áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chió

1. PROF. NILO

2. A definição de Determinante e o Teorema de
Laplace tornam possível o cálculo de qualquer
determinante, porém pode-se simplificar as
operações utilizando-se certas propriedades.
Dada uma matriz quadrada M e sua transposta M
t
,
temos det M = det M
t
.
Exemplo :
t
1 4 1 2 1 4 1 2
M ; M 3
2 5 4 5 2 5 4 5
é ù é ù
ê ú ê ú= = Þ = =-
ê ú ê ú
ë û ë û

3. Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada
M for constituída apenas por zeros, teremos que
seu determinante será igual a zero.
Exemplo :
0 0 0 0
a) M 0
2 5 2 5
é ù
ê ú= Þ =
ê ú
ë û
6 0 6 0
b) M 0
2 0 2 0
é ù
ê ú= Þ =
ê ú
ë û
Linha 1 inteira igual a zero.
Coluna 2 inteira igual a zero.

4. Se duas linhas ou duas colunas, numa matriz
quadrada M, forem trocadas de posição, o novo
determinante obtido terá valor simétrico do original.
Exemplo :
2 3 2 3 1 5 1 5
a) M 7; M' 7
1 5 1 5 2 3 2 3
é ù é ù
ê ú ê ú= Þ = = Þ =-
ê ú ê ú
ë û ë û
Troca das linhas 1 e 2.
2 3 2 3 3 2 3 2
b) M 7; M' 7
1 5 1 5 5 1 5 1
é ù é ù
ê ú ê ú= Þ = = Þ =-
ê ú ê ú
ë û ë û
Troca das colunas 1 e 2.

5. Se multiplicarmos uma linha ou coluna de uma
matriz quadrada M por um escalar k, o
determinante da nova matriz obtida M’, será o
produto de k pelo determinante de M.
Exemplo :
'
1 4 3 12 1 4 3 12
a) M ; M 3 e 9
2 5 2 5 2 5 2 5
é ù é ù
ê ú ê ú= = Þ =- =-
ê ú ê ú
ë û ë û
detM' k.detM=
'
1 4 6 4 1 4 6 4
b) M ; M 3 e 18
2 5 12 5 2 5 12 5
é ù é ù
ê ú ê ú= = Þ =- =-
ê ú ê ú
ë û ë û
Linha 1 foi multiplicada por 3.
Coluna 1 foi multiplicada por 6.

6. Se duas linhas ou duas colunas, numa matriz
quadrada M, forem iguais, o valor do determinante
obtido será igual a zero.
Exemplo :
2 3 2 3
a) M 0
2 3 2 3
é ù
ê ú= Þ =
ê ú
ë û
Linhas 1 e 2 são iguais.
2 2 2 2
b) M 0
1 1 1 1
é ù
ê ú= Þ =
ê ú
ë û
Colunas 1 e 2 são iguais.

7. A soma dos produtos dos elementos
de uma fila qualquer de uma matriz
quadrada M, pelos cofatores dos
elementos de uma fila paralela é
igual a zero.
Exemplo :
3 4 2 3 4 2
M 1 3 5 1 3 5
5 6 7 5 6 7
é ù
ê ú
ê ú= Þ
ê ú
ê ú
ë û
Peguemos as Linhas 1 e 3
como exemplo.
Linha 1 :
3 1 3 2 3 3
4 2 3 2 3 4
3.( 1) . 4.( 1) . 2.( 1) .
3 5 1 5 1 3
+ + +
- + - + - =
3 4 2
Linha 3 com
cofatores :
5 6 7
3.(14) 4.( 1).13 2.(5) 0= + - + =
Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857)

8. Se uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a
dois, tem duas linhas ou colunas proporcionais,
então det M = 0. Acabamos por recair na
propriedade de filas paralelas iguais.
Exemplo :
3 4 2 3 4 2 3 4 2
a)M 1 3 5 1 3 5 2.1 3 5 0
6 8 4 6 8 4 3 4 2
é ù
ê ú
ê ú= Þ = =
ê ú
ê ú
ë û
As Linhas 1 e 3 são proporcionais
6 4 2 6 4 2 2 4 2
b)M 15 3 5 15 3 5 3.5 3 5 0
12 8 4 12 8 4 4 8 4
é ù
ê ú
ê ú= Þ = =
ê ú
ê ú
ë û

9. Seja M uma matriz quadrada de ordem n em que
os elementos da coluna j são tais que, podem ser
transformadas na soma de dois números, podemos
escrever:
Exemplo : x a b m x a m x b m
y c d n y c n y d n
z e f p z e p z f p
+
+ = +
+
Essa propriedade também é válida para linhas.
Exemplo : 3 4 2 3 4 2 3 4 2
x y a b m p x a m y b p
0 3 4 0 3 4 0 3 4
+ + + = +

10. Vamos construir uma Combinação Linear da 1ª com
a 2ª e com a 3ª colunas da matriz abaixo.
Exemplo :
1 7 1
M= 2 8 5
3 1 6
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
Utilizando os multiplicadores 1, 3 e 4, nessas
colunas teríamos:
Coluna

1 = 1. Coluna 1 + 3. Coluna 2 + 4. Coluna 3
26 7 1
M'= 46 8 5
30 1 6
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
1.1+3.7+4.1=26
1.2+3.8+4.5=46
1.3+3.1+4.6=30
C1 = 1. C1 + 3. C2 + 4. C3

11. Adicionando a uma fila de uma matriz
M, de ordem n, uma outra fila
paralela, previamente multiplicada por
uma constante, obteremos uma nova
matriz M’ tal que det M’ = det M.
Exemplo :
1 3 5 1 0 5 1 0 0
M= 4 2 7 4 -10 7 4 -10 -13
4 1 -6 4 -11 -6 4 -11 -26
é ù
ê ú
ê ú Þ =
ê ú
ê ú
ë û
Faremos uma nova Coluna 2 = Coluna 2 -3. Coluna 1.
Carl Jacobi
(1804-1851)
Faremos uma nova Coluna 3 = Coluna 3 -5. Coluna 1.
Abre caminho
para aplicar
o Teorema de
Laplace com
menos
trabalho.

12. Numa Matriz Triangular Superior ou Inferior, o
determinante dessa matriz pode ser obtido
multiplicando os termos da Diagonal Principal.
Exemplo :
3 2 4 3 2 4
a)M= 0 5 3 0 5 3 3.5.1 15
0 0 1 0 0 1
é ù
ê ú
ê ú Þ = =
ê ú
ê ú
ë û
3 0 0 0 3 0 0 0
2 1 0 0 2 1 0 0
b)M= 3.1.2.6 36
3 4 2 0 3 4 2 0
5 7 2 6 5 7 2 6
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
Þ = =
ê ú
ê ú
ê ú
ê úë û

13. Dadas duas matrizes quadradas de
mesma ordem n, temos :
Exemplo :
det(A.B) (detA).(detB)=
2 3 1 2 11 16
A e B A.B
0 5 3 4 15 20
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú= = Þ =
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
2 3
detA 2.5 0.3 10;
0 5
= = - =
1 2
detB 1.4 3.2 2
3 4
= = - =-
11 16
det(A.B) 11.20 16.15 20
15 20
= = - =-
Jacques Binet
(1786-1856)

14. Uma consequência do Teorema de Binet é que o
determinante de uma matriz pelo determinante de
sua inversa é igual a 1.
1 1 1
n
det(A.A ) (detA).(detA ) (detA).(detA ) detI
- - -
= Þ =
1
(detA).(detA ) 1
-
=
Isso é muito
fácil mas é
preciso ter
atenção !
Que foi bem ?

15. É consequência do
Teorema de Jacobi e é
aplicável sempre que
a
11
= 1. Se no determinante
isso não ocorrer, podemos
provocar essa ocorrência
através das propriedades
já conhecidas.
Exemplo :
1 2 4 2
3 7 5 6
A
1 10 4 5
3 8 2 3
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
=
ê ú
-
ê ú
ê ú
ê úë û
1 2 4 2
7 6 5 12 6 6 1 7 0
3 7 5 6
10 2 4 4 5 2 8 8 3
1 10 4 5
8 6 2 12 3 6 2 10 3
3 8 2 3
- - - -
= - - - - = - =
-
- - - - -

16. 1 2 4 2
7 6 5 12 6 6 1 7 0
3 7 5 6
10 2 4 4 5 2 8 8 3
1 10 4 5
8 6 2 12 3 6 2 10 3
3 8 2 3
- - - -
= - - - - = - =
-
- - - - -
1 7 0
8 8 3
2 10 3
-
= - =
- -
8 56 3 0 48 3
48.( 3) 3.4 156
10 14 3 0 4 3
- + -
= = - - = -
- + - - -