Grado de un polinomio

Grado absoluto y relativo de polinomios; ejercicios sobre polinomios especiales

1. Polinomios
Definiciones

2. Expresión algebraica
Racional Irracional
Entera Fraccionaria
monomio
polinomio

3. P(x) = 3x
4
+2x
3
– x
2
+ 8x +10
Q(x;y) = 5xy
3
+10x
R(x;y;z) = 2zy
4
+ 2x
3
– xy
2
+ 8xz + z
Polinomio
Se denomina así a una expresión
algebraica racional entera.
Ejemplos
Todo polinomio puede constar de
uno o más monomios

4. M(x) = 3x
4

Q(x;y) = 5xy
3
R(x;y;z) = -xy
4
z
2
Monomio
Es la expresión algebraica racional en
la que se prevén solamente dos
operaciones respecto a sus variables:
multiplicación y elevación a la potencia
natural.
Ejemplos

5. NOTACIÓN DE UN POLINOMIO
Un polinomio en variable X y Y se puede
representar así:
Se lee:
“P de x e y” el cual significa:
“P” depende de x e y
Y además:
x;y Son variables
a,b,c Son constantes
m,n,p,s Son exponentes

6. Casos de Polinomios
1) 2x + 3y
4
2)-4a
2
b – b
2
c
3)6x
2
- 3x + 8
4)-x
2
yz + 3y - 5
BINOMIOS
TRINOMIOS

7. Grados de un polinomio

8. Grado relativo con respecto a
una variable
(mayor exponente de la variable)
84653
2081);;( yzxzyxzyxP +=
GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8

9. GA = 10 GA = 8 GA = 3
8x
7
y
3
– 3x
4
y
4
+ 6xy
2
GA = 10
Grado absoluto de un polinomio
(mayor grado absoluto de los
términos)

10. Ejemplo 1
214224
435);( yxyxyxyxQ
mm -+
-+-=
Si se sabe que el grado relativo a x es 5 halla:
a)El valor de m
b)El grado absoluto del polinomio
Solución:

11. Ejemplo 2
2124324
435);( yxyxyxyxQ
n+
-+-=
Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9
halla: n
2
+ 1
Por lo tanto:
2 1 2 9
2 6
3
n
n
n
++=
=
=
Solución:
2 2
1
9 1 10
1 3n +
+ =
+=
2
1 10n+=

12. Ejercicio 1
5 2 3 5 1
(; ) 3 5
a a a a a
Pxy x y x y xy
+ + + -
= + +
Si se sabe que el grado del polinomio es 11
halla: 3GR(x) - GR(y)
Respuesta: 17

13. Polinomios especiales

14. CONCEPTO
•Son aquellas expresiones enteras
cuyas características (grado,
coeficientes y variables) y por la
forma cómo se representan,
guardan ciertas propiedades
implícitas que las hacen notables.

15. Polinomios especiales
polinomio
ordenado
homogéneo
idéntico
completo
opuesto
nulo

16. Polinomio ordenado
x
4
y
3
+ 2x
2
y
5
– 3xy
8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma decreciente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma creciente.
La variable que presenta esta característica se denomina
ORDENATRIZ
Ejemplo:
La variable “x” es ordenatriz decreciente de P.
La variable “y” es ordenatriz creciente de P.
x
4
y
3
+ 2x
2
y
5
– 3x
1
y
8
7 2 5 4 3 6 9
( , ) 6 5 8 4P x y x y x y x y y= + - +

17. Polinomio completo
Polinomio completo con
respecto a x.
Es incompleto respecto a y
x
4
y + 3x
2
y
5
– 3x
3
+xy
4
– 5x
0
x
4
y + 3x
2
y
5
– 3x
3
+xy
4
– 5
x
4
y + 3x
2
y
5
– 3x
3
+xy
4
– 5x
0

18. COROLARIOS
COROLARIO 1:
En todo polinomio completo de una variable, el
número de términos es igual al grado de la
expresión aumentado en 1
Ejemplo:

# de términos = G(P) + 1
# de términos = 4 + 1=5
3 5 2 4
( ) 4 7 5 6 2 8P x x x x x x= + + + + +

19. COROLARIOS
COROLARIO 2:
En todo polinomio ordenado y completo de una variable, la
diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos
consecutivos, es igual a la unidad:
Ejemplo:
1
( ) ( ) 1
k k
grado t grado t
+
- =
6 5 4 3 2
1 2 3 4 5 6
( )
o
P x a x ax a x a x a x a x a= + + + + + +
1
T 2
T
3
T
4
T 5
T
6
T
7
T
3 4
( ) ( ) 4 3 1grado t grado t- = - =

20. Polinomio homogéneo
Polinomio homogéneo de grado 8
6x
5
y
3
– 3x
4
y
4
+ 6x
6
y
2
GA = 8 GA = 8 GA = 8
Un polinomio de dos o más términos y
más de una variable es homogéneo, si
dichos términos presentan el mismo grado
absoluto, denominado grado de
homogeneidad

21. Polinomios idénticos
Si P y Q son idénticos,
entonces a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax
3
+ bx
2
+ c
Q(x) = 2x
2
+5x
3
– 8
PºQ

22. Polinomio opuesto
Si P(x;y) = x
4
y
3
+ 2x
2
y
5
– 3xy
8
el polinomio opuesto de P es:
-P(x;y) = – x
4
y
3
– 2x
2
y
5
+ 3xy
8

23. Polinomio idénticamente nulo
P(x) = ax
3
+ bx
2
- c
a = b = c = 0
P(x) = ax
3
+ bx
2
- c
P(x) º 0

24. Ejercicio 1
caabb
xxxxR
++++
--=
272
25)(p
Si se sabe que el polinomio es completo y
ordenado en forma ascendente, calcula el
valor de 2abc. Indica el grado del
polinomio.
Respuestas:
a)2abc = 160
b)GA = 2

25. Ejercicio 2
xcbxaxxxxdxP 12392642)(
2323
-+-++-+=
Si se sabe que el polinomio es
idénticamente nulo, calcula el valor de
-7(a+b+c+d)
Respuesta: 84

26. Ejercicio 3
yxyxxyxR
abb 22712
262);(
++
+-=
Si se sabe que el polinomio es homogéneo,
calcula el valor de a – b.
Respuesta: -1

27. PRACTICA
Calcular la suma de los valores de “n” para los cuales la
expresión es un polinomio:
Para que valor o valores de “n” la expresión de las
variables “x” y “y” es racional
entera.
Del polinomio: si el GA(P) =11;
GR(x) – GR(y)=5. Hallar el valor de 2m+n.
Determinar el valor de a + b si el polinomio:
Es de grado 28 y la diferencia de grados relativos a: x e
y sea igual a 6.
12810 2
2 2
( , ) 4 3
n
n
P x y x y
-
= -
7 2 10
( 3) ( 2)
n n n
n x x y n y
- -
+ + - -
3 2 2 3
( , ) 15
n m n m
P x y x y x y
+ - + -
= +
2 3 1 2 4 2 2 2
( , )
a b a b a b a b a b a b
Q x y x y x y x y
+ - + + + - + + + - +
= + +

28. PRACTICA
Hallar ab(a+b) si el polinomio:
Es homogéneo
Determinar la suma de coeficientes si el polinomio:
Es completo y ordenado.
De un polinomio Q(x,y) completo, homogéneo de grado
8 y ordenado crecientemente respecto a x, se han
tomado tres términos consecutivos que son:
Obtener el GR(y) en el término M
2 2 8
( , ) 5
a b a b b a b a b
P x y x y x y x y
- + + -
= - +
( ) ( ) ( ) ( )
m n n p m p
Q x p x y m x y n x y mnp= + + + + + +
2 2
... ...
a b b a
x y M x y
+ +
+ + + +