Lógica y Cálculo Proposicional

Curso de Matemáticas Discretas impartido en el Tec de Monterrey Campus Ciudad de México, Escuela de Ingeniería y Ciencias.

1. Matemáticas Discretas
Lógica y Cálculo Proposicional
M. en C. Juliho Castillo
29 de enero de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de México
1

2. 1Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones Compuestas
Proposiciones compuestas
Operaciones Lógicas Básicas
Conjunciónp^q
Disjunciónp_q
Negación:p
Proposiciones y Tablas de Verdad
Tautologías y Contradicciones
Equivalencias Lógicas
Sentencias condicionales y bicondicionales
Argumentos
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Cuantificador universal
Cuantificador existencial
Negación de Sentencias Cuantificadas
Ejercicios Resueltos
Proposiones y Tablas de Verdad
Sentencias condicionales
Argumentos
Cuantificadores y Funciones Proposicionales
2

3. Lógica y Cálculo Proposicional
3

4. Muchos algoritmos y demostraciones usan expresiones lógicas
tales comosi p entonces q. Entonces es necesario conocer
los casos en los cuales esas expresiones sonciertaso
falsas. Discutiremos esto en esta unidad.
4

5. También investigamos el valor de verdad de enunciados
cuantificados, que son aquellos que usan los cuantificadores
lógicospara todo...yexiste...
5

6. Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones
Compuestas
6

7. Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser
cierto o falso, pero no ambos.
7

8. Ejemplo 1.1.
¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?
1El hielo flota en el agua.
2China está en Europa.
32 + 2 = 4
42 + 2 = 5
5¿A donde vas?
6Haz tu tarea.
8

9. Proposiciones compuestas
9

10. Muchas proposiciones estáncompuestasde proposiciones más
simples, llamadassubproposiciones, por medio deconectores
lógicos.Una proposición se dice que esprimitivasi no puede
descomponerse en proposiciones más simples.
10

11. Muchas proposiciones estáncompuestasde proposiciones más
simples, llamadassubproposiciones, por medio deconectores
lógicos.
Una proposición se dice que esprimitivasi no puede
descomponerse en proposiciones más simples.
10

12. Por ejemplo, las siguientes proposiciones son compuestas
“Las rosas son rojas y las violetas son azules”
“Juan es inteligente y estudía hasta muy noche”
11

13. La propiedad fundamental de una proposición compuesta es
que su valor de verdad está completamente deteminado por los
valores de verdad de sus subproposiciones y la manera en la
cual están conectadas para formar la proposición compuesta.
12

14. Lógica y Cálculo Proposicional
Operaciones Lógicas Básicas
13

15. En esta sección discutiremos las tres operaciones lógical
básicas: conjunción , disjunción y la negación.
14

16. Conjunciónp^q
15

17. Cualesquiera dos proposicionesp; qpueden ser combinadas por
la palabra “y” para formar una proposición compuesta llamada
conjunciónque se escribep^q:
16

18. Definición 1.1.
Si tantopcomoqson ciertas, entoncesp^qes cierta; en otro
casop^qes falsa.
17

19. Observación 1.1.
Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,
generalmente se utilizantablas de verdad.
Por brevedad1representará el valorcierto, mientras que0
representaráfalso
18

20. Observación 1.1.
Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,
generalmente se utilizantablas de verdad.
Por brevedad1representará el valorcierto, mientras que0
representaráfalso
18

21. Tabla de Verdad 1 (Conjunción).
pqp^q
111
100
010
000
19

22. En este curso, usaremos elsistema algebráico de computo
SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de
programaciónPythone incorpora diversos paquetes de
OpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través de
https://cloud.sagemath.com/
20

23. En este curso, usaremos elsistema algebráico de computo
SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de
programaciónPythone incorpora diversos paquetes de
OpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través de
https://cloud.sagemath.com/
20

24. Construimos la tabla de verdad de la conjunción en el
siguiente scritphttps://goo.gl/hEF5os
21

25. Ejemplo 1.2.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta?
1El hielo flota y2 + 2 = 4
2El hielo flota y2 + 2 = 5
3China está en Europa y2 + 2 = 4
4China está en Europa y2 + 2 = 5
22

26. Disjunciónp_q
23

27. Cualesquiera dos proposicionesp; qpueden ser combinadas por
la palabra “o” para formar una proposición compuesta llamada
disjunciónque se escribep_q:
24

28. Definición 1.2.
Si tantopcomoqson falsas, entoncesp_qes falsa; en otro
casop_qes verdadera.
25

29. Tabla de Verdad 2 (Disjunción).
pqp_q
111
101
011
000
26

30. Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente
scritphttps://goo.gl/5kXzNI
27

31. Observación 1.2.
Algunas veces``p o q''se entiende en el sentido exclusivo:
Puede ocurrirpoq,pero no ambos,que es diferente a la
definición anterior. Sin embargo, existe un conector llamado de
hechoo exclusivo,que cumple esta definición y
consideraremos más adelante.
28

32. Negación:p
29

33. Dada cualquier proposiciónp;otra proposición llamada
negacióndeppuede ser formada escribien“No es cierto
que...”o“Es falso que...”antes dep.De manera más sencilla,
decimosnopy escribimos:p:
30

34. Dada cualquier proposiciónp;otra proposición llamada
negacióndeppuede ser formada escribien“No es cierto
que...”o“Es falso que...”antes dep.
De manera más sencilla,
decimosnopy escribimos:p:
30

35. Definición 1.3 (Negación).
Sipes cierta, entonces:pes falsa; pero sipes falsa,:pes
cierta.
31

36. Tabla de Verdad 3 (Negación).
p:p
10
01
32

37. Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente
scritphttps://goo.gl/sgCfkC
33

38. Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Tablas de Verdad
34

39. SeaP(p; q; :::)una expresión construida con variables lógicas
p; q; :::;que toman valores deverdadero ``V''ofalso
``F'', a través de conectores lógicos como^;_;:y otros
que discutiremos más adelante.
Tales expresionesP(p; q; :::)son llamadasproposiciones.
35

40. SeaP(p; q; :::)una expresión construida con variables lógicas
p; q; :::;que toman valores deverdadero ``V''ofalso
``F'', a través de conectores lógicos como^;_;:y otros
que discutiremos más adelante.
Tales expresionesP(p; q; :::)son llamadasproposiciones.
35

41. La propiedad principal de una proposiciónP(p; q; :::)es que
sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a
través de unatabla de verdad.
36

42. La propiedad principal de una proposiciónP(p; q; :::)es que
sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a
través de unatabla de verdad.
36

43. Ejemplo 1.3.
Contruir la tabla de verdad de la proposición
:(p^ :q):
37

44. Construimos la tabla de verdad de la proposición anterior con
el siguiente scripthttps://goo.gl/V2Axzi
38

45. Tabla de Verdad 4 (:(p^ :q)).
p q not q p and not q not( p and not q)
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
39

46. Observación 1.3.
Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces
adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica:tiene prioridad sobre^;que a su vez
tiene prioridad sobre_.
40

47. Observación 1.3.
Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces
adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica:tiene prioridad sobre^;que a su vez
tiene prioridad sobre_.
40

48. Por ejemplo,
:p^q
significa
(:p)^q
y no
:(p^q):
41

49. Por ejemplo,
:p^q
significa
(:p)^q
y no
:(p^q):
41

50. Método alternativo de construir una tabla de verdad
pq:(p^:q)
11
10
01
00
42

51. Evaluación Continua 1.
Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
1p_ :p
2p^ :p
3:(p_q)
4:p^ :q
5:(p^q)
6:p_ :q
43

52. Lógica y Cálculo Proposicional
Tautologías y Contradicciones
44

53. Algunas proposicionesP(p; q; :::)son siempre ciertas, no
importa los valores de verdad de las variablesp; q; :::
Tales proposiciones se conocen comotautologías.
45

54. Algunas proposicionesP(p; q; :::)son siempre ciertas, no
importa los valores de verdad de las variablesp; q; :::
Tales proposiciones se conocen comotautologías.
45

55. De manera similar, algunas proposicionesP(p; q; :::)son
siempre falsas, no importa los valores de verdad de las
variablesp; q; :::
Tales proposiciones se conocen comocontradicciones.
46

56. De manera similar, algunas proposicionesP(p; q; :::)son
siempre falsas, no importa los valores de verdad de las
variablesp; q; :::
Tales proposiciones se conocen comocontradicciones.
46

57. Ejemplo 1.4.
Construya las tablas de verdad dep^ :pyp_ :p:
47

58. Lógica y Cálculo Proposicional
Equivalencias Lógicas
48

59. Diremos que dos proposicionesP(p; q; :::)yQ(p; q; :::)son
lógicamente equivalentessi tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P(p; q; ::)Q(p; q; :::)
49

60. Diremos que dos proposicionesP(p; q; :::)yQ(p; q; :::)son
lógicamente equivalentessi tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P(p; q; ::)Q(p; q; :::)
49

61. Ejemplo 1.5.
Demostremos que
:(p^q) :p_ :q
50

62. Ejemplo 1.6.
Reescriba la frase “No es cierto que: las rosas son rojas y las
violetas son azules”, usando la equivalencia anterior.
51

63. Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadasleyes
para el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario
verificar su validez a través de tablas de verdad.
52

64. Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadasleyes
para el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario
verificar su validez a través de tablas de verdad.
52

65. Figura 1.1:Leyes para el álgebra de proposiciones
53

66. Lógica y Cálculo Proposicional
Sentencias condicionales y
bicondicionales
54

67. Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la
forma``sipentoncesq''.Tales sentencias son llamdas
condicionalesy son denotadas por
p!q:
55

68. Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la
forma``sipentoncesq''.
Tales sentencias son llamdas
condicionalesy son denotadas por
p!q:
55

69. El condicionalp!qes frecuentemente leído como“pimplica
q”o“psólo siq”.
56

70. Otra sentencia común es de la forma“psi y solo siq”.Tales
sentencias son llamadasbicondicionalesy se denota por
p()q:
57

71. Otra sentencia común es de la forma“psi y solo siq”.
Tales
sentencias son llamadasbicondicionalesy se denota por
p()q:
57

72. Tabla de Verdad 5 (Condicional).
pqp!q
111
100
011
001
58

73. Tabla de Verdad 6 (Bicondicional).
pqp !q
111
100
010
001
59

74. Ejemplo 1.7.
Demuestre que
p!q :p_q:
60

75. Evaluación Continua 2.
Determine cuales de las siguientes sentencias son tautologías,
construyendo las correspondientes tablas de verdad.
1:(p_ :q)! :p
2p!(q!r)
3(p!q)!r
4(p!q)!(q!p)
5(p^(p!q))!q
6(p^q)!p
7q!(:p_ :q)
8((p!q)^(q!r))!(p!r)
61

76. Lógica y Cálculo Proposicional
Argumentos
62

77. Unargumentoes una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1; P2; :::; Pn;
llamadaspremisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q;llamadaconclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1^P2^:::^Pn)!Q
Tal argumento se denota por
P1; P2; :::; Pn`Q:
63

78. Unargumentoes una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1; P2; :::; Pn;
llamadaspremisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q;llamadaconclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1^P2^:::^Pn)!Q
Tal argumento se denota por
P1; P2; :::; Pn`Q:
63

79. Unargumentoes una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1; P2; :::; Pn;
llamadaspremisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q;llamadaconclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1^P2^:::^Pn)!Q
Tal argumento se denota por
P1; P2; :::; Pn`Q:
63

80. La noción de“argumento lógico”o“argumento válido”se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumentoP1; P2; :::; Pn`Qse dice que esválidosi la
proposición
(P1^P2^:::^Pn)!Q
es una tautología.
Si un argumento no esválido,diremos que es unafalacia.
64

81. La noción de“argumento lógico”o“argumento válido”se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumentoP1; P2; :::; Pn`Qse dice que esválidosi la
proposición
(P1^P2^:::^Pn)!Q
es una tautología.
Si un argumento no esválido,diremos que es unafalacia.
64

82. La noción de“argumento lógico”o“argumento válido”se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumentoP1; P2; :::; Pn`Qse dice que esválidosi la
proposición
(P1^P2^:::^Pn)!Q
es una tautología.
Si un argumento no esválido,diremos que es unafalacia.
64

83. Ejemplo 1.8.
1Demuestre quep; p!q`qes un argumento válido.
2Demuestre quep!q; q`pes una falacia.
3Demuestre quep!q;:q` :pes un argumento válido.
65

84. Ejemplo 1.8.
1Demuestre quep; p!q`qes un argumento válido.
2Demuestre quep!q; q`pes una falacia.3Demuestre quep!q;:q` :pes un argumento válido.
65

85. Ejemplo 1.8.
1Demuestre quep; p!q`qes un argumento válido.
2Demuestre quep!q; q`pes una falacia.3Demuestre quep!q;:q` :pes un argumento válido.
65

86. Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Sipimplicaqyqimplicar;entoncespimplicar:
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p!; q; q!r`p!r:
66

87. Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Sipimplicaqyqimplicar;entoncespimplicar:
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p!; q; q!r`p!r:
66

88. Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Sipimplicaqyqimplicar;entoncespimplicar:
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p!; q; q!r`p!r:
66

89. 67

90. Ejemplo 1.10.
Si sube el dólar, sube la gasolina.
Si sube la gasolina, entonces hay inflación.
)Si sube el dólar, entonces hay inflación.68

91. Lógica y Cálculo Proposicional
Funciones proposicionales y
Cuantificadores
69

92. Unafunción proposicional(osentencia abiertaocondición)
definida en un conjuntoAes una expresiónp(x)que tiene la
propiedad de quep(a)es cierta o falsa para cadaa2A:
70

93. El conjuntoAse conoce como dominio dep(x);y el
subconjunto de todos los elementos para los cualesp(x)es
cierto se conoce como elconjunto de verdadTpdep(x) :
Tp=fxjx2A; p(x) =1g;
o simplemente
Tp=fxjp(x)g:
71

94. El conjuntoAse conoce como dominio dep(x);y el
subconjunto de todos los elementos para los cualesp(x)es
cierto se conoce como elconjunto de verdadTpdep(x) :
Tp=fxjx2A; p(x) =1g;
o simplemente
Tp=fxjp(x)g:
71

95. El conjuntoAse conoce como dominio dep(x);y el
subconjunto de todos los elementos para los cualesp(x)es
cierto se conoce como elconjunto de verdadTpdep(x) :
Tp=fxjx2A; p(x) =1g;
o simplemente
Tp=fxjp(x)g:
71

96. Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjuntoNde los enteros positivos:
1p(x) :x+ 2>7
2p(x) :x+ 5<3
3p(x) :x+ 5>1
72

97. Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjuntoNde los enteros positivos:
1p(x) :x+ 2>7
2p(x) :x+ 5<33p(x) :x+ 5>1
72

98. Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjuntoNde los enteros positivos:
1p(x) :x+ 2>7
2p(x) :x+ 5<33p(x) :x+ 5>1
72

99. Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador universal
73

100. Seap(x)una función proposicional definido en un conjuntoA:
La expresión
8x2A:p(x) (1.1)
se lee como``para todox2A; p(x)es verdadero.''
El símbolo8(``para todo'') se llama cuantificador
universal.
74

101. Seap(x)una función proposicional definido en un conjuntoA:
La expresión
8x2A:p(x) (1.1)
se lee como``para todox2A; p(x)es verdadero.''
El símbolo8(``para todo'') se llama cuantificador
universal.
74

102. Mientras quep(x)es una sentencia abierta (su valor de verdad
depende de cadax2A), la afirmación
8x2A:p(x)
es verdadera si y solo sip(x)se cumple para todox2A:
75

103. Por otro lado, si existe algúnx2Atal quep(x)es falso,
entonces
8x2A:p(x)
es falso.
76

104. Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
18n2N:n+ 4>3:
28n2N:n+ 2>8: 77

105. Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
18n2N:n+ 4>3:
28n2N:n+ 2>8:
77

106. Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador existencial
78

107. Seap(x)una función proposicional definido en un conjuntoA:
La expresión
9x2A:p(x) (1.2)
se lee como``existex2A;tal quep(x)es
verdadero.''
El símbolo9(``existe...'') se llama cuantificador
existencial.
79

108. Seap(x)una función proposicional definido en un conjuntoA:
La expresión
9x2A:p(x) (1.2)
se lee como``existex2A;tal quep(x)es
verdadero.''
El símbolo9(``existe...'') se llama cuantificador
existencial.
79

109. Mientras quep(x)es una sentencia abierta (su valor de verdad
depende de cadax2A), la afirmación
9x2A:p(x)
es verdadera si y solo sip(x)se cumple algúnx2A:
80

110. Por otro lado, si para todox2A; p(x)es falso, entonces
9x2A:p(x)
es falso.
81

111. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
19n2N:n+ 4<7;
29n2N:n+ 6<4:
82

112. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
19n2N:n+ 4<7;
29n2N:n+ 6<4:
82

113. Lógica y Cálculo Proposicional
Negación de Sentencias Cuantificadas
83

114. Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84

115. Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84

116. De manera simbólica, siMde ntoa el conjunto de estudiantes
de ingeniería, la negación anterior se puede escribir como
:(8x2M:x sabe programar)
9x2M:x no sabe programar.
85

117. Si en el ejercicio anterior definimos
p(x) :x sabe programar;
entonces podemos reescribir la equivalencia anterior como
:(8x2M:p(x))
9x2M::p(x):
86

118. De manera similar
No hay estudiante de ingeniería que sepa programar
se puede reescribir como
Cada uno de los estudiantes de ingeniería no saben programar.
87

119. De manera simbólica, podemos reescribir
:(9x2M:p(x))
8x2M::p(x):
88

120. Teorema 1.1 (DeMorgan).
:(8x2M:p(x)) 9x2M::p(x) (1.3)
:(9x2M:p(x)) 8x2M::p(x): (1.4)
89

121. Ejemplo 1.13.
La negación de la siguiente afirmación
Para todo entero positivon;tenemos quen+ 2>8
es
Existe un entero positivontal quen+ 28:
90

122. Ejemplo 1.14.
La negación de la siguiente afirmación
Existe una persona viva con 150 años o más.
es
Toda persona viva tiene menos de 150 años.
91

123. Observación 1.4.
Para negar una afirmación del tipo
8x2A:p(x)
sólo necesitamos encontrar un elementox02Atal quep(x)
seafalso.
A un elementox0así se le conoce comocontraejemeplo.
92

124. Observación 1.4.
Para negar una afirmación del tipo
8x2A:p(x)
sólo necesitamos encontrar un elementox02Atal quep(x)
seafalso.
A un elementox0así se le conoce comocontraejemeplo.
92

125. Ejemplo 1.15.
(a)Un contraejemplo para8x2R:jxj 6= 0esx= 0:
(b)Un contraejemplo para8x2R:x
2
xesx=
1
2
:
(c)Sin embargo,8x2N::x
2
xes siempre cierto.
93

126. Ejemplo 1.15.
(a)Un contraejemplo para8x2R:jxj 6= 0esx= 0:
(b)Un contraejemplo para8x2R:x
2
xesx=
1
2
:(c)Sin embargo,8x2N::x
2
xes siempre cierto.
93

127. Ejemplo 1.15.
(a)Un contraejemplo para8x2R:jxj 6= 0esx= 0:
(b)Un contraejemplo para8x2R:x
2
xesx=
1
2
:(c)Sin embargo,8x2N::x
2
xes siempre cierto.
93

128. Lógica y Cálculo Proposicional
Ejercicios Resueltos
94

129. Proposiones y Tablas de Verdad
95

130. Ejercicio Resuelto 1.
Seap:``Hace frío''yq:``Está lloviendo''.
Proponga un enunciado verbal simple que describa cada una
de las siguientes proposiciones:
1:p;
2p^q;
3p_q;
4q_ :p:
96

131. Ejercicio Resuelto 2.
Encuentre la tabla de verdad de:p^q:
97

132. Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre que la propisición
p_ :(p^q)
es una tautología.
98

133. Ejercicio Resuelto 4.
Muestre que las proposiciones:(p^q)y:p_ :qson
lógicamente equivalentes.
99

134. Ejercicio Resuelto 5.
Use las leyes en la tabla1.1para mostrar que
:(p^q)_(:p^q) :p
100

135. Sentencias condicionales
101

136. Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1Si hace frío, el usa sombrero.
2Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102

137. Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1Si hace frío, el usa sombrero.
2Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102

138. Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicionalp!q:La proposiones
q!p;:p! :q;:q! :p
son llamadasconversa,inversaycontrapositiva,
respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a
p!q?
103

139. Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicionalp!q:La proposiones
q!p;:p! :q;:q! :p
son llamadasconversa,inversaycontrapositiva,
respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a
p!q?
103

140. Ejercicio Resuelto 8.
Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1Si Erik es poeta, entonces es pobre.
2Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104

141. Ejercicio Resuelto 8.
Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1Si Erik es poeta, entonces es pobre.
2Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104

142. Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1Si ella trabaja, ganará dinero.
2El nada si y solo si el agua está tibia.
3Si neva, entonce no manejaré.
105

143. Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1Si ella trabaja, ganará dinero.
2El nada si y solo si el agua está tibia.3Si neva, entonce no manejaré.
105

144. Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1Si ella trabaja, ganará dinero.
2El nada si y solo si el agua está tibia.3Si neva, entonce no manejaré.
105

145. Argumentos
106

146. Ejercicio Resuelto 10.
Muestre que el siguiente argumento es una falacia:
p!q;:p` :q:
107

147. Ejercicio Resuelto 11.
Muestre que el siguiente argumento es válido:
p!q;:q` :p:
108

148. Ejercicio Resuelto 12.
Muestre que el siguiente argumentos siempre es válido:
p! :q; r!q; r` :p:
109

149. Ejercicio Resuelto 13.
Determine la validez del siguiente argumento:
Si7es menor que4, entonces7no es número primo
7no es menor que4
7no es número primo.
110

150. Ejercicio Resuelto 14.
Determine la validez del siguiente argumento:
Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los respectivos ángulos opuestos son iguales
Dos lados de un triángulo no son iguales
Los respectivos ángulos opuestos no son iguales.
111

151. Cuantificadores y Funciones Proposicionales
112

152. Ejercicio Resuelto 15.
SeaA=f1;2;3;4;5g:Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
19x2A:x+ 3 = 10;
28x2A:x+ 3<10;
39x2A:x+ 3<5;
48x2A:x+ 37:
113

153. Ejercicio Resuelto 15.
SeaA=f1;2;3;4;5g:Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
19x2A:x+ 3 = 10;
28x2A:x+ 3<10;39x2A:x+ 3<5;
48x2A:x+ 37:
113

154. Ejercicio Resuelto 15.
SeaA=f1;2;3;4;5g:Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
19x2A:x+ 3 = 10;
28x2A:x+ 3<10;39x2A:x+ 3<5;48x2A:x+ 37:
113

155. Ejercicio Resuelto 15.
SeaA=f1;2;3;4;5g:Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
19x2A:x+ 3 = 10;
28x2A:x+ 3<10;39x2A:x+ 3<5;48x2A:x+ 37:
113

156. Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones dondeU=f1;2;3ges el conjunto “universo”
(de referencia):
19x8y:x
2
< y+ 1;
28x9y:x
2
+y
2
<12;
38x8y:x
2
+y
3
<12:
114

157. Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones dondeU=f1;2;3ges el conjunto “universo”
(de referencia):
19x8y:x
2
< y+ 1;
28x9y:x
2
+y
2
<12;38x8y:x
2
+y
3
<12:
114

158. Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones dondeU=f1;2;3ges el conjunto “universo”
(de referencia):
19x8y:x
2
< y+ 1;
28x9y:x
2
+y
2
<12;38x8y:x
2
+y
3
<12:
114

159. Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
19x8y:p(x; y);
28x8y:p(x; y);
39x9y8z:p(x; y; z):
115

160. Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
19x8y:p(x; y);
28x8y:p(x; y);39x9y8z:p(x; y; z):
115

161. Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
19x8y:p(x; y);
28x8y:p(x; y);39x9y8z:p(x; y; z):
115

162. Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) :x+ 2>5:
Indique cuandop(x)es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1N
2Z

=f1;2;3; :::g
3C
116

163. Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) :x+ 2>5:
Indique cuandop(x)es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1N
2Z

=f1;2;3; :::g3C
116

164. Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) :x+ 2>5:
Indique cuandop(x)es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1N
2Z

=f1;2;3; :::g3C
116

165. Bibliografía
Las notas de esta sección están basadas en el capítulo 4
``Logic and Propositional Calculus''del libro
Lipschutz, S. and Lipson, M.;Schaum's Outline of
Discrete Mathematics;McGraw-Hill, 3th Edition.
117