La geoestadística - Variables regionalizadas

Variables regionalizadas

1. VARIABLES
REGIONALIZADAS
Edmundo Alarcón

2. La geoestadística es la aplicación de la teoría de las
variables regionalizadas a la estimación de los
depósitos mineros (con todas las aproximaciones que
esto implica).
Una variable medida en el espacio de forma que
presente una estructura de correlación, se dice que es
una variable regionalizada.
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DEFINICIÓN

3. De manera más formal se puede definir como
un proceso estocástico con dominio
contenido en un espacio euclidiano
dimensional Rd, {Z(x) : x D Rd}. Si d = 2, Z
∈ ⊂
(x) puede asociarse a una variable medida en
un punto x del plano (Díaz-Francés, 1993). En
términos prácticos Z(x) puede verse como una
medición de una variable aleatoria (p.ej.
concentración de un contaminante) en un
punto x de una región de estudio.
VARIABLES REGIONALIZADAS
DEFINICIÓN

4. La aleatoriedad se incluye en términos de fluctuaciones alrededor de
una superficie fija, llamada “deriva” (drift). Es importante recalcar que
las fluctuaciones no son consideradas como errores, sino parte integral
del fenómeno.
En muchos casos, cuando se aplican métodos de regresión, se modela
mediante una función el comportamiento de una variable. Por lo
regular habrá diferencias entre los valores observados y la función que
se ajusta, estas diferencias son consideradas como errores aleatorios
independientes.
Es importante señalar que para la Geoestadística, las diferencias en
torno a la superficie son aleatorias, mas no independientes, ya que hay
una correlación entre ellas.
VARIABLES REGIONALIZADAS
DEFINICIÓN

5. VARIABLES REGIONALIZADAS
DEFINICIÓN

6. Podemos definir:
La potencia de la
mineralización p(x).
La acumulación a(x), es
decir la cantidad de metal
correspondiente a p(x).
La ley z(x) = a(x)/p(x).
p(x), a(x) y z(x) son variables
regionalizadas.
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Ejemplos:
•Si f(x) designa el valor en el
punto x de una característica f
de este fenómeno, diremos
que f(x) es una variable
regionalizada.
•Una ley en un depósito
minero.
Sea una mineralización
cualquier superficie:

7. En el gráfico adjunto se ha representado
la V.R. ley en función de la profundidad.
Este gráfico consta de una parte
aleatoria imprevisible e irregular y de
una parte con una tendencia regular,
estructurada y previsible.
Uno de los objetivos de la geoestadística
es describir las estructuras mixtas de las
variables regionalizadas.
VARIABLES REGIONALIZADAS
Análisis Estructural:

8. El objeto sobre el cual se trabaja es una descripción matemática del
fenómeno regionalizado, una o varias funciones numéricas llamadas
variables regionalizadas, que miden ciertas propiedades o atributos
relacionados con este fenómeno. Por ejemplo:


La ley de un mineral, la potencia de una veta, la acumulación, la densidad
de la roca o la recuperación metalúrgica, describen un fenómeno de
mineralización.


La porosidad y la permeabilidad de la roca en un reservorio de petróleo o
en un acuífero.


La concentración de un elemento contaminante en la atmosfera o en el
suelo.


La altitud topográfica en un punto del espacio geográfico.


El número de árboles y su diámetro promedio en áreas de observación
de un bosque.
Del punto de vista conceptual, una variable regionalizada es una función
determinística.
En general, esta función presenta dos aspectos complementarios: por una
parte, tiene una cierta “continuidad” espacial (zonas de altos valores / zonas
de bajos valores), pero, por otro lado, varia irregularmente y escapa a toda
representación simple.
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Propiedades:

9. Los valores de la V.R. se definen en un campo. Este
campo por ejemplo puede ser un yacimiento o una
parte de él. Además, una V.R. sólo es físicamente
medible en términos de un soporte, por ejemplo,
una ley de mineral puede medirse bajo un
determinado soporte "un sondaje"
VARIABLES REGIONALIZADAS
Soporte y Campo:

10. VARIABLES REGIONALIZADAS
Soporte y Campo:
Vista en planta Vista de perfil

11. VARIABLES REGIONALIZADAS
Campo (Vista de perfil):

12. Una variable regionalizada puede definirse, no solo en cada
punto del espacio, sino que también en una superficie (2D) o en
un volumen (3D). La superficie o el volumen sobre el cual se
considera la variable regionalizada se denomina soporte. En
general, el soporte de las mediciones es muy pequeño
(asimilado a un “punto”), mientras que el que interesa en la
práctica puede ser más voluminoso (por ejemplo, las unidades
selectivas de explotación en evaluación minera o las unidades
de remediación en contaminación de suelo). Esta noción es
esencial debido a la dependencia que existe entre el soporte y
la distribución estadística de los valores, conocida como efecto
de soporte: los soportes voluminosos presentan una menor
cantidad de valores extremos y una mayor cantidad de valores
intermedios que los soportes puntuales.
VARIABLES REGIONALIZADAS
Soporte y Campo:

13. Así, la distribución de los valores
(en especial su varianza) depende
del soporte sobre el cual está
definida la variable regionalizada.
Este efecto queda ilustrado en la
Imagen , que muestra la
distribución de la ley de cobre en
un yacimiento medida sobre tres
soportes distintos. Se observa que
la forma del histograma tiende a
simetrizarse cuando aumenta el
soporte y que la varianza
disminuye, aunque se mantiene
constante el valor promedio.
VARIABLES REGIONALIZADAS
Soporte y Campo:
Imagen: Histogramas de leyes de cobre medidas sobre
tres soportes distintos (bloques de 1m×1m, 5m×5m y
25m×25m)

14. En los problemas que involucran un
cambio de soporte, es deseable que la
variable regionalizada sea aditiva, es
decir, que su valor en la unión de varios
dominios sea igual a la media de sus
valores sobre cada uno de ellos. Esta
restricción es necesaria para que el
cálculo del valor promedio sobre un
soporte más grande que el soporte de las
mediciones, tenga un sentido físico.

15. Normalmente, no se conoce la variable regionalizada en forma
exhaustiva, sino que solamente a través de un conjunto limitado de
datos (muestras de sondajes en exploración minera, observaciones
en terreno en ingeniería forestal, mediciones realizadas en
estaciones de monitoreo en contaminación atmosférica, etc.).
Para aprovechar la información disponible, más allá de un simple
reporte de los datos, será necesario construir modelos. Pero debe
tenerse presente que un modelo nunca describe la variable
regionalizada en su totalidad, sin simplificación, ni distorsión. El
modelamiento y las hipótesis que se requieren aportan mayor
información que aquella contenida en los datos experimentales. En
consecuencia, conviene reducir al máximo la complejidad del
modelo, evitando introducir hipótesis o parámetros arbitrarios, que
no se puede controlar experimentalmente. Por el contrario, es
necesario encontrar el modelo menos exigente que permite resolver
el problema planteado.
VARIABLES REGIONALIZADAS
Datos y Modelos:

16. La “predicción” o “estimación” constituye un objetivo importante de la
geoestadistica. Consiste en evaluar, de la manera más precisa posible, un
valor que no ha sido medido, a partir de los datos disponibles.
Una característica de los métodos geoestadísticos será, no solo construir
estimadores, sino también proporcionar una medida de la precisión de la
estimación por medio de herramientas probabilísticas (por ejemplo,
varianzas o intervalos de confianza...). Distinguiremos dos tipos de
estimaciones: las estimaciones globales y las estimaciones locales.
La estimación global busca caracterizar el campo D completo por un valor
único (por ejemplo, la media de la variable regionalizada en estudio) o por
una distribución estadística (histograma). Es poco común que una
estimación global sea suficiente; frecuentemente, se requiere completarla
con estimaciones locales. Por ejemplo en un estudio de contaminación de
suelo, no basta con evaluar la concentración promedio en toda la zona de
un elemento contaminante, sino que es necesario distinguir los sectores
fuertemente contaminados de aquellos que no lo están.
VARIABLES REGIONALIZADAS
El problema de estimación:

17. Las estimaciones locales se interesan por los
diferentes sectores de la zona de estudio. En general, se
busca evaluar el valor en un sitio que no ha sido
muestreado o el valor promedio de un “bloque” cuyo
soporte es mayor que el soporte de los datos. En este
problema, debe considerarse la continuidad espacial de
la variable regionalizada, las distancias entre el sector a
estimar y los sitios con datos, así como la configuración
espacial de los mismos sitios con datos puesto que
datos agrupados suelen tener valores parecidos,
constituyéndose en información redundante.
VARIABLES REGIONALIZADAS
El problema de estimación:

18. Otro aspecto de la estimación local es la cuantificación de la
incertidumbre en los valores de la variable regionalizada y la
probabilidad de que estos valores superen o queden debajo de ciertos
límites. Por ejemplo, el medio-ambientalista quiere cuantificar el riesgo
de que la concentración de un elemento toxico en el suelo supere un
umbral crítico, de modo de poder tomar medidas de remediación. Al
ingeniero de minas le interesa saber si las leyes de mineral son mayores
que una ley de corte que asegura la rentabilidad de la explotación
minera, luego evaluar los tonelajes y cantidades de metal que se puede
extraer sobre esta ley de corte.
El análisis de la dependencia espacial permite describir la distribución
de los valores en el espacio, cuantificar las correlaciones o redundancias
de información entre valores medidos en sitios diferentes, determinar el
tamaño de la “zona de influencia” de una observación, así como detectar
anisotropías que indican que la variable regionalizada tiene direcciones
preferenciales de continuidad en el espacio.
VARIABLES REGIONALIZADAS
El problema de estimación:

19. VARIABLES REGIONALIZADAS
Hipótesis de trabajo – Función Aleatoria:
En Geoestadística se utilizan modelos probabilísticos,
a diferencia de otras disciplinas en las que se
emplean modelos deterministas. Es pertinente
contrastar estos dos acercamientos al estudio de los
problemas.
Un modelo determinista asocia a cada ubicación x,
en donde no se tienen observaciones, un solo valor
estimado, digamos z*(x) para el valor desconocido
z(x). En cambio, en un modelo probabilístico el valor
estimado para z(x) provee una serie de posibles
valores con una probabilidad de ocurrencia (ver
ilustración).

20. 1. LOCALIZACIÓN:
La V.R. se estudia dentro de un espacio al cual se le denomina "Campo
Geométrico". En la práctica, la V.R. vendrá medida en puntos del espacio o el
tiempo que se denominan "Soportes" que representan dimensiones finitas
que en el caso de una serie temporal podría venir dado por el mes, año, etc.
Los valores que toma la variable en los soportes podrán ser puntuales o
medios de los volúmenes elementales estudiados.
Una característica que debe cumplir la V.R. es la "homogeneidad de la
variable“, para ello se debe cumplir que su significación, su soporte y
campo geométrico no deben variar en el tiempo. Porque ello enmascaran la
estructura de la variable.
Si se varía la medida del soporte para todo el campo geométrico dado, se
obtendrá una nueva regionalización de la V.R estudiada diferente a la
primera, en particular en sus dispersiones y valores de auto correlación, el
histograma será útil que permitirá verificar la homogeneidad de una
repartición espacial temporal y distinguir datos extremos o sospechosos.
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Características:

21. 2. CONTINUIDAD:
Esta trata de las variaciones espaciales o temporales que se producen en
los valores de la variable de un lugar o momento a otro, estas variaciones
podrán ser muy pequeñas o por el contrario muy grande. A pesar de las
complejas fluctuaciones verificadas en los diversos valores de la VR en
general, debe existir una continuidad media.
?????????????????? ??????[??????(??????) − ??????(????????????)] = ??????
??????→????????????
Pero, por el contrario, existen otros casos en los cuales no se verifica la
continuidad en media de los valores y surge lo que se denomina "Efecto
Pepita".
?????????????????? ??????[??????(??????) − ??????(????????????)] ≠ ??????
??????→????????????
Esto significa que los valores que toma la variable en lugares o momentos
próximos entre sí, son totalmente independientes, es decir que existirían
valores “altos” colindantes u otros datos ¨pobres¨.
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Características:

22. 3.7.3. ANISOTROPIA:
Está característica que puede presentar la V.R. es propia de las
variables que se distribuyen en el plano. Cuando la variable se
despliega en un espacio de dos dimensiones y presenta
direcciones particulares de variabilidad, se dice que la variable
tiene un comportamiento anisótropo. Esto significa que la
continuidad en una determinada dirección del plano, es diferente
a la continuidad en otra dirección distinta. Existen pues, unas
direcciones privilegiadas con mayor variabilidad.
VARIABLES REGIONALIZADAS
Características:

23. De esta manera, el valor observado en cada punto x se considera la
realización z(x) de una variable aleatoria Z(x). A la media se le llama deriva
(drift), m(x). En los puntos donde no se han realizado mediciones, los
valores de z(x) están bien definidos aunque son desconocidos.
Modelo de función aleatoria
La Geoestadística se basa en el concepto de función aleatoria, en el que
un conjunto de valores desconocidos se considera como un conjunto de
variables aleatorias espacialmente dependientes.
En términos matemáticos, a la familia de todas estas variables aleatorias
se le llama función aleatoria, proceso estocástico o campo aleatorio.
Con este modelo no es posible trabajar, a menos que se establezcan
algunas suposiciones acerca de las características de estas distribuciones.

VARIABLES REGIONALIZADAS
Hipótesis de trabajo – Función Aleatoria:

24. Función Aleatoria: Las leyes sólo son
conocidas en ciertos puntos y deseamos
conocer las leyes en todos los puntos
del eje x.
Un polinomio que pase por cada uno
de los puntos conocidos resolvería el
problema, pero existe una infinidad de
polinomios que den soluciones.
VARIABLES REGIONALIZADAS
Hipótesis de trabajo – Función Aleatoria:

25. Se tendría que escoger el polinomio que de el menor error
y la selección podría ser totalmente arbitraria. Para resolver
este problema la geoestadística plantea una hipótesis base:
- En primer lugar, z(x) variable regionalizada, es una
realización de una función aleatoria (F.A.) denotada por
Z(x).
- Una F.A. es una familia de funciones cada una con su
propia probabilidad de ocurrencia.
- En un punto x1, z(x1) es una realización de una F.A. Z(x1).
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Hipótesis de trabajo – Función Aleatoria:

26. Para definir una F.A., se determinan los siguientes
términos:
• E (Z(x)) = m(x)
• Var Z(x) = σ
2
(x)
• Cov (Z(x) Z(y)) = K (x,y)
En realidad, las características de la F.A. Z(x) no son
estimables debido a que el número de datos que se
dispone es siempre insuficiente.
Este hecho nos obliga a particularizar Z(x). Diremos
entonces que Z(x) es estacionaria, es decir que la ley
de Z(x) es la misma en todos los puntos x.
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Hipótesis de trabajo – Función Aleatoria:

27. Esta hipótesis se traduce de la siguiente manera:
• E (Z(x)) = m
• Var Z(x) = σ
2

• Cov (Z(x) Z(y)) = K (y-x) = K(h), con h = y-x
En otros términos, la geoestadística establece que, la
distribución estadística de la diferencia en el valor de
una variable (por ejemplo la potencia de una veta)
entre pares de muestras (puntos) es similar a lo largo
del yacimiento y que depende de la distancia y
orientación entre los pares de muestras.
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Hipótesis de trabajo – Función Aleatoria: