Introductory Lectures On Automorphic Forms Walter L Baily

Introductory Lectures On Automorphic Forms Walter L Baily
Introductory Lectures On Automorphic Forms Walter L Baily
Introductory Lectures On Automorphic Forms Walter L Baily

1. Introductory Lectures On Automorphic Forms
Walter L Baily download
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-
automorphic-forms-walter-l-baily-51955746
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Introductory Lectures On Equivariant Cohomology Ams204 Loring W Tu
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-equivariant-
cohomology-ams204-loring-w-tu-51956198
Introductory Lectures On Fluctuations Of Levy Processes With
Applications Kyprianou A
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-fluctuations-
of-levy-processes-with-applications-kyprianou-a-2045204
Introductory Lectures On Fluctuations Of Lvy Processes With
Applications Andreas Kyprianou Kyprianou
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-fluctuations-
of-lvy-processes-with-applications-andreas-kyprianou-
kyprianou-23406922
Introductory Lectures On Equivariant Cohomology Ams204 Loring W Tu
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-equivariant-
cohomology-ams204-loring-w-tu-34753100

3. Introductory Lectures On Convex Optimization A Basic Course 1st
Edition Yurii Nesterov Auth
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-convex-
optimization-a-basic-course-1st-edition-yurii-nesterov-auth-4592542
Introductory Lectures On Equivariant Cohomology Loring W Tu
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-equivariant-
cohomology-loring-w-tu-10992378
Introductory Lectures On Siegel Modular Forms 1st Edition Helmut
Klingen
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-siegel-modular-
forms-1st-edition-helmut-klingen-1377122
Introductory Lectures On Higherspin Theories Stefan Fredenhagen
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-higherspin-
theories-stefan-fredenhagen-60548378
Introductory Lectures On Aesthetics Bosanquet Bernardhegel Georg
https://ebookbell.com/product/introductory-lectures-on-aesthetics-
bosanquet-bernardhegel-georg-11832366

5. [NTRODUCTORY LECTURES
ON AUTOMORPHIC FORMS

6. PUBLICATIONS OF THE MATHEMATICAL
SOCIETY OF JAPAN
1. The Construction and Study of Certain Important Algebras. By
Claude Chevalley.
2. Lie Groups and Differential Geometry. By Katsumi Nomizu.
3. Lectures on Ergodic Theory. By Paul R. Halmos.
4. Introduction to the Problem of Minimal Models in the Theory of
Algebraic Surfaces. By Oscar Zariski.
5. Zur Reduktionstheorie Quadratischer Formen. Von Carl Ludwig Siegel.
6. Complex Multiplication of Abelian Varieties and its Applications to
Number Theory. By Goro Shimura and Yutaka Taniyama.
7. Equations Differentielles Ordinaires du Premier Ordre dans le Champ
Complexe. Par Masuo Hukuhara, Tosihusa Kimura et Mme Tizuko
Matuda.
8. Theory of Q-varieties. By Teruhisa Matsusaka.
9. Stability Theory by Liapunov's Second Method. By Taro Yoshizawa.
10. Fonctions Entieres et Transformees de Fourier. Application. Par
Szolem Mandelbrojt.
11. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions.
By Goro Shimura. (Kano Memorial Lectures 1)
12. Introductory Lectures on Automorphic Forms. By Walter L. Baily,
Jr. (Kano Memorial Lectures 2)

7. PUBLICATIONS OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN
12
INTRODUCTORY LECTURES
ON AUTOMORPHIC FORMS
BY
Walter L. Baily, Jr.
ΚΑΝΟ MEMORIAL LECTURES 2
Iwanami Shoten, Publishers
and
Princeton University Press
1973

8. © The Mathematical Society of Japan 1973
LCC: 72-*034
ISBN: 0-691 08123-9
AMS (1971) 32.65
All rights reserved
Kano Memorial Lectures
In 1969, the Mathematical Society of Japan received an anonymous donation
to encourage the publication of lectures in mathematics of distinguished quality
in commemoration of the late Kokichi Kano (1865-1942).
K. KanS was a remarkable scholar who lived through an era when Western
mathematics and philosophy were first introduced to Japan. He began his career
as a scholar by studying mathematics and remained a rationalist for his entire
life, but enormously enlarged the domain of his interest to include philosophy and
history.
In appreciating the sincere intentions of the donor, our Society has decided
to publish a series of "Kano Memorial Lectures" as a part of our Publications.
This is the second volume in the series.
Publications of the Mathematical Society of Japan, volumes I through 10,
should be ordered directly from the Mathematical Society of Japan. Volume 11
and subsequent volumes should be ordered from Princeton University Press,
except in Japan, where they should be ordered from Iwanami Shoten, Publishers.
Co-published for
the Mathematical Society of Japan
by
Iwanami Shoten, Publishers
and
Princeton University Press
Printed in U.S.A.

9. INTRODUCTION
This book is based on lectures that I gave in Tokyo University in
1970 and 1971. Those lectures were given to a group most of whose
members were graduate students, and were based on what seemed to
me to be a reasonable introduction to the subject of automorphic
forms on (domains equivalent to) bounded domains in C", the space
of η complex variables. The content of the lectures was based on the
assumption that the hearer would seek out many of the details of
proofs for himself elsewhere, especially in related areas such as those
of algebraic groups and functional analysis. This book has been
somewhat extended from the content of the lectures themselves by
the addition of more examples and more details of proofs; however,
the basic assumption remains that the interested reader will do the
necessary additional research on background material for himself.
Apart from this, however, it would be difficult to formulate any
principles of precisely how it was decided to include some material
and to exclude other material. It is hoped only that the book as a
whole will serve some useful purpose as a sort of introductory guide
to certain topics.
As for the subject matter itself, it is primarily that of complex
analytic automorphic forms and functions on a (domain equivalent
to a) bounded domain in a finite-dimensional, complex, vector space,
most often denoted by C". In other words, although, for example, we
extensively reproduce certain relevant results of Harish-Chandra in
this area, we do not attempt to go into the general subject of auto­
morphic forms on a semi-simple Lie group. To the extent that our
efforts do extend in this direction, it is mainly to prove certain theo­
rems and lemmas that may be regarded as prerequisites to reading
the first chapter of [26e], where general results are proved on the
finite-dimensionality of spaces of automorphic forms on a semi-
simple Lie group, which includes as a special case the situation we
are interested in. This, in fact, was one of our objectives in this
series of lectures. But our main concern has been with complex
analytic functions. The reason, if one should be given, is that this is
the context that seems most naturally related to algebraic geometry

10. VI INTRODUCTION
and problems of moduli of algebraico-geometric objects, apart from
being the most classically oriented subdivision of the general topic
of automorphic forms. If one is interested in the further number-
theoretic connections of automorphic forms, it would appear essential
to deal with the general situation of automorphic forms on a Lie
group. Incidentally, it may seem (in spite of our alleged emphasis
on complex analytic functions) that a large part of our effort is
devoted to a development of representation theory. This seems quite
natural, however, because of the obviously important role of that
subject in connection with automorphic forms in any context.
We now turn to the discussion of the contents by part, chapter,
and section. Part I deals mainly with the elementary theory of auto­
morphic forms on a bounded domain D with respect to some discrete
subgroup Γ of Hol(Z>), the full group of complex analytic self-trans­
formations of D, with particular attention to the case when the orbit
space is compact. A large part of the general theory here is due to
H. Cartan. The chief result in the case when the orbit space Ό\Γ is
compact is that that space is isomorphic (as a complex analytic space)
to a projective algebraic variety, a fact which is proved in Chapter 5,
section 2. Other than that, the table of contents is largely self-
explanatory. In this section, very little use is made of any rela­
tionship between automorphic forms and harmonic analysis on the
Lie group Hol(D).
By contrast, Part II treats the case of automorphic forms on a
bounded symmetric domain, contains substantial sections devoted to
basic facts from representation theory, and is dedicated very largely
to applications of functional analysis on a Lie group to properties
of automorphic forms. We begin by introducing the necessary
material on algebraic groups. Because so much of this material
is so technical and virtually no proofs are given, it was thought
highly desirable to add a full chapter devoted entirely to examples;
this has been accomplished by the insertion of Chapter 6. Chapter
7 is a sketchy account of the essentials needed from the general
theory of algebraic Lie groups. Here we have included an account
of the description of Harish-Chandra's realization of a bounded
symmetric domain; the Iwasawa decomposition; and some of the
results of Bruhat and Tits in the p-adic case, which provide a p-adic
analog of the Iwasawa decomposition that is useful in the theory of

11. INTRODUCTION VII
Eisenstein series. In Chapter 8, we review, with some proofs, some
of the main results on compact groups : The Peter-Weyl theorem, the
Frobenius reciprocity theorem, (both taken from the account in
Weil's book [60a]), and the derivation of the Weyl character and
dimension formulas (from [54 : Expose 21]). The latter find their
place in the section dealing with the convergence of Fourier series
in Chapter 9. As the title indicates, Chapter 9 is a collection of
results of Harish-Chandra which are needed later, together with the
proofs of those results as given by the same author [26a, b, d]. The
main results we need are those used to prove the convergence of
Poincare series, the boundedness of Poincare series "on the group",
and the convergence of Fourier series, i.e., the expansion of an ele­
ment of a representation space of a compact group in a series of the
components of it obtained by orthogonal projections on the isotypic
subspaces. Chapter 10 is mainly a collection of results from func­
tional analysis, largely due to Godement, part of which, in addition
to results given in Chapters 7 and 9, are prerequisite to reading,
for example, [26e]. We also introduce the language of [52] for
the study of automorphic forms on the domain by the functional
analysis of their counterparts on the group Hol(D); much of this is
due to Godement. Chapter 11 is concerned, finally, with the con­
struction of automorphic forms through infinite series. In addition
to using the results of Chapter 9 to demonstrate the convergence
and boundedness on Hol(D) of Poincare series, we also develop the
convergence criterion of Godement for Eisenstein series. Together
these give the Poincare-Eisenstein series which are used in [3] to
prove that the Satake compactification of D/Γ is a normal, complex
analytic space and, as such, is isomorphic to a projective algebraic
variety. To actually carry out the program of [3] would necessitate
the introduction of reduction theory, the Satake topology, etc., for
which we lack space. For details on these subjects, we refer the
reader to [3; 6d]. We have limited ourselves to sketching an account,
using certain ideas of Pyateckii-Shapiro on Fourier-Jacobi series [46],
of how one may prove the finite-dimensionality of the spaces of auto­
morphic forms. The idea is that one first proves the finite-dimension­
ality of the spaces of cusp forms following the ideas of [52; 26e]. For
this, one proves Satake's lemma on characterization of cusp forms in
relation to Lv spaces. Having the result for cusp forms, the general

12. Vlll INTRODUCTION
result is not difficult to obtain but we supply no further details here,
other than to say that the main idea of the proof follows the lines of
the references cited. However, it departs from the proof of Theorem
1 in [26e] in replacing certain facts about universal enveloping
algebras by those concerning Fourier-Jacobi series. This is partly
because these are somewhat specific to the complex analytic case,
and partly because they have an interest in their own right. We
conclude Chapter 11 with a sketch of the ideas behind the proof
that the Satake compactification of Ώ\Γ is an algebraic variety.
Part III consists of some special topics. Chapter 12 concerns it­
self with the arithmetic properties of the Fourier coefficients of
Eisenstein series which seem independently important, especially
in view of certain developments over recent years including [56d, f;
42; 36; 2i; 35; 58]. Chapter 13 contains a brief and somewhat
incomplete account of certain matters introduced in Chapter 1.
The main topic in Chapter 13 is theta functions and their relation
to Eisenstein series via Siegel's main formula on definite quadratic
forms.
Notation. No special attempt has been made to make notation
uniform throughout this book. Therefore, the same letter may have
•different meanings in different places. The reader is advised to
consult the beginning portions of any section or of any chapter to
discover the local situation. The use of a dot to indicate multiplica­
tion within a group or operation of some mapping or group element
on a space is not uniform. The dot may be used for the sake of
emphasis in specific locations and suppressed in other entirely paral­
lel situations.
Throughout, we use Q, R, C, and Ζ to denote respectively the
fields of rational numbers, real numbers, complex numbers, and the
ring of rational integers. The reader's attention is directed to the
supplementary notational references in the front of the book. Brack­
eted numerals refer to the bibliography.
Chicago, Autumn, 1972
W. L. Baily, Jr.

13. INTRODUCTION ιχ
Acknowledgements
The author wishes most gratefully to acknowledge the help of
Tokyo University in making available the facilities for giving these
lectures; the generous support from the Mathematical Society of
Japan; the assistance of Mr. M. Koike in taking notes of the lectures
that served as a useful reference; the kind advice and encourage­
ment of Prof. S. lyanaga to write these lectures in book form; the
proof-reading of portions of the manuscript by Messrs. M. Karel, M.
Koike, and Prof. R. Narasimhan; and the careful typing of portions
of the manuscript by Mr. F. Flowers.
The author also acknowledges his debt to the many other authors
from whom he has borrowed heavily, but who, of course, cannot be
held responsible for the present author's own oversights. In partic­
ular, the present author has had available to him notes of lectures
given by Prof. A. Borel on the subject of automorphic forms, which
have apparently not yet appeared in published form, and which
served as a useful source of suggestions.
W. L. Baily, Jr.

15. CONTENTS
Introduction ν
Supplementary notational references xv
Parti
Elementary theory of automorphic forms on
a bounded domain
Chapter 1. General notions and examples 3
§ 1. General notions 3
§2. Elliptic modular functions 3
§3. The modular group and elliptic curves 8
Chapter 2. Analytic functions and analytic spaces 10
§ 1. Power series and analytic functions 10
§2. Analytic sets 12
§3. Structure of local analytic sets 15
§4. The normalization theorem 19
§5. The Remmert-Stein theorem 20
§ 6. The quotient of C by a finite linear group 20
Chapter 3. Holomorphic functions and mappings on a bounded
domain 26
§1. Semi-norms and norms 26
§2. Bounded families of holomorphic functions 28
§3. The holomorphic automorphism group of D 29
§4. A uniqueness theorem of H. Cartan 31
Chapter 4. Analysis on domains in C 34
§ 1. Measure theory 34
§2. L"-spaces on a domain 37
§3. The Bergmann kernel function 37
§4. Holomorphic completions 39
§5. Finding an orthonormal basis of Η 41
Chapter 5. Automorphic forms on bounded domains 43

16. xii CONTENTS
§ 1. The quotient of a bounded domain by a discrete
group 43
§2. Automorphic forms and Poincare series 43
Part II
Automorphic forms on a bounded symmetric domain
and analysis on a semi-simple Lie group
Chapter 6. Examples for algebraic groups 53
§ 1. Definitions for algebraic groups and arithmetic sub­
groups 53
§2. Some examples 54
§3. Further examples the orthogonal group 58
§4. Again GL(n) and SL(n) 72
§5. Examples continued the symplectic group 72
§6. An exceptional domain 77
§7. Remarks 81
Chapter 7. Algebraic groups 82
§ 1. Basic definitions and theorems 82
§ 2. Representations and root systems 86
§3. Parabolic subgroups of G 88
§4. The Bruhat decomposition 90
§5. The Cartan and Iwasawa decompositions 91
§6. The p-adic Iwasawa and Cartan decompositions 96
§ 7. Harish-Chandra's realization of bounded symmetric
domains 98
§8. Discrete groups acting on D 101
Chapter 8. Representations of compact groups 102
§ 1. Measure theory and convolution on a locally compact
group 102
§2. Representations on a locally convex space 104
§3. The Peter-Weyl theorem 108
§4. Some applications 112
§5. The Frobenius reciprocity theorem 113
§6. A compact Lie group is algebraic 115
§7. Compact and algebraic Lie groups 117
§8. The Weyl character and dimension formulas 120

17. CONTENTS xiii
Chapter 9. Some work of Harish-Chandra 130
§ 1. The universal enveloping algebra 130
§2. Quasi-semi-simple modules 137
§3. The main result 140
§ 4. Representations of a Lie group on a locally convex,
complete, linear space 149
§5. A lemma giving a lower bound for ωρ 157
§6. Convergence of Fourier series 161
§ 7. Hua's determination of an orthonormal basis of
0\D) 166
Chapter 10. Functional analysis for automorphic forms 169
§ 1. Lemmas on operator algebras 169
§2. Some further results 178
§3. Lp-spaces on G 182
Chapter 11. Construction of automorphic forms 186
§ 1. Poincare series 186
§ 2. Godement's criterion for the convergence of Eisenstein
series 193
§3. Poincare-Eisenstein series 198
§ 4. Boundary components and partial Cayley trans­
forms 200
§5. Fourier-Jacobi series 209
§6. Poincare-Eisenstein series (cont'd) 219
§7. The Satake compactification 221
Part III
Some special topics
Chapter 12. Fourier coefficients of Eisenstein series 225
§1. Generalized gamma integrals 225
§2. Application of the Poisson summation formula 227
§ 3. Fourier coefficients of Eisenstein series 228
§ 4. Euler product expansion of the Fourier coefficients .... 232
§5. Eisenstein series on the adele group 240
Chapter 13. Theta functions and automorphic forms 243
§ 1. The Poisson summation formula 243

18. xiv CONTENTS
§ 2. Quadratic forms and Siegel's main formula (definite
case) 245
Bibliography 253
Index 259

19. Supplementary notational references
Unless another meaning or notation is specified in a limited
context, the following notational conventions are in use :
0 denotes the empty set.
G° denotes the identity component of the topological group G.
Σ' denotes restricted direct sum.
A vertical bar | will denote restriction of the function or map­
ping to the left to the set indicated to the right.
The identity of a group may be denoted by e or, if no confusion
will result, by 1.
The Killing form of a Lie algebra is the bilinear form Β defined
by B(X, Y) = tr(ad X- ad Y).
[x] denotes the largest non-negative integer not greater than x.
In general, e() will denote the exponential function e2""-
If X is a complex manifold, then Hol(X) will denote the group of
all one-to-one biholomorphic mappings of X onto itself.
If X is a symmetric mxm matrix, and Mismx», then X[M] =
'MXM.

21. PART I
ELEMENTARY THEORY OF AUTOMORPHIC
FORMS ON A BOUNDED DOMAIN

23. CHAPTER 1
GENERAL NOTIONS AND EXAMPLES
§ 1. General notions
We begin by introducing the general context in which we shall
consider automorphic forms and functions.
Let D be an open connected domain in the space Cn of η complex
variables. Let G = Hol(D) be the group of all holomorphic one-to-one
transformations of D onto itself, acting on the right. Denote by Γ a
subgroup of G operating in properly discontinuous fashion on D (i.e.,
given two compact subsets A and Β of D, the set ΓΑΒ={τ^Γ\ΑγΓ\Β
Φ0, the empty set} is finite). If g^G, Z<=D, let j(Z, g) denote the de­
terminant of the functional (Jacobian) matrix of g at Z. We have the
"cocycle relation" :
3(Z, 3l£f2) = j(Z, 9l) j(Zgv fif3), ZeD, gvg2<= G.
If d is an integer and / a meromorphic function on D such that
(1) f(Zr)j(Z,rY=f(Z)
for all reT and all ZeD for which both sides are defined, then we
say that / is a meromorphic automorphic form of weight d with
respect to Γ. If d = 0, we call f an automorphic function, while (for
any d) if / is analytic in D, we call / an automorphic form of weight
d. It is clear from (1) that the poles and zeros of /, as well as their
orders, are invariant under Γ. It turns out in many cases that for
d<0, every (analytic) automorphic form is zero.
In the following sections, we describe a classical example intend­
ed to illustrate some of the features and applications of the theory of
automorphic forms.
§ 2. Elliptic modular functions
Let
D={z<=C\z = x + iy, y>0);

24. 4 GENERAL NOTIONS AND EXAMPLES
then G = PSL(2, R)\ i.e., is the quotient of
SL{2,R)--
a b
c d
a, b, c, deR, ad — be = 1
by its center {±id.}. In what follows, we shall in practice denote an
element of G by a pre-image of it in SL(2, R). We take Γ to be the
la b
image of SL(2, Z). An element
fractional transformation1'
c d
az + b
of G acts on D by a linear
cz + d
and the group Γ has a closed fundamental domain F of the well-
known form :
1
F= zeD z|^l, |Rez|g-
that is to say, every orbit of Γ in D meets F, and two distinct points
zl and z2 of F are in the same orbit if and only if they both lie on the
boundary dF of F and are related by z^ = z%±\ or by z1= — l/z2 (or by
both : z^e2^3 and z2 = e"'/3).
In what follows, we shall often use the abbreviated notation
e( ) = e2",().
The condition (1) for a holomorphic function / on D to be an
automorphic form of weight g becomes
(2) /I
az + b
cz + !-)-<·
-dy°f(z)
for integers a, b, c, d such that ad—bc — 1, and zeZ>. In particular,
/(z+l)=/(z). Letting ζ = β(ζ), we may write f(z) = F(Q, where F is a
function holomorphic in 0 < | ζ ] < 1, as is easily verified. Writing down
the Laurent expansion for F, one sees that f has a Fourier expansion
(3) /(«)= Σ ane(wz),
which converges absolutely and uniformly on compact subsets of D.
We say that f has a certain kind of behaviour at co if F has the same
1) In spite of our general agreement of § 1 to let G operate on D on the
right, we find it convenient here and in §3, in order not to conflict with firmly
established traditional notation, to let G operate on the left.

25. ELLIPTIC MODULAR FUNCTIONS 5
kind of behaviour at 0. Then if let be the order
of /at P; in particular As remarked in section is
constant on orbits of positive number be the
contour in D consisting of the line and of
that part of on which Im all described just once in the
counter-clockwise direction. Applying the calculus of residues to the
contour integral
(making suitable indentations in Ax if necessary to avoid zeros of /)
and letting we obtain (assuming
(4)
where and denotes a sum over representatives of
distinct orbits of in D, other than those containing i and m; in
particular an automorphic form of weight g on D holomorphic at
has only finitely many zeros in F.
One way of constructing automorphic forms of weight g which
are not identically zero is by forming the Eisenstein series
(5)
where the sum is over a maximal set of mutually non-associate
pairs of relatively prime integers (c, d). It is easily seen that the
series in (5) converges for all if and in fact converges
absolutely and uniformly on any set of the form ] Re Im B
for any A,B>0; therefore is an automorphic form of weight g
and is regular at Put and let one then sees
that in the Fourier expansion
(6)
we have
A remarkable fact about the numbers is that they are all
rational numbers and, for fixed g, have bounded denominators. In
fact, one may prove, as in [23] for instance, using the partial fraction
expansions for the derivatives of the cotangent and the Fourier ex-

26. 6 GENERAL NOTIONS AND EXAMPLES
pansions for these derivatives in the upper half of the complex plane,
that
(7)
where is the sr-th non-vanishing Bernoulli number and
Hence, for all The properties just recited of the Fourier
coefficients play an important role in the classical analytical for-
mulation of complex multiplication.
Let be the space of automorphic forms of weight g with
respect to r which are regular at Define
Clearly and since On the other hand, it
follows from (7) that
so that and the zero of at is simple. It follows then from
(4) that 3 has no zeros at any (finite) point of D. It also follows from
(4) that any element of or of is a multiple of
or of while M1 must reduce to {0}, and consists of the con-
stants. Now let and let Clearly there exist integers
a, such that 2a+3b = g and we define
Then hence it follows that dim
dim and now by an easy induction that
(8)
where [r] denotes the biggest integer in r. (This derivation of this
formula is to be found in [7].)
Let A be the Cartan matrix of the root system of the simple Lie
algebra (cf. [lib]). Then A is a positive-definite, symmetric, inte-
gral matrix with determinant 1, and its diagonal entries are even.
It is known that the class number h(A) of the genus of quadratic

27. ELLIPTIC MODULAR FUNCTIONS 7
forms containing A is one; i.e., given any other 8x8 positive-definite,
symmetric, integral matrix Β with determinant 1 and even diagonal
entries, there exists a non-singular, unimodular, integral 8x8 matrix
Μ such that 'MAM=B, where 'M denotes the transpose of M. If
x = (xv ···, xs) is an 8-tuple of numbers, let A[x] = *xAx, where χ is to
be viewed as a column vector. Let Ζ denote the rational integers.
If 2 e D, the following series
U*)= Σ e(-LzA[»])
n = (tij, ,.,)621 \ 2 I
converges uniformly on compact subsets of D. Since the diagonal
entries of A are even, θΑ(ζ+1) = θΑ(ζ). Since A is unimodular and
A = AA~1A, A'1 is unimodularly equivalent to A. Using the Poisson
summation formula (to be proved later: see Chapter 13, section 1) one
then sees that 0( — ζ~1) = ζ*θ(ζ). Since T: z^z+1 and S: z-+— z~l gen­
erate Γ, it is now clear that 0eM2. Since dim M2=l, we have 0 = cE2.
Comparing the constant terms in the Fourier expansions one obtains
c = l, so that Θ = ΕΤ Thus one obtains the interesting (classical) result
that for any positive integer, the number vm of ways of representing
2m in the fo.rm 2m=A[ii], n<=Z\ is equal to 240 times the number
theoretic function Σ dl. (If we use A as the metric form on the space
dim
of root vectors for £78, the roots themselves acquire length two.) By
expressing the Fourier coefficients of E2 in another way, one also
obtains (as we shall later in a more general situation Chapter 12)
that vm is the product of the p-adic densities of representations of
2m by A, taken over all primes ρ and oo. Thus one obtains a special
case of Siegel's main formula for definite quadratic forms [56b]. It
is expressed in this case, and characteristically is given, by an iden­
tity between a 0-series whose Fourier coefficients give global average
densities and an Eisenstein series whose Fourier coefficients are Euler
products of local densities.
Another question of importance is to find a common denominator
for the Fourier coefficients of Eg. Since, by (7), Bgan° <= Z, the denomi­
nators are bounded for any fixed g and, in any case, are closely con­
nected with irregular primes [10; 33; 42; 56f]. A similar phenomenon
occurs for G = PSp(n, R), r = PSp(n, Z), D={Z=X+iY\ where Ζ is
nxn, 'Z—Z, Y> 0}, and it may be conjectured that the phenomenon is
rather general (cf. [35] and [58]).

28. 8 GENERAL NOTIONS AND EXAMPLES
3. The modular group and elliptic curves
Let L be a discrete subgroup of the additive group of C such that
T=CjL is compact. Then L is a free Abelian group of rank 2 [60e, p.
37] and is called a lattice in C; we let and be a pair of generators
of L and put If L' is another lattice with generators and
We wish to determine necessary and suf-
ficient conditions for T to be complex-analytically isomorphic to T'.
Suppose a is a complex analytic isomorphism of T' onto T. We
may raise a to a complex analytic mapping a, not identically constant,
of the universal covering Cof onto that of T, namely C itself; so
a is an entire function, maps cosets of L' into cosets of L, and has a
locally non-vanishing derivative; therefore, for any there must
exist such that (first of all, this holds in a neigh-
borhood of some for fixed I, by the discreteness of L, and then for
all z by analytic continuation). It follows that is an entire
function translationally invariant under L', hence is constan
and and since a is one-to-one, we have Conversely,
if is such that we obtain an isomorphism of T onto T.
Thus if and only if there exists a (non-zero) complex number
k such that in terms of this means there should
exist with such that and
Without loss of generality we may
assume Im Im so that ad—6c = 1. Therefore, the isomor-
phism classes of such elliptic curves T=C/L are in a natural one-to-
one correspondence with the points of the orbit space D/T.
We let (semi-direct product) operate on DxC by:
It is readily verified that the discrete subgroup

29. THE MODULAR GROUP AND ELLIPTIC CURVES 9
acts in properly discontinuous fashion on the domain
Let
for an odd prime p. Then, as is well-known and also easily verified
directly, acts freely on and we have a natural mapping
where , and if
is the canonical image of then it is easy to see that is
complex-analytically isomorphic to On the other
hand, it will be verified later (Chapter 5) that \ and
both have structures of complex analytic spaces with respect to
which i is a complex analytic mapping. Thus we have a "nice"
fiber system of elliptic curves in which each isomorphism class of
elliptic curves occurs at least once and at most a finite number
of times. It can be proved [2d] that this fiber system
may be compactified to an algebraic fiber system. This example is
typical of one method of studying the moduli of Abelian varieties in
relation to automorphic forms with respect to certain arithmetic
groups.
Proceeding further one may treat in a similar way the connection
between elliptic modular functions and complex multiplication; how-
ever, this would lead us too far from our main subject of automorphic
forms. For this, the reader is referred to [55] and to other papers
of the same author.
It is hoped the preceding examples will serve to illustrate some
of the themes, parts of which we wish to develop in these notes.

30. CHAPTER 2
ANALYTIC FUNCTIONS AND
ANALYTIC SPACES
1. Power series and analytic functions
By a formal power series over a field (for our purposes usually
the complex numbers C), we mean a formal expression of the form
(1)
where the right side is a convenient abbreviation of the longer ex-
pression on the left and all We may also write it as
(10
where Ht denotes the homogeneous terms of degree I. We also use
the notation: If then
When f is a complete, valued field, then we may speak of convergence.
A convergent power series means a power series that converges for
some positive range of the absolute values of all the variables. The
formal power series or the convergent power series form a ring with
obvious rules for addition and multiplication. The same is true for
power series of the form
(1")
which we call "power series with center at a".
Now let the field and suppose the series (1) converges at
some point Then there exists
M> 0 such that satisfies
we have
and so (1) converges absolutely like a multiple geometric series, and
uniformly so in the region Also, the partial
derivatives of (1) of all orders are power series converging uniformly

31. POWER SERIES AND ANALYTIC FUNCTIONS 11
on the same region.
Let/be a complex-valued function in an open, connected subset,
i.e., domain, D in We say that / is analytic or holomorphic in
D if for each / is given in some neighborhood
of a by a power series with center at a converging throughout
An alternative and equivalent characterization of analyticity is :
/ is analytic in D if continuously differentiate in the real and imagi-
nary parts of there and if / satisfies the Cauchy-
Riemann equations there
(2)
or, using a customary notation,
(2')
For it is clear that a function analytic in the power series sense
satisfies (2); and the converse is settled by an easy generalization of
Cauchy's integral formula:
(3)
for z belonging to a product of discs with the suitably
oriented boundary of and for / analytic according to the second
definition on a neighborhood of the rest of the notation
in the middle term of (3) is adopted as a conventional abbreviation
for that in the first term. From (3), one obtains in the usual way
formulae for the coefficients of the power series for / with center at
being the center of In particular, turns
out to satisfy
(4)
dv,. being the Euclidean measure on a. Applying Holder's inequality,
we have
(5)
We need still another criterion for analyticity. The result we

32. 12 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
need, which will be applied at just one point later on, is
THEOREM 1 (Hartogs (cf. [5])). Let fbe a complex-valued function
on the product Dx P, where D is a domain and Ρ is an open polydisc.
Suppose there exists an open polydisc ρ concentric with Ρ such that
pa P. Assume the following:
1) f is analytic in Dxp.
2) for each z<^D, the restriction of f to {ζ} χ Ρ is analytic. Then
f is analytic in DxP.
For the proof we refer the reader to [5 : pp. 137-139]. This theo­
rem is used in proving Hartogs' theorem that analyticity in each
variable implies analyticity in the sense we have defined previously.
We have the following classical result of Riemann :
THEOREM 2. Let σ be a disc in C ivith center at a, and let f be
analytic and bounded in a — {a}. Then f has a unique extension to an
analytic function on a.
For the proof, see [4 : vol. I, p. 146].
This can be extended to several variables as we shall see later.
§ 2. Analytic sets
Let DaCn be a domain, and let X be a closed subset of D. We
say that X is an analytic subset of D if for each aeJD there exists a
neighborhood HJcD oi. α and a finite number of analytic functions
fv ···,/„ on CUsuch that
(6) XnV={ze^J1(z) = ...=fm(z) = 0}.
If Xis an analytic subset of D and eel, then a is called a "regular"
or "simple" point of X if there exist a neighborhood 1J of α and
analytic functions f, ···, fm on 1] satisfying (6) such that the matrix
(7) (ψ.)
\ OZu Ι μ l, , m; 1, = 1, ,n
has rank mat α of course then m^n. The simplest example of an
analytic set all of whose points are regular is a so-called linear
variety in C, by which we mean a set L defined by a system of com-

33. ANALYTIC SETS 13
plex linear equations
(8) 2^2, + 6, = 0, i = l, ---,8,
where it is assumed, of course, that the rank r of the matrix (αι;) is
the same as the number of linearly independent equations among
those in (8). Then dim L — n — r, and the fact that every point of L is
regular follows from the fact that the system (8) is equivalent to any
subsystem of r linearly independent equations.
If α is a simple point of X and Vis a neighborhood of a and
fv ·•·' fm. are analytic functions satisfying (6) such that the matrix
(7) has rank m at a, then the equations in (6) can be solved, by the
implicit function theorem, to give m of the coordinates as analytic
functions of n—m others, and there is a biholomorphic mapping of a
neighborhood ψοία onto a domain D'<z.Cn such that the image of
ΧίΛ^ is the intersection of -D' with a linear variety of dimension
n—m. Of course the dimension of Xat the regular point α is defined
to be n—m. It is obvious from the definition of regular point that
the set Xreg of regular points of X is an open subset of X.
Let D and Xbe as above, let ιεΐ, let 1/bea neighborhood of χ
on X, and let / be a complex-valued function on IJ; we say that / is
analytic on IJ if for each ysHJ, there is a neighborhood c\? of y in D
and an analytic function g on <ty such that g\{C\7r\cU)=f\{cVr\cU).
The families of analytic functions on the open subsets of X so-defined
constitute, by definition, the canonical ringed structure of analytic
functions on X.
In general, let X be a Hausdorff, locally compact space with a
countable basis of neighborhoods. By a ringed structure on X, we
mean, roughly speaking, that for each open subset V of I we are
given a subring 3lv of the ring of continuous complex-valued func­
tions on HJ containing the constant functions, such that where two
open sets overlap, certain "reasonable" compatibility conditions
between the two subrings are satisfied. It is left as an exercise for
the reader to determine suitable "reasonable" compatibility condi­
tions for the context in which we operate. The ringed structure
defined by X and the assignments HJ^&v is denoted by (X, 31). If
{X1, 31') is another ringed space, and φ: X—>X is a continuous map­
ping, then we say φ is a morphism of ringed spaces if for every open

34. 14 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
V in X', the family 31ν,°φ of continuous functions on φ~ι(°υ') of the
form /οφ, fe.Siv,, is a subring of 5if-irat Under these conditions if
φ is a homeomorphism of X onto a closed subspace of X' such that for
each αεί, neighborhood U of a, and /efi^, there exists a neighbor­
hood V of /(a) and f'<=Si'v, for which /Op coincides with / on a
neighborhood of a, then ^ is called an injection. A ringed subspace
of (X, Si) is a closed subspace X' of X with a ringed structure Si' such
that the identity mapping of X' into X is an injection of ringed spaces.
If D is a domain in C, then D carries the ringed structure Ο of
analytic functions, and our definition of the canonical ringed struc­
ture Jl of analytic functions on an analytic subset X of D amounts
to saying that the inclusion of X into D is an injection (X, <J?)—»(D, 0)
of ringed spaces.
By definition, a ringed space (X, Si) is called a (complex) analytic
space if for each a<=X there is a neighborhood <U of a such that the
ringed space (TJ, iR 11/) (where iR | Ί/ is the restriction of Si to open
subsets of If) is isomorphic to an open subset of some analytic set in
a domain of C with its canonical ringed structure of analytic func­
tions.
Clearly the notion of analytic space is a generalization of the
notion of "complex manifold" : a complex manifold is a complex
analytic space all of whose points are regular. In fact it can be
verified (by theorems on analytic sets which we shall state later) that
if a neighborhood HJ of a point a of the analytic space X is isomorphic
(as a ringed space) with an open set Oj on some analytic set Υ and if
b is the image of a in c^? then whether b is regular or not is inde­
pendent of the particular choice of Y, etc. Hence the concept of
regular point of an analytic space X is well-defined; the set of regu­
lar points of X is denoted by Xreg and any point of X— Xreg is, by
definition, a singular point of X. Put Xamg=X—Xng. Then it may be
proved that Xreg is a dense open subset of X, that Xreg is a union of
connected, mutually disjoint complex manifolds, and that Xsiag is an
analytic subspace of X; for the proof of this it is sufficient to consider
the case when X is an analytic subset of a domain D. For these facts
we refer the reader to [44a : esp. pp. 56-68].

35. STRUCTURE OF LOCAL ANALYTIC SETS 15
§3. Structure of local analytic sets
For the proofs of the facts cited here, we refer to [44a].
Let a be a point of the locally compact Hausdorff space X. Two
subsets S and S' are called equivalent at a if there is a neighborhood
of a such that Two functions / and /' defined in an
open set containing a are called equivalent at a if there is a neigh-
borhood HJ of a such that In either case the equivalence
classes are called "germs". The germ of a set S (resp. of a function
/) at a will often be denoted (resp. A germ (of functions or
of sets) is called analytic at a if it has a representative which is
analytic in some neighborhood of a. In many cases it will be con-
venient to denote a set or a function and its germ at some point by
the same symbol a convenience we shall avail ourselves of
without warning.
denote the ring of germs of holomorphic functions
at a. If E is a set, the set
is an ideal of and is equal to if and only if a is not in the
closure of E. If is an ideal in then determines a unique germ
of analytic sets at a on which all elements of vanish. We
have
(9)
smallest germ of analytic sets at a containing E.
If / is a formal power series in n indeterminates then
/ is called regular of order p in if
(10)
Let denote the formal power series in and
let denote the convergent power series. One may
always render a given power series regular in by a linear change
of coordinates. If and if
then P is called a distinguished polynomial in if
= 0; clearly P is then regular of order p.

36. 16 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
THEOREM 3 (Weierstrass). Let f be regular of order p in and
let Then there exist unique and
such that if we write
then
and
In particular, if then
is a distinguished polynomial, and
so that is a constant is a unit.
If f and g are convergent, then Q and the coefficients of R are
analytic in some neighborhood of the origin.
For the proofs, see [44a: Chap. II].
If X is a complex analytic space, a subset S of X will be called
"thin" if 1) S is nowhere dense in X, and 2) if a is any point of X,
then there exists a neighborhood CU of a and an analytic function /
on such that is nowhere dense in HJ and such
that In particular, if D is a connected domain in Cn,
then any proper analytic subset of D is thin (identity theorem for
analytic functions and analytic continuation). One result that may be obtained by applying the Weierstrass theorem in combination with Cauchy's integral formula is: PROPOSITION 1. Let D be a (connected) domain in C", let S be a thin subset of D, and let fbe a holomorphic function on D—S. Suppose f is locally bounded on D, i.e., suppose for each aeD there exists a neighborhood of a in D such that is bounded on Then f has a unique extension to a holomorphic function on D. For the proof, which is carried out in much the same way as the

37. STRUCTURE OF LOCAL ANALYTIC SETS 17
result of Riemann cited earlier, see [24: pp. 19-20], where also the
following easy consequence is derived :
COROLLARY. Let D and S be as in the proposition. Then D—S
is connected.
An analytic set X is called irreducible at a if its germ at a is
not the proper union of two other (germs of) analytic sets at a:
analytic
One other consequence of the Weierstrass theorem is that
are Noetherian rings. And every ideal in
% or in Oa is the intersection of a finite number of primary ideals.
One verifies easily that if X is an analytic set at a, then X is irredu-
cible at a if and only if is a prime ideal in And any (germ
X of) analytic set(s) at a has a unique decomposition into non-redun-
dant irreducible (germs of) analytic sets at a, called components of X.
We recall that if and are commutative rings with unit,
then 31 is said to be integral over if every
satisfies an integral equation
If 31' is Noetherian, then for 31 to be integral over it is sufficient
that 31 be an -module of finite type [59 : vol. II].
Let X be an analytic set, and assume (the germ of) X is
irreducible at a. Then [44a: Chap. Ill] in some neighborhood of a,
is a connected [44a: Prop. 11, p. 55] complex manifold of dimen-
sion d equal to the dimension of the prime ideal (the length of
a chain of prime ideals from to the maximal ideal
minus one). For simplicity only take
and denote by the canonical homomorphism of onto
Then [44a: loc. cit.] one has
THEOREM 4. One may choose the coordinates such
that, in some neighborhood of 0,
a) then 31 is integral over and
ker
b) are local coordinates
at every point on the complex manifold X[eg, outside a proper analytic

38. 18 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
subset.
c) 0 is a regular point of X if and only if i.e., if and
only if is the convergent power series ring in d variables.
The integer d is called the dimension of X. We see that it is the
dimension of every component of the germ of X at 6 for all in a
neighborhood of a and is characterized as being the dimension of X (as
a complex manifold) at a dense open set of regular points. Part c)
gives an algebraic characterization of regular points that makes clear
the truth of our earlier assertion (section 2) that the regular points of
an analytic space are characterized intrinsically. One then obtains
PROPOSITION 2. Let X be a complex analytic space and let
be the set of such that X has a component of dimension d at x.
Then and each X'd> is a complex analytic subspace of X
[44a: p. 67],
If for some we say X is of pure dimension d.
Let Xand Y be complex analytic spaces and let /: X-*Y be an
analytic mapping (i.e., a morphism of the analytic ringed spaces). If
Y' is an analytic subspace of Y, then is an analytic subspace
of X. If we say that / is "light" at a; if a; is an isolated
point of the fiber Suppose let resp. be the
ring of germs of analytic functions at y resp. at x, and assume
dim be the homomorphism induced by
/. Then we have
PROPOSITION 3. is integral over if and only if f is
light at x.
The proof follows at once from [44a: Thm. 1, p. 10 and Thm. 3,
p. 44],
COROLLARY. Let notation be as in Theorem h, let
be the ring analytically
generated1*1 by and let I be the ideal of analytic relations"
1) The ring analytically generated by is the ring of analytic func-
tions of the form for some the ideal of analytic
relations among is the kernel in of the assignment
is the ring of germs of analytic functions at

39. THE NORMALIZATION THEOREM 19
among Denote by f the mapping of a neighborhood of 0 on
X into a neighborhood of whose coordinates are Let
Then f is an analytic mapping of X into Y. More-
over {in some neighborhood of 0) if and only if
f is light at 0, which in turn is true if and only if is integral
over and if these mutually equivalent conditions hold,
then f is an open mapping of a neighborhood CU of 0 on X onto a
neighborhood of 0 on Y and (if is small enough) f is light at every
point of
The corollary follows from the proposition by employing the
proposition, the references in [44a] cited in its proof, and [44a: Prop.
5, p. 71].
4. The normalization theorem
Let X be an analytic space, and let be the ring of
germs of analytic functions at a. If is any commutative ring, the
quotient ring of will mean the ring of all "quotients" of the
form where the set of non-zero divisors of Si. Then X will
be called normal at a if is integrally closed in its quotient ring.
If Xis normal at each of its points, X is called, simply, "normal". If
is integrally closed in then is a domain of integrity [49:
vol. II, pp. 143-144]; in fact, if then there exist analytic
functions and /2 at a such that fl vanishes on Xt but not on any
component of so that and
satisfies thus the image of x in is integral over
but is not in since it cannot be continuous at a. Therefore,
if X is normal at a, X is irreducible at a, consequently is
prime and is a domain of integrity.
If Xis an analytic space, and if {Y, f) is a pair consisting of a
normal complex analytic space Fand an analytic mapping/: Y-*X,
then (Y, f) is called a normalization of Zif
(a) f: Y—>Xis proper and has finite fibers, and
(b) if S is the set of singular points of X and then
Y— A is dense in Y and gives an analytic isomorphism of
Y—A onto X-S [44a : p. 114].
THEOREM 5. X has a normalization is another

40. 20 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
normalization of X, then there exists a complex analytic isomorphism
φ of Υ onto Y' such that f °>p=f.
It is worth noting that if X is a normal analytic space, then the
following further generalization of Riemann's theorem holds :
PROPOSITION 4. Let Xbe a normal analytic space, S a thin subset
of X, f a holomorphic function on X—S which is locally bounded on
X. Then f has a unique extension to a holomorphic function on X.
[44a : Remark, p. 114].
It follows that if Υ is another analytic space and if f is a one-to-
one analytic mapping of Υ onto X, then Υ is normal and f is an
analytic isomorphism of Υ onto X.
§ 5. The Remmert-Stein theorem
THEOREM 6 {Remmert-Stein [47]). Let D be a domain in Cn, let
X be a non-empty analytic subset of D and let Υ be an analytic subset
of D—X. Assume there exists s igO such that
Y=\J Y'-l
and
X=\JXm.
Then the closure Ϋ of Υ in D is an analytic subset of D and
Y=\J ?«'.
IZd
§ 6. The quotient of C by a finite linear group
Let G be the group of all non-singular linear transformations of
C and let Γ be a finite subgroup of G. The purpose of this section
is to show that X=Cjr has naturally the structure of a normal
complex analytic space.
To begin with, there are two natural ringed structures that sug­
gest themselves for the topological space X. For on.e, let π : C^Xbe
the natural mapping, and if / is a complex-valued function on an open
subset 11 of X, define/to be analytic on HJ if /»it is analytic on jf-'Ci/)
(of course, this implies / is continuous on 11); denote this ringed

41. THE QUOTIENT OF C" BY A FINITE LINEAR GROUP 21
structure by For the other, we claim first that the ring
invariant polynomials has a finite set of generators as a
algebra; this claim will be shortly justified below. Letting
be a finite set of such generators, such that each is a homogeneous
polynomial, we define an analytic mapping
by We also assert that the invariant poly-
nomials separate the orbits of Granted this, which will also
be proved later, one notes that Q induces an injection of the space
X into it follows in particular that Q is light at every point of
It will also be seen below that the ring of polynomials in n varia-
bles is integral over hence Q is a proper mapping. Therefore, by
[44a : Corollary, p. 87], is an analytic subset of and as such
is a complex analytic space, of which the underlying space is homeo-
morphic to X. (In this case, since only polynomials are involved, a
direct, purely algebraic proof of the same fact can be given, not using
the analytical results of [44a], cf. [15b].) Transporting the analytic
ringed structure on back to X, we obtain a second ringed struc-
ture 31' on X. The main step will be to show that 31 and are the
same, and from this it will be easy to show that is a normal
analytic space.
The essential steps (and most of the details) of the proof we give
are to be found in [15b].
First we introduce the notation that if then
If / is analytic at a, let denote the order (of the zero) of /
at a. We use as indicated above, to denote which
will be identified with the polynomial functions on and for any
subgroup denotes the invariant elements in If
is spanned by its homogeneous elements
LEMMA 1. Let and
let r be a positive integer. Then there exists such that
PROOF. Let be a polynomial such that
and let be a polynomial such that

42. 22 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
and such that for the other points x of
(where for any polynomial, denotes its image
under the action of r). Then (resp. has the same prescribed
properties as (resp. and is invariant. More-
invariant. Let be the sum (resp.
and put It is routine to see that P satisfies
the requirements of the lemma.
COROLLARY. Let a and b be as in the lemma. Then there exists
such that
PROOF. contains the constants. Then apply the lemma with
LEMMA 2. 9? is integral over and is finitely generated
as a C-algebra.
PROOF. By the above corollary, it is seen that if
there exists a homogeneous polynomial such that
Hence, by the Hilbert basis theorem, there exist finitely
many elements which are homogeneous and of positive
degree having 0 as their only common zero. By a well-known theo-
rem (Zariski), <P is integral over the C-algebra Q generated by
Q„ hence is all the more integral over Now Q is a Noetherian
ring, and since is a finitely generated C-algebra integral over Q,
£P is a module of finite type, hence Thus
generate as a C-algebra.
The corollary and Lemma 2 contain the assertions made earlier
without proof.
Now we want to prove the two ringed structures 3t and are
the same. Since it is obvious that for every
open HJ in X), it remains to prove that In other words we
must prove that given every convergent power
series in which is invariant under can be

43. THE QUOTIENT OF C" BY A FINITE LINEAR GROUP 23
written as for a convergent power
series g in m variables. The proof can be divided into two parts, one
formal, and one dealing with convergence.
Let be homogeneous polynomials and let
polynomial in t variables is called isobaric
of weight p if every monomial appearing in it is of the form
with
So now suppose are homogeneous polynomials in
which generate the C-algebra Then by
Lemma 1, there exists for each i— 1, •••, t, a polynomial
such that
We first show that each formal power series / invariant under
with center at a can be expressed as a formal power series in the
t expressions
Then we show that the formal power series in t variables can be
taken &s a convergent power series (the selection being quite non-
constructive). But in fact, it is easily seen to be enough to consider
the case a = 0, if we formulate the two propositions to deal with the
situation as is done below. It will then be apparent that the main
reason for taking a = 0 is one of convenience.
Let a = 0. The set of homogeneous polynomials is
called a reduced set of generators of if every isobaric polynomial
such that has no linear terms. If
is not reduced, then there exists an isobaric polynomial
R such that and such that the linear part L of R is
non-zero. If Yt appears with non-zero coefficient in L, then from
considerations of degree, this is the only place in R where can
appear, hence can be expressed as a polynomial in and
thus eliminated from the set of generators. Hence, we may assume
is a reduced set of generators of Now denote the
invariant formal power series (resp. convergent power series) by
(resp. by
PROPOSITION 5. Let be a reduced, set of generators of

44. 24 ANALYTIC FUNCTIONS AND ANALYTIC SPACES
and let be such that Then there
exist m formal power series such that
(1) and
(2) if Ll is the linear homogeneous part of are
linearly independent.
PROOF. We may assume From the definition of
it is obvious that there are m formal power series
such that and by hypothesis
the terms of weight
d of are 0. Therefore the matrix of the linear
forms is unipotent upper triangular. This proves the proposition.
COROLLARY. Notation being as in Proposition 5, each can be
expressed as a formal power series in
PROOF. This follows from the "formal implicit function theo-
rem", since the linear forms are linearly independent.
PROPOSITION 6. Let the notation be as in Proposition 5. If
are convergent poiver series, then they analytically generate
(i.e., given there exists a convergent power series
such that
PROOF. Let be the subring of ' analytically generated by
The Krull topology on is by definition
the topology of as a topological ring in which the powers of the
maximal ideal m are a neighborhood basis of 0. Clearly is Krull-
dense in ' by the preceding corollary. We want to show is
Krull-closed in First of all, by the relation it is
clear that have 0 as their unique common zero, and so by
the corollary of Proposition 3, is integral over
hence is integral over So if . the C-algebra generated
by x and Jl is an ^-module of finite type. Now is the maxi-
mal ideal of tJl and is the set of convergent power series in
with zero constant term. Since is invertible in for all
we may apply [65 : vol. II, Thm. 9, p. 262] and see that
is closed in hence Hence every element x of
is in t proving the proposition.

45. THE QUOTIENT OF C" BY A FINITE LINEAR GROUP 25
Thus
Now for any finite group of linear transformations operating
on it is easily seen that is integrally closed in its quotient
field. Hence is integrally closed for any Therefore
is a normal analytic space. (The purely algebraic argument
referred to earlier [15b] showing to be an affine algebraic variety
shows in fact that Q(X) is a normal affine variety.)
EXAMPLE. Let and let Then 0 is the only fixed
point of — id. and an analytic function at 0 is invariant under if
and only if in its power series expansion only terms of even degree
occur. Any homogeneous polynomial of even degree is a polynomial
in the three expressions and these separate the orbits of
and at any point different from (0, 0), a suitably chosen pair of
them serve as local coordinates on the quotient space The
quotient space X may be identified with the image of C2 under the
mapping
and that image is the quadric surface whose unique
singular point is at the origin.

46. CHAPTER 3
HOLOMORPHIC FUNCTIONS AND MAPPINGS
ON A BOUNDED DOMAIN
1. Semi-norms and norms
Let K be a field which is either R or C supplied with the usual
absolute value. Let X be a linear space over K. A real-valued func-
tion p on X is called a semi-norm if
(1)and
(2)
for all These conditions imply, in addition, that
(3)
A subset S of X is called [64 : p. 24]:
a) convex if for any two points the real straight
line segment between them is contained in S.
b) balanced if for every and any such that
we have
c) absorbing if for any there exists such that
Then if p is a semi-norm on X and c>0, the set
is convex, balanced, and absorbing.
Let be a family of semi-norms on X. This family is
called separating if for each there exists such that
In this case, the topological linear space X on which a
subbasis of neighborhoods of 0 is given by the family of sets
is a Hausdorff, locally convex, topological, linear space.
We shall call such a space a semi-normed linear space. We call the
topology just described for X the weak topology on X. By weak
convergence, we mean convergence in this topology, and by a
bounded set, we mean a set on which each semi-norm is bounded.
Often "weak topology" refers to that given by the semi-norms
defined as the absolute values of the members of a family of linear

47. SEMI-NORMS AND NORMS 27
functionals.
If (X, p) is a semi-normed linear space for which the family
of semi-norms consists of a single element ρ such that p(x) = 0 only
when x = 0, then ρ is called a norm and (X, p), or simply X, is called a
normed linear space. In this case, it is common to write ρ(α) = ||κ||.
A normed linear space X is at the same time a metric space with
metric function d given by d(x, y) — \x — y\. If Xis complete in this
metric, it is called a Banach space.
Let S be a Hausdorff, locally compact, topological space supplied
with a measure μ. If /is a measurable function on S, we write /~0
if /=0 except on a set of measure zero, and if /' is another measur­
able function, we write /~/' if /— /'~0. Henceforth, we do not dis­
tinguish between functions equivalent in this way and denote them
by the same letter. If ρ is a real number ^1, define LV(S, μ) = {f
measurable, complex-valued on S, \ \/\ράμ< + <*>}, and supply LP(S, μ)
with the norm ||/||„ = (\ \/\ράμΥ/ρ; if / is a measurable function on
S, define ||/|U as the infimum of the real positive numbers r such
that |/|^r except on a set of measure zero, if such r exist, and
define ||/||„=oo otherwise. The quantity ||/|U is called the "es­
sential supremum" of /. Let
(4) L~(S, μ) = {/|/measurable, ||/|U < <*>}.
The space L"(S, μ) with norm || ||„ is a Banach space, l^p^co.
The space L = L(S) of bounded, complex-valued continuous functions
on S is topologized as a subspace of L"(S, μ); it is evidently a closed
subspace of L*°(S, μ).
We shall need later the following consequence of the Hahn-
Banach Theorem [64 : p. 109]:
PROPOSITION 1. Let Xbe a locally convex, topological, linear space
and let Μ be a closed subspace of it. Let i,eI-M. Then there exists
a continuous linear functional f on X such that /(£0) Φ 0, f\ M= 0.
Our general reference for the matters in this section is [64].

48. 28 HOLOMORPHIC FUNCTIONS AND MAPPINGS ON A BOUNDED DOMAIN
§ 2. Bounded families of holomorphic functions
Let D be a domain in C" and let C be the family of all complex-
valued continuous functions on D. For each compact subset A of D
we define a semi-norm νΛ on C by
(5) vA(f) = sup(x)\.
x- A
These obviously make C into a semi-normed, topological, linear space,
and since a uniform limit of holomorphic functions is holomorphic,
it is clear that the holomorphic functions 0(D) on D form a closed
subspace of C.
Using Cauchy's integral formula in the same manner as in the
proof of Montel's theorem, one proves that a weakly bounded sub­
family of 0(D) is uniformly equi-continuous on any compact subset
of D. Let {/„} be a weakly bounded sequence of holomorphic func­
tions on D. By the usual diagonalization process one obtains a sub­
sequence that converges on a countable dense subset of D, hence,
by the preceding remarks, that converges in the weak topology to a
holomorphic function on D. In particular, any bounded sequence of
holomorphic functions on D has a subsequence that converges to a
holomorphic function on D.
Let V be a finite-dimensional complex vector space and suppose
V is supplied with a positive-definite Hermitian form (,) that de­
fines a metric and a norm || || on V. By a holomorphic function
from D to V we of course mean one that for some (and hence any)
choice of basis on V has holomorphic coordinate functions. We may
define again a family of semi-norms on the family of continuous
functions from D to V: If A is a compact set in D, then vA(f) =
sup |i/(x)j|. Again, the family 0(D, V) of holomorphic mappings from
D to V is a closed subspace, and by applying the preceding results to
each coordinate function, we see that a weakly bounded (and in
particular a bounded) sequence in 0(D, V) has a convergent sub­
sequence.
Now in particular we may apply these results to holomorphic
mappings of a bounded domain D into itself and obtain the result:
PROPOSITION 2. Let D be a bounded domain in C and let {Tm} be

49. THE HOLOMORPHIC AUTOMORPHISM GROUP OF D 29
a sequence of holomorphic mappings of D into itself. Then has a
convergent subsequence which has as limit a holomorphic mapping T oj
D into the closure of D.
Of course, the difficult point is to prove that, under some addi-
tional hypotheses,
3. The holomorphic automorphism group of D
Let D be a bounded domain in Clearly the set of one-to-one
biholomorphic mappings of D onto itself forms a group, which we
denote by Hol(_D), or more briefly, for present purposes, by G.
We supply G with the compact-open topology; this is the same
as the topology that G receives as a subspace of the space of holo-
morphic mappings of D into where the topology is that given by
the semi-norms of the last section. Since D has a countable
neighborhood base and is locally compact, and since, by definition, G
operates effectively on D, it follows by standard arguments that G
is Hausdorff and also has a countable neighborhood base.
LEMMA 1. Let and A% be two compact subsets of D and define-
Then is compact.
PROOF. By what we already know of the topology on G, it is
sufficient to show that is sequentially compact. Let be a
sequence in then, for each m there exists such
that Replacing by a subsequence we may assume
by the preceding proposition that converges to a limit
that converges to a limit and that
converges to a limit where and are holomorphic mappings
of D into Clearly . Let be a neighborhood
of with compact closure contained in D and let be a neighbor-
hood of with compact closure such that Then
is defined on and the composition converges uni-
formly on Since infinitely many elements of the sequence
are equal to the identity, it follows that is the identity
on Similarly, there is a neighborhood such that

50. 30 HOLOMORPHIC FUNCTIONS AND MAPPINGS ON A BOUNDED DOMAIN
is defined and equal to the identity there. It now remains to prove
that the ranges of and of lie in D. We treat the case of
Let and let B be a compact neighborhood of b, The
compositum is defined for all I and TO. We claim that
converges weakly to the identity on D. We consider
as a bounded family of holomorphic mappings of D into
the sequence converges uniformly to zero on which has non-
empty interior. Considering each of the coordinate functions of
we see that to establish our claim it is sufficient to prove
LEMMA 2. Let be a bounded sequence of holomorphic functions
on a connected domain D and suppose this sequence tends uniformly to
0 on a subset of D with non-empty interior. Then converges
weakly to 0 on D.
PROOF OF LEMMA 2. Suppose B is a compact subset of D and
suppose there exists such that for every there exists
and such that Then replacing by a subsequence
we may assume (1) ft converges uniformly on every compact subset
of D to a holomorphic function converges to a point b of B,
and (3) converges to a limit c. By the weak convergence of
we see that f(b) = c and while on all of hence
Clearly we have a contradiction. This proves Lemma 2.
Thus converges weakly to the identity. Let and let
B be a compact neighborhood of There exists N> 0 such
that imply differs from the identity by less than
on B, hence remains in a compact neighborhood Bi
of Choose and fix 1>N. Then
remains in hence, Similarly
the range of is contained in D. Combining this with the informa-
tion that are equal to the identity on non-empty open
sets we see that and are in G. Hence is compact.
COROLLARY 1. G is locally compact.
This follows from the definition of the compact-open topology.

51. A UNIQUENESS THEOREM OF H. CARTAN 31
COROLLARY 2. If aeD, then is compact.
COROLLARY 3. A subgroup r of G acts in properly discontinuous
fashion on D (definition as in Chapter 1) if and only if T is a discrete
subgroup of G.
We may now apply Theorem 2, p. 208 of [43] to obtain :
THEOREM 7. G is a Lie group.
See also [15a] and [44c].
The purpose of our preceding discussion was to show how the
theorem cited from [43] could be made applicable to Hol(D). However,
Theorem 7 for this particular case is originally due to H. Cartan
[15a] from whose work we have also borrowed the proof of Lemma 1.
4. A uniqueness theorem of H. Cartan
Now we introduce another topology on the ring
of formal power series which is quite distinct from the Krull topology
(though if C were replaced by a p-adic field, for example, the two
topologies would in some sense be complementary). Namely, we
introduce the family of semi-norms determined by
By an endomorphism of the C-algebra we mean a C-linear ring
endomorphism T of in the usual sense which is continuous in the
Krull topology. Then T(1) = 0 or 1; in the first case T= 0 and in the
second case T is determined by n power series
(6)
having no constant terms. We introduce a system of semi-norms
on End by defining By the linear part of
T, we mean the transformation defined by
THEOREM 8 (H. Cartan). Let T be an automorphism of such
that L(T) is the identity and such that the family of
powers of T is weakly bounded. Then T is the identity.

52. 32 HOLOMORPHIC FUNCTIONS AND MAPPINGS ON A BOUNDED DOMAIN
PROOF (cf. [5: pp. 13-14]). We have mod where m
is the maximal ideal of If let mr be the largest power
of m such that mod we have and
mod where is a homogeneous polynomial of degree r and not
identically zero. We claim that mod for all
Since this is true for s = l, suppose it is true for
i mod then
mod But the sequence is weakly bounded which
is clearly impossible if contradiction. Hence
as claimed.
Now let D be a bounded domain, let and
For simplicity assume a = 0. By Corollary 2 of Lemma 2,
is compact, hence is weakly bounded (in either
topology). The mapping T-^L(T) is a homomorphism of into the
general linear group of By the preceding result, we see that
ker(L) = {e}, thus is isomorphic to a compact subgroup of the linear
group of and the isomorphism is given by viewing as the
tangent space to D at 0 and transferring the action of to it in
the natural way.
Now we show that there is a one-to-one biholomorphic mapping
/ of a neighborhood of onto a neighborhood of 0 such that
the action of any transferred to via / is a linear transfor-
mation. Note that this is not achieved in the preceding result because
that gives no change of coordinates at 0 to effect the transformation
T-»L(T). Let dg be the Haar measure on G0 such thatl-dg=\.
Define / by
(action by G on the right
and viewing as a row vector).
The integral converges since the coordinate functions of g are con-
tinuous on the product of with any compact subset of D. A
straight-forward calculation gives

53. A UNIQUENESS THEOREM OF H. CARTAN 33
while the functional determinant of / at 0 is readily calculated to be
unity, which gives us what we want:
PROPOSITION 3. In a suitable system of coordinates in a neigh­
borhood of 0, G0 acts by linear transformations.

54. CHAPTER 4
ANALYSIS ON DOMAINS IN Cn
1. Measure theory
In this section, we set down without proof some further defini-
tions and facts from measure theory for our present and future
needs. Our direct reference is [11a] where chapter, section, and
subsection will be cited as [B, Chap., no.]; most of the main ideas
may also be found in [41].
Let X be a locally compact topological space, and F, a normed
vector space over R with norm | |. will denote the space of
continuous i^-valued functions on X. If A is a compact subset of X,
define the semi-norm on we give
the topology supplied by the semi-norms when X is
compact, this is equivalent to the topology defined by the single
norm defined by Convergence of a sequence of
functions in with respect to the topology defined by the semi-
norms pA, A compact, will be called normal convergence; equivalently,
the sequence will be said to converge normally.
be the closure of is
compact},
Then the topology
receives as a subspace of is equivalent to the topology
supplied by the single norm
To construct a measure on X, one begins with a linear functional
on which is supposed to be continuous on each of the subspaces
(1)
where A is any compact subset of X We supply the space M(X) of
such functionals with the topology it receives as a subspace of the
dual space to Clearly, M(X) is a module in a natural way.
An element n of M(X) is called positive, for all
[i is called bounded if it is continuous on all of

55. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

56. "Tai ainakin luulin…"
"Kas niin, sinä epäilet. Mutta jos jo epäilet, ystäväparka, niin mitä
onkaan enää minulla tehtävänä?"
"Minä näin la Vallièren hämmennyksissään… Montalaisin
säikähtyneenä… kuninkaan…"
"Kuninkaan?"
"Niin… Sinä käännät pääsi pois… Vaara on siellä, onnettomuus
uhkaa sieltä. Kuningashan on siihen syynä?"
"En sano mitään."
"Oi, näin sinä sanot tuhatkertaisesti enemmän! Tosiasioita, taivaan
tähden, tosiasioita, rukoilen! Ystäväni, ainoa ystäväni, puhu!
Sydämeni on lävistetty, verta vuotava; minä kuolen tuskaan!…"
"Jos niin on asia, rakas Raoul", vastasi de Guiche, "niin rauhoitat
omantuntoni, ja minä puhun varmana siitä, etten sano muuta kuin
lohdutusta siihen epätoivoon verraten, jonka vallassa näen sinun
olevan."
"Minä kuuntelen, minä kuuntelen…"
"No", virkkoi kreivi de Guiche, "voin sinulle sanoa, minkä kuulisit
ensimmäisen vastaantulijan suusta."
"Ensimmäisen vastaantulijan! Siitä jo puhutaan?" huudan Raoul.
"Ennen kuin sanot: 'siitä puhutaan', ystäväni, ota sentään
huomioon, mistä kaikesta voidaan saada puheenaihetta. On totisesti

57. vain kysymys pohjaltaan perin viattomista asioista, ehkä
kävelyretkestä…"
"Ah, huvikävelystä kuninkaan kanssa?"
"Niinhän tietenkin, kuninkaan kanssa. On kai kuningas hyvin usein
ollut kävelyllä naisten keralla, eikä siitä silti…"
"Et olisi kirjoittanut minulle, toistan vieläkin, jos se kävely olisi ollut
aivan luonnollinen."
"Tiedän kyllä, että kuninkaalle olisi paremmin sopinut sen myrskyn
aikana etsiä suojaa kuin seisoa avopäin la Vallièren edessä; mutta…"
"Mutta…!"
"Kuningas on niin kohtelias!"
"Oi, de Guiche, de Guiche, sinä surmaat minut!"
"Vaietkaamme siis."
"Ei, jatka. Sitten on seurannut toisia kävelyjä?"
"Ei, — tuota noin, kyllä; olihan se seikkailu tammen alla. Sitäkö
tarkoitat? En siitä tiedä mitään."
Raoul nousi. De Guiche yritti heikkoudestaan huolimatta tehdä
samoin.
"Katsos", virkkoi hän, "en lisää enää sanaakaan. Olen puhunut
liikaa, tai liian vähän. Toiset antavat sinulle tietoja, jos tahtovat tai
voivat. Minun tehtäväni oli sinua varoittaa, ja sen olen tehnyt. Valvo
nyt itse asioitasi."

58. "Kyselläkö? Ah, et ole ystäväni, kun minulle sellaista neuvot",
sanoi nuori mies epätoivosta murtuneena. "Ensimmäinen, jolta
kysyisin, olisi ehkä ilkimys tai hölmö. Edellinen valehtelisi
kiusatakseen minua, jälkimmäinen tekisi vieläkin pahempaa. Voi, de
Guiche, de Guiche, ennen kuin kahta tuntia olisi kulunut, olisin
kuullut kymmenen valhetta ja joutunut kymmeneen kaksintaisteluun!
Pelasta minut! Eikö ole parasta tietää onnettomuutensa?"
"Mutta minä en tiedä mitään, sanon! Makasin haavoittuneena,
kuumeessa; olin menettänyt tajuntani, eikä minulla tuosta kaikesta
ole muistissani jäljellä kuin hämärä heijastus. Mutta, pardieu,
etsimme etäältä, vaikka oikea mies on kättemme ulottuvissa! Eikö
d'Artagnan ole ystäväsi?"
"Hei, se on totta, se on totta!"…
"Mene siis hänen luokseen. Hän valaisee sinulle silmiesi
ärtymättä."
Lakeija astui sisään.
"Mikä on?" kysyi de Guiche.
"Herra kreiviä odotetaan posliinihuoneeseen."
"Hyvä. Sallitko, rakas Raoul? Tunnen itseni ihan ylpeäksi siitä, että
nyt kykenen taas kävelemään!"
"Tarjoisin sinulle käsivarteni, de Guiche, ellen aavistaisi, että
odottaja on nainen."
"Luulen niin", myönsi de Guiche hymyillen, ja hän jätti Raoulin.

59. Tämä pysyi liikkumattomana, ajatuksiinsa vaipuneena,
muserrettuna kuin kaivosmies, jonka päälle holvi on luhistunut. Hän
on haavoittunut, hänen verensä vuotaa, hänen ajatuksensa
keskeytyy, hän yrittää toipua ja pelastaa järkensä avulla henkeään.
Muutama minuutti riitti Raoulille hänen haihduttaakseen näiden
kahden paljastuksen aiheuttaman huimauksen. Hän oli jo saanut
ajatustensa langoista kiinni, kun hän äkkiä luuli oven läpi
eroittavansa Montalaisin äänen posliinihuoneesta.
— Hän! — huudahti Raoul mietteissään. — Niin, se on hänen
äänensä. Kah, siinäpä nainen, joka voisi sanoa minulle totuuden.
Mutta kyselenkö häneltä täällä? Hänhän kätkeytyykin minulta; tulee
varmaankin Madamen asioissa… Minä käyn häntä kotonaan
tapaamassa. Hän selittää minulle säikähdyksensä, pakonsa, sen
kömpelön tavan, jolla minut häädettiin. Hän kertoo minulle kaiken
tuon… sitten kun herra d'Artagnan, joka tietää kaikki, on vahvistanut
sydäntäni. Madame… keimailijatar… No niin, keimailijatar, mutta
hyvinä hetkinään hän rakastaa. Keimailevana hän on oikullinen kuin
kuolema ja elämä, mutta hän saa de Guichen kiittämään itseään
onnellisimmaksi ihmiseksi. Se mies ainakin kävelee ruusuilla.
Lähdetään!
Hän poistui kreivin asunnosta, ja nuhdellen itseään, että oli
puhunut de Guichelle vain omista asioistaan, hän saapui
d'Artagnanin luo.
190.
Bragelonne jatkaa tiedustuksiaan.

60. Kapteeni oli palvelustoimessaan; hänellä oli vartioviikkonsa.
Vaipuneena nahkaiseen nojatuoliin, kannus lattiaan iskettynä,
miekka säärten välissä, hän viiksiään kierrellen luki suurta
kirjetukkua.
D'Artagnan murahti ilosta nähdessään ystävänsä pojan.
"Raoul, poikaseni", sanoi hän, "miten onkaan kuningas tullut
kutsuneeksi sinut takaisin?"
Nämä sanat kuulostivat pahalta nuoren miehen korvaan; hän
vastasi istahtaessaan:
"Totisesti en tiedä mitään siitä! Tiedän vain, että olen tullut."
"Hm!" äännähti d'Artagnan, kääntäen kirjeet kokoon ja luoden
merkitsevän silmäyksen puhujaan. "Mitä sanotkaan, poikaseni?
Ettäkö kuningas ei ole sinua kutsunut takaisin ja kumminkin olet
täällä? En tuota oikein ymmärrä."
Raoul oli jo kalpea, hän kieritteli hattuaan väkinäisin ilmein.
"Millaista naamaa sinä näytätkään, lempo soikoon, — ja mitä
hautajaiskeskustelua onkaan haastelusi!" huudahti kapteeni.
"Englannissako sellaista oppii? Mordioux, olen minäkin ollut
Englannissa ja palannut sieltä virkkuna kuin peipponen, Hellitähän
kielesi kantimia!"
"Minulla on liian paljon sanottavaa."
"Ahaa! Miten isäsi jakselee?"
"Suokaa anteeksi, rakas ystävä; aioin kysyä sitä teiltä."

61. D'Artagnan jännitti katseensa kahta terävämmäksi, tuon katseen,
jolta mikään salaisuus ei jäänyt kätköön.
"Sinulla on huolia?" virkkoi hän.
"Pardieu, sen te hyvin tiedätte, herra d'Artagnan."
"Minäkö?"
"Niin juuri. No, älkää nyt tekeytykö kummastuneeksi."
"En tekeydy kummastuneeksi, ystäväni."
"Hyvä kapteeni, tiedän varsin hyvin, että löisitte minut sekä
älykkyydessä että voimain mittelyssä. Tällä hetkellä, näettekös, olen
hölmö, olen pieni itikka. Minulla ei ole aivoja eikä käsivartta, mutta
älkää halveksiko minua; auttakaa minua. Sanalla sanoen, olen
luoduista kurjin."
"Ohhoh, miksi niin?" kysyi d'Artagnan, riisuen vyönsä hellyttäen
hymyilyään.
"Siksi että neiti de la Vallière pettää minua."
D'Artagnanin kasvoissa ei näkynyt mitään ilmeen muutosta.
"Pettää sinua, pettää sinua! Onpa siinä suuria sanoja. Kuka ne
sinulle on opettanut?"
"Kaikki ihmiset."
"Oh, jos kaikki ovat sitä sanoneet, täytyy asiassa olla jotakin
perää.
Ei savua ilman tulta. Se on hupsua, mutta niin on asia."

62. "Te siis uskotte?" huudahti Bragelonne kiihkeästi.
"Ah, jos tahdot nojautua minun käsitykseen!…"
"Epäilemättä."
"Minä en sekaannu sellaisiin asioihin, kuten hyvin tiedät."
"Mitä, ettekö parhaan ystävänne pojan tähden?"
"Aivan niin: jos olisit muukalainen, sanoisin sinulle… ka, en yhtään
mitään… Tiedätkö, miten Portos elelee?"
"Monsieur", huudahti Raoul puristaen d'Artagnanin kättä, "isälleni
vannomanne ystävyyden nimessä!"
"Oh, pentele! Sinä olet hyvin sairas… uteliaisuudesta."
"En uteliaisuudesta, vaan rakkaudesta."
"Kas, toinen suuri sana! Jos sinä todella olisit rakastunut, paras
Raoulini, niin olisi aivan toista."
"Mitä tarkoitatte?"
"Jos rakkautesi olisi niin vakavaa, että uskoisin aina voivani puhua
sydämellesi… Mutta se on mahdotonta."
"Vakuutan teille, että rakastan Louisea ihan rajattomasti."
D'Artagnan luki silmillään Raoulin sydämen sisimmät elähtelyt.
"Mahdotonta, sanon sinulle… Olet kuin kaikki nuoret ihmiset; sinä
et ole rakastunut, vaan hullaantunut."

63. "No, entä jos nyt olisi vain niinkin?"
"Järkimiehen ei ole koskaan onnistunut ohjata löyhässä kallossa
asuvia aivoja. Olen siinä suotta väsyttänyt leukojani satakin kertaa
elämässäni. Kuunnellessasi et minua kuulisi, kuultuasi et minua
ymmärtäisi, ymmärtäessäsi et minua tottelisi."
"Voi, koettakaa, koettakaa!"
"Sanon vielä: jos onnettomuudekseni tietäisin jotakin ja olisin
kyllin tyhmä sen sinulle ilmaisemaan… Sinä sanot olevasi ystäväni?"
"Oi, niin."
"No, silloin me riitaantuisimme. Sinä et koskaan antaisi minulle
anteeksi, että murskaisin unelmasi, kuten rakastavaiset sanovat."
"Herra d'Artagnan, te tiedätte kaikki; te jätätte minut pulaan,
epätoivoon, kuolemaan! Se on kauheata!"
"No, no!"
"Minä en koskaan valita, sen tiedätte. Mutta koska isäni ja Jumala
eivät milloinkaan antaisi anteeksi, jos murskaisin pääni pistoolin
laukauksella, niin menen kerrotuttamaan itselleni ensimmäisellä
vastaantulijalla sen, mitä te kieltäydytte minulle ilmoittamasta.
Väitän hänen valehtelevan…"
"Ja tapat hänet? No jo! Mutta kernaasti minun puolestani! Tapa,
poikani, tapa, jos se sinua huvittaa. Samoin haastavat minulle
hammastautiset: 'Ai, kun repii! Tahtoisin purra rautaa.' Minä vastaan
heille: 'Puraiskaa, ystäväiseni, puraiskaa sisukkaasti, niin pääsette
hampaastanne.'"

64. "Minä en tapa, monsieur", virkkoi Raoul synkästi.
"Ohoo, niin oikein, tuo on sitä uudenaikaista röyhistelyä! Sinä
surmautat itsesi, eikö niin? Voi, kuinka liikuttavaa, ja jo toki minäkin
sinua surisin! Kai samalla myös pahoittelisin: 'Olipa siinä lopultakin
tuhma turhimus, se pikkuinen Bragelonne, kaksin verroin ääliö! Olin
kuluttanut aikaani opettaakseni hänet pitelemään oikealla tavalla
miekkaa, ja se hupsu meni varrastuttamaan itsensä kuin hanhi
paistinpuikkoon.' Juokse, Raoul, juokse surman kitaan, ystäväni. En
tiedä, kuka sinulle on sellaista logiikkaa opettanut; mutta Jumala
minut tuomitkoon — kuten englantilaiset sanovat, — ellei se mies
huiputtanut isältäsi maksuansa."
Raoul painoi ääneti pään käsiinsä ja mutisi sitten:
"Ei ole ystäviä, ei!"
"Pyh!" sanoi d'Artagnan.
"On vain ivailijoita ja välinpitämättömiä."
"Loruja! Minä en ole ivailija, vaikka olenkin suupaltti. Ja
välinpitämätön! Jos sitä olisin, niin olisin jo neljännestunti sitten
lähettänyt sinut hornan kattilaan; sillä sinä tekisit ilosta
hurmaantuneen ihmisen murheelliseksi, ja murhemielisen aivan
pökerryttäisit. Mitä, nuori mies, tahtoisitko, että ryhtyisin
vieroittamaan sinua armaastasi ja herättämään sinussa inhoa naisiin,
jotka ovat ihmiselämän kunnia ja ihanin onni?"
"Monsieur, puhukaa, puhukaa, niin siunaan teitä!"
"Eh, nuori ystäväni, luuletko ehkä, että olen sullonut päähäni nuo
jutut puusepästä ja maalarista, portaista ja muotokuvasta sekä

65. tuhannet muut toisiaan hassummat tarinat?"
"Puuseppä! Mitä se puuseppä merkitsee?"
"Ma foi, enpä tiedä! Kerrotaan jonkun puusepän puhkaisseen
erään lattian."
"La Vallièrenko huoneessa…?"
"En tiedä missä."
"Kuninkaanko luona?"
"Ka, jos se olisi tapahtunut kuninkaan luona, niin kylläpä sen
sinulle sanoisin, kai maar?"
"Kenen luona sitten?"
"Olenhan jo tunnin ajan uuvuttanut itseäni sinulle toistelemalla,
etten tiedä."
"Entä maalari sitten? Muotokuva?"
"Kuningas kuuluu teettäneen jonkun hovinaisen muotokuvan."
"La Vallièrenko kuvan?"
"Ohoi, aina sinulla on vain se nimi huulillasi! Kuka sinulle la
Vallièresta puhuu?"
"Mutta ellei ole hänestä kysymys, niin miksi tahdotte, että asia
minua koskisi?"

66. "Minä en tahdo, että se sinua koskisi. Mutta kun kyselet, niin
vastaan. Sinä tahdot tietää herjausjutut, ja minä kerron niitä sinulle.
Pidä hyvänäsi."
Raoul löi epätoivoissaan otsaansa.
"Tästä ihan kuolee!" virkkoi hän.
"Sen olet jo sanonut."
"Niin, olette oikeassa."
Ja hän astahti poistuakseen.
"Mihin menet?" kysyi d'Artagnan.
"Menen tapaamaan erästä, joka minulle sanoo totuuden."
"Kuka se on?"
"Muuan nainen."
"Neiti de la Vallière itse, eikö niin?" tiedusti d'Artagnan hymyillen.
"Haa, sepä mainio ajatus! Etsit lohdutusta, saatkin sitä pian. Ei tyttö
toki itsestään pahaa puhune."
"Erehdytte, monsieur", vastasi Raoul; "nainen, jonka puoleen
käännyn, kyllä sanoo minulle paljon pahaa."
"Montalais, — löisin vetoa?"
"Niin, Montalais."

67. "Ah, hänen ystävättärensä? Siinä asemassa nainen suuresti
liioittelee hyvän tai pahan. Älä puhu Montalaisille, Raoul hyvä."
"Ette te siitä syystä tahdo minua Montalaisista loitontaa."
"No en, sen myönnän… Ja miksi leikkisinkään kanssasi kuin kissa
hiiriparalla? Sinä herätät minussa tosiaankin sääliä. Ja jos haluan,
ettet tällä hetkellä puhuisi Montalaisille, teen sen siksi, että sinä
paljastaisit salaisuutesi ja sitä käytettäisiin väärin. Odota, jos voit."
"Minä en voi."
"Huono juttu! Näetkös, Raoul, jos minulla olisi mitään aatosta…
Mutta minulla ei sellaista ole."
"Luvatkaa, ystäväni, minulle myötätuntonne; se riittää, Ja jättäkää
minut selviytymään asiasta omin avuin."
"Hahhaa, sotkeutuakseni juuri pahimmin! Istahda tämän pöydän
ääreen ja ota kynä."
"Mitä varten?"
"Kirjoittaaksesi Montalaisille ja pyytääksesi häneltä kohtausta."
"Ah!" virkahti Raoul, tarttuen kiihkeästi kapteenin ojentamaan
kynään.
Yhtäkkiä ovi aukeni, ja sisälle astui muskettisoturi, lähestyen
d'Artagnania.
"Herra kapteeni", sanoi hän, "täällä on neiti de Montalais, joka
tahtoisi teitä puhutella."

68. "Minua?" murahti d'Artagnan. "Tulkoon hän sisälle, Ja saanpa
nähdä, minuako hän tahtoo puhutella."
Viekas kapteeni oli vainunnut oikein. Sisälle astuessa Montalais
näki
Raoulin ja huudahti:
"Monsieur, monsieur… Anteeksi, anteeksi, herra d'Artagnan!"
"Kaikesta sydämestäni, mademoiselle", vastasi d'Artagnan. "Tiedän
hyvin, että ne, jotka minua tällä iälläni etsivät, ovat kipeästi apuni
tarpeessa."
"Minä hain herra de Bragelonnea", selitti Montalais.
"Kuinka hyvin sattuikaan! Minäkin tavoitin teitä."
"Raoul, etkö tahdo mennä neidin kanssa?"
"Hyvin kernaasti."
"Mene siis!"
Ja hän työnsi Raoulin lempeästi huoneesta. Sitten hän tarttui
Montalaisin käteen.
"Olkaa hyvä tyttö", kuiskasi hän; "säästäkää poikapoloista ja
säästäkää tyttörukkaa."
"Ah!" vastasi Montalais yhtä hiljaa. "Minä en häntä joudu
puhuttelemaan."
"Kuinka niin?"

69. "Madame häntä lähetti noutamaan."
"Kas, vai Madame!" huudahti d'Artagnan. "No hyvä, ennen kuin
tuntikaan on kulunut, on poika parantunut."
"Tai kuollut!" lisäsi Montalais säälivästi. "Hyvästi, herra
d'Artagnan!"
Ja hän riensi yhtymään Raouliin, joka odotteli kaukana ovesta
hyvin jännittyneenä ja levottomana hänen jättäytymisestään
kapteenin puheille, mikä ei luvannut mitään hyvää.
191.
Kaksi mustasukkaista.
Rakastajat ovat helliä kaikessa, mikä koskee heidän rakastettuaan.
Tuskin oli Raoul nähnyt Montalaisin, kun hän kiihkeästi suuteli tämän
kättä.
"No, no", virkkoi nuori tyttö surumielisesti. "Suudelmanne on
väärällä perusteella, paras herra Raoul, — hyödytön, hukkaan
osunut."
"Kuinka?… mitä?… selittäkää, rakas Aure-neiti!…"
"Madame selittää teille kaikki. Hänen luokseen olen teitä
viemässä."
"Mitä ihmettä!…"

70. "Hiljaa, — eikä tuollaisia säikähtyneitä katseita! Ikkunoilla on täällä
silmät ja seinillä suuret korvat. Suvaitkaa olla tuijottamatta minuun
enää; puhukaa minulle äänekkäästi sateesta, kauniista ilmasta ja
Englannin viehätyksistä."
"Mutta…"
"Oih, minä varoitan teitä: en tiedä missä, mutta jossakin täällä
täytyy Madamella olla avoin silmä ja vaaniva korva. Ymmärrättehän,
ettei mieleni tee tulla karkoitetuksi tai vankilaan suljetuksi.
Puhukaamme siten kuin sanoin tai olkaamme kerrassaan
puhumatta."
Raoul puristi kätensä rajusti nyrkkiin, reipastutti askeleitansa ja
otti rohkean muodon, mutta sellaisena lujana katsantona, jolla
lannistumaton tuomittu menee rangaistustaan kärsimään. Tarkkaavin
silmin ja nenä pystyssä vainuten kaikkialle tepsutteli Montalais
keveästi hänen edellään. Raoul osoitettiin heti Madamen
huoneeseen. — Noh, — ajatteli hän, — päivä kuluu minun saamatta
mitään tietää. De Guiche sääli minua liiaksi; hän on liittynyt yhteen
Madamen kanssa, ja ystävällisellä juonella he koettavat siirtää
kysymyksen ratkaisua. Miksei minulla täällä ole kunnon vihollista…
esimerkiksi sitä de Wardesin käärmettä! Hän purisi, se on totta;
mutta minä en jäisi enää epäselvyyteen… Epäröidä… epäillä…
parempi kuolla.
Raoul seisoi Madamen edessä. Hurmaavampana kuin koskaan
lepäili
Henriette nojatuolissaan, sirot jalat kirjaillulla samettipieluksella.
Hän leikki pienen, tuuheasilkkisen kissan kanssa, joka pureskeli
hänen
sormiaan ja riippui hänen kaularöyhelönsä silkkipunoksissa.

71. Madame haaveili niin syvissä mietteissä, että havahtui unelmistaan
vasta kun Raoul toistamiseen huomautti:
"Teidän korkeutenne tahtoi puhutella minua?"
Madame pudisti päätänsä kuin unesta heräten.
"Hyvää päivää, herra de Bragelonne", virkkoi hän; "niin, minä
lähetin teitä kutsumaan. Olette siis palannut Englannista?"
"Teidän kuninkaallisen korkeutenne palvelijana."
"Kiitos! Jättäkää meidät, Montalais."
Montalais lähti.
"Voinette suoda minulle muutamia minuutteja, herra Bragelonne?"
"Koko elämäni kuuluu teidän kuninkaalliselle korkeudellenne",
vastasi Raoul kunnioittavasti, aavistaen jotakin synkkää kaikkien
näiden kohteliaisuuksien takana; mutta tämä uhka ei ollut hänelle
vastenmielinen, koska hän oli varma, että se johtui jonkunlaisesta
sukulaisuudesta hänen omien ja Madamen tunteitten välillä. Kaikki
hovin älykkäät ihmiset tunsivatkin prinsessan omituisen luonteen
oikullisen tahdonlujuuden ja tavattoman vallanhalun. Madamea olivat
kuninkaan ihailun osoitukset sanomattomasti imarrelleet; Madame oli
antanut itsestään puheenaihetta ja herättänyt kuningattaressa sen
kuolettavan mustasukkaisuuden, joka jäytävänä matona tuhoo
kaiken naisellisen onnen; lääkitäkseen loukattua ylpeyttään Madame
oli sitten avannut sydämensä rakkaudelle. Meille on tunnettua, mitä
Henriette oli tehnyt kutsuakseen takaisin Ludvig XIV:n karkoittaman
Raoulin.

72. Kuka selvittää tämän kiehittämättömän vyyhden rakkautta ja
turhamaisuutta, sanomatonta hellyyttä ja suunnatonta petollisuutta?
Ei kukaan, ei edes se häijy enkeli, joka virittää keimailunhalun
naisten sydämessä.
"Herra de Bragelonne", sanoi prinsessa hetkisen vaitiolon jälkeen,
"oletteko hyvillänne paluustanne?"
Bragelonne katsahti prinsessa Henrietteen, nähden hänet kalpeana
siitä, mitä hän kätki, mitä hän pidätti, mitä hänen sydämensä hehkui
ilmaisemaan.
"Hyvilläni?" virkkoi hän. "Missä suhteessa olisin hyvilläni tai
pahoillani, Madame?"
"Siinä kohden tietysti, mitä teidän ikäisenne ja muotoisenne mies
enimmin harrastaa."
— Ripeästi hän käykin asiaan käsiksi! — ajatteli Raoul vavahtaen.
—
Mitä hän aikonee sydämelleni kuiskata?
Säikkyen hän halusi siirtää tuonnemmaksi toivomansa, mutta niin
kauhean hetken, jolloin saisi kaikki tietää. Hän vastasi: "Madame,
olin jättänyt tänne hellän ystävän täysin terveenä ja tapaan hänet
sairaana."
"Tarkoitatte herra de Guichea?" lausui prinsessa järkkymättömän
tyynenä. "Olen kuullut, että hän on teille hyvin rakas kumppani."
"Niin on, Madame."

73. "No, on totta, että hän haavoittui; mutta hänen vointinsa on jo
parempi. Oh, herra de Guichea ei tarvitse surkutella", huomautti
Madame nopeasti, mutta paransi sitten sanojaan. "Vai onko hänen
tilansa tukala? Onko hän valitellut? Vaivaako häntä joku meille
tuntematon huoli?"
"Puhun ainoastaan hänen vammastaan, Madame."
"No, ei sitten mitään, sillä herra de Guiche kuuluu reippaasti
toipuvan siitä seikkailustaan. Niin, herra de Bragelonne, olenpa
varma, että tekin mieluummin soisitte ruumiinne haavoittuneen!…
Sellaisestahan pian paranee."
Raoul säpsähti. — Hän palaa siihen, — ajatteli hän, ah!…
Mutta ääneen hän ei virkkanut mitään.
"Mitä arvelette?" kysäisi Henriette.
"En osaa sanoa mitään, Madame."
"Ette sano mitään! Ettekö siis ole samaa mieltä kanssani? Oletteko
siis tyytyväinen?"
Raoul astui lähemmäksi.
"Madame", pyysi hän, "teidän kuninkaallinen korkeutenne tahtoo
sanoa minulle jotakin, mutta teidän luontainen jalomielisyytenne
pakottaa teitä käyttämään sääliväistä kieltä. Älköön teidän
korkeutenne minua enää säästäkö! Minä olen voimakas ja
kuuntelen."
"Ah", vastasi Henriette, "mitä nyt ajattelettekaan?"

74. "Sitä, mitä teidän korkeutenne tahtoo minulle tehdä
ymmärrettäväksi."
Ponnistuksistaan huolimatta Raoul vapisi nämä sanat lausuessaan.
"Se on kyllä julmaa", jupisi prinsessa; "mutta koska olen
aloittanut…"
"Niin, Madame, koska teidän korkeutenne on suvainnut aloittaa,
niin suvaitkaa sanoa kaikki…"
Henriette nousi äkkiä ja käveli muutaman askeleen huoneessa.
"Mitä herra de Guiche teille sanoi?" tiedusti hän.
"Ei mitään, Madame."
"Ei mitään! Eikö hän selittänyt teille mitään? Oi, kuinka hyvin
hänet siitä tunnen!"
"Hän kaiketi tahtoi minua säästää."
"Ja tuota ystävät nimittävät ystävyydeksi! Mutta herra d'Artagnan,
jonka luota tulette, toki kertoi jotakin?"
"Ei sen paremmin, Madame."
Henriette liikahti kärsimättömästi.
"Tiedättehän ainakin, mitä hovissa huhutaan?" virkkoi hän.
"En tiedä yhtään mitään, Madame."
"Ettekö ukonilma-seikkailuakaan?"

75. "En ollenkaan."
"Ettekä kohtausta metsässä?"
"En kohtausta metsässäkään!…"
"Ettekä pakoa Chaillotin luostarista?"
Raoul, joka taipui kuin sirpin kohtaama kukka, pakottausi yli-
inhimillisellä ponnistuksella hymyilemään, vastaten sanomattoman
säveästi:
"Minulla on kunnia vakuuttaa teidän kuninkaalliselle
korkeudellenne, etten tiedä yhtään mitään. Olen Englannista
saapuva unohdettu poloinen. Täkäläisten ihmisten ja minun välillä
meurusi niin paljon kuohuvia aaltoja, että teidän korkeutenne
mainitsemien asiain kaiku ei ole ulottunut minun korviini."
Henrietteä liikutti tämä kalpeus, tämä säyseä uljuus. Hänen
sydämensä vallitsevana tunteena oli tällä hetkellä palava halu
häivyttää onnettoman rakastajan mielestä se olento, joka tälle tuotti
niin suurta kärsimystä.
"Herra de Bragelonne", lausui hän, "mitä ystävänne eivät ole
tahtoneet, sen tahdon minä tehdä teille, sillä minä kunnioitan teitä ja
pidän teistä. Saatte nyt minusta oikean ystävän. Te seisotte pää
pystyssä kuten kunnon miehen tulee, ja minä en tahdo, että teidän
täytyisi taivuttaa se pilkan edessä ja kenties jo viikon päästä
halveksumisenkin painamana."
"Oi", äännähti Raoul kalmankalpeana, "onko asia jo niin pitkällä?"

76. "Ellette tiedäkään", sanoi prinsessa, "näen teidän ainakin
aavistavan.
Tehän olitte kihloissa neiti de la Vallièren kanssa?"
"Niin, Madame."
"Senvuoksi olen velvollinen valmistamaan teitä siihen, että
piakkoin karkoitan neiti de la Vallièren seurueestani…"
"Karkoitatte la Vallièren!" huudahti Bragelonne.
"Varmasti. Luuletteko, että ikuisesti mukaudun kuninkaan kyyneliin
ja valitusvirsiin? Ei, taloni ei kauemmin saa tarjota turvaa mokomalle
elämälle. Mutta tehän horjutte…"
"En, Madame, anteeksi", ponnistausi Bragelonne väittämään,
"hetkellinen pahoinvointi vain. Teidän kuninkaallinen korkeutenne
kunnioitti minua mainitsemalla, että hänen majesteettinsa oli itkenyt,
rukoillut."
"Kyllä, mutta turhaan."
Hän kertoi Raoulille Chaillotin retken ja kuninkaan epätoivoisen
paluun sieltä; hän kertoi oman taipumisensa armahtavaisuuteen,
mutta mainitsi myös, millä purevalla huomautuksella hän — loukattu
prinsessa, nöyryytetty keimailijatar — oli masentanut kuninkaallisen
vihan.
Raoul painoi päänsä alas.
"Mitä nyt ajattelette?" kysyi Madame lopuksi.
"Kuningas rakastaa häntä!" vastasi nuori mies.

77. "Mutta te sanotte tuon siihen tapaan kuin tyttö ei rakastaisi
häntä."
"Voi, minä muistelen vielä aikaa, jolloin hän rakasti minua,
madame."
Henriette ihaili hetkisen tätä ylevää uskomattomuutta. Sitten hän
olkapäitään kohauttaen virkkoi:
"Te ette usko minua? Oi, miten te häntä rakastatte, kun voitte
epäillä, tokko hän rakastaa kuningasta!"
"Epäilen siihen asti, kunnes saan todistuksen. Anteeksi, minulla on
hänen sanansa, ja hän on jalosukuinen tyttö."
"Todistuksenko?… Olkoon menneeksi, tulkaa!"
192.
Kotitarkastus.
Raoulin edellä mennen prinsessa vei hänet pihan yli siihen
rakennukseen, missä la Vallière asui, ja nousten portaita, joita Raoul
juuri samana aamuna oli käyttänyt, hän pysähtyi sen huoneen oven
eteen, missä nuori mies oli saanut omituisen vastaanoton
Montalaisilta.
Hetki oli hyvin valittu prinsessan suunnitteleman tuuman
toimeenpanemiseksi. Linna oli tyhjillään; kuningas, hovin herrat ja
naiset olivat lähteneet Saint-Germainiin. Vain Henriette, tietäen

78. Bragelonnen tulon ja ajatellen käyttää tätä hyväkseen, oli tekeytynyt
pahoinvoivaksi ja jäänyt kotiin. Madame oli siis varma, että he eivät
tapaisi ketään la Vallièren huoneessa tai Saint-Aignaninkaan
asunnossa. Vetäen kaksoisavaimen taskustaan hän astui
hovineitonsa kamariin.
Bragelonne upotti katseensa tähän huoneeseen, tuntien sen, ja jo
ensimmäinen vaikutelma tuotti hänelle kärsimystä. Prinsessa katseli
häntä, ja hänen harjaantunut silmänsä huomasi, mitä nuoren
miehen sydämessä liikkui.
"Olette pyytänyt minulta todistuksia", virkkoi hän; "älkää siis
ihmetelkö, että niitä teille esitän. Ellette usko itsellänne olevan
rohkeutta niitä sietää, on nyt vielä aika peräytyäksemme."
"Kiitos, madame", vastasi Bragelonne; "mutta minä olen tullut
tänne varmistumaan. Olette luvannut saada minut vakuuttumaan.
Tehkää niin."
"Tulkaa siis sisälle", sanoi Madame, "ja sulkekaa ovi jälkeenne."
Bragelonne totteli, ja kääntyen prinsessaan päin hän loi häneen
kysyvän silmäyksen.
"Tiedätte kai, missä olette?" lausui Henriette.
"Kaikesta päättäen, madame, uskon olevani neiti de la Vallièren
huoneessa."
"Oikein."
"Mutta pyydän huomauttaa teidän korkeudellenne, että tämä
huone on huone, eikä mikään todistus."

79. "Odottakaa."
Prinsessa astui makuusijan jalkopään taakse, käänsi irtoseinän
kokoon ja kumartui parkettilattiaa kohden.
"Tässä", näytti hän, "kumartukaa itse nostamaan tuo
laskuluukku."
"Laskuluukku?" huudahti Raoul kummastuneena, sillä d'Artagnanin
sanat alkoivat palata hänen mieleensä, ja hän muisteli tämän
maininneen jotakin sellaista. Mutta turhaan hänen katseensa etsi
rakoa, joka olisi ilmaissut aukon, tai rengasta, jonka avulla olisi
voinut nostaa jonkun osan lattiaa.
"Ah, se on totta!" nauroi madame Henriette. "Minä unohdin
neljännen parkettikuution salaisen joustimen. Painakaa puussa
olevan oksan kohdalta, siinä opastus. Painakaa itse varakreivi, — kas
tähän."
Kalpeana kuin kuolema painoi Raoul peukalollaan mainittuun
kohtaan; heti tottelikin joustin, ja laskuovi kohosi itsellään.
"Hyvin nerokas laite", virkkoi prinsessa, "ja näkee arkkitehdin
tienneen, että pontimelle oli varattu hento käsi. Ja kansi nousee ihan
vaivatta!"
"Portaat!" huudahti Raoul.
"Niin, ja sirot ovatkin", sanoi prinsessa Henriette. "Katsokaa,
varakreivi, näissä portaissa on kaidepuu suojelemassa hentoja
henkilöitä putoamasta, kun uskaltautuvat niitä alas, Niinpä minäkin
rohkenen niille astua. No, seuratkaa minua, varakreivi, seuratkaa."

80. "Mutta ennen kuin seuraan teitä, madame, sanokaahan, minne
nämä askelmat vievät?"
"Ah niin, minä unohdin."
"Minä kuuntelen, madame", virkkoi Raoul henkeään pidätellen.
"Tietänette, että herra de Saint-Aignan asui melkein seinätysten
kuninkaan kanssa?"
"Kyllä, madame, sen tiedän. Niin oli laita ennen lähtöäni ja
useankin kerran oli minulla kunnia käydä häntä tapaamassa siellä."
"No, hän on saanut kuninkaalta luvan vaihtaa tuntemanne
mukavan ja kauniin huoneiston niihin kahteen vähäpätöiseen
suojaan, joihin portaat johtavat ja jotka ovat puolta pienemmät ja
kymmenesti loitompana kuninkaan huoneista, vaikka hovin
herrasmiehet tavallisesti eivät halveksi hänen majesteettinsa
läheisyyttä."
"Hyvä on, madame", vastasi Raoul; "mutta suvaitkaa jatkaa, sillä
vielä en ymmärrä mitään."
"No, sattui niin", pitkitti prinsessa, "että tämä herra de Saint-
Aignanin asunto sijaitsee neitojeni ja erityisesti la Vallièren asunnon
alla."
"Mutta mitä tarkoitusta varten tämä laskuovi ja nämä portaat?"
"Kas, sitä en tiedä! Tahdotteko, että astumme herra de Saint-
Aignanin asumukseen? Kenties sieltä keksimme arvoitukseen
selityksen."

81. Ja näyttäen esimerkkiä Madame astui edellä. Raoul seurasi häntä
huoaten. Jokainen nariseva askelma lähensi häntä sen huoneen
salaperäisyyksiin, joka vielä säilytti la Vallièren huokauksia ja hänen
sulojensa tuntua. Huohottavin henkäyksin vetäen sieraimiinsa
tuoksuttunutta ilmaa Bragelonne tunsi, että nuori tyttö oli siitä
kulkenut. Näiden huurujen — näkymättömien, mutta varmojen
todistusten — jälkeen tulivat kukkaset, joita tyttö rakasti, kirjat, jotka
tämä oli valinnut. Jos Raoulilla vielä olisi ollut pienintäkään epäilystä,
olisi hän sen menettänyt nähdessään tämän salaisen sopusoinnun
Louisen hienostuneen maun ja näiden jokapäiväisten esineiden
välillä. Huonekaluissa, verhojen valinnassa, vieläpä parketin
heijastuksissa oli la Vallière ilmielävänä varakreivin silmien edessä.
Mykkänä ja murtuneena ei hänellä enää ollut mitään
tiedusteltavaa, hän vain seurasi säälitöntä opastajatartaan kuten
rikollinen pyöveliään. Julmana niinkuin herkkäaistinen ja
hermostunut nainen saattaa olla, Madame ei säästänyt häneltä
ainoatakaan yksityiskohtaa. Mutta täytyy sanoa, että hänet
vallanneesta apeudesta huolimatta ei mikään näistä yksityiskohdista
olisi jäänyt Raoulilta huomaamatta, vaikka hän olisi ollut yksinkin.
Naisen onni, kun se onni tulee hänelle kilpailijalta, tuottaa
mustasukkaiselle kidutusta. Mutta Raoulin kaltaiselle
mustasukkaiselle, tälle ensi kertaa sappeutuvalle sydämelle Louisen
onni tiesi häpeällistä kuolemaa, ruumiin ja sielun surkastumista. Hän
tajusi kaikki: hellät kädenpuristukset, lempeä haastavat kasvot, jotka
lähestyivät toisiaan kuvastimen edessä ikäänkuin paremmin
piirtääkseen kuvan muistiinsa, kun näkivät toisensa kaksinaisesti.
Hän aavisti näkymättömän suutelon paksujen, alaslaskeutuvien,
pidäkkeistään irroitettujen uutimien takana. Niiden varjoon

82. kätkettyjen leposohvien kaunopuheisuus aiheutti hänen sielussaan
kuumeista tuskaa.
Tämä ylellisyys, tämä hurmaantunut hienouden tavoittelu, tämä
perin tarkka huolenpito rakastetun olennon säästämisestä kaikelta
mielipahalta tai pyrkimys tuottaa hänelle mieluinen yllätys, — kaikki
tämä kuninkaallisen mahdin moninkertaistuttama rakkauden voima
koski Raouliin kuolettavana iskuna. Oi, mikäli mustasukkaisuuden
kivisteleville tuskille on lievennystä olemassa, sitä voi tuottaa
tietoisuus voitokkaan kilpailijan alemmuudesta, kun sitä vastoin
jonkun jumalan kaikkivallalla varustettu kilpakosija, jolla on
nuoruutta, kauneutta, suloja, aiheuttaa hehkuvimman helvetin
tuntoa, kielin kertomatonta kidutusta! Näinä hetkinä tuntuu itse
taivaan Herra asettuneen hylättyä rakastajaa vastaan.
Vielä viimeinen murhe oli varattu Raoul-poloiselle. Prinsessa
Henriette kohotti silkkiverhoa, ja sen takaa tuli näkyviin la Vallièren
muotokuva. Ja vieläpä Louise siinä esiintyi nuorena, kauniina,
iloisena, elämää uhkuvana, koska kahdeksantoistavuotiaalla elämä ja
rakkaus ovat samaa.
"Louise", mutisi Bragelonne, "Louise! Se on siis totta? Oi, sinä et
ole minua koskaan rakastanut, sillä koskaan et ole minua katsellut
noin."
Ja hänestä tuntui kuin sydän olisi pakahtunut hänen povessaan.
Madame melkein kadehti tätä murhetta, vaikka hän hyvin tiesi,
että hänellä ei ollut mitään kadehtimisen syytä ja että de Guiche
rakasti häntä yhtä suuresti kuin Bragelonne la Vallièreä.
Raoul yllätti Henrietten katseen.

83. "Oi, anteeksi, anteeksi!" virkkoi hän. "Tiedän, että minun pitäisi
paremmin hillitä itseäni seistessäni teidän edessänne, Madame.
Mutta älköön Herra, maan ja taivaan Jumala, koskaan iskekö teitä
niin kovin kuin minua tällä hetkellä on lyöty! Sillä te olette nainen,
ettekä varmaankaan voisi kestää sellaista murhetta. Suokaa minulle
anteeksi, olen vain vähäpätöinen ritari, kun te kuulutte niiden
onnellisten, kaikkivoipain, valittujen heimoon…"
"Herra de Bragelonne", vastasi Henriette, "sellainen sydän kuin
teidän ansaitsee kuningattaren sydämen huomion ja huolenpidon.
Olen ystävänne, monsieur, enkä ole tahtonut, että petollisuus
myrkyttäisi ja pilkka tahraisi kaiken elämänne. Minä olen kaikkia niin
sanottuja ystäviänne rohkeampana (teen poikkeuksen herra de
Guichen suhteen) toimittanut teidät takaisin Lontoosta. Minä olen
hankkinut teille tuskalliset, mutta parantumisellenne välttämättömät
todistukset, jos olette uljas rakastaja ettekä mikään kyynelehtivä
Amadis. Älkää kiittäkö minua, pikemminkin säälikää, ja palvelkaa
kuningasta yhtä hyvin kuin ennen."
Raoul hymyili katkerasti.
"Ah, se on totta", sanoi hän, "minä unohdin, että kuningas on
herrani."
"On kysymyksessä vapautenne, henkenne!" Raoulin kirkas ja
läpitunkeva katse osoitti Henriettelle, että hänen viimeinen
perustelunsa ei ollut niitä, jotka vaikuttaisivat tähän nuoreen
mieheen. "Olkaa varuillanne, herra de Bragelonne", täydensi hän;
"sillä ellette punnitsisi kaikkia tekojanne, nostaisitte suuttumuksen
raivon ruhtinaassa, joka helposti kiivastuu järjen ääntä
kuulemattomaksi. Syöksisitte murheeseen kaikki ystävänne ja
omaisenne. Taipukaa, alistukaa, parantukaa."

84. "Kiitos, Madame", sanoi Raoul. "Pidän teidän korkeutenne
antamaa neuvoa arvossa ja koetan sitä noudattaa. Mutta vielä sana,
pyydän."
"Puhukaa."
"Olisiko varomatonta kysyä teiltä, miten olette saanut ilmi näiden
portaiden, laskuluukun, muotokuvan salaisuudet?"
"Aivan yksinkertaisella tavalla. Voidakseni valvoa taloani minulla on
omat avaimet seuranaisteni huoneisiin. Minusta tuntui omituiselta,
että la Vallière niin usein sulkeutui kammioonsa; samoin kummastutti
minua de Saint-Aignanin asunnon muutto, ja ihmettelin myöskin,
että kuningas niin säännöllisesti kävi joka päivä tapaamassa kreiviä,
niin suuri suosikki kuin tämä olikin. Sanalla sanoen minusta oli
merkillistä, että tätä kaikkea tapahtui teidän poissaollessanne ja että
hovin tavat olivat muuttuneet. En tahdo, että kuningas pitää minua
pilanaan, en tahdo olla hänen lemmenvehkeittensä väliverhona.
Nyyhkyttelevän la Vallièren jälkeen tulisi nauravan Montalaisin,
laulavan Tonnay-Charenten vuoro. Sellainen ei ole arvoni mukaista.
Karkoitin ystävyyteni aiheuttaman arkailun, keksin salaisuuden…
Haavoitan tunteitanne mutta vielä kerran, suokaa minulle anteeksi,
minulla oli velvollisuus täytettävänä. Se on nyt tehty, olen
varoittanut. On puhkeamassa myrsky, — etsikää suojaa."
"Kuitenkin teette jonkun johtopäätöksen, Madame", vastasi
Bragelonne lujasti; "sillä te ette edellytä, että sanaa hiiskumatta
alistun häpeään ja petokseen, jotka minua kohtaavat."
"Te menettelette siinä suhteessa miten hyväksi näette, herra
Raoul. Älkää vain ilmaisko lähdettä, mistä olette kuullut totuuden.

85. Ainoastaan tätä teiltä pyydän, ainoastaan tätä vaadin palkkana teille
tekemästäni palveluksesta."
"Älkää pelätkö, Madame", virkkoi Bragelonne katkerasti.
"Olen itse lahjonut lukkosepän, jonka apua rakastavaiset olivat
käyttäneet. Te olette varsin hyvin voinut tehdä samoin, eikö niin?"
"Niin, Madame. Teidän kuninkaallinen korkeutenne ei anna minulle
mitään muuta ohjetta, ei aseta muuta ehtoa kuu että minä en
ilmaise teitä?"
"En muuta."
"Pyydänkin siis saada viivähtää täällä vielä hetkisen."
"Yksiksennekö?"
"Oh, ei, Madame. Sillä ei ole väliä; voin toimittaa tehtäväni teidän
nähtenne. Pyydän teiltä minuutin aikaa kirjoittaakseni sanasen
jollekulle."
"Se on uhkarohkeata, herra de Bragelonne. Varokaa!"
"Kukaan ei voi tietää, että teidän kuninkaallinen korkeutenne on
suvainnut opastaa minut tänne. Piirränkin kirjeeseen muuten
nimeni."
"Olkaa hyvä, monsieur."
Raoul oli jo vetänyt esille muistikirjansa ja nopeasti kyhännyt
tyhjälle lehdelle seuraavat sanat:

86. 'Herra kreivi! Älkää ihmetelkö, että löydätte tämän
nimikirjoituksellani varustetun paperin ennen kuin eräs
ystäväni, jonka pian lähetän luoksenne, saa kunnian selittää
teille käyntini tarkoituksen.
Raoul de Bragelonne.'
Hän kääri paperiliuskan kokoon, pisti sen rakastavaisten
huoneeseen johtavan oven avaimenreikään, ja varmistauduttuaan,
että paperi de Saint-Aignanin palatessa ei voinut jäädä tältä
näkemättä, saapui prinsessan luo, joka jo oli ehtinyt portaitten
yläpäähän.
Ulkona käytävässä he erosivat. Raoul oli kiittävinään hänen
korkeuttaan, Henriette surkutteli tai oli kaikesta sydämestään
surkuttelevinaan onnetonta, jonka hän juuri oli tuominnut niin
kauheaan rangaistukseen.
"Oi", virkahti hän nähdessään tämän poistuvan kalpeana ja
verestävin silmin, "oi, jos olisin sen tiennyt, niin olisin salannut
totuuden tuolta poikapoloiselta!"
193.
Portoksen menettelytapa.
Tähän pitkään kertomukseen sijoittamiemme henkilöiden
moninaisuudesta johtuu, että kukin heistä pääsee esiintymään vain
vuoronsa jälkeen, sikäli kuin juoni ehdottomasti vaatii. Siksipä ei

87. lukijoillamme ole ollut tilaisuutta tavata Portos-ystäväämme sen
jälkeen kun hän palasi Fontainebleausta.
Kuninkaan osoittaman suosiollisuuden kunnia ei ollut ollenkaan
muuttanut arvoisan aatelismiehen tyyntä ja sydämellistä luonnetta.
Hän vain kulki pää pystymmässä kuin tavallista, ja jotakin
suurenmoisen ylvästä ilmeni hänen ryhdissään siitä asti kun hänelle
oli suotu armo aterioida kuninkaan pöydässä. Hänen majesteettinsa
ruokasali oli tehonnut Portokseen eräällä erityisellä tavalla.
Bracieuxin ja Pierrefondsin herra muisteli mielellään, että noilla
merkillisillä päivällisillä monilukuiset palvelijat ja joukko upseereja
vieraiden takana antoivat aterialle loistoa ja täyttivät juhlallisesti
huoneen. Portos päätti suoda herra Moustonille jonkunlaisen virka-
aseman, järjestää muunkin väkensä arvoasteittain ja hankkia
saattueekseen oman upseerikunnan, mikä ei ollut tavatonta suurille
päälliköille, koskapa edellisellä vuosisadalla sellaista komeutta
kannattivat herrat de Tréville de Schomberg ja de la Vieuville,
puhumattakaan kardinaali de Richelieusta, Condén prinssistä ja
sotamarski de Bouillon-Turennesta. Miksipä ei hän, kuninkaan ja
Fouquetin ystävä, parooni, sotainsinööri ynnä muuta, nauttisi
kaikista suuren varallisuuden ja huomattavien ansioitten tuottamista
viehätyksistä?
Aramis, jonka tiedämme paljon seurustelleen herra Fouquetin
kanssa, jätti hänet usein yksikseen, ja d'Artagnankaan ei
virkatoimiensa tähden päässyt paljon seurustelemaan hänen
kanssaan, Portos oli omasta puolestaan jo hiukan kyllästynyt
Trüchenin ja Planchetin rattoon, ja niinpä hän yllätti itsensä
haaveilemasta, tietämättä siihen varsinaista syytä. Mutta jos joku
olisi häneltä kysynyt: "puuttuuko sinulta mitään, Portos?" olisi hän
epäilemättä vastannut myöntävästi. Syödessään kerran päivällistä

88. asunnossaan, joissa tilaisuuksissa Portos koetti muistella
yksityiskohtia kuninkaan päivällisistä, — puolittain iloisena hyvän
viinin vaikutuksesta, puolittain suruissaan kunnianhimoisten
tuumiensa painosta, — oli Portos vaipumassa alkavaan ruokalepoon,
kun hänen kamaripalvelijansa tuli ilmoittamaan, että herra de
Bragelonne halusi häntä puhutella.
Portos astui viereiseen saliin, tavaten siellä nuoren ystävän siinä
mielentilassa, jossa tiedämme hänen olleen.
Raoul tuli kättelemään Portosta, joka ihmetellen hänen
vakavuuttaan tarjosi hänelle tuolin.
"Rakas herra du Vallon", virkkoi Raoul, "minun on pyydettävä teiltä
palvelusta."
"Se sattuu mainiosti, nuori ystäväni", vastasi Portos, "minulle on
lähetetty kahdeksantuhatta livreä tänä aamuna Pierrefondsista. Jos
siis olet rahan tarpeessa…"
"Ei, ei rahasta ole kysymys. Kiitos, oivallinen ystäväni."
"Sitä pahempi! Olen aina kuullut sanottavan, että se on harvinaisin
palvelus, mutta helpoin täyttää. Tuo lause on kiinnittänyt
huomiotani; toistelen mielelläni lauseita, jotka herättävät minussa
mielenkiintoa."
"Sydämenne on yhtä hyvä kuin järkenne on terve."
"Olet kovin ystävällinen. Kai syöt päivällistä?"
"On, minun ei ole nälkä."

89. "Häh! Mikä inhoittava maa se Englanti onkaan!"
"Eipä sentään, mutta…"
"Näetkös, ellei siellä saisi oivallista kalaa ja mainiota lihaa, ei
oleskelua siellä voisi sietää."
"Niin… Minä tulin…"
"Minä kuuntelen. Salli minun vain virkistää itseäni. Pariisissa
syödään suolaista. Uh!"
Ja Portos käski tuoda pullon samppanjaa. Täytettyään sitten
Raoulin lasin ennen omaansa hän kulautti aimo siemauksen ja sanoi
tyytyväisenä:
"Tarvitsin tämän kuunnellakseni sinua tarkkaavasti. Nyt olen
kokonaan käytettävänäsi. Mitä pyydät, rakas Raoul? Mitä haluat?"
"Lausukaa minulle mielipiteenne kiistakysymyksistä, hyvä
ystäväni."
"Mielipiteeni?… Ka, selitäppä ajatustasi vähän tarkemmin", vastasi
Portos hieroen otsaansa.
"Tarkoitan: oletteko avulias, kun sattuu rettelöitä hyvien
ystävienne ja vieraiden henkilöiden kesken?"
"Oh, enhän minä koskaan paljoksu vaivojani sellaisissa
palveluksissa."
"Hyvä! Mutta mitä silloin teette?"
"Ystävieni joutuessa kiistaan on minulla erityinen periaate."

90. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com