Geometria del triangulo

Geometría básica del triángulo: clasificación, construcción, criterios de igualdad y semejanza, puntos y rectas notables del triángulo, teorema de Pitágoras y Thales y teoremas del cateto y de la altura. Para ver correctamente la presentación con las animaciones, es conveniente descargarla. Un vídeo de la presentación está en la siguiente dirección: http://www.youtube.com/watch?v=fZ_dqNTGmP0&feature=youtu.be

1. GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO Prof. Carlos A. Blanco IES María de Molina (Zamora)

2. ÍNDICE Introducción Clasificación de triángulos Propiedades Construcción de triángulos Criterios de igualdad de triángulos Triángulos semejantes Puntos y rectas notables del triángulo Teorema de Pitágoras Demostración del teorema de Pitágoras Teorema de Tales Teoremas del cateto y de la altura Teorema del cateto: Demostración Teorema de la altura: Demostración

3. PARA FIJAR IDEAS… Para fijar ideas, en un triángulo de vértices A , B y C , nombraremos los ángulos con la misma letra mayúscula del vértice y los lados con la letra minúscula correspondiente al ángulo opuesto.

4. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS Equilátero Escaleno Isósceles Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Ángulos Lados 3 lados iguales 2 lados iguales 3 lados diferentes 3 ángulos agudos 1 ángulo recto 1 ángulo obtuso

5. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS E n el caso del triángulo rectángulo, los lados reciben nombres especiales. E l lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa . Hipotenusa Cateto Mayor Cateto Menor L os lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos.

6. PROPIEDADES BÁSICAS (I) La suma de los ángulos de un triángulo es 180 º 180 º

7. PROPIEDADES BÁSICAS (II) Propiedad triangular: Cada lado es menor que la suma de los otros dos . Esto equivale a decir que el lado mayor es menor que la suma de los otros dos  

8. Eso si, al menos uno de esos datos debe ser un lado. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos . El hecho de que el triángulo sea una figura indeformable hace que sólo con conocer tres de esos seis datos se puede construir un único triángulo. Para determinar un triángulo se deben conocer tanto los lados como los ángulos .

9. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (I) Si se conocen los tres lados (y estos verifican la propiedad triangular) se forma un único triángulo a b c Colocamos el lado mayor (a) como base Desde el vértice izquierdo, trazamos un arco con la longitud del lado b Colocamos el lado b Desde el vértice derecho, trazamos un arco con la longitud del lado c Colocamos el lado c

10. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (II) Si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, se puede formar un único triángulo. Colocamos el lado mayor (a) como base Colocamos el ángulo C en el vértice izquierdo del lado a Unimos el extremo del lado a con la medida del lado b, formando el lado c Prolongamos el otro lado del ángulo C a b C Trazamos un arco con la medida de lado b

11. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (III) Si se conoce un lado y los ángulos adyacentes a dicho lado, se puede formar un único triángulo. Colocamos el lado mayor (a) como base Colocamos el ángulo C en el vértice izquierdo del lado a Prolongamos los lados de los ángulos hasta que se corten en un punto, formando b y c Colocamos el ángulo B en el vértice derecho del lado a a B C

12. Eso si, al menos uno de esos datos debe ser un lado. CRITERIOS DE IGUALDAD Para que dos triángulos sean iguales, deben tener en común los tres lados y los tres ángulos. El hecho de que el triángulo sea una figura indeformable y en virtud de las construcciones anteriores, si dos triángulos tienen en común tres de los datos anteriores, serán iguales.

13. CRITERIOS DE IGUALDAD (I) Si dos triángulos tienen en común los tres lados, los dos triángulos son iguales. De la primera de las construcciones anteriores, se deduce el primero criterio de igualdad de triángulos: =

14. CRITERIOS DE IGUALDAD (II) Si dos triángulos tienen en común dos lados y el ángulo comprendido entre ambos, los dos triángulos son iguales. De la segunda de las construcciones anteriores, se deduce el segundo criterio de igualdad de triángulos: =

15. CRITERIOS DE IGUALDAD (III) Si dos triángulos tienen en común un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado, los dos triángulos son iguales. De la tercera de las construcciones anteriores, se deduce el tercer criterio de igualdad de triángulos: =

16. TRIÁNGULOS SEMEJANTES Por definición, dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales . Sin embargo, sólo serán necesarias algunas de estas condiciones para que dos triángulos sean semejantes. Tenemos los siguientes criterios de semejanza de triángulos:

17. TRIÁNGULOS SEMEJANTES (I) D os triángulos son semejantes si tienen dos ángulos en común, puesto que entonces también tendrían el tercer ángulo en común.

18. TRIÁNGULOS SEMEJANTES (II) Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales .

19. TRIÁNGULOS SEMEJANTES (III) Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo en común y los lados adyacentes son proporcionales.

20. TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos diremos que están en posición de Thales , si tienen un ángulo en común y los lados opuestos son paralelos. Obviamente, dos triángulos que estén en la posición de Thales serán semejantes .

21. C A B PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: ORTOCENTRO Altura : perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto. Este punto recibe el nombre de ortocentro . Se suele designar con la letra H . H

22. C A B PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: BARICENTRO (I) Mediana : segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan en un mismo punto. Este punto se llama baricentro . Se suele designar con la letra G . G P N M

23. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: BARICENTRO (II) PROPIEDADES El baricentro tiene la propiedad de ser el centro de los pesos del triángulo, (suponiendo que los vértices tengan el mismo peso ) Además, la distancia desde un vértice al baricentro es el doble que la distancia desde el baricentro hasta el punto medio del lado . C A B G x 2x

24. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: CIRCUNCENTRO Mediatriz : perpendicular a un lado que pasa por el punto medio de dicho lado. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un mismo punto . Este punto recibe el nombre de circuncentro . R epresentamos este punto por O . T iene la propiedad de ser el centro de la circunferencia circunscrita. C A B O P N M

25. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO: INCENTRO Bisectriz : recta que divide al ángulo en dos partes iguales . Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto . Este punto recibe el nombre de incentro . Representamos este punto por I . Tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita. C A B I

26. b c a a 2 c 2 b 2 TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Geométricamente significa que el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma superficie que los cuadrados construidos sobre los catetos .

27. TEOREMA DE PITÁGORAS: D EMOSTRACIÓN a 2 c 2 b 2 Partimos de dos cuadrados iguales, de lados b + c Los dividimos en cuadrados y triángulos rectángulos del siguiente modo. Quitamos triángulo a triángulo para ver que las figuras resultantes son idénticas. =

28. TEOREMA DE THALES Una versión simplificada del teorema nos dice que si dos triángulos tienen los ángulos iguales, entonces tienen los lados proporcionales:

29. TEOREMAS DEL CATETO Y DE LA ALTURA Como consecuencia del teorema de Thales , tenemos dos teoremas aplicados sobre triángulos rectángulos. Si apoyamos un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa y trazamos la altura correspondiente, se pueden observar tres triángulos rectángulos: ABC, PAC y PBA Cada uno de los dos triángulos menores son semejantes al mayor (puesto que son triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual) Por tanto, dichos triángulos menores son también semejantes entre sí. C B A P

30. b m TEOREMA DEL CATETO: DEMOSTRACIÓN Como se ha dicho, uno de los triángulos menores es semejante al mayor, y por tanto: a b Para las demostraciones, a será la hipotenusa, b y c los catetos, h la altura y m y n las proyecciones de los catetos.

31. m h n h TEOREMA DE LA ALTURA: DEMOSTRACIÓN Como se ha dicho, ambos triángulos menores son semejantes entre sí, y por tanto: