KELOMPOK 4 (KD 3.4)_Kajian Matematika SMA 02.pptx

Kajian Matematika SMA

1. PELUANG KEJADIAN MAJEMUK

2. KELOMPOK 4 (KD 3.4) ANGGOTA: Intan Maulita (2006103020111) Naufal Achmad Nuari (2006103020067) Natasya Putri (2006103020055) Riski Ananda Putri (2006103020056) Risma Salsabila (2006103020052) KAJIAN MATEMATIKA SMA UNIT 02

3. Peluang atau probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan suatu kejadian . Nilai peluang berada pada kisaran antara 0 dan 1. Untuk menentukan rumus peluang kejadian menggunakan ruang sampel dan suatu kejadian . Peluang kejadian A adalah : P(A) = n(A)/ n(S) Keterangan : N(A) = banyak anggota himpunan kejadian A n(S) = banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S Peluang suatu kejadian

4. Contoh : Sebuah dadu dilempar satu kali. Tentukan peluang kejadian A munculnya mata dadu dengan angka prima Penyelesaian : Percobaan melempar dadu menghasilkan 6 kemungkinan yaitu munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6, sehinga dapat dituliskan bahwa n (S)= 6. Munculnya mata dadu prima, yaitu peristiwa angka yang muncul merupakan bilangan prima, yaitu 2, 3, dan 5. Sehingga dapat dituliskan jumlah kejadian n(A) = 3. Jadi nilai peluang dari kejadian A tersebut adalah sebagai berikut : P(A) = n(A)/ n(S) P(A) = 3/6 = 0,5

5. Kejadian majemuk adalah kejadian baru yang terbentuk dari perlakuan pada dua atau lebih kejadian . Dalam peluang kejadian majemuk , peluang kejadian sembarang bisa dituliskan seperti di bawah ini . P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Keterangan : P(A U B) adalah peluang dua kejadian sembarang P(A) dan P(B) adalah peluang terjadinya kejadian tertentu P(A ∩ B) adalah peluang menyukai dua kejadian yang sama Peluang Kejadian Majemuk

6. Contoh Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3 ! Penyelesaian : Terdapat dua kejadian , kita misalkan sebagai kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu . A= kejadian munculnya angka genap B= kejadian munculnya angka lebih besar dari 3 S= {1,2,3,4,5,6} n(S)=6

7. A={2,4,6} n(A) = 3 Maka B={4,5,6} n(B) = 3 Maka , Terlihat bahwa ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadi   Sehingga peluang yaitu : Rumus peluang kejadian “A atau B” Jadi, peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3 yaitu  

8. Peluang Kejadian Saling Lepas Dua buah kejadian dikatakan saling lepas apabila tidak ada elemen yang sama antara kejadian yang satu dengan lainnya . Sebagai contoh , misalkan kejadian A merupakan kejadian munculnya mata dadu satu dan kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu lima. Hal ini tidak mungkin terjadi sehingga kejadian A dan B dikatakan saling lepas . Sehingga dapat disimpulkan bahwa peluang irisan dua kejadian saling lepas adalah nol atau P(A∩B)=0. Oleh sebab itu , misalkan kejadian A dan B saling lepas . Peluang gabungan dua kejadian A dan B adalah P(A∪B) ​ =P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A∪B) ​ = P(A)+P(B)

9. Contoh Dua buah dadu yang saling dilantunkan akan muncul 36 sampel keseluruhan . Misalkan A merupakan kejadian munculnya mata dadu berjumlah 2 dan B merupakan kejadian munculnya mata dadu berjumlah 4, maka tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah 2 atau 4 ! Penyelesaian : Diketahui : n(S) = 36 A={(1,1)} = 1 B={(1,3),(2,2),(3,1)} = 3 Sehingga peluang munculnya mata dadu berjumlah 2 atau 4 adalah :  

10. Dua kejadian dikatakan saling bebas ( independen ) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain. Contoh : Ketika melempar koin dua kali, hasil dari lemparan pertama tidak mempengaruhi hasil dari lemparan kedua Untuk dua kejadian saling bebas , A dan B , peluang untuk keduanya terjadi , P(A∩B) , adalah hasil perkalian antara peluang dari masing-masing kejadian . ∩ adalah simbol matematika untuk "dan" atau " irisan ". P(A∩B)=P(A)×P(B) Kejadian Saling Bebas

11. Contoh : Dalam kotak 1 terdapat 4 balon merah dan 3 balon putih , sedangkan pada kotak 2 terdapat 7 balon merah dan 2 balon hitam . Dari masing-masing kotak diambil satu balon secara acak . Hitunglah peluang terambil Balon merah dari kotak 1 dan balon merah dari kotak 2 Penyelesaian : Kejadian ini saling bebas karena kotak 1 dan kotak 2 tidak berkaitan Diketahuai : n(K1) = 4 ( jumlah balon merah kotak 1) n(K2) = 7 ( jumlah balon merah kotak 2) n(S1) = 7 ( jumlah balon kotak 1) n(S2) = 9 ( jumlah balon kotak 2)  

12. Kejadian Bersyarat Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu ditulis P(A|B) : dengan Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi terlebih dahulu ditulis P(B|A) : dengan Dengan = peluang irisan A dan B  

13. Contoh Dua dadu setimbang dilempang bersamaan . Jika jumlah mata dadu yang muncul kurang dari 4, hitunglah peluang bahwa mata dadu pertama sama dengan 1. Penyelesaian : Pada soal ini kemunculan mata dadu pertama sama dengan 1 terjadi setelah kemunculan jumlah mata dadu kurang dari 4. Jadi car penyelesaiannya ialah sebagai berikut : Misalkan A = kejadian muncul jumlah mata dadu kurang dari 4: A = {1,1};{1,2}, {2,1} jadi n(K) = 3 Jika dua dadu dilempar maka ruang sampel n(S) = 36.  

14. Misalkan B = kejadian muncul mata dadu pertama sama dengan 1 B= {1,1} dan {1,2} atau n(K) = 2 Maka , Jadi besar peluang =  

15. Soal sulit dari kelompok KD. 3.1 Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dn 4 kelereng putih . Akan diambil 4 kelereng sekaligus .  Peluang yang terambil  2 kelereng merah dan 2 kelereng putih adalah … Jawab : Dari 7 merah terambil 2 Dari 4 putih terambil 2 n(A)= x x =7.3x2.3 =126  

16. =  

17. 2. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 tentukan banyaknya bilangan ( dengan angka yang berbeda ) yang dapat dibentuk jika : Bilangan terdiri dari 4 angka Bilangan itu habis dibagi 2 Bilangan itu terdiri dari 3 angka dan lebih dari 300 Bilangan itu di antara 1.000 dan 10.000 dan merupakan kelipatan 5 Penyelesaian : a. Banyak bilangan = | 5 | 5 | 4 | 3 | = 5 x 5 x 4 x 3 = 300 bilangan (digit pertama tidak boleh sehingga ada 5 angka yang mungkin menempati , digit ke-2: angka 0 dan 4 angka sisanya sehingga juga ada 5 angka yang mungkin menempati , digit ke-3: tersisa 4 angka yang mungkin , dan digit terakhir tersisa 3 angka yang mungkin )

18. b. dik: 0,1,2,3,4,5 dit: bilangan habis dibagi 2 dengan angka yang berbeda jawab: bilangan yang habis dibagi 2 adalah bilangan yang digit terakhirnya terdapat angka 0, 2, atau 4 Kemungkinan 1 : digit terakhirnya 2 dan 4 ( angka tidak boleh pada digit pertama ) | 4 | 4 | 3 | 2 | 1 | 2 | = 4 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 196 bilangan kemungkinan 2 : digit terakhir 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 1 | = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 1= 120 bilangan Jadi banyaknya bilangan yang habis dibagi 2 dengan angka yang berbeda adalah 196+120= 316 bilangan.

19. c. Banyak bilangan = | 3 | 5 | 4 | = 3 x 5 x 4 = 60 bilangan (digit pertama hanya boleh ditempati angka 3, 4 atau 5. Ada 3 angka ) d. dik: 0,1,2,3,4,5 dit: bilangan antara 1000-10.000 yang merupakan kelipatan 5 jawab: bilangan yang meupakan kelipatan 5 adalah yang digit terakhinya 5 atau 0 Kemungkinan 1 : digit terakhirnya 5 ( angka tidak boleh pada digit pertama ) | 4 | 4 | 3 | 1 | = 4 x 4 x 3 x 1 = 48 bilangan Kemungkinan 2 : digit terakhirnya 0 | 5 | 4 | 3 | 1 | = 5 x 4 x 3 x 1 = 60 bilangan Jadi banyaknya bilangan antara 1000-10.000 yang merupakan kelipatan 5 adalah 48+60=106 bilangan.

20. 3. Pengurus takmir masjid Ar Rahmah yang terdiri dari Ketua , Sekretaris , Bendahara , dan 5 orang bagian seksi-seksi akan mengadakan musyawarah dengan posisi duduk melingkar . Tentukan macam posisi duduk yang mungkin jika : a) Posisi duduk bebas . b) Ketua dan Sekretaris harus selalu berdampingan . c) Ketua , Sekretaris , dan Bendahara harus selalu berdampingan . Penyelesaian : Permutasi siklis / melingkar : P = (n-1)! Dar i soal : a. Banyaknya = (8-1)! = 7! = 50 40 macam

21. b. Banyaknya (7-1)! . 2! = 6! . 2! = 1440 macam (2 unsur dianggap 1 karena selalu bersama sehingga dicari permutasi siklis dari 7 unsur , 2 unsur tersebut bisa pindah posisi sebanyak P(2,2) = 2!) c. Banyaknya = (6-1)! . 3! = 5! . 3! = 720 macam (3 unsur dianggap 1 karena selalu Bersama sehingga dicari permutasi siklis dari 6 unsur , 3 unsur tersebut bisa pindah posisi sebanyak P(3,3) = 3!) 4. Bowo melempar 2 buah dadu sebanyak sekali . Berapakah peluang Bowo mendapatkan angka prima pada dadu pertama dan angka kelipatan 3 pada dadu kedua ? Penyelesaian :  

22. Kejadian muncul angka prima pada dadu pertama dan angka kelipatan 3 pada dadu kedua adalah 2 kejadian saling bebas , maka : A = {2,3,5,7}, n(A)=4, B = {3,6}, n(B)=2, Sehingga  

23. 5. Dari 5 pria dan 4 wanita akan dipilih 3 orang sebagai duta wisata Kabupaten Ponorogo . Tentukan peluang terpilih : a. 3 pria   b. 3 wanita c. 1 pria dan 2 wanita d. minimal 1 pria Penyelesaian : n(S) = C(9,3) a. = 10  

24. b. c. d. Kemungkinannya adalah : 1P2W atau 2PW atau 3 P Atau  

25. Soal sulit dari kelompok KD. 3.2 1. Sebuah benda bersisi  6 tak beraturan sisinya diberi nomor  1,2,3,4,5,dan 6. Jika benda tersebut dilempar , maka benda akan jatuh pada salah satu sisinya . Jika P(n) adalah nilai peluang benda tersebut jatuh pada sisi bernomor  n dan P(n) =   maka   a = …   Jawab : Nilai P(n) untuk masing-masing n dapat kita jabarkan sebagai berikut: n=1 maka P(1)= = n=2 maka P(2)= =  

26. n=3maka P(3)= = n=4maka P(4)= = n=5 maka P(5)= = n=6 maka P(6)= =   Berdasarkan teorema peluang kita ketahui bahwa jumlah semua peluang yang mungkin terjadi adalah satu sehingga berlaku: P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1 + + + + + =1 32 +16 +8 +4 + 2 + =32 63 =32 =  

27. 2. Suatu pin ATM terdiri dari tiga angka berbeda , tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa angka kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik 123, 234, 345, 567, 678, atau 789 adalah ….. Jawab : Dengan menggunakan konsep kaidah pencacahan banyak keseluruhan pin ATM yang mungkin adalah n(S) n(S) = Angka I ⋅ Angka II  ⋅ Angka III = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 =648

28. Kejadian yang diharapkan E:123, 234, 345, 567, 678, atau 789 maka n(E)=6 P(E)= = = jadi peluang angka mempunyai nomor cantik 123,234,345,567 atau 789 adalah  

29. 3. Di dalam sebuah kotak terdapat   m bola merah dan n bola putih dengan   m+n =16. Jika bola diambil dua bola sekaligus secara acak dari dalam kotak , maka peluang terambil dua bola tersebut berbeda warna adalah   Nilai dari   adalah ... Jawab: Dari dalam kantong akan diambil dua bola sekaligus , maka banyak kemungkinan yang terjadi adalah terpilih dua bola dari   m+n bola Dari pengambilan dua bola sekaligus , hasil yang diharapkan adalah kedua bola berbeda warna , banyak kemungkinan yang diharapkan adalah terambil satu bola putih dari  m bola dan satu bola merah dari  n bola.  

30. Jika kita tuliskan banyak kemungkinan yang diharapkan terjadi , yaitu : Peluang kejadian  E  kedua bola berbeda warna adalah   , sehingga berlaku :   (m – 10)(m-6) = 0 m= 10 maka n=6 atau m=6 maka n=10 Jadi n ilai dari   adalah 136  

31. 4. Dalam supermarket terdapat  12 ibu-ibu dan 4  remaja yang sedang berbelanja . Dari 16 orang tersebut akan dipilih  2 orang secara acak untuk medapatkan  2  undian berhadiah dengan setiap orang hanya berhak memperoleh  1  hadiah . Peluang kedua hadiah dimenangkan oleh ibu-ibu adalah …. Jawab A = kejadian menangnya ibu-ibu pada pengundian pertama n(S) = jumlah seluruh pengunjung n(A) = jumlah ibu-ibu = 12 B|A = kejadian menangnya ibu-ibu pada pengundian kedua dan ibu -ibu yang pemenang pertama tidak diikutkan lagi pada saat pengundian . n(S) = Jumlah seluruh pengunjung = 15

32. n(B|A) = Jumlah ibu-ibu = 11 Peluang kedua hadiah dimenangkan oleh ibu-ibu adalah  

33. 5. Suatu kelas terdiri atas  10 pelajar pria dan 20  pelajar wanita . Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh wanita juga memakai arloji . Jika dipilih satu pelajar , maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah ….. Jawab Banyak pelajar keseluruhan adalah 30, ini dapat kita sebut n(S)=30 dimana terdiri dari 20 wanita dan 10 pria. Jika dimisalkan kejadian A: terpilih pelajar wanita, maka n(A)=20 Jika dimisalkan kejadian B: terpilih pelajar memakai arloji, maka n(B)= 5 + 10 =15 Kejadian pelajar wanita dan memakai arloji n(A∩B)=10n(A∩B)=10 Kejadian terpilih pelajar wanita atau pelajar memakai arloji adalah n(A ∪ B)

34. Peluang kejadian terpilih wanita atau memakai arloji adalah : P(A ∪ B) =P(A)+P(B)−P(A∩B) = + − = + − = =  

35. Soal sulit dari kelompok KD. 3.3 1. Di dalam kotak I terdapat  12 bola putih dan 3 bola merah . Di dalam kotak II terdapat  4 bola putih dan 4 bola merah . Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil  2 bola satu per satu dengan pengembalian , maka peluang yang terambil  1 bola merah adalah … Pembahasan : Kemungkinan terambil 1 bola merah yaitu Dari kotak I terambil satu merah dan 1 putih dan dari kotak II terambil keduanya putih Dari kotak I terambil keduanya putih dan dari kotak II terambil satu merah dan satu putih

36. Kasus a : Dari kotak I terambil satu merah dan satu putih , peluangnya adalah ( perkalian dengan 2 karena urutan bisa putih dulu kemudian merah atau merah dulu kemudian baru putih ) Dari kotak II terambil keduanya putih , peluangnya adalah sehingga peluang terjadinya kasus pertama adalah Kasus b : Dari kotak satu terambil keduanya putih , peluangnya adalah Dari kotak II terambil satu merah satu putuh , peluangnya adalah sehingga peluang Kesimpulan : peluang terambilnya satu bola merah adalah  

37. 2. Dua kelas masing-masing terdiri atas  30  siswa . Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas . Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah   . Peluang terpilih paling sedikit satu diantaranya laki-laki adalah …   Pembahasan : Misalnya kedua kelas tersebut adalah kelas A dan B. pada kelas A jika banyak siswa laki-laki adalah , maka banyak siswa perempuan adalah . Dengan demikian ; Peluang terpilihnya 1 siswa laki-laki adalah Peluang terpilihnya 1 siswa perempuan adalah  

38. Pada kelas B jika banyak siswa laki-laki adalah , maka banyak siswa perempuan adalah . Dengan demikian ; Peluang terpilih 1 siswa laki-laki adalah Peluang terpilih 1 siswa perempuan adalah   Dengan dan bilangan asli kurang dari sama dengan 30 yaitu Diketahui bahwa peluang terpilih keduanya laki-laki adalah , maka ;  

39. Karena dan maka dan . Dengan demikian , banyak siswa masing-masing kelas yaitu ; Pada kelas A banyak siswa laki-laki dan banyak siswa perempuan = Pada kelas B banyak siswa laki laki dan banyak siswa perempuan Sehingga peluang terpilih paling sedikit satu di antara laki-laki adalah sebangai berikut = ( Siswa laki-laki kelas A dan siswa perempuan kelas B) + ( siswa laki-laki kelas B dan siswa perempuan kelas A) + ( siswa laki-laki kelas A dan siswa laki-laki kelas B)  

40. 3. Dalam sebuah kotak tedapat  5 bola merah , 7 bola putih , dan 4 bola hijau . Diambil dua bola sekaligus . Jika pengambilan dilakukan sebanyak  600 kali dengan pengembalian , frekuensi harapan terambil bola kedua-duanya hijau adalah … Pembahasan : Terdapat   5 bola merah 7 bola putih 4 bola hijau Jumlah total bola = 16 bola Mencari banyak ruang sampel ( mengambil 2 bola dari 16 bola)  

41. Mencari banyaknya kejadian terambilnya 2 bola hijau dari 4 bola   Peluang terambilnya kedua bola warna hijau Frekuensi harapan terambilnya kedua bola warna hijau kali kali  

42. 4. Di atas meja terdapat dua set kartu . Setiap set kartu terdiri atas  52  lembar dengan empat warna berbeda ( merah , kuning , hijau , dan biru ). Masing-masing warna terdiri atas  13  kartu bernomor  1  sampai dengan  13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut . Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor  13  adalah … Pembahasan : Diketahui :    

43. 5. SMA X memiliki 6 kelas dengan banyak siswa pada setiap kelas adalah  16  pria dan 16  wanita . Jika untuk kepengurusan OSIS dipilih satu orang dari setiap kelas , maka peluang  2 orang wanita yang menjadi pengurus OSIS adalah … Penyelesaian : Misal   p = peluang terpilih siswa wanita dari setiap kelas q = peluang terpilih siswa pria dari setiap kelas Jumlah siswa di setiap kelas adalah 32 siswa yang terdiri dari 16 pria   16 wanita

44. Maka Akan dipilih 1 siswa dari setiap kelas (total kelas : n = 6 kelas )   Peluang 2 wanita yang jadi pengurus OSIS (r = 2)  adalah  

45. THANK YOU