Introduccion a la notacion de matrices

datos básicos de la notación de matrices

1. Universidad técnica de Ambato DÉCIMO «B» Facultad de ingeniería civil y mecánica ALUMNA: PAMELA HERRERA computación aplicada

2. Introducción a la Notación de matrices

3. Los métodos matriciales son una herramienta necesaria utilizada en el método de elementos finitos para los propósitos de simplificación de la formulación de las ecuaciones de rigidez.

4. El propósito es dar solución a los ejercicios que se efectúan manualmente y, lo más importante, para su uso en la programación del método para ordenadores electrónicos de alta velocidad.

5. La notación matricial representa una notación simple y fácil de usar para escribir y resolver conjuntos de simultánea ecuaciones algebraicas.

6. Matriz .- Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. filas columnas

7. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. elemento

8. El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, etc. B= 4 columnas 2 filas

9. El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por A mxn o ( a ij ), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por a ij . columnas fila

10. RIDIGEZ Es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.

11. COMPRESIÓN TRACCIÓN FLEXIÓN

12. TORSIÓN CORTE

13. Ejemplo: Los componentes de fuerza (F1x ; F1y; F1z; f2x; F2y; F2z;. . . ; Fnx ; Fny ; Fnz ) actúan en los distintos nodos o puntos (1 , 2,. . . ; n) en una estructura y su correspondiente juego de desplazamientos nodales (d1x ; d1y; d1z; d2x; d2y; d2z;. . . ; dnx ; dny ; dnz ) pueden ambos ser expresados como matrices F1x F1y F1z f2x F2y F2z . . FnxFny Fnz F = F = d1x d1yd1z ; d2x d2yd2z . . dnx dnydnz d = d =

14. Las adherencias a la derecha de F y d identifican el nodo y la dirección de la fuerza o desplazamiento, respectivamente. Por ejemplo: F1X denota la fuerza en el nodo 1 aplicado en la dirección x. X Z Y 1 2 3 4 F

15. Las matrices F y d se denominan matrices de columna y tienen un tamaño de n 1. La notación llave se utiliza en todo el texto para indicar una columna matriz. F1x F1y F1z f2x F2y F2z . . FnxFny Fnz F = F = d1x d1yd1z ; d2x d2yd2z . . dnx dnydnz d = d =

16. Todo el conjunto de valores de fuerza o desplazamiento en la matriz columna es representado simplemente por F1x F1y F1z f2x F2y F2z . . FnxFny Fnz F = d1x d1yd1z ; d2x d2yd2z . . dnx dnydnz d = F d

17. Una notación más compacta para representar una formación rectangular es el subrayado de la variable, como F y d denotan matrices generales (posiblemente matrices columna o rectangulares) F1x F1y F1z f2x F2y F2z . . FnxFny Fnz d1x d1yd1z ; d2x d2yd2z . . dnx dnydnz d = F =

18. El caso más general de una matriz rectangular conocida se indica mediante el uso de la notación de corchetes.

19. Para esta instancia la matriz de rigidez de elementos y la matriz de rigidez global de la estructura se representa por matrices cuadradas k11 k12 … k1n k21 k22 … k2n . . … . kn1 kn2 … knn K11 K12 … K1n K21 K22 … K2n . . … . Kn1 Kn2 … Knn k = k = K = K = Coeficiente de influencia de rigidez

20. Coeficientes de influencia de rigidez Un coeficiente de influencia de rigidez para una estructura, kij , se define como la fuerza en un grado de libertad i , resultante de un desplazamiento unitario impuesto en el grado de libertad j , mientras que los desplazamientos de los otros grados de libertad bajo consideración son cero.

21. Suponiendo que a la estructura se le obliga a tener una deformación unitaria en el nudo 1 y en el resto de nudos una deformación =0 se concluye que: d1=1 F1=K11 d2=0 F2=K21 dn =0 Fn =Kn1

22. La primera columna de la matriz de rigidez representa las fuerzas necesarias para producir una deformación unitaria en el nudo 1 sin que se muevan los otros nudos F

23. La Matriz de rigidez global es igual al producto de la fuerza nodal global y el desplazamiento nodal global F = Kd E cuación de rigidez global

24. Ecuación de rigidez global F = Kd Representa un conjunto de ecuaciones simultáneas Es la ecuación básica formulada en el método de la rigidez o el desplazamiento de análisis.

25. F = Kd F1x F1y . Fnz d1x d1y . dnz d = F = K11 K12 … K1n K21 K22 … K2n . . … . Kn1 Kn2 … Knn K =

26. F1x F1y . Fnz d1x d1y . dnz K11 K12 … K1n K21 K22 … K2n . . … . Kn1 Kn2 … Knn = F = Kd

27. Ejemplo de Rigideces

28. La matriz de rigidez, como la matriz de flexibilidad, es una matriz simétrica; esto es kij = kji . Su simetría puede ser probada por medio del teorema de Maxwell - Betti .

29. Matriz simétrica Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada (m=n ) y es igual a su traspuesta ( aij = aji )

30. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal

31. Matriz traspuesta

32. Matriz de rigidez de una viga de celosía

33. EN UN SÓLIDO ELÁSTICO, EL TRABAJO REALIZADO POR UN SISTEMA DE FUERZAS PI AL APLICAR UN SISTEMA DE FUERZAS QJ ES IGUAL AL TRABAJO REALIZADO POR EL SISTEMA QJ AL APLICAR PI La principal consecuencia de este resultado es que los coeficientes de influencia recíprocos son iguales. En efecto, supongamos que tanto Pi= Qj =1. dij = dji Pi Aj Qj Ai

34. Primer Teorema de Castigliano Si se aplica un conjunto de cargas sobre una estructura linealmente elástica y la energía de deformación U se expresa como una función de los desplazamientos en los puntos de aplicación de las cargas y actúa en sus direcciones, la derivada parcial de U con respecto a uno de estos desplazamientos δi es igual a la carga (esfuerzo) correspondiente P . ∂U / ∂ δ i = Pi

35. Segundo Teorema de Castigliano La derivada parcial de la energía de deformación con respecto a una fuerza que actúa en un cuerpo es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en la dirección de dicha fuerza . ∂U / ∂Pi = δ i

36. La matriz de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad La matriz de flexibilidad permite identificar la respuesta dinámica de la estructura

37. Flexibilidad Supongamos que tenemos una estructura donde hemos establecido tres direcciones como las indicadas en la figura, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valor unitario.

38. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria por vez y observaremos los desplazamientos que se producen como consecuencia del estado de carga

39. Los desplazamientos originados en cada dirección los denominaremos flexibilidades y que indicaremos fij , donde i indica la dirección donde se produce y j donde actúa la causa unitaria que lo produce.

40. La flexibilidad fij es el efecto cinemático en i producido por una causa estática unitaria que actúa en j.

41. Basándonos en la anterior definición de flexibilidades y aplicando el principio de superposición , los desplazamientos totales Ui que se producirán cuando actúan cargas

42. Expresado estas ecuaciones en forma matricial tenemos:

43. Hemos encontrado una relación entre las fuerzas que actúan en determinadas direcciones y los desplazamientos que ocurren en las mismas direcciones. Esta relación lineal se establece a través de matriz F, que es independiente de las cargas P y sólo depende de la estructura y de las direcciones elegidas. La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y está integrada por las flexibilidades fij .

44. Bibliografía http://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.html http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpingtcn&tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%EDculo&xref=20070822klpingtcn_172.Kes http:// es.wikipedia.org/wiki/Rigidez http:// es.scribd.com/doc/52024677/89/MATRIZ-DE-FLEXIBILIDAD-DE-UNA-ESTRUCTURA-F http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales Importante http://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/fuerzas/metodo-matricial-de-la-rigidez http://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdf http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4100685/unidad_1/pdf/und1.pdf http://www.ing.unlp.edu.ar/estruc3b/flr.pdf