Geometria by Esencial.pdf

Geometria by Esencial

1. I*>( in Uiihpo k\ juiol

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11 8 ú i í Ü¡
Segmentos y ángulos
Lectura de motivación
13
Introducción al estudio de la
geometría
14
Segmento
17
Ángulo
19
Posiciones relativas de dos rectas
en el plano
24
Angulos formados por dos rectas
paralelas y una secante a ellas 25
Resolvemos juntos 30
Piactiquemos lo aprendido 43
Triángulos
Lectura de motivación 49
Concepto 50
Regiones determinadas por el triángulo 51
Tipos de ángulos del triángulo 52
Teoremas fundamentales 52
Teoremas adicionales 59
Clasificación 63
Resolvemos juntos 69
Practiquemos lo aprendido 81
Líneas notables
Lectura de motivación 87
Concepto 88
Tipos
88
Teoremas sobre ángulos formados
por bisectrices
99
Resolvemos juntos 104
Practiquemos lo aprendido 120
Congruencia de triángulos
Lectura de motivación 127
Concepto
128
Casos para identificar triángulos
congruentes
130
Triángulos rectángulos congruentes 135
Aplicaciones de la congruencia 138
Situaciones frecuentes de triángulos
congruentes 146
Resolvemos juntos 149
Practiquemos lo aprendido 162
. i tilos n
Lectura de motivación 171
Concepto 172
Triángulos rectángulos notables
exactos 172
Triángulos rectángulos notables
aproximados 178
Otros triángulos rectángulos notables
aproximados 183
Caso particular 183
Resolvemos juntos 187
Practiquemos lo aprendido 205
^ elígenos
Lectura de motivación 211
Concepto 212
Nombres especiales de algunos
polígonos 214
Clasificación 214
Propiedades fundamentales del
polígono 216
Propiedades de un polígono regular 221
Número de diagonales del polígono
de n lados 222
Número de diagonales medias del
polígono de n lados 223
Resolvemos juntos 228
Practiquemos lo aprendido 243
Cuadrilátero
Lectura de motivación 249
Concepto 250

3. Teorema de la suma de medidas
angulares interiores 250
Clasificación de cuadriláteros
convexos
251
Resolvemos juntos 263
Practiquemos lo aprendido 276
Circunferencia
Lectura de motivación 281
Concepto 282
Elementos asociados 282
Medidas de la circunferencia 283
Ángulos asociados 283
Teoremas 286
Teoremas adicionales 294
Posiciones relativas entre dos
circunferencias 295
Resolvemos juntos 302
Practiquemos lo aprendido 320
P u n to s n o ta b le s
Lectura de motivación 327
Concepto 328
Baricentro 328
Ortocentr© 330
fncentro
332
Excentro 336
Círcuneentro
339
Resolvem os junto s
346
Practiquem os lo aprendido
360
P ro p o rc io n a lid a d y se m e ja n za
Lectura de motivación
367
Co ncep to
368
Razón de segm entos
368
Teorem a de Thales
369
Sem ejanza de polígonos
375
Resolvemos juntos 387
Practiquemos lo aprendido 407
Relaciones métricas
Lectura de motivación 415
Relaciones métricas en la
circunferencia 416
Proyección ortogonal 418
Relaciones métricas en el triángulo
rectángulo 419
Relaciones métricas en el triángulo
oblicuángulo 423
Resolvemos juntos 434
Practiquemos lo aprendido 452
* ¡4ress de regiones planas
Lectura de motivación 459
Región plana 460
Área (A) 460
Áreas de regiones triangulares 461
Relación de áreas de regiones
triangulares 465
Áreas de reglones cuadrangulares 468
Relación de áreas de regiones
cuadrangulares 473
Áreas de regiones circulares 477
Resolvemos juntos 484
Practiquemos lo aprendido 502
Geometría analítica
Lectura de motivación 511
Concepto 512
Recta numérica 512
Plano cartesiano 512
Distancia entre dos puntos 516
Coordenadas de un punto que
divide a un segmento en una
razón dada 517

4. Coordenadas del punto medio
de un segmento 518
Coordenadas del baricentro de
un triángulo 520
Área de una región triangular (ZZV) 520
Recta 524
Ecuación de la recta 528
Resolvemos juntos 533
Practiquemos lo aprendido 547
Geometría del espacio I
Lectura de motivación 557
Concepto 558
Posiciones relativas entre dos planos 558
Posiciones relativas entre una recta
y un plano 559
Posiciones relativas entre dos rectas 559
Recta perpendicular a un plano 560
Teorema de las tres perpendiculares 561
Proyección ortogonal de un punto
y un segmento sobre un plano 562
Ángulo diedro 563
Prisma recto 566
Prisma regular 569
Cilindro 571
Resolvemos juntos 578
Practiquemos lo aprendido 593
Geometría del espacio íi
Lectura de motivación 505
Pirámide 506
Cono 510
Esfera 514
Semiesfera 516
Poliedros regulares 617
Resolvemos juntos 526
Practiquemos lo aprendido 643
Glosario 653
Bibliografía 655

5. ; J? ' • ■ ••• • :
;v* ■

6. Este es el Estadio N acional, su construcción se realizó gracias
a los conocim ientos aprendidos (de m anera práctica o m e­
diante los libros) por los albañiles, técnicos de construcción,
diseñadores e ingenieros; todo ellos trabajando en equipo
edificaron esta gran obra de ingeniería en Lima.
En la im agen se aprecian los ángulos entre las luces y la can ­
cha deportiva, de acuerdo a su m edida dependerá la ilum i­
nación del estadio para un partido de fútbol. Por ejem plo,
en pequeños cam pos de entrenam iento se recom ienda las
siguientes m edidas:
• Conocer los elem entos fundam entales de la planim etría.
• Conocer y diferenciar las clases de ángulos.
• Usar las principales operaciones de las longitudes de seg­
mentos y de las medidas de los ángulos en la resolución de
problemas.
: .. . . ,:C: : : . j?
Los elementos geométricos estudiados en esta primera par­
te servirán com o base para el estudio de las dem ás figuras
geom étricas en los capítulos posteriores, pues ellos nos ayu­
darán a relacionar las teorías estudiadas en el triángulo, en el
cuadrilátero y en la circunferencia.

7. S e g m e n t o s v á n g u l o s
!. INTRODUCCIÓN Al ESTUDIO DE K A
Euclídes inicia la sistematización
de los conocimientos de la geo­
metría, es oor ello aue es consi-
1.1. Reseña histórica
La palabra geometría significa medida de la tierra {geo=t\erra y
m efrón=m edida), pues se originó con la necesidad de delim itar
espacios sobre la superficie terrestre.
Precisam ente en Egipto, cada vez que el río Nilo se desbordaba
no se lograban ver las señales que limitaban los terrenos de
sem brío, las cuales estaban distribuidas en las orillas del Nilo
en terrenos rectangulares iguales, pero cuando estos se inun­
daban, el rey egipcio Sesostris mandaba a los agrim ensores
(tensores de cuerda) para verificar y medir el espacio de tierra
que habría disminuido, para que así se le bajara el precio de los
im puestos respectivos.
Muchos años después la geometría fue llevada a Grecia por
Thales (625-547 a .n .e.) después que estuvo algunos años por
Egipto. Aunque no hay referencias de sus escritos, existen m u­
chas historias de él. Una de las más conocidas es la que explica
que halló un método para calcular la altura de la gran pirám i­
de de Keops, construida en torno a! año 2600 a .n .e . Así como
tam bién se le atribuye el hecho de que el diámetro siem pre
divide al círculo por la mitad, o la observación-de que, en un
triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales
también son iguales, que para su época eran grandes avances
en el área de la matemática. Se puso en marcha el estilo de
pensar de las matemáticas modernas, de ir del modo métrico a
la abstracción del triángulo y círculo.
Posteriormente a Thales, el conocimiento griego fue desarrolla­
do por Pitágoras, Hipócrates de Quios, Eudoxo de Cnido, y otros.
Así como se desarrollaron conocimientos geométricos en
Egipto y Grecia, también otras culturas hicieron aportes im ­
portantes. La cultura babilónica, descubriendo que la relación
numérica entre la longitud de una circunferencia y su diámetro
es 3 y estableciendo reglas para el cálculo de áreas y volúm e­
nes. Los aportes de la cultura china escritas en tiras de bambú,
en la cual contiene el Gougu, una versión china del teorema de
Pitágoras y la aproximación de 7t=3,1415926 obtenida con el
uso de polígonos regulares inscritos en un círculo.
Todo ese conocimiento, vertido por dichas culturas y otras,
logró ser sistematizado por Euclides (300 a.n .e) con un razo­
namiento deductivo publicado en sus famosos 13 libros cono­
cidos como Elementos, que tratan sobre el estudio de la teoría
de números, del álgebra griega y de la geometría elemental.

8. 1.2. Fig u ras g e o m é trica s
Es el conjunto de puntos que adoptan una
forma determinada.
Ejemplos
1.3. Partes de la geometría
Dividirem os el estudio de las figuras geom étri­
cas en tres partes.
1.3.1. G eo m etría plana (p lanim etría)
Estudia las figuras geom étricas form adas por
puntos que pertenecen a un mismo plano.
Ejemplos
cuadrilátero
1.3.2. G eom etría del espacio (estereom étria)
Estudia las figuras geométricas formadas por
puntos que pertenecen a planos distintos.
Ejemplos
pirámide
•Jrs
v-
13.3. Geometría analítico
Se denomina así porque relaciona a la geome­
tría con el álgebra, de tal manera que las figuras
geométricas son estudiadas mediante ecuacio­
nes lineales o cuadráticas.
Ejemplos
elipse
En esta primera parte estudiaremos la geome­
tría plana.

9. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Por dos puntos, A y 8, se puede
trazar una línea recta r.
Todo segmento >48 puede pro­
longarse en una recta r.
Nuestro entorno está rodeado
de figuras geométricas. En la
imagen podemos ver objetos
en forma de líneas secantes, lí­
neas paralelas, ángulos, triángu­
los, planos paralelos y prismas.
1,4. Elem e n to s g eo m étrico s fun d am én talo :.
Estos elementos son el punto, la recta y el plano, muy impor­
tantes en el estudio de la geometría. En esta ocasión, los repre­
sentaremos con dibujos.
La recta es como la línea
más delgada que se pueda
dibujar, manteniendo una
misma dirección.
Fíanos IP y ©
La marca más pequeña que
se pueda dibujar sobre una
hoja de papel nos dará una
idea de lo que es un punto
en geom etría.
El corte más delgado posi­
ble que se pueda obtener
nos dará una idea del plano
en geometría.
Rayo
Es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta
al ser cortada en cualquier punto.
j '
............ O O
rayo OA\ O A
rayo 08: 08

10. 2. SEGMENTO
Es una parte de la recta lim itada por dos puntos, denom inados
extrem os.
¿Cómo ubicat_el punto medio
del segmento AB?
Notación
• segm entos de extrem os A y B: AB
• longitud de AB: AB o ú
Para calcular la longitud de un segmento utilizamos la regla
g rad uad a.
uada' ,•
, "%r*-
2 1. Pun•:o med'o tío i# >■ - c ■'' 1 '"
Es aquel punto de un segm ento que determina dos segmentos
de igual longitud.
Del gráfico, M es punto medio de AB, porque
C ,0
Todo segmento tiene un único punto medio.
1. Con centro en A y radio ma­
yor que la mitad de AB. se
traza un arco.
2. Con centro en B y el mismo
radio, se traza otro arco, lo­
grando P y Q.
3. Con la regia, trazamos la
recta PQ, intersecando a AB
en su punto medio M.
(

11. COLECCIÓN ESENCIAL
22 Operaciones con las longitudes de los
segmentos
2.2.1. A d ició n
Se cum ple
A.; . *
»
De manera práctica lo realizaremos así:
2{AB)=3{BQ A B -3ky BC-2k
AC-o+b
2.2.2. Sustracción
i
---------—
Ap lic a c ió n 7
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A N, M y B, tal que M es punto medio de AB,
MN=2yAN+BM=8. Calcule MB.
Re s o l u c ió n
Se cumple
L
AB-a-b i
;?«■ . -i*
2.3. Razones de longitudes de segm ento *^.//>
Sean A, B ,C y D puntos colineales.
Caso 1
A. é N
Del dato ' ‘ A
m+b m= $ 0
, ; :Ad~2+o=8
%€ , 2 q ^ f *
Ó *. . > - a = Á v
^ Y
f %
Igualamos a una constante k, entonces se tendrá
BC
2 3
á l = — =k AB=2k
BC=3k
2k
A
Caso 2
2 2(AB)= U/c ;
Aplicación 2
En una recta se ubican los puntos consecutivos A,
5 y C, tal que 5(AB)=7{BQ y AC-2A. Calcule AS.
Resolución
7/í
Del dato
5(A5)=7(eq
-> AB=7k y BC=5k
Del gráfico
7k+Sk=2A
k-2

12. Capítulo i s&gg
'.T> :
3. A N G U LO
Es la figura geom étrica form ada por dos rayos que tienen el
m ism o origen y que no son colineales.
A >1
Elem entos
* lados: OA, OB
- vértice: O
X a
O
---
B
N o tació n
• ángulo AOB de vértice O: <AOB
• m edida del <AOB: m cA O B o a
donde
i x<\
Ó. V '
El número a .indica cuántas veces el ángulo
AOB contiene el ángulo unitario (1o).
Para calcular la medida del ángulo utilizamos el transportador.
¿P tp ^ • rr ef>. 0%
Í ?v0o . - "<Lf. .*>
§
fi R-3I A iC A i- x \ Y 6 ^ 3
• A ■> '/A\V X fc' -*3
■ ■ ■ t ¿Mil r
...... /
1
r , • v «•/:
Transportador
¿Cómo trazar la bisectriz del án­
gulo mostrado?
1. Con centro en A trazamos
un arco PQ.
( - A ’
2. Con centros en P y Q, y ra­
dios iguales entre sí, traza­
mos dos arcos que se inter­
secan en el punto M.
\ i
--VM
A K I
/— 4 p — . i
3. El rayo AM es la bisectriz del
ángulo pedido.
P;/
^ ' l s\
A V
K
___

13. : 3.1. Regiones determinurPís ooijn anquí
curiSode'.
La bisectriz nos permite ubicar
el lugar del lanzador en un cam­
po de béisbol. El campo es un
ángulo que se representa por
dos líneas blancas, se ubica la
bisectriz de esta y el rayo que
representa la bisectriz ubica a
18,4 m del área del home el área
del lanzador.
Vrt
l l I P i
K o o lvid e
Denotarem os el ángulo recto de
la siguiente forma:
r
/Kegién \
! interior ¡
i \*dQ:0! I >
exterior /
• La región interior es el conjunto de puntos del plano que
no están en el ángulo, pero sí están dentro del ángulo.
• La región exterior es el conjunto de puntos del plano que
no están en el ángulo ni en su región interior.
3, A. üisec tí i z di: im anqUio
Es aquel rayo ccuyo origen es el vértice de un ángulo y esta
ubicado en su región interior, este rayo divide al ángulo en dos
ángulos de igual medida.
v*'" /.■
,, %
• %
/
/
i /
Del gráfico
% i" OP es bisectriz del <AOB.
,r(\ - Porque.^
3.3, Clasificación ue los ángulos
3,3.1. Según : ; m edida a gul ir
Es aquel ángulo que Es aquel ángulo que Es aquel ángulo que
mide entre 0o y 90°. m¡de90°. mide entre 90» y 180«
/
/ '
/
Á l
</
La.
\. o
_1

14. 33.2. Según ¡a posición de sus lados
a. Ángulos adyacentes
Son dos ángulos copianares que tienen un m ismo vértice y un
lado com ún, tal que sus interiores son disjuntos.
Los ángulos AOB y BOC son
adyacentes.
f . \ ¿ L V
i . V M jp / K
Á
fI ?#*>.. \ áÉF ¿P ¡F. s||. ?!
r
^ •
í? • jM&üP' y:
%. M í S p E i *
» «si*
a
* - y p
• 'v.jtiy
. r J' .
\ ' :
f & '/ i/i í-,/
>> I
¡¡T %&? &
b. Ángulos c o n se c u tiv o ^ ^ / > £¥*
Son tres o más ángulos que tienen un mismo vértice y que al
ser tom ados de 2 en 2 son ángulos adyacentes.
Los ángulos AOB, BOC,
COD y DOE son conse­
cutivos.
a b scrtvad ó i»
v - (I l 0 t t’>
En e! gráfico
<A'OB y <BOA forman un par
lineal.
I . / • . .
Entonces
Del gráfico
• > - U
P i ; —’,-
Y _y
/ 0
se cumple .
¡ ¡ / p ? 0
v.

15. COLECCIÓN ESENCIAL
IÍÉm M • .» 'X-
Lumbreras Editores
c. Ángulos opuestos por el vértice
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice
en donde los lados de uno de ellos son los ra­
yos opuestos del otro.
O'
Se cumple
vértice.
'o--
I
K %4fe Mm' Mi
■
W Jíjfá#
%
as jy
: t J r ;
3 3 3 .Según la suma de suam edS»»'¿gsr
’ \
a. Ángulos complementarios*^ ^
Son dos ángulos que sumados miden 90°. %
Ejemplos
b, Angulos suplementarios
Son dos ángulos que sumados miden 180°.
9 ■»
\ Y
A 9
Los ángulos AOB y MQN son suplementarios,
porque a+0=18O°.
S(ct):. suplemento del ángulo de medida a
w ^ ■
i i
•r-.V'
§
%
---r--—----
%"% # / v
É ^ ü 4
o
%
% P
X
w
/V
Los ángulos A05 y MQN son complementa­
rios, porque a+P=90°.
OhWrt'VacíéH
C|a): complemento del ángulo de medida a
r . -90°- ex
1. Calculamos los siguientes complementos:
* C(21o)=90°-21o=69°
* C(2x)=90o- 2 x
. C(49D)=9 0o - 49°=410
* C(30O)=90°-30° =60°
2. Calculamos los siguientes suplementos:
• S(45O)=180o-45o=135°
• S(3p)=180o-3 p
• S(130.)=180°-130o=50°
• S(95.,=180o- 9 5° =85°

16. Capítulo i Segmentos y ángulos
Aplicación 3
Si OIW es bisectriz, calcule x.
a\ M /
i x /
O
—•
--fy.
Resolución
Como OM es bisectriz, entonces
3x=60°
x=20°
Aplicación 4
Del gráfico, calcule p.
V
/ %
i \
.$ .j;,. W « f JÉ*., 1
J i
> y
Resolución
Sabemos que
2p+7P=180°
9^=180°
/. (3=20°
Aplicación 5
Del gráfico, calcule x.
■V V
jt
Resolución
Sabemos que
x+50°+3x=90°
4x=40°
• x=10°
Aplicación 6
Si OP es bisectriz del <AOB, calcule (3.
\ • -
\ /
\
o \ '
\. / \ A >
______£.___- V t - J____
n
Resolu ció n
Sabemos que^
(3+70°+70°=180°
•p+140o=¿j80°
% >’ . $ h
Aplicación 7
El complemento de un ángulo aumentado en
40° es igual a la medida de dicho ángulo. Halle
la medida del ángulo.
Resolución
Sea a la medida del ángulo pedido.
A
No ohflde
El complemento del ángulo a es
90°-a.
Del enunciado
C^)+40o=a
90°-a+40°=a
130°=2a
/. a=65°

17. COLECCIÓN ESENCIAL
_____U&S8£?'«Í'
Lumbreras Editores
JgSOBH i1-
i- -
1 • K(Lí "
Las rectas perpendiculares son
dos rectas secantes que deter-
minan ángulos rectos.
. . . . . . :
La recta es perpendicular a la
j recta &z y la denotaremos así:
l 3 , l 3 z .
C u ld ád o l:
1 : significa perpendicular
f //: significa paralelos
4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PI ANO
D os rectas en el plano adoptan solo dos posiciones: secantes
o paralelas.
4.1. Rectas secantes
Son dos rectas que tienen un solo punto en com ún.
La recta es paralela a la recta y la denotaremos así:
S1/ / S2.
4 .3 . Postulado de Playfair
Dados una recta y un punto exterior a ella, se puede trazar una
única recta paralela a dicha recta que pase por dicho punto.
•-
111
P
• -
rn

18. Capítulo 1
5. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RHí
PARALELAS Y UNA SECANTE A ELLAS
5.1. Ángulos correspondientes ■
m
X
Si m//n, entonces
til cu
Si m//n, entonces
Ejemplos
1. Del gráfico
<~ii
se cumple
x= 70°
2. Del gráfico
i-r
se cumple
Bx=123°
• x=41°
se cumple
5a=165°
a=33°

19. Ángutc ■ juga o
j£¿z
____
Si m//n entonces
a--M-)—180c
Ejemplos
1. Del gráfico
y—9—t
§ ww
se cumple ^+110o^180° i
I |
a x = ?0 ° \ %
2. Del gráfico
'#- Xl
\ f J
se cumple
A P=1
5 4. Teoremas
T e o re m a 1
. m i : . ;
i
m
T '
X
I! *~
Si m//n, entonces
< / + >
Ejemplos
1. Del gráfico
XV
se cumple
x*30°+25°
/. x^55°
2, Del gráfico
ii
..... //.
.11
sé cumple
2x=42°
' /,,’r X l 4 °
eorema
IT!
J 0
3 >
SI m//n, entonces
< r> . i
*
----- —
”1
fí :
i
|V f IH
1
V 1
Lo suma de ángulos ubicados a la izquierda es
Igual a la suma de los ángulos ubicados a la
derecha.

20. Ejemplos
1. Del gráfico
Si m//n, entonces
! -:¡ i ji + o-i iü - ;
. !
Ejemplos
1. Del gráfico
se cumple
20o+70°=x+50°
90°=x+50°
x=40°
2. Del gráfico
r y
• ^ V
' \
- x ' a<K* %
é m jb ' 1
^ j K m S k . .<?'
•'•• •.•''• i'’-. , A - - > V ’ #
k. * A W / :
— : •
< H o ^
•*
se cum ple
a+25o=40°+30°+15c
a+25°=85°
se cumple ,
; 5 0 °+ ^ 7 0 °= 1 8 0 °
" # 4 2 S b=i8o°
: I '%x¡0'
% Jr :''Y * * 0 = 6 0 °
/ S í * * X / '
# V
%
%v%
-% w *
%
2. Del gráfico
a=60°
Teorema 3
m f'
\ o
/ ■J
■/V :
. ,
_______________
se cumple
x+3x+3x+2x=180°
9x=180°
.\ x=20°
/ .

21. Construyam os un periscopio
En esta actividad aprenderemos a construir un periscopio simple, que nos servirá para ver un objeto
situado por encima de un obstáculo que impide la visión directa, gracias al sistema de espejos colocados
paralelamente en su interior.
Instrucciones
Paso 1. Para hacer el cuerpo del periscopio, necesitarás armar un
prisma. Consigue un pliego de cartón de 42 cm de largo por 42 cm
de ancho. Marca con el lápiz las líneas por donde hay que doblar el
cartón para formar las cuatro caras: Recorta las ventanas y las ranu­
ras como se muestran en el esquema, y pega la aleta internamente
contra el otro borde. ' ' . •
Insertar
los espejos
fe*
i;-'- ■
4 5 °
■I-
: 4 5 D
f e í
, • f ' . . .
I
■
. 4 . * .. 1 ■
r
■ ' & - ; ■ > '• i- ív - 4
'V ' . ' j¡¿fe-. '•
- X » . • • ,
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ÍC 'V - . -
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; l ■
4 5 °
OLA
—Ù L L -
--
• s
, V,v- ' i
* 0 "
Paso 2. Ahora necesitas dos espejos pequeños, de unos
12 cm de largo y 6 cm de ancho, si no están pulidos en
í-í 1 " /' r . .
sus bordes o son trozos irregulares, es conveniente cu­
brir su contorno con cintas adhesivas.
Reverso
del espejo
Paso 3. Luego, introduce los espejos en las ranuras que tiene el cuerpo <
del periscopio. La idea es que queden sostenidos; pero si los espejos son
un poco cortos, pégalos con cinta adhesiva por fuera.
Ahora ¡a jugar con el periscopio!

22. SEGMENTOS Y ÁNGULOS i
Capítulo 1

23. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.' 1
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A> B, C y D; tal que AC=BD, BC=8 y AD=18.
Calcule AC.
A) 11
D) 14
Resolución
Nos piden x.
B) .12 C) 13
E) 15
Ä
-—
--
O
\ j ■ 1 ■" j> 4^/ ^
' í ; ' iI
-----------
1 x ~N..
gráfico
, p _______________1
|
---- o-
---1—
w
-----
A D #
A
1
----------
18
---------------
x-8+x=18
2x=26
x=13
Clave
P ro b le m a N.' 2
En una recta se ubican los puntos consecuti-
vos A, B, C i D; tal que AB+CD=14 y ¿D=21.
Calcule BC.
A) 6
D) 9
B) 7
C) 8
E) 10
Resolución
Nos piden x.
Dato: m+n=14
Del gráfico
x=7
Clave
P r o b le n ^ y ,’ 2-
A partir del gráfico, calcule x. Considere que
2{BQ=S{AB) y BC-AB=9.
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
Resolución
Nos piden x.
:a
-----h
5 o
Dato:
BC-AB=9

24. r SEGMENTOS Y ÁNGULOS” !
■ . . ■
__J
~~r
x-q + b
Sustracción
i
-------a--------i
i— x —i— b — i
A Q B
x=a - b
Razón
Sea m{AB)=n{BC)
i— nk —t- mk -\
A B C
Ángulos
B
O
6
Notación
Ángulo AOB: <AOB
Medida <AOB: m<AOB
Según su medida
< agudo << recto < obtuso
e
i 0 < 90° J f e = 9CP' •;
L
e >
90°
Según la posición de sus lados
< adyacentes < consecutivos < opuestos
por el vértice
\ V * 'v |
P 0 Y P a o
Kt? \ A o
*=P
= 0+0 x= y + p + e a = 0
Según la suma de sus medidas
< complementarios < suplementarios
0+0 = 90° 0+P = 180°
-i P

25. Ángulos entre dos rectas
paralelas y una recta secante
< correspondientes
a
< alternos
a
P
//
a = p
< conjugados
ii
Teoremas
i
x+y+z = 0+j3
B + (3=180°
cx+0+f3+(J)=18Oo

26. Capítulo i
Segmentos y ángulos
Entonces
5a-2a=9
3o=9
o=3
Luego
x=
= 7 ®
x=21
j C/ove
Problema NC 4
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, M y C. Si M es punto medio deA C , >45=12 .
y BC=20, calcule BM.
A) 3
D) 6
R e so lu ció n
Nos piden x.
B) 4 C) 5
E) 7
- 16
—
16
20
A
B M
i— >c — i
C
Del gráfico
x+12=16
x=4
Clave
Problema NC 5
En una recta se ubican los puntos consecuti­
vos A,B,C y D, de modo que AB+CD=2(BQ y
AC+ CD = 27. Calcule BC.
A) 7
D) 12
B) 9 Q 11
E) 13
Stesolutfótt
Nos piden x.
Datos:
« AB+'CD-2{BC) a + b=2x
& tí y ' :>
• AC+CD=27
1/6, *
o+x+ó=27
3x=27
x=9
C/ove
Problema M. G
_______________________________
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, M, B y C, de modo que A M -M C y A B -B C -36.
Calcule BM.
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22

27. Resolución
Nos piden x.
X — I—
lvi
Dato: Aß-ßC=36
Entonces
m+x-(m-x)=36
ip+x-j/h+x=36
2x=36
x=18
Clave
P ro b le m a N.* 7
4,/
¿M&P*
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C, D y E, de manera que AB=BC,
CD=2(D£) y AB+AE=4S. Halle AD.
Entonces
a+2o-i-3¿>=45
3o+36=45
o+6=15
Luego
x=2o+26
x= 2(o+ 6)
x=30
Clave
Problem a N .” 0
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, M, By N, además AM=BN. Si MN=12, calcule
la longitud del segmento que une los puntos
medios de BM y AM.
A) 26
B) 30
C) 33
D) 39
E) 42
Resolución
Nos piden x.
H
A
o
---1— ■ a — i ----- i — i— > —i
~~r o E
fí
Dato:
AB+AE=45
A) 5
D) 8
Resolución
Nos piden x.
B) 6 C) 7
E) 9
A /’ ■M
H
En M/V: 2o+2¿>=12
o+6=6
Luego
x=o+6
x=6
C/ove

28. Problema N.‘ 9
En una recta se ubican los puntos consecuti­
vos A, B y C. Si M es punto medio de BC y
AB2+AC2=26, calcule AM2 + BM2.
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Resolución
Nos piden a2+b2. ,y'
A
a - b
----1----b —-h—- V ' ------1 ■
_ a
----- -X— '“a —
*W r
B M%
Dato:
AB2+AC2=26
(o -b )2+(o + b)2= 26
$ NO OLVIDE
| Una de las identidades de Legendre es
f {a+b)z + {a-b)2=2(a2+b2)
Obtenemos
2Ía2+bz)=26
o2 + ó2=13
* C/cJve
Problema N.* ID
En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D. Si (AQ2=(A5)(AD) y £C=4, calcule
J_ _L
AC + CD
» !
» 5
1 1
Nos piden — + —
x y
Dato:
(AQ Z=(AB)(AD)
Entonces
x 2=(x-4)(x+y)
X2 = x2 - 4x + xy - 4y
4x+4y=xy
4(x+y)=xy
x + y _ 1
xy 4
1 1 = 1
x y 4
C) -
2
E) 1
* Clave

29. W BKBÈ
■
■ ■■ , '
r ■■■■■, '• r . "
.
P ro b le m a N .‘ i l
A partir del gráfico, calcule x.
x / ^
Afa
\
A) 140°
D) 160°
Resolución
Nos piden x.
B) 150° C) 155°
E) 170°
':'R-
jÉ & „\
'i X * - ' - r . y
/ Y R - t
. O .-n%
w
ííe s o iu d ñ n
Nos piden x.
£ \
M
/
\ p ; p
o
Dato:
m<AOi3=1260
Entonces
2a+2(3=126°
a +(3=63°
Se observa que
1L
Del gráfico
x+20°=180°
x=160°
4tév • ft
. \ ' X = 6
'fi 3
.&& % . ■
v+
v^seswrr / '
x= a+ P
>W
$iv m
Probiema N.* 12
______________________________
Sean los ángulos consecutivos AOM y MOB.
Halle el ángulo formado por sus bisectrices si
m<AOiB=1260.
A) 60°
B) 61°
C) 62°
D) 63°
E) 64°
Clave
Problema U.' 13
Los ángulos AOB y BOC forman un par lineal
y sus medidas se diferencian en 70°. Halle
m< BOC.
A) 25°
D) 55°
Resolución
Nos piden |3.
B) 35° C) 45°
E) 65°
p a r lin e a l

30. Capítulo i
Dato:
a - p = 7 0 °
Por par lineal: a+ p= 180°
De (I) y (II) se obtiene
a+ p = 1 8 0°
a - p = 7 0 °
0 + 2p=110°
P=55°
(I)
OD
■ Clave
Problema N .'14
Se tiene los ángulos adyacentes A OS y BOC,
tal que m < AO S= m < BOCA- 54°.;t|Calcule la
m edida del ángulo formado pofiel OB y la bi­
sectriz del <AOC. \ X X i
A) 21°
D) 24°
R e so lu c ió n
Nos piden x.
B) 22° C) 23°
E) 27°
bisectriz
C 1 del <AOC i
'[« + 27°'
X « + 27°
Dato:
m < A O S =rrv<fíOC+54°
—» m < A O S = a+ 5 4 °
í¿ 1
De los gráficos se obtiene en el <POC
+ i).y
/
i . /
|(/+ 27/
1/
x + X = jd + 27°
x=27°
Clave
Problem a 1S
Calcule x si OB y OC son bisectrices de los án­
gulos AOC y AOD, respectivamente.
u
m
\
\
*
E o
A) 29°
D) 32°
B) 30° C) 31°
E) 33°

31. Datos:
De (I) y (II)
* 0 8 : bisectriz del < A O C
• O C : bisectriz del <AOD
Del gráfico se obtiene por par lineal
4x+52°=180°
-> 4x=128°
x=32°
Clave
Problema
______________
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD. Luego se trazan las bisectrices OX del
<AOB y OY del < C O D . Si m <AOC=30° y
rrK X O V ^ SO 0, halle m<BOD.
A) 50° B) 60° C) 70°
D) 80° E) 90° '
Resolución 7
Nos piden m<8OD=20+(3.
Datos:
. m -l.4O C=30o -> 2a+(3=30° (I)
. m<XOr=50° -> a+(i+0=5O°
y
2a+2P+20=1OO° (II)
2a+2p+20=100°
2a+P=30° 4
O+p+20=7O°
De la operación anterior
(3+20=m <BOD
m<BOD=70°
Clave
El suplemento de un ángulo disminuido en 50°
es igual a doce veces la medida de dicho án­
gulo. Halle su medida,
•■■■ A) 10° B) 15°
D) 25°
Resolución
Sea x la medida del ángulo pedido.
NO OLVIDE
\ Suplemento del ángulo x=SM
Del enunciado
S( í ,-5 0 °= 1 2 x
Hallamos el valor de x.
180°“ X-50°=12x
130°=13x
x=10°
i Clave i
C) 20°
E) 30°

32. Problema M" 18 , ro:
Sea p la m edida de un ángulo, tal que el su­
plem ento del com plem ento de p y el com ple­
m ento de 3p sum an 130°. Calcule el com ple­
m ento de p.
A) 4 5 °
D) 60°
Resolución
N os piden Cp.
B) 50° C) 55°
E) 65°
N O OLVIDE
* Complemento del ángulo P=C^
• Suplemento del complemento ‘
■i | >'$ j$ w
del ángulo P = SC(p) - ’ :
V ,
Del enunciado
S C (p )+ C (3 g )- 13° °
itW-fY; nO0- :'.ü
V -p) + 9 0 ° - 3p=130°
l80,' -(9ü'- -1’.)
180°P + ^ - 3 P = 130°
50°=2P -> P=25
Luego
C p= C25o = 9 0 °-2 5 °
Clave
Un tercio de la diferencia entre el suplemento
y el complem ento de la medida de un ángulo
es igual al doble de su complemento. Calcule
dicha medida.
A) 15°
D) 70°
B) 45° C) 60°
E) 75°
Sea 9 la medida del ángulo pedido.
Del enunciado
4 S( e ) - C(e)) = 20(0)
^(0), ^ (e r^ o )
5(0)=7C(0)
1 8 0 °-9 -7 (9 0 °-6 )
18O°-0=63O°-70
60=450°
0=75°
Problem a N. 2 0
Si m//n, calcule x.
A) 10°
D) 23°
Clave
C) 15°
E) 18°
Cp=65“
B) 20°

33. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden x.
Del gráfico
/
100°/
r.*i’ >.<v.
x+100°+3x=180°
4x=80°
/. x=20°
h P ,
•-!«>' .asm? a
*
,, * A
f%. 'W
yrim
Clave.10*$^
..........
*«&
<0!* J»
Problema N.* 21
Sí ?//m, calcule a.
\
8' x
m
\ 2
B) 120°
C) 130°
E) 160°
Resolución
Nos piden a.
a
V COr,;i:Q3'1
J ! t. \
A •
I 8
Por ángulos conjugados
— + — = "180°
8 2
5 a * € C l 8 0 °
i m
■# w
«gjé 1 20°
= W í^
r \¿>> S?*á'
o =160°
NO OLVIDE
Si m//n
rn
+— ii
T2
y
n
<—u-
\
:< h V'= 180°
\ 2
” ClaveA) 100°
P) 150°

34. Problema N/ 22
Si m /fn, calcule x.
- -3 r' / \ m
—>.
c t r o15 í
*í>
Si m//n, calcule x.
□
7 A
A) 30°
D) 60°
Resolución
N os piden x.
B) 40° C) 50°
° r \
i . \
Hi Iti-. iÍíí> ' . • V 4
1 I
' • Aviv
m v
11
* >
1 ¿ 1
í$ "^v
,-, %. %
':
%
X #
Del gráfico
Por teorem a 1
x= 35° + 25°
/. x= 60°
Clave
A) 12°
D) 16°
ñ e so iiicíó n
Nos piden xr
B) 14°
o 28, '•-» —JSbi
J's? *
Í'Z.r*
-, n%<¡#--^sss^
;-=í:ix
^ %
/ t i
V M \
' V \
Del gráfico
C) 15°
E) 18°
se obtiene
2x+3x=90°
5x=90°
x=18°
O ; D f |e ! I K i'
°
P\
Clave

35. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Dato: 0+P=7O°
Por teorema 1
x = 0+p
x=70°
Clave
Si m//n, calcule x.
m
A)'v10°.;jD B) 15 o C) 20o
D)f259^ 5 E) 30°
'%r
Resolución
Nos piden x.
Por teorema 2
30°+/ + 10 + = 20°+x +
40°=20°+x
x=20°
‘ Clave

36. Capítulo t
Problema N.e ?.B
Si $\U SBlt calcule x.
Nos piden x.
40° _ .
140° \
\ m °
•>
•>
...
A) 14°
D) 20°
Resolución
Nos piden x.
B) 16° C) 18°
E) 22°
! 4x
\
Por teorem a 2
60°+ 180o-x = 4 0 o+90°
2 4 0°-x= 130°
• x =110°
% |P
'■■'¿.y
Clave
Problema N.“ 27
Si & \lí& 2, calcule x.
-*
../ / -
Por teorema 3
3x+4x.+2x+x=180°
10x=180°
x=18° , , ;C
Clave
Problema 2B
Si S&íU &i y m-n=38°, calcule x.
11 ■*
f , «
A) 35° B) 36° C) 38°
D) 40° E) 42°
41

37. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden x.
Problema W.’ 29
Si 3/\!! 3?2i calcule x.
7 ^
V.X
Dato: m-n=38°
A) 90° B) 100°
X x ;\
C) 110°
— » Q=ß+m
Restamos (I)—(II).
e -0=x+ß+n-ß-m
0=x+n-m
x s ( m - ñ | ó uto
(ID
En el gráfico
Por ángulos conjugados
x+70°=180°
x=110°
C la v e
i C la v e
x= 38°

38. PRACTIQUEMOS LO APRENDÍ
1. En una recta se ubican los puntos consecu-
tívos A M, fí y C, tal que M es punto medio
de AC. Si AB-BC =40, calcule BM.
A) 10 B) 15 C) 20
D) E) 30
6. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B ,C y D, tal que 3[AD) + S(BQ=80 y
3{AB)=S{CD). Calcule BD.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B y C, donde M es punto medio de
AB y AC+fíC=14. Calcule MC.
A) 7
D) 10
B) 8 C) 9
E) 11
3. En el gráfico, F y G son puntos medios de
AB y DE, respectivamente: Si AB+DE=\Ó,
calcule FG. f
a —i- -h >
A F B C
A) 13
D) 16
B) 14
■' • — ■— •
-----
C) 15
E) 17
4. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B ,C y D, de manera que C es punto
medio de AD y AD-2(AB)=24. Halle BC.
A) 6
D) 12
B) 8 C) 10
E) 14
í- £n el gráfico, M es punto medio de AC.
Calcule BM.
12
20
A
A) 3
D) 6
B
B) 4
M
C
C) 5
E) 7
7. En una recta se ubican los puntos consecu­
tivos A, B, C y D; tal que AC=24 y BD=30.
Calcule la longitud del segmento que une
los puntos medios de AB y CD.
A) 24
D) 32
B) 27 C) 30
E) 34
8. A partir del gráfico, calcule x si — + — = 1.
c . l / r ' AC BD
A) m -n B) 2m~n C) mn
D) yfmñ E) 2 yfrññ
9. Los ángulos AOB y BOC forman un par li­
neal. Calcule la medida del ángulo entre las
bisectrices de dichos ángulos.
A) 70°
D) 100°
B) 80° C) 90°
E) 110°
10. Se tiene los ángulos consecutivos AOB,
BOC y COD. Si OB es bisectriz del <AOD
y m<fíOC=24°, halle m <AO C-m <CO O .
A) 42°
D) 50°
B) 46° C) 48°
E) 52°

39. COLECCIÓN ESENCIAL
jj* ip^' "i
....
11. Los ángulos AOB, BOC, COD y DOA son
proporcionales a los números 1, 2, 3 y 4,
respectivamente. Halle rrxAOB.
A) 16°
D) 21°
B) 18° C) 19°
E) 36°
12. En el g ráfico , m < A O f= 3 (m < C O D ) y
m<D0F=3(m<A08). Calcule m c fíO C .
D
3|ì
\ f
\
A
A) 100°
D) 130°
B) 110° C) 120°
; -4 E) ' 140°
Lumbreras Editores
LC Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD
miden 30°, 40° y 60°, respectivamente. Ha­
lle la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AOB y COD.
A) 75°
D) 90°
B) 80° C) 85°
E) 95°
i o. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD, tal que los ángulos AOC y COD for­
man un par lineal y m<AOC+m<BOD=220°.
Calcule m<BOC.
A) 20°
D) 50°
B) 30° C) 40°
E) 60°
La diferencia del suplemento con el com­
plemento de la medida de cierto ángulo es
igual al triple del ángulo. Calcule el com-
13. A p artir del g rá fic o ,\c a lc u í’e ¿x/y si
pléménto de la mitad de dicho ángulo.
m <POR=m<QOS. X , . v X
: % &
\ { * A)::65° B)
oo
C)
A)
1
3
Wv'%.
X V *
j j <;: D)
ooco
E)
B)
1 \R
\ /qX ?
18. A partir del gráfico, calcule a.
2
\ %
C)1
D)
3 5 A A
2
O
S(Y
A
E)
4
à
14. Del
3
gráfico,calcule x. A)l\J o
o
B)30° C)
D)50° E)
V X
A) 100° B) 120° C) 130°
D) 140° E> 150°
19. Halle el valor del ángulo que disminuido
en su suplemento es igual al doble de su
complemento.
A) 60°
D) 90°
B) 70c C) 80°
E) 100°

40. 20. La sum a entre el suplem ento y el com ple­
m ento de un ángulo es igual a 210° y la
diferencia entre el suplem ento y el com ­
plem ento del mism o ángulo es igual a 90°.
Halle la m edida de dicho ángulo.
A) 15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 35°
24. Si Y A 77///7, calcule x.
21. Si calcule x.
A) 6o B) 8o C) 10°
D) 11° E) 12°
25. Si 5i/ / 52 y $ 3 / 7 5 4 7 / 5 5 , calcule [ i
A) 12° B) 13° C) 14°
D) 15° E) 16°
A) 36° B) 38° C) 42°
D) 46° E) 48°
23. Si 5i//5 2/ /5 3, calcule a.
C) 4 0 °
E) 60°
26. Si & \ll & i, calcule —.
y
A) 20°
D) 50°
B) 30°

42. Capítulo i
Segmentos y ángulos
Claves
1 C 6 C 11 E 16c ;21C26D ;31C 36C
2 A 7 B 12C 17 C ;22 D 27í 32D 37D
3 C 8 D 13C 18 r :
i
23C 28O33D 38cV
4 D 9c 14 E 19 D Í
1
24c29C.34P 39c
5 B 10c 15C 20 d :
i
250 30B35B

44. Una de las figuras geométricas que tiene mayor aplicación
para realizar construcciones, sean grandes o pequeñas, es el
triángulo. Esta figura presenta una propiedad de resistencia
a su deformación que otras no la tienen. Es por eso que no
es raro ver estructuras de fierro donde se aprecian triángu­
los. En la imagen se muestra al Ferrocarril Central Andino en
uno de sus recorridos hacia Huancayo cruzando el puente
Carrión que tiene formaciones triangulares.
Este puente está ubicado en el kilómetro 84 y es el más lar­
go de! ferrocarril central; mide 218 m y tiene una altura de
80 m. En total, el tren cruza 58 puentes y 69 túneles durante
su recorrido.
c r -:t.- :: •
* Reconocer los elementos del triángulo.
• Utilizar de manera correcta los teoremas fundamentales y
adicionales.
* Realizar prolongaciones correctas en un determinado pro­
blema.
• Reconocer los diversos triángulos según su clasificación.
¿ P o r q u é g g ffíiGCGsario-GGcc : \.C
Porque nos ayudará a comprender otras figuras geométricas
como el cuadrilátero, el prisma, la pirámide, etc. Asimismo, el
análisis del triángulo logrará reforzar algunos conocimientos
de la física y la química, como los vectores y la estructura mo­
lecular de los átomos, respectivamente.
El estudio de este importante tema también servirá como
base para los posteriores capítulos relacionados con los polí­
gonos y circunferencias.

45. Triángulos
Los símbolos 2p, para referirse
f al perímetro, y p, para el semi-7
1- perímetro, serán utilizados de /
■ esa forma a lo largo de todo el,
libro.
1. C O N C EPTO
Son figuras geométricas formadas al unir tres puntos no coli-
neales mediante los segmentos de recta.
A
Elem entos
• lados: A B ]IC y A C
• vértices: A ' 5 y C .
N otación > v I
AABC se lee: “el triangulo ABC’.
- • M * *Y»**nt+ 9 **
.... «
/r****^ •VJ»
«r* - y*
También se puede, escribir asíA ': BAC o CAB,
porque realmente, se refiere al mismo triángulo.
■ ■ ;
1.1. Perím etro t.dancjulo (2p )
Es la suma de longitudes de los tres lados.
8
Del gráfico
" ]
Jn . , ~,-=<7 + ¿? + c I
‘-h &AP( j
2p A ABC se lee: “el perímetro del triángulo ABC .

46. 1.2. S e m ip e rim e tro del trián g u lo (p )
Es la mitad de la suma de longitudes de los
tres lados.
B
Paabc
p ABC se lee: “el semiperimetro del triángulo
A B C . I ¡ ¡
Y ' 2 Sfy *
Aplicación 7
Calcule el perimetro y el semiperimetro del
triángulo.
B
Resolución
Calculamos el perímetro.
2pfi/iec=4+6+8
2 P^abc^ 8
Calculamos el semiperimetro.
4 + 6 + 8 _ 18
PaABC~ 2 ” 2
Pa abc=9
2. REGIO N ES DETERMINADAS POR EL
TRIÁ N G U LO
El triángulo divide la superficie plana en dos re­
giones. Representaremos esto en un cuaderno.
Si prolongamos los lados del triángulo, dividi­
remos la región exterior así:
/
re!stiva ¿ /•
Ejemplos
1. Ubicamos un punto P en el lado AB de un
A ABC.

47. 2. Ubicamos un punto R en la región interior
del A M NS.
3. Ubicam os el punto Q en la región exterior En todo triángulo se cumple
relativa a PR de un APRS.
3.1. A ng ulo interior
Aplicación 2
Del gráfico, calcule x.
A*. ......................
Resolución
Como tenemos ángulos interiores, procede­
mos a sumarlos.
Por el teorema de la suma de ángulos inte­
riores
x+3x+60°=180°
4x +60° =180°
4x=120°
120°
x=30°

48. Aplicació n 3
Del gráfico, calcule 0 + a .
Resolución
opuesto
por el
vertice
Ahora tenemos a 0 y ot como ángulos internos.
-> 0 + a+5O°=18O°
0 + oc=13O°
4.2. Sum a de ángulos externos S /
Ap l i c a c i ó n 4
Del gráfico, calcule a.
Resolución
Como tenemos los tres ángulos externos, en­
tonces los sumamos.
Por el teorema de la suma de ángulos externos
5a+6a+140°=360°
11a+140°=360°
11a=220°
En todo triángulo se cumple
(ì t u t ai-360o
220°
—> a =
-----
11
a=20°

49. Aplicación 5
Del gráfico, calcule a+0.
Resolución
Par lineal
' i ’ í í,'V .j . ••..¿¿r- ■■■ •
■ LÜ
o+¿»=i8o° / y ¡ $
f
. >
w
Com o tenem os dos ángulos externos, faltaría j
un tercero que se obtiene mediante la proion-'
gación óeAC.
A c
Luego, por el teorema del par lineal, la medida
del ángulo exterior en el vértice C es 120°.
Ahora sí tenemos tres ángulos externos, enton­
ces aplicamos la suma de ángulos exteriores.
a + e + 120°=360°
a+ 0= 36O °-12O °
a+ 0= 24O °
Análisis de un error frecuente
Calcule/.
■:¡0- .'téíií
« •
I ‘ :
Como
x + 1 0 0 o+ 1 6 0 ° = 3 6 0 °
-> x = m °
:i : * *
. Eso no es correcto,
2 C ' porque x no es un
ángulo externo.
I:. ,.
# \ * -, >
t --V
•r> v.-S
i f * f p
v r ,,
XvV ¿Está seguro,
profe?
Así es, este es el
ángulo externo.
UÿÇjf
4
K/0‘: ICO1
Ci
___

50. CaPítuloJ Triángulos

51. En el A ABC aplicamos el teorema del cálculo del ángulo
exterior.
'i
triángulo
i Sí así fuese, el triángulo forma-
í . do debe cumplir con el teorema
i de existencia,
í . Veamos : ■..
- t-
n
rcsta_
3<f 8 <7
V'5WV»
i y //•• /
í 11 ¡VJ
Notamos que ocho es: ■merabjrj j'
que siete, ya que eso es ilógico
el triángulo no se puede construir.
—> m<£CD=2*
Luego observamos
C ; ‘
Aplicam os el teorema del cálculo del ángulo exterior.
Del gráfico, se cumple
0-_C <¿)<a + C
revtj Lumi
Este teorema es utilizado en problemas de va
lores máximos y mínimos de un lado.

52. Capítulo 2
Triángulos
Aplicación 9
C alcule el m áxim o valor entero de x.
Reso lució n
Aplicam os el teorem a de existencia con res­
pecto a x.
9 —4 < x < 9 + 4
resta suma
5 < x < 13
Es decir, x está entre 5 y 13. .+
—> *=6; 7; 8; 9; 10; 11;(Í2) ind^ ,0
\ ' J l r J
entero^ ~?f y
■ x . =12 •
Aplicació n 7 0 * > >
Calcule la suma entre el máximo y el mínimo
valor entero de b. 'x% ,f
Resolu ció n
Aplicamos el teorema con respecto a b.
8-6< b <8+6
reste* .'Uma
Es decir, b está entre 2 y 14.
~> b= 3 ; 4; 5; 6; 7; ...12; 13
, t f
mínimo máximo
entero encero
Luego
mín. entero
mín. entero
+ b - =3 + 13
^max. entero J
^máx. entero“ ^
Al teorema de existencia también se le conoce
como teorema de la desigualdad triangular.
v i l
4.5. Teorema de correspondencia
A un mayor ángulo se le opone un mayor lado
y viceversa.
Del gráfico, si a < 0, entonces
r
Propiedad reciproca
Si a < £> —> a < 0
existencia
Relaciona ángulos
con lados
2 <£><14

53. COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicación 11
Del gráfico, indique qué lado es mayor, si a o b.
Resolución
yy-'-Á-A.
Aplicación 12
Indique si a es menor o mayor que 30°. "
Reso lu ció n
Se observa que
a < a+2
-> a < 30°
Por lo tanto, a es menor que 30°
Aplicación 13
Calcule el máximo valor entero de x.
Por el teorema del ángulo exterior
m<&4C+70°=130°
m<BAC=60°
En el A ABC, al tener ángulos y lados, aplica
mos el teorema de correspondencia.
Como 60° < 70°
-» x< 4
Es decir, x es menor que 4.
• y n 3
• • Amáx. entero

54. Capítulo 2 Triángulos
5. TEOREMAS ADICIONALES
Son los teo rem as que se usan para reducir pasos y operaciones
en un problem a.
Para mejorar ¡a identificación de
los teoremas, se les puede aso­
ciar con las siguientes figuras:

56. Aplicación 17
Del gráfico, calcule a+b+c+d.
Resolución
N otam os que el gráfico muestra al búmeran y la mariposa.
Asim ism o, observam os que falta un ángulo al cual llamaremos
0 para aplicar los teoremas.
Z L : 0 + 6 + 6=150°
tX ¡\ c+d =0 + 20°
a + b + c + d + = $ + 1 7 0 °
a+b+c+d=170°
Aplicación 18
Del gráfico, calcule x.
Si por dato tenemos figuras in­
completas se sugiere prolongar
las líneas.

57. COLECCIÓN ESENCIAL
_ _ _
Lumbreras Editores
_ _ _
Resolución
Prolongamos y formamos la figura de la ma­
riposa
En el A ABC: rr\<ACB es 50°, dado que la
sum a de ángulos internos es 180°. , - ■ v.
Luego, por el teorem a de la mariposa
En el A ABC aplicamos la suma de los ángulos
internos.
3x+4x+2x=180°
9x=180°
x=20°
x =
180°
Aplicación 20
Del gráfico, calcule a.
x + $ = 5O°+j0
/. x=50°
Aplicación 7 9
Del gráfico, calcule x.
Resolución
Formamos el búmeran (/^) y aplicamos su
teorema.
Resolución

58. 6. CLASIFICACIÓN
Al triángulo lo clasificaremos tomando en cuenta sus ángulos
y lados.
6.1. Según las medidas de sus ángulos
6.1.1. Triángulo acutángulo
Sus tres ángulos internos son agudos. Teoremas adicionales
Del gráfico
i ■
L„
donde se cumple
0: obtuso
s
_ _ _ _ _ _ J
00'■. . 0 V ISO'''
Ejemplos

59. NÒ. olvidé:
»<< - * v . - < »'»y.-, -, -., ¿i 7v T v » v *
\ Acutángulo Obtusángulo
13 t \ \ j i . . •*.. '. ■ ■-
í Son llamados también triángu­
los oblicuángulos, ya que no
•¿ tienen ángulos rectos.
D ato cu rio so
■
El triángulo de vida
i En un sismo se recomienda a
• j . la persona colocarse al lado de
4 una estructura (mueble u otros),
ya que al caer, los objetos for-
7 man un triángulo y así se evita
que alguien salga lastimado.
6.1.3. Triángulo recta n g i
Tiene un ángulo recto.
n .
Elementos
• catetos: AB y BC
• hipotenusa: AC
Ejemplos
1. o /
■■■ :>'• .
‘T '
Prop i edades
□
2.
! H-H /-90'’
IT-90o- (■

60. 6.2. Según sus lados
6.2.1. Triángulo escaleno
Sus tres lados son de diferentes longitudes
d o n d e a *b ; b * c y c*a .
6.2.2. T rián g u lo isósceles f ^
Tiene solo dos lados de igual longitud
B
donde AB=BC y AC es la base del Isósceles.
En todo Isósceles, a los lados iguales se les oponen ángulos de
igual medida.
‘ V
______
t < j/¿>* y vi* >>

61. 7 / / £ ^ = = = r.
_____
O ato: curióte
í'Yj/
m
En los objetos de plástico, e l
número y las letras del triángulo
equilátero, formado por flechas,
nos indican el tipo de plástico,
para su correcto reciclaje.
________________________
, “K -.
\v •
>1 i
iijl
1 3 '
i 5
I I
\ 2
I |
PET HDPE PVC LDPE
pp PS Otros
• r . ;
i f /
¿ / / fff/ : Imjportiiltc rr^
El GPS y el sistema de triangu­
lación
El GPS es utilizado para cono­
cer las posiciones precisas de
cualquier elemento en la Tierra;
por ejemplo, nuestra ubicaclpn.j j
Esto funciona con la medición
de nuestra distancia hada tres
satélites, medíante el proceso
de triangulación
Ejemplos
6.2.3 . Tri á n g u i o eq u i I ále r o
Tiene sus tres lados de igual longitud

62. P A ” A A :y: A A :
¿Por qué los ángulos internos del triángulo suman 180o?
Paso 1
Construya un triángulo de papel y dóblelo exactamente por la mitad de dos lados.
/ A
, ( I \
r
\ v Df,o;,íf
\
/
á o
Paso 2
Doble la esquina inferior izquierda de la hoja.
%
I,
/ ¡ \
/ 1 \
/ 1
:A
í A . , r , :
/ j
/ \ y
\ ( X /
\ / í ' \
*>, Â
O c : > U <
vvíyC
f \ *
%i-V%
.# -
È jÄk
I
IÙ
Paso 3
Doble la esquina inferior derecha de ja Bojar
r A
fv " ~ ~ ” * ‘'I
\ . / : \
\ / ! \
1 \ /'
X (/. / ; \
1 n X / 1 (0 A
Ì IU /Í, 1
DúCjI.k
r , j
Finalmente, en la última imagen se observa que

64. RESOLVEMOS JUNTOS

65. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Resolución
Del gráfico notamos dos triángulos isósceles.
En el AABC
En el L ADB
Aplicamos el teorema de la suma de ángulos
internos.
x+40°+40°=180°
x+80°=180°
x=100°
r Clave

66. Capítulo 2
Triángulos

67. Resolución
«
___i— _______________________

68. Restam os (I) - (II).
x+a+80=180°
y+g =80°
x+/í+80o- y - / =180o-80o
x+80°-y=100°
x-y=100°-80°
x-y=20°
; Clave \
.....*»•, é*n
Problema 8
Del gráfico, calcule x+y.
P
A R c
Podem os analizar los dos triángulos.
En el A ABC
y= 30°+ 40°
y= 70°
_____________________i___
A) 20° B) 25°
D) 40°
_________
R e s o lu c ió n
/A
En el A RPQ
x=50°+20°
x=70°
P
Problema N. 9
_____
Del gráfico, calcule 0.
A) 140°
D) 150°
B) 100°
2 0 Ÿ X
i Clave

69. COLECCIÓN ESENCIAL

70. Capítulo 2
Triángulos

71. COLECC!Ó\ ESENCIAL Lumbreras Editores
En los triángulos, aplicamos el teorema del
ángulo exterior.
Por el teorema del pescado
2a+4a=50°+70°
6a= 120° —» a =
120°
a=20a
Problema N/ T3
i Clave {
;i>rv
D el gráfico, si m+n=140°, calcule x+ y.
A) 120°
B) 130°
C) 140°
D) 150°
E) 160°
En el A ABC, como m+n=140°, entonces la
m<fiC4=40°.
B
B
x+y=150°
! Clave [
Problem a N.° 14
Del gráfico, calcule x.
Resolución
Notam os la figura de un triángulo y un pes
cado.
A) 30°
D) 45°
B) 40° C) 20°
E) 15°
«i

72. Resolución
Del gráfico
notamos
3 a + 30°=36 a+ x= 8+ 30°
3'(a+10°)=30 a+ V -3 0°= 9
a+ 10°=6
Igualamos los valores de 0.
0c+1O°=já+x-3O°
10°+30°=x
40°= x
Clave
Problema N.a 15
____
Del gráfico, calcule x.
Resolución
Del gráfico
x=8O°+0 + p (I)
x+ 0 + (3=13O° (II)
Ordenamos convenientemente.
A) 125°
B) 115°
C) 100°
D) 105°
E) 120°
De (I) x=8O°+0+p
De (II) x+0-t-p=130° '
2x+/0+/p=8O° +/■+P +130°
2x=210°
x=105°
Clave

73. Problema H.' IG
Del gráfico, calcule a . Del gráfico, calcule a.
A) 30° B) 20° C) 10°
D) 15° E) 25°
Resolución / ^ \
Com o el gráfico no es conocido, hacemos al­
gunas prolongaciones.
O bservam os que en la parte sombreada se
han com pletado las medidas de los tres án­
gulos. vO
A) 50°
B) 40°
C) 60°
D) 70°
E) 45°
#' Æ v- ' *»**&■,
Im portante
Se cumple
Prolongamos los lados y el ángulo a va a la
parte superior derecha, debido al esquema
anterior.
Notam os la figura del búmeran.
Donde
4Ü°+a+oc=70°
2 a = 7 0 °-4 0 °
30°
2 a= 3 0 ° « = —
/. a= l5°
j Clave

74. Luego, notamos
i6Gc
70-
60°+70° + a=180°
130° + a=180°
a=180°-130°
a=50°
Problema N.° IG
Del gráfico, calcule x.
A) 20°
D) 45°
B) 25°
Resolución
Prolongam os y se forma
Clave
C) 40°
E) 30°
* (
/O ^
L
f y
2x+x+90°=m °
Luego, notamos
3x=90°
x-30°
X = '
90c
Clave
Problemi
Del gráfico, calcule a + b+c+d.
■/■ >! ;
M 'V ,
/ cy
A) 160°
D) 220°
B) 150° C) 120°
E) 200°
Resolución
Prolongamos y formamos la figura del búme
ran y el pescado.

75. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Por e! teorem a del búm eran
Luego, notam os
£>: a+b+c+d= 60°+100°
a+b+c+d= 160°
''%[ Clave L:
■/, * '*< • * • ¥%*£*• *p* i?.* y*'
\ 'W w 4
<■' A'
Problema N.° 2 0
______________
Del gráfico, calcule a+b+c.
A) 150° B) 180° C) 200°
D) 360° E) 100°
Resolución
Prolongamos y formamos dos mariposas y en
cada figura los ángulos b y c cambian de po­
sición.
a+b+c=180°
Clave

76. 1. Del gráfico, calcule x. 5. Del gráfico, calcule a.
A) 8° B) 9° C) 10°
D) 12° E) 15°
2. Del gráfico, calcule a .
A) 60° B) 70° \ C) 50°
D) 40° E) 45°
Del gráfico, halle x.
A) 20°
B) 30°
C) 40°
D) 50°
E) 10°
A) 15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 40°
6, Del gráfico, calcule x+y.
A) 210° B) 230° C) 240°
D) 220° E) 250°
7. Del gráfico, calcule x.
A) 50°
D) 40°
C) 70°
E) 30°
B) 60°

77. COLECCIÓN ESENCIAL
------------------- -------
Lumbreras Editores
_________________-

78. Capítulo 2
Triángulos
17. Del gráfico, calcule x.
A) 35° B) 40° C) 50°
D) 60° E) 70°
18. Calcule a.
A) 6o B) 8o C) 10°
D) 15° E) 20°
19. Del gráfico, calcule a.
A) 40°
B) 55°
C) 50°
D) 60°
E) 30°
KJ-i

79. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
_ _ _ _ |
___________.________________________________________!________8
.
20. C a lcu lex+y. ; 23. C a lcu le /.

80. Claves
1C 5
. J
>
(T
L
_
- 13 17 21 25 29 D
2 6 6■ i i10 14 A 18 22 26 i)
3D 7 A 11 D 15 19 B23 27 A
4 A 8D 12 16 20 24 B28

81. ’W j M Æ
M m >
a â f
Z2É É & M
W $ 4 * # ñ -

82. El viaducto de Millau en Francia está constituido por ocho
tramos de tablero de acero, que se apoyan sobre siete pila­
res de hormigón. La calzada pesa 36 000 toneladas y se ex­
tiende a lo largo de 2460 m; tiene dos carriles ce tránsito en
cada sentido. Este viaducto prácticamente duplica la altura
del que hasta entonces era el puente más alto del mundo;
el Europarbrücke (Austria). En la imagen se puede ver que
los siete pilares cumplen ¡a función de recta mediatriz a lo
largo de todo el viaducto.
Este es un ejemplo de la utilidad que puede tener una línea
notable. A parte de la mediatriz, otros tipos de líneas nota­
bles son la mediana, la bisectriz, la ceviana y la altura.
AMOR A SOFÍA
; , - í ? J h
esperados
* Reconocer los tipos de líneas que se pueden trazar en un
triángulo.
* Interpretar el enunciado de un problema para su correcto
graficado.
• Aplicar los teoremas de los ángulos formados por bisectrices.
• Realizar prolongaciones para resolver problemas geom é­
tricos.
¿Por tgué es necesario este conocimiento?
Porque logra precisar que los problemas en el curso de G eo­
metría son de dos tipos: los problemas graficados y los pro­
blemas que solo muestran un contenido textual. Asimismo,
nos permitirá diferenciar las características de cada línea para
una adecuada interpretación y graficado en un determinado
problema textual.

83. .YiYfJ "•
Líneas notables
-. ■ ■ ' ■ ■ . ■■
: ^ . '
Prolongación
| Es la extensión o alargamiento 0
• de un segmento, que se puede
realizar en dos sentidos.
hU
x-f
--
;
A Pfál<>^(j¿íi6¡i! ¡ |||| j | j
t 4 L
! ; i id« BÂ . . '//
; ¡ i i i ■ /,-■ \
P íT jíO p ja d c m
-n".:
///.Importante
La palabra relativo significa que
T hay relación o conexión con un
• elemento.
1. C O N C EPTO
Son líneas asociadas al triángulo, se usan frecuentem ente y
tienen diversas características.
2. T IP O S
2.1. C evian a
2.1.1. C evian a in te rio r
Es un segm ento que une un vértice con un punto cualquiera
del lado opuesto a dicho vértice.
Ejemplos
2 . A 3 .
Cj
A
/ \
\ i \ d1A
/ X
BP: ceviana inte- AP: ceviana inte- CP: ceviana inte­
rior relativa a AC rior relativa a BC rior relativa a AB
- 2. ,.5'
: : v > ■
■ ; ; S En todo triángulo
i ^ p -
se pueden trazar
■ ■- - infinitas cevianas
- interiores.
W- c
2.1.2. C eviana exterior
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera de
la prolongación del lado opuesto a dicho vértice.
Ejemplos
1.
B
BD: ceviana exterior relativa a AC

84. 2.
B
BE\ ceviana exterior relativa a GA
O tra fo rm a d e tra za r la cevian a e xte rio r
3.
F
AF'. ceviana exterior relativa a CB
’A
En"todo“ ?riáñgulo se pueden trazar Infinitas
cevianas exteriores, .
Si tenemos un triángulo donde
la relación de ángulos interiores
es de 1 a 2, podemos formar
triángulos isósceles.
. j j f j i j \ \ \ m ¿
K“ — - r ■ " . ' ,
R , uc - '• -
b* •; .
Para ello trazamos la ceviana
interior.
Importante
««¿as*
En geometría, bisecar significa
dividir un ángulo o segmento
en dos partes iguales.

85. COLECCIÓN ESENCIAL
O
ítores
2.2. M ed iana
Es aquella ceviana interior que biseca el lado al
cual es relativa.
B
BM: mediana relativa a AC
En todo triángulo se pueden trazar tres media­
nas, una de cada vértice.
m i m i - - ■ x : st - • '■j**?*'**”**
v¿ i i . l i ! j í:! .--re--- / • ■ ■ .
En el triángulo rectángulo ABC
,0
A
_o
H
BH: altura relativa a la hipotenusa
En el triángulo obtusángulo ABC
: V
: \
□
BH: altura relativa a CA
ó -
A
2.3. Altura v %% p
Es aquella ceviana perpendicular al lado al cual
es relativa.
La posición de la altura depende del tipo de
triángulo.
. En el triángulo acutángulo ABC
B
AR: altura relativa a BC
O
D
CD: altura relativa a BA
s Y j 11 /.///,• •, / / - ■
1 ] fnrl p j
Jodo triángulo tiene tres alturas, las cuales
pueden estar en la región interna, región j
externa o coincidir con un lado del triángulo. j
BH: altura relativa a AC

86. Capítulo 3
Líneas notables
2 .4 . B ise ctriz
2.4.1. B ise c triz in te rio r
Es aquella ceviana interior que biseca a un ángulo interior.
8
AD: bisectriz interior relativa a BC
Ejemplos
3. B

87. i
COLECCIÓN ESENCIAL
___
Lumbreras Editores
___l____ _..
Nrifólvüle
Mediana Bisectriz
2.4 .2 . B isectriz e xte rio r
Es aquella ceviana exterior que biseca a un ángulo exterior.
j
BD: bisectriz exterior relativa a AC
Ejemplos

88. 2.5. M e d ia triz :
Es aquella recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa |
por el punto m edio de dicho lado.
B
: m ediatriz de AC
confundirse
Solo si el triángulo es isósceles
o equilátero se cumplirá que la
vez bisectriz y
mediatoz
de B C
mediatriz
de A C
M p o rtw H t
Todo triángulo tiene tres mediatríces, una rela­
tiva a cada lado,
93

89. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
_______________ ■

90. Sabemos que m<ABD=rc\<ADB.
B
8
Nos piden AB=x.
B
O bservam os que el triángulo BAD es isósceles.
/. x=4 ;?
Aplicación 3
En un triángulo acutángulo ABC, se traza la
altura CH, y se obtiene que AH=3 y HB=1. Si
m<ABC=m<ACB, c a lc ú le le .
Resolu ció n
Graficamos.
Observamos que AH=3 y HB=1.
B
A
Sabemos que m < A B C = m < / 0 .
Nos piden /4C=x.
Observamos que el triángulo R4C es isósceles.

91. A D
Del dato, AB=BD.
Aplicación 5
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz ex­
terior BD (D está en la prolongación de CÁ).
Si DB=BC y m< 804=26°, calcule m<DBA.
Aplicación 4
En un triángulo ABC, m</\BC=60°; además se
traza la bisectriz interior BD, tal que AB=BD.
Calcule la m<BDC.
Resolución
Se sabe que m</\BC=60°.
A
Se traza la bisectriz interior
El triángulo ABD es isósceles.
-» m <ft4D=m < 80/4=75°
4 D
LO

92. I
Aplicación 6
En un triángulo ABC, AC= 6; además, la media-
triz de AC interseca a AB en M y a C4 en D,
donde MD=2. Calcule AM.
Resolución
Graficamos.
La mediatriz de AC interseca a AB en M y a
C4 en D.
i

93. COLECCIÓN ESENCIAL
Nos piden AM=x.
'• '* ■ *# f •' ' *' tr y *•' • • • i/ v ,•
; ’ / „■ V ■ ;•
: . • '■ ■ „ ■ 1 . ,
sasm
En el ^ A D M aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2=22+ 32 -> x2=13
x = V Í3
-'íííxx s?:-
r .\ M ' ■' / / / 7 ' . 7 , V / === ? - T » k
v lilt ó ó ít o ít i/ '
La palabra respectivamente se usa cuando enu- J
! IT1 IT11 i iV / / w N S s .• ■ QfN
meramos varios elementos y los queremos re-
i'íácionar con otros, según el mismo orden de,
mención.
Ejemplo
-Se~encuentran A, B y C en MA/, PQ y¡PS('respéc-
1 .
« fí está en PQ.
• i i 11 ITTv//'A> '
...■ : -
. C está en RS.
1 j 1 y f/ / / / / / / / f/ / J &
Aplicación 7
En un triángulo ABC, BD es la altura; además,
la bisectriz interior trazada desde A interseca
a BD y BC en M y N, respectivamente. Si
m<BMN=50°, calcule m<MAD.
Lumbreras Editores
IIjL' "
Reso lu ció n
Graficamos el triángulo ABC y trazamos la
altura BD.
La bisectriz interior trazada desde A interseca a
BD y BC en M y N, respectivamente.
8
\N
• i "*.'■■■
. S '
,í£j l□ .
D C
Sabernos que m<8MA/=50°.
B
Nos piden m<MAD=0.
B

94. Líneas notables
■ a m
Por el ángulo opuesto por el vértice
m<AMD=50°
Luego, notam os
0 + 5 0 ° = 90°
/. 6 - 4 0 °
3. TEO REM A S SOBRE ÁNGULOS FORMADOS
PO R BISECTRICES
Para aplicar estos teoremas, se debe identificar
al triángulo del cual se han trazado las
bisectrices.
T eo rem a 1 \
Se aplica cuando hay un ángulo formado por­
tas bisectrices de dos ángulos interiores.
B
Donde x es el ángulo formado por bisectrices.
Del gráfico
x = 90°
Ejemplos
1. H allem os/.
8
Entonces x es el ángulo formado.
Luego, por el teorema 1
:60 o
x = 90°+v—-
2
/-•90 o+ 30°
z=120° ?
2. Hallemos y.
* B
Entonces y es el ángulo formado.
Luego, por el teorema 1
y = 90°-^-52
7 2
y=90°+20°
y=110°
99

95. 3. H allem os x. Ejemplos
1. Hallemos x.
B
Notamos que 130° es el ángulo formado.
Entonces, por el teorema 1
( 7 )
130°=90° + -
v $ X jsffe-
130°-90°=- -> 4 0 °= -/|
| i/ * |¡f
80°=x \ ' *« jf í
Teo re m a 2
Se aplica cuando hay un ángulo formado por i
las bisectrices de dos ángulos exteriores, don-T
de x es el ángulo formado por bisectrices.
B'
Del gráfico
a
y s C j 0 °
..........
2
Tenemos que x es el ángulo formado.
Entonces, por el teorema 2
50°)
x = 9 0 °- —
2
x= 90 °-25 ° -» x=65°
2. Hallem os/.
Tenemos que y es el ángulo formado.
Luego, por el teorema 2
y = 9 0°-35° -> y= 55°
3. Hallemos x.

96. Capítulo 3
Líneas notables
Entonces, por el teorem a 2
(x)
40°= 90o- -
2
| = 90°-40°
y
- = 50° x=100°
T e o re m a 3
Se aplica cuando hay un ángulo formado por
las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo
exterior, donde x es el ángulo form ado por
b isectrices.
Del gráfico
Ejemplos
1. Hallemos x.
Notamos que x es el ángulo formado.
Entonces, por el teorem a 3
x=30°
En este último teorema, el ángulo formado
por las bisectrices es la mitad del ángulo de!
triángulo.
2. H allem os/.
Tenemos que y es el ángulo formado.
Entonces, por el teorema 3
(40°
^ K y y :--
.-. y=20°
3. Hallemos x.
Notamos que x es el ángulo formado.
Entonces, por el teorema 3
x=35°

97. COLECCIÓN ESENCIAL
£
Lumbreras Editores
O tro s teo rem as
Biografía
Gíovanní Ceva (1648-1734)
Fue un matemático italiano, reconocido en el campo de la geometría por el im­
portante teorema que descubrió y que lleva su nombre: el teorema de Ceva, el
cual plantea que dadas tres cevianas concurrentes, existe una relación entre las
longitudes de los segmentos parciales determinados en cada lado.
i.

98. — _ _ _ _ _
LÍNEAS NOTABLES
r
Ceviana
/ts. ceviana
/\XVs^ interior
I /
/
1 / \ \
1 >
/\ 'v ceviana
/
I /
//
exterior
\
_ A ...A
V y
Aitura
altura
A X - Í-
! O- X . \> I
___/
Mediatriz
^ ! I
' J
Ángulos formados por bisectrices
; j “ ‘n‘.
:• • • - ^
— ----------— .
~T
-----------v
Teorema 2
.0
0
¿i<L
(0
0)
L
,v- 9U° -
1
Teorem a 3
í
/ }
ü
veo
to
X~
2 ;
Líneas notables

99. Problema N.' 1
En un triángulo ABC, AE es la bisectriz
interior y BH es la altura del triángulo ABE.
Si rr\<ABH=S0°, calcule m<BAC.
A) 80°
D) 75°
B) 70° C) 50°
E) 65°
Resolución
Nos piden la m < 3 /4 0 2 0 .
. ’ ;
En el ki-AHB
0 + 5O°=9O° -> 0=40°
20=80°
Clave
Problema N.‘ 2
En un triángulo ABC, se ubica el punto E en
5U región interior, tal que AB=BC=AE) además,
la m < 8G 4= 50° y la m «M C = 2 0 °. Calcule la
m<AEB.
A) 80°
D) 75°
B) 85°
C) 60°
E) 90°
Resolución
Nos piden la m<AEB=x.
A \ \
\ \
i /
/
/
\ v
f A \
/
/
A ri
Como el A ABC es isósceles
-> m<3/4C=50° y m <843=30°
Luego, en el ñ. BAE isósceles, sumamos sus án­
gulos interiores.
x+x+30°=180o
' 2x=150°
a=75°
Clave
Problema N. 3
______________________________
En un triángulo ABC, se ubican D y £ en AC y
en la región exterior relativa a BC, respectiva­
mente, tal que BDE es un triángulo equilátero.
Si BD es la altura del triángulo ABC, 43=3 y
4D=2, calcule BE.
A) y¡S
D) \¡2
B) 2 C) 1
E) T i

100. Capítulo 3
Líneas notables
Resolución
Nos piden BE=x.
B
Com o el A DBE es equilátero
8E=DE=BD=x
En el AAD B aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2+22=32 I \ x ¥ J
x2= 9-4
x2=5 ^
••• x = 'fe
Clave i <■ V:
P ro blem a N- 4 ________________________
__________
Del gráfico, halle Ja medida del ángulo deter­
minado por AB y NE.
B
A) 28°
D) 32°
B) 30°
C) 24°
E) 18°
Resolución
Im p o r t a n t e
? A
ó-ií:
C
O
La medida del ángulo formado por
í AB y CD es a.
Como nos piden el ángulo determinado (for­
mado) por AB y NE, prolongamos para hallar
la intersección.
Del gráfico, notamos
Por el teorem a del ángulo exterior
x+62°=90°
x=28°
• Clave

101. Problema N.’ 5
Del gráfico, calcule x.
Por el ángulo exterior
x+30°=115°
x=85°
Clave
Problem a N. b
Del gráfico, calcule a.
A) 90° B) 105° C) 100°
D) 85° E) 115°
Resolución
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo
form ado por dos bisectrices interiores.
50°
_> m<AEC=90° + —
m <AEC=115°
Luego, notamos en el gráfico
A); 115° B) 65° C) 85°
D) 75° E) 50°
Resolución
B
En el L\ABC, como sus ángulos interiores
suman 180°
-> m</\6C=50°

102. Capítulo 3
Líneas notables
Por el teorema del ángulo formado por dos
bisectrices exteriores, tenemos
B
Problem a N.' 7
Calcule x.
Resolución
En el .ABC, como sus ángulos interiores
suman 180°
-> m<BAC=S4°
Del gráfico, notarnos
i .% x=63°
A) 46° B) 64° C) 63°
D) 72° E) 54°
I Clave

103. Probí.ama M.* 9
Calcule x.
A) 79° B) 84° C) 82°
D) 67° E) 69°
En el A ABC, por el teorema del ángulo for­
mado por una bisectriz interior y una exterior,
tenemos
m<ADC = — -» m <ADC=22°
2
Aplicamos el teorema de la suma de los
ángulos interiores.
x+x+22°=m°
2x=158°
x=79°
‘ Clave

104. Capítulo 3
Líneas notables
Problema N/ 10
Del gráfico, calcule a.
A) 114°
D) 124°
B) 120° C) 106°
E) 112°
Resolución /"* ^ \
Prolongamos y formamos un triángulo donde,
por el teorema del ángulo exterior, el ángulo
en el vértice A debe ser 32°.
B
A
Luego, en el A ABC aplicamos el teorema del
ángulo formado por dos bisectrices interiores.
Problema N/11
Del gráfico, calcule x.
x = 90° +
32°
x=90°+16°
*. x=106°
• Clave (
A) 115°
D) 121°
B) 112c C) 116°
E) 131°
Resolución
Prolongamos adecuadamente y formamos una
mariposa (¡x}), en la cual aplicamos el teorema
correspondiente.
-> m <ABC=62°
B
i s
6 2 1
Luego, en el A ABC, el ángulo es formado por
el teorema de dos bisectrices interiores.
6 2 °
x — 9 0 ° f —— -> x * 9 0 ° * 3 Io
2
x=121°
: Clave .

105. COLECCIÓN ESENCIAL
''tí. • A íA . í
Lumbreras Editores
. -
_______Ü_____.
Problema N/ 12
Del gráfico, halle x.
A) 52° B) 61° C) 4 6 ° ^ :s
D) 58° / E ) 64 o
Resolución x v W
\ 0w
Prolongamos las líneas. \
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo
formado por una bisectriz interior y otra ex-
terior.
_ 52°
m < AD C= -^ -
Del gráfico, tenemos
Por el teorema del ángulo exterior
x=26°+35°
x=61°
Clave
A) 56°
B) 57°
C) 63°
D) 66°
E) 54°
m</ADC=26°

106. Capítulo 3
Resolución
B
P ro b le m a N.° 14
Del gráfico, calcule x.
Prolongarnos las líneas y aplicamos el teorema
de la mariposa.
—» m < A fíC -5 4 °
Del gráfico, notamos
Á F A
« ■. ""
B r-V
V
En el A ABC aplicamos el teorema del ángulo
form ado por dos bisectrices exteriores.
54°
x = 90° — —
x = 9 0 ° —2 7 °
/. x=63°
: Clave
B
A) 4
D) 5
R osolud érí
B) 6
Im p o r t a n t e
I
i
Observamos que
En A A/?A m<AER=90°-Q
En A Afíf, m <AFB=90°-0
Q 7
E) 8
111

107. o
COLECCIÓN ESENCIAL
Li
Luego, observam os del gráfico que el A EB F
es isósceles.
A
/
u
/
/ ,,
\ .r y
v /
Y A y
x=5
Gave
Prolongamos AC, entonces CE es bisectriz.
En el ABC aplicamos el teorema del ángulo

108. Capítulo 3 Líneas notables
Resolución Problema N.° 14
x = 9 0 ° —2 7 °
x=63°
; Observamos que
i Enth* ARE, m<AER=90°-Q
\ Clave{ } : EnfcxASF, m<AFB~90°-Q

109. Problema N/ 16
Calcule el m enor ángulo form ado por AE y BC.
B
A) 8C° B) 60° C) 50°
D) 70° / e) 40o
Resolución
B
Prolongamos AE que corta a BC en F. Entonces
x es la medida del ángulo pedido,
Luego, notamos
Aplicamos el teorema del ángulo exterior.
x=40°+40°
x-80°
Clave'-.
Problem^..N/17
__________________
Si AB-AC y BR con BD trisecan al ángulo ABC,
calcule x.
A) 14° B) 26° C) 24°
D) 28° E) 32°
Resolución
NO O L V I D É
} T risecar significa dividir en tres partes
iguales un ángulo o un lado.
Im p o r t a n t e
Para encontrar el ángulo entre dos
\ líneas, estas deben cortarse; en caso
contrario, las prolongamos.

110. C om o BR y BD trisecan al <ABC
-> m<ABR=m<RBD=rc\<DBC
Com o AB=AC, el A BAC es isósceles.: - ^-. i >;
-> S x=78° / J Î A
78°
x =
/. x= 26°
\ Clavé -.1
f
Problema N.s 18
Del gráfico, calcule x.
A) 50°
D) 80°
B) 40°
C) 70°
E) 75°
K r .if ■ i l ' A '
Im p o r t a n t e
Se cumple
A A
y ' v \
A
-
..A
so° \
/
\
/ V D ,' \
y x . \
/
■a--
A,
\
\ a \
S,\f\
Aplicamos el teorema del búmeran.
AABCD: x =0 + a + 6O°
AADCE: x + 6 + a =100°__________
2x + $ + ,a =,Q + 4 +160°
2x=160°
160°
—> x =
2
x=80°
Clave

111. Capítulo 3
Líneas notables
Del gráfico, halle x.
A) 105° B) 110° C) 100°
En el A ABC, por el teorema del ángulo formado
por dos bisectrices interiores
m< AEC = 90°+
80°
—> m <AEC=90° + 40°
m <A£C=130°
Del gráfico
En el A EFC usamos otra vez el mismo teorema.
50°
x = 9 0°+ ——
2
x=90°+25°
,v=115°
Problema N.° 20
Calcule
A) 30°
D) 40°
B) 60°
: Clave \
C) 50°
E) 43°

112. CO LEC C IÓ N ESEN CIA L
Lum breras Editores
Resolución
En el AABC aplicamos el teorema del ángulo
form ado por dos bisectrices interiores.
—> m < BDA = 90° +
m < £0/4=120°
60°
i W W a \
H S&W' /? -A&- 'à
xi/<% ? *X8t? JÉk$ I
% - #.»> -/- I * / wW «
V
\ iwÊ> Æ w /
Luego, en el A A D £ aplicamos el teorema del,.,.,
ángulo formado por una bisectriz interior,y ^
otra exterior. v%
Se cumple
60°
x = -
x=30°
i C/ove
Problema N.* 21
Del gráfico, calcule/.
A) 115°
D) 110°
B) 120c C) 140°
E) 118°
Resolución
Prolongamos y se forma un pescado (/JO-
-» 70° + m <A£C=50°+60°
70o+m<A£C=110°
J ; m«/4£C=40°
»s.
Luego, en el AA £C aplicamos el teorema del
ángulo formado por dos bisectrices interiores.
x = 90° +
x=110c
40°

113. Capítulo 3
Líneas notables
P ro b le m a N .‘ 2 2
Calcule a + b.
Luego, notamos en el gráfico.
v
£
A) 116° B) 118°
D) 112°
Resolución
En el triángi
ma de las bisectrices exteriores.
C) 128°
E) 114°
p>' 4xc
:MW'' <;•
//•
En el A EFD
a + b + 66°=m °
a + b= m °-66°
0*6=114°
l¡,
; Clave •
D
E
n 48°
m < A£C = 9 0 °— —
m < A £C = 90°-24°
m<A£C=66°
Problema N.° 23
Calcule x.
A) 40° B) 30° C) 22,5°
D) 25° E) 15'5°
____J
117

114. Resolución
Prolongam os BE y CF y observam os que son
bisectrices del triángulo ABC, una interior y
otra exterior.
B
i /
> X '
i f
l t
/
O
En AEFD aplicamos el teorema de la suma de
los ángulos internos.
x+3x+4x=180° —> 8x=180°
x=22,5°
■ Clave \ C )
*, »*»#•*
En un triángulo ABC se ubican los puntos M, D
y E en AC, ~BC y en la prolongación de 45, res­
pectivamente, tal que E, D y M son colíneales.
Si AE=EM y m <4£M =20°, calcule m<EMC.
A) 80° B) 100° C) 110°
D) 120° E) 118°
Resolución
\ Im p o r t a n t e
I Los puntos colineales son aquellos í
Í puntos que se encuentran en una |
misma línea recta.
c< ^ > >o<x>x vo c<o o<:<v>s< > Xí< X ' : « < > ■ » •" * > y c o c o o o o o * A
Graficamos el triángulo ABC y ubicamos M en
AC, D en 8G%E en la prolongación de AB.
Problema N/ 7h
Del dato, E, D y M son colineales; además,
AE=EM y m<A£M=20°.

115. I
Capítulo 3
Líneas notables
Nos piden m < £M C= x.
Problema 25

116. 1. En un triángulo ABC, se traza la ceviana in­
terio r BM, tal que BM=BC. Si m<MBC=3Q°,
calcule m <BMA.
A) 100°
D) 90°
B) 120° C) 105°
E) 115°
2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana
exterior BD (D está en la prolongación
de A C ). Si BC=CD y m<CBD=26, calcule
m < 5 C A .
A) 40°
D) 52°
B) 50° C) 60°
E) 46°
En un triángulo ABC, se traza la ceviana
interior BD y en el triángulo ABD se.traza
la ceviana interior BE, tal que BD-BE y
m<EBD=40°. Calcule m < 5D C.
A) 110°
D) 130°
B) 100°
C> 120°
E) 105°
A) 45°
D) 60°
B) 30°
C) 40°
E) 50°
A) 90°
D) 130°
B) 110° C) 100°
E) 120°
7 . En un triángulo ABC, se traza la mediana
BD, tal que AC=2BD. Si m <BCA=40°,
calcule m <BAC.
A) 35°
D) 60°
B) 40° C) 50°
E) 70°
En un triángulo A5C, se traza la bisectriz in­
terior BD, tal que BD=AB. Si vn<DAB=80°,
calcule m <ABC. • ’\ T "
8. En un triángulo ABC, recto en B, se traza
la altura Bhl y en el triángulo BHC se traza
la bisectriz interior CD. Si m<BAC=70°,
calcule m <HDC.
A) 60°
D), 80°
B) 70° C) 100°
E) 110°
En un triángulo ABC, se traza la altura BH.
* - - Si BC=AC y m e BCA-40°, calcule m cABH.
: 1 A) 10°
D) 40°
B) 20° C) 30°
E) 50°
10. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
interior AD, tal que AD=DC=AB. Calcule
m < BAD.
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz in­
terior AM, tal que AM =BM y m<ACB=B0°.
Calcule m<BAM.
A) 24°
D) 36°
B) 30c C) 44°
E) 48°
A) 40°
D) 30°
B) 50°
C) 60°
E) 20°
11. En un triángulo ABC, la mediatriz de AB in­
terseca a AC y AB en Dy E, respectivamente.
Si m < £04=50° y m <5C4=40°< calcule
m e ABC.
6. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC in­
terseca a BC yAC enDyE, respectivamente.
Si m<ACB=20°, calcule m<BDE.
A) 90°
D) 110°
B) 96°
C) 100°
E) 115°
ik

117. Capítulo 3
Líneas notables
12. En un triángulo ABC, se trazan las alturas
BH y CE. Si m < A B H = 20 °, calcule rrxEC A .
A) 20° B) 30° C) 40°
D) 60° ' E) 70°
13. En un triángulo equilátero ABC, se traza
la bisectriz interior CD y DH es altura del
triángulo ADC. Calcule m < HDC.
A) 40° B) 70° C) 30°
D) 50° E) 60°
14. Del gráfico, calcule x.
A) 20° B) 40° C) 50°
D) 10° E) 30°
15. Del gráfico, calcule a+b.
A) 155° B) 145° C) 165°
D) 170° E) 150°
16. Del gráfico, halle x.
A) 126° B) 116° C) 106°
D) 113° E) 123°
17. Calcule x.

118. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

119. 25. Calcule a+b.
28. Del gráfico, calcule*.
A) 32,5°
D) 30°
B) 22,5Ü C) 24,5°
E) 40°
A) 105°
D) 120°
B) 100° C) 130°
E) 115°
30. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
exterior BD (D está en la prolongación de
AC). Si AB=AC y m<BDA=30°, calcule
m < CBD.
A) 50°
D) 60°
B) 40° C) 30°
E) 45°

120. 31. Del gráfico, calcule a. j 34. Del gráfico, halle*.

121. 40. Del gráfico, calcule x.38. En un triángulo ABC, se traza la mediana
AD y en el triángulo ADC la ceviana inte­
rior DE. Si 8C = 8; DE=4 y m < D C £= 46°,
calcule rc\<AED.
A) 114° B) 116° C) 124°
D) 130° E) 134°
39. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC
interseca a BC y a la prolongación de AB
en D y E, respectivamente. Si m <6£D=32°,
calcule m < £ 4 C .
A) 32°
D) .58°
B) 48°
B) 30° C) 20°
E) 35°
C la v e s
------------------
--
1c 6 B 11C 16D 21A 26C 31
2D 7 C 12A 17F22D27C 32
3 A 8 l)13E18D23P28B33
4c 9 B 14A 19D24C29E34
5 A 10P 15C 20A 25C 30A 35
D 36B
537A
L38F
G39P
E40A

123. Actualmente, es común ver en las calles, en las tiendas o en la
televisión objetos que se ofertan, los cuales no necesariamen­
te son únicos en su especie. A principios del siglo xx, Henry
Ford producía miles de vehículos idénticos, y fue el primer
fabricante automotriz que masificó la producción.
A lo largo de los años, con el avance del desarrollo del mer­
cado automotor, el proceso de fabricación de un automóvil
se ha simplificado y ahora se divide en seis partes: prensas,
chapistéría, pintura, motores, montaje y revisión final. El fin
de este logro no solo se condiciona, al mejoramiento de la
estructura del vehículo, sino también a la búsqueda de poder
disminuir los accidentes y muertes ocurridas en las plantas de
procesamiento, que se iniciaron en Francia y Estados Unidos,
a finales del sigio xix.
En la imagen, se pueden apreciar objetos iguales en cuanto a
forma y tamaño, estos detalles caracterizan a las figuras con­
gruentes.
AMOR A SOFÍA
Aprendizajes esperados
u Distinguir de manera correcta si dos triángulos son real­
mente congruentes.
- Reconocer de manera adecuada los teoremas sobre las
aplicaciones de la congruencia.
* Deducir en qué problemas se pueden utilizar los teoremas
mencionados en este capítulo.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque nos permitirá resolver problemas mediante la compara­
ción de figuras congruentes, es decir, si dos de ellas son iguales,
los elementos de una se repetirán en la otra.
L'l término conglutínela no solo es utilizado para los triángulos,
sino también para cualquier par de figuras u objetos que tienen
la misma forma y el mismo tamaño, como pot ejemplo, edifi­
cios, como en el caso de las Torres Gemelas, camisetas deporti­
vas de una misma talla, lapiceros azules de la misma marca, etc.
*v
\

124. Congruencia de triángulos
1. CO N CEPTO
Son dos triángulos cuyos ángulos son de igual medida y, ade­
más, sus lados también poseen la misma longitud.
Para indicar que dos figuras
son congruentes, se utiliza el
siguiente símbolo:
o
Posición de dos figuras
congruentes
Dos figuras congruentes no ne­
cesariamente estarán en la mis­
ma posición, sino que pueden
estar volteadas o superpuestas.
La idea es que en un problema
se tome en cuenta este punto.
Del gráfico
íV/ ' - . : a., \ S ' ;
donde = se lee: "... es congruente a...”.
Ejemplos
1. Determinamos si hay congruencia en los triángulos.
Observamos que ambos son congruentes.
2. Analizamos si las figuras son congruentes.
Æ
_______d
Las dos figuras sí son congruentes.

125. Resolución
Nos piden a.
Al lado 5 se le
opone un ángulo
que mide 40°.
En su congruente
debe pasar
lo mismo.
a=40°
Aplicación 3
Si los triángulos son congruentes, calcule )c
En el A ABC, al ángulo a se le opone un lado 5.
En el A CDE congruente debe pasar lo mismo,
entonces CD = 5.
Aplicación 1
Si los triángulos son congruentes, calcule x.
Aplicación 2
Si los triángulos son congruentes, calcule a.
que sirve la congruencia de triángulos?
La congruencia de triángulos sirve para poder
conocer elementos (lados o ángulos) mediante
el uso de la comparación entre triángulos ya
congruentes.
Resolución
Observam os.
En su triángulo
congruente debe
pasar lo mismo.
129

126. m
COLECCIÓN ESENCIAL
______
/ v .''Dató :'o;HoiaE^;'
''***“.“/•* "''•■••*'’**■*.v^j»A<»sVy*
Las torres congruentes
Las torres de Bahrein tienen !a
forma de veías, poseen una a!-
; tura de 240 m y entre ellas hay
- í tres gigantes turbinas de viento
para generar aproximadamente:
et 13% de la energía que nece-
. , sita el edificio.
Las torres Petronas, en Kuala
vv. *•••
'•>' •. /
' 5®
V-VVV:
Í W v ; f
Lumpur, capital de Malasia, fue­
ron los edificios más altos del
mundo entre 1998 y 2003.. Estas
estructuras de 88 pisos están co­
nectadas mediante un puente.
Luego
En el ACDE, al ángulo 8 se le opone un lado 7. Entonces en el
AABC debe pasar lo mismo.
BC = 1
x + 5 -7
x -2
. . . : •
En dos; triángulos congruentes se cumplo que a
los ángulos iguales se le oponen lados iguales,
, y viceversa, .
2. CASOS PARA ¡DENTIRGAR TPÍ/OmGÍií OL CONGRUÍ NT!
Dos triángulos son congruentes si tienen seis elementos igua­
les (tres lados y tres ángulos). Sin embargo, existen tres casos
o situaciones que permiten saber si dos triángulos son con­
gruentes con solo conocer tres elementos iguales, donde al
menos uno de estos tres sea un lado.
2.1. Caso 1: Laclo - ángulo lado (L-A-L)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales,
respectivamente, y los ángulos formados por dichos lados son
de igual medida.

127. Se cumple
AABC~áPQR
Aplicació n 4
Indique si los triángulos son congruentes.
Resolu ció n
A pesar que tienen tres elementos iguales, la
ubicación de los elementos del primer triángu­
lo no están como indica el caso L-A-L.
Por lo tanto, los triángulos no son congruentes.
Aplicación 5
Indique si los triángulos son congruentes.
Resolución
Los triángulos tienen tres elementos iguales,
los cuales cumplen con el caso L-A-L.
Ap l i c a c i ó n 6
Del gráfico, calcule AE.
D
Notamos que el A ABC = &ECD
dado que ambos cumplen con el caso L-A-L,
es decir, 4-0-6.
Si comparamos sus elementos, diremos que
AC - ED, es decir, AC = 5.
Luego
y=5 + 4
/. x-9
131

128. ¿.2. La so 2: Ángulo - lado - ángulo (A-L-A)
Dos triángulos son congruentes si tienen un
lado igual, respectivam ente, y los ángulos ad­
yacentes a dicho lado son de igual medida.
' Se cumple
áABC.=APQR
Aplicación 7
Indique sí los triángulos son congruentes.
%
Resolución
Observamos.
Resolución
Tenemos
Sí son congruentes, ya que cumplen con el
caso A-L-A.
Ap lic a c ió n 9
Del gráfico, calcule x.
*
%% ' ¿y
\ Y
Notamos que los triángulos no son congruen-
tes, ya que no cumplen con el caso A-L-A.
Aplicación 8
Indique sí los triángulos son congruentes.
Resolución
Solamente hay dos elementos iguales, pero
falta uno. Veamos sí se puede conocer el ter­
cer elemento faltante.
Observamos que el AABC=AEDC, por el
caso A-L-A; es decir, 0 -4 -a ).

129. Arribos no son congruentes, dado que solamente tienen
los lados iguales.
De la congruencia, si com param os sus elementos, diremos, por
lo tanto, que x es igual a 7.
2.3. Caso 3: L a d o -la d o -la d o (L-L-L)
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados ¡guales,
respectivam ente.
Telares antíincs
En el Perú y algunos países de
América se realiza el tejido de
mantas y ponchos de manera
artes-ana!, los cuales varían en
color y diseño según la aldc-a o
departamento. En ellos pode­
mos observar figuras geométri­
cas congruentes.
Los condominios
Son la forma de propiedad par­
ticular dentro de una vivienda
residencial multifamiliar; donde
cada propietario tiene el 100%
de la unidad adquirida y es c o ­
propietario de otros elem entos
com unes de la vivienda com o
pasillos, ascensores, etc.
Se cumple
De los tres caso s vistos, este último es el más
fácil de reconocer.
Ejemplo
Analizam os si los triángulos son congruentes.
^ ík&PQR*

130. Am bos son congruentes, dado que tienen
tres lados iguales.
Los dos triángulos son congruentes, dado
que tienen 3 lados iguales, además mues-%
tran un lado en común que comparten. . v
Ap l i c a c i ó n 10
Del gráfico, el A ABC es equilátero. Calcule a.
Resolución
Nos piden a.
Como el ABC es equilátero
AB=BC=AC=n
El A A B D ~ ¿\CBE, por el caso L - L - L.
De la congruencia, diremos que
a=50°
O&tum/ncíóin
¿Cóm o saber si un problema se puede resolver
por la congruencia de triángulos?
Si en un gráfico vemos elementos que se repí- j
ten de dos en dos, es correcto pensar en una j
posible congruencia.

131. Capítulo 4
Congruencia de triángulos
¿fu*, ln i
3. T R IÁ N G U LO S R EC TÁ N G U LO S C O N G R U EN TES
C aso s e sp eciales
Cuando tienen una misma hipotenusa y un cateto igual.
a
Si hay una misma hipotenusa y un ángulo agudo igual.
• Con un mismo ángulo agudo y su cateto adyacente igual.
Ni» o lvid e
Distancia entre dos puntos
i A '
ij
D istancia entre un punto y una
recta
• Cuando presentan dos catetos iguales.
b
---------1 I ---------/ '----------1

132. Visitando la t&eb
Video relacionado a la con­
gruencia de figuras
¿ http://youtube/uwSIS2JZsno
Ejemplos
1. Indicamos si los triángulos rectángulos son congruentes.
No necesariamente son congruentes, dado que faltaría un
dato más: un ángulo agudo o un cateto.
2. Determinamos la congruencia de los triángulos rectángulos.
3.
No son congruentes, dado que sus elementos no se corres­
ponden; además, no cumple con el caso A-L-A.
Analizamos la congruencia de los triángulos.
No son congruentes, dado que sus elementos no se corres­
ponden; además, sus elementos no cumplen con el caso
A-L-A.
4. Verificamos si hay congruencia en los triángulos rectángulos.
No necesariamente son congruentes, dado que faltaría co­
nocer al menos un lado para garantizar que haya el mismo
tamaño y en ambos triángulos.

133. Aplicación 77
Del gráfico, si AB=BCy C£=3, calcule BD,
A
Resolución
Nos piden BD=x. Sea AB=BC=a.
Observamos a dos triángulos rectángulos que
tienen el mismo valor de hipotenusas, por lo
cual faltaría un dato,más para asegurar si son
congruentes o no, y para saberlo completa­
mos los ángulos.
Si m <BAD=Q, rr\<ADB=90°-Q, entonces
m < C B E -8
Aplicación 72
Del gráfico, si AB=BC; DE=2 y EB=3, calcule
C
Re s o l u c i ó n
Nos piden EC=x. Sea AB=BC=a.
Como en el ejemplo anterior, notamos dos
triángulos rectángulos de hipotenusas iguales,
entonces al faltar un dato más, completamos
los ángulos.
Si rr\<DAB=Q, entonces
m<ABD=90°-Q
La m<EBC=Q -> k^ADB BEC
C
Si comparamos los elementos, diremos que
EC=DB
x=5
Por lo tanto, si comparamos los elementos,
observamos que x es igual a 3.
137

134. ' 7
Dos triángulos rectángulos serán congruentes
si tienen dos elementos iguales que se corres­
ponden (al menos uno de ellos tiene que ser un
lado), dado que el tercer elemento siempre es
el ángulo recto.
4. A PLIC A C IO N ES DE LA CO N GRUEN CIA
Son teorem as que se deducen y demuestran a
partir de la congruencia de triángulos.
4.1. Teorei sa 1 • la i isectriz de un ángulo
Todo punto de la bisectriz equidista de los
lados del ángulo.
/ 1
/ i
O 3 \
m .
□
o
Si OP es bisectriz, se cumple
•'Ssa
a
Adem ás ' rrr n
___j
Ejemplos
\ “
O
No oívldu
1. Calculam os/.
O
<4 .
/ >n
/■>' 1:4. □
Por lo tanto, por el teorema de la bisectriz,
x es igual a 3.
2. Hallamos x.
O ,
□ . . . . . . .
Por el teorema de la bisectriz
2x-2= 6
i ~2x=8
X=4 . " "
Ap l i c a c i ó n 13
Del gráfico, calcule x.
R E S O L U C IO N
Como tenemos una bisectriz, trazamos la per­
pendicular.
O
/
/
/
1 7
7 ;
□

135. Capítulo 4
J»
Congruencia de triángulos
Luego
r
D
Aplicam os el teorema de Pitágoras.
x2=52 + 52
>^=50
X = Sy¡Z
Aplicació n 14
Del gráfico, calcule*.
Resolución
Trazam os la perpendicular y aplicamos el teo
rema de la bisectriz.
Luego
2
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
x2=22 + 52
x^-29
.% x = \¡29
4.2. Teorem a de la m ediatriz de un segm ento
Todo punto de la mediatriz de un segmento
equidista de los extremos del mismo.
A /'
X
\ y
v
\
a A r;
\
Si ^ es mediatriz de AB, se cumple
Además, se formará un triángulo isósceles,
donde
Ejemplos
1. Calculamos x.
, v O * t
Aplicamos el teorema de la mediatriz.
2x=6
x=3
2.Hallamos x.
*
Aplicamos el teorema de la mediatriz.
x - 1 = 5
‘ x=4

136. Aplicación 75
Del gráfico, calcule x.
t
Resolución
Aprovecham os la mediatriz de AD y trazamos
Ü D por el teorema de la mediatriz.
Aplicamos el teorema de la mediatriz.
x=4
Aplicación 76
Del gráfico, calcule a si á? es la mediatriz de
AByAD=CB.

137. Capítulo 4
Aplicación 17
Del gráfico, si AB=BC, calcule x.
Re s o l u c i ó n
, ' -V ' j / / A&'=- ■ "■ .:*£
........................... V s S V
Por propiedad, en todo triángulo isósceles se su -
y&>\ . -í*
i i i 1 f
■ ''s^rKípiúiiS’ .''v i. ■ ’
HísécUi.; ,A’!yp
o:pílrtíófi;xíeÍTÍ<vdfjtrk-
Com o el A ABC es isósceles, trazamos su altura.
Congruencia de triángulos
d i .
Triángulo isósceles
¡ Si en un problema vemos estos
gráficos, podemos asegurar que
dichos triángulos son isósceles.
i ! / ( \ :
\
o \
/ ;
□
/t)o\
\
¿ - J L
Importante
En todo triángulo isósceles
9
/\
X
A
V7x
/jV - . -
si
’ S L
o = ó

138. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Po r la propiedad del tríájupáo isósceles, BR es
tam b ién m ediana.
A R -R C -3
buego, aplicamos el teorema de ja bisectriz.
B .
D
R 3 C :
/, x~3 í * \ " \j
4 .3 . T e o re m a de la base me&ia V / i
En todo triángulo, la base medía respecto de j
un lado es paralela y además mide la mitad de ;
dicho lado. A % i
Sí MN es la base medía, se cumple
MN//AC
Además
Ejemplos
l Calculamos x.
O
Por lo tanto, por la base medía, x es igual
a 4.
2, Hallamos x.
Por lo tanto, por la base medía, x es igual
a 12.
Aplicación 78
Del gráfico, calculamos x.

139. Reso lu c ió n
En_el ABC, MN es la base media respecto
Aplicamos el teorema de la base media.
MN=8
Luego, en el . MA/C, aplicamos el teorema de la
base media.
Re s o l u c i ó n
Si trazamos AC, formamos el A ACD, donde x
Luego
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
(2x)2=3¿+42
4X2=25 -> x 2 = —
4
5
x = —
2
4.4. Propiedad del punto medio
Si M es el punto medio de AB y M £//4C; en
tonces
B
donde ME es la base media.
Ejemplos
1. Calculamos x.
□
_______h_____X
Según la propiedad del punto medio, x es
la base media.
O —
A C - 2x
b
.-. x=3

140. 2. Hallamos x.
Según la propiedad del punto medio, 7 es
la base media.
x=14
Aplicación 20
Del gráfico, calcule x.
Re s o l u c i ó n
____
Notam os que AP es bisectriz, entonces apro­
vecham os el teorema de la bisectriz.
Luego
Aplicamos la propiedad del punto medio, don
de x es la base media.
x=5
4.5. íeo rem a ele la mediana relativa a la
hipotenusa
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la
mediana relativa a la hipotenusa es igual a la
mitad de la hipotenusa.

141. Capítulo 4
Congruencia de triángulos
Aplicación 2 7
Del gráfico, calcule/.
B
Com o BM es la mediana relativa a la hipote­
nusa, aplicamos su teorem a.;
Además, el A BMC será isósceles.
Luego
En el A BMC aplicamos el teorema del ángulo
exterior.
x = 5 2 °+ 5 2 °
/. x=104°
Aplicación 22
Del gráfico, calcule/.
Re s o l u c i ó n
En ellA A C fí, podemos trazar la mediana CD.
Aplicamos el teorema de la mediana relativa a
la hipotenusa.
CD=6
Luego

142. COLECCIÓN ESENCIAL
. ’ * •. ■
f - . V ■'
é k k í.::-
Lumbreras Editores
; Jm p ó rto ñ fta
Simetría
Hay varios tipos de simetría,
como la simetría axial, que es
cuando una figura es congruen­
te con otra respecto de una
recta (que puede estar trazada
o ser imaginaria). También es
conocida como la propiedad
del espejo.
Hay muchos programas de
diseño que tienen esta herra-^
mienta.
P T CorelDRAW X5 - [Sin títukr-il . ' , . ;
gr Archivo £c¡Ic«on Ver Mapas dehát
J t! Q es i ^ 3 ^ ^
x: -¿8.357mm •“ * M.692mm
Y . 175.7651IW i 29.231 mm
,. ' i:o i» '
i1* L J L I . * * . * . ) * U A t U i M - l« » ! - 1
Visitando la web
M o stram o s un enlace sobre la
simetría.
http://web.imactiva.cl/descar-
gas/¡mactiva/demo_actívidades/
swf/matematica/armonia„y_si-
metria.swf J
■ ¡ A / /
•i
Si en un triángulo la mediana es igual a los segmentos deter­
minados en su lado relativo, entonces se cumple lo siguiente:
! ; u
' • -T-XX- • ^ ,V. -
I X = 90° i
■ "v ' :
_____ j
1
L U ID
Aplicamos el teorema de la base media.
.-. x=3
5. SITÜACIOHP^rcy^NTES DE TRIÁNGULOS
CONGRUENTES
En cada situación, si el AABC y el ADBE son equiláteros, en­
tonces los triángulos sombreados serán congruentes.
Ejemplos , .
3.

143. . - -
Capítulo 4
Congruencia de triángulos
Encuentre las 7 diferencias en las dos imágenes.

145. Problema N.' 1
Del gràfico, si fe=4C, calcule x.
Problema N, 2
Del gràfico, si AC=CD; y £D=7, calarle *.
; Clave ' Clave

147. Capítulo 4
Resolución
\
^ P A R I S * '
AMOR A SOFÍA Problema N / 5
C °rn p letamos los datos del problema del | Del gráfico, si AB=
- ±ABC equilátero {AB=BC=AQ
Congruencia de triángulos
EB y BC=BD, calculen.

149. Capítulo 4
Congruencia de triángulos
Problema N.‘ 7
Del gráfico, si AB=AC; y DC=AE,
calcule x.
8
A) 50° B) 60° C) 45°
D) 25° f - E) 70°
R e so lu ció n *
Completamos los datos del problema.
Por el caso L-L-L notamos que el
A A BE = ACAD
Si comparamos sus elementos, entonces
rr\<BEA = rc\<ADC
\
íi(\
/ « *r>
Aplicamos el teorema de/>.
x+9=5Oü+0
a"~50°
i Clave
Problema N.* B
Del gráfico, si AB=BC, AE-A y ED -3, calcule x.
B

151. Capítulo 4
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
>r2+52=82
Clave
x=6
Problema N.* 10
Del gráfico, calcule*.
[ Clave
A) 3 B) 4 C ) 5
D) 6 E) 7
Resolución ^
Trazamos y aplicamos el teorema de la bisectriz.
Problema N.* V*
Del gráfico, SP es la mediatriz de BCy AB-DC.
Calcule
A) 20° B) 25° Q 30°
D) 35° E) 40°
Resolución
mos el teorema de la bisectriz. BD=a

152. n
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

153. Capítulo 4
Resolución
No OLVIDE
o /
a /
Z_ c _ □
m n
Se cumple
l . ni~n ;■
\
-----------------j :
*1 /
Según lo anterior, AD=DR=b y por el teorema
de la base media, BR=2x.
RC=3
Notamos.
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
(2x)2 + 32 = 52
4x2=16 x2=4
x=2
; C/oi/e
Problema N. 14
Si AM-MN-NB] BR=RD y AD-DC, calcule x.
A > 2 A
B) 3 J \
q 4 „ / y
Resolución
Si aplicamos el teorema de la base media, en­
tonces MD=4.

154. Problema N.* 15
Del gráfico, si A D = D C , calcule x.
A) 5%/2 B) 14 C) 15
D) 10 E) 13
Resolución
Com o AD=DC=12, entonces por el teorema de
la mediana relativa a la hipotenusa^ BD=12.
A plicam os el teorem a de Pitágoras.
x2=122+52
x2=169
x=13
! C /ave
Problema N.* 16
Del gráfico, si RD=DCy AR=RC, calcule*.
D
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
Resolución
Por el teorema de la base media tenemos que
BR=6.
Aplicamos el teorema de la mediana relativa a
la hipotenusa.
AR=RC=BR=6
x=12
: Clave

155. Problema N/ 17
Del gráfico, si A R = R C , calcule x.
A) 60° B) 50° C) 45°
D) 30° / E) 80°
Resolución
Com o AR=RC y AC=10r entonces
AR=RC=5
Aplicamos el teorema de la mediana relativa a
la hipotenusa.
Luego
R
Observamos que el triángulo es equilátero
a-60°
; Clave
P ro b le m a IB
Del gráfico, si AM=MC= 2 y DB=3, calcule x.
I A) n/t3 B) 5
i D) 2y¡2BR=5
C) 2V3
E) 5 ^

156. COLECCIÓN ESENCIAL
Resolución
En el k .ABC, trazam os la mediana relativa a la
hipotenusa, donde BM es igual a 2.
Luego
^=13
* = J Í 3
i C/ove
Problema N. • 19
Del gráfico, si EB=BD y AB-BC, calcule*.
A) 30° B) 20° C) 18°
D) 35° E) 40°
'•‘•V’ T%¿'
Resoliidoñ
Observamos que aparentemente el ¿lEBC y el
AABD serían congruentes, dado que tienen
dos lados iguales, pero falta un tercer elemen­
to igual.

157. Ai ángulo DBC lo llamaremos 0, y notaremos
que m<ffíC=9O°+0 y m<D£?A=9O°+0.
Resolución
i Nos piden a.
El A £ fiC = A /4 fíD , por el caso L-A-L
Por lo tanto, si comparamos los elementos, te­
nemos que x es igual a 35°.
] Clave (/ A
Problema N.a 20
_______________ ' A,/ -_______
Del gráfico, si AE=BC y ED=DB, además, 3) es
la mediatriz de AC, calcule a.
A) 30° B) 24° C) 15°
D) 36° E) 25°
Por el teorema de la mediatriz tenemos
AD=DC
Notamos que el ¿±AED=ACBD, por el caso
L-L-L
Comparamos los elementos de los triángulos
congruentes.
m<A£D=4a
Observamos que el AEDB es isósceles.
m <DEB=a
Notamos en el gráfico.
! Luego
i 4a + a=180°
i 5a=180°
! a=36°
r Clave
161

158. l* Indique cuál de los siguientes pares de
triángulos son congruentes:
3- Sí AD-EC y DB=BC, calcule x.
III.
J
A) solo I B) I y I! C )'soló, III
D) II y III ‘ E) l y l l í í #
\ ';í% J 0 "
% ' :y At. f ív ¿
2. Indique cuál de los siguientes pares de
triángulos son congruentes:
A) 50° B) 40° C) 60°
D) 70° E) 80°
Si AB=CD y DB=DE, calcule x.
' C ’A) 20° B) 30° C) 40°
D) 50° E) 60°
5. Si AB=BC y BE=BD, calcule x.
8
A) solo I B) I y II
D) Il y III
C) solo III
E) todos
A) 30° B) 35° C) 20°
D) 40° E) 45°

159. M
Congruencia de triángulos
S¡ BE=CDy AB//CD,calcule
Si AB=AD, calcule x.
fí
A) 4
D) 8
B) 5 C) 7
E) 6
D) 50°
E) 60° D) 10 E) 9

160. o
COLECCIÓN ESENCIAL
11. Del gráfico, calcule x.
Lumbreras Editores
Si SB es la mediatriz de AD y AB=BC, cal­
cule x.
A) 70°
D) 95°
i —
I
i
I
9 7' U (
/
B) 86° C) 115°
E) 105°
15. Del gráfico, calcule x.
m Z Jz s
__— □"
rW i
ó -
/ . Vv
o
A) 5
D) 4
B) 10
16. Del gráfico, calcule x.
A) 26
D) 41
A) 2
D) 5
B) 31 C) 33
E) 23

161. Capítulo 4
,___
Congruencia de triángulos
Si CM=MD y DN=Nfí, calcu le*. Si A M = M C , calcule x.

162. O
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
2 3 .Si 32 es la mediatriz de 4 8, calcule
x.
A) VÏ3
B) 5
C) 4
D) 2V3
E) 3V2 /
2 4 .Si 3 \ y 32 son las médiatrices deANyBJD,
respectivamente, calculen.
D
A) 4
B) 6
C) 7
D) V34
E) 2>/5
25. Si BM=MCy BC= 2AD, calcule x.
X
jo\
X
'X.Y
A) 10°
D) 25°
B) 15c C) 20°
E) 50°
26.Si AB=BC; AD-BE y DB=EC, calcule x.
h
yf X
V ¡
A) 100°
D) 130°
B) 110° C) 120°
E) 115°
27 Del gráfico, calcule*.
A) 3 B) 5
D) 3V2
C) 6
E) 2V5

163. Del gráfico, si AB=Œ, y 6C=CD,
calcule x.
A) 3
D) 7
B) 6 C ) 9
E) 4
A) 40°
B) 50°
C) 60°
D) 70°
E) 80°
31 Si SB es la mediatriz de BQ calcule x.
Del gráfico, calcule x.
A) 4 B) 3 C), 2
D) 5 E) 3,5
Si AN=NB; B T-TQ CQ=QD y AM=MD,
calcule x.
B
M
A) 4 B) 2 C) 5
D) 3 E) 6
Del gráfico, si AM -M C, calcule x.
A) 10°
B) 20°
C) 25°
D) 30°
E) 40°

165. 30, Si AC-CD y BC-EC, calcule x.
39. Si AD-DC=4 y BF=6, calcule x.
A) 20°
D) 35°
B) 30° C) 25°
E) 15°
j&Sti
A:
r
r, Á''' / <'
A) 3
D) 3^5
B) 2%/5
w
$¡f %
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✓
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E) 372
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166. ; r-

167. \ * r z . , ' r • ' .
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____‘r%
...... z L ■■ '&*-*££-+— - *
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I. >■».
Las escuadras son herramientas de dibujo de arquitectos e
ingenieros, con las cuales se logran trazar líneas paralelas,
perpendiculares y oblicuas, formando con la horizontal
ángulos de medidas de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°.
En nuestra vida cotidiana, la colocación de una simple es­
cuadra otorga a una estructura la rigidez y resistencia que
necesita; esta característica permite desarrollar las aplicacio­
nes más exigentes, tales como la construcción de puentes,
torres eléctricas, edificios o el soporte del techo de una casa,
así como podemos apreciar en la imagen.-
A-O -;;.
K a 1
• Conocer los triángulos rectángulos notables exactos y
aproximados.
• Aprender a relacionar lados y ángulos en los triángulos
rectángulos notables.
• Plantear y resolver problemas empleando la teoría de los
triángulos rectángulos notables.
¿P o r qué es necesario este conocim iento?
Es una de las teorías que no solo es exclusiva para la geometría,
sino para otras asignaturas, así por ejemplo, la trigonometría,
la física, el álgebra, etc.
Asimismo, ayuda a resolver problemas de situaciones reales
donde se presentan triángulos rectángulos, pues conociendo
los valores de dos lados podremos encontrar el valor del
tercer lado y las medidas de sus ángulos agudos.

168. Triángulos rectángulos notables
Juego de escuadras
Está formado por dos regías
que tienen la siguiente forma:
La curiosidad de estas dos re­
glas está en la igualdad de lon­
gitudes entre la hipotenusa de
la escuadra y el cateto mayor
v del cartabón.
j 1. CO N CEPTO
• Son aquellos triángulos rectángulos en los que si se conoce
• la medida de sus ángulos agudos es posible conocer también
la razón entre las longitudes de sus lados de manera sencilla
í y viceversa.
! 2. TRIÁN G U LO S RECTÁN GULO S NOTABLES EX/
i 2.1. De 30° y 60°
O b serve que la longitud del cateto que se o po n e a 3 0 ° es
la m itad de la longitud de la hipotenusa.
2.2. De 45° y 45°
Observe que los catetos son de longitudes iguales.

169. donde
.
.................
Como apreciamos, las longitudes de los lados de un trián­
gulo rectángulo notable pueden variar, pero conservando
la proporción entre sus lados.
• En el triángulo rectángulo de 30° y 60°, la proporción
es de;4 ;Á i?y 2 .
• En él triángulo rectángulo de 45° y 45°, la proporción
e sd e 1 ;1 y 'Í2 .
4-
Ejemplos
1. Calculem os*.
/
□
El triángulo rectángulo de 30° y
60° se obtiene a partir del trián-
; guio equilátero.
Trazamos la altura relativa a un
lado.
Igualamos.
x=7a/2
2. Calculemos m.
Igualamos.
4 ) J Í = m fè
Obtenemos el triángulo de 30°
; y 60°.
m- 4

170. / * i N x ; v . ^ O ' . v
I ! Il H ü] H U Z f/t ■
.......-
¡ ¡ ¡ I I ] El triángulo rectángulo de;45° y
É 'f e í ^ 5 Â 0btie.n.e' a. partir dei ¿ a :
- “ r drado.
□
;■ j ' • •
s --T-, • * * , • . •
Vsà •• i
M l ' / M
;n § i : - ; -
M i . h ! ■ $
I !
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j m H :. i ; : • ,•
111 i ! ! i
{ | /r- *» j î ) . ; i : -,
□
Trazamos una de sus diagonales..
'-r*' —
• * r
" cK-
, ? i ; a <
! ! Il j
i ;
i|||§!:
I--TT»'
H ! I f/
A5^<1
■' !/ / / ¿
\:::y 4 5°
■ y
4 5 Ï''
7S**‘ n
O btenem os el. triángulo de 45°
V ■ ' ■
3. Calculem os a.
Igualamos.
10 = a V2
0 = 5^2
4. Calculemos x.
Igualamos.
12^ = m^/á
m=12
6. Calculemos x.
I

171. racionalizamos
2 3 . De 15° y 75°
nusa y la hipotenusa es de 1 a 4.
Ejemplos
Algunos trazos auxiliares
En las siguientes figuras se ob-
175

172. Cada una de las- naciones del' :
* mundd; tiene como símbolo
_ i tepi:esent.atÍYQí una bandera,
\ algunas de ejiias tien en¡ diseñds;
* con. triángulos'rectángulos no.~
I tables.
> Bandera de Bosnia
Aplicación 7
Calcule x.
Re s o l u c ió n
BH = — BH = 3
4 V w
El k^BHP es notable de 45° y 45°.
x= 45°
Aplicación 2
Calcule x.
j*
------------- ------------+-
□

173. Capítulo 5
Triángulos rectángulos notables
Resolucíón
En el fcs». CBD (notable de 30° y 60°)
CD=12
El AADC es isósceles.
/ . x=12
En el k^ADC (notable d e 30^ y 60°)
A C = 2 0
En el k>- ABC (notable de 45° y 45°)
2 0 = x 4 2 —*■ 2 0 ' 0 ~x 0
X= 2^ 3
/£
V
Visitando la web
www.youtube.com/watch7V
7cSSFuDr39E

174. COLECCIÓN ESENCIAL
m t///í IttlpOrtelftC
| 11 En cuanto a los valores de los
'; : i . "~tr^n9ulos aproximados, veamos
lo. siguiente:
3 k : :
H ü i
^ y X . . 7/
...
: j-VX/'-V
,4k. -y
I ! : • \ {/
r
*=36.8698°
„ —
........
■ *1 ; iV
V'— 53.130 Io
. T Debido a la relación simple en-
\ tre sus lados,, de manera prácti-
1 ca aproximaremos sus medidas
||-{| angulares a 37° y 53°.
í . Los triángulos que se deducen de
g il él también serán aproximados.
i \ \ m m m ' '■ : :
3. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES APROXIMADOS
3.1. De 37° y 53°
Observe que los lados
están en la proporción
de 3; 4 y 5.
donde
k= 1
b / 53°
,37o
k=2
J
C=3
/ I
: 3 c
-O
/X 3 7
.O
1 ' <
El triángulo rectángulo d e 37° y 53° e s él único de los
triángulos notables cuyos lados están en progresión arit-
metica.
Ejemplos
1. Calculemos x.
Igualamos.
*=5(6)
x=30

175. 2. Calculemos a .
Igualamos.
9=4 k
4
a=3k
0=3
v 4
.j í i
27
o = —
4 V ,
vS.... v<;<
Observe que los lados están en la proporción de 3; 4 y 5.
Entonces el triángulo es notable de 37° y 53°.
/. cc=37°
A continuación veremos que triángulos se deducen a partir
del triángulo rectángulo de 37° y 53.°
: Oatoxurioso
Los antiguos agrimensores
(medidores de tierra)
Para limitar las parcelas de terre­
no periódicamente inundadas
por las aguas del Nilo, los agri­
mensores usaban una cuerda
y la dividían en trozos propor­
cionales a los números 3; 4 y 5,
la tensaban con dos estacas y
juntaban los extremos, como se
observa en el siguiente gráfico,
formando un triángulo rectán­
gulo.
Para los egipcios, este era el
triángulo sagrado, porque era
el secreto de tedas las medidas.
También es conocido como
triángulo pitagórico o tnángulo
de Isis.
5>
C, ;
: > ;
a

176. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
cuyo nombre: deriva de! teorema
¡ V" ti»ji
de Pitagoras. .
/ Siin'pcrítísrtCtj : : £
Tem as: pitagóricas
5 Une terna- pitagórica . consiste
; en: tres entero? positivos (c, b, c),
• donde se cunóle que az-f¿r=cV
* '' •
3 4
5
t-
1 7 i 2 4 2 5
. . . . .|
8 15 17
r
3 17 144
1
_ _ _ _ __ _
145 í
:
i Estas ternas pitagóricas eran
j consideradas números mágicos
i significativos. Podemos encon-
] trarfas en tablillas babifónicas
i que se remontan hasta el año
MÍ- 1
----------
1600 a. o. e.
Observe que la razón
entre catetos es de 1 a 2.
qqc • | 1073-
— =•26,5°= 26°30' ! — = 63,5°= 63°30’
2 j I 2
Demostración
Partimos del fcu de 37° y 53°.
Ubicamos un punto D en la prolongación de BA, tal que AD=5a.
Entonces A G 4 D es isósceles.
Se deduce que m < A D C = m < A C D =
53°
Se obtiene BC = 4a y BD = 8a
K
____i *
Por teorema de Pitágoras
CD = ksÍ5

177. 3.3. De i 7! v 1 « !
Observe que la razón
entre catetos es de 1 a 3.
37°
— =18/5°=18°30‘
143°
= 71,5o=71° 30'
Ubicamos un punto D en la prolongación de BA, tal que^D=5a.
Entonces A C4D es isósceles.
37°
Se deduce que m<ADC=m<ACD=— •
Se obtiene BC = 3a y BD -9a
Por teorema de Pitágoras
C D = k JÍÓ
En la entrada d e la tumba de
Ramsés IX, en el valle de Tebas,
se levanta el brazo deí faraón
so b repasando la cabeza Ja
longitud de un codo. La momia
está situada como hipotenusa
de un triángulo rectángulo
cuyes catetos delinean una
serpiente. Más que una figura
geométrica, es el trazado de un
principio. El triángulo representa,
efectivamente, el triángulo sacrado
3; 4; 5.

178. o . > ,
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Ejemplos
1. C alcu lem o s/.
x = 3\^5
2. Calculemos (3.
Como la razón de catetos es de 1 a 3
3. Calculemos n.
Igualamos.
10 =
Entonces
10 V5
n = J s V s
1CK/5
n = 2V5.
Ap l i c a c i ó n 4
Calcule 4 C si £D=4.
BC = 4>/5
El tt^AfíC es notable de 37° y 53°.
x = 5>/5

179. Capítulo 5
4* OTROS TRIANGULOS R EC TÁ N G U LO S NGTABI ES
a p r o x im a d o s
los rectángulos notables
...............’'.t'C I, '• .
5. CASO PA R TICU LA R
A continuación estudiaremos uno de los triángulos notables.
Com o vem os, no es un triángulo rectángulo, en el que cono­
ciendo sus medidas angulares se puede conocer la razón entre
sus lados y viceversa.
En los siguientes gráficos: ,
. - C S i - "V .
a
i* vi; yf
se cumple se cumple
a - i20°
Ejemplos
1. C alcu lém ose
Se cumple que
X = Sy¡3
2. Calculemos (3.
Se cumple que
(3=120°
Ja'
Otro triángulo rectángulo es el
llamado "triángulo de la Gran
Pirámide”, un triángulo especial
: cuyos lados miden 1, \¡6 (1,273...)
y <¡) (1,618.,,),

180. Reto ut ¿afear:
3. Calculem os a.
Igualamos.
6 = a\¡3
_6_ ■&
V I A
6-Jl
a =
----
3
a = 2V3
/Ap lic a c ió n 5
Calculen.
Re s o l u c i ó n
En el AABC: AC - 5\Í3
El i^ADC es notable de 37° y 53°.
x = 4>l3

181. - p-
;'f¡- ' ¡#:v/r-.l.'O/v’
Construida por Teodoro de Cirene, alumno de Pitágoras, la espiral se genera a partir de un triángulo
rectángulo isósceles, formando sucesivos triángulos rectángulos con sendos catetos que resultan de la
unión entre la hipotenusa anterior y la unidad.
De esta manera se obtienen segmentos cuyas longitudes equivalen a las sucesivas raíces cuadradas de
los números de la sucesión de enteros positivos.

182. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
tál
__WBÊÊ . ' -
Triángulos rectángulos exactos
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
Corolario
k 4 l
o
60°
2 k
3 0 ° > \
75°
X
h
1_JQ
____
La razón entre la altura y
la hipotenusa es de 1 a 4.
15c
4 h
0x '' 120° X ® ■
a / a • o
a \ ¡ 3
a -12.0° i
Triángulos rectángulos aproximados J
[ X
53°
3k
5 k
□l
37°> ,
4/r
k
EL. .
5372
14372
Q
______
2 k
JcyfiÓ
3772
3 k
Observación
37°
=18‘53=18° 30'
53°
=26,5°=26a 30'
^Otros triángulos rectángulos notables
7 k
740 ' ?5/r b
n.
___________16° :
2 Ak
76°
m _
4vb
14°
Ab
s I

183. RESOLVEMOS JUNTOS

184. Problem a N.° 3
Problema N.' 4
Calcule (3 si A8=3y 6C=2.
Calcule AD si BC= 6.
A) 15° B) 16° C) 18,5° A) 16 B) 18 C) 20
D) 26,5° E) 30° D) 24 E) 32
Resolución
Nos piden (3.
El /MDB es isósceles.
AB=AD=3
En el ^ADC (notable de 37° y 53°)
2(3=53°
, P = S = 26,5»
.. K 2
C/ave
Resolución
En el fc-SCD (notable de 37° y 53°)
CD=8
El i^ACD es notable de 30° y 60°.
x=16
C/ov^e

185. M n n |
àtottulAÌ
____i_
P3roblema N.‘ 5
Calcule BC si AD=2.
/
O
□
U
A) V2
D) V3
Resolución
Nos piden x.
S9cy \
----L_
B) 2V2 | C )y4v2
E) 2 # !
Analizamos el A 5 C
O
/ Ú !y '
Igualamos.
X y ¡2 = 8
\
_8_ V2 /
8V2
x =
X = •
X:4n/2 : -
O
/
/
/*!■■-
ZiA~>'
Clave
Problema N. G
Se tiene que AB=6 y CD=18. Calcule AD.
En el Ib. CAD (notable de 14° y 76°)
A) 16
D) 32
B) 24
A C=8
C) 27
E) 34

186. Resolución
Nos piden x.
En el k^ABE (notable de 37° y 53°)
¿£=10
En el k^CDE (notable de 37° y 53°)
DE=24
Se observa que
x=AE+ED
—> x —10+24
x=34
i Clave
Problema N.’ ?
Del gráfico, si AB=BC=CD=DE, calcule x.
£
B C
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
KonolqdArí,:
Nos piden x.
Dato: AB=BC=CD=DE=a
En el k^ABC aplicamos teorema de Pitágoras.
-+ AC = aJ¿
En el t A C D a p lic a m o s te o re m a d e Pitág o ras.
—> AD =aJ3
Observamos que k\ADE es notable de 30° y 60°
x=30°
‘ Clave

187. Si S es punto m edio de PT y RT=2(PQ)
calcule a.
Problema N/ 8
Problema N.“ 9
Er^el gráfico, M y N son puntos medios de AB
y BC, respectivamente. Si AC=4(RN), calcule J3.
—> PQ=TM=m
Observamos que TMR es notable de 30° y 60°.-
/. cc=30°
Observamos que; MRN es notable de 30° y 60°.
(3=30°
Clave Clni/ft

188. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
v í,
Problema 10
_____________________ j Problem a N.’ 11
En un triángulo ABC, recto en B, se traza la bi- j Calcule (J) si BH=3 y AC=10.
sectriz exterior CD relativa a AB. Si AC+CB=15 i
y BD=5, calcule m < BAC.
A) 14° B) 16° C) —
2
D) 15° E) —
2
R e so lu ció n
Nos piden x.
Dato:
a+ b=15
Por teorema de la bisectriz
EC-CB-a y DE=DB=S
37° 143°
El CAED es notable de — y — ■
37°
x = —
C/ave
n
A) 14° B) 16° C) 18,5°
D) 26,5° E) 15°
Resolución '•
Nos piden
Por la mediana relativa a la hipotenusa
AM=BM=CM =5
En el BHM (notable de 37° y 53°)
2(|>=370
37°
ó = — = 18,5°
2
C/ove

189. P ro b le m a iV.° 12
Calcule x si DC=3(CB}.
D
i5°|
A
A) 29°
D) 32°
Rcstslyc!ér&
Nos piden x
B) 30°
..._o
C) 31°
E) 34°
En el 1-^.ABD (notable ¡de 45® y 45®)
A8-BD-Am
En el ^ ABC (notable de 14® y 76®)
m < £ A 0 1 4 °
Luego
x4-14®=45®
/. x-31®
Clave
_ erotema N." 13
Calcule 9 sí AD=DC.
/V
\ *-'■
/
4
¿ ).y
A) 30°
D) 53°
í ; ÌL ' >i v : . :
Nos piden 9.
H A
5) 37®
77/2 ?"•'
Q 45®
E) 60°
□..
% \m
..m D
Z V H :
2rn
Se traza la altura 5H del ABD.
—> AH~HD~m
:En él BHC í notable de^Z! y d £ d l
V 2 y 2
BH=m
Observamos que >•.. AHB e s notable de 45° y 45°,
a '0=45®
Clave
P r o b le m a N." 14
En un triángulo ABC, se traza la ceviana in­
terior. BD. Si AB=5, GD=12. mcCBD=Sd° y
mciBCD=15® calcule m < S4 C
A) 30®
D) 53°
B) 37® C) 45®
E) 60°

190. COLECCIÓN ESENCIAL
■
Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden x.
B
En el fcX B D (notable de 15° y 75°)
BH = —
4 X : V .
BH=3 /
Observamos que l^AHB es notable de 37° y 53°.
x=37° V " /
Clave > ?
Resoludón
Nos piden x.
A
K
.J \ a '
a
\53°
V
\
\
D C
53° 127°
En el \z±ABDI notable de - y y ^
53°
Problema N.* 15
Calcule CD si AB-2{BD)-2.
":V>
X.-. A
V # 1"
4
a > |
D)
7
a =
2^
Se deduce que 2a=53°.
Analizamos el ti ABC.
Igualamos.
2
2=3 a -> a = —
2'
)
x + 1 = 4a -> x + 1 = 4<^—
8 1
* = r 1
5
X = 3
i Clave : G>

191. Capítulo 5
Problema N/ is
En el gráfico, B es punto medio de C f. Sí
AB=CD, halle a .
Problema N /17
Sí ßC=1, Df= 5 y EF=6r calcule AB.
A) 53°/2 B) 30°
D) 45°
Resolución
Nos piden a.
Dato: AB=CD=2a
En e lk v C D f, por base media
n r 2a
BF = - —- a
2
A) 1 B) 2 C ) 3
El fes. ABF es notable de 30° y 60°,
/. a=30°
Cíave
En el fc. CEF (notable de 37° y 53°)
C£=8 -4 CD=3

192. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

193. Resolución
Nos piden 9.
En el k^ADB, la razón de catetos es de 1 a 4.
L u e g o
0=1404370
/. 0=51°
D

195. Paso 3
Los lados del ix PD C son 3k, 4k y 5k.
D
Resolución
Nos piden x.
y O ,
4(5) X \
A L L
\ 3 (5 )
\
\ ,
5(5)
En eifcx CPD (notable de 37° y 53°)
x_ _ L i
y 4 k
"V
I
X _ 5
y A
I
■\ /
"'ÿ'V
Clave •
P ro b lem a N .c 22
Calcule CD si 43=25.
D
<19
/ / /
on
0 X
Ai l
7 5 / !
\ / f
4 25
. c
En e\[h»AHB (notable de 37° y 53°)
BH=15
.■ AH ~20
En e!lk:S/7D (notable de 45° y 45°)
BH=DH=15
Analizamos el fcx 4CD.
3(7}
A) 20
D) 23
ß) 21 C) 22
E) 24
Igualamos los lados de ambos triángulos.
x=3(7)
x=21
Clave

196. Problema N.‘ 23
En el gráfico, Sß es mediatriz de AB. Si AM = S ,
BN=1 y m< MAB+m< NBA=90°, calcule m< MNB.
Como SP es mediatriz de AB
-> AM=MBy m<MAB=m<MBA=a
El k^MBN es notable de 30° y 60°.
x=60°
Problema N. 7A:
R e s o lu c ió n
Nos piden x.
Clave
En el gráfico, AC es base del triángulo ABC. Si
PQ=16 y PH=4, calcule AC.
R eso lució n
Nos piden x.
:/
A)
D) 53°
A) 16
D) 32
C) 24
E) 36
Dato: a+ß=90°

197. Aprovecharem os el ángulo notable de 30° en
cada triángulo rectángulo.
En el PHC (notable de 30° y 60°)
CP=8
En el \^AQP (notable de 30° y 60°)
A P = 32
x+ 8= 32
/. x=24
: C la v e \y )
Problema 25
En el DEC (notable de 45° y 45°)
EC=DE= 5
En el k^ABC
B
8
x+5=8
x=3
I Clave \
P r o b t e ^ E T 2 5 ________________________________
En un triángulo equilátero ABC, sobre AB y AC
se ubican los puntos M y N, respectivamente.
S'iAM-2, MB=4 y m<MA/C=90°, calcule CAA
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Resolución
Nos piden x.
B
D) 5 E) 6
Resolución
Nos piden x.

198. En e! bv4N M (notable de 30° y 60°)
M M
En el A ABC (equilátero)
AB-BC=CA=6
Se observa que
1+x=6
x=5
: En el b>.ADC obtenemos
I D
i x=8
j : Clave [
Problema N7 21
En un triángulo ABC, BC= 5, m < & 4C= 30o y
m <ACB=23°. Calcule AC.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 10 . E) 12
Resolución
En el gráfico podemos observar los ángulos
notables de 30° y 53°, por tanto., sugerimos
ubicar a cada uno en triángulos rectángulos.
Problema N.“ 2 8
En el gráfico, AC=BC+CD. Calcule (i
A
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
Resolución
Nos piden (3.

199. Dato:
a c= B C + C D
o f n n
A C = a + ? _ n
En e! b A 8C obtenernos
A) 30°
D) 53°
B) 37°
»
Nos piden x.
C) 45°
E) 60*
A
Observe que ios lados dei triángulo están
progresión aritmética.
3 = 37°
i Clave I
en
Problema M° 29
En e¡ gráfico, las regiones sombreadas son
congruentes. Si el triángulo ABC es equilátero
y AN=NP, calcule x.
s 6 0
tí
A
\
•t;/ I |
/ . * o v ,
; ü
- A ■ ö n a p
Dato:
Elfe. A/VM . CQP.
-> AN-CQ-a y AM=CP-2a
En elbó MNC
x=60°
Clave

200. COLECCIÓN ESENCIAL
jreras Editores
Problema U: 30
En el gráfico, M y N son puntos medios de AB y
S C f respectivamente. Si AC=16y¿Af=5f calculen
B
A) 30° B) 37° : C) 45°
D) 53° E) 60°
Resolución /
Nos piden x.
Paso 1 A
| En el M B C aplicamos teorema de la base media,
j MN = ~
j 2
j MA/=8
| Paso 2
El es isósceles.
-> ML=NL
Paso 3
Analizamos el /iMLN.
i
--------a---------1
M 4 H 4 /y
El k^MHL es notable de 37° y 53°.
x=37°
C/crve

201. 1- Del gráfico, halle AC/DF si AB-DE.
A
A) V I
D
B)
. 2V2
t
SC)
2
En el gráfico, ED=l DC = ^3 y BC=2.
Calcule AB.
a
\
b _
____.
i x y
D
A) V5 B) 78 C) 2V3
D) 3 E) VTÖ
En el gráfico, AB=AD=5 y SD=6. Calcule a.
A) 57°
D) 74°
B) 60° C) 72°
E) 16°
En el gráfico, BC= 20. Calcule CD.
A) 5
B) 6
C) 6V2 •■’,<>
D) 8
E) 8V2
b
ü
ri- \

202. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
*" is á iS js
8- gráfico, AM=MC=5y 8/V=3. Calcule (5. j 11.En el gráfico, SC=4. Calcule
A) 15°
D) 14°
B) 16° C) 18,5°
E) 26,5°
9 - En e¡ gráfico, AB=10. Calcule CD.
A) 12
D) 24
B) 16 C) 20
E) 32
10. Del gráfico, calcule x si AB=12 y BC=9.
A
A) 60°
D) 37°
B) 53° C) 45°
E) 30°
íP ^ .
¡ r r H l
C
sO\
/
,o
\
r- rN
i
A
A) 12
D) 20
D
B) 16 C) 18
E) 24
í<-- En el gráfico, PM=7(PL). Calcule x.
45(
M
□
N
A) 30°
D) 45°
B) 37°
13. Del gráfico, calcule —
CD'
C) 53°
E) 60°
D
/
76°
o
C
A) B) -
3 C) i
E)
1
...............

204. o
COLECCIÓN ESENCIAL
20. Del gráfico, calcule BM si AB=6 y MN=4.
B
A) 2
D) 4
B) 4 Q 3
21. En un triángulo ABC, recto en B, se traza la
ceviana interior AD. Si AB=60, m < C/AD=16°
y m<BAD=370, calcule CD.
A) 25
D) 45
B) 35 C) 40
E) 55
22. En un triángulo ABC, se traza la altura BH
relativa a AC. Si rr\<ACB=2 rr\<ABH y
CH=AH+BH, calcule m <ACB.
A) 30°
D) 53°
B) 37° C), 45°
E) 60°
23. En el gráfico, BM=MC y AB=2(CD).
Calcule a.
A) 30°
B) 37°
C) 45°
D) 53°
E) 60°
Lum breras Editores
ÉállSifeií
24. En el gráfico, BC= 6. Calcule AC.
B
)37°
A) 5
D) 6
B) 5V2 C) 5V3
E) 6V3
25. En el gráfico, CS es mecliatriz de A5. Si
AC=S(MN), calcule 0.
A) 15°
B) 16°
37°
2
C)
' L
/n
53°
D) —
2
E) : 30o
ZÙ
20
N M
26. En el gráfico, ABC es un triángulo isósceles
AH
de base AC. Calcule
CD
D) —
25
C)
E)
11
25
27
25

205. Claves
1 D 6 c 11 B 16 B 21 B 26 D
2
Q
7
#»■*
12
f"
17 c 22 B 27 A
3 u 8 13 B 18 A 23 A 28 c
4 B 9 U 14 A 19 A 2 4 c 29 D
5 D 10 D 15 E 20 D 25 c 30 V-
i* » n í a IIIÉ M M I I « M I M M i i I I M M r t ' l i r . T r t A r j r i

206. '; • • ' ' ; : ,

207. La im agen nos muestra el puente peatonal ubicado en
Paddington Basin, Londres. Este puente da acceso a los tra­
bajadores y residentes, para trasladarse de un extrem o a
otro del canal.
Un diseño común en los puentes levadizos es el de una pie­
za rígida, fracturada en el centro y dos piezas que se abren
para levantar el puente. Sin em bargo, este puente peatonal
levadizo, denominado Rolling Bridge, se va plegando sua­
vem ente hasta que pasa de ser un puente horizontal a una
escultura circular que se aposenta en el em barcadero de!
canal tomando la forma de un octógono.
P A R IS H
AMOR A SOFÍA
Aprendlxafes esperados
• Conocer la definición del polígono y su clasificación. •
• Conocer la relación entre el número de lados del polígono
con sus medidas angulares y con su número de diagonales.
• Resolver problemas donde se requiera del cálculo de suma
de medidas angulares, número de diagonales y número de
diagonales medias.
¿Par qué es necesario este conocimiento?
En muchas ciencias está presente el estudio de los polígonos,
así por ejemplo en la biología, en la forma que adoptan las
plantas; en la geografía, con la forma de las rocas; en la in­
geniería, en sus diseños arquitectónicos; etc. Con la ayuda de
estas disciplinas podemos conocer y explicar las propiedades
de los objetos y seres vivos que nos rodean y para este fin es
de mucha utilidad el uso de los polígonos.
i

208. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
P: punto interior de! polígono
' Q: punto exterior del polígono
M: punto que pertenece al polí-
r gono
‘ 1 \ \ H • I ; ! ; {/*■■
No olvide
V'v- ;/
^ Imnnrtns.//Importante
f */ IK I/ V
í ; í y /////>
A la unión de un polígono y su
interior se le denomina región
poligonal. \ V . V '; ; / / /
\\V? Mili (//*.[
Polígonos
1. CO N C EPTO
Son figuras geométricas planas formadas por la unión de
tres o más puntos no colineales mediante segmentos de recta
(de tal manera que dos segmentos adyacentes no son coli­
neales) que limitan una sola región a la cual denominaremos
región interior.
O

209. Capitulo 6
Polígonos
• M edidas angulares interiores
®2' ®3' ®4' ®5' ®6'
• M edidas angulares exteriores
Pv ^2' P3' ^4' Ps< P6' P7
• Diagonal: AE
• Diagonal media: PQ
• Las siguientes figuras no son polígonos:
i l ’. Dato curioso
El Rolling Bridge cuando está
totalmente enrollado forma un
octágono. El ‘puente .se enrolla
cada viernes al mediodía.

210. 2. N O M BRES ESPECIA LES DE A LG U N O S PO LIG O N O S
Según el numero de lados del polígono, tenemos los siguientes
Dato ' curiosea''
//a sS S S
» « $ A % *%*.* ' • t »
Desde hace más'de 2000. años
se sabía cómo construir con
<ví\\Y* v
\ _i •
:
I í , :
; i ■ {§ i
liiili
ila y compás el triángulo!
equilátero, el cuadrado y el
pentágono regular, así como
otros polígonos regulares cuyos
números de lados son múltiplos
de dos, de tres o de cinco, pero
ningún otro polígono regular
con un número primo de la­
dos. En 1796, Gauss, casi a los
19 años, consiguió construir, de
acuerdó con, las hormas eucli-
dianas, el polígono regular de
17 lados.
:..G> i IMüHíIHYj
... « t . . > »
.............................*11 * “ *
i l G s f e
: r , y : - ' :
3 triángulo
4 cuadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 nonágono
10 decágono
11 undecágono
12 « dodecágono
/ ' 15
" \ pentadecàgono
. 20y . \ icoságono
I éSBar $ w
Otros polígonos se mencionarán según el número de lados
asi por ejemplo:
• polígono de 13 lados . ..1 L
• polígono de 14 lados ; |
• polígono de 21 lados v
• polígono de 50. lados -
3. CLASIFICACIO N
3.1. De acuerdo a la región que ti mil n
3.1.1. Polígono convexo
Las medidas de sus ángulos interiores son menores que 180°.
a < 180°
0 < 180°
P < 180°
5 < 180°
y <180°
co < 180°

211. 3.1.2. Polígono no convexo
La medida de uno o más ángulos interiores es mayor que 180°.
Í i80° •.</ i
3.2. De acuerdo a su form a
3.2.1. Polígono equiángulo
Es aquel polígono en el que todos los ángulos interiores tienen
la misma medida. \
í a, \ :
if % i
í í
| # .. .
4 sJffigP / fy
MkW -A' %.
$
& 'v; /
m 2 /•. %
X /
%
3 .2.2, Poligono equilátero
Es aquel polígono en el que todos los lados son congruentes.
¿3
o
Esta es la imagen de una pisci­
na, donde se aprecia la forma
¡ de polígonos no convexos.
¡
¡. ■ ■
y.'y-\ i jl'-'/

212. ///// Dato; asr í o r o
i Presentamo
3 -■: l i
'5 algunos objetos
que-tienen ia £crma de-un hexá-
I \u/¡
Ei diseño,
campo ,
La, señal de tránsito
NS»1I
& '¡lilj
J
■
!! 111
•
:
11 j ¡5 ‘*j
* .■
. ■
f
3.2.3. Políg ono regular
Es aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.
A ¡¿ ó
Elem entos
° O: centro del polígono regular
• <AOB: ángulo central
• op. apotema del polígono regular
Donde
• El centro del polígono regular es un punto interior que
equidista de los vértices.; m V *
• El ángulo central es el ángulo que se determ ina al unir el
centro con dos vértices consecutivos.
• El apotem a es la distancia entre el centro y cualquiera de
sus lados.
y////
Importante
t i i
•! I i ; : De manera práctica, al número
ly \ de lados de un polígono lo de-
; notaremos con la letra n.
: ~
.... V ‘
Mé fctVfde y,y'/ '
En un polígono regular, los ángulos exteriores
son de igual medida.
4. PRO PIED AD ES FU N D AM EN TALES DEL PO H GO N O
4.1. En todo polígono de n lado*.;
N .°de lados- N °d e

213. 4.2, ju m a do m edidas de ios ángulos interiores (S int) de todo polígono convexo
S< in t= 0 1+ 02+03+ ...+ 0n
S c iht==180°(/7—2} |
Donde n es el n.° de lados del polígono convexo.
Demostración
Com o apreciamos, la S c in t está relacionada al número de lados; usaremos la técnica de la trián-
gulación para obtener dicha relación.,..,,.
■i
%
•‘U- '•
‘l
' p"-
I
¡ y
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■
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s ? *■
i ■ w jé r *
. i . . / . S . . < ■ ■ ' ■ / A - y i
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*-* /■ /,
U ¿
& t jP
3 ,4 ¡}’v i . C & t
<**ír>»f>sí' /| iwüí-
% «• 'I
00%
%
0 % , '%
‘Sí’-
2
¿ Ó ‘ v . , * :. • * f ; ;
180° (1)
180° (2)
y f \
V
- i\ ^
i \
5 3 180° (3)
; ;
' 7 5»
V / ■
n n-2 180° (n-¡
•n >]<

214. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
(Cuidado!
[| U t La suma de ángulos exteriores
• : no depende del número de
VisitandolaweSj
Estos (in ks te servirán como clase
i modelo de la teoría de poli-'
I gonos. , ■'
I • Suma de medidas angulares
; h ttp s://w ww.y outube. co m/
p watch?v=4pmknc1gTFA
y https://www,youtube.com/ ;
: watch?v=zNEogZsAJhA
’ !? : *
! ! ,
Número de diagonales
https://www.youtube.com/
watch?v=ktBPV-W9wNY
- v i i
j * Número de diagonales
1 desde un vértice
https://www.youtube.com/
¿ watcbîv^PFvBsnp-YAE
• ' Y'-- - ~ ■ ' ■ ” '■
....
4.3. Sum a de m edidas de los ángulos exterio res (S ; ext)
de todo polígono convexo
e1+ ß1= i80°
02+ß2=18O°
03 + ß3=18O° j +
e„+ß„=i8 0°
0-j + 0 2 + 63 + ••• + ö,y+ ß^ + ß 2+ ß3+... + ßn=180°n
>
-----------------y-----------------' v-----------------y-------------—'
S <r int S -i
180°(n - 2 ) + S < ext=180°n
S< ext= 3 6 0°

215. En un polígono equiángulo de n lados, se cumple
Ejemplos
1. Hallamos la suma de medidas angulares interiores de un
octógono.
El octógono tiene rt- 8 lados.
-> S<int=180°(8-2)
/. S<int=1080°
Octógono
J 'í'j’io OLÍ''"'
arco angular truncado es un
mihexágono regular, donde
lados AB; BC y CD son de
igual dimensión cada uno.
||ijl '. C
l l i i i M ; 5 ■
Esta forma de arco es empleada
en el marco de una ventana, en
el marco de una puerta, entre
otros.

216. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
2. Hallam os la suma de medidas angulares interiores de un
dodecágono.
El dodecágono tiene n- 12 lados.
OatoeuraoGO
Una tuerca ,és: una pieza con
un. orificio central, que se utili­
za para accplar a un tornillo en
forma fija o deslizante. La tuerca
permite sujetar y fijar uniones
de elementos desmontables. En
; ■ \ j i ! > ji|i<11
ocasiones puede agregarse una
arandela para que la unión cie­
rre mejor y quede fija.
forma hexagonal, pentagonal o
cuadrada.
'
------— — ' ■ " " '
Dodecágono
-> S< int= 180°(12-2)
S< int= 1800°
3. Hallamos la medida del àngulo interior de un pentadecà­
gono equiàngulo.
4. Hallamos la medida del ángulo exterior de un icoságono
equiángulo.
El icoságono equiángulo tiene n=20 lados y ángulos exte­
riores de igual medida.
—> P -
360°
20
(3=18°
»

217. 5. PR O PIED A D ES DE UN PO LÌG O N O REG U LA R
5.1. M edidas ang ulares dei p oligono reg o lar
En todo poligono regular de n lados
se cumple
.
k
\ x
f
i 361 .. i
í M
1
S ,
\
\
\
^ /
i|8 0 °(n -2 )
s ¡ I
éH G.. = -
v i
¥ ' T%
-------'
. té /&■ #?*%*'<
donde
- 0(: medida del ángulo interior^ ¿ €%
- 0e: medida del ángulo, exterior
\vx
- 0 : medida del ángüla central
% X J '
X/
5.2. C ircu n feren cias asociadas al polígono regular
Todo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a la vez
a dos circunferencias que tienen el mismo centro.
En todo polígono regular, las,
medidas de su ángulo central
y de su ángulo exterior son
iguales.
El centro de un polígono regu­
lar coincide con los centros de
las circunferencias inscrita y cir­
cunscrita a dicho polígono. ,
u

218. 6. N U M ERO DE D IA G O N A LES DEL PO LÌG O N O DE n LAD O S
6.1. Núm ero de diagonales trazadas desde un vértice (N ° Di )
6.2. N úm ero de diagonales totales (N .:> D)
2. Halle el número de diagonales de un
octógono
(tí=8)
N.° D -
8(8-3)
undecágono
(n=11)
6.3. N úm ero de diagonales trazadas desde k vértice
consecutivos íN iL £ W M>
; ■— J L -
W #
Ejemplos ^ %$&£***
1. Halle el número de diagonales que se traza desde uno de
los vértices de un
heptágono
(tí=7)
N ° Div=7 -3
nonagono
(t?=9)
N.° D/v= 9 -3
V/VLDatöxiridi©
Investigadores del Ministerio de
z : i Cultura hallaron una piedra con;
■j- 13 ángulos tallados en un sisté-
| ma hidráulico construido en el
i sitió arqueglógico Inkawasiééhé/
el distrito de Huaytará, región
Huancavelica.
sistema hidráulico o de.ma-
ritual del agua consta de
dos fuentes de fina maniposte­
ría, una de ias cuales presenta la
N.° D=20 N ° D=44

219. Aplicación 7
Halle el número de diagonales trazadas desde los ocho vértices
consecutivos de un polígono de 16 lados.
Resolución
Del dato
n=16 y k- 8
n- ° D 8(vc) = 8(16)-
(8+1)(8 + 2)
N ° D 8(vc) = 1 2 8 - 4 5
••• N °D 8(vc)=S3
Aplicación 2 ry s %
Halle el número de diagonales trazadas desde los cinco vérti­
ces consecutivos de.Un polígono de 24 lados.
Resolución
Del dato
n=24y k=5
N ° ^ ,„c, = 5 (2 4 )- M
(5 +1)(5 + 2)
N ° D 5(vc)=120-21
N ° D 5(vc)=99
7. N Ú M ERO DE D IAG O N ALES M EDIAS DEL POLIGONO DE
n LADO S
7.1. N um ero de diagonales m edias trazadas desde el
punto m edio de uno de los lados (N .° D M U)
- - --
N OMu -n 1
Dado un polígono de n lados
f i l i l i *
■ »
■ "L- ■ • V ■ ÌD.
DM: diagonal media
Ei numero de de
medias desde ti
medio es n- 1
ti - ■
D: diagonal
.\\ / " ’ ““ '> ;
_\ | E i n u mero de di a g o n a ie s
si desde un vértice esn- 3. • | i
• A L
......................................................J ;
• Dado un polígono de n lados
■ (nzJ)pMf \ X
! \
(. (n-/?_)DM 30M ‘»3
■ \ h W / j \
■

220. 'AMJ.f.4'
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
^/Dàto^ûrloso'Ei::
*('V, 'V,*'**. •**.,’ '* !.* **■**■ M,l (■*,?.•• t:
I ■ jj ' Presentarnos.; .algunos ;• objetos ,
V.'.7 ó qué: tienen !a forma del un; pen-
j tágono; ■'
l : * El Pentágono es. la sede del
::... = Departamento. . de ; Defensa
: de ros Estados. Unid asi. Este
: , edificio- tiene forma de pen-
‘ ; ' tágono y es uno. de los; edi- :
■ ' t !? | j fíe
:;! ll n j ; í del mundo-.
* EL pentágono utilizado., en el
diseño de logas.
i 'jf/f/ft :
............
] ¡3;-ll¡-í!|i
;n¡!iMHii r h f
,o ,
/ ?> r
/¡A
yPENTAGON
' 1:7
•
..../ V , •
■Jy.-\\\ i
i !¡ílüliíiü
7.2. Número de diagonales medias totales (N.° DM)
N 0 DM - -
n(n- 1)
7.3. Número de diagonales medias «razadas desde lo: n
puntos medios de ios lacios consecutivos -, N c DM.
m(m- i-l)
N.° DM. , . =m n
.....~~............. i
'"'tí. )
*-
Ejemplos
1. Hallemos el núrnero de diagonales medias trazadas desde
el punto medio de,uno de los lados de un
hexágono
(n^6)
''‘&U
N.° DM1( =6-1
IL .íx.v.Vi
N °D M 1L=5
decágono
, x f.M'j
(n=10)
N.° DM 1L=10-1
N ° D M 1L=9
2. Hallemos el número de diagonales medias totales del
dodecágono
(n=12)
N.° DM =
12(12-1)
heptágono
(n=7)
N.° DM =
7(7-1)
N.° DM=66 N.° DM =21

221. Aplic a c ió n 3
Halle el núm ero de diagonales medias trazadas desde los seis
puntos medios de los lados consecutivos de un polígono de
18 lados.
Res o lu c ió n
Del dato
n -18 y m=6
N ° DM6 ( ic r 60 8) -
6(6+1)
N-° 0M 6(,cr.108.-21,.
A
■■■ \
Aplic a c ió n 4
Halle el número de diagonales medias trazadas desde los cua­
tro puntos medios de los lados consecutivos de un polígono
de 50 lados.
Reso lu c ió n
Del dato
n= 50 y m=4
N .° DMm = 4 (5 0 )-
4 (4 + 1)
N .° DMm =20 0-1 0
N .° DM4(|C) = 190
nos ro­
dea encontramos numerosos
ejemplos de formas poligona­
les. Podemos descubrir hermo­
sos polígonos con variadas for­
mas y colores en flores, hojas,
frutos, etc.
Sí de cada vértice de un polígo­
no regular parten exactamente
15 diagonales, la medida de los
ángulos internos de ese polígo­
no, en radianes, es
A)
17n
B) 1 5 Q
7 n
10 12 8
D)
67t
T
E)
871
9
UNAC 2012-1

222. P£Cî'v’0t'iv.v8
i razados de polígonos regulares
En esta actividad aprenderemos cómo se construyen polígonos regulares a partir de una circunferencia.
Para dicha construcción usaremos un compás, una regla y una calculadora.
Procedimiento
Paso 1 Paso 2
Dibuja una circunferencia de! radio desea­
do (r). Fija tu compás según el radio r y dibuja
la circunferencia.
Pase 3
Fija tu compás en esta longitud (('). Sé sumamen­
te preciso y verifica tres veces la medida para
asegurarte de que es lo más exacta posible.
Paso 5
Marca otro arco o línea en la circunferencia.
Continúa con el proceso hasta que el arco o lí­
nea llegue al primer punto. ¡Asegúrate de que tu
compás no se mueva!
Calcula la longitud ((') de cada lado del polígono
regular de n lados.
• 0=2r sen (180%Ü
Paso 4
Empieza desde cualquier punto de la circunferen­
cia y marca un arco o línea. No cambies el radio
de tu compás.
Paso 6
Une las líneas o arcos de manera precisa usando
una regla.
Verifica que los lados tengan la misma longitud.
Si los lados miden lo mismo, entonces terminaste.

223. O. cu cL!‘ re -
r .. . . ■ , . • • ; A
bilma ae meai
----------—*—— -—
ua5 dfiyuiarca
-----------.--------------->
Interiores
5<int=180°(n-2)
r i
Exteriores
5<ext=360°
_________________J
Par a polígonos equiángulos y polígonos
regulares, se cumple
i n: número de lados
Numero de diagonales J
f
Desde un vértice
. N.° D i= n-3
v
____^
Totales
N.° D~n^n~^
V
________________;
-[ Número de diagonales medias Ì
Desde un punto medio Totales
i
L
N.° OMu =n-1
N.°
2

224. RESOLVEMOS JUNTOS
P ro b le m a N.* 1
En el gráfico, el polígono es equilátero. Halle
su perímetro.
A partir del gráfico, halle la suma de las me
didas de los ángulos interiores del polígono.
Problema 2
_____________________________
A) 15 u
B) 17 u
C) 19 u
D) 21 u
E) 24 u
Resolución
f Importante
| El polígono equilátero tiene lados de C f
\ igual longitud.
S xx OOOOOO OO *> '' * V';. '
2p, =3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
2p0= 21 u
: Clave
**......
........•••*/!•
A) 1160° B) 1260° C) 1360°
D) 1380° E) 2060°
Resolución
En el gráfico el polígono tiene 9 lados, entonces
S<int=180°(9-2)
» | ’y ^
/ , S<int=126Q°
W - ; C/ove \ - ,
Froblema N.° 3
Se tiene un polígono equiángulo de 45 lados.
Calcule la medida de uno de sus ángulos inte­
riores.
A) 169° B) 170° C) 171°
D) 172° E) 173°
Resolución

225. Para polígonos equiángulos se cumple
180° (n - 2)
¡Problema N.° 5
a =
n
Halle el numéro de lados de un poligono, don-
de el numéro de diagonales es igual a 77.
a =
oc =
180° (4 5 - 2 )
45
180° (43)
45
A) 14
D) 17
B) 15 C) 16
E) 18
a=172°
Clave
Problema N.' 4
Resolución
Sea n el número de lados del polígono.
Por dato
N ° D=77
n{n-3)
Calcule la medida del ángulo' exterior de un.
polígono regular de 24 ladoíL
A) 12°
D) 15°
Resolución
B) 13° \ C) 14°
E) 16°
" •%¡j85?í/ífí!íít-■ '
= 77
n(n y 3 i=154
i £
V¡&M' i * ,.4' i? ¿><
... \.y* & x, %-v*-
«s'
............
. f %
77=14 :
Clave
Problema N.‘ G
Halle el número de diagonales medias de un
polígono convexo de 51 lados.
Para polígonos regulares se cumple
360°
ß =
24
A) 1268
D) 1274
Resolución
N.° DM=
N.° DM=
B) 1271 C) 1273
E) 1275
n {n -1)
2
51(51-1)
ß=15°
N.° DM=1275
Clave Clave
229

226. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
P ro b le m a N.' 7
Calcule la suma de los ángulos interiores de las
siguientes figuras.
A) 1700° B) 1620° C) 1900°
D) 2000° E) 2100°
R e so lu ció n y ****y **‘
El polígono convexo tiene 7 lados. ;
S < in t1=18Ó°(r?-2)
S < in t1=180°(7-2)
S c in t ^ O O 0
El polígono convexo tiene 6 lados.
S < in t2=180°(n-2)
S < in t2=180°(6-2)
S < in t2=720°
Luego
S < in t1+ S < ¡n t2=900°+720°
S c int-, -4- S c int2=1620°
Clave
k
Problema N.* 0
______ ___.___________
En el gráfico, ABCDE es un pentágono regular.
Calcule x.
r
/
\ r
/
/
/
/
A) 14°
D) 17°
B) 15c C) 16°
E) 18°
Resolución
Calculamos el ángulo exterior del pentágono
regular.
(3 =
360°
(3=72°
O
P
En el l\AQP
x+72°=90°
x=18°
Clave

227. Capítulo 6
m m .
Polígonos
P ro b le m a N.‘ 9
En el gráfico, ABCDEF y DETR son polígonos
p _ 1 8 0 °(n -2 )
n
regulares. Calcule x.
180° (6 - 2 )
6
A) 60°
(3=120°
! B) 65°
\ “TAA
D) 75°
E) 80°
Luego, comparamos en ambos gráficos el
■ < D EFy se obtiene
x+45°=120°
x=75c
Clave
Resolución
En k^RDE (notable de 45° y 45°)
m «/?£D = 45°
Calculamos el ángulo interior del hexágono
regular.
D
V; * ? t V yvf a í - "4 ’ 2
ff l U i i J i s S i á 1 « sx>t I t i
A partir del gráfico, calcule a+b+c.
O
A) 382° B) 383° C) 384°
D) 385° E) 386°
Resolución
Nos piden a+b+c.

228. !

229. Resolución
Nos piden y.
V x
A
< §
v
/ o
ro nag en
regular
Problema N.° 13
Los siguientes gráficos son partes de polígo­
nos regulares. Si a 1+cx2=210°/ halle 0, + 02.
/
A
/
L
A - l
/
)
\
A) 110°
D) 140°
/
B) 120° C) 130°
E) 150°
...
N o OLVIDE
En un polígono regular, todos Ips án­
gulos exteriores tienen igual medida.
....................... í
AK&y 2 *
^>c-' ^
-.a- ,¿1*5^=WPJS3F
'*Mr * -
^ ssolud ór!
Nos piden
Dato: a ,+«2=210°
# Iv 1^
4». x ; M
’& v' íj *
En el nonágono (9 lados), la medida deíángulo f ^ %No 9LV,DE
exterior es ^ ^ j f , | t tódó P°l'gono regular, los ángulos
deteriores tienen igual medida.4? • %
■m
360°
0 =
--------> 0=40°
# ^ *
n el A BMC
y = 0+ 0 —> x= 20
X=80°
De los gráficos se obtiene
0^+0^180° \
02+02=180°
^ + 02 + ^ + 02 = 360°
; ©,+02=150°
Clave Clave

230. Problema N.” 14
¿Cuál es e! nombre del polígono convexo que
tiene 35 diagonales?
A) octógono
B) decágono
C) dodecágono
D) pentadecàgono
E) icoságono
Resolución
Sea n el número de lados del polígono pedido.
. Sabemos que
X . ■%
4
N.o p - n(n 3)
■V'V'p
m
Æ . i
r !
-» 35 =
n[n- 3)
\ j f y
Resolución
Sabemos que
N.° DM= -4 N.° DM=13 ^3— -
N 0 DM=78
Clave
Problema N/ 1G _
El número de diagonales de un polígono es
igual a 15 veces su número de lados. ¿Cuántos
lados tiene el polígono?
A) 27 B) 33
D) 39
\
C) 37
E) 43
n fn - 3 )=70 -> n=10
]t I' 7
T _ T
•V- #
V.
v \
v ^
V A
J : Sea n el número de lados del polígono pedido.
Del dato
Á {n - 3)
Por lo tanto, el polígono que tiene 35 diagona­
les tiene 10 lados, es un decágono.
’ Clave
3roblema N. 15
___________________________________
ndique el número de diagonales medias de
jn polígono de 13 lados.
A) 108
D) 76
B) 88 C) 78
E) 68
N.°D=15n ->
n -3=30
n=33
= 1 5 /
Clave
Pro b lem a N. 17
El número de diagonales medias de un polígo­
no convexo es igual a 20 veces su número de
lados. ¿Cuántos lados tiene el polígono?
A) 38
D) 42
B) 40 C) 41
E) 43

231. Resolución
Sea n el número de lados del polígono pedido.
Del dato
N.° DM=20n
-> á í Í Z 1 = 20/
2
n-1= 40
n=41
Cíot/e
Problema N.’ 10
Los lados de un polígono regular miden 3 cm.
Su número de diagonales es igual a 65. Halle el
perímetro de dicha región poligonal.
A) 34 cm
D) 39 cm
Resolución
B) 36 cm C) 37 cm
E) 41 cm
Por tanto, el polígono regular tiene 13 lados.
■%r **
Im p o r t a n t e
Para hallar el perímetro es necesario
el número de lados del polígono re­
gular.
Sea n el número de lados del polígono regular.
Del dato
n{n-3) cc
N.° D -6 5 -> — = 65
n(n-3) =130 -> n=13
3 ^
j n
2Ppolfg.reg.~^+ 3 t - + j ~3(13)
•• 2Ppolíg.reg = 3 9 cm
Clave
Calcule la suma de las medidas de los ángu­
los interiores de un hexágono más la suma de
las medidas de los ángulos interiores de un
pentágono.
A) 1250° B) 1350°
D) 1260°
Resolución
Nos piden
S<¡nthM.+S<¡ntpe„t
En el hexágono (6 lados)
S<inthex = 1 8 0 °(n -2 )
S<inthex =180°(6-2)
S < in thex. = 7 2 0 °
C) 1270°
E) 1280°

232. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
........

233. Capítulo 6 Polígonos
Calculamos el ángulo exterior del octógono
regular.
360°
<ext.=-
8
<ext.=45°
En kxAOC, por teorema de Pítágoras
x2=62+82 -> ^=100
/. x=10
Problem a N.* 23
í ¿W M
Wh.
I ,, Clave i
, I . 2# . 0 I
\ Æ f * /
\ - * Æ ? /
-,V -i
¿En qué polígono se cumple que su número
de lados es la tercera parte de su número de
diagonales? Dé como respuesta su número de
lados.
A) 10
D) 7
B) 9 Q 8
B) 6
Resolución
Sea n el número de lados del polígono pedido.
Dato:
/?=•
Entonces
N.°D
1=
n-3
6
6 = n -3
/. n=9
Clave
Problema N.° 24
_____________________________
¿En qué polígono se cumple que su número
total de diagonales medías es igual al doble
del número total de diagonales?
A) nonágono
B) octógono
Q heptágono
D) hexágono. ,;
P; pentágono
^ A * , £
t *Ít
^ Vy '/■
Reémución
Sea n el número de lados del polígono pedido.
Dato:
N.° DM=2 N,° D
Entonces
/(n-1) 2/(n-3)
/ " i
/7—1=2/7—6 —> 5=n
Por lo tanto, el polígono buscado es un pen­
tágono.
C la v e

234. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema N/ 25
En e! gráfico, los polígonos son regulares. Halle
: Del gráfico
j a+108°+ß=135°
m <ABC =
1 8 0 °(8 -2 ) 180° (6)
8 8
m «A 0C = 135°
A) 48
D) 52
B) 49 C ) 50
E) 53

235. Capítulo 6
______________
Polígonos
Resolución
Nos piden N.° DM4(fc).
Recuerde que el pentadecàgono tiene 15 lados.
N ° DM4(lc) = 405) -
N .°D M 4(Ic) = 60-10
•• N ° DM4(ic) = 50
Clave
P ro b le m a N.“ 2 8
La suma de las medidas de los ángulos interio­
res de un polígono es 5240°. Halle su número
de diagonales medias.
zíX->-
A) 160
D) 190
B) 170 C) 180
E) 200
R e so lu ció n
Nos piden N.° DM.
i Im p o r t a n t e
Para hallar el número de diagonales medias
necesitamos saber el número de lados.
Sea n el número de lados.
Dato: S< int= 3240°
180ó (n - 2 ) = .3240°
18
n-2= 18 -> n=20
Luego
N.° DM =
n {n -1) 20(20-1)
/. N.° DM=190
Clave
P ro b lem a N / 2 3
________________________________
¿Cuál es el polígono cuyo número de diago­
nales excede al número de vértices en 18? Dé
como respuesta su número de lados.
A) 6
D) 10
B) 7 C) 8
E) 9
Rssclucion •
Sea n el número de lados del polígono pedido.
' NO O L V ID E
En todo polígono, el número de vértices
es igual al número de lados.
Dato: N ° D-n=18
Entonces
¿ & £ Í :n= 18
2 : -
n2-3n-2n
= 18
n2-5n= 36
n2-5 n -3 6 = 0
n > J<n 4
(n-9)(n+ 4)= 0
Se obtiene
n -9=0 V n+4=0
n=9 n = -4
n=9
Clave

236. P ro b le m a N / 3 0
____
En un polígono regular, la diferencia de las
medidas del ángulo interior y ángulo central es
igual a la medida de su ángulo exterior. Halle
el número de lados’ del polígono.
A) 7
D) 4
B) 6 C) 5
E) 3
Resolución
Sea n el número de lados del polígono pedido.
Graficamos.
\ 0 ;
\ í t /
6*- crt :'
Jä»
Dato: 0 p 0 c=0e
180° (n - 2) 360° 360°
' /
1í
i
;<,> V .
180°(n-2)-360°= 360°
/ 1 2
n -2 = 4
n=6
Otra forma
No OLVIDE
En todo polígono regular
0e=6c
0(+0p18O°
Del dato del problema
e, - oc =0e
l-V-J '-V-'
y,.
1 8 O °-2 0 p 0 e 18O°=30É
360°
6O°=0<> -> 60° =
------
e n
n- 6
Clave
Problema Mc 31
______________________________
La diferencia del número de lados de dos po­
lígonos es 3 y la diferencia del número de dia­
gonales es igual a 15. Halle el número de lados
de cada polígono.
# str#' a « Jf
A) 8 y 5 B) 7 y 4
D) 9 y 6
Q 6 y 3
E) 10 y 7
Resolución
Como el número de lados de los polígonos se
diferencia en 3, lo denotaremos con n+3 y n.
N.° D1=
n+3
(n+3)(n+3-3)
(n+3)n
N.° D,=
n(r>- 3)
N.° D,=
1 2
Dato:
N.° /^ -N .0 D2=15

237. Entonces
{n + 3)n n (n -3) , r
~ ~ = 1 5
/f2 +3/1-/12 +3n
Hallamos el ángulo interior de cada polígono
regular.
En el cuadrado [n=4)
<int =
180° (4 - 2 )
4
-» <¡nt=90°
6n=30 —> n=5
Por lo tanto, el número de lados de ios polí­
gonos es 8 y 5.
Clave
Problema N." 32
_______________
En el gráfico, los polígonos mostrados, son re­
gulares. Halle x.
A) 38° B) 39° Q . 40Q-#
D) 41° E) 42°
Resolución
Nos piden x.
En el pentágono regular (n=5)
180° (5 -2 )
<m t = - -> <int=108°
En el hexágono regular (n=6)
180° (6 - 2 )
< int = - —> <int=120°
En el gráfico
x + 90°+120°+108° = 360°
x=42°
-v-¿ '$'■ . Clave
El lado de un polígono regular mide 4 cm y su
perímetro es numéricamente igual al número
de diagonales. Encuentre la suma de las medi­
das de los ángulos interiores.
A) 1650° B) 1640° C) 1630°
D) 1620° E) 1610°
Resolución
Nos piden S c in t.
Dato:
2Ppoirg=N.° o
Entonces
4 / = n es N.° de lados
8 = n -3 —> n=11

238. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Luego
S< int= 180°(n -2)
=180°(11-2)
=180°(9)
S<int=1620°
! Clave '
Problema N.* 34
_____________________________
En el gráfico, ABC y PMNL son polígonos regu­
iares. Calcule x.
Resolución
Nos piden x.
B
El AABC es equilátero
-> rc\<PAL=60°
El gPMNL es cuadrado
m<PLN=90°
En el /\ASL
x+45°=60°
x=15°
Clave

239. LO APRENDIDOPRACTIQUEMOS
1. Halle la medida del ángulo interior de un i. Se tiene un polígono de 42 lados. Halle su
políciono renular Hp 1,9 IpHnc
________i. ______,
numero ae diagonales.
A) 140° B) 150° C) 160°
D) 165° E) 170°
A) 815 B) 817 C) 819
D) 823 E) 827
Halle la medida del ángulo exterior de un
polígono equiángulo de 24 lados.
A) 11° B) 12° C) 13°
v. Halle el número de diagonales que se
trazan desde los cinco vértices consecutivos
de un decágono.
D) 14° E) 15°
3. Halle la suma de las medidas de los ángulos
A) 26 B) 27 C) 28
D) 29 E) 30
interiores de! siguiente gráfico:
En e! gráfico, ABCDEF es un polígono
regular. Calcule x.
• / “ A
/
\—j
--------------------------
----------A____________/
A) 1240° B) 1246° C) 1252°
D) 1260° E) T2680
4. Desde un vértice de un polígono convexo
A) 30° B) 37° C) ¿5 0
D) 53° El 60°
se traza 39 diagonales. Halle el número de ' <'-a^cu'e x 5¡ l° s polígonos mostrados son
lados de dicho polígono.
regulares.
A) 62 B) 58 C) 42
D) 39 E) 27
5. Se tiene un polígono equiángulo de 36
lados. Calcule la medida de uno de sus
ángulos interiores.
A) 167° B) 168° C) 169°
D) 170° E) 171°
A) 14° B) 15° C) 16°
D) 18° E) 20°
B) 168° B) 15° C) 16°
E) 2 0°

240. 10. Halle el número de diagonales medias de
un-polígono de 29 lados.
A) 406
D) 424
B) 412 C) 418
E) 432
11. Calcule la suma de los ángulos interiores
de las siguientes figuras:
A) 1968° B) 1970° . C) 1973°"
D) 1980° / E)$985° \
s «BrÆs& ,/k \
§ §|p¡^ I
12. A partir del gráfico, calcule x+ÿ+z:.
A) 125°
D) 140°
B) 130° C) 135°
E) 145°
14. En el gráfico, ABCD... es parte de un dode­
cágono regular. Halle*.
/
ÍJ
O
O
/
A) 100°
D) 130°
B) 110° C) 120°
E) 140°
15, En el gráfico, ABCD... es parte de un decá-
gdno;féguláT::;Calcule a.
¿Y ¿er *
S ^
, y V
%% ß0&
' / . U *
X>*
A) 270° B) 540° C) 720°
D) 450° E) 360°
13. Si el polígono mostrado es equiángulo,
calcule p.
A) 66°
D) 74°
B) 68° C) 72°
E) 180°
16. La suma de las medidas de los ángulos in­
teriores de un polígono es 3240°. Halle su
número de diagonales.
A) 152
D) 210
B) 168 C) 170
E) 420

241. B) 45°En un polígono la suma de su número de A) 30°
lados, vértices y ángulos interiores es 39. i D) 20°
Calcule su número de diagonales.
C) 25°
E) 15°
i 22. En el gráfico, los polígonos ABCD y AMN
A) 76 B) 84 C) 88 son regulares. Halle a.
D) 65 E) 67
18. ¿En qué polígono se cumple que su núme­
ro total de diagonales medias es igual al
doble del número total de diagonales?
A) pentágono
B) hexágono
C) heptágono
D) octógono
E) nonágono
"<¿/ à $3
'i
En un polígono equiángulo, desde los puntos
medios de dos lados consecutivos se pue­
den trazar 13 diagonales medias.,Calcule la
medida del ángulo exterior del polígono.. #
A) 15°
D) 35°
B) 20° C) 2 5 ^ V
%
E) 45°
<//
A) 65° " B) 68° C) 75°
D) 78° ,v . E) 82°
Se tiene un polígono de a lados. Calcule la
diferencia entre el número de diagonales
médias y el número de diagonales totales.
A) 2a B) 3o C) a
D) 4o E) 5o
20. Calcule la medida del ángulo exterior de
un polígono regular, cuyo lado mide 3, si
el número de diagonales es cinco veces su
semiperímetro.
A) .15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 40°
21. En un polígono equiángulo, desde los puntos
medios de tres lados consecutivos se pue­
den trazar 18 diagonales medias. Calcule la
medida del ángulo exterior del polígono.
Indique cuáles de las siguientes figuras son
polígonos.
v - v
A) solo I B) Il y III
D) solo II
C ) so lo III
E) I, Il y IV

242. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
25. Los puntos A, B, C y D son los vértices
consecutivos de un polígono regular de
12 lados. Calcule los 4/5 de la medida del
ángulo ADC.
A) 20° B) 30° C) 24°
D) 18° E) 36°
26. Halle el número de lados de un polígono
si la suma de sus ángulos interiores es el
doble de la suma de sus ángulos exteriores.
29. Se tiene un octógono equiángulo ABC-
DEFGH, en el cual AB=A m, BC = 2\Í2 m y
CD=6 m. Calcule AD.
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
30. Desde 7 vértices consecutivos de un po­
lígono se han trazado 55 diagonales.
Calcule el número de diagonales totales
del polígono.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
27. Si los ángulos exteriores e interiores de un
polígono regular se encuentran en la rela­
ción de 1 a 5, el polígono se denomina: \
A) 54
B) 65
C) 77
D) 90
E) 104 •‘i..
31. Cada lado de un polígono regular mide 7 cm
y el. perímetro equivale al número que ex­
presa el total de diagonales medias (en cm).
Calcule la medida de un ángulo central.
A) hexágono. C .,/"
‘%s
B) pentágono.
C) dodecágono.'
D) heptágono.
E) nonágono.
28. En un polígono equiángulo, la relación
entre la medidas de un ángulo interior y
otro exterior es de 7 a 2. Calcule el número
de lados del polígono.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 • E) 10
A) 16° B) 18° C) 22°
D) 24° E) 26°
32. Dos número consecutivos representan los
números de vértices de dos polígonos
convexos. Si la diferencia de los números
de diagonales totales es 3, el polígono de
mayor número de lados es
A) ¡coságono.
B) nonágono.
C) endecágono.
D) pentágono.
E) heptágono.

243. ¿En qué polígono regular la diferencia
de medidas entre un ángulo interior y un
ángulo central es 36o?
A) cuadrado
B) pentágono
C) hexágono
D) heptágono
E) octógono
34 ¿En qué polígono la cantidad de diagonales
es dos veces la cantidad de lados?
A) cuadrilátero
B) pentágono
C) hexágono
i &w<r j/¿z&iWy
X J O . ' .*■
ñ 4Wy /?*-■■*
i ' .« i
\ ■ X i r
D) heptágono
E) octógono
35. En el gráfico, ABCDE yAEFG son polígonos
regulares. Halle a.
L
X X .
/
° y g
A
A
■ '54r\
/ \
/ ..A'
_________\_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ j
V
/
.D
/i
A) 14°
D) 1 6 ° ^
B) 15° C) 18,5°
E) 26,5°
Cfy. jy
y-
¿m, %
X-ÍÍT -.'X '-'v a
# r « f c
V ¡ { > f
#
, *
'X '
, / * \ J t
w '
P>
Xj.-s#*
Claves
1 ; 6 : ; 11 * ! 16 ; 21 26 31
2 : ■ 7
12 17 22 * : 27 32
3 8 : 13 i 18 23 : 28 33
4 ; 9
14 19 24 > ; 29 34
5 10 15 20 25
\
om
35

244. >
■m
/

245. En el año 2005, el norte de Pakistán fue devastado por un
terrem oto que causó más de 70 000 muertes y dejó a m u­
chos de sus. habitantes sin hogar. Las normas inadecuadas
de construcción y los materiales en mal estado fueron las
principales causas de! derrumbe de muchos edificios y casas.
Por ese motivo era muy importante que la reconstrucción
abordara estos temas, para asegurar que las nuevas cons­
trucciones pudiesen resistir otros eventos sísmicos.
En la imagen se ve la construcción de un inmueble. En él
podemos apreciar que la importancia de los cuadriláteros
reside en sus diagonales, porque su función principal es la
distribución de fuerzas horizontales y verticales. Adem ás, la
rigidez de la casa se plasma mejor cuando aumenta el nú­
mero de diagonales.
Los cuadriláteros integrados generan una excelente base
para el zócalo (parte inferior) y también para el techo (parte
superior). La presencia simétrica de los cuadriláteros contri­
buye a la resistencia del predio en caso de sismos.
. ÁllOJ A SOFÍA.
Aprendizajes esperados
• Conocer las definiciones y teoremas de cada clase de
cuadrilátero.
• Aprender las propiedades de los trapecios y paralelogramos.
• Plantear y resolver problemas al emplear la teoría de cua­
driláteros.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque nos proporcionará conocimientos de apoyo para
comprender de manera sencilla los temas a desarrollar.
Además nos ayudará a planificar de manera adecuada la
disposición de las medidas de terrenos de cultivo; avenidas,
calles y jirones; asimismo de edificios y otras construcciones.

246. L ú a
Cada día sorprende menos que
la geometría y el arte estén
unidos. El diseñe de, esta ha­
bitación tiene la influencia del
pintor Piet Mondrian. Con sus
famosos cuadrados y rectángu­
los se promueve un ambiente
cómodo, relajado y equilibrado.
I
En este enlace encontraremos
teoremas relacionados al cuadri­
látero y las bisectrices de sus án­
gulos interiores.
h t t p :/ / e s . s e r ibd.com/
doc/248431646/Cuadrilateros
1. CO N CEPTO
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Por la región
que limitan se denominan cuadriláteros convexos o cuadriláte­
ros no convexos (cóncavo).
• Lados opuestos: AB y CD, BC y AD
• Ángulos opuestos: < ABCy <CDA, <BAD y <BCD
» Diagonales: A C y BD j
■ : / g% ß*
El ABCD se lee: “Cuadrilátero de vértices ABÇD”.
D É ts rS tfi f ¡ $ f a .
IN TERIO RES f £ V ;
• En un cuadrilátero convexo
0 + v»=3o0°
• En un cuadrilátero no convexo
I i O i (t)

247. I
i
i
3.- C LA SIFIC A C IO N DE C U A D R i f ;'/•
Se clasifican según el paralelism o de sus lados opuestos.
-'.1. frapezorde
Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos.
3 .U Trap ezo id e asim étrico
Ninguna diagonal es parte de la mediatriz de la otra diagonal.
Una diagonal es parte dé la mediatriz de la otra diagonal.
Observación
y
/
>
\
Este cuadrilátero también es un trapezoide si­
métrico, porque se cumple que una diagonal es
parte de la mediatriz de la otra diagonal.
Los cometas poseen la forma
trapezoidal simétrica y se han
utilizado durante siglos por di­
ferentes culturas como fuente
¡ de entretenimiento y también
como fuente de estudio científi­
co, por la estabilidad que ofrece
durante su vuelo.
Todo trapezoide simétrico po­
see un par de ángulos opuestos
de igual medida.

248. AAM " »■>.« *.* A l\-» A_Jy-
En todo trapecio se cumple
'//i ‘/ i a-rt-3=180°
j!!l¡¡i;¡fe
a -i- 180°
Lo desafiamos a que demuestre
‘ Y| dichas ecuaciones.
En todo trapecio, la altura en
algunas situaciones debe estar
asociada a los lados laterales.
; mi)
En esta posición podemos em­
plear la teoría estudiada en los
triángulos rectángulos/ tales
como el teorema de Pitágoras
y los triángulos rectángulos no­
tables.
3.2. Trapecio
Es aquel cuadrilátero que posee solam ente un par de lados
opuestos p arale lo s..
B P C
1 G
~ \
J \
AD//BC
1 :
L a
y
\
A Q D
Del gráfico
• Las bases son los lados paralelos (AD y BC).
• Los lados laterales son los lados no paralelos (AB y C D ).
• La altura es la distancia entre las bases (p q).
• La base m edia es el segmento que tiene por extremos a los
puntos medios de los lados laterales (m n).
3.2.1.Teorem as ?AS''
a. Cálculo ele la base Ty. •
Si ABCD es un trapecio, entonces
„ 0 + b
7\d//mñ//bc j

249. Css *.-¡o 7
b. D .ítsrrá b: :. ;" ,c: , d* te: ■; Resolución
** *»
d íag o n aíes
Si A8CD es un trapecio, entonces
Nos piden x-y.
En el trapecio tenemos
x+56o=180°
x=124°
Luego
7-rT12°='iS0o
y=68°
Observamos.
x-y=124°-68&
.v x-y=56°
Ap l ic a c ió n 2
A partir dei gráfico, calcule x.
J®®
; í | v
! AV-
; í. ■
..<£?• -
V
«
: / ;
V
Aplicación 1
Del trapecio mostrado, calcule x -y i El fe -ABC es notable de 30° y 60°.
:: V X=30°
»*
;; Aplicación 3
En un trapecio ia longitud de su base medía es
de 8 cm y la razón de las longitudes de sus ba-
;í ses es de t a 7. ¿Cuánto mide la base menor?

250. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Re s o l u c i ó n
Del gráfico
B a C
D
Por el cálculo de la base media tenemos
S ^ a + T a
2
So=16
o=2 */****•*«
3.2 2. C lasificació n # 2:
Los trapecios se clasifican según la longitud de
sus lados laterales.
a. T ra p ecio escaleno
Cuando sus lados laterales son de diferente
longitud.
ór-b'
—> a *(3
Si AM=MB, entonces
:y
_j
b. Trapecio isósceles
Cuando sus lados laterales son de igual lon­
gitud.
ÍTC?.' '-Tí':;. /
En todo trapecio isósceles, se cumple
ll r ''''. /
: Í : 5 •: I ff .ol—
-------—
. . -i i f
t r \
- A A -a i
x r .' - í
ü
a
A
j o + [J-180c' |
Los desafiamos a que demuestre la ecuación.
Caso p articu lar
Al trapecio escaleno que posee dos ángulos
rectos se le denomina trapecio rectángulo.
Propiedades
En todo trapecio isósceles se cumple que

251. a. Sus diagonales son de igual longitud.
b. Sus diagonales determinan ángulos de igual
medida con sus bases.
Aplicación 4
A partir del gráfico, calcule ß.
En el trapecio rectángulo
AM=MB
Por lo tanto, en el triángulo isósceles ABM,
ß = 65°.
Aplicación 5
En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles.
Calcule x.
/
\
A
¿ b Jf
/
^ \
: \
Re s o l u c i ó n
Nos piden x.
En el trapecio isósceles ABCD, tenemos
m<í/4=m<D=640
En el triángulo sombreado observamos
x+ 64°=90°
.\ x=26°
Aplicación 6
En el trapecio isósceles mostrado, calcule a.

252. Re s o l u c i ó n
Nos piden a.
En el trapecio isósceles, las diagonales y las
bases determ inan a los ángulos iguales.
a= 37°
3.3. Paralelogram o
Es aquel cuadrilátero que posee sus dos pares
de lados opuestos paralelos. 'V 3 I
B
AB//CD y BC//A
3.3.1.Teorem as
a. Sus ángulos opuestos son de igual medida
y sus lados opuestos son de igual longitud.
Además
i i. i (i- lí'íO

253. Capítulo 7
A . ys.»-V/'-
• V.- ^
WmÉéM
Cuadriláteros
Ap l ic a c ió n 8
En el gráfico, 0 es el centro del paralelogramo
ABCD. Si D£=8, calcule x.
B • c
.................................~ 7 '
O x
D
Re s o l u c ió n
Nos piden x.
n v
/ > ^
\
/4
I % ■ v N
Recordemos que O es el punto medio de sus
diagonales.
% K ’
En el A BDE, por la base media tenemos 41-, Ü i.;- ^: centro del rombo
8
x — —
2
vA;A
A
x=4 ' \ . f
3.3.2. Clasificación
a. Rom boide
Es aquel paralelogramo cuyos lados contiguos
son de diferente longitud y sus ángulos inter­
nos no son rectos.
B b C.
Propiedades
Por ser un paralelogramo, el romboide cumple
con los mismos teoremas analizados anterior­
mente, que son los siguientes:
a. Los lados opuestos y los ángulos opuestos
son congruentes.
b. Sus diagonales se intersecan en un punto
medio.
b. Rombo
Es aquel paralelogramo que solo tiene sus
cuatro lados congruentes.
r
/-V ß
/A
></
. “ ■
%/íf
-o \
/
/a
.... /Ï
¡ A
U Ay
D
V . v
Propiedad
Las diagonales del rombo son perpendiculares
entre sí y determinan las bisectrices de sus án­
gulos interiores.
c. Rectángulo
Es aquel paralelogramo que solo tiene cuatro
ángulos rectos.
O: centro del romboide O: centro del rectángulo

254. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Ditocurioso
La iforma"d'eí; cámpb"'de:_fútbói
es rectangular, e l césped . puede ;
ser natura!' o. artifíciálsu largo
\\ UUaÙj i
mide entre'100 y 110 m,;yisú
.chp: é o tré ^ .^ 7 ‘5;<ñ' para parti
dos înternacionïlesi I | | |
' n ! n I ! i i Ì | j
//:j Cuidado I
\\v r
,v IH
i U i
l
i ! \l !
j ' 4 ■» ‘r**•*■*■ s-‘ > * * " ;> t . . '
i El; romboide, el rombo, el rec­
tángulo y el cuadrado son parte
del paralelogramo. Es por .eso
que los ;teórerdas denéblésj es-//
tudiados en el parálelp^amoV;
cumplen también, para!las jcual-1
•tro clases de-paralelogramo; IJJ
1 Romboide
i.
Rombo
J
H Rectángulo
^|x3ci3ra3^rrrrl'//^ y /
" H Cuadrado \ { / / l
:^ Æ È m m m \ W
Propied ad es
a. Las diagonales son de igual longitud.
b. Las diagonales determinan ángulos de igual medida con
sus lados opuestos.
d. C uadrado
Es aquel paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruen­
tes y sus cuatro ángulos rectos.
O: centro del cuadrado
Propiedades ‘
a. Las diagonales som de igual longitud y también son per­
pendiculares entre sí.
b. Las diagonales determinan las bisectrices de sus ángulos
rectos.

255. Aplicación 9
En el gráfico, ABCD es un rombo y EF-2{FG), j
Calcule x .
C
Re s o l u c ió n
Nos piden x.
Recordemos que lia diagonal de'l rombo es ibi- :
sectríz de su ángulo ¡interior.
En el <BAD por él teorema de lia bisectriz.
FG -F P -m
El ^ BPF es notable de 30° y 60°.
/. x= 30° j
Aplicación 10
En el rectángulo mostrado, ¡cuyo centro es O, •
calcule x.
Re s o l u c i ó n
El centro O es el punto medio de la diagonal BD.
iPorilos ángulos alternos internos observamos
m<CBD=.r r x BDA=$
En el triángulo isósceles QPD, tenemos
PD=6~PQ
,n x - 6
Aplicación 77
Del cuadrado sombreado, calcule x.

256. Re s o l u c i ó n
En el cuadrado, la diagonal es bisectriz de su ángulo interior.
\ r
-J.'MJ.tt* ’ J -
"
...
El rectángulo áureo es aquel
rectángulo cuya razón entre sus
lados es .
_ i W §
9 2
' ; . . : ■ ;
■
Algunos objetos poseen esta
propiedad, por ejemplo: el DNI,
la tarjeta de crédito, el cuadro
La últim a cena, etc.
En el triángulo sombreado tenemos
x= 45°+ 40°
x=85°
Ap l i c a c i ó n 72
Si O es el centro del cuadrado sombreado, calcule a .
3
\
; ■ ó .
ÆÈ& 4L \ r~
\ -
¥ ' M r^ — t
----------1 r> % .
i 1 ^ ;í5
| \ r
r ^ \ 7/*^ %
' >í‘v.
I W |
m*- fp o
%**■
àSSOÿV
P * V
^ ÎÎ (•’.rS.'íÁ/l
i y
^ Si
Re s o l u c i ó n
A '%>*%.
% P
"■'SÍt
D
El centro O es el punto medio de las diagonales A C y BD.
A D
AO=BO=OD=4
El b AO P es notable de 37° y 53°.
.\ a= 53°

257. ■tofo
Capítulo 7 '.XA'/*
Cuadriláteros
33.3. Paralelogramo de Vanqnon
Este paralelogramo fue descubierto por el matemático francés Fierre Varígtron (1654-1722) y
publicado en 1731
Su contenido indica que en un cuadrilátero, convexo o no convexo, al unir ios pontos medros de
sus cuatro lados, se forma el paralelogramo de Varígnon.
Convexo Mo convexo
PQMN: paralelogramo
/\
/ \
7 X
.
/ \ _ x \ \ b
I \
3 - 3 \
PQMN: paralelogramo
• Si ABCD tiene diagonales de igual longitud, entonces PQMN es un rombo o cuadrado.
• Si ABCD tiene diagonales perpendiculares, entonces PQMN es un rectángulo o cuadrado,
• Si ABCD tiene diagonales de igual longitud y son perpendiculares entre sí, entonces PQMN es
un cuadrado. ,X X ;x ,
x¿r-. >r
'£■ Acti víd^drecreatlva.
Reordene los pedazos de la figura hasta lograr construir el cuadrado. ¿Cuál es el perímetro de dicho
cuadrado?
t ó _

258. CUADRILÁTERO se clasifica en
Trapezoide
Asimétrico
•/
\
A
A
Ninguna diagonal es
mediatriz de la otra
diagonal.
Simétrico
¡ o a
# □
a a
V
• \
I \
\
i w 7
/
/
b- b
P (3 /
\ ¡7
Una diagonal es la
mediatriz de la otra
diagonal.
Convexo —
V
______/'
clasificación
'
f Trapecio
a 0)
a+P+0+a)=36O°1
J
No convexo
Teorema
Para todo trapecio
b € J '
?■ ~
f Av
» ?
Paralelogramo
MW ,
j 0 r j
' ^ , 'Wuïï*. v>/ •t«' *->,
A AA ife. 1
. : > • 'A ^
\ w' ¿PM, • %
x A . ¿.vr>.rAk/. -ro. • " i
Teorema
Para todo paralelogramo
i- 1
__¿__
J re - « y
/I a! /a
^7
/
a 0-
x=
O
a+b
•
___________
O ' •••'.■•
%% S0 .....
---------V
r i< ^2zk
' Vz—ill.sv*-—-1
¿ A
o /
__________
O: centra
a+0=18O°
Clasificación
a. Escaleno
Clasificación
a. Romboide
b. Rombo
. ¿f» %
x
\
a ï b
b. Isósceles
b c l l _
x~y
^ \ >y *<>>
vv 3 I
/ °
a o 9 a A
0 ^ • a
I t ç
c
° /
O- /o
a
/A a* e W
ip p
a ! a
a A
a+P=180°
r~
m
m - n
c. Rectángulo
b
□ a a O
» »
o (
» %
□ Va a □
b
Diagonales de igual
longitud
a
d. Cuadrado
a
□ 4 5 0
4 5 0 c
45° 45°
O a
45° 45°
□ 45°45° r
a

259. JUNTOS
Problema N.‘ 1
A partir del gráfico, calcule x.
En el cuadrilátero se cumple
3(3+4(3+5(3+6(3=360°
18(3=360°
/. (3=20°
Clave
Problema N. 3
A) 105° B) 110°
D) 120°
Resolución
Nos piden x;
En el cuadrilátero se cumple
C) 115°
E) 123°
Del gráfico, calcule x.
?S0Z
x=110°
Problema N. 2
_____
En un cuadrilátero convexo, las medidas de sus
ángulos interiores son 3(3,4(3, 5(3 y 6(1 Calcule (3.
/ Ó * 6
A - - \
■ ■ \
/
A ••
/
, /
\
\
/V"' . ■ r l
.
i' F: f
w + r ‘
A) :100o B) 110° C)115°
- \ Clave C )
| D] 120° E)125°
4 / 5 \v.;'
A) 18°
D) 21°
Resolución
Nos piden (3.
Graficamos.
B) 19° C) 20°
E) 22°
Im po rtan te
Si, en el problema, la variable está relacionada
a un A , ZA o A , se sugiere asociar dicha va­
riable a cada uno de ellos para formar ecua­
ciones que luego tendremos que resolver.
Nos piden x.
En e l'A CDE
x=(3+0
En el Í^ABCD
3(3+30=360°
3(p+e)=360á
1 '— -— • 120°
/. X=120°
Clave

260. COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N.‘ 4
_____________________________
En un cuadrilátero ABCD, los ángulos en los
vértices B y C miden 90° y 150° respectiva­
mente. Halle la medida del ángulo determina­
do por las bisectrices de los ángulos de vérti­
ces A y D.
A) 100°
D) 130°
Resolución
Graficamos.
B) 110° C) 120°
E) 135°
Nos piden x.
En el OlABCD
2(3 + 20 + 150° +90° = 360°
X « S, , X
Resolución
\ Importante
Cuando la variable no está relacionada a!
: A o ZA, sugerimos asociarla a cualquiera
de ellas mediante la prolongación de los
lados de la figura inicial.
Nos piden x.
/
/
....,
/ ( p + e ) = ^ o ír -> 3+0=60°
En el A/ADE
(3 + 0H-X = 180°
%% % :
%'A :
Del gráfico r-.
x=70°+15°
Problema N.‘ 6
\
□ _
Clave
A; En un trapezoide ABCD, AB=BC-m, CD = nW2,
m< ABC=90° y m< ADC=40°. Calcule m< BAD.
r=120°
Problema N/ 5
Del gráfico, calcule x.
Clave •
i A) 80° B) 85°
! D) 100°
i R e so lu c ió n
NO OLVIDE
, Æ . £ x
D
C) 90°
E) 105°
0 - 4 5 °

261. Graficamos.
El ì^ABC es notable de 45° y 45°.
AC = m V2
El AACD es isósceles.
m < C 4D = m < A D C = 40°
Del gráfico
x= 4 5 °+ 4 0 ° / * ■
x= 85° / ,
Tenemos
m <ABC=nxADC=x
/
/ A
En el ABCD
2*+ 86°+54° = 360°
v
--------v y
/ x = 220°
/. x=110°
C la v e
Clave
"■xv- ■
Problema N.° 7 _ . ^
En el gráfico, ABCD es un trapezoide simétrico.
C a lc u le n
Se tiene un trapecio rectángulo ABCD es recto en
A y en B. Si AD=4, AB = J3 y BC= 3, calcule CD.
A) 100° B) 102° C) 106°
D) 108° E) 110°
Resolución
Nos piden x.
; Im p o r t a n t e
En un trapezoide simétrico, dos de sus
ángulos opuestos son de igual medida.
A) 2
D) 5
Resolución
Graficamos.
□
B) 3 C) 4
E) 6
\
;\
: \
□
____
Fn el C H D aplicamos el teorema de Pitágoras.
x - = S + rr2
**=4
x=2
Clave

262. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
■

263. Resolución
Nos piden x.
El C l ABCD es un trapecio isósceles.
x + 70°+65° = 180°
v v* ^
/. x=45°
| Clave
P ro b lem a N.° 12
En el gráfico, M es el punto medio de CD y
BM=AE. Calcule x.
A) 16°
B) 18°
C) 20°
D) 22,5°
E) 23,5°
R esolución
Nos piden x.
□
-----\
En el vértice A, tenemos
3x+2x=90° -> 5x=90°
x=18°
Clave
En un trapecio isósceles ABCD (AD//BC\
se ubican los puntos P y Q sobre los lados
AD y CD, respectivamente. Si rr\<PQD-90°,
m<QPD=25°, calcule rrxABC.
A) 110° B) 115° C) 120°
D) 125° E) 130°
Resolución
Graficamos.
Los ángulos opuestos de todo trapecio isósce­
les suman 180°.
x+65°=180°
x=115°
Clave

264. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema 14
En el gráfico, AMNQ es un trapecio isósceles y
BN=8. Calcule MQ.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
B
br
e l
R e so lu ció n
Nos piden x.
El ¿H\AMNQ es un trapecio isósceles.
AN=MQ=x
En el CSABCD, se cumple
AN=BN X \ J
x=8 '
Clave
Problema N." 15
__________________________
En el gráfico, MP+NQ=k y AD//BC. Calcule
BC+AD.
M
J
A) -
2
D ) 1
2
B) k C) —
3
E) 2
itesqiucion
Nos piden x+ y.
Dato: m+n=k
f E f y \M8CP; por la base media.
| j f ' x + n
m = - (I)
El CXANQD: por la base media.
y + m
n = (II)
Sumamos (I) y (II).
x+n y+n
m+n =
-----+-
m+n =
2 2
x+y+m +n
2{m+n)=x+y+m+n
m + n= x+ y
Clave
x+y-k

265. Capítulo 7
Cuadriláteros

266. Problema N.° 18 Problema M/ 19
En el gráfico, ABCD es un paralelogramo.
Calcule a.
En el gráfico, O es el centro del romboide
ABCD. Si 6(PO)=S(CH), calcule x.
:x>oo<>:<kv>>'x>x>o<>:XX/C<*XK">»XX'>
; i
Í NO OLVIDE
En todo paralelogramo, los ángulos \
opuestos son de igual medida.
En el APQC, obtenemos
2a+3a+100°=180°
5a=80°
a=16°
Clave
; El centro de todo paralelogramo es el
punto medio de sus diagonales.
El b^AHC: por la base media.
OQ = — = 3m
2
El I^PQO es notable de 37° y 53°.
x=37°
Clave

267. Capítulo 7
Cuadriláteros
En el gráfico, O es el centro del rombo ABCD y
OH=4. Calcule OP.
Problema N.* 2D ___
H
~0~
o
-~1
r J
45 j
/
D
A) 4
D) 5
Resolución
B) 4yÍ2 C) 5^2
E) 6
/■ #>> " ■ / ' ■ / / a y:r :
N O O LV ID E
Las diagonales de un rombo determinan
i las bisectrices de sus ángulos interiores.
1 « X X » ! 'cbo>
Nos piden OP=x.
B H
□
i
;
7o
D
Aplicamos el teorema de la bisectriz.
OH=OQ=4
El k^PQO es notable de 45° y ^
45°.
X - 4y¡2
S í
/
En un rectángulo ABCD, se ubican los pun­
tos P, Q y 7 sobre AD, AB y BC, respectí-
530
vamente. Si m <PCD=37°, m<BTQ= — y
PD=2(AQ)=2(7Q=6, calcule AP.
Problema NC 2 1
_____________
A) 5
D) 8
B) 6 Q 7
E) 9
Resolución
Nos piden AP=x.
Dato: PD = 2(A Q } = 2(TC ) = 6
donde PD=6 ,AQ=3 y 7C=3.
Grafica mos.
K;
-í í'-’ > . L$ í
-i,.'»' c'W ~~
V Q
■* tu
El ^ CDP es notable de 37° y 53°.
CD=8
El Cx 78Q es notable de — v BZ1.
2 y 2
fiQ=5 y 87=10
En el CHASCO
AD=BC
x+6=10+3
.% x=7
C/ove Clave

268. CO LECCIÓ N ESEN CIAL Lum breras Editores
———— , -■ 1 : - ** •
_’ : ’ ¿

269. Problema N.° 24
Resolución
Grafica mos,
En un rectángulo ABCD, de centro O, se ubica
el punto P en ÄD. Si AP=PO y m <PO D=90°,
halle m<PDO.
A) 15° B) 20° C) 25°
D) 30° E) 35°
Resolución
Nos piden oc.
B ’ ■ c
En el a ABCD
AO=OD=a
En el fcxPOD
a+ 2a= 9 0 °
3a=90°
a=30°
Clave
Problema N." 2 5
__________________________
En un rectángulo ABCD, se ubica el punto E
en la prolongación de CD. Si m <BEC-3S0 y
ÀC-DE, calcule m<ACD.
C) 70°
E) 80°
| MO OLVIDE
En todo rectángulo, sus diagonales son de
igual longitud y con los lados opuestos se
determinan ángulos de igual medida.
El- C\BDE es isósceles.
m<DBE=m<BED=35°
El BÖE es el cálculo del ángulo exterior.
x=35°+35°
x=70°
i Cío ve
Problema N.° 26
En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si
AB=10, calcule DP.
B
A)10
I
\
\
B)12
/ ’■'’I
C)14
/ /
/
D)16 ¡
/
E)18t±T .
y /
J
A P
A) 60°
D) 75°
B) 65°
O
273

270. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Graficamos.
Resolución
Nos piden AE=x.
B C
10/
^ 6 7 °
A P D
1
--------x---------*
En el CJABCD
AB=CD=10
m < BAB=m <
m cBC P= M <a ¿ %%
.i¿ .•/&{&£
i j&k ^_gk \
El &JOHD es notable de 37° y 53® ■ ' , ::
OH=6 i. ' ' % ¿ ' 9 i 0 P I
% "t ¿
Eli fcjRWO es notable de 3CP y 6-0®. 1F j?*
x=12
Problema N/ 27
En ell grato,, M C B es un trapeó© ¡isósceles
( j¡ C J / M Si CE=3> y @+p=9ÍF„ calcule A£
C
l Si A B C D es un trapedo isósceles, entonces
| A C = B D y ci=0.
a) & b» - Jñ o -ü s
d) 5 e 7
En el problema observamos
El / A BCD es un trapedo isósceles.
AC=BD=2 y m <G4D=nrxfiDA=0
En el í y\C£ aplicamos el teorema de Pitágoras.
* 2=22+ 32
x=-J\3
i C la v e \ y )
1

271. * Problema NT 28 Resolución
Graficamos.En el gráfico, O es el centro del rectángulo ABCD
y POQD es un trapecio isósceles. Calcule x.
A) 47°
B) 49°
C) 51°
D) 55°
E) 58°
B
Resolución
c
NO OLVIDE
Hay que calcular las longitudes de las
bases.
Nos piden x.
B
f El centro de un rectángulo es la inter-
; sección de sus diagonales.
El o POQD es un trapecio isósceles.
m<ODP=m<QPD=3S°
Tenemos
A
El ABEC es isósceles.
BE-BC-a
El AAED es isósceles.
AE=AD=a + 20
En el ^ PDE
x+ 35°= 90°
/. x=55°
: Clave
Problema N. 2 9 _____________________
En un trapecio ABCD (AD//BC), rr\<BAD=62°,
m<ADC=59° yAB=20. Calcule la distancia en­
tre los puntos medios de AC y BD.
A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
Luego
a
(2 0+ a)-a
X =
----------------
2
_ 20
2
x=10
: Clave

272. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1. A partir del gráfico, calcule x.
A) 36° B) 38° C) 40°
D) 42° E) 46°
2. Del gráfico, calcule x.
A) 8o B) 9o C) 10°
D) 12° E) 14°
4. En un trapezoide simétrico ABCD, la
m<fl/4D=143°, m<BCD=37° y AB=2. Calcule
el perímetro de dicha región trapezoidal.
A) 14 B) 15 C)16
D) 18 E)20
Calcule BD/AC si ABCD esuntrapezoide
simétrico.
B
/
/
/
•4 <
53'
> ? > C
\
\
D
A)
B) 1
C)1
3 ' 3
á ¡
E)
3
5
% En el gráfico, ABCD es un trapecio isòsce­
li es. Calcule x.
A) 95° B) 115° C) 120°
D) 125° E) 135°
7. En un trapecio isósceles ABCD (a d//Bc),
se traza AH perpendicular a CD (h eCd).
Si vn< BAH=3{m< DAH), calcule m<DAH.
A) 15° B) 16° C) 18°
D) 20° . E) 21°

273. 8, En el gráfico, ABCD es un trapecio isósce­
les. Calcule x.
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
En un trapezoide ABCD, las distancias de
los puntos medios de AB, BC y CD hacia
AD son 3, x y 2, respectivamente. Halle x.
A) 4
D) 7
B) 5 C) 6
E) 8
A) 25°
D) 31°
B) 27° C) 29°
E) 33°
9. En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles
de bases AD y BC. Si AC=7/ calcule DE. %
En un rectángulo ABCD, se ubican los pun­
tos P y QsobreBc(q ePc). Si QC=3(BP)=6,
halle la distancia entre los puntos medios
de las diagonales del cuadrilátero APQD.
1 : . ; P i
V
A) 2
D)
B) 3 C) 4
E) 6
A partir del gráfico, calcule x.
i r
D
A) 3,5
D) 6,5
B) 5 C) 6
E) 7
7 /.V
10. Calcule EM si CM=MD y 2(fíM)=3(A£)=12.
A) 5n/3
B) 5
C) 2^5
D) 3^5
E) 4 ^
11. La diferencia de longitudes de las bases de
un trapecio es 12 y la longitud de su base
media es 10. Calcule la longitud de la base
menor.
...
B) 4 Æ
C) 5V3
D) 5V2
E) 6
□
\
\
□
V
60°X
Del gráfico, calcule x.
2
/
A) 4
D) 7
B) 5 C) 6
E) 8
UHiMBHKKflMSSMHHBI
277

274. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
... _______. . .
_____■ ■ ... ________________________________

276. Luego
B
En el ABDC, aplicamos el teorema del ángulo
exterior.
Completamos los datos del problema.
Gomo PE es la base media del ADC
m<BDA=Zx
X
f
Com o el AABD es isósceles
2v=70°
\
x= 35°
1 •
\ /
Clave
Problema N.* 12
A A i >
X* %'í;
' ■
Del gráfico, si AM=MB; BN=NQ AP=PD y
DE=EC, calcule x.
AC = 8
Luego, aplicamos el teorema de la base media.
y:'\
, ' :Y Jf
it Jt
lJ
n j h
;A f : *
fyí-r-
í* . /
k% .
i % y :
>\
x=4
Clave

277. ililinii
r'3
ríiiIT
ii[„ 1y
\ ■;
La circunferencia es una figura que por su forma es muy
usada; por ejemplo, la rueda fue un invento significativo en
el desarrollo de la humanidad. Sin ella no se podría hablar
del transporte, ni de mover objetos pesados de manera más
-sencilla. La imagen muestra el London Eye (Ojo de Londres),
que es un mirador de 135 m de altura ubicado en el Reino
Unido. En él se notan cabinas, tipo cápsula, con cables de
acero tensados, los cuales nos dan la idea de radios de la
circunferencia.
Esta rueda gira a una velocidad promedio de 26 cm por
segundo o 0,9 km/h y tarda casi media hora en hacer una
vuelta completa. La rueda va lo suficientemente lenta, como
para permitir a la gente subir y bajar de ella sin tener que
detener el mecanismo.
P A R I S ^
ÁM<OR A SOFÍA
• Identificar los elementos de la circunferencia.
• Reconocer y aplicar la propiedad de los ángulos asociados
a la circunferencia.
• Emplear de forma correcta los teoremas que se dan en la
circunferencia.
Porque nos permitirá utilizar las propiedades de la circunfe­
rencia, ya sea en la resolución de problemas de tipo académ i­
co o en situaciones cotidianas.
La circunferencia dentro de la matemática es vista en la Trigo­
nometría cuando se estudia a la circunferencia trigonom étri­
ca, en Geometría Analítica cuando analizamos su ecuación, en
Razonamiento Matemático se relaciona con los ordenam ien­
tos circulares y en Física se asocia con la fuerza centrípeta y
centrífuga.

278. rirzUr
Linea curva
Es una figura geomètrica gene­
rada por un punto que se dirìge
a otro, que cambia contìnua-
mente de dirección (no tiene
partes rectas).
i l i j ; . ; ¿\> ryp
Il I i abierta;.'' cerrada '
i J J J j ¿ J rt } '] • SV~
[¿13
La flecha
.....: Es una porción de radio perpen-
: ! dicular a una cuerda que está
I comprendida entre el. arco y la
i • cuerda.
M i l : : : '/'/
n n 12 ¡ > i i i ¿ i i
jis&y'pvfrj tomo insuumcn-
ey, <!«■ ihtn.
Circunferencia
1. C O N C EPTO
Es una línea curva cerrada donde todos sus puntos están a
igual distancia de otro punto fijo llamado centro. A dicha dis­
tancia se le llama radio.
: donde
j - O; centro
Ì - R : radio
! • Cuerda. Es el segmento que une dos puntos de la circunfe-
: renda.
i • Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro,
i • Arco. Es la porción de la circunferencia.
! * Recta tangente. Es la recta que corta a la circunferencia en
un punto el cual se llama punto de tangencia,
i • Recta secante. Es la recta que corta a la circunferencia en
;• dos puntos.

279. Capítulo 8
Circunferencia
3. M ED ID A S DE L.A C IR C U N FER EN C IA
'• ».ó’- ¿ N ' « i 0«'.'. ;r;jlv} ■ J
. i .V Al
360° 2nR
180° 7zR
90°
tiR
T
s
--—~
A v ...,
! ./ ■£ j, ■ '
En esté'capituló,5'la medida angular será la más
analizada. ■«. / A A & S ?
A
'3
4. Á N G U LO S ASO CIA^,0>.:
, %y
4.1. A ng ulo ce% trr% M*
Está formado por dos radios
donde x es la medida del ángulo central.
Se cumple
a\AU
fm p o rtd n tc
m48 se lee: “la medida del arco A B \
El número pi
Está representado por la letra
griega jr. Es un número que
resulta de dividir la longitud de
I una circunferencia con su díá-
! '
i metro.
71=3,1416... v
22
T IO - —
7
El compás
Es un instrumento utilizado en
el dibujo técnico para trazar cir­
cunferencias o arcos. También
sirve para medir distancias y
trasladarlas.

280. Ejemplos
1. Hallamos a . 2. Hallamos 0.
0
4 3 . Ángulo sem inscrito
Está formado por una recta tangente y una
cuerda cuyo vértice es el punto de tangencia.
T
Se cumple
a= 70°
Se cumple
0=65°
4.2. Ángulo inscrito
Está form ado por dos cuerdas'cuyo vértice se
halla en la circunferencia.
A
X
/
4?
donde x es la medida del ángulo inscrito. . :
Se cumple %
donde
- T: punto de tangencia
- x: medida del ángulo seminscrito
Se cumple
I m'ÁT I
Ejemplos
1. :Hallamos 0.
A?
Ejemplos
1. Hallamos a .
%
Se cumple
a=60°
2. Hallamos p.
Se cumple
P=100°
Se cumple
0=120°
130°
Se cumple
a= 65°
3. Hallamos a.
Se cumple
a=140°

281. 4. Hallamos co.
Se cumple
(0=260°
En el ángulo inscrito y el seminscrito, la relación entre ángulo
y arco es de 1 a 2.
\ l I
4 .4 . A ng ulo in terio r
Se encuentra formado por dos cuerdas que se cortan en la
región interior „
I J i
■ _ ' 1 I
^ ' i
ó . .
donde x es la medida del ángulo interior.
Se cumple A 4 F & - ? ¥
í- - f -/
■<%
% '%*&
Ejemplos w
1. Calculamos x.
Se cumple
100°+60°
x = ■
x=80°
2. Hallamos x.
Se cumple
135°=
x+180°
-> 270°=x+180°
90°=x
tangencia.
Se cumple
Demostración
Paso 1
No se confunda.
'urcun'í icrvc»^ Urtyto

282. COLECCIÓN ESENCIAL
4.5. Ángulo exterior
Está form ado por dos rectas trazadas desde un
punto exterior a la circunferencia, dichas rectas
pueden ser diversas.
2. Calculamos x.
Lumbreras Editores
Dos secantes Secante y tangente
Se cumple
2 0 ° = ^ ° !
2
4 0 °= x -4 0 °
80°=x
3. Hallamos x.
L \ 7
/
Dos tangentes
\
Donde x es la medida del ángulo exterior.
Se cumple
v v
Ejemplos
1. Hallam os x.
V ,
% %
J
V
130°
Se cumple
130°-70°
x =
r= 30°<
I *
'Ù
U'^ # rr,^ -W 7 '577TT77T"
; v-;
.i- :• ;• . '■
rma práctica tenemos que
w .
m<interior: semisuma de arcos
■
m< exterior, semirresta de arcos
'
5. TEOREM AS
5.1. Sobre cuerdas
5.1.1. Teorem a de las cuerdas iguales
e
v 4
Se cumple
1 0 0 °-5 0 °
Si AB=CD, entonces
x =
x= 25°
0 - u

283. Capítulo 8
ité&L <*<■’
Circunferencia
Ap l i c a c i ó n 7
Del gráfico, calcule x.
D
Re s o l u c i ó n
Nos piden x.
/ ^.
Re s o l u c i ó n
Nos piden a.
Como AB=CD —> rnAS = a
En la circunferencia tenemos
2oc+40°+140o=360°
2a=180°
a=90°
5.1.2. Teorema de las cuerdas paralelas
/ " ' Si ABU CD, entonces
r O '
. i w ¿ 2 . * ) « = 0 ¡
____ _______/ \ _________/I
Por el ángulo inscrito tenemos
m íe = 100°
Aplicamos el teorema 1.
AB=CD
/. x=100°
Ap l i c a c i ó n 2
Del gráfico, calcule a .
a
articular
Cuando la recta tangente es paralela a una
cuerda, se cumple lo siguiente:
T X’
Si &HAB
b ■ - > *=y
Ap l i c a c i ó n 3
Si ABU CD, calcule a.
100;
í
a
B
- " ' 7
y
150°

284. Dato curioso
¿Por qué las ollas suelen ser
circulares?
Las ollas son circulares porque
la fuente de calor suele provenir
de un solo punto, y se distribu­
ye debajo de ella en forma de
círculo, así se aprovecha mejor
el calor.
J
Datá.cwrfanb
¿Cómo graficamos con un
compás virtual?
GeoEnZo es una herramienta de
dibujo virtual que simula el uso
de una regla y compás. El pro­
grama es gratuito, fácil de usar
y no requiere instalación.
'/f ■1
Re s o l u c i ó n
Nos piden a.
100*
.AV
u
\
\
í
Como AB//CD
—> mBD = a
En la circunferencia tenemos
2a+ 100o+150°=360° -> 2a=110°
a= 55°
Ap l i c a c i ó n 4 ■****■:
Si AB//CD y AB=CD, calcule 9.
i b Ir
\
V /
V - .
sflartWE»
----
W V
v , , w M ^
0 ^
%£
Re s o l u c i ó n
Nos piden 9.
¿ -A
Como AB//CD
-> m6C = 50°
Como AB=CD
mCD = 0
En la circunferencia tenemos
20+1OO°=36O°
0=130°
288

286. Re s o l u c i ó n
Trazamos OT.
m<OTA=90°
«T 323f
Aplicamos el teorema del ángulo central.
m<O=50°
En el fc,O AT
x+50° = 90°
x=40°
Ap l i c a c i ó n 8
Calcule 0 si O es centro.
5 .2 .2 .Teo rem a de los seg m e n to s tangent«
iguales
4 0
/
\
\
f i /
\
i /
¡/
\
\ / B
7 '
/
/
/ n
\
Donde A y B son puntos de tangencia.
Se cumple
W ;
,7 7 A
\
77
\
Aplicación 9
X Calcule x. *
$ „
I V
W 3 • c % ^ y >
y : # W \ 7 C ^
^ :# t # ’ 1 1 |*
„ # 4 . ’ '
1 * y I r \
ílt % ; V ... v
/ \
O
\
/ W
/m. iá' •
% /
Re s o l u c i ó n
Trazamos OT.
: Re s o l u c i ó n
Aplicamos el teorema de segmentos tangen­
tes iguales.
AT=AP
AT=A
m< OTA=90°
En el ¡. OTA
m<rO£M20°
Aplicamos la propiedad del ángulo central.
0=120°

288. Plaza circular de Caral
En Caral (valle de Supe), la du­
dad más antigua del Perú, exis­
ten dos plazas circulares amura­
lladas hundidas, una delante de
la pirámide mayor y otra en la
pirámide del anfiteatro.
Inn:
w
C a so p articu la r
Del gráfico,
se cumple
£ ? r
/
JXy
yp
u 0
(
/ u,
h
□ □
A i
Si
m<7AP=90°f
entonces
siempre se forma un cuadrado
del lado igual al radio.
En la drcunferenda sumamos sus arcos.
m7P + 230°=360°
m7P = 130°
Luego, notamos
11
\ V '
Aplicamos el teorema de! ángulo exterior formado por dos
tangentes.
8+130°=1
9=50° / 4,
h v:.V ' <í
'%
jm ■
w i
W £
lí
f *$■ !
' ~ ' 7 ' p £ ì ' ~ L
%
/ _ ' ' p&k
,< á? ít i-, 'ÍC5Í-*
X
\ * '
%
J r
Donde 7 y P son puntos de tangencia.
Se cumple
()=(/
Ap l i c a c i ó n 13
Calcule a si O es centro.
j

289. rM
Re s o l u c i ó n
Aplicamos el teorema del radio trazado al
punto de tangencia.
m< 074=90°
En el ^ 074
m< 0/47=25°
Re s o l u c i ó n
Nos piden x.
Luego, AO es bisectriz.
Observamos que
a+25°+25°=180°
a=130°
Ap l i c a c i ó n 14
Calcule x.
Je.
TI
O
4 A
l i j K
r v i \
___
■ Cv P
Trazamos 07.
m< 074= 90°
El ,,0 7 4 es notable de 37° y 53°.
m< 740=37°
Luego; AO es bisectriz.
| M v /
¿7«. ^ - 7 4 °
El Banco Central de Reserva del Perú lanzó en
el 2010 la serie numismática llamada Riqueza y
Orgullo del Perú, en donde los diseños alusivos
a la cultura de nuestra costa, sierra y selva son
acuñados en las monedas de un sol.

290. G. T EO R E M A S A D IC IO N A LES
6.1. De la sem icircu n feren cia
K
_
_____________i
Si P es un punto cualquiera de la semicircunferencia, se cumple
y-0 0 °
\ 1
.
J ' ?'* t * } ■ i * * ' » ' - - •-/. •’ * '* " t . . , ■> »,!>■■'' j
■ / ■
Polígonos inscritos
J Sus vértices están en la circün- ' * j
ferencia. A |
'
. :i:., ::r', V-- ¡ j 6] :
: :
* ■
Polígonos circunscritos
; 1 j \l i ¡ h • ¡
-J,
--
“t
--
-, v \ \ \
'r v v ;-'u:0;■ ■
5
i
vA 1 ;
lilis ;
r . . S
\ / / / / / j
ú M l l i
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1 i f
t
‘ ó / j
Í ' / j
¡ i
. M i l
\ s
t i
! ! i i • <//.' '/ A S
.. AT/: ..
; i ,• | • /// //
donde
-----, , ^
- Inscrito: dentro de una figura
- Circunscrito: rodea a una f¡-
gura
fi-
K
6.2. Del cuadrante
■s^ S,
O
_________
¥
Si P es un punto cualquiera del cuadrante, se cumple
Vf
l^&T, « a r ,)
'O
Ap l i c a c i ó n 75
Calcule a.
v í<v*SsV. t
>S * ./AA . - , r
X a x ^
á. "m "/ a. /í>
Á % / V.-
Re s o l u c i ó n
Aplicamos el teorema de la semicircunferencia, m<A8C=90°.
Por el ángulo inscrito observamos
m<BAD=2S°
En el b^ABD
a + 25 °= 9 0 °
a= 65°

291. Aplicación 16
Calcule x.
Resolución
Aplicamos el teorema del cuadrante.
m<&4D=45°
El fcxAfíD es notable de 45°.
x=3
Observamos que y ^ son circunferencias exteriores.
P ro p ied ad es
Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo se
cumple
Teorema de Pitot
En todo cuadrilátero circuns­
crito a una circunferencia se
cumple
l - " ~ * •
E ■ ' • 1 a + b-c•+ d t>V .
a.

292. COLECCION ESENCIAL
■ ■ ■ ■ ■ ■ i
Ap l i c a c i ó n 77
Calcule x.
b.
Re s o l u c i ó n
Nos piden x.
Aplicamos el teorema de las tangentes iguales.
AT= 5 y AM = 3 . \
Aplicamos la propiedad a.
x=8
7.2. C ircunferencias tangentes exteriores% f''
Se da cuando está una circunferencia al ¿os-^
tado de la otra, pero hay un punto en común
denominado punto de tangencia.
punto de tangencia
Sean % y las tangentes exteriores
Propiedades
c.
/
\
\ f
\ í
\í
!\
/
I
O -Cí
Por la forma de los arcos se le conoce como el
teorema de la S.
Aplicación 18
Calcule x.
í ^ \
\
r l
\ y /
Re s o l u c i ó n
Trazamos 0^ -> m<O1PO=90°
Aplicamos la propiedad a, donde Ov Ty O son
colineales.
O, \
Tr
\ / /\/*°
Ü , ? y O: colineales
En el ^ 0 / 0
x2+52=72
^ = 24
x = 2 Æ
296

293. Aplicación 19
Calcule 0,
Resolución
Nos piden 0.
Propiedades
T Q 1 y O
coiineal
(X
Está una circunferencia dentro de la otra, pero
tienen un punto en común (punto de tangencia).
Aplicamos la propiedad a.
Donde O, 0 1 y T son colíneales.
Donde ^ y son tangentes interiores. /, x=2

294. Aplicación 21
Calcule a.
Reso lu c ió n
Aplicamos la propiedad b.
rviTB = 80°
7.4. C ircun ferencias interiores
Se caracteriza cuando una circunferencia está
dentro de la otra.
Notam os que ^ y son interiores.
: 7.5. C ircunferencias concéntricas
i Son circunferencias interiores que tienen el
: mismo centro.
Observamos que ^ y son concéntricas.
Propiedades
Aplicación 22
Calcule R (7 es punto de tangencia).

295. Re s o l u c i ó n
Aplicamos la propiedad a.
AT=TB=_5
Se trazan O Ty 08, luego se forma el k^OTB.
Notamos que ^ y son secantes.
Propied ad
; Curva de carretera
Todo tramo no rectilíneo de una
j carretera se llama curva, está
compuesta por curvas circulares
y de transición. Esto evita que
los conductores salgan dispara­
dos de la carretera debido 2 la
aceleración centrífuga.
L;

296. Claudio Ptolomeo
Nació en el año 100 en Tolemaida, Tebaida (Alto Egipto) y murió en Canope en
el año 170. Vivió en Egipto, donde trabajó en la biblioteca de Alejandría.
Ptolomeo fue un astrónomo, geógrafo y matemático muy ingenioso. Muy
pocos lo superaron en conocimientos, llegó a rivalizar con Hiparco de Nicea.
Inventó una completa trigonometría que se usó hasta finales de la Edad Media.
Construyó relojes de sol, astrolabios y creó los horóscopos,
i Propuso el sistema, geocéntrico, también llamado sistema ptolemaico, en el
que la Tierra, inmóvil, estaba en el centro del universo, mientras el Sol, la Luna,
los planetas y las estrellas estaban girando a su alrededor en órbitas circulares
(Ptolomeo los llamaba epiciclos). Esta teoría perduró durante 1400 años.
¿Cómo Eratóstenes midió la longitud de la Tierra?
http://www.youtube.com/watch?v=UelQnjOEGUY

297. CIRCUNFERENCIA
,
____I____
O
/
O: centro
R\ radio
R
^Ángulos asociados Medida angular=360° Teoremas
a. Angulo central
0
-• •
O
b. Ángulo inscrito
\
a
x=e
0
x= —
4
Si o-b
-> a=0
c. Ángulo
seminscrito
T
/ L A
l ,
d. Angulo interior
\
v
oc
x \ , Se cumple
J • W ;-
, \Jr
/ f *
a ■O
x = -
0 -a
a=90°
e. Ángulo exterior
x-
0 - a
A
0
C
Si ÁB//CD
-> 0=a
a
o a ,
O
Se cumple
o=b
a=0
a
D
T 0 -
/ x
*
y ^
*p
Se cumple
! o=b ]
x+y=180°
x
/ / \ \
9
I e
o
a
/ y
*p
Se cumple
a=0
\
O
vx
□
x=90° x=45°
Ì

298. Problema N/ 1
Del gráfico, calcule 0 si O es centro. Del gráfico, calcule a.
A) 20°
D) 40°
Resolución
Nos piden 0.
B) 10° C) 30°
E) 15°
" VV'
A) 10°
D) 35°
B) 20°
m (
's
¿v&ÎvKÏÎ*
.
MW*
Del gráfico, notamos
W Jp *
$ Æ ' ■*
SkJ& /
W
■ ..
f
% ; •
"»■i:.
,4
v/ w
■% '«í. w?
Ï i5
-¿i | *
< c * ' * s &
V C / .
\ : •
„ % % ,
' V i
T O ' f/V
w F
mA£? = 60
Luego, notamos
Nos piden a.
60
C) 30°
E) 40°
Por el teorema del ángulo central observamos Luego, en la circunferencia, se cumple
60=120° 14a+4a=360°
6=20° 18a=360°
Clave ... a=20°
i

299. > N > C < s x ^ X ' - X ' C ' X x » v>-.:
NO OLVIDE
También se puede utilizar la siguiente
propiedad:
Se cumple
G r (0 - 1 8 0 °
cuadrilátero inscrito
El AOB es isósceles formado por los radios.
Aplicamos la suma de ángulos internos.
2x+100°=180°
2x=80°
x=40°
Otra forma
x>0- •
Clave
Del gráfico, calcule x.
A
í 'y ■
¡
Completamos el diámetro.
Aplicamos el ángulo inscrito.
m CA=2x
En la semicircunferencia, la medida de su arco
esi 180°. .. J O “’
í 2x+100°=180°
, V / - . '- -7. .-*/ *> . .
x=40°
V
A) 20°
D) 40°
B) 35° C) 30°
E|%>50°
Clave
Del gráfico, calcule 0 + a.
Nos piden x.
Por el teorema del ángulo central tenemos A) 100°
m«AO0=1OO° ! D) 160°
B) 200° C) 150°
í) 240°

300. COLECCIÓN ESENCIAL
Resolución i Resolución
Nos piden 9+a. Aplicamos la propiedad del ángulo inscrito.
Por el ángulo inscrito tenemos
m A8 = 100° y mCD = 60° /
Por el ángulo inscrito tenemos
■á^%Nv
& - \
g¡|p A ,
0+1OO°+a+6O° = 360°
0 + a = 2OO°
Problema N.° 5
Del gráfico, calcule*.
* ySák,
k i #
4-.
•4W
*****
• 4' « ísí> / -•■■■'
*
#1 # \ \ C/%
: I? '«CF
**
c #
#r'^ •>
Clave
v a ¿ a » .• ' . i . v >
% :a
♦v. á*
% f ^ ’V
. A . , . /
# ^ S íííf
K% %
tÉfc
%
'FF**
%. #
F F
,FÍ%'
<!} jV V-V
. % 5 0 °
Clave
Del gráfico, calcule x.
A) 60° B) 80° C) 45° A) 5 B) 8
Q 6
D) 50° E) 25° D) 10
E)

301. Resolución
Nos piden x.
Problema N.° 7
Del gráfico, si CD=/? y m < £C4=25°, calcule x.
x /
/
/
\
\ \ r ¡
£n el A/\05 se traza la altura y aprovechamos
al w notable de 53°.
x=4+4
a x=8
i Clave ,
Por el ángulo exterior tenemos
x-25
25°= •
/, 75°=x
50° = x - 2 5 °
Clave
15

302. COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N.* B
Del gráfico, m fíC = 4 0 °( calcule a .
4
El AAOB es isósceles.
Sumamos sus ángulos internos.
a+ a+ 5 0 °= 1 8 0°

305. Resolución
Nos piden x.
Del gráfico, notamos
bC¿ ¡
/
/
i i
(
\
n/ y
160°
Trazamos el diámetro BD.
’ el ángulo inscrito tent
mAD=160° y mCD = W*
Por el ángulo inscrito tenemos /
- - / j | v
En la circunferencia, la medida es 36^1" v
x+160°+80o=360°
x+240°=360°
x=120°
Ctove
Problema N.° 1:
* I r
% ^
....
# % , %
%
%%
Del gráfico, calcule a (T y R-. puntos de tan­
gencia).
A) 20°
D) 25°
B) 30° Q 27°
E) 23°
Tenemos
x
&
."■V-
f W ^
^ p i d e i v c l T
# % > v W
•"•V
/
Luego, en la circunferencia, sumamos los arcos.
6a+4a+130°=360°
10a+130°=360°
10a=230°
/. a=23°
Clave

306. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Otra forma
Del gráfico
B
Aplicam os el teorema del ángulo exterior for­
m ado por dos tangentes, mTP = 130°.
Por el ángulo inscrito, m <T A P = 6 5 °^ ^
Aplicam os el teorema del pescado. ,
i- A
—r r7 W ÆP a
t V/ * | '
V i;4t lk
%
■'Ak~
W Æ r
7 $ /
'X,:.
Luego
3 a + 2 a = 6 5 °+ 5 0 °
5 a = l3 5 °
a= 23 °
Problema N.° 14
i % . '*
Del gráfico, calcule x (T'y P: puntos de tangencia).
A) 55°
D) 50°
o
E) 60°
Resolución
Nos piden x.
O
X
/
K /
/( \ '
\ \
\
\
/
Aplicamos el teorema del ángulo exterior fo r­
mado por dos tangentes.
1717? = 90°
O -
/ :"j Q.
á:<V / S*
W ¡ /
K « J * \ Á ^
f > .% r-íA X
/ ]
\
í'% ^
? t Ÿ \
& sw5?f N
A
Por el ángulo inscrito tenemos
m<7AP = 45°
Luego
En el Lis notamos
x+ 45°= 90°
x=45°
Clave

307. Capítulo 8 ,
• VL
________________
Circunferencia

308. Luego analizam os las cuerdas DB y EC.
c o y -
so»\
V
E \ —
\
\
w
w
II
II
Aprovecham os los ángulos inscritos.
/
Finalm ente, analizam os las cuerdas DC y EF.
a /
w
n t. - ' '
u r—
■°°.v.
II /•
a = 5 0 °
//
: v
W-A V.. .. „vV
■VA '
Clave
rr\BT = 20 y m CF = 60
Xv' £
Ih fV
ViSí^4, :/ ^5»
...« •/* « %sf?
........ X vv'
*W .> . ; $ í
Problema N. 17
___________%
Del gráfico, calcule 0 (T es punto de tangencia).
( r ^
\ \ .
Xa /
4/
/
A) 8o
D) 20°
B) 5o
y
/ V
j
/
- V
/
/
C) 10°
E) 15°
Por el teorema del ángulo exterior tenem os
20° =
6 0 -2 6
20°= —
2
2O°=20
1O°=0
Clave

309. Capítulo 8
J'.;
________
Circunferencia
.. t . - i . • • , ’ . :

310. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Por lo tanto, de (I) y (II) observamos que x=52°.
Clave
; Del centro trazamos una perpendicular a la
i cuerda y la dividimos en partes iguales.

312. Resolución
Nos piden x.
Desde el vértice A, los segmentos tangentes
son iguales.
Notamos en AB
9= 10-x+ 11-x
9=21-2x
2x=21-9
2x=12
; x=6
Clave
•i >4 ¿ ,» J Ji } M-l- L V. <- l r X .H "
Desde el vértice B, los segmentos tangentes Nos pjcjen x
son iguales.

313. Notam os que el OCD es notable de — .
53°
m < O C D = — -
2
53°
Im po rtan te
x= 53°
C l o v e
Problema N.‘ 24
_________________
Del gráfico, si mAD = 70°, calcule 0.
Resolución
Nos piden 0.
Trazam os la cuerda CA.
0
Por el ángulo inscrito, m < A C D -3 5 °; tenernos
En aplicamos el teorema del ángulo inscrito.
/. 0=70°
; Clave [
Problema N.* 25
Del gráfico, si O es centro, calcule a (T es pun­
to de tangencia).
A) 10°
D) 40°
A) 40°
D) 80°
B) 50° B) 20° C) 30°
E) 50°

314. Resolución
Por el ángulo inscrito, mrB = 80°; tenemos
I Problema M/ 2G
______
! Del gráfico, calcule x [T y P son puntos de tan
i gencia).
Luego, la mAT = 100°, dado que la semicircun- i
ferenda mide 180°. i
Reióiución
Nos piden x.
Por las circunferencias de tangentes exteriores
tenemos
Luego, notamos
a+ 4 0 °= 5 0 °
a=10°
; Clave mTP = mPA -100°

315. Capítulo 8 Circunferencia
319

316. PRACTIQUEMOS 10 APRENDIDO
1. Del gráfico, calcule x si AB=BC. 4. Del gráfico, calcule x. Considere que T es
punto de tangencia.
i
A) 30°
D) 45°
A) 50°
D) 30°
B) 36° C) 45°
E) 40°
Del gráfico, calcule a. Considere que O es
el centro.
#\.*v / ; ...
' ■ '
¡sr
,V
A) 100°
D) 60°
B) 120°
ç, -r
^ ]?'
X > ' \
4V ¿ y
fi isn°
A) 45°
r»\ DAO
B) 20c C) 35°
3. Del gráfico, calcule a.
A) 42° B) 32° C) 30°
D) 36° E) 50°
Del gráfico, calcule a. Considere que T es
punto de tangencia.
A) 50° B) 45° Q 60°
D) 80° E) 75°

317. 7. Del gráfico, calcule 0.
10. Dell gráfico, sii m AB-W P, calcule x * y ,
a. _ _____
3 7 F
\ /
y'i
.A
A) 30° B) 45° Q 20°
A)) 30° Q 40® q 50®

318. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
.. ' ' .v •'
_- ■ •:__i________
13. Del gráfico, calcule a. Considere que P y Q
son puntos de tangencia.
A) 70° B) 130° C) 100°
D) 120° E) 140°
14. Del gráfico, calcule x si AB=ÇP*y»&4|s el
centro. ^ ^
Del gráfico, calcule a si AB//CD y O es el
centro.
O
a
\
S V
\ \
v ^ 0 f\
■o
7
/
/
A) 20°
D) 15°
B) 80° C) 10°
E) 40°
A) 85°
D) 60°
Del gráfico, calcule x.
_ mí
i b
Vt
W | % 7
* /
1S
\
6 0 ° 7 0 °
\
k
A) 130°
D) 110°
B) 100° C) 150°
E) 120°
15. Del gráfico, calcule x si AT-CB.
Del gráfico, calcule a. Considere que O
el centro.
es
A) 30°
D) 70°
B) 40° C) 50°
E) 60°
A) 48°
D) 80°
B) 40° C) 60°
E) 100°

319. .
___
Capítulo 8 Circunferencia

320. COLECCIÓN ESENCIAL
IM IM M W
Lumbreras Editores
24. Del gráfico, calcule x. Considere que 0 es
el centro.
21. Del gráfico, calcule x. Considere que T es
punto de tangencia.
T
A) 2
D) 4
B) 3 C) 5
E) 6
25. Del gráfico, si AB=BC, calcule mBQ.
i
i .éW
I j
-isVí . «#• 4 P 1'
'' '■ 4 I
X > - r ^
A
A) 45°
D) 37°
B) 30°
V*.
>§c
V% %
\ \
r
C). 53f
E) '60°
26. Del gráfico, si AB=AT, calcule x. Considere
que T es punto de tangencia.
A) 15°
D) 30°
B) 20° C) 25°
E) 40°
Del gráfico, si Al=AB, calcule x. Considere
que T es punto de tangencia.
* É
é ^ .. *a.
r:<
Jj*
%
# %
X %/y’ %xJ*
4
x • -
/ . O 1
V "
A) 20°
D) 50°
B) 40° C) 30°
E) 35°
29. Del gráfico, calcule x. Considere que P y T
son puntos de tangencia.
C) 100°
E) 130°
A) 20°
D) 40°
A) 125°
D) 120°
B) 150° B) 30° C) 25°
E) 35°

321. Del gráfico, si A B = 6, calcule B C . Considere
que T es punto de tangencia.
Del gráfico, calcule*.
\!
/ O
A) 1,5
D) 2
B) 3 C) 1
E) 2,5
A) 100° B) 110°
D) 220°
C) 200°
E) 120°
Claves
1 6 11 16 21 26
2 7 12 17 22 27
3 8 13 18 23 28
4 9 14 19
i
24 29
5 10 15 20 25 30

322. i

323. ■ ' ■
■ -
«•AÍUffK *'
. ■>. - •
V - ■'’‘KrV/.
- . •■• )j. i,U% • .■■■'
El sistema denominado ojo de halcón tiene como función
principal determinar la posición del balón cada dos mílíse-
gundos mediante la concurrencia de siete cámaras ubicadas
en cada una de las porterías.
El sistema rastrea el movimiento de todos los objetos en el
campo, filtra las imágenes de los jugadores, árbitros y todos
los objetos perturbadores para centrarse en el balón; y me­
diante la utilización de un código tridimensional, la secuen­
cia de imágenes se transmite en tiempo real a través de un
cable de fibra óptica hacia una sala de servidores. Cuando el
esférico rebasa la línea de meta, el sistema envía una vibra­
ción y también una señal óptica a un reloj que está en poder
del árbitro, para así poder validar el gol.
El sistema ha sido probado en el Mundial de Clubes, en la
Copa de las Confederaciones, en el último Mundial en Brasil
y aún no ha fallado ante los aficionados y jugadores.
• Conocer las definiciones y propiedades de cada punto
notable (baricentro, incentro, excentro, ortocentro, circun-
centro).
• Conocer los problemas de situaciones reales donde se em­
plea la teoría de los puntos notables.
• Plantear y resolver los problemas mediante la teoría de los
. puntos notables.
¿ Por £|iíé Gts ErsGCGSÉsno este conocifniGnto?
Porque nos ayudará a conocer propiedades de aquellos pun­
tos relacionados a objetos que toman la forma triangular,
como por ejemplo, una mesa, un jardín, una plaza, etc.
De igual forma, se tendrá la capacidad de resolver problemas
abstractos o de situaciones reales donde participe el triángulo.

324. 1. CONCEPTO
P u i i to s n ota h 1 os
Tres o más líneas son concu­
rrentes si pasan por un mismo
punto o sus prolongaciones tie­
nen un punto en común.
A í: ! ' !
j ^
! ¡-’
i
■■"A
* : '3
: [4
La mediana) de un triángulo es
larceviana interior que divide al
lado al cual es relativo en dos
segmentos de igual ¡longitud.
! í í i í í/
-•/vn .'¡IlijilHmlMî
/- - \ '' y, nrt;irH ' I ¡ ! i
/ / / / ,
Un punto notable es aquel punto de concurrencia de aque­
llas líneas notables con una misma característica, asociadas al
triángulo.
Los puntos notables que estudiaremos son el baricentro, el or­
tocentro, el incentro, el excentro y el circuncentro.
2, BARI CE NÌ RO
Es el punto de concurrencia de las medianas de un triángulo, el
cual denotaremos con la letra G.
a. En todo triángulo, si se trazan dos medianas entonces la
tercera mediana es concurrente con las anteriores.
ì Ì3 : < !
; ; Y..,.'
.. •
_y ^. . ; ■ 1
r n r
....i
! 15 • I .|
--- --
--1-- 1 a=b x = y i m~n i
ífíi!; i. _J ^ l 7 J

325. Ejemplos
Para ubicar el baricentro del
triángulo necesitamos la inter­
sección de dos medianas.
se cumple
x= 5
se cumple
m = 1
se cumple
fi = 9
b. El baricentro divide a cada una de las medianas en la razón
de dos a uno desde el vértice.
Ejemplos
En los siguientes triángulos, sea G su baricentro:
se cumple
* = 2(3)
x = 6
se cumple
8 = 2m
m = A
se cumple
fi = 2(5)
fi = 10
donde G es el baricentro de la
región triangular A B C
Si sostenemos un trozo de tri-
de forma triangular desde
su baricentro, ¿se mantendrá
Experimenta y analiza dicha si­
tuación.
i ri| rr i ■-

326. La altura de un triángulo es la
ceviana perpendicular al lado al
cual es relativo.
im port an ic i-
Para ubicar el ortocentro de un
triángulo, al menos necesitamos
de la intersección de dos alturas.
donde H es el ortocentro del
Ì L ABC
3. O RTO CEN TRO
Es el punto de concurrencia de las alturas o de sus prolonga­
ciones, el cual denotaremos con la letra H.
El A ABC es El L ABC es El ABC es rectán
acutángulo. obtusángulo. guio, recto en B.
B
/
■
\
\
v x
\ \
■\ O
i
f
\ v / \
O
□
y
O
Lr □ 1Í .
.... . ______- N
A C '
H: ortocentro
.... >
P: ortocentro B: ortocentro
del / ABC y. 'd el ABC del :':ABC
La posición del ortocentro dependerá de las siguientes natura­
lezas del triángulo: ,
• En un triángulo acutángulo, la posición del ortocentro (H)
está en su región interior. . / • ../•
• En un triángulo obtusángulo, la posición del ortocentro (P)
está en su región exterior.
• En un triángulo rectángulo, la posición del ortocentro (8)
está en el vértice dé su ángulo recto.
Teorem as
a. En todo triángulo, si se trazan dos alturas, entonces la ter­
cera altura es concurrente con las anteriores.
I
t
m
■ *
..... i

327. Ejemplos
se cumple
0=90°
se cumple
5(3=90°
(3=18°
se cumple
2a=90°
a=45°
b. En todo triángulo, aquellos ángulos determinados por dos
lados y dos alturas que tienen como vértices a los extremos
del tercer lado, son de igual medida, respectivamente.
V
NS--;
r í fí > " en
/ A f ’j x í © / K
/ i' -v • / I I
/ / ♦ ! v >': / i :
• 4*
/ ° -
Jo
X
\
O ; O
o
.
4!A
□
Ja,
Ejemplos
En los siguientes triángulos, sea H su ortocentro:
O
O
El triángulo órtico de un trián­
gulo es el que tiene por vértices
los pies de las tres alturas de
este.
El triángulo órtico tiene impor­
tantes propiedades. Una de
ellas es, de todos los triángulos
inscritos en un triángulo acu-
tángulo el órtico es el de me­
nor perímetro. Otra propiedad
es que los tres triángulos que
quedan en el exterior son se­
mejantes entre sí y semejantes ’
al triángulo inicial.
se cumple
a=20°
se cumple
2x = 46°
x = 23°
se cumple
(3 = 35°
Aquí veremos la demostración
del ortocentro.
https://www.youtube.com/
watch?v=OnSmYMAuHfU

328. f o p S I c. En todo triángulo, los ángulos determinados por dos lados
y por dos alturas trazadas desde los extremos del tercer
lad ° son suplementarios.
Aquí veremos las propiedad.es
del ortocentro
www.youtube.com/
watch?v=bduZFGZA8LE
i
i
}.
!
i
Ejem p lo s
En los siguientes triángulos, sea H su ortocentro:
1. 2. 3.
se cumple
» ' e
se cumple se cumple
0 4-110° = 180°
oOco
II
ooo+ •
CO L
oo00
II+
ooLT)
0 -7 0 ° x = 130° p=80°
Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores de un
triángulo, el cual denotaremos con la letra /.
Q: punto ceviano del ABC
donde / es el incentro
del A B C .

329. * \ \ y
i eorem as
a. En todo triángulo, si se trazan dos bisectrices interiores, en­
tonces la tercera bisectriz interior es concurrente con las
anteriores.
/

330. Para construir la circunferencia
inserita al triángulo se procede
de la siguiente manera:
Se traza la perpendicular del in­
centro al lado AB en el punto S.
. jli
, a >nSIII!
Se traza la circunferencia con
cèntro / y radio IS.
El inradio del triángulo es el ra­
dio de la circunferencia inscrita
en dicho triángulo.
Ejemplos
En los siguientes triángulos, sea / su incentro:
(3=90°+
(3=120°
60°
' / r \
/ 7 0 ° \
/ /
/ -
/
se cumple
x = 90° +
x=125°
3- A
se cumple
70° 0
— 100°= 90° + -
2 2
1 0 °= -
2
0=20°
En todo triángulo, el incentro / equidista de los lados de
dicho triángulo.
<£~> /- -f ■ ,
¿ \ M w .d w x Va
•t/ Ve-- N •'.’i
I éN. 0W d W f : \
S -a a , ..
v * ; , . „ ¡ y A ,< ! 1 ’ •• .J i
/ / i \ j f \ #
\ J m ? ! / V 8 ' S s a s ^
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A ' / . - : A"
A M- . C A 6 y /\
MI---IN
A
%
__ v
i ,, %%
l X j ■
1%.
NM-IP
donde r es el inradio del A ABC.
Ejemplos
En los siguientes triángulos, sea / su incentro:
......

331. d. El centro de la circunferencia que es tangente a los lados
del triángulo también es el incentro de dicho triángulo.
B
donde
- circunferencia inscrita en el A ABC
- /: ¡ncentro del A ABC
- r: inradio delAyASC
Ejemplos
Como P es el incentro, entonces
1 0 4 ° = 9 0 ° + |
0 = 2 8 °
o
Adunito tiene un prado triangu­
lar sin cercar y una cabra. Quie­
re atarla a una estaca para que
pueda comer la mayor parte del
prado, pero sin salir de los lími­
tes. ¿En qué punto debe colocar
Adunito la estaca?
1 ¡Ü H - ,/ x -
* \

332. v.e'iüT
Para ubicar el excentro del
triángulo, al menos necesitamos
de la intersección de dos bisec-
trices de dicho triángulo.
Veamos ■A
a.
3 í M
3 i í i
/// //
v ■' ' / ? Ny
:
] . . ^ • •
Donde E es el excentro del
A B C relativo a BC.
:
b.
'
.....................
3
;
Donde E es el excentro del
A B C relativo a AC.
5. EXCENTRO
Es el punto de concurrencia de las bisectrices exteriores tra­
zadas de dos vértices y la bisectriz interior trazada del tercer
vértice, el cual denotaremos con la letra E.
/ i
y
/Ù
/ 0 /
se cumple se cumple
x = 90°
o»

333. Ejemplos
En los siguientes gráficos, sea E el excentro del t' ABC.
1. Hallamos x. 2. Hallamos 3.
Se cumple
Se cumple
* = 9 0 ° : ^
/ .42
40°= 90o- —
2
... ||= 1 0 0 °
En los siguientes gráficos, sea E el excentro del PQM.
. # .. , % ¿ •
•íx ' '5^Wií'<>
Se cumple
48°
* ” 2
x=24°
Se cumple
x=32°
Todo triángulo tiene tres excen­
tros, veámoslos en el gráfico.
donde
- Ea: excentro del ABC, rela­
tivo a BC
- Eb: excentro del ABC, rela­
tivo a AC
- Ec: excentro del ABC, rela­
tivo a 46
Aquí veremos la demostración
del excentro.
https://www.youtube.com/
watch?v=J6oTlw7SqJ0

334. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
b. El centro de la circunferencia tangente a las prolongaciones
de dos lados y tangente al tercer lado de un triángulo, es el
excentro de dicho triángulo.
/
D/7
/ \ \
y
\ \
donde
- circunferencia exinscrita al ABC, relativa a BC
- Ea: excentro del ABC, relativo al lado BC
- r¿. exradio del ABC, relativo al lado BC
Ejemplos
1. Calculamos*. \
I :
Í fi-/-.
\ W M r / • I : /-p y
' /
s>
;W ****
V Í ' V *
1/
& ^ *
«- %é' „ i
a é "
I w /
„ / V y y y * ',y
' c <*. ■ y
Como £ es el excentro del ABC, entonces
A
y . ' ; , -Pe
'%42°h
x = 9 0 ° - t t /
/. x=69°
2. Calculamos x.
Como f es el excentro del PQM, entonces
34°
x=-
x=17°

335. Capítulo 9
Puntos notables
6. CIRCUNCENTRO
Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de
un triángulo, el cual denotaremos con la letra O.
El a ABC es acutángulo.
O: circuncentro
del a ABC
El a ABC
O: circuncentro
'del a ABC
El a ABC es acutángulo, obtuso en B.
A : • : '
La mediatriz de un triángulo es
aquella recta perpendicular a
uno de los lados que contiene
al pupto medio de dicho lado.
A n) rt) ç

336. Para ubicar el circuncentro del
triángulo, al menos necesitamos
de la intersección de dos me-
diatrices.
---------------
l i t o v /
o
c
' ‘ O: circuncentro del ABC
La inmobiliaria Artycrea planifi­
có construir el edificio Sensara,
de modo que equidiste del cen­
tro de los; parques Campo de
Marte, Parque de la Reserva y
Parque de la Exposición. ¿Podría
indicar cómo ubican en el mapa
el punto donde se construirá?.^
Teo rem as
a. En todo triángulo, el circuncentro O equidista de sus
vértices.
Ejemplos X
En los siguientes triángulos, sea O su circuncentro:
i ,< I íB .
/ / \\ 4 W r \ \
,v \ / ¡ * 4 * ¡ X v
, k k k ■
x k \ íé f X v x
■y ' x k , f s p * / lo
\ *
_________Ul.._________________
se cumple
3m = 6
m = 2
.. \ , , k se cumple
x = 8
se cumple
16 = 2 fi
£ = 8
b. El circuncentro O es el centro de la circunferencia circuns­
crita a un triángulo.
S
El / A B C es acutángulo, donde
- O: circuncentro del ABC
- ^circunferencia circunscrita al
ABC
- R\ circunradio del ABC

337. El ABC es obtusángulo, obtuso
en B, donde
- O: circuncentro del ABC
- ® circunferencia circunscrita al
ABC
- R: circunradio del ABC
El ABC es rectángulo, recto
en B, donde
- O: circuncentro del ABC
- ^circunferencia circunscrita
al A ABC
- R: circunradio del ABC
-íÉ Tíá
y w - . v V
'</ ■ ■ ■■ p.
La posición del circuncentro dependerá dé las siguientes natura­
lezas del triángulo:
•
■ Si el triángulo" es acutángulo, el,circuncentro se encuentra en la
región interior del triángulo: ^ .
1 Si el triángulo es obtusángulo,.el circuncentro se encuentra en
la región exterior, relativo al lado de mayor longitud.
■ Si el triángulo es rectángulo, el circuncentro se encuentra en el
punto medio de la hipotenusa de dicho triángulo.
c. En todo / ABC de circuncentro O, se cumple
B B
(
í y ?a I
Teoría de puntos notables
http://www.dibujotecnico.com/
saladeestudios/teoria/gplana/
triangulos/Elementosnotables.
php
o
Un jardinero va a construir una
fuente en un jardín con superfi­
cie triangular y propone situarla
en aquel punto que equidista
de las tres esquinas del jardín.
¿Cómo puede localizar el punto
donde construiría la fuente?

338. Ejemplos
En los siguientes triángulos, sea O su circuncentro:
La recta de Euler
En 1767, Leonhard Euler pu­
blica el artículo Solutio facilis
problematum quorundam geo-
metricorum difficUlimorum en
la revista Novi Comentara Aca-
demiae Petropolitanae. En ese
texto demuestra que en todos
los triángulos no equiláteros el
ortocentro, el baricentro y el
circuncentro están situados en
una recta llamada la recta de
Euler, y espacios de manera
que el baricentro está dos veces
más lejos del ortocentro que del
circuncentro.
Euler aportó muchos conoci­
mientos no solo a la matemá­
tica pura (donde aparecen sus
trabajos más importantes) sino
también a la astronomía y por
supuesto a la geometría.
1. K
/C>v \
i ■ /•y w
k
_______________j
se cumple
x=2(52°)
x=104°
2 . ,
/ \ \
/. V
se cumple
ß=2(78°)
ß=156°
se cumple
80°=2cx
a=40°
En todo triángulo equilàtero, su ortocentro, su incentro, su bari
centro y su circuncentro coinciden en un solo punto.
Los puntos notables de todo triángulo son los siguientes:
• baricentro • ortocentro
• incentro • excentro
• circuncentro

339. O 0-MS
Leonhard Euler
Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más
grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.
Fue discípulo de Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento
matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Acade­
mias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, la mayor parte de su trabajo se
publicó en los canales de ciencias de estas instituciones y, además, fue prote­
gido por Federico el Grande.
Perdió la visión de un ojo durante un experimento en óptica, y luego en 1766
quedó completamente ciego.
Posiblemente es el matemático con más trabajos publicados de la historia.
La mayor parte de ellos se los dictó a su hijo mayor cuando ya era invidente.
A pesar de que su actividad de publicación era incesante, cerca de 800 páginas al año, entre 1727 y 1783,
la mayor parte de su obra completa está sin publicar.

340. PUNTOS NOTABLES
se clasifican en
*+0=180°

341. PUNTOS NOTABLES
Excentro Circuncentro
BA B £,
P . a
0
O
<3
•y>
a 0
a
A C
donde
- Ea: excentro del ABC, relativo a BC
- ra: exradio del ABC, relativo a BC
4-
W. circunferencia exinscrita en el ABC
Propiedades
Si E es excentro, entonces
0)
a
v>'*
- À S - C ^ J
R .<&
v W. '
/ • A-'. C
I 1
i i .
A
/ i N
0
\ \
m
• V i
B
B
O
O
c
%r% - »,
v i
donde
- O: circuncentro del AfiC
- /?: circunradio del ABC
f % circunferencia circunscrita al ABC
>y
Propiedad
Si O es circuncentro, entonces
C
x= 90 °-
0) co
x=y
0
O
»
x
x=20

342. Problema N.’ 1
A partir del gráfico, calcule x.
/
x . 3 /
A) 9°
B) 10°
C) 12°
D) 15°
E) 18°
? /fL /
A) 1
D) 4
L fc a iu c ió n
Nos piden x.
A
h — i -
B) 2
a
h
C) B
E) 5
NO OLVIDE
A v
" "***%
x-
\
&
Nos piden a.
. ' V
.....w
-M
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A W
s
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V *. /A'
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• i' y -r ^ "
s^vA. %%>«/.-
q o ,<* î& v « 5: ~'>_
«e4 4 i r % .
%# 1
— — — í;a. a ,; a-
Como AM y S/V son medianas, entonces j f S ¿ " f ^
CL es mediana - * &
Luego
2x-2=x+3
.*. x=5
Problema N.' 2
% '■%.
%. p>
\ . S * /
^%v
Airj'?
Gave
En el gráfico, G es el baricentro de la región
triangular ABC. Si AC=2(AG), calcule a.
El AGM por el ángulo exterior.
m <AM G+a=8a
m <AM G=7a
El AGM es isósceles.
oc+7a+7a=180°
15a=Í80°
a=12°
Clave

343. Capítulo 9

344. COLECCIÓN ESENCIAL
.
O
Lumbreras Editores

345. Resolución
Nos piden x.
El problema no brinda longitudes, entonces
asumiremos la longitud de uno de los seg­
mentos y evitaremos obtener fracciones.
Sea GB=2o.
Aprovechamos la razón de 2 a 1 con el bari­
centro, en el APCQ.
Problema U : 1
________
En el gráfico, / es el incentro del /[ ABC.
Si a+(3=70°, calcule x.
/
G 3 o N
x=37°
2x=40°
/. x=20°
C)
E)
11°
13°
/ K
d h \
\
/ p,\
Clave • Clave

346. COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N,* 8
En un triángulo ABC, de incentro I, calcule
m< A B C si m<A/C=132°.
A) 64°
D) 86°
B) 68°
Resolución
Nos piden x.
C)82°
. /
; /(
E)oo
o
/ \
i X
:
'■ ;:-ú í ■
Nos piden x.
/ X ,
/80o X
r \ /
.
s —* -
Como / es el incentro, entonces
80°
o = 90°+-
o=90°+40°
o=130°
En la región sombreada tenemos
f s
Como / es el incentro, entonces
* é B r J H r *
132°=90°+—
2
42°=-
2
.% x=84°
i % -
fe,
Problema N.‘ 9
A partir del gráfico, calcule*.
A) 30°
D) 55°
B) 40° C) 50°
E) 60°
-
V i
• i % #
f "E±aíF ‘ v
'í^. / *
.Xjí-tíb.
Nfc .
# S/iP . , Í $
I *'?>/ W
O
| Se{óimple
y+50°=90°
. *=40°
Clave
i 1 O r* iCli b
En el gráfico, / es el incentro del triángulo ABC.
Si fí/=5 y P/=3, calcule m<AfíC.
x
X
¿
___
□ x
A P
oor-
B) 72° C)74°
86° E)84°

348. Resolución ■ jh s
Como E es el excentro del A ABC, entonces
m = 9 0 ° - —
2
Nos piden a.
Como E es el excentro del REF, entonces
4a _
m = — = 2a
2
Luego, en el vértice P tenemos

350. Problema N.* 16
Si H es el ortocentro del A ABC, calcule a.
B
En el grafico, H es el ortocentro del ABC.
Si HP=PC, calcule 0.
Problema N." 1 7
/
/
L /
/ ^
A) 23° B) 24° C) 25°

351. Luego
4O°+0+0=9Oo
20=50°
•\ 0=25°
Clave
En todo triángulo, las tres alturas son concu­
rrentes.
Del ABC, obtenemos que AR es la altura.
Problema N.' '&
En el gráfico, AE=EC= 5. Calcule la distancia
entre los ortocentros de los triángulos rectán­
gulos ABC y REF.
En el gráfico, BD//QC. Calcule xF
i? m m .m s Mk I
3
O
A
O
A A
t
A
A) 80°
D) 110°
□
B) 90°
__ <$$■ ^ v
A . >5'
v%/>
i
I A
A A A
*| # . o
§■ skyfeg a? ¿r
í ' P : a4S
f "'%A * \7 A "
C) 100°
E) 105°
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 10
R( ‘ enlucían
Nos piden x.
8
Como BD//QC, entonces
m < AflD=m <APC=90°
Resolución
Colocamos los datos.
A

352. :* > o < > o < x > o o c o o o < y > > o < ^
No OLVIDE i
En un triángulo rectángulo, el orto­
centro se ubica en el vértice del án- í
S
'i guio recto.
O C O O *
' C « < X ' < X X > f X > O C » O C X X X » v
Luego
Á
J É *
En elkxASC, B es el ortocentro.
/
En el fcx REF, E es su ortocentroW^'^Ér
% . Jim.
*
%
x=5
■V
3 m 'W JÈ W i
% ^ á f I
/
Problema N.* 20
c la v e
Aá
\ \ ^
% %
. . . .
%
Si H es el ortocentro del triángulo /ABC, calcule x.
B
A) 120° B) 130° C) 140° j A) 40° B) 50° C) 60°
D) 150° E) 160° | D) 70° E) 80°
r r r ' !>h r:V '.::
Nos piden x.
A
A
/ 7 \
/
Como H es el ortocentro, entonces
x + — = 180°
7
1
: 20C
$ %afe^ ,#«■
0 % i%140°
<X tflfy
$ ‘&+W «■;■.i
h\ f ‘A
V > V '
v % ,s
r$ jS'
i v
C F
<f' .i-i-,
; »* i
i-
4
Clave
a
Prc
Si O es el circuncentro del ABC, calcule 0.

353. Resolución
Nos piden 0.
B
Como O es el circuncentro, entonces
m < A O C = 20
Del gráfico, en el vértice O
Luego
0+20=180°
30=180°
0=60°
Clave
Problesma M." 22
______________
En el gráfico, O es el circuncentro del A ABC.
Calcule |3.
B
Resolución
Nos piden (3.
8
§ Im p o r t a n t e
X ¿y
El circuncentro O del triángulo equi­
dista de sus vértices.
z, >
Como O es el circuncentro del ABC, entonces
AO=BO=CO=m
Del gráfico, se cumple
120°=2(53)
3=12°
C) 9°
E) 12° Clave
A) 7°
D) 10°
B) 8°

355. Capítulo 9
Resolución v
Nos piden x.
En un rom bo sus diagonales son bisectrices de
sus ángulos interiores.
vr\<ADB=m<BDC=§
q
Donde / es el incentro del ASC E. , .
Entonces
m<CEI=m<IEB=2x
En el vértice E tenemos
2x+ 2x+ 5x= 180°
9x=180°
x=20
■Clave
Problema N.' 25
En el g ráfico , E es el excentro del A ABC.
Calcule m AD.
A) » B) 0 C)
30
2 2
D) 20 E)40
‘ :.
Nos piden rr\AD = x.
o
A
/
/ ,
/ >
A
L '
t
I ,
\ /
\ /
M
Como E es el excentro del ABC, entonces
r % e - 'A ?
ú m = t r A
En la circunferencia aplicamos el ángulo ins­
crito.'
Se cumple
rr\<AED=
- = -
2 2
x=e
m AD
Clave
-UA¿______

356. 1. En el gráfico, G es el baricentro del A ABC
y BG=2{GN). Calcule x.
4. En el gráfico, T y P son los puntos de tan­
gencia. Si AT=a; BP=b y P es el baricentro
del A ABC, calcule TC.
2.
3.
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53°
/ J L \
/ \
Se tiene un A ABC, de baricentro G.'Calcule
la suma de las longitudes de las medianas
de dicho triángulo si AG=8, BG=6 y £G=1G:'
A) 27 B) 32 C) 34 .
D) 36 E) 4 2 « J *
\ A
En el gráfico, M es el baricentro del A ABC
y AP—QC. Si BM=8, calcule PQ.
a + b
A) 2
B) C) 2o-¿>
D,
¿¿Safe?* jfi*
2a-f ¿>
E) 3
.4 i O í
i " W 5, n-
..--Se tiene un ABC, recto en5, de baricen-
¿•y." • ’ ' • Nv~o> ^
tro G: Si S O6 y AG=4, halle m < 5A G .
%
A e
'X ?”
< y. -w*
' A ) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
6. Si / es el incentro del CsABC, calcule 0
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 9
A) 23°
D) 29°
B) 25‘ C) 27°
E) 31°
.....................

357. A) 100°
B) 110°
C) 120°
D) 130°
E) 140°
¿0. Desde un punto P exterior se trazan las se­
cantes PAB y PCD. Adem ás, la bisectriz del
ángulo BPD interseca a BC en el punto E.
Si m AC=m CD, ¿qué punto notable es Edel
¿P B D ?
7. Si / es el incentro del A ABC, calcule x.
B
A) 25° B) 28° C) 30°
D) 32° E) 36°
8. En el gráfico, / es el incentro'del AÁfíC y \
a +3=110°. Calcule mQi /
J a Cs!k^%
'Q
% C ^
B) 60° C) 70°
E) 80°
A) ortocentro
B) circuncentro
C) incentro
tCff
D) baricentro
j ./
/.^,E) excentro
v>
^ w v v ^
,, "y > y 1f. En el gràfico, / es el incentro del ABC. Si
Ml=4, calcule PQ.
A) 50°
D) 76°
■ Si la circunferencia está inserita en el .
A ABC, halle m PQ. \
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

358. Si / es el incentro del A ABC, calcule 0.
B
Si P es el excentro de la région sombreada,
halle x.
P
O /
\ /
V
/ x \ _
A) 35° B) 39° C) 42°
D) 4 5 ° E) 52°
A) 60° B) 65° C) 70°
D) 75° E) 85°
En el grafico, E es el excentro del ABC.
13. Se tiene un triàngulo ABC, de excentro E re­
lativo a BCy m < 8 4 0 7 0 ? . Calcule m <B£C. \
A) 50°
D) 57°
B) 53° \ C ) 55°' /
i n
14. Si E es el excentro del A ABC, calculé et.
%
Calcule 0.
W/x‘--
----
1
A) 32°
Y*\
B) 35° C) 45°
D) 48° E) 50°
A) 40°
D) 70°
B) 50°A) 30°
D) 48°
B) 36° C) 40°
E) 60°
C) 60°
E) 80°

359. 18. Si E es el excentra del APQM,
calcule x.
Q
A) 50° B) 60° C) 70°
D) 80° E) 90°
21. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 15 cm y 20 cm. Halle la dis­
tancia de su ortocentro hacia la hipotenusa
(en centím etros).
A) 9 B) 10 C) 12
D) 13 E) 14
A Si H es el ortocentro del ABC, calcule a.
¡\ \
/
/
/
/
D) 6o E) 7o
23. A partir del gráfico, calcule {3.
A) 35° B) 55° C) 45°
D) 25° E) 65°

360. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
24. Si ABCD es un cuadrado, indique qué pun- ; 27. En el gráfico, 0 es circuncentro del ABC.
to notable es F del A ACE.
Si m < A 05= 100°, calcule x.
B C
/ F
\ \
\ \
4 , A
■ \ !
A
A) baricentro
B) incentro
C) excentro
D) ortocentro
E) circuncentro
D
J ÁSi ,• :
y. ^>4/' á
25. En el gráfico, O es circuncentro def "¿ABC. _$
Calcule 0. V
4 P5
w
./A
H \ #
A) 8o
D) 14°
B) 10° C) 12°
E) 20°
26. Sea O el circuncentro de un triángulo acu-
tángulo ABC, de modo que A fí = V 2 (C O ).
Calcule m < A 8 0 .
A..
/
/
/ \
/
%
//
14
A 07
A) 100°
B) 1 lj¡ F J
A Ì Ò° ,: ^
D) 130°
^ E) 140°
v'0
\
\
\
28. En el gráfico, O es circuncentro del A ABC.
Calcule a.
C) 35°
E) 50°
A) 6o
D) 10°
A) 20°
D) 45°
B) 30°
B) 8o C) 9o
E) 11°

361. En el gráfico, calcule P si O es circuncentro
del &ABC.
En el gráfico, O es el circuncentro del
ABC. Calcule x.
A) 30° B) 40° C) 50°
D) 55° E) 60°
A) 20° B) 25° C) 30°
D) 38° E) 45°
A) 15° B) 18° C)20°
D) 24° E)28°
En el gráfico, G es el baricentro de la región
triangular ABC. Calcule x.
rCj&'
- .' r O
f ¥7 /
v ; > / /
/ ■ 1/ Vo '
' v
4
A) 15° B) 16° C)
37°
2
53°
D) — E)
45°
2
Claves
1 6 (. 11 16 2.1 26 31
2 7 r 12
!
; 17 22 27 32
3 8 13 : 18 i 23 28
4 9
1
14 19 24
1
29
5 10 15 20 25 30

363. Con la m edida a escala relacionam os la distancia o tam año
real que hay en una m aqueta, plano o m apa. Así, por e je m ­
plo, en la im agen vem os dos cam ionetas, una a m iniatura
y otra real, am bas están a escala de 1:24 (señalado por la
circunferencia). Esto significa que 1 cm en la cam ioneta en
m iniatura equivale a 24 cm en la cam ioneta real.
En m uchas actividades que el hom bre realiza, día a día, a d ­
quiere nuevas destrezas y genera conocim ientos para el
bien de su sociedad.
Por ejem plo, en la fotografía, la perspectiva de un objeto
puede engañar la vista del hom bre, tal com o ocurre con una
cám ara que nos muestra una tom a distinta desde diferentes
ángulos y en ese proceso está presente la proporcionalidad,
que tam bién es m uy utilizada en la arquitectura con las m a­
quetas, en la inform ática con sus gráficos, en la ingeniería
con sus edificaciones, etc.
Una herram ienta diaria que tam bién nos m uestra diversos
cam bios en el tam año de las copias e im presiones es la fo-
tocopiadora.
• Em plear el teorem a de Thales y sus aplicaciones en la re­
solución de problem as.
• Reconocer los casos de sem ejanza de triángulos en la re­
solución de problem as.
• Aplicar la teoría de la proporcionalidad y de la sem ejanza
a las situaciones de la vida real.
ijg gg necesario es
Porque con este conjunto de ideas podem os com parar lon­
gitudes o tamaños inm ensam ente grandes o inaccesibles de
m edir con longitudes, distancias o tamaños que sean peque­
ños o fáciles de medir. Es decir, la muestra de un objeto ayuda
a conocer su volumen total sin necesidad de mucho esfuerzo
por parte del observador o analista. Por ejemplo, se puede
m edir la altura de un edificio con tan solo tener su fotografía.
_________________________________

364. "G
Si vamos a una tienda y com­
pramos un cuaderno que cuesta
5 nuevos soles, ¿cuánto costa­
rán 2; 3 y 4 cuadernos, respec­
tivamente?
Para la solución veamos la si­
guiente tabla:
1 5
2 10
3
4
Termine de completar la tabla y
diga, ¿cuál es la razón entre la
cantidad de cuadernos y el cos­
to en cada caso?
Si la proporción fuese de la si­
guiente manera:
a _b_
b ~ c
b2=ac
al segmento de la longitud b se
le denomina media proporcio­
nal de los segmentos de longi­
tudes o y e .
i r o w r F P T o
■
.
r o p o r e
a
i o n a l i d
n r l w r
v J t
) T A
La proporcionalidad es la relación entre dos razones del m is­
mo tipo. Por ejem plo, la razón de las edades de dos personas
quienes tienen 15 y 45 años, se vincula con la razón entre la
cantidad de dinero que poseen en el bolsillo (10 y 30 soles,
respectivam ente). En este caso la proporción es de 1 a 3. D u­
rante el desarrollo de este tem a, la relación se dará entre las
longitudes de los segmentos.
2, R A 2 Ó M D i: S E G í'vl E "f { 5
Se denom ina razón de dos segm entos al cociente entre sus
longitudes, expresados en la misma unidad.
Se escribe
r,,. ¿s
éT ^ ,r -ï'
’¿í
*AR 3 % W* # ¿i
— = - o AB:CD=3:5
CD 5 X " /
, *«*X*tM*X0*‘' % ,/v/
Se lee: “AB y CD se encuentran en la razón de 3 a 5 ”.
2.1. Se g• i!onto■ proj
Dos segm entos son proporcionales a otros dos cuando tienen
la misma razón.
/; .
I / / i
6/n
AB _ 2m _ 1
CD “ 4m “ 2
PQ _ 3m _ 1
M Ñ~6m ~~2
■ AB PQ . .
Com o podem os ver, — y —77 tienen la misma razón.
CD MN
Entonces direm os que Á B y C V s o n proporcionales a P Q y MN,
es decir:
AB = PQ
CD MN

365. 3. T E O R E M A DE T H A LE S
Si dos rectas son secantes por dos o más rectas paralelas, los
seg m entos d eterm inad os en una de ellas son, respectivam en­
te, prop orcio nales a los segm entos determ inados en la otra.
C o lo ra rlo 1
Si & IIA C ,
entonces
a m
h n
\
____J
s í í/w a c,
entonces
a _ ni
b n
Thaies de Míleto tuyo que so­
portar durante años las burlas
de quienes pensaban que sus
investigaciones eran inútiles -
Pero sus estudios de los astros -
le sirvieron para saber antes que
nadie que la siguiente cosecha
de aceitunas sería magnifica y
por eso compró todas las pren­
sas de aceituna que había en
Míleto y Quíos. Esto le permitió
amasar una gran fortuna.

366. Ejemplos
1. Calcule x.
3. Calcule x.
Por el corolario 2 de Thales tenemos
2.
Por el teorema de Thales, obtenemos
x __ 3
T5 “ 5
6 12
4 ~ x
6x=48
Por el teorema de Thales, obtenemos
_x_= V [
20 5/
5x= 1 4 0
140
x=28
Por el corolario 2 de Thales tenemos
x + 2 x —1
4x-4=2x+4
2x=8
x=4

367. Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza
3.1, A p lica cio n e s de! teo rem a de T h ales
3.1.1. T eo re m a de la b ise ctriz in te rio r
En todo triángulo, una bisectriz interior divide internam ente
al lado al cual es relativo en segm entos proporcionales a los
lados contiguos a dicha bisectriz.
B
Si BD es bisectriz interior relativo a AC, entonces
División de un segmento
El punto P divide internamente
í — AP
i- a /,S e n Tb'
El punto Q divide externamente
AQ
a AB en
QB
o
Si las siguientes igualdades son
de la forma, entonces se opera -
de la siguiente manera:
c . AB 5 ,
• S i— = - , entonces
BC 3
* ; l : Y.
AB=5k y BC=Ík. •
• Si 2[AB)=3{BQ, entonces
v RC=?k

368. 777 ' A . X
i///j
f m ■ ■ ^ = í í
Si en el triángulo se traza la bi-
! 11 í is 1 t 15 i ¡ .i i 11. ' v V " ' y v ■■
sectriz interior y la bisectriz ex­
terior, desde el mismo vértice,
(ver gráfico), se cumple
' • ' ■ ■ ■ ■
\\' \Wv / , /// y f /
.........——11
,\ \\ % 1 ! / /' /'a f ? / .* j
\\\\T (///////,‘
A l i i I r///
f
_______________.________________
lililí»
i
lili
ab -x y
X X, -
\ \ \ \
^^w'- \y^V j i | 111 jV/A
==>»
/ //,A/'’'~
• A y V ltó ñ S o :U i‘W«^'
V', • i !-®? r ■ /•-. -:y ;;:
s i : i.:;v
| J i II i i Actividades sobre la proporcio-
¡' 3 r¡ c-■'■',' 0--.
nalidad
: http://es.slideshare.net/karlos-
V nunez/act¡v¡dad-8-g,eóm;etna-
proporcionalidad-y-semejanza.
3 .1.2. T eo rem a de la b isectriz exterio r
En todo triángulo, una bisectriz exterior divide externamente
al lado al cual es relativo en segm entos proporcionales a los
lados contiguos a dicha bisectriz.
i------------------------
------------------------1
Si BE es bisectriz exterior relativo a AC, entonces

369. Capítulo 10
Proporcionalidad y semejanza
373

370. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
3.1.3. T eo re m a d e lin c e n tro
En todo triángulo, el incentro divide interna­
mente a una bisectriz interior en segmentos
proporcionales a la suma de longitudes de dos
lados contiguos a la bisectriz y a la longitud del
lado al cual es relativa dicha bisectriz.
W - í , .
Si / es el incentro del A AflC|entónces? J j j r |
má*
r
-----------
Xa + c
y
b
V
___
___A
Re s o l u c i ó n
Por el teorema del incentro tenemos
\ 5
x
4/fi _ 3+5
3 yú x
4x=24
/. x-6
a
3& "á)-.
■íf'iV? A . . , : i
Leonardo: Da Vina, en su esquema de propor­
ciones del cuerpo humano, señala distintas ra-
I zones áureas que existen en el hombre.
x = : r
* % '
X iv
Ap l i c a c i ó n 5
Sea / el incentro del A ABC. Si 3(BÍ)=4{ID),
calcule AC.
1
. A N A AxS A 1 i
* A A B C
:
■
m
t i É
V///A S S
0 b < J ¡ m i / / ^ ^
A:;A> ■ . • Avjlüiú'JJ-.’ Lb . A A
. La razón áurea suele representarse con la letra .
;<j)'v tiene como valor lo siguiente:
1 w M ■
4, ^ ^ ^ = 1-618034...
M M

371. 4. S E M E JA N Z A DE P O LÍG O N O S
4.1. C o n cep to
Es la relación entre personas u objetos que se parecen o tienen
características com unes. Por ejem plo, Hilario o el arquitecto
creó un estadio a sem ejanza del Estadio Nacional.
No obstante, en las m atem áticas el concepto de semejanza
está m uy ligado a la proporcionalidad; por eso se dice que dos
ob jetos son sem ejantes si tienen una proporción entre ellos.
4 .2 . S e m e jan za de p olígo nos
D os polígonos son sem ejantes si se cumple lo siguiente:
Sus ángulos interiores son de igual medida, entonces
oc=a’; P=(3'; 0=0'; y co~ü)
Sus lados hom ólogos son proporcionales, entonces
a = É- =—=k
ó 7 - b '~ c'~ d 'S e 'J *
La siguiente imagen nos
tra una de las aplicaciones que
nos ofrece la semejanza, donde
se observa que la figura proyec­
tada en la pared aumenta de
manera proporcional: sus ma­
nos, su cabeza, la torre, etc; en
una misma razón de la imagen
■
.....................-.................■ -■ ' ■ ' • " \ , , _ . , !
N o tació n
. k se lee: “Razón de sem ejanza”.
. - se le e :"... Es semejante con
Ejemplos
1 Cuando todos los triángulos equiláteros son semejantes.
== ==
Importante \ \ v -
>j
'
y '
V'" : l í j
liÜI
¡f
; t
esta-
l t
blecen entre lados que están si- ~±-:.
\ tuacíjos bó igual orden en todas J
S 'lasj fíc^rásique se califican corno —

372. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
'• * ' s ' '
* r it / / / O v
__________
>D&4o:,a!rSeso:
Thales observó que en un de-
terminado momento la sombra";,
^dejajpirám ide de Keops era tan
—larga como\suxaÍtura) Trás! és-
= = 2 0>: ¿A V A \ \\ \ v i l s í l i l i Y / / ,
-perarxque/ehSol se encontrase /,
i uniLTLTLrr^
posicionado en el cielo de ma-
_ ' ! / > ' v ' V v O v ¡ 0 \ V i 1 1 1 1 1 1 1 I I t i H 11
ñera que su propia sombra fúekLL
fse ig u a l que su altura, midió.láE3
i longitud de la sombra desde^su;:-
| jifia r'la mitad de la Ipngitudjcfé^
I !la;baísé de la pirámide a la longi-
I I I i i i i i • . s
—tud de su sombra se obtendría
5 H « s M M S n i W
2. Cuando todos los cuadrados son sem ejantes.
j
n
b
n
ü
--------------□
n
4 .3 . Sem ejanza de trián g u lo s
Si A ABC ~ A PQR, entonces sus ángulos interiores son, res­
pectivam ente, de igual medida.
Sus lados homólogos son proporcionales.
a _ b _ c
o' b' c'
Para que dos triángulos sean semejantes, debe ocurrir cual­
quiera de los casos que a continuación se van a analizar.

373. Proporcionalidad y semejanza
C aso 1: áng ulo - áng ulo (A -A )
Dos triángulos son sem ejantes si tienen al m e­
nos dos ángulos respectivamente congruentes.
Si a = a ’ y 0=0', entonces
A ABC- AP0R
Caso 2: lado-ángulo-lado (krA-L) , i J
Dos triángulos son semejantes si tienen un án­
gulo congruente y los lados que lo determinan
son respectivam ente proporcionales.
Si a=cC y entonces
b c
A A B C -A P Q R
Caso 3: lado-lado-lado (L-L-L)
Dos triángulos son semejantes si sus lados son
respectivamente proporcionales.
ü
A
\
/
Q
A
A
\a
\
\
\
/ \
\ a
\
c. a b c
Si — = — = — entonces
a' b' c'
Ap l i c a c i ó n 6
Calculé x

374. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
12

375. Re s o l u c i ó n
a
Nos piden —.
P
Ap l i c a c i ó n 9
Del gráfico, calcule*.
B
G
P
fV ,
B
Re s o l u c i ó n
Nos piden *.
Com o
AB _ B C _ AC _ 3
PR~ RQ~ PQ~ 1
j r
\
^ J f -
"W /
Aplicam os el caso 3.
Si los triángulos son semejantes, entonces los
ángulos que se oponen a sus lados homólogos
son congruentes. %K>^
Aplicamos el caso 1.
¿a
o 2 <£
Observamos.
A B y ’PR son lados homólogos.
a= P
1
Observamos que sus lados homólogos son
proporcionales.
* _ 2a 90
45 5a 5
*=18

376. [
■ ;'s i
Dos triángulos rectángulos son
semejantes si uno de sus ángu­
los agudos son iguales.
Estos ángulos de igual medida y
con el ángulo recto indican que
dichos triángulos son semejan­
tes (caso 1).
Las figuras que veremos a con­
tinuación con frecuencia las en­
contraremos en los problemas.
Por eso, sugerimos aprovechar
la semejanza de triángulos rec­
tángulos que se forman.
A B C- P Q C
A B C ~ P Q C
4 .4 . le o rem a
En todo triángulo, al trazar una recta secante a dos lados (o a
sus prolongaciones) y paralela al tercer lado se logra form ar
triángulos sem ejantes.
Si AC//PQ, entonces
/
Si ÁC//PQ, entonces
£ _ £ Ü - Z
b~ n y

377. Capítulo to
Proporcionalidad y semejanza
u4-*
Ap l i c a c i ó n 10
C alcule x.
B
Reso lu ció n
C om o MN//AC, entonces A A B C -A M B N .
_ , x 4 m
Se cum ple — = - — •
21 lm
7x=84 ■%.V
x=12
Ap lic a c ió n 11
Si ABCD es un paralelogramo, calcule x.
R i íV ; <.
Con una pelptita.de tenis pode­
mos aproximar el diámetro del
So!. .
r~~~-
R R \
I ,
p C - s .
L \ \ '
x V
\\\ \ h ;l ' '//// /1 /// ' ->
x\ \ \ i j ' h (/ .-//>/ / y /y/ /r> C
\\Vi | í
i i i ! i i í
( ! S//a
|
' • ■ f :
: l v í
Rv>
----.
AOB~ ,POQ
s s m t ï ï ? ■ ; 97/ v7/á
m l f l U f í
i H « i |

378. •«fï
COLECCION ESENCIAL
A
__- l i: ■ ¿
Lumbreras Editores
Re s o l u c i ó n
Nos piden x.
B 3 a C
C om o BC//DF, entonces
' A D E F -A C E B
Se cum ple
x-12 _ 2a
12 " 3o
x -12=8
x=20
4 .5 . Teo rem as adicionales
T eo re m a 1
Si m < A B D = m < A C B l entonces
/ - a b
Teorem a 2
f s o i i i l
v ,tH,,r ..éo rem a lo co n o ce re m o s de aho-
co m o el ,e o re m a 35 0
m ' I T n m i l É É Í A S
..................................
Se cumple
i « f e ¡I \ ...
---- !
Üi-D I
Teorem a 3
x -
am + bn
m+n
Ap l i c a c i ó n 12
Calcule x.
Re s o l u c i ó n
A p lic a m o s el te o re m a d e las a n tip a ra le la s.
x2=36-4
x=12

379. Capítulo to
Proporcionalidad y semejanza
Aplicación 13
Calcule x.
Resolución
Aplicamos el teopema-3,s
H-5(|m)
x =
;É m + l¡ ¡ f
|
30 f r i+ T Í¡Él
X =
----rr-----M Æ w y
Sm /
#
4 5f í)
x> %.•$* ...
X =
----7-
s ? á s jT
& '
% % ¿
§ %
'<<á.
# V ,
x= 9 Æ %
$v -%v "v¿
".k
é
i .
t'. -X
Aplicación 14
Calcule x.
20
Resolución
Aplicamos el teorema 2.
5-20
x -
5+20
• l ! ;
CVV
i ' I ! I í §j J j
En estas páginas encontrará los
casos de semejanza, sus aplica-
cionès y problemas!para refor-' : :.r r -
■rar In an rah rlirírá
----------i— —
zar lo aprendido.
x m * j ! ; i ! f1 ’ !- ■' ’ - s S ^ — ——;—
• http://www.inprega.cl/pdf/ !
¡matematica.clase.demo.pdf T
i 1 11 ! < > i r r ) i n ' o s -
h/ : ■■ ■ ■ •
„• » .h ttp ://e s .e s c rib d .c o m /
'™ doc/228049951/H oja-de-
• >~-Problémas-Semejanza 1 i
- = : : • ^ N N jjll i {¡i
http://recursos.salonesvir- r.
' - ; I j ; i Ï
s S s
tuales.com/assets/bloques/
GU1A-DE-EJERC1CIOS-DE-
i :, \vi SEMEJANZA.pdf
x= 4

380. ¿r ■
COLECCIÓN ESENCIAL
' .X
■ . r v v . "...
Lumbreras Editores
^ A ctivid a d rerú
Podemos hallar la distancia o altura mediante la semejanza de triángulos.
M-
a. Con la ayuda de un espejo
En este caso es necesario que la persona pueda
observar el extremo superior del árbol reflejado
en el espejo.
'?
M?
H A
T "a
b. Coincidencia de extremos x s%
Es necesario ubicarse a una distancia para que
con la ayuda de un solo ojo queden alineados
tanto el extremo superior del árbol como el de la
vara de longitud conocida. /
. .. . . \ . /
■ 4 i ' ?• ■ • - y ■ ' % , : y
ll I ") ' %•. ->?'■
h a
T 8 '
1 -
i l
....
X
■ 2:
.-v •'' - >• .-Sy--
C a lc u le la altura del poste de alum brado, la altura de un edificio u otros objetos.
\ . VS :\ .
---------------------

381. Teorema de Thales
-------V-
a1
—i i—'i
ft
r
------>
\ m
b f
—L—— —^
n
— ti—---\---►
M . À .
iff?
Corolario 1
„ . A
Corolario 2
! a__m ;
C i J
Teorema de la bisectriz exterior
)P
%
V
■p>
Teorema del incentro
x a+c
Teorema de la bisectriz interior

382. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

383. Problema N.” 1
En el gráfico, m//n//L Calcule
b
Resolución
Nos piden
b
#
té ? ^
& 'v»*v Js¡m? 1
Por el teorema de Thales tenemos \ W A w
% ám ' i
,2 «t \ v Jm
—>
2a_= J> _
]íb f&a
2
£ _ 1
b~ 2
Problema N.“ 2
c r _ 1
P " " 4
Resolución
Nos piden x.
A i \ E
r " -
e/j m
//
, f-
■S
----
r /
c /
/
\ i o
- V —
m
0/
, - rj____
i
\
\ H
Por ei teorema de Thales tenemos
- = — —> 30 = 5m —> m =6
5 10
5 10
¿ x = )Ó m —> x=2m
2
r y ;
^ \ A/
«s*^ ; #%0 M
\
&%# : f,
„m ■ J*
\£
#%, % ;
-íjk v%4 -
Prob
m x^ ry
»i» — , .¿'/'v
$
W* %»<«#
‘^ V
Iü'
Clove
X j?
En el gráfico, AE//BF//CG//DH y CD=EF.
Calcule x.
A) 10
D) 13
B) 11 C) 12
E) 14
En el gráfico, 7[AB)=3{BQ, DF= 50 y m//n//í
Calcule DE.
\ D
i (
A) 12
D) 15
B) 13 C) 14
E) 16

384. Resolución
Nos piden x.
Resolución
Nos piden x.
Dato: 7(AB)= 3(8Q
AB=3a y BC=7o /
I ^ ‘.^ r '^ v
Por el teorema de Thales tenem ds:,^ 4 0 já¿m ?
x 3 /
? " í /
5
x= 1 5
É k ^ J lF i
W
w
V " ^
✓
■ í íS ' ..«
: Clave * /
s¿
.....*4áá#...... .
'■V
% . ,«■
Problema N.* 4
___________________________
En el gráfico.ÁD//PQ//BC y ÁC//MQ. Calculex.
En e l^ M S C D aplicamos el teorema de Thales.
5 f u
a _ 5
b~ 7
a
(I) y / “ - " “
Z_
______
\ ?
- A
En el A ,4CD aplicamos el teorema de Thales.
x _ a
14 ~~b
(ID /
A c,
...
x 14
Reemplazamos (I) en (II).
a. J " j ?
é .év -, •>- '
2, v U
; x* ] $ '
A :> r V**
v’i .w'
t ^ w
’’•¿iT
Clave
Problema N/ 5
En el gráfico, ABCD es un rombo. Si BD=4 y
AP
DR=3, halle— .
¿ Q
c

385. Capítulo io
Proporcionalidad y semejanza
Resolución
Nos piden —.
r p s '•O O Q O Q Q O O O O O C * » X > O O r X ^ X > < X 'C > C > < > C K X ^ > X X > O C < X X X K X K X X > < ^
Importante *
Las diagonales de un rombo son per- í \
pendiculares y se bisecad. ,;V :
* ^ C O O O O O O O O O O O C O O O G O Ó O C O O O ' X ' x ' x x V ' O « ' ■■ £ & . ' > ' ' • ,y\-:} ' ï y .
En el C.\PBRQ aplicamos el teorema de Thaïes/
x _ _ 2
y" s
' ■"**£ > *
Clave
y¿¿■£* '.'Z/f a“ '
v *
Problema M.‘ G
En el gráfico, 2{AQ=3(CM), 4{DM)-DF, BC- 6 y
D£=4. Calcule CD.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
M
Resolución
Nos piden x.
M
2 a / \ b
/ ’ '
= o
/ ~ \
/ jj \
. / 4b \
En el r ABHM aplicamos el corolario 2 de Thales.
^ _ CH = 4
' 6 3o
En el \EFMH aplicamos el corolario 2 de Thales.
d h % € n nu -
— = — -> D H=1
4M
x=4+1
/. % =5
Problem a N.‘ 7
C/ove
En el gráfico, 5[AM)=4(MQ, PM=1, QC=6 y
AB//PQ. Calcule ßC.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A B

386. Como AB//MN 1 - x
PM =QN=1 / j é \ i 5 18_X
l iC é Í £ k m \ ¡En el A ABC aplicamos el corolario 2 dáífbájes. J l 72-4x=5.
X = 9/77 \ '^ fT / ; ^ 3 ? = ^ '* '
5 5/7? %'**»*~
x = 9
E^ ©/ A R r i■
« « in terio r. P ^eorerna de ¡a ^
**'#>■*&*<
'X
• ' % '
i « a v e
' * H *
.........
% f r | \ $ $ s
n L \ • X / " ' •
- *
.......1.%
\ \ .#
Problem a N.‘ G
_________
En un triángulo ABC se traza la bisectriz inte­
rior BD. S i>45=12, 5C=15 y/4C=18, calcúlelo.
X) 5A) 5
O) 8
B) 6
Problema ftJ.° 9
En el gráfico, BC=2(AB). Calcule x.
e
Ctai,e
R e s ° l u c i ó n
C) 7
E) 9
c y (a
m
r \
n
-Ox
/ " n
U :
A) 150
D) Ü °
2
B) 16°
C) ¿7»
2
9 30°

387. Capítulo io Proporcionalidad y semejanza
Resolución
Nos piden x.
En el AABC aplicamos el teorema de la bisec­
triz interior.
Resolución
Nos piden x.
C
O
V
, s
i » V.
/ o
\ ,
o
\ \
AD fi 1
D C “ X~ 2
AD-m y
—^ ■:?
DC=2fh
.^ajsmsBisss!^
X
53° i
Elt^ED Ces notable d e—-y
2 %
E I A
2 j r /
x =
53°
//
y
: r ; ; «
• ¿5 V.
: %
‘ %, ^ k.
M
\
•
..........# % ’
%%„ ‘
a , %K j r
Problema N.° 10________________
En el gráfico, AB=6, AD=1 y CT=3. Calcule DT.
En el BCD aplicamos el teorema de Thales.
x _ a
3 ~~b
(0
En el A ABD aplicamos el teorema de la bisec­
triz interior.
a _ _ L
b~&f¿?%
VA,
(II)
Igualamos (I) y (II),
& jL r t 9
- Cs‘ :;''
o -*<
X-3,5
Clave
Problema N.‘ 11
___
Del gráfico, calcule x.
A) 8
D) 13
A) 2,5
D) 4,2
B) 3,0 B) 10 C) 12
E) 15

388. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden x.
En el AACB aplicamos el teorema de la bisec­
triz exterior.
14 _6 + x
10“x
7 6 + x
—> — =
-----
5 x
7x=30+5x 2x=30 /
x=15
i r
Clavé
, j/??'
Problema N.° 12
•>í*
Dado un triángulo ABC, se traza la mediana
BD, y la bisectriz exterior BE relativa a 4 C Si
AB= 5, 5C=3 y A£=15, calcule DE. \ “
A) 9
D) 12
Resolución
B) 10 C) 11
E) 13
En el A ABC aplicamos el teorema de la bisec­
triz exterior.
5 _J5
3 ~ CE
CE=9
Como BD es mediana
AD=DC=3
Luego
x=9+3
x=12 -
y£- JÜ " i
&
.. jjP
" ’A
C ¿P* ?
Problema í\!.‘ 13
Clave
En el gráfico, / es el incentro del L\ABC.
Bl
Halle
ID'
io-
" s
»!
B) 1
»!
E) 2

389. Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza
Resolución
Nos piden —.
y
f í
•10-
En el AABC aplicamos el teorema del incentro,
x 8+7
y 10
x _ 3
y" 2
x _ }6
y
Problema N.' 14
Clave
Resolución
Nos piden — = —.
EC y
B
Aplicamos el teorema del ¡ncentro.
m 8 + 6
n 7
m2
n % . 1
En el gráfico, / es el ¡ncentro del A A BC Si
___ _ X ED
AB=8, 8C=6, AC=7 y 8C///E, calcule
A) 0,3
D) 15
B) 0,5 C) 1
E) 2
:\ m =2n ;4;;v-
En el £¿DBC tenemos
'%
>♦>
B
Aplicamos el teorema de Thales.
x = /
y 2/
• —= 1= 05
y 2
] Clave ■>

390. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

391. Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza
__
__ . -_

392. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

393. Capítulo 10
Proporcionalidad y semejanza

394. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

395. Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza

396. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores

397. Capítulo 10 Proporcionalidad y semejanza
— ^
-------------------- ■ - ' ■ -

398. COLECCIÓN ESENCIAL
Resolución
Nos piden —.
y
: Problema N/ 23 _ _
' En el gráfico, calcule x.
En el A ABC aplicamos el teorema de las
antiparalelas.
'■í%m{. ¿g
lik . I
$?$>■ J k f /
h w y
x2=4m (I)
% f *
M
%
En el AADC aplicamos el teorema de las an­
tiparalelas. -%
y z =9m (ID %
Dividimos (I) y (ID
y- 4
/
*2 9 / ií
x= 2
y 3
Clave
i ü ^
T
í [o :
____
A) 1
D) 1,6
B) 1,2 C) 1,4
E) 1,8
Resolución
Nos piden x.
Aplicárnosle! teorema 2.
#2® ^ , 16
x, 4 — -4 —*A x = —
è W 8 /5»V 10
4- M %
y w
♦
a %
¿fVV %>,
< # w
>%«r
■
Clave
Problema N/ 29
_________________
Afi DE MN _ . ,
En el gráfico, — =—j~-1- Calcule PQ.
A
s
\ >
/
/
) /
/
E ¿
----
0—— ^IÁ_
____c
o D
A) 2,0
D) 2,3
B) 2,1
C) 2,2
E) 2,4

399. Capítulo io
Proporcionalidad y semejanza
Resolución
Nos piden PQ=x.
Aplicamos el teorema 2.
2 __3m _
3 + m
6+2m=3m
m- 6
Aplicamos el teorema 2.
Problema N.° 30
En el gráfico, ABCD es un trapecio de bases AD
y BC. Si AD=12, BC=4, 3(CQ)=5(QD) yAD//PQ,
calcule PQ.
B C
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 ^ E) 9
.... ‘■‘■•í? È
R e s o p s ^ ' ^
M \ jt
Nos piden x.
En el ABCD aplicamos el teorema 3.
4(6)
X - 4+6
24
X = ü
/. x=2,4
; Clave
4(3m)+12(5/n)
3m + 5m
72/77
x =—7-
8 /77
x=9
C/ove

400. COLECCION ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.* 31
En el -gráfico, ABCD es un paralelogramo. Si
BP=6, PC=4, GQ//AD y G es el baricentro de
la región triangular ABP, calcule GQ.
A) 7,5
D) 9
Resolución
Nos piden
B) 8 Q 8,5
A ) 9,5
Como G es el baricentro del ^ABP, entonces
AG=2(GM ) y BM=MP= 3.
En el Q A M C D aplicamos el teorema 3.
i
* = •
x = -
10(n)+7(2n)
n + 2n
2 4 /
3/
x=8
Clave
Problema N.* 32
5 0
En el gráfico, calcule —— si A B -7, PQ=5 y
/VC
MN=2.
V. '*:>;
P* />•*: M
%
i ¿2 11 □ D — ^
8 ' ■ N C
»!
Resolución
. . BQ
Nos piden ——.
NC
B) C) i
2
E) 1
Del gráfico, los triángulos rectángulos MNC,
PQC y ABC son semejantes, cuya razón de se­
mejanza es 2; 5 y 7, respectivamente.
P
M
N 2k C

401. Capítulo io
A
Entonces
NC=2k] QC=5ky BC-lk
Reemplazamos en el gráfico.
A
7 k
Del gráfico, BQ=2k.
BQ _ 2 k
N C 2k ^ % \
] C l a v e
■
....
/
Problema N.° 3 3
________________________
En el gráfico, AB=4, CD=12. Calcule EF.
A) 6 B) 7 C) 2
D) 9 E) 10
Nos piden calcular EF=x.
□ • □
□ □ □
Aplicamos el teorema 2.
m
4x12
4 + 12
Luego
48
m = —
16
m=3
Observamos en el rectángulo EDCG
x + m = 12
x=9
C la v e
'5

402. Problema N.’ 3&

403. 1. En el gráfico, m//n//fi. Calcule x.
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 60°
En el gráfico, IIí£z. Calcule x.
A) 6 B) 8
D) 12
C) 10
E) 14
En el gráfico, ml/n//li//p. Calcule X-— ,, A) 12 B) 15 C) 18
D) 21 E) 24
Er>; el gráfico, 3{AE)=A(DE) y BC=9. Calcule R.
A) 17/7 B) 19/7 C) 11/9
D) 15/9 E) 13/7
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
3. En el gráfico, 4(AB)=3(BQ, D E -6 y £F 10.
Calcule x.
6. En un triángulo ABC, se trazan las media­
nas ÁMyCÑ, las cuales se intersecan en P.
Si AQ=5, QeÁCy PQ//ÁB, calcule AC.
A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 17

404. ü
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
En el gráfico, calcule BC si AB=8, — = —
45
y mAP=2(m<PDT). Considere que P y T
son los puntos de tangencia.
D) 12 , E) 13
8. En el gráfico, AQ=DR, CP=10y 3(AP)=5(P8)Í
Calcule CP.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
9. En el gráfico, P y T son los puntos de tan­
gencia. Si RT= 6 y 57=3, calcule PQ.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
En el gráfico, O es el centro del paralelo-
gramo ABCD. Si PQ=12 y RC=4(OR), calcule
PR.- ^ '
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 9
11. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz
interior BD. Si AB=24, BC= 32 y AC-21,
calcule AD.
A) 6
D) 15
B) 9 C) 12
E) 18

405. 12. En el gráfico, 8C=3(A8) y AC=CD. Calcule x.
O
A) 30°
D) 53°
B) 37° C) 45°
E) 60°
13. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si
2(PL)=3(LQ) y 3(AQ)=2(QD)=12, calcule BP.
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4 -
. E) V
14. En el gráfico, y Q M -9. Calcule AC.
A) 10
D) 18
B) 12 C) 15
E) 21
En el gráfico,48=9, BC=7yAC=6. Calcule CD.
D
A) 10
D) 28
B) 14 C) 21
E) 35
16. En el gráfico, 48=8 y 8C=6. Calcule x.
A) 8o
D) 30°
B) 15c C) 16°
E) 37°
17. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz in­
terior BD. Si AB=Sk, BC=7k, AC=9k y 8/=4,
calcule ID. Considere que / es el incentro
del A ABC.
A) 0,5
B) 1
C) 2
D) 3
E) 3,5

406. COLECCIÓN ESENCIAL
__
Lumbreras Editores

408. 30. En el gráfico, ABCD y ACED son paralelo-
gramos. Si AP=7 y PC= 2, calcule DQ.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 6,5
31. En el gráfico, ^ - = -^2, ÁB=6 y ,, ,
m AD = rr\BE=2m<BPQ. Calcule DE. .
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
32. En un triángulo AfíC, sea BD la ceviana
interior relativa a AC. Si AD -1, DC=4 y
m < AD fí= m < flAC+ m < ACfl, halle BC.
A) ^7 B) 2^7 C) T il
D) T i l E) 2VÜ
: 33. En el gráfico AB=6, #C=2 y
m5C=2(m<5AD). Calcule m<CAD.
A) 8o B) 16° C) 37°/2
D) 53°/2 E) 30°
34. En el gráfico, 6 es el baricentro de la región
ABC. Si BG=4, calcule AC.
A) 2n/3 B) 6 C) 4^3
D) 8 E) 9
35. En el gráfico, calcule*.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

409. Capítulo 10
- "'i ■' ¿-3XL.
(í ’’ ; 1
36. En el gráfico, AB=4, CD=12 y PQ=10.
Calcule m PM.
D
A) 30°
B) 37°
C) 45°
D) 53°
E) 60°
A x y X í ', ; :> ■ ;;í’Av-'. .
37. En el gráfico, AD//MN//BC, AD=5m+1, |
c/v 4 : i
MN=4/t?+1, BC=3m y . Calcule M/V.
f,. :W’3ÍEr
_A A/
A) 11
D) 14
B) 12 C) 13
E) 15
38. En el gráfico, AB=BC=4 y EF=10(DE)=10.
Halle PQ.
A B C
A) 4
B) 5
C) 5,5
D) 6 \;,v
E) r 6,5 , /
\ /
□
\ /
/ \
□
% &
E. '•%
*
Claves
1 6 D 11 B16
£21 B26 31 36
2 7 B 12 B 17D22 c27 D32 37
3 8
r 13 C 18 £23B28
íw33 38
4 C 9 B14 c 19 1324D29 D34•C ;
5 10D15c20 D25 A30 C35(I ’

411. En el diseño del Tow er Bridge, puente levadizo más famoso
de Inglaterra ubicado en el río Támesis, el ingeniero tuvo
que usar sus habilidades matemáticas para relacionar las
diversas medidas necesitadas para su construcción, tales
com o las alturas de las torres de soporte, la distancia entre
sus bases, el ancho del río, las longitudes de los cables, la
altura de elevación del puente, etc.
También debió considerar el calor del verano, pues esta es­
tación hace que algunos cuerpos, como el acero del puente,
se expandan debido a las propiedades físicas que posee, y
por tanto la longitud puede variar. El ingeniero debe pre­
ver esta y otras situaciones relacionando algunas longitudes
descritas anteriormente.
u y y
• Relacionar las longitudes de algunos segmentos notables
en la circunferencia.
• Relacionar las longitudes de algunos segmentos estable­
cidos en el triángulo rectángulo.
• Calcular la longitud de algunas líneas notables asociadas
al triángulo.
¿Por QjLsé <2G üiGCGScrsü
Porque la proporcionalidad que existe entre las longitudes de
segmentos en la circunferencia y en el triángulo nos ayudará
a resolver problemas de situaciones reales, como calcular la
distancia entre los planetas, el radio que cubren las ondas de
radio, el alcance de vista de un barco cuando desaparece en
el horizonte del mar, etc.

412. Relaciones métricas
• ■ 1 • •
Gráfico frecuente en este tema
r . o
i V , f 1 ■M'. f/
] í
Prolongamos.
O
, ,
Luego obtenemos
Y //V7A
v í i': i1 í/í'/A
■ ; ; i i • í i ;/.• tf
H ih H
! //
ijí;:
I \\ * j
i \ i i í ■
- O
i
/X ■ r
a ; i)
/ / J / / i
w A
ril!r%
1. RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
1.1.
Sean AB y PQ dos cuerdas secantes.
B
>T ¡ , ’ ■
/ x* / o
/ y
/ \ x
u
b
Se cumple
\ /
Á ‘\
L z
X V -OD j
y
I Se cumple
'
Ejemplos
1. Calculemos %
. f S
’SSSHÍ-.
'■í: :<• •
2, Calculemos x.
. □
-o
-------+
Se cu m p le
6(x)=3(8)
• x=4
Se cu m p le
x2=9(4)
x^=36

413. Sean PA y PQ segmentos secantes a una misma circunferencia,
Y PB Y PS partes externas de los segmentos PA y PQ, respec­
tivamente.
Ejem plos
x(4)=12(3) m(5)=15(6)
. x = 9 * m=18
1.3. Teorem a de la tangente
Sean P T y PQ segmento tangente y segmento secante, respec­
tivam ente, a una misma circunferencia, y PS parte externa del
segm ento PQ.
--.Dato-sor!
La palabra tangente viene del
vocablo latino tangere, que sig­
nifica ‘tocar’, y fue introducida
en 1583 por el matemático da­
nés Thomas Fincke (1561 -1656).
■

414. COLECCIÓN ESENCIAL
. 7 ,
Lumbreras Editores
Corolario
S¡ T y P son puntos de tangencia
E je m p l o s / , \ j
1. Calculamos x si T e s punto de tangencia, : } j
Tenemos que
Por teorema de la tangente
x2=12(3)
x2=36
x=6
2. Calculamos x s\ P y T son puntos de tan­
gencia.
Por consecuencia del teorema de la tan­
gente
2x=x+8
x=8
2. PROYECCIÓN ORTO/ jONAL
La proyección ortogonal de un punto P res­
pecto a una recta es el pie de la perpendicu­
lar (P'j, trazada por dicho punto a la recta.
d
-----proyecton te
% /
p ro yec ció n eje de
or o ye cció
■
............... - P
P
P'
La proyección ortogonal de un segmento A B
sobre una recta o eje de proyección es una
porción del eje comprendida entre las proyec­
ciones de los extremos de dicho segmento.
/ • B •£
/
a:
¡
>./
^
----------P----------F
[ „ Q
/V 8 ‘ F
Si el segmento es perpendicular a la recta, su
proyección es un punto.

415. Capítulo 11
Relaciones métricas
3. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se relacionarán los siguientes elementos:
B
h ip o te n u sa
3.1. Teo rem a del cálculo del cateto
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de cada cateto es igual al producto de las
Se cumple
^=16(9)
x=12
Se cumple
\2
(3V2) =(<r+2)2
$ = (k+ 2 )¿
9
k=7
419

416. .
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
— ^
------------------------------
-
D n t ó ju H e s o
Pitágoras acuñó los términos
filosofía (“amor a la sabiduría") y
m atem ática (“lo que se conoce,
lo que se aprende").
El billete del metro de Barcelona,
\ España, tiene un anagrama del
teorema de Pitágoras, emitido
con motivo del Año Mundial de
las Matemáticas en el 2000.
tmntgnx-r/’ <? ♦
b d r c é lp
ü i2v>oi \ 2 £ ¡ £m£ !m
3.2. Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de su
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitu­
des de sus catetos.
3.3. C álculo de i a altura con las proyecciones de los catetos
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la
altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longi-
Se cumple
x2=6(4)
x = 2-76
i
---------m----------1— —i
Se cumple
62= m (3)
36=m(3)
m=12

417. Capítulo n
Relaciones métricas
3.4. Teorema de! producto de catetos
En todo triángulo rectángulo, el producto de
las longitudes de los catetos es igual al pro­
ducto de las longitudes de la hipotenusa y la
altura relativa a dicha hipotenusa.
Se cumple j oc=bh
3.5. Cálculo de la altura con ios catetos
En todo triángulo rectángulo, la inversa del
cuadrado de la longitud de la altura relativa a
la hipotenusa es igual a la suma de las inver­
sas de los cuadrados de las longitudes de sus
catetos..
Ejemplos
Se cumple
l 1
a c
Se cumple
5(12)=13(x)
60=13x
■//
/•y«,
Ejemplo
■
C- 1 1 1
^ 2 ^ 2 -ic
' m ¿ rr 16
f f A*
calculemos x.
Se cumple
oc=3x(x)
48=3x2
16=x2
J _ = J _
x2 "16
x2=16
x = 4
x = 4

418. -í!* '\:y Id a
Distancia en el horizonte
¿Cómo calcular la distancia del
horizonte conociendo la al­
tura del observador sobre la
superficie?
La tarea consiste en medir la
tangente de longitud D, que
va desde el ojo del observador
hasta la superficie.
De la figura se obtiene, por teo­
rema de la tangente
D 2=(h+2R)(h)
Como la altura del observador
sobre la superficie normalmen­
te es muy pequeña, 2R+h se
aproxima a 2R y la fórmula se
simplifica así
D z =yÍ2Rh
R-. radio terrestre (aprox. 6371 km)
h: altura de la vista por encima
de la superficie
,3.6. T eo re m as ad icio n ales
a. Sea la semicircunferencia
Se cumple
b. Si P, Q y T son puntos de tangencia
\
I V
)
i j
entonces
Y O
" ^ - m i
Ejemplos
'Wp' ¿t
4:,-‘
.Y Y
1. Calculamos
S; <>■ ■>■ ■ .«
. Y Y
r y
X v '
C Y
Se cumple
Y = 3 (7 )

419. 4. RELACIONES METRICAS EN EL TRIÁNGULO
OBLICUÁNGULO
4.1, Teorema ele las proyecciones
Caso 1
A ABC. acutángulo
Caso 2
AABC: obtusángulo, obtuso en A
B
13
i
----n-
Se cumple \ Se cumple-
% ‘ %
__ _ ¿
o: ---ár ^ ' ^ X á
\ " w M f
a
Ejemplos
Hallemos x,
B
Calculemos x.
Se cumple
72 _ 5 2 =x2 - ^
24=x2- 7
x2=31
Se cumple
x2 _ 4 2 = 52 - V 5 2
x2- 1 6 = 2 5 - 5
e = 3 6
■ Vlültásid
http://es.slideshare.net/ju
jakcasana/relaciones-mtricas-
en-los-triangulos-oblicuangulos.
Los triángulos oblicuángulos son
aquellos que no poseen ángulo
\ recío.
Dentro de ellos están los trián­
gulos acutángulos y los tríángu-
| los obtusángulos.
... x = M
x=6

420. 3. Hallemos A'.
4. Hallemos x.
LOS SEIS LIBROS
1> E L A C E O M t T f c l A
Oí CVCUDK*.
Los Elementos de Euclides ha
sido la primera obra con mayor
influencia en toda la historia de
la matemática y sus ideas han
permanecido inalterables hasta
el día de hoy, más de 2300 años
después. Han sido la fuente
de inspiración de grandes ma­
temáticos como Arquímedes,
Newton, Euler, Gauss, etc.
. — —^ -----------------*
Se cumple
y¡262-y¡52 =x2-22
2 6 -5 =x2- 4
21=x2- 4
x2=2 5
.4* + •
.-. x= 5 /
■
§ /00$v %
. i '.:Or'|"ní.', ;?
\ V%< ¿ ¿ 0 * / i
Caso 1 \ *
(Lado opuesto a un ángulo agudo)
Se cumple
( 3 x f- ( 2 x ) 2=42- 1 2
9x2 - 4x2 = 1 6 - 1
5x2=15
x2=3
• x = y¡3
Caso 2
(Lado opuesto a un ángulo obtuso)
Si a > 90°

421. Ejemplos
1. Hallem os x.
r H
Se cumple
donde 0°< 0 < 180°.
Se cumple
En todo triángulo, el cuadrado de un lado es
igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados menos el doble producto de es­
tos dos lados por el coseno del ángulo que
form an.
Ejemplos
1. Hallemos 0.
/ \
/ /
/
/
A o
________
Se cumple
V 3 7 2 = 4 2 + 7 2 - 2 ( 4 ) ( 7 )c o s0
3 7 = 6 5 - 5 6c o s0
56cos0=28
„ 1
eos 0 = -
C / " 2
0=60°
2. Hallemos x.
\
\ V.
\ ir> \
Se cumple
x 2 = 102 + 92 -2(10)(9)cos127°
x2 = 1 8 1 - 1 8 0 ° ^ J
x2 =181 + 3 6 (3 )
x2 =181 + 108
x2 = 2 8 9
x=17

422. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
i 4 .4 , T eo re m a de Stew art (o cálculo de la ceviana)
_ /Important»-
Las relaciones métricas en trián­
gulos oblicuángulos también
permiten calcular la longitud
de algunas líneas asociadas al
triángulo, por ejemplo, la cevia­
na, la mediana, la bisectriz, etc.
• \ - ' ■■"■X:' VTV 11 - 111111
//patofcttBäc©;.
Este teorema fue enunciado sin
demostrar por Matthew Stewart
(1717-1785) en 1746; fue re­
descubierto y demostrado p or;;
Thomas Simpson (1710-1763)
en 1751, por Leonhard Euler
(1707-1783) en 1780 y por La­
zare Nicolás Carnot (1753-1823)
en 1803.
Se cumple a''m + c' n - '/ b rbmri !
Ejemplo
Calculemos x f
Se cumple ^
6 2(3) + 4 2( 5 )= x 2(8) + 8 (3 )(5 )
108 + 8 0 = 8x2+ 120
188-120=8x 2
68=8x2
1 7 ~ 2 x 2
2 17
x
17

424. Ejemplos
1. Hallem os x.
A ,
KS*. * -
En todo triángulo hay una rela­
ción entre dos lados y los seg­
m entos determinados por una
bisectriz en el tercer lado.
1 í f
•. V . ..
1 i'
V -*Ati i
Vil
m
c n i
de un
triángulo, primero es necesario
calcular el semiperimetro de la
región triangular.
4/
/
A > v
/ « \
i
\x
I
\
\
+
Se cum ple
x2= 6(4)—3(2)
x2=18
Se cumple
m2=14(10)-7(5)
m 2=105
m = -Jvi5
4.8. Teorema del calculo de la altura (teorem a de N erón)

425. Se cum ple h = --Jp{p-a)(p -b)(p-c)
Donde
a+b+c
p= —
Aplic a c ió n 7
En el gráfico, calcule x.
B
Calculamos la altura con el teorema de Herón.
x = -,/7 (7 -5 )(7 -6 )(7 -3 )
6
x = i^ 7 (2 ) (l) (4 )
|; Se sugiere aplicar el teorema
de Herón cuando los lados del
triángulo tengan una longitud
' entera.
............

426. -N
Dato curioso
t\> <*K* V •'*%.«
; > -f «; ¡
f ’ ‘ ^ \
: : ;i 1
La Revolución Industrial se aso­
cia normalmente al uso de la
máquina de vapor para hacer /
funcionar telares, trenes, etc., un
invento que nos remite a los si­
glos xvm y xtx. Pero pudo antici­
parse varios siglos si los griegos
hubiesen sabido aprovechar efc
invento de una máquina de va­
por que hizo el matemático-in-.
geniero Herón de Alejandría en
el siglo i y u d.n.e, Herón cons­
truyó una esfera con dos tubos
que podría girar cuando en su
interior hervía agua. Lo que no
supo Herón fue sacarle prove-
| cho al invento. ¿Qué habría pa­
sado si los griegos y romanos
hubiesen utilizado el tren y los
fenicios los barcos a vapor?
Demostración de Herón
i https://www.youtube.com/
í vvatch?v=eqdV0nSZÍQ4
Ap l i c a c i ó n 2
Del gráfico, calcule x.

427. Pitágoras y Fibonacci
Hace cientos de años, Fibonacci descubrió una serie formada por la suma de los dos números preceden­
tes, comenzando por 1+1. La serie en cuestión es la siguiente:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34....
Tiempo después se encontró que esta serie se repetía increíblemente en toda la naturaleza: en la es­
tructura de un caracol, en el número de pétalos de una flor, en las espirales de la pina, en las espirales
de un girasol, etc. •
¿Tendrá alguna relación esta sucesión con una terna pitagórica?
Veamos:
a. Tomemos 4 números consecutivos cualesquiera de ¡a serie de Fibonacci. Por ejemplo: 2; 3; 5 y 8.
b. Calculemos el producto de los extremos: 2x8=16
c. Calculemos el doble del producto de los centrales: 2x(3x5)=30
d. Calculemos la suma de los cuadrados de los centrales (3x3) + (5x5)=34
Estos tres números (en este ejemplo 16; 30 y 34) forman una terna pitagórica.
Ahora practíquelo eligiendo otros 4 números consecutivos de la serie de Fibonacci. ¿Se obtiene otra
terna pitagórica?

428. COLECCIÓN ESENCIAL

429. Capítulo n
Relaciones métricas

430. RESOLVEMOS JUNTOS
Problema N.‘ 1
Resolución
A partir del gráfico, calcule x.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 6
; Nos piden x.
j Dato: AB=BC=CD=a
Prolongando EC se obtiene EC=CF=b.
No olvides completar
la cuerda porque
EC-CF.
Resolución
N os piden x.
Por teorem a de las cuerdas
2x(x-1)= x(x+ 1)
2x2 - 2x=x2 +x
x2=3x
x=3
Por teorem a de las cuerdas
n
o
Problema N.° 2
Enel gráfico, AB=BC=CD.Calcule x.
b(b)=2a{a)
bz=2a2
b = a\Í2
: Reemplazamos los resultados obtenidos en el
! ^EBC.
-> EBC (notable de 45° y 45°)
x=45°
Clave
A ) 3 0 °
D ) 5 3 °
B) 37°
C) 45°
E) 60°

431. Problema N.’ 3 En el fc* BHQ (notable de 37° y 53°)
En el gráfico, 4H=4(fíH)=6(PQ )=12. Calcule x.
x= 53°
D) 53° E) 60°
Resolución
Nos piden x.
Dato: AH = 4 ÌBH) = 6 (PQÌ)
12 12 ' 12
—> AH=12; BH= 3 y PQ=2
Por la semicuerda
PH2=12(3)
PH=6
Finalmente obtenemos el siguiente gráfico:
Clove
Problema N,* 4 ______________________
En el gráfico, T y P son puntos de tangencia.
Si AT= 8 y 75=2, calcule BC.
ü f 4 E) 4,5
Resolución
Nos piden x.
Como P y T son puntos de tangencia
OPCT es un cuadrado.
-> OT=TC= 2+ x

432. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
En la semicircunferencia de diámetro AB. Por teorema de las secantes

433. Capítulo 11 Relaciones métricas
Nos piden xy.
Por teorema de las cuerdas
Resolución
Nos piden x.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
A) 6
D) 10
B) 7 C) 8
E) 12

434. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores

435. Capítulo ti
Relaciones métricas
En ^ Por teorema de la tangente
¿>2=4(1)
b=2
En el gráfico inicial
x=a+b
x=4+2
x=6
Clave
Problema N.° 10
En el gráfico, T es punto de tangencia. Si
2(AB)=BC=EF=4 y CD=3, calcule TF.
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 9
Resolución
Nos piden TF=x.

436. Resolución
Nos piden AC.
B
En el k^ABC calculamos el cateto.
82=4 m-m
$4 = / m 2
16=m2 ! 4 ? ”A e \ '.
m =4 | ^ | j #
% }$&<■ S0&W
Luego calculamos AC. * - V ¿
AC=4m
¿ 0 1 6 J jjj
• Clave
•
.............»ú • 4> - • •
*
problema NL‘ 12
____________________________—
En el gráfico, BC=7, D£=1 y A£=8. Calcule /AS.
B) 4
Resolución
Nos piden x.
En el l.IHBCD: BC=HD=7
En el b±ABE calculamos el cateto.
O
Clave
Problema N /1 3
_______________________
En el gráfico, AB=2 y BC=7. Halle el perímetro
de la región sombreada.
B) 9
A ) 3
D) 6
C) 5
E) 7
A) 8
D) 11
C) 10
E) 12

437. Resolución
Nos piden 2p A„ BD.
Bastaría con calcular AD o BD para hallar el pe­
rím etro del AADB.
En el gráfico, se cumple
D.
t□
í;:.. /Sí
A
■<y
0¿=9(1)
o=3
Luego
2P/\ABD=3 + 3 + 2
2 pA ABd=8
P r o b l e m a N.
Clave
Dada una semicircunferencia dejdiánnetro AC,
se ubican los puntos B y D en AC y AC, res­
pectivamente. Si AC=5, BD=4 y BC = yjS, halle
m <BDC.
A) 30°
D) 53°
B) 37° C) 45°
E) 60°
ReESíU ridü’
Nos piden m <BDC=x.
/
□
Bastará con descubrir que el BHD es
notable.
En la semicircunferencia
r u ■
X L t
□
h
se cumple
y/s2 =5 (HC)
5=5 (HQ
HC=1
En el A BHC, por teorema de Pitágoras, BH=2.
En el í: AHB (notable de 30° y 60°)
/
□
H
x=30°
Clave

438. Problema H.° 15
Los catetos de un triángulo rectángulo miden
u y y¡6 u. Calcule la longitud de la altura re­
lativa a la hipotenusa (en u).
A) 1
D) 2
Resolución
Nos piden x.
B) V2 C) yfe
E) 3
B
O
iv '6
□
En el por teorema de Pitágoras
( A C ? = yfí2 + 'fc2 * ?
(A Q2=9
AC=3
En el b^ABC, por el teorema del producto de
catetos
Lumbreras Editores
Problema NI. 15
En el gráfico, AP=QC=A y PQ=5. Calcule r.
O
y
/
, . y
/ /
r \
— 1 c..
\
1 eri
c\i
<
B) M
2
C)
y
2
D, ^
2 &
UJ
^ 6 7
2
Nos piden /.
3x = V3n/6 y'
X
...........c
\
\
____
¿X = /V2
A 9 Q 4
II fci (BQ)2=9(4)
Clave
0
: \
A 4
□
y<
u
\
r
En el ABC, por el teorema del cálculo de
la altura
B
O
BQ=6

439. Capítulo ti
Relaciones métricas
- *

440. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden PM-x.
Problema N.'1 9
_______________________
En el.gráfico, A, B, C,D y E son puntos de tan-

441. Capítulo n
Relaciones métricas
Resolución
Piden AH=x.
B
Dato: o2-¿>2=16
En el A ABC, por teorema de las proyecciones
g2-b2 = (x + 2)2-X2
16=^ + 4 x+ 4-/^
12f4x ^
’ • 'i # .#5 y,, .jí? Yv
jy'w
C/ovre i
Problema fcl.° 21
_______________________________
En el gráfico, T es punto de tangencia.
Si ß7=10, OC=8 y AO=BC, calcule AT.
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

442. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores

443. En el A ABC,por teorem a de Euclidei
132 = ¿ + 1 2 ^ - 2 ( 12)n
169= 193-24n
24n=24
n= 1
Calculam os AT.
Por teorema de la tangente ¿f**9* '* ^ ^
x2=12(1)
x = 2y¡3 ,
\ { Clave \ ¿
Problema N.‘ 24
------------------------------------------------------—Aj*
En un triángulo ABC, se traza la ceviana
interior BD (B e AQ. Si AB=yf\3, B C -\jl y
CD=2{AD)=2, calcule BD.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
R eso lu ció n
Nos piden x.
B
En el ABC, por teorema de Stewart
V 7 2 ( i ) + VÎ3 2 (2 )= x 2 (3)+(1) (2) (3)
7+26=3x2+6
3x2=27
x2=9
/. x=3
Clave
En el gráfico, AB = 4z2y CD=2(AD)=4.
Calcule BD.
; O
\
\
A) 1 B) 1,5 C) 2
0) 2,5 ;•/ 7 E) 3
* te ^ -'fc ió n
Nos piden ¿?D=x.
B
Por teorema de Pitágoras
B
í ^ \ n
.......... \
D ■4 C.
? 9 ?
X +/TJ = 4
m2=16-x2
m = V l6 - x 2

444. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Por teorema de Stewart
Resolución
Nos piden OM=x.
> / l6 - x 2 ( 2 ) + >/222 ( 4 ) = x2 ( 6 ) - { - 2 ( 4 ) ( 6 )
En el A POQ, por cálculo de la mediana
3 2 - 2x2 + 8 8 = 6x2 + 4 8
8x2 = 7 2 -
'Ev *
*2=9
1 fe ’’" í :
% '' -A;;#’ :
x=3
'V ^ ^ :
X 'C tayë^ j i
Ӓ
Problema 26
«Sk
En el gráfico, PM=MQ-2 y R +r
Calcule OM.
2 2 n 2 42
f r + rz = 2x¿ +—
26=2x2+8
^ = 1 8
xz=9
x=3
Clave
Problems N/ 27
____________
En el gráfico, CO = rS y AB=BC. Halle mAB.
B) 2 Q 2,5
E) 4
A) 30°
D) 53°
A ) 1
D) 3
B) 37°
C) 45 °
E) 60°

445. Resolución
Nos piden mAB = x.
Por < central
m<AOB=x ¿ p **« *’-
En el AAOC, por cálculo de la mediana
(/?V 3 )2 +R2 = 2R2 + ' i
2 17)2
2R - - y *
4/?2=m2
2R=m
Entonces
AB=BC=R
En el gráfico se obtiene
O
El AAOB es equilátero.
x=60°
Clave
Problema N.* 20
En el gráfico, M es punto medio de AC, >45=6,
5 0 5 y AC=7. Calcule MN.
C
A) V3 B) 2 C) Vs
D) y¡6 E) n/7
Resolución
Nos piden MN-x.
NO OLVIDE
X
§ Que una manera de utilizar el punto
| medio es mediante la base media de
| un triángulo.
En el k^AHC, por base media
CH=2x
En el A ABC, por teorema de Herón
Pxabc ~
5 + 6 + 7
2

446. Luego
x ■
= 4 'Í9 (9 - 5 )(9 - 6 )(9 - 7 )
0
Luego
x =
■•^9(4) (3) (2) _1
3
)
x =
= a/6
10-Jì
Clave
Clave
Problema i\V 29
En el gráfico, T es punto de tangencia. Si 0£=5,
££=6 y £0= 9, calcule x.
En un triángulo ABC, se traza la bisectriz inte
rior BD. Si AB=BD y BC=2{CD)=S, calcule AD.
A) 2
D) 5
B) 3 C) 4
E) 6
* ; <
I®
■4. i , ■ , ’
A)
D)
£
2 \¡S
3
7>/2
B)
£
7>/5
Nos p id en x //-
■AX
*)\0 '
C)
E)
Sy¡2
v V m/
\ /rj
\
3 * %
^
Resolución
En el A £ 0 £ , por teorema de Herón
PúFOe''
5 + 6+9
- = 10
6/
A x D A
Dato: AB=BD
NO OLVIDE
• I Teorema de la bisectriz interior
Se cumple
En el A ABC, por teorema de la bisectriz interior
-=-=m=2x
m x
i J " j

447. 451

449. Capítulo 11
-- ■ ■ ■ -
Relaciones métricas
- -
- En el gráfico, T y Q son puntos de tangen­
cia. Si P7=4(M7), calcule (3.
P
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° Ej 60°
En el gráfico, P y Q son puntos de tangen­
cia. Si PM=15, calcule NQ.
A) 12 B) 15 C) 18
D) 21 E) 24
9. Desde un punto P, exterior a una circunfe­
rencia, se trazan la tangente PTy la secante
PAB. Si PT=2{PA) y Afi=12, calcule PA.
B) 4 C) 5
E) 7
En el gráfico, P y T son puntos de tangen
cia. Si PA=2(AB)=4(CD)=4, calcule DT.
A) V6 B) V7 C) 3
D) V il E) 4
En el gráfico, AC=9 y CD=7. Calcule BC.
A) 1 B) 2 C ) 3
D) 4 E) 5
En el gráfico, AH=BD=6 y HC=CD.
Calcule CD.
B
A) 1 B) 2
D) 4
A) 3
D) 6
C) 3
E) 5

450. m
COLECCIÓN ESENCIAL
. A, -y**.- :i:4»
Lumbreras Editores
í;..-
13. En el gráfico, 8P=9 y PC= 16. Calcule AQ. 16. En el gráfico, AD=3{BQ=6. Calcule (AB)(BD).
A) 9 B) 12 C) 15
D) 18 E) 21 A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
14. En el gráfico, AB=16 y OP=4. Calcule AC.
Considere que O es el centro de' la circun­
ferencia. f jo ,
A) 5 B) 4 n/Ï0 Q : 6W
D) 6>/ÎÔ E)
17. En el gráfico, AN-6, NC=4 y CD=8.
Calcule MN.
A) 2 / I
B) 3
W :C )"4
A D) 5 0 ' * 6 :
0 6
/
/
/
______________c
1
_____ D
1 1 1
18. En el gráfico, BD=2 y —7+— 7 = 77
AB2 BC2 25
15. En el gráfico, ab=300. Calcule x.
Calcule PQ.
B) 9
B) 6
A) 8
D) 12
C) 10
E) 15
A) 5
D) 8
C) 7
E) 9

451. 19. En el gráfico, A, P y 7" son puntos de tan­
gencia y PT=Byfe. Calcule m.
22 En el gráfico, HO'=A y OH=2. Calcule F^-r2.
A) 10- B) 12 C) 14
D) 15 E) 16

452. 25. En el gráfico, AB=4, AC=BC y AD=AQ.
Calcule CAH){CD).
29. En el gráfico, PQ=8 y QO'=2{QO)=2x.
Calcule x.
> r
A) 5
D) 8
B) 6 C) 7
E) 9
26. A partir del gráfico, calcule a.
A) 37°
B) 45°
C) 53°
D) 60° \ X
E) 74° v—
27. En el gráfico, AC=5, BC=11 y AB=aM-
Calcule x. C ,,
; c
r/ \ N
\ %
B) 37°
C) 45°
E) 60°
A) 30°
D) 53°
28. En un triángulo ABC, se traza la ceviana in­
terior BD. Si AD=2, CD=4, BD=5 y fíC-7,
calcule A8.
\ p
/ /
A) Vá
D) 4%/3
C) 3./3
E) 5%/3
3 0 . Las longitudes de un triángulo son 4; 6 y 8.
Calcule la longitud de la mediana relativa al
lado que mide 8.
A) n/5
D)
3f ;: En el gráfico, T es punto de tangencia. Si
AM=MO, calcule 0 4 .
A) 3 B) 3V2
D) 4^2
32. En el gráfico, 7 es punto de tangencia.
S¡ ¿0= 17 , 08=10 y 48=21, calcule 8.
A) 3
D) 5
B) 3,5 C) 4
E) 6

453. 33. En el gráfico, 4 C = 11, C8=7 y 84= 6.
Calcule CH.
A) yfs B) Vio C) 2
D) 2>fío E) 2>/6
34. Las longitudes de los lados de un triángulo
son 8; 13 y 18. Calcule la longitud de la bi­
sectriz interior relativa al lado que mide 13.
A) 5 B) 5 n/3 / C) 6
D) 6^2 j f'E)
35 En el gráfico, 48= 9, 8C= 6 y 4C=4.
Calcule BE.
A) 7 S B) -JÁ2 C) 743
D) 7 Í 4 E) 746
En el gráfico, AB=EF, BE- 6 y DF= 9.
Calcule EH.
E D
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
37. En el gráfico, PM=MQ, OM=3 y 48= 8.
Calcule PQ.
A) Tí7 B) 2 7 i7 C) 723
D) 2723 E) 37Í3
Claves
1 ► i 6 11 16 ‘ i 21 26 ; 31 36
2 7 í 12 17 22 : 27 32 37
3 8 13 18 23 : 28 1 ; 33
4 ' i 9 : 14
19 ; 24 29 ; 34
5 10 | 15 20 25 30 1 | 35

455. m
AREAS DE REGIONES PLANAS
En el Antiguo Egipto había la necesidad de medir el área de
los terrenos afectados por las crecidas del río Nilo median­
te el estiramiento de cuerdas. En la actualidad, existen otros
instrumentos que permiten realizar esas medidas. En la ima­
gen se muestra el valle del Mantaro (Junín), donde las par­
celas o chacras son terrenos que en su mayoría tienen forma
rectangular.
En este capítulo veremos cómo se pueden calcular las áreas
de regiones triangulares, cuadrangulares y circulares.
^ P Á R I S ^
Aprendizajes esperados
• Emplear de manera adecuada los diversos teoremas para
calcular el área de una región.
« Comparar correctamente las áreas de ciertas regiones de
acuerdo a sus características.
• Resolver problemas de cálculo de áreas de manera ade­
cuada.
¿Por qué es necesario este conocimiento?
Porque nos permitirá entender cómo son las áreas de una
región (triangular, cuadrangular y circular) y con este cono­
cimiento podemos hallar el área de terrenos (de agricultura
o de vivienda), o el área de paredes o pisos para un posible
pintado o enlosado, y otras situaciones reales donde esté
presente el tema de áreas.
i

456. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
r
Areas de regiones planas
Es el área de una región cua-
1 drada cuya longitud de su lado
■r es 1 U. W w X > A \ \ l !
L T -........□
n □
i
__i /_______j
A - 1 O
Las unidades cuadradas conoci­
das son las siguientes: ;
El metro cuadrado (m2)
i m
i
------1 m-------)
" V - ■
J A - i nd
i • El centímetro cuadrado (cm2)
! oí
h cm
J A - i cm ‘
y cm
1. REG IÓ N PLA N A
Es aquella porción de plano limitada por una línea cerrada lla­
mada contorno.
Se nom brará a la región teniendo en cuenta el tipo de línea
que la limita.
región r e c ü ó n ' eg ion
! Ufi Hjt.iK ' '
2 . Á R E A (f&) í [ \ J
Es la medida de la extensión de una región plana o superficie.
Para calcular el área; es necesario tener una unidad de com ­
paración; esta unidad es la,unidad cuadrada (la más empleada
es el m2).
Veamos el siguiente ejemplo gráfico:..*
N otación
IA¿ área de la región plana
Ejemplo
lk=( 16) m2
T
f J u njc ro c jiic nc*.; in d icu c u ,d ito s n o n o s
f u .K 'ií U lo S tltMV-' Id !tv j l ( n : p l.lU n

457. 3. Á R EA S DE R EG IO N ES T R IA N G U LA R ES
Existen varias fórm ulas para calcular el área de una región
triangular.
3.1, Fó rm u la básica
El área es igual al sem iproducto de la longitud de un lado y de
la altura relativa de dicho lado.
Para cualquiera de los tres casos se cumple lo siguiente:
' ~ T- T''TTTT' ' --.frAÍ " "O
- rvv-'"
De forma práctica se dice que el área se calcula
como base por altura sobre dos.
J i i 11 i iíiá ’■
____i______— — —
Ejemplos
(8 m)(3 m) (4 m X S m ) a = (3m M 6m )
------2 2 2
A = 12 m2
A= 10 m2
Ih=9 m2
La agrimensura
Antiguamente era la rama de
la topografía destinada a la de­
limitación de superficies, a la
medición de áreas y a la recti­
ficación de límites. En la actua­
lidad, la comunidad científica
internacional reconoce que es
una disciplina autónoma.

458. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
el territorio
Nuestro territorio es conside­
rado el tercero en extensión a
nivel de Sudamérica, después
de Brasil y Argentina, con una: r
extensión (área de su superficie)
de l 285 215,6 km2 y un períme-
tro Ha 10 1^3 Um
I » j f
:
Dito curioso:
. i z m _ ta y í i ñ ' J i, . . ; t r w — ^ a _ m * — œ w . ..
v/Qv v \'V’i \l[[¿ í¿/^z)
Video: Áreas y perímetro de
cuerpos y figuras planas
Este video es de corte teórico,
i donde se explica en qué consis­
te calcular el área de una región,
http s://w w w .yo u tu b e.co m /
watch?v=naP1k08Dvhk.
W '
3.2. Fórm ula trig o no m étrica
El área es igual al sem iproducto de dos de sus lados m ultiplica­
do por el seno del ángulo form ado por dichos lados.
¿k = -
aósenO
9 |
Ejemplos
3.3. Fórm ula de Herón
El .área es igual a la raíz cuadrada de los productos del sem ipe­
rimetro, con las diferencias de dicho sem iperim etro con cada
uno de los lados.

459. Ejemplo
4 + 6 + 8
P = — -— = 9
■& = r/9 (9 -4 )(9 -6 )(9 -8 )
A = V9(5)(B)(Í)
A = 3>/¡5
3.4. Teo rem as adicionales '
3.4.1. Área en función del inradio
Sea R el circunradio del triángulo.
Se cumple
donde
- R\ circunradio del
A ABC
Triángulo equilátero
¡. Para calcular el área de una re­
gión triangular equilátera solo
es necesario conocer, la longitud
de su lado.
i Se cumple
E jem p lo
Hallamos el área de la región
equilátera.
Sabemos que
4
Como C=3

460. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Ap l i c a c i ó n 7
Calcule el área de la región sombreada.
Ap l ic a c ió n 2
Calcule el área de la región sombreada. Consi-

461. Cap ítulo 12
Ejemplo
4 + 6 + 8 „
P = — -— = 9
A = V 9 (9 - 4 )( 9 - 6 ) (9 - 8 )
A = V9(5)(3)(1)
A = 3n/Í5
3 ,4 . T eo re m as adicionales
3.4.1. Á rea en función de! inradio
A * Apr~P:r
donde,
- r. inradio del ¿\ABC
- p: semiperímetro
del M B C
3.4.2. Área en función dei circdnradió,.
Sea R el circunradio del triángulo.
Se cumple
_ ooc
^ ABC -
donde
- R: circunradio del
A ABC

462. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
Aplic a c ió n 7
Calcule el área de la región sombreada.
Reso lu c ió n
Nos piden
Notamos que se conoce un lado de la región
sombreada, el cual puede ser nuestra base.
Faltaría hallar la altura relativa a ese lado.
Por teorema de la bisectriz
_> BR=BD
BR =3
altura
Luego, por fórmula básica
(8)(3)
Aplicación 2
Calcule el área de la región sombreada. Consi­
dere que T es punto de tangencia.
Reso lu ció n
Nos piden lhAATB-
Como tenemos un ángulo de 37°, podemos
aplicar la fórmula trigonométrica, solo faltaría
el lado A L
'V ( 4 " T ?
Tenemos un
ángulo conocido
Por el teorema de la tangente
(AT)2=(4)(9)
(AT)2=36 -> AT=6
♦
"-lacio íaltani»
Por fórmula trigonométrica
(6)(4)
• :sen37°
A/ABC
AáABC"12
19 ' 3'< 36
_12-i

463. 4. R ELA C IÓ N DE Á REA S DE R EG IO N ES TR IA N G U LA R ES
Es la com paración de las áreas de dos regiones triangulares
m ediante un cociente.
4.1. T eo re m a general
En toda región triangular, una ceviana interior determina re­
giones triangulares cuyas áreas son proporcionales a los seg­
m entos parciales determ inados por dicha ceviana.
B
Regiones equivalentes
Son aquellas regiones que sin
tener la misma forma presentan
áreas iguales.
Si la región 1 es equivalente a la
región 2
• v ". / \
entonces
Caso particular

464. COLECCIÓN ESENCIAL
Aplicación 3
Del gráfico, calcule IB.
Resolución
Por teorem a
9 3 ó
IB 4/
m=
9.4
B = 1 2
Aplicación 4
M
%
Lumbreras Editores
Calcule el área de la región triangular to tal
Paso 2
Por relación de áreas
/ /VA
/ W
\ b
\
\
.
r \ ü
V . - ;
A
ACM~Ú
^ to ta l
Aplicación 5
Calcule el área de (a región triangular total
\
\
x \
Re s o l u c i ó n V
La idea es completar todos los espacios en
blanco y luego sumar las áreas.
Paso 1
Por relación de áreas
cMN~^rANC ^
z
Re s o l u c i ó n
Completamos los espacios en blanco.
Paso 1
Por relación de áreas
/
¡1 M ' A
& ,CMN ~ BMN ^

465. Am o r a s o f ì a
Paso 2
Por relación de áreas
B
I k
I k
fsABM_ _ k
A MBC
^ A ABM~3
Ap l i c a c i ó n 6
Calcule el área de la región triangular total.; -
RESOLUCION
Paso 1
Formamos triángulos para completar sus áreas.
Paso 2
Calculemos el área de los espacios en blanco.
Paso 3
Calculemos el área del último espacio en
blanco.
r /\
h / \
/ 7
' A
V
(B)
...
••• A , o , a r16
4.2. Otros teoremas
a.
A
IB
Casos particulares

466. b. Si G es baricentro, tenemos
fm p r t s n t e
En un cuadrilátero no convexo
c. Si 0 es ángulo en común
d. Si los triángulos son semejantes.
entonces
entonces
5. ÁREAS DE R^pJÓH^S CUADRANGULARS.S
El área de una región limitada por un cuadrilátero se puede
calcular de varias formas. Existen formas particulares (para cua­
driláteros específicos) y otras generales (para cualquier cuadri­
látero).
5.1. Para cualquier cuadrilátero
5.1.1. Por la suma de áreas triangulares
• .• /. O&toXftirfofiO ■
En Lima existen manzanas que J
tienen formas triangulares, tra­
peciales, rectangulares, penta­
gonales, siendo las más comu­
nes las regiones rectangulares
por una cuestión de orden.
• .r.i WVCüSCBWt l
; t jvú- Á'; % ,
, ¥< /?>*,;' ' yi ' í , t r
x'Á • ,y' v. 7 *é
: .+ ,
,.t 1•>:: • -v
1
1 B '/l ^
^ .V
*
_ J2.

467. Capítulo 12
Áreas de reglones planas
Ap l i c a c i ó n 7
Calcule el área de la región cuadrangular.
Resolución
O bservam os que
1+^2
Por fórm ula básica
Ik-1 ^ = 4 &
2— ';""
Ik =24 + 4^24
5.1.2. Por fórm ula general
El área de una región cuadrangular cualquie­
ra es igual al semiproducto de las diagonales
por el seno del ángulo determinado por dichas
diagonales.
wj v////77/////T77r^
, . . .... , ,,
Para el ángulo entre las dia-
\ u m \ \ U n ií/ J e
gonales se puede utilizar
cualquiera'de ios cuatro án­
gulos formados, dado que
se cumple lo siguiente:
senG=sen«
Ejemplos
1. Hallamos A n.
A 0 =í51M sen45°
2&; 1=15 •;
'J 2 \
2 /
Ik -
15>/2
2. Hallamos Ik v
Ik \=
Ikt \=12-sen90° ->
469

468. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
i Es una medida de superficie
; que se utiliza para medir gran-
• des superficies como campos,
\ fincas, bosques y demás exten­
siones de terrenos naturales,
i Equivale a 10 000 m2; es decir,
i una región cuadrada de 100 m
de lado. Para darnos una idea,
es un poco más grande que una
cancha de fútbol.
5.2. Para trap ecio s
El área es igual a la sem isum a de las bases multiplicada con la
altura.
Si a y b son las bases y h es la altura
Ejemplo
r "
------
i „ ( 8 + 2
..... Aq= 5
I '
■ l 2 J
| A 0 =(5)(5) |
—//——
Ik... =25 %* : ,
a . .,J:; ,/ '
—?
Resolución
Nos piden JAl

469. Notamos que
Ac = (S)(2>/3)
• /A //= 10v/3
A 0 =(6)(5) A ^ = (4 )(3 )
A/27=30 v ' ;• A - 7=12
Aplicación 9 M ,.„C
Calcule el área dé la región paralelográmica.
Colocación de mayólica
Cuando uno desea
mayólicas; por ejemplo, en el
piso, es necesario calcular antes
cuántos metros cuadrados tiene
el área de la superficie del piso y
respecto a ese dato se calcula el
número de mayólicas a utilizar.
5.3. Para p aralelo g ram o s
El área de toda región paralelográmica es igual al producto de
la longitud de un lado con la altura relativa a dicho lado.
Se cumple
Ejemplos

470. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
______________________________________________________________i_______________________1 ______________
Aplicación W i 5.4.2. Región rectan g u lar

471. Por el teorema 1
se cumple que
(H)(6) = (3)(4)
(H)(6)=12
H=12
Por el teorema 2
se cumple que
total
14=A.total
b b
Luego, notarnos
<E+(E+ID+ID=2A.
2C+2ID = A
total
total
2 (C i I D ) - A
total
IB = A ,
’total
JB =
total
6. R ELA C IÓ N DE Á R EA S DE R EG IO N ES C U A D R A N G U LA R ES
6.1. Para todo cu ad rilátero
Teorema 1 . Teorema 2
Se cumple Se cumple
*
Ay-' %
% Æ/W ,0-r ■ t
%rV É
\ /
1. Calculam os X .
Ejemplos
2. Calculamos el área de la
región total.
En todo cuadrilátero
se cum ple "i
'
---------
Demostración
1 A,JS¿
Formando triángulos tenemos que
IB=(E+ID.
473

472. COLECCIÓN ESENCIAL
-
Lumbreras Editores
6.2. Para todo trap ecio
Teo rem a
A este teorem a se le conoce como la propie­
dad del traslado.
Si AB//CD
A B
entonces
[ A = iB j
Las áreas de las regiones adyacentes a los
Aplicación 11
Si BC//AD y CD-DR, calcule IB.
Resolución
Paso 1
Aplicamos el teorema en el trapecio ABCD.
Paso 2
Por ¡a relación de áreas en el L ACR, tenemos
IB—10.
Aplicación 12
Si BC//AD, calcule ID.
B
A
u
n

473. Re s o l u c i ó n
Aplicam os el teorem a (de 6.2) en el trapecio
ABCD.
Por el teorem a 1 (de 6.1), en todo cuadrilátero,
con respecto a las diagonales, se cumple que
(ID) (ID)=(4) (9)
ID2=36
E) = V36 1
ID=6
6.3 . Para todo paraielogram o
T e o re m a 1
Si c u ABCD es un paraielogramo
B C \ V
entonces( IB - C ]
Ejemplo
Teo rem a 2
Si C J ABCD es un paraielogram o
entonces
! JAy IA-- LA. Ik.
l
____;_______
Ejemplo
Re s o l u c i ó n
Paso 1
Formamos triángulos.
□

474. Paso 2
En el rectángulo aplicamos el teorema 1.
P
------------------j e
Luego, el ^ ^ ,= 8 + 8 .
^tota r 16
Ap l i c a c i ó n 74
Si LJA B C D es un paralelogramo, calcule el
1K
•CJABCD-
C
Re s o l u c i ó n
Paso 1
Form am os triángulos y aplicamos relación de
áreas en el A ACE.
B c
Paso 2
En el paralelogramo ABCD, aplicamos el teo­
rema 1.
Luego se observa que
^■cjabcd~^+6
'• ^ C 7A B C D ~ I?
Teorem a 3
Si P es un punto cualquiera de BC
VA , JA...
entonces I IB - --r—
además IB IM-. A
Ap l i c a c i ó n 15
Si ABCD es un paralelogramo, calcule ID.
B C
Re s o l u c i ó n
Por el teorema 3, debe cumplirse
7=2+ID
5=ID

475. Capítulo 12
Áreas de regiones planas
Aplicación 16
Si ABCD es un paralelogramo, calcule IB.
Resolución
Por el teorema 3, debe cumplirse
B = 5 + 3
.\ IB =8
Teorem a 4 i
Si P es punto interior
C
entonces
P A R IS^
AMOR A SOFÍA
Re s o l u c i ó n
Por teorema 4
/] | 5 _ ^rjABCD
2
^LaABCD~^u¿
Ap l i c a c i ó n 17
Si ABCD es un paralelogramo, calcule su área.
7. AREAS DE REGIONES CIRCULARES
•7.1. Círculo
Es aquella región plana limitada por una cir­
cunferencia. Podemos calcular su área y su
perímetro.
Área
JA q—7l H
Perímetro (2p)
C~ T ~ ]
\ ¿t \ o r 2” * j
donde
- R es el radio.
- 71=3,1416
Ejemplos
A 0=tü(6)¿
Jk0=36n
A 0=7r(4)‘
2A.0=167i
A D
El perímetro del círculo es la longitud de su
contorno o borde.

476. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
7.2. Secto r circu lar
Es aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y
su arco correspondiente.
Se cumple
Ejemplos
1. Hallamos el Jk ,A0B.
AOB
tíR2 -a
360°
Como
R- 3 y a - 50°
-°A0B - } .U °
^OAOB ~ gg AOB 4
2. Hallamos el Jh<OMON.
í •: : I . i
Dato curioso
Sistema de riego con pivote
en el centro
El sistema de riego realiza un mo­
vimiento circular alrededor de un
.punto central llamado pivote. Se
puede utilizar tanto para regar
como para distribuir fertilizantes
y herbicidas. Para algunos ha sido
uno de los cambios más signifi­
cativos en la agricultura desde la
aparición del tractor. '

477. Capítulo 12
Áreas de regiones planas
Com o
R=2 y a=120°
entonces
m
ux<MON
m‘<MON
h(2)2 -12^°
3,6$°
7t(4)(12)
36
i Re s o l u c i ó n
: jtd2
i Nos piden IAqs=
-----.
: 4
Ik
<MON
4ti
T
j Aplicamos el teorema de Pitágoras.
* 2 2
R2 + '13 = yfs -> r2 + 3=5
j triangular formada.

478. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores r-j|
Aplicación 19
Halle el área del segmento circular.
B
7.4. Corona circular
Es aquella porción de círculo limitada por dos
circunferencias concéntricas. También es lla­
mada anillo circular.
Resolución
Nos piden A ^ A ^aob- ^aaob-
Su área se calcula como el área del círculo
mayor menos el área del círculo menor.
Luego
nR2a R2sena
360° 2
T r a z a m o s CM y OB
p a ra fo rm a r el s e c t o f ^ -
c irc u la r AOB.
%
S s
%
Ejemplo
'-■%T
Hallemos
A if)-7 i4 2-7t32
A @=167i- 9tc
2A@=7tc
•^ •© m a y o r " ^ o m e n o r
- T ir "
Otra forma
fl32(53°) 32sen53°
A D“ 360° 2
7 i9 (5 3 °)_ 9 |V |
360° 2U J
7ü53 18
40 ~ 5
Si Tes punto de tangencia

479. Capítulo 12
Ejemplos
1. Hallemos el Ik
&©=n{7)2
A @=49ti
2. Hallemos el Ik
A@=7c(9r
2A.@=81rc
7,5. Trapecio circular
Es una porción de corona circular
Se calcula por diferencia de áreas
Ejemplo
Hallemos el Ik ,
Ik<3-Jk^AOB ^ COD
tx(3)2 - 60 0 ti(2)2 - jSO 0
7ü(3)" 71(2)
•• A < > ~ 6
Terrazas circulares de Moray
Moray (Cusco-Perú) es un gran complejo ar­
queológico conformado por admirables siste­
mas de andenerías y de enormes terrazas que
se superponen concéntricamente formando un
gigantesco anfiteatro.
Esta figura nos da la

480. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
El tangram
Es un juego chino muy antiguo llamado Chi Chiao Pan, que significa Tabla de sabiduría’. Consiste en for­
mar siluetas de figuras con las siete piezas dadas sin superponerse. Lo interesante de esto es que de todas
las figuras que se pueden formar con estas piezas (gato, halcón, casa, conejo, números, etc), todas tienen
la misma área. Averigua por qué.

481. Capítulo 12
Areas de reglones planas
ÁREAS DE REGIONES PLANAS
(
JlH
r
Regiones triangulares
Fórmula básica
Regiones cuadrangulares
h
X
Fórmula general
(para todo cuadrilátero)
Fórmula trigonométrica
/ X
° y
\
A _ (^-|)(^2)sen9
Para trapecios
_ a b „
I h = — sene
Teorema de Herón
h a + b + c
u p =-------
p 2 .
I h p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )
L
t □
Para paralelogramos
'•iX
- e r f
I
Relación de áreas
V
B C
n
h
□
A =(«(/!)
r
— i—
_ L _
m
f IB _ ni
<E~ n
. i
Relaciones de áreas
* En trapecios
B=<C
En paralelogramos
Regiones circulares
Círculo
! f r -
........."Y
R
Sector circular
O
iA. -
R
nRz -d
360°
Segmento circular
Vv
*
e
o
\
R
I h - I h - I h
Corona circular

482. Problem a N.° 1 Problema N/ 2
En el gráfico, 4C=14 y BD=10. Halle el área de
la región ABC en u2.
B
En el gráfico, AB=AC; BC=6y AD=B. Calcule el
área de la región ACD en u2

483. Capítulo 12
En el < P A D , por teorema de la bisectriz
CP=CQ=3
Se obtiene
8(3)
A
A ACD
A
A/ACD
2
= 12 u2
C lave
r
i inni i wim— mi 'v - A
Del gráfico se obtienen congruentes.
□ O □
Problema N.‘ 3
En el gráfico, AB=BC y BD= 8 m. Calcule el área
de la región sombreada en m2.
A) 16
D) 36
B) 24 C) 32
E) 40
R e s o lu c ió n
Nos piden I k ¿ ABD.
Para calcular el área falta la altura.
A
K
i V
v
■
\
\
□
k AEB = BDC (caso A-L-A)
-> AE=BD= 8
Calculamos el JA
ABD-
Jk
8(8)
ABD~'
a m
■ ABD
Clave
n I, f
P rrihíGínema í
En el gráfico, PH=2 cm. Calcule el área de la
región triangular equilátera ABC en cm2.
P
/> -
□
A) 25>/3 B) 25
D) 50V2
C) soS
E) 25>/2

484. Resolución
Nos piden Ik ABC.
Nos piden §.
Calculamos el semiperimetro de la región
triangular.
10 + 21 + 17
p = — r -
-> p =24
NO O LVID E , /
37° ? 53° Jm
18,5°= — y 26,5°= —
37° 143°
En el ^ de AHP — y - y
AH=6
53° 127°
En el ^ de C H P — y 2
HC=4
Por la fórmula de Herón
§ = 7 ¡4 (2 4 -1 0 )(2 4 -1 7 )(2 4 -2 Í)
. . ,.v
§ = >/24(l4)(7)(3)
*--V—1 ^
§=84 cm2
Clave
Se obtiene
io27i
Cíove
Problema N 5
H rQ P W 1" *
___________-—- —
Halle el área de una región triangular cuyos
lados miden 10 cm, 17 cm y 21 cm.
A) 80 cm2
D) 83 cm2
B) 81 cm2
C) 82 cm2
E) 84 cm2
Problema M. 5
____________— ------—•
Calcule el área de la región sombreada si
Afí=10 u; fíC=12 u; >AC=14 u y AD=2(CD).

485. Capítulo t2
Resolución
Nos piden Ik.
Por relación de áreas
^ A A B D 2 m
^■ADBC m
^ A A B D 2 A B D f ^ J k
— = — —»
A
A D B C 1 ^ A D B C ~ ^
Por fórmula de Herón
Calculamos el semiperimetro.
10+ 12+ 14
Pa a b c~ 2
Pa a b c~18
Luego
3 A = V l8 (18 -10) (18 -12) (18 -14)
3 A = > /l8 (8 )(6 )(4 )
Áreas de reglones planas
3A=72-3-32-82
8)76
A =8 \/6 u2
Clave
Problema 7 __
_______
Halle el área de la región triangular (en u2)
cuyo perímetro e ¡nradio miden 24 y 4, res­
pectivamente.
A) 46
D) 49
B) 47 C) 48
E) 50
¡Respipcifisí ' <>,
Nos piden
Dato:
2Pa a b c=2^
Pa a b c^ 2
Sabemos que
^a a b c~Pa a b c ^
■^a¿bc=12‘4
^-a a b c~ ^ u
C l a v e
487

486. COLECCIÓN ESENCIAL
‘
Problema N/ B
Calcule el área de la región sombreada si
3{AB)=2{BQ y AC=5; además, D es punto de
tangencia.
B
A) 3 u¿
D) 6 u 2
B) 4 u¿ C) 5 u2
E) 8 u2
Resolución
Nos piden A aAPC. J
| Observación ":%W f ¡
Para calcular el área pedida, bastaría |
| hallar las longitudes de AD y DC.
Por teorema de la bisectriz interior
B
A D _2 k_
DC ~ 3k
AD _ 2 AD = 2m
D C ~ 3 DC=3m
Se obtiene AD-2 y DC=3.
Calculamos el 2A ¿pc.
.
----H
o :
Problema N.' 9
Clave
En el gráfico, AD=2(DC); BE=EDylkSABD='\2 u¿
Calcule el A EDC
A) 2 u¿
D) 5 u2

487. Capítulo 12
Área
i'B M í
Resolución
Nos piden X.
e
a a
Del gráfico, se obtiene
4X=12
/. X = 3 u2
Clave
Problema N.* 10
A
En el gráfico, 2(4£)=3(CD). Halle — (A y IB son
IB
áreas de las regiones sombreadas)..
4
Resolución
Nos piden — .
IB
Dato: 2{AB)=3(CD)
M
-"N
V
/ ■ ra
D
Por razón de áreas de triángulos semejantes
se tiene
—>
ABP - Á C D P
A -Tir.. »>.
A-;
A)
3
4
«5
A)60 cm2 B) 62 cm2
D)3
E) 5 D)64 cm2
B (2kf
A _ 9
B _ 4
Clave
Problema 11
_____________________
Dado un triángulo ASC, se toma sobre BC un
BC
segmento BD = — y se traza AD; sobre AD se
toma DE = — . Si el área del triángulo AEC es
4
36 cm2, halle el área de la región triangular
ABC.
E) 72 cm

488. Resolución
Nos piden Ik ABC
B
\
Problema N.* 12
Si 2(BP)=3(AP);CQ=3(BQ) y 3A=2B=12 u2,
calcule X. Considere que ^ ByK son áreas
de las regiones sombreadas.
P i
A
f 1: A) 6 u2 B) 8 li2
I * S ~ 1 2 % r -
ir relación de áreas de regiones triangu- D) 14 u | »
•es \ X j f l F ./ I
EDC0
36 3a
BEDb
12 3b
^ A ABE3a
4 a
-» A A « = 12cm2
ente, se obtiene
^ 3 6 + 1 2 + 4 + 1 2
A B C=6 4 cm 2
Clave
; 1^' '^
j f
; : Nos piden X.
\
\ °
3C
O
u
x
Dato: 3ZA.=2IB=12 u2
—> iA=4 u2 y IB=6 u2
C) 12 u¿
E) 16 u2
V

489. Por razón de áreas de regiones triangulares
3c _ ?
4 ~ 2 c SMP~^U
A
A B M Q 0 _ „ ?
6 “ 3 0 ^ Aa6MQ“ 2u
X = 6 + 2 = 8 u¿
; C/aue
Sabemos
Ik
30(40)
n.ABCD
sen30°
&r~\ABCD '
fAWm
íuJ
Clave
Problem a N.° 13
A) 150 B) 200 C) 250
D) 300 E) 350
Resolución
Nos piden ^c^abcd-
Problema HA 14
___ ____________________
En un triángulo ABC, se trazan las alturas AP
y CQ, las cuales se intersecan en M; además,
(AC){BM)=42. Halle el área de la región ABCM
en u2.
A) 19 V r CjB)' 20 C) 21
D) 22 C t E) 23
Resolttrción
Nos piden & ABCM.
Dato: ab-A2
B
Observación
En todo triángulo, las tres alturas concurren
en un solo punto, entonces BH es altura.
491

490. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Sabemos
JA
^ABCM - 2
JA - —
^ABCM~ 2
'*• ^ABCM~^ y2
Clave
Pro blem a M.° IB
__________________ ________
En el gráfico, calcule el área de la región som­
breada si mOA=27° y mfíP=18°.
Por ángulo central
m< O P A - 2 1 °
m<50P=18°
Se obtiene
1A
JA
JA
R -R
OABP
2
- r± A
OABP 2 2
_ R 24 Ï
OABP ~ a
sen45°
------- ¿ÉS
/ , W
v I / WM
\s„ m,
\ / ■ 1
V W'
° {
■ *
1
A) £ B) ^
2 4
C) 12:
„ « • /
E) \ 2
Resolución
Nos piden JA \qabp•
Clave
■ W- " ■ %, • •
?
/ : En ei: interior dé un rectángulo ABCD, se ubica
el punto-R y en el lado AD se ubica el pun-
^ / 4 ; to M, tal que el triángulo MPD es equilátero.
,#% Halle el área de la región cuadrangular BDCP si
1 % í 3(AM)=4(MD)=24 m.
Ï '
A) 20 m2 B) 20V Ì m2 C) 21
: D) 21\/3 m2 E) 23 m‘
Resolución
Nos piden JA\í¡bdcp.

491. Dato: Para calcular el área del trapecio ABNM nos
faltan las longitudes de las bases.
3(/4M) = 4(MD) = 24
24 24
Se observa que o + 6=12.
-> AM=8 y MD=6
1 Luego
i „ ( a + b \ ?
m L: A B N M ~ y 2 J
Del gráfico, se obtiene
^ \ \ B D C P ~ 2 sen^
(12)(12)
A C A A B N M 2
Ih
14(6) S
’ 2
•>\BDCP~ 2
BDCP = 2lV^ m
/: C lave [
M ...*••***
2
f | |
. IIKjIf -v. "
,rv t
%
cm, :v ' «*■>.
\
\- *
---J
A) 100 u‘
D) 50 u2
B) 72 u¿
¡-2fi
C) s60 p
E) 45V
Resolución
Nos piden I h ^ ABNM-
^ A B N M ~ 7 2 u
Clave
P ra b le n r^ ìL “ ?G
'1
Problema M/ V i
__
Dado el cuadrado ABCD, en ¡l^ o n g a c f d n
de AD se ubica el punto M y en CD el punto
L tal que DMNL es un cuadrado y AM=12 u. j
Halle el área de la región c u a d ra n g la r‘
Calcule ei área de un trapecio rectángulo cu­
yas bases miden 4 y 13, sabiendo que una dia­
gonal es perpendicular a un lado.
.2
A)í; 42-vU
D) 36 u2
B) 51 u‘ C) 64 u‘
E) 60 u¡
Resolución
Nos piden Ih h ABCD-
B 4 C
Para hallar el área del trapecio tan solo nos
falta la altura.

492. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
m
Calculamos la altura CH.
C
Por relaciones métricas del triángulo rectángulo
B
CH2=4(9)
CH= 6
fc^ A B C D ^ 7^ I
i A ^ eCD=51 u I
; Clave i\ j
\ Resolución .
: Nos piden §.
Para calcular el área del romboide nos falta su
altura.
En el t^AHB de 37“ y 53“, AH=6 y BH=8.
^BHC: base media
8- „
-» M N= -= 4
r0b l e m a N :j 9 — _
-------------7- ~ = = T~
■ oí qráfico, M es punto medio de BC y
j=10. Calcule el área de la región romboidal
embreada en u .
Se obtiene
§=6(4)
§=24
; Clave

493. Capitulo 12
- / \ ; '■‘X- . •
Problema N.' 2D
En el gráfico, / es incentro del triángulo ABC.
SI AB=8 y BC=15, halle el área del rectángulo
ACMN.
A) 49 u2
B) 50 u2
C) 51 u2
D) 52 u2
E) 54 u2
Resolución
M
En el ABC, por teorema de Pitágoras
AC 2=82+152
A C=17
Para calcular el área del rectángulo, faltaría ha­
llar su otro lado, el cual tiene la misma longitud
que el inradio del L ABC.
En el ABC, por el teorema de Poncelet
8+ 15=17 + 2r
r= 3
C = M = 6

494. COLECCIÓN ESENCIAL
■*,{ V :
Lumbreras Editores
r a n a

495. Capítulo t2 Áreas de regiones planas
Tomaremos el valor positivo para hallar la dia­
gonal, cuyo valor es 2.
Luego r
; Clave
En b^AOD, por relaciones métricas
0^ = 4(1)
0 P=2
Luego
o a b c d=^(4)
^O ABCD= 2 0 U
Clave
Problema N.°
______________ __
Calcule el área de la región rombal sombreada
si O es su centro y AP=4{PD)-4.
Nos piden lkoABCD••
Problema ______________________________
En el gráfico, los polígonos que están inscritos
en el círculo son regulares. Calcule el área de la
región sombreada en u2.
A) 167I-V3 + 1
B) I671 + V3 — 1
C) I6H + 2V3-1
D) 167I-V3-1
E) 167C — 3 V3

496. v
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores :
Se obtiene
^ R S ~ ^círculo ^cuadrado — ^¿¡.equilátero
A fis =7I4 2 -1 2 -
22S
lk RS = 16JT-1-Vi
Ar s=16j i->/3-1
‘i Clave
Problema N/ 26
_________
En el gráfico, halle la razón de áreas de las re­
giones sombreadas. /
Por el área del sector circular
120°
J k _ ^
IB 100°
—>
2 5
B " X ' i
1 3
A = 10
m ~ 3
0
Clave
Problema N.” 2"
En el gráfico, P ,Q y Tson puntos de tangencia.
Si AP=9 y £?Q=4, calcule el área de la región
sombreada.
A) 5tiu
D) l W
B) 7n u‘ C) 9nu¿
E) 1371
Resolución
. . A
Nos piden — .
Resolución
Nos piden Ik ^

497. Áreas de regiones p
En el ^AOB, por relaciones métricas
(O I)2=9(4)
or=6
Resolución
Nos piden Jk .
<< XX><XKKK>0<>X><XX.' O O C K X 'OOO OO OC
NO OLVIDE
■ $
i
1 .
i
i
\
J
» , 4
' R
»OOOOíX>0O0OX<
Luego
ti62
A =9ti O
Lj
, , ;r / \
i Clave
0 " /
^■4
, %
,*'"4
Problema N/ 28
________________________0 ^ -
En el gráfico, R= 2 .Calcule el área de la región
sombreada en u .
O < 4 5 °
'• 'v »
2 ^ - L
O
; ;
Calculamos el área del segmento circular.
a o b~ ^ aob
A = ^ 5 ! .7X22- M s e n 4 5 0
360° 2
¿ 'ó
Clave
W o b le ^ i¿ 6 ¿ 2 9
______________________________
Calcule (en u2) el área de la región sombreada
si 08=2.
A) f - 2
B)
—-3V2 C) ^ - V 2
u
n ,,
E} — 3
□
A) ^ (4tc-3\/3)
B) — (47c —3-v/3)
4
C) |(3 > /3 -4ti)
D) ^ (A n-3\Í3)
E) ~{An-2y¡3)

498. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Resolución
Nos piden 2A.
Se obtiene
ZA=ZA - JA
sector
AOC
360° ‘ 2
1671
J k =' - A S
ZA. = ^ (4tü - 3 ^ ) u2
Problem a N.’ 30
: Clave •
'•
.............
En el gráfico, el área del círculo es 9n u ,
además AC=8 u y AO=OB. Calcule el área de
la región triangular ABC. Considere que T es
punto de tangencia.
B
A) 16 u
D) 48 u¿
B) 18 u‘
C) 24 u;
E) 96 u2
Resolución
Nos piden Jk ABC.
Dato: ZA =971
—> n r= 9 n —» c=3
Se obtiene
ZA.
_ 8(6)
:¿\ABC 2
V # Q 6c=24 u‘
Clave
Problema N.‘ 31
En el gráfico, T es punto de tangencia y 47=4.
Halle el área de la corona circular en u\
A
A) 4ti
D) 24tt
B) 8ti C) 16ti
E) 36rr

499. Resolución ; Resolución
Sea Ik el área de la corona circular. Sea Ik el área de la corona circular.
I k =n{4Y
I k =16tc u‘
Clave
problema 32
En el gráfico, T es punto de tangencia y 5.
Calcule el área de la corona circular mostrada.
Si T es punto de tangencia, se cumple
AT-TB
^APB: mediana relat. hipotenusa
B
AT=TB=TP= 5
Luego
m=7t(5)2
Ik=2Sn u2
A) 1571 u2
D) 35tc u2
B) 20ti u2
C) 2Sn u2
E) 45tt u2
' C/ave

500. ÍL,f:í: AiVJU^á:'*ír-®?nF''Xi.í
. / • 2
1. Calcule el área de la región triangular som- 4, Calcule el área de la región triangular en u
breada en u2.
i
10
\
0
-----------,
/V
0 / \
^ 0 \\
i /
i / /
i L / l
' : 1
------- i
\
'
_____±*-— n
-------i— —1
\
VB
-----1
A) 36
D) 16
B) 14 C)
E)
25
32
A) 32
D) 40
B) 30 C) 80
E) 60
i 5. Calcule el área
en u2.
de la región triangular ABC

501. Capítulo t2
Áreas de regiones planas
7. Calcule el área de la región equilátera ABC.
A) 16
D) 8>/3
B) 4^3 C) 9V3
E) 13
A) 9
D) 8
B) 6 C) 12
E) "14
9. Calcule el área de la región triangular.
A) 9
D) 3J Ï
B) 6 c) 2V3
E) A S
■ Calcule el área de la región rectangular
ABCD. Considere que O es centro del rec­
tángulo ABCD.
A) 16
D) 24
B) 36 C) 40
E) 12
11. Calcule el área de la región paralelográmica.
A) 18
D) 28
B) 16 C) 10
E) 12
12. Calcule el área de la región trapecial.
3
A) 84
D) 74
B) 72 C) 36
E) 66

502. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
13. Si ABC es un triángulo equilátero, calcule el j 16. Calcule el área de la región rectangular
área de la región sombreada. ; ABCD.

503. J
Capítulo 12 Áreas de regiones planas j
19. Halle el área del sector circular si A B = B C y j 22. Calcule el área de la región sombreada.
R= 6 cm; además, T es punto de tangencia.
A) An
D) 7n
B) 5te C) 6n
E) ,9ji
20. En el gráfico, si 2(AO)=3(AB)=6u, calcule el |
área (en u2) de la coroná circular mostrada. |
16tc u2 B) 18 tt u2 C) 2071 u
A)
D) 24n u"
E) 26ti u"
2 1. Sea el triángulo ABC, inscrito en una cir­
cunferencia de radio 6. Halle el area^del
segmento circular determinado por AC si
m</46C=30°.
A) 67i-9>/3 B) 6t i-7>/3 C) 57t-9V3
D) S K - 7 J1 E) 77t-6>/3
□ ’
12-
A) 96—3te B) 48-971 C) 4 8 - S n
D) 9 6 -9ti E) 4 8 - 6 tc
23. Calcule el área del círculo inscrito en el
k±.ABC si AB=8 y fiC=15.
jjjf $
% ^ /7
, ^ " / / ' V
i ** - íi A
■ v t
¿ A
ff %t
A) 471
D) 25ti
B) 9te C) 16ti
E) 36ti
24. Del gráfico, calcule la suma de áreas de las
regiones sombreadas si mAfí = mfíC.
A) 2n
D) 5 ti
B) 3tt C) 4ti
E) 6ti

504. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores

505. Capítulo t2 Áreas de reglones planas
34. Calcule el área de la región triangular ABC.
/ O
A) 6^2 B) 12 C) 14
D) 8^2 E) 7^3
35 Calcule el área de la región triangular som­
breada.
11
A) 57 B) 43 C) 37
D) 16 E) 53
36. Calcule el área de la región sombreada.
A) 20 B) 16 C) 30
D) 18 E) 15

506. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
37. Si el área de la región sombreada es 5,
calcule el área de la región cuadrangular
ABCD.
40. Si Ty P son puntos de tangencia, calcule el
área del círculo.

507. Capítulo 12
Áreas de regiones planas
43. Calcule el área de la región sombreada.44. Si A B C D es un cuadrado, calcule el área
que limita dicho cuadrado.
B C
\— 4—!---------9
A) 15ti B) 30 ti C) 25(4-71)
D) 9(4-71) E) 15(3-7t)
A) 40 B) 35 C) 38
D) 16 . E) 42
Claves
1 D 7 D 13 A 19 f. ;25 B 31 B 37 0
2 .A 8 A 14 0 20 A •
<
26 E 32 C 38 A
3 9 A 15 c 21 a :
«
27 33 A 39 D
4 P 10 P 16 B 22 o :28 A 34 D 40 A
5í c 11 A 17 f 23 B !
„
29 Si35 C 41 D
6 0 12 l'18 D 24 n j30 D 36 D 42 £

508. ¿ ’ ■ • ^ ■$
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509. 0
:
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P. • r ‘-
v? .{*•'>•
N.>
Porque permite trabajar y orientarse correctamente en cual-
, r • . V■ ■
■ ■
En la actualidad, una de las herram ientas más utilizadas por
el hom bre es el sistema de posicionam iento global (GPS, por
sus siglas en inglés), que se basa en la localización de algún
lugar en el planeta según sus coordenadas. Un ejem plo coti­
diano es la utilidad que podem os encontrar para un taxista,
que en m uchas ocasiones cuenta con los dispositivos que
tiene el GPS instalado y así puede ayudarse durante el tra­
yecto de su vehículo. En el presente capítulo, estudiarem os
el sistema de coordenadas rectangulares (plano cartesiano).
Aprendizajes espsra&j5
P A R I S H
AMOR A SO FÍA
Interpretar correctam ente las coordenadas de un punto
para poder ubicarlo en el plano cartesiano.
Manejar los métodos básicos para hallar las coordenadas
de un punto según sus características.
• Calcular adecuadamente distancias entre puntos del pla­
no cartesiano.
■ Hallar la ecuación de la recta tomando en cuenta a un punto
de ella y a su pendiente.
¿Pos' CjüG es si;cu:;c: , •: ... c ..v.
quier sistema de referencia que utilice coordenadas, como
pueden ser los sistemas de coordenadas polares, cilindricas o
esféricas, que son estudios de nivel universitario.
En la ingeniería civil, su aplicación se da con la finalidad de
conseguir estructuras funcionales que resulten adecuadas
desde el punto de vista de la resistencia de materiales.
.

510. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
___________________________________________________________________________i_______________________________
f
René Descartes
Fue un notable filósofo, científico
y matemático francés. Es consi­
derado el padre de la geometría
analítica y de la filosofía moderna.
En honor a él es que el plano se ;
llama cartesiano.
Dato curioso
La brújula
un instrumento que permite
orientarnos sobre nuestra posi­
ción usando los puntos cardina­
les. Actualmente existen aplica­
ciones de brújula en los celulares.
Geometría analítica
1. C O N C EPTO
Es la combinación de la geometría con el álgebra. Estudia las
figuras geométricas en un sistema de coordenadas que está
dado por el plano cartesiano, en donde a una figura se le asig­
na una ecuación y viceversa.
2. R EC TA N U M ÉR IC A
Es aquella recta en que a cada punto se le asigna un número
real, como muestra el siguiente gráfico:
O
• ~3 I5" -2 --1 0 1 4 2 3
2 ' 3
donde O es el origen de coordenadas de la recta.
3. PLAN O 'C A R T E A NÚ
Es el plano determinado por dos rectas numéricas que se
cortan perpendicularmente.
A la recta horizontal se le llama eje de las abscisas o simple­
mente eje X, a la recta vertical se le llama eje de las ordenadas
o simplemente eje Y.

511. r
3
2 I
i -
*■—-eje de
ordenadas
[0
r * 3 - 2 - 1 / v
1 2 3. \ - >
/ - I \
origen de x eje d(
coordenadas --2 abso
• - 3
i
:>.1. C o o rd en ad as de un punto en el plano cartesiano
En un plano cartesiano existen infinitos puntos. Cada punto tie­
ne un par de núm eros que nos indica su ubicación en el plano.
A ese par de núm eros se le llama par ordenado o simplemente
coordenadas del punto.
Ca
b
•AA- ' i— •— ¿¡bsci 0 d/'! atC i-
| :: i— ordeflad&de! punto P
» T
- Pía, b) ; v .f..
! .
< ■'
of X
N otación
P(a; b) o también P=(o; b)
Se lee: “Punto P de abscisa a y ordenada b”
Ob**rvadón
Dada las coordenadas de up pupto, si |a abscisa es up pú-
mero positivo quiere decir que el pupto está por la parte
derecha del eje X; casa contrario estará a la izquierda. De
igual manera, si la ordenada es up numero positivo, e| punto
estará por la parte de arriba del eje Y; caso contraria estará
por debajo,
P ía \ ):
V-C-'
Los ejes coordenados determi­
nan en el plano cuatro regiones
llamadas cuadrantes.
Y)
_ : í-t-pimcio
' ■ eiaiiitiH i»
. • t'IC; , i r
trrrrr a i o i í c .
'C u a d r il* *( U.WM1;V
' '(WO IÑQ
3

512. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
y . .
____________________
3.2. Pasos para ubicar un punto en el plano cartesiano
1. Ubicarnos en el origen de las coordenadas.
2. Desplazarnos sobre el eje X a la izquierda o derecha según
las unidades y signo de la abscisa.
3. Desplazarnos hacia arriba o abajo pero paralelos al eje Y,
según las unidades y signo de la ordenada.
Ejemplo
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano.
* A{-4; 2)
Como la abscisa es -4 , avanzamos 4 unidades a la izquier­
da sobre el eje X.
Luego, como la ordenada es +2, avanzamos 2 unidades
para arriba.
0 Í-4 É 2 )
•- ' - ¿
--------i.. - -
I ¿j? - '•
Zunidades
v0-,V;' .; :C
J
-4 * ' ' . ' X
'V'^ünidaclSs.
B{- 5;-3) !
Como la abscisa es -5, avanzamos 5 unidades a la izquier­
da sobre el eje X. Corno la ordenada es -3, avanzamos 3
unidades para abajo.
—►
X
cr

513. C(5; -4)
Como la abscisa es +5, avanzamos 5 unidades a la derecha
sobre el eje X. Como la ordenada es -4 , avanzamos 4 uni­
dades para abajo.
S unidades
4 unidades
C(5; -4j
''
La distancia de un punto a otro
siempre es positiva.
0(4; 0)
Com o la abscisa es +4, avanzamos 4 unidades a la derecha
sobre el eje X. Como la ordenada es O, no avanzamos nada
y ubicamos al punto donde quedó.
S unidades
i ! en el ori9en de
Y
E (0; 5)
x .C r ’r.r 3
coordenadas
.\\ \\ \\j ¡ s//////
\ \ V \ V j i S i i V !'/M
S ■ h i 1 :
XV] i I i I i 11\! j
xi¡ |!j|i|j|
; ... Jafo
fc- v ** / — /
Como la abscisa es O no avanzamos nada sobre el eje X.
Como la ordenada es +5, avanzamos 5 unidades para arri­
ba sobre el eje Y.

514. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
4. D ISTA N C IA EN TRE DOS PUN TO S i
Para calcular la distancia entre dos puntos del j
plano cartesiano, es necesario conocer sus co- j
ordenadas, luego aplicaremos lo siguiente:
donde c/(P; Q): distancia entre los puntos P y Q.
Ejemplo \ /
Calculemos la distancia entre puntos en cada
caso.
• Distancia entre A y B.
Distancia entre C y D
c/(C; D) = >/(-6)2 +(4 )2
c/(C; D) = V 36 + 16
d (C ; D) = ylS2
Distancia entre /? y E.
Y-
P(1; 3)
X
■ /
ft(-5 ; 2)
------------——►
X
d ( A B ) ^ C D - ( 2 ) ) 2+ (© - ® )2
d(A; 8) = V(3)2+(1)2
d (ff;£ ) = \/(-6)2 + (- l)2
d(A; S) = 79+1 d(R; £) = 736+ 1
d(A; e) = 7Í0
d (/?;£) = 7 3 7

515. Capítulo 13 Geometría analítica
• C(5; -4 )
Como la abscisa es +5, avanzamos 5 unidades a la derecha
sobre el eje X. Como la ordenada es -4 , avanzamos 4 uni­
dades para abajo.
Y4
5 unidades
5 X
4 unidades
C(5; -4)
0(4; 0)
Como la abscisa es +4, avanzamos 4 unidades a la derecha
sobre el eje X. Como la ordenada es O, no avanzamos nada
y ubicamos al punto donde quedó.
Y*f"
:"4 unidades
-7—
m m
m 5) ;f
Como la abscisa es O no avanzamos nada sobre el eje X.
Como la ordenada es +5, avanzamos 5 unidades para arri­
ba sobre el eje Y.
Y t
E(0; 5)
5 unidades
-
que ubicarse en el origen de
s- .
/ X v W _ v v. —
r-
\ v— ■ .
Coordenadas del origen de
coordenadas.
\\v • n i j ! i y y/ff//f / /. •
ól! i
• i * | j j : j \ >. * |
n
i
í - . .TRsreutí?
La distancia de un punto a otro
siempre es positiva.
íVf
3 ay p : '
i •> i >
m
[A;
- >
; ^
p . l , .
Á------<4
T P
i! m
' ;
V j I I
M i l
5

516. Demostramos la distancia entre dos puntos.
□
:v -
; - + f - v -J - o ' •
ij ^ . yztyí
□
. □
y t n f i
■(’ / t ' V,
ó: .ó ■ : A
. □ □
H— — l
' r ' • ;*2 ''I
Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado.
a>-- \ 2 ./ x2
d = (x2 - x r)- + (y 2 - y 1)
^d2~ = j(x2-Xif+(y2-;
d =yj(x? - x 1)2+(y2- y lf
Ku
5. COORDENADAS DE U R fü ^ tO O üFD IViD E A UN
SEG M EN TO EN UN A R ^ d ^ A D Á S - :*
Para hallar las coordenadas de un punto que pertenece a un
segm ento debem os conocer:
Las coordenadas de los puntos extremos del segmento.
La razón en que está dividido el segmento.
Y*
►
X
Se cumple
f ,
■ i • a
(: t n
l i
t * i 0
—
__ _ —J
Los gráficos estadísticos
Son representaciones gráficas
que son empleadas para con­
seguir un análisis visual de la
información y que faciliten su
fácil comprensión. Nos permite
analizar la evolución o cambios
en determinados objetos de
estudio, por ejemplo las ventas
de año, la deserción escolar, la
intención de voto, etc.
Según sea el objeto de estudio
se utiliza una determinada grá­
fica. Dentro de ellas tenemos a
la gráfica de barras, de líneas,
de áreas, circulares, mixtas, de
dispersión, entre otras.
Gráfica de barras
Gráfica de áreas
IDOQ •" • • • - - - . — -C.,. w y
ÜOD - y - -
_____________.
n , : - ■ ■/.
- - - - - - - - -> . ... V
KO
ZQQt
I
......________

517. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
E je m p l o s
1. Hallamos las coordenadas de F.
Calculamos la abscisa.
■(-3)C0 + (4)(2fc)
X° - k + 2k
x --1 L
0 3 /
5
Calculamos la abscisa.
(-2)(n) + (6)(3n)
*o =
n + 3n
-16 /
4 /
x0= -4
Calculamos la ordenada.
y 0 =
(3)(n) + (4)(3n)
n + 3n
Calculamos la ordenada.
(l)C 0 + (-4)(2/r)
X 0 =
k + 2k
Y o
-7 K
3 /
- 7 ,
y ° “ 3
y a) = í |: y
6. COORDENADAS DEL PUNTO M EDIO DE
UN SEGM ENTO
Se calcula al conocer las coordenadas de los
extremos del segmento.
2. Hallamos las coordenadas de R.
Y‘
*
A(~ 3;
8(4:
Se cumple
—
-----------
<} + X,
*0 -
2
—:
_______________/

518. Ejemplos
1. Hallamos las coordenadas de M.
VA
,n
(7; 6)
.
V>'o)
V
^ (3; 2)
X
Se cumple
x o -
( D + © io q
2 2
Se cumple
*o =
2
7 = 1
2
y0 =
••• p = 1 ;T
. - 3 • V 2} -1
Forma práctica de recordar la
propiedad.
, í 5 *í i/ , y
\} ¡ ; .7
O X
;©7/v .
■ V
_ X1(d) + X2 (o)
xo =■
b + a
Análogamente paray0.
i
_y-l(b
y ° ~ ' 7 7 5
Reto al-.s2Í;er'
Sea ABCD un paralelogramo.
I
> Ít?i
m m m
III ¡í
s i
■ <-\<s ■
Demuestre que
-A , \
V
v ! :
!¡ ¡H
. '
,

519. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
7. COORDENADAS DEL BARICENTRO DE
UN TRIÁNGULO
Se calcula si se conocen las coordenadas de
sus vértices.
Hallamos la ordenada.
yn - 3 3
Sea G el baricentro del A ABC.
4- V . -f X' -,
1 ¿ 2
vrv:"
•• /M&jp \ .<;•? V:'
' t i - i é f i
A .AA’A
r • - "-”7"^''r ''r"” ' T A
:|ÍO ;o tó tlé
Las coordenadas del baricentro se calculan me-\
diante el promedio aritmético de las coordena- \
das de los vértices. |
VÍN
Ejemplo
Calculem os las coordenadas del baricentro G.
8. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR (ZA)
El área se puede calcular conociendo las
coordenadas de sus tres vértices utilizando el
siguiente procedimiento:
Tomamos las coordenadas de los vértices en
sentido antihorario y las ubicamos en una co­
lumna de tal manera que la primera se repita
en la última posición. Luego hacemos las ope­
raciones que se indican en el esquema.
*2
y 2
x i
M
A X yi
V\
ó y 2
g y 3
<3 Yl »
N
Luego
\N-M\
2
Hallamos la abscisa.
*
',h ■ '/ / . / ' A
| (Ó 5 j+ (B j+ (6 j 4 i |N-M| significa valor absoluto de N-M.
I X° _ 3 3 i U l í i i i L A -
.........: ______________- j

520. ■
0
Capítulo 13
:0 t,% ■ . .0 ..'vV'O-'-j .. Geometría analítica
Ap l ic a c ió n 7
Calcule el área de la región triangular ABC.
Re s o l u c ió n
Colocamos las coordenadas dentro de la columna y multipli
camos.
I (4K-3)
- l x 3
4 0 2
• 5 * ^ 4
u K
X - m / '
Sumamos las columnas extremas
v
3 3
4 -2
5 4
"3 3
( - 3)< - ¿ W
< * # ? )> .
fe ■■
• X »
X # <0
1 -12
V"
16
.«'‘ÍÁ
'W
£ 7 3
Reemplazamos.
: Coordenadas del incentro
p
A
aABC
I 37 - -10 |
A
A40C
_ 14 7 1
^aAb c ~ ~2

521. Dato curioso
Geogebra
Es un software matemático in­
teractivo libre que combina la
geometría con el álgebra.
Además, permite el trazado
dinámico de construcciones
geométricas de todo tipo, así
como la representación gráfica,
el tratamiento algebraico y el
cálculo de funciones reales de
variable real, sus derivadas, in­
tegrales, etc.
En la siguiente página podemos
reforzar el tema de geometría
analítica.
http://www.skoool.es/content/
los/m aths/cartesian/launch.
html
Formas de resolver un problema
En un problema, dadas las coordenadas de una figura, podemos
resolver dicho problema de dos formas.
Ejemplo'
Dado un segmento AB, si A={2; -2); fí=(5; 4), hallemos las coorde­
nadas de su punto medio M.
Primera forma
Ubicamos las coordenadas en el plano cartesiano, graficamos la ¡
figura y luego hallamos lo pedido.
: ■'// •"/ \ . v . '
Se cumple
xo =
5 + 2 _ 7
{ 2 ~2
• ' Y 4 7
4 +-2 2 „
yo = — —
M- Í + 1 ] ■
" U ' ) : ii|i
■ K ' ■ 7 ■ Él ti i' • ^ f'' . . .
. ■ : • v ■'> í .. - ' V K W -
7y>/Y; 4)
. .//Y'
:
É :
. Y* ' 777
y -,<Y
X
Segunda forma
Hacemos un gráfico referencial, que no necesariamente tenga la
forma y posición real cómo sería si lo dibujáramos en el plano car­
tesiano. Luego colocamos sus coordenadas y hallamos lo pedido.
:Y v ;Y / /
i
-----
M 2, ' r ;{v .;; y 0j Y B(b; 4)
-S7 7 ! i !: ; ; : .. /
Se cumple
• YE .v . V
2 + 5 7
xn =
-----= -
0 . 2 2
-2+ 4 2 „
y0T~~ 1 “ 1

523. ÍU-ij-i
COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
9. RECTA
9.1. Ángulo de inclinación de la recta
Es el anqulo que forma la recta con el eje X, se mide a partir del
eje X y en sentido antihorario.
f 7 \
donde
a : medida del ángulo de inclinación de (J ’ \.
- 0: medida del ángulo de inclinación de <Sz.
Ejemplos
* Y \
35° es la medida del ángulo de inclinación de CJ'\
Y
\
130° es la medida del ángulo de inclinación de f l ’i

524. 9.2. Pendiente de la recta (m)
La pendiente de una recta se define como la tangente de su
ángulo de inclinación, y se denotará con la letra m.
m 2~ ta n a m 1=tan0
Como a es obtuso,
su pendiente será
negativa, ¿c.
Com o 0 es agudo,
su pendiente será
positiva.
Ejemplos
1. Calculamos la pendiente.
m =tan30°
Va
S
m =
m = •
m = tan135°
m = - tan 45°
m=-'\
¿Qué pasaría si el ángulo de inclinación no es
conocido? ¿Cómo calculamos la pendiente?
Geometría analítica
qn? y
: Dato.curioso
Pendiente
En Geografía, una pendiente es
un declive del terreno y la incli­
nación, respecto a la horizontal
de una colina o montaña.
! i
Señal de carretera peruana que i
indica un camino con pendiente ■
ascendente. •
M o olvide
.
En el siguiente gráfico
Y *)} ■ C .
\ \ V I H
v¡ ; ! ¡ i |
i i ¡ I I i
í í i i ! | 144
I 1 1 ; 1 • i ?
m
: ' ■
~ CVÓ ;
•////
se cumple
tan«/. - -lana)
___JáCv,] h 11 i H I
d d lih ilf l l!

525. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
-U /?////SS = zz
| ■'/ > 1'jf/ *^vV-»^V^.X™
_... , ^
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j I positiva/, •' {< t V'hegat¡ys;-:;: ;
I !! 1 í% / / S $ $ v ;
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■& ///Noolvida
j - Y . ' v ' V , ' l á a a. Y ^ Zí i J A í J M * * * t i » ' ■> « J .
h' i j|m j
I! 1 r a i be'ríáéote:dé\^;'::Y'T:.;-:< $;;^’
l i L U — — - J-- - .'• .. \ X \ \ \ 'v v \ 0 , \ ' ; i V 7 / / , W
h m v /
"-í- m7: pendiente de SPz ... -S i V////
|V%
9.3. Cálculo de una pendiente mediante las co ord enadas
de dos puntos de la recta
Si conocemos las coordenadas de dos puntos cualquiera de
una recta, podemos calcular la pendiente.
Sabemos que
rrM an a
pero también se cumplirá
m ■
difet^i^»a:-dé..^>rdetV d d ',
el ií& f ^ h ó ^ ó e ah |c ísa o
Es decir
y¿_^ Zl
x ¿ - x s
Ejemplos
1. Calculamos la pendiente de S .
Se cumple
m=tanO
5 -2
m =
6 - 4
3
m - ~
2

526. Capítulo 13
Geometría analítica
■ - ___________________
2. Calculam os la pendiente de SP\
Y
8 (“ 3; 5)
Se cum ple
m -p tan a
o - . ©
7
/T?1=— 1
9.4. Teoremas sobre pendientes
a. Dadas dos rectas paralelas, sus pendientes son iguales.
Si 5?i/ / 5 2
se cumple
( my=m • j
b. Dadas dos rectas perpendiculares, el producto de sus pen­
dientes es -1.
/t(4; ~ 2 } \
v o
\
O
v -
\
x
Si //i 1 V'2
se cumple
(m ,)(n i: )= I !
I
El rayo láser
Un láser es un sistema de am­
plificación de luz por emisión
de radiación. Este dispositivo
genera rayos coincldentes do
enorme intensidad. Tiene su
aplicación en el lector de códi-
| go de barras, en las impresoras
láser, en las comunicaciones
mediante la fibra óptica, en el
almacenamiento y la lectura de
información en CD y DVD
) .
Por dos puntos diferentes pasa
una sola linea iecta
’ * 1
t
A i , v
*
P .. _ _
...........\ .

527. 10.ECUACIÓ N DE LA RECTA
La recta es un conjunto de infinitos puntos en
una misma dirección, y se representa algebrai­
camente mediante una ecuación lineal de 2
variables.
Reemplazamos en la siguiente expresión
í/ , : y - @ - + - 0 ) !
'
-----------V-----------'
La ecuación de la recta se puede calcular de
varias formas, pero la más empleada es la
ecuación llamada punto-pendiente.
Aplicación 2
Del gráfico, halle la ecuación de
Resolución
10.1. Ecuación punto-pendiente
Necesitamos conocer: ■'
- Un punto cualquiera de la recta, llamado
también punto de paso.
- La pendiente de la recta. .
Veamos el gráfico:
Notamos del gráfico
Punto de paso: (3; 6)
Pendiente: /T7=tan37°
3
m = —
4
Reemplazamos en
^ :y-y1=m(x-x-¡)
5 : y - 6 = - ( x - 3 )
5 ; 4 (y -6 ) = 3 (x-3 )
donde
- (*,; y,): punto de paso de c£
- m: pendiente de .5? (m=tan0)
<2?; 4 y -2 4 = 3 x -9
<£: 0 = 3 x -4 y -9 + 24
4£\ 0= 3x-4y+ 15

528. Ap l i c a c i ó n 3
Del gráfico, hallé la ecuación de
Re s o l u c i ó n
Notam os del gráfico
Punto de paso:, (8; -2 )
Pendiente: m = -tan30°
-1
Reem plazam os en
«01: y - y i = m ( x - x .,)
-1
SPy. y — 2 = —¡= (x - 8)
V 3
£ v i
f 'í;
Operam os
5 i:V 3 (y + 2) = -l(x-8)
: y V3 + 2V3 =-x + 8
5 i : x + y V3 + 2\/3 -8 = 0
10.2. Ecuación general de la recta
La ecuación de una recta tiene la siguiente forma:
S : A x + 6 y + C = 0
i
A la cual se le conoce como ecuación general de la recta (don­
de x e y son las variables).
Recta paralela al eje de abscisas
Recta paralela al eje de orde­
nadas
Dada la ecuación general de
una recta, se puede conocer su
pendiente,
Si 5 : Ax + By + C — 0
se cumple
donde m es pendiente de 9’ .

529. 10.3, Cómo graficar una recta dada su ecuación
Prim er método (tabulado)
Tenemos que darle valores a X en la ecuación y luego despejar
Y. De esa manera, encontraremos las coordenadas de los pun­
tos por donde pasa la recta.
Segundo método (interceptes)
Se hallan los puntos de intersección con los ejes coordenados:
- Hacemos X=0, para encontrar el intercepto con el eje Y.
- Hacemos Y -0, para encontrar el intercepto con el eje X.
- Trazamos la recta por esos 2 puntos.
Ejemplo
Graficamos la recta í£-\x+ 2y-2= 0
Six=0 -> x+ 2y-2= 0 Punto
(0) + 2y-2= 0 -> encontrado
y = l (0; 1>.
Si y=0 x+2y-2=0Punt0
x+ 2(0)-2= 0 -> encontrado
x=2 (2; 0)
Ubicamos los puntos en el plano y trazamos la recta.
V A-
(0; 1)
(2; Oí X

530. Fue un jurista y matemático francés (1601-1665). Se conoce muy poco de sus
primeros años, debido a su forma tranquila y sencilla de actuar. Descubrió el
cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría
de probabilidades junto a Blaise Pascal, descubrió el principio fundamental
de la geometría analítica. Estudió las ecuaciones de la recta, la circunferencia
y las cónicas, todo esto independientemente de Descartes. Sin embargo, es
más conocido por sus aportaciones a la teoría de números, en especial por
el último teorema de Fermat.

531. LECCIÓN ESENCIAL
(
/—
RECTA
l i l i
Conjunto de infinitos puntos
en una misma dirección.
Ángulo de inclinación
)Yt
y
:
a
/■ X
Ecuación de la recta
0 y a : son ángulos de
inclinación.
Pendiente (m)
~T
i
se puede calcular
<<>
- p
r \
Forma: punto - pendiente
Yf
! %
i
/
y *
Vv'yi)
i /
A 3
¡ /
i A
• X
Del gráfico
1
■ <5?: y~y-]=m{x-x^
K. Y _
____ . _ .
J
T
Ecuación general
Y
. _
_________ .
X
Se cumple:
v
__
m~ T
k
_______>
- . J

532. R E S O L V E M O S J U N T O S
Problema N.‘ 1_____________
Del gráfico, ABCD es un cuadrado. Si 08=5,
halle las coordenadas de C.
A) (4; 3)
D) (7; 3)
B) (8; 4)
Resolución
Piden coordenadas de C.
Dato: 08=5
C) (10; 3)
E) (7; 3)
El OAB es notable de 37°.
04=4 y 48=3
Como ABCD es un cuadrado
-> AD=3 y CD=3
Luego notamos
Problema N/ 2
Del gráfico, O es centro del cuadrado ABCD. Si
SC=10, halle las coordenadas de O.
A) (-5; 5)
D) (-2;3)
Rssoiüdón
B) (5; 5)
X
C) (-2; 5)
E) (-5; 2)
yj
£
-- D
„ JF %
•é-v.
0,
w V 0
v •
v g ..¿f y r- 5 ¡ ' *
: » ' V . »?
A
B 5 M 5
->■
y
-10'
En el k^CBA notamos que OM es la base
media. •
-» OM= 5 y 8M=M4 = 5
Luego notamos
/. C=(7; 3)
D=(- 5; 5)
Clave : Clave ( A

533. COLECCIÓN ESENCIAL
Problema N.* 3
_______
Del gráfico, calcule A C .
Lumbreras Editores
A) S
D) 2y¡5
Resolución
Nos piden A C .
B) 2 Æ C) 6 _
/ E )
i'v. .&3ú-y ¿
§¡g
Notamos que MÑ es base media del aA B C.
Si M N = d -> A C = 2 d
Calculamos la distancia entre M y N.
d = ^ (3 - 2 )2 + (2 - 5 )2
d = ^ (l)2 + (-3 ) = \/lÜ
Luego
2c/ = 2%/ÍO
A C = 2 -J ÎÔ
C la v e
Problema N.° 4
________________
Del gráfico, calcule las coordenadas de M.
... •
III
A (a; ó+tO)
A) (4; 3) B) (3; 5)
D) (a; b )
p f <!<_ • y
I ^ M u c i ó n j ^
Nos piden M=(x0;y 0).
' M (x0; y 0)
Á (a; Ò + 10)
C) (2; 2)
E) (5; 4)
B (6 -o ; - 6 )
Como M es el punto medio de 48, aplicamos
el teorema del punto medio.
4 + 6 - / 6 _
x n =
---------— = - = 3
o 2 2
¿ + 1 0 + - X 10 _
/o = ;
------ó------= -7 = 5
M=(3; 5)
r C/ave

534. Problem a N.‘ 5
Ahora calculamos d.
Aplicamos el teorema de la distancia entre
2 puntos.
d = i ( 1 -4)2+(-1— 2)2
d = y¡(-3¡f + Uf
d = y¡W
Clave
¡ -> 06=4
Luego, 66=5
En el BRC: aplicamos el teorema de Pitágoras.
i d2=52 + 32
d2=34
d = V34
i Clave C ;

535. Problema N.‘ 7
Del gráfico, indique las coordenadas del bari­
centro 6 del triángulo OAB.
Como A es el punto medio de DC, entonces
por el teorema de las coordenadas del punto
medio.
2 + 8 r
X-1 =
----= 5
1 2
5 + 1 0
y\ = — = 3
4 = (5; 3)
Por el teorema del baricentro en el OAB.
0 + 5 + 5 10
X° “ 3 “ 3
y 0 =
0 H—4 + 3 —1
A)
D)
B) f | ;- 3 Í / C) ;(5; -2)
V 3 JI Mr ...
\ E)
: f 10
3 3
G - 4
1 3 ' 3
i
Resolución
Nos piden G = (x0; y 0), donde G es el baricentro
: Sk
Para hallar las coordenadas de G necesitamos
las coordenadas de los tres vértices.
O=(0; 0) B=(S;-4) A = (x1;y l)
%
o
Clave
'■I '■"■■‘jf-.lki./ v . ..." .
Del gráfico, halle las coordenadas de P.
8(3; 7)
« i?.r B)
18. 43
7 ' 7
C)
0 5 . 8^
8. 12 ^
K 5 ‘ 5 >
10 7

536. 'roblenta H* B
Del gráfico, calcule el área de la región trian­
gular ABC.
yy
B
T
O
. 1 ,
i }
C(5; 6)
A) 16
D) 24
\ 7
•i
___i
B) 15
X
C) 9
E) 12
Nos piden £4.
(Ä : área de la región ABC)
Del gráfico, notamos que
A=(3; 0)
ß=(0; 3)
C=(5; 6)

537. COLECCIÓN ESENCIAL
* ? i i - i á . t f é s ú & í - ■ - ■ ' ? ¿ ¿ Í < . V í l
Lumbreras Editores
C l a v e h
‘
......
% m
%. (>
Problem a f j.‘ 11
Prcblems N.’ 10
Del gráfico, calcule la medida del ángulo de
inclinación de la recta 3).
A) 20°
D) 25°
B) 30° C) 40°
E) 35°
Del gráfico, calcule la pendiente de c£ (OAB es
un triángulo equilátero).
A) —
2
B) 2
C)
é
D) -Jl E) 1
3
■

538. -:noludón Resolución
Nos piden m.
(m: pendiente de SB)
Del gráfico; a es el ángulo de inclinación.
—> m=tanoc
Como el AAO B es equilátero
—> m < A O 8= 60° / Á -
—> a=30°
Luego, m=tan30°
1
m =
73
i C/ave
Problema N /12
Del gráfico, si ABCD es un cuadrado y .CM=MD,
calcule la pendiente de la recta =5?
* - !
» - !
C) -3
E) -2
Nos piden m.
(m\ pendiente de S&)
Y \
-
3>, T
£{0; 3)
6 C
|
1 .
O
■3-
D
Como ABCD es un cuadrado de lado 2
-> CD=2
Por dato: CM=MD
-> MD=1
Luego, notamos que M=(5; 1)
En el cuadrante: f=(0; 3)
Por cálculo de pendiente con 2 puntos (E y M)
3 f f _ 2
-5
m =
m = —
5
Problema N.‘ B
I Clave
Del gráfico, calcule la pendiente de la recta s e
(ASCO y OPQR son cuadrados).
D) 2 E)

539. i
COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
__________________
________________

540. Problema N.* 15
_____________
Del gráfico, calcule la pendiente de S&.
Problema N.° 16
Del gráfico, si G es baricentro del triángulo
Del gráfico, 0 es el ángulo de inclinación
-> m=tan6
Como X//AD
—» m<G4D=0
En el l^ADC
n 2
tan0 - -
2
■*’ m " 3
! Clave
Del gráfico, notamos que
G=(0; 3)
Luego, como G es baricentro, aplicamos la
propiedad del baricentro.
-5 + X + 2! ? _ 1 + y + 5
3 ¡ 3
0=-4+x | 9=6+y
4=x UJ II
C=(4; 3)
j Clave •

541. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Problema H: 17
Del gráfico, si ABCD es un paralelogramo,
calcule la pendiente de CD.
A) i B)
5
3
C)
° ) | / E)
| $
Resolución % • ^
y.
Nos piden m—.
r CD
%
'V
\ CD ' Penc*¡ervte de 'a recta CDj
¿ A »
5,
/ 4
No O L V ID E 5%. (
!
■ *
L
S ¡W / ^ 2 1 # '
se cumple .# \
.
-------í l _ V / ? •
m.-m-,
I ¿I
Como ABCD es un paralelogramo
-> AB//~CD
Por el teorema de rectas paralelas
- » m — =
CD AB
Por cálculo de pendiente con los puntos A y B.
7 - 2
m — =
------
cd 4_o
m— = —
co 4
: C/<7!/e
Problema W/ 1B
_______________________________
Del gráfico, si A B C D es un cuadrado, halle la
ecuación de SA.
A) 0= x-y-5 B) 0=2x-y+2 C) 0 -x -y -2
D) 0=x-2y+5 E) 0 = x-y-7
Resolución
Nos piden hallar la ecuación de SA.
C(8; 3)
X
Como ABCD es un cuadrado
m<C4D=45°

542. Notamos que
Punto de paso: C(8; 3)
Pendiente: m -tan45°
m=1
Reemplazamos.
^ :y - y 1= m (x - x 1)
y -3=1(x-8)
Operamos.
& \y -3=x-8
S£\ 0 = x-y -5
Notamos del gráfico
Punto de paso: 8(9; 0)
Pendiente: m
; Calculamos m con dos puntos (O y 8).
4-0 4 -4
Reemplazamos.
y-y-i = m(x-x1)
j SB\ y-0 = y (x -9 )
i Clave Operamos.
5y=-4x+(9)(4)
D) 3 x -4 y -1 0 = 0
E) 2x+ 5y+ 10= 0
Resolución
Nos piden hallar la ecuación de 3 .
0&\ 4x+5y-36=0
C/o'/e
■ •
Del gráfico, halle la ecuación $£.
’ 8(3; 7)
4(1; 4)
A) 0=x+5y-3
B) 0—2x + 3y + 3
C) 0=2x+3y+5
D) 0=3x-2y+5
E) 0=3x+2y+3
Resolución
Nos piden hallar la ecuación de í£.
Del gráfico, notamos
Punto de paso: 4(1; 4)
Pendiente: rn
Calculamos m con dos puntos (8 y 4).
7 - 4 3

543. COLECCIÓN ESENCIAL
_ _ _
imbreras Editores
______________________
Reemplazamos.
S : y - y 1 = m ( x - x l )
$ -.y-4 = |(x-1)
Operamos.
SB\ 2y-8=3x+3
SB-\ 0=3x-2y+5
C/ave
Problema N/ 21
Del gráfico, halle la ecuación de 3 .
Y J
J
4
/ \
/ 7
s am.*„ v'"
*>; ’’ó y A-.. ;r;f
1 X
‘’\‘A
A) 0=2x-y+10
B) 0=4x-3y+15
C) 0=4x-y+5
% >4vv
D) 0=3x-2y+6
E) 0=2x-3y+6
Resolución
Nos piden hallar la ecuación de
En el fc* OAB (notable de 53° y 37°)
-> 08=5
Luego 8=(0; 5)
Del gráfico notamos:
4
Pendiente: m = tan 5 3o= -
3
Punto de paso: 8=(0; 5)
Reemplazamos.
¡ e - . y -5 = |(x -0 )
Operamos.
3y-15= 4x
/. 0= 4x-3y+ 15
.0'
.i/ü Ctave
Del gráfico, si ABCD es un paralalegramo, halle
las coordenadas del punto P.

544. Capítulo 13 Geometría analítica
Resolución
x • T'­
Im p o r t a n t e
Propiedad de semejanza
Problema M,' ?3
Halle las coordenadas del punto de intersección
de las rectas <^1:2x+3y+1=0 y ¿^2:x-3 y+ 2 = 0 .
p — ►
bk
—//-
Nos piden P = (x 0; y 0).
**?
A(2; 3) ,<f%. v
.
k F f
A) (-1; 2)
» 1
Resolución
Nos piden P = (x Q; y 0).
k 0 f , 0
2; - C)3; -
V 3j l 2 J
E) (2; 1)
En el segmento AC, aplicamos la propiedad de
la razón dada.
*o =
2 (n )+ 6 (2 n ) 14n J 4
n + 2n 3 n 3
3(n) + 8(2n) 19n 19
y ° n + 2ñ
14 19
3n 3
P =
3 ' 3
Clave
y Como el punto P pertenece a las dos rectas, se
resuelve el sistema formado por las dos ecua-
ciones para encontrar las coordenadas del
punto común.
( 0 :2x + y¡f +1 = 0
( l l ) : x - ^ + 2 = 0
—^ 3x+ 3=0
3x= -3
.-. x= —1
Reemplazamos en (II)
x-3 y+ 2 = 0
-1 -3 y+ 2 = 0
1=3y
1
ry
s u m a m o s
/. P =
Clave

545. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
Problema N.* 2 b
Del gráfico, halle la ecuación de la recta
Notam os del gráfico
Punto de paso: P{ 1; 2)
Pendiente: m
A) 4 x - 2 y - 5 = 0
B) 4 x -y + 3 = 0
C) 4 x -3 y + 2 = 0
Como A B ± & : por el teorema de rectas per­
pendiculares
—>
K s ) ' m = - 1
í-4 -2 '
5 — 3
m = -1
• m = - 1
Reemplazamos.
^ : y - y i = m ( x - x i )
<?:yr- 2 = - (x-1 )
# 1 .' # ' 3
Operamos.
■$;. 3(y-2 )= 4 (x-1 )
I /; !£\ 3 y - 6 = 4 x - 4
0 = 4 x -3 y -4 + 6
^ :0 = 4 x - 3 y + 2
j Clave

546. PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO
1- Halle las coordenadas del punto C.
A) (4; 1) E) ( - 2 ;4 ) C) (2; 4)
D) ( 4 ;- 2 ) E) (2 ;- 4 )

547. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
C) 4
E) M

548. Geometría analítica
13. Del gráfico, calcule a+b.
S (8 ; b)
A) 13
D) 9
B) 10 C) 12
E) 11
Del gráfico, halle las coordenadas de B.
A) (-2 ; 3)
D) (5 ;- 2 )
B) (-4 ; 9)C) (4; 3)
E) (-2 ; 9)
15. Del gráfico, halle las coordenadas del
punto P.
A) (-1; 2) B) (-2 ; 2) C) (-3 ; 2)
D) (-3 ; 1) E) (-2 ; 3)
16. Del gráfico, calcule d,
Y*
A) 7
D) 5
B) 8 C) 9
E) 4
Del gráfico, calcule la suma de coordena­
das del punto P.
A {5; 2)
C(11; 5
A) 10
D) 12
*
X’ B (7 ;- 2 )
B) 6 Q 5
E) 9
10. Del gráfico, halle las coordenadas del bari­
centro G del triángulo AOB.
V !
D)
A

549. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
D) E) (7; 4)

550. Geometría analítica
2 6 . Calcule la pendiente de la recta «S2
A) B)
3
D) i
4
C)
E)
■ £
2
2^3
27. Calcule la pendiente de la recta4??
^ Y\ / Jfru
V .
(- 4 ; 3 ) \
... -
(5; - 2 ) N .
........
- 1 b) - c) - i r
4 3 9 77
1
E) "q
4 9
28. Del gráfico, halle la ecuación de la recta 3R
A) 0 = 4 x - 3 y - 9
B) 0 = 3 x + 4 y -3
C) 0 = 2 x-3 y + 5
D) 0 = 4 x + 3 y -5
E) 0 = 3x+ 2 y+ 2
29. Del gráfico, halle la ecuación de la recta &
V t
Q'
□
□
DT
Ü —►
V
A
A) 0= 4x-5y-i-2
B) 0=5x+2y+1
C) 0= 3x+ 5y+ 3
D) 0 = 4 x-7 y + 2
E) 0= 3x-7y+ 12
77 Halle la ecuación de la recta que pasa por
el punto P = (- 2; 7) y cuyo ángulo de incli­
nación es 45°.
A) 0 = x+ y -3
B) 0= x+ y+ 5
C) 0 = x-y + 9
D) 0 = x-y + 7
E) 0 = 2 x-y + 3
31. Calcule la pendiente de la recta.
3 x - 5 y + 10=0
2
3
3
5
A)
2
B) - ¡ C)
3 5
D)
4
I
E)

551. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
32. Del gráfico, si OAB es un triángulo equi- ; 34. Del gráfico, halle la ecuación de la recta «2?
látero de lado 3, halle la ecuación de la i
recta «& ;
K A
A) 0 = 3 x - y - 2
B) 0 = 2 x - V 3 y + 1
C) 0 = V 3x - y - 373
D) 0 = 3 x + y -5
E) 0 = 'Í3 y + x + 2
33. Del gráfico, si AB[/CD, calcule AB.
A) 0 = 3 x-y + 2
B) 0 = 3 y -2 x
C) 0 = 3 x -2 y
D) 0 = \j3x - y
E) 0 = -M x- 4 iy
I ^ ^
35. Del gráfico, halle la ecuación de la recta f£.
" ¿Considere que ABCD es un paralelogramo.
A) 72
B) 2-JÍ
C) 4
D) 3V2
E) 3^3
A) 0 = 3 x -2 y -1 2
B) 0 = 2 x - 3 y - 5
C) 0 = 4x-y+ 1 0
D) 0 = x-4 y + 6
E) 0 = 4 x -3 y -1 2

552. Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Del gráfico, calcule la ecuación de m
A) 24
B) 30
S *
C) 18 / 4 l, \
D) 20
í .vfiyC.?
E) 19
•; ’ ';:?¥ A -C - C
y x;V'!
\ ' y
37. Dadas las rectas
■,í'r
9.\ 4 x+ 5 y -3 = 0
Stty x + 5 y -6 = 0
•v;%
halle las coordenadas del punto de inter­
sección P.
A)
A) 0 = x -y + 1
B) 0= x-y-2
C) 0 = x-y+ 3
D) 0= x-3y+ 1
E) 0 = x-2 y-1
: f *
■■i ¥
Del gráfico, indique qué tipo de triángulo
es ABC.
• 6 ( 3 ; 0 )
A) equilátero
B) escaleno
C) isósceles
D)Í1V
\5 .
D) triángulo rectángulo
E) acutángulo

553. COLECCIÓN ESENCIAL
40- Calcule el área de la región sombreada.
C(-4; 0)
2; ~6)
A) 12
D) 3
B) 6 C) 9
E) 4
g(~ -| ^
41. Si - = halle las coordenadas dei punto D.
'
A) (4; 1) B) (2 ;- 3 ) C) (1; 5)
D) (3 ;- 2 ) E) (5; -1)
42. Calcule la pendiente de la recta <7
Y\
7
3 Z J 3 7 0 C
2
A> - 3
5
D) -3
B) -3 C) 3
E) ~7
Lumbreras Editores
wmmmm
43. Del gráfico, halle las coordenadas del punto A.
Y
r
5
X
_d_ .
A) (4; 7)
B) (3; 6)
Q (4; 8)
D) (4; 9);,.
E) . (4; 5)
Del gráfico, halle las coordenadas de B y A,
respectivamente.
A
Y‘
X
3 \
c
T
2
. . Ci
X
A) (4; 2) y (2; 3)
B) (-3 ; 5) y (-3; 2)
C) (-3 ; 4) y (-3 ; 1)
D) (3; 4) y (3; 2)
E) (-3 ; 3) y (3; 5)
Ü k

554. Capítulo 13
■ - ,
4 5 . Del gráfico, halle la ecuación de la recta.
A) 0 = x - y - 3
B) 0 = x -2 y + 2
C) 0 = x - y + 4
46. Del gráfico, calcule el área de la región
triangular si ABC es equilátero.
D) 0 = x + y -3
E) 0 = x + y - 6
V
Claves
1 D 7 c 131" 19
»
25 P 31 E 37 A"4 3 "
2 C 8 8 14 8 20 B :
i
26 A 32 C 38 B 44
3 0 9 A 15 D 21 A ;27 C 33 3 39 C 45
4 E 10 D 16 A 22 c 28 A 34 D 40 D 46
5 A 11 A 17 A 23 B 29 E 35 E 41 E
6 D 12 E 18 ü 24 C
-
30 C 36 A.42 t

555. .■r#T3irs£
f
mrn
>w,V

556. Desde el m om ento en que em pezam os a ¡nteractuar con
nuestro entorno, notamos que está distribuido con objetos
en distintas posiciones, ocupando lugares específicos. A si­
mismo, podemos cam biar de ubicación en cierto m om ento
del día, esto nos lleva a pensar en la idea del espacio. ¿Qué
es para nosotros.el espacio? ¿Qué hace que un objeto tenga
un lugar determ inado en ese espacio? ¿Cómo puedo orien­
tarme en un determ inado lugar? Y así podemos plantear
muchas interrogantes, las cuales responderem os en este
capítulo desde un punto de vista geométrico de cóm o ap ro ­
vechar este tema para entender nuestra realidad inm ediata.
P Á R I S ^
Aprendizaje« esoersdtjs AMOR A SOFÍA
o Conocer las posiciones relativas de los elem entos geom é­
tricos en el espacio.
° Aprender los teoremas que fundamentan la geometría del
espacio.
* Indagar sobre la forma de cómo calcular volúmenes y áreas
de las superficies del cilindro y del prisma.
Porque nos da las herramientas de cómo orientarnos espa­
cialmente. En la geometría del espacio se abstraen los objetos
reales y se analizan sus propiedades en tres dimensiones. Por
ejemplo, una regla nos da la idea de recta, la cisterna nos
da la idea de cilindro, un ladrillo nos da la idea de prisma,
el techo y el piso nos dan la ¡dea de planos paralelos. Como
vemos, entender esto nos permitirá analizar nuestro entorno
de manera correcta.
• o
l

557. Geometría del espacio I
El plano
Es una superficie llana sin espe­
sor que se extiende ilimitada­
mente en todas sus direcciones.
Como no podemos dibujar
algo ilimitado, dibujamos una
parte. En el caso del plano, casi
siempre dibujamos una región
paralelográmica, pero también
podemos dibujar regiones
triangulares o curvas, las cuales
nos dan la idea que por ahí pasa
un plano.
1. C O N C EP TO
Llamada también estereométria, se encarga de estudiar a las
figuras geométricas cuyos puntos se encuentran en planos dis­
tintos.
i
2. PO SIC IO N ESJ J i V A S EN TRE DOS PLA N O :
En el espacio, dos planos pueden ser
li jnid di ¡Stri
En la imagen de esta construcción
notamos planos paralelos y se­
cantes.
ir

558. : j t,
3. PO SICIO N ES RELATIVAS ENTRE UN A RECTA Y UN PLANO
Una recta con respecto a un plano puede ser llamada de las
siguientes form as:
9- R ecta p a ra le la al p la n o b. R ecta se c a n te al p lano
el plano.
4. POSICIONESJELEU^VAS e n t r e d o s r e c t a s
Dos rectas pueden ser llamadas:
4.1. R e c ta | \
No se intersecan y por ellas se puede trazar un plano.
/ ^ Jí " T£ ' *
/ / / #>'*% ,
¿ y / a > /
* — o — .
/ ¡ r ü , / n
4 .2 . Rectas secantes V i ^
Se intersecan y por ellas se puede trazar un plano.
4 .3 . Rectas alabeadas o cruzad as
No se intersecan y no existe un plano que contenga a las dos
al mismo tiempo.
/
Rectas paralelas: no se cortan y
tienen la misma dirección.
Rectas secantes: se cortan en
un punto.
Rectas alabeadas: no se cortan
y sus direcciones son distintas.

559. Teorema
Si una recta es perpendicular
a un plano, entonces será per­
pendicular a todas las rectas
contenidas en el plano que pa­
sen por su pie.
¿Cuál de los dos bastones que­
dará de píe? ¿Por qué?
5, R EC TA P ER P EN D IC U LA R A
Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos
rectas secantes contenidas en dicho plano.
Sean y C&2 rectas secantes contenidas en el plano H.
S i 5 l S i y S l 5 2
-> S B L ¿ JH
Ap l i c a c i ó n 1
Del gráfico, si CD=2, BM=3 y MB es perpendicular al plano que
contiene al rectánguloABCD, calcu le*.
Resolución
Nos piden*.
ABCD: rectángulo
-> AB=CD
AB=2
Com o M f í l O ABCD
-> m i B Á
—> la m < M fíA = 90°
Luego
* 2=32 + 22
x2=13
.\ * = 7 Í 3

560. 6. TEO REM A DE LA STR ES PERPEN D ICU LARES :
Si por el pie de una recta p erp en d icu lar a
un plano se traza otra recta que interseque
p erp en d icu larm en te a una recta contenida
en el plano, entonces toda recta que una el
punto de intersección de estas dos últim as
con un punto cualquiera de la recta p erpen­
d icu lar al plano, será p erpend icular con la
recta contenida.
Para poder aplicar el teorema de las tres per­
pendiculares es necesario tener una recta
perpendicular y una recta contenida al plano,
respectivamente.
Reconocem os la 1.a perpendicular y a la recta
contenida.
Trazamos la perpendicular a la recta contenida.
Trazam os la 3.a línea.
Ap l i c a c i ó n 2
Del gráfico, calcule x.
Re s o l u c i ó n
Nos piden x.
□
;
z
□
□
Del gráfico
AB: 1.a perpendicular
CD: recta contenida
Por el teorema de las tres perpen­
diculares -> m </4CD=90°
Luego notamos
x+ 70°= 90°
x=20°

561. Ap l i c a c i ó n 3
Del gráfico, calcule x.
7. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN
PUNTO Y UN SEGMENTO SOBRE UN PLANO
La proyección ortogonal de una figura es la re­
presentación de esta sobre un plano m edian­
te el trazado de las perpendiculares llam adas
proyectantes. En otras palabras, es com o la
sombra de una figura.
proyectante
■ o roye
Resolución
Nos piden x.
será la 3 J □
/
/
« i
A
*¡H ^ %*■ 0f0' ¿k
á“ - *'0/0 y>' ."‘ /í.
“vtis’íJ
D
A
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0 ,/ y v / ,>
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A
»
cp
ÍD
\ y
/
T
^SJ ¡- ' >"1 ‘
Ay'
__
de AB
proyección
,M?¡
Je Œ
donde
- EB: 1.a perpendicular
- AD: recta contenida
Por el teorema de las tres perpendiculares
-» m<£AD=90°
Aplicamos el teorema de Pitágoras.
\
x2=42 + 22
x2=20
x = Æ )
X = 2y¡5
□
A 2 D
« W L i ÜL — / m J á • / , • ■.........................
i . . ) U“;,, v:>! ;d
Geometría descriptiva
Es un tipo de geometría relacionada con la re­
presentación de figuras sobre superficies pla­
nas (en este caso sobre tres planos) haciendo
uso de la proyección ortogonal. Esta geometría
está presente en los planes de estudio de inge­
niería, arquitectura y otras especialidades.
I i |
11:1
|
lili
\\yvv

562. I
I
'
i
.\ x = VÌ5
8. ÁN G U LO D IED RO
Llamado también diedro, es la figura geom é­
trica formada por la unión de dos sem iplanos
que tienen en común a la recta de origen lla-
mada arista.
y ]
■ ' ■ .
N otaciones
• Ángulo diedro AB
• Ángulo diedro H - A B - P
¿Cómo calcular su m edida?
Paso 1
Ubicar un punto cualquiera de la arista.
Paso 2'
Por dicho punto levantar perpendiculares en
cada cara.
Paso 3
Calcular el ángulo formado por dichas perpen­
diculares.
Ff/t|ií)H3'níc *
Algunos casos de ángulo diedro

563. COLECCIÓN ESENCIAL
Jítnpoi ír.iA.
Importancia del teorema de
las tres perpendiculares “
Este teorema es utilizado tam­
bién para calcular las medidas
de algunos ángulos diedros.
0: medida del ángulo diedro
No o lvid e
Planos perpendiculares
Son aquellos planos secantes
que forman un ángulo diedro
que mide 90°.
Lumbreras Editores
■ : i •J.ir-’ ■ ' y •
Aplicación 5
Si ABCD y AFEB son cuadrados, calcule la medida del ángulo
diedro AB.
y
y
f
- y : 7
. y 1
c
A
/ '
\
l
y á /
X
\ 3
\
* r
W -
\
~y
y
¿i- y
.....^
a . n
x
Re s o l u c ió n
Piden la medida del ángulo diedro AB, es decir, la medida del
ángulo diedro formado por ios planos que se cortan en AB.
y
0 ;\ " % 7 -
- :/l ■
: . C¿y •.
:#/ %, 3 .
y.
Notamos que x es el ángulo pedido.
En el DAFEB
_> EB=AB=3
En el □ ABCD
y BC= 3
El A BEC es equilátero
x= 60°

564. Aplicación 6
Del gráfico, si CH=4y HD=3, calcule la medida
del ángulo diedro AB.
C
Aplicación 7
Del gráfico, si A ABC yüA C D E se encuentran
en planos perpendiculares, calcule*.
Resolución
N otam os que
0: m edida del ángulo diedro AB.
Resolución
Nos piden x.
Como ABC y ACDE son perpendiculares, enton­
ces su diedro mide 90°, es decir, la m < BRM=90°.
B
LUJARME es rectángulo.
-» RM=3
Por el notable de 37° y 53°
a 6=53°
Por el notable de 45°
x = i'¡2
3

565. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Importante
El poliedra es un sólido geomé­
trico limitado por cuatro o más
regiones poligonales planas lla-
.... \\\\\\\ v'? n i í ///
madas caras. V
¿neta
dläffpnit-
vèr tiefe
Dato curioso
Los edificios son construcciones
que en su mayoría tienen forma;: ;
prismática, Para su construcción
es fundamental la participación |dé ; ;
ingenieros civiles, arquitectos, m wfy
ñiles, carpinteros,- electricistas^ etc; ¡ i {'
' ■ " ■ ■ ’ ■ • . ; ; ‘ ’ 1 í : ; ! ; 1 ; j ) ; í
• ' y : ■ > : < ■; : : i H i ¿ ■ ; ; I ?
3 r, 'T C
: : . f 'lí'í -'X * ■
; v j | | -, , p * ti* 1
9. PRISM A RECTO
Es un poliedro comprendido entre dos caras paralelas con­
gruentes (llamadas bases) y las otras caras son regiones rec­
tangulares (llamadas caras laterales).
Efr-
P
base
y — G
~ß>
! LPf./
f £ ~
— - ^ c
cara lateral
a r is ta ¡a le ra !
, 7 D,
Lase
‘ arista nasica
N otaciones ,^f|k 0 ^ 0 ^ |
» ABCD-EFGH es un prisma cu ad ran g la r.
* Sus bases siempre son paralelas y congruentes.
• Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.
Se refiere a la suma de las áreas de todas sus caras laterales.
A SÍ = (perímetro de la base)(altura)

566. o
Área de la superficie total (lk ST)
Se refiere a la sum a de área de todas sus caras laterales y bases.
donde es el área de la base
V olum en (V)
Se refiere a la medida del espacio que encierra el prisma.
r
' H ñ baJ ( a |tura)
9.1. D e sarro llo de ¡a su p erficie del prism a •
Altura del prisma
Es la distancia entre las bases. En
| el prisma recto, la altura mide lo
mismo que la arista lateral.
0
5
Es la superficie del prisma, pero desdoblada y colocada sobre
una superficie plana, su form a varía dependiendo el tipo de
sólido. En el caso del prisma recto, nos dará una región rec­
tangular. I _ V.
destín olio laten!
A ‘
desarrollo total
Prisma basáltico
i
En México, en el estado de
Hidalgo, existen formaciones ro­
cosas producidas por el rápido
enfriamiento de la lava volcánica,
que tienen la forma de un prisma
de base pentagonal y hexagonal.
i l i r , Ho lat**! (I

567. Ap l i c a c i ó n 7
Calcule el área de la superficie lateral y el
volum en del prism a recto.
Ap l i c a c i ó n 8
Calcule la longitud de la diagonal del d esa­
rrollo de la superficie lateral del prisma recto.
B
Re s o l u c ió n
Desarrollamos la superficie lateral del prisma
recto. 'C / '
Calculam os el área de la superficie lateral.
•»-(síssr"*’
A s¿=(4 + 3 + 5)(4 )
/. IkSL=48
Calculam os el volumen.
V = K a s e ) ( altUra)
'(4 )(3 )'
%
V=L J
V= (6)(4)
V = 2 4
(4 )

568. 10. P R IS M A R E G U LA R
Es un prism a recto cuya base siem pre es una región poligonal
regular.
triángulo
equilátero
cuadrado
Ar
hexágono
regular
y■r "
1 I (
7 y
1 1
1 X1
l
1
1
•
»
X i
1
)
\
1
7
' '
t 1
y
K
p r is m a
triangular
regular
prisma
cuadrangular
regular
prisma
I IGXciQO' ¿31
regular
CL* 'TC.:"/i; 'y--;-. \ ;
Para calcular su área y volumen se utilizan las
mismas fórmulas del prisma recto, dado que
este es un caso especial del prisma mencionado.
T
Ap l i c a c i ó n S
Si el prism a es regular, calcule el área de la superficie lateral.
V:- XX.c y? X . X 7;:X X
"<d\ I
U%v.,v-
12
,a;v fe,
\
K L
V
.ó • r .
. % '
Re s o l u c i ó n
Com o el prisma es regular, la base es un triángulo equilátero.
Pv
12
X /
Del gráfico
IhSL=(perím etro de la base) (altura)
2A.S¿=(3 +3 + 3)(12)
Recordemos algunos polígonos
regulares.
O O
□
□
—i
□
o ®
O
□ □
Skoool (TM) Lección: Sólidos,
material educativo del Gobierno
; de Argentina.
http/Avww.skoool.es/content/
los/maths/solids/index.html

569. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
-----------------------------
Importante
Paralelepípedo rectangular
Llamado también ortoedro y
rectoedro. Es un prisma recto
cuya base es un rectángulo.
. '^re'ctándiió
-—r—
Las variables a;byc son las lon­
gitudes de sus 3 dimensiones.
Volumen
f Diagonal
d = V o" +£>~ + c‘
El ladrillo
Es un material de construcción
con forma de paralelepípedo
rectangular en el que sus aristas
y caras reciben los siguientes
nombres:
Aplicación 9
Si el prisma es regular, calcule su volum en.
Re s o l u c i ó n
Nos piden V .
Calculam os el área del triángulo equilátero.
- (4
IkA =
4
Aa= 4V 3
Luego
Adem ás, la altura-5.
Reem plazam os.
V = ( a ^ ) ( a lt u r a )
W = (2 4n/3) (5)
W = 120>/3

570. 11. C ILIN D RO .
.11.1. C ilind ro circu lar recto
Llam ado tam bién cilind ro de revo lució n, es aquel sólido com ­
prendido por dos bases circulares paralelas congruentes y cuya
superficie lateral es curva.
«— generatriz [g)
base
circular
■ e;e
^base eirá
lata de forma cilindrica
. O' , .
El cilindro circular recto.es parecido al prisma regular, solo
que ahora la base es un círculo. Por ello, sus fórmulas son
similares. /
V V
Generatriz
En un cilindro circular recto, ei
conjunto de todas las generatri­
ces forman la superficie lateral
del cilindro.
Á rea de ia sup erficie lateral (lkSL)
A ( ; --(peiim|trp"'de la base)-(generatriz)
¡k r, \ \ * £ ? ’{2nR) ■ (.g)
Á rea de ia sup erficie total (iAsr)
Jks T = A SÍ + 2 ■
IA.:r = 2nRg + 2nR¿
donde 2 \ ase es el área de la base
V o lum en (V )
! w • (generatriz)
I V íti/P ) - (q)
¿Por qué se llama cilindro de
revolución?
Porque es obtenido al hacer
girar 360° a una reglón rectan­
gular alrededor de uno de sus
lados,
-j

571. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
------------
/Jm raovxxxx .
f/ // / ■ \;**‘-* * ~ ‘
-----
' ¿'•vj***. • f*V * iÁ7..r>.»i«.V'tíXr.» V?.»-- ’
arases^ -"x '
■ jjjj
i Sección axial
Es una región plana determina-
I da por un plano que pasa por
x el eje.
\ ’ \ \ \ \ \ \ ' . V ; 5 i I I | ’ ' / / / ;
IhV/z
Ì . ' I } /
,\\Vi
' " ' y O' fií
, | 1 i'/ O:
i i l S ! I -■■■' a* ~r
i \ \ \ \
;jd!
T
..
t •
¡Cuidado!
El perímetro de la base es dife­
rente al área de la base.
v 1 i l !
. ’ 5 '
Perímetro: longitud de la
circunferencia.
i ' // „
'i peí¡metro-2.tlR
Área: medida de la región
circular.
■ • .....
................... m!¡ i
j frea-nfí? J jj j! ! I
Ejemplos
1. Calculem os el área de la superficie lateral y su volum en.
Calculamos elárea de la superficie lateral.
IkSL=(2nR) • (g)
A Si=(2tc5) • (7)
A m p e r ím e t r o de la base)(g)
^SL ~ 7 07Ü.
Calculamos el volumen. \
V = ( * t a J ( 3 ) I
v = {n R % ) X /
W=(h52)(7)
V=175tü . . -
C
Í P ‘ é
> f * ¿ s
. x/' W 1
2. Calculemos el área de la superficie lateral y su volumen.
% - '
1
2
1
Calculamos el área de la superficie lateral.
1Asl={perímetro de la basé){g)
IKsl={2ti R)-{g)
IkSL={2n4)-{2)
JkSL^ 6n
Calculam os su volumen.
w = K J (g )
V = (it R % )
V=tn42)(2)
V=32ti

572. Capítulo 14 Geometría del espacio I
11.2. Desarrollo de la superficie lateral del cilindro circular recto
Su desarrollo es una región rectangular donde un lado del rec­
tángulo es igual a la generatriz y el otro lado es igual al perí­
m etro de la base.
B'
11.3.C ilin d ro e q u ilátero
Es aquel cilipdro circular recto donde su sección axial es una
región cuadrada, por ende la generatriz será de igual longitud
ron el diámetro : /v -' í
Se cum ple
ton .350,1
9=2R
Ap l i c a c i ó n 70
Calcule el volum en del cilindro equilátero mostrado.
D alo cu rió te
Motor de cilindros
En la mecánica, un cilindro es el
lugar por donde se desplaza el
pistón de un motor, en esa área
se realiza la explosión del com­
bustible para que el vehículo se
desplace. Existen motores de 2:4;
5 y 6 cilindros.
C\
XV
En todo cilindro circular recto o
de revolución, a las generatrices
ubicadas a cada extremo de un
diámetro se les llama generatri­
ces diametralmente opuestas.
AB y CD son generatrices dia­
metralmente opuestas.

573. La Fortaleza del Real Felipe
Es una edificación militar dé
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . , ■■ i .* r . * ;
estilo Vauban construida en el
siglo xvm en la bahía del Callao,
durante los gobiernos de los vi­
rreyes José Antonio Manso de
• . ‘ ' v. \ ' ‘ .!•;!; ó • i | 5 i
Velasco y Manuel de Amat, para j
defender el puerto contra los
ataques de piratas y corsarios.
|Cuidádol rfr
No se debe confundir la sección
axial con el desarrollo de la su-
• perficie lateral,
\
¿kR
¿ fda5arroJlo;
nxtol J lateral l.
Re s o l u c i ó n
Com o el cilindro es equilátero,
la generatriz.
Del gráfico
entonces el diám etro es igual a
* = K J < S >
V=(jt R2)(g)
W =(ti22)(4)
V= 16ti
Ap l i c a c i ó n 77
Calcule la longitud de la diagonal del desarrollo de la superficie
lateral del cilindro de revolución.
Re s o l u c i ó n
Desarrollamos la superficie lateral.
A A'
4n
diagonal del
desarrollo
lateral
i Notamos que el es notable de 37° y 53°.
! a
d=Sn

574. Capítulo 14
- ■ 1 ' r :
En casa, con mucho cuidado corta un tubo de cartón de papel toalla formando dos cilindros, uno recto y
otro oblicuo, donde sus generatrices sean de la misma longitud. Luego vierte arena en uno de ellos hasta
llenarlo al tope de la base superior y luego la misma arena viértela en el otro cilindro, notarás que también
será llenado hasta el tope.
22 cm
t>o ao cortón
Ó )
0 _
T
1
■
7 c¡n
i
•• N
'
------ « .
7 ..
(4) i .y jeg y > 11 n d re ¡ t \ o s
5

575. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
GEOMETRÍA DEL ESPACIO I

576. uj en
Cálculos
V
______/
^ ■ S L ~ (Per,metro de la base)(altura)
¡kST- (A s J+2 (A base;
V = (* b J(a ltu ra )
J

577. Cálculos
A s¿=(perímetro de la base)(generatriz)
A 57“ 1(ña)+2(* base)1
V=i
f eD3se)(generatr¡z)
Capítulo 14

578. Problema N.* 1
Si AB=S, 8 0 1 3 y CD=8, calcule la longitud
de la proyección ortogonal de BC sobre el
plano H.
C
A) 12 B) 8 ‘ C) 10
D) 4 E) 6
Resolución %
Nos piden x.
x es la proyección ortogonal de BC sobre-el
plano H
Se traza B R1CD
-> RD=3 y BR=x
En el BRC: por el teorema de Pitágoras
x2+52=132
x2=132- 5 2
x2 = ' ¡ 4 4
x= 12
Clave
¡ ‘ó v>:
Del gráfico, si EC es perpendicular al plano que
contiene al cuadrado ABCD, calcule x.
A) %/Í3 B) VÍ5 C) V23
D) V22 E) a/17
Resolución
Nos piden A8=x.
El L: AMB es notable de 37°.
-> BM=3 y AM =4.

579. Como EC es perpendicular al plano
-» EC 1 C Ä
En el ìì^ADC (notable de 45°)
4 C = 3V2
En el ìi^ACE: por el teorema de Pitàgoras
X2 = 2 2 4- (3V2)2
x2=4-f 18
x2= 22
x = V22
C/oi^e
* « . .
.............
Problema NL* 3 j* * *
.
-------------—--------------------------^
Del gràfico, calcule x.
D) 5 E) 3
R eso lu ció n
Nos piden AB-x.
D
En el kxD ßC : por el teorema de Pitágoras
(DB)Z + 22=S2
{DB)2=2 5 - 4
{DB)2=21
Dß = V2I
En el î^ 4 D fî: por el teorema de Pitágoras
x2 4-V212 = V3Ö2
^+21=30
^ = 9
x=3
Clave
D) 737 E) 2V13
Resolución
Nos piden x.

580. Dato: R=1
Com o AO es perpendicular al plano
-> À Ó LO B
En el ì^AOB: por el teorema de Pitàgoras
- 4 x W + 12
^ = 37
x = a/37
Clave {
p ’U lem a S
_______________________________
Si FA es perpendicular al plano H, calcule 9.
Nos piden 0.
En el gráfico notamos que
EÁ: 1.a 1
A D : 2.a 1
£D : será la 3.a 1
Notamos que m < FD C= 90°
El k v FDC es notable de 37° y 53°.
0=37°
C/c?5/e
En el gráfico, los semicírculos se encuentran en
planos perpendiculares. Calcule AB.
Resolución
Piden AB=x.
_j

581. Capítulo 14 Geometría del espacio I
Com o los planos son perpendiculares
A O l/ U H
Luego AO será 1OB.
Elfe^/A06 es notable de 45°.
* = 3^2
I Clave \ V }
Problema M.' 7
_____________________
Del gráfico, si los planos son paralelos, calcule x.
A) 9 B) 3 C) 2%/3
D) 12 E) 3^3 ..
Resolución
Nos piden x.
Como los tres planos son paralelos, por los da­
tos del problema podemos aplicar el teorema
indicado.
x 3
—> — — —
6 2
_ 18
2
x=9
Problem#M4 8
__________________
Del gráfico, si CD=5 y AB=BC, calcule AD.
''ir:'.r7s .¿•vV V
t%C.* D
A) -Js B) \¡7 C) 2V§
D) 2^3 E) 3^7
Resolución
Nos piden AD=x.

582. Dato: C D = 5
Por teorem a de las 3 perpendiculares
ÁD : 1.a 1
ÁB: 2.a 1
D 8 será la 3 a 1
N otam os que m < D 8 C = 9 0 °. .
En el A . DBC (notable de 53° y 3 7 °)
CB=3 y D 8= 4
Por d a to :4 8 = C 8
-> >48=3
En el A , D 4 8 : por el teorema de Pitágoras
x2 + 32=42
¿ = 4 2- 3 2
^ = 7
x= V 7
.<> A *
Jf .Mh A !
/ . % ;
1“ 1 :
f . £ w a a :
y. ■ /£!<•. * -5 .
-í: *
% $ *
% <$'-y ,Ay.:>v # :
% ‘ l: :
•á Á&yy .-S<v !
\ yMw 1 / :
X y 3 | ^ 4 }
%
P ro b le m a M° 9
V'v;.. ’
íf %. *
Del gráfico, si el triángulo 4 8 C es equilátero,
4 8 = 4 y 8D = \/3, calcule la medida del ángulo
diedro AC.
A) 53°
D) 25°
B) 37° C) 30°
E) 45°
Piden la medida del diedro AC (la medida del
diedro formado por los planos que se cortan
en A c ).
Dato: el A ABC es equilátero (48=4)
-» 4C=8C=4 ;
N otamos ti u e .v JA
- A v a •
'ím** 4 '¿As-A
l 8D: 1 a l
% fD 8 :A a l
—> 88 será la 3.a 1
Luego a es el ángulo diedro pedido.
Notamos.
8
El A 8D8 es notable de 30° y 60°.
a= 30°
i Clave

583. Problema N.’ 10

584. COLECCION ESENCIAL Lumbreras Editores
.fe , . i *.£
Sabemos que
^prisma- (^baseKa^ura)
Rcsíjlisdén
Nos piden JASL.
Notamos que
(4)(5)
A
base
= 10
Se cum ple en el prisma que
EG=AC
EG=4
En el cuadrante EGC:
CG=EG
-> CG = 4
altura
del . <?í
prisma . f '
Reem plazam os en lo que piden.
^ p rism a= 00)(4)
V =40 \
prisma
W
Clave
P ro b le m a N.* 12
___________________^ % y
Del gráfico, calcule el área de la superficie late­
ral del prisma regular.
A) 21 B) 15 C)
D) 9n/i3 E) 16
Sabemos que
^ ( p e r ím e t r o de la base)(altura)
Como EA es perpendicular a la base
-> £ 4 1 A C
| A'
Corno el prisma es regular, su base es un cua­
drado. /
Notamos que
perímetro de la base=2 + 2 + 2 + 2
x v
------*
8
En e lt^ A SC : AC = 2^2
En el EAC: por teorema de Pitágoras
h2 -4- (2^/2 )2 =52
h2 =S2- ( 2 j ¿ f
/i2=17
-> h = J ñ
Reemplazamos en lo pedido.
A s t = ( b) ( Jü)
\ Clave { .

586. Sabemos que V= (jS^ ase)(altura).
En la base, como el triángulo es isósceles, le
trazam os la altura BM,
-> AM=A=MC
En el k^BMC (notable de 37° y 53°)
MB=3>
Luego
Ik
(B)(3)
base
= 12
Reem plazam os en lo pedido.
V={12)(6)
/. V = 7 2
Clave 7
Problema N.‘ 15
____________ r-
En el gráfico, se muestran dos prismas regula­
res. Calcule la razón de los volúmenes.
Resolución
W
. . . i prisma 1
Nos piden — -
------.
w prisma 2
equilátera
Como los prismas son regulares, entonces sus
bases son triángulos equiláteros y al tener una
arista básica en común, entonces todas sus
aristas básicas miden tres.
Se observa que la altura del prim er prism a
mide cuatro.
Calcularnos los volúmenes.
^prism a 1 _ ("^base l ) ( a ^u ra
V • o í
prisma 2 (■^base 2)
altura 2)
’
V . ,
prisma 1X 4
(4)
/
V . ~
prisma 2
\ ï ) 2s ë
1(6)
)X 4
W A
prisma 1 _ 4
^prism a 2 ®
^prisma 1 _ 1 _ 2
VJ ~ ~ 3
w prisma 2 c D
i Clave i ti

587. Problema N.’ 16
En el paralelepípedo rectangular mostrado, su
largo mide 4, el ancho mide 2 y la altura 3.
Calcule la longitud de la diagonal de dicho sólido.
A) 5 B) Æ C f v lñ
D) 6 / E ) j l á
S •$!?#' #1?" jfê
| V' Jp *
Resolución \
\ ,w ,‘
Nos piden AG=d.
diagonal del sólido %
En la base trazamos AC y en el k^ADC aplica­
mos el teorema de Pitágoras.
(AC)2=42+22
(AC)2=20
-> 4 C = V20
Luego, en el ti^ACG aplicamos el teorema de
Pitágoras.
d2 = í 2 + (\ ¡2 o f
d2=9+20
d2= 29
C/ave
Del gráfico, calcule el volumen del cilindro de
revolución.
A) 30^371 B) 81 ti ■ C) 72 tt
D) S04ên E) 36n
Resolución
I Nos piden V cilindro.
H

588. COLECCIÓN ESENCIAL
Sabemos que
^cilindro- (^ b a se )^
V cil¡nd-o=^/?2)(g )
Trazam os el diámetro AC y notamos que el
ACB es notable de 37° y 53°.
-> 6C = 8 y AC = 6
g=8 2/?=6
/?=3
Reemplazamos en lo pedido.
V . =(ji32)(8)
cilindro
^cilindro37211
^Clave
v WF- • «#&£•-• ¿V ' • *
#; .<■/.> % V X : S ' ..' V v ' X >
| ‘W I n ^ < -?C r .v íx V
4 ,
% -M0'
\ * |P .
-.....% ,L
______1___
Sabemos que A base=7r/?z.
Del dato
^super. lateral|=M jggD
< 2 / / ? ) 0 = U / ? 2) 0
2R = R2
2 / = / • / ?
2=/?
Luego
*base= "(2)2
■a base= 4 lt
Clave
Calcule etérea de la superficie lateral del cilin­
dro de revolución mostrado.
P ro b le m a N.* 18 \
—
------------------------------------v A I 64ti.# % J
En un cilindro de revolución, si el área de la,,^x%D. T4¿% ^
superficie lateral es numéricamente igual que
su volumen, calcule el área de la base. i;C %
A) 371
D) 4ti
B) 6tt C ) W '
E) 5tü
R eso lu ció n
Nos piden I\ ase.
v. K '
__
.
—l)asr-
C) : 5671
D) 36tt
E) 7371
Resolución
Nos piden IkSL.

589. Capítulo 14 Geom etría del espacio I
I
______Ü__________________

590. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
________
Sabemos que V = (n R 2)(g).
Trazam os el diámetro AD y se forma el ^.AED.
-> Por el teorema de Pitágoras
(2/?)2 = 4 2 + v/202
4í?2=16+20
4/?2=36
ff2=9 -» R= 3
Adem ás, en el fc^CDf: por el teorema de Pitá­
goras
f2 + V2C)2 = a/ 4 5 ¿
3 2= 4 5 -2 0
g2=25 -> g=5
Reem plazam os en lo pedido*.
.41»
V=7r(3)2(5)
/. V = 4 5ti
C) 86 OOOti cm 3
D) 92 OOOti cm 3
E) 104 OOOti cm 3
ResoíüCíón
Nos piden V persona.
-----_ J/?*
c
T
10 cm i
W - i -
i ' SO cm .
antas
-
v—Air " ' 80 cm .
después
J
;sí«w
P ro b le m a N.° 2 5
'A?
/SV
! Clavé i
■
..............
A S
%•. •%
En un recipiente cilindrico que contiene agua
se introduce una persona y el nivel del agua
sube 10 cm. Si el radio de la base mide 80 cm,
halle el volumen de dicha persona.
Notamos que cuando la persona se introduce
en el cilindro, .el nivel del líquido asciende, de
lóxuaf podemos decir que
'%&? , y V "
h . = v .
Apersona w líquido
que asciende
V pe™na= [ n (8 0 cm )2] ( l 0 H
Apersona = i 6400* Cm2)(l0 Cm)
Apersona = 64 000ncm 3
: Clave
_
A) 64 OOOti cm 3
B) 72 OOOti cm 3

592. COLECCIÓN ESENCIAL
m
Lumbreras Editores
6. Si BD es perpendicular al plano, calcule x.
B
A) 7 B) S j í C)
D) 2 j¡3 E)
9. Si se muestran dos cuadrantes y un cua­
drado, calcule a .
A) 45° B) 60° C) 90°
D) 30° E) 53°

593. 12. Calcule el área de la región triangular EBC.
Calcule la medida del ángulo diedro AB.

594. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
18. Si los cuadrados están ubicados en pla­
nos perpendiculares, calcule x (O y 0 1 son
centros).
A) 2-JÍB) 4 C)
D) 4\Í2 E) £
19. Calcule el volumen del prisma recto.
------
I N I
N‘1pr
21. Calcule el área de la superficie lateral del
prisma regular.
^ ;
y
/
r n
1
f
-------- ^
* ' ‘ ni
A) 40
D) 36
B) 30 C) 50
E) 46
22. Calcule el volumen del prisma regular.
% %
\
1 ’V ' ■ V 4 / "
B) 25 C) 15 -
A) 2 lÆ B) 15^3 C) 9 £
E ) % #
D) I0Æ E) 12Æ
A) 10
D) 12
20. Calcule el volumen del prisma recto.
A) 60
D) 36
B) 33 C) 64
E) 54
23. Calcule el área de la superficie lateral del
prisma regular.
A) 42V2
D) B6-Æ
B) 38n/2 C) 26\¡2
E) 4o

595. Capítulo 14 Geometría del espacio I

596. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
30. Si O es el centro del rectángulo ABCD,
calcule el área de la superficie total del
cilindro de revolución.
33 Si HB es perpendicular al plano, calcule x.
A) V2 B) 4 C) 5
D) 3 E) 6
A) 73ti
D) 5671
B) 39tc C) 76n
;787T'-
.Á
31. Si el cilindro es de revolución, calcule su \
íf __ I
volum en. I t w J Ë F Æ I
'kxSi*
¡ s .
Á % ‘
V
34. Si EB es perpendicular a! plano, calcule x.
í\
V21
Í J - >
X
; /¿¡bk • * ■ N~*
í
V * > r »
I ^ w » -
A D
\ / ’
'
A) 2
D) 1
B) Æ C) Æ
E) 1,5
A) 36ti B) 60 tt C) 40 tt
D) 3071 E) 25 tt
32. Si el cilindro es equilátero, cuya región
sombreada es igual a 16, calcule el área de
la superficie lateral.
A) 16ti
B) 7n
C) 12ti
D) 18ti
E) 30tc
35 Calcule el volum en del cilindro de revo­
lución.
A) 78tt B) 76k C) 847t
D) 96ti E) 100JC

597. Geometría del espacio I
I
i
i
i
i
:

598. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
__________:_________________________________________________________

599. Capítulo 14 Geometría del espacio I
47. Calcule el área de la superficie lateral del
prisma regular.
50. En un cilindro de revolución, el volumen es
igual al séxtuplo del área de la base. Calcu­
le la altura x.
A) 6
B) 4
C) 5
D) 7
E) 9
En un cilindro de revolución, el área de la
A) 30
D) 18
B) 12 C) 36
E) 24
48. Calcule la razón de volúmenes de los pris­
mas rectos. Í ,
W
i
y
superficie lateral es igual al doble del área
de la base. Calcule el volumen.
ó T
Æ
> . . - v '
• . M- , '■ ;!?<, a -
> I §>
jf.n'S
0%.
%
#
i? % Jr ^
' %. #
A) 3
D) 2
B) 4 C) 5
E) 3/2
49. Calcule el volumen del prisma recto.
A) 16tt
D) 25tt
B) 27ti C) 1471
E) 32ti
52. En un cilindro de revolución, el volumen es
igual al área de la superficie lateral. Calcule
el volumen.
A) 32
B) 14
C) 24
D) 30
E) 16
A) 10ti B) 15 tx C) 20 ti
D) 25ti E) 40 ti

600. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
53. Calcule la razón de volúmenes de los cilin­
dros equiláteros mostrados.
j 55. El gráfico muestra un edificio. Calcule el
volumen del departamento ubicado en el
; tercer piso.
D) 120 cnrr
E) 200 cm2
A) 64ti m3 B) 5471 m3 C) 36 ti m3
D) 100ji m- E) 120ti rrr

601. Capítulo 14
— ___
___________r r r”
Geometría del espado I
57. Un niño de 1 m de altura mira la parte su­
perior de un tanque de agua con un ángu­
lo de elevación de 53°. Calcule el volumen
del tanque.
Si se vierte todo el contenido de leche a un
vaso cilindrico, calcule la altura del cilindro
formado por la leche en el vaso.
A) 40ti m3
D) 36ti m3
B) 2471 m3 C) 16 ti nrr
/
.E) 307tm3
¿fe. ..
w f t
A) 4
D) 3
B) 6
\ W w i 'i S J r .
V z í J ' W
^ w
C) 10
E) 9
Claves
1s E10 A 19
c
28 37 46 55
2 A 11 D 20 E 29 38 47 56
3B 12
/V
21
A
30 39 48 57
4 D 13 L 22E31 40 49 58
5c14 E 230 32 41 50 A i
6 0 15 A 24 B 33 42 51 b ;
7 16 8 25 í j34 43 52c ■
8B17 0 26 I i35 44 53 E ¡
9 B 18 A 27 A 36 45 54 0 ;

603. /
En la actualidad existe una gran cantidad de construcciones
de interesante estilo (sólidas o estructurales), com o los edifi­
cios curvos, inclinados, poliédricos, etc.
En la imagen se muestra la Biosfera de M ontreal, m useo d e­
dicado íntegramente al medio am biente. La estructura mide
61 metros de alto y el diámetro de la esfera es de 78 m etros.
El marco principal está hecho de tubos de acero y utiliza
alrededor de 1900 paneles de acrílico para las fachadas.
Actualmente, la esfera sirve de locación para num erosas
exhibiciones interactivas para niños y muchos otros progra­
mas culturales y de entretenimiento para todas las edades.
f V l f l f d
AMOR A SOFÍA
• Conocer los diversos sólidos existentes y poder diferen­
ciarlos.
• Analizar las propiedades y características de cada sólido.
• Calcular áreas y volúmenes de sólidos de m anera correcta.
Porque nos permitirá comprender mejor nuestro entorno y
entender la importancia de ciertas construcciones antiguas
y modernas como, por ejemplo, el porqué de la forma de
las pirámides de Egipto, el porqué de la form a de los techos
de algunas chozas, el porqué de la form a de los tanques de
petróleo, etc. Estas construcciones deben ser analizadas en el
contexto en el cual fueron creadas para tener conclusiones
más objetivas.

604. Es el poliedro limitado por caras triangulares con.un vértice en
com ún y una región poligonal que sirve com o base.
Pirámide cuadrangular
//
/ \
/ ■ / /
/ •
rJ80¡P
V-ABCD\ pirámide cuadrangular- ' "
sf-*k
/
c*
pirámide; dependiendo de la forn
■
/ y \.
< p / ■ ;
W V
- fwf&rrlidD '- - ■ • • ■: : ú f
su base, puede ser
.// \ \
/ : v \
/- w
\ >
P » r fir á q c f '-f í|hnj .
Área de la superficie lateral ( A SJ
/A
j sum a de áreas de todas j
sus caras laterales I
___J

605. Área de la superficie total (2Asr)
V
‘ ^sr~ fa st) + (^base) •
;
donde A base es el àrea de la base
V o lum en (V )
r __ (^ba
1
se) (altura)
(
3
1.1. Pirám ide regular
Es aquella pirámide donde:
Su base es un polígono regular.
- La altura cae en el centro de la base.
- Sus aristas laterales son todas de igual longitud.
Sus caras laterales son congruentes entre sí.
La pirámide de Egipto es regular y
O: centro de la base su base es un cuadrado.
En una pirám ide regular, el área de la superficie lateral se pue­
de calcular de la siguiente forma:
IA
( áren de una •' ninnerò cío '
I. car ri latrar ai ì\ caí a' ian-.-r ale-1-
Pirámide regular

606. . T V
¿Qué es el apotem a?
Es la línea perpendicular que se traza desde el vértice de una
pirámide regular hacia una arista básica.
Dato curioso
Estructuras piramidales
EL Luxor es un casino y hotel
ubicado en Las Vegas (EE.UU.).
Su diseño está relacionado con
una pirámide egipcia y tiene un
total de 4408 habitaciones.
Ap l i c a c i ó n 7
Si la pirámide es regular, calcule el área de la superficie lateral
f e l l
La pirámide de Pei se encuentra
en el patio de Napoleón en el
museo de Louvre (Francia). Su
estructura está hecha de vidrio
y aluminio.
Re s o l u c i ó n
Como la pirámide es regular.
„ ( área de u n a V número de
-> Ikr, =
l cara lateral Jl caras laterales
Notamos que
Cdia
lateral
1 cara
lateral
Luego
N.° de caras laterales: 3
Reemplazamos
&<-,=( 10)(3)
Lumbreras EditoresCOLECCIÓN ESENCIAL

608. COLECCIÓN ESENCIAL
/// importante»
L i I i * * * * *
.......................................
f . : '
I j ¡ Generatriz
. . f En un cono circular recto, todas
= = ± r las.- generatrices son de ¡ igual
longitud y forman la superficie
lateral del cono.
^' \
9/ Z :
'/ / No olvido :
¿Por qué se llama cono de
f revolución?
I Porque es obtenido al hacer gi-
í rar 360° a una región triangu-
lar rectangular alrededor de un
. í cateto.
j ,
j Z / M M, í
^ ¡ l i l i l í #
^:r¡ Cllltllil!
2. CONO
2.1. Cono circular recto
Llamado también cono de revolución, es aquel sólido com ­
prendido por una base circular y una superficie lateral curva
que termina en un solo punto llamado vértice.
A
veitice o
cúspide ■ M m
W r M iL —
A r J
__l^ js^ g
e'Sftr.: "
Choza reconstruida de ¡a
fortaleza de Kuélap
•A
u";?
Ot ■
5 " - x/
-A:' - , , y .
El cono circular recto es parecido a la pirámide
regular^sqlo que ahora la base es circular.
2 , , -, -
Área de la superficie lateral (iÁ^)
r^ .: < r
/&<-, = (ségii perímetro de la base) (generatriz)
-- '—
&SL =
nR
9
Área de la superficie total (i&S7-)
^ S r - tA s i) + tobase)
nRg + 7t/?¿
Volumen (V )
(ZA. U altuia) n/C (/i)

609. Geometría del espado II
Ejemplo
1. Calculemos el área de la superficie lateral y el volumen del cono.
donde
- R=3
- 2=5
- h=4
Hallamos el área de la superficie lateral.
JASL=nRg -> Ik SL=n{3){5)
A-Sl=15n
Hallamos el volumen.
Hallamos el área de la superficie lateral.
JkSL=nRg -» Ik SL=n(2.){\íyp)
JAsl=2^1371
Hallamos el volumen.
W ;)
v =
nR2h 7i(2)2(3)
V = 4ti
cono.
La sección axial del cono es la
región plana determinada por
un plano que pasa por el eje.
% •
: úlú ■ . y- :■ ■ • - - .
. - . / i ;
• j ; \ .\ • '
/ • / I V \
r
' m /
....
o
K-' <•'
V \ *v
AN \
Generatrices diametralmente
opuestas
En un cono de revolución, son
aquellas generatrices ubicadas
a cada extremo de un diámetro.
VA y VB son generatrices dia*
metralmente opuestas.

610. COLECCIÓN ESENCIAL Lumbreras Editores
Volcán de Mayón
Está situado en la isla de Luzón
' *
i en Filipinas, se le conoce como el
cono perfecto, porque su forma
i cónica emula el prototipo ideal
. de esta figura como ninguna otra
[ estructura natural. Este volcán
i todavía está activo. En el Perú,
i la cadena volcánica está consti-
| tuida aproximadamente por 50
; volcanes (activos e inactivos) y
todos se ubican en la región sur
í: del.Perú sobre la Cordillera Occi-
l dental. Los más conocidos son el
[ Misti y el Ubinas.
2.1.1. Desarrollo de la superficie lateral del cono circular
recto
Su desarrollo es un sector circular donde la longitud del arco
del sector equivale al perímetro de la base y el radio mide lo
mismo que la generatriz del cono.
A'
Notamos que R=1 y g=3.
Por propiedad: a = — (360°)
a = -(360°)
3
a = 120°

611. L
2,2. Cono equilátero
Es un cono circular recto, donde su sección axial es un triángu­
lo equilátero, por lo tanto su generatriz será de igual longitud
con el diámetro de su base. Además, el desarrollo de la super­
ficie lateral es un semicírculo.
Megáfono
Es un aparato en forma de cono
que permite amplificar sonidos
y es usado en manifestaciones,
eventos, etc.
El megáfono acústico es de ori­
gen antiguo y funciona sin elec­
tricidad.
I
Actualmente, existe el megáfo­
no eléctrico, el cual necesita una
batería.

612. COLECCIÓN ESENCIAL
Lumbreras Editores
3. ESFERA
n| H j i ] ; 1>
...;;
Tipos de tanque
Los tanques pueden clasificarse
i en cilindricos, esferas y esferoi-
; : des. El tamaño y la forma de
"i los tanques varía según su uso.
Los cilindricos se utilizan para
•' almacenar, sustancias líquidas,
V mientras que las esferas y esfe-
i roides contienen gases licuados,
i ya que su forma geométrica es
la que mejor soporta la presión.
En estas esferas, el gas se man-
tiene refrigerado en un cuidado
i equilibrio que combina el esta-
; do gaseoso y líquido.
i
Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira 360° al­
rededor de su diámetro.
donde
O: centro de
la esfera
- R: radio de
la esfera
punto de tangencia
3.1.1. Plano tangente
Interseca a la esfera en un solo punto (punto de tangencia).
3.1.2. Plano secante
Interseca a la esfera para formar un círculo.
3.1.3. Círculo menor
Es determinado cuando el plano secante no pasa por el centro
de la esfera.
3.1.4. Círculo máximo
Es determinado cuando el plano secante pasa por el centro de
la esfera.
í
*m

613. Área de la superficie esférica (iASf)
Se refiere al área de la superficie curva que envuelve a la esfera.
lA Sl~4;iR¿
V____
Volumen (W)
...
\
v „ .f_
■
GSIff
rt 3
Ejemplos
1- Calculemos el área de la superficie y el volumen de la esfera.
,&*■' f ; • . '
£ i jÁ* • \ •
• %
i
'/s /:■
$ X i
I ■>- ' . V , á> . I . /
. íy
%
Area \
A.S£=4tü/?^&,
iA Sf=47t(2)2
A.5£=167i
Volumen
^ N v
^ I ,?
w v = - ,t( 2 ) '
iP w 32 W = — n
3
2. Calculemos el área de la superficie y el volumen de la esfera.
W=36tt
i • . V*
El Adidas Brazuca
Fue el balón oficial para la Copa
Mundial de la FIFA Brasil 2014.
Este balón ha sido sometido a
numerosas pruebas y ensayos
j durante los dos últimos años y
medio. Más de 600 futbolistas
profesionales y 30 equipos de
diez países repartidos en tres
continentes lo han utilizado.
v i
El hemisferio
En Geografía, un hemisferio es
la mitad de la superficie de la
esfera terrestre dividida por un
círculo máximo, normalmente la
línea ecuatorial o un meridiano.

614. construcción hecha con
bloques de nieve, tiene forma
de semiesfera y sirve como re­
fugio ya que en su interior la
temperatura es de 0o, indepen­
dientemente del exterior.
Las paredes del iglú no permi­
se
El segmento que une el cen­
tro de la esfera con el centro
del círculo menor siempre será
perpendicular a dicho círculo
j menor.
... -
4. SEM IESFERA
Es la mitad de una esfera determ inada por un círculo máximo.
Área de la su perficie de la sem iesfera (lAs)
Es la mitad de la superficie de una esfera.
Jk5=tlR~
i
i
Área de la su perficie to ta l de la sem iesfera (2A57.)
Se considera al área de la superficie de la semiesfera más el
i' > < » ¿ \ . , - v v
área del círculo máximo.
f 2ixR-.4W h i "
V
% ■!& ,.v it %. '
I * t
- V -
V o lum en ( V )
Ejemplo
Calculem os el volumen de la semiesfera mostrada.
Observam os que R=5.
Luego
V = — R3
3
V ^ ( 5 ) 3
3
250ti

615. 5. PO LIEDROS REGULARES
Son poliedros cuyas caras son regiones poligonales regulares y
congruentes entre sí. Solo existen 5 poliedros regulares.
En cada vértice concurre el mismo número de aristas.
di lililí
_j
Si a es arista, se cum ple
Área de la superficie total
Volum en (V)
N o ta ció n
Tetraedro regular ABCD don
de o es arista.
i /
/
¿Qué son los sólidos platónicos?
Platón en su obra El Timeo
asoció cada uno de los cuatro
elementos (fuego, aire, agua
y tierra) que según los griegos
formaban el universo en un po­
liedro: fuego al tetraedro, aire al
octaedro, agua al icosaedro y
tierra al cubo.
Finalmente, expone la existencia
del dodecaedro como la quin­
ta esencia, representada por el
universo.
7

616. El cubo de Rubik, llamado tam­
bién cubo mágico, es un rom­
pecabezas mecánico inventado
por el húngaro Emó Rubik en
1974 (profesor de arquitectura).
Su resolución consiste en que
cada cara del cubo tenga un
solo color. Además, es el jugue­
te más popular y vendido de la
historia. !
El Pyraminx es también un
rompecabezas de forma de te­
traedro regular, similar al cubo
de Rubik. Fue inventado por el
alemán Uwe Meffert.
/ a \ \
------------------¡ t ~
......* /
baricentro ‘ ' l '
En todo tetraedro regular, la altura cae en el baricentro de la
cara opuesta.
Además
Aplicación 5
Calcule el área de la superficie del tetraedro regular y su
volumen.
Resolución
Nos piden hallar la superficie total y el volum en.

617. Hallamos el área de la superficie total.
I k ST = (arista)2 %/3
A SÍ- = (4)2 Vá
.'. l k ST= 16^3
Hallamos el volumen.
^ _ (arista)3 V2
12
V =
v =
(4Ÿ-JÏ
12
I6V2
Aplicación 6
Del gráfico, calcule la altura del tetraedro regular.
Resolución
Nos piden h.
h: altura del tetraedro regular
(arista) Æ
. (6)76
h
----------
• 3
h = 2 j6
La Tete Au Carre (Pensando
dentro de la caja) es una bi-
blioteca que es una mezcla de
edificio y escultura, que crea
un enfoque muy visual. Se en­
cuentra en la Plaza Central de
Niza (Francia); esta construcción
cuenta con tres pisos llenos de
documentos digitales de toda
clase, así como de archivos en
papel y libros.
En todo cubo, la región deter­
minada por dos diagonales de
caras opuestas siempre es rec­
tangular.

618. En el cubo, cuando trazamos
diagonales de las caras, se pue­
de formar un triángulo equilá-
! r orn
20 Vài <o”
12 v4rtk<;'>
30 .msUis
Dodecaedro regular
12 cara$
"20 vértices
30. aristas
Icosaedro regular
Es un poliedro regular que tiene seis caras cuadradas y co n ­
gruentes.
se cum ple
Área de la superficie total
Volum en
En todo hexaedro regular, la longitud de su diagonal es igual a
la arista multiplicada por la raíz de 3.
Entonces
Demostración
Si a es la longitud de la arista
■A
a /
/ a
Z7 Z7
n / i /
' y / r .'.
Z7 /y
Notación
Hexaedro regular ABCD-EFGH

619. Se traza AC
El b^ADC es notable de 45°.
-> AC = a^Í2
En el t'ú^EAC. por teorema de Pitágoras
d 2 = o2 + (oV2)
d2-o2V¿o2
d2=3a2
d = Qyfd)
Aplicación 7
Calcule la diagonal y el volumen del hexaedro regular.
Calculam os la diagonal,
c/ = (arista) V3
d = ( 3 ) S
Calculam os el volumen.
V=(arista)3
V= (3)3
V = 27
• En el tetraedro regular, las
alturas se cortan en un pun­
to interno llamado centro
del tetraedro.
. sn
/_;
__ c • ' - i'V ■
• En el hexaedro regular, las
diagonales se cortan en un
punto llamado centro del
hexaedro.
* En el octaedro regular, las
diagonales se cortan en un
punto llamado centro del
octaedro.

620. 5.3. O ctaedro regular
Es un poliedro regular que tiene ocho caras
triangulares equiláteras congruentes.
r
Área total de la superficie
“ 7 .
------x
" x iP
Volum en
Notación-
Octaedro regular P -A B C D -Q
Teorem a de la diagon al del octaedro regular
/
/
o / /
/ / ' ■
\ \
\ '
! \
id \
\/
‘7
A
\
/ /
/ /
X
.€ n
: í i h
En todo octaedro regular, la longitud de la d ia­
conal es igual a la arista multiplicada por la
j
raíz de 2.
- f 'Vi..''
• „ e .. \ X '
%;• .
d = a\!2

623. V

624. Problem a M.* 1
Del gráfico, si la pirámide es regular, calcule x.
Ak
A) n/Í5
B) 2V7
C) 3V ri
D) n/37
E) s j j
Rí2soluaÉBí
Nos piden x.
3
O
triángulo
equilátero
...Ai*
Com o la pirámide es regular, su base es un
triángulo equilátero.
AC=BC=AB=6
Com o G es baricentro
AG=2>/3 y G M = V 3—»
En el (? .AGV: por el teorema de Pitágoras
V
^=52+ { ¿ 0
x*=25+12
x2=37
x = V Í7
Clave
a > V ¿.’¿í S *Vj,
Del gráfico, si la pirámide es regular y O es
centro de la base, calcule el volumen.
A) 72
B) 46
C) 82
D) 36
E) 86
/ / \
0
: y ^
¡f W * • < , 4,.
Nos piden V.
£7
\ r
£7
cuadrado
Sabemos que
T (A base)(a ltu ra )
En el InADC, por el teorema de la base media
-> CD=6

625. Com o la pirámide es regular, su base es un
cuadrado.
-> AD=CD
Luego
*base=(6)2
En el LxVOC, por el teorema de la base media
1/0=6
alturá
Reemplazamos lo que piden.
v _ (36)(6)
3
/. V=72
R e so lu ció n
Nos piden V.
v ^' V
Sabemos que
w K a s e ) < a ltu ra )
3
Com o la base es un cuadrado por ser pirámide
regular
'¿Abase=62 = 36
En el cuadrado ABCD, AC~ 6^2.
El A A VC es isósceles, donde VO es altura, m e­
diana y bisectriz.
En el VOA, por notable de 37°
VO = a42
altura
Reemplazamos lo pedido.
y (36)(4.V2)
• '% 3
.•r; v= 48\/2
\ 4: 1. - V . v t ' . • * * * • .
: C/ai/e
. . - i
Se muestra una pirámide regular. Calcule el
área de la superficie lateral (O es el centro de
la base).
A) 48
D) 8n/296 I >
B) 3 7 Í C) 6721
E) 4V23

626. R e s o lu c ió n
Nos piden lk SL.
Luego
Ik
(4) (V29)
de una
cara lateral
= 2\/29
4

627. Sabemos que
A ST= A SL+ A base
Las aristas laterales son iguales por ser una pi­
rámide regular.
-> VA=VB=VC=VD =4
Com o la base es un cuadrado
-> AB=BC=CD=AD =4
A)
D)
4V2Î71
3
6n/t¡7I
B) 4V2Ï71 C) e V ñ *
E) ^
Nos piden V .
Luego A base=(4)2=16.
A
' i \
Hallamos el Ik,
■SL
IkSL=( Ik,
una cara
lateral
^N.0 de caras''!
/
laterales*
JÉfc
A
( ¥ )
ióVb
(4)
X&28P ‘4 •
WW .>;> % •
w JÉP 'M i i
ê kr
y'¿*r*
Jo
jT % #
/ ( r -,
Q
../ ! Sabemos que;* \
f . 4
Reemplazamos lo pedido.
2A.S7.=16n/3+16
A s r =16(V3+l)
VM
*%# %■% .» r v 3
.. <X a %^V'*'
>.V +<'/•/<; -'O-
%
*«&,
<>„ %- *4-
A
% %. . #
v ; > . •
Ctaìve
Problema N.* 6
Del gráfico, calcule el volumen del cono de
revolución.
Del gráfico notamos que
R=2
En el AOV, por el teorema de Pitágoras
h2+22=52
h2=52- 2 2
h2=21
/i = V 21
Reemplazamos lo pedido.
y_ U - 2 2)(V2Í)
V =
3
4V2Ï71
Clave

628. Del gráfico, calcule la razón de volúm enes de
los conos de revolución.
“> í
O i
¥
cono menor _
[áñl
i
¥ .
cono mayor 1 / ( 2 R)
i
¥.
cono menor _
í
^ cono mayor 4f t í • 2
¥ 1
cono menor _ 1
¥ 8
cono mayor
E)
ir-.fthj
■-0È& A,
N os piden
¥.
cono menor
cono mayor
* C v í: v « A\ ;<>
i-gv,. W
......
J I F
Y' .SÉié'
.■ ':V ?:>•
Clave
Del gráfico, calcule el área de la sección axial
del cono de revolución.
4' %f‘ x,
Nos piden A
sección-
axial
En el VOC, por el teorema de la base media
VO=2h y PO^h
N otam os que
radio de la base menor=/?
y radio de la base mayor=2fí
Reemplazamos en lo pedido.
sección
axial
Notamos que A seccj(r)n ax¡a|=^ AVg
Se traza A N1 VB.

629. Por teorema de la base media en el ANB:
AN=4
Sabemos que V =
(■nRz){h)
Luego
Ik
(6)(4)
sección
axial
^ sección ^
axial
Clave\
Problema M/ 9
En un cono circular recto se ubica un punto en
una generatriz. Si la distancia de dicho punto
al vértice, la altura y la base es 5; 3 y 8, respec­
tivamente, calcule el volumen.,,
f
A) 316n B) 324 ti f C) 162ti . >
D) 280ti \ E)í'300ti 0 ^ '
El fes. VNP es notable de 53° y 37°.
-*> VN=4
El \h,PMB es notable de 53° y 37°.
-> &,M B=6
Luego
h=4+8=12
R=3+6=9
Reemplazamos en lo pedido.
(ti92)(12)
W =
/%<
V= 324nñ|
.<cAsss-,
Clave
Resolución
Graficamos e interpretamos.
Sea P un punto de la generatriz,
donde
- Distancia de P al vértice: PV=B\
- Distancia de P a la altura: PN=3
- Distancia de P a la base: PM=8
C>v \
y - í - ' - ' V y ; , v r . -v
Del gráfico, calcule el área de la superficie late-
: ral del cono de revolución.
V
Nos piden V .
V
D) 3^ n E) 9
r •'

631. ?rív H '
Del gráfico, calcule el área del círculo m enor Del gráfico, calcule el volumen de la semiesfera.
en la esfera.
A) 20n
B) 40ti
Q 50ji
D) 30tt
E) 257t
R sE o liic lé n
Nos piden A drculo.
menor
/
.
Sabemos que
^círculo = n r ~
menor
Notam os que
jp \
§ Cr '¿ '/ ‘ir >,
i mar
X ^ M
y«;
-vi ¿ W • /
D) 16ti
Nos piden W . .
V semiesfera'
&
¿i’
i 5
. . ‘ &
0 > <;É
( / v y
A) 2071 B) 10V3 tü C) 12 a/5tc
10V57t
E)
& w 55
% %. J
% •*<*»*
1 -
OB=R
3+4=/?
-> 7=/?
En el sombreado, por el teorema de Pitágoras
r 2+32=72 -+ r 2=72- 3 2
r 2=40
Reemplazamos en lo pedido.
* * ^círculo “ ^
menor
Clave
Sabemos que
w - 2nfi3
u semiesfera 3
En la semiesfera
OA es el radio de la semiesfera
En el OBA, por el teorema de Pitágoras
/?2=12 + 22
^ = 5
-> /? = V 5

632. A) 30°
B) 60°
C) 45°
D) 37°
E) 15°
Por propiedad de circunferencia se cum ple en
una esfera que
AO es bisectriz
El ií^/4Q|0 es notable de 37° y 53°.
—y OO-j = 3
R=3
Reemplazamos en lo pedido.
^superficie~47l(3)
esférica
•• ^-superficie—3 6te
esférica
Clave
■ % J S
.. . "Si": .„X.
Enel cubo mostrado, calcule la medida del án­
gulo diedro" formado por las regiones ABGH
Sabemos que
^superficie
esférica
Reemplazamos en lo pedido,
w _
^ semiesfera
V,
semiesfera
V,
3
2n5y¡5
3
10^5 n
semiesfera
Clave
P ro b le m a \£$
______
Se muestra una esfera inscrita en un cono
de revolución. Calcule el área de
esférica.
R e so lu ció n
Nos piden -^superficie’
esférica
A) 36ti
B) 40ti
C) 60tc
D) 24tt
E) 32ti

633. Resoli
Piden la medida del diedro form ado por ABGH
y EFGH.
C
o
A Z
‘ i \
V
/
'b
z
\
0
£
R esftU itfo n
Nos piden EM=x.
/ r ~
/ •
J :
r y fi.....
.....
.._ \
\ /
" " /
\ ! / - u r y / 3
E L ’ "
____H Z - Z Z
A C i
H
Por el teorema en el cubo,
x =
A/S
A) S
D) -JÌ
B) i
2
C ) &
E) 2
X
x = - M
Clave

634. P ro b le m a M ‘ 17
En el cubo mostrado, si O es su centro, calcule
el área de su superficie.
/f
y /
Io
*
x /
/
. . . . . . . . .
- i
Ni
O
/y
/
A) 14 B) 23 C) 36
Sabemos que
A superf¡de=_^fr¡Sta)2
Prolongamos M O hasta N y notaremos que
OM=ON y MN=AC
El fc CBA es notable de 45°.
CB=2 y AB=2
Reemplazamos en lo pedido.
^ superficie"6^ 2
•• superficie
Clave
P r n h le im M " VA6 lUUMSilla lu* Cw*
En el cubo mostrado, si BD=3, calcule el área
de la región triangular BDE.
o
Dato: BD=3
Notamos que BE, BD y ED son diagonales de
las caras cuadradas ABFE, ABCD y EADH, res­
pectivamente.
-> BE=BD=ED=3
El ABDE es equilátero.

637. s
i I
i l .
Nos piden A superflc¡e
del
tetraedro
Se muestra un tetraedro regular. Calcule el
área de la región triangular ADM.
D
/
. / t \
/
/
l \
/
P
I \
..........-
M
Q
Sabemos que
/ á f V \ : A) 12
f g A . . I D) 15
t % ^ ¿
B) 5^2
superficie del (arista)
tetraedro
■; Nos piden A ADM.
En el DGB, por el teorema de la base media
-> BG = 2y¡3 *
-- r ¿v e?
■1: - ■. »
: y
En el ABC, G es baricentro del equilátero
-» GM=\¡3
El BMC es notable de 60° y 30°.
-> fiC=6
Reemplazamos en lo pedido.
= (6)2 V3
-V
O
A
superficie del
tetraedro
á>
C) 972
E) 6 77.
* superficie del 3 6 7 3
tetraedro
Clave
Com o el ABC es equilátero
-> AM = 3\¡3 y /\C= 6
Trazamos DG para la altura del tetraedro que
también es la altura del ADM.

638. Entonces por el teorem a de la altura del
tetraedro
D G = (arista)
Vi
D G = f e ) V 6 = 2 ^ r
Reem plazam os en lo pedido.
(3V3X2V Í)
¿ A
ADM~
Nos piden GM=x.
\
P
A
A
ADM
= B>/l8
/ADM
,=9V2
I Clave
Se muestra un tetraedro regular. Calcule GM
(G es el baricentro de la base). 5 \ 'p K
A) 4
D) 6
B) 5 C) 3
E) 2 V I
Com o las aristas son iguales
-> DC=8
Luego
D M = M C=4
Trazamos DG: altura del tetraedro regular.
$ %, |P*'
En el s DGC, por el teorema de la m ediana
relativa a la hipotenusa
}J '
ÍX
i ¿
I \
x=4
Clave
t « V V ' -
Dos esferas de radio 1 y 2 se funden y form an
una nueva esfera. Determine el radio de la úl­
tima esfera.
A) l¡7
D) 5
B) 2
t T h '
C) V9
E) 3

639. Resolución
Graficamos e interpretamos.
Notam os del gráfico
nueva esfera esfera
esfera mediana menor
AiÍR3 AÚ (2) + AÚ (1)/
í i
R3=23+13
R3=9
R = U9
W ,:.íír
Nos piden V,
cono-
, „ T ( 7lR 2){h)
Sabemos que V cono =
-----------
Del dato
^cubo = 64
—» a-A
Luego notaremos que
, L 2R=A y h—2
R=2
Reemplazamos en lo pedido.
Clave
Problema N.‘ 26
_______ ____
Del gráfico, si el volumen del cubo es 64,
calcule el volumen del cono de revolución
(O es centro del cubo).
W
n(2) (2)
cono
V = —
cono ^
Clave
A) 4tc
» f
C) 9tt
D) 5ti
871
E) —
3
Del gráfico, el sector circular representa el de
sarrollo de la superficie lateral del cono de re
volución. Calcule el radio de su base.
A) 1
B) 1,5
C) 2,5
D) 2
E) 0,5
/
:> /

640. COLECCIÓN ESENCIAL
Resolución
Nos piden R.
A) 46ti
11271
B) 72ti
• 1
C) 1371
128tü
D)
5
E)
ángulo ciei
desarrollo
Nos piden V
cono'
/
Del gráfico, notamos que g=4.
Luego el ángulo del desarrollo de la superficie
lateral del cono es 90°.
Entonces por propiedad
R(360°) tí
m<desarrollo = :
•4 L W
90°=
R=1
R(360°)
Sabemos que
(nr2){h)
Clave
Problema N.° 28
Del gráfico, calcule el volumen del cono de
revolución inscrito en la esfera (R=5).
V
w-“cono
Notamos que VA es la altura del cono.
Como VO y OB son los radios de la esfera
-> VO=5 y 0 6 -5 .
El OAB es notable de 37° y 53°.
OA=3 y AB=4
r-A
Además, se observa que h=8.
Reemplazamos en lo pedido.
j i(4)2 (8)
V,
cono
3
128tt
cono
Clave
_ *

641. 1. Calcule el volum en de la pirámide regular
mostrada.
Del gráfico, calcule el volum en de la pirá­
mide regular.
A) 55
D) 90
B) 110 C) 70
E) 75
2. Del gráfico, calcule el volumen de la pirá­
mide regular.
A) 36
D) 16^3
B) 42 C) 16
E) 20V2
/ ' \ /
A) 16
D) 12 y¡3
Calcule el volumen de la pirámide regular
mostrada (O es centro de la base).
□
B) 6 C)
f\
3. Del gráfico, calcule el área de la superficie
lateral de la pirámide regular.
D) 48 E) 36
Del gráfico, calcule el apotem a de la pirá­
mide regular.
\ \
\
A) 3 B) 4 C) 2
D) 5 E) 4,5

642. Del gráfico, calcule la medida del ángulo
de desarrollo de la superficie lateral del
cono de revolución.
Del gráfico, calcule el volumen del cono de
revolución.
\
A) 45°
D) 120°
B) 60°
Del gráfico, calcule R.
A) 4
B) 6
C) 5
D) 3
E) 2V2
C) 53°
5 .... w JMr <¡»4.
Î ** M&f &
%/t \
/ /
A) 20V3jc
B) — y¡2n
C) 1 1 6 ^
D) 120tc /
%% 128tt
;l| ^
*
\ i :% *
,.'SV
¿f *%•;««**'
/8 /
/
\
CC3
f \
W v
< *
"Del gráfico, calcule la razón de volúm enes
W r
del cilindro y el cono (ambos de revolu­
ción).
Del gráfico, calcule el área de la superficie
lateral del cono de revolución.
A
1
/
r
A) 3
D) 1
B) 2 C) i
E) 4
A) 20ti
D) 12ti
B) 15ti

643. s
p
£
i
\
Calcule el área de la superficie total de un
cono equilátero cuya altura mide 4^3.
A) 8ti
B) 12ti
C) 16ti
D) 32tc
E) 48ti
A) 4ít
B) 16ti
C) 9te
D) 20tx
E) 15ti
.á W 'A .
\
A
'A/':'-/* ■ ¿
Vfn éÉ&ag*
‘ s
■ El volumen de una esfera es num éricam en­
te; igual al doble
--^Calcule su radio.
te igual al doble del área de su superficie.
* * ¿ v r J
r&4 T
13. Del gráfico, calcule la razón de volúmenes*
entre la semiesfera y la esfera.
„ Í A
#ls# .»
tí
f i
w
o-<c.
A) 3
D) 4
B) 6 C) 8
E) 9
Calcule la razón de volúm enes entre el
cono de revolución y la semiesfera.
A) í
B) —
20
C)
16
D) -
3 ¡l i
14. Del gráfico, calcule el área de la superficie
esférica {T y P son puntos de tangencia).
3
B) i C)
4 3
1
3
E)
2
4
1
2

646. 27 Dado un hexaedro regular, si el área de la
superficie es numéricamente igual a su vo ­
lumen, calcule su arista.
A) 6
D) 4
B) 12 C) 3
E) 5
Del gráfico, calcule la razón de volúmenes
entre el cilindro de revolución y el cubo.
A) 90°
B) 45°
C) 60°
D) 53°
E) 30°
Del gráfico, si el tetraedro es regular, calcule
el área de la región sombreada.
\
\
Î
Ï
i
' !
X•y-
1
\
. «
Æ
.:;s
• ••••• • ■
mr\.
\
mjr
m , 4 - ' . .
W
Se
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0
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• & & ,
W ' ..<&> -i
% Wíí<í>' *
A) —
3
D> ;
B) i
3
l,% | : | ‘
...Jf
M Í B) 2-ñ
r , n r -n
Q - V v '
,2- ^ *
C) 4
E) 6
v*. $ '
E> ?
29. Del gráfico, se tiene un cubo. Calcule x.
", Dado el hexaedro regular, calcule el área
de la región sombreada (O es centro de la
cara superior).
A) 4 \lï B) 3n/5 C) 6
D) 8 E) S-JÏ

648. 38.Del gráfico, calcule el área de la superficie Dado el hexaedro regular, calcule x (O es el
lateral de la pirám ide regular. centro de ABCD).
y
y /
A) 15^3
B) 16^3
C) 40
C) 30^3
D) 16 .
B) 115 nrr
C) 100 m3
D) 125 m3
E) 225 m-
..................................

649. i

650. 47. El gráfico muestra un helado form ado por j
un cono de revolución y una semiesfera.
Calcule el volum en del helado. i
AMOR A SC
A) 34ti
B) 307t
C) 36ti
D) 40n
E) 607t
s J Mp v »
, «m* W /W JM
| ' / i - : - ' -, y
' •'
.7
Q' q 42 m3
A) 32 m r B) 40 n r
D) 36 m3 E) 18 m;
49. El gráfico muestra a un persona de 2 m de
altura, la cual mira el vértice del cono con
un ángulo de elevación de 45°. Calcule el
volumen del cono.
W
. ÁW • .
. í í S i ’í í i /
§ /<?'
^„tóSSfc,
¡I*" 2 p / .* K V . - - •
fí^r /•
rn ,
U - » <V.
? m
/
Kk. £•'
* ’»w
43. ¿Cuántos metros cúbicos de arena, se ne-
’*<7%
cesitan para llenar el depósito en forma de
pirámide regular?
A) 1671 m3 B) lO n n rr C) 157um:
'%v 4 D) 26ti m3 E) 30ti m:
Claves
1
f
8 A i15 B22
2
O
. J9
8 j
16 E23
3 0 10
i
5 ;
17p24
4 A 11
*
á. :18 E25
5 12
e i
19A 26
6 A 13
*
c
i
20 E27
7 B143 21A 28
A
^*129
„ i
c •
1
36 A 43
C 30
1
0 137
l
44
n 31 A :38
| i
45
A 32
-n !
1 >39 t 46
c 33 40 B 47
A 34 c 41 D 48
0 35 A 42 49

651. apotem a: Es la distancia entre el centro del
polígono regular y cualquiera de sus lados.
En la pirámide regular es la distancia desde el
vértice al punto medio de un lado de la base.
bisecar: Dividir una figura en dos partes igua­
les. Por ejemplo, la bisectriz de un ángulo bi­
seca a dicho ángulo.
colineales: Son aquellos elementos (puntos,
segmentos) que se encuentran en una misma
línea recta, si dichos elementos no se encuen­
tran en línea recta se les llamará no colineales.
coplanares: Son aquellos puntos o líneas que
pertenecen o están contenidas en un mismo
plano.
corolario: Proposición cuya validez se des­
prende de un teorema y su demostración re­
quiere de un ligero razonamiento o en ocasio­
nes de ninguno.
Por ejemplo, según un teorema, la suma de las
medidas de los ángulos interiores asociados a
un triángulo es 180°, se obtiene como corola­
rio que la suma de las medidas de los ángulos
agudos asociados a un triángulo rectángulo es
igual a 90°.
cuadrante: En geometría plana, es la cuarta
parte de una circunferencia, com prendida por
dos radíos perpendiculares entre sí.
disjuntos: En matemática, dos conjuntos son
disjuntos si no tienen ningún elem ento en co ­
mún. Es decir, dos conjuntos son disjuntos si su
intersección es el vacío. .
distancia entre dos puntos: Es la longitud del
segmento cuyos extremos son dichos puntos.
distancia entre un punto y una recta: Es la
longitud del segmento com prendido entre un
punto y el pie de la perpendicular trazada des­
de él a una recta.
distancia entre un pun to y un plano: Es la
longitud del segmento com prendido entre
un punto y el pie de la perpendicular trazada
desde él a un plano.
equidistante: Estar a igual distancia. Por ejem ­
plo, dos puntos sobre una misma circunferen­
cia son equidistantes de su centro.
figura geom étrica: Es un conjunto de puntos
que adoptan una forma determinada.
generatriz: Es aquel segmento que por su m o­
vimiento genera la superficie del cilindro y del
cono, ambos son sólidos de revolución.

652. homólogos: Es la relación que se establece
entre lados que están situados en igual orden
en todas las figuras que se califican com o se­
mejantes.
paralelo: Líneas o planos equidistantes entre
sí, en consecuencia, dichos elementos nunca
se cortarán.
planos perpendiculares: Son dos planos que
determ inan un diedro, cuya m e d id le s 90°.
postulado: Es una proposición no evidente
por sí misma, que se toma com o base para un
razonam iento o dem ostración cuya verdad se
adm ite sin pruebas.
Por ejemplo, postulado de la existencia de
puntos, postulado de las paralelas, etc.
prolongar. Hacer que una cosa tenga más
longitud. Extender, alargar.
proyección en el plano: Es la figura que resul­
ta, en un plano, de proyectar en ella todos los
puntos de una figura.
rectas perpendiculares: Son rectas que se
cortan form ando cuatro ángulos ¡guales d o n ­
de cada uno mide 90°.
secante: Es aquella línea o plano que corta a
otra línea o plano.
tangente: Dicho de dos o más líneas o super­
ficies que se tocan o tienen puntos com unes
sin cortarse.
teorem a: Proposición que se demuestra de
forma lógica partiendo de postulados o de
otras proposiciones ya demostradas.
Por ejemplo, el teorema de Pitágoras, el teore­
ma de cosenos, etc.
trisecar: Dividir una figura en tres partes iguales.
volum en: Es la medida del espacio que ocupa
un cuerpo.

653. f "> v
1 1 i
Sí YX
• REYES P., Luis. Circunferencia y cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Colección Tem as
Selectos. Lima: Lum breras Editores, 2014.
• H U A JÁ N R„ Erick. Congruencia de triángulos. Colección Temas Selectos. Lima: Lum breras Edi­
tores, 2012.
• REYES, Luis; REYES, W illiam; REVATTA, Javier y Alder CASIO. Geometría - Trigonometría. C o le c­
ción C o m pend io s Académ icos. Lima: Lumbreras Editores, 2014.
• INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUM ANIDADES. Geometría. Una visión de la estereométria. Lima:
Lum breras Editores, 2009.
• A SO CIACIÓ N FO N D O DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Geometría. Una visión de la planimetría.
Lima: Lum breras Editores, 2005.
• BRUÑO, G. M. Geometría. Curso superior. Madrid: Ediciones Bruño, 1976.
• D URÁN, Darío. Geometría euclidiana para olimpiadas matemáticas. Caracas: Asociación V e n e ­
zolana de Com petencia Matemática, 2014.
• MOISE, Edwin y Floyd DOW NS. Serie Matemática Moderna. Geometría. Cali: Editorial Norma, 1972.
• PO GO RÉLO V, Aleksei. Geometría elemental. Moscú: Editorial Mir, 1964.
• RIBNIKOV, K. Historia de las matemáticas. Moscú: Editorial Mir, 1991.