Intervalos, semirrectas, entornos y valor absoluto

1. Intervalo abierto y cerrado
D e f i n i c i ón d e i n t e r v a l o
Se l lam a i n t e r v a l o a l con j u n t o d e n ú me r os r e a l e s c o m p r e n d id o s
e n t r e o tr o s d o s d ad o s : a y b q u e s e l lam an e x t r e m os d e l i n t e r v a l o.
I n t e r v a l o a b i e r t o
I n t e r v a l o a b i e r t o, ( a , b ), e s e l c on j u n t o d e t od os l o s n ú me r os
r e a l e s ma y or e s q u e a y me n or e s q u e b.
( a , b ) = { x / a < x < b }

I n t e r v a l o c e r r a d o
I n t e r v a l o c e r r a d o, [a, b], e s e l c on j u n t o d e t od o s l os n ú me r os
r e a l e s ma y or e s o i g u a l e s q u e a y me n or e s o i g u a l e s q u e b.
[ a , b ] = { x / a ≤ x ≤ b }

I n t e r v a l o s e m i a b i e r t o p o r l a i z q u i e r d a
I n t e r v a l o s e mi a b i e r t o p or l a i z q u i e r d a, ( a , b ], e s e l c on j u n t o
d e t od o s l os n ú me r os r e a l e s ma y or e s q u e a y me n or e s o i g u a l e s q u e
b.
( a , b ] = { x / a < x ≤ b }

2. I n t e r v a l o s e m i a b i e r t o p o r l a d e r e c h a
I n t e r v a l o s e mi a b i e r t o p or l a d e r e c h a, [ a , b ), e s e l c on j u n t o d e
t od os l os n ú me r os r e a l e s ma y or e s o i g u a l e s q u e a y me n or e s q u e b.
[ a , b ) = { x / a ≤ x < b }

C u an d o q u e r e m o s n o m b r ar u n c o n j u n to d e p u n to s fo r m ad o p o r d o s o
m ás d e e s to s in t e r v a lo s , s e u t i l iz a e l s ig n o (u n i ón) e n tr e e llo s .
Semirrectas
L as s e m i r r e c t a s e s t án d e te r m in ad as p o r u n n ú m e r o . E n u n a
s e mi r r e c t a s e e n c u e n tr an to d o s lo s n ú m e r o s m ay o r e s ( o m e n o r e s ) q u e
é l.
x > a
( a , + ∞) = { x / a < x < + ∞}

x ≥ a
[ a , + ∞) = { x / a ≤ x < + ∞}

x < a
(-∞, a ) = { x / -∞ < x < a }

3. x ≤ a
(-∞, a ] = { x / -∞ < x ≤ a }

Entornos
D e f i n i c i ón d e e n t or n o
Se l l am a e n t or n o d e c e n t r o a y r a d i o r, y s e d e n o ta p o r Er(a) o
E( a , r ), a l i n t e r v a l o a b i e r t o ( a-r , a + r ) .
Er( a ) = ( a-r , a + r )

L o s e n t or n os s e e x p r e s a n c o n ay u d a d e l va l or a b s ol u t o.
Er( 0 ) = (-r , r ) s e e x p r e s a t am b ié n | x | < 0, o b ie n , -r < x < r.
Er( a ) = ( a-r , a + r ) s e e x p r e s a t am b ié n |x-a | < 0, o b i e n , a -r < x <
a + r.
En t or n os l a t e r a l e s
Po r l a iz q u ie r d a
Er(a
-
) = ( a-r , a )

Po r l a d e r e c h a
Er(a
+
) = ( a , a + r )

4. En t or n o r e d u c i d o
Se e m p le a c u an d o s e q u ie r e s ab e r q u é p as a e n las p r o x im id ad e s d e l
p u n to , s in q u e in te r e s e lo q u e o c u r r e e n d ic h o p u n to .
E r
*
( a ) = { x (a-r , a + r ) , x ≠ a }

Valor absoluto de un número real
V a l or a b s o l u t o d e u n n ú m e r o r e a l a, s e e s c r ib e |a|, e s e l mi s m o
n ú me r o a c u a n d o e s p os i t i v o o c e r o, y op u e s t o d e a, s i a e s n e g a t i v o.

| 5 | = 5 |-5 | = 5 | 0 | = 0
| x | = 2 x = − 2 x = 2
| x | < 2 − 2 < x < 2 x ( − 2 , 2 )
| x | > 2 x < 2 ó x > 2 ( − ∞ , 2 ) ( 2 , + ∞)
| x − 2 | < 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Pr o p i ed a d e s d el v al o r ab s o l u t o
1 L o s n ú me r o s op u e s t os t ie n e n i g u a l v a l or a b s o l u t o.
| a | = | − a |
| 5 | = | − 5 | = 5
2E l v a l or a b s ol u t o d e u n p r od u c t o e s ig u a l a l p r od u c t o d e l os
v a l or e s a b s o l u t os d e lo s fac to r e s .
| a · b | = | a | ·| b |

5. | 5 · ( − 2 ) | = | 5 | · | ( − 2 ) | | − 1 0 | = | 5 | · | 2 | 1 0 = 1 0
3E l v a l or a b s ol u t o d e u n a s u ma e s me n o r o i g u a l q u e l a s u m a
d e l o s v a l or e s a b s o l u t o s d e l o s s u ma n d os.
| a + b | ≤ | a | + | b |
| 5 + ( − 2 ) | ≤ | 5 | + | ( − 2 ) | | 3 | = | 5 | + | 2 | 3 ≤ 7
Distancia
L a d i s t a n c i a e n tr e d os n ú me r o s r e a l e s a y b , q u e s e e s c r ib e d ( a ,
b), s e d e fi n e c o m o e l v a l or a b s o l u t o d e l a d i f e r e n c i a d e a mb os
n ú me r o s:
d ( a , b ) = | b − a |
L a d i s t a n c i a e n t r e − 5 y 4 e s :
d ( − 5 , 4 ) = | 4 − ( − 5 ) | = | 4 + 5 | = | 9 |