Leyes de los exponentes

1. Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices

El exponente de un número dice cuántas veces se
multiplica el número.
En este ejemplo: 8
2
= 8 × 8 = 64
 En palabras: 8
2
se puede leer "8 a la segunda
potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al
cuadrado"


Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de
tres ideas:

El exponente de un número dice multiplica el número por sí
mismo tantas veces


Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo
significa dividir


Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:




Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!
Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):

2. Ley Ejemplo
x
1
= x
6
1
= 6
x
0
= 1
7
0
= 1
x
-1
= 1/x
4
-1
= 1/4
x
m
x
n
= x
m+n

x
2
x
3
= x
2+3
= x
5

x
m
/x
n
= x
m-n

x
4
/x
2
= x
4-2
= x
2

(x
m
)
n
= x
mn

(x
2
)
3
= x
2×3
= x
6

(xy)
n
= x
n
y
n

(xy)
3
= x
3
y
3

(x/y)
n
= x
n
/y
n

(x/y)
2
= x
2
/ y
2

x
-n
= 1/x
n

x
-3
= 1/x
3



Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x
1
= x, x
0
= 1 y x
-1
= 1/x) son sólo parte de la
sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5
... etc...

5
2
1 × 5 × 5 25
5
1
1 × 5 5
5
0
1 1
5
-1
1 ÷ 5 0,2
5
-2
1 ÷ 5 ÷ 5 0,04
... etc...
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un
mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o
disminuye).

3. La ley que dice que x
m
x
n = x
m+n

En x
m
x
n
, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces,
despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x
2
x
3
= (xx) × (xxx) = xxxxx = x
5

Así que x
2
x
3
= x
(2 +3 )
= x
5

La ley que dice que x
m
/x
n = x
m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m"
veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n"
veces.
Ejemplo: x
4-2
= x
4
/x
2
= (xxxx) / (xx) = xx = x
2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una
"bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x
0
=1 :
Ejemplo: x
2
/x
2
= x
2-2
= x
0
=1
La ley que dice que (x
m
)
n = x
mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en
total m×n veces.
Ejemplo: (x
3
)
4
= (xxx)
4
= (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x
12

Así que (x
3
)
4
= x
3 ×4
= x
12

La ley que dice que (xy)
n = x
n
y
n

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este
ejemplo:
Ejemplo: (xy)
3
= (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x
3
y
3

4. La ley que dice que (x/y)
n = x
n
/y
n

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s
Ejemplo: (x/y)
3
= (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x
3
/y
3

La ley que dice que
Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):
Ejemplo:
Y eso es todo
Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto:
siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta
página.
Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?
Exponente positivo (n>0) 0
n
= 0
Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)
Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!
El extraño caso de 0
0

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0
0
podría ser 1, o quizás 0, así
que alguna gente dice que es "indeterminado":

x
0
= 1, así que ... 0
0
= 1
0
n
= 0, así que ... 0
0
= 0
Cuando dudes... 0
0
= "indeterminado"


EXPONENTES Y LEYES DE EXPONENTES

5. El concepto de exponente es de mucha utilidad para expresar números
en una forma más corta. Por ejemplo: el producto 2 x 2 x 2 x 2 x 2 se
expresa de la forma 2
5
y se lee “dos a la cinco”. La expresión 2 x 2 x 2 x
2 x 2 está en la forma expandida y la expresión 2
5
es
una expresión exponencial. El valor 32 es la quinta potencia de 2.


Definición: La expresión x
n
significa que x aparece multiplicada n
veces. x se conoce como la base y n como el exponente. Se
llama potencia al valor que se obtiene al multiplicar la
base n veces. Esto es, x
n
= x · x · x · x · · · multiplicado por si
mismo n veces.

Ejemplos:

1) La notación exponencial de (-3)(-3)(-3)(-3) es (-3)
4
.
2) La notación exponencial de b · b · b es b
3
.
3) El valor de (-2)
4
es (-2)(-2)(-2)(-2) = 16. La expresión (-2)
4
se lee “
negativo dos a la cuatro”.
4) El valor de -2
4
es –(2 · 2 · 2 · 2) = -(16) = -16. La expresión -2
4
se lee
“el opuesto de dos a la cuatro”.
5) ¿Cuál es el valor de (⅔)
3
?


Definición: Para toda base x, x
1
= x. Esto es, cualquier número
elevado a la uno es el mismo número.

Ejemplos: 3
1
= 3; (17)
1
= 17; (259)
1
= 259


Definición: Cualquier número diferente de cero, elevado a la cero es
igual a uno. Esto es, para toda base x, x ≠ 0, x
0
= 1.

Ejemplos: 3
0
= 1; (-5)
0
= 1; (⅝)
0
= 1; 0
0
no está definido

6. Definición: Cualquier número diferente de cero y n un número entero,
tenemos:


Ejemplos:


Ejercicio: Halla el valor de:

1) 4
2
=
2) (-4)
2
=
3) -4
2
=
4) (⅜)
2
=
5) 4
-2
=
6) (⅔)
-2
=


Leyes de Exponentes



Ejemplos para discusión:

1) 3
2
· 3
5
=
2) a
4
· a
6
· a =
3) (a + 2b)
3
(a + 2b)
7
=
4) (3x
2
) (-5x
3
) =
5) (-4a
2
b
3
)(-3ab) =

7. 6) (7x
-3
y
-8
)(2x
5
y
5
) =
7) (5xyz)
0
=



Ejercicio: Simplifica cada expresión:



Respuestas:

8. Ejercicio adicional: Exponentes y reglas de exponentes

Aseveración Reglas/Definición Ejercicio
1. La expresión 2
7
significa

2.

En el producto de dos potencias
con bases iguales: b
m
·b
n




3.

En la división de dos potencias con
bases iguales:


4. Al elevar una base a un exponente
y a su vez a otro exponente:


5. Cuando tenemos el producto de
dos bases elevadas a un
exponente:




6.
Cuando tenemos el cociente de dos
bases elevadas a un
exponente:


7. Una base elevada al exponente
cero: b
0

a) (16)
0
=
b) y
0
=
8. La expresión 0
0

9. Una base elevada a un exponente
negativo: b
-n

a) 4
-3
=
b) x
-8
=

Simplifica los siguientes ejercicios utilizando reglas de exponentes:

10) m
3
· m
5
= 15)
11) y
6
· y
-2
= 16)
12) = 17)

9. 13) (uv)
6
= 18) (5x
2
y
4
)
3
=
14) 19)