INTEGRALES DOBLES FERIA (DIAPOSITIVAS).pptx

integrales dobles

1. INTEGRALES DOBLES ESTUDIANTES: ALVAREZ CANAVIRI ANA ARIAS CAROLINA CONDE VARGAS ANDREA GOMEZ CHOQUE ALLISON

2. HISTORIA Y DESARROLLO Las integrales dobles, derivadas del cálculo infinitesimal desarrollado en los siglos XVII y XVIII, permiten calcular volúmenes bajo superficies en dos dimensiones. A lo largo del siglo XIX, matemáticos como Cauchy y Weierstrass formalizaron su uso en el cálculo de varias variables. En el siglo XX, la teoría se expandió con contribuciones como la de Henri Lebesgue . Las integrales dobles tienen aplicaciones en física, ingeniería y economía para resolver problemas relacionados con volúmenes, flujos y modelos matemáticos.

3. CONCEPTO Y DEFINICIÓN  

4. PROPIRDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES  

7. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Tabla del grafico  

8. TIPOS DE REGIONES GENERALES: REGIONES GENERALES I    

9. REGIONES GENERALES II    

10. CALCULO DE INTEGRALES DOBLES

11. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 1. INTEGRAL DOBLE EN UN RECTÁNGULO Función de dos variables El rectángulo puede describirse en términos de dos intervalos cerrados que representan a sus lados a lo largo de los ejes e , respectivamente. Esto es,   Supongamos que en , de manera que su gráfica es una superficie en que está arriba del rectángulo . Así como en una variable, se comenzó el estudio de integrales aproximando el área bajo la curva y = F(x) de una función en el intervalo en dos variables aproximaremos el volumen bajo la superficie de una función en el rectángulo .  

12. Tomemos un punto “de muestra” cualquiera, que llamaremos en cada sub rectángulo y aproximemos la parte del sólido que está arriba de con un paralelepípedo (o “columna”) de base y altura . ¿Qué volumen tiene esta “columna”? ¿Sabemos calcularlo? El volumen de cada columna está dado por . Si realizamos este procedimiento de aproximación para los n m sub rectángulos y sumamos los volúmenes de todas las “columnas”, obtendremos una aproximación del volumen total del sólido : Esta suma se llama suma doble de Riemann EJERCICIO Estimar el volumen del sólido que se encuentra arriba del rectángulo la aproximación al volumen del sólido es .  

13. En este ejemplo, si tenemos en cuenta la simetría de la función, para todo , observamos que el volumen del sólido sobre es 2 veces el volumen del sólido sobre Podríamos haber trabajado entonces sobre el rectángulo más pequeño y luego hacer Utilice este resultado y aproxime el volumen pedido, calculando la suma de Riemann para sobre con 4 sub rectángulos. Compare con la aproximación obtenida previamente. En general, cuando sobre , podemos expresar el volumen del sólido que se encuentra bajo la gráfica de y arriba del rectángulo como: Esta expresión induce la siguiente definición de integral doble de una función de dos variables sobre un rectángulo: Definición: La integral doble de una función de dos variables , sobre el rectángulo es Si este límite existe…  

14. 1.1. TEOREMA (PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES). En matemáticas, específicamente en cálculo multivariable, una integral múltiple es un tipo de integral definida de una función de varias variables, por ejemplo, o . Integrales de funciones de dos variables sobre una región en son llamadas integrales dobles. Mismas que se calculaban incluso antes de que la noción de integral fuera normalizada, desde la antigüedad, por dos personas como Arquímedes y Eudoxo , pero tuvieron que inventar un nuevo argumento para cada integral en particular.   Arquímedes de Siracusa nació en Siracusa (Sicilia ), 287 a. C.-Siracusa (Sicilia), 212 a. C Eudoxo De Cnido nació en Cnido, actual Turquía, c. 390 a. C.-c. 337 a. C .)

15. Supongamos que las funciones y son integrales rectangulares son sub regiones de , y supongamos que y son números reales. La suma y es integrable y Si es una constante, entonces es integrable y Si los valores de y exceptuando una superposición en los límites, entonces Si por en , entonces.  

16. Si los valores de , entonces . En caso de que se pueda factorizar como un producto de función de solamente y una función de solamente, entonces sobre la región , la integral doble se puede escribir como  

17. 2. INTEGRALES DOBLES INTERADAS Supongamos que es una función continua de dos variables, definida en el rectángulo Pensemos ahora en la siguiente integral . ¿Qué significa? Esta notación quiere decir que la variable queda fija mientras se integra con respecto a , desde hasta . Observemos que nos da una expresión que depende de . Si ahora integramos ésta con respecto a , desde hasta , obtenemos: Esta expresión se conoce como integral iterada (iterar significa repetir, volver a hacer un proceso: en este caso la iteración consiste en integrar una vez y luego volver a integrar otra vez más). En general, la escribiremos: donde queda indicado que primero integramos con respecto a , desde hasta , y luego con respecto a , desde hasta .  

18. EJERCICIO Evaluar las siguientes integrales iteradas: a) ; b) Primero hacemos , o sea que la variable queda fija mientras se integra con respecto a , desde hasta Ahora integramos esta expresión con respecto a , desde hasta :  

19. En este caso, primero hacemos Notemos que en el ejemplo previo, se obtuvo la misma respuesta cuando integramos primero con respecto a , que cuando integramos primero con respecto a .  

20. 2.1. TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES DOBLES. – Guido Fubini (Venecia, 19 de enero de 1879-Nueva York, 6 de junio de 1943) fue un matemático y profesor universitario italiano conocido por el Teorema de Fubini y la métrica de Fubini- Study . Es el principal método para calcular integrales de funciones de varias variables, también llamadas integrales múltiples, que consiste en reducir el problema al cálculo de sucesivas integrales simples, obteniendo las que llamamos integrales iteradas Si es una función continua en el rectángulo , entonces.  

21. EJERCICIO Calcular Si primero integramos con respecto a , obtenemos  

22. 3. EVOLUCIÓN SOBRE REGIONES RECTANGULARES. – Comenzamos considerando el espacio sobre una región rectangular  Consideremos una función  de dos variables definidas en el rectángulo cerrado  : Aquí   denota el producto cartesiano de los dos intervalos cerrados   Se compone de pares rectangulares  de manera que  . El gráfico de representa una superficie por encima del plano xy con ecuación   donde   es la altura de la superficie en el punto  Supongamos que  es el sólido que está por encima de   y por debajo del gráfico de . La base del sólido es el rectángulo  en el plano  . Queremos calcular el volumen  del sólido .  

23. Figura El gráfico de  sobre el rectángulo   en el plano   es una superficie curva . Dividimos la región R en pequeños rectángulos R, cada uno de ellos con área   y con lados  . Para ello, dividimos el intervalo   en mm subintervalos y dividimos el intervalo   en n subintervalos. Por lo tanto,   

24. Comprender las integrales dobles sobre regiones rectangulares. - Una  integral  doble te da el volumen bajo una superficie dentro de una región rectangular en el plano . Importancia de las integrales dobles en el cálculo. - Las integrales dobles desempeñan un papel fundamental en el Cálculo y son fundamentales en campos como la física, la ingeniería y la economía.  

25. 3.1 TEOREMA DE FUBINI SOBRE REGIONES RECTANGULARES. Supongamos que   es una función de dos variables que es continua sobre una región rectangular    De forma más general, el  teorema de Fubini  es cierto si   está delimitada en   y 𝑓 es discontinua solo en un número finito de curvas continuas. En otras palabras, 𝑓 tiene que ser integrable sobre    Figura  (a) Integrando primero con respecto a 𝑦 y luego con respecto a 𝑥 para calcular el área (𝑥) y luego el volumen  V ; (b) integrando primero con respecto a 𝑥 y luego con respecto a 𝑦 para calcular el área (𝑦) y luego el volumen  V .

26. Utilizar el teorema de Fubini Utilice el teorema de Fubini para calcular la integral doble  donde Y 0,2] La integración doble de este ejemplo es lo suficientemente sencilla como para utilizar directamente el teorema de Fubini, lo que nos permite convertir una integral doble en una integral iterada. En consecuencia, ahora estamos preparados para convertir todas las integrales dobles en integrales iteradas y demostrar cómo las propiedades enumeradas anteriormente pueden ayudarnos a evaluar integrales dobles cuando la función   es más compleja. Observe que el orden de integración puede cambiarse.  

27. 4. EVOLUCIÓN SOBRE REGIONES GENERALES . En esta sección consideramos integrales dobles de funciones definidas sobre una región limitada general   en el plano. La mayor parte de los resultados anteriores también son válidos en esta situación, pero hay que ampliar algunas técnicas para cubrir este caso más general. Regiones generales de integración. - Un ejemplo de región limitada general   en un plano se muestra en la. Dado que   está acotada en el plano, debe existir una región rectangular RR en el mismo plano que encierra la región D, D, es decir, una región rectangular R existe tal que D es un subconjunto de    Figura Para una región D que es un subconjunto de R, podemos definir una función   para igualar  en cada punto en D y 0 en cada punto de R no en D.  

28. Supongamos que   se define en una región limitada general plana  D  como en la. Para desarrollar las integrales dobles de f en D, ampliamos la definición de la función para incluir todos los puntos de la región rectangular R y, a continuación, utilizamos los conceptos y herramientas de la sección anterior. Pero ¿cómo ampliamos la definición de   para incluir todos los puntos de R Lo hacemos definiendo una nueva función   sobre R de la siguiente forma: 4.1 TEOREMA DE FUBINI PARA REGIONES GENERALES Para una función  que es continua en una región   del Tipo I, tenemos Del mismo modo, para una función  que es continua en una región 𝐷 del Tipo II, tenemos  

29. INTEGRALES DOBLES APLICANDO EN LA ECONOMIA Definición : Una integral doble es un concepto matemático utilizado para calcular el volumen bajo una superficie en un espacio bidimensional, ampliando los principios del cálculo integral simple permite acumular valores sobre un área bidimensional, lo que la convierte en una herramienta fundamental en campos como la física, la ingeniería y la economía. Comprender las integrales dobles puede mejorar profundamente las habilidades analíticas, ofreciendo una perspectiva más amplia en la resolución de problemas complejos que implican áreas y volúmenes.

30. FORMULA DEL VALOR PROMEDIO El valor promedio de la función f(x,y) sobre la región rectangular R está dado por la fórmula :

31. INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS Definición : En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además, una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración .

32. El dominio D no es acotado. Esto da lugar a las llamadas integrales impropias de primera especie. Por ejemplo: Donde La función integrando 1/ ((x2 + y2)5 + 1) está acotada y es continua en D, pero D no está contenido en ningún rectángulo, porque no es acotado, ya que D es todo el primer cuadrante del plano x, y.

33. INTEGRALES IMPROPIAS CONVERGENTES Y NO CONVERGENTES Si no es posible evaluar una integral impropia en forma directa, se puede determinar la convergencia Sea D un conjunto no vacío de R2, y sea f (x, y) una función real definida en D. INTEGRALES IMPROPIAS CONVERGENTE Es convergente, e igual al número real L si existe alguna y para toda sucesión {Dn} básica de conjuntos de integración de f en D se cumple:

34. INTEGRALES IMPROPIAS NO CONVERGENTE No convergente de segunda especie, con integrando no positivo. Probar que no es convergente la siguiente integral impropia: El límite de las integrales en ellos no existe, o existe y no es finito, entonces por definición la integral impropia no es convergente.

35. CONVERGENCIA ABSOLUTA Notamos que la propiedad anterior es falsa para integrales impropias de funciones de una variable. Para estas ´ultimas, la convergencia en valor absoluto es suficiente pero no necesaria para la convergencia sin el valor absoluto. Sin embargo, para integrales impropias dobles, triples, y múltiples en general (con q ≥ 2 variables), la convergencia absoluta es equivalente (es decir necesario y suficiente) para la convergencia sin el valor absoluto.

36. INTEGRAL IMPROPIA CON LÍMITE DE INTEGRACIÓN NO FINITO La integral es impropia en cualquiera de los tres casos siguientes, y se indica el modo de calcularla. Si al calcular estas integrales impropias el resultado es finito, se afirma que la integral es convergente; en caso contrario, la integral es divergente

37. INTEGRAL IMPROPIA CON INTEGRANDO NO CONTINUO La integral es impropia en cualquiera de los tres casos siguientes, y se indica el modo de calcularla Si al calcular estas integrales impropias el resultado es finito, se afirma que la integral es convergente; de lo contrario, la integral es divergente.