Grupo5 transformada de laplace y funciones especiales

1. Escuela politécnica nacional matemática avanzada GR4 GRUPO 5: JORGE IMAICELA KATALINA LÓPEZ DAYANA VÁSQUEZ

2. FUNCIONES PERIÓDICAS  

3. TEOREMA  

4. ejemplo  

6. FUNCIÓN ESCALÓN UNIDAD  

9. OBSERVACIÓN  

11. Teoremas  

12. 4) FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO O FUNCIÓN DELTA DE DIRAC Consideremos la función , definido por: donde ε>0, y que es muy pequeño. Su gráfica es:

13. A la función se la denomina función impulso, y cuando , la altura de la región rectangular sombreada crece indefinidamente y la base decrece, de tal manera que el área siempre es igual a uno, es decir:     a la función se denomina función impulso unitario o función Delta de Dirac, otra forma de definir la función que frecuentemente es utilizada en electrónica es: Ahora calculemos su Transformada de Laplace:

14. como

15. LA FUNCIÓN GAMMA E s una integral paramétrica definida por:   (1) Esta integral es convergente para valores positivos n>0, y para valores negativos n exceptuando los valores -1,-2,-3,-4,…, a la función Gamma también se denomina función factorial y se aplica en las ecuaciones diferenciales que admiten soluciones por series infinitas. Su representación gráfica es:

16. En la siguiente tabla se indica algunos valores de donde 0n1, calculados según (1) mediante series infinitas. La integral no define ningún valor n=0, pero define los valores de para todos los números reales de la siguiente forma: 6) PROPIEDADES DE LA FUNCION GAMMA N 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 9.5 4.59 2.99 2.22 1.49 1.30 1.16 1.07

17. Demostración

18. 7) TEOREMA Demostrar que:

19. Función Beta Se define como: donde m>0, n>0.

20. Propiedades 1. B(m,n)=B(n,m) 2. 3.

21. Ejemplo: Demostrar que

22. Función de Bessel La ecuación diferencial de Bessel de orden p, con p ≥0 es: Una de sus soluciones linealmente independiente en series de potencias alrededor del punto t=0(punto singular regular)es:

23. Es llamado “Función de Bessel de orden p y de primera clase” y denotaremos en la forma siguiente:

24. Definición La función de Bessel de primera clase y de orden n, denotaremos por y es definido por la serie.

25. Observación La segunda solución linealmente independiente de la ecuación diferencial de Bessel es:

26. Observación Las funciones de Bessel de mayor utilidad son los de orden cero y orden uno:

27. Propiedades 1. 2. 3. 4.

28. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

29. Ejemplo: Hallar , donde es la funcion de Bessel de orden cero

30. Ejercicio Demostrar que

31. Bibliografía ESPINOZA RAMOS E. , Análisis matemático IV, segunda edición, 2008.