Gabarito pa

1. LISTA DE EXERCÍCIOS – PROGRESSÕES ARITMÉTICAS - GABARITO
1) Complete cada seqüência de números e coloque um “X” se representam progressões aritméticas.
a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ( ) b) -5, -6, -7, -8, -9, -10 ( X ) c) 10, 13, 17, 22, 28 ( )
Solução. A letra (b) é a única opção onde a diferença entre cada termo é constante: r = -1.
2) Uma seqüência numérica é determinada segunda a lei an = n
2
+ 1. Exiba os sete primeiros termos dessa
seqüência e avalie se representa uma progressão aritmética e nesse caso calcule a razão.
Solução. Calculando os valores de an para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, temos:
a1 = (1)
2
+ 1 = 2; a2 = (2)
2
+1 = 5; a3 = (3)
2
+ 1 = 10; a5 = (5)
2
+ 1 = 26;
a6 = (6)
2
+ 1= 37; a7 = (7)
2
+ 1 = 50
A seqüência an = 2, 5, 10, 26, 37, 50 não possui a mesma diferença entre os termos. Não é uma
progressão aritmética.
3) Uma progressão aritmética de razão 4 possui cinco termos. Se o último termo vale 1000, qual o primeiro
termo?
Solução. O termos geral de uma P.A. é an = a1 + (n – 1)r. Pelos dados a1 = ?; n = 5; r = 4 e a5 = 100
Substituindo os valores, temos:
9841610001610004).15(1000
111 =-=Þ+=Þ-+= aaa
4) Em cada item os três números estão em progressão aritmética. Encontre o termo desconhecido.
a) _____, 23, 37 b) 5, ______, 15 c)
Solução. Numa progressão aritmética cada termo é a média aritmética entre o sucessor e antecessor.
Para cada caso, temos:
a) 93746
2
37
23
1
1
=-=Þ
+
= a
a
b) 10
2
155
2 =
+
=a c)
3
17
6
34
2
3
34
2
3
32
3
2
2 ===
+
=a
5) O termo geral de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula an = a1 + (n – 1)r.
a) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13º termo:
Solução. Pela fórmula, temos:
.136132511).12(511).113(5
13 =+=+=-+=a
b) Dados a5 = 100 e r = 10 calcule o primeiro termo:
Solução. Utilizando a fórmula do termo geral, podemos escrever a5 = a1 + 4r. Substituindo, vem:
.6040100)10)(4(100
11 =-=Þ+= aa
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br

2. c) Sendo a7 = 21 e a9 = 27 calcule o valor da razão:
Solução. O nono termo de uma progressão aritmética é encontrado a partir do sétimo pela adição duas
vezes seguidas da razão. Isto é: a9 = a7 + 2r. Logo, .3
2
2127
))(2(2127 =
-
=Þ+= rr
d) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada
pelo elemento -13 é:
Solução. O valor procurado na progressão é o que indica o número de termos. Isto é an = -13.
Substituindo na fórmula, temos:
.7
6
636
36662313)6)(1()6)(1(2313 =
-
--
=Þ-=+-Þ--=--Þ--+=- nnnn
O elemento -13 ocupa a sétima posição.
e) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética entre os termos, temos:
3
2
23225
2
)3()2(
1 =Þ=Þ+=Þ
+
=+ xxxx
xx
x . A seqüência é: ÷
ø
ö
ç
è
æ
= 2,
3
5
,
3
4
na e
3
1
=r.
f) Qual o milésimo número ímpar positivo?
Solução. Números ímpares são seqüências de razão 2 com primeiro elemento igual a 1. O último termo
ocupa a posição n = 1000. Substituindo na fórmula temos:
.19992).999(1)2)(11000(1
110001000
=+=Þ-+= aa
g) Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96, ... , 22)?
Solução. Observa-se que a P.A. é decrescente ( r < 0). A razão vale (98 – 100 = - 2).
.40
2
80
27827822
10022)2)(1()2)(1(10022
=
-
-
=Þ--=-Þ-=+-Þ
-=--Þ--+=
nnn
nn
Logo há 40 termos.
h) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Solução. Escrevendo a5 = a1 + 4r e a20 = a1 + 19r é possível construir um sistema da seguinte forma:
.2
15
30
3015
1960
430
1960
)1(430
1
1
1
1
==Þ=Þ
î
í
ì
+=
--=-
Þ
î
í
ì
+=
-®+=
rr
ra
ra
ra
xra
O termo a1 = 30 – 4(2) = 22.
6) A soma dos termos de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula
2
).(
1
naa
S
n
n
+
= .
a) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A.: ( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro
termo, para que a soma seja negativa?
Solução. Como há várias variáveis vamos dividir a reposta em etapas:
a) Razão: .
5
2
5
75
5
7
1 -=
-
=-=r Progressão aritmética decrescente.

3. b) Expressão de an: .
5
2
5
9
5
2
5
2
5
7
5
2
)1(
5
7 n
a
n
ana
nnn -=Þ+-=Þ÷
ø
ö
ç
è
æ
--+=
c) Expressão da soma: b) Expressão de an:
.
5
)8(
10
216
2
.
5
2
5
9
5
7
2
nnnn
n
n
S
n
-
=
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
=
Para que Sn seja negativa basta que o numerador da fração seja negativo. Como n representa o
número de termos tem que ser positivo. Logo para que n(8 – n) seja negativo, basta que 8 – n < 0 o que
significa que n > 8. O número mínimo determos deve ser 9.
b) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x
2
- 5 e estão em P.A. nesta ordem.
Calcule o perímetro do triângulo.
Solução. Aplicando a propriedade da média aritmética, temos:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=
-
=
=
+
=
Þ
±
=
+±
=
---±--
=
=--Þ-+=Þ
-++
=
2
2
53
4
2
53
2
253
2
1693
)1(2
)4)(1(4)3()3(
04344
2
)5()1(
2
2
12
22
2
x
x
x
xxxxx
xx
x

O valor x = -2 deve ser ignorado, pois implicaria que o lado (2x) valeria (-2). Logo x = 4. Os lados
portanto medem: 5, 8 e 13. O perímetro vale 5 + 8 + 13 = 24.
c) Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é
igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Solução. Escrevendo a3 = a1 + 2r; a7 = a1 + 6r; a4 = a1 + 3r e a9 = a1 + 8r, montamos o sistema:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=
-
=
==
Þ=Þ
î
í
ì
+=
--=-
Þ
î
í
ì
+++=
-®+++=
25
2
)10(1160
10
3
30
303
11260
8230
)8()3(60
)1()6()2(30
1
1
1
11
11
a
r
r
ra
ra
rara
xrara
O centésimo termo será:
.96599025)10)(1100(25
1100100
=+-=Þ-+-= aa