la formula de los vectores

Es un formulario sobre los teoremas y leyes de los vectores en el plano (2D) y en el espacio (3D).
El hecho que tiene graficas ayuda mejor a su comprencion y solucion de problemas físicos.

1. PROF.: ROGER COARITE K. FÍSICA
CONSULTAS:
A cel.: 78995883
VECTORES
Vector es una magnitud representada por su módulo,
dirección ,sentido y punto de aplicación





??????
A línea horizontal
punto de aplicación
RESOLUCIÓN DE VECTORES
MÉTODO GRAFICO
DE PUNTA COLA
�⃗⃗
.

�⃗⃗

MÉTODO DEL
PARALELOGRAMO
�⃗⃗
�

�⃗⃗ �⃗⃗
�


�⃗⃗

�⃗⃗ �⃗⃗

�⃗⃗ �⃗⃗ �⃗⃗ �⃗⃗
�⃗⃗
�⃗⃗ ??????⃗⃗ =�+�+�+�


�⃗⃗
�

�⃗⃗
�⃗⃗
�

�⃗⃗
�⃗⃗
.

-�⃗⃗ �⃗⃗
�


�⃗⃗
�

CALCULO DE LA RESULTANTE POR FORMULAS
TRIGONOMÉTRICAS





�
�=??????sin??????
�
�=??????cos??????
tan??????=
��
��

tan??????=
sin??????
cos??????

OBLICUO




TEOREMA DE COSENOS
??????⃗⃗ �
=�⃗⃗ �
+�⃗⃗ �
−��⃗⃗ ·�⃗⃗ ??????�????????????
�⃗⃗ �
=�⃗⃗ �
+??????⃗⃗ �
−��⃗⃗ ·??????⃗⃗ ??????�??????�
�⃗⃗ �
=�⃗⃗ �
+??????⃗⃗ �
−��⃗⃗ ·??????⃗⃗ ??????�??????�

TEOREMA DE SENOS
??????+�+�=�??????�° �⃗⃗
????????????��
=
�⃗⃗
????????????��
=
??????⃗⃗
????????????�??????









CON ÁNGULOS EXTERNOS
TEOREMA DE COSENOS







Suma de vectores en el plano








????????????
�=�−�
�−�
�= �−�·??????�� �−�·??????�� ??????
????????????
�=�
�−�
�=�·�??????� �−�·�??????� ??????
|??????⃗⃗ |=√(????????????
�
)
�
+(????????????
�)
�

ANGULO DE LA RESULTANTE O
DIRECCIÓN


tan??????=
????????????
�
????????????
�




ALGEBRA VECTORIAL
�⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��
�⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��
es �⃗⃗ =�⃗⃗ si �⃗⃗
�=�⃗⃗
� ; �⃗⃗
�=�⃗⃗
� ; �⃗⃗
�=�⃗⃗
�
suma �⃗⃗ +�⃗⃗
�⃗⃗ +�⃗⃗ =(�⃗⃗
�+�⃗⃗
�)�+(�⃗⃗
�+�⃗⃗
�)�+( �⃗⃗
�+�⃗⃗
�)�
Producto por un escalar ��⃗
��⃗ =��⃗
�
�+��⃗
�
�+��⃗
�
�
Propiedades algebraicas de los vectores
Conmutatividad de la suma
�⃗⃗ +�⃗⃗ =�⃗⃗ +�⃗⃗
Asociatividad de la suma
�⃗⃗ +(�⃗⃗ +�⃗⃗ )=(�⃗⃗ +�⃗⃗ )+�⃗⃗
Existencia del neutro
�⃗⃗ +�⃗⃗ =�⃗⃗ +�⃗⃗ =�⃗⃗
Existencia del opuesto −�⃗⃗
�⃗⃗ +(−�⃗⃗ )=(−�⃗⃗ )+�⃗⃗ =�
Asociatividad para producto por escalar
(��)�⃗⃗ =�(��⃗⃗ )=�(��⃗⃗ )
Distributividad entre la suma
(�±�)�⃗⃗ =��⃗⃗ ±��⃗⃗
Existencia de un neutro escalar
�·�⃗⃗ =�⃗⃗
vectores en el espacio






�⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��
|�|=√[(�
�
)
�
+(�
�)
�
+(�
�
)
�
]
COSENOS DIRECTORES
??????�??????�=
��
|�|
,??????�??????�=
��
|�|
;??????�????????????=
��
|�|

??????�??????
�
�+??????�??????
�
�+??????�??????
�
??????=�
PRODUCTO ESCALAR O PUNTO







�⃗⃗ ∘�⃗⃗ =�⃗⃗
�·�⃗⃗
�+�⃗⃗
�·�⃗⃗
�+�⃗⃗
�·�⃗⃗
�
�⃗⃗ ∘�⃗⃗ =|�⃗⃗ ||�⃗⃗ |??????�??????�
�⃗⃗
�·�⃗⃗
�+�⃗⃗
�·�⃗⃗
�+�⃗⃗
�·�⃗⃗
�=|�⃗⃗ ||�⃗⃗ |??????�??????�
�∘�=�∘�=�∘�=�
�∘�=�∘�=�∘�=�
PROPIEDADES
�⃗⃗ ∘�⃗⃗ =|�⃗⃗ |
�

Para �⃗⃗ ⊥ �⃗⃗ ⟺ �⃗⃗ ∘�⃗⃗ =�
�⃗⃗ ⫽ �⃗⃗ ⟺ �⃗⃗ ∘�⃗⃗ =|�||�|
�⃗⃗ ∘�⃗⃗ =�⃗⃗ ∘�⃗⃗
�⃗⃗ ∘(�⃗⃗ +�⃗⃗ )=�⃗⃗ ∘�⃗⃗ +�⃗⃗ ∘�⃗⃗
�(�⃗⃗ ∘�⃗⃗ )=(��⃗⃗ )∘�⃗⃗ =�⃗⃗ ∘(��⃗⃗ )
PROYECCIÓN ORTOGONAL DE A SOBRE B
??????���
�⃗⃗ �⃗⃗ =
�⃗⃗ ∘�⃗⃗
‖�⃗⃗ ‖
�
�⃗⃗
Componente de �⃗⃗ en la dirección de �⃗⃗
����
�⃗⃗ �⃗⃗ =
�⃗⃗ ∘�⃗⃗
‖�⃗⃗ ‖

PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ







�⃗⃗ ×�⃗⃗ =|
+�−�+�
�⃗⃗
��⃗⃗
��⃗⃗
�
�⃗⃗
��⃗⃗
��⃗⃗
�
|=(�⃗⃗
�·�⃗⃗
�−�⃗⃗
�·�⃗⃗
�)�−(�⃗⃗
�·�⃗⃗
�−�⃗⃗
�·�⃗⃗
�)�
+(�⃗⃗
�·�⃗⃗
�−�⃗⃗
�·�⃗⃗
�)�
�⃗⃗ ×�⃗⃗ =|�⃗⃗ |·|�⃗⃗ |�??????� ??????
��=��=��=�
��=� ; ��=� ; ��=�
PROPIEDADES
�⃗⃗ ×�⃗⃗ =� ; �⃗⃗ ×�=�
Si �⃗⃗ ⫽ �⃗⃗ ⟺ �⃗⃗⃗ ×�⃗⃗ =�
�⃗⃗ ⊥ �⃗⃗ ⟺ �⃗⃗ ×�⃗⃗ =|�||�|
�⃗⃗ ×�⃗⃗ =−�⃗⃗ ×�⃗⃗
�⃗⃗ ×(�⃗⃗ +�⃗⃗ )=�⃗⃗ ×�⃗⃗ +�⃗⃗ ×�⃗⃗
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
�⃗⃗ ×(�⃗⃗ ×�⃗⃗ )=(�⃗⃗ ∘�⃗⃗ )�⃗⃗ −(�⃗⃗ ∘�⃗⃗ )�⃗⃗
(�⃗⃗ ×�⃗⃗ )×�⃗⃗ =(�⃗⃗ ∘�⃗⃗ )�⃗⃗ −(�⃗⃗ ∘�⃗⃗ )�⃗⃗
TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Volumen del paralelepípedo
�⃗⃗ ∘(�⃗⃗ ×�⃗⃗ )=|
�⃗⃗
��⃗⃗
��⃗⃗
�
�⃗⃗
��⃗⃗
��⃗⃗
�
�⃗⃗
��⃗⃗
��⃗⃗
�
|
�⃗⃗ ∘(�⃗⃗ ×�⃗⃗ )=�⃗⃗ ∘(�⃗⃗ ×�⃗⃗ )=�⃗⃗ ∘(�⃗⃗ ×�⃗⃗ )
SI �⃗⃗ ,�⃗⃗ ,�⃗⃗ son coplanares
Se cumple �⃗⃗ ∘(�⃗⃗ ??????�⃗⃗ )=�
IDENTIDAD DE GRANGE
| �⃗⃗⃗ ×�⃗⃗ |
�
=|A⃗⃗ |
2
|�⃗ |
2
−|A⃗⃗ ∘�⃗ |
2

Vector unitario
??????⃗⃗⃗
�=
�⃗⃗⃗
‖ �⃗⃗⃗ ‖


Teorema de
Pitágoras
??????⃗⃗ �
= �⃗⃗
�
�
+�⃗⃗
�
�

??????
�⃗⃗
�
�⃗⃗
� ??????⃗⃗
�⃗⃗
.
�⃗⃗
�⃗⃗
�⃗⃗
?????? �
�
Dirección
Sentido �⃗
MÉTODO DEL POLÍGONO
“La imaginación es
más importante que
el conocimiento”
Albert Einstein
??????
??????
??????
�⃗⃗
�⃗⃗
. �⃗⃗
�⃗⃗
??????
??????+??????+??????=�??????�°

??????⃗⃗
�
=�⃗⃗
�
+�⃗⃗
�
+��⃗⃗ �⃗⃗ ??????�????????????
�⃗⃗
�
=�⃗⃗
�
+??????⃗⃗
�
+��⃗⃗ ??????⃗⃗ ??????�????????????
�⃗⃗
�
=�⃗⃗
�
+??????⃗⃗
�
+��⃗⃗ ??????⃗⃗ ??????�????????????


�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
??????
????????????
�

????????????
�

??????
�⃗⃗
�⃗⃗
�
�⃗⃗
�
�⃗⃗
�
�
??????
�
�
�
??????
�⃗⃗
�⃗⃗
�
??????
�⃗⃗
�⃗⃗
�⃗⃗ Sea: �⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��
�⃗⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��
�⃗⃗ =�⃗⃗ ×�⃗⃗
Sean: �⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��
�⃗⃗⃗ =�⃗⃗
��+�⃗⃗
��+�⃗⃗
��