Geometria analitica

1. GEOMETRIA ANALITICA LA PARABOLA LA RECTA LA ELIPSE LA CIRCUNFERENCIA MARIANO MELGAR PROFESORA :CARRION NIN ALUMNO: Jefferson Pastor Alvarez Morales GRADO 5 “B” AREA: MATEMATICA 2012

2. INTRODUCCIÓN Se conoce como  geometría analítica  al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Descartes le dio impulso a la geometría analítica. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo  f(x, y) = 0 , donde  f  representa una  función  u otro tipo de expresión matemática.

3. Ecuaciones de la recta en el plano Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante. La ecuación general de la recta es de la forma: cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B. Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma:

4. Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos: Rectas oblicuas. Rectas horizontales. Rectas verticales.

5. Tómese sobre la recta los puntos P 1 (x 1 , y 1 ),P 2  (x 2 , y 2 ) y P 3  (x 3,  y 3 ). Al proyectar los puntos P 1, P 2  y P 3  sobre el eje x, se obtienen los puntos P’ 1 , P’ 2 , P’ 3 . Como los triángulos OP 1 P’ 1 , OP 2 P’ 2  y OP 3 P’ 3  son semejantes; se tiene que: Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y ) sobre l , ó  y = mx (1)    

6. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación  con el eje x (fig. 4.6.) Fig. 4.6

7. Trácese por el origen la recta  l’  paralela a  l . Sea P(x, y) un punto de  l . Al  llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta  l’  en un punto P’’ de coordenadas   P’’(x, Y), Y   y .  Como P’’ (x, Y) está sobre  l’ , entonces , de donde  Y = mx Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y)  l , y = mx + b = (tan )x + b La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente  m  y su intercepto  b  con el eje y .

8. Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida Considere la recta  l  que pasa por un punto dado P 1 (x 1 , y 1 ) y cuya pendiente m también es conocida.  Al llamar b al intercepto de la recta  l  con el eje  y , entonces la ecuación de  l , viene dada por:                 y = mx + b       (1) Como P 1 (x 1 , y 1 )  l , entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:                  y 1  = mx 1  + b     (2)

9. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y Considere una recta  l  de la que se conocen m (m = tan  ) y b (ver fig. 4.7.)  fig. 4.7.

10. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) Sea  l  la recta que pasa por los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) y llámese m 1  su pendiente .  Como  l  pasa por el punto P 1 (x 1 , y 1 ) y tiene pendiente m 1 , se tiene de acuerdo a 4.4.3, que                             y – y 1  = m 1  (x – x1)    (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P 2 (x 2 , y 2 )  l , entonces satisface su ecuación.

11. LAECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los P( x,y ) que equidista de un punto fijo C llamado (centro). d(P,C)= cte = Radio Sea P( x,y ) un punto cualquiera verificando d (P,C)= r, siendo r el radio de C( )el centro. De fórmula de la distancia de 2 puntos se tiene.  

12. LA CIRCUNFERENCIA Esta representa la ecuación de la circunferencia fuera del origen. La circunferencia que tiene centro en el origen esta dada por:  

13. LA CIRCUNFERENCIA Luego el centro es C(2,3) y el radio r=5. Ejercicios: Hallar el centro y el radio de las circunferencias.  

14. LA CIRCUNFERENCIA Escribir la ecuación de las cirunferencias De centro C(1,1) y radio r=3 De centro C (0, 0) y radio r=2 Recta Tangente a una circunferencia Si desde un punto P( x,y ) trazamos una recta t, será tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro de la recta coincida con el radio.

15. LA CIRCUNFERENCIA La recta es tangente si: d( C,t )=radio La recta se llama exterior si: d( C,r )>radio La recta se llama secante si: d( C,s )< radio la intersecan dos puntos A y B.

16. LA CIRCUNFERENCIA - ejercicios Comprobar que la recta s= , es tangente a la circunferencia: Distancia entre un punto y una recta. D( C;s )= D( C;s )=    

17. Ecuación reducida de la circunferencia Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a: Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2 . Dada la circunferencia de ecuación x 2  + y 2  - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

18. La Parábola Una parábola es el lugar geométrico de los P( x,y ) que equidistan de una recta fija δ (directriz)y de un punto fijo F (foco).  

19. Ecuación reducida de una parábola. La ecuación reducida de una parábola cuando el foco esta en el eje Ox y Directriz δ =x=- corresponde a:  

20. Ecuación de la Parábola fuera del origen Si trasladamos una parábola al vértice V( u,v ) su ecuación es:  

21. LA ELIPSE Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P ( x,y ), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante. Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.

22. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE. La Ecuación de una Elipse cuando los focos están situados en el eje Ox y =2a corresponde a: a corresponde al semieje mayor. B corresponde al semieje menor. Focos (c,0)F’(-c,0) Vértices A, A’, B, B’ En el gráfico se tiene: BF=a OB=b OF=c Luego por pitágoras  

23. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.

24. Elipse - ejemplos Halla el eje mayor, el eje menor, los vértices y los focos de la Elipse. Eje mayor 2a=2*5=10 Eje menor 2b= 2*4=8 Vértices A(5,0), A’(-5,0), B(0,4)y B’(0,-4) Los focos. Como c= Los focos son F(3,0) F’(-3,0) Hallar los ejes mayor, los vértices, los focos y la excentricidad de la elipse.  

25. Elipse - excentricidad Llamamos excentricidad de una elipse al cociente entre la distancia focal y el eje real.  

26. Elipse - excentricidad Mide el grado de achatamiento de la elipse:

27. Elipse – cambio de centro La ecuación de la Elipse cuando el centro esta fuera del origen viene definida por O( u,v ) así: