Intersección de funciones

1. INTERSECCIÓN DE FUNCIONES Araceli Arjona Muñoz

2. INTERSECCIÓN DE FUNCIONES INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS y= m 1 x+n 1 y= m 2 x+n 2 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLAS y= mx+n y= ax 2 +bx+c y= a 1 x+b 1 +c 1 y= a 2 x+b 2 +c 2

3. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS La intersección de dos rectas la podemos calcular gráfica y analíticamente: GRÁFICAMENTE: Representamos la recta correspondiente a la 1ª ecuación Representamos la recta correspondiente a la 2ª ecuación La solución es el punto de corte de ambas rectas (que puede tener o no) ANALÍTICAMENTE: Resolvemos el sistema de ecuaciones por uno de los siguientes métodos: Sustitución Igualación Reducción b) La solución es el par de valores ( x,y ) que verifica las dos ecuaciones del sistema

4. GRÁFICAMENTE Nos podemos encontrar 3 casos: Rectas que se cortan en un punto Rectas coincidentes Rectas paralelas La solución es el punto (4,2) Tiene infinitas soluciones No tiene solución

5. ANALÍTICAMENTE Podemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos: MÉTODO DE SUSTITUCIÓN En la ecuación más sencilla se despeja la incógnita más fácil de despejar Se sustituye su valor en la otra ecuación Se resuelve la ecuación resultante El valor obtenido se sustituye en la ecuación donde estaba despejada la 1ª incógnita EJEMPLO y=8-2x 5x-4(8-2x)=7 5x-32+8x=7 c) 13x=39 x=3 d) x=3 en y=8-2x y=8-2·3 y=8-6 y=2 2x+y=8 5x-4y=7 Solución: x=3, y=2

6. ANALÍTICAMENTE Podemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos: MÉTODO DE IGUALACIÓN Se despeja la misma incógnita, la que resulte más fácil, en las dos ecuaciones Se igualan los valores obtenidos Se resuelve la ecuación resultante El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla donde estaba despejada la otra incógnita EJEMPLO y=5-3x y=4x-9 5-3x=4x-9 -7x=-14 c) 7x=14 x=2 d) x=2 en y=5-3x y=5-3·2 y=5-6 y=-1 3x+y=5 -4x+y=-9 Solución: x=2, y=-1

7. ANALÍTICAMENTE Podemos resolver el sistema de ecuaciones por cualquiera de los 3 métodos: MÉTODO DE REDUCCIÓN Mediante multiplicaciones apropiadas se obtiene un sistema equivalente con los coeficientes de una misma incógnita opuestos Se suman las dos ecuaciones Se resuelve la ecuación resultante El valor obtenido se sustituye en la ecuación más sencilla y se halla el valor de la otra incógnita EJEMPLO 7x-6y=-11 ·(-1) 10x+6y=28 ·(2) 17x=17 c) x=1 d) x=1 en 5x+3y=14 5·1+3y=14 5+3y=14 3y=9 y=3 -7x+6y=11 5x+3y=14 Solución: x=1, y=3

8. EJEMPLOS Intersección de dos rectas que se cortan en un punto y=2x-1 -2x-2y=-1 Resolvemos por el método de sustitución: a) y=2x-1 b)-2x-2(2x-1)=-1 -2x-4x+2=-1 c)-6x=-3 x=1/2 d) x=1/2 en y=2x-1 y=2·(1/2)-1 y=1-1 y=0 Solución: Se cortan en el punto (1/2,0)

9. EJEMPLOS Intersección de dos rectas coincidentes y=x+2 2y=2x+4 Resolvemos por el método de igualación: y=x+2 y=2x/2+4/2 y=x+2 x+2=x+2 0=0 Esto se verifica para todo valor de x, luego tiene infinitas soluciones Solución: Se cortan en infinitos puntos

10. EJEMPLOS Intersección de dos rectas paralelas y=x+2 y=x+1 Resolvemos por el método de reducción: y=x+2 ·(-1) y=x+1 -y=-x-2 y=x+1 Sumamos y nos queda: 0=0-1 0=-1 Lo que es imposible, luego este sistema no tiene solución Solución: No se cortan en ningún punto

11. INTERSECCIÓN DE DOS PARÁBOLAS La intersección de dos parábolas la podemos calcular gráfica y analíticamente: GRÁFICAMENTE: Representamos la parábola correspondiente a la 1ª ecuación Representamos la parábola correspondiente a la 2ª ecuación La solución son los puntos de corte de ambas parábolas, que pueden ser 2, 1 o ninguno ANALÍTICAMENTE: Resolvemos el sistema de ecuaciones b) La solución serán los pares (x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par ( x,y ) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan

12. GRÁFICAMENTE Nos podemos encontrar 3 casos: Parábolas que se cortan en dos puntos Parábolas que se cortan en un punto Parábolas que no se cortan Tiene dos soluciones: (1,3) y (-1,3) Tiene una solución (0,0) No tiene solución

13. ANALÍTICAMENTE Para resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos: Despejar la variable y en ambas ecuaciones Aplicar el método de reducción (multiplicas la primera ecuación por (-1) y le sumas la segunda), de esta manera se te van las “y” y te queda una ecuación de 2º grado. Hallas las soluciones x1 y x2 de la ecuación de 2º grado. Sustituyes los valores de x1 y x2 en la ecuación inicial que sea más fácil y obtienes dos valores de “y”, y1 e y2. EJEMPLO a) y=x 2 -3x+2 y=2x 2 -3x+1 b) –y=-x 2 +3x-2 y=2x 2 -3x+1 Las sumamos y tenemos: 0=x 2 -1 c) x 2 =1 x1=1, x2=-1 d) x1=1 en y=x 2 -3x+2 Luego y1=1 2 -3·1+2=0 x2=-1 en y=x 2 -3x+2 Luego y2= (-1) 2 -3·(-1)+2=6 Tenemos las soluciones (1,0) y (-1,6)

14. INTERSECCIÓN DE RECTA Y PARÁBOLA La intersección de recta y parábola la podemos calcular gráfica y analíticamente: GRÁFICAMENTE: Representamos la parábola correspondiente a la 1ª ecuación Representamos la recta correspondiente a la 2ª ecuación La solución son los puntos de corte de ambas funciones, que pueden ser 2, 1 o ninguno ANALÍTICAMENTE: Resolvemos el sistema de ecuaciones b) La solución serán los pares (x1,y1) y (x2,y2) si se cortan en dos puntos, el par ( x,y ) si se cortan en un punto y no tendrá solución si no se cortan

15. GRÁFICAMENTE Nos podemos encontrar 3 casos: S e cortan en dos puntos: SECANTES Se cortan en un punto: TANGENTES No se cortan: EXTERIORES Tiene dos soluciones Tiene una solución No tiene solución

16. ANALÍTICAMENTE Para resolver este sistema debes hacer los siguientes pasos: Despejar la variable y en ambas ecuaciones Aplicar el método de reducción (multiplicas la primera ecuación por (-1) y le sumas la segunda), de esta manera se te van las “y” y te queda una ecuación de 2º grado. Hallas las soluciones x1 y x2 de la ecuación de 2º grado. Sustituyes los valores de x1 y x2 en la ecuación inicial que sea más fácil y obtienes dos valores de “y”, y1 e y2. EJEMPLO a) y=-x+1 y=x 2 +2 x+1 b) – y=x-1 y=x 2 +2x+1 Las sumamos y tenemos: 0=x 2 +3x c) x 2 +3x=0 x(x+3)=0 x1=0 y x2=-3 d) x1=0 en y =-x+1 Luego y1 =-0+1=1 x2=-3 en y =-x+1 Luego y2=-(-3)+1=4 Tenemos las soluciones (0,1) y (-3,4)

17. Por tu tiempo…