Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

1. Grandezas direta e inversamente proporcionais Prof. Homailson – Matemática – 9º ano

2. O que são “grandezas” na Matemática?! Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.

3. Grandezas diretamente proporcionais Duas  grandezas  são  diretamente proporcionais  quando uma varia da mesma forma que a outra. Gasolina (litros) Valor pago (R$) 1 l 3,99 2 l 7,98 3 l 11,97 4 l 15,96

4. Constante de proporcionalidade A constante entre as grandezas proporcionais é encontrada pela razão (divisão) entre elas. Gasolina (litros) Valor pago (R$) 1 l 3,99 2 l 7,98 3 l 11,97 4 l 15,96  

5. Grandezas inversamente proporcionais Grandezas  cuja variação de uma provoca aumento ou redução na outra, de forma proporcional, são  as inversamente proporcionais . Nº de pessoas Quantos biscoitos cada uma irá comer? 1 12 2 6 3 4 4 3 6 2 12 1

6. Constante de proporcionalidade inversa A constante entre grandezas inversamente proporcionais pode ser obtida através do produto entre elas. Nº de pessoas Quantos biscoitos cada uma irá comer? 1 12 2 6 3 4 4 3 6 2 12 1      

7. Grandezas não proporcionais Duas grandezas não são proporcionais quando não há constante de proporcionalidade entre elas, ou seja, não variam na mesma proporção. Idade de Carlos Altura de Carlos 1 ano 76 cm 2 anos 88 cm 3 anos 96,5 cm 4 anos 100,13 cm 5 anos 106,40 cm 6 anos 112,77 cm

8. Visualização gráfica

9. Exercícios resolvidos Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²? Nessa situação as grandezas são diretamente proporcionais (D.P.) , pois quanto maior a área a se limpar, mais tempo se passará! Área a se limpar (m²) Tempo gasto (h) 5.100 3 11.900 x   3     Resolução pela regra de três: Resposta: A máquina limpará 11.900 m² Em 7 horas.

10. 2) Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias. Quantos dias seriam necessários para a construção desse mesmo muro, se fossem utilizados 12 operários? Nesse caso as grandezas são inversamente proporcionais (I.P) , pois quanto maior o número de operários, menor o número de dias para o término da construção do muro. Nº de operários Dias para o término da obra 8 30 12 x Obs.: Quando temos grandezas inversamente proporcionais, montamos a proporção invertendo uma das grandezas Resolução pela regra de três:   8   20   Resposta: Com 12 operários, a obra demorará 20 dias para terminar.

11. 3) Dois número estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto desses números é: A) 90 B) 96 C) 180 D) 72 E) -124 Vamos chamar de e os números desconhecidos, colocando-os na razão de 2 para 3:     Acrescentando 2 a e a , a razão passa a ser de 3 para 5:     I II Isolamos uma das variáveis ( ou ) na equação :   I   Substituímos na equação e fazemos a regra de três:   II               (Obs.: M.M.C) Como       12     Sendo assim, o produto de por é  

12. 4) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura ? A) 290 m B) 390 m C) 490 m D) 590 m E) 690 m Nessa questão temos grandezas D.P. . Quanto maior o prédio, maior o tamanho da sombra que ele projeta no chão. Altura do prédio Comprimento da sombra projetada pelo prédio 4,5 m 13,5 m 130 m x Resolução pela regra de três:   13,5   .755   = 390 m   Resposta: O prédio de 130 m irá projetar uma sombra de 390 m.

13. 5) A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. A distância real, em km, entre essas duas cidades é: 15 km B) 16 km C) 17 km D) 18 km E) 19 km Nessa questão temos o conceito de escala e grandezas diretamente proporcionais (mais centímetros no mapa, maior o tamanho real. A representação 1:2000 quer dizer que 1 cm no mapa equivale a 2000 cm na realidade. Resolução pela regra de três:   8,5   8,5   17000 cm   E 17000 cm = 17 km Resposta: Na realidade, a distância entre essas cidades é de 17 km.

14. 6) A distância entre a cidade de Canas/SP e Lorena/SP é igual a 8.900 metros. Mas, olhando no mapa, e medindo com a régua, pode-se notar que a distância entre as cidades é de 20 cm. As informações nos informam que a escala do mapa é: 1:441 1:442 1:443 1:444 1:445 Resolução: Em escalas, o valor da esquerda dos dois pontos corresponde ao valor do desenho (no caso, o mapa). O valor da direita é o real. A escala é a divisão, ou razão entre o valor do mapa e o real:   simplificando  

15. FIM!!!