La quarta dimensione da vedere e tocccare

Senza formule matematiche apriremo uno spiraglio nel passaggio segreto tra la terza e la quarta dimensione.
Con la stampa 3D, toccheremo gli oggetti ed ammireremo la straordinaria bellezza racchiusa nelle infinite simmetrie.

1. LA QUARTA DIMENSIONE da vedere e toccare Domenico INAUDI Mercoledì 21 ottobre 2015

2. … la linea ha una dimensione, il piano due, il solido tre, oltre a queste non c’è altra dimensione poiché sono soltanto tre… (Aristotele) PARTE 1 Breve storia del concetto di spazio

3. Facciamo iniziare questa breve storia della Geometria dello spazio con EUCLIDE   (Alessandria 367 a.C. ca. – 283 a.C.) Nei 13 libri degli Elementi vengono esaminate soltanto le tre dimensioni: lunghezza , larghezza e profondità Nessuno, prima del XIX secolo, riconoscerà l’esistenza di altre dimensioni

4. Anche Aristotele ( Stagira , 384 a.C. – Calcide 322 a.C.) ne era convinto Infatti nell’opera De caelo scrive: ...la linea ha una dimensione, il piano due, il solido tre, oltre a queste non c’è altra dimensione poiché sono soltanto tre ... Tolomeo ( Alessandria d’Egitto 100 – 175) è talmente convinto da dimostrarlo!

5. Nell’allegoria della grotta (Libro VII della Repubblica, 370 a.C.) , utilizza l’ analogia tra l’ombra proiettata su un muro (2D) e gli oggetti esterni (3D) per descrivere la relazione tra verità e percezione   PLATONE ( Atene   circa 427-347 a.C.) Questa idea di genio verrà utilizzata soltanto dopo duemila anni!

6. Inoltre PLATONE elenca per primo i 5 poliedri regolari che per questo motivo vengono chiamati Platonici Nel dialogo Timeo (360 a.C.) associa i 4 elementi ai 5 poliedri regolari:  Al tetraedro   associa il fuoco all’ ottaedro l’ aria all’ icosaedro l’ acqua al cubo la terra ma gli manca un elemento allora: al dodecaedro  associa l’ universo intero

7. Questa città diventa un centro di eccellenza per le conoscenze . I saperi del tempo provenienti dai paesi vicini vengono ricercati, collezionati e tradotti in arabo ; si originano nuove conoscenze in tutti in settori della scienza: medicina, chimica, ottica, astronomia e matematica. Seguendo il nostro percorso dobbiamo fare una tappa a Bagdad per visitare la casa della saggezza (813–833 ) Al- Khwarizmi è uno dei grandi matematici di questo periodo da cui abbiamo derivato il termine algoritmo per indicare una successione di calcoli

8. Piero della Francesca (1416-1492 ) scrive il De prospectiva pingendi   (1475) che contiene le regole matematiche per rappresentare in modo corretto l’immagine su una tela; detto in altre parole: come togliere una dimensione La tappa successiva è la Firenze rinascimentale dove, agli inizi del quattrocento, gli ultimi uomini universali ( F. Brunelleschi, L. B. Alberti, Masaccio, P. della Francesca ), formulano le regole della prospettiva

9. La prima parte del nostro percorso finisce idealmente a Gottinga dove opera il principe dei matematici Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855 ) e, più in generale, in Europa dove fioriscono le idee che portano alla nascita delle geometrie non euclidee N onostante le strida dei Beoti (*) , la geometria di Euclide cessa di essere l’unico riferimento, nascono le geometrie iperboliche ( Bolyai-Lobachevskij ) ed ellittiche ( Riemann 1826-1866 ), quindi lo spazio si allarga ad infinite dimensioni. (*) I Beoti (cioè gli sciocchi) di cui parla Gauss sono quasi sicuramente i seguaci di Kant, i quali ritengono che la geometria sia una forma di conoscenza sintetica a priori.

10. PARTE 2 L’analogia e la proiezione … I matematici sono capaci di creare un insieme infinito di universi , ciascuno con regole note e comprensibili, sebbene non potranno mai mettervi piede… ( Fejes Toth )

11. Ora, seguendo il suggerimento di Platone, ragioniamo per ANALOGIA : Immaginiamo di essere un abitante di un mondo a due dimensioni che si sforza di visualizzare un mondo a tre dimensioni L’idea è stata utilizzata da E. A. Abbot nel suo classico Flatlandia del 1885 d ove un quadrato, che vive su un piano, racconta il suo incontro con una sfera

12. Facciamo un esercizio: immaginiamo di vivere in un mondo piatto che viene attraversato da una sfera proveniente dallo spazio tridimensionale, che cosa vedremo? Vivendo su un piano vedremo solo delle sezioni di sfera, cioè dei cerchi, con un raggio che cresce progressivamente, fino a raggiungere l’equatore , quindi decrescere fino a sparire.

13. Ora immaginiamo che il nostro mondo venga attraversato da una ipersfera (l’analogo 4D della sfera) che cosa vedremo, se mai succedesse …. Ragionando per analogia: vedremo una sfera che cresce progressivamente quindi, raggiunta la dimensione massima, decresce fino a sparire . FANTASTICO!

14. Alla fine dell’ottocento la quarta dimensione diventa il luogo dove vivono gli spiriti Dove vivono i fantasmi? Come fanno ad entrare ed uscire dalle stanze chiuse ? Il paradiso e l’inferno stanno in uno spazio diverso dal nostro? In effetti se noi 3D osserviamo la planimetria 2D di una casa vediamo tutto l’interno U n essere 4D guardando una casa 3D vedrà l’interno di tutte le stanze, anche se ci sono i muri! In 4D succedono cose bizzarre! Tipica casa di Flatlandia

15. punto  segmento  quadrato  cubo Torniamo a cose più serie: scegliamo un poliedro platonico, il cubo, e lo generiamo a partire da un punto Coordinate: (x) ( x,y ) ( x,y,z ) Ci spostiamo in direzioni perpendicolari Ad ogni passo aggiungiamo una dimensione una coordinata un elemento I quadrato è un poligono fatto di vertici e lati Il cubo è un poliedro fatto di vertici, lati e facce

16. Coordinate: (x) ( x,y ) ( x,y,z ) ( x,y,z,w ) punto -> segmento -> quadrato -> cubo -> iper -cubo Se accettiamo, con un po’ di immaginazione, che una retta sia perpendicolare ad altre tre già perpendicolari tra di loro il gioco è fatto! POLIGONO POLIEDRO POLYCHORA

17. Ora sappiamo come è fatto un cubo nella quarta dimensione, anche se non lo abbiamo ancora visto, inoltre abbiamo un metodo di lavoro Ma quanti sono i POLYCHORA regolari nella quarta dimensione? La risposta ha più di 100 anni e ci aspetta una sorpresa : sono 6 ! uno in più dei poliedri platonici Dalla quinta dimensione in poi sono sempre e soltanto 3 .

18. Fig. 8.  Drawings on sections of the 600-cell Alcuni, pochissimi per la verità, riescono a vedere la quarta dimensione: Alicia Boole Stott ( Ireland , 1860 - 1940) era una di queste persone, disegnava i polychora utilizzando matita e pastelli al posto del computer. Era la terza figlia del logico George Boole Dopo anni di dispute sul primato della scoperta viene trovata una pubblicazione, vecchia di oltre 50 anni, con solo formule e senza disegni, che tratta in modo completo i polychora. E’ al silenzioso matematico svizzero Ludwig Schläfli (1814–1895) che va pertanto attribuita la scoperta.

19. PARTE 3 Grafica al computer e stampa 3D …le nuove tecnologie ci permettono di aprire uno spiraglio nel passaggio segreto  tra la terza e la quarta dimensione…

20. Dalla fine dell’ottocento ( Schläfli ) sa ppiamo come sono fatti i POLYCHORA ma continuiamo a non vederli, soltanto da pochi anni abbiamo fatto passi avanti con elaboratori , algoritmi di proiezione, software di grafica interattiva siamo in grado di rappresentare gli oggetti 4D in 2D c on la stampa tridimensionale possiamo eseguire anche il passaggio intermedio 3D

21. Visualizziamo l’ iper -cubo Iper -cubo ( x,y,z,w ) Siamo nella quarta dimensione siamo nella terza dimensione siamo nella seconda dimensione Nota: Il risultato dipende, come nella fotografia, dalle posizioni relative della sorgente luminosa e dell’oggetto inquadrato, per cui potremo avere molte forme diverse dello stesso oggetto Iper -cubo cfr. stampa 3D da toccare Iper -cubo da vedere Macchina fotografica 4D

22. Ma questo oggetto l’abbiamo già visto! Parigi , Arco della Defence : Architetti : Otto Von Spreckelsen , Paul Andreu

23. Ora visualizziamo il mio preferito: il 120 Celle, un parente del dodecaedro Macchina fotografica 4D 120 Celle ( x,y,z,w ) Siamo nella quarta dimensione siamo nella terza dimensione siamo nella seconda dimensione 120 Celle (cfr. stampa 3D da toccare)

24. POLYHEDRA : TETRAEDRO CUBO OTTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO 3D->2D I 5 POLIEDRI REGOLARI STAMPATI IN 3D IN BRONZO I poliedri sono stati stampati secondo la tecnica utilizzata da Leonardo da Vinci nei disegni riprodotti nel De Divina Proportione di Luca Pacioli 1498.

25. POLYHEDRA : TETRAEDRO CUBO OTTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO 3D->2D 4D-> 3D>2D POLYCHORA : 5 CELLE 8 CELLE 16 CELLE 24 CELLE 120 CELLE 600 CELLE IPERCUBO TESSERATTO ELENCO COMPLETO DEI POLITOPI REGOLARI NELLA TERZA E QUARTA DIMENSIONE CON STAMPE 3D

26. Cinepresa 4d Ipercubo ( x,y,z,w ) c he ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione Ora invece di fare delle fotografie usiamo la cinepresa

27. Cinepresa 4d Ipercubo ( x,y,z,w ) c he ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione Ora evidenziamo uno degli 8 cubi dell’ iper -cubo Il cubo si rivolta come un guanto e la destra diventa sinistra...!

28. Cinepresa 4d 5 celle - tetraedreo ( x,y,z,w ) c he ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione 5 celle

29. Cinepresa 4d 16 Celle-Ottaedro ( x,y,z,w ) c he ruota Siamo nella quarta dimensione siamo nella seconda dimensione 16 celle

30. 120 celle che ruota

31. Finiamo in bellezza: uno sguardo all’intrigante, al curioso, allo speciale ma soprattutto al bello da vedere e toccare 120 dodecaedri si addensano in uno spazio iper -sferico organizzandosi in eleganti elicoidi che ricordano le galassi e o in forme toroidali interconnesse

32. La lumaca che abita nella quarta dimensione Questa lumaca è in realtà una particolare struttura topologica denominata Sudanese Mobius ed è stata generata nella quarta dimensione quindi proiettata e stampata nella terza

33. FINE Grazie per la pazienza! Strumenti utilizzati: linguaggio di programmazione: PYTHON a pplicativo grafico: RHINO stampe 3D: SHAPEWAYS