Gravityan Introduction To Einsteins General Relativitysolutions To Problems James Hartle

Gravityan Introduction To Einsteins General Relativitysolutions To Problems James Hartle
Gravityan Introduction To Einsteins General Relativitysolutions To Problems James Hartle
Gravityan Introduction To Einsteins General Relativitysolutions To Problems James Hartle

1. Gravityan Introduction To Einsteins General
Relativitysolutions To Problems James Hartle
download
https://ebookbell.com/product/gravityan-introduction-to-
einsteins-general-relativitysolutions-to-problems-james-
hartle-50978786
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Gravity An Introduction To Einsteins General Relativity Hartle Hartle
https://ebookbell.com/product/gravity-an-introduction-to-einsteins-
general-relativity-hartle-hartle-27062688
Hartle Gravity An Introduction To Einsteins General Relativity Isbn
0805386629djvu Euler
https://ebookbell.com/product/hartle-gravity-an-introduction-to-
einsteins-general-relativity-isbn-0805386629djvu-euler-23137686
Spacetime An Introducion To Einsteins Theory Of Gravity Jonathan
Allday
https://ebookbell.com/product/spacetime-an-introducion-to-einsteins-
theory-of-gravity-jonathan-allday-10425068
Covariant Loop Quantum Gravity An Elementary Introduction To Quantum
Gravity And Spinfoam Theory Cambridge Monographs On Mathematical
Physics 1st Edition Rovelli
https://ebookbell.com/product/covariant-loop-quantum-gravity-an-
elementary-introduction-to-quantum-gravity-and-spinfoam-theory-
cambridge-monographs-on-mathematical-physics-1st-edition-
rovelli-38440388

3. An Introduction To Atmospheric Gravity Waves 2nd Carmen J Nappo
https://ebookbell.com/product/an-introduction-to-atmospheric-gravity-
waves-2nd-carmen-j-nappo-4423544
An Introduction To Atmospheric Gravity Waves Book And Cdrom Carmen J
Nappo Eds
https://ebookbell.com/product/an-introduction-to-atmospheric-gravity-
waves-book-and-cdrom-carmen-j-nappo-eds-1004510
An Introduction To Gravity Currents And Intrusions 1st Edition Marius
Ungarish
https://ebookbell.com/product/an-introduction-to-gravity-currents-and-
intrusions-1st-edition-marius-ungarish-1699076
An Introduction To Teleparallel Gravity R Aldrovandi J G Pereira
https://ebookbell.com/product/an-introduction-to-teleparallel-gravity-
r-aldrovandi-j-g-pereira-10610774
An Introduction To Covariant Quantum Gravity And Asymptotic Safety
Roberto Percacci
https://ebookbell.com/product/an-introduction-to-covariant-quantum-
gravity-and-asymptotic-safety-roberto-percacci-5850450

5. GRAVITY
AnIntroductionto
Einstein'sGeneralRelativity
SOLUTIONSTOPROBLEMS
JamesB.Hartle
DepartmentofPhysics
UniversityofCalifornia
SantaBarbara,CA93106-9530
[email protected]
Version1.1
Addison-Wesley,2003
(4/8/2003)

6. ISBN0-8053-8663-7
Copyright©2003JamesB.Hartle
Allrightsreserved.ManufacturedintheUnitedStatesofAmerica.Thispublicationisprotectedby
Copyrightandpermissionshouldbeobtainedfromthepublisherpriortoanyprohibitedreproduction,
storageinaretrievalsystem,ortransmissioninanyformorbyanymeans,electronic,mechanical,
photocopying,recordingorlikewise.Toobtainpermission(s)tousematerialfromthiswork,please
submitawrittenrequesttoPearsonEducation,Inc.,PermissionsDepartment,1900E.LakeAve.,
Glenview,IL60025.Forinformationregardingpermissions,call'847-486-2635.
Manyofthedesignationsusedbymanufacturersandsellerstodistinguishtheirproductsareclaimedas
trademarks.Wherethosedesignationsappearinthisbook,andthepublisherwasawareofatrademark
claim,thedesignationshavebeenprintedininitialcapsorallcaps.
2345678910—DPC—06 050403

7. Preface
Thismanualcontainstheauthor'ssolutionstothe392problemsinGravity:
AnIntroductiontoEinstein'sGeneralRelativity.Ihaveaimedatexplaining
thecentralideasneededtosolveeachproblem;Ihavenotgenerallyattempted
towriteouteachstepofthecalculationsinvolved.Ihopethatthesolutions
willbecleartoinstructorsteachingfromthetext.Dependingontheirlevel,
studentsmayneedfurtherdiscussionormoredetails.
Thetextoftheproblemsareprovidedforconvenience.Thismaydiffer
slightlyfromthepublishedtextbecauseofcopyeditingchangesorsubsequent
errata.
Whileaconsiderableefforthasbeenmadetocheckthesolutions,itis
inevitablethatmistakesremaininacollectionofproblemsofthissizeand
occasionalcomplexity.Iinvitesuggestionsforcorrectionandimprovement.
ThemanuscriptwastypedbyTheaHowardwhoalsodrewalltheline
figures.ThesolutionswerecheckedandcorrectedbyMattHansenandTaro
Sato.Thea,Matt,andTarohavemygratitudeintheseregards,asdothe
manystudentsandteachingassistantswhotriedouttheseproblemsinvarious
coursesatSantaBarbaraandhelpedtomakethembetter.
JamesHartle
November,2002
in

8. IV
iv

9. Chapter2
GeometryasPhysics
2-1.[B](a)Inaplane,showthatalightrayincidentfromanyangleona
rightanglecornerreflectorreturnsinthesamedirectionfromwhenceitcame.
(b)Showthesamethinginthreedimensionswithacubicalcornerreflector.
Solution:
a)Snell'slawofreflectionisthattheangletheincidentraymakeswiththe
normaltothesurfaceisthesameastheanglethereflectedraymakeswith
thenormalasshownabove.Sincethesumoftheinterioranglesofthe
1

10. 2 CHAPTER 2.GEOMETRY ASPHYSICS
righttriangleOABis7r,thisimplies
EquivalentlytheangletheincidentraymakeswithOBis7r/2minusthe
anglethereflectedraymakeswithOA.Thereflectedrayisthusparallel
totheincidentray.
b)Snell'slawmaybestatedvectoriallyasfollows.Letkbeaunitvector
alongarayincidentonasurfacewithnormaln.kcanbedividedintoa
componentalongnandacomponentperpendiculartonasfollows
k=[k■n\n+[k—(kn)n).
Onreflectionthecomponentalongnchangessignwhiletheperpendicular
componentremainsunchanged.Thus,k!afterreflectionis
k!=-(kn)n+(k-(k-n)n) (1)
k'=k-2(k-n)n
Consideraraywhichreflectsoffofallthreefacesofthecornerreflector
withorthogonalnormalsni,n2,n3respectively.Using(1)ateachofthe
threereflections,theoutputofthepreviousreflectionbeingtheinputto
thenext,onefindsfortheexitingraykexintermsoftheincidentrayk\n
kex=km~2(kinnijfh-2(Jcinn2)n2
-2(kin■m)n3
Butni,n2,n3arethreeorthogonalvectorsthatformabasis.Thus,
"<exr="an^"an— "-in
sotheexitrayleavesinthedirectionoppositetotheincidentone.
2-2.[S]ThecenteroftheSunismuchfurtherwayfromaterrestrialmeasuremen
ofanglesthanthecenteroftheEarthis.Butitisalsomuchmoremassive.
Using(2.1),estimatewhichwouldhavethegreatesteffectonameasurement
ofanglessuchasisattributedtoGauss.
2

11. PROBLEM 2.3 3
Solution:FortheEarthGM^/R^c2~10~9.TherelevantratiofortheSun
isGM&j([email protected]
ofusefulconstantsthisis
GMQ 1.48km
r^> : r^>10
c2r® 1.4x108km
TheeffectoftheSunisthereforepotentiallylarger.
2-3.[C](a)Verifytherelation(2.4)betweenthesumoftheinterioranglesof
asphericaltriangleanditsareawhentwooftheanglesarerightangles,
(b)Provetherelationgenerally
Solution:
a)Suchatrianglecanbeboundedbytheequatorandtwolinesoflongitude
differingbyananglea.TheareaAis(a/2Tt)x(areaofahemisphere)=
era2
/sumofthe\ (era2) A
IT+a=IT-\ -—=IT+
Vinteriorangles/ a2 a
2
b)Thethreegreatcirclesthatboundasphericaltriangledividethesphereup
intoeighttriangles.Anytwocirclesdividethesphereintowedgeswhose
openingangleisoneoftheinterioranglesofatriangle,andwhoseareais
thesumoftheareasoftwoofthetriangles.Thisgivesasetofrelationsof
theform
. ., 1/interior\ . 9
A+A'=— . ■4?ra2
2ttVangle)
whichcouldbesolvedfortheareasofthetrianglesintermsoftheirinterior
angles.
However,itisnotnecessarytocarryoutthissolution.Argumentsof
symmetryandsomespecialcasesareenoughtofindtheresult.Theabove
relationsshowthattheareaofasphericaltrianglearelinearlyrelatedto
thethreeinteriorangles;a,/?,7.Since,inageneraltriangle,nooneof
theseanglesispreferredoveranyother,theareamustberelatedlinearly
andsymmetricallytotheanglesbyarelationoftheform
A=c(a+0+7)+d
3

12. 4 CHAPTER 2.GEOMETRY ASPHYSICS
withconstantscandddependingonatobedetermined.Thespecialcase
consideredin(a)with/?=7=7r/2gives
A=c(tt+a)+d=aa2
holdingforarbitrarya.Thus,c=a2andd=—a2n,giving
A=a2(a+/?+7-tt)
or,whatisthesamething:
A
«+p+7=7r+—
a1
2-4.Drawexamplesofatriangleonthesurfaceofasphereforwhich:
a)thesumofwhoseinterioranglesisjustslightlygreaterthann.
b)thesumofwhoseanglesisequalto2tt.
c)Whatisthemaximumthesumofanglesofatriangleonaspherecanbe
accordingto(2.4)?Canyouexhibitatrianglewherethesumachievesthis
value?
Solution:
Considerthetrianglecontainedwithintheequatorandtwolinesoflongitude
differingbyananglea.Thattrianglehastworightinterioranglesatthe
4

13. PROBLEM 2.5 5
equatorandtheinteriorangleaatthepole.Thesumoftheinterioranglesis
n+a.Bytakinganearzero,onehasatrianglewhosesumofanglesisslightly
biggerthann.Bytakinga=7r,onehasatrianglewhosesumofanglesis2tt.
From(2.4),themaximumsumofinterioranglesoccurswhenA=A-kR2
—theareaofthewholesphere—andis57r.Atrianglewhichnearlyrealizes
thisboundisthecomplementofasmallequilateraltriangle.Thethreeinterior
anglesareeach(27r—n/S)andadduptobn.
2-5.Calculatetheareaofacircleofradiusr(distancefromcentertocircumferen
inthetwo-dimensionalgeometrywhichisthesurfaceofasphereofradiusa.
Showthatthisreducestowr2whenr<Ca.
Solution:RefertoFig.2.6forthegeometry.Consideranelementofareaat
(6,ft)spannedbycoordinateintervals(d6,dcf))Thelengthoftheedgeofsize
d6isad9,thelengthoftheedgeofsized(f>inasmOdcj).Sincethecoordinate
linesareorthogonaltheareais
(ad9)(asin9d(f>).
Thecircleofradiusrliesat6=r/a.Integratingtheelementofareaabove
rr/ar2n
A= d9 d(f>a2sin0d0d<f>
Jo Jo
givestheresult:
A=27ra2[l-cos(r/a)].
Forsmallr/a
A=nr2+o(~].
2-6[B]Considerasphereofradiusaandonitasegmentoflengthsofaline
oflatitudethatisadistancedfromthenorthpolemeasuredonthesphere.
Whatistheanglebetweenthelinesoflongitudethatthissegmentspans?Is
5

14. 6 CHAPTER 2.GEOMETRY ASPHYSICS
thisanglegreaterorsmallerthantheanglethesegmentwouldsubtendatthe
samedistanceonaGatplane?
Solution:Thisproblemissolvedinthesamewaythattheratioofthe
circumferencetoradiusofa"circle"onthespherewascalculatedin(2.17)
—(2.19).Theansweris
s=A0asin-
w
Thesubtendedangleistherefore
A^=s
■d
asm-
sincesinx<xthisismorethantheangleA</>=s/dthatwouldbesubtended
geometrywereflat.
2-7Considerthefollowingcoordinatetransformationfromfamiliarrectangular
coordinates(x,y)labelingpointsintheplanetoanewsetofcoordinates(/x,v)
x=/j,u
yI("2-*2)
2
a)Sketchthecurvesofconstant/iandconstantvinthe(x,y)plane.
b)TransformthelineelementdS2=dx2+dy2into(/j,,v)coordinates.
c)Dothecurvesofconstant/j,andconstantvintersectatrightangles?
d)Findtheequationofacircleofradiusrcenteredattheoriginintermsof
/iandv.
e)Calculatetheratioofthecircumferencetothediameterofacircleusing
(/j,,v)coordinates.Doyougetthecorrectanswer?
Solution:
a)

15. PROBLEM 2.7 7
b)
dS2=
dS2=
dx2+dy2
(/idu+ud/j,)2+(fid/j,—udu)2
(fS+u2)(d»2+du2)
c)Thecurvesintersectatrightanglesbecausetherearenocrosstermsd/idu
inthemetric.
d)Theequationofacircleisx2+y2=r2whichbecomes
„V+j(/.2-rf=r'
z("2+"2)2=*
/j2+u2=2r
i
2\2
e)ThecircumferenceCis
C^jdS=f^2+u2Y(dfi2+du2Y
*=<*•>'/*•Ha
+n/2F
=(2r)*/d/x
=2-KT
1+
(2r-y?)
7

16. 8 CHAPTER 2.GEOMETRY ASPHYSICS
Thisis,ofcourse,thecorrectanswer.Thekeystepintheaboveevaluationis
recognizingthatthewholecircleiscoveredbythecoordinaterange/j,=—y/2r
to/j,=y/2r.
2-8.[A]Thesurfaceofaneggisanaxisymmetricgeometrytoagood
approximation.Inthelineelementfortwo-dimensionalaxisymmetricgeometrie
(2.21),pickanf(9)suchthattheresultingsurfacewouldresemblethatofan
egg.Calculatetheratioofthebiggestcirclearoundtheaxistothedistance
frompoletopole.
Solution:Therearemanysolutionstothisproblemcorrespondingtothe
differentchoicesoff(9)thatmakeasurfacelikeaneggwhichissmallernear
onepolethantheother.Asimplelinearchoiceis
f(9)=1-9/2k
whichvariesbetween1at9=0(thelargerend)and1/2at9—7r(thesmaller
end).Thecircumferenceofacirclearoundtheaxisat9is
C{9)=2ttaf{9).
Themaximumcircumferenceoccursat9=0:C(0)=27ra.Thedistanced
frompoletopoleis
d=rdda
Jo
=ita
TheratioC/disthus2forthisexample.
2-9.ThesurfaceoftheEarthisnotaperfectsphere.Thepolarradiusof
theEarth,6357km,isslightlylessthanthemeanequatorialradius6378km.
SupposethesurfaceoftheEarthismodeledbyanaxisymmetricsurfacewith
alineelementofthekindin(2.21)with
f(9)=sin0(l+esin20)
forsomesmalle.Whatvaluesofaandewouldbestfitreproducetheknown
polarandequatorialradii?
8

17. PROBLEM 2.10 9
Solution:Thelineelement(2.21)withthegivenf(6)dependsontwoparamete
aande.Wecandeterminethesebyfittingtothecircumferencesoftheequator
andagreatcirclethroughthepolaraxis.Thecircumferenceoftheequator
6=7r/2from(2.21)is
C=/a/(7r/2)#=27ra/(7r/2)=2tt(1+e)a.
Jo
Thismustbe27r(6378)km.Thecircumferenceofthegreatcircle0=0from
(2.21)is
Cpoiar=2/add=2na .
Thismustbe2?r(6357)km.Thus
a=6357km, e=.003
2-10.[B](EqualAreaProjections.)Anequalareamapprojectionisone
forwhichthereisaconstantproportionalitybetweenareasonthemapand
areasonthesurfaceoftheglobe.Givenx=L0/27T,whatfunctiony(X)
wouldmakeanequalareamap?[Hint:Ifaninfinitesimalareadxdyhasthe
sameconstantofproportionalitytothecorrespondinginfinitesimalareaon
thespherewhereveritislocated,biggerareaswillbealsoproportional]
Solution:Themetriconthesphere(2.24)canbewrittenintheform(2.28)
intermsofx=(L(f))/2TTandarbitraryy=y(X).Theareaonthesphere
boundedbyasmallrectangleofcoordinatelengthdxandheightdyisthus
—)cosA(y)dx
Iftheareadxdyonthemapistobeproportionaltothis,thenthecoefficientof
dxdyabovemustbeconstant.Choosingaconvenientconstantifproportionally,
wehave
-—cosA=1.
dy
Integratingthisandchoosingy=0tobetheequatorA=0,wefind
y(X)=sinA
9

18. 10 CHAPTER 2.GEOMETRY ASPHYSICS
or
A(j/)=sin-1(A)
2-11.[B](ConicalProjections.)Conicalprojectionsmappointsontheglobe
intopolarcoordinates(r,ip)intheplaneofthemap.(Weuseiptoavoid
confusionwiththecoordinate(ponthesphere.)Thus,ingeneralr=r(X,<j>)
andip=ip(X,(f>).Aparticularlysimpleclassofconicalprojectionsusesthe
northpoleastheoriginofthepolarcoordinatesandhasr=r(A)andip=(p.
Forthissimpleclass
a)expressthelineelementonthesphereintermsofrandip.
b)Gndthefunctionr(A)whichmakesthisanequalareaprojectioninwhich
thereisaconstantproportionalitybetweeneachareaonmapandthe
correspondingareaonthesphere.[Hint:Seethehintfortheprevious
problem.]
Solution:
(a)
dS7 a2(d\2+cos2\d(p2)
— 1dr2+cos2Xdip2
(b)Thelengthonthesphereofalineofcoordinatelengthdrextendingin
therdirectionisa(d\/dr)drThelengthofalineofcoordinatelengthdtp
extendingintheipdirectionisacosXdip.Sincerandipareorthogonal
coordinatestheareaspannedbydranddipis
[acosArf^].
Theareaofthecorrespondingelementintheplaneis
(dr)(rdip).
10

19. PROBLEM 2.12 11
IfthesearerelatedbyaconstantofproportionalityL,wemusthave
a—cosA=—Lr
ar
(Theconstantofproportionalitymustbenegativesincelatitudedecreases
asrincreasesfromthenorthpole.)Integratingbothsidesandchoosing
theconstantsor=0isA=7i~/2(thenorthpole)wefind
a2(sinA-l)=--Lr2
v ; 2
r(A)=VlT(1"sinA)-
2-12.[B,N]YourPersonalWorldMapThemapsinBox2.3weremadewith
theMathematicaprogramWorldPlot.Makeyourownprojectioncenteredon
yourhomecitythatusesaradialcoordinatethatrepresentsyourviewofthe
importanceoftherestoftheworld.
Solution:TheworldmapbelowisaprojectionwhichemphasizestheUSand,
infact,theneighborhoodofNewYorkoverotherplaces.Itwasconstructed
usingtheprojection
x=0'/(l+|0'|/6OOO)L2
y=A'/(l+lA'l/1000)1-2
with4>'=(f>+74°,andA'=A—41°expressedinminutesofarc.
11

20. 12 CHAPTER 2.GEOMETRY ASPHYSICS
Thereareprobablymanymoreelegantwaysofsolvingthisproblemand
certainlymanymorecandidatesforthemostimportantcity.
12

21. Chapter3
Space,TimeandGravityin
NewtonianPhysics
3-1.Afreeparticleismovinginaninertialframe(x,y,z)inthexy-planeon
atrajectoryx=d,y=vtwheredandvareconstantsintime.Considera
rectangularframe(x',y',z')rotatingwithrespecttotheinertialframewithan
angularvelocitytoaboutacommonz-axis(z'=z).Whataretheequations
ofmotionobeyedbyx'(t),y'(t)andz'(t)intherotatingframe?Sketchthe
trajectoryoftheparticleinthex'y'-planeandshowexplicitlythatitsatisfies
theseequationsofmotion.
Solution:Derivingtheequationsofmotioninarotatingframeisastandard
topicinNewtonianmechanicswhichcanbefoundinalmostanytextonthe
subject.Ifx'(t)isthevectorwithcomponents(x'(t),y'(t),z'(t))intherotating
—*
frameandV'(t)isitstimederivative,theequationofmotionis:
txv ~*
—-=2VxCo+ux(£'xCo).
dt
whereCoistheangularvelocityoftherotatingframe.Thefirstterminthis
expressionistheCoriolisforceandthesecondthecentrifugalforce.The
explicitequationsforthecomponentsVxlandVylforanangularvelocityof
13

22. 14 CHAPTER 3.NEWTONIAN PHYSICS
magnitudeupointingalongthez—axisare:
dVx'
^—=+2coVy'+lu2x'
at
dVy'
£L_=-2coVx'+u,y.
at
Thegiventrajectoryintheinertialframe
x(i)=d,y(i)=vt
becomesintheinertialframe
x'(t)=+x(t)cos(ut)+y(t)s'm(ut),
y'(t)=—x(t)sin(cji)+y(t)cos(cut).
Aplotoftheorbitforthreeperiodsofrotationwithv=1andd=1isshown
below:
Substitutingthex'(t)andy'(t)givenaboveintotheequationsofmotion
verifiesthattheyaresatisfied.
3-2.ShowthatNewton'slawsofmotionarenotinvariantunderatransformation
toaframethatisuniformlyacceleratedwithrespecttoaninertialframesof
Newtonianmechanics.Whataretheequationsofmotionintheaccelerated
frame?
14

23. PROBLEM 3.3 15
Solution:Let(t,x)bethecoordinatesofaninertialframeand(t',x')the
coordinatesofaframeacceleratingalongthex-axiswithaccelerationg.Then
x=x'+-gt'2,
t=t'.
Newton'sequationofmotionforafreeparticled2x/dt2=0implies
d2x'
whichisnottheformittakesinaninertialframe.
3-3.[B,S]HowmanydegreesperhourdoestheFoucaultpendulumdescribed
inBox3.2precess?
Solution:InthisproblemitisimportanttodistinguishtheEarth'srotation,
orrevolutionaboutitsaxis,fromitsorbitalmotionaroundtheSun.The
EarthmakesonecompleterevolutionwithrespecttotheSunin24hr.The
centeroftheEarthisnotfixedinaninertialframe,butorbitingaroundthe
Sun.ThustheEarthwouldmakeoncompleterevolutionwithrespecttothe
Sunin365daysevenifitwerenotrotatinginaninertialframeinwhichthe
distantgalaxieswereatrest.TherotationperiodoftheEarthwithrespectto
inertialframeofthedistantgalaxiesistherefore(24—24/365)hr=23.93hr
or23hr,56min,and4sapproximately.Thisiscalledthesiderealrotation
period.(TherearealsonegligiblecorrectionsfortheSun'srotationaroundthe
centerofthegalaxy,etc.)Theplaneofthependulummakesonecomplete
rotationin23.93hrsotheangularrateis360/23.93=15.04°/hr.
3-4.Findthegravitationalpotentialinsideandoutsideofasphereofuniform
massdensityhavingaradiusRandatotalmassM.Normalizethepotential
sothatitvanishesatinfinity.
15

24. 16 CHAPTER 3.NEWTONIAN PHYSICS
Solution:Themassdensityinthesphereis
M 3M
li=
(47Ti?3/3)47Ti?3
=const. (1)
Thesphericalsymmetryoftheproblemimpliesthat$isafunctiononlyof
theradiusr.Poisson'sequation(3.18)forthegravitationalpotentialis
11 d&
4-irGfji. (2)
r2dr\dr
Thegeneralsolutioninside(r<R)whichdoesnotdivergeatr=0is
$(r)=Ar2+B (3)
whereAandBareconstants.Aisdeterminedfrom(2)and(1)tobe
(4)
,2tt^ 1(GM\ 1
Bisdeterminedbymatchingtotheexteriorsolution$(r)=—GM/ratr=R
tobe5=-SGM/(2R).Thus,
$(r)=
CM
£)-'
r<R
r>R.
(5)
(6)
3-5.Considerthefunctional
S[x(t)]=fT
Jo(^)'-^w
di.
Findthecurvex(t)satisfyingtheconditions
x(0)=0,x(T)=1,
whichmakesS[x(t)]anextremum.WhatistheextremumvalueofS[x(t)]?Is
itamaximumorminimum?
16

25. PROBLEM 3.5 17
Solution:Lagrange'sequations
d(dL\dL n
-Jt[ai)+ai=0 m
arethenecessaryconditionforanextremumtofunctionalsoftheform
S[x(t)}=fdtL(x,x). (2)
Inthepresentcase,L=x2+x2andtheLagrangeequation(1)is
whosegeneralsolutionisalinearcombinationofsinhtandcosht.The
solutionsatisfyingx(0)=0,x(T)=1is
. sinht
X«{t)=sinYT •
Thevalueoftheactionatthisextremumcanbefoundbydoingtheintegral
directly,butismosteasilycomputedbyintegrating(2)bypartstogive
TrT
S[x(t)]=x(t)x(t)+dtx(t)[-x(t)+x(t)].
o./o
ThesecondtermvanishesbecauseofLagrange'sequation,so
S[xcl(t)]=cothT (3)
fortheextremalpath.Theargumentoftheactionispositiveforanychoice
ofx(t)andcanbemadearbitrarilybigbychoosingawigglypathwithbig
x.Theextremum,therefore,cannotbeamaximumbutmustbeaminimum.
Forexample,thesimplepath
x*Kt)=f
satisfiestheboundaryconditions,and
S[x*(t)}=Ul+jP}
17

26. 18 CHAPTER 3.NEWTONIAN PHYSICS
whichisgreaterthan(3),ascalculatingafewvaluesorasimpleplotwill
show.
3-6.[B,E,C]Estimatethegravitationalself-energyoftheMoonasafractionof
theMoon'srestmassenergy.Isthisratiolargerorsmallerthantheaccuracy
oftheLunarlaserrangingtestoftheequalityofgravitationalandinertial
mass?
Solution:Thegravitationalselfenergyisoforder
GMl
Eseli
moon
•fimoon
andtheratiototherestenergyis
£seifGMmoon (6.67x10-8)(7.35x1025) u
rvj — rvj rvjAX11)
£rest i?moonC2 (1.7X108)(3XlO^)2
whichiswithinthe10~~13accuracyoflunarlaserranging.
18

27. Chapter4
ThePrinciplesofSpecial
Relativity
4-1.[B,S]TodayaTGVtrain(trainagrandevitesse)leavesParis(Garede
Lyon)at8:00andarrivesatLyon(PartDieu)at10:04(usinga24hrclock).
Assumingthetrainmakesnointermediatestops,plottheworldlineofthe
trainonacopyoftherailwayspacetimediagramonp.71.Ifthedistance
betweenParisandLyonis472km,howfastisthetraintravelingonaverage?
Solution:
Theaveragevelocityisapproximately228km/hr.Evidently,fromthesmaller
slopeofitsworldline,thisTGVisfasterthanlatenineteenthcenturytrains.
19

28. 20 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
4-2.ArocketshipofproperlengthLleavestheEarthverticallyatspeed
(4/5)c.Alightsignalissentverticallyafteritwhicharrivesattherocket's
tailatt=0accordingtobothrocketandEarthbasedclocks.Whendoesthe
signalreachthenoseoftherocketaccordingto(a)therocketclocks;(b)the
Earthclocks?
Solution:
a)Intherocketframe,asinallinertialframes,thevelocityoflightisc,so
thetimetotraversetheproperlengthList'=L/c.
b)Thereareatleasttwoinstructivewaysofdoingthisproblem:
Directcalculationintheearthframe,
Lettbethetimeasreadonearthclocksthatthelightsignalreaches
thenoseoftherocket.Thesignalhastraveledadistanceequaltothe
contractedlengthoftherocketplusthedistance(4/5)ciittraveledinthe
timet.Thus,
ci=L[l-(4/5)2]1/2+(4/5)ci
Solvingfort,onefinds
t=3L/c
Transformingbackfromtherocketframe;
Theeventofthesignalreachingthenoseoccursatt'=L/c,z'=Linthe
rocketframeifcistheverticaldirection.Thereforeintheearthframe
-*;+(4/5)c3;_3L
*~Jl"(4/5)2"c
4-3.A20mpoleiscarriedsofastinthedirectionofitslengththatitappears
tobeonly10mmeterslonginthelaboratoryframe.Therunnercarriesthe
polethroughthefrontdoorofabarn10mlong.Justattheinstantthehead
ofthepolereachestheclosedreardoor,thefrontdoorcanbeclosed,enclosing
thepolewithinthe10mbarnforaninstant.Thereardooropensandthe
runnergoesthrough.Fromtherunner'spointofview,however,thepoleis
20mlongandthebarnisonly5m!Thusthepolecanneverbeenclosedin
20

29. PROBLEM 4.3 21
thebarn.Explain,quantitativelyandbymeansofspacetimediagrams,the
apparentparadox.
10m
Solution:
Shownaboveisaspacetimediagramintheframewherethebarnisatrest
andthepoleismoving.Thesolid,verticallinesaretheworldlinesofthefront
andrearbarndoors,theheavypartsindicatingwhenthedoorsareshut.The
dottedlinesaretheworldlinesoftheendofthepole.Atthemomentt*the
poleisinthebarnandbothdoorsaresimultaneouslyshut.Thecoordinates
(t',x')oftheframeinwhichthepoleisstationaryandthebarnismovingare
alsoindicatedaswellassomelinesofconstantt'.
21

30. 22 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
Fromthisspacetimediagramitisevidentthattheclosingofthefront
doorandtheopeningofthereardoorarenotsimultaneousinthepoleframe.
Rather,thefrontdoorclosesafterthereardooropens.Thisallowstheshorter
barntimetopassoverthelongerpoleaswenowdemonstratequantitatively.
Inthepoleframethetimedifferencebetweenthetwoeventssimultaneous
inthebarnframein[cf.(4.24)]is
At'=syvLt/c2
whereL*=10mistheproperwidthofthebarnandvisitsvelocity.This
velocityissuchthatthe20mpoleiscontractedto10minthebarnframe,i.e.,
•j=2,v=(\/3/2)c.Atthetimethereardooropens,5mofthepoleiswithin
thecontracted5mlengthofthebarn.AnothervAt'=2•(\/3/2)2■10=15m
canpassthroughbeforethefrontdoorcloses.Thetotalmakesthefull20m
lengthofthepole.Thereisnocontradiction.
4-4.AsatelliteorbitstheEarthinacircularorbitabovetheequatoradistance
of200kmfromthesurface.Byhowmanysecondsperdaywillaclockon
suchasatelliterunslowcomparedtoaclockontheEarth?(Computejust
thespecialrelativisticeffects.)
Solution:Neglectingtheearth'sorbitalmotion,wecanthinkoftheearthas
rotatingaboutanaxisinaninertialframe.ThespeedVsofthesatelliteis
relatedtothedistancersfromtheearth'scenterby
K2GMffi
s
's
whereMeisthemassoftheearth.Thus,
—=(—-£)=2.6xl0-5
c\c2rsJ
forrs=re+200km,whererffi=6378km.Thespeedoftheearthatitssurface
is
-5HL=_(^^L=1.5x10~6
c c\24hrsJ
22

31. PROBLEM 4.5 23
Thesatelliteclockismovingfasterintheinertialframeandwillrunslower
comparedwiththeclockonthesurface.Theratioofratesis
(Rateofsatclock)_(1-V^/c2)5 1fVsur{\21fVs
(Rateofsurfclock)n_yiic2\\ 2Vc/ 2Vc
sincebothvelocitiesaresmallcomparedtoc.Theratioisthus
l+3.4x1(T10
So,inonedaytheclockswilldifferby(3.4xKT10)x(8.6x104s)=29fjs.
4-5.[B,E]Theradiosource3C345isparticipatingintheexpansionofthe
universeanditsdistancecanbedeterminedfromtheredshiftarisingfrom
itsrecessionvelocityandassumptionsaboutouruniverse.(WorkProblem
Chapter19.1whenyouhavestudiedalittlecosmology.)However,arough
ideaofthedistancecanbeobtainedfromBubble'slawrelatingdistancedto
observedrecessionvelocityV-
V=H0d
whereH0ps72(km/s)/MpcistheHubbleconstant.(Lookattheendpapers
forastronomicalunitslikethemegaparsec(Mpc).)Vfor3C345isabout
.6c.UsethesefactstogetherwiththedatainBox4.3toroughlyestimate
thevelocityofthecloudC2assuming(contrarytofact)thatitismoving
transversetothelineofsight.
Solution:FromthefigureinBox4.3wecanroughlyestimatethatthecloud
C2movesabout2mas(milliarcseconds)in4.7yr.Tofindouthowfarit
movesweneedthedistanceto3C345.Hubble'slawgives
.6c=.6(3x105km/s)=H0d
whichwiththevalueofH0specifiedgives(1pc=3x1018cm)
d«2.5x103Mpc«7.5x1022km.
Assumingthecloudismovingtransverselytothelineofsight,thedistanceit
travelsiss=6dwhere6is2masinradians.Thus,
2ttx2x10-3ncin22l
s~77777—777—77x7.5x1022km
360x60x60
«7x1014km.
23

32. 24 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
Since4.7yr«1x108s,thetransversevelocityVj-is
VT«7x106km/s«24c.
Thisisjustanestimatebutthevelocityislargerthanc.Adetailedcalculation
presentedinthesolutiontoProblem19.1givesabout13c.
4-6.Example2showedhowtimedilationinamovingclockcouldbeunderstood
intermsoftheworkingofamodelclockconsistingoftwomirrorsoriented
alongthedirectionofmotion.Showthatthesameresultcanbederivedusing
asimilarclockorientedperpendiculartothedirectionofmotion.
Solution:
ThemirrorsareadistanceLapartintheirrestframe.Alightsignalstarts
fromA,isreflectedatB,andreturnsatCWecalculatetheelapsedtimefor
thatintheframewherethemirrorsaremovingwithspeedVandcompare
withtheelapsedin2L/cintherestframe.
Withanappropriatechoiceoforiginsofxandt,thepositionsoftheleft
(L)andright(R)mirrorsasafunctionoftimeare
xL{t)=Vt
xR(t)=L'-*)■
+Vt
(1)
(2)
whereL[\—(V/c)2]2istheLorentzcontractseparationbetweenthemirrors.
LettA—0bethetimethelightrayisemitted,tBthetimeitisreflected,and
tcthetimeitreturns.Sincelighttravelswithspeedc,
ctB=xR(tB)-xL(0)
c(tc-tB)=xR{tB)-xL(tc)
(3)
(4)
24

33. PROBLEM 4.7 25
givetherelationbetweentimeanddistanceoftheoutgoingandreflectedray.
Using(1)and(2)forsolving(3)and(4)gives
oU-V/cJ ■ <5>
Substitutingthisin(4)andsolvingfortcgives
']/\2"l~22L
tc=—
c
1-
c
(6)
SinceAt=2L/cistheintervalbetweenticksintherestframe,andAt=tc
istheintervalinthemovingclockframe,
Ar=At\jl~[^). (7)
Thisis(4.15)—timedilation.
4-7[S,P]In(4.4)wededucedatraveltimeAt'forapulseoflighttraveling
betweentwomirrorsthatweremovingwithaspeedVThistimewasdifferent
fromthetraveltimeAtintheframeinwhichthemirrorsareatrest,(4.3)
InNewtonianphysics,withitsabsolutetime,thesetimeswouldnecessarily
agree.CarryouttheanalysisthatledtoAt'in(4.4)usingtheprinciplesof
Newtonianphysicsandshowthatthisisthecase,assumingthattherestframe
ofthemirrorsistherestframeoftheether.
Solution:Maxwell'sequationswhichgovernthepropagationoflightarevalid
onlyintherestframeoftheether.Supposethisistheframeinwhichthetwo
mirrorsareatrest.Thevelocityofthelightsignalis\V\=(0,c,0).Inthe
framemovingwithspeed—valongthea;-axis,itis\V'\=(v,c,0)fromthe
Newtonianadditionofvelocities(4.2).Thekeypointisthatthecomponent
VyisthesameinbothframessoAt'=2L/c=At.
4-8.[S]CalculatethehyperbolicanglebetweenthesidesACandABofthe
triangleABCillustratedinFigure4.8.
25

34. 26 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
Solution:From(4.10),thepoint(ct,x)=(3,5)makesahyperbolicangle
withthet=0lineof
ct
tanh9=—=.6
x
so^=tanh-1(.6)=.69.
4-9.ConsidertwotwinsJoeandEd.Joegoesoffinastraightlinetravelingat
aspeedof(24/25)cforsevenyearsasmeasuredonhisclock,thenreversesand
returnsathalfthespeed.Edremainsathome.Makeaspacetimediagram
showingthemotionofJoeandEdfromEd'spointofview.Whentheyreturn
whatisthedifferenceinagesbetweenJoeandEd?
Solution:
Thetimet\totheturnaroundpointasmeasuredbyEdisrelatedtoJoe's
propertime,t\=7yrtothesamepointby
h=Tl-d)'
=25yr
Sincethereturnvelocityishalftheoutboundvelocity,ittakestwiceaslong
forthereturntrip(50yr)accordingtoEd.Edhasthereforeagedbyatotal
26

35. PROBLEM 4.10 27
of75yr.Joeagedt\—7yrontheoutboundtrip,and
r2=2*i-(1/
44yr
onthereturn.ThetotalforJoeis51years,soheisyoungerby24yearson
return.
4-10.Inthenovel"ReturnfromtheStars"byS.Lemwhichisconcerned
withtheproblemsareturningtwininthetwinparadoxsituationmightface,
thereisthefollowingpassage:
"Hereyeswereshiningandattentive.'...Iwasthirtythen'.The
expedition...'IwasapilotontheexpeditiontoFomalhaut.That's
twenty-threelightyearsaway.WeHewthereandbackinahundredand
twentyyearsshiptime.Fourdaysagowereturned...ThePrometheus
—myship—remainedonLuna.Icamefromtheretoday.That's
all.'"1
Assumingthatallaccelerationsareinstantaneousandthethevelocityofthe
Prometheuswasconstantinbetween,withwhatspeeddidittravelfromthe
EarthtoFomalhaut?
Solution:We'llpresenttwowaystoarriveattheanswer.
Firstversion:
LetVbethespeedofthePrometheus,dthedistanceittraveled(23ly),and
rthetotalpropertimetraveled(120yr).Theelapsedtimeintheearthbased
frameis
andthespeedisV=(2d)/T.Thus,
T
XS.Lem,ReturnfromtheStars,HarcourtBraceJovanovich,SanDiego,1989.
27

36. 28 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
SolvingforVgives,
T/_ 2d/r
2d=2x23ly
t=120yr
V
>A+(2d/r)2
=4.3.5x1014km
=3.78x109s
=.36=.36c.
Secondversion:
Thespacetimeintervalisaninvariant.Foroneleg,thetwinontheship
measuresA£shiP=120yrandA£ship=0.Thetwinonearthmeasures
Axearth=23ly.InvarianceoftheintervalsuppliesanequationforA£earth:
—^ship=—^earth+^^earth
whichgivesAtearth=64yr.Thespeedintheearthframeis
V=AXearth/Ateai-th='36C"
4-11.[C]AliceandBobaremovinginoppositedirectionsaroundacircular
ringofradiusRwhichisatrestinaninertialframe.Bothmovewith
constantspeedsVasmeasuredinthatframe.Eachcarriesaclockwhichthey
synchronizetozerotimeatamomentwhentheyareatthesamepositionon
thering.BobpredictsthatwhennexttheymeetAlice'sclockwillreadless
thanhisbecauseofthetimedilationarisingbecauseshehasbeenmovingwith
respecttohim.AlicepredictsthatBob'sclockwillreadlesswiththesame
reasoning.Theybothcan'tberight.What'swrongwiththeirarguments?
Whatwilltheclock'sreallyread?
Solution:Theproblemismosteasilyanalyzedintheinertialframeinwhich
theringisatrest.Inthatframe,thetimetogooncearoundtheringis
T—2ttR/VThepropertimeelapsedforbothAliceandBobis,from(4.14),
2irRr—2
^7~oncearound=7JVJ- V
AliceandBobagreeandtheirclockswillthusbesynchronizedwhennext
theymeet.Theirargumentsaboutmovingclocksrunningslowdonotapply
28

37. PROBLEM 4.12 29
becauseneitherAlicenorBob,northeirclocks,areatrestinanyinertial
frame.
4-12.(a)Showexplicitlythatthestraightlinepathbetweenanytwopoints
inflatthree-dimensionalspace(dS2=dx2+dy2+dx2)istheshortestdistance
betweenthem.
(b)Isthestraightlinepathbetweentwospacelikeseparatedpointsinflat
spacetimetheshortestdistancebetweenthem?
Solution:
a)OrientCartesiancoordinates(x,y,z)sothatonepointisattheoriginand
theotherisadistanceLawayonthex-axis.Anycurveconnectingthe
twopointscanbespecifiedbygivingy(x)andz{x).Thedistancealong
suchacurveis
S=jds=f[dx2+dy2+dz2]5=j
dx
\dx)\dx)
(1)
Thedistanceissmallestwhendy/dx=dz/dx=0.Butthatisthestraight
linepathalongthez-axis.
b)Infourdimensions,thegeneralizationof(1)wouldbe,from(4.6)
Jo
dx
'dT
dx,
+1+
dx
+
'dz\
dx)
(2)
Anargumentasin(a)cannotbemadebecauseoftheminussign.Indeed
thefollowingpathhaszerodistancebetweenthepointsatx=0andx—L
alongthex—axis.
29

38. 30 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
4-13.Inaninertialframetwoeventsoccursimultaneouslyatadistanceof
3metersapart.Inaframemovingwithrespecttothelaboratoryframe,one
eventoccurslaterthantheotherby10~8s.Bywhatspatialdistancearethe
twoeventsseparatedinthemovingframe?Solvethisproblemintwoways:
firstbyEndingtheLorentzboostthatconnectsthetwoframes,andsecondby
makinguseoftheinvarianceofthespacetimedistancebetweenthetwoevents.
Solution:Theintervalbetweenthetwoevents
(As)2=-(cAt)2+(Ax)2
mustbethesameinbothframes.Inthelaboratoryframe
(As)2=02+(3m)2=9m2 .
Inthemovingframe
9m2=-(3x108m/s ■1(T8s)2+(Ax)2
whichgives
Ax=V18m2=4.24m .
Let(t,x)becoordinatesoftheinertialframeinwhichtheeventsare
simultaneous,and(f,x')coordinatesofaframemovingwithrespecttothis
onealongthex—axis.TheLorentzboostconnectingthetwoframesimplies
t'2-t[=7(*2-*l)--o(Z2~Xi)
30

39. PROBLEM 4.14 31
Intheunprimedframe,thetwoeventsaresimultaneous(At=t2—t\=0)
andseparatedbyAx=x2~x\=3m.Then
At'=4-t\=-7~Az=10~8s
andsolvingforj2gives
Thereforetheseparationofthetwoeventsinthemovingframeis
Ax'=^Ax=72(3)=4.24m.
4-14.[C]Thisproblemconcernsthetoymodelsatellitelocationsystem
discussedintheexampleonExample4.Supposeyousimultaneouslyreceive
broadcastsfromtwoneighboringsatellitesAandBthatreporttheirlocations
x'Aandx'Baswellastheirtimesofbroadcastt'Aandt'Bwhichareequalt'A=t'B
Thetimesandpositionsareintherestframeofthesatellitestowhichtheir
clocksareallsynchronized.Deriveaconditionthatdeterminesyourpositionin
x.Evaluateittofindyourdeviationfromthemidpointbetweenthesatellites
tofirstorderinV/cwhereVisthespeedofthesatellites.
Solution:Tworeferenceframesarerelevantforthisproblem.The(t',x',yf)
restframeofthesatellitesthatismovingwithvelocityVwithrespectto
therestframe(t,x,y)oftheobserver.(The^-directionisirrelevantforthis
problem.)Thesatellitesbroadcasttheirlocationandthetimesoftheemissions
oftheirsignalsintheirrestframe.Let(t'A,x'A,h)and(t'B,x'B,h)bethe
coordinatesoftheemissionsofthetwosignalsthatarereceivedsimultaneously
bytheobserverinherframeat(t,x,0).(Theproblemstatest'A—t'B,but
let'skeepthisgeneralforamoment.)Thecoordinatesofthetwoeventsof
emissionintheobserver'srestframecanbefoundfromaLorentzboost,e.g.
tA=I^a+Vx'Jc2) (4.1a)
xA=l{x'A+Vt'A) (4.1b)
31

40. 32 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
andsimilarlyfor(t^,^).Theeventswillbereceivedsimultaneouslybythe
observerif
[(x-xA)2+h2Y=c(t-tA)
[(xB-xf+h2]~2=c(t-tB)
Subtractinggivesthecondition
[(xB-xf+h2}>-[(x-xA)2+h2}*=c(tB--tA)
(4.2a)
(4.2b)
(3)
wheretA,xa,ts,xbcanbeexpressedintermsoft'A,x'A,t'B,x'Bby(1).The
condition(3)determinesx.
Inparticular,usingt'A=t'B
tB-tA=l(^)(x'B~x'A)=7(^)L
(4)
whereL*istheproperdistancebetweenthesatellites.
IftB—tA—0,thesolutionto(3)wouldhavetheobserverattheposition
x=(xa+xb)/2equidistantfromxaandxb-Butbecauseoftherelativity
ofsimultaneity,tA—tB^0andtheobserverisclosertoonesatellitethanto
theother.It'smessytosolve(3)forx,butforV/cClwecanwrite
x=x+Sx
andsolveforSxtofirstorderinV/c.
Thecondition(3)becomes
5x~fL* +h>
7
V
whereL=L*j.TheresultforSxis
5x=
VjL,
+h2
4-15.Showthattheadditionofvelocities(4.28)impliesthat(a)if\V\<c
32

41. PROBLEM 4.16 33
—* —*
inoneinertialframethen\V\<cinanyotherinertialframe,(b)if\V\—c
inoneinertialframethen\V\=cinanyotherinertialframe,andthat(c)if
—* —*
\V\>cinanyinertialframethen\V\>cinanyotherinertialframe.
Solution:Orientcoordinatessothatthez-axisisalongVThentheaddition
ofvelocities(4.28a)gives
v>=y-v
1-Vv/c2
PlottingV'(V)for\V\<cweseethatitrangesbetween—cforV——cand
+cforV=+c.Inallcases\V'\<c.
Theproblemcanbeanalyzedalgebraicallyaswillasgraphically.The
additionofvelocities(4.28a)canbewritten
V'+v
V
For(a),set
W\
1+V'v/c2
V'+v
<c
1+V'v/c2
SolvingforVgives\V'\<c.(b)and(c)canbedonesimilarly.
4-16.LengthsPerpendiculartoRelativeMotionareUnchanged
Imaginetwometersticks,oneatrest,theothermovingalonganaxis
perpendiculartothefirstandperpendiculartoitsownlength,asshownabove.
Thereisanobserverridingatthecenterofeachmeterstick.
a)Arguethatthesymmetryaboutthex-axisimpliesthatbothobservers
willseetheendsofthemeterstickscrosssimultaneouslyandthatboth
observerswillthereforeagreeifonemeterstickislongerthantheother.
b)Arguethatthelengthscannotbedifferentwithoutviolatingtheprinciple
ofrelativity.
33

42. 34 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
Solution:
a)Ifeitherobserversawoneendoftheothermeterstickcrosshisorhers
firstthatwouldviolatetheevidentsymmetryaboutthe#-axis.Bothends
mustthereforecrosssimultaneouslyforbothobservers.
b)Thesituationwithregardtomeasuringthelengthofthemovingmeter
stickiscompletelysymmetricbetweenthetwoobservers.Ifonemeasured
ashorterlengththantheotheritwoulddistinguishhisorherinertialframe
fromtheotherone.Thatwouldviolatetheprincipleofrelativity.
4-17.AnotherderivationofLorentzcontraction.Example2showedhowthe
operationofamodelclockwasconsistentwithtimedilation.Thisproblem
aimsatshowinghowLorentzcontractionisconsistentwithidealwaysof
measuringlengths.
O' OCv
'©
Qi>© —£
Ao 7Ao
ThelengthofarodmovingwithspeedVcanbedeterminedfromthetime
ittakestomoveatspeedVpastafixedpoint(lefthandfigureabove).The
lengthofastationaryrodcanalsobedeterminedbymeasuringthetimeit
takesafixedobjecttomovefromendtoendatspeedV(righthandfigure
above).Takingaccountofthetimedilationbetweenthetwoframes,showthat
thelengthofthemovingroddeterminedinthiswayisLorentzcontractedfrom
itsstationarylength.
Solution:Consider,forexample,arodmovingalongitsownlengthwith
speedvpastobserverOasintheabovefigure.AsmeasuredbyObserverO,
thelengthwillbewillbe
L=vAt
whereAtisthetimeintervalbetweenwhenthenoseoftherodcoincideswith
O'spositionandthetimewhenthetailoftherodiscoincident.Anobserver
34

43. PROBLEM 4.18 35
O'ridingontherodseesobserverOmovingintheoppositedirectionwith
speedv,asillustratedabove.ThetimeAtfortheobserverOtotraversethe
rodwillbe
At=L*/v
whereL*isthelengthmeasuredbyO'.L*istheproperlengthoftherod
sinceitismeasuredinitsrestframe.Atisapropertimeintervalontheclock
ofOandAtisthecorrespondingintervalinaframeinwhichthatclockis
movingwithspeedv.UsingtheaboveresultforAtandeliminatingAtfrom
(4.14)onefinds
L=L^l-v2/c2. (1)
Themovingrodiscontractedinthedirectionofitslength.
4-18.[S]Showthatfortwotimelikeseparatedeventsthereissomeinertial
frameinwhichAt^0,Ax=0.Showthatfortwospacelikeseparatedevents
thereisaninertialframewhereAt=0,Ax^0
Solution:TwotimelikeseparatedeventsAandB,haveAs2<0.Construct
rectangularcoordinatesbyusingthestraightlinethroughAandBasthetime
axisandalignthespatialaxesalongthreeorthogonalspacelikedirections.The
resultisarectangularsysteminwhichevidentlyAt'^0,Ax'=0.
OnecanalsostartwithaninertialframeinwhichnoneoftheAxaarezero
andmakeaLorentztransformationtoanewframewhereAt'^0,Ax'=0.
Suppose,forsimplicity,Ay=Az=0.TherequiredLorentztransformation
istheboostalongthez-axissuchthat
0=Ax'=j(Ax-vAt).
TheconditionthattheeventsaretimelikeseparatedAt>Axguaranteesthat
thiscanbesolvedwithv<1
Thespacelikecaseisexactlyanalogous.
4-19.[C]Ifaphotographistakenofanobjectmovinguniformlywitha
speedapproachingthespeedoflightparalleltotheplaneofthehim,itdoes
35

44. 36 CHAPTER 4.THEPRINCIPLESOFSPECIALRELATIVITY
notappearcontractedinthephotograph,butratherrotated.Explainwhy.
(Assumetheobjectsubtendsasmallanglefromthecameralens.)
Solution:
Vb
a^1-V*
Considerarectangularobjectmovingparalleltotheplaneofthefilmwith
speedVasshownabove.Supposethelongsidehasarestlengthaandthe
shortsidearestlengthb.BecauseofLorentzcontraction,theimageofthe
longsidewillhavealengtha\/l—V2Thelightfromthefarsidetakesatime
b(c=1units)longertogettothefilmthanthenearside.Aphototakenat
oneinstantwilltherefore,showthenearsideandthefarsideasitwasatime
bearlierwhenitwasadistanceVbtotheleft,asshown.That'sjustthesame
asiftheobjectwererotatedbyanangle9withV=sin0,since
acos9=a\/l—V2
bsinO=bV.
36

45. Chapter5
TheSpacetimeofSpecial
Relativity
5-1.[S]Considertwofour-vectorsaandbwhosecomponentsaregivenby
aa=(-2,0,0,1)
6a=(5,0,3,4).
a)Isatimelike,spacelike,ornull?Isbtimelike,spacelike,ornull?
b)Computea—5b.
c)Computeab.
Solution:
a)
aa=-2-2+0-0+0-0+l-l=-3
bb=-5-5+0-0+3-3+4-4=0
Thus,aistimelike,andbisnull.
b)
a-5b=(-2,0,0,1)+(-25,0,-15,-20)
=(-27,0,-15,-19).
37

46. 38 CHAPTER 5.THESPACETIMEOFSPECIALRELATIVITY
c)
a•b=-(-2•5)+00+0-3+l-4=14.
5-2.Thescalarproductbetweentwothree-vectorscanbewrittenas
—t
a■b=abcos0ab
—t
whereaandbarethelengthsofaandbrespectivelyand9abistheangle
betweenthem.Showthatananalogousformulaholdsfortwotimelikefour-
vectorsaandb:
ab=—abcosh.8ab
wherea=(—aa)1//2,b—(—b-b)1//2and9abistheparameterdefinedin(4.18)
thatdescribestheLorentzboostbetweentheframewhereanobserverwhose
worldlinepointsalongaisatrest,andtheframewhereanobserverwhose
worldlinepointsalongbisatrest.
Solution:WorkintheframeAoftheobserverwhosefour-velocityispointing
alonga,andorientthespatialcoordinatessothatxpointsalongb.Then
a=(a,0,0,0) (1)
SimilarlyintheframeBofanobserverwhosefour-velocitypointsalongb,b=
(b,0,0,0).SupposeBismovingwithrespecttoAwitharelativerapidity8ab-
MakingaLorentztransformationfromtheBtotheAframe,thecomponents
ofBare[c/(4.18)]
b=(bcosh9ab,bsinh9ab,0,0)
intheAframe.Takingtheinnerproductwith(2)intheAframe:
a•b=—abcosh.6ab.
Anotherwayofdoingtheproblemisafollows:
Sinceaianda2aretimelike,wecanchooseaframesothatailiespurely
inthetimedirection
an={a\,0,0,0)
38

47. PROBLEM 5.3 39
andthespatialpartofa2pointsonlyinthez-direction,
a2=(4,a*,0,0)
Thus,inthisframe
ai•a2=~a\a\ (2)
Thevalueofa\inthisframeisfoundfrom
a?=-ai-ai=-(ai)2 (3)
Inthisframethevelocityofanobserverwhosefour-velocitypointsalongthe
directionofaiiszero.Thevelocityofanobserverwhosefour-velocityu2
pointsalonga2is
dxdxjdru\a\
dtdtjdru2 a2
Thus,a|=wa2,and
a2=-a2a2=-(a2)2(l-</) (4)
whichdeterminesa2intermsofa2andv.Therelativerapidity#i2isdefined
intermsoftherelativevelocityby
v—tanh#i2 (5)
Using(3)and(4)toeliminatea\anda2from(2),and(5)toeliminatev,gives
ai■a2=—aia2cosh#12.
whichisanalogoustoS\a2=aia2cos^12forthethree-dimensionalscalar
product.
5-3.[S]Afreeparticleismovingalongthex—axisofaninertia!frame
withspeeddx/dt—Vpassingthroughtheoriginatt=0.Expressthe
particles'sworldlineparametricallyintermsofVusingthepropertimeras
theparameter.
39

48. 40 CHAPTER 5.THESPACETIMEOFSPECIALRELATIVITY
Solution:Theworldlineofaparticlemovingalongthez-axisatconstant
speedVandpassingthroughtheoriginatt=0iswrittenintheform
parametricformas
t=r/Vl-V2,
x=Vr/Vl-V2,
y=z=o,
ifthestartingpointforrischosentobetheparticle'sintersectionwiththe
origin.Thefirstequationistheusualrelationbetweenpropertimerand
thetimeoftheinertialframet.Thesecondisx=Vtwrittenintermsof
propertimeusingthefirst.(Rememberweareusingunitswherec=1and
three-velocityisdimensionless.)
5-4.Workoutthecomponentsofthefour-accelerationvectora=du/dr
—t —* —*
intermsofthethree-velocityVandthethree-accelerationA—dV/dtto
obtainexpressionsanalogousto(5.28).Usingthisexpressionand(5.28)verify
explicitlythata•u=0.
Solution:Thisisanexerciseindifferentiation
dua dua
aa=~—=j
dr dt
Theninserting(5.28)andnotingthat
onefinds
aa=[74i•V,72^+7V(A■V)
Thenonecancheckexplicitlythat
au=0
whereua=(7,7V).
5-5.MakeacopyofFigure5.6anddrawonittheaccelerationfourvectorsa
athalf-scale.Arethesevectorsorthogonaltou?
40

49. PROBLEM 5.6 41
Solution:Thefollowingspacetimediagramshowsboththefour-velocitiesin
Figure5.6andthefour-accelerationswiththecomponentsof(5.40)atthe
correspondingpoints.Theaccelerationsareorthogonaltothefour-velocities
[cf.(5.39)]butinthegeometryofspacetime,notintheEuclideangeometry
ofthepage.
5-6.Consideraparticlemovingalongthex-axiswhosevelocityasafunction
oftimeis
dx gt
wheregisaconstant.
a)Doestheparticle'sspeedeverexceedthespeedoflight?
b)Calculatethecomponentsoftheparticle'sfourvelocity.
c)Expressxandtasafunctionofthepropertimealongthetrajectory.
d)Whatarethecomponentsofthefour-forceandthethree-forceactingon
theparticle?
41

50. 42 CHAPTER 5.THESPACETIMEOFSPECIALRELATIVITY
Solution:
a)(gt)2<1+(gt)2sodx/dt<1.
b)
u4
7^T2=^^
v
Vi-v2
uy=uz=0
c)Theclockofanobserverridingontheparticlereadspropertime.The
propertimeelapsedfromt=0totis
t=/dt\/T^V*=/-. sinh-^ot) (1)
J° h^i+(gtyg
Theparticletrajectoryis
x(t)-x0=[dt-j=^==-Jl+(gt)2
J°Ji+(gtygv
Thustherelationbetweenr—thetimeontheobserver'sclock—andthe
locationxis
(x-x0)=-\]l+sinh2(#r)
=-cosher) (2)
d)Thefourforceisfa=md2xa/dr2or
fa=(mgsmh(gT),mgcosh(gT),0,0).
ThethreeforceisgivenbyF=mdu/dt
Fi=(mg,0,0)
42

51. PROBLEM 5.7 43
5-7.[C]Aparticleismovingalongthex-axis.Itisuniformlyaccelerated
inthesensethattheaccelerationmeasuredinitsinstantaneousrestframeis
alwaysg,aconstant.Findxandtasfunctionsofthepropertimerassuming
theparticlepassesthroughx0attimet=0withzerovelocity.Drawtheworld
lineoftheparticleonaspacetimediagram.
Solution:Differentiatingthenormalizationconditionforthefour-velocity
uu=-l (1)
wefindthatgenerally
a•u=0 (2)
whereaisthefour-accelerationa=du/dr.
Intherestframeoftheparticlethereforea=(0,g)(listingonlytandx
components).Theinvarianta•aisthus
a•a=g2 (3)
Whenwrittenoutinageneralframewheretheparticleismoving,equations
(1),(2),and(3)become,respectively
-(u4)2+«)2=-l (4)
-a4u4+axux=0 (5)
-(a4)2+{axf=g2 (6)
Thesethreeequationscanbesolvedfora4andaxintermsofgandthe
componentsofu.Onefinds
«'-£=*«■ (7)
a*,£=*,' (8)
Eqs.(7)and(8)aretwocoupleddifferentialequationsforu4anduxThey
canbesolved,forexample,byeliminatingu4tofind
£=fr. (9)
43

52. 44 CHAPTER 5.THESPACETIMEOFSPECIALRELATIVITY
Thesolutionwheretheuxiszeroatr=0is
ux=Asmh(gr) (10)
forsomeconstantA.Thisleadstou4=Acosh(gr),butthenormalization
condition(4)impliesA=1.Thus,
ux=
dx
dr
dt
=sinh(gr)
u"=—-—cosh(gr)
(11)
(12)
Theseequationsareeasytointegratewiththegivenboundaryconditionto
find
x(t)—xoH—[cosh(^r)—1]
t(r)=-sinh(gr)
(13)
(14)
Theworldlineisthehyperbolar=(x—x0)2+(2/g)(x—x0)shownbelow:
5-8.[S]A7T°meson(restmass135MeV)ismovingwithaspeed(magnitude
ofthethree-velocity)V=c/y/2inadirection45°tothex-axis.
a)Findthecomponentsofthefour-velocityoftheparticle.
44

53. PROBLEM 5.9 45
b)Findthecomponentsoftheenergymomentumfour-vector.
Solution:Supposethemesonismovinginthex-yplane.Thecomponentsof
thethree-velocityarethen
Vx=Vy=(c/y/2)cos(45°)=~
Plugginginto(5.28)gives
ua=(1.41,.71,71,0)
inc=1units.Thefour-momentumis
pa=(190,95,95,0)MeV .
5-9.[S]InthenowdecomissionedStanfordLinearColliderelectronsand
positronswereacceleratedtoenergiesofapproximately40GeVinabeampipe
twomileslongbutonlyafewcentimetersindiameter.Steeringanelectron
throughthroughsuchanarrowlydefinedpathoversuchadistancesounds
likeadauntingtask.Buthowlongistheacceleratorintherestframeofthe
electronwhenithasthisenergy?
Solution:TheacceleratorwillbeLorentzcontractedtoalengthL=L*\A—V2
whereL*«2mi«3200m.TheenergyE=m/y/l—V2wherem=.51MeV
istherestmassoftheelectron.Therefore,
Vl-V2=m/E=(.51MeV)/(40GeV)«1.2x10~5
Thelengthoftheacceleratorintheframeoftheelectronis~4cm.It'snot
veryhardtosteerthroughthatdistance.
5-10.IntheLEPparticleacceleratoratCERN,electronsandpositronstravel
inoppositedirectionsaroundacircularringapproximately10kminradius
atanenergyof100GeVapiece,(a)Howclosearetheseparticlestomoving
atthevelocityoflight?(b)Electronsandpositronscanbestoredfortwo
45

54. 46 CHAPTER 5.THESPACETIMEOFSPECIALRELATIVITY
hours.Howmanyturnswillanelectronorpositronmakearoundtheringin
thistime?
Solution:
a)From(5.44)theenergyEoftheparticlesisrelatedtotheirspeedVby
m
E
Vi-v2
wheremistherestmass.Invertinggives
VE2-m2 1fm\2
Thelatterapproximationisvalidwhenm/Eissmall,ashere.Forelectrons
andpositrons,m«.5MeVsom/E~5x1CT6.Thevelocityiswithina
fewpartsin1011ofthevelocityoflight.
b)Thetimetomakeoneturnis
27r('1ftkm,l
2xl(T4s
2ttR2ttR 27r(10km) 4
V c 3x105km/s
Thenumberofturnsin2hrsisthereforeabout36million.
5-11.Expressthelawofadditionofparallelvelocitiesintermsoftheparameter
9usedtodescribeLorentzboostsin(4.18).Canyougiveageometricinterpretati
toyourresult?
Solution:ConsideraparticlemovingwithspeedV=tanhGinthex
directioninoneframe.Thevelocityoftheparticleasmeasuredinaframe
movingwithspeedvwithrespecttothefirstis
V-v
V'=
Vv
46

55. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

56. koivunummia. Ainoastaan kataja pyrkii tämmöisillä mailla männyn ja
koivun seuralaiseksi.
Petäjä ja koivu, onko luonnossa meille parempia tuttavia?
Vanhoilta pohjolan tuttavilta ne meistä tuntuvat täällä tammien ja
pyökkien kotomaassa. Mutta niillä on kuitenkin täällä vieras piirre.
Meillä koivu ei yksin metsitä kankaita, vaikka se kankaillakin kasvaa
männyn seuralaisena. Saksan petäjä taas on jonkun verran
toisenlainen kuin meidän, ei niin suorakasvuinen, eikä
"puhdasmuotoinen", ja tuskin se kehittyy niin suureksikaan, kuin
meikäläinen kokkahonka. Petäjä on kuin onkin Pohjolan puu, Pohjola
on sen paras kasvuala, sen optimum, kasvitieteen sanaa
käyttääksemme.
Jokilaaksometsät.
Saksan metsämuodoista lajirikkain ja rehevin on jokilaaksometsä
(Anvald), missä se kasvaa hyvällä lietemaalla ja hyvin tuoreella
pohjalla, joka ei kuitenkaan vielä ole rämettä. Vuotuiset tulvat
pitävät jokilaaksoja kosteina ja samalla niitä lannottavat.
Jokilaaksometsät ovat etupäässä lehtimetsiä. Semmoisia metsiä
kasvaa Pohjois-Saksan alangolla suurien jokien rannoilla. Usein
niiden reuna tapaa kangasmetsän reunan, mutta raja molempien
metsämuotojen välillä tavallisesti on yhtä jyrkkä, kuin
ilmanlaatujenkin välillä. Pyökki ei viihdy näin kostealla pohjalla,
mutta tammi menestyy sitä paremmin. Tammen sekaan tunkeutuvat
varsinkin jalava ja saarni, jotka erikoisesti suosivat näitä voimakkaita
kosteita maita. Pensasmainen valkopyökki usein muodostaa
melkoisia alusmetsiä tammiston alla. Mielellään vaahtera ja
lehmuskin etsivät sopivia paikkoja jokilaaksometsissä, ainoissa, jotka

57. Saksassa vielä saavat jotenkin luonnonomaisina kasvaa. Sen vuoksi
on alusmetsä monine pensaineen näissä metsissä niin taaja ja rikas.
Rämemetsät.
Vielä vetevämmillä mailla, varsinaisilla rämeillä, on tervaleppä
vallitseva puu ja sen rinnalla raidat ja pajut. Spreewald, josta
olemme ennen kertoneet, on lepikkömme, vieläpä laajin, mitä Keski-
Europassa onkaan. Toisia samanlaisia rämeitä on Oderin varrella,
muutamissa paikoin Lüneburgin nummen koloissa ja Itämeren
eteläpuolella. Spreewald, useita neliöpenikulmia laaja
monisokkeloinen pudasmaisema, on tulvan sattuessa yhtenä
järvenä.
Pyökkimetsä.
Missä maaperä on otollinen yhtenäisen lehtimetsän kasvulle, siellä
on Saksan alueella punapyökkimetsä melkein yksinään vallitsevana.
Erinomaisen juhlallista on vanha sulkeutunut pyökkimetsä. Pyökkien
latvukset muodostavat yhtenäisen tiheän lehväkaton, jonka läpi
auringonvalo ainoastaan toisin paikoin pääsee maahan saakka
paistamaan. Kun pyökkimetsään astumme, niin "pian sulkeutuu
korkealla oksakaarteiden kannattama lehväkatto ja joudumme
puolihämärään, jossa eivät enää muut puut valon puutteen vuoksi
menesty. Ikäänkuin mahtavien pylväitten kannattama holvikirkko
pyökkimetsä kesällä kutsuu vaeltajaa kaartoihinsa, nauttimaan
metsän raikasta, viileätä hämäryyttä, johon ainoastaan siellä täällä
pilkistää yksinäinen valonsäde. Varjokasveja vain viihtyy täällä
lihavassa maassa. Puitten valtavia runkoja kirjailevat valkopilkkuiset
jäkälät tai vihertävät sammalet. Siitä pyökin vaaleanharmaa runkokin

58. saa suloa ja kauneutta, joka yhä rikastuu, kuta vanhempaa on
metsä."
Pyökkimetsän varjo on niin synkkä, että alusmetsä viihtyy vain
aukkopaikoissa tai metsän reunassa. Ainoastaan keväällä, ennenkuin
vielä metsä on lehteä saanut, sen alla kukkii kirjava seura
kevätkukkia, nauttien lyhyttä valonaikaa lehden puhkeamisen edellä.
Pyökkimetsät ovat Saksassa laajalle levinneet. Vaikka geesti
marshiin verraten onkin niin hedelmätöntä, niin on kuitenkin juuri
Slesvigin ja Holsteinin itäosissa geestillä kauneimmat pyökkimetsät,
varsinkin vetten partaalla. Lüneburgin nummen eteläpuolellakin
kasvaa geestillä pyökkimetsiä, varsinkin Braunschweigissä ja
Hannoverissa. Werran, Leinen, Unstrutin, Helmen laaksoissa ja etelä-
Harzissa on kuorikalkkiainen melkein yhtämittaista suurta
pyökkimetsää, jossa pellot ja niityt ovat ikäänkuin järviä ja salmia.
Keskivuoriston alemmilla rinteillä ja varsinkin basalttikukkuloilla
kasvaa samanlaista metsää, joka näyttääkin olevan niillä
alkuperäistä. Korkeammalla merenpinnasta pyökkimetsään äkkiä
sekaantuu vuoripuuta, kuusia ja jalokuusia, ja pian se tämän jälkeen
kokonaan lakkaa ja vielä yksitoikkoisempi kuusimetsä astuu sijalle.
Mutta korkeammalla vuoristossa tulee vastaan uusi pyökkivyöhyke,
täällä kuitenkin surkastuneena vaivaismetsikkönä.
Sveitsissä ja Vogesienkin rinteillä kohoo varteva pyökkimetsä
kuitenkin noin 1,000-1,200 metriä korkealle.
Lehtisekametsä.
Missä luonto Saksanmaan kunnasmailla ja tasangoilla saa vapaasti
määrätä kasvun ja missä maanlaatu on soveliasta, siellä metsä

59. yleensä on lehti-sekametsää. Tämmöistä oli luultavasti aarniometsä,
joka Saksanmaalla kasvoi germanien alkaessa sitä viljelykselle
raivata. Nykyään on entisistä aarniometsistä jäljellä vain lehtoja.
Näissä sekalehdoissa on runsaammin valoa kuin pyökkimetsässä, ja
niissä rehottaa sen vuoksi alusmetsä, kannukka (Cornus),
aropaatsama (Rhamnus catharcticus), pähkinäpensas,
orjantappurapensas, monenlaiset vatukat, karviaismarjapensaat,
selja (Satnbucus), heisipuu (Viburnum) ja metsäköynnökset.
Moisessa metsässä ovat metsäkukkasetkin runsaimmin edustettuina
ja kauneimmat. "Metsän vanhukset eläisivät kuin ruhtinaat tämän
kirjavan kasvikansan keskellä, ellei — metsänhoitajaa olisi. Mutta
hän istukkaineen ja taimitarhoineen riistää metsältä itsenäisyyden ja
auttaa Keski-Saksassa kaikkialla pyökkiä ylivaltaan." Missä taas
pyökki valtaan pääsee, siellä täytyy väistyä koko tuon kirjavan iloisen
aluskasviston, jonka hyötyä ihminen ei ole päässyt käsittämään.
Pyökkimetsän hämärässä kasvavat ainoastaan sen omat seurakasvit,
jotka ovat elämänsä sovelluttaneet sen määräämien ehtojen
mukaiseksi.
Tammi, joka kaikesta päättäen ennen oli vallitseva lehtipuu, on
väistymistään väistynyt. Tosin siitä vieläkin voidaan helposti
muodostaa puhtaita metsiköitä, joissa ei mikään muu puu kykene
sen rinnalla kilpailemaan, mutta kaikesta päättäen se pakenee
Europan lämpöisempiin osiin — Saksanmaankaan lauhkea ilmasto ei
näytä enää täydelleen tyydyttävän sen vaatimuksia. Unkarissa se
nykyään kehittyy paljon valtavammaksi puuksi kuin esim. Pohjois-
Saksan alangolla. Täällä se näyttää väistyvän pyökin tieltä, samoin
kuin varsinkin Tanskassa. Saksassa tammi ei enää milloinkaan kehity
niin laajaksi, mutkaiseksi ja voimakkaaksi puuksi kuin esim.
Bakonymetsässä Unkarissa; mutta Saksankin tammi on yhä vielä

60. urosvoiman perikuva. Edullisissa oloissa se Saksassakin elää
vuosituhannen.
Lehti-sekametsän muut puut, lehmukset, vaahterat, saarnet,
haavat, lepät ja valkopyökit enimmäkseen kasvavat pieninä
saarekkeina muun metsän keskellä, semmoisilla paikoilla, jotka
parhaiten soveltuvat kunkin luonnonlaatuun. Lepät ja haavat
rehottavat purojen rannoilla ja kosteissa notkoissa, vaahterat
lihavissa laaksoissa, saarnet samoin, lehmukset taas aukeammilla
paikoilla, mihin päivä sopii paremmin paistamaan. "Valinnassaan ne
enimmäkseen noudattavat lakeja ja taipumuksia, joita emme vielä
tunne juuri nimeksikään. Mutta vasta sitten kun ne ymmärrämme,
alamme syvemmin käsittää metsän seuraelämää."
Kuusimetsä.
Itsenäinen metsämuoto ja ikivanhakin on kuusimetsä, vaikka sillä
ehkä on enemmän pohjoinen kuin keski-europpalainen sävy. Se
kaikesta huolimatta kehittyy parhaiten Pohjolassa.
Ihmisen toimesta on se Saksanmaalla anastanut paljon alaa maan
luontaisilta puilta. Kuusen varsinainen kasvualusta on granitti, mutta
se menestyy muuallakin, jopa kuivilla nummillakin. Mutta varsinkin
granittivuoristoissa se peittää rinteitä yksivärisellä mehevän
vihannalla vaipallaan, muodostaen nuo raikkaat, mutta yksitoikkoiset
metsiköt, jotka ihmisen holhouksen kautta ovat muuttuneet vielä
sitäkin yksitoikkoisemmiksi. Kuusimetsä kasvaa vuoristoissa
oikeastaan kahdessa selvään toisistaan erotettavassa vyöhykkeessä.
Alemmassa vyöhykkeessä maanlaatu ja metsänhoitajan tahto
suosivat kuusikkoa, ylemmässä taas on kuusi vallalla siitä syystä,
etteivät siellä muut puut kykene sen kanssa kilpailemaan

61. epäsuotuisan ilmaston vuoksi. Korkealla vuorien rinteillä kuusimetsä
on vielä tavallistakin yksitoikkoisempaa, sumuista ja kosteaa,
naavaista, jäkäläistä. Mutta sammal rehottaa sen alla erinomaisen
upeasti, kooten helmaansa runsaat sateet ja luovuttaen tätä
kosteutta vähitellen lukemattomiin, alati juokseviin puroihin. Ei niin
alakuloista, mutta siltä synkkää on Harzin, Vogesien, Böhmerwaldin
ja varsinkin Schwarzwaldin rinteillä kasvava jalokuusikko, joka
aaltoilevana havumerenä peittää vuorenkupeita silmän
siintämättömiin. Se erottaa näillä vuorilla toisistaan alempien
rinteitten rehottavan lehtimetsän ja tunturien kedot ja kukkatanteret.
Alemmissa havumetsää kasvavissa vuoristoissa, kuten Erzgebirgessä,
Fichtelgebirgessä, Saksin Sveitsissä ja Sudettien esivuorilla,
sekaantuu kuusimetsään halusta pyökki, ilahuttaen niitä
kirkkaammalla vihannuudellaan.
Nämä ovat Saksanmaan luontaiset metsämuodot. Mutta ne eivät
suinkaan esiinny kaikkialla puhtaina, vaan sekaantuvat alati hienoiksi
välimuodoiksi, joita tavallinen vaeltaja ei huomaakaan, ennenkuin on
joutunut toisen metsämuodon alalta toiselle. Semmoisilla paikoilla
näyttää siltä, kuin koettaisivat erilaiset metsät etuvartijoita ja
partiojoukkoja lähetellen vallottaa toisiltaan alaa. Tosiaan
näyttävätkin eri puulajit vuosisatain kuluessa vaihtavan keskenään
kasvualoja, joko ilmastollisista taikka sisällisistä syistä. Varsinkin
koivu, jalokuusi, tammi, pyökki ja petäjä näyttävät muodostavan
ryhmän, jonka jäsenistä kukin vuoron takaa hallitsee maata. Näin
vaihtelevat samoilla kasvualoilla metsät, samoin kuin maissa
historialliset kansat.
Metsän aluskasvisto.

62. Olemme jo maininneet koko joukon pensaita, joita Saksan
metsissä kasvaa puiden alla. Pensaat menestyvät ainoastaan
sekametsissä ja tammistoissa; pyökkimetsissä, kuusikoissa,
männiköissäkään ne eivät viihdy. Molemmissa edellisissä on maa liian
synkässä varjossa, männiköissä taas maanlaatu ei kelpaa muille
pensaille kuin korkeintaan katajalle. Mutta sammalensa, jäkälänsä,
sanikaisensa, varpunsa, kukkasensa on jokaisella metsällä.
Useimmat Saksan metsissä tapaamistamme kukkasista ovat meille
kotimaastamme tuttuja. Mutta on joukossa toisia, jotka meillä
menestyvät vain maan eteläosissa ja ovat harvinaisia sielläkin, toisia
taas aivan uusia. Ja toiselta puolen taas puuttuu semmoisiakin, jotka
Suomessa ovat yleisiä, mutta joille Saksan ilmanala jo on liian
lämmin. Tämmöisiä ovat etenkin Lapin kasvit, ja useat muutkin.
Mutta Saksanmaan vuoristoissa on siellä täällä aivan Lapin-
peräisiäkin kasveja. Ne ovat siellä säilyneet jääkauden ajoilta, jolloin
Keski-Saksassa vallitsi napamaiden ilmanala. Sitä myöden kuin ilma
lämpeni, täytyi näiden pohjanperäisten kasvien kohota vuoristojen
ylimpiin osiin. Niitä sanotaan jäännös- eli reliktikasveiksi.
Suureksi osaksi on Suomen ja Saksanmaan kasvistojen
erilaisuuteen kuitenkin syynä se seikka, etteivät kasvialueet ole
suoranaisessa yhteydessä. Kasvien täytyy kulkea pitkiä kiertoteitä,
jos mieli maasta muuttaa. Suomen rannikoilla kuitenkin tapaa paljon
semmoisia kasveja, joille on tavalla taikka toisella onnistunut
keinotella meren poikki ja saada meidän maassamme jalansijaa.
Arvatenkaan eivät meikäläiset kasvit ole olleet huonompia.
Mutta käykäämme saksalaiseen sekametsään. Tuolla heiluttelee
kosteassa mullassa kasvaen omituinen vilkas häpykannus (Impatiens
noli me tangere) ihmeellistä, punaisen kellertävää kukkaansa. Täällä

63. on polun vieressä laaja pienoismetsä lehtomaitikkaa (Melampyrum
nemorosum), suloisimpia Saksan metsäkukkasista. Molemmatkin
kuuluvat meidän maamme kasvistoon, vaikkeivät olekaan
tavallisimpia. Missä metsään on aukko hakattu, siihen ilmestyy
tulipunainen, mutta myrkyllinen sormustinkukka (Digitalis purpurea),
meillä puutarhain koriste, laatii asuinsijansa ja valaisee ikäänkuin
bengalitulella yksiväristä metsää. Monessa aukeamassa toimittaa
samaa virkaa punakukkainen horsma (Epilobium angustifolium),
Suomenkin karujen vuorien kauneimpia koristeita. Kellukka (Geum
urbanum), josta mettiäinen niin mielellään etsii mettään, — ehkä
värien heimolaisuuden vuoksi, — on varmaan jokaiselle lukijalle hyvä
tuttu. Monet kellokukat (Campanulat) niinikään puhtaine ihanine
sinikukkineen. Lemmenkukka (Myosotis) hymyilee yhtä suloisena
noron pohjalla kuin meilläkin, ja metsätähti (Trientalis)
vaatimattomuudessaan muistuttelee, että sen isänmaa on laajempi
kuin ihmisen. Talviviheriä (Vinca) sitä vastoin menestyy meillä vain
puutarhoissa, samoin hyasintit, narsissit ja monet muut sipulikasvit.
Keltanot (Hieracium) ovat erilaisia kasvupaikan mukaan. Ja
tarjoopa vaatimaton, ystävällinen ketunleipä (Oxalis acetosella)
täälläkin yhtä luottavaisena vähäisen maukkaan lehtensä ohikulkijan
haukattavaksi. Tuttavia, hyviä tuttavia on joka puolella ja niitä on
niin viljalti, kun vähän laajemmin kuljemme, että jo huomaamme
luettelemisen mahdottomaksi.
Mainitsemme vain muutamia luonnekukkia. Pyökkimetsällä, joka
muutoin on niin köyhä aluskasveista, on kuitenkin ihana
valkokukkainen tuoksumarattinsa (Asferula odorata), joka
yksinäisenä sitä enemmän hurmaa. Saksalainenpa nimittääkin sitä
"Waldmeisteriksi", metsän parhaaksi.

64. Runsaammin kuin meillä rehottavat Saksan metsässä mätäkukat,
koska saksalaisessa metsässä — luonnontilassaan — yleensä on
enemmän lahoovia aineita. Semmoisia ovat männynloinen
(Monotropa), joka elää mäntypuun lahoovista aineista, semmoisia
korallijuuri (Corallorhizza), linnunpesä (Neottia) ja suomukka
(Lathraea), joka ahmii pähkinälehtojen runsaita kasvijätteitä. Nämä
kasvit eivät ole meilläkään tuntemattomia, mutta suurestipa
kirkastuu kasvinkerääjän muoto, kun hän sattuu moisen kukan
kotimaan metsissä löytämään.
Jäkälät ja varsinkin sammalet rehottavat Saksanmaan metsissä
erinomaisesti, onhan ilmanala kosteata ja siten sammalen kasvulle
suotuisaa. Sammal toiselta puolen tätä kosteutta ylläpitää ja
tasottaa. Ja kylvömetsäkin tarvitsee sammalta suojakseen, samoin
kuin luonnonmetsä. Yhtä säälimättä kuin metsänhoitaja vainoo
pensaita ja ruohoja, yhtä visusti hän suojelee sammalta, koska hän
tietää metsän viihtymyksen suuressa määrin riippuvan siitä, että
sammalpeite säilyy.
Alppien ja korkeimpain keskivuorien kasvisto.
Vuoristometsät.
Omituisia kuvia tarjoo metsä, kun kohoomme korkealle
vuoristoihin, sekä Alpeilla että keskivuoristonkin korkeimmilla
rinteillä. Kaukana viljelyksistä, vaikeissa paikoissa kasvaen,
vuorimetsät yleensä ovat säilyttäneet alkuperäisemmän leiman. Ja
vuorimetsäin korkeimmissa osissa tapaamme ilmiöitä, joiden
vastineita meidän maassamme kohtaa vasta Lapin perukoilla.

65. Näemme siellä metsän taisteluvyöhykkeen, joka jokaiseen
luonnonystävään jättää syvän ja pysyväisen vaikutuksen.
Tutustuaksemme näihin ilmiöihin ja siihen omituiseen, viehättävään
kukkasmaailmaan, joka tuntureilla iloitsee ja kuolee, teemme matkan
Sudetteihin, esim. Glatzin lumivuorelle, jolla lumi aikaisin sataa ja
myöhään viipyy, vaikkei se ikuista olekaan.
Miltä puolelta alammekin vuorimatkan, aina on aluksi kuljettava
monias penikulma yksitoikkoisia kuusikoita, jotka nykyään peittävät
kaikkien korkeimpien keskivuorien alempiakin rinteitä. Tällä
vuorimetsällä on karkea, jopa pelottavakin sävy synkässä
suuruudessaan, useinkin tiettömissä erämaissa. Raskasmielinen
kaipaus laskeutuu vaeltajan mieleen, kun hän näissä yksinäisissä
metsissä kulkee. Se seuraa häntä jyrkille vuoripoluillekin, verhoten
surunvoittoiseen ihanuuteen siintävät kaukometsätkin, joita alkaa
sieltä täältä näkyä, kun metsä jyrkimpäin kallionpolvien kohdalla
jakautuu. Mutta noin 900 metrin korkeudessa uusi vieras sävy
karkottaa nämä surunvoittoiset mielialat. Pyökit alkavat käydä
yleisemmiksi, niiden rattoisemmat värit elähyttävät synkkää
kuusimetsää. Mutta ne ovat nyt vaivaiskansaa. Omituisen
painostuneena, harvassa kasvaen, hapuillen maata oksillaan
ikäänkuin suojaa hakien, kuusikin heittää ylpeän ryhtinsä. Solakkain,
tuulessa huojuvain kaunottarien sijaan ilmestyy yhä enemmän
näivettyneitä, vääriä vanhuksia, joiden jäykät, ränkkyiset oksat maan
lähellä muodostavat taajan kutomuksen, mutta latvapuolesta ovat
sitä huonommat. Mikä on taittunut, mikä muutoin särkynyt, mikä
tuulen repimä, harmaan naavaparran verhooma. Luonnon tuntija
siitä paikalla huomaa, että hän on nyt saapunut myrskypuitten
vyöhykkeeseen. Mutta täällä myrskypuut muodostavat kokonaisen
kääpiömetsän; Alpeilla sitä vastoin myrskypuut esiintyvät yksitellen,
silvottuinakin mahtavina metsäjättiläisinä. Sanomattoman surullisen

66. vaikutuksen tämä ränstynyt kääpiömetsä tekee sumuisessa koleassa
korkeudessaan.
Kuusi kasvaa täällä vain 3-4 metriä korkeaksi. Jopa voi nähdä
oikeita Metusalemeja, jotka eivät ole jaksaneet paljoa korkeammiksi
kasvaa, kuin tuo pipliallinen vanhuskaan. Kaikkien oksat ojenteleksen
kaakkoa kohti, ryömien pitkin maata, etsien turvaa hyisiä tuulia
vastaan. Mutta juuret ovat jykevät ja voimalliset ja kourailevat lujasti
maata. Sanomattoman surullinen tunne valtaa mielen näitten
taistelussa harmaantuneitten etuvartijain kesken. Vielä vähän
ylempänä kohoo polun kahden puolen ainoastaan kuivuneita keloja,
jotka harmaina, ikäänkuin vaalenneet luut ylenevät kalpeasta,
karheasta nurmesta. Kankea, mätästävä ukonparta (Nardus), tuo
nurmista ilottomin, valtaa heti metsän sorruttua maan.
Semmoista on metsän taisteluvyöhyke, eikä ainoastaan tämän,
vaan kaikkienkin tunturien rinteillä. Voimallisimmin se on kehittynyt
Sudettien pyöreillä selänteillä ja Harzissa. Täällä voimme nähdä sen
vaiheet, siitä kun metsä ensinnä hajaantuu saarekkeiksi aina
viimeisiin, aavemaisiin vaivaisiin saakka metsän ylimmällä rajalla.
Näissä vuoristoissa metsän kasvu lakkaa vain ilmaston
huononemisen vuoksi, sen vuoksi metsä näin vähitellen riutuu.
Alpeilla on asianlaita yleensä toinen. Siellä on metsänkasvun rajoilla
tavallisesti jyrkkiä korkeita kallionseinämiä ja pystyyn suistuvia
hautalaaksoja, joiden rinteillä metsä ei maan huonouden vuoksi
menesty. Metsä sen vuoksi katkeaa täysin elinvoimaisena. Mutta
jonkinlainen taisteluvyöhyke sielläkin kehittyy. Harjanteilta syöksyvät
myrskyt painiskelevat rajusti ylimpäin puurivien kanssa, ja siitä
kehittyvät nuo komeat arvekkaan näköiset ja silvotut myrskypuut,
joita taiteilija niin mielellään kuvaa.

67. Metsänkasvun raja.
Metsän yläraja ei samallakaan vuorella ole tasakorkealla kaartava
piiri, sillä sen syntymiseen vaikuttavat monet syyt. Tuulen suojassa
raja kohoo satoja metrejä korkeammalle, pahimmissa tuulenpielissä
taas laskeutuu aivan matalalle. Eri vuoristoissa se vaihtelee vielä
enemmän, kuten seuraavat luvut osottavat. Glatzin lumivuorella
metsänraja on noin 1,300 metrin korkeudessa, mutta läheisen
Altvater-vuoriston leveällä selänteellä se jää jo 1,270 metrin
korkeuteen. Säntiksellä Glarnin Alpeilla kasvaa metsää vielä 1,650
metriä korkealla, Baijerin Alpeissa 1,700 metrin tasalla ja Engadinissa
2,260 metriä korkealla merenpinnasta. Harzissa puunkasvu lakkaa jo
1,040 metrin korkeudessa.
Pyökki kohoo Sveitsin Jurassa ainoastaan 1,200 metrin
korkeuteen, Schwarzwaldissa noin 35 metriä korkeammalle,
Böhmerwaldissa kokonaista 60 metriä ylemmäksi. Baijerin Alpeilla
kasvaa pyökkejä vielä 1,460 metrin korkeudessa. Kuusien kasvuraja
on Baijerin Alpeilla 1,860 metriä, Böhmerwaldissa taas 1460 metriä.
Korkeimmalle kaikista puista kohoo lehtikuusi (Larix), joka Baijerissa
tulee toimeen 1,890 metrin korkeudessa, ja sembramänty (Pinus
Cembra), jota tavataan vielä 35 metriä sitäkin ylempänä. Ja
pensasmänty vihdoin (Pinus pumilio) kasvaa Baijerin Alpeilla aina
2,140 metrin korkeudessa, mutta on siellä jo menettänyt
alkuperäisen kasvumuotonsa ja muuttunut ryömiväksi varvuksi.
Merkillistä on, että Alpeilla on tavattu korkealla nykyisen
metsärajan yläpuolella entisten kuusimetsäin jäännöksiä. Tämän
kanssa sopusoinnussa tuntuu olevan alppiasukkaitten väite, että
lumivyöryt ovat käyneet entistä tavallisemmiksi. Vaikeata on
kuitenkin sanoa, onko todella metsärajan alenemiseen syynä se, että

68. ilmanala todella on käynyt huonommaksi. Havupuitten voitollinen
eteneminen Keski-Europassa, tammen väistyminen pyökin tieltä,
pähkinäpensaan taantuminen Ruotsissa ovat toisia merkkejä, jotka
siihen suuntaan viittaavat. Mahdollista on kuitenkin, että nuo
ylimmät vuorimetsät ovat ennen vanhaan ihmisen toimesta
hävinneet, eivätkä ole sen koommin vaikeitten olojen vuoksi
päässeet uudelleen kasvamaan.
Mutta oli miten oli, ylhäinen alppimetsä on yhä vielä vuoriston
parhaita kaunistuksia. Se ei ole niin yksitoikkoista, kuin
keskivuoriston kuusikot. Alempana siihen sekaantuu vahvasti
vuorivaahteraa (Acer pseudoplatanus), joka kauniitten muotojensa,
kookkaisuutensa, kesällä kirkkaan viheriän, syksyllä helakan
keltaisen lehvänsä vuoksi on näitten metsäin jaloimpia kaunistuksia
ja asukkaitten erityinen suosikki. Korkeammalla lehtikuusi ja
sembramänty muodostavat erinomaisen vaikuttavia metsäkuvia
varsinkin siellä, missä metsä jo hajaantuu tunturia tavotteleviksi
niemiksi ja saarekkeiksi ja valo pääsee runsaammin valaisemaan
kuusien hienoa havukutomusta, lehtikuusen vaalean viheriää,
ihmeen siroa lehväpukua, sembrain synkkää neulaturkkia ja
uhmailevia oksaniekkoja muotoja. Ikäänkuin raunioina kohoovat
vanhimmat silvotut jättiläiset nuorempien puitten keskeltä. Mutta
joukkoon sekaantuu jo siellä täällä tunturiketojen siroja, värikkäitä
pensaita, alppiruusuja (Rhododendron) ja vihantaleppiä (Alnus
viridis), pensaspetäjiä ja katajia, tai kohottaa värihehkuista päätään
yksi ja toinen suloinen kaino alppikukkanen jo täällä ylimmän metsän
varjossa. "Tämä kasvisto ylävuoriston kehyksissä, päällä korkeat
vuorihuiput, alla loistavat päiväpaisteiset laaksot, on ensimäinen
mahtava sävelsointu siinä kauneushymnissä, joka ylävuoristossa
kohtaa vaeltajaa."

69. Keskivuoriston tunturikukkaset.
Synkempi, surullisempi on tämä sointu Glatzin lumivuorella.
Vaivaismetsän jälkeen aukeavat tunturikedot, lyhyitä takkuisia,
haaleanvärisiä takkuheiniköitä, joille heinäkuu sirottelee runsaan
kukkasateen. Kaikkialla hohtavat silloin partakellokkaan (Campanula
barbatan) suuret sinipunervat kellot, kullankeltaisina loistavat
alppikeltanot (Hieracium prenanthoides ja nigrescens) ja niitten
välillä häälyttelee töyhtöjään alppitähkiö (Phleum alpinum).
Kemssiyrtin (Doronicum austriacum) keltaisia kiehkuroita kohoo
muitten keskeltä, ihana keltahanhikki (Potentilla aurea) loistaa
suurempien kukkasiskojen välillä, mutta kaikki muut voittaa
siroudellaan tumma violetinpunainen pulskaneilikka (Dianthus
superbus, var. grandiflorus). Toisin paikoin tapaamme vielä
runsaamman kukkasmaailman, ikäänkuin istutettuja
tunturikukkatarhoja suojaisissa päivänpaisteisissa notkoissa.
Samanlainen on se vuorikasvisto, joka elähyttää Schneekoppen,
Böhmerwaldin, Arberin, Harzin, Brockenin, Vogesien Belchenin tai
Schwarzwaldin Feldbergin paljaita lakia. Kaikilla on vuoren laki ketoa.
Näille kedoille pakeni melkoinen määrä Perä-Pohjolan kasveja,
maajäätikön sulaessa ja ilmanalan lämmetessä, ja ne ovat siellä
säilyneet meidän päiviimme saakka. Alemmilla kukkuloilla, kuten
Inselbergillä Thüringerwaldissa, kypsyy jo mustikka ja puola,
kukoistaa vuorikanerva (Erica), ja kohosoita muodostuu kaikkialla,
missä notkojen pohjat ovat läpäisemätöntä maata.
Jääkauden aikana vaelsi melkoinen määrä alppikukkasia jäävirtain
edellä kukkuloiltaan alas Alppien eteismaalle, ja siellä niitä on
Baijerin soilla säilynyt meidän päiviimme saakka eristettyinä keitaina.

70. Alppikasvisto metsärajan yläpuolella.
Siirtykäämme nyt varsinaiseen alppimaailmaan tutustuaksemme
sen kasvistoon metsärajan yläpuolella. Tässä vyöhykkeessä on vielä
enimmäkseen hedelmällistä maata, mutta myrskyt, lyhyt kasvuaika
ja rankkasateet vaikuttavat, että ainoastaan pensaat, varvut,
suokasvit ja varsinaiset alppikasvit täällä menestyvät.
Alppikukkuloita ympäröi 1,600 metrin ja 2,000 metrin välillä
vihanta pensasvyöhyke. Siinä kasvaa pensasmäntyä, vihantaleppää,
vaivaiskatajaa (Juniperus nana), näsiöitä (Daphne), ja samanlaisia
katajia ja tunturiraitoja kuin Sudeteillakin ja muilla korkeimmilla
keskivuorilla. Baijerin Alpeilla rehottaa varsinkin pensaspetäjä.
Alppiruusut taas vaihtelevat maanlaadun mukaan. Toinen laji kasvaa
mieluummin raakamullassa ja suossa, mutta ei sitä vastoin lähde
kalkkipohjalle, toinen taas yksinomaan viihtyy kalkkipohjalla,
varustaen itseään villaisella karvapuvulla, estääkseen siten
haihtumista kuivemmalla kasvupaikalla. Näitten välillä on kuitenkin
välimuoto, joka viihtyy kummallakin maanlaadulla.
Alppiruusu on alppikukkien kuningatar. Usein se laskeutuu alas
metsäin yläreunaan ja siellä se on kaikkein viehättävin.
"Loistaessaan alppimetsän varjosta hehkuvan purppuranvärisenä se
epäilemättä on värivaikutuksen ja upeuden puolesta kauneinta, mitä
mikään kasvivyöhyke on synnyttänyt." Mutta siinäpä syy, miksi yleisö
onkin sitä vastaan alkanut hävityssodan, joka uhkaa sen lopen pois
juurruttaa kulkuteitten varsilta.
Joka keväällä saapuu vuoristoon, se näkee toisen yhtä kauniin
kukkaskoristeen. Silloin rusottaa alppikanerva (Erica carnea) kaikilla
rinteillä 800-1,500 metrin välisellä korkeusvyöhykkeellä Allgäun
ruohoisilta vuorilta aina pohjoisten Kalkkialppien itäiseen päähän

71. saakka. "Maaliskuussa ja huhtikuussa ovat vuorien päivärinteet
kukkuloilta juurelle saakka monessakin paikassa yhtenään
kukoistavan kanervavaipan peitossa, jonka värit ihmeteltävästi
vaihtelevat valaistuksen mukaan. Aivan hurmaava on näky, kun
aamulla aikaiseen syvän laakson varjosta katselee ylhäistä,
alppikanervikon verhoomaa vuorenrinnettä, aamuauringon valaessa
sille kultaista valoaan. Koko vuorenrinne näyttää silloin punottavan ja
tummempia metsäsaarekkeita, ehkäpä vielä valkoisia lumilaikkojakin
keskelleen sulkien, valuu kanervikko laaksoa kohti ikäänkuin
punainen tulivirta."
Tuo kanerva on siitä merkillinen, että se jo talvella kukkii.
Tämänkin luullaan viittaavan siihen, että ilmasto on ennen ollut
lämpimämpi. Kanerva on sen kylmetessä mukautunut muuttuneihin
oloihin, karkaissut luontoaan, kukkien nyt keväällä lumen ja jään
keskellä. Tätä arvelua tukee se seikka, että alppikanerva
todistettavasti on saapunut Kalkkialppeihin Välimeren rannalta
Alppiharjanteitten poikki.
Pensasvyöhykkeestä kohottuamme joudumme alppikedoille.
Luonnontilassa niitten kukkakoriste olisi monin verroin runsaampi,
mutta nykyään ne, missä vain päinsä käy, ovat laitumena ja kasvavat
heinää. Tunturimajoja karjanvajoineen sen vuoksi vilkkuukin joka
taholta, muodostaen mitä somimpia asumusryhmiä mahtavan
vuoriston olkapäillä. Erinomaisen tuoksuva mehevä maito rakentuu
alppilaitumen ruohoista; mutta kukkamaailma sitä vastoin on
lehmäin ja vielä ahnaampien vuohien edestä saanut väistyä aivan
pääsemättömiin paikkoihin. Ketoja ulottuu niin korkealle, kunnes
ikuinen lumi ja jää ehkäisee kaiken kasvullisuuden.

72. Näitä alppiketoja muodostavat ensi sijassa heinät, joitten
lajirunsaus ei ole suuri. Tärkeimmät ovat tunturinurmikka (Poa
allina), mätästävä kankeanlainen ruoho, useat sarat (Catex),
tunturitähkiö (Phleum alpinum), sinilupikka (Sesleria) ja alppirölli
(Agrostis alpina). Ensiksi mainitut kasvavat meidänkin maassamme,
etenkin pohjoisosissa. Yhteisenä omituisuutena niillä on tähkäin
punasinervä väri. Niitten seurana on melkoinen määrä varpuja, nuo
varsinaiset hartaasti etsityt alppikukat, joitten kauneutta on niin
ammoin ylistetty. Jo syvällä laaksoissa säteili polun vieressä siellä
täällä joku kaunis katkero (Gentiana) somine ripsellisine
sinikelloineen, kallionkupeilla kaunis rikko (Saxifraga). Tämä
kukkamaailma seuraa meitä korkeimmille kukkuloille saakka, aina
ikuisen lumen rajoille, taistellen vaikeimmissakin oloissa sitkeästi
olemisen edestä. Kauneimmat muodot laskeutuvat kivikkorinteiltä ja
rotkolaaksoista alas alppikedoille, tervehtivät kiipeilijää
kalkkilouhikoissa, paasikentillä ja niillä kaidoilla nurmikaistaleilla,
jotka siellä täällä verhoovat ylimpäin jyrkänteitten mahtavia
rakennelmia. Siellä tapaa louhikoissa oikeita kukkatarhoja, jotka
näissä vaikeimmissa olosuhteissa, taistellen öitten kylmyyttä,
myrskyjen rajuutta, päivänpaisteen polttavaa kuumuutta ja alituista
vedenpuutetta vastaan, ovat elämän voitollisuuden kauneimpia
todistajia. Kasvintutkijat ovat niitten elämän selvittämiselle
omistaneet harrasta ja uupumatonta työtä. Toiset kasvit kärsivät
haittaa siitä, että vesi liian nopeaan valuu pois niitten asuinrotkoista,
toiset taas, jotka ovat asettuneet jonkun noron pohjalle asumaan,
päinvastoin kärsivät liiallisen vesitulvan haittoja. Täällä on siis
rinnakkain kasveja, jotka elävät ylellisyydessä ikäänkuin
lihavimmassa metsämullassa, ja toisia, jotka kallionkoloissa kasvaen
saavat ulottaa haarautuvia juuriaan pitkän matkan päähän, jotta
saisivat multamurusen ravinnokseen. Siinä syy, miksi täällä ahtaalla

73. alalla on mitä mieltäkiinnittävin kirjava kukkamaailma. Monta
semmoista kasvia, jotka meillä Suomessa viihtyvät ainoastaan Lapin
tuntureilla, voimme täällä tavata. Mutta on paljon uusiakin. Ennen
muita tuo Alppien kuulu kaunotar Edelweiss (Gnaphalium
Leontopodium, tavallisen kissankäpälän kauniimpi sisko), joka
kuitenkin viihtyy vasta korkeimmilla vuorilla, 1720-2268 metrin
välisessä vyöhykkeessä. Siellä asustavat varsinaiset lumikkokukat,
joitten viimeiset edustajat ovat aivan vähäpätöisiä ja nujertuneita,
mutta siitä huolimatta rakenteeltaan niin erinomaisen kauniit, että ne
herättävät kaikkien alppikiipeilijäin ihastusta. Ne kasvavat maata
pitkin luikerrellen, kukkaset ovat jo pieniä, mutta ikäänkuin viimeisen
elämänilon hurmaavana ilmauksena ne kehittävät värejä, jotka ovat
niin sanomattoman hehkuvat ja kirkkaat, ettei missään muualla sen
vertoja. Kaikkein ylimpiä on tunturilemmikki (Eritrichum nanum),
joka kuiskailee lempeään jokaiselle tänne eksyneelle mettiäiselle.
Suotta ei saksalainen sitä nimitä "taivaan airueksi". — Ikuisella
lumellakin on sentään kasvinsa. Se tosin on vain sanomattoman
pieni levä, mutta se esiintyy niin suunnattomissa määrin, että sen
kasvupaikoilla lumi käy punaiseksi. Lapin tuntureilla on samanlaista
"punaista lunta".
Olemme laajanlaiseen kertoneet kasvistosta, jonka hyöty on
verraten pieni ja alakin varsin rajotettu. Mutta enemmän kuin mikään
muu kasvisto se matkustajan mieltä kiinnittää.
Kedot ja luonnonniityt.

74. Luonnon edellytyksien puolesta on Saksanmaa nykyisen ilmaston
vallitessa metsämaata. Jos toisin sanoin luonto saisi vapaasti
rehottaa, ihmisen siihen puuttumatta, niin kohoisi piankin metsä
nykyisillä viljelysmailla ja kaupunkien paikoilla. Muutaman
miespolven kuluessa se varttuisi laajaksi aarniometsäksi. Ei
kuitenkaan kaikkialla. Saksanmaan kehyksissä on myös seutuja,
joissa niitty eli keto on luonnollinen kasvumuoto, jotka niittyinä tai
aroina pysyisivät, vaikka luonto saisikin oletetun vapautensa.
Viimeksi mainituilla seuduilla kasviston elinehdot ovat semmoiset,
että nurmi niillä menestyy paremmin kuin metsä. Marshimaat,
Holstein, Elben itäpuoli ovat suureksi osaksi luontaisia niittymaita.
Mutta Keski-Saksankin mäkisissä maisemissa on useimmalla laaksolla
ja jokivarrella luonnonniittynsä, joka vasta vuoristometsän juurella
päättyy. Etelä-Saksassa kedot ovat ylätasangoilla ja maanaalloilla,
Alpeilla taas korkealla vuoriston olkapäillä.
Keski- ja Etelä-Saksan luonnonkedot.
Kuivain maitten kedot, joita on laajalti etenkin Keski- ja Etelä-
Saksan mäillä ja vaaroilla, ovat Saksan maan viehättävimpiä
kasvistomuotoja. "Nuo päivänpaisteiset kirjavat, tuoksuvat
vaaranurmikot lukemattomine hehkuvine värikkäine kukkasineen
antavat jokiemme leudoille laaksoille etelämaisen elämänilon
tunnetta. Niitä helottaa Mainin, Rheinin, Moselin, Neckarin, Tonavan
ja Saalen ja näitten pienempien syrjäjokien törmillä. Ja varsinkin
ovat Thüringin kuorikalkkiaismäet kukkaketoina, missä metsä tai
viinitarha ei ole paikkaa anastanut. Heinät ovat täällä keveämpiä
kuin alankoniityillä, varvut kehittyvät sirommiksi, kukat ovat
kiehkuraiset, täynnään tuoksuvia öljyjä. Lämpöisinä iltoina, taikka
helteillä ukonilmain edellä näiltä rinteiltä tuoksuu huumaava hyvä

75. haju." Nämä kasvit ovat semmoisia, jotka tarvitsevat lämmintä
ilmastoa ja paljon auringonpaistetta, mutta maaperän kuivuuden
vuoksi ne ovat hyvin varustautuneet kuivuuttakin kestämään.
Maksaruohoa (Sedum) on Suomessa useimmalla kalliolla, se on
täälläkin yleinen. Mutta paljon tapaamme uusiakin kukkasia.
Kartusianineilikka (Dianthus Carthusianorum) hehkuu hyvähajuisen
resedan rinnalla (Reseda luteold), tarhatyräkki (Euphorbia
cyparissias) kilpailee neilikan kanssa leimuavalla punallaan.
Piikkiohdakkeet ja pallo-ohdakkeet ovat täällä kuin kotonaan; yhtä
rumia kuin ne ovat pelloilla, yhtä kauniita ne ovat täällä kivisillä
kasvupaikoillaan. Toisin paikoin ei kuitenkaan menesty muuta kuin
leskenlehti (Tussilago) kauniine lehtineen. Pohjoisrinteillä sitä vastoin
tapaamme aivan toisia kasveja, vähemmän väriloistoa, mutta
enemmän vihantaa mehevyyttä.
Missä kuivuus laajemmilla aloilla tarjoo kasvistolle jotenkin
samanlaisia elinehtoja, siellä syntyy aroa. Aroa oli ennen muinoin
paljon laajemmalta kuin nykyään. Nuo entiset arot ovat kutistuneet
vähiin, muut kasvistomuodot ovat joka puolelta niiltä alaa
vallottaneet. Nykyään ei käsittelemällämme maantieteellisellä
alueella oikeastaan voi enää arosta puhua. Luultavaa on, että arojen
metsittymiseen on syynä ilmaston muutos, sillä aro on ilmanalan
vaikuttama kasvistomuoto. Kasvimaantiede tämän määrittelee siten,
että Saksanmaalla on baltilaisessa kasvistossa säilynyt eräitä
pontilaisia aineksia.
Keski-Europan kasvisto.
Keski-Europassa taistelee keskenään viisi eri kasvistoa. Ilmastojen
erilaisuus ja kasvistojen esihistoria määräävät, mikä kasvisto
kussakin seudussa on vallitsevana. Saksanmaan sateisessa, mutta

76. leudossa luoteisosassa, joka käsittää Lüneburgin nummen, Rheinin
alajuoksun varrella olevat maat Kölnistä alkaen, ynnä Emsin laakson,
kasvaa aivan toisia lajeja ja elämänmuotoja kuin muualla Saksassa,
jossa talvet ovat kylmät. Tässä atlantisessa vyöhykkeessä viihtyy
paljon samanlaisia kasveja kuin leudossa Englannissa, Belgiassa ja
Ranskassa, esim. okapalmu (Ilex, etelä-amerikalaisen maté-pensaan
sukulainen). Saksan pohjois- ja itäosissa ynnä keski-Saksassa sitä
vastoin on vallalla baltilainen kasvisto, joka on saanut tämän
tieteellisen nimityksensä siitä, että se on ominaisimmin kehittynyt
Itämeren eteläpuolella. Olemme huomanneet siihen kuuluvan
lauhkeita lehtimetsiä, mutta myös mänty- ja kuusimetsiä ja
kanervanummia. Vähitellen tämä kasvisto yhtyy atlantilaiseen, ja
atlantilainen taas saa länsirajoillaan yhä lauhkeamman muodon, kuta
lämpöisemmäksi käy kesä. Maan länsikulmilla antavat maisemille
omituisen sävyn jalokastanja, ranskalainen vaahtera (Acer
monspessulanum), koiranpuu (Buxus sempervirens) ja muut kasvit,
jotka eivät kylmää talvea kestä ja lisäksi vaativat lämmintä kesääkin.
Tätä kasvistoa emme Saksassa tapaa muualla kuin Ylä-Rheinin,
Moselin ja Neckarin laaksoissa ja Bodenjärven rannoilla. Se näyttää
vähitellen tunkeutuneen Ranskasta, mikäli ilmastolliset olot ovat sen
sallineet.
Kaakkois-Saksassa taas baltilainen kasvisto menettää voimia, kuta
kauemmaksi kuljemme kaakkoa kohti. Jo Hallen luona tapaamme,
tosin ahtaalla rajotetulla alalla, koko joukon aivan vieraita
kasvimuotoja, arokasveja, jotka kestävät sekä kovia pakkasia että
kuumuutta, niinkuin arokasvien yleensä täytyy. Vielä luontaisemmin
tämä kasvisto on kehittynyt Böhmin maljauksessa, ja sitä enemmän
se pääsee valtaan, kuta kauemmaksi kuljemme tähän suuntaan.

77. Unkarissa alkaa sitten varsinainen pontinen kasvisto, joka on
levinnyt tänne Mustanmeren (Pontus euxinuksen) rannoilta, Etelä-
Venäjän laajoilta aroilta. Siellä emme enää näe Pohjolan synkkiä
havumetsiä, vaan tammen mehevä lehvä häälyy metsissä muita
ylinnä. Mutta metsiä on verraten vähän, ketoa, aroa sitä enemmän,
ja kedoilla ovat kuivan maan kukkaset ja ruohot vallalla, monenlaiset
neilikat, lukemattomat mykerökukkaset, karkeat stiipparuohot ja
muut.
Baltisen ja Pontisen kasviston taistelualoilla.
Erittäin mieltäkiinnittävä on näitten molempain kasvistojen taistelu
yhteisellä rajalla. Taistelun nykyisistä asemista ja kasvijäännöksistä
päättäen on baltinen kasvisto pontisen voittanut. Taistelutanner on
vielä täynnään pääjoukoista eristettyjä pontilaisia partioretkeläisiä.
Syrjäisissä laaksoissa jo sopissa, kaikkialla, missä suojainen asema
on korvannut Itämaitten kuuman päivänpaisteen, tapaa vielä tänä
päivänä missä yksinäisiä, missä pieniin ryhmiin keräytyneitä
arokasveja nykyisen baltisen kasviston keskellä, melkein samalla
tavalla, kuin kansainvaelluksen aikoina suojaisiin alppilaaksoihin jäi
asumaan pääjoukoista eronneita heimoja. Varsinkin Itävallassa on
näitä eristettyjä arokasvikeitaita, mutta tapaamme niitä Saksanmaan
keskivuoristossakin aina Harziin saakka ja Länsi-Preussissä taas
Weichselin keskijuoksun varrella. Jopa on luultavaa, että kaikki
kasvit, jotka ovat Saksalle ja sen itäisille naapurimaille yhteisiä, ovat
jäännöksiä pontisesta kasvistosta, joka esiaikoina ulottui aina Harziin
saakka.
Milloin ilmasto muuttui ja kasvisto sen mukana, sitä on vaikea
määrätä, ja vielä vaikeampi arvata syitä, jotka sen aikaan saivat.
Ainoastaan sen verran tiedämme, muun muassa Keski-Saksassa

78. löydetyistä aroeläinten, esim. saiga-antilopin jäännöksistä, että se on
tapahtunut viimeisen jääkauden jälkeen. Ja luultavaa on, että
muutoksia jatkuu yhä vieläkin, vaikka ajat, joilta meillä on
havaintoja, ovat niin lyhyet, etteivät erot ole vielä tulleet kyllin
tuntuviksi.
Ne luonnonniityt, jotka aroajoista saakka ovat pitäneet puoliaan
metsää vastaan, ovat ilmaston mukana kokonaan muuttaneet
muotoaan. Runsas kosteus vaikuttaa, että niitten kasvualku nykyään
kestää yhtä monta kuukautta, kuin arokasvien viikkoja. Uudet heinät
ovat niiltä vallan anastaneet, uudet kukkaset niitä koristavat, Joka
tarkemmin perehtyy niitten kasvistoon, huomaa siinä hyvinkin monta
erilaisuutta sen mukaan, miten lähellä alusvesi on kussakin paikassa.
Tuntija siten voi heti ensi silmäyksellä muutamista luonteenomaisista
kukkasista tai heinistä päättää, mitkä maaperän kosteussuhteet ovat,
Noin 20-30 eri heinää ja muutama kymmenkunta varpua muodostaa
saksalaisen niityn eli kedon kasviston.
Suurin osa Saksan nykyisistä niityistä on tekoniittyä, raivauksen
kautta metsältä vallattua alaa. Ainoastaan virtain varsilla, missä
jäitten lähtö keväisin estää metsää voimaan pääsemästä ja tulvat
usein peittävät maan, näyttää esiajoista saakka olleen vakinaisia
luonnonniittyjä.
Nummien, soitten ja rämeitten kasvisto.
Puuttomia nummia ei Saksanmaalla enää ole paljoa, ja sekin vähä
mitä on, alkaa jo nopeaan vesottua ja metsittyä uutteran
metsäviljelyksen vaikutuksesta. Lüneburgin nummen jälkeen on
Tucheler Heide Länsi-Preussin rajalla laajin. Viljelyksen ystävät
tervehtivät onnistuneita metsänkasvatusyrityksiä ilolla. Mutta

79. monikin luonnonystävä samalla kaipaillen ajattelee, että niiden
kadotessa katoo loputkin, mitä maassa enää on koskematonta
alkuperäistä luontoa.
Lüneburgin nummi.
"Myönnän suoraan", lausuu eräs etevä kasvitieteilijä, "että
Lüneburgin nummen kauneus teki minuun melkein yhtä syvän
vaikutuksen kuin Alpit. Tämä kauneus on vaan toisenlaista.
Nummella on kaikki yksinkertaista, levollisen harrasta mielen
antautumista ja hiljaista syventymistä haaveellisiin, vaatimattomiin
kauneuksiin; mutta se palkitsee vaivan mielialoilla, jotka ovat yhtä
rikkaita ja syviä, kuin kaikki hymyilevän sinitaivaan ja tähtitarhain
salaisuudet."
"Joka tällä mielellä kulkee nummea", hän jatkaa, "se tuskin löytää
toista seutua, joka sisältäisi niin runsaasti luonnonkauneutta, kuin
juuri Lüneburgin nummi. Siellä löytää kaukonäköaloja, jotka
laajuuden puolesta voivat kilpailla korkeimpain vuoristojen näköalain
kanssa, siellä on nummen laaksoissa niittyjä, jonka rehevämpiä ei
Saksassa missään, ihania lehtoja, jotka vetävät vertoja
Thüringerwaldin ja Schwarzwaldin parhaille, kirkkaita, kalaisia jokia
ahtaissa notkoissaan. Mutta tämä ei vielä ole nummen suurin, eikä
edes varsinainen viehätys. Suurin viehätys on tuo omituinen,
vaikeasti määriteltävä tunnelma, jolle ei ole muualla maailmassa
vertaa. Aaltoilevasta maasta, joka ei missään ole niin lakeata, että se
kävisi yksitoikkoiseksi, mutta ei missään niin levotontakaan, että se
katsetta hämmentäisi ja kauneuksia peittäisi, siitä nummi saa
samanlaisen mahtavuuden kuin merikin. Mutta täällä vielä muotojen
jäykistys suurentaa ja syventää vaikutusta. Luonnon ikuinen olemus

80. on täällä edessämme, surumielisesti hymyillen ja tunnetta
hellyttävänä.
"Kanervan kukkiessa hehkuu nummi missä ruusunpunaisena,
missä purppuraisena, mutta samalla kun nämä värit ovat vienot,
samalla ne kuitenkin muistuttavat etelän värikomeutta. Mutta
kukattomanakin nummi on kaunista. Vihanta samettivaippa silloin
peittää maisemaa ja luonnon mahtavuus saa nyt synkän vakavuuden
sävyn. Keskinummella ja muuallakin kohoo levollisesta maisemasta
melkein kaikkialla tumman vihantia kekoja, milloin solakoina
patsaina, milloin paksuiksi muureiksi kokoontuneina. Ne ovat
nummen katajia, jotka kanervan jälkeen ovat sen ominaisimmat
kasviasukkaat. Kanerva rehottaa täällä niin upeana, ettei luulisi siitä
niin kaunista kasvia kehittyvänkään.
"Hajallaan on täällä vielä vaivaisen näköisiä kituvia koivuja,
varsinkin tienreunoilla. Siellä täällä myös myrskyjen repimiä petäjiä,
harmaita, nääntyneitä raukkoja, jotka näyttävät vielä tavallistakin
vakavammilta. Mutta laaksoissa on iloista elämää. Purot juoksevat
vilkkaasti ja tuhannet forellit elämöivät niiden aalloissa. Rannoilla
kohoo sankkoja metsiä, joissa tammi on vallitsevana puuna. Täällä
on vielä saksalaista aarnioluontoa. Täällä tapaa jättiläistammia,
joitten läpimitta voi olla monta metriä. Aivan omituisen luonteen
nämä vanhat metsät saavat piikkipalmun kautta, joka täällä meri-
ilmaston lauhkean talven suosimana kehittyy korkeaksi puuksi. Missä
jokilaakso levenee, siinä on niittyä, joka vilkkailla mehevillä väreillään
on vaikuttavana vastakohtana nummen tummalle samettipeitteelle."
Nummen kasvisto.

81. Nummen omituisuuksia on, että se mielellään suo sijaa muidenkin
kasvistojen jäsenille, jos ne vain ottavat siellä viihtyäkseen. Vaikka
nummen pinta näyttääkin niin yksitoikkoiselta, niin löytyy siitä
kuitenkin kaikenlaisia muitakin kuin varsinaisia nummikasveja,
sammalia, jäkäliä, ruokoja ja varpuja. Kaikkialla on kanervan seassa
myös pieniä heinäsaarekkeita, joissa monenlaiset heinät heiluttelevat
tähkiään, siellä täällä kasvaa taajoina laikkoina hyvänhajuista
ajuruohoa (Thymus), monta muuta mainitsematta. Tavallisen
kanervan (Calluna vulgaris) rinnalla esiintyy myös kellokanerva (Erica
tetralix), jota on luultu löydetyn meidänkin maasta. Kellokanerva ei
kuitenkaan kankaalla pidä puoliaan tavallisen kanervan rinnalla.
Kellokanerva on oikeastaan suokasvi. Tavallinen kanerva viihtyy jos
minkälaisella maalla, sekä kuivimmalla nummella että
vesiperäisimmällä suolla, kunhan vain maa täyttää yhden ehdon: on
kalkista vapaata. Yhtä vaatimattomia sekä paikkaan että ravintoon
nähden ovat sen sukulaiset, kellokanerva, mustikka ja puola, jotka
kaikki kuuluvat nummen valtaluokkaan. Sen vuoksi nummikasvisto
menestyykin vain joko hietikossa tai suossa. Muunlaisella maalla sen
täytyy kilpailun edestä väistyä. Tämä taas selittää soitten ja
nummien liiton, liitto on tosiaan niin läheinen, ettei kansankieli
Pohjois-Saksassa tee niitten välillä kaikin paikoin eroa. Hyvin usein
nummen kasvisto valtaa vanhoja kohosoita. Varsinkin kellokanerva
(Erica tetralix) menestyy kohosoilla, ja missä sitä nummella löytyy,
siellä useinkin nummi on muodostunut entisen kohosuon paikalle. Ja
samoin kuin soilla, samoin nummillakin muodostun turvetta, joka
usein on yhtä rikasta polttoaineista kuin suoturvekin. Nummiturve
muodostuu kanervan juurista, vanhoista lahonneista puista ja
kaikenlaisista kasvijätteistä.
Kun maa sisältää raakamultaa, kun se toisin sanoen on hapanta,
niin kasvien on vaikea ottaa siitä tarvitsemaansa kosteutta. Siinä syy,

82. miksi soilla kasvaa kuivan maan kasveja, vaikka ne ovatkin niin
märkiä. Luonnollisesti on kosteuden saanti raa'asta kangasmullasta,
joka muutoinkin on niin kuivaa, vielä monin verroin niukempaa kuin
suosta. Nummikasvit sen vuoksi yleensä ovat karvaisia, lehtien
asemesta niillä on neulasia, nahkeita lehtiä ja muita samanlaisia
varustuksia, joitten tarkotus nimenomaan on haihtumisen
ehkäiseminen.
Nummien synty.
Mikä on syynä näitten laajain alastomain nummien syntymiseen?
Olemme jo ennen maininneet, että Lüneburgin nummea ennen
vanhaan luultavasti ovat peittäneet kauniit tammimetsät. Kun metsä
raiskattiin, niin pääsivät ankarat merituulet vapaasti temmeltämään,
eikä puu sen koommin voinut kohota. Nummien syntymiseen siis on
syynä ilmasto, Pohjanmeren rannikon tuulinen, kesällä kolkko
ilmasto, joka ehkäisee baktereja maassa kehittymästä, mutta sen
sijaan suosii raakamultaa muodostavaa Cladosporium-nimistä pientä
maasientä. Missä tämä sieni pääsee rehottamaan, siellä tammi ei
kauaa viihdy. Vielä tänä päivänä sieni vallottaa nummelle uutta alaa
sekä Tanskassa että Luoteis-Saksassakin, ellei metsän omistaja ole
varoillaan sitä estääkseen. Kanerva on sienen näkyvä liittolainen, se
ilmaisee maasienen vaellusta. Kanerva lähettää naapurimetsiin
päivänpaisteisille ja kuiville paikoille pienen siirtokunnan, joka
verkalleen, mutta perinpohjaisesti turmelee multamaan, kiertää
metsäsaarekkeita ja vähitellen saattaa ne kuolemaan. Kauaa ei tätä
kuitenkaan kestäne, sillä Preussin hallitus on ryhtynyt kanervaa
vastaan taisteluun itse Lüneburgin nummellakin. "Runollisen
kanervanummen tilan anastavat sotilaallisesti koulutetut
männyntaimet." Viimeisen neljännesvuosisadan kuluessa on siten jo

83. saatu metsiintymään enemmän kuin 40,000 hehtaaria nummea,
huolimatta kanerva-aavain sitkeästä vastarinnasta.
Aivan toisenlainen on se nummikasvisto, joka kasvaa
keskivuoriston pitkäveteisillä selänteillä ja leveillä kukkuloilla ynnä
Alppien esivuorilla. Brockenille noustessaan matkailija kummakseen
huomaa, että hän kuusi vyöhykkeestä kohottuaan joutuu
kumpuavalle nummelle, joka kolkossa tylyssä vuori-ilmastossaan
kuitenkin herättää aivan toisenlaisia mielialoja, kuin tuo
surunvoittoinen alankonummi, joka pohjoisessa rajottaa näköalaa,
utuisena ja rusottavana.
Vuoristonummet.
Vuoristonummellakin on kanerva vallitseva kasvi, mutta kevään
lopulla ja kesällä sen sekaan ilmestyy lukemattomia outoja
vuorikukkasia. Joukossa on tietysti myös mustikanvartta,
puolanvartta ja variksenmarjaa ja muitakin alankonummikasviston
jäseniä. Mutta niiden suhde ei enää ole sama kuin tuolla alaalla.
Täällä on joukossa kaikkialla myös islantilaista sammalta, joka
todistaa erikoisen raakaa ilmastoa, ja ihana valkeakelloinen
kylmänkukka (Pulsatilla alpina), alppikeltano (Hieracium alpinum) ja
monet muut ylävuoriston kukkaset ilmaisevat, missä korkeuksissa
matkailija vaeltaa.
Vielä toisenlaisia ovat "luminummet", joihin jo tutustuimme
Alppien esivuorilla. Paras tilaisuus niitten tutkimiseen on varsinkin
Isarin, Lechin, Innin ja Emsin laaksoissa vuoriston ylemmillä rinteillä.
Näiden nummien tunnuskasvi on alppikanerva (Erica carnea), jota ei
ole muualla Saksassa kuin siellä täällä keskivuoriston havumetsissä,
varsinkin Thüringerwaldin kaakkoisessa päässä, Vogtlandissa.

84. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com