LAS PARADOJAS DE ZENÓN

Presentación sobre una actividad para alumnos de 1º de Bachillerato de Ciencias, para la asignatura de Matemáticas, relacionada con los límites de sucesiones y la historia de las Matemáticas.

1. LAS PARADOJAS DE ZENÓN DE ELEA (490-430 a.C.) Elena Domínguez Domínguez

2. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Discípulo de Parménides, primer filosofo en plantearse el problema del infinito Encaminó sus paradojas en contra de las suposiciones de los pitagóricos y en la creencia de que el movimiento era una ilusión Cuatro paradojas más famosas: Dicotomía Aquiles y la tortuga Flecha Estadio

3. PARADOJA DE LA DICOTOMÍA Para alcanzar la meta debe recorrer un número infinito de intervalos en un tiempo finito Rebatido 2400 años después con la teoría de series infinitas A velocidad constante, necesitará segundos para recorrer la 1ª mitad En general, necesitará segundos para recorrer la distancia entre y Suma de intervalos de tiempo   Imposible, por lo que no habría movimiento

4. PARADOJA DE LA DICOTOMÍA Si emplea segundos en recorrer una mitad a velocidad cte. necesitará para alcanzar la meta Suma de los primeros términos Fórmula general Sucesión convergente a Por tanto, la suma de un número infinito de intervalos de tiempo es finita   ¿Qué pasa para valores grandes de ?  

5. ACTIVIDAD 1 Introducir un pequeño cambio en la paradoja ¿Qué pasaría si para recorrer la distancia comprendida entre y necesitara segundos? ¿Tendría limite finito o infinito esta sucesión? ¿Seguiría siendo cierta la paradoja de Zenón? Pista: término general  

6. ACTIVIDAD 2 Paradoja de Aquiles y la tortuga Aquiles corre 10 veces más rápido y le da una ventaja de metros Al llegar a ese punto la tortuga ha avanzado metros, al llegar a este punto ha avanzado metros,... Progresión geométrica de razón menor que uno ¿Es convergente? ¿Alcanzará Aquiles a la tortuga?  

7. ACTIVIDAD 3 Tenemos una hoja de papel y le quitamos la mitad, a esta mitad le quitamos su mitad, y así sucesivamente La suma completa de los trozos sería la hoja completa ¿Es convergente? ¿Se cumple la paradoja de Zenón para esta situación?  

8. LAS PARADOJAS DE ZENÓN DE ELEA (490-430 a.C.) Elena Domínguez Domínguez