Guía de clase, bloque 1, tercer grado
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Sep 20, 2016
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About This Presentation
GUIA DE MATEMÁTICAS, BLOQUE 1, TERCER GRADO DE SECUNDARIA
Slide Content
1
MATEMÁTICAS 3
GUÍA DE CLASE
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Esta guía pertenece a ________________________________________________
Escuela Secundaria __________________________________________________
Respetables alumnos y padres de familia:
Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de
Matemáticas de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a
nuestros alumnos, de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los
conocimientos y habilidades que en clase van a adquirir.
Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de
los alumnos, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, en
ocasiones con explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los
alumnos hagan aportaciones para la solución de los problemas, ya que el
aprendizaje solamente es adquirido de manera individual. Recordemos, que no es el
médico el que sana, es el paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es
el alumno.
Una maestra en la Universidad decía a sus alumnos:
“Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son
necesarios cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se
estudia. Si por orgullo o pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud
nos hará aprender duramente que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”.
¡É X I T O!
ÍNDICE
MATEMÁTICAS 3
GUÍA DE CLASE
EDUCACIÓN SECUNDARIA
Esta guía pertenece a ________________________________________________
Escuela Secundaria __________________________________________________
Respetables alumnos y padres de familia:
Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de
Matemáticas de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a
nuestros alumnos, de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los
conocimientos y habilidades que en clase van a adquirir.
Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de
los alumnos, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, en
ocasiones con explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los
alumnos hagan aportaciones para la solución de los problemas, ya que el
aprendizaje solamente es adquirido de manera individual. Recordemos, que no es el
médico el que sana, es el paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es
el alumno.
Una maestra en la Universidad decía a sus alumnos:
“Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son
necesarios cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se
estudia. Si por orgullo o pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud
nos hará aprender duramente que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”.
¡É X I T O!
ÍNDICE
1
BLOQUE 1 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Ecuaciones cuadráticas por procedimientos personales u
operaciones inversas.
4
Figuras y
cuerpos
• Construcción de figuras congruentes o semejantes y análisis
de sus propiedades.
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos.
12
16
Proporcionalidad
y funciones
• Análisis de representaciones gráficas, tabulares y algebraicas
que corresponden a una misma situación.
• Representación tabular y algebraica de relaciones de
variación cuadrática.
20
27
Nociones de
probabilidad
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Eventos
complementarios, eventos mutuamente excluyentes e
independientes.
31
Análisis y
representación
de datos
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la
población de estudio. Discusión sobre las formas de elegir el
muestreo y búsqueda de herramientas convenientes para su
presentación.
39
BLOQUE 2 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
41
Figuras y
cuerpos
• Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de
figuras.
• Construcción de diseños que combinan la simetría axial y
central, la rotación y la traslación de figuras.
47
50
Medida
• Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que
se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
57
58
Nociones de
probabilidad
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de
la suma).
63
BLOQUE 3 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones
cuadráticas. Aplicando la fórmula general para resolverlas.
66
Figuras y
cuerpos
• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos en la resolución de problemas.
• Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de
Tales.
• Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras
homotéticas.
73
83
90
Proporcionalidad
y funciones
• Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas
para modelar diversas situaciones o fenómenos.
• Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones
rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado
de recipientes, etcétera.
94
98
Nociones de
probabilidad
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
independientes (regla del producto).
100
BLOQUE 4 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y • Obtención de una expresión general cuadrática para definir el 101
BLOQUE 1 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Ecuaciones cuadráticas por procedimientos personales u
operaciones inversas.
4
Figuras y
cuerpos
• Construcción de figuras congruentes o semejantes y análisis
de sus propiedades.
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos.
12
16
Proporcionalidad
y funciones
• Análisis de representaciones gráficas, tabulares y algebraicas
que corresponden a una misma situación.
• Representación tabular y algebraica de relaciones de
variación cuadrática.
20
27
Nociones de
probabilidad
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Eventos
complementarios, eventos mutuamente excluyentes e
independientes.
31
Análisis y
representación
de datos
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la
población de estudio. Discusión sobre las formas de elegir el
muestreo y búsqueda de herramientas convenientes para su
presentación.
39
BLOQUE 2 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
41
Figuras y
cuerpos
• Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de
figuras.
• Construcción de diseños que combinan la simetría axial y
central, la rotación y la traslación de figuras.
47
50
Medida
• Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que
se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.
57
58
Nociones de
probabilidad
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de
la suma).
63
BLOQUE 3 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones
cuadráticas. Aplicando la fórmula general para resolverlas.
66
Figuras y
cuerpos
• Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de
triángulos en la resolución de problemas.
• Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de
Tales.
• Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras
homotéticas.
73
83
90
Proporcionalidad
y funciones
• Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas
para modelar diversas situaciones o fenómenos.
• Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones
rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado
de recipientes, etcétera.
94
98
Nociones de
probabilidad
• Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos
independientes (regla del producto).
100
BLOQUE 4 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y • Obtención de una expresión general cuadrática para definir el 101
1
ecuaciones enésimo término de una sucesión.
Figuras y
cuerpos
• Análisis de las características de los cuerpos que se generan al
girar sobre un eje un triángulo rectángulo. Construcción de
desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
107
Medida
• Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una
recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el
cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
• Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los
cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno
coseno y tangente.
114
114
115
Proporcionalidad
y funciones
• Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso que se
modela con una función lineal.
129
Análisis y
representación
de datos
• Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el
promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación
media). Análisis de las diferencias de la desviación media con el
rango como medidas de la dispersión.
132
BLOQUE 5 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones
lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de
problemas a partir de una ecuación dada.
133
Medida • Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un
cilindro o a un cono recto.
• Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de
cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de
prismas y pirámides.
• Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de
cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.
143
146
151
Proporcionalidad
y funciones
• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos
de la química, la biología, la economía y otras disciplinas, en las
que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de
cantidades.
154
Nociones de
probabilidad
• Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de
azar sea justo, con base en la noción de resultados
equiprobables y no equiprobables.
156
Hay dos clases de personas – me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que
trabajan y los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar
en el primer grupo, ya que es ahí donde hay menos competencia.
PATRONES Y ECUACIONES
BLOQUE 1
ecuaciones enésimo término de una sucesión.
Figuras y
cuerpos
• Análisis de las características de los cuerpos que se generan al
girar sobre un eje un triángulo rectángulo. Construcción de
desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
107
Medida
• Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una
recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el
cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
• Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los
cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.
• Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno
coseno y tangente.
114
114
115
Proporcionalidad
y funciones
• Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso que se
modela con una función lineal.
129
Análisis y
representación
de datos
• Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el
promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación
media). Análisis de las diferencias de la desviación media con el
rango como medidas de la dispersión.
132
BLOQUE 5 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA
Patrones y
ecuaciones
• Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones
lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de
problemas a partir de una ecuación dada.
133
Medida • Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un
cilindro o a un cono recto.
• Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de
cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de
prismas y pirámides.
• Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de
cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.
143
146
151
Proporcionalidad
y funciones
• Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos
de la química, la biología, la economía y otras disciplinas, en las
que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de
cantidades.
154
Nociones de
probabilidad
• Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de
azar sea justo, con base en la noción de resultados
equiprobables y no equiprobables.
156
Hay dos clases de personas – me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que
trabajan y los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar
en el primer grupo, ya que es ahí donde hay menos competencia.
PATRONES Y ECUACIONES
BLOQUE 1
1
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
La potenciación es una multiplicación en donde los factores son iguales:
5² = 5 x 5 = 25 -5² = (-5)(-5) = 25
La raíz es una operación inversa a la potenciación. La raíz cuadrada es lo inverso de
elevar al cuadrado: √ 25 = 5 porque 5 x 5 = 25y (-5)(-5) = +25
La raíz cuadrada de 25 es 5 y -5
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes potencias como en el ejemplo.
6² = 6 x 6 = 36 3² = ______________ 4² = _______________ 18² =
7² = _________ -9² = ______________ 25² = _______________ -30² =
2.- Encuentra directamente el resultado de las siguientes potencias.
4² = ___ 6² = ___ 10² = ____ 8² = ___ 15² = _____
1² = ___ 20² = _____40² = _____ 60² = _____12² = _____
13² = _____ 14² = _____ 2² = ____ 5² = _____18² = _____
19² = _____ 80² = ______ 25² = _____ 30² = _____11² = _____
-3² = _____ -4² = _____ -9² = _____ -2² = _____-12² = ______
3.- Encuentra la raíz cuadrada positiva de los siguientes números.
√ 4 = ____ √ 100 = ____ √ 1 = ____ √ 81 = ____ √ 36 = ____
√ 49 = ____ √ 64 = ____ √ 9 = ____ √ 144 = ____ √ 256 = ____
√ 16 = ____ √ 121 = ____ √ 25 = ____ √ 900 = ____ √ 400 = ____
√ 196 = ____ √ 441 = ____ √ 169 = ____ √ 484 = ____ √ 225 = ____
CONOCIMIENTOS PREVIOS
• Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
La potenciación es una multiplicación en donde los factores son iguales:
5² = 5 x 5 = 25 -5² = (-5)(-5) = 25
La raíz es una operación inversa a la potenciación. La raíz cuadrada es lo inverso de
elevar al cuadrado: √ 25 = 5 porque 5 x 5 = 25y (-5)(-5) = +25
La raíz cuadrada de 25 es 5 y -5
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes potencias como en el ejemplo.
6² = 6 x 6 = 36 3² = ______________ 4² = _______________ 18² =
7² = _________ -9² = ______________ 25² = _______________ -30² =
2.- Encuentra directamente el resultado de las siguientes potencias.
4² = ___ 6² = ___ 10² = ____ 8² = ___ 15² = _____
1² = ___ 20² = _____40² = _____ 60² = _____12² = _____
13² = _____ 14² = _____ 2² = ____ 5² = _____18² = _____
19² = _____ 80² = ______ 25² = _____ 30² = _____11² = _____
-3² = _____ -4² = _____ -9² = _____ -2² = _____-12² = ______
3.- Encuentra la raíz cuadrada positiva de los siguientes números.
√ 4 = ____ √ 100 = ____ √ 1 = ____ √ 81 = ____ √ 36 = ____
√ 49 = ____ √ 64 = ____ √ 9 = ____ √ 144 = ____ √ 256 = ____
√ 16 = ____ √ 121 = ____ √ 25 = ____ √ 900 = ____ √ 400 = ____
√ 196 = ____ √ 441 = ____ √ 169 = ____ √ 484 = ____ √ 225 = ____
CONOCIMIENTOS PREVIOS
1
ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR OPERACIONES INVERSAS
Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos la transposición de términos u
operaciones inversas, que consiste en cambiar con signo contrario, un término de un
miembro de la ecuación al otro miembro. EJEMPLO:
9x + 12 = 65 – 6x – 8
9x + 6x = 65 – 8 – 12
15x = 45
x =
x = 3
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado por operaciones inversas.
x + 2 = 7 x + 5 = 8 x + 15 = 28 y + 9 = 45
x - 4 = 13 x – 36 = 78 3x = 36 6x = 72
8 + x = 43 9x + 32 = 3x + 86 15 + 2x = 73 5x – 465 = 0
CONOCIMIENTOS
45
15
Cambiamos lo términos semejantes con “x” al primer miembro.
-6x pasa al primer miembro con signo contrario, es decir, como está restando, lo
pasamos sumando.
También pasamos los términos independientes al segundo miembro: el 12 está
sumando, los cambiamos restando.
Enseguida resolvemos operaciones: 9x + 6x = 15x; 65 – 8 – 12 = 45
Luego despejamos la x, pasando el 15 con signo contrario al segundo miembro, como
está multiplicando, lo pasamos dividiendo.
Hacemos la división para encontrar el valor de x.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR OPERACIONES INVERSAS
Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos la transposición de términos u
operaciones inversas, que consiste en cambiar con signo contrario, un término de un
miembro de la ecuación al otro miembro. EJEMPLO:
9x + 12 = 65 – 6x – 8
9x + 6x = 65 – 8 – 12
15x = 45
x =
x = 3
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado por operaciones inversas.
x + 2 = 7 x + 5 = 8 x + 15 = 28 y + 9 = 45
x - 4 = 13 x – 36 = 78 3x = 36 6x = 72
8 + x = 43 9x + 32 = 3x + 86 15 + 2x = 73 5x – 465 = 0
CONOCIMIENTOS
45
15
Cambiamos lo términos semejantes con “x” al primer miembro.
-6x pasa al primer miembro con signo contrario, es decir, como está restando, lo
pasamos sumando.
También pasamos los términos independientes al segundo miembro: el 12 está
sumando, los cambiamos restando.
Enseguida resolvemos operaciones: 9x + 6x = 15x; 65 – 8 – 12 = 45
Luego despejamos la x, pasando el 15 con signo contrario al segundo miembro, como
está multiplicando, lo pasamos dividiendo.
Hacemos la división para encontrar el valor de x.
1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR PROCEDIMIENTOS PERSONALES
En matemáticas encontramos problemas que se pueden solucionar planteando una
ecuación de segundo grado (cuadrática) y utilizando algún procedimiento personal en la
solución. EJEMPLO:
PROBLEMA: El cuadrado de un número menos 4 es igual a 60.
¿Cuál es ese número?
La ecuación que utilizamos para resolver el problema es: x²- 4 = 60
Vamos a encontrar un número que elevado al cuadrado y restándole 4 nos de como
resultado 60. Este problema lo podemos resolver mentalmente, haciendo personalmente
operaciones, hasta que por ensayo y error encontremos el resultado.
8² - 4 = 60
64 – 4 = 60
60 = 60 El valor positivo de x es 8 porque 8² - 4 = 608² = 8 x 8 = 64
Una ecuación de segundo grado puede tener dos resultados. El mismo número pero con
signo positivo y negativo. Entonces x también vale -8 porque (-8)² - 4 = 60 (-8)(-8) = 64
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando para ello un
procedimiento personal. Puedes usar calculadora en caso de disponer de ella.
x² - 169 = 0 x² + 3 = 19 x² - 36 = 0x² + 4 = 10 + 3
x² + 3 = 28 x² - 5 = 9 y² - 12 = 24y² + 7 = 107
4x² - 1 = 35 2x² + 5 = 23 2x² - 98 = 0 x² - 9 = 0
CONOCIMIENTOS
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR PROCEDIMIENTOS PERSONALES
En matemáticas encontramos problemas que se pueden solucionar planteando una
ecuación de segundo grado (cuadrática) y utilizando algún procedimiento personal en la
solución. EJEMPLO:
PROBLEMA: El cuadrado de un número menos 4 es igual a 60.
¿Cuál es ese número?
La ecuación que utilizamos para resolver el problema es: x²- 4 = 60
Vamos a encontrar un número que elevado al cuadrado y restándole 4 nos de como
resultado 60. Este problema lo podemos resolver mentalmente, haciendo personalmente
operaciones, hasta que por ensayo y error encontremos el resultado.
8² - 4 = 60
64 – 4 = 60
60 = 60 El valor positivo de x es 8 porque 8² - 4 = 608² = 8 x 8 = 64
Una ecuación de segundo grado puede tener dos resultados. El mismo número pero con
signo positivo y negativo. Entonces x también vale -8 porque (-8)² - 4 = 60 (-8)(-8) = 64
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando para ello un
procedimiento personal. Puedes usar calculadora en caso de disponer de ella.
x² - 169 = 0 x² + 3 = 19 x² - 36 = 0x² + 4 = 10 + 3
x² + 3 = 28 x² - 5 = 9 y² - 12 = 24y² + 7 = 107
4x² - 1 = 35 2x² + 5 = 23 2x² - 98 = 0 x² - 9 = 0
CONOCIMIENTOS
1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR OPERACIONES INVERSAS
Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en completas e incompletas.
Son completas las que tienen los tres términos: el término de segundo grado, el término
lineal y el término independiente. EJEMPLO: x² + 6x + 9 = 0.
Son incompletas cuando solamente tienen dos términos. Pueden no tener el término lineal
o no tener el término independiente.
EJEMPLOS: x² - 3x = 0 2x² - 8 = 0
PROBLEMA: Pienso un número. Si lo elevo al cuadrado, lo multiplico por 2 y le resto 8
me resulta 0. ¿Qué número pensé?
La ecuación que nos resulta es: 2x² - 8 = 0
Cuando la ecuación incompleta está formada por el término en segundo grado y el
término independiente, usamos las operaciones inversas para resolverla.
2x² - 8 = 0 Cambiamos el 8 al segundo miembro con signo contrario.
2x² = 8 Como el 8 está restando, lo pasamos sumando al segundo miembro.
x² = Cambiamos el 2 al segundo miembro. Está multiplicando en el
primer miembro, entonces pasa dividiendo al segundo.
x² = 4
Cambiamos el exponente 2, con operación inversa. Está elevándose
x = ± √4
al cuadrado, pasa con raíz cuadrada.
x = ± 2 Resolvemos la operación y encontramos el resultado.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, utilizando las operaciones
inversas o la transposición de términos.
x² - 4 = 0 8x² - 32 = 0 3x² - 27 = 0 6x² = 54
8
2
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR OPERACIONES INVERSAS
Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en completas e incompletas.
Son completas las que tienen los tres términos: el término de segundo grado, el término
lineal y el término independiente. EJEMPLO: x² + 6x + 9 = 0.
Son incompletas cuando solamente tienen dos términos. Pueden no tener el término lineal
o no tener el término independiente.
EJEMPLOS: x² - 3x = 0 2x² - 8 = 0
PROBLEMA: Pienso un número. Si lo elevo al cuadrado, lo multiplico por 2 y le resto 8
me resulta 0. ¿Qué número pensé?
La ecuación que nos resulta es: 2x² - 8 = 0
Cuando la ecuación incompleta está formada por el término en segundo grado y el
término independiente, usamos las operaciones inversas para resolverla.
2x² - 8 = 0 Cambiamos el 8 al segundo miembro con signo contrario.
2x² = 8 Como el 8 está restando, lo pasamos sumando al segundo miembro.
x² = Cambiamos el 2 al segundo miembro. Está multiplicando en el
primer miembro, entonces pasa dividiendo al segundo.
x² = 4
Cambiamos el exponente 2, con operación inversa. Está elevándose
x = ± √4
al cuadrado, pasa con raíz cuadrada.
x = ± 2 Resolvemos la operación y encontramos el resultado.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, utilizando las operaciones
inversas o la transposición de términos.
x² - 4 = 0 8x² - 32 = 0 3x² - 27 = 0 6x² = 54
8
2
1
9x² + 32 = 3x² + 86 a² + 7 = 43 (2x – 3)(x + 7) = 11x + 11
15 + 2x² = 177 x² - 25 = 299 5x² - 1 125 = 0
2.- Escribe la ecuación con la que se pueden resolver cada uno de los siguientes
problemas.
1.- Pienso un número. Si lo elevo al cuadrado y le
resto 81 me resulta 0.
Ecuación: ______________________
3.- Pienso un número. Si lo elevo al cuadrado y lo
multiplico por 4 me resulta 100.
Ecuación: _______________________
2.- El cuadrado de un número más 35 es igual a
51.
Ecuación: ______________________
4.- El cuadrado de un número menos 20 es igual
a 124.
Ecuación: _______________________
9x² + 32 = 3x² + 86 a² + 7 = 43 (2x – 3)(x + 7) = 11x + 11
15 + 2x² = 177 x² - 25 = 299 5x² - 1 125 = 0
2.- Escribe la ecuación con la que se pueden resolver cada uno de los siguientes
problemas.
1.- Pienso un número. Si lo elevo al cuadrado y le
resto 81 me resulta 0.
Ecuación: ______________________
3.- Pienso un número. Si lo elevo al cuadrado y lo
multiplico por 4 me resulta 100.
Ecuación: _______________________
2.- El cuadrado de un número más 35 es igual a
51.
Ecuación: ______________________
4.- El cuadrado de un número menos 20 es igual
a 124.
Ecuación: _______________________
1
3.- Plantea la ecuación en cada problema y resuélvelo correctamente.
x
3°
MATEMÁTICAS
x
x
1.- El cuadrado de un número menos 200
es igual a 824.
¿Cuál es ese número? _________
3.- La siguiente figura representa la carátula
de un libro. La parte cuadrada donde se
indica el grado 3º mide 5 cm por lado y el
resto de la portada es un área de 459 cm².
Encuentra cuánto mide por lado el libro.
2.- El cuadrado de un número más 200 es
igual a 1100. ¿Cuál es ese número? ______
4.- La cochera de una casa tiene forma
cuadrada. Al centro tiene con piso teselado una
parte cuadrada de 5 metros por lado y el resto
de la cochera que equivale a 119 metros
cuadrados de área, tiene piso de cemento.
¿Cuánto mide el lado de la cochera? ______
3.- Plantea la ecuación en cada problema y resuélvelo correctamente.
x
3°
MATEMÁTICAS
x
x
1.- El cuadrado de un número menos 200
es igual a 824.
¿Cuál es ese número? _________
3.- La siguiente figura representa la carátula
de un libro. La parte cuadrada donde se
indica el grado 3º mide 5 cm por lado y el
resto de la portada es un área de 459 cm².
Encuentra cuánto mide por lado el libro.
2.- El cuadrado de un número más 200 es
igual a 1100. ¿Cuál es ese número? ______
4.- La cochera de una casa tiene forma
cuadrada. Al centro tiene con piso teselado una
parte cuadrada de 5 metros por lado y el resto
de la cochera que equivale a 119 metros
cuadrados de área, tiene piso de cemento.
¿Cuánto mide el lado de la cochera? ______
1
5
4.- Plantea la ecuación que permita resolver cada uno de los siguientes problemas y
encuentra el resultado utilizando las operaciones inversas.
x
5.- La edad del papá de mi sobrino Axel
está representada en la ecuación:
x² - 4 = 77
Si x es igual a la edad de Axel.
6.- El cuadrado de un número más 4 es igual
a 14 + 15.
¿Cuál es ese número? _______
1.- El cuadrado de un número menos 3 es
igual a 22.
¿Cuál es ese número?..............._______
3.- El cuadrado de un número menos 6 es
igual a 43.
¿Cuál es ese número?..............._______
5.- El cuadrado de un número menos 900
es igual a 0.
¿Cuál es ese número?..............._______
7.- La edad del sobrino de mi hijo Omar
está representada en la ecuación:
x² - 3 = 61
Si x es igual a la edad del sobrino.
¿Cuántos años tiene? _____________
2.- El cuadrado de un número más 10 es
igual a 54.
¿Cuál es ese número?................ ______
4.- El área de un cuadrado es 169 m².
¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
¿Cuánto mide su perímetro? _________
6.- El cuadrado de un número menos 36 es
igual a 0.
¿Cuál es ese número?.................______
8.- La alberca de la casa de mi primo es de
forma cuadrada. La superficie que ocupa
es de 289 m².
¿Cuánto mide cada lado? _________
5
4.- Plantea la ecuación que permita resolver cada uno de los siguientes problemas y
encuentra el resultado utilizando las operaciones inversas.
x
5.- La edad del papá de mi sobrino Axel
está representada en la ecuación:
x² - 4 = 77
Si x es igual a la edad de Axel.
6.- El cuadrado de un número más 4 es igual
a 14 + 15.
¿Cuál es ese número? _______
1.- El cuadrado de un número menos 3 es
igual a 22.
¿Cuál es ese número?..............._______
3.- El cuadrado de un número menos 6 es
igual a 43.
¿Cuál es ese número?..............._______
5.- El cuadrado de un número menos 900
es igual a 0.
¿Cuál es ese número?..............._______
7.- La edad del sobrino de mi hijo Omar
está representada en la ecuación:
x² - 3 = 61
Si x es igual a la edad del sobrino.
¿Cuántos años tiene? _____________
2.- El cuadrado de un número más 10 es
igual a 54.
¿Cuál es ese número?................ ______
4.- El área de un cuadrado es 169 m².
¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
¿Cuánto mide su perímetro? _________
6.- El cuadrado de un número menos 36 es
igual a 0.
¿Cuál es ese número?.................______
8.- La alberca de la casa de mi primo es de
forma cuadrada. La superficie que ocupa
es de 289 m².
¿Cuánto mide cada lado? _________
1
ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO
INSTRUCCIÓN: Escribe, según corresponda, dentro del paréntesis la letra que conteste
correctamente cada cuestión o sobre la línea el resultado correcto.
1.- PROBLEMA: El cuadrado de un número menos 3 es igual a 46.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones modela el problema anterior?............................ (____)
a) x² - 3 = 46 b) x² + 3= 46 c) x² + 46 = 3 d) x² - 3 = 56
2.- ¿Cuál de las ecuaciones que se presentan enseguida,
es la que modela el siguiente problema?.................................................................... (____)
PROBLEMA: Iván tiene “x” cantidad de camisas. Mario tiene 3 camisas más que Iván.
El cuadrado del número de camisas de Iván más el cuadrado del número de camisas de
Mario es igual a 69.
a) x²(x – 3)² = 69b) x² + (x + 3)² = 69c) x² + (x - 3)² = 69d) x² = 69
3.- ¿Cuál es el valor de la incógnita al resolver la ecuación: x² - 4 = 5?............. _________
4.- El cuadrado de un número menos 6 es igual a 58. ¿Cuál es ese número?.......... (____)
a) 64 b) 52 c) 32 d) 8
5.- La siguiente figura representa un terreno rectangular de 150 m². Si queremos conocer
lo que mide el largo y el ancho, ¿cuál es la ecuación que debemos resolver para
encontrar los resultado?.............................................................................................. (____)
ACTIVIDAD DE AFIANZAMIENTO
INSTRUCCIÓN: Escribe, según corresponda, dentro del paréntesis la letra que conteste
correctamente cada cuestión o sobre la línea el resultado correcto.
1.- PROBLEMA: El cuadrado de un número menos 3 es igual a 46.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones modela el problema anterior?............................ (____)
a) x² - 3 = 46 b) x² + 3= 46 c) x² + 46 = 3 d) x² - 3 = 56
2.- ¿Cuál de las ecuaciones que se presentan enseguida,
es la que modela el siguiente problema?.................................................................... (____)
PROBLEMA: Iván tiene “x” cantidad de camisas. Mario tiene 3 camisas más que Iván.
El cuadrado del número de camisas de Iván más el cuadrado del número de camisas de
Mario es igual a 69.
a) x²(x – 3)² = 69b) x² + (x + 3)² = 69c) x² + (x - 3)² = 69d) x² = 69
3.- ¿Cuál es el valor de la incógnita al resolver la ecuación: x² - 4 = 5?............. _________
4.- El cuadrado de un número menos 6 es igual a 58. ¿Cuál es ese número?.......... (____)
a) 64 b) 52 c) 32 d) 8
5.- La siguiente figura representa un terreno rectangular de 150 m². Si queremos conocer
lo que mide el largo y el ancho, ¿cuál es la ecuación que debemos resolver para
encontrar los resultado?.............................................................................................. (____)
1
a)x² + 5x = 150
b)x² + 5x = 0
c)x² - 5x = -150
d)x² = 150 + 5x
6.- El largo de un terreno rectangular es 10 metros más grande que su ancho. Si el área
es de 375 m², ¿cuál es la ecuación que permite calcular los lados del rectángulo?... (____)
a) x² - 10x = 375b) x² + 10x = -375c) x² + 10x = 375d) x² + 10x = 0
7.- La maestra nos puso la siguiente ecuación para resolverla:
x² - 14 = 22
¿Cuál de los siguientes es el resultado correcto positivo?.......................................... (____)
a) 6 b) 4 c) 2 d) 8
8.- ¿Cuál es el valor de la incógnita al resolver la ecuación: x² - 3 = 13?............ _________
9.- ¿Cuál es el valor de la incógnita al resolver la ecuación: x² + 6 = 31?........... _________
10.- Resuelve usando las operaciones inversas la siguiente ecuación de segundo grado:
14x² - 40 = 16
¿Cuáles son los valores de la incógnita?.................................................................... (____)
a) x = ± 3 b) x = ± 2 c) x = 2.3 d) x = ± 4
FIGURAS Y CUERPOS
• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y
rectángulos) y análisis de sus propiedades.
CONOCIMIENTOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes o iguales, cuando al colocar uno encima del otro, los
lados y los ángulos de uno coinciden exactamente con los del otro.
El triángulo A y el triángulo A’ son
congruentes porque tienen iguales:
L.L.L (LADO-LADO-LADO)
L.A.L (LADO-ÁNGULO-LADO)
A.L.A (ÁNGULO-LADO-ÁNGULO)
PROBLEMA: Traza las diagonales a los cuadriláteros y observa que quedan divididos en
triángulos, mismos, que en ocasiones pueden llegar a ser congruentes.
No resultan triángulos congruentes Si resultan triángulos congruentes porque
porque sus lados opuestos no son los lados opuestos de los cuadriláteros son
paralelos. Paralelos, es decir, son paralelogramos.
A A´
x+ 5
x 150
a)x² + 5x = 150
b)x² + 5x = 0
c)x² - 5x = -150
d)x² = 150 + 5x
6.- El largo de un terreno rectangular es 10 metros más grande que su ancho. Si el área
es de 375 m², ¿cuál es la ecuación que permite calcular los lados del rectángulo?... (____)
a) x² - 10x = 375b) x² + 10x = -375c) x² + 10x = 375d) x² + 10x = 0
7.- La maestra nos puso la siguiente ecuación para resolverla:
x² - 14 = 22
¿Cuál de los siguientes es el resultado correcto positivo?.......................................... (____)
a) 6 b) 4 c) 2 d) 8
8.- ¿Cuál es el valor de la incógnita al resolver la ecuación: x² - 3 = 13?............ _________
9.- ¿Cuál es el valor de la incógnita al resolver la ecuación: x² + 6 = 31?........... _________
10.- Resuelve usando las operaciones inversas la siguiente ecuación de segundo grado:
14x² - 40 = 16
¿Cuáles son los valores de la incógnita?.................................................................... (____)
a) x = ± 3 b) x = ± 2 c) x = 2.3 d) x = ± 4
FIGURAS Y CUERPOS
• Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y
rectángulos) y análisis de sus propiedades.
CONOCIMIENTOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes o iguales, cuando al colocar uno encima del otro, los
lados y los ángulos de uno coinciden exactamente con los del otro.
El triángulo A y el triángulo A’ son
congruentes porque tienen iguales:
L.L.L (LADO-LADO-LADO)
L.A.L (LADO-ÁNGULO-LADO)
A.L.A (ÁNGULO-LADO-ÁNGULO)
PROBLEMA: Traza las diagonales a los cuadriláteros y observa que quedan divididos en
triángulos, mismos, que en ocasiones pueden llegar a ser congruentes.
No resultan triángulos congruentes Si resultan triángulos congruentes porque
porque sus lados opuestos no son los lados opuestos de los cuadriláteros son
paralelos. Paralelos, es decir, son paralelogramos.
A A´
x+ 5
x 150
1
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Traza a los siguientes cuadriláteros una diagonal y escribe Sí dentro del círculo, a los
que al cortarlos se obtienen dos triángulos congruentes. Escribe la medida en
centímetros a cada uno de sus lados.
2.- Traza la otra diagonal a cada cudrilátero y escribe sobre la línea la palabra Sí o No,
según si las diagonales se cortan o no en el punto medio.
3.- La cancha de básquetbol de la escuela tiene la forma y medidas tal y como se muestra
enseguida.
a) Traza solamente una diagonal al dibujo que representa
la cancha.
b) ¿Son congruentes los triángulos que se formaron?_____
b)¿Cuánto mide el área de cada uno de
los triángulos en que se dividió la cancha? __________
4.- Considera que la figura ABCD es un paralelogramo que representa una ventana.
a)Traza las dos diagonales de la ventana y llama O al
punto donde se cruzan.
b)Contesta: OB = ______ OA = _______
c) ¿Cuántos triángulos resultaron con el trazo de las dos
diagonales? ________
c)¿Son congruentes estos triángulos? ____
d)El punto O es el punto medio de AC y de _______
D C
BA
26 m
14 m
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Traza a los siguientes cuadriláteros una diagonal y escribe Sí dentro del círculo, a los
que al cortarlos se obtienen dos triángulos congruentes. Escribe la medida en
centímetros a cada uno de sus lados.
2.- Traza la otra diagonal a cada cudrilátero y escribe sobre la línea la palabra Sí o No,
según si las diagonales se cortan o no en el punto medio.
3.- La cancha de básquetbol de la escuela tiene la forma y medidas tal y como se muestra
enseguida.
a) Traza solamente una diagonal al dibujo que representa
la cancha.
b) ¿Son congruentes los triángulos que se formaron?_____
b)¿Cuánto mide el área de cada uno de
los triángulos en que se dividió la cancha? __________
4.- Considera que la figura ABCD es un paralelogramo que representa una ventana.
a)Traza las dos diagonales de la ventana y llama O al
punto donde se cruzan.
b)Contesta: OB = ______ OA = _______
c) ¿Cuántos triángulos resultaron con el trazo de las dos
diagonales? ________
c)¿Son congruentes estos triángulos? ____
d)El punto O es el punto medio de AC y de _______
D C
BA
26 m
14 m
1
O
f) ¿Cuánto mide el área del triángulo ACD? _____ unidades cuadradas.
g) ¿Cuánto mide el área del triángulo BCD? _____ unidades cuadradas.
h) ¿Cuánto mide el área del triángulo ABD? _____ unidades cuadradas.
5.- La siguiente figura representa el terreno de una parcela en la que se siembra alfalfa.
Basados en la información encuentren las medidas que se piden y contesten las
preguntas que se hacen.
26°
40° Ilumina triángulos congruentes con un mismo color.
66° “La suma de los ángulos internos
de un triángulo suman 180º”
a) ¿Por qué la figura es un paralelogramo? _____________________________________
b) ¿Cuánto mide el ángulo ADO? ______ c) ¿Cuánto mide el ángulo AOB? ______
d) ¿Cuánto mide el ángulo ABO? ______ e) ¿Cuánto mide el ángulo AOC? ______
f) Si BD mide 50 metros, ¿cuánto mide OB?... ________
g) Si AC mide 75 metros, ¿cuánto mide OA? ..________
h) Si AD mide 35 metros y el perímetro de ABCD es de 174 metros:
¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados del terreno?
AD = __________ AB = __________ BC = __________ CD = __________
6.- Observa las siguientes figuras y contesta lo que se pide.
Figura B
Figura A
D C
BA
O
f) ¿Cuánto mide el área del triángulo ACD? _____ unidades cuadradas.
g) ¿Cuánto mide el área del triángulo BCD? _____ unidades cuadradas.
h) ¿Cuánto mide el área del triángulo ABD? _____ unidades cuadradas.
5.- La siguiente figura representa el terreno de una parcela en la que se siembra alfalfa.
Basados en la información encuentren las medidas que se piden y contesten las
preguntas que se hacen.
26°
40° Ilumina triángulos congruentes con un mismo color.
66° “La suma de los ángulos internos
de un triángulo suman 180º”
a) ¿Por qué la figura es un paralelogramo? _____________________________________
b) ¿Cuánto mide el ángulo ADO? ______ c) ¿Cuánto mide el ángulo AOB? ______
d) ¿Cuánto mide el ángulo ABO? ______ e) ¿Cuánto mide el ángulo AOC? ______
f) Si BD mide 50 metros, ¿cuánto mide OB?... ________
g) Si AC mide 75 metros, ¿cuánto mide OA? ..________
h) Si AD mide 35 metros y el perímetro de ABCD es de 174 metros:
¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados del terreno?
AD = __________ AB = __________ BC = __________ CD = __________
6.- Observa las siguientes figuras y contesta lo que se pide.
Figura B
Figura A
D C
BA
1
¿Cuántos triángulos congruentes resultaron al trazar las dos diagonales a la figura A? ___
¿Cuántos triángulos congruentes hay en total en los tres cuadrados que están trazados
sobre los lados del triángulo rectángulo sombreado de la figura B? ____________
¿Cuántos triángulos congruentes hay en el cuadrado mayor trazado en uno de los lados
del triángulo rectángulo sombreado? _______________
¿Cuántos triángulos congruentes hay en total en los dos cuadrados pequeños trazados en
los dos lados del triángulo rectángulo sombreado? _____________
7.- Dibuja e ilumina en la siguiente cuadrícula 4 triángulos que sean congruentes.
8.- Dibuja enseguida 2 triángulos congruentes cuyos lados midan 4 cm, 5 cm y 6 cm.
9.- Analiza lo siguiente:
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque sean de diferente
tamaño.
En el siguiente dibujo puedes observar que se encuentran 4 triángulos semejantes.
Dibuja con regla cada uno de ellos por separado dentro de la cuadrícula.
Procedimiento:
a)1° Traza con regla el lado de
4 cm y llámalo segmento
AB.
b)2° Abre el compás 5 cm y
apóyalo en el extremo A
para que traces un arco
hacia un lado del segmento.
c)3° Abre el compás 6 cm y
apóyalo en el extremo B
para que traces un arco que
se cruce con el arco que ya
trazaste.
d)4° Une el punto de los arcos
trazados con cada uno de
los extremos del segmento
AB.
e)
¿Cuántos triángulos congruentes resultaron al trazar las dos diagonales a la figura A? ___
¿Cuántos triángulos congruentes hay en total en los tres cuadrados que están trazados
sobre los lados del triángulo rectángulo sombreado de la figura B? ____________
¿Cuántos triángulos congruentes hay en el cuadrado mayor trazado en uno de los lados
del triángulo rectángulo sombreado? _______________
¿Cuántos triángulos congruentes hay en total en los dos cuadrados pequeños trazados en
los dos lados del triángulo rectángulo sombreado? _____________
7.- Dibuja e ilumina en la siguiente cuadrícula 4 triángulos que sean congruentes.
8.- Dibuja enseguida 2 triángulos congruentes cuyos lados midan 4 cm, 5 cm y 6 cm.
9.- Analiza lo siguiente:
Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, aunque sean de diferente
tamaño.
En el siguiente dibujo puedes observar que se encuentran 4 triángulos semejantes.
Dibuja con regla cada uno de ellos por separado dentro de la cuadrícula.
Procedimiento:
a)1° Traza con regla el lado de
4 cm y llámalo segmento
AB.
b)2° Abre el compás 5 cm y
apóyalo en el extremo A
para que traces un arco
hacia un lado del segmento.
c)3° Abre el compás 6 cm y
apóyalo en el extremo B
para que traces un arco que
se cruce con el arco que ya
trazaste.
d)4° Une el punto de los arcos
trazados con cada uno de
los extremos del segmento
AB.
e)
1
O
A
C
1
2
¿Cómo son los lados de cada uno de los 4 triángulos dibujados? ________________
¿Cómo son los ángulos de cada uno de los 4 triángulos dibujados? ________________
FIGURAS Y CUERPOS
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de
construcciones con información determinada.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
PROBLEMA: Determina porqué los siguientes triángulos son congruentes o iguales.
El segundo triángulo tiene lados y ángulos iguales que el primero.
También decimos que los dos triángulos son congruentes, porque al colocar uno encima
del otro, los lados y los ángulos de uno coinciden exactamente con los del otro.
Para dibujar triángulos congruentes debemos tomar en cuenta la medida de los lados y de
los ángulos.
PROBLEMA: Traza con compás un ángulo igual o congruente al ángulo AOC.
Trazamos la recta O’A’
O’ A’
O
A
C
1
2
¿Cómo son los lados de cada uno de los 4 triángulos dibujados? ________________
¿Cómo son los ángulos de cada uno de los 4 triángulos dibujados? ________________
FIGURAS Y CUERPOS
• Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de
construcciones con información determinada.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
PROBLEMA: Determina porqué los siguientes triángulos son congruentes o iguales.
El segundo triángulo tiene lados y ángulos iguales que el primero.
También decimos que los dos triángulos son congruentes, porque al colocar uno encima
del otro, los lados y los ángulos de uno coinciden exactamente con los del otro.
Para dibujar triángulos congruentes debemos tomar en cuenta la medida de los lados y de
los ángulos.
PROBLEMA: Traza con compás un ángulo igual o congruente al ángulo AOC.
Trazamos la recta O’A’
O’ A’
1
Apoyados en O, trazamos un arco que
corte las rectas OC y OA del ángulo dado.
Hacemos lo mismo apoyando el compás O’ A’
en O’ y con la misma abertura.
Con el compás tomamos la medida del
ángulo dado con distancia de 1 a 2.
Esta misma medida la trazamos en el O’ A’
ángulo que estamos trazando.
Trazamos la recta O’C’ que pase por
donde se cruzaron los arcos.
O’ A’
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1.- Dos triángulos son congruentes, si tienen
iguales sus tres lados. =
L . L . L
Lado - Lado - Lado
2.- Dos triángulos son congruentes si tienen
igual un ángulo y los dos lados que lo
conforman. =
L . A . L
Lado - Ángulo - Lado
< A = < A’
3.- Dos triángulos son congruentes si un
lado y los ángulos de sus extremos son =
iguales.
A . L . A
Ángulo - Lado - Ángulo
< A = < A’ < B = < B’
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Enseguida se muestra el diseño de una ventana. En ella falta por dibujar dos triángulos
que sean congruentes con los ya trazados para que el diseño quede completo.
Traza los dos triángulos congruentes que faltan utilizando para ello regla y compás.
3
4
3
5
4
3
5
5
4
A
5
4
A’
B
6
A B’
6
A’
C
Apoyados en O, trazamos un arco que
corte las rectas OC y OA del ángulo dado.
Hacemos lo mismo apoyando el compás O’ A’
en O’ y con la misma abertura.
Con el compás tomamos la medida del
ángulo dado con distancia de 1 a 2.
Esta misma medida la trazamos en el O’ A’
ángulo que estamos trazando.
Trazamos la recta O’C’ que pase por
donde se cruzaron los arcos.
O’ A’
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1.- Dos triángulos son congruentes, si tienen
iguales sus tres lados. =
L . L . L
Lado - Lado - Lado
2.- Dos triángulos son congruentes si tienen
igual un ángulo y los dos lados que lo
conforman. =
L . A . L
Lado - Ángulo - Lado
< A = < A’
3.- Dos triángulos son congruentes si un
lado y los ángulos de sus extremos son =
iguales.
A . L . A
Ángulo - Lado - Ángulo
< A = < A’ < B = < B’
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Enseguida se muestra el diseño de una ventana. En ella falta por dibujar dos triángulos
que sean congruentes con los ya trazados para que el diseño quede completo.
Traza los dos triángulos congruentes que faltan utilizando para ello regla y compás.
3
4
3
5
4
3
5
5
4
A
5
4
A’
B
6
A B’
6
A’
C
1
2.- En el siguiente recuadro dibuja tres triángulos equiláteros congruentes de 3 cm de lado
cada uno. Utiliza regla y el compás con una abertura de 3 cm.
3.- En el siguiente dibujo se forma un triángulo, con el piso, el cable que sostiene al poste
y el poste. Toma la medida del ángulo A, la medida de los lados AB y AC y traza a la
derecha del poste otro triángulo que sea congruente con el triángulo ABC.
BA
A B
C
2.- En el siguiente recuadro dibuja tres triángulos equiláteros congruentes de 3 cm de lado
cada uno. Utiliza regla y el compás con una abertura de 3 cm.
3.- En el siguiente dibujo se forma un triángulo, con el piso, el cable que sostiene al poste
y el poste. Toma la medida del ángulo A, la medida de los lados AB y AC y traza a la
derecha del poste otro triángulo que sea congruente con el triángulo ABC.
BA
A B
C
1
4.- En el Cerro de la Cruz dibujado enseguida, se forma el triángulo ABC con las
pendientes del cerro y la horizontal del piso. Dibuja a la derecha un triángulo congruente
con el triángulo ABC, tomando como base el lado AB y la medida de los ángulos A y B.
5.- Traza enseguida 3 triángulos equiláteros de diferente tamaño. Utiliza regla y compás.
¿Los 3 triángulos tienen la misma forma aunque sean distintos de tamaño? ______
¿Los 3 triángulos tienen la misma medida de sus ángulos? _____
Por lo tanto los 3 triángulos: ¿son iguales o semejantes? _____________________
6.- Traza enseguida 2 triángulos rectángulos de diferente tamaño. El primero que sea de
tal forma que los lados que forman el ángulo recto midan 4 cm y 3 cm respectivamente y
el segundo que los lados que forman el ángulo recto midan 8 cm y 6 cm respectivamente.
Los 3 triángulos: ¿son iguales o semejantes? _____________________
C
A B
4.- En el Cerro de la Cruz dibujado enseguida, se forma el triángulo ABC con las
pendientes del cerro y la horizontal del piso. Dibuja a la derecha un triángulo congruente
con el triángulo ABC, tomando como base el lado AB y la medida de los ángulos A y B.
5.- Traza enseguida 3 triángulos equiláteros de diferente tamaño. Utiliza regla y compás.
¿Los 3 triángulos tienen la misma forma aunque sean distintos de tamaño? ______
¿Los 3 triángulos tienen la misma medida de sus ángulos? _____
Por lo tanto los 3 triángulos: ¿son iguales o semejantes? _____________________
6.- Traza enseguida 2 triángulos rectángulos de diferente tamaño. El primero que sea de
tal forma que los lados que forman el ángulo recto midan 4 cm y 3 cm respectivamente y
el segundo que los lados que forman el ángulo recto midan 8 cm y 6 cm respectivamente.
Los 3 triángulos: ¿son iguales o semejantes? _____________________
C
A B
1
7.- En cada una de los siguientes dibujos puedes observar que se encuentran 2 triángulos
semejantes. Dibuja con regla cada uno de ellos por separado, dentro de la cuadrícula.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a
una misma situación. Identificación de las que corresponden a una situación de
proporcionalidad.
FUNCIONES
PROBLEMA: Encuentra la distancia recorrida por un automóvil que va a una velocidad
constante (80 km/h) durante un tiempo x. Representa este problema en una tabla, con
una gráfica y con su expresión algebraica.
Con una tabla lo podemos representar
de la siguiente manera.
TIEMPO
x
DISTANCIA
y
1 80
2 160
3 240
4 320
Distancia
y = (80)(4) = 320
1 2 3 4 5 6 Horas
x
80
160
240
320
400
y
•
•
•
•
GRÁFICA
7.- En cada una de los siguientes dibujos puedes observar que se encuentran 2 triángulos
semejantes. Dibuja con regla cada uno de ellos por separado, dentro de la cuadrícula.
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a
una misma situación. Identificación de las que corresponden a una situación de
proporcionalidad.
FUNCIONES
PROBLEMA: Encuentra la distancia recorrida por un automóvil que va a una velocidad
constante (80 km/h) durante un tiempo x. Representa este problema en una tabla, con
una gráfica y con su expresión algebraica.
Con una tabla lo podemos representar
de la siguiente manera.
TIEMPO
x
DISTANCIA
y
1 80
2 160
3 240
4 320
Distancia
y = (80)(4) = 320
1 2 3 4 5 6 Horas
x
80
160
240
320
400
y
•
•
•
•
GRÁFICA
1
PROBLEMA: El estacionamiento del aeropuerto cobra $12 por la entrada y $7 por cada
hora adicional. Encuentra el costo de 18 horas adicionales de estacionamiento.
La expresión algebraica que modela el problema es:
y = 7x + 12.50
Si x es igual a 18: y = 7(18) + 12 = 126 + 12 = 138
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Observa cada una de las siguientes tablas incompletas que corresponden a una
función. Completa las tablas, elabora la gráfica y contesta las preguntas.
a).- Cantidad de gasolina que consume un automóvil al recorrer cierta distancia a una
velocidad constante.
Gráfica
LITROS
x
DISTANCIA (km)
y
1 9
2 18
3 27
4
TIEMPO
x
PRECIO
y
0 12
1 18
18 138
La expresión algebraica que modela esta situación es y = 80x
Esta es una función, porque a cada elemento de x le corresponde solo un elemento de y.
En esta función SI hay relación de proporcionalidad. El producto de los medios es igual
producto de los extremos:
2 x 240 = 3 x 160
480 = 480 Es proporción directa.
En esta función NO hay relación de proporcionalidad.
El producto de los medios no es igual al producto de los extremos:
1 x 138 ≠ 18 x 18
138 ≠ 324 138 no es igual que 324
PROBLEMA: El estacionamiento del aeropuerto cobra $12 por la entrada y $7 por cada
hora adicional. Encuentra el costo de 18 horas adicionales de estacionamiento.
La expresión algebraica que modela el problema es:
y = 7x + 12.50
Si x es igual a 18: y = 7(18) + 12 = 126 + 12 = 138
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Observa cada una de las siguientes tablas incompletas que corresponden a una
función. Completa las tablas, elabora la gráfica y contesta las preguntas.
a).- Cantidad de gasolina que consume un automóvil al recorrer cierta distancia a una
velocidad constante.
Gráfica
LITROS
x
DISTANCIA (km)
y
1 9
2 18
3 27
4
TIEMPO
x
PRECIO
y
0 12
1 18
18 138
La expresión algebraica que modela esta situación es y = 80x
Esta es una función, porque a cada elemento de x le corresponde solo un elemento de y.
En esta función SI hay relación de proporcionalidad. El producto de los medios es igual
producto de los extremos:
2 x 240 = 3 x 160
480 = 480 Es proporción directa.
En esta función NO hay relación de proporcionalidad.
El producto de los medios no es igual al producto de los extremos:
1 x 138 ≠ 18 x 18
138 ≠ 324 138 no es igual que 324
1
b).- Cantidad de pelotas con su precio correspondiente.
Gráfica
PELOTAS
x
PRECIO ($)
y
1 50
2 100
3 150
4
c).- Cantidad de dulces con su precio correspondiente.
DULCES
x
PRECIO ($)
y
3 12
4 16
5
6
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Es su expresión algebraica: y = 9x? ______
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Es su expresión algebraica: y = 40x? ______
¿Cuál es su expresión algebraica correcta? _________
Gráfica
b).- Cantidad de pelotas con su precio correspondiente.
Gráfica
PELOTAS
x
PRECIO ($)
y
1 50
2 100
3 150
4
c).- Cantidad de dulces con su precio correspondiente.
DULCES
x
PRECIO ($)
y
3 12
4 16
5
6
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Es su expresión algebraica: y = 9x? ______
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Es su expresión algebraica: y = 40x? ______
¿Cuál es su expresión algebraica correcta? _________
Gráfica
1
d).- Cantidad de días trabajados con su salario correspondiente.
DÍAS 1 15 22 30
SALARIO ($) 2 100
DÍAS
x
SALARIO ($)
y
1
10 1 400
15
30
2.- EL CARRO ELÉCTRICO DE MI HIJO.
Alonso fue con su papá al Parque Legarreta a pasearse en su carro eléctrico. Su papá le
dijo que nada más iba a correr 10 minutos.
En cierto momento Alonso preguntó a su papá que ¿a qué velocidad iba?. Entonces
midieron que en un minuto había recorrido 78 m.
Completa la siguiente tabla considerando que el carro mantiene una velocidad constante.
TIEMPO(t)
Minutos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
DISTANCIA(d)
Metros
¿Qué distancia podrá recorrer el carro de Alonso en media hora? ________________
¿En cuánto tiempo habrá recorrido 1 950 metros? ________________________
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
Gráfica
d).- Cantidad de días trabajados con su salario correspondiente.
DÍAS 1 15 22 30
SALARIO ($) 2 100
DÍAS
x
SALARIO ($)
y
1
10 1 400
15
30
2.- EL CARRO ELÉCTRICO DE MI HIJO.
Alonso fue con su papá al Parque Legarreta a pasearse en su carro eléctrico. Su papá le
dijo que nada más iba a correr 10 minutos.
En cierto momento Alonso preguntó a su papá que ¿a qué velocidad iba?. Entonces
midieron que en un minuto había recorrido 78 m.
Completa la siguiente tabla considerando que el carro mantiene una velocidad constante.
TIEMPO(t)
Minutos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
DISTANCIA(d)
Metros
¿Qué distancia podrá recorrer el carro de Alonso en media hora? ________________
¿En cuánto tiempo habrá recorrido 1 950 metros? ________________________
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
Gráfica
1
¿A qué velocidad debe ir el carro de Alonso para que en un tiempo de 9 minutos recorra
747 metros? _______________________
En este problema vemos que una magnitud depende de otra (función).
La distancia recorrida por el carro depende del ____________.
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
3.- CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS.
La fórmula de la longitud de la circunferencia
se expresa con la función:
C = (¶)(d) Circunferencia es igual a Pi por diámetro.
5
El valor de C depende de r.
15
10 Se considera: ¶ = 3.14
d: diámetro.
r: radio.
C: circunferencia.
Elabora una tabla representando como crecen las circunferencias del tiro al blanco.
RADIO(r)
Centímetros
5 10 15 20 25 30
CIRCUNFERENCIA(C)
Longitud
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
4.- MI VECINO ES VENDEDOR DE COMPUTADORAS.
Una compañía que vende computadoras, les paga a sus empleados $300 diarios de
sueldo fijo y $50 de gratificación por cada computadora que vendan al día.
Completa la siguiente tabla:
¿A qué velocidad debe ir el carro de Alonso para que en un tiempo de 9 minutos recorra
747 metros? _______________________
En este problema vemos que una magnitud depende de otra (función).
La distancia recorrida por el carro depende del ____________.
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
3.- CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS.
La fórmula de la longitud de la circunferencia
se expresa con la función:
C = (¶)(d) Circunferencia es igual a Pi por diámetro.
5
El valor de C depende de r.
15
10 Se considera: ¶ = 3.14
d: diámetro.
r: radio.
C: circunferencia.
Elabora una tabla representando como crecen las circunferencias del tiro al blanco.
RADIO(r)
Centímetros
5 10 15 20 25 30
CIRCUNFERENCIA(C)
Longitud
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
4.- MI VECINO ES VENDEDOR DE COMPUTADORAS.
Una compañía que vende computadoras, les paga a sus empleados $300 diarios de
sueldo fijo y $50 de gratificación por cada computadora que vendan al día.
Completa la siguiente tabla:
1
5.- RENTA DE CARROS.
La compañía “Anguiano Cars” renta autos por lo que cobra $400 por día, más $20 por
kilómetro recorrido. Representa en la siguiente tabla lo que se debe pagar al recorrer 50,
100, 150, 200, 250, 300 kilómetros diariamente.
COMPUTADORAS
VENDIDAS
SUELDO
TOTAL
x y
0
1
2
3
4
5
x y
0
50
100
150
200
250
300
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
5.- RENTA DE CARROS.
La compañía “Anguiano Cars” renta autos por lo que cobra $400 por día, más $20 por
kilómetro recorrido. Representa en la siguiente tabla lo que se debe pagar al recorrer 50,
100, 150, 200, 250, 300 kilómetros diariamente.
COMPUTADORAS
VENDIDAS
SUELDO
TOTAL
x y
0
1
2
3
4
5
x y
0
50
100
150
200
250
300
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
1
6.- LLAMADAS POR TELÉEFONO DE LARGA DISTANCIA NACIONAL.
Una compañía de teléfonos cobra $240 por la renta de teléfono mensual que incluye el
derecho a 100 llamadas. Aparte, cobra $2 por cada una de las llamadas adicionales que
haga durante el mes. Representa el pago que se hace al realizar de de 0 a 7 llamadas
adicionales y la renta durante el mes.
7.- MEDIDA DE LA TEMPERATURA DEL AMBIENTE EN °C Y °F.
LLAMADAS
x
PRECIO
y
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
6.- LLAMADAS POR TELÉEFONO DE LARGA DISTANCIA NACIONAL.
Una compañía de teléfonos cobra $240 por la renta de teléfono mensual que incluye el
derecho a 100 llamadas. Aparte, cobra $2 por cada una de las llamadas adicionales que
haga durante el mes. Representa el pago que se hace al realizar de de 0 a 7 llamadas
adicionales y la renta durante el mes.
7.- MEDIDA DE LA TEMPERATURA DEL AMBIENTE EN °C Y °F.
LLAMADAS
x
PRECIO
y
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
1
Algunas fórmulas en física expresan la relación de una medida con otra. EJEMPLO:
ºF = ºC + 32 o también: ºF = 1.8 (ºC) + 32
Esto significa la relación entre la temperatura en grados Fahrenheit y grados centígrados
Completa la siguiente tabla:
8.- LA CAIDA LIBRE DE UN OBJETO.
La distancia que recorre un objeto con caída libre en determinado tiempo se puede
encontrar con la fórmula y = 4.9 x²
x = tiempo en segundos.
y = distancia en metros.
Encuentra las distancias que faltan en la siguiente tabla.
x 1 2 4 6 10 14 18 20
y 4.9 19.6
°C °F
30 86
20
10
0
-10
-20 -4
-30
9
5
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
Algunas fórmulas en física expresan la relación de una medida con otra. EJEMPLO:
ºF = ºC + 32 o también: ºF = 1.8 (ºC) + 32
Esto significa la relación entre la temperatura en grados Fahrenheit y grados centígrados
Completa la siguiente tabla:
8.- LA CAIDA LIBRE DE UN OBJETO.
La distancia que recorre un objeto con caída libre en determinado tiempo se puede
encontrar con la fórmula y = 4.9 x²
x = tiempo en segundos.
y = distancia en metros.
Encuentra las distancias que faltan en la siguiente tabla.
x 1 2 4 6 10 14 18 20
y 4.9 19.6
°C °F
30 86
20
10
0
-10
-20 -4
-30
9
5
¿Existe en la función una relación de proporcionalidad? ______
¿Cuál es su expresión algebraica? _____________
1
9.- Mi sobrino Daniel tiene ahorrados $100. Cada mes su papá le da cierta cantidad que
los junta con los que ahorra. Analiza la siguiente gráfica que describe el dinero que
guarda Daniel durante varios meses. Contesta las preguntas y completa la tabla.
¿Cuánto dinero tiene en el primer mes? ____________
¿Cuánto dinero tiene en el tercer mes? ____________
¿Cuánto dinero tiene en el quinto mes? ____________
10.- Tengo una bolsa con 100 paletas, de las cuáles, me voy a comer 3 paletas
diariamente. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la cantidad de paletas que
me quedan después de comerme las que me corresponden por varios días? ………..(___)
a) y =100 – 3x b) y =100 – 3 c) y = 100 + 3x d) 100 ÷ 3
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática,
identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y
otras disciplinas.
GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
Para tener una idea más clara sobre las funciones cuadráticas, debemos observar que la
dependencia entre una magnitud y otra se puede dar de diferentes maneras, y que éstas,
pueden representarse con tablas, gráficas o expresiones algebraicas.
Una función de segundo grado es por ejemplo la expresión algebraica: y = x² + 1
600
200
400
800
1000
D
I
N
E
R
O
$
0 1 2 3 4 5
Meses
MESES PESOS
0
1
2
3
4
5
9.- Mi sobrino Daniel tiene ahorrados $100. Cada mes su papá le da cierta cantidad que
los junta con los que ahorra. Analiza la siguiente gráfica que describe el dinero que
guarda Daniel durante varios meses. Contesta las preguntas y completa la tabla.
¿Cuánto dinero tiene en el primer mes? ____________
¿Cuánto dinero tiene en el tercer mes? ____________
¿Cuánto dinero tiene en el quinto mes? ____________
10.- Tengo una bolsa con 100 paletas, de las cuáles, me voy a comer 3 paletas
diariamente. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la cantidad de paletas que
me quedan después de comerme las que me corresponden por varios días? ………..(___)
a) y =100 – 3x b) y =100 – 3 c) y = 100 + 3x d) 100 ÷ 3
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática,
identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y
otras disciplinas.
GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
Para tener una idea más clara sobre las funciones cuadráticas, debemos observar que la
dependencia entre una magnitud y otra se puede dar de diferentes maneras, y que éstas,
pueden representarse con tablas, gráficas o expresiones algebraicas.
Una función de segundo grado es por ejemplo la expresión algebraica: y = x² + 1
600
200
400
800
1000
D
I
N
E
R
O
$
0 1 2 3 4 5
Meses
MESES PESOS
0
1
2
3
4
5
1
El valor de “y” depende del valor que le demos a “x”
Para graficar esta función lo hacemos por medio de la tabulación, es decir, le asignamos
valores a “x”, los que nosotros queramos, para encontrar los valores de “y”.
TABLA TABULACIÓN
x y
3 10
2 5
1 2
0 1
-1
-2
-3
Las coordenadas que resultaron son: (3, 10), (2, 5), (1, 2), (0, 1), (-1, 2), (-2, 5), (-3, 10)
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- LA FORMA DE UNA EXCAVACIÓN.
La siguiente gráfica nos representa la forma que tomó una excavación que se hizo para
reparar una fuga de agua. Completa la gráfica con la línea curva (parábola), contesta las
preguntas y elabora la tabla.
•
•
•
•
•
•
9
y
10
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y
¿Cuáles son los valores de “x”
representados en la gráfica? ___,
___, ___, ___, y ___.
¿Cuáles son los valores de “y”
representados en la gráfica? ___,
___, y ___.
Cuando x vale -2, ¿Cuánto vale y?
______
Encontramos los valores de “y” sustituyendo el valor de “x” en la función.
Para encontrar las coordenadas de la gráfica.
Si “x” vale 3
y = x² + 1
y = 3² + 1
y = 9 + 1
y = 10
Si “x” vale 2
y = x² + 1
y = 2² + 1
y = 4 + 1
y = 5
Si “x” vale 1
y = x² + 1
y = 1² + 1
y = 1 + 1
y = 2
Si “x” vale 0
y = x² + 1
y = 0² + 1
y = 0 + 1
y = 1
Si “x” vale -1
y = x² + 1
y = -1² + 1
y = 1 + 1
y = 2
Si “x” vale -2
y = x² + 1
y = -2² + 1
y = 4 + 1
y = 5
Si “x” vale -3
y = x² + 1
y = -3² + 1
y = 9 + 1
y = 10
-3² = (-3) (-3) = +9
x
•
-1
GRÁFICA
Une los puntos
localizados en el
plano para que
completes la
gráfica con la
PARÁBOLA
que resulta.
xy
-23
-1
0
1
2
El valor de “y” depende del valor que le demos a “x”
Para graficar esta función lo hacemos por medio de la tabulación, es decir, le asignamos
valores a “x”, los que nosotros queramos, para encontrar los valores de “y”.
TABLA TABULACIÓN
x y
3 10
2 5
1 2
0 1
-1
-2
-3
Las coordenadas que resultaron son: (3, 10), (2, 5), (1, 2), (0, 1), (-1, 2), (-2, 5), (-3, 10)
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- LA FORMA DE UNA EXCAVACIÓN.
La siguiente gráfica nos representa la forma que tomó una excavación que se hizo para
reparar una fuga de agua. Completa la gráfica con la línea curva (parábola), contesta las
preguntas y elabora la tabla.
•
•
•
•
•
•
9
y
10
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y
¿Cuáles son los valores de “x”
representados en la gráfica? ___,
___, ___, ___, y ___.
¿Cuáles son los valores de “y”
representados en la gráfica? ___,
___, y ___.
Cuando x vale -2, ¿Cuánto vale y?
______
Encontramos los valores de “y” sustituyendo el valor de “x” en la función.
Para encontrar las coordenadas de la gráfica.
Si “x” vale 3
y = x² + 1
y = 3² + 1
y = 9 + 1
y = 10
Si “x” vale 2
y = x² + 1
y = 2² + 1
y = 4 + 1
y = 5
Si “x” vale 1
y = x² + 1
y = 1² + 1
y = 1 + 1
y = 2
Si “x” vale 0
y = x² + 1
y = 0² + 1
y = 0 + 1
y = 1
Si “x” vale -1
y = x² + 1
y = -1² + 1
y = 1 + 1
y = 2
Si “x” vale -2
y = x² + 1
y = -2² + 1
y = 4 + 1
y = 5
Si “x” vale -3
y = x² + 1
y = -3² + 1
y = 9 + 1
y = 10
-3² = (-3) (-3) = +9
x
•
-1
GRÁFICA
Une los puntos
localizados en el
plano para que
completes la
gráfica con la
PARÁBOLA
que resulta.
xy
-23
-1
0
1
2
1
2.- Completa con la parábola la siguiente gráfica, en la que están localizados los puntos
en el plano cartesiano y elabora la tabla correspondiente.
3.- LA GRÁFICA QUE REPRESENTA A UNA MACETA.
Completa la tabla con los valores asignados a la variable “x” en la función cuadrática
representada por la expresión algebraica: y = x² + 1 y traza la gráfica que corresponde.
y = x² + 1
x
Imagina que resulta el
dibujo de una maceta. Tú
dibújale las flores.
¿Qué clase de línea es la de la gráfica? __________________
¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta función?y = x² ó y = x
•
•
•
•
•
•
9
y
10
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
•
-1
TABLA
x y
(-3, 10)
2.- Completa con la parábola la siguiente gráfica, en la que están localizados los puntos
en el plano cartesiano y elabora la tabla correspondiente.
3.- LA GRÁFICA QUE REPRESENTA A UNA MACETA.
Completa la tabla con los valores asignados a la variable “x” en la función cuadrática
representada por la expresión algebraica: y = x² + 1 y traza la gráfica que corresponde.
y = x² + 1
x
Imagina que resulta el
dibujo de una maceta. Tú
dibújale las flores.
¿Qué clase de línea es la de la gráfica? __________________
¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta función?y = x² ó y = x
•
•
•
•
•
•
9
y
10
8
7
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
•
-1
TABLA
x y
(-3, 10)
1
Pares
4.- LA PARÁBOLA DEL COLUMPIO.
Con los valores asignados a la variable x, completa la tabla y traza la gráfica que
corresponde a la curva que toma la cuerda de un columpio.
y = x² + 2
Pares
x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
x y
3
2
1
0
-1
-2 6
-3
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
PARES
Pares
4.- LA PARÁBOLA DEL COLUMPIO.
Con los valores asignados a la variable x, completa la tabla y traza la gráfica que
corresponde a la curva que toma la cuerda de un columpio.
y = x² + 2
Pares
x y
-3
-2
-1
0
1
2
3
x y
3
2
1
0
-1
-2 6
-3
y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
PARES
1
y = (-2)² + 2
y = 4 + 2
y = 6
5.- LA GRÁFICA DE UNA CUERDA PARA BRINCAR AL LAZO.
Completa la tabla y construye la gráfica de la función cuadrática.
y = (x – 1)²
y = (-2 -1)²
y = (-3)²
y = 9
x y
4
3
2
1
0
-1
-2 9
x
y
(-2, 6)
x
y = (-2)² + 2
y = 4 + 2
y = 6
5.- LA GRÁFICA DE UNA CUERDA PARA BRINCAR AL LAZO.
Completa la tabla y construye la gráfica de la función cuadrática.
y = (x – 1)²
y = (-2 -1)²
y = (-3)²
y = 9
x y
4
3
2
1
0
-1
-2 9
x
y
(-2, 6)
x
1
6.- Elabora la tabla con los siguientes valores y construye la gráfica de la función
cuadrática definida por la siguiente expresión algebraica.
y = x² - 1
y = x² - 1
y = (-3)² - 1
y = 9 - 1
y = 8
¿Qué objeto puede tener la forma de la parábola de
la gráfica? ___________________________
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de
eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
PROBABILIDAD
La probabilidad se usa para indicar la posibilidad que existe de que ocurra un resultado.
Para calcular una probabilidad, se necesita determinar el número de casos favorables y
el espacio muestra (S). El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles
de un evento.
Probabilidad =
PROBLEMA: Si Mario compró 4 boletos para la rifa de un teléfono celular en la que se
vendieron 200 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que se gane el celular?
En este caso, 4 son los casos favorables, o sea, el número de boletos que compra Iván.
x y
-3 8
-2
-1
0
1
2
3
y
x
Casos favorables
Espacio muestra (S)
6.- Elabora la tabla con los siguientes valores y construye la gráfica de la función
cuadrática definida por la siguiente expresión algebraica.
y = x² - 1
y = x² - 1
y = (-3)² - 1
y = 9 - 1
y = 8
¿Qué objeto puede tener la forma de la parábola de
la gráfica? ___________________________
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de
eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
PROBABILIDAD
La probabilidad se usa para indicar la posibilidad que existe de que ocurra un resultado.
Para calcular una probabilidad, se necesita determinar el número de casos favorables y
el espacio muestra (S). El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles
de un evento.
Probabilidad =
PROBLEMA: Si Mario compró 4 boletos para la rifa de un teléfono celular en la que se
vendieron 200 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que se gane el celular?
En este caso, 4 son los casos favorables, o sea, el número de boletos que compra Iván.
x y
-3 8
-2
-1
0
1
2
3
y
x
Casos favorables
Espacio muestra (S)
1
El espacio muestral es 200, o sea, el total de boletos de la rifa.
Por lo tanto, la probabilidad de que Iván gane el teléfono es ó
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Determina el espacio muestral de los siguientes eventos.
EVENTO ESPACIO MUESTRA (S)
Lanzar al aire una moneda para saber qué cae…
Lanzar un dado para ver qué número cae…
Hacer 175 boletos para la rifa de un teléfono celular…
Meter en una urna 5 canicas rojas, 10 verdes y 18 azules…
2.- Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga el 4?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número menor que 5?
3.- Se va a rifar una computadora con 30 boletos numerados del 1 al 30:
¿Cuál es la probabilidad de que gane Mario si compró 3 boletos?
¿Cuál es la probabilidad de que gane un número par?
¿Cuál es la probabilidad de que gane uno de los 7 números iniciales?
LA ESCALA DE LA PROBABILIDAD
LENGUAJE DEL AZAR: Es común que en algunas noticias se utilicen frases tales como
es imposible, es posible o es seguro. Es seguro que si lanzo una moneda caerá águila o
sello; Es imposible que Luis gane la rifa del teléfono si no compró boleto.
ESCALA DE PROBABILIDAD: Si consideramos una escala de 0 a 1 representada en
una recta numérica, las expresiones “es imposible” y “es seguro” las ubicaríamos en dicha
escala de la siguiente manera:
Se puede observar que los eventos imposibles tienen probabilidad 0 y los eventos
seguros tienen probabilidad 1.
En esta escala podemos asignar valores entre 0 y 1 a las probabilidades de otros eventos.
Ejemplo: EXPERIMENTO ALEATORIO: Lanzar una moneda para ver qué es lo que cae.
1
50
4
200
1
Es seguroEs imposible
0
El espacio muestral es 200, o sea, el total de boletos de la rifa.
Por lo tanto, la probabilidad de que Iván gane el teléfono es ó
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Determina el espacio muestral de los siguientes eventos.
EVENTO ESPACIO MUESTRA (S)
Lanzar al aire una moneda para saber qué cae…
Lanzar un dado para ver qué número cae…
Hacer 175 boletos para la rifa de un teléfono celular…
Meter en una urna 5 canicas rojas, 10 verdes y 18 azules…
2.- Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga el 4?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número menor que 5?
3.- Se va a rifar una computadora con 30 boletos numerados del 1 al 30:
¿Cuál es la probabilidad de que gane Mario si compró 3 boletos?
¿Cuál es la probabilidad de que gane un número par?
¿Cuál es la probabilidad de que gane uno de los 7 números iniciales?
LA ESCALA DE LA PROBABILIDAD
LENGUAJE DEL AZAR: Es común que en algunas noticias se utilicen frases tales como
es imposible, es posible o es seguro. Es seguro que si lanzo una moneda caerá águila o
sello; Es imposible que Luis gane la rifa del teléfono si no compró boleto.
ESCALA DE PROBABILIDAD: Si consideramos una escala de 0 a 1 representada en
una recta numérica, las expresiones “es imposible” y “es seguro” las ubicaríamos en dicha
escala de la siguiente manera:
Se puede observar que los eventos imposibles tienen probabilidad 0 y los eventos
seguros tienen probabilidad 1.
En esta escala podemos asignar valores entre 0 y 1 a las probabilidades de otros eventos.
Ejemplo: EXPERIMENTO ALEATORIO: Lanzar una moneda para ver qué es lo que cae.
1
50
4
200
1
Es seguroEs imposible
0
1
¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello?
¿Qué valor le corresponde en la escala de probabilidad?
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Ana Paula y Ximena están jugando al lanzar un dado. La primera que lo lanza es
Ximena.
¿Cuál es la probabilidad que tiene de que le caiga el 5?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente escala?
La siguiente que lo lanza es Ana Paula.
¿Cuál es la probabilidad que tiene de que le caiga el 2 o el 4?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente escala?
2.- En mi salón de clases el profesor de historia nos integró en equipos para hacer una
investigación, sobre las causas de la guerra de independencia de México. Los equipos
están integrados por 3 hombres y 2 mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de la clase sea hombre?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente recta?
3.- En un equipo de 3 mujeres y 2 hombres se van a regalar 3 dulces y 1 chocolate que se
encuentran ocultos dentro de una caja. La primera que saca al azar su regalo es Sara.
¿Cuál es la probabilidad que tiene de que le toque un dulce?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente recta?
Probabilidad que caiga sello
1
Hay igual probabilidad que caiga sello como que no caiga
1
2
1
2
Posibles resultados
0
Casos favorables
¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello?
¿Qué valor le corresponde en la escala de probabilidad?
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Ana Paula y Ximena están jugando al lanzar un dado. La primera que lo lanza es
Ximena.
¿Cuál es la probabilidad que tiene de que le caiga el 5?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente escala?
La siguiente que lo lanza es Ana Paula.
¿Cuál es la probabilidad que tiene de que le caiga el 2 o el 4?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente escala?
2.- En mi salón de clases el profesor de historia nos integró en equipos para hacer una
investigación, sobre las causas de la guerra de independencia de México. Los equipos
están integrados por 3 hombres y 2 mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar de la clase sea hombre?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente recta?
3.- En un equipo de 3 mujeres y 2 hombres se van a regalar 3 dulces y 1 chocolate que se
encuentran ocultos dentro de una caja. La primera que saca al azar su regalo es Sara.
¿Cuál es la probabilidad que tiene de que le toque un dulce?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la siguiente recta?
Probabilidad que caiga sello
1
Hay igual probabilidad que caiga sello como que no caiga
1
2
1
2
Posibles resultados
0
Casos favorables
1
4.- Mario y Jesús están jugando a lanzar dos monedas. Mario gana si las dos monedas
caen águila y Jesús gana si las dos monedas le caen sello.
¿Cuál de las siguientes rectas es la que representa la probabilidad de que gane Jesús?
a) b)
c) d)
5.- Relaciona las dos columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que conteste
correctamente, según la escala de la probabilidad que representa a cada
experimento.
(___) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a azara)
una letra de la palabra Dios, esta sea la D?
(___) Una rifa con los números del 1 al 10. ¿Cuál es lab)
probabilidad de que gane un número menor que 4?
(___) En una urna hay 2 bolas blancas y 3 negras.c)
¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una
bola roja?
(___) Tengo 3 tarjetas. Una con la cifra 3, otra cond)
el 2 y la tercera con el 9. Si la acomodo al azar,
¿cuál es la probabilidad de que forme el 239?
(___) Tengo 2 tarjetas. Una con la cifra 7 y otra cone)
el 4. Si la acomodo al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que forme el 47?
EVENTOS DE AZAR COMPLEMENTARIOS
En probabilidad, el espacio muestra (S) corresponde al conjunto universal, o sea, al total
de datos posibles de un evento de azar.
Si jugamos a lanzar un dado, es espacio muestra es 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
A: La probabilidad de que caiga el 3 es
B: La probabilidad de que no caiga el 3 es
Los eventos A y B son complementarios, porque al unir los casos favorables de cada uno
de los eventos da como resultado el espacio muestra.
A = { 3 }(1)
B = { 1, 2, 4, 5, 6 }(5)A unido con B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }1 + 5 = 6 elementos
Total de casos favorables
Datos posibles
0
1
4
1
2
10
10
3
4
10
1
3
10
1
4
10
3
10
1
0
1
6
10
10
1
6
5
6
Total de casos favorables
Datos posibles
Casos favorables: 3
Casos favorables:
1, 2, 4, 5, 6.
4.- Mario y Jesús están jugando a lanzar dos monedas. Mario gana si las dos monedas
caen águila y Jesús gana si las dos monedas le caen sello.
¿Cuál de las siguientes rectas es la que representa la probabilidad de que gane Jesús?
a) b)
c) d)
5.- Relaciona las dos columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que conteste
correctamente, según la escala de la probabilidad que representa a cada
experimento.
(___) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir a azara)
una letra de la palabra Dios, esta sea la D?
(___) Una rifa con los números del 1 al 10. ¿Cuál es lab)
probabilidad de que gane un número menor que 4?
(___) En una urna hay 2 bolas blancas y 3 negras.c)
¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar una
bola roja?
(___) Tengo 3 tarjetas. Una con la cifra 3, otra cond)
el 2 y la tercera con el 9. Si la acomodo al azar,
¿cuál es la probabilidad de que forme el 239?
(___) Tengo 2 tarjetas. Una con la cifra 7 y otra cone)
el 4. Si la acomodo al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que forme el 47?
EVENTOS DE AZAR COMPLEMENTARIOS
En probabilidad, el espacio muestra (S) corresponde al conjunto universal, o sea, al total
de datos posibles de un evento de azar.
Si jugamos a lanzar un dado, es espacio muestra es 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
A: La probabilidad de que caiga el 3 es
B: La probabilidad de que no caiga el 3 es
Los eventos A y B son complementarios, porque al unir los casos favorables de cada uno
de los eventos da como resultado el espacio muestra.
A = { 3 }(1)
B = { 1, 2, 4, 5, 6 }(5)A unido con B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }1 + 5 = 6 elementos
Total de casos favorables
Datos posibles
0
1
4
1
2
10
10
3
4
10
1
3
10
1
4
10
3
10
1
0
1
6
10
10
1
6
5
6
Total de casos favorables
Datos posibles
Casos favorables: 3
Casos favorables:
1, 2, 4, 5, 6.
1
El complemento de un evento A es el conjunto de todos los elementos del espacio
muestra que no son elementos del evento A. B es complemento de A.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Considera el experimento de azar de lanzar al aire una moneda y contesta lo siguiente:
¿Cuáles son los elementos del espacio muestral? (__________, __________)
A: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar la moneda caiga águila?
B: ¿Cuál es la probabilidad de que no caiga águila?
¿Cuál es la unión de los casos favorables de los dos eventos? (________, ________) = S
2.- Considera el experimento de azar de lanzar un dado y contesta lo siguiente:
¿Cuáles son los elementos del espacio muestral? (__, __, __, __, __, __)
A: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado caigan 3 ó 4?
B: ¿Cuál es la probabilidad de que no caigan 3 ó 4?
¿Cuál es la unión de los casos favorables de los dos eventos? (______________) = S
2.- Considera el experimento de meter en una urna los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
¿Cuáles son los elementos del espacio muestral? (______________________)
A: ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar un número sea mayor que 6?
B: ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar un número no sea mayor que 6?
¿Cuál es la unión de los casos favorables de los dos eventos? (_________________) = S
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Los eventos mutuamente exclusivos son aquellos experimentos de azar que no pueden
ocurrir simultáneamente. EJEMPLO:
Experimento: Lanzar dos dados al mismo tiempo.
Evento A: El número total de puntos mostrados en los dados es 7.
Evento B: El número total de puntos mostrados en los dados es 4.
Los elementos del evento A son: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (6, 1), (5, 2) y (4, 3).
Los elementos del evento B son: (1, 3), (3, 1) y (2, 2).
Al relacionar el evento A con el evento B, vemos que no pueden ocurrir simultáneamente.
Ninguno de los elementos del evento A pertenece al evento B y viceversa.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Para el experimento de lanzar dos dados considera los siguientes eventos:
El complemento de un evento A es el conjunto de todos los elementos del espacio
muestra que no son elementos del evento A. B es complemento de A.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Considera el experimento de azar de lanzar al aire una moneda y contesta lo siguiente:
¿Cuáles son los elementos del espacio muestral? (__________, __________)
A: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar la moneda caiga águila?
B: ¿Cuál es la probabilidad de que no caiga águila?
¿Cuál es la unión de los casos favorables de los dos eventos? (________, ________) = S
2.- Considera el experimento de azar de lanzar un dado y contesta lo siguiente:
¿Cuáles son los elementos del espacio muestral? (__, __, __, __, __, __)
A: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado caigan 3 ó 4?
B: ¿Cuál es la probabilidad de que no caigan 3 ó 4?
¿Cuál es la unión de los casos favorables de los dos eventos? (______________) = S
2.- Considera el experimento de meter en una urna los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
¿Cuáles son los elementos del espacio muestral? (______________________)
A: ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar un número sea mayor que 6?
B: ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar un número no sea mayor que 6?
¿Cuál es la unión de los casos favorables de los dos eventos? (_________________) = S
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Los eventos mutuamente exclusivos son aquellos experimentos de azar que no pueden
ocurrir simultáneamente. EJEMPLO:
Experimento: Lanzar dos dados al mismo tiempo.
Evento A: El número total de puntos mostrados en los dados es 7.
Evento B: El número total de puntos mostrados en los dados es 4.
Los elementos del evento A son: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (6, 1), (5, 2) y (4, 3).
Los elementos del evento B son: (1, 3), (3, 1) y (2, 2).
Al relacionar el evento A con el evento B, vemos que no pueden ocurrir simultáneamente.
Ninguno de los elementos del evento A pertenece al evento B y viceversa.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Para el experimento de lanzar dos dados considera los siguientes eventos:
1
P =
Evento B: El número total de puntos mostrados en los dados es 5.
Evento C: El número total de puntos mostrados en los dados es 6.
¿Cuáles son los elementos del evento B? _____________________________________
¿Cuáles son los elementos del evento C? _____________________________________
¿Alguno de los elementos de B pertenece a C? _____
¿Son eventos mutuamente exclusivos? _____
2.- Para el experimento de lanzar dos dados considera los siguientes eventos:
Evento E: El número total de puntos mostrados en los dados es 9.
Evento F: El número total de puntos mostrados en los dados es 11.
¿Cuáles son los elementos del evento E? _____________________________________
¿Cuáles son los elementos del evento F? _____________________________________
¿Son eventos mutuamente exclusivos? _____ ¿Por qué? _________________________
________________________________________________________________________
2.- Para el experimento de lanzar dos dados considera los siguientes eventos:
Evento R: El número total de puntos mostrados en los dados es 7.
Evento S: Por lo menos uno de los dados muestra tres puntos.
¿Cuáles son los elementos del evento R? _____________________________________
¿Cuáles son los elementos del evento S? _____________________________________
¿Son eventos mutuamente exclusivos? _____ ¿Por qué? _________________________
EVENTOS DE AZAR INDEPENDIENTES
Un evento de azar es independiente, cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia
de otro.
PROBLEMA: Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos independientes.
a) Lanzar varios volados para ver si cae águila o sello.
Evento A: En el primer volado cae águila.
Evento B: En el segundo volado águila.
La probabilidad de que caiga águila siempre será .
Este es un evento independiente porque lo que ocurre en el primer volado, no afecta en lo
que ocurra en el segundo volado. Siempre habrá la misma probabilidad.
Cantidad de águilas en una moneda
1
2
1
2
P =
Evento B: El número total de puntos mostrados en los dados es 5.
Evento C: El número total de puntos mostrados en los dados es 6.
¿Cuáles son los elementos del evento B? _____________________________________
¿Cuáles son los elementos del evento C? _____________________________________
¿Alguno de los elementos de B pertenece a C? _____
¿Son eventos mutuamente exclusivos? _____
2.- Para el experimento de lanzar dos dados considera los siguientes eventos:
Evento E: El número total de puntos mostrados en los dados es 9.
Evento F: El número total de puntos mostrados en los dados es 11.
¿Cuáles son los elementos del evento E? _____________________________________
¿Cuáles son los elementos del evento F? _____________________________________
¿Son eventos mutuamente exclusivos? _____ ¿Por qué? _________________________
________________________________________________________________________
2.- Para el experimento de lanzar dos dados considera los siguientes eventos:
Evento R: El número total de puntos mostrados en los dados es 7.
Evento S: Por lo menos uno de los dados muestra tres puntos.
¿Cuáles son los elementos del evento R? _____________________________________
¿Cuáles son los elementos del evento S? _____________________________________
¿Son eventos mutuamente exclusivos? _____ ¿Por qué? _________________________
EVENTOS DE AZAR INDEPENDIENTES
Un evento de azar es independiente, cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia
de otro.
PROBLEMA: Encuentra la probabilidad de los siguientes eventos independientes.
a) Lanzar varios volados para ver si cae águila o sello.
Evento A: En el primer volado cae águila.
Evento B: En el segundo volado águila.
La probabilidad de que caiga águila siempre será .
Este es un evento independiente porque lo que ocurre en el primer volado, no afecta en lo
que ocurra en el segundo volado. Siempre habrá la misma probabilidad.
Cantidad de águilas en una moneda
1
2
1
2
1
Cantidad de caras de una moneda
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- A continuación se enuncian varios problemas en donde se presenta la idea de
independencia. Contéstalos y destaca porque son eventos independientes.
PROBLEMA 1.- El papá de Mario tiene diferentes clases de dados hechos con distinto
material. Si lanza cuatro veces uno de los dados y en todas ha caído el 3.
¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto lanzamiento vuelva a caer 3?
Si se lanza otro dado diferente:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga 3?
¿Siempre será la misma probabilidad? _____ ¿Es un evento independiente?______
PROBLEMA 2.- Amada y María están
participando en una rifa para la cual se
vendieron 200 boletos. Amada compró los
boletos con los números 95, 96, 97, 98, 99 y
100.
María tiene los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
¿Cuál es la probabilidad de ganar de María?
¿Y la de Amada?
¿Tienen la misma probabilidad? ______
¿Es un evento independiente? ______
PROBLEMA 3.- En una urna hay 2 bolas
blancas y 3 bolas negras.
¿Cuál es la probabilidad de que Iván saque
al azar una bola blanca?
¿Cuál es la probabilidad de que Mario saque
al azar una bola blanca sin haber regresado
la bola que sacó Iván?
¿Es un evento independiente? ______
PROBLEMA 5.- El profesor de matemáticas les
ofrece a sus alumnos 1 punto en la calificación,
si al sacar al azar 1 de 5 pelotas, ésta es de
color rojo. Hay 3 pelotas rojas y 2 pelotas
azules.
El profesor de español ofrece a sus alumnos
también un punto si al sacar al azar 1 de 5
canicas, ésta es de color rojo. Son 3 canicas
rojas y 2 canicas azules.
¿Cuál es la probabilidad de ganarse un
punto con el profesor de español?
¿En estos dos casos existe la misma
probabilidad? ______
¿Cuál maestro hace el mejor ofrecimiento?
_______________________________
¿Es un evento independiente? _______
PROBLEMA 4.- Iván lanza sus dos dados que
están hechos de hueso. Rosa lanza sus dos
dados que los hizo de cartulina.
Haz una lista de todos los posibles resultados
de Rosa:
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
¿Son iguales los posibles resultados los de Iván
que los de Rosa?_____
Si en un dado sale 1 punto y en el otro 4, la
suma de todos los puntos es 5.
Escribe los posibles resultados en que la suma
es 5?
____________________________________
¿Cuál es la probabilidad de que el resultado
de Iván o de Rosa, la suma sea 5?
¿Es un evento independiente? ______
Cantidad de caras de una moneda
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- A continuación se enuncian varios problemas en donde se presenta la idea de
independencia. Contéstalos y destaca porque son eventos independientes.
PROBLEMA 1.- El papá de Mario tiene diferentes clases de dados hechos con distinto
material. Si lanza cuatro veces uno de los dados y en todas ha caído el 3.
¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto lanzamiento vuelva a caer 3?
Si se lanza otro dado diferente:
¿Cuál es la probabilidad de que caiga 3?
¿Siempre será la misma probabilidad? _____ ¿Es un evento independiente?______
PROBLEMA 2.- Amada y María están
participando en una rifa para la cual se
vendieron 200 boletos. Amada compró los
boletos con los números 95, 96, 97, 98, 99 y
100.
María tiene los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
¿Cuál es la probabilidad de ganar de María?
¿Y la de Amada?
¿Tienen la misma probabilidad? ______
¿Es un evento independiente? ______
PROBLEMA 3.- En una urna hay 2 bolas
blancas y 3 bolas negras.
¿Cuál es la probabilidad de que Iván saque
al azar una bola blanca?
¿Cuál es la probabilidad de que Mario saque
al azar una bola blanca sin haber regresado
la bola que sacó Iván?
¿Es un evento independiente? ______
PROBLEMA 5.- El profesor de matemáticas les
ofrece a sus alumnos 1 punto en la calificación,
si al sacar al azar 1 de 5 pelotas, ésta es de
color rojo. Hay 3 pelotas rojas y 2 pelotas
azules.
El profesor de español ofrece a sus alumnos
también un punto si al sacar al azar 1 de 5
canicas, ésta es de color rojo. Son 3 canicas
rojas y 2 canicas azules.
¿Cuál es la probabilidad de ganarse un
punto con el profesor de español?
¿En estos dos casos existe la misma
probabilidad? ______
¿Cuál maestro hace el mejor ofrecimiento?
_______________________________
¿Es un evento independiente? _______
PROBLEMA 4.- Iván lanza sus dos dados que
están hechos de hueso. Rosa lanza sus dos
dados que los hizo de cartulina.
Haz una lista de todos los posibles resultados
de Rosa:
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
____________________________________
¿Son iguales los posibles resultados los de Iván
que los de Rosa?_____
Si en un dado sale 1 punto y en el otro 4, la
suma de todos los puntos es 5.
Escribe los posibles resultados en que la suma
es 5?
____________________________________
¿Cuál es la probabilidad de que el resultado
de Iván o de Rosa, la suma sea 5?
¿Es un evento independiente? ______
1
ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTO
1.- Considera los conocimientos anteriores y haz lo que se te indica enseguida en relación
con los experimentos de azar que se mencionan.
EXPERIMENTO 1: Se vendieron 20 boletos a diferentes personas para participar en la
rifa de un teléfono celular, un anillo y un reloj respectivamente.
El primer número que se saca, así como el segundo y el tercero son los números
ganadores. Los dos primeros números que se sacan ya no se vuelven a depositar en la
urna.
Evento 1: ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada persona de ganar el primer premio?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la escala?
PROBLEMA 6.- En el salón de Gloria hay 25
estudiantes. 13 son mujeres y 12 hombres. Los
hombres son más altos que las mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar del
salón a una mujer?
¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar
a una mujer, sin haber entrado la que salió?
¿Es un evento independiente? ______
PROBLEMA 7.- Si lanzo una moneda de 5
pesos y enseguida lanzo una moneda de 10
pesos.
¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello
con la moneda de 5 pesos?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello
con la moneda de 10 pesos?
¿Es un evento independiente? _______
ACTIVIDADES DE AFIANZAMIENTO
1.- Considera los conocimientos anteriores y haz lo que se te indica enseguida en relación
con los experimentos de azar que se mencionan.
EXPERIMENTO 1: Se vendieron 20 boletos a diferentes personas para participar en la
rifa de un teléfono celular, un anillo y un reloj respectivamente.
El primer número que se saca, así como el segundo y el tercero son los números
ganadores. Los dos primeros números que se sacan ya no se vuelven a depositar en la
urna.
Evento 1: ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada persona de ganar el primer premio?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la escala?
PROBLEMA 6.- En el salón de Gloria hay 25
estudiantes. 13 son mujeres y 12 hombres. Los
hombres son más altos que las mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de sacar al azar del
salón a una mujer?
¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar
a una mujer, sin haber entrado la que salió?
¿Es un evento independiente? ______
PROBLEMA 7.- Si lanzo una moneda de 5
pesos y enseguida lanzo una moneda de 10
pesos.
¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello
con la moneda de 5 pesos?
¿Cuál es la probabilidad de que caiga sello
con la moneda de 10 pesos?
¿Es un evento independiente? _______
1
Evento 2: ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada persona de no ganar el primer premio?
Al reunir los casos favorables del evento 1 y el evento 2 nos da como resultado el espacio
muestra, por esa razón decimos que estos dos eventos son _______________________
Evento 3: ¿Cuál es la probabilidad que tienen las personas restantes de ganar el segundo
premio?
Evento 4: ¿Cuál es la probabilidad de ganar el tercer premio?
Evento 5: ¿Cuál es la probabilidad que tienen las personas restantes de no ganar el
tercer premio?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la escala?
¿Son exclusivos el evento 4 y el evento 5? ______ ¿Por qué? ___________
________________________________________________________________________
EXPERIMENTO 2: En una baraja hay 52 cartas de las cuales 4 son ases.
Si se saca al azar una carta, ¿cuál es la probabilidad que hay de que sea un as?
Si se saca al azar una carta, ¿cuál es la probabilidad que hay de que no sea un as?
Si después de sacar 12 cartas no ha salido un as, se saca nuevamente otra carta, ¿cuál
es la probabilidad que hay de que salga ahora si un as?
¿Son exclusivos estos tres eventos? ______
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población de estudio.
Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
GRÁFICAS POLIGONALES, DE BARRAS Y CIRCULARES
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Los alumnos de mi grupo vamos a realizar una rifa con el fin de obtener recursos para
hacer un viaje cuando terminemos la secundaria. Para tener éxito en la rifa
encuestaremos al azar a varios alumnos de otros grupos, sobre la preferencia que tienen
entre una bicicleta, un reloj, una calculadora o una pulsera.
a)Representa con rayas verticales tantas veces como prefieran los alumnos
encuestados cada uno de los objetos. EJEMPLO: Frecuencia 5:
Evento 2: ¿Cuál es la probabilidad que tiene cada persona de no ganar el primer premio?
Al reunir los casos favorables del evento 1 y el evento 2 nos da como resultado el espacio
muestra, por esa razón decimos que estos dos eventos son _______________________
Evento 3: ¿Cuál es la probabilidad que tienen las personas restantes de ganar el segundo
premio?
Evento 4: ¿Cuál es la probabilidad de ganar el tercer premio?
Evento 5: ¿Cuál es la probabilidad que tienen las personas restantes de no ganar el
tercer premio?
¿Cómo se representa esta probabilidad en la escala?
¿Son exclusivos el evento 4 y el evento 5? ______ ¿Por qué? ___________
________________________________________________________________________
EXPERIMENTO 2: En una baraja hay 52 cartas de las cuales 4 son ases.
Si se saca al azar una carta, ¿cuál es la probabilidad que hay de que sea un as?
Si se saca al azar una carta, ¿cuál es la probabilidad que hay de que no sea un as?
Si después de sacar 12 cartas no ha salido un as, se saca nuevamente otra carta, ¿cuál
es la probabilidad que hay de que salga ahora si un as?
¿Son exclusivos estos tres eventos? ______
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS
• Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población de estudio.
Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra
y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.
GRÁFICAS POLIGONALES, DE BARRAS Y CIRCULARES
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Los alumnos de mi grupo vamos a realizar una rifa con el fin de obtener recursos para
hacer un viaje cuando terminemos la secundaria. Para tener éxito en la rifa
encuestaremos al azar a varios alumnos de otros grupos, sobre la preferencia que tienen
entre una bicicleta, un reloj, una calculadora o una pulsera.
a)Representa con rayas verticales tantas veces como prefieran los alumnos
encuestados cada uno de los objetos. EJEMPLO: Frecuencia 5:
1
Bicicleta ___________________________ Reloj ________________________
Calculadora ___________________________ Pulsera ________________________
b)Representa con números la información anterior en la siguiente tabla y elabora la
gráfica poligonal.
2.- El viaje que haremos cuando termine el ciclo escolar, será a un lugar de la República
Mexicana. Para que la mayoría de nosotros vayamos con gusto, nuestra tutora va a
aplicar una encuesta para conocer nuestra preferencia sobre los siguientes lugares.
Representa con una raya la preferencia de cada uno de los alumnos del grupo.
Sierra Tarahumara _____________________
Mazatlán _____________________________
Guadalajara __________________________
Distrito Federal _______________________
a)Representen la información anterior en la tabla, en la gráfica poligonal y en la
gráfica de barras.
Objeto Frecuencia
Bicicleta
Reloj
Calculadora
Pulsera
Total
LUGAR FRECUENCIA
Sierra Tarahumara
Mazatlán
Guadalajara
Distrito Federal
Total
¿Qué pasará si en esta encuesta hacemos lo
siguiente?:
• Falsear los datos:
• Encuestar solo a tres personas:
• Encuestar a personas mayores fuera de la
escuela:
La frecuencia es el
número de veces que se
repite un caso.
Bicicleta ___________________________ Reloj ________________________
Calculadora ___________________________ Pulsera ________________________
b)Representa con números la información anterior en la siguiente tabla y elabora la
gráfica poligonal.
2.- El viaje que haremos cuando termine el ciclo escolar, será a un lugar de la República
Mexicana. Para que la mayoría de nosotros vayamos con gusto, nuestra tutora va a
aplicar una encuesta para conocer nuestra preferencia sobre los siguientes lugares.
Representa con una raya la preferencia de cada uno de los alumnos del grupo.
Sierra Tarahumara _____________________
Mazatlán _____________________________
Guadalajara __________________________
Distrito Federal _______________________
a)Representen la información anterior en la tabla, en la gráfica poligonal y en la
gráfica de barras.
Objeto Frecuencia
Bicicleta
Reloj
Calculadora
Pulsera
Total
LUGAR FRECUENCIA
Sierra Tarahumara
Mazatlán
Guadalajara
Distrito Federal
Total
¿Qué pasará si en esta encuesta hacemos lo
siguiente?:
• Falsear los datos:
• Encuestar solo a tres personas:
• Encuestar a personas mayores fuera de la
escuela:
La frecuencia es el
número de veces que se
repite un caso.
1
GRÁFICA POLIGONAL
GRÁFICA DE BARRAS
GRÁFICA POLIGONAL
GRÁFICA DE BARRAS
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