olette muistanut vetää housut
jalkaanne." Sellaista sai kuulla tarpeekseen ja joskus ei
asianomainen edes tiennyt, mikä tuon sanatulvan aiheutti.
Kun tarkastus oli toimitettu, komennettiin miehet kahteen riviin ja
jako neljään. A-luokalta se kävi kutakuinkin, mutta mitä kauemmas
tultiin vasemmalle, jonne nahkapojat olivat asettuneet, sitä
oudommalta se alkoi kuulua, kunnes aivan uudet miehet, joita ei
vielä oltu opetettu, kokonaan vaikenivat. "Ain, stvai, trai, viir, ain,
stvai, trai, vier", siihen malliin se luisti. Sitten tankattiin
ryhmäkaartoja ja ojennuksia.
Viimein tuli komppanianjohtaja, valkealla hevosellaan ratsastaen.
Komennettiin ojennus, sitten katse johtajaa kohti ja seisomaan
liikkumattomana, kunnes tämä oli huutanut: huomenta, toinen
komppania! ja siihen jyrisevällä äänellä vastattu: huomenta, herra
hauptmanni! Tietenkin saksaksi, jolla kielellä kaikkinainen komennus
suoritettiin. — Lopulta siitä kumminkin selvittiin harjoituskentälle
vesitornin luo, jonne oli noin kilometrin matka.
Satoi lumiräntää. Käsiä palelti, mutta kintaita ei saanut käyttää
näin "kauniilla ilmalla", vaikka niiden ehdottomasti tuli olla mukana,
vyön koukkuun kiinnitettyinä. Ja alkoipa siinä sitten huuto ja

temmellys, jonka kaltaista en ollut kuullut. Oltiin aivan kuin sodassa
jo. Kaikkialla, niin kauas kuin saattoi nähdä, oli sotapoikia, sekä
suomalaisia että saksalaisia. Etäämpänä harjoitteli joku osasto
asentoa, seisoen liikkumattomana kuin paperiäijät. Toiset juoksivat,
tähtäilivät, hajaantuivat ampumaketjuihin, heittäytyivät pitkäkseen
märkään maahan. Kuului ampumista, kuularuiskun rätinää. — Alussa
tämä hirmuinen huuto oudoksutti. Miksi näin raaka ärjyntä?
Ymmärsihän sitä toki vähemmälläkin. Miksi alituisesti vihainen ja
karkea äänensävy? Mutta meille selitettiin ylimielisesti, ettei meillä
vielä ollut hajuakaan "disipliinistä" ja kehoitettiin yleensä pitämään
suumme kiinni, silloin kun ei meiltä kysytty.
Alkeellisimpia temppuja harjoitellessa kuluivat määrätyt kolme
tuntia verrattain nopeasti. Hajallaan olevat ryhmät kutsuttiin nyt
kokoon, järjestettiin, annettiin marssikomento ja käskettiin
laulamaan. Hetkinen hapuiltiin ääntä, mutta sitä komeammin alkoikin
sitten kajahdella:
    Paljon on kärsitty vilua ja nälkää
    Balkanin puolella taistellessa.
    Voi kallis kotimaa, Suomi, sulo Pohjola,
    ei ole maata sen vertaista.
Kuinka se lämmitti ja muutti mielialan, tämä Suomen kaartilaisten
vanha, surunvoittoinen, yksinkertainen laulu! Ja millä voimalla se
vyöryi nuorista rinnoista! Sydämeni sylkytti ja väreitä kulki läpi
ruumiini. Sillälailla! Nyt alkoi tuntua missä joukossa olin. Sitten
välähti mieleeni äkillinen kuva: Gladiaattorit! Uudet gladiaattorit!
Rohkeat, toivottomat, kuoloon valmiit! Isänmaan gladiaattorit, jotka
olivat entisiä paljon ylempänä siksi, että heidän sieluissaan paloi
kirkas, jalo aate… Ja edelleen kajahteli laulu:

    Aurinko nousee ja aurinko laskee
    Suomemme sor eoilla saloilla.
    Voi kallis kotimaa…
* * * * *
Tuskin olimme saaneet vyöt päältämme ja ehtineet hieman
hengähtää, kun kuului huuto: ulos ruokaa hakemaan. Päivystävä
ryhmänjohtaja järjesti komppanian kahteen riviin ja vei sen kyökin
luo. Sai siinä räntäsateessa seistä kotvan aikaa, ennenkuin tuli vuoro
pistää pakkinsa ikkunalle ja antaa päivystäjältä saamansa
ruokamerkki kyökki-aliupseerille. Käsiä palelti, ja kun ei niitä saanut
panna housuntaskuihin, tuntui toimitus kestävän sietämättömän
kauan. — Kokki kaatoi kuppiin oivallista papusoppaa, siksi runsaasti,
että me, vielä täydessä lihassa olevat, emme jaksaneet syödä sitä
loppuun. Toisin oli vanhojen jääkärien laita. Heille ei se riittänyt. Joku
koetti keinotella itselleen kaksi ruokamerkkiä, huolimatta siitä, että
se oli kiellettyä, toiset taas palasivat anomaan "lisuketta", ja ellei sitä
omasta keittiöstä liiennyt, juoksivat he saksalaisten kanttiineihin —
tapa, joka myöhemmin kiellettiin. Tämä ankara ja suomalaisille
ominainen ruokahalu johtui osaltaan siitäkin, että leipää annettiin
kuudeksi päiväksi kerrallaan. Kun päivän osa oli niukka, eivät miehet
malttaneet hillitä itseään, vaan useimmiten lopettivat leipänsä jo
kolmessa vuorokaudessa. Selvää on, että limputtomain aikain nälkä
oli kuitattava sopalla.
Mitään erikoista ruokalepoa ei ollut, sillä vuoteelle ei saanut
mennä päivällä. Päinvastoin oli täysi työ siivotessa saappaitaan
apellia, tarkastusta varten, joka kuten sanottu oli puoli kaksi.
Jalkineissa ei saanut olla pienintäkään lian merkkiä, yksinpä

pohjanaulat ja korkoraudatkin oli puhdistettava. Ja kello kahdelta
marssittiin niillä taas semmoisia teitä, joilla oli nilkkaan asti kuraa!
Iltapäivän harjoittelu oli hiukan vapaampaa, jopa viimeiset
parikymmentä minuuttia leikittiinkin, tietysti sotilaallisella hieman
kovakouraisella tavalla. Kukin ryhmä valitsi esim. yhden miehen, joka
nosti takinliepeensä, pyllistihe, senjälkeen kuin hänen silmänsä ensin
oli peitetty, ja sitten toiset kämmenillään läiskäyttelivät aimo mälliä
kireään paikkaan, sokon koettaessa arvata, kuka lyöjä oli.
Puoli viiden kahville olimme jo osanneet ostaa kanttiinista,
sotilasmyymälästä, jollainen kullakin komppanialla oli, keksiä,
kondenseerattua maitoa, sokeria, hunajaa, tai marmelaadia. Mutta
siihen olivatkin loppua vähäiset pennimme. Kuinka sydämestäni
kaduinkaan, etten ollut varannut enemmän rahaa mukaan. Verrattain
halvalla olisi nyt voinut tehdä elämänsä paljoa mukavammaksi,
kanttiineista kun sai ruokaakin annoksittain.
Saksankielen opetustunnilta oli ylioppilailla oikeus jäädä pois,
mutta heidän tuli pysytellä tuvassa jotakin saksalaista kirjaa lukien.
Ja kun kivääreitä ei vielä oltu meille annettu saimme
puhdistustunniksi hankkia työtä vaikka mistä, mutta saapuvilla piti
kaikkien ehdottomasti olla. Niin tuli vihdoin kello seitsemän ja
kultainen vapaus alkoi — yhdeksään asti.
Päivän työ ei siis ollut erittäin raskas, mutta joka hetki oli
kiusaavan tarkasti täytetty touhulla. Mitä tarkoitti tämä tuskallinen
pikku-tarkkuus, äärimmilleen kehitetty täsmällisyys ja alinomainen
hyörinä? Oliko se aijottu opettamaan miestä säntilliseksi ja
kärsivälliseksi, vai tahtoiko se estää häntä ajattelemasta,
kaipaamasta, uneksimasta, koska tämänlaatuisen sielullisen
toiminnan väitetään olevan sotilaalle turmioksi? —

Vietettyämme vapaatunnit mikä missäkin — ja osan aikaa kulutti
tietenkin illallinen — läheni jälleen maatapanon siunattu hetki.
Niin oli aamusta ja ehtoosta tullut ensimäinen päivä.
3.
SUNNUNTAI.
Sunnuntaina sai nukkua seitsemään asti.
Kun aamukahvi oli juotu, nouti A-luokka sunnuntaipukunsa,
jääkärin univormun, varastohuoneesta, missä sitä arkipäivinä
säilytettiin. B-luokka sai tyytyä harjoitteluvormuun, jonka kuitenkin
tuli olla mitä huolellisimmin puhdistettu.
Puoli kymmenen aikaan oli tavallisesti tarkastus, jossa kunkin tuli
esiintyä ulosmenokunnossa. Katsottiin oliko parta ajeltu, tukka lyhyt
— jakauksen paikkakin oli määrätty, vasemman silmän kohdalle — ja
mies yleensä siisti ja puhdas. Senjälkeen harjoiteltiin kunniantekoa
noin tunnin ajan, sitten saivat — pojat palata tupiin, jotka lauantaina
oli perinpohjin pesty ja järjestetty, odottamaan hyvää
sunnuntaipäivällistä lihapaisteineen ja marjahilloineen. Iltapäivä oli
useimmiten vapaa, joskus kuitenkin tehtiin yhteisiä kävelyretkiä.
Jaettiin lupalippuja kyliin ja läheisiin kaupunkeihin; aluksi kaikille,
loppuaikoina vain ylennetyille miehille.
Päivällisen jälkeen kokoontui omista kyvyistä muodostettu
torvisoittokunta parakkien edustalle esittämään joitakuita kappaleita.
Saatiin kuulla suomalaista musiikkia, olipa täällä sävelletty

pataljoonalle oma marssikin. Vihreätakkeja parveili joka taholla. Ja
kaikkialla kuuli heidän puhuvan kotimaasta, milloin entisiä elämänsä
vaiheita kertoillen, milloin vakavampia asioita pohtien. Ne olivat
yksinkertaisia tyyniä sanoja, usein leikillisiä ja huvittavia, mutta siitä
huolimatta kuulsi niiden alta suuri isänmaanrakkaus ja alistunut
kaipuu. — Toiset istuivat lukusaleissa, joita kullakin komppanialla oli
yksi. Näihin huoneisiin oli sijoitettu piano, seinillä oli sotakarttoja ja
pöydillä runsas joukko saksalaisia sanoma- ja kuvalehtiä.
Suomalaisia lehtiä saatiin tänne perin vähän, nekin saapuivat
vanhentuneina ja hävisivät kuin kulta varkaan taskuun.
Balttilaiset, joita pataljoonassamme — useiden meikäläisten
mieliharmiksi — oli parisenkymmentä, seurustelivat etupäässä vain
toistensa kanssa, ja olihan se luonnollista jo kielenkin perusteella.
Suomalaiset nimittivät heitä juutalaisiksi, eivätkä tuntuneet heitä
oikein kärsivän; sitävastoin olivat he hyvissä väleissä majurin kanssa,
jota heidän kielitaitonsa ja notkeaselkäisyytensä miellytti. —
Meikäläisten suureksi tyydytykseksi osoittautuivat nämä lipevät
herrat rintamalla aika pelkureiksi.
Kun katseli tuollaista jääkäriryhmää, joka istuskeli esim.
lukusalissa, yhden soittaessa, tai pianon säestyksellä hyräillessä
jääkärin laulua, joka täällä oli tehty ja sävelletty, ei voinut olla
huomaamatta, että kaikille oli yhteistä sama tyypillinen kalvakkuus,
sama hiljentynyt nauru, sama tietoinen, päättäväinen levollisuus.
Tuntui siltä, kuin olisivat suomalaiset vasta täällä, vieraassa maassa,
huomanneet kansallisen jäykkyytensä ja hitautensa — ja kyllähän
päällystö harjoituksissa piti huolta siitä, ettei se unohtunut — ja
tämän hitauden näyttivät he ottaneen kunnianasiakseen. He
keskustelivat tekemättä minkäänkaltaisia eleitä, verkalleen he
käänsivät päätään, nostivat paperossin huulilleen tai muuttivat

asentoa. Ja tämän levollisuuden he säilyttivät rintamallakin; yhtä
laiskasti he siellä vilkaisivat sivulleen, jos granaatti tulla tupsahti
lähettyville, osoittamatta minkäänlaista halua väistää.
Ei. Ei tämä ollut kevytmielistä väkeä, seikkailijajoukkoa, kuten
kotimaassa joskus oli kuullut sanottavan. Kyllä he olivat totisia
miehiä, jotka empimättä olivat totelleet nuoren sydämensä ääntä.
Hurjapäisimmätkin tuntuivat täällä merkillisellä tavalla talttuneen. —
Tietysti oli poikkeuksiakin. Toisinaan, kun jotkut olivat kylän
ravintoloissa ottaneet liian monta ryyppyä, saattoivat he kuohahtaa,
nousta näyttämään "Suomen pojan notkeutta", arvellen että mies,
joka pystyi ajamaan saunallisen ryssiä pellolle, kykenisi kyllä
osoittamaan muutamille saksalaisillekin, mistä viisi hirttä oli poikki.
Mutta tämä kaikki oli tilapäistä ja ohimenevää.
Oli muuten merkillistä, kuinka paljon perättömiä huhuja liikkui
keskuudessamme. Milloin mikin tunnettu henkilö oli joutunut
venäläisiin vankiloihin, milloin tiedettiin varmuudella ryssän nostavan
sotaväkeä Suomesta. Ei uskallettu enää kirjoittaa kotiin, koska
omaisia vainottiin näiden kirjeiden perusteella. Mutta varsinkin
Ruotsin yhtymisestä sotaan, jota siihen aikaan toivottiin ja odotettiin,
kulki mitä kummallisimpia ja sangen todelta kuulostavia juttuja.
* * * * *
Pyydettyäni luvan, lähdin Antin kanssa kylälle kahvilaan. Antti
näytti perin hienolta ostolakissaan ja vihreässä jääkärin takissaan,
jonka olkalappuihin oli ryhmänjohtajan valkeat nauhat ommeltu.
— Koska minä olen sinun esimiehesi, puheli hän naureskellen, niin
muistakin kävellä vasemmalla puolellani ja vähän taampana. Etenkin

tulee sinun pitää mielessäsi, että teet kunniaa vastaantuleville
upseereille.
— Olen iloinen, jatkoi hän tilattuamme "bierit", että jouduit
kanssani samaan komppaniaan. Bade-ukko on kyllä ankara ja
hermostunut, jopa häijykin, mutta myöskin kyvykäs, eikä toista
komppaniaa suotta pidetä pataljoonan parhaana, varsinkin mitä
äkseeraamiseen tulee. Meidän miehiähän se on suomalaisten korkein
herrakin, hauptzugführer J. Lujilla tosin saat olla, mutta kyllä kaikki
hyvin käy, kun vain olet säntillinen ja virkku… Miltä sinusta muuten
alkaa tuntua?
— Outoa on vielä, en osaa sanoa. Mutta mielelläni tahtoisin vähän
kuulla tämän pataljoonan alkuvaiheista.
— Kaikki te sitä utelette, te uudet, vastasi Antti hymähtäen. Niin,
johan sitä on täällä oleiltu, vuosi tulee täyteen juuri näinä päivinä.
Siellä Helsingissä syntyi aluksi, kuten kai olet kuullutkin, muutamien
ylioppilaiden keskuudessa kysymys — väitetään sen kehkeytyneen
samanaikaisesti sekä suomalaisten että ruotsalaisten taholla — eikö
tällaisena levottomana aikana, Suomen ollessa sotakykyisiä miehiä
vailla, olisi syytä hankkia erinäisille henkilöille militääristä tietoa ja
kouluutusta mahdollisten tapausten varalle. Puhuttiin, touhuttiin,
innostuttiin, käytiin kysymässä neuvoa viisailta miehiltä, joilla
kuitenkin oli vanhain tavanmukainen, epäröivä käsityskanta, ja tultiin
lopulta niin pitkälle, että päätettiin pyytää ruotsalaisia upseereita
opettajiksi. En tiedä mistä syystä Ruotsista ei löytynyt sopivaa
harjoituspaikkaa, jonkatähden sitä kysyttiin Saksasta. Ja täältä nyt
vastattiin, että jos he kerran antoivat paikan, niin oli heillä myöskin
opettajat. Sillä lailla asiat kehittyivät ja helmikuussa 1915 saapuivat
ensimäiset miehet. — Aluksi kävi kaikki pfadfinderliikkeen,

partiopoika-liikkeen varjolla ja sen mukainen oli pukukin. Me,
täyskasvuiset miehet, esiinnyimme polvihousuissa, jaloissa
nauhakengät, leveälierinen hattu päässä ja pusero päällä, ja näissä
ohuissa vaatteissa saimme rämpiä tuulessa ja sateessa. Opetus oli
kyllä täysin sotilaallinen ja hyvä; ja yleensä oli olomme sentään
mukavampaa kuin nykyään, eikä kuri ollut läheskään näin ankara.
Meillä oli esim. passaripojat, kuten upseerimiehillä ainakin ja
syöminen kävi hiukan toiseen malliin, oikein lautasilta. Harjoittelun
piti kestää vain muutamia viikkoja, mutta varsin pian huomasimme,
ettei sitä niin vaan kädenkäänteessä sotilaaksi tulla, ja kun majuri
Bayer oli kovin innostunut asiaamme, venyi oppiaikamme
venymistään. Asia pitkistyi ja mutkistui, hapuiltiin sinne tänne,
kesällä oli joukkomme jo aivan hajaantumassa ja jokainen, ketä
halutti, sai lähteä pois. Mutta meillekin oli alkanut jo selvitä asian
suuri poliittinen puoli, joten pysyimme sitkeinä ja majuri meni
hellittämättömyydessään aina keisariin saakka, johon meidän
äkseeraus- ja varsinkin ampumataitomme oli tehnyt edullisen
vaikutuksen. Ja monien mutkien jälkeen perustettiin vihdoin
Kuninkaallinen Preussilainen 27 Jääkäripataljoona. Aluksi oli siinä
vain kaksi komppaniaa ja siihen ajateltiin ottaa vain määrätty luku
miehiä, mutta kun Suomesta ilmoitettiin, että siellä oli paljon
halukkaita lähtijöitä, varattiin enemmän tilaa, pataljoona alkoi
nopeasti kasvaa ja tekee sitä paraikaa kaikkein kiihkeimmin. On sen
kehitystä ollut hauska seurata, meistä vanhoista veteraaneista on jo
tehty teille esimiehiäkin, mutta on täällä ollut olemista ja on sitä
saatu hammastakin purra. Eivät nämä saksalaiset suomalaisen
luonnetta oikein ymmärrä, eikä heillä meidän maastammekaan ole
kovin laajoja tietoja. He pitävät meitä mongoolilaisena villikansana ja
ihmettelevät, jos johonkin kykenemme. Oli esim. varsin huvittavaa,
kun tuhatjärvien maan pojille opetettiin teoreettisesti soutua,

selitettiin, miten oli meneteltävä ja kuinka vesi, vaikka se olikin niin
liikkuva elementti, kuitenkin kykeni vaikuttamaan airon lappeaan
samoin kuin tukikohta vipuvarteen. Kun opettaja senjälkeen
sivumennen kysäisi, sattuiko joukossa olemaan ketään, joka osaisi
soutaa, ja kun joka mies nosti kätensä, hämmästyi hän tavattomasti
ja oli suuttua: Ei täällä saanut laskea leikkiä, hän tarkoitti täyttä
totta. Ja kun hänelle vihdoin selvisi, että me tosiaankin omasimme
tämän ihmeellisen taidon, ei hänen ällistyksellään ollut rajoja.
Samoin kävi uimaretkellä. Meitä kehoitettiin menemään veteen
kainaloita myöten, kääntymään rantaan päin ja rohkeasti
heittäytymään vatsalleen; käsi ja jalkaliikkeet oli tietenkin sitä ennen
tarkkaan neuvottu. Ja kun pojat olivat saaneet päältään, niin yksi
painaa trudgenia, toinen crowlia, kolmas sukeltaa viisi
kuusikymmentä metriä, saksalaisten ällistellessä mokomia vesi-
eläimiä. — Paljon meissä vanhemmissa muuten on pessimistejä koko
tämän hankkeen suhteen. Se ei suinkaan tahdo sanoa sitä, että
olisimme masentuneita ja haluttomia, päinvastoin, me ymmärrämme
hyvin, että tässä on suuria kyseessä ja että nyt on yritettävä, nyt tai
ei koskaan, mutta se on kokonaan eri asia kuin ehdottomasti uskoa
onnistumiseen. Ikävintä on, että kotoiset asiat jäivät niin
järjestämättä, sillä eihän sitä osattu aavistaa, että täällä vuosikausia
viivyttäisiin. On niin vaikeata ja vaarallista kirjoittaakin ja rahan
saanti miltei mahdotonta.
Antti vaikeni hetkiseksi, räpytteli silmiään maahan katsoen, tuntui
tapailevan sanoja ja jatkoi vihdoin äänellä, jossa hillitty liikutus vain
aavistuksena väreili.
— Olihan sitä minullakin sellainen heilan tapainen, kuten kai
tiedätkin, taisi jo olla vähän niinkuin sormuksistakin puhe, minulle

kun oli hyvä toimikin tarjolla, mutta ei ole kirjoittanut. Kotoa on
sentään tullut jokunen lyhyt viesti.
— En minäkään Helmiä tavannut, vaikka pyysit kirjeessäsi terveisiä
sanomaan. Mutta kyllä hän hyvin voi ja kaiketi sinua muistaa.
Kun Antti oli maksanut oluemme ja me lähdimme kahvilasta, sanoi
hän:
— Täällä sitä oppii rahalle arvoa panemaan. Markalla tekee
ihmeitä. Muistakin korjata kaikki, mitä satut löytämään, olkoonpa se
vaikka langan pätkä taikka naula. Ja pidä kamppeesi järjestyksessä.
Järjestys, se on tunnussana, kaikkialla järjestys, aina vaan järjestys.
Se on täällä suurin vaiva ja suurin hyve.
Kysyttyäni, mitä hän arveli rintamalle lähdöstä, alkoi hän kertoa.
— Niin, onhan siitä ollut huhuja ja melua jos jonkinlaista. Koska
ollaan lähdössä Suomeen, toisinaan laivoilla, toisinaan Ruotsin
kautta, koska taas Venäjän rintamalle. Joulun jälkeenkin sen piti
varmasti tapahtua, mutta ei ole mitään koko hankkeesta kuulunut.
Ja kunpa täältä pääsisikin, joskus tahtoo jo kyllästyttää ja aika
tuntua pitkälle. — Sinusta on ehkä kummallista, että joku saattaa
pyrkiä rintamalle, jota siviili-elämässä pidetään niin kauheana
paikkana. Mutta kunhan olet muutaman viikon takonut kivääriä
olkapäähäsi, niin muuttuu kyllä mielesi. Minun käsitykseni näes kun
on sellainen, että saksalainen sotamies kiusataan leiri-elämällä, sen
yksitoikkoisuudella ja tuskallisella pikkutarkkuudella niin uuvuksiin,
että hän tuntee suoranaista iloa päästessään rintaman vapaampiin
oloihin.
* * * * *

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Functional Differential Geometry Gerald Jay Sussman Jack Wisdom

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Functional Differential Geometry Gerald Jay Sussman Jack Wisdom

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 6

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82

Slide 83

Slide 84