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Fundamentos básicos de las matemáticas

1. MATEMÁTICAS FINANCIERAS INGENIERIA ECONOMICA FRANCISCO JAVIER SALAZAR GÓMEZ SIG – MGP – MBA Miembro Capitulo Antioquia PMI - ID 5070677

2. “En camino largo se arreglan las cargas”

3. Conceptos básicos de las Matemáticas Financieras ó Ingeniería Económica en los Negocios Inmobiliarios

4. El negocio real: su crudeza 4

5. Generalmente, las decisiones que se toman son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital . Importancia de la M atemática Financiera – Ingeniería Económica

6. Así las matemáticas financieras implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Son un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas, toda estas decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo , tiempo y tasas de interés . Importancia de la M atemática Financiera – Ingeniería Económica

7. Toma de Decisiones La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la matemática financiera ayudan a la gente a tomar decisiones. Por lo tanto, en un análisis financiero los números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá.

8. A menudo se dice que dinero llama dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero, intrínsecamente esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original. La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo ; éste es el concepto más importante de las matemáticas financieras. “Dinero Llama a Dinero”

9. Generalidades MARCO CONCEPTUAL 1. Valor del dinero en el tiempo: Es uno de los pilares básicos de la ingeniería económica el cual establece que el dinero a través del tiempo debe aumentar de valor debido a un fenómeno económico llamado inflación que hace que el dinero cada vez tenga menor poder adquisitivo o capacidad de compra de B/S; y por esta razón el valor del dinero futuro deberá ser mayor que el valor del dinero del presente, para poder compensar este fenómeno. $1.000.000 hoy ≠ $ 1.000.000 en un año De igual forma, si se realiza un préstamo o inversión: $ 1.000.000 hoy ≠ $1.000.000 en un año M atemática Financiera – Ingeniería Económica

10. Generalidades 2. Principio de Equivalencia: Sumas de dinero diferentes, en momentos distintos del tiempo, tienen el mismo valor económico (Baca,2005), permitiendo asumir una actitud de indiferencia entre $ X hoy y $ Y mañana ( X<Y). Ej. Sí dentro de un año se requiere $ 1.100.000 para lo que hoy se compra con $ 1.000.000 ; entonces se dice que estas dos cantidades de dinero son equivalentes en el tiempo. Inflación = 10% M atemática Financiera – Ingeniería Económica

11. Interés :  Es el rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada (capital), el tiempo de duración del préstamo (plazo) y la tasa de interés aplicada. Tasa de Interés :  Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año. Tiempo :  Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio, la unidad de tiempo es el año. Periodo :  Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.). Capital :  Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente. Monto :  Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el periodo, comúnmente se le denomina valor futuro. Cuota Uniforme - Anualidad :  Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada cierto periodo. Conceptos Básicos

12. Las ecuaciones y procedimientos de las MATEMÁTICAS FINANCIERAS emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra. P (VP/VA) = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN / VAN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC); unidades monetarias F (VF) = valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. también recibe el nombre de valor futuro (VF); unidades monetarias A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE);unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes n = número de periodos de interés; años, meses, días i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento diario t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días. Terminología y símbolos

13. El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés. Tasa de Interés y Tasa de Rendimiento El interés se paga cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene un préstamo) y paga una cantidad mayor. El interés se gana cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

14.   La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de periodo de interés . Por ahora, el periodo de interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año.

15. Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal. “Interés generado = cantidad total actual - cantidad original” El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina tasa de rendimiento (TR). Tasa de rendimiento

16. La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de periodo de interés, el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario. Aunque los valores numéricos de las ecuaciones anteriores son los mismos, el término tasa de interés pagada es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y tasa de retorno ganada es mejor desde la perspectiva del inversionista.  

17. El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del mercado . En palabras sencillas, las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa real de rendimiento más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. La inflación contribuye a que ocurra lo siguiente: La reducción del poder de compra. El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor). El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento. El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas. La reducción en la tasa de retomo real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas. En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y empresarial.

18. La tasa mínima atractiva de retorno es el porcentaje que se usa para hacer las equivalencias entre dinero de diferentes períodos; es la tasa de descuento derivada del costo de oportunidad del dinero; el dinero no debe invertirse en alguna alternativa si no puede tener rendimiento al menos tan grande como la TMAR, puesto que es razonable pensar que existan otras alternativas que si cumplen con esta condición. Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado del capital con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Por lo tanto, la desigualdad TIR ≥ TMAR ≥ costo del capital debe satisfacerse para un proyecto aceptado.

19. Tasa De Interés Nominal Y Efectiva La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva ia ' pero se puede utilizar cualquier periodo como base. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

20. Tasa De Interés Nominal Y Efectiva Periodo de tiempo: es el periodo en el que se expresa el interés. Periodo de capitalización o composición (PC): es la unidad de tiempo más corta durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición*).   Frecuencia de composición: es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t M atemática Financiera – Ingeniería Económica

21. Tasas De Interés Nominal Y Efectiva Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de las finanzas personales. La tasa de interés nominal, “i”, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses.   i  

22. Tasa De Interés Nominal Y Efectiva i = 1.5% mensual x 24 meses = 36% por un periodo de 2 años Mayor que 1 mes = 1.5% mensual x 12 meses = 18% anual capitalizable mensualmente Mayor que 1 mes = 1.5% mensual x 6 meses = 9% semestral mensual Mayor que 1 mes = 1.5% mensual x 3 meses = 4.5% trimestral menaul Mayor que 1 mes = 1.5% mensual x 1 mes = 1.5% mensual Igual a 1 mes Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: año, meses, trimestre, 1 mes, 1 semana, 1 día, etcétera. Por ejemplo, la tasa nominal de i = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:

23. Generalidades 3 . Interés Es el costo del dinero en el mercado financiero. Es el costo que se paga por el uso del dinero durante un período de tiempo determinado. Se representa por “i” (Baca,2005) 4. Tasa de interés Es el interés expresado como porcentaje del capital original en una unidad de tiempo, se representa por i% , de forma que: i% = I / P Depende de: Inflación (f%) Riesgo o tasa de interés real (ir%) i = (1+f )(1+ir) -1 Inversionista i = (1+ DTF )(1+ Spread)-1 Bancos Donde: i(%): Tasa de interés corriente o Nominal f(%): Inflación Ir(%): Tasa de interés constante o real M atemática Financiera – Ingeniería Económica

24. Generalidades Las tasas de Interés de Colocación Son aquellas que aplican para diferentes tipos de créditos y productos que otorgan las diferentes entidades financieras. Dentro de los diferentes créditos se tienen: Créditos de vivienda Créditos de consumo Créditos empresariales Créditos de Tesorería Tasas de captación Son las tasas de interés que las entidades financieras reconocen a los depositantes por la captación de sus recursos. Estas tasas de interés se conocen también como tasas de interés pasivas, porque son depósitos que constituyen una deuda de la entidad financiera con terceros. El Banco de la Republica calcula y publica tasas de interés de captación de certificados de deposito a termino (CDT´s) a diferentes plazos, como el promedio ponderado de las diferentes tasas, de captación generadas por las diferentes entidades vigiladas por superfiinanciera. Margen de Intermediación Es la diferencia entre la tasa de colocación y la tasa de captación de los intermediarios financieros. Tasa que esta afectada por impuestos, encajes, provisiones, entre otros. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

25. Generalidades Tasas de Referencia Son las tasas de interés usadas en un país como mecanismo para regular el mercado de dinero en la economía. El sistema financiero colombiano define sus tasas de interés de acuerdo a las tasas de referencia, más un margen o prima por riesgo llamado “Spread” el cual es la diferencia entre la tasa de colocación y de captación. Tasas de Referencia en Colombia IPC : Índice de precios al consumidor DANE IPP : Índice de precios al productor DANE DTF : Deposito a Término Fijo Banco de la República TBS : Tasa básica de la Superintendencia Financiera Superfinanciera TIB : Tasa Interbancaria Banco de la República IBR : Indicador Bancario de Referencia Banco de la República Tasa de intervención del BR. Banco de la República Tasa de Usura Superfinanciera M atemática Financiera – Ingeniería Económica

26. Interés simple Los términos interés , periodo de interés y tasa de interés son útiles en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro . Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto se toman importantes. El interés simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera: Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés) “Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal”

27. Monto Simple:  El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses al capital, es decir: F = P+I  F = P + Pnr = P (1 + nr )  donde: F = Monto Simple P = Capital n = Plazo r = Tasa Nominal Interés simple Problema:  Calcular el monto de un capital de $189,000 , con una tasa de interés de 20% simple anual en un tiempo de 11 meses. Solución: P = $ 189, 000 r = 20% Anual n = 11 meses = 11/12 F = P(1+nr) = 189, 000 [1+(11/12)(0.20)] F = $ 223, 650.00

28. En el caso del interés compuesto , el interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores . Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera: Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés) Interés compuesto

29. El valor futuro se obtiene por la capitalización de intereses el cual es el proceso por el que el interés generado, pasa a formar parte del capital, incrementando con ello el capital inicial. El concepto de capitalización, por lo tanto, lleva implícito el manejo de interés compuesto, es decir, F = donde: F = Valor Futuro (Monto) P = Valor Presente (Capital) i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazo ó : factor de crecimiento.   Interés Compuesto

30. Problema :  Calcular el valor futuro a interés compuesto de 10 años de un capital de $7500 a la tasa de 10% anual capitalizado trimestralmente. Solución: P = $7, 500 i = 10% Anual cap /trimestre = 10,4% anual n= 10 años F = = 7500 F=$ 20172.14   M atemática Financiera – Ingeniería Económica

31. Una consideración económica adicional para cualquier estudio de la matemática financiera es la inflación . Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de la inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor de una moneda determinada. Inflación M atemática Financiera – Ingeniería Económica

32. Generalidades 5. Tiempo Es el plazo de duración de la operación financiera y se representa por “n” . A mayor tiempo mayor será el interés o costo financiero que se pagara por el préstamo. 6. Capital inicial Es la cantidad inicial de dinero que se presta o invierte en una operación financiera y se representa por “ P “, También se llama valor presente, valor actual o principal. 7. Capital Final Es la acumulación del capital inicial más los intereses generados en períodos anteriores y se representa por “ F “, también se llama valor futuro o “Monto”, esta dado por: F = P + i M atemática Financiera – Ingeniería Económica

33. Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de flujos de efectivo . Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa. Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de financiero. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de sensibilidad. Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo y servicios computacionales. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

34. Flujo de efectivo neto = ingresos - desembolso = entradas de efectivo - salidas de efectivo Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis. Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas M atemática Financiera – Ingeniería Económica

35. El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. No es mas que una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. La dirección de las flechas del diagrama de flujo de efectivo resulta importante. Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de efectivo positivo . Por el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo . Flujo de Efectivos: Estimación y Diagramas

36. Generalidades 8. Diagrama de Flujo de caja Es la representación de ingresos y egresos ubicados en momentos diferentes del tiempo. Está compuesto de tres elementos: una línea horizontal que representa el tiempo y muestra las fechas o períodos de tiempo, flechas hacia arriba que simbolizan ingresos y flechas hacia abajo que significa egresos. Entradas de Dinero Salidas de Dinero 1 2 3 4 n-1 n INVERSIÓN tiempo Diagrama de Flujo del proyecto 1 2 3 4 n Pagos Préstamo M atemática Financiera – Ingeniería Económica

37. Generalidades Tipo de Interés Existen dos tipos de interés Interés simple Interés compuesto Interés Simple Es aquel interés que se liquida sobre la misma base (préstamo o inversión), el interés de un período no genera intereses en los períodos siguientes, es decir no hay capitalización de intereses. Interés Compuesto Es aquel en el que se liquida sobre saldos o montos adeudados (capital + intereses), el interés en un período genera intereses en los períodos siguientes, esto es capitalización o inversión de intereses. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

38. Generalidades Interés Simple: Se calcula mediante la siguiente expresión: Interés (I) = P * i * n En donde: I P i(%) n : : : : Intereses Totales Capital Inicial Tasa de interés simple Número de períodos La cantidad total (F) disponible al final de “n” períodos, será: F = Capital + Intereses F = P (1+ i * n) Valor Futuro M atemática Financiera – Ingeniería Económica

39. Generalidades Interés Compuesto: Es aquel en el que se liquida sobre saldos o montos adeudados (capital + intereses), el interés en un período genera intereses en los períodos siguientes, esto es capitalización o inversión de intereses. En donde: i% = I/P => Interés (I) = P * i I P i% Intereses Capital inicial Tasa de interés compuesta La cantidad total (F) adeudada al final de “n” períodos será: F = Capital + Intereses F = P (1+i ) n Valor Futuro P = F (1+i )n Valor presente M atemática Financiera – Ingeniería Económica

40. Generalidades Ejemplo: Se recibe un préstamo de $ 25 millones a tres meses de un banco que cobra una tasa de interés del 1,5%. Calcular los intereses y el valor final adeudado al final de cada mes a interés Simple e interés compuesto. INTERES SIMPLE INTERES COMPUESTO MES CAPITAL INICIAL INTERESES CAPITAL FINAL 1 2 3 25.000.000 25.000.000 25.000.000 375.000 375.000 375.000 25.375.000 25.750.000 26.125.000 MES CAPITAL INICIAL INTERESES CAPITAL FINAL 1 2 3 25.000.000 25.375.000 25.755.625 375.000 380.625 386.334 25.375.000 25.755.625 26.141.959 M atemática Financiera – Ingeniería Económica

41. Generalidades TASAS DE INTERES Las tasas de interés en Colombia pueden ser efectivas, nominales, vencidas y anticipadas. Veamos cada una: Tasa Efectiva: Es aquella que se da para el periodo de interés, tiene en cuenta la reinversión o capitalización de intereses y se representa por “ i ”. Su periodicidad puede ser mensual, trimestral, anual o cualquier otra que se quiera. La forma de expresarlas consiste en agregarle al final la letra “E” de efectivo y la inicial del período de interés. Sin embargo en Colombia le dan el nombre de tasa periódica a la tasa del período y sólo reconocen como tasa efectiva aquella que se da para todo el año. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

42. Generalidades TASAS DE INTERES EJEMPLOS: Si el período es mensual y la tasa para ese período es del 1% 1% E.M (efectivo mensual o periódica mensual) Si el período es trimestral y la tasa para ese período es del 2,5% 2,5% E.T (efectivo trimestral o periódica trimestral) Si el período es semestral y la tasa para ese período es del 5% 5% E.S (efectivo semestral o periódica semestral) Si el período es anual y la tasa para ese período es del 9% 9% E.A (efectivo anual o efectiva) La tasa efectiva anual representa el costo de una financiación o el rendimiento de una inversión en el año M atemática Financiera – Ingeniería Económica

43. Generalidades TASAS DE INTERES Ejemplo: Se solicita un préstamo de 20 millones de pesos para pagarlo al final de un año, a una tasa de interés del 1,3% mensual, capitalizando los intereses cada mes, ¿cuál fue el costo financiero de este préstamo? P = $ 20.000.000 i = 1,3% mensual n = 12 meses F = ? P = 20.000.000 I = 1,3% 1 2 F = ? Al final del plazo el monto será F = P (1+ i) n = 20.000.000 (1+ 0,013) 12 = 23.353.035,53 M atemática Financiera – Ingeniería Económica

44. Generalidades TASAS DE INTERES Luego el costo financiero de este préstamo estaría representado por la tasa efectiva anual. La cual se obtiene de la fórmula: i% = i P = F - P P = 23.353.035,53 -20.000.000 20.000.000 = 16,77% E.A Esto significa un costo financiero equivalente al 16,77% EA; en otras palabras por cada 100 pesos de dinero prestado, se están pagando 16,77 pesos de interés. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

45. Generalidades TASAS DE INTERES Tasa Nominal: Es aquella que se da para todo el año y lleva expresado el período de capitalización de los intereses en el año, se representa por “j” . Resulta de multiplicar la tasa de interés del período por el número de períodos de capitalización que hay en un año. En donde: i % J % m Tasa nominal Tasa efectiva Número de períodos de capitalización que hay en un año El cálculo de la tasa nominal ignora el concepto de valor del dinero en el tiempo ya que es una tasa de interés simple. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

46. Generalidades TASAS DE INTERES EJEMPLOS: Partiendo de una tasa del 1% E.M, la tasa nominal equivale a: J = 1% *12 = 12% CM . (12% capitalizable mensualmente) Partiendo de una tasa del 2,5% E.T, la tasa nominal equivale a: J = 2,5% *4 = 10% CT . (10% capitalizable trimestralmente) Partiendo de una tasa del 5,5% E.S, la tasa nominal equivale a: J = 5,5% *2 = 11% CS . (11% capitalizable semestralmente) Partiendo de una tasa del 9 % E.A, la tasa nominal equivale a: J = 9% *1 = 9% CA . (9% capitalizable anualmente) Del último cálculo, se deduce que la tasa de interés efectiva es igual a la nominal, cuando el período de interés es un año. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

47. Generalidades TASAS DE INTERES En algunas ocasiones la tasa nominal, puede aparecer con las siguientes siglas: En cualquiera de estos casos se esta hablando de una tasa del 12% para el año y dentro del año se capitalizan los intereses en forma mensual y vencida. Si en la formula J = i * m, se despeja i%, la tasa de interés nominal queda relacionada con la tasa efectiva mediante la siguiente fórmula: i = J / m J = 12% C.M ( 12% capitalizable mensualmente) J = 12% N.M ( 12% nominal mensual ) J = 12% N.M.V ( 12% nominal mes vencido) J = 12% A.M.V ( 12% anual mes vencido ) M atemática Financiera – Ingeniería Económica

48. Generalidades TASAS DE INTERES Ejemplo: Dada una tasa de interés del 28% C.T calcular la tasa efectiva del período de interés. Como el período de interés es trimestral, luego la tasa que se pide es efectiva trimestral i% El 28% C.T. es una tasa nominal, es decir se cobra el 28% para todo el año y se capitalizan trimestralmente los intereses. Aplicando la fórmula: i = 28% 4 = 7% E.T Ya que en un año hay 4 trimestres M atemática Financiera – Ingeniería Económica

49. Generalidades EQUIVALENCIA TASAS DE INTERES Tasas equivalentes son aquellas que teniendo diferente efectividad producen el mismo monto o valor futuro al final de un año (Baca Currea, 2005) Para demostrar este concepto partamos del préstamo del ejemplo anterior: P = $ 20.000.000 i = 1,3% mensual n = 12 meses F = ? F = P (1+ i) n = 20.000.000 (1+ 0,013) 12 = 23.353.035,53 En este préstamo se capitalizan los intereses cada mes, si en vez de capitalizarlos mensualmente se capitalizaran semestralmente de tal forma que el resultado fuera el mismo al final del año, se tendría lo siguiente: P = $ 20.000.000 i = ? n = 2 meses 20.000.000 (1+ 0,013) 12 = 20.000.000 (1+ i ) 2 = 23.353.035,53 Despejando i% , se obtiene i = 8,06% E.S Por lo tanto puede afirmarse que es equivalente una tasa del 1,3% E.M. a una tasa del 8,06% E.S M atemática Financiera – Ingeniería Económica

50. Generalidades EQUIVALENCIA TASAS DE INTERES La prueba de la equivalencia de estas dos tasas de interés, se puede realizar calculando el valor futuro de un monto inicial cualquiera, al cabo de un período de tiempo especifico. Ejemplo: P = $ 5.000.000 i = 1,3% E.M n = 5 años F = ? F = P (1+ i) n = 5.000.000 (1+ 0,013) 60 = 10.852.673,21 Y también: P = $ 5.000.000 i = 8,06% E.S n = 5 años F = P (1+ i) n = 5.000.000 (1+ 0,0806 ) 10 = 10.852.673,21 De este modo se puede concluir que estas dos tasas son equivalentes. F = ? M atemática Financiera – Ingeniería Económica

51. Generalidades EQUIVALENCIA TASAS DE INTERES Por último, para obtener la fórmula general de equivalencia de tasas efectivas, partimos del ejercicio anterior. 5.000.000 (1+ 0,013) 60 = 5.000.000 (1+ i ) 10 Se cancela el monto inicial a ambos lados de la igualdad, (1+ 0,013) 60 (1+ i ) 10 = Y se finaliza con la siguiente expresión (1+ i 1 ) m1 (1+ i 2 ) m2 = Donde: i 1 i 2 m 1 m 2 Tasa efectiva conocida Tasa efectiva desconocida Número de periodos de capitalización que hay en 1 año para i 1 % Número de periodos de capitalización que hay en 1 año para i 2 % M atemática Financiera – Ingeniería Económica

52. Generalidades EQUIVALENCIA TASAS DE INTERES Ejercicios: Dada una tasa del 3,5% E.T.; calcular una tasa efectiva anual equivalente. Dada una tasa del 6.5% E.S; calcular una tasa efectiva mensual equivalente. Dada una tasa del 1,3% E.M; calcular una tasa nominal bimestre vencido que sea equivalente. Dado una tasa del 14% A.S.V; calcular una tasa nominal trimestre vencido que sea equivalente. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

53. Generalidades TASAS VENCIDAS Y ANTICIPADAS Las tasas de interés además pueden ser vencidas o anticipadas. Las vencidas son aquellas que resultan de liquidar intereses al final del período y se representa por “ i%” ; por su parte las anticipadas aparecen cuando los intereses se liquidan al comienzo del período y se representan por “ia%” Para explicar estas tasas veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Se recibe un préstamo de $ 100 por espacio de un año y se acuerda pagar $ 10 pesos de intereses. El esquema de pago en forma vencida y anticipada sería el siguiente: M atemática Financiera – Ingeniería Económica

54. Generalidades TASAS VENCIDAS Y ANTICIPADAS En forma Vencida i % =? 1 año i = $10 P = $ 100 P = $ 100 En este esquema, el pago de intereses vencidos da lugar a una tasa de interés efectiva y vencida. i % = I P = $10 $ 100 = 10% E.A En forma Anticipada P = $ 100 ia % =? i = $10 P = $ 100 En este esquema, el pago de intereses vencidos da lugar a una tasa de interés efectiva y anticipada. El costo efectivo se calcula así. i % = I P* = $10 ( $ 100 - $10 ) = 11,1% E.A M atemática Financiera – Ingeniería Económica

55. Generalidades TASAS VENCIDAS Y ANTICIPADAS A partir de la relación existente entre la tasa vencida i% y la tasa anticipada ia%, establecemos las dos siguientes formulas o “relaciones “ entre ambas tasas. i = ia ( 1 - ia ) Tasa efectiva vencida ia = i ( 1 + i ) Tasa efectiva anticipada M atemática Financiera – Ingeniería Económica

56. Generalidades TASAS VENCIDAS Y ANTICIPADAS Cuando definimos el concepto de tasa nominal, se tuvo en cuenta que estas se calculaban a partir de la tasa efectiva, es decir con liquidación de intereses vencidos. J = i * m Tasa nominal vencida De la misma forma también existen las tasas nominales anticipadas: Representadas por “Ja%” , calculadas a partir de tasa efectiva anticipada, con intereses anticipados, esto es: Ja = ia * m Tasa nominal anticipada Despejando: ia = Ja m M atemática Financiera – Ingeniería Económica

57. Generalidades TASAS VENCIDAS Y ANTICIPADAS Ejercicios: 1. Dada una tasa del 18% N.T.A (nominal trimestre anticipado), calcular una tasa nominal semestre vencido equivalente. 2. Dada una tasa del 12% A.S.V (anual semestre vencido), calcular una tasa nominal bimestre anticipado que sea equivalente. 3. Dada una tasa del 13% N37d.v (nominal 37días vencidos)calcular una tasa nominal 45 días anticipados que sea equivalente. (Base = 1 año = 365 días). 4. Dada una tasa del 6% S.T.V. (semestral trimestre vencido), calcular una tasa efectiva semestral equivalente. 5. Dada una tasa del 14% E.A, calcular una tasa efectiva trianual equivalente. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

58. Un empleado solicita un préstamo de $10,000 el de mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada. Solución Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10,700 pagan un préstamo. Interés = $10,700 - $10,000 = $700 Tasa porcentual de interés == $700 x 100% == 7% anual M atemática Financiera – Ingeniería Económica

59. Pagos Únicos Debido a que la mayoría de operaciones financieras en Colombia se realizan a interés compuesto, de aquí en adelante, sólo se utilizara este tipo de interés a lo largo del texto. Definición Un pago único representa un solo “flujo” o valor ubicado en cualquier momento del tiempo en el diagrama de flujo de caja. 2 1 3 4 5 6 n Pago único M atemática Financiera – Ingeniería Económica

60. Es la cantidad que se debe invertir ahora para producir el valor futuro, el cual se puede calcular a partir de la formula P = F/ donde: P = Valor Presente F = Valor Futuro i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazo : factor de crecimiento El plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo. (La base: la unidad de medida es el periodo de capitalización).   Valor presente (capital)

61. El factor fundamental en la matemática financiera es el que determina la cantidad de dinero que se acumula después de años (o periodos), a partir de un valor único presente con interés compuesto una vez por año (o por periodo). “Nota: interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés” Factores de Pago Único (F/P y P/F)

62. Pagos Únicos 1. PAGOS ÚNICO ( Relaciona P y F) Ejercicios: 1. Se adquiere una máquina financiada y se pacta cubrir en tres pagos de $ 6.500.000, 8.500.000 y 11.500.00 en los meses 6,12 y 18 respectivamente. Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla tasas de interés sobre saldos del 1,5% mensual para los 6 primeros meses y del 4,8% trimestral de allí en adelante. 2. ¿En cuántos años se triplicara una inversión realizada hoy con una rentabilidad del 26% anual pagadera al vencimiento? 3. A que tasa de rentabilidad se cuadriplicaría una inversión al cabo de 5 años? 4. Un Negociante de bienes raíces necesita pagar una deuda de $ 30 millones dentro de 28 meses. Con tal fin, invierte en dos fondos de inversión A y B, con igual suma de dinero en cada uno. Si en el fondo A le pagan el 14% A.S.A y en el B el 16% N.90 d.v. ; base anual 365 días, hallar la suma de dinero con que debe abrir cada fondo para que al final del plazo, reuniendo los dos saldos en los fondos, el negociante tenga la suma deseada para pagar la deuda. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

63. Equilibrio Financiero En cualquier punto del diagrama del flujo de caja se cumple el siguiente principio financiero ∑ Ingresos = ∑ Egresos Lo cual es similar a, ∑ Flechas hacia arriba = Flechas hacia abajo Esta igualdad no es otra cosa que la evidencia el principio de Equivalencia. En este sentido, el equilibrio financiero significa que todos los flujos (ingresos y egresos) deben ser trasladados a un mismo punto, el cual se escoge como punto de referencia. El traslado de Flujos se hace teniendo en cuenta los factores y fórmulas de equivalencia vistos hasta el momento. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

64. Equilibrio Financiero Ejercicios 1. Una obligación está constituida por 3 parares de la siguiente forma: $ 15.000.000, $ 18.000.000 y $ 20.000.000 en los meses 5, 12, y 18 respectivamente. Se desea sustituirla por un solo pagaré para dentro de nueve meses con una tasa de interés del 16% N.M.V, para el primer año y del 20,4% N.M.V de ahí en adelante. 2. Se recibe un préstamo por 110 millones a cinco años y una tasa de interés del 20% anual para cancelarlo con tres pagos únicos así : $X, $ 2X y $ X/2 en los años 1, 3 y 5 respectivamente. Hallar el valor de cada pago. Al cabo del segundo año se desea cancelar la deuda con un sólo pago, ¿Qué valor tendrá éste? M atemática Financiera – Ingeniería Económica

65. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

66. Series Fijas Una Serie es un conjunto de pagos o rentas con ciertas características y de gran aplicación en la ingeniería económica Las mas comunes son: Series fijas o anualidades Series variables o Gradientes Las series fijas o anualidades son un conjunto de pagos periódicos los cuales usan una misma tasa de interés i% y el número de pagos es igual al número de períodos. El termino periódicos significa que el espaciamiento entre pagos es el mismo el cual puede ser mensual, trimestral, anual etc. TIPOS DE ANUALIDADES Pueden ser: Vencidas Anticipadas Diferidas Perpetuas M atemática Financiera – Ingeniería Económica

67. Series Fijas Las Anualidades vencidas son aquellas que tienen sus pagos ubicados al final de cada periodo. Las Anticipadas son por su parte tienen sus pagos al comienzo del período Las Anualidades diferidas son aquellas son aquellas en las cuales los pagos están ubicados cierto tiempo después del primer periodo, dando lugar a períodos de gracia. Anualidades perpetuas son aquellas conformada por un gran número de pagos , consideradas como series infinitas. En la practica no se presentan dado que ningún banco va a prestarle dinero a una persona exigiendo que le pague toda la vida las cuotas, sin embargo estas series son muy utilizadas en el calculo del “ costo de capital” M atemática Financiera – Ingeniería Económica

68. Series Fijas TIEMPO: (n) En una anualidad el número de pagos es igual al número de períodos. El espacio de tiempo es contado a partir del “ Punto Cero” n = Plazo. Una anualidad tiene dos valores, un valor presente (P) y un valor futuro (F) , ubicados al comienzo y final de la serie respectivamente . FACTORES DE EQUIVALENCIA Valor presente de una anualidad. Valor futuro de una anualidad. Anualidad de un valor presente. Anualidad de un valor futuro M atemática Financiera – Ingeniería Económica

69. Series Fijas ANUALIDAD ANTICIPADA Es una serie fija que tiene sus pagos ubicados al comienzo de cada periodo. a) VALOR PRESENTE Para hallar el valor presente de una anualidad anticipada se, convierte la serie en una anualidad vencida agregándole un periodo al comienzo. P F I % 1 2 3 4 5 6 7 …….. n-1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A M atemática Financiera – Ingeniería Económica

70. Series Fijas ANUALIDAD ANTICIPADA A continuación se calcula el valor presente de la serie en el punto -1, aplicando la formula del valor presente de la anualidad vencida ya demostrada anteriormente . P F I % 1 2 3 4 5 6 7 …….. n-1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A -1 En este caso el número de períodos es contado a partir de -1 hasta n-1 , en total habría n periodos y n pagos. n M atemática Financiera – Ingeniería Económica

71. FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN El factor de fondo de amortización de una serie uniforme es el reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme: FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperación de capital.

72. Series Fijas Entonces: P - 1 = A ( 1 + i ) - 1 n i * Una vez calculado el valor presente P - 1 , se lleva a valor Futuro en el punto cero como un pago único usando la formula, F = P ( 1 + i ) n De acuerdo con esto; P = P- 1 ( 1 + i ) 1 Reemplazando P- 1 en la expresión anterior P = A ( 1 + i ) n - 1 i * * ( 1 + i ) 1 Luego puede decirse que el valor presente de una anualidad anticipada es igual al valor presente de la anualidad vencida multiplicando por el factor ( 1+ i ) 1 M atemática Financiera – Ingeniería Económica

73. Series Fijas b) VALOR FUTURO Para hallar el valor futuro de una anualidad anticipada, se realiza igual procedimiento al realizado en el punto anterior. F n - 1 = A ( 1 + i ) n - 1 i ( 1 + i ) 1 Se calcula el valor futuro en el período n - 1 Y luego este valor se lleva a valor futuro en el período n Entonces F = P F n = F n - 1 Reemplando F n - 1 En la formula , F = A ( 1 + i ) n - 1 i * ( 1 + i ) 1 M atemática Financiera – Ingeniería Económica

74. Series Fijas P = A ( 1 + i ) - 1 n i * Para encontrar la anualidad, solo basta despejar A de la fórmula de valor presente de una anualidad anticipada, demostrada anteriormente. A ( 1 + i ) n * i * ( 1 + i ) 1 = ( ) P ( 1 + i ) 1 c) ANUALIDAD DE UN VALOR PRESENTE - 1 M atemática Financiera – Ingeniería Económica

75. Series Fijas d) ANUALIDAD DE UN VALOR FUTURO El cálculo de la anualidad anticipada dado un valor futuro, se halla despejando A de la fórmula de F ( 1 + i ) 1 F = A ( 1 + i ) n - 1 i * ( 1 + i ) 1 Entonces = ( ) F A i 1 + i ( ) n - 1 * M atemática Financiera – Ingeniería Económica

76. Series Fijas ANUALIDAD DIFERIDA Esta serie fija tiene sus pagos ubicados cierto número de períodos después de recibido el préstamo, permitiendo la creación de periodos de gracia, en los cuales no hay pagos ni cuotas pero si hay capitalización de intereses, lo que genera un aumento del saldo al final de este período. DIAGRAMA DE FLUJO P 1 2 3 X X+1 X+2 n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A El período que va de (0 – x) es un periodo de gracia en el cual no hay pagos ni cuotas; de x en adelante los pagos son una anualidad vencida en el espacio de tiempo n - x i% M atemática Financiera – Ingeniería Económica

77. Series Fijas a) VALOR PRESENTE El valor presente de una anualidad diferida, conocida la anualidad A , el plazo n y la tasa de interés i% , se calcula así Se halla el valor presente en el punto X P x = P = A ( 1 + i ) n - x - 1 i * Luego este valor P x se traslada a valor presente en “ Cero” A (P/A, i%, n – x ) n - x P = P x (P/F, i%, x ) P = P x ( ) x M atemática Financiera – Ingeniería Económica

78. Series Fijas b) VALOR FUTURO De igual forma el calculo del valor futuro de una anualidad diferida, consiste en trasladar al punto n las cuotas F n = F n = A ( 1 + i ) n - x - 1 i A (F/A, i%, n – x ) F x = P (F/P, i%, x ) = P x c) ANUALIDAD DE UN VALOR PRESENTE Para calcular el valor de la anualidad diferida dado el valor presente P, la tasa de interés i% y el número de pagos n - x Luego se halla A dado P A = P x 1 + i ( ) n - x i * 1 + i ( ) n - x 1 - Se traslada P al valor futuro en x M atemática Financiera – Ingeniería Económica

79. Series Fijas d) ANUALIDAD DE UN VALOR FUTURO El valor de la anualidad diferida conocido el valor futuro F , el plazo n –x y la tasa de interés i% , se calcula utilizando la fórmula de anualidad vencida de un valor futuro. A = F ( 1 + i ) n - x - 1 i M atemática Financiera – Ingeniería Económica

80. Series Fijas ANUALIDAD PERPETUA Es una serie fija que presenta una gran cantidad de pagos, de tal forma que n tiende al infinito. P F i% 1 2 3 4 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - n ∞ - - - - - - - En una anualidad infinita o perpetua solo existe el valor presente , ya que el valor futuro tiende al infinito P = A i Si en la expresión anterior se pasa a multiplicar la tasa de interés al otro lado de la igualdad se llega a : P * i = A M atemática Financiera – Ingeniería Económica

81. Series Fijas ANUALIDAD PERPETUA Pero como : I = P * i Se puede concluir que el valor del pago o cuota en una anualidad perpetua es igual solo a los intereses y no habría pago de capital , lo cual no es cierto desde le punto de vista práctico, ya que ningún banco estaría dispuesto a desembolsar un crédito a una persona con la condición de que ésta le pague toda la vida las cuotas representadas solo en intereses. M atemática Financiera – Ingeniería Económica

82. Series Variables La series variables o gradientes son un conjunto de pagos periódicos que varían una cantidad G o un porcentaje j%, ambos constantes, los cuales son una misma tasa de interés i%, y el número de pagos es igual al número de períodos. Ejemplos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 2 3 1 - - - - - n 100 150 200 250 1 2 3 4 - - - - - n 100 120 144 172,8 En el primer caso, se tiene un gradiente con G = 50 ; en el segundo un gradiente con j = 20% M atemática Financiera – Ingeniería Económica

83. Series Variables Es un sistema de pagos o cuotas que varían una cantidad constante G , puede ser creciente o decreciente. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 2 3 1 n A1 A2 A3 A4 - - - - - GRADIENTE ARITMETICO GRADIENTE CRECIENTE ARITMÈTICO G G G G G G A n VALOR DE LOS PAGOS A 1 = 1 pago A 2 = A1 + G A 3 = A2 + G = ( A1+ G) + G = A1 + 2G A 4 = A3 + G = (A1 + 2G ) + G = A1 + 3G An = An -1 + G = (A1 + (n – 2)G + G = A1 + ( n – 1) G => An = A1 + ( n – 1) G ( valor del pago n – èsimo) M atemática Financiera – Ingeniería Económica

84. Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo. El símbolo G para los gradientes se define como: G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo. Factores de Gradiente Aritmético (P/G y AG)

85. Grandes verdades sobre el desarrollo de los negocios y los proyectos

86. Plazo es plazo!!! No establezca plazos muy audaces

87. No toda presentación será un éxito

88. La estructura jerárquica tradicional sólo perjudica

89. Preste atención a las señales del mercado

90. Escoja atributos significativos para su cliente Cual es el mio?

91. Lo que sirve para un cliente puede no servir para el próximo

92. Nada puede parar la automatización EDAD DE PIEDRA EDAD DE BRONCE EDAD DE HIERRO EDAD MEDIA EDAD MODERNA EDAD INFORMÁTICA

93. Busque soluciones eficientes YÁ ME BAÑE MM... FUISTE RÁPIDO.

94. Sea Innovador Aproveche las oportunidades

95. Escoja la herramienta más adecuada Atrasado Borracho Perfume barato

96. Las soluciones técnicas no siempre pueden ser implantadas Mas yo sigo sin entender a las mujeres.

97. La ayuda on-line puede ser útil Enfermera , entre a internet, vaya a www.cirurgia.com y cliquee en el ícono “Que hacer cuando usted está totalmente perdido”.

98. Pero no crea en todo lo que ve en internet Lo bueno de Internet es que nadie sabe que eres un cachorro...

99. La experiencia en simulaciones puede ser de utilidad Alguien aqui sabe jugar Flight Simulator de Microsoft?

100. Previsión y realización No siempre salen como lo planeado Come on! It can‘t go wrong every time... Vamos, no podemos fallar en todas...

101. El uso de soluciones tecnológicas es inevitable…..

102. Pero se debe considerar las dificultades de las personas Pucha, Windows se colgo de nuevo y que están esperando? Vayan a ayudarlo a dar Ctrl Alt Del

103. Y no reniegue del entrenamiento de los usuarios Accesso negado OK ... ahora vas a hacer exactamente lo que yo te digo, si no?

104. Acostúmbrese a trabajar bajo presión

105. Crea en usted mismo…. Tenga confianza

106. Luche, vaya hasta el

107. SEMINARIO MATEMÁTICA FINANCIERA