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Mathématiques financières - les calculs financiers- les annuités

1. Faculté de droit, de sciences politiques et de gestion Année Universitaire 2022-2023 Chargée du cours : Dr. Abir Melki Matière : Mathématiques Financières

2. Les annuités Découvrir le concept de l’annuité Annuité de fin de période et de début de période Calculer la valeur future des annuités  capital constitué Calculer la valeur actuelle des annuités  capital principal ; actuel Année Universitaire 2022-2023 Chargée du cours : Dr. Abir Melki Objectifs du chapitre

3. On désigne par annuité une série de versements effectués à intervalles de temps réguliers. Une suite d’annuité est définie si les quatre éléments suivants sont bien précisés :   La date du premier versement. La période  : elle peut être annuelle, mensuelle, trimestrielle ou semestrielle. Le nombre de versements . Le montant de chacun des versements. Les annuités – Définition

4. Le versement d’annuités peut s’effectuer dans un double but :   Soit dans l’objectif de constituer un capital  : annuité de placement ou de capitalisation. Soit dans le but de rembourser une dette (annuité de remboursement).   Les annuités peuvent être :   Constantes ou variables. Versées en début ou en fin de période. Les annuités – Définition

5.   Soit une suite d’annuités définie par :   a : montant de chaque versement n : nombre de versements i : taux d’intérêt   On appelle valeur acquise (désignée par V n ) d’une série de n annuités à la date du dernier versement la somme des valeurs acquises de ces n annuités. On a: Les annuités constantes de fin de période Calcul de la valeur acquise : V n

6. À la date du dernier versement, la valeur acquise des annuités constantes n est Vn Ordinary Annuities Formula of required value / Future value An Vn est la somme des valeurs acquises de n annuités

7. = le premier intérêt produit des intérêts pendant n-1 périodes = la dernère annuité ne produit pas des intérêts = le troisième intérêt produit des intérêts pendant n-3 périodes = la n-1 annuité produit des intérêts pour just une seule période = le second intérêt produit des intérêts pendant n-2 périodes Nous remarquons que pour aller d’un terme à un autre, on multiplie pat (1+i), d’où il s’ait d’une suite géométrique de premier terme a et de reason (1+i) D’où la somme Vn sera : Démonstration Avec a est l’annuité constante payé périodiquement , I est le taux d’intérêt, n est le nombre de versement (des annuités).

8. Vous ave z place 2000d annuellement pour une période de 10 ans à un taux de 8%. Quel est le capital constitué à l’issue de ce placement, Exemple 1

9. Example 1 - réponse valeur future du premier paiement = 2000 x 1.08 9 = 3,998.01 valeur future du deuxième paiement = 2000 x 1.08 8 = 3,701.86 valeur future du troisième paiement = 2000 x 1.08 7 = 3,427.65 valeur future du quatrième paiement = 2000 x 1.08 6 = 3,173.75 valeur future du cinquième paiement = 2000 x 1.08 5 = 2,938.66 valeur future du sixième paiement = 2000 x 1.08 4 = 2,720.98 valeur future du septième paiement = 2000 x 1.08 3 = 2,519.42 valeur future du huitième paiement = 2000 x 1.08 2 = 2,332.80 valeur future du neuvième paiement = 2000 x 1.08 1 = 2,160.00 valeur future du dixième paiement = 2000 x 1.08 = 2,000.00 valeur totale cumulée de placement à la fin des 10 ans = 28,973.13

10. La Valeur future à travers la formule   Vn = a x (1+i) n -1 i Avec a = 2000; i = 8%; and n=10. Facteur d’intérêt= [((1.08) 10 - 1)/.08] = 14.486562 Vn = valeure future= 2000*14.486562  28973.13 Facteur d’intérêt

11. Avec un taux d’intérêt annuel de 4%, calculer la Valeur acquise après le paiement de 6 annuités constantes de fin de période de 5000 dinars chacune, Exemple 2 Réponse

12. La valeur actuelle (appelée aussi valeur à l’origine ou valeur présente ) d’une suite d’annuités est égale à la somme des valeurs actuelles des annuités. Les annuités constantes de fin de période Calcul de la valeur actuelle : V

13. Étant donné la Valeur acquise des anuuités (Vn) , la Valeur présente (V0) est simplement la Valeur actuelle de Vn. Facteur d’intérêt

14. Calculer à 4% la Valeur actuelle des 6 annuités constantes de 5000d chacune, Exemple 3 Solution

15. Les annuités constantes de début de période Calcul de la valeur acquise : V n On appelle valeur acquise (désignée par V n ) d’une série de n annuités à la date du dernier versement la somme des valeurs acquises de ces n annuités. On a:

17.   La valeur actuelle (appelée aussi valeur à l’origine ou valeur présente) d’une suite d’annuités est égale à la somme des valeurs actuelles des annuités.   V = a + a (1 + i ) -1 + a (1+i) -2 + a (1+i) -3 + …… + a (1 + i ) -(n-1) = a [1 + (1 + i) -1 + (1+i) -2 + ………+ (1 + i) -(n-1) ]     = a [ Somme d’une suite géométrique de n termes, de raison (1+i) -1 et de premier terme a ] Les annuités constantes de début de période Calcul de la valeur actuelle : V

18.   Calcul de la valeur actuelle : V