Límite de una función - Sustitución Directa.pdf

Calcular límites usando sustitución directa

1. L´IMITE DE UNA FUNCI´ON USANDO
SUSTITUCI´ON DIRECTA

2. OBJETIVOGENERAL Evaluar un l´ımite mediante el uso de las propiedades de los l´ımites.OBJETIVOSESPEC´IFICOS
1
Calcular el l´ımite de una funci´on en forma directa.
2
Conocer las propiedades de los l´ımites de una funci´on

3. CONTENIDO
1
DEFINICI´ON
2
PROPIEDADES DE LOS L´IMITES

4. DE FI N I C I´O N
Sustituci´onDirecta
Definici´on
Sif(x)una funci´on (no a trozos) definida en el intervalo(a,b),
entonces
l´ım
x→c
f(x) =f(c)
siempre y cuandoc∈(a,b)

5. DE FI N I C I´O N
Sustituci´onDirecta
Ejemplos 1
Si
f(x) =x
2
+2x−7
entonces
l´ım
x→1
(f(x)) =f(1)
= (1)
2
+2(1)−7
=−4

6. DE FI N I C I´O N
Sustituci´onDirecta
Ejemplos 2
Si
f(x) =
x+2
x−3
entonces
l´ım
x→4
(f(x)) =f(4)
=
4+2
4−3
=6

7. DE FI N I C I´O N
Sustituci´onDirecta
Ejemplos 3
Si
f(x) =ln(x)
entonces
l´ım
x→3
(f(x)) =f(3)
=ln3
≈1.098

8. DE FI N I C I´O N
Sustituci´onDirecta
Ejemplos 4
Si
f(x) =e
x
entonces
l´ım
x→2
(f(x)) =f(2)
=e
2
≈7.389

9. DE FI N I C I´O N
Nota
Es importante mencionar que si
f(x) =c
Es decir,f(x)es una constante, entonces
l´ım
x→a
(f(x)) =c
Por ejemplo, sif(x) =3, entonces
1
l´ım
x→2
(f(x)) =3
2
l´ım
x→0
(f(x)) =3
3
l´ım
x→−1
(f(x)) =3
4
l´ım
x→−10
(f(x)) =3

10. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
PropiedadesdelosL´ımites

11. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
Propiedades de los l´ımites
Sea una constanteny suponga que
l´ım
x→c
f(x) =Ly l´ım
x→c
g(x) =K
Entonces:
1
l´ım
x→c
(f(x)±g(x)) =L±K
2
l´ım
x→c
(n·f(x)) =n·L
3
l´ım
x→c
(f(x)·g(x)) =L·K
4
l´ım
x→c
ȷ
f(x)
g(x)
ff
=
L
K
siempre que l´ım
x→c
g(x)̸=0

12. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
Ejemplo
Determine
l´ım
x→−2
ȷ
x
3
+2x
2
−1
5−3x
ff

13. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
Soluci´on
Haciendo uso de las propiedades de los l´ımites, se tiene
l´ım
x→−2
ȷ
x
3
+2x
2
−1
5−3x
ff
=
l´ım
x→−2
Γ
x
3
+2x
2
−1
˙
l´ım
x→−2
(5−3x)
l´ım
x→−2
Γ
x
3
˙
+2 l´ım
x→−2
Γ
x
2
˙
−l´ım
x→−2
(1)
l´ım
x→−2
(5)−3 l´ım
x→−2
(x)
=
(−2)
3
+2(−2)
2
−1
5−3(−2)
=−
1
11

14. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
L´ımite de funciones polinomiales y racionales 1
Sif(x)es una funci´on polinomial yc∈R, entonces:
l´ım
x→c
(f(x)) =f(c)
2
Sif(x)es una funci´on racional de la formaf(x) =
p(x)
q(x)
y
c∈R, entonces:
l´ım
x→c
(f(x)) =f(c) =
p(c)
q(c)

15. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
Ejemplo
Si
l´ım
x→−2
ȷ
x
3
+2x
2
−1
5−3x
ff
Entonces,
l´ım
x→−2
ȷ
x
3
+2x
2
−1
5−3x
ff
=
(−2)
3
+2(−2)
2
−1
5−3(−2)
=−
1
11

16. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
L´ımite de funci´on compuesta
Sif(x)yg(x)son funciones tales que
l´ım
x→c
(g(x)) =Ly l´ım
x→L
(f(x)) =f(L)
entonces,
l´ım
x→c
(f(g(x))) =f
ˇ
l´ım
x→c
(g(x))
ı
=f(L)

17. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
Ejemplo
Si
l´ım
x→4
ˇp
3x
2
+1
ı
Entonces,
l´ım
x→4
ˇp
3x
2
+1
ı
=
r
l´ım
x→4
Γ
3x
2
+1
˙
=
q
3(4)
2
+1
=
√
49
=7

18. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
L´ımite Trigonom´etricos
Seacun n´umero real en el dominio de una funci´on trigonom´etrica
f(x)dada, se tiene que:
1
l´ım
x→c
(sin(x)) =sin(c)
2
l´ım
x→c
(cos(x)) =cos(c)
3
l´ım
x→c
(tan(x)) =tan(c)
4
l´ım
x→c
(cot(x)) =cot(c)
5
l´ım
x→c
(sec(x)) =sec(c)
6
l´ım
x→c
(csc(x)) =csc(c)

19. PRO P I E DA D E S D E L O SL´I M I T E S
Bibliograf´ıa
1
Stewart, J. (2012).C´alculo de una variable. Trascendentes tempranas(7.
a
ed., p. A34-A37). M´exico:
Cengage Learning.
2
Thomas, G. (2010).C´alculo 1. De una variable. (12.
a
ed., p. 256-258). M´exico: Pearson.
3
Larson, R. (2010).C´alculo 1. De una variable. (9.
a
ed., p. 259-260). M´exico: McGraw Hill.