Libro Rojo APOL 2020.pdf

Libro de Precálculo del Ing. Villena

1. rojo
matemáticas
EL LIBRO
DE LAS
Actualización 2020
Coordenadas polares,
Límite y Derivadas

2. AGRADECIMIENTO















Gracias Dios
Y
Gracias Alexia

3. DEDICATORIA
















A mi hijo y a mis alumnos

4. ESTRUCTURA DEL TEXTO

Este texto ha sido elaborado con el propósito de que se convierta en un instrumento de
trabajo para un curso donde se desee fundamentar nociones de MATEMÁTICAS BÁSICAS .
Se presentan teoría, ejemplos, ejercicios modelos y ejercicios propuestos, que permitirán
que los estudiantes avancen paulatinamente en su aprendizaje y se orienten de una mejor
manera para las evaluaciones.

Los Capítulos se estructuran de la siguiente manera:
 OBJETIVOS del capítulo. Estos son declarados al comenzar el capítulo para que el
estudiante conozca lo que se pretende de él. Si los objetivos son muy extensos se
los declara por temas.
 CONTENIDO. Esta estructurado por temas. Los temas responden a aspectos
pedagógicos, psicológicos e higiénicos
 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS para consolidar la teoría. Trasladan los conceptos a
momentos prácticos. Es decir, van enlazando la teoría con la práctica.
 EJERCICIOS RESUELTOS. Para orientar al estudiante en las estrategias que puede
seguir en la consecución de la resolución de los ejercicios y problemas. Problemas
que personifican la evaluación parcial y final. El formato de los ejercicios son de
opción múltiple.
 EJERCICIOS PROPUESTOS. Parte de estos ejercicios (depende de la planificación del
instructor) deben ser resueltos en clase, por el estudiante con ayuda del profesor.
Con el objeto de que el estudiante realice la ejercitación preliminar que le va a
permitir consolidar estrategias generales en la resolución de ejercicios y
problemas. Aquí debe existir una autoevaluación del estudiante, una reflexión que
le permita caracterizar el problema; los pasos que se siguieron; las otras posibles
vías de solución; el análisis e interpretación de la respuesta.
El resto de EJERCICIOS PROPUESTOS deben ser resueltos por el estudiante, fuera
de la clase. Pueden se considerados como la tarea para el trabajo independiente.
 MISCELÁNEOS DEL CAPÍTULO. Para una autoevaluación global sobre todos los temas
tratados en la Unidad. Pueden ser enviados como tarea fuera de clase, todos o
algunos, depende de la planificación del instructor.

5. Pág.
1. LÓGICA MATEM ÁTICA…………………………… ………….…… 1
2. CONJUNTOS ………………………………………… …………………. .29
3. LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS …………..……….49
4. RELACIONES Y FUNCIONES …………………… …………… 67
5. LOS NÚMEROS ……………………………………… …………… …. 91
6. ECUACIONES …………………………… ………………… …………..125
7. INECUACIONES ……………………………………………… ….…..155
8. NÚMEROS NATURALES ………………………………………. .175
9. FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL ……………..201
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN
LOGARÍTMICA ……………………………………………………….. 279
11. FUNCIONES POLINOMIALES ………………………………. 315
12. TRIGONOMETRÍA …………………… .…………………………….327
13. MATRICES Y DETERMINANTES………………………. ..357
14. SISTEMAS ………………………………………………… …………… 379
15. GEOMETRÍA PLANA ……………………………………………... 413
16. GEOMETRÍA DEL ESPACIO ………………………………... 453
17. VECTORES ……………………… …………………………………. …..469
18. GEOMETRÍA ANALÍTICA ……………………………………... 503
19. NÚMEROS COMPLEJOS …………………………………… ….549
20. COORDENADAS POLARES ……………………………… …..567
21. INTRODUCCIÓN A LÍMITES Y DERIVADAS ……..595

6. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
1








1
1.1 PROPOSICIONES
1.2 OPERADORES LÓGICOS
1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES
1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
1.5 RAZONAMIENTOS

Cotidianamente tratamos de pensar y actuar inteligentemente.
Nuestras acciones están dirigidas a que sean o parezcan coherentes.
Pero, para situaciones formales un tanto complicadas, nuestros
argumentos elementales no nos ayudan a resolverlas. Es aquí donde entra
la necesidad de considerar mecanismos abstractos para el análisis
formal. La Lógica Matemática nos permite hacer estos análisis, haciendo
que todas las verdades de la razón sean reducidas a una especie de
cálculo.
Con la Lógica Matemática podemos precisar la equivalencia entre
expresiones abstractas, podemos analizar la validez de argumentos o
razonamientos, podemos realizar demostraciones formales,...

7. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
2
1.1 PROPOSICIONES
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina proposición.
 Conozca la notación para proposiciones.
 Reconozca proposiciones.
 Dé ejemplos de proposiciones.
 Dé ejemplos de enunciados que no sean proposiciones.

En nuestro cotidiano vivir usamos frases sencillas que nos permiten
comunicarnos. Existen interrogantes, exclamaciones, deseos, mandatos,
oraciones, con las cuales informamos o nos informan . La Lógica
Matemática, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o una
verdad o una falsedad. A estas expresiones se las llaman
PROPOSICIONES; y la cualidad de estas, de manifestar una verdad o una
falsedad, la llamaremos VALOR DE VERDAD .
Entonces:
PROPOSICIONES son afirmaciones a las que
se les puede asignar o bien un valor de verdad
de VERDADERO o bien un valor de verdad de
FALSO.
Ejemplos
1. "Hoy es lunes" (suponga que efectivamente estamos en el día lunes de la semana, entonces esta expresión será
una afirmación VERDADERA).
2. "Estoy en la clase de Matemáticas" (suponga que la persona que emite esta afirmación, efectivamente está
presenciando la clase de Matemáticas; en este caso, esta expresión será una afirmación también VERDADERA).
3. "Estoy en España" (suponga ahora que la persona que emite esta frase se encuentra en Ecuador y no en
España, entonces esta afirmación será una proposición FALSA).

Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o
mandatos; no son consideradas como proposiciones y por tanto no son
objetos de estudio para la Lógica Matemática.
Ejemplos
1. ¡Ojalá Llueva!
2. ¿Hiciste el deber de Matemáticas?
3. Siéntate y quédate quieto.

8. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
3
1.1.1 NOTACIÓN
Los SÍMBOLOS que se adoptan para las proposiciones suelen ser las
PRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIO en minúscula.
De aquí en adelante adoptaremos los siguientes símbolos para los
VALORES DE VERDAD de una proposición:
VERDADERO 1
FALSO 0



Ejercicio Propuesto 1.1
Indique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?:
a) Esta fruta está verde.
b) ¿Estás contenta?
c) Atiende la clase
d) 1073
e) El gato subió a la mesa.
f) ¡Mañana se acabará el mundo!
g) Luís debe pagar su deuda a menos que quiera ser demandado.
h) ¿Es feo Juan?
i) La edad del universo es de unos 15 mil millones de años.
j) ¡Márchate!



Ahora bien en nuestro lenguaje común usamos frecuentemente
proposiciones más extensas como:
 No hice el deber de Matemáticas.
 Estoy en Ecuador y estoy feliz.
 Estudio ó juego fútbol.
 Si estudio, entonces sacaré buena calificación en el examen.

Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas
proposiciones, los llamados Conectores u Operadores lógicos.

9. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
4
1.2 OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Conozca la notación para los operadores lógicos.
 Deduzca, con ejemplos, la esencia de los operadores lógicos y la tabla de verdad para las
operaciones lógicas.
 Analice e interprete las condiciones suficientes y las condiciones necesarias en una
condicional.
 Comprenda e interprete la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de una condicional.
 Traduzca del lenguaje común al lenguaje formal.

1.2.1 NEGACIÓN
La negación se presenta con los términos:

El SÍMBOLO que se emplea para traducirla es: 
Aunque también se suele emplear el símbolo: ~

Ejemplos
1. SUPONGA QUE ESTAMOS EN EL DÍA LUNES DE LA SEMANA, entonces al decir:
a : "Hoy es lunes"
(Será una proposición VERDADERA)
a : "Hoy no es lunes "
(En cambio esta proposición será FALSA).
2. SUPONGA QUE NO ESTÉ LLOVIENDO, entonces al decir:
a : "Está lloviendo"
(será una proposición FALSA)
a : "No está lloviendo"
(en cambio esta proposición será VERDADERA)

Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todas
estas posibilidades formamos lo que llamaremos TABLA DE VERDAD
para el operador lógico. Que para la negación sería: a
a
1
0
0
1
Observe que:
El operador NEGACIÓN CAMBIA EL VALOR DE
VERDAD de una proposición.

 No
 No es verdad que
 No es cierto que

10. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
5
1.2.2 CONJUNCIÓN
Este operador lo tenemos cuando enlazam os proposiciones con el
término y.
En lenguaje formal se lo traduce con el SÍMBOLO: 

Ejemplo

CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a : "Tengo un bolígrafo negro"
b : "Tengo un bolígrafo rojo"
LA CONJUNCIÓN DE LAS DOS PROPOSICIONES SERÍA: ba
: "Tengo un bolígrafo negro y uno rojo"
Entonces al suponer que:
1. Si se tienen los dos bolígrafos (1;1ba ) entonces decir "Tengo un bolígrafo negro y uno rojo", será una VERDAD.
2. Si se tiene el bolígrafo negro y no el rojo (0;1ba ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro y uno rojo ", será
FALSA.
3. Si no se tiene el bolígrafo negro y si el rojo (1;0ba ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro y uno rojo ",
será también FALSA.
4. Si no se tienen los dos bolígrafos (0;0ba ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro y uno rojo”, también será
FALSA.

Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjunción sería :
a
b ba 1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0


Observe que:
La CONJUNCIÓN de dos proposiciones es
VERDADERA siempre y cuando ambas
proposiciones sean verdaderas.

11. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
6
1.2.3 DISYUNCIÓN INCLUSIVA
La disyunción inclusiva aparece cuando enlazamos proposiciones con
el término O.
Se la traduce formalmente con el SÍMBOLO: 
Ejemplo
Considerando las mismas proposiciones anteriores: a
: " Tengo un bolígrafo negro " b
: " Tengo un bolígrafo rojo "
LA DISYUNCION DE LAS DOS PROPOSICIONES SERÍA: ba
: " Tengo un bolígrafo negro o uno rojo "
Entonces al suponer que:
1. Si se tienen los dos bolígrafos (1;1ba ) entonces decir "Tengo un bolígrafo negro o uno rojo", será una
VERDAD.
2. Si se tiene el bolígrafo negro y no el rojo (0;1ba ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro o uno rojo ", será
también una VERDAD.
3. Si no se tiene el bolígrafo negro y si el rojo (1;0ba ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro o uno rojo ",
será también una VERDAD.
4. Si no se tienen los dos bolígrafos (0;0ba ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro o uno rojo”, será una
FALSEDAD.
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la disyunción inclusiva
sería: a
b ba 1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0


Note que:
La DISYUNCIÓN INCLUSIVA de dos
proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas
proposiciones sean falsas.

12. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
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1.2.4 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo
uno ó lo otro, pero no ambas cosas.
Ejemplos
1. "Daniel está en España o Italia"
2. "Jessica tiene una altura de 1.70 .m o 1.65 .m "
3. "El motivo del crimen fue o bien el robo o bien la venganza"
Estos ejemplos se los interpreta de la siguiente manera:
 "Daniel está en España o está en Italia, pero no puede estar en ambos lugares a la vez"
 "Jessica tiene una altura de 1.70 .m o una altura de 1.65 .m , pero no puede tener ambas estaturas a la vez"
 "El motivo del crimen fue sólo el robo o sólo la venganza"

En el último ejemplo, con el término "sólo", desechamos la idea de que
el motivo del crimen sea el robo y la venganza a la vez.
Entonces el término para la disyunción exclusiva en lenguaje común
sería: "o…o…". Así como también el término "o bien……o
bien…..".
EL SÍMBOLO que se emplea para traducirla formalmente es:  .
Sin embargo, la disyunción exclusiva se la traduce en término de la
disyunción inclusiva de la forma: baba 
LA TABLA DE VERDAD para la disyunción exclusiva sería: a
b ba
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0

Por lo tanto, se podría decir que:

La DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de dos
proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas
proposiciones sean falsas y también cuando
ambas sean verdaderas.

13. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
8
1.2.5 ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA
Es el conector lógico más importante. Llamado también condicional o
implicación. Se presenta cuando enlazamos dos proposiciones a y b de
la forma: "Si a entonces b ". Simbólicamente se traduce como: ba

En este caso a la proposición "a " se la llama:

Y a la proposición "b " se la llama:
Otros LENGUAJES RELACIONADO S con la enunciación hipotética son:
 " a implica b "
 "Basta a para que b "
 "a sólo si b " (Sólo si b ,a )
 "a solamente si b "
 "b si a "
 "b cada vez que a "
 "b siempre que a "
 "b puesto que a "
 "b ya que a "
 "b cuando a " (Cuando a , b )
 "b debido a que a "
 "b porque a "
 "b con la condición de que a "

Ejemplo |
Supóngase que un padre le dice a su hijo:
"Si apruebas el preuniversitario, entonces te daré un premio".
Bien, ahora suponga que:
1. Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le da el premio. Entonces el padre ha
dicho una VERDAD.
2. Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. Entonces el padre ha dicho una
MENTIRA (FALSEDAD).
3. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le da el premio, aunque no está obligado a
hacerlo. Entonces el padre NO ha dicho una MENTIRA.
4. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. El padre tampoco ha dicho una
MENTIRA.
Antecedente
Consecuente

14. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
9
Entonces, LA TABLA DE VERDAD para la enunciación hipotética sería: a
b ba
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
Por lo tanto, se podría decir que:
La ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA es FALSA
sólo cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente falso.
Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relación entre las
proposiciones. El valor de verdad de la proposición resultante depende de
los valores de verdad de cada una de las proposiciones que la conforman.
1.2.5.1 Condiciones necesarias y suficientes
En ocasiones, en una enunciación hipotética verdadera donde existe
relación causal entre el antecedente a y el consecuente b , se interpreta
lo siguiente:
"a es condición suficiente para b "
"b es condición necesaria para a "
Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para la
enunciación hipotética.
Ejemplo
"Si un número es divisible para 4 , entonces es divisible para 2 "
Este enunciado puede ser interpretado, parafraseándolo de la siguiente manera:
 "Es SUFICIENTE que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2 "

O también:
 "Es NECESARIO que un número sea divisible para 2 , para que sea divisible para 4 " (también: "si un número es
divisible para 4 , necesariamente será divisible para 2 ")

Es importante mencionar que si se intercambia el antecedente con
el consecuente la enunciación hipotética cambia .
Ejemplo
Considerando el ejemplo anterior, al enunciar la proposición de la siguiente forma:
“Si un número es divisible para 2 , entonces es divisible para 4 "
Es FALSA; porque es indudable que existen números divisibles para 2 que no son divisibles para 4 (6
por ejemplo).

15. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
10
Además, el enunciado anterior también puede ser parafraseado de las
siguientes formas:
 " La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 "
 " Un número es divisible para 4 sólo si es divisible 2 "
 “Basta que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2 ".
 " Un número es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 si es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 puesto que es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 ya que es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 cuando es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 debido a que es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 porque es divisible para 4 "

1.2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL
Para la implicación ba se define:
LA RECÍPROCA: ab
LA INVERSA: ba
LA CONTRARRECÍPROCA: ab

Ejemplo
Sea la proposición: “Iré a trabajar, si me pagan”
Para expresar su recíproca, su inversa y su contrarrecíproca es mejor tener la enunciación hipotética de la
forma: Si a entonces b .
Observe que la proposición dada, está de la forma "b si a "
Entonces el antecedente es a : Me pagan
Y el consecuente es b : iré a trabajar
Luego tenemos:
“Si me pagan, entonces iré a trabajar”
De aquí:
RECÍPROCA: “Si voy a trabajar, entonces me pagan”
INVERSA: “Si no me pagan, entonces no iré a trabajar”
CONTRARRECÍPROCA: “Si no voy a trabajar, entonces no me pagan”


Cuando se observa que la implicación no es sólo en un sentido, sino
que se da en ambos sentidos, hay la necesidad de expresarse de otra
forma y surge la definición de un nuevo operador lógico, la doble
implicación, llamado también BICONDICIONAL.

16. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
11
1.2.6 BICONDICIONAL
El símbolo empleado es:  . Que enlazando dos proposiciones sería: ba
. Que significa   abba  y se lee “a sí y sólo sí b ”.
Su tabla de verdad sería: a
b ba
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Se observa que:
La BICONDICIONAL para dos proposiciones es
VERDADERA cuando ambas proposiciones son
verdaderas o ambas falsas, es decir cuando
tienen el mismo valor de verdad. Caso contrario
es falsa.

Ejemplo
Si se tienen las proposiciones:
a : “La matriz tiene inversa”
b : “El determinante de la matriz es diferente de cero”

Si se quiere decir que una matriz tenga inversa implica que su determinante es diferente de cero; y
recíprocamente, si el determinante de una matriz es diferente de cero entonces tiene inversa; se lo expresará
de la forma:
ab : “Una matriz tiene inversa, si y sólo si su determinante es diferente de cero”

Ejercicios Propuestos 1.2
1. Sean las proposiciones: a
: Te gustan las Matemáticas b
: Te gusta este deber
TRADUZCA las siguientes proposiciones al lenguaje común:
a) ba b) ba c) ab d)  baa 

2. En las siguientes proposiciones, identifique el ANTECEDENTE y el CONSECUENTE.
a) Si no se ama a primera vista, no se ama como es debido.
b) Para ser secretaria se necesita enseñar la rodilla.
c) El que roba un dólar, roba un millón.
d) Pienso, luego existo.
e) Quien siembre vientos, cosecha tempestades.
f) Para que un polígono sea rectángulo, es suficiente que sea cuadrado.
g) No somos débiles si hacemos uso apropiado de los medios que el Dios de la Naturaleza ha puesto bajo
nuestro dominio.
h) Tendrás éxito solamente si aprecias la opinión de los demás.
i) Hay que alimentarse adecuadamente porque es una manera de evitar enfermedades.
j) Estudio siempre que tenga motivación.

17. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
12
k) Únicamente mediante el error auténtico y el trabajo espontáneo y creativo puede el ser humano superar su
angustia y soledad.

3. Considerando las proposiciones:
a : Yo terminé mi deber antes de comer. c : Hoy hace sol.
b : Yo juego tennis por la tarde. d : Hoy hay poca humedad.
Escribir en LENGUAJE SIMBÓLICO:
a) Es necesario que termine de hacer mi deber antes de comer y que haya poca humedad para que si
hace sol yo juegue tennis por la tarde.
b) Para mí es suficiente que no haya sol y haya poca humedad para que no salga a jugar tennis por la
tarde.

4. Dada la proposición:
"Un triángulo es rectángulo si está circunscrito en un semicírculo "
Escriba la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca.

5. Sea la proposición: “El autobús llega tarde, siempre que el conductor se haya desviado”. Suponiendo
que la proposición es verdadera. Entonces una proposición EQUIVALENTE a la anterior, es:
a) Que el autobús llegue tarde es una condición suficiente para que el conductor se haya desviado.
b) Una condición suficiente para que el autobús llegue tarde es que el conductor se haya desviado.
c) Una condición necesaria para que el autobús llegue tarde es que el conductor se haya desviado.
d) Si el autobús llega tarde, el conductor se ha desviado.
e) Elija esta opción sin ninguna proporción anterior corresponde.



1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina proposiciones atómicas y moleculares.
 Establezca el valor de verdad de una proposición molecular.


Las PROPOSICIONES MOLECULARES son
expresiones que están compuestas por varias
proposiciones conectadas por operadores lógicos.
A las proposiciones simples, en las que no
aparecen operadores lógicos, se las denominan
PROPOSICIONES ATÓMICAS.

Ejemplo
 bacba 

Las proposiciones atómicas para este ejemplo serían a , b y c .
El valor de verdad de una proposición molecular depende del valor de
verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

18. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
13
Ejemplo
Para la proposición molecular anterior suponga que: 1a ; 0b y 1c , entonces su valor
de verdad es VERDADERO, porque:   

 
  



1
0
01
0
0
1
1
01






























 bacba


Ejercicios Propuestos 1.3
Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones atómicas , , , ,a b c d e y f son
respectivamente 0,0,1,1,0,1 ; determinar el VALOR DE VERDAD de cada una de las proposiciones moleculares
siguientes:
1.    cabba 
2.         bafdedcaba 
3.          fafdedcaba 

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina formas proposicionales.
 Defina tautologías, falacias y contradicciones.
 Aplique la definición de tautología y la de falacia para clasificar formas proposicionales
dadas.
 Defina formas Lógicamente Equivalentes
 Determine si formas proposicionales dadas son Lógicamente Equivalentes o no

Una FORMA PROPOSICIONAL es una expresión
constituida por símbolos que representan o
conectores lógicos o variables proposicionales.
Ejemplo
 qprqp 
Donde p , q y r son VARIABLES PROPOSICIO NALES, que pueden
representar proposiciones atómicas o proposiciones moleculares.
Si reemplazamos a p , q y r por proposiciones los resultados son
proposiciones moleculares, por tanto, su valor de verdad está supeditado
al valor de verdad de las proposiciones atómicas que intervengan.

19. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
14
Si nos propusiéramos elaborar la tabla de verdad de una forma
proposicional, ésta tendría n
2 filas, donde n es el número de variables
proposicionales.
Para el ejemplo anterior, como la forma proposicional tiene tres
variables proposicionales, entonces su tabla de verdad tendrá 82
3

filas, tal como se muestra a continuación:
p
q r qp r rqp  qp  qprqp 
1
1
1
1

0
0
0
0
1
1
0
0

1
1
0
0
1
0
1
0

1
0
1
0
1
1
1
1

1
1
0
0
0
1
0
1

0
1
0
1
0
1
0
1

0
1
0
0
1
1
0
0

0
0
0
0
1
1
1
0

1
0
1
1

Observe que con tres variables, para no repetir casos, las dos últimas
variables q y r mantienen las cuatro combinaciones básicas (ambas
verdaderas, una de ellas verdadera mientras la otra falsa y ambas falsas)
y la primera variable p es verdadera. Luego, lo mismo para las dos
últimas variables, pero con la primera falsa.
Si hubiesen 4 variables proposicionales, se hacen las ocho
combinaciones anteriores con las últimas tres variables y la primera
variable verdadera; luego, lo mismo que lo anterior pero con la primera
falsa, es decir: p
q
r s
1
1
1
1
1
1
1
1

0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0

1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0

1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0

1
0
1
0
1
0
1
0

Para más variables repetir el proceso de forma análoga.

20. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
15
Existen formas proposicionales muy singulares que van a ser de
mucho interés para nuestras necesidades.
TAUTOLOGÍA: Forma proposicional cuya
estructura lógica da lugar a proposiciones
VERDADERAS para todos los casos de valores de
verdad de las variables proposicionales que las
componen.

CONTRADICCION: Forma proposicional cuya
estructura lógica da lugar a proposiciones
FALSAS, sin importar el valor de verdad de sus
variables.
Si las formas proposicionales no son Tautología o Contradicción se las
llama CONTINGENCIA .

Ejemplo
Al observar la tabla de verdad de la forma proposicional:
  qpqp  p
q p qp qp   qpqp 

1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Notamos que el valor de verdad de las proposiciones que se generan es siempre verdadero, sin importar el valor de verdad
de las variables proposicionales intervinientes. Por tanto es una TAUTOLOGÍA.


1.4.1 IMPLICACIONES LÓGICA S

Sean A y B dos formas proposicionales.
Decimos que A implica lógicamente a B si y sólo
sí BA es una tautología.

En este caso se escribe BA .

21. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
16
Algunas implicaciones lógicas típicas son:
qpp 
Adición pqp
Simplificación   qqpp 
Modus Ponens   pqqp 
Modus Tollens  qpqp 
Silogismo Disyuntivo  qpqp 
    rprqqp 
Silogismo Hipotético   rqrpqp 
  rqrpqp 
    rprqqp 
    sqrpsrqp 
    sqrpsrqp 

Dilemas constructivos       rpsqsrqp 
      rpsqsrqp 

Dilemas destructivos

Ejercicios Propuestos 1.4
1. DEMUESTRE las Implicaciones Lógicas anteriores.

2. Escriba la TABLA DE VERDAD de las siguientes formas proposicionales:
a) )( ppp 
b) )()( qpqp 
c) qqpqp  ))()((
d) ))(()( qppqp 

3. ¿Cuál de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLÓGICA?
a) pqp )(
b) pqpp  ))((
c) )()( qpqp 
d) qqpp  ))((
e) )()( qpqp 

4. Una de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLÓGICA, identifíquela.
a)   qqpp 
b)   ppqp 
c)   qqpp 
d)     rpqprq 
e)   pqqp 

5. Sean rqp,, variables proposicionales, entonces la forma proposicional que NO ES TAUTOLÓGICA es:
a)  pqqp 
b)   pqqp 
c)     rqrprqp 
d)     rprqqp 
e)     rqprqrp 

6. La expresión B para que la forma proposicional:     Bqqqpp 
NO SEA TAUTOLÓGICA es:
a) qp b) qp c)q d) p e) p

7. HALLAR el operador “ ” para que la forma proposicional sea tautológica:
      rqsqsrqp 

22. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
17
1.4.2 EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales.
Decimos que A es LÓGICAMENTE
EQUIVALENTE a B si y sólo sí BA es una
tautología.
En este caso se escribe BA . Como también BA
Analicemos la tabla de verdad de las siguientes dos formas
proposicionales: qp y qp
p
q 
A
qp
p

B
qp
  

BA
qpqp    

AB
qpqp 
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
En ambos sentidos la implicación con estas dos formas
proposicionales es tautológica, lo cual quiere decir que son formas
Lógicamente Equivalentes. Es decir, qp  qp
Como conclusión se puede decir que:
Dos formas proposicionales son LÓGICAMENTE
EQUIVALENTES si tienen el MISMO VALOR
DE VERDAD bajo iguales condiciones de valores
de verdad de las variables intervinientes.
Aquí se puede observar la importancia de la lógica de símbolos. Es
muy difícil precisar con nuestros sentidos que la expresión “Si estudio
entonces aprenderé” es Lógicamente Equivalente a “ No estudio o
aprendo”.
Ahora analicemos estas otras dos formas proposicionales qp y pq
p
q p q qp pq
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1

Por lo tanto, qp es Lógicamente Equivalente a su contrarrecíproca pq
.

23. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
18
Ejercicios Propuestos 1.5
Investigue si las siguientes EQUIVALENCIAS SON CORRECTAS O NO:
a)     rqprqp 
b)     rqprqp 
c)    rqprqp 
d)     rqprqp 
e)    rqprqp 
f)     rqprqp 

1.4.2.1 ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Clasificando algunas Equivalencias Lógicas, resulta:
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN pqqp 

Conmutativa pqqp 
 rqprqp 

Asociativa  rqprqp 
 ppp 

Idempotencia  ppp 
pp1

Identidad pp0
00p

Absorción 11p

LEYES DISTRIBUTIVAS NEGACIÓN rpqprqp 
rpqprqp 
10
01
pp
doble negación
OTRAS:
 
  




qpqp
qpqp Leyes de De Morgan
 1pp Ley del tercer excluido
 0pp Ley de la contradicción   pqqp 
Contrapositiva o Contrarrecíproca   qpqp 
Implicación  qpqp 
 qpqp 
    rqprqrp 
     rqprpqp 
    rqprqp 
Ley de exportación    0 qpqp
Reducción al absurdo     pqqpqp 
Equivalencia   pqqp 

¡No olvide demostrarlas!

24. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
19
1.4.2.2 APLICACIÓN DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Una utilidad de las Equivalencias L ógicas la observamos a
continuación.
Ejemplo 1
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la siguiente proposición:
“Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia”
Siendo: :m tú eres inteligente :n
tú actúas con prudencia :p
tú eres un ignorante en la materia
Es:

a) pnm 
b)  nmp 
c) pnm 
d)  npm 
e) pnm 



Ejemplo 2
Dada la proposición molecular:
“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga,
entonces no voy a la Universidad”
y las proposiciones atómicas: a
: Hoy es jueves. b : Tengo que dar un examen. c
: Hay huelga. d : Me voy a la Universidad.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición molecular es:
a)  dcba  b) bacd  c)  dcba 
d)  dcba  e) badc 

SOLUCIÓN:


Analicemos este otro tipo de ejercicio.

Ejemplo 3
Si la proposición:       srpsrqp  es VERDADERA, entonces es
VERDAD que:
a) 0qp b) 1sq c)  0qsr
d) 1q e) 1rp
Traduciendo tenemos  dcba  , por la contrarrecíproca  cdba 
entonces  cdba 
que es lo mismo que  bacd 

RESPUESTA: Opción "b".

SOLUCIÓN:
La traducción sería:  pnm  . Pero tiene apariencia diferente
a las opciones de respuestas, entonces empleando el álgebra de
proposiciones tenemos:  pnm 
pnm
pnm 
pnm 
RESPUESTA: Opción "a".

25. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
20
SOLUCIÓN: Debemos ir analizando desde la proposición molecular hasta llegar a las proposiciones
atómicas.
[ 

 

  



1
0
0
10
0
1
1
01
srqp  ] [ 




1
1
1
1
0
1
srp  ] 1
Del análisis se concluye que: 0
0
1
1




q
r
s
p
Ahora que hemos encontrado los valores de verdad de cada una de las proposiciones, ,
podemos analizar una a una las opciones proporcionadas:
a) 101qp mas no 0 como se indica
b) 010sq mas no 1 como se indica
c)   001010 qsr tal como se indica y por tanto esta sería
la respuesta.


Ejercicios Propuestos 1.6
1. Seleccione la TRADUCCIÓN correcta de la siguiente afirmación:
“Si retiro el dinero del banco, compro un carro o una casa”
Considerando las proposiciones atómicas : :p Retiro el dinero del banco :q
Compro un carro :r
Compro una casa
a)  rqp  b)  rqp  c) rqp d) rqp e) rqp 


2. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición :
"Si me voy a casa, me voy de compras y si no me voy a casa, entonces voy al cine"
siendo las proposiciones atómicas:
a : Me voy a casa b : Me voy de compras c : Voy al cine
es:
a))()( caba  c))()( caba 
b))()( caba  d) )()( acab  e) )()( acab 

3. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: "Si se es estudioso o dedicado, entonces se aprueba
el Preuniversitario". Siendo las proposiciones atómicas:
a : Se es estudioso.
b : Se es dedicado.
c : Se aprueba el Preuniversitario.
es: a)  cba  b)   cbca  c)  bca 
d) cba  e)  cba

4. Dada la proposición:
"Si hay huelgas y paro de transportistas, entonces las pérdidas serán cuantiosas"
Entonces es EQUIVALENTE a la siguiente proposición:
a) Si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas o no hay paro de transportistas.
b) Si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas y si hay paro de transportistas.
c) Si no hay pérdidas cuantiosas entonces hay huelgas y no hay paro de transportistas.
d) Si no hay huelgas ni paro de transportistas entonces no hay pérdidas cuantiosas.
e) Si no hay huelgas entonces no hay paro de transportistas ni pérdidas cuantiosas.

5. La proposición: )()( acba  es EQUIVALENTE a:
a)cba )( b))(cba 
c))(cba  d) cba)( e) acba  ))((

26. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
21
6. La forma proposicional:       pqqpqqppqp  es EQUIVALENTE a:
a) pq b) p c) q
d) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre falsa.
e) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre verdadera.

7. La CONTRARRECÍPROCA de la proposición:
“Si EL NIÑO es un fenómeno o un desastre natural, entonces no es una simple lluvia o un mal
pasajero” es:
a) Si EL NIÑO es una simple lluvia y no un mal pasajero, no es un fenómeno ni un desastre natural.
b) EL NIÑO no es un fenómeno ni un desastre natural, porque es un mal pasajero y no una simple lluvia.
c) EL NIÑO es un fenómeno, desastre natural, simple lluvia y un mal pasajero.
d) EL NIÑO no es un fenómeno ni desastre natural, si es una simple lluvia y un mal pasajero.
e) EL NIÑO no es una simple lluvia o un mal pasajero solo si no es un fenómeno.

8. Si se da la proposición:
"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré un mal examen o mis
padres estarán contentos”
Entonces su proposición CONTRARRECÍPROCA es:
a) Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo
suficiente.
b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán
contentos.
c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré
un mal examen.
d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están
contentos.
e) No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he estudiado mucho.

9. Dadas las proposiciones atómicas:
:p Me estoy bañando. :q Me voy a una fiesta.
:r Quiero dormir. :s Estoy cansado.
Entonces, la CONTRARRECÍPROCA de la proposición   sqrp  es:
a) Si me estoy bañando y no quiero dormir, entonces, me voy a una fiesta y no estoy cansado.
b) No es verdad que me voy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy bañando o quiero dormir.
c) Si no me voy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy bañando o quiero dormir.
d) Si no me estoy bañando o quiero dormir, entonces me voy a una fiesta o estoy cansado.
e) Si me voy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy bañando y no quiero dormir.


10. Si la proposición:   eddba  es FALSA, entonces es VERDAD que:
a) 0ab
b)  0 de
c) 0ad
d)  0ba
e)  0ae

11. Si la proposición   qrqp  es FALSA, entonces una de las siguientes proposiciones es
FALSA, identifíquela:
a)    0 qrqp
b)   0 qprq
c)    1 qrpr
d)   1 rqrp
e)    0 prqr

12. Si la proposición    qrrqp  es FALSA, entonces es VERDAD que:
a) El valor de verdad de p es verdadero.
b) El valor de verdad de q es verdadero.
c) El valor de verdad de p es falso.
d) El valor de verdad de r es falso.
e) El valor de verdad de p no puede ser definido.

27. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
22
1.5. RAZONAMIENTOS
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina razonamiento.
 Defina razonamiento válido.
 Determine la validez de un razonamiento suponiendo que éste es falso.
 Infiriera una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis.
 Justifique la validez de un razonamiento.
 Replantee un razonamiento cambiando la conclusión para que sea válido en el caso de que no lo sea.

Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lógica muy importante,
que es el objetivo que nos habíamos propuesto.
El tipo de razonamiento que vamos a considerar estará constituído por
una enunciación hipotética que tiene como antecedente una conjunción
de hipótesis o premisas. Es decir, su estructura lógica será de la forma:
 


  

CONCLUSIÓN
PRINCIPALOPERADOR
HIPOTESISOPREMISAS
n
CHHHH 
321
Estamos interesados en saber si un razonamiento es válido o no, es
decir si la conclusión es lógicamente inferida de las hipótesis.
1.5.1. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma
proposicional que se obtiene de la proposición
molecular que lo define, es TAUTOLÓGICA. Es
decir una Implicación Lógica.
Como la estructura lógica de los razonamientos presenta la forma CH
, entonces podemos dedicarnos a determinar si se produce el
siguiente caso 1H y 0C que es el único caso cuando la Enunciación
Hipotética sería falsa, entonces no sería una tautología y por tanto el
razonamiento no es válido.
Ejemplo 1
Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:
"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los ingresos, se
recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción, se recupera la inversión"
SOLUCIÓN:
Considerando las proposiciones atómicas: :a
Aumenta la producción :b
Aumentan los ingresos. :c
Se recupera la inversión.
El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposición molecular:
    cacbba  .
Entonces la forma proposicional correspondiente sería     rprqqp 
Que debería ser tautológica para que el razonamiento sea válido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar
tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.

28. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
23 00
1 1 1 1
1 0 0
0
p q q r p r
     
         
     
     

Para que la enunciación hipotética sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mientras que el consecuente es
falso, para lo cual  0rp entonces 1p y 0r . Ahora examinando el antecedente, observamos que para
que la primera hipótesis sea verdadera se requiera que 1q , pero la segunda hipótesis se hace falsa. Esto nos hace
pensar que no va a existir por lo menos una proposición falsa, por lo tanto el razonamiento es VALIDO.

Ejemplo 2
Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:
"Si soy estudioso, aprobaré el curso; si soy fiestero, no aprobaré el curso. Por
lo tanto, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo"
SOLUCIÓN:
Considerando las proposiciones atómicas: :a
Soy estudioso :b
Aprobaré el curso. :c
Soy fiestero.
El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposición molecular:
   cabcba  .
Entonces la forma proposicional correspondiente sería    rpqrqp 
Que debería ser tautológica para que el razonamiento sea válido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar
tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad. 11
1 1 ? 1
11 1
0
0
p q r q p r
  
  
          
  
 
  

Para que la enunciación hipotética sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mientras que el consecuente es
falso, para lo cual 0 rp entonces 1rp ; esto significa que 1p y 1r . Ahora examinando el
antecedente, observamos que para que la primera hipótesis sea verdadera se requiera que 1q , pero la segunda
hipótesis se hace falsa porque 0q . Esto nos hace pensar que no va a existir por lo menos una proposición falsa, por
lo tanto el razonamiento es VALIDO.


Ejemplo 3
Dadas las siguientes hipótesis: 1H
: La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes. 2H
: Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) La Lógica es difícil.
b) La Matemática es fácil.
c) Si la Matemática no es fácil, a muchos estudiantes no les gusta la Lógica.
d) Si a muchos estudiantes les gusta la Lógica, la Matemática no es fácil.
e) La Matemática no es fácil o la Lógica es difícil.
SOLUCIÓN:
Definamos las proposiciones: :a La Lógica es difícil.
:b La Lógica le gusta a muchos estudiantes.
:c La Matemática es fácil.
Entonces la traducción de las hipótesis dadas sería: baH :
1 acH :
2

Cada opción dada sería una posible conclusión, analicemos con cada una:

29. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
24
a) [( 


1
1
00
qp ) ( 


1
1
0
1
pr )]
0
p No válido
b) ( 

 


0
1
1
0
1
0
1
1
01
rprqp 

 ) No válido
c) [( 


1
0
11
qp ) ( 


1
0
1
0
pr )] [




0
1
1
0
qr ] No válido
d) [( 


1
0
11
qp ) ( 


0
0
1
1
pr )] [ 


0
0
1
1
rq ] VÁLIDO (Respuesta)
e) [( 


1
1
00
qp ) ( 


1
1
0
1
pr )] [



0
0
0
1
pr ] No válido


Ejercicios Propuestos 1.7
1. Con las proposiciones: m : Yo gano las elecciones.
n : Guayaquil tiene autobuses articulados
p : Ustedes tienen transporte.
Se construye los siguientes razonamientos. Determine cual de ellos NO es válido.
a)     pmpnnm 
b)     nppnnm 
c)   nmnm 
d)   nmnm 
e)    mppnnm 




2. Dadas las siguientes premisas: 1
H : Si veo mucha TV, entonces no tengo tiempo para estudiar.
2
H : Veo mucha TV.
considerando las proposiciones: p : Veo mucha TV y q : Tengo tiempo para estudiar.
Entonces una conclusión para un RAZONAMIENTO VÁLIDO es:
a) p
b) q
c) qp
d) qp
e) qp

3. Dadas las siguientes premisas: :
1
H Si estudio mucha Lógica, entonces no reprobaré el curso.
:
2
H Estudio mucha Lógica.

30. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
25
Entonces, una CONCLUSIÓN para un RAZONAMIENTO VÁLIDO, es:
a) No estudio mucha Lógica.
b) Reprobaré el curso.
c) Estudio mucha Lógica ó no reprobaré el curso.
d) No estudio mucha Lógica y estudio mucha Lógica.
e) No estudio mucha Lógica ó reprobaré el curso.



Misceláneos
1. Si la forma proposicional    qrrqp  es FALSA, entonces es VERDAD que:
a) p es verdadera.
b) p es falsa y r es verdadera.
c) r es falsa.
d) El valor de verdad de p no puede ser definido.
e) q es verdadera.

2. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)  rqp   rqp 
b)  rqp   rqp 
c) rqp   rqp
d)  qp  qp
e).  pq  qp

3. Sean las proposiciones: :p
Todos los alumnos cumplen con sus obligaciones. :q
Todos los alumnos aprueban el examen. :r
El profesor recompensa a los alumnos con una semana de vacaciones.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje simbólico de la proposición:
“Si todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el examen, el profesor los
recompensará con una semana de vacaciones; pero, si algún alumno resultara reprobado, el
profesor no adoptará esa medida”;
es:
a)   rqrrq 
b)    rqrpq 
c)   rqprq 
d)   rqpqr 
e)   qrrqp 

4. La NEGACIÓN de la proposición: qp es:
a) qp
b) pq
c) qp
d) qp
e) qp

5. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: “Si resuelvo bien el examen y no está difícil, mis
padres me felicitarán.”
Siendo las proposiciones:
a: Yo resuelvo bien el examen.
b: El examen está difícil.
c: Mis padres me felicitarán.
Es:
a) cba 
b)  ca
c) cba
d) cba 
e)  cba 

31. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
26
6. La proposición:
“Junior es débil, siempre que no coma pescado”
es EQUIVALENTE a:
a) Junior es fuerte o come pescado.
b) Junior es débil y come pescado.
c) Junior es débil cuando come pescado.
d) Junior es fuerte o no come pescado.
e) Junior es débil o come pescado.

7. La CONTRARRECÍPROCA de la proposición:
“Si estudio y apruebo el Preuniversitario, entonces estaré alegre”, es:
a) Si estoy alegre, entonces estudié y aprobé el Preuniversitario.
b) Estudio y estoy alegre, entonces aprobaré el Preuniversitario.
c) Si no estoy alegre, entonces no estudié o no aprobé el Preuniversitario.
d) Apruebo el Preuniversitario y estoy alegre, porque estudié.
e) Si no he estudiado, entonces no aprobaré el Preuniversitario.

8. Considerando la forma proposicional srqp  . Entonces una de las siguientes
proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) La recíproca es  qpsr  .
b) La contrarrecíproca es  qpsr  .
c) La inversa es  srqp  .
d) La inversa es equivalente a srqp  .
e) La forma proposicional dada es equivalente a srqp  .

9. Una de las siguientes proposiciones NO ES TAUTOLÓGICA, identifíquela.
a)     rprqqp 
b)   rqrpqp 
c)     prqprq 
d)  pqqp 
e)  qrrqp 

10. Considerando las siguientes proposiciones: :p
Daniel es feliz. :q
Daniel estudia todos los días. :r
Daniel aprueba el preuniversitario.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje formal de: “Daniel es feliz sólo si estudia todos los días y aprueba el
preuniversitario”
Es:
a) qpr 
b) prq
c) prq 
d) prq
e) rqp 

11. La siguiente proposición: “La empresa no hace publicidad y no cambia su producción siempre que la
demanda aumente” es EQUIVALENTE a:
a) Si la empresa no hace publicidad y no cambia su producción, entonces la demanda aumenta.
b) Si la empresa hace publicidad o cambia su producción, entonces la demanda no aumenta.
c) Si la demanda no aumenta, entonces la empresa hace publicidad y cambia su producción.
d) La empresa hace publicidad y cambia su producción, o la demanda aumenta.
e) La empresa hace publicidad o, si cambia su producción entonces la demanda no aumenta.

12. Dadas las siguientes premisas: :
1
P
Si se paga el rescate, entonces los técnicos petroleros aparecerán vivos y retornarán a sus países de
origen. :
2
P
Si la policía interviene, entonces los técnicos petroleros no retornarán a sus países de origen. :
3
P
Se paga el rescate.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento es:
a) Los técnicos petroleros no aparecen vivos.
b) No se paga el rescate.
c) Si los técnicos petroleros no retornan a sus países de origen, entonces la policía interviene.
d) La policía interviene.
e) Los técnicos petroleros no retornan a sus países de origen.

32. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
27
13. Dadas las proposiciones atómicas: :p Voy a rendir el examen.
:q Me presento al examen.
:r Reprobaré.
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición "Voy a rendir el examen porque si no me
presento al examen entonces reprobaré"
es:
a) prq
b) prq
c) rqp 
d)  qpr 
e) qpr 

14. Sea la proposición: "Juan asiste a clases de Matemáticas siempre y cuando no tenga otras
ocupaciones"
Entonces, su proposición CONTRARECÍPROCA es:
a) Si Juan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.
b) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases.
c) Si Juan no asiste a clases, entonces tiene otras ocupaciones.
d) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces no asiste a clases.
e) Si Juan no asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.

15. Si la forma proposicional    tsprqp  es FALSA. Entonces una de las siguientes
proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)  01p
b)  1ts
c)  0pr
d)   1 stp
e) 1ts

16. Considere las proposiciones: a: La dolarización es un proceso adecuado para el país.
b: El país debe salir de la crisis económica.
c: Las personas mantienen una mentalidad positiva.
La TRADUCCION al lenguaje formal de la proposición: "La dolarización es un proceso adecuado para el
país si las personas mantienen una mentalidad positiva, pero si las personas no mantienen una
mentalidad positiva, el país no sale de la crisis económica. Es:
a)   baac 
b)   caac 
c)  bca 
d)   bcac 
e)  cba 

17. Considere la proposición molecular: "Es suficiente que Lulú no quiera a Andrés para que si Lulú termina
con Juan entonces a ella no le gustan los hombres feos".
Entonces una proposición EQUIVALENTE es:
a) Es necesario que Lulú termine con Juan o que le gusten los hombres feos para que no quiera a Andrés.
b) Lulú quiere a Andrés pero no es verdad que terminó con Juan o le gusten los hombres feos.
c) Es suficiente que Lulú termine con Juan y le gusten los hombres feos para que quiera a Andrés.
d) Es suficiente que a Lulú le gusten los hombres feos para que termine con Juan y quiera a Andrés.
e) Es necesario que Lulú termine con Juan para que a Lulú le gusten los hombres feos y quiera a Andrés.

18. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:
H1:La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas.
H2:Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil.
Una CONCLUSION que lo hace válido, es:
a) La dolarización es difícil.
b) Las medidas económicas son viables.
c) Si las medidas económicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarización.
d) Si a muchas personas les gusta la dolarización, las medidas económicas no son viables.
e) Las medidas económicas no son viables o la dolarización es difícil.

19. Si se da la proposición: "Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré
un mal examen o mis padres estarán contentos”
Entonces su proposición CONTRARECIPROCA es:
a) Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo
suficiente.
b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán
contentos.

33. Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
28
c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré
un mal examen.
d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están
contentos.
e) No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he estudiado mucho.

20. Dado el razonamiento CPPPP 
4321 ; donde:
1
P : Si estudio, aprenderé.
2
P : Si aprendo, aprobaré el curso.

3
P : O practico tenis o no practico tennis.
4
P : No apruebo el curso.
Entonces una conclusión C que hace el RAZONAMIENTO VÁLIDO es:
a) Estudio b) No estudio c) Apruebo el curso d) Aprendo

e) N.A.

21. Analice la VALIDEZ de los siguientes razonamientos:
a) Si tú muestras la verdad, revelarás lo ridículo de las pretensiones del hombre. Si el hombre es prepotente,
es porque no se ha revelado lo ridículo de sus pretensiones. El hombre es prepotente. Por consiguiente, tú
no muestras la verdad.
b) Si Genaro tomó el tren especial, entonces estuvo en el accidente, y si estuvo en el accidente, entonces no
asistió a la reunión. Genaro tomó el tren especial o no asistió a la reunión. Luego, Genaro estuvo en el
accidente.
c) O Calderón tiene enemigos en la administración o, si excede su cuota, recibirá un ascenso. Calderón no
recibirá un ascenso. Luego, Calderón tiene enemigos en la administración o no excederá su cuota.
d) Si pago al sastre no me quedará dinero. Solamente puedo llevar a mi novia al baile si tengo dinero. Si no la
llevo al baile, se sentirá desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregará el traje, y sin el traje no
puedo llevar a mi novia al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego, mi novia tendrá que sentirse
desdichada.

22. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:
1
H : Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará
2
H : Si el coche se revisó, entonces no falla el freno.
3
H : Pero el coche no se revisó.
Una conclusión que lo hace VÁLIDO es:
a) El coche no parará.
b) El freno falla y el camino no está helado.
c) Si no falla el freno y el camino no está helado, el coche parará.
d) El coche no parará o el camino no está helado.
e) Ninguna de las conclusiones es válida.

23. Considere las siguientes hipótesis: 1
H
: El Banco del Pueblo cerró sus puertas y sus clientes recuperarán su dinero. 2
H
: Si los clientes del Banco del Pueblo recuperarán su dinero entonces no existe intranquilidad. 3
H
: El Banco del Pueblo no cerró sus puertas o no existe intranquilidad.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento, es:
a) Si no existe intranquilidad entonces los clientes del Banco del Pueblo no recuperarán su dinero.
b) El Banco del Pueblo no cerró sus puertas.
c) No existe intranquilidad y los clientes del Banco del Pueblo recuperarán su dinero.
d) Ni el Banco del Pueblo cerró sus puertas, ni sus clientes recuperarán su dinero.
e) Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.



24. Considere las siguientes hipótesis: 1
H
: Ecuador adoptó el sistema de dolarización y pretende mejorar su economía. 2
H
: Si Ecuador pretende mejorar su economía entonces no habrá descontento social. 3
H
: Ecuador no adoptó el sistema de dolarización o no habrá descontento social
Entonces, una CONCLUSION VALIDA para un razonamiento es:
a) No habrá descontento social y Ecuador pretende mejorar su Economía.
b) Ni Ecuador adoptó el sistema de dolarización, ni pretende mejorar su Economía.
c) Ecuador no adoptó el sistema de dolarización.
d) Si no hay descontento social entonces Ecuador no pretende mejorar su Economía.
e) Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.

34. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
29



























2
2.1 DEFINICIÓN
2.2 NOTACIÓN
2.3 CARDINALIDAD
2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2.5 IGUALDAD
2.6 SUBCONJUNTOS
2.7 OPERACIONES
2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS
2.9 CONJUNTO REFERENCIAL
2.10 PROBLEMAS DE CARDINAL IDAD
La idea de conjunto está manifiesta de una u otra forma en nuestro
cotidiano vivir. Por ejemplo, cuando nos referimos a la especie que
pertenecemos, a la sociedad donde vivimos, a la universidad en la cual
estamos inscritos, a la carrera que vamos a cursar, ...
Más aún, ciertos problemas matemáticos se solucionan refiriéndose a
conjuntos.

35. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

30
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina conjunto.
 Clasifique y categorice conjuntos.
 Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado.
 Obtenga conjunto potencia.
 Opere conjuntos.
 Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones sombreadas
en un diagrama de Venn.
 Resuelva problemas planteando conjuntos.

2.1 DEFINICIÓN
Un CONJUNTO es una agrupación bien
definida de objetos, a los cuales se los
denomina ELEMENTOS.
2.2 NOTACIÓN
Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letras
del abecedario, en mayúscula.
Podemos referirnos a un conjunto indi cando cada uno de sus
elementos.
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada vocal, es
decir:
 uoieaA ,,,,
Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por extensión
o tabulación.
También podemos referirnos a un conjunto indicando las
características de sus elementos.
Ejemplo
Podemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma:
 vocalunaesxxA/
Esta otra forma de referirnos a un conjunto se denomina por
comprensión.
Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos
elementos.

36. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
31
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es
decir:
 realnúmerounesxxB /
Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el
símbolo  .
Ejemplo
Para decir que la vocal a pertenece al conjunto A , lo haremos así:
Aa

2.3 CARDINALIDAD
Para denotar al número de elementos de un conjunto A , se emplea la
simbología )(AN
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:
5)(AN
)(BN ; donde el símbolo  significa Infinito.

De aquí surgen las siguientes definiciones:
Sea A un conjunto. Entonces:
1. A es un CONJUNTO FINITO si tiene una
cantidad determinada de elementos.
2. A es un CONJUNTO INFINITO si tiene
una cantidad indeterminada de elementos.
3. Si A tiene un sólo elemento se lo llama
CONJUNTO UNITARIO.
4. Si A no tiene elemento, se dice que A es
el CONJUNTO VACÍO. Para este caso se
emplea la notación:  .

37. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

32
2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Otra manera de representar a los conjuntos es haciendo uso de
círculos, rectángulos, etc. Esta es una forma gráfica muy útil llamada
DIAGRAMA DE VENN.



Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear
cualquier otra figura geométrica.

2.5 IGUALDAD
Sean A y B dos conjuntos. Entonces BA
sí y solo sí tienen los mismos elementos. Es
decir:
 BA    AxBxBxAx 
Gráficamente, tenemos:



2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS
Dos conjuntos A y B son DISYUNTOS si y
sólo si, no tienen elementos en común. Es
decir, los elementos de A son diferentes a
los elementos de B . En este caso se dice
que son conjuntos diferentes: BA
Gráficamente tenemos:



A A
B BA

x

38. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
33
2.6 SUBCONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos. Se dice que B
es SUBCONJUNTO de A , denotado como AB
, sí y sólo sí todos los elementos de B
están contenidos en A . Es decir:
 AxBxAB 
Gráficamente tenemos:





Puede ocurrir lo contrario.
Suponga que todos los elementos de A
estén contenidos en B , en este caso se dice
que A es SUBCONJUNTO de B . Es decir:
 BxAxBA 
Gráficamente tenemos:




Si se cumple que   ABBA  , se dice que A es SUBCONJUNTO
PROPIO de B . Y se escribe BA .
Además se cumple que, para cualquier conjunto A : A
AA



Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda
de todos los subconjuntos de un conjunto dado. A
B

x B
A

x

39. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

34
Ejemplo
Sea el conjunto ,,1A , entonces todos los conjuntos que se pueden formar con los
elementos de A , serían:
1
1
S 
2
S 
3
S con cada elemento
,1
4
S ,1
5
S ,
6
S con dos elementos
AS ,,1
7 con tres elementos (ya es el conjunto A )
Y obviamente 
8
S

Note que: 3)(AN , y que el número total de subconjuntos es 3
28 .
Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto A
, sería:



2.6.1 CONJUNTO POTENCIA
Sea A un conjunto. El CONJUNTO
POTENCIA de A , denotado como )(AP , es el
conjunto que tiene por elementos a todos los
subconjuntos de A .
Ejemplo
Para el caso anterior tenemos que:
  ,},,{,},1{,},1{,}{,}{,}1{)( AAP
Observe que es correcto decir que: 
 )(1
1
1
AP
A
A



El NÚMERO DE ELEMENTOS DEL C ONJUNTO POTENCIA de un conjunto A está
dado por: )(
2))((
AN
APN 
Ejemplo 2
Sea el conjunto   ,,1B . Hallar )(BP .
SOLUCIÓN: Los subconjuntos del conjunto B serían:
1
1
S  ,
2
S BS
3 
4
S
Por tanto    ,,,,1)( BBP


CANTIDAD
DE
SUBCONJUNTOS )(
2
AN


40. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
35

Ejercicios Propuestos 2.1
1. Sea el conjunto  4,1,3S entonces el CONJUNTO POTENCIA de S , es:
a)   ,3,1,4,3,4,1,,,1,3)( SSP b)   ,4,1,,3)( SSP
c)   ,4,3,1,4,1,,3)( SSP d)   ,4,1,,3)( SSP
e)  4,1,3)(SP
2. Sea el conjunto baB, , entonces es VERDAD que:
a) Ba b) Bb c)Bb d)2BPN e)
42 
BPN
3. Dados los conjuntos  cbaA ,, y 2,1B .
Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) 6BPNAPN b)  16BPPN c) APa
d) APb e) 32BPNAPN

2.7 OPERACIONES
Los conjuntos pueden ser operados, dando a lugar nuevos conjuntos.
2.7.1 INTERSECCIÓN
Sean A y B dos conjuntos. La
INTERSECCIÓN de A con B , denotada por BA
, es el conjunto constituido por los
elementos comunes tanto a A como a B . Es
decir:
 BxAxxBA  /
Gráficamente tenemos:



Para tres conjuntos sería:  CxBxAxxCBA  /



A B
A B C

41. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

36
Para otros casos tenemos:





2.7.2 UNIÓN
Sean A y B dos conjuntos. La UNIÓN de A
con B , denotada por BA , es el conjunto
constituido por elementos que pertenecen al
conjunto A o al conjunto B o a ambos. Es
decir:
 BxAxxBA  /
Gráficamente tenemos:



La unión de tres conjuntos sería:
 CxBxAxxCBA  /





Observe que: )()()()( BANBNANBAN 
Y que   )()()()()()()( CBANCBNCANBANCNBNANCBAN 
A B C
A B
ABA 
BA
A B
B A

B A
BBA

42. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
37
Para otros casos tenemos:







2.7.3 DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La DIFERENCIA
de A con B , denotada por BA , es el
conjunto constituido por elementos que
pertenecen al conjunto A y no pertenecen al
conjunto B . Es decir:
 BxAxxBA  /




En cambio,
La DIFERENCIA de B con A , denotada por AB
, es el conjunto constituido por
elementos que pertenecen al conjunto B y no
pertenecen al conjunto A . Es decir:
 AxBxxAB  /



Conjunto formado por los elementos
sólo del conjunto B .

Conjunto formado por los elementos
sólo del conjunto A .
A B
A B

A B
B A
B A ABA 
BBA 
BA

43. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

38
2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA
La DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B ,
denotada por AB se define como:
  A B A B B A    





Ejemplo
Sean los conjuntos   ,,,,1A y   ,?,,aB , entonces  ?,,,,,,1 aBA 
 ,BA
  ,,1BA
el conjunto A menos los elementos del conjunto B . ?,aAB
el conjunto B menos los elementos del conjunto A .  1, , , ,?A B a   


2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos cumplen las siguientes propiedades:
UNION INTERSECCIÓN ABBA 
  CBACBA 
AAA
AA 

Conmutatividad
Asociatividad

Identidad

Absorción ABBA 
  CBACBA 
AAA

A



Propiedades distributivas
   CABACBA 
   CABACBA 
   CABACBA 
   CABACBA 
  BAABA 
  BABAA 


A B

44. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
39
Ejercicio Propuesto 2.2
Demuestre formalmente las propiedades anteriores.

Sugerencia: Por ejemplo para demostrar la propiedad distributiva
   CABACBA 

Debemos probar que:       CABAxCBAx 
Para lo cual, aplicando las definiciones dadas para las operaciones de conjuntos, tenemos:
    
 CxBxAx
CBxAxCBAx


Ahora, aplicando las leyes distributivas del álgebra de proposiciones, tenemos:
   CxAxBxAxCxBxAx 
Finalmente; por las definiciones resulta:
        
   CABAx
CAxBAxCxAxBxAx



2.9 CONJUNTO REFERENCIAL
En muchas ocasiones un conjunto A estará referido a otro conjunto
que lo contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.




Ahora surge la siguiente definición:
2.9.1 CONJUNTO COMPLEMENTO
Sea A un conjunto. E l conjunto
COMPLEMENTO de A , denotado como C
A , se
define como:
AA
C
Re
Es decir, C
A está constituido por los elementos que le faltan al
conjunto A para llegar a ser el referencial.
Además se cumple que: AA
AA
AA
C
C
C
C


 Re
A Re C
A

45. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

40

Y se pueden verificar las LEYES DE DEMORGAN :
 
 
CCC
CCC
BABA
BABA


No olvide demostrarlas formalmente.
Ejemplo 1
Determine los conjuntos BA, , y C , conociendo que el conjunto referencial es  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re
y
    
  66,5
9,87,2,14,3,2,1


BNANCBA
ACBCABA
C
SOLUCIÓN: Representando la información en un diagrama de Venn generalizado, resulta:







Ejemplo 2
La región sombreada de la figura mostrada corresponde a:
a)  BBA 
b)  
C
AB
c)   ABCA
CC

d)  BCA
CC

e)   
CC
CBCA 

SOLUCIÓN: Un método podría ser asignarle un número a cada región del gráfico dado, lo cual nos quedaría: (NOTA: no
importa el orden de asignación)






Realizando la operación de conjunto para cada opción dada, encontramos a la “c ” como respuesta, es decir al hacer   ABCA
CC

se obtiene 6,4 que corresponde a los números dados a las regiones sombreadas.
Entonces:  
 
 10,4,3
9,8,4,3,2,1
10,7,4,3,2,1



C
B
A
Entonces, los conjuntos se definirían de la
siguiente manera:  14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re  8,7,6,5,4,3,2,1A
 10,9,6,5,4B
 13,12,11,7,5,2C

46. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
41
Ejercicios Propuestos 2.3
1. Si  gfedcba ,,,,,,Re y  dcbaA ,,, ,  bgfeB ,,, ,  efgC ,,
Entonces el conjunto   
C
CCC
BABA  , es:
a) Re b)  c)  efg,, d) a e)  gba,,

2. Sea Re un conjunto referencial, A y B subconjuntos de Re ; entonces el conjunto:
   
C
AABA  , es igual a:
a) A b) B c) C
A d) Re e) 
3. Sea  6,5,4,3,2,1Re y los conjuntos A y B no vacíos, tales que:    6,1,5,4;5,3,2;3,2 
CC
ABABA

Entonces es VERDAD que:
a) 2ABN b)  5BAN c)  4
C
ABN
d) 2APN e) 1BN

4. Considere el conjunto  12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y los conjuntos A ,B y C no
vacíos, tales que:   12 CBA
CC    9,8,5,4,3,2 CBA
   11,10,3,2,1 BCA    11,10,9,8,7 ACB
Entonces el conjunto C es:
a)  11,10,7,6,1 b)  5,4,3,2,1 c)  11,10,7,1
d)  9,8,7,6,5,4 e)  7,9,8,5,4

5. Sean A ,B y C subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , tales que:  12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re
 12,11,10,6,5,4,3,2A  9,8,7,3CB   BAC
}1{)(  CAB
Entonces el conjunto  BAB  es:
a)  9,8,7,1 b) 6,5,1 c) 9,8,7,6,5,3,1
d)  9,8,7,6,5,1 e)1

6. Dados los conjuntos:      
   9,8,7,10
,5,4,6,3,2,6,110,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re


BACCBA
ACBCABA
C
Entonces es VERDAD que:
a) 9,8,7AC b)  9,6,5,4,1B c)9,1 CBA
d) 8,7,1BC e)  3,2
C
CB

7. Una expresión que representa a la región sombreada del diagrama de Venn adjunto es:
a)       BACBABA
C

b)       BACBACBA 
c)       BACCBABA
C

d)     CBABABA
C
C

e)     BACABBA 

47. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

42
8. Si A ,B y C son conjuntos no vacíos representados en el diagrama de Venn adjunto
entonces la región sombreada corresponde a:
a)       CBACBA
CC

b)      CBAACAB
CC

c)      
C
CBAACAB 
d)      CBAACB
C

e)       
CCCC
ACCBAAB 


9. Dados los conjuntos no vacíos A ,B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a)   BCBA 
b)  
C
CBA
c)    BABAC 
d)  BAC
C

e)     CBCBCA
C



10. Dados los conjuntos A ,B y C , no vacíos, entonces la EXPRESIÓN CORRESPONDIENTE a
la parte sombreada es:
a)   ACBA
C

b)    BABAC
C

c)   CBCA
C

d)  
C
CBA 
e)  CCBA 


11. Dados los conjuntos no vacíos A ,B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a)   CABBAABBA 
b)     CABBACBA 
c)     CBACBA
CC

d)     
CCC
CBACBA 
e)      BACCABBA 


12. Sean los conjuntos BA, y C no vacíos, como se muestra en la figura; entonces la región
sombreada está representada por:
a)   
C
BACBA 
b)    CBCAB 
c)    
C
C
CAACB 
d)   
CC
BACBA 
e)    
CC
BAACB 

13. Dados los conjuntos A ,B y C , no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a)      ABCCBA 
b)    BACBA
C

c)     CABCCBA
C

d)     CBACBA
C

e)     
C
BACACB 

48. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
43
2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Hay situaciones problémicas que para su solución se requiere plantear
conjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
De los 180 profesores de una universidad, 135 tienen título de Doctor, 145 tienen título
de Investigador; de los doctores 114 son investigadores. Entonces es VERDAD que:
a) 31 profesores no son doctores.
b) 167 son investigadores o doctores.
c) 22 doctores no son investigadores.
d) 14 profesores no son investigadores ni doctores.
e) 21 profesores no son investigadores.
SOLUCIÓN:
Primero se hace la interpretación de la información en un diagrama de Venn:
El referencial estaría compuesto por un total de 180 profesores de la universidad. Como se dice que hay 114
que son Investigadores y Doctores, y que en total son 135 Doctores; entonces haciendo una diferencia (135 114)
se obtiene que hay 21 profesores que son sólo Doctores (Doctores pero no Investigadores).
Igualmente, Como se dice que hay en total 145 Investigadores, entonces (145 114) hay 31
que son sólo Investigadores (Investigadores pero no doctores).
Se observa que en total hay (21 114 31) 166 que son doctores o investigadores. Lo cual
quiere decir que (180 166) 14 no son ni doctores ni investigadores.





Ejemplo 2
En un curso preuniversitario, ocurrió que, de 1600 estudiantes:
 801 aprobaron Matemática
 900 aprobaron Economía
 752 aprobaron Contabilidad
 435 aprobaron Matemática y Economía
 398 aprobaron Matemática y Contabilidad
 412 aprobaron Economía y Contabilidad; y,
 310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad
Determinar cuántos de estos 1600 estudiantes aprobaron:
a) Sólo una materia d) Al menos una materia
b) Exactamente 2 materias e) Cuando mucho 2 materias.
c) Ninguna materia
SOLUCIÓN:
Como se dice que hay 310 estudiantes que aprobaron las tres materias y que 412 aprobaron Economía y
Contabilidad, entonces (412 310) 102 aprobaron SÓLO Economía y Contabilidad; También se dice 398
aprobaron Matemática y Contabilidad entonces (398 310) 88 aprobaron sólo Matemática y
Contabilidad. Y, también se dice 435 aprobaron Matemática y Economía entonces (435 310) 125
aprobaron sólo Matemática y Economía.
Como se dice que 752 aprobaron Contabilidad entonces (752 88 310 102)   252 aprobaron sólo
Contabilidad.
Analizando cada
proposición dada nos
damos cuenta que la
única verdadera es la “d”

49. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

44
Como se dice que 900 aprobaron Economía entonces (900 125 310 102)   363 aprobaron sólo
Economía.
Como se dice que 801 aprobaron Matemáticas entonces (801 88 310 125)   278 aprobaron sólo
Matemáticas.
El diagrama de Venn correspondiente, sería:







Ejemplo 3
Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad 60 . El
resto de artículos tuvieron fallas del tipo A , tipo B y tipo C , y se repartieron del modo
siguiente:
 8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
 12 artículos con sólo falla de tipo A
 3 artículos con fallas de los 3 tipos
 5 artículos con fallas de tipo A y C
 2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B
 El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo B fue el
mismo.
Determine:
a) ¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo B ?
b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente sería (justifíquelo):










Entonces, la respuesta
sería:
a) 893 , b) 315 , c) 82
d) 1518 d) 1208
Vemos que 40223512 xx

resolviendo se obtiene que 8x lo que
nos permite responder a lo solicitado:
a) 18 y b) 28

50. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
45
Ejercicios Propuestos 2.4
1. Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene que 350 estudian Matemáticas,
450 estudian Química, 350 estudian Física, 150 estudian las 3 materias, 200 estudian Matemáticas y
Química, 250 estudian Física y Química, 210 estudian Física o Matemáticas pero no Química.
Determinar :
a) ¿Cuántos estudian SÓLO MATEMÁTICAS?
b) ¿Cuántos estudian POR LO MENOS una materia?
c) ¿Cuántos estudian CUANDO MAS dos materias?
d) ¿Cuántos estudian SOLO una materia?
e) ¿Cuántos estudian SOLO dos materias?

2. Un curso de 40 alumnos que tienen que aprobar Ed. Física, y para ello todos deben escoger entre tres
deportes: fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. El
número de alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de lo que eligen fútbol y es el doble de los que
eligen fútbol y volley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Entonces el número de alumnos que
ELIGEN VOLLEY, el número de alumnos que ELIGEN FÚTBOL y el número de alumnos que ELIGEN
SÓLO BÁSQUET ES, respectivamente:
a) 15, 20 y 10 b) 10, 20 y 15 c)10, 10 y 10 d) 15, 15 y 15 e)20, 10 y 15
3. En una entrevista a 40 estudiantes del Preuniversitario acerca de ¿qué deporte les gusta practicar?, se
obtiene que: 12 gustan jugar básquet, 14 volley y 16 fútbol. No hay estudiantes que practiquen básquet y
volley, 4 practican básquet y fútbol, 20 practican volley o fútbol pero no básquet. Entonces el NÚMERO DE
ESTUDIANTES QUE NO PRACTICAN DEPORTE ALGUNO es:
a) 8 b) 0 c)1 d) 3 e)5
4. En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lógica, 300 estudian
Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cálculo, 50 estudian las tres materias, 120
estudian Algebra o Lógica pero no Cálculo. Entonces LOS QUE ESTUDIAN SOLO LÓGICA SON:
a) 20 b) 100 c) 60 d) 30 e) 150
5. En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenómeno de “El Niño”, se encuentra que
30 de ellos han perdido sus viviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25
perdieron sus cultivos pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y rebaños y 15 sólo sus cultivos.
Entonces EL NÚMERO DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SÓLO SUS VIVIENDAS O SÓLO SUS
REBAÑOS ES IGUAL A:
a) 60 b) 15 c) 25 d) 30 e) 10
6. Una agencia de Autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características:
- 57 tenían transmisión automática
- 77 tenían aire acondicionado
- 45 tenían transmisión automática y aire acondicionado
- 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo
- 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenían radio estéreo
- 90 tenían ninguna de las tres características mencionadas
- 19 tenían aire acondicionado y radio estéreo
Entonces EL NÚMERO DE UNIDADES QUE TENÍAN RADIO ESTÉREO ES:
a) 22 b) 1 c) 91 d) 30 e) 21
7. Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. Setenta (70)
estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho (18) prefieren nadar o
escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las tres actividades durante su estancia en el
campamento. De todos ellos doce (12) se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hacer
ninguna actividad, entonces, EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDICAN A PESCAR Y NADAR,
PERO NO A ESCALAR SON: a) 15 b) 10 c) 20 c)
30 d) 25
8. En una encuesta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la Copa Libertadores de
América, se obtuvieron los siguientes resultados :
- 50 opinan que es el Nacional
- 50 opinan que es el Emelec
- 40 opinan que es el Palmeiras
- 20 opinan que es Nacional y Emelec
- 10 opinan que es Emelec y Palmeiras
- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras
- 10 opinan que ninguno juega bien
¿CUÁNTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC?
a) 0 b) 30 c) 10 d) 20 e) 25
9. En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente:
- 5 sólo poseen acciones
- 15 poseen solamente valores
- 70 son propietario de bonos
- 13 poseen acciones y valores
- 23 tienen valores y bonos
- 10 son propietarios de acciones y bonos

51. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

46
- Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo.
Entonces, EL NÚMERO DE INVERSIONISTAS QUE SÓLO TIENEN BONOS ES IGUAL :
a) 40 b) 45 c) 67 d) 30 e) 27
10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han
visto alguna de las tres películas, la mitad del número de personas que han visto sólo la película B es igual al
número de personas que han visto la película C, el número de personas que han visto las películas A y B es
igual a la tercera parte del número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la
película A y 5 personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto las otras
películas.
Determine:
a) El número de personas que han visto las películas A y B.
b) El número de personas que han visto la película A o la película B.
c) El número de personas que ven sólo una película.
d) El número de personas que no ven la película B.

11. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre 1270 consumidores; los
resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (A y B) o (A y C) o (B y C), 370
personas consumen sólo C, el número de personas que consumen sólo A es igual al de personas que
consumen sólo B, 30 personas consumen los tres productos.
Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A, es:
a) 530 b) 370 c) 700 d) 180 e) 350
12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de juguetes para Navidad,
arrojando los siguientes resultados: 14 personas compraron en Mi Juguetería y en Juguetón; 11 personas
compraron sólo en Juguetón, 9 personas compraron sólo en Juguetelandia, 5 personas compraron en los tres
lugares; el número de personas que compraron sólo en Juguetelandia y Juguetón es igual al número de
personas que compraron sólo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón
compraron 3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron
en mi Juguetería. Entonces el NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON EN CUALQUIERA DE ESTOS
TRES LUGARES, es:
a) 93 b) 58 c) 13 d) 28 e) 15
13. En una encuesta realizada por PACIFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una
llamada, sea ésta, local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información:
 23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales.
 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.
 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.
 El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de
personas que han hecho llamadas internacionales y locales pero no nacionales.
Entonces EL NÚMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES es:
a) 10 b ) 4 c) 6 d) 2 e) 14
14. Los estudiantes que están en el Preuniversitario de Auditoría se encuentran registrados en los paralelos BA,
y C . En el paralelo A hay 35 estudiantes, en el paralelo B hay 41 estudiantes y en el paralelo C
hay 49 estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 estudiantes asisten a los
paralelos A y C , y 11 estudiantes asisten a los paralelos B y C . Entonces, el NÚMERO DE
ESTUDIANTES que asisten SÓLO al paralelo C es:
a) 8 b) 36 c) 30 d) 38 e) 49

15. De un conjunto de 1200 estudiantes de la Universidad se determinó que hay 400 estudiantes que hablan
inglés, 600 que hablan francés, 500 que hablan alemán. De ellos 120 hablan inglés y francés, 130 hablan
francés y alemán, 50 hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés y 750 hablan inglés o alemán,
por tanto EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE HABLAN INGLÉS Y ALEMÁN PERO NO FRANCÉS ES:
a)100 b) 50 c) 150 d) 180 e)270

Misceláneos
1. Dados los conjuntos no vacíos CBA,, y D ; entonces la REGIÓN SOMBREADA del gráfico adjunto
corresponde a:
a)   DCBA 
b)   
C
DCBA 
c)   BDCA
C

d)   
C
DBCA 
e)   
CC
DCBA 

52. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
47
2. Considere el conjunto  15,,3,2,1Re  y los conjuntos BA, y C no vacíos, tales que:  11,7,3
C
CA
  9,8,6,5AB
  8,6 ABC
11 CBA
   CBA

Entonces el CONJUNTO B es:
a)  9,8,7,6,5 b)  5,4,3,2,1 c)  15,13,9,5,1 d) 8,6 e)  11,9,8,6,5

3. En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecón 2000, se obtuvo lo siguiente:
 A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar.
 A 480 personas les gusta sólo conversar.
 El número de personas que les gusta sólo pasear es igual al número de personas que les gusta
sólo comer.
 A 30 personas les gusta hacer las tres actividades.
 Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados.
Entonces, el NÚMERO DE PERSONAS que les gusta sólo pasear es:
a) 910 b) 530 c) 700 d) 180 e)925
4. Sea el conjunto  3,3,2,2A . Entonces es FALSO que:
a) A3,2 b)  )(3,2 AP c)A3,2
d)   ))((3,2 APP e)   )(3,2,2 AP

5. Se realiza una encuesta a 300 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene la siguiente información:
 110 estudian Matemáticas.
 110 estudian Contabilidad.
 115 estudian Economía.
 40 estudian Matemáticas y Economía.
 25 estudian las tres materias.
 60 estudian Contabilidad y Economía.
 90 estudian Matemáticas o Contabilidad, pero no Economía.
Entonces, el número de estudiantes que estudian SÓLO MATEMATICAS, es:
a) 20 b)40 c)15 d) 25 e) 70

6. Sean A , B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:
a) CC
BABA 
b)   ACCBBA 
c)   BABA
C
CC

d)   disyuntosconjuntossonnoBABA  .
e)    CABACBA 
7. Se hizo una entrevista a 885 estudiantes del Preuniversitario de Ingeniería y se obtuvo la siguiente
información respecto a las materias que más les gustan.
 A 600 les gusta Matemáticas.
 A 400 les gusta Física.
 A 620 les gusta Química.
 A 195 les gusta Matemáticas y Física.
 A 190 les gusta Física y Química.
 A 400 les gusta Matemáticas y Química.
 A todos los entrevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas.
Entonces el número de estudiantes que les gustan LAS TRES MATERIAS, es:
a) 5 b) 25 c) 35 d) 50 e) 0

8. Sea el conjunto  3,2,1S . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) 8)(SPN
b)  )(3 SP
c) S3
d)  )(1 SP
e)   )(3,2,1 SP

53. Moisés Villena Muñoz Conjuntos

48
9. Sean BA, y C conjuntos no vacíos, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA,
identifíquela.
a) A
b)  
CCC
BABA 
c)    CABACBA 
d)    
C
C
C
C
AAAA 
e)  






 ABA
C
C
C
C
10. En una feria de autos, hubo 102 personas interesadas en comprar autos, además en dicha feria se obtuvo la
siguiente información:
 30 personas compraron autos Volswagen y Chevrolet.
 40 personas compraron autos Volswagen y Hyundai.
 El número de personas que compraron los 3 carros es igual a la mitad del número de personas que no
compraron ningún automóvil.
 El número de personas que compraron sólo Hyundai y Chevrolet es la mitad del número de las personas
que compraron sólo Chevrolet.
 50 personas compraron autos Hyundai.
 48 personas compraron Chevrolet o Volswagen pero no Hyundai.
 5 personas compraron Hyundai y Chevrolet.
Entonces EL NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON SÓLO UNA CLASE DE AUTO fue:
a) 27 b) 28 c) 98 d)14 e)58
11. Dados los conjuntos no vacíos A, B , C y el conjunto referencial  6,5,4,3,2,1Re tales que: 5,4,3)(  CBA
2)(  CBA
   6,1)(  CABBA

Entonces el conjunto C es:
a)  ,6,5,4,3C b) ReC c) 6,1C d)C
e)6,2,1C

12. Sea el conjunto  aabS ,, . Entonces es VERDAD que:
a) )(SPa b) SbSP  )( c) 9))(( SPN
d)  )(, SPaa e) Sa
13. La expresión que representa la región sombreada es:
a)    ABCABC 
b)   ABCB 
c)    BACAB
C

d)    BACAB 
e)   BBAC
C



14. Sea Re un conjunto referencial, tal que  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y sean BA, y C tres
conjuntos no vacíos, tales que:
- 10,4,1BA -   2 CBA
- 5,4CA - 10,8,1
CC
CB
- 2,3BC
C -     6,5,4,2 ACCBBA
Entonces es VERDAD que:
a)  6,5,3,2C
b)  9,7,6,5,4A
c)  10,5,4,2,1B
d)    3,2,10,4,1 CBBA
e)  9,7,6,3
C
A

54. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
49


























3
3.1 PREDICADOS
3.2 CONJUNTO DE VERDAD
3.3 PREDICADOS COMPUESTOS
3.4 CUANTIFICADORES
3.5 NEGACIÓN
3.6 OTRAS CONSIDERACIONES
3.7 INTERPRETACIONES Y TRADUCCIONES
3.8 PREDICADOS DE DOS VAR IABLES
3.9 RAZONAMIENTOS



En nuestro lenguaje común, muchas veces hemos utilizados frases
como "Todos los días tenemos clase", "Algunos días llueve", ...
Estos enunciados dan lugar a nuevas estructuras lógicas. Por tanto
merecen nuestro estudio.

55. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
50

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina predicados de una y más variables.
 Conozca la notación para predicado de una y más variables y la notación para el conjunto de verdad.
 Obtenga conjuntos de verdad de predicados compuestos.
 Conozca la notación de los cuantificadores universal y existencial.
 Aplique leyes lógicas para negar predicados.
 Comprenda e interprete traducciones de proposiciones con predicados cuantificados.
 Infiera directamente una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis, empleando
diagramas de Venn o círculos de Euler.
 Justifique la validez de un razonamiento empleando diagramas de Venn.

3.1 PREDICADOS
Sea Re un conjunto referencial y sea )(xp una
expresión que contiene “x ”. Entonces )(xp es
un PREDICADO si al reemplazar a “x ” por un
elemento cualquiera de Re , se convierte en
proposición.

Ejemplo 1 )(xp
: “x es mayor a tres” o simplemente “3x ” (una inecuación)
Suponga que  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re , entonces para el caso de que 2x tenemos )2(p : “2 es mayor a 3
”, que es una PROPOSICIÓN FALSA.. Pero, para el caso de que 5x tenemos )5(p : “5 es mayor a 3 ”, una
PROPOSICIÓN VERDADERA.
Y así, podemos formar otras proposiciones.

Ejemplo 2 :)(xq
“312x ” (una ecuación)
Suponga que  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re , entonces para el caso de que 2x tenemos :)2(q
“31)2(2  ” que es una PROPOSICIÓN VERDADERA. Pero, para el caso de que 5x tenemos )5(q
: “31)5(2  ”, una PROPOSICIÓN FALSA.

Un trabajo interesante sería determinar s ólo los elementos del
referencial que hacen del predicado una proposición verdadera.
3.2 CONJUNTO DE VERDAD
Sea Re el conjunto referencial de un
predicado )(xp . El CONJUNTO DE VERDAD
de )(xp , denotado como )(xAp , está
constituido por los elementos de Re que

56. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
51
satisfacen a )(xp . Es decir, por los elementos
de Re que convierten a )(xp en una
PROPOSICIÓN VERDADERA.

Ejemplos
Para los dos ejemplos anteriores, sus conjuntos de verdad serían:
1.  10,9,8,7,6,5,4)(xAp (los elementos del referencial que son mayores a 3 )
2. 2)(xAq (los elementos del referencial que al multiplicarlos por 2 y luego restarles 1 da como resultado 3 )

3.3 PREDICADOS COMPUESTOS
Si conectamos predicados haciendo uso de operadores lógicos
obtenemos predicados más extensos.

Ejemplo
Suponga que  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y que se tienen los predicados
:)(xp “x es divisible para dos” y :)(xq “x es mayor a tres”
Por consiguiente sus conjuntos de verdad son:
 10,8,6,4,2)(xAp y  10,9,8,7,6,5,4)(xAq
Ahora formemos los siguientes predicados:
1. :)(xp “x no es divisible para dos” , entonces  9,7,5,3,1)(xpA
Note que )()( xpAxpA
C
 .
2. )()( xqxp : “x es divisible para dos y mayor a tres”, entonces   10,8,6,4)()( xqxpA
Note que   )()()()( xAqxApxqxpA  .
3. :)()( xqxp “x es divisible para dos o mayor a tres” entonces   10,9,8,7,6,5,4,2)()( xqxpA
que es igual a )()( xAqxAp .
4. :)()( xqxp “Si x es divisible para dos, entonces es mayor a tres ”, entonces     10,9,8,7,6,5,4,3,1)()()()()()(  xAqxpAxqxpAxqxpA
C
.

Ejercicio resuelto
Sea el conjunto referencial  50,45,40,35,30,25,20,15,10Re y los predicados:
)(xp : “x es múltiplo de 10 ”
:)(xq “x es divisible para 3 ”
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA?
a) 45))()(( xqxpA c)  35,30,25,20,15,10))()([ xqxpA
b)  50,45,30,20,10))()(( xqpxA d)  45,35,30,25,15))()(( xqxpA

57. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
52
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.
SOLUCIÓN:
Los conjuntos de verdad de los predicados dados son:  50,40,30,20,10)(xAp y  45,30,15)(xAq entonces
analizando cada opción:
a) FALSA, porque 30))()(( xqxpA
b) FALSA, porque  50,45,40,30,20,15,10))()(( xqpxA
c) FALSA, porque  50,40,35,30,25,20,10)()())()([  xqAxApxqxpA
C
d) VERDADERA (RESPUESTA), porque  45,35,30,25,15)()())()(())()((  xAqxpAxqxpAxqxpA
C



3.4 CUANTIFICADORES
Tenemos dos tipos de cuantificadores: el universal y el existencial
3.4.1 CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Este cuantificador se presenta cuando utilizamos el término TODOS,
queriendo dar a entender para todos y cada uno.
El SÍMBOLO empleado para este cuantificador es: 

3.4.2 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
En cambio, este cuantificador se presenta cuando utilizamos el
término ALGÚN, queriendo dar a entender que existe por lo menos
uno.
El SÍMBOLO empleado para este cuantificador es: 
Se observa que al cuantificar a un predicado, éste se convierte en
proposición.

Ejemplo
Considerando  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y el predicado :)(xp “x es divisible para 2 ” podemos
decir: :)(xxp
“Todos los números son divisibles para dos”, que es una proposición FALSA. :)(xxp
“ Existe un número divisible para dos”, que es una proposición VERDADERA.

58. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
53
OBSERVACIONES :
1. Si se cumple que 1)(xxp significa que Re)(xAp
2. En cambio, si sólo se cumple que 1)(xxp significa que )(xAp


Ejercicio resuelto
Sea el conjunto  5,4,3,2,1Re . Entonces es VERDAD que:
a)  13xx b)  53xx c) 1xx
d)  53xx e)  034
2
 xxx
SOLUCIÓN: Analizando cada opción tenemos:
a) Falsa b) Falsa c) Falsa
d) Verdadera (RESPUESTA) e) Falsa


Ejercicios Propuestos 3.1
1. Sea el conjunto  5,4,3,2,1Re . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a)   103Re  xx c)   103Re  xx
b)   034Re
2
 xxx d)   73Re  xx
e) Elija esta opción si ninguna proposición es verdadera.

2. Sea  ,4,3,2,1Re y los predicados:
xxp:)( es un número impar
xxq:)( es un número par
Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a)   )()()( xAqxqxpA  c) )()( xqAxAp
C

b) )()(Re xAqxAp d)  )()( xApxAq
e)   )()()( xpAxqxpA
C


3. Dado el conjunto referencial  10,9,8,7,5,3,2Re y los predicados
xxp:)( es múltiplo de 2 y mayor a 3
xxq:)( es múltiplo de 5
Entonces el conjunto  )()( xpxqA  es:
a)  9,8,7,5,3,2 b)  c)  10,8,5
d)  9,7,5,3,2 e)  10,8,2

4. Dado el conjunto referencial  3,2,1,1,2,3Re  y los predicados
0)2(:)( xxxp y 0:)(
2
xxq
Entonces, es VERDAD que:
a)  )()(1 xqxpA  b)  )()( xqxpA c)  Re)()( xqxpA
d)   1,2,3)( xqA e)  )()( xqxqA

5. Sea  ,4,3,2,1Re y los predicados xxp:)( es un número impar
xxq:)( es un número par
Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a)   xAqxqxpA  d))()( xqAxAp
C

b)  )()( xApxAq e))()(Re xAqxAp
c)   )(xpAxqxpA
C


59. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
54
6. Dado el conjunto referencial  17,13,11,7,5,3,2Re y los predicados
2
2
)2(
:)( 
x
xp y xxq:)( es un número primo
Entonces el conjunto  )()( xqxpA  es:
a) Re b) 2 c) )(Re xAp d) )(xAp e) )(Re xAq


3.5 NEGACIÓN
De acuerdo a De Morgan:
1. No es verdad que todos los elementos del referencial satisfagan
un predicado, es equivalente a que, existe por lo menos un
elemento del referencial que no satisface el predicado, lo cual
simbólicamente sería:
  )()( xpxxxp 
2. No es verdad que exista un elemento del referencial que
satisfaga el predicado, significa que, todos los elementos del
referencial no satisfacen el predicado, es decir:
  )()( xpxxxp 
No olvide justificarla formalmente.
Ejemplo
La NEGACIÓN de la proposición “ Para todo número natural 82nn, ” , es :
a) Para algunos82, nn d) Ningún n cumple con n+2  8
b) Existe un n tal que 82n e) Existe un n tal que 82n
c) Existe un n tal que 82n

SOLUCIÓN:
La traducción formal de la negación de la proposición es:   82nn y aplicando lo anterior tenemos:     8282  nnnn
(RESPUESTA la “b”)

3.6 OTRAS CONSIDERACIONES
Ahora puntualicemos lo siguiente:
Suponga que Rea entonces la expresión  )(apxxp (Si todos los elementos
del referencial satisfacen un predicado dado, entonces necesariamente “a ” satisface el predicado) es VERDADERA.
También es VERDADERA la expresión )()( xxpap  (Si “a ” satisface el predicado,
entonces se podrá decir que necesariamente existirá un elemento del referencial que satisface el predicado)

60. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
55
En cambio la expresión )()( xxpap  es FALSA ¿por qué?
(RESPUESTA: Si “a ” satisface el predicado dado, esto no quiere decir que todos los elementos del referencial van a satisfacer el
predicado)
Veamos el valor de verdad para )(xxp y )(xxp considerando
diferentes referenciales:
1. Si Re entonces 1)(xxp (debido a que Re)( xAp ) y 0)(xxp ,
por lo tanto )()( xxpxxp  es VERDADERO . (¿POR QUÉ?).
En cambio el recíproco )()( xxpxxp  es FALSO. (¿POR QUÉ?)
2. Si aRe (formado por un sólo elemento) y además 1)(ap , entonces aquí 1)(xxp
y 1)(xxp , por lo tanto )()( xxpxxp  es verdadera
como también )()( xxpxxp  es verdadera. Entonces se
puede concluir que )()( xxpxxp 
3. Si Re (formado por más de un elemento, que sería lo que se presenta generalmente), aquí sólo
tenemos como verdadera a la expresión )()( xxpxxp  . (¿POR
QUÉ?)

Para predicados compuestos cuantificados puntualizamos lo que a
continuación se presenta.
Observe que:   )()()()( xxqxxpxqxpx 
Y también que:   )()()()( xxqxxpxqxpx 
Además las implicaciones siguientes son VERDADERAS :  
  )()()()(
)()()()(
xxqxxpxqxpx
xqxpxxxqxxp



En cambio sus recíprocos serían FALSOS. ¿por qué?
Lo anterior lo aclararemos ahora.

Ejemplo
Considere  ,...5,4,3,2,1Re y los predicados
:)(xp “x es par” y :)(xq “x es impar”
Entonces: 1.  1)()(
0)(
0)(



xqxpx
xxq
xxp 2.  0)()(
1)(
1)(



xqxpx
xxq
xxp
Por lo tanto:

61. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
56
 

100
)()()()( xqxpxxxqxxp  es VERDADERA,
Y también  

110
)()()()( xxqxxpxqxpx  es VERDADERA,
(¿Qué ocurre con sus recíprocos?)

3.7 INTERPRETACIONES Y T RADUCCIONES
Ya se habrá notado que para que )(xp sea un predicado existen
muchas interpretaciones de referenciales; además el valor de verdad del
predicado cuantificado, depende del referencial. Un asunto interesante
sería tener traducciones formales de ciertas proposiciones.

Sean )(xp y )(xq predicados con referencial Re .
Entonces:
1. "Todo p es q " se traduce como  )(xqxpx 
2. "Algunosp son q " se traduce como  )(xqxpx 
3. "Ningún p es q " se traduce como  )(xqxpx 
4. "Algunos p no son q " se traduce como  )(xqxpx 


Ejercicios Propuestos 3.2
1. Sean los predicados xxp:)( come rábanos y xxq:)( es vegetariano, donde el
 Re Los seres humanos . Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones:
a)  )()( xqxpx  b)  )()( xqxpx  c)  )()( xpxqx 
d)  )()( xqxpx  e)  )()( xpxqx 

2. Dado el conjunto referencial  5,4,3,2,1Re y los predicados:
xxxp 21:)(  y 11:)( xxxq
Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) )()( xxqxxp  d) Re)()(  xAqxpA
b)    )()()()( xqxpxxxqxxp  e) )()( xAqxAp
c)    )()()()( xqxpxxxqxxp 



3. Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a)   Re)(1)(  xApxpx
b)    )()()()( xqxxpxxqxpx 
c)    )()()()( xqxxpxxqxpx 
d)    )()()()( xqxxpxxqxpx 
e)  )()( xpxxpx 

62. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
57
4. Sea Re un conjunto referencial y )(xp un predicado, determine la proposición CORRECTA:
a) Si aRe y 1)(ap ; 0)(1)(  xpxxpx
b) Si 0Re y 1)0(p ;  )()( xpxxpx 
c) Si Re ,   )()( xpxxpx 
d) Si Re , 1)(xpx
e) Elija esta opción si ninguna de las anteriores es correcta.

5. Escriba formalmente la NEGACIÓN de cada una de las siguientes proposiciones:
a) Todos los matemáticos son vegetarianos
b) Todas las mujeres son inteligentes
c) Ningún entero par es divisible para 5
d) Algunos rectángulos son cuadrados
e) Algunas personas no comen carne

3.8 PREDICADOS DE DOS VA RIABLES
Sean x
Re y y
Re dos conjuntos referenciales, no
necesariamente diferentes, y sea ),(yxp una
expresión que contiene “x ” y “y ”. Entonces ),(yxp
es un PREDICADO DE DOS VARIABLES
si al reemplazar a “x ” por un elemento cualquiera
de x
Re y a “y ” por un elemento cualquiera de y
Re
, se convierte en proposición.

Ejemplo 1
Suponga que se tienen dos conjuntos referenciales x
Re y y
Re . Un predicado de
dos variables puede ser la expresión
:),(yxp “x está relacionado con y ”

En este caso "x " y "y " se constituyen en variables libres
Siguiendo con el ejemplo anterior, podemos afectar las variables
empleando cuantificadores, en este caso tendremos variables ligadas
que forman proposiciones como las siguientes:
1.  :),(yxpyx "Todos los x están relacionados con todos los y "
Note que es equivalente a  ),(yxpxy
2.  :),(yxpyx "Algún x esta relacionado con algún y "
Esta proposición también es equivalente a  ),(yxpxy
3.  :),(yxpyx "Todo (cada) x está relacionado con algún y "

63. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
58
4.  :),(yxpxy "Algún y está relacionado con todos los x "
O también "Todos los x están relacionados con sólo un y "
Note que las proposiciones 3 y 4 no son equivalentes.
Debido a que    ),(),( yxpyxyxpxy  es VERDADERA
(¿Por qué?)
Y    ),(),( yxpxyyxpyx  es FALSA (¿Por qué?)
5.  :),(yxpyx "Algún x está relacionado con todos los y "
o también "Todos los y se relacionan con sólo un x "
6.  :),(yxpxy "Cada y se relaciona con algún x "
Las proposiciones 5 y 6 tampoco son equivalentes.
Debido a que    ),(),( yxpxyyxpyx  es VERDADERA;
y    ),(),( yxpyxyxpxy  es FALSA.
Si ligamos una sola variable tenemos:
7.  :),(xxpx "Todos los x están relacionados con si mismo"
8.  :),(xxpx "Existe un x relacionado con si mismo"

Ejemplo 2
Sea el Referencial el conjunto de todas las personas y sea el predicado:
:),(yxp “x es padre de y ”
Veamos ahora:
1.  :),(yxpyx " Todas las personas son padres de todas las personas"
Es una proposición FALSA.

2.  :),(yxpyx "Alguien es padre de alguna persona"
Es una proposición VERDADERA.

3.  :),(yxpyx " Todas las personas son padres de alguien" o también
" Toda persona es padre"
Es una proposición FALSA

4.  :),(yxpxy "Alguien tiene como padre a todos"
Es una proposición FALSA

5.  :),(yxpyx " Existe una persona que es padre de todos" o también
"Todas las personas tienen un mismo padre"
Es una proposición FALSA

6.  :),(yxpxy "Todas las personas tiene un padre¨
Es una proposición VERDADERA

7.  :),(xxpx "Toda persona es padre de si mismo"
Es una proposición FALSA

64. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
59
8.  :),(xxpx "Alguien es padre de sí mismo"
Es una proposición FALSA

Analicemos ahora el siguiente ejercicio resuelto

Ejercicio resuelto
Sea :),(yxp “x es una letra ubicada en el abecedario antes quey ”
Considere  zeva
x ,,,Re y  ztpib
y
,,,,Re . Entonces es VERDAD, que:
a) 0),( yxypx d)  1),(  yxpyx
b) 1),( yxypx e)  1),(  yxypx
c) 0),( yxxpy
SOLUCIÓN: Primero hagamos un grafico en donde se observe el enlace de los elementos de x
Re con los elementos de yRe
que hacen del predicados proposiciones verdaderas.















Ahora, analicemos cada una de las proposiciones dadas:
a) FALSA, porque 1),( yxypx debido a que "a " es una letra que está ubicada en el abecedario antes que
todas las letras de  ztpib
y ,,,,Re (la "a " se enlaza con todas)
b) FALSA, porque 0),( yxypx debido a que no todas las letras de  zeva
x
,,,Re se encuentran ubicadas
en el abecedario antes todas las letras de  ztpib
y ,,,,Re
c) FALSA, porque 1),( yxxpy debido a que para todas las letras de  ztpib
y ,,,,Re existe la "a "
d) VERDADERA debido a que  ),(yxpyx es equivalente a  10),(  yxypx .
e) FALSA, porque  0),(  yxypx debido que 1),( yxypx y 01


PREGUNTA: ¿CÓMO SE DEFINIRÍA N PREDICADOS DE TRES V ARIABLES, DE CUATROS
VARIABLES,…?


Ejercicios Propuestos 3.3
1. Dado el predicado de dos variables :),(yxp “x es divisible para y ” con los siguientes referenciales  ,3,2,1ReRe 
yx
, TRADUZCA al lenguaje común las siguientes proposiciones:
a) ),(yxpyx c) ),(yxpyx e) ),(xxpx
b) ),(yxpyx d) ),(yxpyx f) ),(xxpx
2. Dado ,":"),( yxyxp  donde 2,1,0Re
x y el  0,1,3,1Re 
y . Entonces es FALSO que:
a) ),(yxpxy c) ),(yxpxy e) ),(yxpyx
b) ),(yxpyx d) ),(yxpxy Re
x Re
y a v e b i p z t z

65. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
60

3. Sean los conjuntos 3,2,1Re
x ,  dcba
y ,,,Re y los predicados "x es el número
que indica el lugar que ocupa y en el abecedario" . Entonces es VERDAD
que:
a)  ),(yxpyx b)  ),(yxpyx c)  ),(yxpyx
d)  ),(yxpxy e)  ),(yxpxy

4. La NEGACIÓN lógica del siguiente enunciado:  )()( yqxpxy  es:
a)  )()( yqxpyx  b)  )()( yqxpxy  c)  )()( yqxpxy 
d)  )()( xpyqxy  e)  )()( xpyqxy 

3.9 RAZONAMIENTOS
Las proposiciones formadas por predicados cuantificados, suponiendo
que sean verdaderas, pueden ser representadas gráficamente empleando
diagramas de Venn. Por ejemplo:

“Todo p es q ” indica que )()( xAqxAp , por tanto algunas de sus
representaciones podrían ser:










“Algunos p son q ” indica que  )()( xAqxAp , por tanto algunas de
sus representaciones podrían ser:









“Ningún p es q ” indica que  )()( xAqxAp o también )()( xqAxAp
C

o lo que es lo mismo )()( xpAxAq
C
 , por tanto algunas de su s
representaciones podrían ser:

66. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
61



“Algunos p no son q ” indica que  )()( xAqxAp
C , por tanto
algunas de sus representaciones podrían ser:










Lo anterior nos facilita analizar razonamientos. Recordemos que para
que un razonamiento sea válido la conclusión debe ser lógicamente
inferida de las premisas, es decir si tuviéramos premisas verdaderas la
conclusión debe también ser verdadera para toda interpretación .

Ejemplo 1
Determine la validez del siguiente razonamiento:
:
1
P Todos los hombres son mortales.
:
2P Daniel es hombre.
Por lo tanto :C Daniel es mortal.
SOLUCIÓN: Primero hagamos el diagrama de Venn correspondiente, asumiendo premisas verdaderas







Ejemplo 2
Considere las siguientes premisas de un razonamiento:
:
1
P Todos los números racionales son reales.
:
2P Ningún número imaginario es real.
:
3P Algunos números complejos son reales.
Entonces una conclusión para que el razonamiento sea válido es:
a) Ningún número racional es complejo
b) Ningún número complejo es real
c) Existen números complejos que son imaginarios
d) Ningún número imaginario es racional
e) Marque esta casilla si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn para este caso sería:

Observe que la conclusión de que Daniel
sea mortal se cumple por tanto el
razonamiento es VÁLIDO

67. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
62












Ejercicios Propuestos 3.4
1. Sea el razonamiento  CHH 
21 , donde :
1
H Todos los números enteros son racionales.
:
2H Algunos números reales son enteros.
:C Algunos números reales son racionales.
Determine si es:
a) VÁLIDO b) NO VALIDO
2. Considerando el siguiente razonamiento:
“ Todos los que estudian Lógica estudian Matemáticas. Todos los que estudian Ingeniería Comercial
estudian Lógica. Gilda estudia Ingeniería Comercial”
Entonces es VERDAD que:
a) Gilda no estudia Matemáticas. d) Gilda estudia Matemáticas.
b) Gilda estudia Matemáticas pero no Lógica. e) Gilda o estudia Matemáticas o estudia Lógica.
c) Gilda no estudia Lógica.

3. Dadas las siguientes premisas: :
1
P Todos los contribuyentes son honestos.
:
2P Todos los honestos son especiales.
Entonces una CONCLUSIÓN LÓGICAMENTE INFERIDA de las premisas es:
a) Algunos contribuyentes no son especiales. c) Todos los contribuyentes son especiales
b) Todas las personas especiales son contribuyentes. d) Ningún contribuyente es especial
e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infieren de las premisas dadas.

4. Uno de los siguientes razonamientos NO ES VÁLIDO. Identifíquelo.
a) Ningún abogado es rico. Tú eres rico. Por lo tanto tú no eres abogado.
b) Todos los hombres inteligentes son trabajadores. Todos los trabajadores son responsables. Por lo tanto,
los hombres inteligentes son responsables.
c) Ningún profesor es ignorante. Todas las personas ignorantes son inútiles. Por consiguiente ningún
profesor es inútil.
d) Si deseas la paz, prepárate para la guerra. Tú no te preparas para la guerra. Por lo tanto, no deseas la
paz.
e) Elija esta opción si todos los razonamientos son válidos.

5. Dadas las siguientes hipótesis: :
1
H Todo profesional tiene título.
:
2H Ningún irresponsable tiene título.
:
3
H Algunos profesores tienen título.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir de las premisas anteriores es:
a) Ningún profesional es profesor. c) Existen profesores que son irresponsables
b) Ningún profesor tiene título. d) Ningún irresponsable es profesional.
e) Elija esta opción Todas conclusiones anteriores no se infieren de las premisas.

Observe que puede haber más de una
interpretación para los complejos.
Analizando cada conclusión dada,
deducimos que la “d” es la única que
valida al razonamiento, por que sería
verdadera siempre, cumpliendo para
todas las consideraciones.

68. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
63
6. Dadas las siguientes premisa: :
1
P Todos los economistas son racionales.
:
2P Algunos ingenieros no son economistas.
Entonces una conclusión que hace VÁLIDO el razonamiento es:
a) Algunos ingenieros son racionales. c) No todos los ingenieros son economistas
b) Todos los economistas no son ingenieros. d) No todos los ingenieros son racionales
e) Algunos ingenieros no son racionales.

7. Si se tiene las hipótesis: :
1
H Todas las funciones son relaciones.
:
2H No toda relación es función.
:
3
H Algunas funciones son inyectivas.
Entonces una conclusión que se puede inferir lógicamente a partir de ellas es:
a) Algunas relaciones no son inyectivas. c) Algunas funciones no son inyectivas
b) Ninguna función es relación. d) Algunas relaciones son inyectivas
e) Elija esta opción si ninguna conclusión es lógicamente inferida de las premisas.

8. Considerando las siguientes premisas :
1
H Todo niño es travieso.
:
2H Ningún travieso es ordenado.
:
3
H Algunos adultos son traviesos.
Una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) Algunos niños no son traviesos. d) Algunos adultos no son traviesos
b) Todo travieso es adulto. e) Algunos adultos no son ordenados
c) Todo travieso es ordenado.

9. En el planeta Kriptón se cumple que: :
1
H Todo Krip es Kron.
:
2H Algunos Krip son Krap.
:
3
H Todo Krap es Kron.
:
4H Ningún Kron es Krun.
:
5
H Fernanda es Krip.
Entonces una conclusión NO VÁLIDA es:
a) Ningún Krap es krun d) Fernanda no es Krap
b) Fernanda es Kron e) Fernanda no es Krun
c) Ningún Krip es Krun


Misceláneos
1. Sean las premisas: :
1
P Todos los artistas son bohemios. :
2
P Algunos ingenieros son artistas.
:
3
P Ningún científico es bohemio.
Entonces una CONCLUSIÓN para un RAZONAMIENTO VÁLIDO, es:
a) Ningún ingeniero es bohemio. d) Todos los ingenieros son bohemios
b) Algunos científicos son ingenieros e) Ningún científico es ingeniero
c) Ningún artista es científico

2. Sea Re y los predicados )(xp y )(xq . Identifique, ¿cuál de las siguientes proposiciones es
FALSA?
a)   )()()()( xqxpxxqxpx 
b) )()( xpxxpx 
c)    )()()()( xqxxpxxqxpx 
d)    )()()()( xqxxpxxqxpx 
e)    )()()()( xqxxpxxqxpx 

3. Sean los conjuntos 1,0,1A y 1,0B . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a)  3,  yxByAx d)  xyByAx 2, 
b)  NyxByAx  , e) yxByAx  ,
c)  yyxByAx  ,

69. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
64
4. Sean las premisas para un razonamiento:
:
1
P Todos los estudiantes son jóvenes :
2
P Ningún joven es pesimista :
3
P Manuel es estudiante
Entonces una CONCLUSIÓN que lo hace válido, es:
a) Manuel es pesimista. d) Todos los estudiantes no son jóvenes
b) Algunos estudiantes son pesimistas e) Manuel no es joven.
c) Todos los estudiantes son optimistas.

5. Si 0ReN , entonces es VERDAD que:
a)    )()()()( xxqxxpxqxpx 
b) )()( xxpxxp 
c)    )()()()( xxqxxpxqxpx 
d)  Re)(xAp para cualquier predicado )(xp
e) Re

6. Sea el conjunto  10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y los predicados
imparnúmerounesxxp:)( y 2:)( demúltiploesxxq .
Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)  5,3)()( xqxpA d)  )()( xAqxpA
C
b)   10,9,8,6,4)()( xqxpA e) Re)(xqA
C
c)   10,9,8,6,4,2,1)()( xqxpA


7. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) Si Re , entonces  1)()(  xxpxxp
b)    )()()()( xqxpxxqxpx 
c) Si aRe y 1)(ap , entonces  )()( xxpxxp 
d)   )()()()( xqxpxxqxpx 
e)  Re)()(  xApxxp

8. Dadas las hipótesis: :
1
H Todos los bancos nacionales están en quiebra.
:
2
H Ningún banco internacional está en quiebra.
:
3
H Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos internacionales.
Entonces una CONCLUSIÓN que se puede inferir para un razonamiento válido es:
a) Ningún banco nacional está en quiebra.
b) Ningún negocio está en quiebra.
c) Todos los negocios están en quiebra.
d) Algunos negocios tienen su dinero depositado en bancos nacionales.
e) Algunos negocios no tienen su dinero depositado en bancos nacionales.

9. Sean las hipótesis: :
1
H Ningún futbolista juega bien :
2
H Algunos profesionales son futbolistas
:
3
H Algunos que juegan bien son profesionales. :
4
H Robert es profesional.
Entonces una conclusión que hace VÁLIDO un razonamiento es:
a) Robert juega bien. b) Todos los profesionales que juegan bien no son futbolistas
c) Algunos que juegan bien son futbolistas. d) Robert no es futbolista.
e) Todos los que no son futbolistas ni juegan bien ni son profesionales.

10. La NEGACIÓN de la proposición:
NyNx  , (si “yx ” es par entonces “x ” es par o “y ” es impar)
es:
a) NyNx  , (si “yx ” no es par entonces “x ” no es par o “y ” es impar)
b) NyNx  , (si “yx ” no es par entonces “x ” no es par y “y ” es impar)
c) NyNx  , (“yx ” no es par o “x ” no es par o “y ” es impar)
d) NyNx  , (si “x ” no es par y “y ” no es impar entonces “yx ” no es par)
e) NyNx  , ( “yx ” es par y “x ” no es par y “y ” no es impar)

70. Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
65
11. Sean el conjunto  11,10,9,8,7,5,4,2Re y los predicados: xxp: es un número primo.
xxq: es un número impar.
Entonces, es FALSO que:
a)  10,9,8,4xpA d)   11,9,7,5,2xqxpA
b)  11,7,5xqxpA e)   8,7,5,4,2xpxqA
c)   11,10,9,8,7,5,4xqxpA


12. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) La negación de ),(yxpyx es ),(yxpyx .
b) )()( xpxpx  cuando 1Re  apa .
c)   ),,(),,( zyxpzyxzyxpzyx  .
d)     )()()()( yqxpxyyqxpxy  .
e)     ),(),(),(),( yxqyxpyxyxqyxpyx 

13. Dadas las siguientes premisas: :
1
P Todos los analistas son economistas.
:
2
P Todos los economistas son profesionales.
Entonces, una CONCLUSIÓN lógicamente inferida de las premisas es:
a) Algunos analistas no son profesionales. c) Todos los analistas son profesionales
b) Todos los profesionales son analistas. d) Ningún analista es profesional
e) Elija esta opción si ninguna de las conclusiones anteriores se infiere de las premisas dadas.

14. Considere las hipótesis: :
1
H Todos los que estudian Lógica, estudian Matemáticas.
:
2
H Nadie que estudie Matemáticas es irracional.
:
3
H Juan es matemático.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) Juan es irracional d) Juan no es irracional.
b) Todo el que estudia Lógica es irracional e) Todo matemático es irracional.
c) Algunos lógicos son irracionales.

15. Sea  ,4,3,2,1Re . Sea "xxp:)( es un número impar" y "xxq:)( es un número par"
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a)   xAqxqxpA  d) )()(Re xAqxAp
b) )()( xqAxAp
C
 e)  )(xpAxqxpA
C

c)  )()( xApxAq
16. Una de las siguientes proposiciones es incorrecta, identifíquela.
a) La Negación de )103(Re;  xx es )103(Re;  xx
b) La Negación de )103(Re;  xx es )103(Re;  xx
c) La Negación de )103(Re;  xx es )103(Re;  xx
d) La Negación de )103(Re;  xx es )103(Re;  xx
e) La Negación de )()( yyqxxp es )()( yqyxxp 

71. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
67








4
4.1 PARES ORDENADOS
4.2 PRODUCTO CARTESIANO
4.3 REPRESENTACIÓN
4.4 RELACIONES
4.5 FUNCIONES
Uno de los conceptos más importantes de las Matemáticas es el de
FUNCIÓN. Los cursos de Matemáticas Universitarias requieren como base
que, el estudiante tenga nociones de las definiciones, propiedades y
operaciones que giran en torno al concepto de función.

72. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
68

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina conjuntos ordenados de dos, tres, cuatro y más componentes (n componentes).
• Obtenga producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
• Represente en diagramas de flechas el producto cartesiano entre dos conjuntos, tres conjuntos, etc.
• Defina relaciones, funciones, dominio e imagen.
• Aplique el procedimiento de diagramas de flechas para distinguir las funciones de las relaciones y para
obtener dominios e imágenes.
• Encuentre relaciones entre elementos de dos conjuntos y determine la regla de correspondencia de ser
posible.
• Defina funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Aplique el procedimiento de diagramas de flechas pa ra clasificar las funciones inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas.
• Construya con conjuntos finitos funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función inversa de una función dada.
• Infiera condiciones para la existencia de la función inversa.
• Aplique el diagrama de flechas para construir, de ser posible, la función compuesta de una, dos, tres,
etc. funciones.
• Infiera condiciones para la existencia de la función compuesta.


4.1 PARES ORDENADOS
Un PAR ORDENADO es un conjunto de dos
elementos, llamados COMPONENTES, en donde
importa el orden de dichas componentes. Es
decir ()yx, donde a "x " se la llama primera componente
y a "y " se la llama segunda componente.

También existen:
➢ Conjuntos ordenados de 3 componentes (TERNAS ORDENADAS ): ( )zyx,, .
➢ Conjuntos ordenados de 4 componentes: ( )
4321
,,, xxxx .
➢ En general, conjuntos ordenados de “n” componentes: ( )
n
xxxx ,...,,,
321 .

4.2 PRODUCTO CARTESIANO
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, entonces
el producto cartesiano A con B , denotado por BA
, se define como:
() ByAxyxBA = /,

Es decir, es el conjunto de parejas ordenadas, tales que su primera
componente la tomamos del conjunto A y la segunda componente la
tomamos del conjunto B .

73. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
69
Ejemplo
Sean los conjuntos ?,,1=A y =,aB , entonces
()()()()()() = ?,,?,,,,,,,1,,1 aaaBA

Note que ()()BNANBAN =)(
El producto cartesiano de B con A sería: () AyBxyxAB = /,

Ejemplo
Para los conjuntos anteriores ?,,1=A y =,aB tenemos:
()()()()()() ?,,,,1,,?,,,,1, = aaaAB

PREGUNTA: ¿CÓMO Y CÚALES SERÍAN AA Y BB ?
La definición para el producto cartesiano de tres conjuntos es: ( ) CzByAxzyxCBA = /,,

Ejemplo
Sean los conjuntos ?,,1=A y =,aB , y ¡,=C entonces:
( )()( )()( )()( )()
( )()( )()








=
¡,?,,,?,,¡,?,,,?,
,¡,,,,,,¡,,,,,,¡,,1,,,1,¡,,1,,,1
aa
aaaa
CBA

Note que: ( )()()()CNBNANCBAN =
También se pueden obtener: BAA , BCA , ... ¿ENCUÉNTRELOS ?

4.3 REPRESENTACIÓN
A los pares ordenados se los suele representar gráficamente en un
sistema bidimensional. Esto lo trataremos con mayor profundidad más
adelante.

74. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
70
OBSERVE QUE:
1. BAr:
1
2. BAr
1
Ejercicios Propuestos 4.1
1. Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela.
a) 3,2,11 b) 11 c) 3,21 d) ()3,23,13,2 
e) ()4,3,13,24,3 
2. Dados los conjuntos 4,3,,,,2,1 === CzyxBA , entonces es VERDAD que:
a) El producto cartesiano CBA tiene 7 elementos.
b) El producto cartesiano CBA contiene 17 elementos.
c) El producto cartesiano CBA contiene una terna ()3,1,1 .
d) El producto cartesiano CBA posee 12 elementos.
e) El producto cartesiano CBA es imposible realizarlo.

4.4 RELACIONES
Cuando definimos al producto cartesiano, se han relacionado a todos
los elementos de un conjunto con todos los elementos de otro conjunto.
Nace el concepto de relación o asociación.
Podemos también relacionar sólo ciertos elementos de un conjunto
con algunos elementos de otro conjunto. Es decir vamos a considerar los
subconjuntos de BA .
Entonces formalmente podríamos definir a una relación de la siguiente
manera:
Sean A y B dos conjuntos. Una RELACIÓN r
de A en B , denotada por BAr: , es una
asociación de elementos (no necesariamente
todos) de un conjunto A con elementos de un
conjunto B . Es decir, tenemos que BAr .
Note que no necesariamente AB , es decir que podrán existir:
➢ Relaciones de A en A (AAr: ) donde AAr .
➢ Relaciones de B en A (ABr: ) donde ABr .
➢ Relaciones de B en B (BBr: ) donde BBr .
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
Suponga que con los conjuntos ?,,1=A y =,aB formamos la relación ()()() = ,,,,,1
1
aar
, la cual la podemos representar en un diagrama de flechas de la siguiente
manera:



A 1  ? B a  1
r

75. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
71
Ejemplo 2
Suponga, ahora que con los mismos conjuntos anteriores formamos otra relación BAr:
2 tal
que, ()()()() aaar ?,,,,1,,1
2
= . Que representada en un diagrama de flechas, tendríamos:





En fin, pueden existir muchos otros ejemplos de relaciones.
Una regla para el número máximo de relaciones de A en B , que se
pueden construir, es:

CANTIDAD MAXIMA DE
RELACIONES DE BA
Es decir, todos los subconjuntos de BA , serían una relación.
Para el caso anterior tendríamos 6422
623
==
 relaciones en total. No
olvide de considerar la relación vacía =r y la relación BAr=
4.4.1 DOMINIO DE UNA RELACIÓN
Sea BAr: una relación. El DOMINIO de r
, denotado por rDom , es el conjunto
constituido por los elementos del conjunto A
que estén considerados en la relación. Es
decir:  yrxAxrDom /=
, con algún By
Entonces rDom A .
En un diagrama de flechas sería cuestión de determinar a cuales
elementos les salen las flechas.
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:
1. ArDom =,1
1
2. ArDom ==?,,1
2
)()()(
22
BNANBAN
==

A 1  ? B a  2
r

76. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
72
El diagrama de flechas nos permite establecer
rápidamente por inspección su dominio y su rango.
1. BarDom =
2. Arrg =,1
Note además que: ABr
4.4.2 RANGO DE UNA RELACIÓN
Sea BA:r una relación. El RANGO de r ,
denotado por rrg , es el conjunto constituido
por los elementos del conjunto B que están
relacionados con los elementos de su dominio.
Es decir:
 para/,rg r y B x r y x Dom r=   
Entonces rrg B .
Es llamado también CODOMINIO. En un diagrama de flechas sería
cuestión de determinar los elementos a los cuales les llegan flechas.
Ejemplo 1
Para los casos anteriores, tenemos:
1. Barrg ==,
1
2. Barrg ==,
2

Ejemplo 2
Suponga ahora que tenemos la relación ABr: , tal que, ()() = aar ,1, .
Realizando su diagrama de flechas tenemos:







Ejercicio propuesto 4.2
1. Sean los conjuntos  6,5,4,3,2=A y  5,4,3,2,0=B y sea R una relación de A en B definida
por () AadondeabbaR −== 1/, . Entonces el número de pares ordenados que pertenecen a la
relación R es:
a) 4 b) 3 c) 0 d) 5 e) 2
A 1  ? B a  r

77. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
73
4.5 FUNCIONES
El concepto que pretendemos dejar definido aquí, será utilizado
frecuentemente más adelante y además es una de las definiciones más
importantes de las Matemáticas.
4.5.1 DEFINICIÓN
Una relación :r A B , es una FUNCIÓN sí y
sólo sí, cumple las dos condiciones siguientes:
1. ArDom=
2. Existe CORRESPONDENCIA ÚNIC A. Es decir, a
un elemento del conjunto A no le
corresponde dos o más elementos del
conjunto B , sólo uno le corresponde.
Simbólicamente tenemos:
( ) 
2121
yyyrxyrxAx =
.5.2 NOTACIÓN
Lo más usual para denotar a una función es la letra “f ”. Aunque
también se emplean las letras “g ”, “h ”, y otras.
Ejemplo 1
Sean los conjuntos ?,,1=A y  !,0,,=aB y sea BAf: tal que, () ()( ) !?,),,,a,f 01=
.
Realizando el diagrama de flechas, observamos que:






Ejemplo 2
Podemos formar otro ejemplo de función con los mismos conjuntos dados, como BAg→: tal
que ()()() !?,,,,,1 aag = , cuyo diagrama de flechas sería:




De acuerdo a la definición, f es una función.
Observamos que:
1. AgDom= ; y,
2. Existe correspondencia única. De todos y cada uno
de los elementos del conjunto A le sale sólo una
flecha.

Por tanto g también es función.

NOTA: No importa que a algún elemento de B le llegue
más de una flecha.

A 1  ? B a  f  !
A 1  ? B a  g  !

78. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
74
Ejercicio Resuelto
Dados los conjuntos  8,6,4,2=A y  13,11,9,7,5,3,1=B . Identifique ¿cuál de las siguientes
relaciones de A en B es una función de A en B :
a)  xyBAyxR = /),(
1 c)  2/),(
3
== xBAyxR
b)  12/),(
2
−== xyBAyxR d)  3/),(
4
== yBAyxR
e) Elija esta opción si ninguna de las relaciones anteriores es una función.
SOLUCIÓN: Interpretemos cada opción con su respectivo diagrama de flechas.
a) () 
 )13,8(),7,4(,),7,2(),5,2(),3,2(
/,
1
=
= yxBAyxR b) () 
()()() 11,6,7,4,3,2
12/,
2
=
−== xyBAyxR





c)() 
()()()()()()() 13,2,11.2,9,2,7,2,5,2,3,2,1,2
2/,
3
=
== xBAyxR d) () 
()()()() 3,8,3,6,3,4,3,2
3/,
4
=
== yBAyxR







Ejercicios propuestos 4 .3
1. Sean los conjuntos  8,6,4,2=A y  13,11,9,7,5,3=B . Una de las siguientes relaciones determina
una función. Identifíquela:
a)  2/),(
1
== bABabr
b)  baABabr = /),(
2
c)  12/),(
3
−== baABabr
d)  6/),(
4 == aBAbar
e)  8/),(
5
== aABabr

2. Sean los conjuntos  7,6,5,4,3,2,1=A y  ?@,,*,,=B . Si 21
,rr y 3
r son relaciones de A
en B , tales que:
()()()  ()()()()  ()() === ,3,,4,,4,,3,,*2,@,1,,*7,,6,,5
321
rrr
Entonces es VERDAD que:
a)21
rr− es una función.
b) 21
rr es una función.
c) 121
rrr =
d) 232
rrr =−
e) ( )
321
rrr − es una función. A B 1
R 2 4 6 1 3 5 8 7 9 11 13 No es función
A B 2
R 2 4 6 1 ()32f= 5 8 ()74f= 9 ()11 6f= 13 No es función
A B 3
R 2 4 6 1 3 5 8 7 9 11 13 No es función
A B 4
R 2 4 6 1 3 5 8 7 9 11 13 SI es función
RESPUESTA

79. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
75
3. Sean los conjuntos  3,2,1,0,1,2,3−−−=A y  4,3,2,1,0=B . Si 21
,rr y 3
r son relaciones de A
en B , tales que:
 1/),(
1
+== xyyxr  0/),(
2
=+= yxyxr  )1,1(),0,0(
3
−=r
Entonces es VERDAD que:
a) 21
rr es una función
b) 21
rr− es una función
c) ( )
321
rrr − es función
d) 131
rrr =
e) 232
rrr =−

4. Si se tiene los siguiente datos:
Alumnos Edad en años
Karla 12
Washington 11
Consuelo 16
Edison 14
Fernando 11
Margarita 17
y se definen los conjuntos:
xxX /= es una alumna y está en la tabla anterior
yyY /= es un alumno y está en la tabla anterior
Determine ¿cuál de las siguientes relaciones es una función?:
a)  xyxr /),(
1
= es de mayor edad que y
b)  xyxr /),(
2
= es igual en edad que y
c)  xyxr /),(
3
= es de menor o igual edad que y
d)  xyxr /),(
4
= es de mayor o igual edad que y
e) Elija esta opción si ninguna de las relaciones anteriores representa una función.

4.5.3 TIPOS DE FUNCIONES
4.5.3.1 FUNCIÓN INYECTIVA
Sea :f A B una función. Entonces f es
INYECTIVA si y sólo si AxAx 
21 se
cumple que 2121 yyxx  donde () ()
2211 xfyxfy ==
.
Es decir son funciones con correspondencia de UNO A UNO.
Ejemplo
Sean los conjuntos ?,,1=A y  !,,,=aB y sea BAf: una función tal que: ()()() = ?,,,,,1af
. Entonces su diagrama de flechas sería:






Como a los elementos del rango de f les llega
una y sólo una flecha, entonces existe
correspondencia uno a uno. Por lo tanto esta
función es INYECTIVA..
NOTE QUE: para construir funciones inyectivas se
tiene que cumplir: ()()BNAN . ¿POR QUÉ? A 1  ? B a  f  !

80. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
76
4.5.3.2 FUNCIÓN SOBREYECTIVA
Sea BAf: una función. Entonces f es
SOBREYECTIVA si y sólo si se cumple
que Bfrg= .

Ejemplo
Sean los conjuntos  ?,,1=A y =,aB y sea BAf: una función tal que: ()()() = ?,,,,,1 aaf
. Entonces su diagrama de flechas es:






4.5.3.3 FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función f es BIYECTIVA, si es inyectiva
y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo:
Sean los conjuntos  ?,,1=A y =,,aB y sea BAf: una función tal que: ()()() = ?,,,,,1af
. Entonces su diagrama de flechas es:








Finalmente, podríamos representar esta clasificación en un diagrama
de Venn de la siguiente manera:


Esta función es SOBREYECTIVA porque Bfrg=
.

NOTE QUE: para construir funciones
sobreyectivas se tiene que cumplir: ()()BNAN
¿POR QUÉ?
Observe que:
1. Existe correspondencia uno a uno.
2. Bfrg=
Por tanto esta función es BIYECTIVA.

NOTE QUE: para construir funciones biyectivas
se tiene que cumplir: ()()BNAN= ¿POR
QUÉ? A 1  ? B a  f
A 1  ? B a  f 

81. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
77








4.5.4 FUNCIÓN INVERSA
Sea BAf: una función. Entonces la función
INVERSA de f , denotada como 1−
f , si existe,
es de B en A . Es decir: ABf :
1−

Teorema
Sea BAf: una función. 1−
f existe, sí y
sólo sí f es biyectiva.

Ejemplo
Para la función biyectiva del ejemplo anterior tenemos:









Note que: fDomfrg
frgfDom
=
=
−
−
1
1
Al hallar la inversa de una función es como tomar el camino de
regreso. Re: relaciones
funciones
Inyectivas sobreyectivas
biyectivas
A 1  ? B a  f   B a  A 1 ?  1
f
−  
1
(,1);(, );( ,?)fa
−
=    :fA B 1
:f B A
−

82. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
78
4.5.5 FUNCIÓN COMPU ESTA (COMPOSICIÓN DE FUNCIONES)
Se pueden construir funciones a partir de otras funciones.
Ejemplo 1
Sean las funciones BAf: y CBg 

: cuyos diagramas de flechas son:




Suponga que quisiéramos relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto C , empleando las
correspondencias de las funciones f y g . Entonces obtendríamos:




La operación que hemos realizado se llama COMPOSICIÓN DE FUNCIONES y se obtuvo una nueva función, la función
compuesta fg , debido a que:





NOTE QUE:
1. () CAfg :
2. () ())()( xfgxfg =
3. fDomfgDom =
4. gDomfrg , en este ejemplo tenemos  baa ,,,,,,  . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA?

EN OCASIONES también es posible construir la función compuesta gf




A 1  ? B a  f  !
B
   C a g  b  @ A  C gf  @1 ? 
A C f g (1)
()
(?)
af
f
f
=
=
= 1
?
 ()
()
@ () (1)
( ) ()
@ () ( (?))
ga g f
g g f
g gf
==
= = 
= = ( )() ()()xxg f g f=
f g ( )() ()()xxf g f g=

83. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
79
Aquí en cambio se cumple que:
1. () ())()( xgfxgf =
2. () gDomgfDom =
3. fDomgrg . ¿QUÉ PASARÍA SI ÉSTO NO OCURRIERA?

Ejemplo 2
Suponga que f y g son funciones, tales que:




Obteniendo la función compuesta gf , tenemos:





Veamos ahora, qué sucede cuando COMPONEMOS A UNA FUN CIÓN
BIYECTIVA CON SU INVERSA.
Ejemplo 3
Suponga que f y 1−
f son funciones, tales que:




Entonces 1−
ff es:



 ),(),,(),,(
1
=
−
aaff
, ésta es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN B : B
Iff =
−1

B
   C a g  b  @
A  B f  @2 3 4 5 6 7 B
  a  b B fg 4 5 6 7 NOTE QUE:
1. BBgf 

:
2. ()())()(4 == gfagf
3. ()( )())()()(5 bgfgfgf ===


A 1  ? B a  f   B a  A 1 ?  1
f
−
 B a  B 1
ff
− a  

84. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
80
Ejemplo 4
Ahora hallemos ff
1− , para el mismo ejemplo anterior:




Entonces:




 ?)(?,),,(),1,1(
1
=
−
ff
, ésta en cambio es la FUNCIÓN IDENTIDAD EN A : A
Iff =
−

1

También hay momentos en que se puede realizar la COMPOSICIÓN DE
MÁS DE DOS FUNCIONES .
Ejemplo 5 )(fgh
, la cual esquemáticamente sería:




Entonces: ( )() )))((()( xfghxfgh =
Los ejercicios resueltos que a continuación se presentan globalizan
todo lo antes mencionado.
Ejercicio Resuelto 1
Dados los conjuntos  @,,,=A ,*!?,=B y las funciones ABf→: y BAg→:
, tales que: ()()() = *,,,!,?,f y ()()()() @,*,,*,!,,?,: g
Determinar cuál de las siguientes proposiciones es FALSA
a) fg es inyectiva.
b) g es sobreyectiva  f es sobreyectiva.
c) fg es sobreyectiva.
d) f es inyectiva  g no es biyectiva.
e) gf no es inyectiva.
A 1  ? B a  f   B a  A 1 ?  1
f
−
A 1 ?  1
ff
− 1 ?  A
x f g h ()yfx= ()
()( )
zgy
zgfx
=
= ()
()( )
()( )( )
w hz
w hgy
w hgfx
=
=
=

85. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
81
SOLUCIÓN:
Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, de acuerdo a la información dada, tenemos:






a) Encontremos fg





b) (RESPUESTA) Esta opción es FALSA porque g SI es sobreyectiva f NO es sobreyectiva de acuerdo a lo que
se observa en sus diagramas de flechas respectivos.
c) Esta opción es VERDADERA, porque fg SI es sobreyectiva.
d) Esta opción también es VERDADERA, porque f SI es inyectiva g NO es biyectiva (g no es inyectiva) .

e) Encontremos gf









Ejercicio Resuelto 2
Sean los conjuntos 4,3,2=A y  8,6,4,3,2,1=B y sean BAf→: y ABg→:
funciones tales que: () abBAbaf 2/, == y ()()()()()() 4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g
Entonces es FALSO que:
a) g es sobreyectiva. b) f es inyectiva.
c)()()43=fg d)()()33=gf e)( )()62=fgf
SOLUCIÓN: Realizando primero los diagramas de flechas respectivos, tenemos:




Observe que fg es inyectiva, por
tanto esta opción es VERDADERA.
Observe que gf no es
inyectiva. Por tanto esta opción
también es VERDADERA. B   A ? f  !  @B   A ? g  !  @
B  ? gf ! B  ? !
 A   @ A fg   @
A 4 2 f 3 B 1 2 3 4 6 8 g B 1 2 3 4 6 8 A 4 2 3

86. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
82
La correspondencia final para “t ”
es “s ” y no “n ” como indica la
opción. Por tanto esta opción es
FALSA.
a) Observamos que g SI es sobreyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.
b) Observamos que f SI es inyectiva. Por tanto esta opción es VERDADERA.
c) Para hallar ()()3fg , hagamos lo siguiente:



Empezamos con 3 . Hallamos su correspondiente en f vemos que es 6 . Luego a este resultado le hallamos su
correspondiente en g , vemos que es el 4 . Por tanto esta opción también es VERDADERA.
d) Hallemos ()()3gf igual que en la opción anterior.


Observe que se obtiene como resultado final 6 , más no 3 , como indica la opción. Por tanto esta es la FALSA
(RESPUESTA)
e) Esta opción es VERDADERA, porque:


6)2)(( =fgf

Ejercicio resuelto 3
Dados los conjuntos  uoieaV ,,,,= y  tsrlnmC ,,,,,= y las funciones:
 ),(),,(),,(),,(),,( surolinemaf= y  ),(),,(),,(),,(),,(),,( utosirelanamg=
siendo CVf→: y VCg→: , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela.:
a) ntgf =))(( b) No es posible construir la funciónfg
c) f es inversa de g d) f y g son biyectivas
e)  srlnmgfrg ,,,,)( =
SOLUCIÓN:
Primero, los diagramas de flechas respectivos serían:







Analizando cada opción, tenemos:.
a) Hallemos ))(( tgf , para lo cual el siguiente diagrama ayuda


3 f g 6 4
3 f g 3 6
2 f g 4 3 f 6
V i a f e C m n l r s t o u V i a e o u C m n l r s t g
t f g u s

87. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
83
b) Hallemos fg






c) Observe que f no es biyectiva (¿POR QUÉ?), por tanto no tiene inversa y no podrá ser inversa de ninguna función.
Entonces esta opción también es FALSA.
d) Ni f ni g son biyectivas (¿POR QUÉ?) Por tanto esta opción también es FALSA.
e) Hallemos gf








Ejercicio resuelto 4
Sean los conjuntos  zyxA ,,= , rtsB ,,= , 3,2,1=C y cbaD ,,= . Y BAf: DCh:
y ADg: funciones tales que:





 ( , ),( , ),( , )g a y b x c z=
Entonces hgf corresponde a:
a)  ),3(),,2(),,1( tts b)  ),3(),,2(),,1( zyx c)  )3,(),2,(),1,( rts
d)  ),3(),,2(),,1( yzx e)  ),(),,(),,( rczbya
SOLUCIÓN:
Note que  ),3(),,2(),,1( aabh= . El dominio de hgf va a ser el dominio de h , entonces partiendo de
estos elementos 3,2,1 le determinamos la respectiva correspondencia primero en g y luego sus resultados le
determinamos su respectiva correspondencia en f . Obteniendo  ),3(),,2(),,1( ttshgf = . Por tanto la opción
“a” es la VERDADERA.



Observe que, sí es posible construir fg
. Por Tanto esta opción
también es FALSA.
Observe que  srlnmgfrg ,,,,= Por tanto
esta opción es la VERDADERA. V i a gf e o u V i a e o u
C m n l r s t C m n l r s t fg
A y x f z B t s r
Entrada
Salidaa b c 1 2 3 :h

88. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
84
Ejercicios Propuestos 4.4
1. Dados dos conjuntos A y B no vacíos, entonces es VERDAD que:
a) Si ),()( BNAN no existe función alguna de A en B que sea inyectiva.
b) Si ),()( BNAN no existe funciones sobreyectivas de A en B .
c) Si BAf→: es una función inyectiva, entonces ).()( BNAN
d) Si )(AN y )(BN son finitos y ),()( BNAN= existen más funciones inyectivas que funciones
sobreyectivas.
e) Si 1)(=AN y 2)(=BN , existen más funciones de B en A que funciones de A en B .

2. Dados los conjuntos:  = ,,,A , +=?,*,B ,  5,4,3,2,1=C y las relaciones 4321
,,,rrrr
y 5
r definidas entre ellos, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA ?
a) ()()()() 5,,4,,2,,1,
1
=r ; CrRg=
1 .
b) ()()() ?,4,,3,,*1
2
+=r ; CrDom=
2 .
c) ()()()() += ,,,*,,*,?,
3
r es una función biyectiva.
d) Si ()()()() 5,,3,,2,,1,
4
=r y ()()()()() += ,5,,*4,,*3,,*2,?,1
5
r
entonces 45
rr es una función inyectiva.
e) Si ()()()()() = ,5,4,,3,,2,,1
6
r y ()()()() += ,,,*,,*,?,
7
r
entonces 67
rr es una función sobreyectiva.

3. Dado los conjuntos:  srqpA ,,,= y  ponmB ,,,= y las funciones deA en B .
 ),(),,(),,(),,( nsmrpqmpf= y  ),(),,(),,(),,( osnrmqppg=
entonces es CIERTO que:
a) gf es una función inyectiva.
b) g es sobreyectiva pero no inyectiva.
c) f es inyectiva pero no sobreyectiva.
d) g es una función biyectiva.
e) f es una función biyectiva.

4. Sea el conjunto =A {Elena, Hessel, Elsi, Angel, Juan} y f una función tal que AAf→: con la
siguiente definición:f (Elena) = Hessel, f (Hessel) = Elsi, f (Elsi) = Angel, f (Angel) = Elena, f (Juan)
= Elena
entonces, será verdad que:
a) ff es inyectiva
b) )(ff (Juan) = Hessel
c) f es sobreyectiva
d) d) ffdomfrg =
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.

5. Considere los conjuntos  ?,*,,bA= y  !,*,,=aB . Sea BAf→: y ABg→: dos
funciones tales que:  )(?,),,(),,(),,( = abaf y  ?),(!),,(?),,(),,( = ag . Entonces es
VERDAD que:
a)  )(?,?),,(),,(?),,( = bgf
b)  ),(!),,(),,(),,( = aaagf
c)  )(?,),,(),,(),,( = abagf
d)  ?),(!),,(?),,(),,( = agf
e)  ?),(!),,(?),,(),,( aaagf =

6. Sea  uoieaV ,,,,= y se define una función VVf→: por: uaf=)( ; ief=)( ;
aif=)( ; oof=)( y iuf=)( .
El rango de ff es:
a)  uoiea ,,,, b)  uoia,,, c)  uoa,,
d) oia,, e)  uiea,,,

89. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
85
7. Las gráficas:










Representan las funciones BAf→: y DCg→: donde cbaC ,,= y 3,2,1=D .
Determine ¿cuál de las siguientes funciones NO EXISTE?
a) gf b) fg c) ff
1− d) 1−
gg e) 11−−
gf

8. Dadas las funciones:













Entonces es VERDAD que:
a) f y g son sobreyectivas
b) gf es inyectiva
c) fg no es biyectiva
d) El rango de gf es igual a B .
e) El rango de fg es igual al rango de f .

9. Si f es una función de A en B y g es una función de B en C , entonces es VERDAD que:
a) gDomfgDom =
b) Sif es inyectiva, entonces fg también lo es.
c) Si f y g son sobreyectivas, entonces fg también lo es.
d) Si fg es sobreyectiva entonces f también lo es.
e) )()( fRgfgRg =

10. Sean los conjuntos  ,*1?,$,=A y  ,*3,2,1=B , y sea BAf→: y ABg→: dos
funciones tales que: i  )1,(),,1(),($,),1(?, =f y  ),3(),1,(,$),2(?),,1( =g . Determine ¿cuál
de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) g es una función inyectiva pero f no lo es.
b) El dominio de fg es  ,1?,$, .
c) El rango de gf es ,1 .
d) )()1,1( gf
e) El rango de fg es igual al rango de g .

11. Sean las funciones  )5,4(),4,3(),3,2(),2,1(=g y  )7,6(),6,5(),5,4(),4,3(),3,2(=h
Entonces el valor de )1)((gh es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5







D
C
a b c
3
2
1
g A 2 1 f 3 B b a c 4 d
A f B 







B




A



 g

90. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
86
12. Dado el conjunto  JulioMaríaMarioHildaTaniaA ,,,,= y las funciones: AAf→: y
AAg→: , definidas por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
;;;;
HildaJuliof
TaniaMariofMaríaMaríafJulioHildafMaríaTaniaf
=
====
( ) ( ) ( ) ( )
( )MaríaJuliog
HildaMariogTaniaMaríagTaniaHildagMarioTaniag
=
==== ;;;;
Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ()( )JulioMariogf = b) g es inyectiva f es sobreyectiva
c) f es inyectiva f es función. d)()()MaríaHildafg =
e)()()TaniaTaniafg =

13. Dado el conjunto  5,4,3,2,1=A y las funciones AAf→: y :g AA→ , tales que: () () () () ()
() () () () ()35;24;13;12;41
25;14;33;52;31
=====
=====
ggggg
fffff

¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) ()()32=gf b) ()()15=fg c) f es inyectiva ó g es inyectiva.
d) ()()31=gf ó ()()33=gf
e) ()() ()() ()()112154 === fggffg 

14. Dado el conjunto  dcbaA ,,,= y las funciones biyectivas AAf→: y AAg→: , donde  ),(),,(),,(),,( adbccbdaf=
y ()()()() adbccbdafg ,,,,,,,=
entonces la FUNCIÓN g es:
a)()()()() ddccbbaag ,,,,,,,= b)()()()() addccbdag ,,,,,,,=
c) ()()()() addccbbag ,,,,,,,= d) ()()()() bdacdbcag ,,,,,,,=
e) ()()()() bdccdbaag ,,,,,,,=

15. Sean A y B conjuntos no vacíos, tal que:  =,,A y  = ,,B y BAf→: y
ABg→: dos funciones, tales que: ()()() 
() () ()()===
=
−
fggg
f
,,
,,,,,
1
entonces, es FALSO que:
a) ()()() = ,,,,,g b)f y g son funciones biyectivas.
c) La función gf sí existe. d) ()()=fg e)()=
−1
g



Misceláneos
1. Sea el conjunto  5,4,3,2,1=A y las funciones f y g de A en A tales que:
()()()()() 5,5,5,4,5,3,5,2,5,1=f y ()()()()() 5,5,4,4,3,3,2,2,1,1=g .
Entonces es FALSO que:
a) ()ggf=
b) ()5=gfrg
c) ()fgf=
d) ()()fggf =
e) ()5=fgrg

2. Se tiene el conjunto  uoieaA ,,,,= y la función f definida de A en A , tal que: ()()()()() uuiooiaeeaf ,,,,,,,,,=

entonces es FALSO que:
a) ( )fff es inyectiva.
b) ( )ff es la función identidad.
c) () ffff 
d) f es inyectiva.
e) f es sobreyectiva.

91. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
87
3. Sean los conjuntos  8,7,6,5,4,3,2,1=A ,  4,3,2,1=B
Y seaf una función de A en B ; entonces es FALSO que:
a) f no puede ser sobreyectiva.
b) f no puede ser biyectiva.
c) f no puede ser inyectiva.
d) f no tiene función inversa.
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son verdaderas.

4. Sean A y B dos conjuntos tales que:  dcbaA ,,,= y feB,= , entonces es VERDAD que:
a) () BAdb ,
b) () ABaa ,
c) () BAcc ,
d) () BAea ,
e) () ABea ,

5. Sean los conjuntos  4,3,2,1=A y cbaB ,,= y las relaciones BAR:
1 y BAR:
2 tales
que:
()()()()() bccaaR ,4,,3,,2,,3,,1
1
= y ()()()() aaccR ,3,,1,,2,,4
2
= . Entonces
es VERDAD que:
a) 1
R y 2R son funciones.
b) ( )3
21
=RRN
c) ( )
21
RR− es una función
d) Si BA=Re entonces ( )
212 RRR
C
=
e) BARR =
21

6. Sean los conjuntos  ,,,, =A y  = ,,B y las funciones ABf: y BAg:
tales que : ()()() = ,,,,,f
y ()()()() = ,,,,,,,g
Entonces la FUNCIÓN fg es:
a) ()()() = ,,,,,fg
b) ()()()() = ,,,,,,,fg
c) ()()() = ,,,,,fg
d) ()()()() = ,,,,,,,fg
e) No es posible construir la función fg

7. Sean los conjuntos 3,2,1=A y  dcbaB ,,,= y las funciones BAf: y ABg: tales
que:
af=)1( ,bf=)2( ,cf=)3(
2)(=ag ,2)(=bg , 2)(=cg y 3)(=dg
Entonces es FALSO que:
a) f es inyectiva o g es sobreyectiva.
b) Bfrg
c) Si g es sobreyectiva entonces f es inyectiva.
d) Agrg
e) gf es biyectiva

8. Sean ,AB y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:
a) Si ()3=AN , ()2=BN y ()3=CN , entonces ( )
18
2=CBAN
b) Si ()3=AN y ()2=BN , entonces ( )32)( =BAPN
c) Si ()3=AN , entonces ()4)(=APN
d) Si ()2=AN , entonces ()8)(=APN
e) Si ()3=AN , ()3=BN y ()2=CN entonces ( )( )
18
2=CBAPN

92. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
88
9. Sean los conjuntos  uoieaA ,,,,= y  rlnmB ,,,= y las funciones BAf→: y ABg→:
tales que:
()()()()() murolinemaf ,,,,,,,,,= y ()()()() irelanamg ,,,,,,,=
Entonces es FALSO que:
a) Si es posible construir la función gf .
b) ()()mmgf =
c) ( )()mnggf =
d) f y g no tienen función inversa.
e) f no es una función inyectiva.

10. Sean los conjuntos 3,2,1=A y 6,4,2=B . Identifique ¿cuál de las siguientes relaciones de BA→
es una FUNCIÓN?
a)  xyBAyxr == /),(
1
b)  02/),(
2
=−= yxBAyxr
c)  xyBAyxr = /),(
3
d)  1/),(
22
4
+−== xyBAyxr
e)  xyBAyxr 3/),(
5
==

11. Dados los conjuntos  12,9,6,3=A y  6,5,4,3,2,1=B . Indique ¿cuál de las siguientes relaciones de A
en B es una FUNCIÓN de A en B ?
a)  
2
1
/),( xyBAyxr ==
b)  xyBAyxr = /),(
2
c)  9/),(
3
== xBAyxr
d) 





==
3
2
/),(
4
x
yBAyxr
e)  3/),(
5
== yBAyxr

12. Sean los conjuntos  4,3,2,1=A ,  dcbaB ,,,= y 3,2,1=C , y las funciones BAf→: y CBg→:
, tales que:
()()()() dacbf ,4,,3,,2,,1= y ()()()() 3,,2,,2,,1, dcbag=
Entonces, es FALSO que:
a) ( )()ddff =
−1

b) ()()()() adcccbbagf ,,,,,,,=
c) La función ()
1−
gf no existe.
d) () 4,3,2,1=fgDom
e) ( )()3=aggf

13. Dados los conjuntos A = {, , } y B = {, , , } y las funciones f de A en B y g de B en A, tales que:
f = {(, ), (, ), (, )} y g = {(, ), (,), (,),(,)}
Entonces es VERDAD que:
a) g no es sobreyectiva
b) f es una función biyectiva
c) g es una función biyectiva
d) f es inyectiva y g es sobreyectiva.
e) f no es sobreyectiva y g es inyectiva

93. Moisés Villena Muñoz Cap. 4 Relaciones y Funcione s
89
14. Sean los conjuntos    zyxDytsrCBcbaA ,,,,,3,2,1,,, ==== .
Y sean f: A → B, g :B → C y h: C → D , funciones tales que:

















Entonces es VERDAD que:
a) ( )()ybhgf =
b) No es posible construir la función gf
c)  ¨(1, ),(2, ),(3, )g h y x z=
d) La función inversa de hf existe
e) ()()rcfg =

15. Si se dan los conjuntos 7,6,5,4,3,2,1 === CBA , entonces es VERDAD que:
a) El producto cartesiano CBA contiene a la terna ()4,3,1 .
b) El producto cartesiano CA contiene a la terna ()6,3,1 .
c) El producto cartesiano CB contiene a la terna ()4,5 .
d) El producto cartesiano CBA contiene a la terna ()2,4,7 .
e) El producto cartesiano CBA contiene a la terna ()7,4,2 .

16. Sean los conjuntos A ={2,3,4} y B ={1,2,3,4,6,8} y sean f : A→ B y g : B→ A funciones tales que:
() abBAbaf 2/, ==
()()()()()() 4,8,4,6,3,4,3,3,2,2,2,1=g
entonces es FALSO que:
a) g es sobreyectiva
b) f es inyectiva
c) ()()43=fg
d) ()()33=gf
e) ( )()62=fgf

17. Sean A y B conjuntos tales que:  4,3,2,1=A y cbaB ,,= y sean las relaciones T y S :BA
tales que: ()()()()() baccaT ,4,,3,,3,,2,,1=
y ()()()() aaccS ,3,,1,,2,,4=
Entonces es VERDAD que:
a) T y S son funciones.
b) BAST = .
c) T-S es una función.
d) T es una función y S no lo es.
e) S es función y T no lo es.

18. Sean los conjuntos  uoieaA ,,,,= y  srnmB ,,,= y las funciones BAf→: y ABg→:
tales que:
()()()()() susorinemaf ,,,,,,,,,= y ()()()() isorenamg ,,,,,,,=
Entonces es VERDAD que:
a) f y g son sobreyectivas.
b) ()()ssgf =
c) ()()aofg =
d) La función ()gf es inyectiva.
e) ()BfgDom =
()()() 1,,3,,2, cbaf=

B C g 1 2 3 r s t

94. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

91








5
5.1 CLASIFICACIÓN
5.2 NÚMEROS REALES
• PROPIEDADES
• OPERACIONES
• EXPRESIONES ALGEBRAIC AS
Nuestra primera incursión con las Matemáticas es quizás cuando
interaccionamos con los números. Si queremos contar, mencionar nuestra
edad, nuestro peso, la c antidad de dinero que poseemos,...,
necesariamente debemos recurrir a los números. Pero para estudios más
formales, debemos definirlos, clasificarlos, considerar sus propiedades…

95. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

92


OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Clasifique a los números
• Aplique las propiedades de las operaciones usuales, suma y producto, con números reales.
• Defina operación binaria.
• Aplique las propiedades de las operaciones binarias para determinar si una operación dada
es binaria o no.
• Aplique en ejemplos dados las propiedades conmutativas, asociativas, existencia del
elemento idéntico, existencia del elemento inverso.
• Construya ejemplos de operaciones binarias.
• Simplifique expresiones numéricas y algebraicas, aplicando las leyes de los exponentes,
radicales, producto notable, factorización.

5.1 CLASIFICACIÓN

La clasificación de los números la observamos en el siguiente cuadro:

:
: :0
:
:
:
:
:
Positivos:Naturales
Enteros Cero
Negativos
Racionales
Reales
Fraccionarios
COMPLEJOS
Irracionales
Imaginarios
I
−
   
   
  
  
  

 

 

+

 
 −







 +


− 

+


−

Se podría decir que el conjunto universo de los números, es el de los
números complejos C . Todo número complejo tiene la forma: bia+

Es decir, se compone de dos partes:
1. Parte real “a ”
2. Parte imaginaria “b ”
Si 0=a tenemos a los números imaginarios.
Si 0=b tenemos a los números reales.
5.2 NUMEROS REALES:
Los números reales están clasificados en dos grandes grupos:
1. Los números Racionales: .
2. Los números Irracionales: I .

96. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

93
5.2.1 NÚMEROS RACIONALES .
Los números racionales son todos aquellos que pueden ser expresados
como una fracción q
p , donde 0p q q    .
Por tanto a este conjunto pertenecen:
➢ Los ENTEROS () . Estos números no tienen parte decimal
diferente de cero, por ejemplo:
...
3
6
5
10
2
4
2 ====
➢ Los números que tienen una cantidad finita de decimales, por
ejemplo:
10
31
1.3=
100
523
23.5=
➢ Los números que tienen una cantidad infinita de decimales
periódicos, por ejemplo:
...131313.3=a
...42535353.2=b

Para estos últimos números surge una pregunta ¿CUÁL ES LA FRACCIÓN
CORRESPONDIENTE?
Para lo cual, tenemos la siguiente regla:
REGLA PARA EXPRESAR UN NÚMERO
DECIMAL PERIÓDICO EN UNA FRACCIÓN.
1. Simbolice el número dado con una letra.
2. Identifique el primer período del número
dado.
3. Defina dos números. Uno, cuyo punto
decimal aparezca después del primer
período y el otro, cuyo punto decimal
aparezca antes del primer período.
4. Reste estos números. Observe que el
resultado es un entero.
5. Encuentre el número expresado en una
fracción.

97. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

94
Ejemplo 1
Representar el número 1313133. como una fracción.
PASO 1: Simbolicemos el número con una letra: 1313133.a=
PASO 2: Identifiquemos el primer periodo 
...131313.3=a
PASO 3: En base del número dado, definamos un número cuyo punto decimal esté después del
primer período, es decir ....a 131313313100= ; y otro número cuyo punto decimal esté antes
del primer período, en este caso nos sirve el mismo número, es decir 1313133.a=
PASO 4: Restemos estos números: 000000.31099
...131313.3
...131313.313100
=
=−
=
a
a
a
PASO 5: Por lo tanto, el número expresado en fracción es: 99
310
=a

Ejemplo 2
Representar el número 425353532. como una fracción.
PASO 1: Simbolicemos el número con una letra: 425353532.b=
PASO 2: Identifiquemos el primer periodo 
...53535342.2=b
PASO 3: En base del número dado, el número cuyo punto decimal esta después del primer
período sería: ....b 5353532425310000= ; y el otro número cuyo punto decimal está antes del
primer período, sería: ....b 535353242100=
PASO 4: Restemos estos números: 00000.240119900
...535353.242100
...535353.2425310000
=
=−
=
b
b
b
PASO 5: Por lo tanto, el número expresado en fracción es: 9900
24011
=b

Ejemplo 3
Representar el número 05125125123. como una fracción.
PASO 1: Simbolicemos el número con una letra: 05125125123.c=
PASO 2: Identifiquemos el primer período 
...5125125120.3=c
PASO 3: En base del número dado, el número cuyo punto decimal esta después del primer
período sería: ....c 5125123051210000= ; y el otro número cuyo punto decimal esta antes del
primer período, sería: ....c 5125123010=
PASO 4: Restemos estos números: ...000000.304829990
...512512.3010
...512512.3051210000
=
=−
=
c
c
c

98. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

95

PASO 5: Por lo tanto, el número expresado en fracción es: 9990
30482
=c
¿SE PUEDE SIMPLIFICAR ESTA FRACCIÓN? ¿CÓMO QUEDARÍA?

Si dividimos el numerador para el denominador de la fracción se obtiene
el número en forma decimal.

Ejercicios Propuestos 5.1
1. Obtenga la fracción equivalente, de ser posible, para los siguientes números:
a) 02.2
b) 0101010101.0
c) 14161616.3
d) .0203333.5
2. Calcule el valor numérico de: a) ....0303030.0
1.0....3333.1 + b) ( )6.0...3333.02
...0666666.0
−

5.2.2 NÚMEROS IRRACIONALE S I
Son aquellos números que no pueden ser convertidos en fracción.
Tienen una cantidad infinita de decimales no periódicos.
Ejemplo
Algunos números irracionales usados frecuentemente, son:
...718281.2=e
...1415926.3=
...41421356.12= etc.
PREGUNTA: Los números 2
 , 2
2 , 2
e ¿SON RACIONALES O IRRACIONALES? ¿POR QUÉ?

5.2.3 REPRESENTACIÓN
Los números reales se pueden representar sobre la RECTA NUMÉRICA
REAL.


Se hace referencia a los enteros, pero esto no quiere decir que, a los
otros números reales no se los pueda representar sobre la recta
numérica, es cuestión de observarlos como decimales.

99. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

96

Ejercicio Propuesto 5.2
Ubique en la recta numérica los siguientes números:
a) 14.3
b) 5
4
c) 6
7
d) 1.2−
e) 4
3
−
f) 4
9
−

5.2.4 RELACIÓN DE ORDEN
En la recta numérica, al ubicar un número cualquiera; los números
que quedan a la izquierda serán menores que este número y los que
quedan a la derecha serán mayores que este número.
Esquemáticamente sería:



Se puede decir que nm ó lo que es lo mismo que mn .
Además, todos los números que están a la izquierda de m son menores
que éste, y los que están a la derecha son mayores.

Ejercicios Propuestos 5.3
1. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) II= b) () I  = c) I =  d) I−=
e) ()I  =

2. Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela.
a) () b) I= c)  d) 
e) ()I

3. Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?:
a) I =  b) = c) ()
C
I= d) I− = 
e) −=

4. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a)  b) I =  c) ()I d) ()I=
e) I  


5. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) 24−= siempre que −2 es un número racional.
b) 3
5
10
5 =





+ ó ()
2
15
−
− es un número negativo.

100. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

97
c) El número e
e)2( es racional.
d) Si 1 es irracional, entonces 413−=− .
e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.


5.2.5 OPERACIONES
Los números reales pueden ser operados, dando a lugar a otros
números reales. Existen las operaciones convencionales como la ADICIÓN
y la MULTIPLICACIÓN (RESTA Y DIVISIÓN) entre números reales.
5.2.5.1 ADICIÓN
Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de estos
números se la denota como ba+ y cumple con las siguientes
PROPIEDADES:
1. abba +=+ . La suma es CONMUTATIVA
2. cbacba ++=++ )()( . La suma es ASOCIATIVA
3. aa=+0 , Donde 0 es llamado “IDÉNTICO ADITIVO”
4. 0)(=−+aa . Donde a− es llamado “INVERSO ADITIVO de a ”
La operación RESTA ba− se la considera como una suma de a con el
inverso aditivo de b , es decir: ()ba−+ .
5.2.5.2 MULTIPLICACIÓN
Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de estos
números se la denota como ba y cumple con las siguientes
PROPIEDADES:
1. abba = . La multiplicación es CONMUTATIVA
2. cbacba = )()( . La multiplicación es ASOCIATIVA
3. aa=1 . Donde 1 es llamado “IDÉNTICO MULTIPLICATIVO”
4. 1)
1
(=
a
a . Donde a
1 es llamado “INVERSO MULTIPLICATIVO DE a ” (0a )
La operación DIVISIÓN ba se la considera como una multiplicación
de a con el inverso multiplicativo de b , es decir: 






b
a
1
, donde 0b . ¿POR QUÉ?
NOTA: La división entre cero no se define.

101. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

98
5.2.5.3 OPERACIONES BINARIAS
Además de las operaciones mencionadas hasta aquí, se pueden definir
otras, ya no convencionales y sobre cualquier conjunto.

Sea S un conjunto cualquiera y sea SbSa 
. Suponga que se define la
operación “ ”. Esta operación será BINARIA
si y sólo si al par ()b,a le asignamos un único
elemento de S , es decir el resultado de ()ba
debe ser un elemento de S .

Simbólicamente: () baba
SSS




,
:""


Ejemplo 1
Sea el conjunto S= y “ ” una operación definida de la siguiente manera: baba 2+= .
Es decir que si 2=a y 3=b , entonces ()832232 =+= en otro caso, si 3−=a y 4=b , entonces () ()542343 =+−=−
. En fin, se podría establecer la correspondencia para cualesquiera dos elementos deS , no
necesariamente diferentes.
Se puede observar que el resultado será siempre un número real, por tanto ésta es una operación binaria.
Ejemplo 2
En cambio , si tomamos al conjunto S
+
= y “ ” la operación definida de la siguiente manera: baba 2−=
.
NO ES BINARIA, porque si 2=a y 4=b entonces 2 4 2 2(4) 6
+
 = − = − 

Aunque no lo hemos mencionado, porque no era necesario, pero en el
conjunto de las proposiciones, las operaciones lógicas de disyunción y
conjunción son ejemplos de operaciones binarias. También lo serían las
operaciones de Unión e Intersección sobre el Conjunto de todos los
conjuntos.
Una operación Binaria podría cumplir con las siguientes
propiedades:
1. CONMUTATIVA si,  abbaSbSa = ,
2. ASOCIATIVA si, ()() cbacbaScSbSa = ,,
3. PROPIEDAD DEL NEUTRO si, anaSaSn = , ,
n es llamado el elemento neutro, idéntico o nulo.
4. PROPIEDAD DEL INVERSO si  nIaSISa = , ,
I es llamado el inverso de a .

102. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

99
Entonces es FALSO que:
a) = )()(
b) El neutro de la operación es 
c) = )(
d) = )(
e) La operación es conmutativa

Ejemplo 3
La operación binaria baba 2+= definida sobre S= .
1. NO ES CONMUTATIVA, porque baba 2+= es diferente de abab 2+=
2. TAMPOCO ES ASOCIATIVA, porque ()( )
cba
cbacba
22
2
++=
+= es diferente a () ( )
( )
cba
cba
cbacba
42
22
2
++=
++=
+=
3. EL NEUTRO sería: ???????
4. El INVERSO sería: ???????

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicio Resuelto 1
Si “ ” es una operación binaria definida sobre de la manera abbaba 2
22
−+= ,
identifique ¿cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?:
a) ()6352 = b) La operación “ ” es asociativa
c) 010= d) La operación “ ” es conmutativa
e) 6252 
SOLUCIÓN:
a) Calculemos () ()()( )
()
()()
36
39239
39
352252352
22
22
=
−+=
=
−+= más no 6 , por tanto esta opción es FALSA.
b) Para que la operación sea asociativa debe cumplir () ()cbacba = , entonces hallemos ()( )
( ) ( )cabbacabba
cabbacba
222
2
222
2
22
22
−+−+−+=
−+=


y () ( )
( ) ( )bccbabccba
bccbacba
222
2
22
2
222
22
−+−−++=
−+=
los dos resultados anteriores son obviamente diferentes, por tanto esta opción también es FALSA.
c) ()()11021010
22
=−+= mas no 0 como se indica, por tanto esta opción también FALSA
d) Para que la operación sea conmutativa debe cumplir que abba = , entonces
como abbaba 2
22
−+= y como baabab 2
22
−+= la operación si es conmutativa, por tanto
esta es la opción VERDADERA .
e) Es FALSA ¿POR QUÉ?


Ejercicio Resuelto 2
Sea  = ,,S un conjunto sobre el que se define una operación binaria “ ”
representada en el siguiente cuadro:






   
   
   
  

103. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

100
SOLUCIÓN: Analicemos cada opción:
a) De acuerdo al cuadro () ()== y como ( ) () == , por lo tanto esta
opción es VERDADERA.
b) De acuerdo al cuadro observamos que operando cada elemento del conjunto S con  se obtiene los mismos
elementos, por tanto este es el neutro, el idéntico o el nulo de la operación. Esta opción también es VERDADERA.
c) ( ) ()== Esta opción también es VERDADERA.
d) () ()== que es diferente de  , por tanto esta es la opción FALSA.
e) Es VERDADERA ¿POR QUÉ?

Ejercicios Propuestos 5.4
1. Sea la siguiente operación: *:→ , tal que yxyx +=
2
*
Entonces es VERDAD que:
a) no es una operación binaria. b) )20(12)01( =
c) La operación es conmutativa. d) La operación es asociativa.
e) 00)12( =

2. Sea cbaS ,,= ; sobre este conjunto se define la operación binaria " " por medio de la tabla:










3. Sea el conjunto  , , ,?S=    . Y la operación binaria “ ” en tal que









Entonces es FALSO, que:
a) La operación es conmutativa.
b) El elemento neutro de la operación es “?”
c) =
d) ( ) = ??
e) ( ) ( )=

4. Sea el conjunto 1,2,3S= . y sea “ ” una operación en S, definida por la siguiente tabla:







Entonces es VERDAD que:
a) La operación  no es binaria.
b) La operación es conmutativa.
c) ( ) S 132 .
d) La operación  tiene el elemento neutro.
e) () 2321 =

a b c a
b a a b
b c b c
a b c

Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA:
a) caa=)(
b) La operación binaria “ ” es conmutativa
c)  acbaa = )()(
d)  ccbbb = )()(
e)   )()()( bccaba 

   ? 
    
    
   
?    ?

1 2 3
1 2 3 1
2 3 2 3
3 1 3 1

104. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

101
5. Sea la operación *:
+ + +
→ , tal que: 22
* yxyx += , entonces es VERDAD que:
a) * no es una operación binaria.
b) ()1694*)2*3( =
c) La operación no es Conmutativa.
d) ()251*2*1 =
e) 2)1*1(=
6. Si se define la operación binaria 22
* bababa ++= en el conjunto de los números naturales,
entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) abba **=
b) 766*4=
c) ()41*11 =+
d) aa0*
e) La operación binaria  es asociativa.


5.2.6 EXPRESIONES ALGEBRAI CAS
Los números reales pueden operarse para dar lugar a otros números.
Combinando las operaciones para diversos números puede ser necesario
expresarlas para luego obtener su resultado.
Ejemplo
()()( )2103652 +−•
Sin embargo en ocasiones pueden aparecer también letras además de
números.
Ejemplo
()()() ()2452 ++−• xxx
Estamos ante la presencia de una EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Entonces
una expresión algebraica es la representación simbólica de operaciones,
donde los símbolos son combinación de números y letras.
Una Expresión Algebraica simple es llamada Término y está
compuesta por una parte numérica, llamada Coeficiente; y por una parte
literal:



Término
LiteralParte
eCoeficient
bca
32
3
Sin embargo el término puede estar formado sólo por un número, en
tal caso se lo denomina Constante.
A las letras de las expresiones algebraicas se le denomina variables,
debido a que podrían ser reemplazadas por números y se obtendría un
valor numérico de la expresión

105. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

102
Las expresiones algebraicas compuestas por:
➢ Sólo un término, se llaman MONOMIOS.
Ejemplo
32
3bca
➢ Dos términos, se llaman BINOMIOS.
Ejemplo
cabbca
232
23 +
➢ Tres términos, se llaman TRINOMIOS.
Ejemplo
abccabbca −+
232
23
➢ Más de un término, se llaman POLINOMIOS. Entonces todas
las expresiones anteriores serían polinomios.
Luego van a presentarse con frecuencia los polinomios en x .
Ejemplo
523
234
++−+ xxxx
PREGUNTA: ¿CUÁNTOS TÉRMINOS TIEN E EL EJEMPLO ANTERIO R?
5.2.6.1 FRACCIONES
Ya hemos definido a los números fraccionarios, ahora puntualicemos
definiciones sobre las fracciones algebraicas.
Una fracción está estructurada de la siguiente manera:
B
A
Donde a "A " se le llama NUMERADOR y a "B " se le llama DENOMINADOR .
5.2.6.1.1 Operaciones
Con las fracciones se pueden realizar las siguientes operaciones:
1. SUMA: BD
CBAD
D
C
B
A +
=+ ; 00DB
2. MULTIPLICACIÓN: BD
AC
D
C
B
A
=










 ; 00DB

106. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

103
3. DIVISIÓN: BC
AD
C
D
B
A
D
C
B
A
=











= ; 00CB
No olvide que la división entre cero no está definida.
Con estas operaciones, en ocasiones es posible reducir una expresión
algebraica a la mínima expresión.

Ejemplo
Si x ()0=x ()1=x , la expresión algebraica:
x
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
se REDUCE a:
a)()1−xx b)()xx/1− c) x d)x/1 e)()x11+
SOLUCIÓN: el objetivo es reducir la expresión dada a la más simple posible, para lo cual deberá ir realizándose las
operaciones desde la más interna hasta la externa:
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
11
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
=−=
−+
−=
−
−
−
−=
−
−−
−
−=
−
−
−
−=
−
−
−
−=
−
−
−
−
Por tanto la RESPUESTA es la opción “b”.


Ejercicios Propuestos 5.5
1. Al RESOLVER 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+ se obtiene:
a) 13
8 b)13
2 c)2
13 d)5
13 e)13
5
2. Al RESOLVER 4
1
1
1
1
1
1
1
−
−
− se obtiene:
a)4 b)3
4 c)4
3 d)4
1 e)4
1
−

107. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

104

3. Al SIMPLIFICAR x
1
1
1
1
3
+
+ se obtiene:
a) 12
33
+
+
x
x b) 33
12
+
+
x
x c) 12
1
+
+
x
x d) 12
1
+x e) 33
1
+x
4. Al SIMPLIFICAR x
1
1
3
1
1
−
+− se obtiene:
a) 12
1
+
−
x
x b) 33
12
+
−
x
x c) 12
1
+
−
x
x d) 12
1
+x e) 12+x
x

5. Si se SIMPLIFICA 12
12
3
1
2
1
1
+
−
−
−
−
a
a , se obtiene:
a) 36
7
+
+
a
a b)76
32
+
−
−
a
a c)7
32+a
d) 76
32
+
+
a
a e)a2

5.2.6.2 EXPONENTES
Existen expresiones algebraicas que poseen potencias de la forma n
a .
Una potencia es una manera abreviada de presentar un producto de un
mismo factor, es decir: 
vecesn
n
aaaaa .....=
; n , 0a
Donde " a " se llama BASE y n se llama EXPONENTE.

Para simplificar expresiones algebraicas que contienen potencias
habrá que hacer uso de las leyes de los exponentes:
1. mnmn
aaa
+
=.
2. mn
m
n
a
a
a
−
= ; 0a
3. ()
nnn
abba=
4. n
n
n
b
a
b
a






= ; 0b
5. ()
nm
m
n
aa=

108. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

105
6. n
n
a
a
−
=
1 ; 0a
7. 1
0
=a ; 0a


5.2.6.2.1 Radicales (Exponentes Fraccionarios)
Los exponentes fraccionarios, son no otra cosa que los radicales. Es
decir: nn
aa=
1 donde 0a cuando n es par.
Entonces: ()
m
nnmn
m
aaa ==
Veamos la utilidad de esto último.
Ejemplo
Queremos calcular 353
5
88= , entonces es mejor observarlo como () 3228
5
5
3
== .

Ahora, analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicio Resuelto 1
La expresión: 3
1
32
2
1
32
6
65
3
2
2
−
−








+
a
a
aa
a
a
aa ; ( 0)aa   =
es equivalente a:
a) 4 b) a
2 c)a
8 d) a4 e) a2
SOLUCIÓN: Aplicando leyes de los exponentes, tenemos:  

4
22
2
2
2
22
1
11
3
3
6
6
6
6
3
1
3
2
6
7
6
1
6
5
6
1
3
1
3
2
2
1
3
2
6
1
6
5
3
2
2
1
3
1
32
2
1
32
6
65
3
2
=
=
+=






+=










+=










+=










+
−
−−
−−
−
−
−
−
−
−
aa
aaa
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
aa
a
a
aa
a
a
aa

Por tanto la RESPUESTA es la opción “a”.

109. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

106
Ejercicio Resuelto 2
La expresión:m
mm
mm
m
m
32
3
3
23
1098
6125274 es equivalente a:
a)mmm 32
532 b) m
2 c) 1 d)m
3 e)m
5
SOLUCIÓN: Descomponiendo las bases en sus factores primos y aplicando las leyes de los exponentes, tenemos:
()
()
1
532
532
2532
32532
2532
32532
1098
6125274
334
334
333
2232
3
2
6
3
3
233
3
2
32
3
3
23
=
=
=


=
mmm
mmm
mmmm
mmmmm
m
mm
mm
m
m
m
mm
mm
m
m
Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”.

Ejercicio Resuelto 3
La expresión: 3
7527
3216
8328
5
3
−
+







−
Se reduce a: a)8
1− b)8
15− c)8
2− d)8
1 e)8
15
SOLUCIÓN:3
3533
264
2628
3
32539
21616
24328
3
32539
21616
24328
3
7527
3216
8328
5
3
5
3
5
3
5
3
−
+







 −
=
−
+







 −
=
−
+









−
=
−
+







 −
8
15
2
8
1
2
2
1
2
32
1
3
32
264
22
3
3
5
5
3
−=
−=
−





=
−








=
−
+








=
Por lo tanto la respuesta es la opción “b”.

Ejercicios Propuestos 5.6
1. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica: 3
1
5
3
3
1
211
3
27
























−
−−
ba
ba
se obtiene: a) 3






b
a b) ab3 c) 3
b d) 23
ba e) 1−
b

110. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

107
2. La siguiente expresión: 1−m
m
ab
ab es EQUIVALENTE a:
() () ()
()
()
111
)
1
))))
−−− m
m
m mmm m
abe
ab
dabcabbaba
3. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 332
3 232
nmnm
nmnmnm se obtiene:
a) 6
5
3
2
n
m b) 6
5
4
1
nm
− c)4
3
4
1
nm
− d)6
5
4
1
1
nm
e)6
5
4
3−
nm
4. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica 1
21
3
1
3 3
16
27
−
−
−
−












ab
baba se obtiene:
a) ba
3
2 b)b
a
3
2 c)b
a
2
3 d) a
b
2
3 e)b
a
2
3
5. Al RESOLVER la siguiente expresión algebraica: 6
3
33
4
2
22
27
3
19
2
1
z
yx
z
yx
+
se obtiene:
46
83
3
6
5
3
6
5
3
6
5
3
6
5
3
6
5
xyz
z
xyz
z
xyz
z
xyz
z
xyz
z
6. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica: ( )
0
33
1
11
11
1
11
11
−−
−
−−
−−
−
−−
−−
++








−
+
+








−
+
yx
xy
xy
yx
yx
se obtiene:
a) )(
1
yx+ b) )(
1
yx+
− c) 1)(
1
++
−
yx d)1 e) 1−

7. Si se SIMPLIFICA la expresión algebraica:2








−
+








−
+
+
ba
ba
ab
ba
bbaa se obtiene:
a) 0 b) 1− c) 4 d) 1 e) 4−
8. Si se SIMPLIFICA la expresión: ba
ba
+
+
−− 11 y el resultado se lo multiplica con la expresión )24(25 aabaab +−+
, entonces el resultado final es:
a)a
1 b)ab c)1 d)ba+ e)ab2
9. La expresión: ( )
333
2
16242
22
5
2
1
+








−
− se REDUCE a:
a) 27
2 b) 9
4 c)27
2− d) 9
4− e)9
1


Si la operación de suma entre fracciones cuyos denominadores son
números primos (¿Qué es un número primo?) o no tienen factores
comunes, el asunto es muy sencillo, tal como se describió anteriormente.


a) b) c)
d) e)

111. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

108
Ejemplo
()()()()
()()
2 5 4 32 4 22
3 5 3 5 15
+
+ = =
El denominador de la fracción resultante es la multiplicación de los denominadores de las fracciones que se operan, y el
numerador de la fracción resultante es la suma algebraica de los productos de los numeradores con los denominadores
de la(s) otra(s) fracciones
Para el caso de fracciones algebraicas, el tratamiento es análogo.
Ejemplo
()()()()
()()
2 5 4 324
3 5 3 5
x x x xxx
x x x x
− + + + −−+
+=
− + − +
Suponga ahora que los denominadores tienen factores primos
comunes. Resulta más práctico trabajar con el Mínimo Común
Denominador, es decir, con el menor número que contiene a todos los
denominadores.
Ejemplo
()()()()
()()()()
()()()
3 3 4 23 4 3 4
10 15 2 5 3 5 2 3 5
+
+ = + =
La fracción resultante tendrá como denominador al número compuesto por los distintos factores primos que tienen los
denominadores de las fracciones de la operación. El numerador de la fracción resultante será la suma algebraica del
producto de los numeradores de las fracciones que se operan con los factores primos que no correspondan a su
denominador.
Veamos con fracciones algebraicas
Ejemplo 1
()()()()
()()()()
()()()532
2433
53
4
52
3
+−−
−++−−
=
+−
+
+
+−
−
xxx
xxxx
xx
x
xx
x
La fracción resultante tendrá como denominador una expresión algebraica compuesta por los distintos factores primos que
tienen los denominadores de las fracciones de la operación. El numerador de la fracción resultante será la suma
algebraica del producto de los numeradores de las fracciones que se operan con los factores primos que no correspondan
a su denominador.


Ejemplo 2
()()()()
()()()()
()()()532
2433
53
4
52
3
2
2
2
+−−
−++−−
=
+−
+
+
+−
−
xxx
xxxx
xx
x
xx
x
Los denominadores deben estar expresados en factores primos.
El denominador de la fracción resultante estará compuesto por los diferentes factores primos que tienen los
denominadores de las fracciones de la operación. Si un factor está repetido en distintas fracciones se lo considera una sola
vez, pero si está repetido en la misma fracción, se lo deberá considerar tantas veces como esté repetido en su mayor
número de veces.
El numerador de la fracción resultante será la suma algebraica del producto de los numeradores de las fracciones que se
operan con los factores primos que no correspondan a su denominador.

112. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

109
Para las expresiones algebraicas es necesario emplear el producto
notable y la factorización.

5.2.6.3 PRODUCTO NOTABLE
Al realizar la multiplicación de ciertas expresiones típicas y observar
sus resultados singulares nos lleva a proponer lo siguiente:
1. ()()
()abxbax
abaxbxxbxax
+++=
+++=++
2
2
Si ab= tenemos ()()()
222
2aaxxaxaxax ++=+=++

Observe también que ()
222
2aaxxax +−=−

Si ab−= tenemos ()()
22
axaxax −=−+

2. Otros productos notables a considerar son:
()
32233
33 axaaxxax −+−=−
()
32233
33 axaaxxax +++=+



5.2.6.4 FACTORIZACIÓN
En el proceso de simplificar una expresión algebraica, reducirla a la
mínima expresión, es necesario expresarla en factores.
La factorización es el proceso contrario del producto notable.

5.2.6.4.1 Factor Común

Cuando existe un factor común en todos los términos de la expresión.

Ejemplo   
()
 
( )( )
22
22222322232
36
36661866
aabbcabc
cbaacbbaacbcbabcacbacab
++=
++=++



5.2.6.4.2 Diferencia de Cuadrados

Del producto notable, tenemos que: ()()bababa +−=−
22

113. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

110
Ejemplo 1
)3)(3()9(
2
−+=− xxx

Ejemplo 2
)2)(2)(4(5
)4)(4(5
)16(5805
22
2222
4444
yxyxyx
yxyx
yxyx
−++=
−+=
−=−
Ejemplo 3
)8)(8()8(
2
−+=− xxx
Ejemplo 4
()( )( )5 5 5 ; 0x x x x− = + − 

5.2.6.4.3 Diferencia y Suma de Cubos
DIFERENCIA ( ) ( )
2233
)( babababa ++−=−
SUMA ( ) ( )
2233
)( babababa +−+=+
Demuestre que es verdad lo anterior.
5.2.6.4.4 Trinomios
De acuerdo al producto notable ()

qpxx
abxbaxbxax
q
p
++=
+++=++
2
2
)()(


Observamos que todo trinomio de la forma qpxx ++
2 puede ser
expresado como el producto ()()bxax ++ donde: qbaypba ==+

Ejemplo
Factoricemos el trinomio 65
2
+−xx .
Será cuestión de encontrar dos números que sumados algebraicamente den 5− y multiplicados, 6.
Estos números son ( 3)− y 2− . Entonces:

114. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

111
()()2365
2
−−=+− xxxx
NOTA: al primer factor se le asigna el mismo signo del término lineal, y al segundo factor el resultado de aplicar la ley de
los signos, al signo del término lineal con el signo del término independiente.

5.2.6.4.4.1 Trinomio General
Un trinomio de forma general qpxmx ++
2 puede ser expresado en
factores siguiendo el siguiente proceso:
1. Multiplicamos y dividimos para “m ”
( )
m
mqmxpmx
m
mqpmxxm
m
qpxmxm
++
=
++
=
++
)()(
2
222
2. Factorizamos el numerador para “mx ” de la misma forma
que el caso anterior.
Ejemplo
)23)(3(
3
)23)(93(
3
18)3(11)3(
6113
2
2
++=

++
=
++
=++
xx
xx
xx
xx

Ejercicio Resuelto 1
Al SIMPLIFICAR la expresión: 















++
−









+
++








−
−−
34
9
21
96
9
352
2
22
2
2
xx
x
x
xx
x
xx
se obtiene:
a) 1
3
+
−
x
x b) ( )()
3
312
−
++
x
xx c)3
93
2
−
−+
x
xx
d) 3
3
−
+
x
x e)()()
3
31
−
++
x
xx
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos susceptibles de factorizar.
()
)3(
)1)(3(
)3(
)1(
)21(
)3)(3(
)3)(3(
)12)(3(
)1)(3(
)3)(3(
)21(
3
)3)(3(
2
)12)(62(
2
−
++
=





−
+

+
++
−+
+−
=








++
−+









+
+
−+
+−
=
x
xx
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
xx
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “e”

115. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

112
Ejercicio Resuelto 2
Al SIMPLIFICAR la expresión:





+−
−













−−
−+
+
−
−
34
12
6
352
2
3
1
2
1
2
2
2
xx
x
xx
xx
xx se obtiene:
a) x
x1− b) x
1 c) x d)1−x
x e)1−x
SOLUCIÓN: Primero se expresa como factores los términos factorizables.
()
()
( )( )
()()
()()
( )
()
()( )
()()
()()
( )
()()
()
()()
()( )
()()
( )
()()
( )
()()
( )
( )
()()
()()
( )
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
=
−
−−
•
−−
−
=
−
−−
•






−
−−
=
−
−−
•






−+
+−
•
+
−+
=
−
−−
•














+−
−+
+
−+
=






−
−−


















+−
−+
+
−+
=






+−
−













−−
−+
+
−
=
−
−
−
−
−
12
13
31
12
12
13
12
31
12
13
123
23
2
13
12
13
23
123
2
32
12
13
.
23
2
1262
2
32
34
12
6
352
2
3
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”

Ejercicios Propuestos 5.7
1. SIMPLIFICANDO la expresión algebraica ( )








+
−
+
−
+
−
−−
−−
−−
−−
11
11
11
11
22
yx
yx
yx
yx
xy se obtiene:
a) 22
yx+ b) 22
xy− c) xy2 d)22
yx− e)( )
22
2 yx+

2. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )( )()bababa
abbaa
+−−
++
−
33
1
22
223 se obtiene:
a) ()
2
ba+

b) b c) a d) ()
2
ba−

e) ()ba−

3. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )
()
( )
2
2
24
2
3
2
2
2
3
9
33
27
9
3
aa
aa
aa
a
a
aa
+
−








−+
−










−
− se obtiene:
a) ( )
()a
aa
+
−
3
3
2 b) 23
3aa− c) ( )
()a
aa
+
+
3
3
2 d) 23
3aa+

e) 2
3
a
a+

116. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

113
4. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )
1
2
2
43
1
62
2
2
+
−
−
+
−+
−
−−
x
x
x
x
x
x
xx Se obtiene:
a) x b) 1
2
−
−
x
x c)4
3 cuando 2=x d) x
x
+
−
2
5 e) 2 cuando 1=x

5. Al simplificar: () ()








−
+−+














+
−
+
+−
222
2
2
1
xa
xaxa
xa
a
a
xa
x
xa se obtiene:
a) xa+ b) 1−+xa c) ()xa− d) ax− e)()
1−
−xa

6. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica 3
5
1
5
34
2
32
−
+
−
+−
−
−
xx
xx
x
x se obtiene:
a) 2 b) 10 c)10
1+x d) ()110+x e)()1+x

7. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 4
234
1x
xxxx
−
−+− se obtiene:
a)x b) 1+x c) 1+x
x d) 1+
−
x
x e) 1−x
x

8. Al SIMPLIFICAR la expresión: 66
4224
8
42
ba
bbaa
+
+− se obtiene:
a) ( )
22
2ba− b)( )
22
2ba+ c)22
2
1
ba+ d) ( )
2
22
2
1
ba− e) ( )
3
22
2
1
ba−

9. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 







−







+−−
xa
cbbcd
dcb
xxaaxa
2
35
3223 se obtiene:
a) bcd
xa
cb
xa +−
2 b) cb
xa
2
− c) 3
xa+
d) ()xabcd+ e)()2
1
xa+

10. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: 2
2
2
2
2
22
1
2
1
1
22








+
+








+
−





−
−




+
a
a
a
a
baba se obtiene:
a) a b) b c) ab d) b
a e)a
b

11. Al SIMPLIFICAR la expresión 44
4
55
376
23
2
−+−
+
−+−
−+
yxxy
yxyx
yxxy
yxyyx se obtiene:
a)376
5
2
23
−+
+
xx
xx b)( )( )1332 −+xx c)( )()
()5
1332
2
+
−+
xx
xx
d)( )()
()5
1332
2
+
−+
xyx
xx e)( )
376
5
2
23
−+
+
xx
yxx

117. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

114
12. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )( )
( )( )
2222
333
422
28
xaamxmaxm
axmaxam
−+−+
++
− se obtiene:
a) axm2+ b)a c) 3
8a d)2
a e)( )
1
2
−
+axm

13. SIMPLIFICANDO ( )()xyxxy
xyyxyx
+−
−−
22
3223
4
2 se obtiene:
a)yx
x
+ b)yx
y
2+
− c)yx
x
2
2
+ d)yx
y
+
−
2 e)yx
x
−

14. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión algebraica 22
3223
462
22
baba
babbaa
++
−−+ se obtiene:
a) 2
ba+ b)2
ab− c)2
2ba− d)2
2ba+ e)2
ba−

15. ¿Cuál de las siguientes igualdades NO es identidad?
a)() ( )( )xyyyxxyx 33
223
+++=+
b)()()yxyxyx +−=−
22
c)()( )( )bababa +−=−
d)()( )
2
224
2yxyxyx ++=+
e)() ( )yxyxyx +−=− 2
22

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) () ()( )
22
244 yxyxyx −+=−++−
b) ( )( )122326
2
+−=−− xxxx
c) ()()xxxx −+=−− 4520
2
d) 2
2
3
1
9
1






+=+ xx
e) ( )()( )1
2233
+++−=−+− yxyxyxyxyx


17. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)0;
22
2
11

−
+
−
=
−
+
−








xyxyx
b)10;1
1
3
1
4
+=
−
+
−
−
xxx
xx
x
c)00;
222
+=
+
yx
yxyx
d)6
5
25
4
34
8

e)0;1
1
=+
−
xxx

18. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) x
yx
y
yx
x
yx
x
yx
y
=
−
−
+
−
−
+
b) 454
012
3
=−+
−
xxx , si 4=x
c) () 2
3
222
22
2
20
=
−
−
−
−
d) 24
2
1
53
1
4
5
16
25 −
−−
−
=








yx
yx
xy
e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

118. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

115
19. Al SIMPLIFICAR la expresión 3223
3223
22
33
22 yxyx
xyyxyx
yxyx
yx
−
+−

−+
+ se obtiene:
a)22
yx b)1 c)yx+ d)xy
1 e)xy
20. En la expresión algebraica 1
1
2
325
−
+−−
x
xxx . Si se reemplaza a "x " por un número entero mayor que 1
entonces se obtiene como resultado:
a) Un número entero positivo.
a) Un número fraccionario menor que 1 .
b) Un número fraccionario menor que 1− .
c) Un número entero negativo.
d) El número cero.


Por otro lado, tenemos: ( )()( )
1342321
...
−−−−−
+++++−=−
nnnnnnn
bbababaababa


Sin embargo, factorizar un binomio de una forma u otra depende del
ejercicio que se esté resolviendo.

Ejemplo 1 66
yx−
puede ser factorizado como diferencia de cuadrados o como diferencia de cubos o
usando la regla general.
Es decir: 1. ()()( )( )
3333
2
3
2
366
yxyxyxyx +−=−=−
2. ()()( )( )
422422
3
2
3
266
yyxxyxyxyx ++−=−=−
3. ()( )
5432234566
yxyyxyxyxxyxyx +++++−=−

Ejemplo 2
En cambio, 99
yx− puede ser factorizado sólo de dos formas, como diferencias de cubos o
usando la regla general. Es decir:
1. ()()( )( )
633633
3
3
3
399
yyxxyxyxyx ++−=−=−
2. ()( )
8762534435267899
yxyyxyxyxyxyxyxxyxyx ++++++++−=−

119. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

116
Ejercicio Resuelto
Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )
66
99
6336
yx
yx
yyxx
−
−
++ se obtiene :
a)33
yx− b)22
yx+ c)33
yx+ d)22
yx− e) yx−
SOLUCIÓN: Primero expresemos como factores los términos factibles de factorizar.
( )
()()
()()
( )( )
( )( )
33
3333
633633
6336
2
3
2
3
3
3
3
3
6336
66
99
6336
yx
yxyx
yyxxyx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
+=
+−•
++−
++
=






−
−
++
=−
−
++
De acuerdo a este último resultado la respuesta es la opción “c”
Finalmente, para RACIONALIZAR un a fracción, expresar la fracción sin
radicales en el denominador, puede hacerse lo siguiente:
Ejemplo 1
Si tenemos una fracción simple, como 2
3 , se puede multiplicar numerador y denominador por 2
es decir 2
23
2
2
2
3
=• .
Ejemplo 2
Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de raíces cuadradas, multiplique
tanto al numerador como al denominador por su conjugado (la suma o diferencia de los radicales presentes
con signo contrario) con el objeto de formar diferencias de cuadrados.
()()
4
53
59
53
53
53
53
53
53
1
22
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
•
−

conjugado

Ejemplo 3
Si la fracción presenta en el denominador suma o diferencia de raíces cúbicas, multiplique tanto al
numerador como al denominador por su factor correspondiente para obtener diferencias o sumas
de cubos.

() ()
() ()
() ()
()()
6
2224
42
1684
42
4422
4422
4422
42
1
33333
3
3
3
3
2
333
2
3
2
333
2
3
2
333
2
3
33
+−
=
+
+−
=
=
+






+−
=






+−






+−
•
+

120. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

117
Ejercicios Propuestos 5.8
1. Al SIMPLIFICAR : 35
35
35
35
−
+
+
+
− se obtiene:
a) 5 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1

2. Indicar ¿cuál de las siguientes igualdades es FALSA? ()() ( )( )1443)
32
13
2
12
1
)
1
)
4
2
28
)
4
53
53
1
)
2
2
32
3
2
2
3
3
−+++=−+++
+=
+
+
−
−
+
=
−








+−





+=+
+
=
−
qpqpqpqpe
d
ba
ba
ba
c
x
x
x
x
x
xb
a

3. Al SIMPLIFICAR la expresión: ()
4
4
4
49
4
144
7
1
2128
89248
+−+
+− se obtiene:
a) 7
1421+ b)2
7 c)7
1421−
d) 7
27− e)32
1
−
4. Al REDUCIR la expresión: 812
232272
10
1
6.03
−
+−+ se obtiene:
a) 64
2
3
+ b)2
23+ c)3
23−
d) 2
683+ e)223+
5. Una EXPRESIÓN EQUIVALENTE para 33
43
1
+ , es:
a) 7
2129
33
−+ b)7
22129
33
−− c)2
1
2
1
2
1
7
129−
d) 7
22129
333
+− e)2
1
2
1
2
1
7
129+


Misceláneos

1. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si I= entonces 2
b)  o
c) I y 
d) Si  entonces 
e) ( )( )I  =   = 


121. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

118
2. Si se simplifica la expresión 2
1
1
1
x
x
x
x
−
+ se obtiene:
a) 1 b) x c)x
1 d)2
1
x e)2
xx−

3. Al simplificar la expresión algebraica: 1
1
+
−
+
−
v
u
w
w
v
u
u
u se obtiene:
a)w
u b) u
v c ) v
u d) w
v e) 1
4. Al SIMPLIFICAR: 1
2
2
2
1
2
+
−
−
+
−+
−
x
x
x
x
x
x
se obtiene:
a) 58+x b) x4 c) 15−x d) 23+x e) 1−x
5. Al SIMPLIFICAR la expresión: 1
11
1
1
11
1
+






+
+
−
+
+
−






+
+
+
+
+
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
se obtiene:
a) )1(
)(
+
+
ab
ba b) a c) ba− d) a
1 e)1
6. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:xx
x
x
x
x
−
−
+
+
−
−
−
+
1
1
1
1
1
1
1
1 , se obtiene:
a) 1 b) x+1 c) x−1 d)2− e) 2

7. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )( )
x
x
x
x
x
x
−
−
+

−
−
111
1
1 Se obtiene: ()()
()()
()()
()()
2)
2
12
)
2
12
)
12
2
)
2
12
)
−
−−
−+
+−
+−
xe
x
xx
d
x
xx
c
xx
x
b
x
xx
a

8. Al SIMPLIFICAR x
xx
xx
+
++−
+−−
11
11 ; se obtiene:
a) 1
2
+x b)1
2
−x c)xx+
2
d) xx−
2 e)x
x1
2
−

9. Al SIMPLIFICAR x
x
x
x
x
xx
xx
−
+

−

−
−
−+
+−
3
3
8
1
64
9
87
65
2
2
2
2 , se obtiene:
a) 34
2
2
+−
−
xx
x b)1
2
−
−
−
x
x c)()()
()()xx
xx
+−
−−
−
31
82 d)2
1
+
−
x
x e)()()
1
82
−
−−
x
xx

10. El RESULTADO de simplificar 642
642
222
222
−−−
+++
++
++
nnn
nnn , es:
a) 512 b)256 c)260 d)181 e)502

122. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

119
11. Al SIMPLIFICAR la expresión ()
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
1
−
−
+















 , es:
a) x b)1−
x c)1−x
x d)x
x e)1+x
x




12. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) 22  
b) O bien 0 o bien 0
c) Si I , entonces 3
4

d) ( )0.2323... 3 2  + 
e) 0.5
2
I

  
13. Al SIMPLIFICAR la expresión 2
2
15
2
2
12
1
1
+














+





−
−
−
−
+−
−
−
x
x
x
x
x
x , se obtiene:
a) 1+x
x b)1+
−
x
x c)1−x d)x+2
1 e)x−1
1

14. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )







+
−





 +
−
−
+
bab
aba
a
ba
ba
ba
2
2
2 se obtiene:
a) 2
bab+ b)()baa
bab
−
+
2
2 c) 1
d) 0 e)ba+
2
2

15. Al SIMPLIFICAR la expresión nn
m
a
nm 1
22
−+
− se obtiene:
a) 1 b) mn− c)a
nm






−
11
d)nm
na
−





+
11 e)()naam +−

16. Al SIMPLIFICAR xx
1
1
3
1
1
1
1
1
1
3
−
+−
+
+
+ se obtiene:
a)x b) 2 c) 2−x d) x− e)x
2

17. Sea la expresión 3561177
22
−+− xyyx . Si 32
1
−
=x y 32
1
+
=y , entonces la
expresión tiene un VALOR numérico igual a:
a) 11 b) 10 c ) 9 d) 12 e) 13

18. Al SIMPLIFICAR la expresión :( )()
( )()yxxxx
y
x
yx
yx
yxx
+++

−

−
−−
9327
49
23
3
3
32
22
2 . Se obtiene:
a) ()yxx−
3
4 b) yx
x
−
3
4 c) 1
d) yx+ e) ()34
3
+xx

123. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

120
19. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) ( ) b)−= c)I
d) I= e)( )
20. Al SIMPLIFICAR la expresión mnm
mnmn
2 se obtiene:
a) 8
m b)nm
8 c)n
m
8
d) 83
m
n e)3
m

21. Al SIMPLIFICAR la expresión ( )( )
( )()3
3212
3
232
−−
−−−
xxx
xxxx se obtiene:
a) ()( )112
2
++− xxxx b)( )12
2
++xxx c)()22−xx
d) ( )()
1
212
2
+
−++
x
xxxx e)()( )122
2
+++ xxxx

22. Al SIMPLIFICAR la expresión 1
4
234
1
1
1
−






−−







−
−+−
xx
xxxx se obtiene:
a)x b)x
x1+
− c)1
2
+
−
x
xx d)1+
−
x
x e)1−−x

23. Al SIMPLIFICAR la expresión () 1
43
1612
43
32 2
234
2
22
−








−+
++
+
−+
+
−
−
−
xx
xxx
xx
xx
x
xx
x se obtiene:
a) 4 b) 2 c)1
1
−x d)1
2
−x e)1−x

24. Al SIMPLIFICAR la expresión 12
12
3
1
2
1
1
+
−
−
−
−
x
x se obtiene:
a) 22
12
+
+
x
x b) 3
21x+ c) 1 d) 76
32
+
+
x
x e) 12−x


25. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ()
2
1
1
1
1
−=
−
−
x
x
x
b) 1
2
−−
=
aa aa
aa
c) 1
1
1
1
1
−=
+
+
+
−− pqqp
xx
d) nm
nm
nm
nm
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
=






−





+








−








+
11
11
e) ( )( )
( )
8
3
2
4
104
120000
0036.0004.0 −
=

124. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

121
26. Al SIMPLIFICAR 











+
+
+
−
+
+













−
+
+
+
+
+
1
11
1
1
1
1
1
1
1
11
xy
xxy
x
y
x
x
y
y
xy
xyy se obtiene:
a) y b)x c)xy d)xy
2 e)yx
2

27. La expresión ()xyyx 4−+ es equivalente a:

a) 4
1
4
1
yx− b)yx+ c)4
1
4
1
yx−
d)2
1
4
1
yx+ e)4
1
yx+

28. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA. Identifíquela:
a) yxyx +=+ , 0,0yx
b) 8
1
xxxx = , 0x
c) 4
35
81
16
15
8

d) 5
7
5
2
22
72
1
−−−=−
−
e) )54)(43(2012
222
axyaxyaaxyyx +−=−+

29. Al SIMPLIFICAR la expresión 







−







+
++

+−
−
1
4
77
777
222
1
23
2
2
3
xx
xx
xx
x se obtiene:
a) 2 b)x2 c)3 d)1
2
−x e)2
1
2
−x
30. Al SIMPLIFICAR la expresión: ()
()
01
2
212
2
2
xyx
x
y
yxyx
−+





+−
−
−
−−− se obtiene:
a) x b)1 c) yxx
yx
2
2
+
+ d) yxx
yx
2
2
+
− e)()
2
xy−


31. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) I

2  0 b)I− =   c)2e
e

d) ()
2
2 e)Si I1 entonces 3 1 4− = −

32. Sean ba, y c números reales para los cuales se define la expresiónc
ba
x
+
= , entonces es FALSO,
que.
a) bxca −=
22 b)axcb −=
22 c)222442
axacxcb +−=
d) ()
x
ba
c
2
1
+
= e)2
2
c
ba
x
+
=
33. Al SIMPLIFICAR la expresión 3 3 323232
bababa se obtiene:
a) 3
5
9
10
ba b)5
3
10
9
ba c)9
10
2
5
ba d)2
1
3
1
ba e)3
1
2
1
ba

125. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

122
34. Si se SIMPLIFICA 12
3
2
3
1
2
9
2
2
50
+−
−− se obtendrá:
a) 3 b)2 c)2
3 d)3
2 e)2
1
35. Al SIMPLIFICAR la expresión 22
23
22
2
2
32352
3
yxyx
yxx
yxyx
xyx
x
y
+−
−

−+
+ tenemos:
a) 2
y b)x c)x
y d)x
y
2 e)2
2
x
y
36. Al SIMPLIFICAR la expresión







−
+









+
+−
xxp
apa
p
p
p
4
4
2
2
2
2
22 se obtiene:
a) 1 b)2−p c)2+p d)p
a
x e)a
px )2(−
37. Al SIMPLIFICAR la expresión () ()()
()
p
pp
pp
p
p
32
3
3
23
1098
6125274





























 , p y MULTIPLICARLA por 34
81415
2
+
−+
p
pp
, se obtiene como resultado:
a) p25− b)34+p c)()
2
1p+ d)()
2
1p− e)p

38. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) )2()2(6
224422448448
yxyxyxyxyyxx +−−−=+−
b) )56()4(20196
2
−+=−+ xxxx
c) 





−





−=+−
3
1
3
1
9
1
3
22
xxxx
d) ()( )518151318
2
+−=−− aaaa
e) ( )( )
22224224
322322984 bababababbaa +−++=++


39. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) ()()
3
1
3
1
9
1
3
22
−−=+− xxxx
b)( )( )56420196 −+=−+ xxxx
c) 10
4224
22
1
33
3
+−
=
+
d) 2
126
2
85243 −
=
−+
e)25
25
3
−=
+

126. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

123
40. Al SIMPLIFICAR la expresión 













−
+
−








−
−
+
−
−
−
−
−−
−−
2
22
2
22
44
1
1
1
1
1
1
y
yx
x
yx
yx se obtiene:
a) 2
2222
y
yxyx ++ b) 2
4y c) 2
2222
x
yxyx ++−
b) 2
2b e) 2
2222
x
yxyx ++


41. Al SIMPLIFICAR la expresión 2
2
1
3
1
2
1
2
1
3
9
−
−



















b
an
nb
am se obtiene:
a) 2
1
ma b)m c)2
1
a d)ma+ e)6
7
ma



42. Al SIMPLIFICAR la expresión 22
33
22
11
yx
yx
yx
y
yx
x
−
+

−
+
− se obtiene:
a) yx+ b)x c)yx− d)22
yx+ e)x−
43. Al SIMPLIFICAR la expresión: 22
2
22
2
6117
6613
33
32
yxyx
xyx
aayax
yx
yx
x
yx
x
+−
−
−−
−








+
−
−
−
+ se obtiene:

a) ()
a
yx+
−
2 b)()
a
yx−
−
2 c)()
a
yx
2
−
d)()
a
yx
2
+ e)yx22−

44. Al REDUCIR la expresión: 1
2
3
4
−
x
x
x
x se obtiene:
a) 8
1−
x b)2
1−
x c)8−
x d)4
1−
x e)8
1
x

45. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica: yx
yx
yx
y
x
yx
yx
yx
−
−
+
−
+
−
−
+
4
2
2 se obtiene:

a) 1 b)2
2
4
x
yxy− c)yx+ d)yx− e)( )
2
14
x
xy−

46. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica )1(
1
1
2
3
+−
−
−
x
x
x se obtiene:

a) x
x1+
− b)x c)1 d)1+
−
x
x e)1−

127. Moisés Villena Muñoz Cap. 5 Los Números

124
47. Al SIMPLIFICAR la expresión 1
222222
65
7
34
4
23
2
−








+−
−
−
+−
+
−
+−
+
yxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
yx
se obtiene:
a) yx
yx
3−
− b)()( )yxyx
y
3−− c)()( )
y
yxyx 3−−
d) y
yx− e)y
yx3−

48. Al SIMPLIFICAR la expresión: ( )( )
( )( ) 







−−
++−
++−
yx
yxyxyx
yxyxyx
2222
2233
2 . Se obtiene:
a) 0 b)yx+ c)xy d)1 e)1−+yx


49. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) d
c
b
a
= si bcad= ; ,bd
+

b) Si ba= y c entonces bcac= ; ,ab
c) nn
a
b
b
a






=





− ; ,,a b n
+

d) bd
bcad
d
c
b
a +
=+ ; ,bd
+

e) Si ba y c , entonces bcac ; ,ab
+


50. Al SIMPLIFICAR 22
22
22
22
2
2
2
2 xyyx
yxyx
yxyx
yx
yxy
xyx
+
+−









++
−

+
− se obtiene:
a) )(
2
yxx− b)()
()
2
2
yx
yxx
−
+ c)()
)(
2
2
yxx
yx
−
+
d)()
2
yxx− e)yx
yxy
−
+)(
2
51. Al SIMPLIFICAR la expresión ()
2
3223
ba
babbaa
+
−−+ se obtiene:
a) a b)ba+ c)b d)ba
ba
+
− e)ba−

52. Si se SIMPLIFICA la expresión ()
2
22
1
1
53
20
4
27
2
27
















−
−
−
−
−
yx
yx
yx
yx se obtiene:
a) 3
2
3






x
y b)3
3
2
27
x
y c)3
3
x
y d)3
3
2x
y e)3
3
27
x
y
53. Al SIMPLIFICAR la expresión:22
33
33
223
2
222
yxyx
yx
xyyx
xyyxx
++
+

−
+− se obtiene:
a) ()yxy− b)2 c)yx−
2 d)y
2 e)()yxy−
2

128. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
125

6
6.1 INTERVALOS
6.2 VALOR ABSOLUTO
6.3 ECUACIONES EN UNA INC OGNITA
 ECUACIONES LINEALES
 ECUACIONES CUADRÁTICAS
 ECUACIONES CON RADICA LES
 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
 PROBLEMAS.




La solución de ciertas situaciones problémicas conducen a plantear
ecuaciones para resolverlas. Por tanto, es importante que aprendamos a
encontrar los conjuntos solución de diversos tipos de ecuaciones.
En los problemas de cardinalidad de conjuntos ya se empleaban
ecuaciones.

129. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
126

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina diversos tipos de intervalos
 Represente intervalos en la recta real.
 Defina valor absoluto de un número real.
 Aplique las propiedades del valor absoluto.
 Resuelva ecuaciones, lineales, cuadráticas, con radicales, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de ecuaciones.

6.1 INTERVALOS
Los intervalos son subconjuntos de números reales.
Tenemos los siguientes tipos de intervalos:























6.2 VALOR ABSOLUTO

Si a , entonces el VALOR ABSOLUTO de a
denotado como a , se define como:






0
0
asia
asia
a

INTERVALO CERRADO
 , / dondeI a b x a x b x    

INTERVALO ABIERTO
 , / dondeI a b x a x b x    

INTERVALOS SEMIABIERTOS






 , / dondeI a b x a x b x    
 , / dondeI a b x a x b x    
OTROS INTERVALOS
  , / dondeI a x x a x      , / dondeI b x x b x    

130. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
127
Es decir, si a es un NÚMERO POSIT IVO o CERO su valor absoluto es el
mismo número. Si a ES NEGATIVO su valor absoluto es el número
cambiado de signo (lo hacemos positivo).

Ejemplo 1 22


Ejemplo 2 222 


Ejemplo 3 5
1
5
1



6.2.1 PROPIEDADES

Si ab , entonces:
1. baba 
2. b
a
b
a
 ; 0b
3. baba 
4. baba 

Con la definición de valor absoluto podemos referirnos a otros tipos de
intervalos.

6.2.2 INTERVALOS SIMÉTRICOS








PREGUNTA: ¿A QUÉ INTERVALO SE REF IERE EL CONJUNTO?  / dondeI x x a x  








  , / donde /I a a x a x a x x x a        

131. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
128
6.3 ECUACIONES EN UNA INCÓGNITA
Las ecuaciones que trataremos a continuación son las que tienen una
incógnita “x ”, y usualmente están estructuradas de la siguiente manera:




6.3.1 LEYES
En una igualdad, sin alterarla, usted puede:
1. Sumar o restar una misma cantidad a ambos
miembros. Es decir:
Si ba , entonces cbca  ; para todo c
2. Multiplicar una misma cantidad a ambos miembros.
Es decir:
Si ba entonces cbca  ; para todo c
3. Dividir una misma cantidad (diferente de cero) a
ambos miembros. Es decir:
Si ba entonces c
b
c
a
 ; para todo c 0c

6.3.2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO (ECUACIONES LINEALES)
Una ecuación lineal o de primer grado es un predicado, cuya expresión
algebraica una vez simplificada presenta la forma:
0:)( baxxp 0a
Determinemos su conjunto solución ?)(xAp
Despejando “x ” tenemos: entonces 






a
b
xAp)(

Prueba: si reemplazamos el valor de “x ” en la ecuación dada, entonces:

a
b
x
a
b
a
xa
bax






00
0








 b
a
b
a

Expresión
algebraica
en “x ”
Expresión
algebraica
en “x ”
=
MIEMBROS

132. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
129
Generalmente el conjunto solución está compuesto por un sólo
elemento, es decir, existe un sólo valor para x que satisface la ecuación.
Pero en ciertos casos especiales puede ocurrir otra cosa.

Ejercicio resuelto
El valor de "x " que se obtiene al RESOLVER la ecuación :
0
5
3
11
96
225
22





xxxxx
x
es: a) 26 b) 4 c) 4 d) 26 e) 12

SOLUCIÓN:
Primero se simplifica la expresión algebraica de la ecuación dada para así, despejar luego "x "
4
123
0123
0453053311225
0
)3)(3(
)3(5)3(11225
0
5
)3(
11
)3)(3(
225
0
5
3
11
96
225
22
22
22


















x
x
x
xxxxx
xxx
xxxx
xxxxx
x
xxxxx
x
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “b”

Ejercicios Propuestos 6.1
1. Si Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a)   
2
1
3
2
13
4
1
1
2
1
 xx
b) 333
2)1()1( xxx 

2. Un valor de "x " que satisface a la igualdad:
2
4
4
2
86
17
2








x
x
x
x
xx
x , Re
es:
a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) 2

3. Sea el predicado 103
10
5
1
2
:)(
2





 xxx
x
x
x
xp ; Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp
es:
a) 
7
8 b)
8
7 c)
2
3 d)
3
2 e)
3
8

133. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
130
FACTORIZANDO tenemos: 6
7
761
07601
0)76)(1(
0
6
)66)(76(






x
xx
xx
xx
xx

Tiene 2 soluciones reales

FACTORIZANDO tenemos: 10
010
0)1(



xx
xx
xx

Tiene 2 soluciones reales
6.3.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (ECUACIONES CUADRÁTICAS)
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es un predicado de la
forma: 0:)(
2
 cbxaxxp
, donde , , 0a b c a  
Los elementos de su conjunto solución, llamados también raíces, se
los pueden determinar por los siguientes métodos:
1. FACTORIZANDO el trinomio.
Entonces tendríamos:
0)()(
21


ba
xxxx
Por lo tanto, como 0ab si y sólo si 00ba , entonces:




Ejemplo 1
Para la ecuación 076
2
xx







Ejemplo 2
Para la ecuación 0
2
xx





Prueba:
1. Con 1x  07116
2


2. Con 6
7
x
07
6
7
6
49
07
6
7
36
49
6
07
6
7
6
7
6
6
2



























NOTA:
Se puede erróneamente despejar de
la siguiente manera:
1
2
2



x
x
x
x
x
xx
olvidando la solución de 0x

134. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
131
FACTORIZANDO tenemos: 
22
0202
0)2(2



xx
xx
xx

Tiene 2 soluciones reales
Ejemplo 3
Para la ecuación 04
2
x





2. Empleando la Fórmula GENERAL. En cualquier caso se podría
completar cuadrados, para de allí encontrar x , entonces
obtendríamos: a
acbb
xx
2
4
,
2
21

 ¿Dedúzcala?

Ejemplo
Aplicando la fórmula general, encontremos las raíces de la ecuación cuadrática del ejemplo
anterior: 076
2
xx
Tenemos que: 716  cba
Por lo tanto: 






















6
7
12
14
12
131
1
12
131
12
131
,
12
16811
62
76411
,
2
1
21
2
21
x
x
entoncesxx
xx

6.3.3.1 Discriminante
A la expresión dentro del radical de la fórmula general se la llama
DISCRIMINANTE y se la denota con la letra D, entonces:
acbD 4
2

 CASO I: Si 0D , entonces las raíces serán reales y
diferentes. Es decir:
a
acbb
x
2
4
2
1

 y a
acbb
x
2
4
2
2


Observe el ejemplo anterior.
NOTA:
Se puede despejar de la siguiente
manera:
2
4
4
2
2



x
x
x

135. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
132
 CASO II: Si 0D , entonces las raíces serán reales e
iguales. Es decir: a
b
xx
2
21
 .
Ejemplo
Encontrar las raíces, aplicando la fórmula general, de la ecuación cuadrática:
0144
2
xx
Solución:
Para esta ecuación, tenemos que: 144  cba
por lo tanto: 

2
12
12
4 4 4 4 1
,
24
4 16 16
8
40
,
8
xx
xx
  

  


 1
2
4 0 4 1
8 8 2
entonces
4 0 4 1
8 8 2
x
x

    



  

   



 CASO III: Si 0D , entonces las raíces son complejas
conjugadas. Como nuestro campo será sólo los números
reales, en este caso se dirá que el conjunto solución de la
ecuación cuadrática es el conjunto vacío. Es decir no
existen valores reales para x que satisfagan la ecuación.

Ejemplo
Para la ecuación cuadrática: 0136
2
xx
Tenemos que: 1361  cba
por lo tanto: 

2
12
12
12
6 6 4 1 13
,
21
6 36 52
2
6 (16)( 1)6 16 6 16 1
,
2 2 2
llamando 1 tenemos :
64
, 3 2
2
xx
xx
i
i
x x i
  

  

       
  


   

Bien, ahora revisemos el siguiente ejercicio resuelto:

136. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
133
Ejercicio Resuelto
El CONJUNTO SOLUCIÓN de la siguiente ecuación:
1
3
3
23
32
2 


 x
x
xx ; Re , es:
a) }2,4{ b) }2,4{ c) }2,4{ d) }2,4{ e) }1{
SOLUCIÓN: Hay que empezar simplificando, todo lo que sea posible, las expresiones algebraicas presentes en la
ecuación dada.







Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d”

Ejercicios Propuestos 6.2
1. La ecuación : 2
2
4
16
2
82
x
xx
xx




 ;x se satisface con x igual a:
a) 5 b) 1 c) 4 d) 1 e) 5

2. Para la ecuación: 89
13
43
12





x
x
x
x , donde x .
Es CIERTO que:
a) No tiene solución b) Tiene una solución
c) Tiene dos soluciones d) Tiene más de dos soluciones
e) Elija esta opción si todas las proposiciones anteriores son falsas.

3. Sean las ecuaciones 031110
2
xx y 076
2
 kxx
El valor que debe tomar k para que la raíz de menor valor de la primera ecuación sea también raíz de la
segunda ecuación es:
a) 3 b) 3 c) 1 d) 2 e) 2

6.3.3.2 Propiedades de las raíces de la ecuación
cuadrática
Ya sabemos que la ecuación cuadrática 0
2
 cbxax tiene por raices
a: a
acbb
x
a
acbb
x
2
4
2
4
2
2
2
1



 , veamos ahora ¿qué sucede si las
sumamos? y ¿qué sucede si las multiplicamos? 24
0)2)(4(
0)82(4
03284
063269332
0)632(69332
0
)1)(2(
)2)(3()1)(2(332
0
1
3
3
)1)(2(
32
1
3
3
23
32
21
2
2
22
22
2




















xx
xx
xx
xx
xxxxx
xxxxx
xx
xxxx
x
x
xxx
x
xx

137. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
134
6.3.3.2.1 Suma de las raíces
a
b
a
acbbacbb
xx
a
acbb
a
acbb
xx
2
2
2
44
2
4
2
4
22
21
22
21








Entonces: a
b
xx 
21

6.3.3.2.2 Producto de las raíces

 
2
21
2
22
21
2
2
22
21
22
21
4
4
4
4
4
4
2
4
2
4
a
ac
xx
a
acbb
xx
a
acbb
xx
a
acbb
a
acbb
xx


































Entonces: a
c
xx 
21
Ejemplo
La ecuación cuadrática 076
2
xx , que fue resuelta anteriormente, se obtuvo como solución a 1
1
x
y 6
7
2
x .
Si las sumamos directamente se obtiene: 6
1
6
7
1
21






xx , que es el mismo valor que se obtiene
aplicando la propiedad 6
1
21

a
b
xx .
Por otro lado, si las multiplicamos directamente se obtiene 
6
7
6
7
1
21 





xx , que es el mismo valor
que se obtiene aplicando la propiedad 6
7
21


a
c
xx


Ahora analicemos lo siguiente

Ejercicio Resuelto 1
En la ecuación: kxxx  3113
2 , el valor de "k " para el cual la suma de las soluciones
es igual a dos veces su producto, es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
SOLUCIÓN: Para la ecuación kxxx  3113
2 , queremos que sus raíces 1
x y 2
x cumplan con:
2121
2xxxx  .

138. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
135
Agrupando términos tenemos: 083
03113
2
2


kxx
kxxx . Para esta última ecuación simplificada tenemos kcba  83

Y empleando la condición dada, obtenemos lo pedido: 4
82
3
2
3
8
2
2
2121




















k
k
k
a
c
a
b
xxxx
Por lo tanto la RESPUESTA es la opción “d”
Ejercicio Resuelto 2
El valor positivo de k para el cual, la suma de las raíces de la ecuación:     02225
22
 xkkxk
; es igual a 1 ; se encuentra en el intervalo:
a) 6,10 b)  15,20 c) 0,6 d) 8,10 e) 2,0

SOLUCIÓN: queremos que las raíces de la ecuación     02225
22
 xkkxk sumen 1 , es decir 1
21
xx

Entonces, destruyendo paréntesis y agrupando términos para darle la forma cuadrática, nos queda:
 

 02245
222


c
b
a
kxkxk
Aplicando la condición tenemos:  
 
15
0)1)(5(
054
54
1
5
4
5
4
1
21
2
2
2
2
21
21












kk
kk
kk
kk
k
k
k
k
xx
xx
Tomando sólo el valor positivo 5k , observamos que este valor se encuentra en el intervalo 6,0 , por tanto la opción
“c” es la RESPUESTA correcta.

Ejercicios Propuestos 6.3
1. La suma y el producto de las raíces de la ecuación: 095
3
22






xx son respectivamente:
a) 2
25
;
2
15
 c) 2
27
;
2
15
b) 2
15
;
2
27
 d) 2
27
;
2
15
 e) 3
18
;
3
10


2. El valor de k para que la ecuación: 098
2
kxx tenga raíces cuya suma sea igual a 3
8 es:
a) 3 b) 3
1
 c) 3
1 d) 3 e) 0

3. En la ecuación: 0)7()1(8
2
 mxmx , encuentre el valor que debe tomar m para que la
suma de las soluciones de la ecuación dada sea igual a 4
3 .

139. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
136
a) 7 b) 7 c) 7
1 d) 7
1
 e) 7
2

4. La ecuación cuadrática cuya suma de raíces sea 7 y cuyo producto sea 10 , es:
a) 0107
2
xx b) 0710
2
xx
c) 0107
2
xx d) 0710
2
xx
e) 0107
2
xx


5. Encuentre el valor de k para el cual la suma de las soluciones de la ecuación
065
2
 kxx sea dos veces su producto.
a) 3 b) 3 c) 7 d) 7 e) 0

6. Considere la ecuación: 12
22
 xxnxmx . Los VALORES de m y n para que la suma de sus
soluciones sea 2 y su multiplicación sea 6 , son:
a) 10  nm b) 0
2
1
 nm c)1
2
1
 nm
d) 0
2
3
 nm e) 1
2
3
 nm
7. Encuentre la ecuación de segundo grado que tenga como coeficiente de 2
x la unidad, como coeficiente de x
una de las raíces y por término independiente la raíz restante.
a) 2
2
xx c) 2
2
xx
b) 2
2
xx d) 2
2
xx e) 1
2
xx


6.3.4 ECUACIONES CON RADICA LES
Otros tipos de ecuaciones son aquellas q ue en sus expresiones
algebraicas iniciales presentan radicales, entonces el objetivo inicial debe
ser deshacerse de los radicales.

Ejemplo 1
Considere el predicado 2713:)(  xxxp y Re
Despejando un radical y elevando al cuadrado para destruirlo:









En las ecuaciones con radicales aparecen las llamadas SOLUCIONES EXTRAÑAS.
Para precisar las soluciones se hace imprescindible reemplazar los valores de x obtenidos para ver si en verdad
satisfacen o no el predicado original. Sólo los valores de x que satisfagan el predicado en la forma inicial dada, serán
soluciones de la ecuación.
Entonces para la ecuación anterior:   
 
39
0)3)(9(
0276
42812
)7(412
721
721
74)1(2
7422
774413
72132713
21
2
2
2
22
22












xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
xxx
xxxx

140. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
137
1. Con 9x tenemos: 9 13 7 ( 9) 2
4 16 2
2 4 2
22 NO satisface
     



2. Con 3x tenemos: 3 13 7 3 2
16 4 2
4 2 2
22 SI satisface
   



Por lo tanto 3)(xAp

Ejemplo 2
Sea 422:)(  xxxp y Re . Entonces el conjunto solución está contenido en
el intervalo:
a) 
C
5,0 b) 3,2 c),3 d)3,0 e)
C
5,2
SOLUCIÓN: Procedemos de forma semejante al ejemplo anterior.







Reemplazando:
Con 4x tenemos:4 2 2(4) 4
2 2 8 4
44
22SI satisface
  
  


con 4
9
x tenemos: 99
2 2 4
44
39
24
22
71
22
NO satisface

  


  

Entonces 4)(xAp . Por tanto la RESPUESTA es la opción “c”







  
 

 
  
4
9
4
0944
0
4
94164
036254
36244
62
242
422
422
21
4
2
2
22
22




















xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx

141. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
138
Ejercicios Propuestos 6.4
1. Sea Re , encuentre el conjunto solución de la siguiente ecuación:
7
6
714


x
xx

2. La SUMA DE LAS SOLUCIONES reales de la ecuación: x
xxxx




22
2
2
2
2 es:
a) 3 b) - 3 c) 23 d) 23 e) 0

3. Dada ecuación: 121  xxx ; Si ,0Re ; entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN
es:
a)1,0 b) 1,1 c) 1,0 d) 0 e)1

4. El valor de la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación: 3625  xxx , es:
a) 3
7 b)2 c)0 d)3
1
 e)2

Existen ciertos tipos de ecuaciones muy singulares.
Ejemplo 1
Sea el predicado 22xx:)x(p ; x
Al despejar x se obtiene: Verdadero
xx
xx
00
22
22



entonces ( ) ReAp x
Ejemplo 2
Sea el predicado 12xx:)x(p ; x
Al despejar x se obtiene: Falso
xx
xx
10
12
12



entonces ()Ap x

6.3.5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
La definición de valor absoluto para un número real, ya fue
proporcionada. Las ecuaciones con valor absoluto son aquellas que
tienen expresiones algebraicas afectadas por valor absoluto.

En casi todas las situaciones en este texto la expresión de la forma ax
es la que aparecerá en este tipo de ecuaciones. En otras situaciones
será de la forma amx .

142. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
139 
 

2
22 xx

Dediquémonos en primera instancia a la primera forma.
El objetivo estará en tener la expresión sin el valor absoluto. Se lo
podrá hacer de la siguiente manera:
La expresión 
cuando 0
cuando 0
x a x a
xa
x a x a
  

   
Lo cual es equivalente a:
cuando
cuando
x a x a
xa
a x x a



Recuerde que en la recta numérica, los ax son los que están a la
derecha de a y los ax son los que están a la izquierda de a .
Entonces, se determina primero dónde se hace cero ax , esto será en ax
; al cual llamaremos punto crítico. A partir de allí, cuando se
reemplaza a la x por un número que esté a la derecha de a , el valor
numérico de la expresión ax será positivo y al reemplazar a la x por
un número a la izquierda de a ahora el valor numérico de la expresión ax
será negativo.
Esquemáticamente, tendríamos:






Para el caso de amx , lo anterior se cumple para m
a
x .

Veamos situaciones específicas:


Ejemplo 1
Si quisiéramos expresar 2x sin valor absoluto, entonces:




Por lo tanto,
2 ; 2
2
2 ; 2
xx
x
xx





 


a
axax
)()(
00
ax
ax

143. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
140
Ejemplo 2
Si quisiéramos expresar 2x sin valor absoluto, entonces:




Por lo tanto,
2 ; 2
2
2 ; 2
xx
x
xx
  

   

Ejemplo 3
Si quisiéramos expresar 12x sin valor absoluto, entonces:





Por lo tanto,
1
2
1
2
2 1 ;
21
1 2 ;
xx
x
xx




En todos los ejercicios consideraremos Re , salvo que se diga lo
contrario.

Ejercicio Resuelto 1
Sea 2:)( xxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la ecuación son 2 y 2 .
Entonces 2,2)( xAp .

Ejercicio Resuelto 2
Sea 21:)( xxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Por simple inspección determinamos que los valores de x que satisfacen la ecuación son 3 y 1 .
Entonces 1,3)( xAp .

Ejercicio Resuelto 3
Sea 321:)(  xxxp . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Ahora en cambio, sí necesitamos expresar la ecuación sin el valor absoluto (¿POR QUÉ?) y lo vamos a hacer empleando el
método anterior. Para lo cual en una recta numérica, tenemos:




 


2
22 xx

 

2
1
2
1
2
1
xx

144. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
141








Observe que 4x no es mayor que 1 , por tanto no es solución, en cambio 3
2
x sí es menor que 1 , por
tanto sí es solución. Entonces 






3
2
)(xAp .

Ejercicio Resuelto 4
Sea 21:)( xxxp . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Expresamos la ecuación sin el valor absoluto de la misma forma anterior.







Entonces 2)(xAp

Ejercicio Resuelto
Sea :)(xp 113 x Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Es obvio que su conjunto solución ()Ap x ¿POR QUÉ?


 321321  xxxx

Buscamos 1x que
satisfagan esta
ecuación
3
2
321


x
xx

Buscamos 1x que
satisfagan esta
ecuación
4
132


x
xx

1

-2/3 .  2121  xxxx
2
2
20
20
NO hay solución
real
xx
xx
   
  
12
0)1)(2(
02
2



xx
xx
xx

1
2 .

145. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
142
Ejercicios Propuestos 6.5
Sea Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1. 23x
2. xx 23
3. xxx 32
2
4. xx 31
5. 122  xx
6. 2312  xx
7. 031x
8. 014 x
9. 065
2
xx




6.3.6 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. SEGUNDA PARTE
En situaciones con más de un valor absoluto, se debe analizar
simultáneamente los valores absolutos.

Ejercicio Resuelto 1
Sea 3412:)(  xxxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Debemos analizar ambos valores absolutos simultáneamente. Observe que 12x arrojará valores positivos cuando
reemplazamos 2
1
x (a la derecha de 2
1 ) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos 2
1
x (a la izquierda de 2
1 ).
De manera análoga, observamos que 34x arrojará valores positivos cuando reemplazamos 4
3
x (a la derecha de 4
3

) y arrojará valores negativos cuando reemplazamos 4
3
x (a la izquierda de 4
3
 ). Combinando todo esto, tenemos:











Entonces 






3
1
,2)(xAp  



2
1
3
1
4
3
2
)()()(
34)12(34)12()34()12( xxxxxx




.  (2 1) 4 3
2 4 3 1
24
2SI
xx
xx
x
x
    
   


(2 1) 4 3
2 4 3 1
62
1
3
SI
xx
xx
x
x
   
   

 2 1 4 3
2 4 3 1
2NO
xx
xx
x
  
  



0 012 x
012x 034 x
034 x

146. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
143
Ejercicio Resuelto 2
Sea :)(xp 1
32
13



x
x Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Note que es semejante al anterior, una vez que se haga lo siguiente:
2
3
3213
1
32
13
1
32
13







xxx
x
x
x
x Por la propiedad b
a
b
a











Entonces  
2
( ) 4,
5
Ap x

Ejercicio Resuelto 3
Sea 1:)(
2
 xxxxxp Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Análogamente:







Entonces  ,10)(xAp

 



4
3
1
0
5
2
2
3
32)13(32)13()32()13( xxxxxx
  3 1 2 3
3 1 2 3
3 2 3 1
2
5
SI
xx
xx
xx
x
   
   
   

  3 1 2 3
3 1 2 3
3 2 3 1
4NO
xx
xx
xx
x
    
    
    

3 1 2 3
3 2 3 1
4SI
xx
xx
x
  
  



 

10
1))1(())1(()(
222
xxxxxxxxxxxx

. .  
0
02
)1(
)1()(
2
22
2
2





x
x
xxxx
xxxx
xxxx
 
10
0)1(2
022
)1(
)1(
2
22
2
2






xx
xx
xx
xxxx
xxxx
xxxx
22
00
1
Verdadero
Todo satisface
x x x x
x
  



147. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
144

Ejercicios Propuestos 6.6
Sea Re , encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
1. xx 31
2. 2231  xx
3. 312  xxx
4. 312  xxx
5. xxx  113
6. 16  xxxx
7. 52321  xxx
8. xxx 213
9. xxx  3321
10. 1223  xxx
11. 325 xx
12. 2222
44 aaaxxaxx 




6.3.6 PROBLEMAS D E PLANTEO DE ECUACIO NES
En el proceso de resolución de un problema, en el cual se requiere
plantear ecuaciones para llegar a su solución, usted puede seguir los
siguientes pasos:
PRIMERO: Lea todo el problema. Para familiarizarse con su contenido y
su posible vía de solución.
SEGUNDO: Defina la(s) incógnita(s). Esta puede ser una INCOGNITA
DIRECTA, que es la que solicita el problema; o INCOGNITAS INDIRECTA S,
que se determinan en primera instancia para luego determinar la
incógnita directa.
TERCERO: Interprete los datos. Todo problema tiene información que
son los datos que necesitan ser identificados.
CUARTO: Interprete la condición. Todo problema tiene condición o
condiciones que permiten plantear el problema. Aquí se plantea la
respectiva ecuación.
QUINTO: De acuerdo al planteamiento de la condición del problema, realice
el desarrollo, en busca de la(s) incógnita(s).
SEXTO: Proporcione la respuesta respectiva a lo solicitado en el
problema.

148. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
145
Problema Resuelto 1
Un hombre tiene siete años más que su esposa. Hace 10 años tenía el doble de la edad de
ella. ¿Cuántos años tiene ahora el hombre? ¿Cuántos años tiene ahora la esposa?
SOLUCIÓN: Siguiendo los pasos recomendados tenemos:

INCÓGNITA:



DATOS:





CONDICIÓN



DESARROLLO:






RESPUESTA: El hombre tiene 24 años. Entonces la esposa tiene: 7 24 7
17años
x  


Problema Resuelto 2
En ciertos días de la semana, una familia compuesta de padre, madre y niños menores de
edad, viajando en tren, pueden acogerse al beneficio de la familia numerosa. Este beneficio
consiste en que el padre pague el pasaje entero, y la mujer y los niños, medio pasaje cada
uno. Por otra parte, la familia puede viajar en colectivo, en cuyo caso, cada miembro de la
familia paga pasaje entero, pero, a su vez, cada pasaje cuesta las dos terceras partes del
pasaje del tren.
Entonces, el número de niños para que el total que se paga en el tren sea igual a lo que se
paga en colectivo es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SOLUCIÓN:
INCOGNITA:


DATOS:





CONDICIÓN:








x
Edad ACTUAL del hombre.
La edad ACTUAL de la esposa es 7x
HACE 10 AÑOS10
7 10
Edad hombre
Edad esposa
x
x



  
EDAD DEL HOMBRE HACE 10 AÑOS = 2 (EDAD DE LA MUJER HACE 10 AÑOS)  
24
24
10342
34210
17210





x
x
xx
xx
xx


DESARROLLO: 2 2 2
2 2 3 3 3
dividiendo para , tenemos :
1 2 2 2
1
2 2 3 3 3
2 1 2 2 2
23
3 4 2
23
3(3 ) 2(4 2 )
9 3 8 4
3 4 8 9
1
TREN COLECTIVO
niño
xx
x n x x n x
x
n
n
nn
nn
nn
nn
nn
n
   
    
   
   
    
   



  
  
  

:n
# niños
x Pasaje en tren x
3
2
pasaje en colectivo
PAGO FAMILIAR EN TREN = PAGO FAMILIAR EN COLECTIVO
RESPUESTA: Debe haber un niño para cumplir con la condición. Por lo tanto la opción “a” es correcta.

149. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
146
Problema Resuelto 3
Un grupo de 180 personas está dispuesto en filas. El número de personas de cada fila es 8
más que el número de filas. ¿Cuántas filas hay y cuántos personas en cada fila?
SOLUCIÓN:

INCOGNITA:


DATOS:


CONDICIÓN:


DESARROLLO:



RESPUESTA:



Problema Resuelto 4
La Sra. Mejía va invertir 70000$ . Ella quiere recibir una utilidad de 5000$ . Puede invertir sus
fondos en bonos del gobierno a un %6 , o con un riesgo mayor, al %5.8 de los bonos
hipotecarios. ¿Cómo deberá invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y
obtenga los 5000$ ?
SOLUCIÓN:






















Por tanto hay 10 filas y 8 10 8
18personas en cada fila
x  
 x
cantidad de filas
Total de personas = 180
Cantidad de personas por fila =8x

(CANT. FILAS).(CANT. DE PERSONAS POR FILA) = TOTAL DE PERSONAS 2
2
( 8) 180
8 180
8 180 0
( 18)( 10) 0
18 10NO SI
xx
xx
xx
xx
xx


  
  
  

INCOGNITA: x
cantidad invertida al %6
DATOS:
El resto x70000 es invertido al %5.8
Rentabilidad Total = 5000$
CONDICIÓN:
RENT. DE LA CANT. AL %6 + RENT. DE LA CANT. AL %5.8 = RENT. TOTAL
DESARROLLO:  
8.5%6%
6 8.5
70000 5000
100 100
6 8.5(70000 ) 500000
6 595000 8.5 500000
6 8.5 500000 595000
2.5 95000
$38000 6%
rent. alrent. al
rent. Total
al
xx
xx
xx
xx
x
x
  
  
  
  
  


RESPUESTA:
La señora Mejía debe invertir 38000$ al %6 y el resto 32000$ al %5.8

150. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
147
Problema Resuelto 5
Un comerciante de autos usados compra un auto Toyota y otro Skoda en 29000$ en total.
Vende el Toyota y obtiene una ganancia del %10 y en el otro pierde el %5 ; y aún así,
obtuvo una ganancia de 1850$ , por la transacción completa. Entonces el costo inicial del
Toyota y del Skoda es:
a) 20000$ y 9000$ b) 22000$ y 7000$ c) 18000$ y 11000$
d) 21500$ y 7500$ e) 22500$ y 6500$
SOLUCIÓN:

















Para otros tipos de problemas se emplean las siguientes definiciones:

INGRESOS POR VENTAS: I = (PRECIO VENTA).(CANTIDAD VENDIDA)
COSTOS FIJOS: CF (Alquiler, personal, luz, teléfono)
COSTOS VARIABLES :CV = (COSTO UNITARIO)(CANTIDAD PRODUCIDA )
COSTOS TOTALES = CVCF
UTILIDAD: U = INGRESOS – COSTOS

Problema Resuelto 6
José vende pilas de teléfonos celulares a 5$ cada una. Si los COSTOS FIJOS de producir
las baterías es de 300$ y los COSTOS VARIABLES es de 1$ por unidad, entonces la
cantidad de pilas x que debería de producir y vender para obtener una UTILIDAD igual a 500$
es:
a) 500 b) 400 c) 600 d) 300 e) 200

SOLUCIÓN:




DATOS:
Precio de compra del Skoda =x29000
Ganancia total = 1850$

INCOGNITA: x
Precio de compra del Toyota
CONDICIÓN:
GANANCIA EN EL TOYOTA – PÉRDIDA EN EL SKODA = GANANCIA TOTAL
DESARROLLO:  
.
10 5
29000 1850
100 100
10 145000 5 185000
10 5 185000 145000
15 330000
$22000
Pérd. SkodaGan. Toy
Gan. Total
el Toyota
xx
xx
xx
x
x
  
  
  



RESPUESTA:
El precio de compra del Toyota fue de 22000$ y el del Skoda 7000$ . Por tanto la opción “b” es correcta

151. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
148





















Problema Resuelto 7
Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El puede
alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de 180$ al mes, al subir el alquiler algunas
de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de 5$ , una
habitación quedará vacía, sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que
debería cobrar Esteban, con el fin de obtener un ingreso total de 11475$ .
SOLUCIÓN:






















INCOGNITA x
cantidad de pilas
DATOS:
Precio venta 5$p CF 300$
CV
/1$ unidad

CONDICIÓN:
OBTENER UNA UTILIDAD DE 500$
DESARROLLO:  
 500 5 300 1( )
500 5 300
800 4
200pilas
U I C
U px CF CV
xx
xx
x
x

  
  
  



RESPUESTA:
José debe vender 200 pilas para obtener las utilidades deseadas. Por tanto la opción “e” es correcta.
RESPUESTA:
Esteban debe hacer 15 ó 9 incrementos de 5$ en el precio de alquiler de las habitaciones para así obtener los 11475$
de ingreso. Es decir que el PRECIO DE ALQUILER de cada habitación podrá ser: 





225$)9(5180
255$)15(5180
5180
p
p
xp


INCOGNITA: x
Números de incrementos de 5$ en el precio de alq.
DATOS:
Total de habitaciones = 60
Precio para alquilar todas las habitaciones = 180$
CONDICIÓN:
OBTENER INGRESOS DE 11475$
Donde INGRESO por alquiler = (PRECIO alquiler)(CANT. de habit. alquil
DESARROLLO:    
  
 
2
2
2
2
2
180 5 60 1
11475 180 5 60
11475 10800 180 300 5
11475 10800 120 5
5 120 11475 10800 0
5 120 675 0
24 135 0
15 9 0
15 9
cant. habprecio
I x x
xx
x x x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
  
  
   
  
   
  
  
  
  

152. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
149
Problema Resuelto 8
Una empresa propietaria de un complejo de oficinas cuenta con 50 suites. Se puede rentar
cada una de ellas en 400$ mensuales. Sin embargo se conoce que por cada 20$ de
aumento por mes, dos suites quedarán desocupadas sin posibilidad de rentarlas. Entonces
el precio por cada suite, obteniendo los mismos ingresos pero quedando algunas suites sin
alquilar, es:
a) 400$ b) 480$ c) 520$ d) 460$ e) 500$
SOLUCIÓN:











Problema Resuelto 9
El costo de producir cada ejemplar de una revista semanal es de 28 centavos. El ingreso
del distribuidor es de 24 centavos por copia y por lo que respecta a la publicidad es del %20
de los ingresos que sobrepasan las 3000 copias. ¿Cuántas copias deben publicarse y
venderse cada semana a fin de recoger utilidades semanales por 1000$ ?

SOLUCIÓN:











INCOGNITA: x
Números de incrementos de 20$ en el precio de alq.
DATOS:
Total de oficinas = 60
Precio para alquilar todas las oficinas = 400$
CONDICIÓN:
Que los ingresos se mantengan aunque se incremente el precio de
renta de las oficinas, es decir:
(50 .) ($400 ) $20000Ingresos of c/u
DESARROLLO: 
2
2
( )( .)
20000 (400 20 )(50 2 )
20000 20000 800 1000 40
40 200 0
4 5 0
05
prec. CantI
xx
x x x
xx
xx
xx

  
   


  

RESPUESTA:
La empresa debe hacer 5 incrementos de 20$ en el precio de la renta, es decir aumentar en 100$ , lo que significa que el
nuevo precio, para cumplir con la condición debe ser: 400 20(5) $500Precio   .
Por tanto la opción “e” es correcta.
INCOGNITA: x
Cantidad de ejemplares producidos y vendidos
DATOS:
COSTO UNIT. DE LOS EJEMPLARES = 28.0$
PRECIO VENTA DE CADA EJEMPLAR = 24.0$
INGRESOS = INGRESOS VENTAS + INGRESOS PUBLICIDAD
ING. PUBL. = %20 (Ingresos sobre la venta de 3000 )
DESARROLLO:  
 
20
100
1000 0.24 0.24 3000 0.28
20
1000 0.24 0.24 720 0.28
100
1000 0.24 0.048 144 0.28
1144 0.008
1144
143000
0.008
Utilidad Ingresos Costos
ejemplares
x x x
x x x
x x x
x
x

 
    


   
   



RESPUESTA:
El distribuidor debe vender 143000 ejemplares.
CONDICIÓN:
OBTENER UTILIDADES DE 1000$

153. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
150
Problema Resuelto 10
Un comerciante vende un par de zapatos en 75$ . Si su utilidad porcentual fue igual al
precio de costo en dólares, entonces el PRECIO DE COSTO del par de zapatos es:
a) 75$ b) 60$ c) 55$ d) 50$ e) 65$
SOLUCIÓN:

















Ejercicios Propuestos 6.7
1. Si hace 18 años Pedro era exactamente tres veces más viejo que su hijo y hoy día, él es sólo dos veces más
viejo que su hijo. Entonces la suma de los años que ahora tienen Pedro y su hijo juntos es:
a) mayor que 120 años c) igual a 102 años
b) igual a 108 años d) menor que 100 años e) igual a 114 años

2. En cierta ocasión, Eduardo consiguió un trabajo por 3 días, ganando en total 700$ . Si el segundo día ganó la
mitad de lo que ganó el primer día, y el tercer día ganó la mitad de lo que ganó el día anterior, entonces el
primer día ganó:
a) 100$ b) 200$ c) 300$ d) 400$ e) 500$

3. El reloj del Congreso da las horas exactas con campanadas y cada media hora da una campanada. Por ejemplo:
a las 8 da 8 campanadas; y a las 30:8 da una campanada. Si a las nueve de la noche terminó una de las
sesiones del congreso, y en el tiempo que duró la sesión el reloj dió 48 campanadas, entonces la sesión
empezó a las :
a) 9 a.m. b) 6 p.m. c) 3 p.m. d) 5 p.m. e) 30:3 p.m.

4. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de 300 dólares en partes iguales. Si hubiera habido 10
miembros más, el costo por cada miembro hubiera sido 1 dólar menos. Determine el número de miembros.


5. Tres (3 ) hermanos participaron en un sorteo, en el cual resultaron ganadores De acuerdo a la cooperación en la
compra del boleto, el premio se repartió de la siguiente manera. El mayor recibió 45000$ ; el menor las tres
séptimas partes del premio y el otro recibe una cuarta parte del premio. Entonces el premio consistió en:
a) 140000$ b) 110000$ c) 150000$ d) 100000$ e) $160.000
6. Susana tiene tres (3) monedas más de cinco centavos (x) que de diez (10) centavos (y) y cinco (5) monedas
más de diez (10) centavos que monedas de veinticinco (25) centavos (z). En total tiene $2,10. ¿Cuantas
monedas de cada una tiene?
a) x=2; y=5; z=6 c) x=4; y=9; z=10
b) x=11; y=8; z=3 d) x=5; y=10; z=12 e) x=6; y=6; z=8

INCOGNITA: x
Precio de costo de los zapatos
DATOS:
Precio venta = 75$
Utilidad Porcentual: % 100
.
75
% 100
Utilidad
prec. cost
U
x
U
x



CONDICIÓN:
UTILIDAD PORCENTUAL = PRECIO DE COSTO
DESARROLLO:   
2
2
%
75
100
7500 100
100 7500 0
150 50 0
150 50
precio costoU
x
x
x
xx
xx
xx
xx




  
  
   

RESPUESTA:
EL precio de costo de los zapatos es de 50$

154. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
151
7. Un padre le presta a su hijo $350. Al cabo de una semana el padre le pregunta a su hijo: ¿cuánto gastaste?, a lo
que el hijo le contesta: "las ¾ partes de lo que no gasté". Entonces el hijo GASTÓ:
a) $250 b) $350 c) $262.5 d) $300 e)$150

8. Un colegio dispone de $60.000, y los invertirá a fin de obtener ingresos anuales de $5.000 para becas. Parte de
estos $60.000 se invertirán en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos a largo plazo a un 10,5%.
¿Cuánto deberá invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido?

9. Si los miembros de una fundación desean invertir $ 18.000 en dos tipos de seguros A y B que pagan
dividendos anuales del 9% y 6% respectivamente, entonces para que el ingreso sea equivalente al que
produciría la inversión total al 8%, la inversión en A y en B es respectivamente.
a) $12.000; $6.000 c) $8.000; $10.000
b) $ 6.000; $12.000 d) $10.000; $8.000 e) $11.000; $7.000

10. La cuarta parte de una cierta cantidad de dinero es invertida en el Banco A y la restante en el Banco B. Si el
Banco A paga una tasa de interés anual equivalente a un tercio de la que paga anualmente el Banco B. Si el
rédito total, de las dos inversiones es equivalente a la que generaría el depositar la cantidad completa de dinero a
una tasa del 20% anual, entonces la TASA DE INTERÉS ANUAL QUE PAGA EL BANCO A y la que PAGA EL
BANCO B son, respectivamente:
a) 3% y 8% b) 12% y 36% c) 8% y 24% d) 7% y 21% e) 6% y 18%

11. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $30 cada una. Tiene costos fijos de
$12.000 al mes; y además, le cuesta $22 producir cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al
mes la compañía para mantener el equilibrio?

12. La compañía Sandalias Cómodas fabrica sandalias, para las cuales el costo del material es de $0.80 por par y el
costo de mano de obra es de $0.90 por par. Hay costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de
$70000. Si cada par se vende a $2.50, entonces el NÚMERO DE PARES QUE DEBE VENDERSE para que la
compañía llegue al EQUILIBRIO es:
a) 140000 b) 35000 c) 70000 d) 90000 e) 80000

13. El administrador de cierta empresa tiene como política, no invertir dinero en fabricar un nuevo producto a menos
que esté seguro en recibir un 15% de ganancia calculada sobre los costos fijos. La Empresa puede vender todo lo
que produce a un precio de $10 por unidad. El costo de fabricación de cada unidad es de $6 y los costos fijos son
de $40000. Entonces el número de unidades que deberá producir y vender de modo que obtenga la ganancia
requerida, es:
a) 6000 b) 7500 c)8500 d)11500 e)12500

14. Un granjero compra 10 vacas pagando en total $ 150.000 y vende las primeras 4 teniendo ganancia del 20% de lo
que le costó cada una. Si la utilidad por el lote completo que desea ganar el granjero es de $ 75.000, entonces el
PRECIO, en dólares, al que debe vender cada una de las 6 vacas restantes es:
a) 3.000 b) 18.000 c) 25.500 d) 63.000 e) 72.000

15. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir cada unidad de A es $2 más que el de B. Los
costos de producción de A y B son $1500 y $1000, respectivamente, y se hacen 25 unidades más de A que de B.
Entonces el número de unidades del producto A que se pueden fabricar , es:
a) 75  100 b) 100  125 c) 125  150 d) 150  175 e)175  200

16. Una cantidad de dinero invertida al 15% produce $14,4 más que invertida al 12% . Entonces dicha CANTIDAD es:
a) $ 480 b) $ 500 c) $ 20 d)$ 75 e)$ 100

17. Una fábrica produce ropa para damas y está planeando vender su nueva línea de conjuntos deportivos con un
costo para el distribuidor de $ 80 por conjunto. Por conveniencia del distribuidor la fábrica colocará la etiqueta con
el precio a cada conjunto. ¿QUÉ CANTIDAD DEBE SER MARCADA EN LAS ETIQUETAS de modo que el
distribuidor pueda reducir este precio en un 20% durante una liquidación y aún así obtener una ganancia del 15%
sobre el precio de costo? a) $ 115 b)$ 100 c) $ 105 d) $ 110 e) $ 95

18. Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros $100.000 en ventas, más
otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100.000. Si un agente recibió $8.500 por ventas de
$175.000 y otro recibió $14.800 por ventas de $280.000, entonces los dos porcentajes son:
a) 6% en los primeros $100.000, 4% en el resto.
b) 8% en los primeros $100.000, 6% en el resto.
c) 4% en los primeros $100.000, 6% en el resto.
d) 4% en los primeros $100.000, 8% en el resto.
e) 8% en los primeros $100.000, 4% en el resto.

155. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
152
Misceláneos.
1. Un valor de “k ” para que la SUMA DE LAS RAÍCES de la ecuación 22
42 xkxkx  sea 4 , es:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

2. La SUMA de tres números consecutivos enteros y positivos, cuyo producto es igual a 15 veces el segundo número,
es igual a:
a) 9 b)10 c)11 d)12 e)13
3. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 7
12

x
x , es:
a) 7 b)25 c)16 d)9 e)4

4. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 32xx , es:
a) 49 b)36 c) 36,49 d)
49
36 e)
36
49

5. Un VALOR de “k” para que la suma de las raíces de la ecuación 22
34 xkxkx  sea 10, es:
a) 3
8 b) 5
7 c)7
5 d)3
1 e)8
3

6. Suponga que en una granja se tienen vacas y gallinas solamente. Si en total hay 80 cabezas y 240 patas entonces
la cantidad de VACAS que hay en la granja es:
a) 40 b)60 c)70 d)80 e)90

7. Considerando RRe , entonces el conjunto solución del predicado 53:)( xxxp está en el intervalo:
a) 0,5 b)8,5 c)5,1 d),8 e)4,

8. Un valor de "k" para que la ecuación 0
2
kxkx tenga SOLUCIÓN REAL REPETIDA, es:
a) 0 b)2
1
 c)1 d)1 e)-2

9. Un trabajador tiene una tarifa por cada hora regular de trabajo y tarifa y media por cada hora extra que trabaja
después de las 40 horas. Si tuvo un salario total semanal de $442 por 48 horas de trabajo. Entonces el SALARIO
REGULAR POR HORA es:
a) $ 8.50 b)$ 8.00 c)$ 5.00 d)$ 4.50 e)$ 2.50
10. Para que la SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 1
23

k
x
x
k sea igual a -1, entonces el VALOR de
"k " es:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

11. Un trabajador recibió $435 como pago por el trabajo de una semana, laborando en total 52 horas, de las cuales
40 horas fueron normales y el resto horas extras. El valor de cada hora extra es 2
3 veces el valor de la hora
normal. Entonces el VALOR DE LA HORA NORMAL, es:
a) $2 b)$7.50 c)$4 d)$1 e)$6
12. En la ecuación 012)112(2
2
 xkkx , para que la SUMA de sus raíces sea 7, el valor de k es:
a) 2 b)7 c)8
1 d)12
1 e)2
1

13. Un joven universitario cuenta con cierta cantidad de dinero. Si se comprara 10 lápices le quedará $10, si se
comprara 4 cuadernos le quedará $20; y, si comprara 4 lápices y 3 cuadernos le quedará $10. Entonces, la
CANTIDAD DE DINERO con que cuenta es:
a) 20$ b)40$ c)60$ d)80$ e)100$

14. Sea IRRe y 221:)(  xxp , entonces su conjunto solución )(xAp es:
a) 25 b)9 c)36 d)64 e)49

15. Sea Re y los predicados 023:)( xxp y 032:)(
2
 xxxxq . Entonces el CONJUNTO
SOLUCIÓN del predicado )()( xqxAp , es:
a) 1 b)0,1 c)0,2 d)1,2 e)2

16. Se han comprado dos tipos de autos: un KIA y un TOYOTA. El KIA cuesta $20000 menos que el doble de lo que
cuesta el TOYOTA. Y el TOYOTA le costó $1000 más de lo que cuesta el KIA. Entonces el VALOR del auto KIA y
el valor del TOYOTA, son respectivamente:

156. Moisés Villena Muñoz Cap. 6 Ecuaciones
153
a) $17000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA. d) $18000 el auto KIA y $19000 el TOYOTA
b) $19000 el auto KIA y $18000 el TOYOTA. e) $16000 el auto KIA y $17000 el TOYOTA
c) $19000 el auto KIA y $20000 el TOYOTA.

17. Dos NÚMEROS POSITIVOS suman 30 y además su diferencia de cuadrados es igual a 120, entonces estos
números son:
a) 17 y 13 b)15 y 15 c)14 y 16 d)18 y 12 e)19 y 11

18. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación 09374
24
xx es:
a) 9,
4
1 b)
2
1
 c)
2
1
,3 d) 
2
1
2
1
,,3,3 e)3,
2
1

19. Dos números están en relación de 3 a 4. Si el menor se aumenta en 2 y el mayor se disminuye en 9 la relación es
de 4 a 3. Entonces los NÚMEROS son:
a) 3 y 4 b)24 y 18 c)9 y 18 d)3 y 24 e)8 y 4

20. Un reloj da un número de campanadas igual a las horas que marca. Entonces en 24 horas habrá dado un TOTAL
de:
a) 150 campanadas d) 24 campanadas
b) 78 campanadas e) 48 campanadas
c) 156 campanadas

21. Sea la ecuación 0
2
 xx , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN es:
a) 0 b) c)1,0 d) 1,1,0 e)1,0

22. Hace 18 años Roberto era exactamente tres veces más viejo que su hijo. Si en la actualidad Roberto es dos veces
más viejo que su hijo, entonces Roberto y su hijo tienen:
a) Hijo 30 años, Roberto 60 años. d) Hijo 36 años, Roberto 72 años
b) Hijo 20 años, Roberto 40 años. e) Hijo 18 años, Roberto 36 años
c) Hijo 15 años, Roberto 30 años.

23. El número de soluciones reales de la ecuación: x
xxxx




22
2
2
2
2 , es:
a) 1 b)2 c)3 d)4 e)5

24. Sea Re y el predicado 13262:)(  xxxp . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp
es: a)  b)1 c)
5
1 d)
2
3 e) 
2
1,
5
29

25. Los miembros de un club van a pagar una cuenta de $600 en partes iguales. Si hubiera habido 20 miembros más
el costo para cada miembro hubiera sido $1 menos. Entonces el NÚMERO DE MIEMBROS del club, es: a) 100
b)20 c)30 d)40 e)50

26. A un profesor de la Universidad se le preguntó sobre la edad que tiene, y éste respondió diciendo: "Consideren
tres veces los años que tendré dentro de 3 años, réstenle tres veces los años que tenía hace 3 años y
resultará los años que tengo ahora". Entonces la EDAD ACTUAL del profesor es:
a) 17 años b)19 años c)18 años d) 21 años
e) Elija esta opción si no se puede determinar la edad del profesor.

27. La SUMA de los valores de "x" que satisfacen la ecuación: x
x
x
x
x
x







3
1
1
93
2
2
2 es:
a)2
3
 b)3 c)2
3 d)2 e)-6

28. Ignacio compró un juguete. Luego lo vendió en $126. Obteniendo una ganancia igual al 14% del precio de compra
más el 5% del precio de venta. Entonces el PRECIO DE COMPRA del juguete fue de:
a) $105 b)$126 c)$135 d)$145 e)$108

29. Un valor de “x ” que satisface la ecuación: 211111542
222
 xxxxxxx
es: a) 2 b)5 c)25 d)0 e)15

30. Un vendedor de naranjas en una primera instancia vende la mitad del total de naranjas que tiene más la mitad de
una naranja. Luego vende la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja. Finalmente vende la mitad
de las naranjas que le quedan más media naranja y se da cuenta que ya no le queda ninguna naranja. Entonces
el número de naranjas que TENÍA INICIALMENTE es:
a) 7 b)21 c)31 d)41 e)100

157. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
155

7
7.1 LEYES
7.2 INECUACIONES LINEALES
7.3 INECUACIONES CUADRÁTICAS
7.4 INECUACIONES RACIONALES
7.5 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
7.6 PROBLEMAS DE PLANTEO DE INECUACIONES



Los términos "a lo mucho" y "por lo menos" ya nos daban una idea de las
inecuaciones, la relación de orden de los números, también.
.

158. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
156

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Resuelva Inecuaciones lineales, cuadráticas, con fracciones, con valor absoluto.
 Use esquemas críticos para resolver problemas que requieren plantear Inecuaciones.

Las Inecuaciones también como las ec uaciones constan de dos
miembros, pero, dichos miembros están separados por los símbolos de
MAYOR QUÉ , MENOR QUÉ , MAYOR O IGUAL QUÉ , MENOR O IGUAL QUÉ .
Esquemáticamente sería:






A los términos de MAYOR QUÉ y MENOR QUÉ, se los puede mencionar en
sentido relativo, es decir se puede decir que cinco es MAYOR QUE dos (25 )
o dos MENOR QUE cinco (52 )

7.1 LEYES
1. Si se suma (resta) una misma cantidad a
ambos miembros de una desigualdad, ésta no
se altera. Es decir:
Si ba entonces cbca  para c
Ejemplo
Si 25 entonces 3235  y también 3235 

2. Si se multiplica (divide) una misma cantidad
positiva a ambos miembros de una desigualdad,
ésta no se altera. Es decir:
Si ba entonces cbca  para c


Ejemplo
Si 25 entonces )3(2)3(5

3. En cambio, si se multiplica (divide) a ambos
miembros una misma cantidad negativa, la
desigualdad se invierte (cambia de sentido).
Es decir:
Si ba entonces cbca  para c


EXPRESION
ALGEBRAICA 




EXPRESION
ALGEBRAICA

159. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
157
Ejemplo
Si 25 , entonces 615)3(2)3(5 

Por lo tanto, cuando se cambia de signo a ambos miembros de una
desigualdad se debe cambiar el sentido de la desigualdad porque lo que
se ha hecho es multiplicar por 1 a ambos miembros.
Ejemplo
Si 25 , entonces  252)1(5)1( 

Bien, ahora analicemos el desarrollo de la solución de diferentes tipos
de Inecuaciones.
El conjunto solución de una Inecuación casi siempre es un intervalo.
Pero pueden ocurrir otros casos.

7.2 INECUACIONES LINEALES
Una vez simplificadas las expresiones algebraicas que definen a la
inecuación, ésta presenta una las siguientes formas: 0bax
0bax
0bax
0bax


Y luego será cuestión de despejar "x ".


Ejemplo
Dada la Inecuación:  
3
1
6
12
2
1

x
xx donde x entonces el INTERVALO
SOLUCIÓN es:
a) 
C
0,1 b) )1,( c)) )0,1( d) ),1( e) }4{IR

SOLUCIÓN: Un método sería, primero multiplicar cada término de ambos miembros por su . . . 6m c m para eliminar
todos los denominadores y luego despejamos “x ”.

 
1
23
2636
26)12(3
3
1
6
12
2
1
6











x
x
xxx
xxx
x
xx
Lo cual quiere decir que los números mayores que 1 satisfacen la Inecuación dada. ENTONCES la opción “d” es la
correcta





 ///////////////////

-1

160. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
158
Ejercicio propuesto 7.1
Si x . Encuentre el conjunto solución para:
1. 3
1
2
34
4
1
3
12
3
5





 x
x
x
2.  
2
1
3
2
13
4
1
1
2
1







 xx
3. 
3
2
3
1
3
1 xxx 


7.3 INECUACIONES CUADRÁTICAS
Las Inecuaciones cuadráticas, una vez simplificadas, tienen una
expresión de la forma:






Lo cual nos hace pensar que, de ser posible, una vez expresado el
trinomio en sus factores, tendríamos:





Suponga que 1x y 2x son diferentes. Con la ley de los signos,
concluiríamos en la solución. Sería cuestión de seleccionar el intervalo
donde el producto sea mayor que cero (positivo), menor que cero
(negativo), mayor o igual que cero, menor o igual que cero. Observe que:







En la recta numérica podemos representar el signo resultante del
producto. Primero ubicamos los valores críticos de x , valores para los
cuales cada factor se hace cero. Estos puntos sirven de referencia para
definir los intervalos a considerar. Es decir:





0
2




 cbxax

  
  






0
0
21
21
xxxx
xxxx
   0
21




 xxxx


Un producto de dos términos es positivo, cuando
los factores tienen el mismo signo.
Un producto de dos términos es negativo cuando
los factores tienen signos diferentes. 21
xx

  
21 xxxx 
  
21 xxxx    
21 xxxx  2xx
21
xxx  1
xx

161. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
159





Ejemplo 1
Para la Inecuación 06:)(
2
xxxp
Factorizando tenemos: 0)2)(3( xx .
Queremos saber ¿para qué valores de “x ” el producto )2)(3( xx es positivo?


















Ejemplo 2
Si tuviésemos la Inecuación en forma estricta, es decir:
0)2)(3(:)( xxxp
Lo mismo que lo anterior, pero en el conjunto solución habrá que incluir a 2 y a 3 porque se quiere también
que la expresión sea cero; entonces:

C
xAp 3,2),3[]2,()( 



Ejemplo 3
En cambio, si tuviésemos la Inecuación en sentido negativo
0)2)(3(:)( xxxp
Ahora escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( xx es negativo.









Entonces su conjunto solución sería: )3,2()( xAp








 
/////////////////////


-2 3
Para  
2xxx (a la derecha de 2
x ) tenemos que    00
21
 xxxx ; por tanto   0
21
 xxxx
Para  
21 xxxx  (entre 1
x y2
x ) tenemos que    00
21
 xxxx ; por tanto   0
21
 xxxx
Para  
1
xxx (a la izquierda de 1
x ) tenemos que    00
21
 xxxx ; por tanto   0
21
 xxxx
PASOS:
1. Ubique los puntos críticos 2 y 3 en
la recta numérica. Los cuales definen
los intervalos generados.
2. Analice el signo del valor numérico del
resultado del producto en los
respectivos intervalos. (Reemplace a
“x ” en la expresión )2)(3( xx por
un número cualquiera mayor a 3 , por un
número cualquiera entre 2 y 3 ; y por
un número cualquiera menor a 2 ,
para determinar el signo resultante en
todos los intervalos).
3. Escoja los intervalos donde el
producto es positivo.
Por tanto: 
C
xAp 3,2),3()2,()( 



 





 




//////////////////////////////////
)2)(3( xx


-2 3 )2)(3( xx
)2)(3( xx 3x
x>3 32x
2x

162. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
160
Ejemplo 4
Veamos ahora, qué pasa si tuviésemos la Inecuación en esta forma:
0)2)(3(:)( xxxp
Para encontrar el conjunto solución disponemos de los siguientes dos métodos:
PRIMER MÉTODO
Directamente, dándole valores a “x ”, números en los respectivos intervalos, tenemos que el signo del producto )2)(3( xx
es:








SEGUNDO MÉTODO
Cambiando de signo a la Inecuación 0)2)(3(0)2)(3(  xxxx Buscamos, ahora el
intervalo donde este producto sea negativo









Ejemplo 5
Sea la Inecuación: 032162
2
xx
Dividiendo para 2 y factorizando tenemos:0)4)(4(
0)4(
0168
032162
2
2
2




xx
x
xx
xx


Observe que:





Ejercicios Propuestos 7.2
Si Re . Encuentre el conjunto solución de las siguientes Inecuaciones:
1. 065
2
xx
2. xx 56
2

3. 09
2
x
4. 01
2
xx
5. 2
2
xx


PREGUNTA: ¿Cómo se obtendrían los conjuntos solución de las Inecuaciones: 0532  xxx
y 0532
2
 xxx ? ¿Qué analogía hay
con lo explicado anteriormente?
4
/////////////////////////////









Por tanto su conjunto solución es:  ,44,4)(IRxAp








 
/////////////////////


-2 3
Escogemos el intervalo donde el producto )2)(3( xx
sea positivo. Entonces el
conjunto solución sería: )3,2()( xAp )2)(3( xx
)2)(3( xx )2)(3( xx 







 
/////////////////////


-2 3
Entonces su conjunto solución sería: )3,2()( xAp
)2)(3( xx )2)(3( xx
)2)(3( xx

163. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
161
7.4 INECUACIONES RA CIONALES

Cuando tenemos Inecuaciones con fracciones, procedemos de igual
manera que para el producto, ya que la ley de los signos también es
válida para la división. Sólo debemos tener en cuenta que la división
entre cero no se define.

Ejemplo 1
Consideremos la Inecuación 0
2
3
:)( 


x
x
xp
Queremos saber para que valores de “x ”, el cociente de 2
3


x
x es positivo o cero. Entonces sobre una recta numérica
representamos los puntos críticos 2 y 3 , y luego determinamos el signo del cociente dándole valores a “x ”, números
mayores a 3 , números entre 2 y 3 ; y finalmente, números menores a 2 .












PREGUNTA: ¿Cómo proceder con la Inecuación 1
2
3



x
x ?

Ejemplo 2
Finalmente consideremos la Inecuación 0
34
2
2
2



xx
xx
Factorizando numerador y denominador tenemos 0
)1)(3(
)1)(2(



xx
xx
Necesitamos determinar el intervalo en el cual tomar x , de tal forma que nos garantice que la expresión sea positiva o
cero. Para lo cual, en la recta numérica ubicamos los valores críticos. En los intervalos que se generan, evaluamos “x ”
para un número cualquiera, y determinamos el signo resultante de la expresión:







Se ha observado que:
Si los valores críticos son diferentes entonces
el signo resultante de la expresión será
alternado en los intervalos que se generen. 32
///////////////////////////////////////////////////////










 





Por tanto: 

C
xAp
xAp
3,2)(
,3)2,()(



NOTE QUE no escogemos a 2
porque se produciría división entre cero
para este valor de x .

2
3


x
x
2
3


x
x 2
3


x
x 3211
////////////////////////////////
















Por lo tanto:   ,32,11,)(xAp

164. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
162

Ejercicios Propuestos 7.3

1. El conjunto solución de la inecuación ,0
3
5
2



xx
x Re . Es el intervalo:
a) 503 ,,
b) ,,503
c) ,,503
d) ,,503
e) ,,503
2. Dada la inecuación 0
2
2
2
12



x
xx , donde 2x y x , entonces el CONJUNTO
SOLUCIÓN es el intervalo:
a) ,,40
b) ,,40
c) ,,420
d) 4220 ,,
e)200 ,,
3. El CONJUNTO SOLUCION de la inecuación 0
2
54
23



x
xxx es el intervalo:
a) 5,20,1
b)5,20,1
c) 5,20,1 
d)   ,52,01,
e) ,51,
4. Sea la inecuación 0
3
682
2



x
xx , considerando Re , entonces el conjunto solución es:
a) ,,31
b)1,
c),3
d),1
e),,331

5. El conjunto solución de la inecuación: 5
1
1115
2



x
xx , Re . Es:
a) (8, 2)  (1, +)
b) {x/(2<x<8)  (x >1)}
c) (-, 8)  (2, 1)
d) {x/(x < 1)  (2 <x <8)}
e) 

6. El INTERVALO SOLUCIÓN de la inecuación x
x
x
x 2
4
2


 , si Re , es:
a) (0,4)
b) (-4, 4)
c) [0, 4]
d) [-4, 4]
c

e) [0, 4]
c

165. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
163

7.4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Como lo que diferencia, en su estructura, a una ecuación con una
inecuación es el símbolo que separa a sus miembros, entonces para
encontrar el conjunto solución de una inecuación que contenga valor
absoluto procedemos de igual forma que para las ecuaciones con valor
absoluto.
Es decir, podemos expresar las inecuaciones sin los valores absolutos
considerando que en los valores críticos de las expresiones con valor
absoluto, a la izquierda es negativo y a la derecha es positivo.
En orden progresivo, veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1
Para la inecuación 2x por la definición de valor absoluto tenemos: 




0;2
0;2
xx
xx o lo que
es lo mismo 




0;2
0;2
xx
xx



OBSERVACIÓN: En este caso, de manera rápida se puede decir que: 22x


Ejemplo 2
Si tuviésemos a la inecuación en este otro sentido2x
Aquí en cambio se cumple que 




0;2
0;2
xx
xx o lo que es lo mismo 




0;2
0;2
xx
xx




OBSERVACIÓN: En este caso, de manera rápida se puede decir que: 22  xx


Ejemplo 3
Para esta inecuación 513 x de manera rápida tenemos:
2
3
4
3
6
3
3
3
4
634
1511315
5135





x
x
x
x
x


 
22
////////////

 
22
////////////////////////

 
2
3
4
//////////////


166. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
164


Ejemplo 4
Considere ahora la inecuación 21x
De manera rápida tenemos::
13
2121


xx
xx




Existen inecuaciones triviales como las siguientes:

Ejemplo 5
Para 013:)( xxp
Es obvio que su conjunto solución es ()Ap x ¿POR QUÉ?

Ejemplo 6
En cambio para 013:)( xxp
Su conjunto solución es 






3
1
)(xAp ¿POR QUÉ?

Ejemplo 7
Si la Inecuación es 013:)( xxp
Entonces su conjunto solución es ()Ap x ¿POR QUÉ?

PREGUNTA: ¿Cúal es el conjunto solución para la Inecuación 013 x ?

Ejemplo 8
La inecuación 513 x fue resuelta de una manera directa, pero podemos tratar el valor absoluto
igual como lo hacíamos para las ecuaciones











 
31
////////////////////

 
2
3
1
3
4
/////////////////////////////
5135)13(

 xx
2
63
513



x
x
x
3
4
34
513



x
x
x
3
1
x
3
1
x

167. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
165  321321  xxxx

1
En cambio existen inecuaciones con valor absoluto que ya no se
pueden resolverlas de manera directa, pero podemos emplear lo
explicado anteriormente.

Ejemplo
Sea 321:)(  xxxp . Determine su conjunto solución.
SOLUCIÓN: Ahora tratamos el valor absoluto empleando el método anterior.









Entonces: 





 ,
3
2
)(xAp



Ejercicios propuestos 7.4
1. Si Re . Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) 313 x b) 412 x c) 13 x
d) 023  xx e) 021  xx f) 864 xx
g) xx 53 h) xx42 i). xx341 

2. El conjunto solución de la siguiente inecuación: 723 x ,Re .
Es el intervalo:
a) (-, 2]  [5, +) b) (5, 5) c) (, 2)  (5, +)
d) [2, 5] e) [5, 2]

3. Sea Re y la inecuación 933 x , entonces su conjunto solución es:
a) (-, 2]  [4, +) b) ( 2, 4) c) (4, +)
d) (, 4)  (2, +) e) [2, 4]
c


4. Si el conjunto solución de la inecuación: 52 bx es el intervalo (1,4) entonces el valor de "b" es:
a) 3 b) 4 c) 1 d) 2 e) 5









4
132


x
xx

Buscamos 1x
Por tanto, en este
intervalo todos
satisfacen:

3
2
321


x
xx

Buscamos 1x , por
tanto:

168. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
166

7.4.1 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO. SEGUNDA PARTE

Para otros tipos de inecuaciones, proceda de manera análoga que en
las ecuaciones trabaje en intervalos sin los valores absolutos y resuelva
cada situación.

Ejercicio resuelto 1
Si Re , entonces el conjunto solución de 2
1
3



x
x es :
a)  b) (, 1)  (1,3) c) [3, +)
c

d) (, 1)  (1, 3) e) (1, 5/3]

SOLUCIÓN: Tratamos el valor absoluto sobre una recta numérica y resolvemos cada inecuación que se forma en los
respectivos intervalos que se generan:

















Entonces su conjunto solución sería 
3
5
,1)(xAp . Por tanto la opción “e” es la correcta


Ejercicio resuelto 2
El intervalo solución de 1
32
6



x
x Re , es:
a)   ,91, b)   ,91, c)   ,
2
3
1, d)   ,91, e)  ,9
2
3
,

SOLUCIÓN: Por la propiedad de valor absoluto, la inecuación dada es equivalente a:
2
3
;326
1
32
6




xxx
x
x ¿Por qué?
Entonces, procediendo de la manera ya explicada, tenemos:



3
3
5
1
/////////








11
//////////








 2
1
)3(



x
x
2
1
3



x
x
3 0
1
53
0
1
53
0
1
53
0
1
223
0
1
)1(2)3(
2
1
)3(



















x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
223
0
1
)1(23
2
1
3



















x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
3
SI son menores a 3 NO son mayores a 3

169. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
167













Entonces el conjunto solución es: opción “b”




Ejercicio resuelto 3
El conjunto solución de 0
1
2
2



x
x , Re es:
a)  b) R
+
c) R

d) (1, 1) e) R  {1}

SOLUCIÓN: Tratamos el valor absoluto sobre una recta numérica:












Entonces el conjunto solución es: Por tanto la opción “d” es la correcta.



Ejercicio resuelto 4
El CONJUNTO SOLUCIÓN de 0
1
12
2



x
x es el intervalo:
a) 1,1 b)  , c),2 d),0 e)2,1

SOLUCIÓN: Tratamos el valor absoluto sobre una recta numérica:






),9()1,()( xAp
)1,1()(xAp

112
/////////)(/////////
0
)1)(1(
2
0
)1)(1(
2







xx
x
xx
x


0
11
2



xx
x

La expresión nunca
es positiva para
este intervalo.
La expresión 
11
2


xx
x es
negativa para 11x ¿POR QUÉ? 2
3
x

9
2
3
16
////////////////(/////////)/////////////////////////////////////////////////////////
326)32(6)32()6(

 xxxxxx
1
33
632
326
)32(6





x
x
xx
xx
xx
9
632
326
)32()6(




x
xx
xx
xx
9
9
632
326




x
x
xx
xx

2
3
6x
6x

170. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
168


















Entonces su conjunto solución es: Por lo tanto la opción “b” es la correcta.


Ejercicios propuestos 7.5
1. Si Re . Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) 0
1
1
2



x
x b) 0
2
1



x
x c) 2
1
3



x
x
d) 1
3
12



x
x e) 2
2
13



x
x

2. El CONJUNTO SOLUCIÓN de 52  xx es el intervalo:
a) 






2
3
, b) 





,
2
3 c)C







2
3
,
d) 2, e) ,5
3. Si Re , entonces el conjunto solución de 2
1


x
x es :
a) {x/x>1  x< -1/2} c) {x/x>1  x<0} e) (-1/3, 1)
b) (, 0)  (1/2, 2) d) (, 0)  (1,2)

4. Dada la inecuación 1
3


x
x , donde x y 0x , entonces el CONJUNTO SOLUCIÓN
es el intervalo:
a) 





,
2
3 b) ,0 c)





 ,0
2
3
,
d) 






2
3
, e)0,2
2
3
,







5. Dada la inecuación 2
3
1



x
x , donde x y  3x , entonces el conjunto solución es el
intervalo:
a) 3,7 b) 
C
3
5
,7 c) 
3
5
,3 d) 
C
3
5
,3
e)3,3
C


( ) ( , )Ap x   
2
///////////////////////////////////////////////////////////////
0
1
12
0
1
1)2(
22






x
x
x
x
0
1
3
0
1
3
0
1
12
0
1
1)2(
2
2
2
2












x
x
x
x
x
x
x
x

Esta expresión
siempre es
negativa para
toda 2x 0
1
1
0
12
2
2






x
x
x
x

Esta expresión
es siempre
positiva o cero
para toda 2x

171. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
169

7.6 PROBLEMAS DE PLANTEOS DE INECUACIONES
Para interpretar problemas que involucran plantear inecuaciones,
debemos tener en cuenta las siguientes equivalencias:









Y el resto del planteamiento igual como el de las ecuaciones (¿CUÁL ES?
REVÍSELO).

Problema resuelto 1
Una persona quiere invertir $60.000. El puede escoger los bonos emitidos por el gobierno
que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 10% de
interés. ¿Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba
una GANANCIA anual de al menos $5.500?
SOLUCIÓN:






















 A lo menos
 Por lo menos
 Como mínimo 

Mayor o igual 

 A lo mucho
 Cuando mucho
 A lo máximo
Menor o igual 


CONDICIÓN :
GANANCIA 5500
DESARROLLO:  
35000$
700002
5500004800002
5500
100
848000010
5500
100
8480000
100
10
550060000
100
8
100
10
%8.Re%10.Re









x
x
x
xx
x
x
xx
alntalnt


INCOGNITA:
x = Cantidad de dinero invertida en Bonos Hipotecarios

DATOS:
60000-x =Cant. de dinero invertida en Bonos del gobierno. x60000
%8
BG
x
BH
%10
60000

RESPUESTA:
Se debe invertir al menos $35000 en Bonos Hipotecarios para recibir la ganancia
deseada.

172. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
170
Problema resuelto 2
Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una en donde p + 3x = 100 que tienen
un costo de (250 + 10x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben
producirse y venderse a fin de obtener una utilidad de al menos $350 es:
a) 10  x  20 b) x  20 c) 5  x  25 d) 15  x  25 e) x 36

SOLUCIÓN:




















Problema resuelto 3
Un peluquero atiende en promedio 120 clientes a la semana, cobrándoles $4 por corte. Por
cada incremento de 50 centavos en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. ¿Qué precio
máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $520?

SOLUCIÓN:





















RESPUESTA: Como se ha determinado que hay que realizar entre 2 y 5 incrementos de $0.5 (52x )
en el precio de corte. Escogemos 5x , el máximo incremento para obtener el precio máximo Por lo tanto:
PRECIO MÁXIMO =x5.04 =5.6$)5(5.04 
INCOGNITA: x
Núm. de incrementos de 50 centavos
DATOS:
Núm. Total clientes = 120
Precio. de corte para el Tot. de client. =$ 4
CONDICIÓN:
INGRESOS 520$I
DESARROLLO: 
 
0)2)(5(
0107
4040284
1040284
052046032480
52046032480
520)8120)(50.04(
)8120)(50.04(
clientes)(#corte) de (Precio Ingresos
2
2
2
2
2









xx
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xxI

52
////////////







RESPUESTA: Deben producirse y venderse entre 10 y 20 unidades, es decir 2010x .
Po tanto la opción “a” es correcta.
INCOGNITA. x
Cant. unidades producidas y rendidas
DATOS: p
precio unitario de venta 1003xp
entonces xp 3100
Costo: xC 10250
CONDICIÓN:
UTILIDAD350


DESARROLLO:  

2
2
2
2
2
350
.) 350
100 3 ( ) (250 10 ) 350
100 3 250 10 350
90 3 250 350 0
3 90 600 0 1
3 90 600 0 3
30 200 0
( 20)( 10) 0
Ingresos Costos
(precio Cant Costos
x x x
x x x
xx
xx
xx
xx
xx

  
   
   
   
    
   
  
   2010
///////////








173. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
171
Problema resuelto 4
La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25¢. El editor
recibe 20¢ por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad
equivalentes al 30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. ¿Cuántos
ejemplares deberá vender el editor si al menos no desea tener pérdidas?
a) Al menos 100.000 b) Al menos 120.000 c) Al menos 150.000 d) Al menos
300.000 e) Al menos 60.000

SOLUCIÓN:



















Problema resuelto 5
El Vicerrector de asuntos estudiantiles de la Universidad Beta, está planeando que un grupo
musical realice un concierto en el Campus Universitario. El pago del costo del concierto lo
puede realizar con un pago único de $2440 o un pago $1000 más el 40% de lo que se
obtenga por la venta de las entradas. El calcula que asistirán 800 estudiantes. ¿Cuánto
podría cobrar por boleto de modo que la segunda forma de pago no sea más elevada que el
pago único?.
a) A lo más $3 b) A lo más $3.5 c) A lo más $4 d) A lo más $4.5 e)A lo más $5
SOLUCIÓN:




















INCOGNITA x
Núm. ejemplares
DATOS:
COST. DE C/EJEMPLAR = 25 ¢ = $25.0
PREC. VENT. DE C/EJEMPLAR = 20¢= $20.0
CONDICIÓN:
UTILIDAD: 0U
DESARROLLO:
  
 
30
100
0
0.20 0.20 20000 0.25 100
20 6 20000 25
20 6 120000 25 0
120000
publicidad
ventas costos
IC
IC
x x x
x x x
x x x
x


    

  
   


RESPUESTA:
Por lo tanto el editor debe vender al menos 120000 ejemplares. Por tanto, la opción “b” es correcta.
INCOGNITA: p
= Precio de la entrada
DATOS:
PAGO ÚNICO =2440$
SEGUNDA FORMA PAGO =  p)800(
100
40
1000
CONDICIÓN:
SEGUNDA FORMA PAGO  PAGO ÚNICO
DESARROLLO:  
 
50.4$
14432
10024432
24432100
100024400032000100000
2440)800(
100
40
1000






p
p
p
p
p
p

RESPUESTA:
La entrada debe valer a lo mucho $4.50

174. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
172
Ejercicios Propuestos 7.6
1. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en
materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3.000 a la
semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades x que debería producir y vender para
obtener una utilidad de al menos $1.000 a la semana.

2. Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $15 por unidad. Los costos de materiales y
mano de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4.000 por semana. ¿Cuántas
unidades x deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $3.000?

3. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, donde p=60x, y tienen un costo de (260
+ 12x) dólares producir las x unidades. Las unidades x que deben producirse y venderse diariamente para
obtener una utilidad de al menos $300 es:
a) 20  x  28
b) 23  x  30
c) 25  x  35
d) 15  x  40
e) 22  x  34

4. Un artículo se vende a "x300 " dólares, donde "x" es el número de artículos producidos y vendidos en un
mes. Si su costo variable es $100 por unidad; y mensualmente por alquiler y otros servicios se deben pagar
$500, entonces el número de ARTÍCULOS "x" que deben producirse y venderse para generar una utilidad de
por lo menos $7000, es:
a) 50x
b)15050x
c)150x
d)150x
e)50x

5. Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y lo vende a p dólares por botella. El volumen de
ventas x (en cientos de miles de botellas a las semanas) está dado por x= 24  2p cuando el precio es p.
a) ¿Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? .
b) ¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana?

6. El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar todas las 50 habitaciones si el alquiler es de
$150 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento
quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. ¿Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un
ingreso mensual de al menos $8.000 ?

7. Bienes Raíces Reales construyó una nueva unidad habitacional con 50 departamentos. Se sabe por
experiencia que si fija un alquiler mensual de $120 por apartamento todos ellos serán ocupados pero por
cada $5 de incremento en el alquiler un apartamento quedará vacante. El valor máximo que deberá fijar por
apartamento con el objeto de que se obtengan ingresos mensuales por lo menos de $6.000, es:
a) $ 260 c) $ 180 e) $ 250
b) $ 265 d) $ 200

8. La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 25 centavos. El editor recibe 20
centavos por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al
30% de los ingresos sobre ventas más allá de las 20.000 copias. ¿Cuántos ejemplares deberá vender el
editor si desea por lo menos una ganancia de $1.000 por edición del periódico?

9. La producción de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 18¢. El editor recibe 15¢ por ejemplar por
concepto de ventas y, si además, ingresos por publicidad equivalente al 25% de los ingresos sobre ventas
más allá de las 1.000 copias. Entonces el NÚMERO DE EJEMPLARES (x) que deberá vender el editor si al
menos no desea tener pérdidas es:
a) 000.5x
b) 000.500x
c) 000.50x
d)000.375x
e)000.75x

10. Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre los costos de ser propietario y de rentar
un automóvil. Puede rentar un auto por $1620 anuales. Siendo el costo de combustibles por milla recorrida de
$0,05. Si se comprara el auto, el gasto fijo anual sería de $1.000 mientras que $0,10 sería el costo por milla
recorrida. Por lo tanto el número de millas que tendrá que recorrer el auto al año para justificar el rentar en
lugar de comprar será:
a) inferior a 17.300
b) superior a 17.300
c) superior a 12.400
d) inferior a 12.400
e) siempre será mejor comprar que rentar.

175. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
173
Misceláneos
1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de 1
13
2



x
x es el intervalo:
a)   ,,
2
3
3
1
b) ,
2
3
c)  
3
1
,
d) 
2
3
3
1
,
e) 
2
3
3
1
,

2. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias bandas para el ventilador, que ha
estado adquiriendo de proveedores externos a 50.2$ cada unidad. La fabricación de las bandas por la
empresa incrementará sus costos fijos en 1500$ al mes, pero, sólo le costará 70.1$ fabricar cada
banda. ¿CUÁNTAS BANDAS debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias
bandas?
a) Más de 1875 .
b) Más de 2315 .
c) Más de 1530 .
d) Más de 1231 .
e) Más de 1923 .

3. Sea Re y los predicados 62:)( nnp y  044:)(
2
nnnq
Entonces el CONJUNTO DE VERDAD del predicado )()( nqnp es:
a) )(nAp
b) )(nAq
c)  4,22,8
d) 4,4
e)  2,

4. Considerando Re , entonces el conjunto solución del predicado 0
1
1
:)(
2



x
x
xp es:
a) 0)(xAp
b) 0,)(xAp
c) )(xAp
d) ()Ap x
e),0)(xAp

5. El ingreso mensual obtenido por la venta de "x" relojes de pulsera será  xx 2.040 dólares. El costo al
mayoreo de cada reloj es de $28. Entonces el número "x" de relojes que deben venderse cada mes para
obtener una ganancia de al menos $100, es.
a) 5010x
b) 50x
c) 10x
d)50x
e)5010x

6. Sea el predicado: 1
2
2
3
23
1
:)(
2
2






xx
xx
xx
xp ; Re . Entonces su CONJUNTO
SOLUCIÓN )(xAp es el intervalo:
a) 2,10,2
b) 
C
0,2
c) ,21,0
d) 2,
e)   ,21,02,

176. Moisés Villena Muñoz Cap. 7 Inecuaciones
174
7. Sea el predicado: 1
1
:)( 

x
x
xp ; Re . Entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es el
intervalo:
a) 
C
2
1
,0 d) ,
2
1
b) 
2
1
,0 e) 
2
1
,0
c)  0,

8. Cecilia es propietaria de una tienda de alquiler de video. Ella puede alquilar 100 cassettes de video a la
semana cobrando $5 por cada video. Por cada incremento de $1 en el precio del alquiler, deja de alquilar 10
videos. Cecilia desea que sus ingresos semanales no sean menores de los ingresos que obtiene con la tarifa
de $5, entonces EL PRECIO MAXIMO DE ALQUILER QUE DEBERÁ FIJAR, es:
a) $5 d) $10
b) $7.50 e) $20
c) $15
9. El CONJUNTO SOLUCIÓN de 3
12
2



x
x es el intervalo:
a) 2,
2
1
 d)  
2
1
,1
b)   ,2,
2
1 e) 1,
2
1
c)    ,1,
2
1

10. Sean Re y los predicados: 43:)( xxp y 04:)(
2
xxxq
Entonces  )()( xqxpA
 es el intervalo:
a) 7,4 d)   ,74,
b) 7,1 e) 0,1
c) 0,1

11. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de
$2.50 y el de mano de obra $4. Los costos fijos son de $4500. Si el precio de venta del artículo será de $7.40,
entonces el NÚMERO MÍNIMO DE UNIDADES QUE DEBEN SER VENDIDAS PARA QUE LA COMPAÑÍA
NO TENGA PÉRDIDAS es:
a) 5000 d) 4500
b) 900 e)9000
c) 500


12. Sea Re y los predicados 03:)(
2
xxxp y xxxq 23:)(  entonces el CONJUNTO
DE VERDAD  )()( xqxp
A
 es el intervalo:
a)  ,30, d) 3,1
b) 3,1 e) ,1
c) 3,1
13. El CONJUNTO SOLUCIÓN de 0
1
2
2



x
xx es el intervalo:
a) ,21,0 d) ,21,0
b)  ,10,2 e)   ,10,
c) ,0
14. El CONJUNTO SOLUCIÓN de 
0
4
2
2



x
x es el intervalo:
a)4, d) ,4
b) 4,2  e),42
c)  ,42,

15. Una Empresa produce discos. Si la ecuación de sus costos en una semana es xC 5.1300 y su
ecuación de rendimiento o ingresos es xR2 , donde x es el número de discos vendidos en una
semana. Entonces el NÚMERO DE DISCOS que debe vender dicha empresa para OBTENER GANANCIAS, es:
a) Al menos 100 discos. d) Al menos 400 discos
b) Al menos 150 discos. e) Al menos 600 discos
c) Al menos 300 discos.

177. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
175

8
8.1 AXIOMAS DE PEANO
8.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
8.3 FACTORIAL
8.4 TEOREMA DEL BINOMIO
8.5 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y
GEOMÉTRICAS


Seguramente, los números naturales fueron los primeros en definirse,
debido a que desde un principio el hombre naturalmente habrá tenido la
necesidad de contar.

178. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
176

8.1 AXIOMAS DE PEANO
OBJETIVO:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Conozca propiedades de los Números Naturales.

Los números naturales se construyen a partir de los AXIOMAS DE PEANO,
estos son:
1. 1
2. ,
o
nn    tal que 1nn
o ; donde o
n es llamado
SUCESOR de n
3.  1
o
nn   
4. oo
n m n m n m      

5.  1
o
A A n A n A A      


Un buen ejercicio consistiría en interpretar estos axiomas.
A continuación presentaremos ciertas propiedades para los números
naturales, que podrían ser útiles.
 1
( ):1 2 3 4 ...
2
nn
p n n

      La suma de los n números naturales
  
2 2 2 2 2
1 2 1
( ):1 2 3 4 ...
6
n n n
p n n

      La suma de los n
2

números naturales
  
2
( ):1 3 5 7 ... 2 1p n n n       La suma de los números impares
 ( ):2 4 6 8 ... 2 1p n n n n       La suma de los números pares
 
2
3 3 3 3 3
1
( ):1 2 3 4 ...
2
nn
p n n

      
 La suma de los n
3
números
naturales

Para demostrar que estas propiedades se cumplen para todo n, se
puede emplear el método de demostración llamado INDUCCIÓN
MATEMÁTICA.

179. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
177


8.2 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
OBJETIVO:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Aplique el principio de inducción matemática para demostraciones.
La Inducción Matemática consiste de dos pasos:
1. Verificar que se cumple para el primer o los
primeros números, es decir comprobar que verdaderop)1(
.
2. Asumir que, si se cumple para todo número n,
entonces se deberá cumplir también para su
sucesor 1n ; es decir,  )1()(  npnpn .

Ejemplo
Demostrar, empleando el método de inducción matemática, que:

2
1
...4321:)(


nn
nnp
PASO 1. Verifiquemos p(1), aunque más interesante sería obtener p(2), p(3) 
2
111
1:)1(

p
se cumple
PASO 2. Asumir que si la propiedad es válida para n , entonces deberá ser válida para sus sucesores; es decir:
 
2
1
...4321:)(
00
00 

nn
nnp
Para lo cual, a la igualdad sumamos a ambos miembros 1n y hacemos los arreglos necesarios.






1
2
111
2
21
2
121
1
2
1
1...4321
00




















np
nn
nn
nnn
n
nn
nn
nn

Note que la expresión algebraica puede ser expresada en términos de su sucesor 1
0
nn , por tanto la propiedad
es válida para todos los naturales.

Ejercicio propuesto 8.1
Demuestre el resto de propiedades de los números naturales, mencionados

180. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
178
8.3 FACTORIAL

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y calcule factorial de un número natural y del cero.

Sea 0nn    , entonces el
FACTORIAL de n , denotado por !n , se define
como:

1 ; 0
!
1 ! ;


n
n
n n n





Entonces:
 
 
 
  241234)!3(4)!14(4!4
6123)!2(3)!13(3!3
212)!1(2)!12(2!2
1)!0(1)!11(1!1
1!0





...
y así sucesivamente.

8.4 TEOREMA DEL BINOMIO
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Desarrolle binomios aplicando el teorema de Newton.
 Infiera la fórmula del término general en el desarrollo del binomio.
 Defina y calcule coeficiente binomial.
 Aplique la fórmula del término general para encontrar cualquier término en el desarrollo de un binomio
dado y para resolver otras situaciones diversas.

Para obtener el desarrollo del binomio 
n
ba tenemos dos opciones: El
teorema de PASCAL y el teorema NEWTON.

8.4.1 TEOREMA DE PASCAL
Los coeficientes del desarrollo del binomio 
n
ba , están de acuerdo al
siguiente esquema:









.......................
15101051
14641
1331
121
11
1
0n
1n
2n
3n
4n
5n

181. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
179
Lo anterior se vuelve inaplicable cuando n es un número grande.

8.4.2 TEOREMA DE NEWTON
El desarrollo del binomio 
n
ba , está dado
por:
1 2 3 º
1 2 2
()
0 1 2
er do er
térm térm térm térm n
n n n n n
n n n n
a b a a b a b b
n
       
     
       
       
Lo cual resulta una manera muy práctica y sencilla de obtener los
términos del desarrollo del binomio, aunque n fuese un número grande.
Este teorema puede ser demostrado por el método de Inducción
Matemática.
Note que:
1. Cualquier término del desarrollo, tiene la forma:
iin
ba
i
n








 TÉRMINO GENERAL
Donde:
n exponente del binomio
a primer término del binomio
b segundo término del binomio
i (# término del desarrollo del binomio) –1

2. A los coeficientes del desarrollo se les ha dado forma 







m
n .
La cual se la calcula mediante la siguiente definición:
!!
!
mnm
n
m
n









 donde mn ¿POR QUÉ?

Ejemplo
Si 5n y 3m tenemos  
10
12123
12345
!35!3
!5
3
5















Además, si 0m entonces 
1
!
!
!0!0
!
0











n
n
n
nn

Y si nm tenemos 
1
!
!
!!
!











n
n
nnn
n
n
n

182. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
180
3. La cantidad total de términos del desarrollo del binomio es 1n
. ¿POR QUÉ?

Bien, ahora analicemos diversos ejercicios resueltos.

Ejercicios resuelto 1
Hallar el TÉRMINO CUARTO en el desarrollo del binomio de  
7
21x
SOLUCIÓN:  
7
21x
=  
7
)2(1 x Entonces 37  in 1a xb2
Reemplazando eniin
ba
i
n








 tenemos: 

3
3
3337
280
8
!423
!4567
8
!4!3
!7
)2(1
3
7
x
x
xx
















Ejercicios resuelto 2
El COEFICIENTE del término que contiene 3
x en el desarrollo de 12
21







x
x es:
a) 492 b) 592 c) 692 d) 792 e) 892
SOLUCIÓN:
Aquí en cambio, no conocemos el número del término, pero sabemos que el término referido en el desarrollo del
binomio12
21







x
x tiene como parte literal a 3
x
Además conocemos que ?,,,12
12


ixbxan
Reemplazando y simplificando en iin
ba
i
n








 , tenemos:




Como el exponente de la “x” debe ser 3, entonces: POR TANTO ES EL OCTAVO TÉRMINO.


Ahora calculamos el coeficiente del octavo término:







RESPUESTA: la opción “d”

Ejercicios resuelto 3
El valor del exponente "k " que hace posible que el sexto término del desarrollo del binomio 10
32
2









x
y
y
x
k
contenga 3
y , es:
a) 1 b) 5 c) 0 d) 1 e)5
13

SOLUCIÓN: 
i
ii
i
i
x
i
xx
ix
x
i
324
224
12
2
12
12112


































7
3324


i
i
792
12345!7
!789101112
!5!7
!12
7
12














183. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
181
DATOS: 3
2
2
10
5
x
y
b
y
x
a
n
isextoTérmino
k



 . Reemplazando en iin
ba
i
n








 tenemos:

Empleando la condición:





RESPUESTA: Opción “e”


Ejercicios resuelto 4
Encontrar "a " y "b " del binomio 10
6
2









b
a
yx de tal forma que el séptimo término sea
igual a 13440
46
xy

SOLUCIÓN:
Para el binomio  
10
2
6 b
yx
a
 tenemos que:



Reemplanzando, tenemos:


Como la condición es que el término sea 64
13440yx
 entonces:





Ejercicios Propuestos 8.2
1. Encuentre el SÉPTIMO TÉRMINO del desarrollo de  
10
2
2
1
vu

2. Encuentre el TÉRMINO CENTRAL en el desarrollo de 12
3
1
3
1








yx

3. El COEFICIENTE del término que contiene 1
y en el desarrollo del binomio 6
3
3
2
1









xy
x es a:
a) -20 b)-15 c)-10 d) 10 e)20

4. Encontrar el COEFICIENTE del término que contiene x
4 en el desarrollo de 5
2








x
x

105510
15
55
10
5
5
3
5
2
2
5
10
2
5
102
5
10











































k
kk
yx
x
y
y
x
x
y
y
x
5
13
3105
3105




k
k
yy
k
b
yb2
xa
10n
6i términoSéptimo
6
a




  
bb
yxyx
aa
66
64
3
2
6
2
6
10
2
6
10


















6
4
3
2
43
2




a
a
xx
a
y 1
66
66



b
b
yy
b

184. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
182
5. El COEFICIENTE del término que contiene 36
x en 20
31







x
x , es:
a)







6
20 b)







10
20 c)








6
20 d)








10
20 e)







7
20

6. El COEFICIENTE del término que contiene 184
yx en  
10
3
3yx es:
a)1701 b)17010 c) !6!4
!10 d)9
3
!4
!10 e)9
3
!4!6
!10
7. Encuentre el TÉRMINO QUE NO CONTIENE x en el desarrollo de 10
2
1
6 






x
x

8. El COEFICIENTE del término que no contiene “y ” en el desarrollo del binomio 9
2
2
1
2









y
xy es:
a) 2
21 b) 3
70 c) 3
84 d)3
84
 e)2
21

9. El COEFICIENTE del término que contiene a 2
x en el desarrollo de 10
3







x
a
x es:
a) 7
100a b)7
110a c)7
140a d)7
150a e)7
120a
10. El COEFICIENTE del término que contiene 9
x en el desarrollo de 8
3
22
2









x
x es:
a) 7 b)14 c) -7 d) -14 e)0
11. El término que es INDEPENDIENTE DE X en el desarrollo de 16
2
3
3
1
3
2
2
1











x
y
y
x es el:
a) cuarto b) quinto c) décimo d) duodécimo e) décimo quinto

12. ¿Cuál es el COEFICIENTE del término que no contiene la variable z en el desarrollo del
binomio10
2
31









z
z ?
a) 58 b)210 c)1680 d)630 e)100
13. La suma de los coeficientes de los términos centrales en el desarrollo del binomio  
7
2
2 yx es:
a) 35 b)-35 c)120 d)-280 e)840
14. El VALOR que debe tener "n " en el binomion
x
x









2
1 , para que el cuarto término de su desarrollo
sea: x120 , es:
a) 10 b)12 c)14 d)16 e)18
15. ¿Qué valor debe tener "n " para que el cuarto término del desarrollo del binomio  
n
xy
2 contenga a 10
y
?
16. Si el tercer término en el desarrollo del binomio:  
8
1kx , IRk es 2
7x , entonces un valor de
"k" es:
a) 2
3 b)7 c)2
1 d)2
7 e)7
4
17. Encuentre el valor de "k" para que el coeficiente del octavo término en el desarrollo del binomio 11









k
x
x
k
sea 3
330

a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
18. Si el quinto término del desarrollo del binomio 
5
ba es igual a 12
160x ,y el cociente de sus términos
centrales (en orden) es 2
x , entonces "b" es igual a:
a)4
2x b)4
x c)2
x d)2
2x e)2
x

185. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
183
19. Dado el siguiente Binomio: 10
32









j
k
y
x
yx los valores de "k" y "j" para que las potencias de x y la
potencia de y , del tercer término sean iguales, respectivamente, a las potencias de x y las potencia de y del
octavo término, son:
a) k=2 y j=-3 b)k=2 y j=3 c)k=3 y j=2
d) k=-2 y j=3 e)k=4 y j=2


8.5 SUCESIONES

Si en una función se emplea como dominio a los números natur ales,
entonces tenemos una función de variable natural, es decir :f .
Esta función se la llama SUCESIÓN

Ejemplo
Sea :f tal que :










Observe que los términos de la sucesión sugieren una generalidad
24
1
3
111
( ) 1 , , , ,
234
do to
er
er
térm térm
térm
térm
nn
f n a a







   




1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
(1) , (2) , (3) , (4) , (5)
1 2 3 4 5
a f a f a f a f a f         
entonces: n
nfa
n
1
)( el cual llamaremos TÉRMINO “ésimon ”, TÉRMINO GENERAL O SIMPLEMENTE
LA REGLA DE CORRESPONDENCIA DE LA SUCESIÓN.


Existen muchos ejemplos de sucesiones, sin embargo, ahora sólo
estudiaremos dos tipos. Aquellas cuyos términos presentan una
secuencia muy singular, las Aritméticas y las Geométricas.
Estas sucesiones son también llamadas progresiones.



1 2 3 1 1
2 1
3 4 1
4 1
5 5 f

186. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
184
8.5.1. SUCESIÓN (PROGRESIÓN) ARITMÉTICA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Infiera la fórmula del término general en una sucesión aritmética.
 Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones aritméticas.
 Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión aritmética.
 Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones aritméticas.
 Aplique las formulaciones de las progresiones aritméticas para resolver problemas de aplicación.

Observe la secuencia de números  ,17,14,11,8,5,2 .
Note que el primer término es 2 y de allí en adelante el resto de
términos consecutivos se forman sumándole 3 a cada término.
Si quisiéramos determinar el séptimo término (el número posterior a
17) bastaría con sumarle 3 a 17 y ya; pero si se trata de determinar el
término cien, este procedimiento no es práctico y surge la necesidad de
formular.
Para lo cual, lo anterior lo podemos tratar de generalizar de la
siguiente manera:
Empezando con “a ” como primer término, luego le sumamos a este
término una constante “a ” para formar el segundo término, luego a éste
segundo término le sumamos la misma constante “a ” para formar el
tercer término, y así sucesivamente. Es decir:
3412
, , 2 , 3 ,
tér tértér tér
a a d a d a d


  


Entonces el TÉRMINO n-ésimo O TÉRMINO GENERAL es: dnaa
n 1
Donde
Note que lo singular es que existe una misma diferencia entre dos
términos consecutivos cualesquiera, es decir:
Térm. Posterior Térm. Anteriord

Ejemplo 1
Sea la sucesión  ,17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 100.
SOLUCIÓN:
Como tenemos que: 2a , 3d y 100n , al reemplazar en dnaa
n 1 tenemos:
299
2972
3)99(2
3)1100(2
100
100
100
100




a
a
a
a
a 1
er término
d diferencia

187. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
185
Note que el término general de esta particular progresión aritmética es: 312na
n . El cual nos
permitiría no sólo calcular el término 100, sino cualquier otro término de la sucesión.

Ejemplo 2
Para la sucesión anterior  ,17,14,11,8,5,2 . Hallar el término 500.
SOLUCIÓN:
Como tenemos ahora que 500n , al reemplazar en 312na
n
Tenemos: 1499
14972
3)499(2
3)1500(2
500
500
500
500




a
a
a
a

Ejemplo 3
Para la sucesión  ,5,3,1,1,3,5  . Hallar el término general.
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos que: 2)1(353
5


dd
a

Reemplazando: )1(25
)2)(1(5


na
na
n
n


8.5.1.1 SUMA DE LOS “n” PRIMEROS TÉRMINOS
Sería importante disponer de una fórmula que nos permita hallar la
suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para lo
cual:
  

2
1
32
dnn
na
dadadaaS
n


 
Por lo tanto 










 dna
n
S
n 12
2

Cuando la progresión aritmética es finita, se emplea la fórmula
anterior de esta otra forma:

.
1
2
Ultimo
Término
Prim.
Térm
n
n
S a a n d


   



2
Primer último
término término
n
n
S





188. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
186
Ejemplo
Para la sucesión  ,17,14,11,8,5,2 . Hallar la suma de los primeros 100 términos.
SOLUCIÓN:
Aplicando la fórmula tenemos: 
 
15050
)301(50
297450
3)99(450
3)1100()2(2
2
100
100
100
100
100
100















S
S
S
S
S


Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:

Ejercicio resuelto 1
Si el cuarto término de una sucesión aritmética es 5 y el noveno término es 20, obtener el
sexto término
a) 12 b) -11 c) -12 d) 11 e) 6
SOLUCIÓN:
DATOS: 205
94
 aa
Empleamos dnaa
n 1 para hallar ?a y ?d
1. ad
da
daa



35
35
)14(5
4 2. ad
da
daa



820
820
)19(20
9

Igualando, tenemos:3
155
52038
82035




d
d
dd
dd , entonces: 4
95
)3(35
35




a
a
a
da

Por lo tanto el sexto término 11
154
3)16(4
6
6
6



a
a
a

Ejercicio resuelto 2
¿Cuantos términos de la sucesión  ,15,12,9 es necesario considerar de modo que su
suma sea 306?
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
SOLUCIÓN:
DATOS: Progresión aritmética con 9a y 3d (¿por qué?)
CONDICIÓN: 306
?
S
DESARROLLO: Empleamos 










 dna
n
S
n
12
2 para hallar ?n

189. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
187
Reemplazando y simplificando, resulta:  
2
315612
)315(
2
306
)3318(
2
306
3)1()9(2
2
306
3)1()9(2
2
306
nn
n
n
n
n
n
n
n
n















Ahora, resolviendo la ecuación cuadrática tenemos: 1217
0)12)(17(
02045
30612153
2
2




nn
nn
nn
nn
RESPUESTA: Escogemos 12n (¿por qué?)

Ejercicio resuelto 3
En una progresión aritmética finita, el primer término es igual a k-2, el último término es
igual a 6-3k y la suma de todos los términos es igual a 10-5k. Entonces el número n de
términos de la progresión es igual a:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
SOLUCIÓN:
DATOS: Progresión aritmética con
kSkaka
nn 510362
1 
DESARROLLO: Empleamos 2
Primer último
término término
n
n
S



 para hallar ?n
Reemplazando:  
 
5
)2(2
2
)2(5
)24(
2
510
362
2
510
)36()2(
2
510

















n
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kk
n
k
RESPUESTA: La progresión tiene 5 términos.

Ejercicio resuelto 4
Una empresa instala una máquina con un costo de $1700. El valor de la máquina se
deprecia anualmente en $150 y su valor se desecho es de $200. ¿Cuántos años tiene de
vida útil la máquina?
SOLUCIÓN:
DATOS: La máquina tiene: COSTO INICIAL = $1700 y luego cada año tendrá un valor de menos $150 que el
año anterior, hasta llegar a un COSTO FINAL = $200
Formemos una sucesión de números para el valor de la máquina a partir del año de funcionamiento
12
1550, 1400, , 200
año año





190. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
188
Resulta una progresión aritmética con 1550a y 150d
DESARROLLO: Empleamos dnaa
n 1 para hallar ?n

10
1500150
2001501550150
1501501550200
)1(1501550
)150)(1(1550






n
n
n
n
na
na
n
n

RESPUESTA: La vida útil de la máquina es de 10 años.


Ejercicios Propuestos 8.3
1. Si el décimo término de una progresión aritmética es 42 y el término vigésimo primero es 75, entonces el
término trigésimo primero es:
a) 105 b) 108 c) 104 d) 103 e) 100
2. La suma de los primeros 20 múltiplos de 7 es:
a) 1470 b) 1460 c) 1473 d) 1465 e) 147
3. La suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética es 440 y el primer término es 35, entonces
el DÉCIMO TÉRMINO es:
a) 2 b) 125 c)10 d)53 e)100
4. La suma del quinto y décimo termino de la siguiente sucesión aritmética: x-8, x-3, x+2, x+7,.... es:
a)2x-49 b) 2x-81 c) 2x-82 d) 2x+82 e) 2x+49
5. Si se suman el cuarto y el sexto término de una progresión aritmética se obtiene 20, pero si se multiplican el
tercer con el quinto término de la misma progresión aritmética se obtiene también 20. Entonces la suma de
los cinco primeros términos de esta progresión es:
a) 0 b) 10 c) 20 d) 24 e) 40
6. Si el producto de tres números en progresión aritmética es igual a 16640, siendo el menor 20, entonces la
suma de los otros dos números es:
a) 60 b) 58 c) -65 d) 80 e) -68

7. Si el producto de tres números positivos en progresión aritmética es igual a 45360, siendo el mayor 42,
entonces la SUMA DE LOS OTROS 2 NÚMEROS es:
a) 70 b) 60 c) 78 d) 66 e) 84
8. Una pila de troncos, tiene 24 troncos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así
sucesivamente hasta que la última capa contiene 10 troncos. Encuentre ¿CUÁNTOS TRONCOS HAY EN
TOTAL?
a) 200 b) 255 c) 230 d) 400 e) 300
9. 200 troncos están apilados de la siguiente manera: 20 en la primera fila, 19 en la segunda y así
sucesivamente; el número de filas que hay y el número de troncos en la última fila es:
a) 5 y 6 b) 16 y 5 c) 20 y 10 d) 10 y 20 e) 16 y 6
10. Un comerciante no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12.950, propone al banco acreedor pagarle
$600 al final del primer mes, y cada mes $50 más que el mes anterior. El comerciante cancelará toda la
deuda en:
a) 1 año b) 14 meses c) 10 meses d) 16 meses e)18 meses
11. Una máquina tiene un valor inicial de $2000 y se desprecia anualmente en $160. Si el valor de desecho de
la máquina es de $400, entonces su tiempo de vida útil es igual a:
a) 8 años b) 12 años c) 11 años d) 10 años e) 13 años
12. La oficina de Ingreso compró un televisor nuevo al precio de $1000. Si se supone una depreciación lineal
del 20% del costo original, y si el valor de desecho es $100, entonces el tiempo esperado de vida del
televisor, en años, es:
a) 5 b) 3.5 c) 4 d) 4.5 e) 5.5
13. Los pagos mensuales de Consuelo al banco ocasionados por un préstamo forman una progresión
aritmética. Si el octavo y décimo quinto pagos son de $153 y $181, respectivamente, entonces el vigésimo
pago es:
a) $202 b) $220 c) $201 d) $210 e) $200

191. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
189
14. En un programa concurso de la televisión, un participante obtiene 5 premios de dinero en efectivo. La suma
total de los premios es de $5000. Si hubo una disminución de $100 entre premios sucesivos, entonces el
PRIMER PREMIO fue de:
a) $12 b) $120 c) $1200 d) $2800 e)$12000
15. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de $5800 en cierto número de pagos, cada
uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al anterior por $20. Si el primer pago es de $
100, calcule cuantos pagos deberá efectuar con objeto de finiquitar la deuda.
16. Se compra una casa a 25 años plazo; el primer año se paga $5000, el segundo se paga $5300 y cada año
se pagan $300 más, entonces la deuda total es:
a) $215000 b) $220000 c) $225000 d) $230000 e) $235000
17. Un individuo está de acuerdo en saldar una deuda de $1800 en cierto número de pagos, cada uno de ellos
(empezando con el segundo) menor que el previo en $10. Si su quinto pago es de $200, ¿cuántos pagos
serán necesarios de modo que salde la deuda?

18. El salario de un empleado se incrementó anualmente siguiendo una progresión aritmética. Si el quinto año
ganó $440 mensuales, y el vigésimo tercer año ganó $1160 mensuales, entonces su salario mensual inicial
fue:
a) $120 b) $140 c) $280 d) $ 360 e) $110
19. Una mujer desea pagar un préstamo libre de interés de $1300 cancelando $10 el primer mes y
aumentando su pago en $15 cada mes. La cantidad del último pago es de:
a) $150 b) $160 c) $170 d) $180 e) $190

20. Una compañía manufacturera instala una máquina en un costo de $1500. Al cabo de 9 años, la máquina
tiene un valor de $420. Suponiendo que la depreciación anual es constante, calcule la depreciación anual.

8.5.2 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Infiera la fórmula del término general en una sucesión geométrica.
 Aplique la fórmula del término general en ejercicios de sucesiones geométricas.
 Infiera la fórmula de la suma de los n términos en una sucesión geométrica.
 Aplique la fórmula de la suma n-ésima en ejercicios de sucesiones geométricas.
 Aplique las formulaciones de las progresiones geométricas para resolver problemas de aplicación.

Supongamos ahora que tenemos una sucesión de términos, cuyo
primer término sea “a”; el segundo término sea el primero multiplicado
por una constante “r”, el tercer término sea el segundo multiplicado por
la misma constante r; y así sucesivamente. Es decir: 23
1 2 3 4
, , , ,
tér tér tér tér
a ar ar ar




Este tipo de sucesión es llamada Progresión Geométrica. Observe que
el TÉRMINO“n-ÉSIMO” O GENERAL es de la forma:
1

n
nara Donde: 1
er
a término
r razón Tér.Posterior
Tér.Anterior

Ejemplo 1
Sea la sucesión de números  ,54,18,6,2 . Hallar el término cincuenta.
SOLUCIÓN:
Observe que el primer término es 2a y luego cada término se forma multiplicando por 3 a cada término anterior, es
decir 3
18
54
2
6
r

192. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
190
Los primeros términos son fáciles de deducir, pero para determinar términos altos, es necesario aplicar la formula
1

n
nara
Reemplazando, tenemos 49
50
150
50
)3(2
)3(2



a
a


Ejemplo 2
Para esta progresión geométrica 





,
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3
Tenemos: 3a y 2
1
3
2
3
r . Entonces su término general sería :1
2
1
3








n
na que le permite
calcular cualquier término de la progresión.


8.5.2.1 SUMA “n-ÉSIMA”
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica sería:
 



32
32
1 rraS
arararaS
n
n
Entonces 










r
r
aS
n
n
1
1 ó también 










1
1
r
r
aS
n
n

Ejemplo 1
Para la progresión geométrica  ,54,18,6,2 . Hallar la suma de los cincuenta primeros
términos
SOLUCIÓN:
Reemplazando en 










1
1
r
r
aS
n
n tenemos  13
13
13
2
50
50
50











S




Ejemplo 2
Para la progresión geométrica 





,
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3 . Hallar la suma de los cincuenta
primeros términos
SOLUCIÓN:
Reemplazando, tenemos 





































50
50
50
50
2
1
16
2
1
1
2
1
1
3 SS

193. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
191
8.5.2.2 SUMA INFINITA
Algo interesante ocurre cuando determinamos la suma de una
cantidad muy grande de términos de una progresión geométrica con 1r

1
11
ra
Sa
rr





 Donde  cantidad muy grande
1
a
S
r



si 1r

PREGUNTA: ¿QUÉ SUCEDE CON 
S si 1r ?

Ejemplo 1
Sea una progresión geométrica infinita con 2a y 4
3
r , hallar el valor aproximado de 
S .
SOLUCIÓN:
Reemplazando en r
a
S



1 tenemos 8
4
1
2
4
3
1
2


S




RESUMEN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
1
n
a a n d   21
2
n
n
S a n d


  



también: 2
PrimerÚltimo
términotérmino
n
n
S



PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1n
n
a ar

 1
1
n
n
r
Sa
r



 1
a
S
r


 si 1r
0

194. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
192
Ejercicio Resuelto 1
En una progresión geométrica el cuarto y el séptimo término son respectivamente 4 y 12.
Entonces el valor del décimo término es:
a) 36 b) 40 c) 38 d) 42 e) 34
SOLUCIÓN:
DATOS: 4
4
a y 12
7
a
INCOGNITA: ?
10a
DESARROLLO:
Empleemos 1

n
nara para hallar primero a y r
1. 3
3
14
4
4
4
r
a
ar
ar



 2. 6
6
17
12
12
12
r
a
ar
ar




Igualando, tenemos 3
4
12
124
3
3
6
63



r
r
r
rr entonces 3
333
3
3



r
r por lo tanto 
3
4
3
4
3
3




a
a

Ahora, hallemos el DÉCIMO TÉRMINO: 


36
3
3
4
3
3
4
3
3
4
10
3
10
9
3
10
110
3
10





a
a
a
a
RESPUESTA: Opción "a"


Ejercicio Resuelto 2
Sea la sucesión { 96, 48, 24, 12,.....}. Entonces el lugar que ocupa el término 16
3 es:
a) cuarto lugar b) quinto lugar c) sexto lugar
d) octavo lugar e) décimo lugar
SOLUCIÓN:
DATOS: Progresión geométrica con 96a y 2
1
96
48
r
16
3
?
a
DESARROLLO: Empleemos 1

n
nara para hallar ?n

195. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
193
Reemplazando:n
n
n
n







































2
1
23216
1
)2(
2
1
3216
1
1
2
1
2
1
9616
3
1
2
1
96
16
3 10
2
1
10
2
1
2
1
10
2
1
2
1
2
5
2
4
2
1




























n
n
n
n
RESPUESTA: 16
3 ocupa el décimo lugar en la progresión dada. Opción “e”


Ejercicio Resuelto 3
En una progresión geométrica finita, si se conoce que el primer término es igual a 160, la
razón igual a 2
3 y la suma de sus términos es 2110, entonces el número de términos es
igual a:
a) 9 b) 6 c) 7 d) 8 e) 5
SOLUCIÓN:
DATOS: 160
1
a , 2
3
r , 2110
n
S

INCOGNITA: ?n

DESARROLLO:
Reemplazando en 










r
r
aS
n
n
1
1
tenemos:





RESPUESTA: 5n . Opción “e”



Ejercicio Resuelto 4
Una progresión geométrica finita tiene en total diez términos. Si el primer término es 1 y el
quinto 16
1 , entonces la suma de los cinco últimos términos de la progresión es igual a:
a) 33/512 b) 32/512 c) 31/512 d) 30/512 e) 55/512
SOLUCIÓN:
DATOS: 1a , 16
1
5
a , 10n
INCÓGNITA: S suma de los 5 últimos

DESARROLLO: Encontremos primero la razón: 















































































n
n
n
n
n
r
r
S
2
3
132211
2
1
2
3
1
16211
2
3
1
2
3
1
0160211
1
1
160
5
5
5
2
3
2
3
2
3
2
3
32
243
2
3
32
21132
2
3
32
211
1
2
3
2
3
1
32
211












































n
n
n
n
n
n

196. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
194

2
1
16
1
16
1
1
4
44
4
15
5






r
r
r
ra

PRIMER MÉTODO:
Desarrollando los términos de la progresión  
512
1
,
256
1
,
128
1
,
64
1
,
32
1
,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1 y luego sumando los
cinco últimos términos 512
31
512
124816
512
1
256
1
128
1
64
1
32
1




SEGUNDO MÉTODO:
Obteniendo 10
S y 5
S y luego restarlos. Entonces:
9
2
1
10
2
1
2
.
10
2
10
21
2
1
10
2
10
21
2
1
1
10
2
1
1
2
1
1
10
2
1
1
10































S
4
2
1
5
2
1
2
.
5
2
5
21
2
1
1
5
2
1
1
2
1
1
5
2
1
1
5








































S
 
512
31
2
12
2
2212
2
12212
2
12
2
12
9
5
9
51010
9
5510
4
5
9
10
510










SS

TERCER MÉTODO:
Considere una sucesión con 32
1
a y 2
1
r , es decir  
512
1
,
256
1
,
128
1
,
64
1
,
32
1 .
Luego obtenga 5
S aplicando 










r
r
aS
n
n
1
1 .
Entonces reemplazando tenemos: 512
31
9
2
31
2.
5
2
31
5
2
1
2
1
5
2
1
5
2
5
2
1
2
1
1
5
2
1
1
32
1
5 













































S
NOTA:
 El primer método no sería práctico si tuviésemos una muy grande cantidad de términos.
 El tercer método sería el más adecuado, porque se hacen menos cálculos que en el segundo método.



Ejercicio Resuelto 5
El valor aproximado de .....
27/1
9
9/1
9
3/1
9  es:
a) 1 b) 3 c) 9 d) 92 e) 31/3

SOLUCIÓN:

197. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
195
Por la ley de los exponentes 
27
1
9
1
3
1
999 = ...
27
1
9
1
3
1
9
 . El exponente, no es más que una
progresión geométrica infinita con 3
1
a y 3
1
3
1
9
1
r , por lo tanto: 3999
2
1
3
2
3
1
3
1
1
3
1



La conversión de un número decimal periódico en su fracción
correspondiente, puede también ser realizada considerando el criterio de
la progresión geométrica infinita.

Ejercicio Resuelto 6
El número 2,52525252..... se puede escribir como una fracción; entonces cuando se reduce
a su expresión mínima ( sin factores comunes ) la suma del numerador y del denominador
es igual a:
7 b) 29 c) 141 d) 349 e) 204
SOLUCIÓN:
52525252.2
= 525252.02 =  000052.00052.052.02
=
432
100
52
100
52
100
52
100
52
2
=





 
432
100
1
100
1
100
1
100
1
522
La expresión que aparece dentro del corchete es una progresión geométrica infinita con 100
1
a y 100
1
r
.
Por tanto al aproximar su suma, tenemos:
99
250
99
52198
99
1
522
100
99
100
1
522
100
1
1
100
1
522 




































RESPUESTA: Como la fracción es 99
250 ; entonces al sumar numerador con denominador, tenemos 34999250
. Opción “d”.

Ejercicio Resuelto 7
Suponga que el gobierno invierte $1000 millones extras en la economía. Suponga que cada
negocio y cada individuo ahorra el 25% de lo que recibe y gasta el resto, de modo que de los
$1000 millones iniciales el 75% es vuelto a gastar por individuos y negocios. De esa
cantidad, el 75% es gastado y así sucesivamente. Incluyendo los $1000 millones originales,
el aumento total en los gastos debido a la acción del gobierno, es:
a)$1000 millones b)$2000 millones c)$3000 millones
d)$4000 millones e) $5000 millones
SOLUCIÓN:
Planteemos la situación para los gastos







 )1000(
100
75
100
75
)1000(
100
75
1000












 )1000(
100
75
)1000(
100
75
)1000(
100
75
1000
32




















 
32
4
3
4
3
4
3
11000

198. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
196
Note que lo que esta en paréntesis es una Progresión Geométrica infinita con 1a y 4
3
r :
4
4
1
1
4
3
1
1
1











































r
a
S
Entonces 400041000
RESPUESTA: Opción “d”


Ejercicios Propuestos 8.4
1. Determine si las siguientes reglas de correspondencias definen una progresión aritmética o una progresión
geométrica o ninguna.
a) n
nf

2)( b) !1
!2
)(


n
n
nf c) 
)!2(3
)23(!
1)(
2



n
nnn
nf
n
n
d) )2(
65
)(
2



n
nn
nf e) nnf 3)(
2. El décimo tercer (13º) elemento de una progresión geométrica es 16 y el undécimo (11º) es 8, entonces el
QUINTO TÉRMINO es igual a:
a) 4
1 b)2
1 c) 1 d) 4 e) 2
9
2

3. En una progresión geométrica se conoce que el primer término y el tercer término son respectivamente 2
1
2
y 6
1
2 , entonces el quinto término es:
a) 2
3
2 b) 3
2
2 c) 6
1
2
 d) 6
5
2 e) 2

4. Si el noveno término de una progresión geométrica es 2187
64 y la razón es 3
2 ; entonces el primer término
es:
a) 3/4 b) 9/8 c) 4/3 d) 8/9 e) 2/3

5. Al sumar un valor constante a los números 20, 50 y 100 resulta una progresión geométrica. La razón en esta
progresión así formada es:
a) 5/3 b) 4/3 c) 3/2 d) 2
1 e) 1/3

6. Si en una progresión geométrica el primer término es 9 y el quinto es 81, entonces la suma de los cinco
primeros términos es:
a) 3120 b) 240 c) 100 d) 336117 e) 220

7. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es 24
1 de la suma de los términos segundo y
tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE LOS DOS ÚLTIMOS términos es:
a) 32
1 b)64
3 c)16
1 d)16
3 e)32
3

8. En una progresión geométrica de 5 términos positivos, la razón de la misma es igual a la cuarta parte del
primer término. Si la suma de los dos primeros términos es 24. Encuentre los términos de la progresión.

9. En una progresión geométrica cuyos términos son positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos
términos siguientes. Entonces la razón es:
a) 1 b) 2
5 c) 2
15 d) 2
51 e) 5
2
10. La suma de la serie: 5
2
1
2
2
1
12 





  es:
a)8
31 b)16
63 c)8
63 d)63 e)16
1

11. El valor de la suma infinita de....
32
27
8
9
2
3
2  es:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

199. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
197
12. El valor de la suma .......
16
1
27
1
8
1
9
1
4
1
3
1
2
1
1 























 es:
a) 2 b) 9/4 c) 5/2 d) 3 e) 2

13. El valor de: :........4444
81/127/19/13/1
es

a) 4 b) 32 c) 2 d) 22 e) 4

14. La suma de la progresión geométrica infinita: 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... es igual a:
a) 1000 b)1111.11 c)111.11 d)111 e)120
15. Sea i, a R, 0< i < 1, entonces, el valor de la SUMA INFINITA de:  .....
2
11
1




iaiaa
es:
a) 
i
ia1 b) i
a c) ai d)  
1
11

i
a e) i
a
1
16. Si a, i R, 0 < i < 1 y 
,....
1
,
1
,
1
32
i
a
i
a
i
a
 son los términos de una progresión geométrica infinita,
entonces la suma de todos sus términos es:
a) a2 b) )1(i
a
 c) i
a d) ai e) 
17. La expresión: 







 ...
111
1
32
xx
x , 1x ; es equivalente a:
a) 1 b)x c)1x d)1x
x e)1x
x
18. Dada la crisis actual, el Sr. Generositis, un acaudalado millonario, ha decidido repartir dinero a los
ecuatorianos más afectados. Entonces a la primera persona le da $1000, al segundo $500, al tercero $250, al
cuarto $125 y así sucesivamente. El Sr. Generositis repartirá, en total, aproximadamente:
a)$1500 b)$2000 c)$2500 d)$3000 e)$3500

19. Tres personas Maricela, Gonzalo y Mauro dividen una manzana de la siguiente manera. Primero la dividen en
cuartos y cada uno toma un cuarto. Después dividen la parte sobrante de nuevo en cuartos y cada quien
toma su parte, siguiendo de esta manera con las partes sobrantes. Entonces, en total, cada uno obtiene:
a) Un cuarto de la manzana b) La mitad de la manzana c) Un tercio de la manzana
d) Dos tercios de la manzana e) Un octavo de la manzana.

20. En un arranque de generosidad un millonario decidió ayudar a todos los mendigos del mundo. Para ello, y
con el fin de hacerlo ordenadamente, pidió que se alinearan (los mendigos) uno tras otros para darle al
primero 1 dólar; al segundo la mitad de un dólar, al tercero la cuarta parte de un dólar y así sucesivamente.
¿Cuántos dólares necesita el millonario como mínimo para ayudar a los mendigos?
a)$1000 b)$2000 c)$2 d)$4
e) No existe dinero en el mundo para pagar lo prometido.

21. El disco de un péndulo se balancea un arco de 24 cm. de largo en su primera oscilación. Si cada balanceo
sucesivo es de aproximadamente cinco sexto de la longitud anterior entonces la distancia total aproximada
que recorre antes de detenerse, es:
a) 120 cm. b) 116 cm. c)140 cm. d) 144 cm. e) 160 cm.

22. Una pelota de goma cae desde una altura de 60 m y rebota en forma repetida hasta alcanzar el reposo. En
cada rebote la pelota sube 2/3 de la altura a la que estaba previamente. Entonces, la distancia recorrida por
la pelota, expresada en metros, es igual a:
a) 180 b) 260 c) 300 d) 420 e) 500

23. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa de 10% de su valor. El costo original fue
de $10000 y el valor de desecho de $5314,41. Calcule la vida efectiva de la máquina,. esto es, el número
de años hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho
24. (CALCULADORA) Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo original
fue de $10000 y el valor de desecho es de $3000. Encuentre la vida efectiva de la máquina.

200. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
198
Misceláneos
1. El VALOR de “k ” para que el término central del binomio 8
3
2









k
yx
xyk tenga como coeficiente a 70 es:
a) 5 b)2 c)1 d)1 e)0
2. Para que el término central del binomio 10
2









k
x
x
k tenga un coeficiente igual a 252, el VALOR de “k”
debe ser:
a)2 b)1 c)–2 d)–1 e)3

3. El VALOR de “x ” tal que 1248...29272523  x , es:
a)70 b)71 c)72 d)73 e)74

4. Se va a construir una escalera de 30 escalones con ladrillos. El escalón inferior requiere de 100 ladrillos y
cada escalón sucesivo necesita dos menos que el inmediato anterior. LA CANTIDAD DE LADRILLOS que se
necesitan para el escalón superior (último) y la CANTIDAD TOTAL de ladrillos que se necesitan para
construir la escalera completa, son respectivamente:
a)42 y 630 b)42 y 2130 c)38 y 570 d)2 y 800 e)10 y 700

5. Si el primer término de una progresión geométrica es 3 y el sexto término es –729, entonces su RAZÓN es:
a)3 b)–3 c)5 d)–9 e)9

6. La SUMA APROXIMADA de los elementos de la progresión: 1, 2
1 , 2
1 , 22
1 , 4
1 , ..........
es:
a)2 + 2 b)21
1
 c)2
22 d)12 e)2 - 2
7. El término que es independiente de "x" en el desarrollo del binomio 9
21







x
x ; es:
a)80 b)30 c)10 d)40 e)84

8. El valor de la SUMA 5+9+13+...+49 , es:
a)49 b)76 c)243 d)324 e)1260


9. El pago por un trabajo de $1000 se distribuye entre cuatro personas de modo que cada una después de la
primera recibe $20 menos que la precedente, entonces cada persona recibe
a)$ 280, $300, $320, $340 b)$ 280, $260, $240, $220 c)$ 220, $200, $180, $160
d)$ 260, $240, $220, $200 e)$ 240, $220, $200, $180

10. En una progresión geométrica de términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer
término. Si la suma de los 2 primeros términos es 12 entonces el CUARTO TÉRMINO es:
a)32 b)512 c)12 d)162 e)603

11. El VALOR de "x" de modo que 2,,1  xxx sean los términos de una sucesión geométrica, es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
12. El COEFICIENTE del término que contiene a 4
x en el desarrollo de 10
2









x
x es:
a)-13440 b) 13440 c)3360 d)-1800 e)-3360

13. Sea la sucesión  ,...13,11,9,7,5,3,1 . Entonces una de las siguientes afirmaciones es FALSA.
Identifíquela.
a) La sucesión es una Progresión Aritmética.
b) La diferencia de los términos de la sucesión es 2d .
c) El término n -ésimo es: 12na
n
d) El décimo término es: 20
10
a
e) La Suma n -ésima es: 2
nS
n

14. Patricia tiene que saldar una deuda de $5000. El primer pago será de $275 y luego cada año aumenta sus
pagos en $50 más. Entonces EL NÚMERO DE AÑOS que demora en pagar la deuda es:
a) 10 años b) 20 años c)12 años d)15 años e)16 años

15. Si el tercer término de una progresión geométrica es 2 y el sexto término es 54 , entonces su RAZÓN es:

201. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
199
a)2 b)-2 c) 3 d)-3 e)3
1


16. El VALOR APROXIMADO de la suma infinita ...124
4
1
2
1
S es igual a:
a)2
3
 b)3
8
 c)4 d)3
2
 e)8
17. El TÉRMINO que contiene 7
a en el desarrollo del binomio 10
9
3






b
a es:
a)37
10ba b)37
9ba c)37
40ba d)37
4ba e)ba
7
90

18. Un apostador cada día pierde el 50% de lo que pierde el día anterior. Si el primer día pierde $100, entonces
después de haber apostado una infinita cantidad de veces pierde aproximadamente:
a)$50 b)$150 c)$200 d)$250 e)$300

19. En el desarrollo del binomio 6
)14(x , la SUMA de los coeficientes correspondientes a los dos últimos
términos es:
a) 25 |b) 24 c)-23 d) 21 e)-26
20. Si la razón de una progresión geométrica finita de 10 elementos es 24
1 de la suma de los términos segundo
y tercero; y el primer término es 16, entonces LA SUMA DE TODOS los términos es:
a)32
1 b)64
1025 c)16
1021 d)16
1023 e)32
1023

21. Un insecto se come una planta; una trucha al insecto; un salmón a la trucha; un venado al salmón y un
hombre al venado. Si sólo el 20% de la energía se transforma de un estado al siguiente, entonces la
CANTIDAD DE CALORÍAS SUMINISTRADA POR LA PLANTA para que la carne del venado proporcione
2.000 calorías al hombre, es:
a) 500.000 b)750.000 c)1'250.000 d)1'000.000 e)1'500.000

22. Un jornalero gana actualmente $5 por día. Cada día que pasa recibe un aumento de $0.10. ¿CUÁNTO TIEMPO
tendrá que transcurrir hasta que su sueldo sea de $10?
a)49 días b)50 días c)51 días d)2 meses e)4 semanas

23. Sea Re y el predicado   nnnp 412...7531:)(  . Entonces su CONJUNTO DE
VERDAD es:
a) ()Ap n b)  ( ) / 8Ap n n n   c)  ( ) / 4Ap n n n  
d)  ( ) / 4Ap n n n   e)  ( ) / 1Ap n n n  
24. La SUMA de los 6 primeros términos de la progresión 





,...
2
1
,
4
1
,
8
1
,
16
1 es:
a)3 b)6
62 c)16
64 d)10 e)16
63
25. El valor aproximado de la suma de 
22
1
2
1
2 es:
a)10 b)9 c)22 d)2 e)2

26. La SUMA DE LOS SEIS primeros términos de la sucesión ,...
2
23
,3,2
es:
a) 23
4
19
 b)8
338265 c)8
321253 d)3
32 e)27
3223

27. El COEFICIENTE del término que no contiene a la variable "y" en el desarrollo del binomio 10
2
32









y
y es:
a)1260 b)13440 c)840 d)630 e)210

28. En una progresión geométrica de 8 términos positivos, la razón de la misma es igual a la mitad del primer
término. Si la suma de los dos primeros términos es 2
15 entonces el CUARTO TÉRMINO de la progresión es:
a)8
81 b)2
3 c)2
9 d)4
27 e)3
29. Si una pelota cae de una altura de 48 m. y rebota 3
2 de la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo
y rebotando de esta forma, entonces la DISTANCIA TOTAL que recorrerá antes de quedar en reposo es:
a) 180 m. b) 320 m. c) 360 m. d) 220 m. e) 240 m.

202. Moisés Villena Muñoz Cap. 8 Números Naturales
200

30. Si el primer término de una progresión aritmética es 5 y el décimo término es 50 , entonces LA DIFERENCIA
común es:
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9

31. Si se suman el tercer y el quinto término de una progresión aritmética se obtiene 38 y si se suman el cuarto
y el sexto término de la misma progresión se obtiene 44 , entonces EL QUINTO TÉRMINO de la progresión es:
a)22 b)32 c)24 d)12 e)25

32. La SUMA aproximada de los elementos de la progresión ,
33
1
,
3
1
,
3
1
,1,3 es:
a)3 b)2
333 c)2
133 d)2
13 e)31

33. El QUINTO TÉRMINO en el desarrollo del binomio 7
2







y
x es:
a)43
8
35
yx b)43
16
35
yx c)34
16
35
yx
d)34
4
35
yx e)43
5
16
yx

34. La SUMA de los 26 primeros términos de la progresión aritmética:  ...,5,2,1,4,7
es:
a) 793 b) 832 c) 182 d)975 e)973

35. El término central de una progresión aritmética de "n" términos cuyo primer término es a1 y su diferencia es d,
siendo "n" impar y Sn la suma de los "n" términos, es:
a)dn
S
n
1 b)n
S
n c)1
2
n
S
n d)d
S
n e) nS
n

203. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
201

9
9.1 DEFINICIÓN
9.2 DOMINIO
9.3 FUNCIONES CON REGLA DE
CORRESPONDENCIA DEFI NIDA EN
INTERVALOS
9.4 OPERACIONES
9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓ N DE VARIABLE
REAL
9.6 CLASES DE FUNCIONES


Las funciones de variable real son de trascendental importancia para
los cursos de matemáticas y por tanto merece un capítulo aparte. El
concepto de función ya fue definido anteriormente, ahora lo haremos
sobre subconjuntos de números reales.

204. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
202
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina función de una variable real.
 Aplique la definición de función, para que dadas reglas de correspondencia, determinen si
son funciones o no.
 Plantee restricciones de las operaciones con números reales, para obtener dominio de
funciones de una variable real dada su regla de correspondencia.
 Sume, reste, multiplique y divida funciones de una variable real.
 Obtenga rango de funciones de una variable real.
 Defina gráfico de funciones de una variable real.
 Defina función de una variable real creciente, decreciente, par, impar, inyectiva,
sobreyectiva, biyectiva. Y determinar características de funciones analizando sus gráficas.
 Defina y caracterice la función lineal.
 Grafique funciones lineales.
 Determine e interprete pendiente de una recta.
 Obtenga la ecuación de rectas, la pendiente y puntos de la recta.
 Defina y caracterice a la función cuadrática.
 Grafique funciones cuadráticas.
 Defina y determine los ceros de una función.
 Obtenga la ecuación de una parábola.
 Defina y grafique función valor absoluto, función potencial.
 Defina función inversa y obtenga funciones inversas.
 Justifique la existencia de la función inversa.
 Construya funciones inversibles.
 Defina función compuesta y obtenga funciones compuestas.


9.1 DEFINICIÓN
Cuando en una función empleamos como
dominio a números reales, haciéndoles
corresponder un único número real, tenemos
una función de variable real. Es decir:
:f X Y

Ejemplo 1
Sea f una función, tal que:











Observando la segunda componente de los
pares ordenados, nos hace pensar que es
el cuadrado de la primera componente.
 ,9,3,4,2,1,1,9,3,4,2,1,1,0,0 f
f
2
1
0
1
2
3


0
1
4
9

205. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
203
Con conjuntos infinitos, es mejor referirse a las funciones por
comprensión. Para el ejemplo anterior, sería:
 
2
,/f x y y x x   
O más simplemente, denotar su regla de correspondencia de la
siguiente forma: 2
()f x x
Las reglas de correspondencia, usualmente son expresiones
algebraicas en “x ”,  ()y f x . Donde: “x ” es llamada VARIABLE
INDEPENDIENTE O VARI ABLE LIBRE, y “y ” es llamada VARIABLE DEPENDIENTE .

Se dice, entonces que el valor de “y ” depende del valor de “x ” (o “y ” es
función de “x ”)

Ejemplo 2
Sea f , una función de variable real con regla de correspondencia 12)( xxf











Ejercicios Propuestos 9.1
1. ¿Cuál de las siguientes relaciones de variable real NO representa una función?
a)  
2
, / 1r x y y x x    
b)  
2
, / 1r x y y x x    
c)  11  xxy/y,xr
d)  01  xyx/y,xr
e)  , / 2 1r x y x y x    


En fin, tendríamos una cantidad infinita de ejemplos de funciones.
Pero, dada la regla de correspondencia de una función, sería importante
determinar para qué valores de “x ”, se define o tiene sentido esta regla de
correspondencia, es decir determinar lo que llamaremos dominio de la
función.




Algunos valores de esta función
serían: 11)0(2)0( f
31)2(2)2( f



2
0

)(f
)(f
23
01

 f

206. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
204
9.2 DOMINIO
También llamado conjunto de partida.
Sea f una función tal que :f X Y ,
entonces su DOMINIO es el conjunto X . Es
decir: XfDom
Dada la regla de correspondencia, un trabajo interesante es
determinar su DOMINIO NATURAL .
Como las reglas de correspondencia de las funciones son expresiones
algebraicas, normalmente en la variable x ; entonces, para obtener un
valor de la variable dependiente “y ” basta con reemplazar el valor de la
variable independiente “x ”, luego se tendría que calcular (POR AHORA) una
operación aritmética de suma, resta, multiplicación o división, para lo
cual se deberá tener en cuenta lo siguiente:
RESTRICCIONES:
1. DIVISIÓN ENTRE CERO. No está definida.
2. RAÍCES PARES DE NÚMER OS NEGATIVOS. No se
define para números reales.

Ejemplo 1
Hallar el dominio natural para 2
)(xxf
SOLUCIÓN :
Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Domf

Este dominio natural nos permite definir un dominio de la función,
pero dentro de este intervalo, por ejemplo para el caso anterior 0;)(
2
 xxxf


Ejemplo 2
Hallar el dominio natural para 12)( xxf
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que no existen restricciones, por lo tanto Domf


Ejemplo 3
Hallar el dominio natural para 1
23
)(



x
x
xf
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción. Si 1x se produciría una división entre
cero, por lo tanto Dom1f = ,11,

207. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
205
Ejemplo 4
Hallar el dominio natural para4)( xxf
SOLUCIÓN:
Analizando la regla de correspondencia observamos que existe una restricción, si 04x no se puede calcular la raíz
cuadrada, entonces 404  xx , por lo tanto Dom 4,f = /4xx


Ejemplo 5
Hallar el dominio natural para 1
23
)(



x
x
xf
SOLUCIÓN:
Para que tenga sentido la regla de correspondencia se debe cumplir que 0
1
23



x
x . Entonces tenemos
una desigualdad cuyo conjunto solución es:





Ejemplo 6
Hallar el dominio natural para 1
23
4)(



x
x
xxf
SOLUCIÓN:
Ahora debemos resolver simultáneamente: 04x  0
1
23



x
x





Ejemplo 7
Hallar el dominio natural para 32
1
)(
2



x
xx
xf
SOLUCIÓN:
De manera semejante al ejemplo anterior, al considerar simultáneamente que :
01
2
x  032x
Tenemos:










POR LO TANTO Dom 1,1f
POR TANTO
Dom   





 ,
3
2
1,f 41
////////////////////////////////
3
2








 





POR LO TANTO
Dom ,4f 511









 
011
01
01
01
2
2
2




xx
x
x
x

1
32
5
32
32
032








x
x
x
x
x
x

1. 2. 3
2
1
////////////////////////









208. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
206
Ejemplo 8
Hallar el dominio natural para 21
32
)(



x
xx
xf

SOLUCIÓN:
Debemos considerar simultáneamente que:





Entonces interceptando, tenemos:



Por lo tanto  ,33,2fDom



Ejercicios Propuestos 9.2
1. Sea f una función de variable real tal que:  23f x x x   el dominio natural de f es el intervalo:
a)31, b)31, c) ,31, d)
C
,31 e)
C
3,1

2. El dominio natural de la función f , con regla de correspondencia 
13

x
x
xf es el intervalo:
a)0, b)24, c)1 d)4,2 e)211334 ,,, 

3. Dada la función 
2
4
16
x
fx
x


 , entonces el dominio natural de f es el intervalo:
a) 4, b)  ,44, c) ,4
d) ,4 e) No existe ningún valor de x en el cual se defina la función f .

4. Sea f una función de variable tal que xx
x
xf



926
3
)( , entonces el dominio natural de f es
el intervalo:
a)  3,,3  b) , c)3,3
d)3, e) 3,
5. Sea f una función de variable real tal que cbxaxxf 
2
)( .
Si 1)1(;5)3(;2)0(  fff , entonces el VALOR de )2(f es:
a) 5 b) 6 c)–1 d)–4 e) 2








  
3212
/////////////////////////


 
341
21
021
22
21
0201
2
2







xx
x
x
x
xx
xx

209. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
207 101)0(
2
f
0)1(1)1(
2
f
2)2(f 24)4( f 42)2(3)2( f


9.3 FUNCIONES CON REGLA DE
CORRESPONDENCIA DEFINIDA EN
INTERVALOS
Ya hemos mencionado que las reglas de correspondencia de las
funciones pueden ser definidas para sólo ciertos intervalos, subconjuntos
de su dominio natural; entonces podemos definir funciones con regla de
correspondencia en intervalos.
Ejemplo 1
Podemos considerar 2
xy ; 0x y 12xy ; 0x para definir la función 







0;12
0;
)(
2
xx
xx
xf








Es decir, para calcular 2f como 02 usamos 2
)(xxf entonces 42)2(
2
f
En cambio, para calcular )1(f como 01 usamos 12)( xxf entonces 31)1(2)1( f
PREGUNTA: 0)0(f ¿Si ó no? ¿Por qué?

Ejemplo 2
Sea f una función de variable real con regla de correspondencia









2;
12;1
1;23
)(
2
xx
xx
xx
xf
Representando a f sobre la recta numérica, tenemos:




Entonces:















Note que Dom f

En la recta numérica al representar a f , tenemos:

0
12
2







 xx f
21
123
2

















 xxx

f

210. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
208
Ejemplo 3
Sea una función de variable real con regla de correspondencia
11
11
1;31
1;
)(
2










x
xx
xx
xx
xf
Representando a f sobre la recta numérica, tenemos:






9.4 OPERACIONES
Como las reglas de correspondencia de las funciones son expresiones
algebraicas entonces para SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR funciones
se realizarán las operaciones algebraicas de sus definiciones en los
respectivos intervalos.

Ejemplo 1
Sean f y g funciones de variable real, tales que 1)(
2
xxf ; x y 232)(
2
 xxxg
; x . Hallar ))(( xgf .
SOLUCIÓN: Como tanto f y g tienen regla de correspondencia para todo , para obtener ))(( xgf
bastaría con sumar sus reglas de correspondencia; es decir,
  
  133
2321)()(
2
22


xxxgf
xxxxgxf


Note que para obtener )2()2(gf se lo puede hacer empleando la regla
de correspondencia de xgf es decir  71)2(3)2(32
2
gf . O también
calculando )2(f y )2(g y luego sumarlos; es decir 7)4()3()2()2( gf .
En cambio, para obtener )3()2( gf habrá que necesariamente calcular )2(f
y )3(g , y luego sumarlos; es decir, 32293)3()2( gf

Para el caso de funciones con reglas de correspondencia por intervalos,
se puede proceder de acuerdo a lo mostrado en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2
Sean f y g funciones de variable real, tales que
1)(
2
xxf ; 0x y 232)(
2
 xxxg ; 1x
SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir
los respectivos intervalos para operar las reglas de correspondencias.


11
31
22












 




xxx
f

211. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
209







PREGUNTA: existenogf )2)(( ¿Sí o no? Y ¿POR QUÉ?

Ejemplo 3
Sean f y g funciones de variable real, tales que:
1)(
2
xxf ; 0x y 232)(
2
 xxxg ; 2x
Hallar ))(.(xgf .
SOLUCIÓN: Semejante al ejemplo anterior. Procedemos de igual forma.









Por lo tanto    23322321)(
3422
 xxxxxxxgf
; 20x


Ejemplo 4
Sean f y g , funciones de variable real tales que










0
0
;13
;1
)(
2
x
x
x
x
xf y 0
0
;32
;232
)(
2










x
x
x
xx
xg
Hallar ))(( xgf .
SOLUCIÓN: Representemos tanto a f como a g sobre una recta numérica, lo cual nos permitirá definir los
respectivos intervalos para operar.












0
////////////////////////////
32
////////////////////////////
232
2


 




 xxx
f
g
0
////////////////////////////
1
////////////////////////////
13
2








 xx
     
0
///////////////////////////////////
321
///////////////////////////////////////
23213
22



 



 xxxxx
gf  
0
0
;22
;32
2
2










x
x
xx
x
xgf

Por lo tanto
Note f NO ESTÁ DEFINIDA PARA 0x y que g
NO ESTÁ DEFINIDA para 1x .
ENTONCES:   
10;133
2321))((
2
22


xxx
xxxxgf

0
////////////////////
1
2




x
1
////////////////////////////
232
2



xx
f
g

No está definida
No está definida 0
////////////////////////////////
1
2



 x
2
//////////////////////////////////////////////////
232
2



xx
f
g

212. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
210
Ejemplo 5
Sean f y g , funciones de variable real tales que








0;12
0;1
)(
2
xx
xx
xf y 







2;3
2;232
)(
2
xx
xxx
xg
Hallar ))(( xgf
SOLUCIÓN:

















Ejemplo 6
Sean f y g , funciones de variable real tales que









1;1
1;1
2
xx
xx
xf y 






0;1
0;1
xx
xx
xg
Hallar ))(.(xgf
SOLUCIÓN:

















0
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
1
///////////////////////////////////////
12
2



 



 xx
2
/////////////////////////////
3
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
232
2


 



 xxx
f
g
       
20
///////////////////////////////
31
///////////////////////////////////////
2321
///////////////////////////////////////
23212
2222



 







 



 xxxxxxxx
gf

Por lo tanto  










2;2
20;133
0;32
2
2
2
xxx
xxx
xxx
xgf
    
01
///////////////////////
11
///////////////////////////////////
11
///////////////////////
11
2




 





 



 xxxxxx
01
//////////////////////////////////////////////////////////
1
///////////////////////
1
2



 



 xx
01
/////////////////////////
1
////////////////////////////////////////////////////////
1




 


 xx
f
g
gf

 
 
 










0;1
01;1
1;11
2
2
2
xx
xx
xxx
xgf

Por lo tanto

213. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
211
En conclusión:
Si YXf: y YXg: entonces:
1.   YXgf : donde  )()()( xgxfxgf 
2.   YXgf : donde  )()()( xgxfxgf 
3.  YXgf :. donde  )().()(. xgxfxgf 
4. YX
g
f

*
:







 donde 
xg
xf
x
g
f






)( y 0)(xg .
Es decir  0)(/
*
 xgxXX


Ejercicios propuestos 9.3
1. Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son:









5
513
11
2
x;x
x;x
x;x
)x(f 








62
602
05
2
x;x
x;x
x;x
)x(g
Entonces la regla de correspondencia de )x)(gf()x(h  es:
a) 














62
653
5032
0154
142
2
2
2
x;xx
x;x
x;xx
x;x
x;x
)x(h b) 














62
653
5032
0154
142
2
2
2
x;xx
x;x
x;xx
x;x
x;x
)x(h
c) 








52
5132
16
2
2
x;xx
x;xx
x;x
)x(h d) 










6;2
60;32
0;6
)(
2
2
xxx
xxx
xx
xh
e) Elija esta opción si ()hx no existe

2. Sean f y g funciones de variable real , tales que:  
2
1 3 ; 2 3 ; 2
1 ; 22; 2
xx x
f x g x
xxxx
 

 

Entonces  xgf es:
a)  










224
223
223
2
x;x
x;xx
x;x
xgf b)  










224
23
223
2
x;x
x;xx
x;x
xgf
c)  










224
223
223
2
x;x
x;xx
x;x
xgf d)  










224
223
223
2
x;x
x;xx
x;x
xgf
e)  








23
223
2
x;xx
x;x
xgf
3. Sean f y g , funciones de una variable real, tales que 1
1fx
x
() y 1
1gx
x
() , entonces el
dominio NATURAL de la función 
f
x
g , es:
a) 1 b) c) 1 d)01, e)0

214. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
212
4. Sean f y g funciones de una variable real tales que: 
2
22
20
10
;
;
;
xx
f x x x
xx
  

   


 
22
12
;
;
xx
gx
x



. La regla de correspondencia de  f g x es:
a)  
2
2 4 2
2 2 0
0
;
;
;
xx
f g x x x x
xx
  

      


 d)  
2
02
2 2 0
2 1 0 2
2
;
;
;
;
x
x x x
f g x
xx
xx


    
 
  



b)  
2
42
42
2 2 0
;
;
;
x
f g x x
x x x


    

     e)  
2
22
20
0
;
;
;
xx
f g x x x
xx


    



c)  
2
42
2 2 0
2 3 0
;
;
;
x
f g x x x x
xx


      







9.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE VA RIABLE REAL
Los pares ordenados pueden ser representados como puntos en el
PLANO CARTESIANO.
Ejemplo
Ubicando los pares )4,2( , )2,3( y )2,4( tenemos:












Dada la regla de correspondencia de una función de variable real )(xfy
, o más formalmente dada :f X Y tal que  Xxxfyyxf  )(/,
; podemos obtener una TABLA DE VALORES :







)(
)(
)(
33
22
11
3
2
1
xfy
xfy
xfy
y
x
x
x
x




215. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
213
También, a la variable independiente "x " se la llama ABCISA y a la
variable dependiente "y " se la llama ORDENADA. Así que, yx, serán
las COORDENADAS de un punto

El GRÁFICO de una función es el conjunto de
puntos, representados en el plano cartesiano,
correspondiente a los pares ordenados de la
función.











9.5.1 UTILIDAD DEL GRÁFICO
Con el gráfico, podemos:
1. DETERMINAR EL RANGO D E UNA RELACIÓN . El rango será el
intervalo que sea proyección de la gráfica de la relación
sobre el eje "y ".













2. DETERMINAR SI UN LUGA R GEOMÉTRICO ES FUNC IÓN O NO.
Considere lo siguiente:

PARA TODA FUNCIÓN , “CUALQUIER RECTA
VERTICAL DEBERÁ CORTAR A SU GRÁFICA
EN SÓLO UN PUNTO”.
xfy

11
,yx
 
22
,yx
 
33
,yx


Rango
Dominio
y

216. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
214

No es función 1
y
2
y
1
x














3. DETERMINAR SI UNA FUN CIÓN ES INYECTIVA O NO
Recuerde que:
f ES INYECTIVA  
2121 xxxfxf  fDomxx
21
,
O lo que es lo mismo:
f ES INYECTIVA  
2121 xfxfxx  fDomxx
21
,
Gráficamente, tendríamos que para una función
inyectiva:
“TODA RECTA HORIZONTAL DEBERÁ CORTAR
A SU GRÁFICA EN SÓLO UN PUNTO”











Una función no inyectiva sería:

217. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
215

4. DETERMINAR SI UNA FUN CIÓN ES SOBREYECTIVA O NO
Recuerde que una función f ES SOBREYECTIVA si y sólo sí
rangof Y para f : XY  
Entonces al hallar el rango de la función, inmediatamente
se podrá establecer si es sobreyectiva o no.

5. DETERMINAR SI LA FUNC IÓN ES BIYECTIVA.
Al determinar si es inyectiva o no y si es sobreyectiva o no,
entonces se podrá establecer si la función es biyectiva o
no.

Ejemplo 1
Considere una función de variable real, tal que ( ) 2 1;f x x x   . Trazar su gráfica.
SOLUCIÓN
Hallemos primero la TABLA DE VALORES calculando algunos pares ordenados empleando la regla de
correspondencia dada:


















Ejemplo 2
Considere una función de variable real, tal que 2
( ) ;f x x x . Trazar su gráfica.









93
42
11
00
11
42
93



yx

GRÁFICA TABLA DE VALORES 53
32
11
10
31
52
73




yx

Representamos los pares ordenados como puntos en el plano cartesiano.
Y Luego trazamos la gráfica, siguiendo estos puntos

OBSERVACIONES:
1. La gráfica es una recta.
2. rg f
3. f es inyectiva.
4. Si :f y como rg f
Entonces f es sobreyectiva.
5. Por tanto f sí es biyectiva.

218. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
216









9.6 CLASES DE FUNCIONES
9.6.1 FUNCIÓN CRECIE NTE
Sea f una función de variable real definida en
un intervalo I . Entonces f ES
ESTRICTAMENTE CRECIENTE en I , si y
sólo si Ixx
21, se cumple que
 
1212 xfxfxx 













Ejemplos














OBSERVACIONES:
1. La gráfica es una parábola.
2. rg ,0f
3. f no es inyectiva.
4. Si :f entonces f no es sobreyectiva.
5. Por tanto f no es biyectiva.
PREGUNTA:
¿En que cambian las conclusiones
si se define a la función :
1. :f

2. :f

3. :f
 ?
)(
2xf
)(
1
xf
1
x
)(xfy
2
x

Esta función es
estrictamente creciente
en todo su dominio
Esta otra función, en cambio no es creciente en
todo su dominio, pero podríamos decir que es
creciente en el intervalo ,0

219. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
217
Cuando una función crece en ciertos intervalos y se mantiene
constante en otros intervalos se dirá que la FUNCIÓN ES CRECIENTE .
Entonces se cumplirá que:  
121221, xfxfxxIxx 












9.6.2 FUNCIÓN DECRE CIENTE

Sea f una función de variable real definida en
un intervalo I . Entonces f ES
ESTRICTAMENTE DECRECIENTE en I , si y
sólo si Ixx
21, se cumple que
 
1212 xfxfxx 













Defina FUNCIÓN DECRECIENTE .

9.6.3 FUNCIÓN MONÓ TONA
Sea f una función de variable real definida en
un intervalo I . Entonces f ES MONOTONA
en I , si y sólo si es estrictamente creciente o
estrictamente decreciente en I .

220. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
218
Determinar la monotonía de una función, significará determinar los
intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento.

9.6.4 FUNCIÓN PAR

Sea YXf: una función de variable real.
Entonces f ES PAR, si y sólo si Xx se
cumple que )()( xfxf

Para una función PAR su gráfica será simétrica al eje y :











Ejemplo 1
La función con regla de correspondencia 
2
xxf es par, como lo podemos observar en su
gráfica que ya fue presentada, además  xfxfxxxf 
22


Ejemplo 2
Sea la función con regla de correspondencia 
 
2
2
4
1
1



x
x
xf
Entonces 

  
xfxf
x
x
x
x
xf 






2
2
4
2
2
4
1
1
1
1 por tanto también es par.



9.6.5 FUNCIÓN IMPAR
Sea YXf: una función de variable real.
Entonces f ES IMPAR, si y sólo si Xx se
cumple que )()( xfxf  .

Para una función IMPAR su gráfica será simétrica al origen.

221. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
219 82
11
00
11
82


yx


Ejemplo
Sea la función con regla de correspondencia 
3
xxf
Realicemos su gráfica punto a punto. Para lo cual:











Además  )(
33
xfxxxf  , por tanto es impar.

Ejercicio resuelto 1
Determine si la función con regla de correspondencia 
2
1)( xxf , es par o impar.
Hallamos    )(11)(
22
xfxxxf  , por tanto no es par, ni impar.

Ejercicio resuelto 2
Determine si la función con regla de correspondencia 23)(
4
 xxxg , es par o impar.
Hallamos  232)(3)(
44
 xxxxxg )(xg , por tanto no es par, ni impar.

Ejercicio resuelto 3
Determine si la función con regla de correspondencia 43)(
24
 xxxh es par o impar.
Hallamos  )(434)(3)(
2424
xhxxxxxh  ; por tanto es par.



Ejercicio propuesto 9.4
Determine ¿cuál de las reglas de correspondencia define funciones PARES, IMPARES o ninguna?:
1.  1;f x x x   4. 
2
2 1 ;f x x x x   
2. 
2
2;f x x x   5. 2 1 ;f x x x  
3. 
3
1;f x x x   6. 
3
4
;
1
x
f x x
x



222. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
220
)(
1
xf
1
x


Hacia ARRIBA
9.6.6 TECNICAS DE GRAFICACIÓN
9.6.6.1 DESPLAZAMIEN TOS
HORIZONTALES
Suponga que f es una función de variable real, cuyo gráfico es










Entonces al desplazarla horizontalmente, tenemos:








9.7.6.2 VERTICALES





VERTICALES















DERECHA IZQUIERDA
1
x
ax
1 a
ax
1
1
x a

223. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
221












Ejemplo
Sea 2
)(xxf cuya gráfica es:










Entonces la gráfica de 
2
2)( xxf es:










La gráfica de 
2
2)( xxf es:












x
f(x)
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
x
f(x)
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
x
f(x)
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
x
f(x)
1
x
)(
1
xf
axf)(
1
a

Hacia ABAJO - a

224. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
222 x
f(x)
-6 -4 -2 0 2 4 6
0
2
4
6
8

La gráfica de 2)(
2
xxf es:












La gráfica de 2)(
2
xxf es:













Finalmente, combinando los tipos de desplazamiento, la gráfica de 22)(
2
xxf será:




















x
f(x)
-4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
x
f(x)
-4 -2 0 2 4
-2
0
2
4
6

225. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
223
9.6.6.2 REFLEXIONES
9.6.6.2.1 CON REPECTO AL EJE "x " (CAMBIO DE SIGNO DE LA
FUNCIÓN)

Si una función f tiene por gráfica











La gráfica de f es:













Ejemplo
La gráfica de 2
)( xxf  sería:














x
f(x)

La parte positiva de la gráfica de f ( la que
está arriba del ejex ) se la hace negativa
dibujándola simétricamente abajo del eje x .
(Giro de 180
0
con respecto al eje x )
Y la parte negativa, la que está bajo el eje x
, se la hace positiva dibujándola
simétricamente encima del eje x. fx
fx

226. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
224
9.6.6.2.2 CON REPECTO AL EJE "y " (CAMBIO DE SIGNO AL
ARGUMENTO)
Con respecto a la gráfica de f anterior, la gráfica de fx es:












Ejemplo
La gráfica de 
2
( ) 3 4f x x    es:












Entonces la gráfica de ()y f x la obtenemos rápidamente dando un giro de 180 a la gráfica def con
respecto al eje y :












Esto lo podemos observar cambiando x por x en la regla de correspondencia de f :
 

2
2
( ) 3 4
34
f x x
yx
     
   
fx

La parte de la derecha de la gráfica de f se la
dibuja simétricamente a la izquierda del eje y .
(Giro de 180
0
con respecto al eje y )
Y la parte de la izquierda, se la dibuja
simétricamente a la derecha del eje y .

227. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
225

9.6.6.3 COMPRENSIONES Y ALARGAMIENTOS

Si multiplicamos a la regla de correspondencia de una función por una
constante diferente de cero se producen los alargamientos o las
comprensiones.

Ejemplo 1
La gráfica de 2
2xy sería














Ejemplo 2
La gráfica de 2
2
1
xy sería






















La parábola comprimida
La parábola alargada

228. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
226


Ejercicio resuelto 1
Sea f una función de variable real tal que su gráfica es:











Graficar 1
2
1
2  xfy
Debemos llagar hasta el gráfico solicitado a partir del gráfico de f





































f
desplazada una
unidad a la izquierda
La anterior comprimida a la mitad
La anterior reflejada
con respecto al eje x
La anterior desplazada 2
unidades hacia arriba

229. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
227


Ejercicio resuelto 2
Sea g una función de variable real tal que su gráfica es:











Graficar 122  xgy
La gráfica solicitada se la obtiene a partir de la gráfica de g




































g desplazada una
unidad a la derecha
La anterior alargada al doble
La anterior reflejada
con respecto al eje x
La anterior desplazada 2
unidades hacia arriba

230. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
228


Ejercicio Propuesto 9.5
1. Con respecto al gráfico de la función f .










Una de las siguientes reglas de correspondencia tiene GRÁFICO asociado CORRECTO, Identifíquelo:
a) ( ) - ( ) g x f x b) ( ) ( 1) g x f x










c) ( ) ( ) 1g x f x d) ( ) ( ) -1 g x f x









e) ( ) - ( ) 1g x f x










2. Sea el f una función de variable real cuya gráfica es:












Graficar:
a) fx b) fx c)  2fx
d) 2fx e) 
1
2
fx f) 2fx
g)  22fx h)  
1
2
2
fx  

231. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
229
12xy

9.6.7 FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal tiene las siguientes características:

1. La regla de correspondencia en su expresión
simplificada, es una ecuación lineal, de la forma: bmxy 

2. A “m ” se la denomina PENDIENTE (medida de la
inclinación) de la recta.
“b ” es el intercepto de la recta con el eje “y ”.

3. El gráfico es una recta. Si “m ” es positivo (0m ) la
recta es creciente.










Ejemplo
La gráfica de 12)( xxf es:












4. Si “m ” es negativo (0m ) la recta es decreciente.










0;  mbmxy

0;  mbmxy

232. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
230
13xy

Ejemplo
La gráfica de 13)( xxf es:










5. Si 0m , la ecuación de la recta queda de la forma by .
Su gráfica son RECTAS HORIZONTALES. Se la llama FUNCIÓN
CONSTANTE.









Ejemplo
La gráfica de 1)(xf es:










Entonces la ecuación del eje “x ” sería 0y .

Otros tipos de rectas importantes a ser mencionadas, aunque no son
funciones (¿POR QUÉ?), son las RECTAS VERTICALES








by

1y

Note que: 1)100(
1)5(
1)2(



f
f
f

ax
a

233. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
231
1x

Ejemplo
La gráfica de 1x es:










Estas rectas tienen pendiente infinita. ¿POR QUÉ?

La ecuación del eje “y ” sería 0x .

6. Si 0b , tenemos a las rectas que contienen al origen














Si 1m y 0b , tenemos a la FUNCIÓN IDENTIDAD.















y
x
mxy
y
x
xy

234. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
232


7. Dos puntos definen una recta.












Conociendo dos puntos de la recta, se podrá encontrar
su ecuación empleando la fórmula:

 
1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 




Donde la pendiente es: 12
12
xx
yy
m


 ó 21
21
xx
yy
m



es decir: elevación
recorrido
m

Ejemplo 1
Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos1,0
1
P y 7,2
2
P
Solución:
Debemos emplear  
1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



para lo cual 0
1
x , 1
1
y , 2
2
x , 7
2
y
Reemplazando, tenemos:










Note que el orden en que se tomen los puntos 1
P y 2
P no importa.





Recorrido 12
xx

Elevación 12yy
222
( , )P x y
111
( , )P x y

DEDÚZCALA 
13
31
2
6
1
0
02
17
1
1
3









xy
xy
xy
xy

235. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
233
1y

Ejemplo 2
Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos 
1
2,1P y 
2
2,1P
Solución:
Debemos emplear  
1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 



para lo cual 2
1x , 1
1
y , 2
2
x , 1
2y
Reemplazando, tenemos:







1
01
2
22
11
1






y
y
xy


Ejemplo 3
Encuentre la ecuación de la recta definida por los puntos 
1
1,2P y 
2
1, 2P
Solución:
Debemos emplear  
1
12
12
1 xx
xx
yy
yy 




para lo cual 1
1
x , 2
1y , 1
2
x , 2
2y

Reemplazando, tenemos:



1
12
4
0
1
0
4
2
1
11
22
2
0










x
xy
xy
xy










1x

236. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
234
9.6.8 FUNCIÓN CUADRÁ TICA
Las características de una función cuadrática son:

1. La REGLA DE CORRESPONDE NCIA, en su expresión
simplificada, es una ecuación cuadrática de la forma: cbxaxxfy 
2
)(
, donde , , 0a b c a  

Ejemplo 2
)(xxf
es una función cuadrática. Su gráfica ya fue realizada y habíamos determinado
que es la siguiente:














2. La GRÁFICA es una parábola.

3. Si 0a (positiva), la parábola es cóncava hacia arriba.

4. Si 0a (negativa), la parábola es cóncava hacia abajo.

5. El VÉRTICE de la parábola tiene coordenadas ),(
00
yxV
donde 0
2
b
x
a
 y 0
2
b
yf
a



 . (¿DEMUÉSTREL O?)
6. La parábola es simétrica a la recta 2
b
x
a
 .
7. Los interceptos de la parábola con el eje “x ” (si fuese
el caso), llamados también CEROS DE LA FUNCIÓN , se los
encuentra resolviendo la ecuación 2
0ax bx c   (¿POR
QUÉ?)

Ejemplo
Sea 12)(
2
 xxxf
Entonces, para esta función 2a , 1b , 1c .
De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la gráfica es una PARÁBOLA CONCAVA HACIA
ARRIBA porque 0a y lo será a partir de su VÉRTICE, cuyas coordenadas son:

237. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
235

a
b
x
2
0 )2(2
1
0

x 4
1
0
x

8
7
1
4
1
16
1
2
1
4
1
4
1
2
0
0
2
0















y
y
y


Esta función no tiene ceros.




8. Otra manera de tratar a la función cuadrática es
llevarla a la forma 2
00
( ) ( )f x a x x y   (FORMA
CANÓNICA). En este caso las coordenadas del vértice
serían 00
( , )V x y .

Ejemplo 1
Para 12)(
2
 xxxf , podemos completarle cuadrados hasta llevarla a la forma
canónica.
22
2
1 1 1
( ) 2 1 2 1
2 16 8
17
( ) 2
48
f x x x x x
f x x

       



  


De aquí sería más fácil visualizar su gráfica.
La gráfica de 2
2yx , desplazada 1
4 de unidades hacia la derecha y 7
8 hacia arriba.


Ejemplo 2
Sea 243)(
2
 xxxf .
Llevándola a la forma canónica
22
2
4 4 4
( ) 3 4 2 3 2
3 9 3
2 10
( ) 3
33
f x x x x x
f x x

         



   


SEGUNDO FORMA:
Como 03a entonces su gráfica es una parábola CONCAVA HACIA ABAJO a partir de su vértice:

a
b
x
2
0 3
2
)3(2
4
00 

 xx


por lo tanto

238. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
236




















Los interceptos con el eje “x ” serían:
6
)2)(3(4164
2
4
0243
0243
2,1
2
2,1
2
2






x
a
acbb
x
xx
xx 3,0
3
102
7,1
3
102
22
11






xx
xx


Ejercicio propuesto 9.6
1. Graficar:
a) 24
2
 xx)x(f d) xxxf 4
2
2)( 
b) 12
2
 xx)x(f e) xxxf 12
2
3)( 
c) xx)x(f 
2 f) 24
2
2)(  xxxf

2. La regla de correspondencia de la función::f cuyo gráfico se muestra, tiene la forma:
 cbxaxxf 
2
















Entonces el valor de b es:
a) 4 b)1 c)2 d)-4 e)-1/2




3
10
0
2
3
4
0
2
3
8
3
4
0
2
3
8
3
9
4
30
2
3
2
4
2
3
2
3
0





























y
y
y
y
y

239. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
237


9.6.9 GRÁFICOS DE FUNCIONES CON REGLA DE
CORRESPONDENCIA POR INTERVALOS

Para obtener la gráfica de una función de variable real que esté
definida con regla de correspondencia por intervalos, se deberá graficar
en los respectivos intervalos las curvas correspondientes.

Ejemplo
Sea f , una función de variable real, con regla de correspondencia 2
;0
()
2 1 ; 0
xx
fx
xx
 


Entonces su gráfica es:














Ejercicios propuestos 9.7
1. Sea f una función de variable real cuya regla de correspondencia es:











33
313
132
2
2
xx
xx
xxx
xf entonces su gráfica es:
a) b)










c) d)












1 12xy
2
xy

Note que: 0)0(f
3)2( f
4)2(f

240. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
238


e)












2. Si f es una función de variable real, tal que: 








-2< x; 2-3x-
2 x; 3
2<x2- ; 12
)(
2
x
xf
Entonces el RANGO de f es:
a) ,1 b)  15, c)  15, d)  158, e)  ,15
3. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia: 










342
332
310
2
xx
xx
x
xf
Entonces, el RANGO de f , es el intervalo:
a) ,10 b) ,7 c),7 d)710, e) ,7
4. Sea :f , una función tal que: 







0;42
0;2
)(
2
xx
xx
xf
Para que 4)(xf , se requiere que:
a) 6x b) 6x c)0x d) 602  xx e)2x

5. Considerando la función f , con regla de correspondencia: 










4;6
44;16
4;6
2
xx
xx
xx
xf
Una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA. Identifíquela.
a)f es una función impar. b) El rango de f es el intervalo 4, .
c)f es creciente en el intervalo 14, . d) El dominio de f es el intervalo,0 .
e)f es una función par.

6. Dada la función: 











5;5
55;5
5
5;5
2
xx
x
x
xx
xf entonces es VERDAD que:
a)f es creciente en el intervalo  0, d)f es decreciente en el intervalo ,0 .
b)f es una función par. e)f es una función impar.
c)f no es función.

7. Sea f una función de variable real, cuya gráfica es:














Entonces su regla de correspondencia es:

241. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
239
a)












2;4
20;2
02;2
2;2
2
xxx
xx
xx
x
xf b)









2;4
22;2
2;2
2
xxx
xx
x
xf
c)












2;4
20;2
02;2
2;2
2
xxx
xx
xx
x
xf d)












2;4
20;2
02;2
2;2
2
xxx
xx
xx
x
xf
e) 









2;4
22;2
2;2
2
xxx
xx
xx
xf

8. Sea 1 ; 0
( ) 0 ; 0
-1 ; 0
x
g x x
x





 . Entonces el gráfico de  
2
2 ( ) ,f x g x x x    , es:
a) b)










c) d)










e) Elija esta opción si ningún gráfico corresponde.


9.6.10 FUNCIÓN VALO R ABSOLUTO

La regla de correspondencia es: 





0;
0;
)(
xx
xx
xxfy

Su Gráfico, sería:











Las definiciones anteriores también serían aplicables a esta función.
xy
xy

242. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
240
Ejemplo 1
Para obtener la gráfica de 11)( xxf , se podría pensar en la gráfica de xy
desplazada una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba.















Para obtener la ecuación de cada recta, debemos pensar en destruir el valor absoluto en 11xy
para lo cual:





También se podrían presentar casos en que las funciones estén
afectadas por valor absoluto.
Suponga, que la gráfica de una función de variable real es la siguiente:











1 
2
11


xy
xy
11 )x(y






1;2
1;
)(
xx
xx
xf

yx 2yx

243. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
241
La gráfica de ()y f x sería:












Por lo tanto, la gráfica de f es la gráfica de f hecha positiva, es decir:

( ) cuando 0
()
( ) cuando ( ) 0
f x f x
fx
f x f x




La gráfica de y f x sería:












La gráfica de y f x sería:













()fx ()yfx ()yfx ()y fx
fx ()yfx ()yfx



;0
;0
f x x
fx
f x x




fx ()yfx ()yfx



;0
;0
f x x
fx
f x x





Nos quedamos con la parte derecha de f
y la reflejamos con respecto al eje y .
Nos quedamos con la parte izquierda de f
y la reflejamos con respecto al eje y .

244. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
242
Ejemplo 2
Para obtener la gráfica de 21xy , podemos pensar en la gráfica de xy desplazada
una unidad a la izquierda y dos unidades hacia abajo y de allí hacerla positiva, obteniendo su valor
absoluto.













Los interceptos con el eje x :


Es decir:
y


Ejemplo 3
Sea












El gráfico de fx sería:











1
12
21



x
x
x
3
21
2)1(



x
x
x 021
210


x
x


fx

245. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
243
1.224
2
 xparaxxy
2. 204  xparaxy
3. 04  xparay
El gráfico de fx sería:
















El gráfico de fx sería:

















Analicemos los siguientes ejercicios:

Ejercicio resuelto 1
Sea :f una función tal que: 











0;4
20;4
2;24
2
x
xx
xxx
xf , entonces el RANGO de f
es el intervalo:
a) ,4 b)  ,02,4 c) ,44,2 d) ,02,4 e)  ,02,4

Solución:

Debemos graficar cada regla definición en sus respectivos intervalos, es decir:


fx
fx

246. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
244
2
42y x x para x   

1. Para 24
2
 xxy , tenemos una parábola, que en su forma canónica sería: 
2
22
4 2 4 4 2 4 2 2y x x x x x          












2. Para 4 para 0 2y x x    tenemos una recta (grafíquela evaluando su ecuación en sus extremos,
es decir en 0x y en 2x )
3. Para 4 para 0yx   tenemos una recta horizontal
Entonces la gráfica sería:











Observando el gráfico, tenemos que   ,02,4frg . Por lo tanto la opción “b” es correcta

Ejercicio resuelto 2
Graficar ( ) 1 ;f x x x x   
Primero obtengamos su regla de correspondencia en forma explícita, para lo cual destruimos los
valores absolutos, es decir:






Entonces, su gráfica es:








VÉRTICE a
b
x
2

2x
2
284


y
y

( 1) ( ) ( 1) 1
01
1 2 1 1
1
y x x y x x y x x
y x x y x y
y
           
        


12xy
1y
1y









0;1
10;12
1;1
)(
x
xx
x
xf

CEROS: 59.022
41.322
2
224
2
)2(4164
024
22
11
2,1
2,1
2







xx
xx
x
x
xx

Sumamos y restamos 4 para completar
cuadrados. Luego obtenemos su valor absoluto.

247. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
245



Ejercicios propuestos 9.8
Graficar:
1. ( ) 1 2f x x  
2.  12f x x  
3. 2 1 1f x x  
4. ( ) 1f x x x  
5. 3 1 2f x x x   



9.6.10.1 OTRAS FUNCIONES ELEM ENTALES

Función cúbica










Función raíz cuadrada











Entonces:










0;xxy
1xy
3
;y x x

248. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
246


















































1xy
xy
xy
11  xxy

249. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
247


HIPÉRBOLA EQUILÁTERA











Entonces:
1
1


x
y 1
1

x
y












Función 2
1
)(
x
xf








Función 3
)( xxf






x
y
1


250. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
248
2xy
4
2
xy
2xy


Ejercicio resuelto
Sea :f una función con regla de correspondencia:












22
224
22
2
xx
xx
xx
xf
entonces una de las siguientes afirmaciones es CORRECTA, identifíquela:
a) La función es biyectiva. b) La función es sobreyectiva.
c) La función es inyectiva. d) La función es impar.
e) La función es par.
SOLUCIÓN: Debemos graficar f para así determinar sus características.
Note que xy 2 debe ser considerado de la siguiente forma )2(xy










Entonces, de acuerdo al gráfico, f es una función par. Por lo tanto la opción “e” es correcta



Ejercicios propuestos 9.9

1. Sea :f una función tal que 










0;1
60;3
6;9
)(
2
xx
xx
x
xf Entonces es VERDAD que:
a) f es par b)3)6(65)8(9)50(  fff
c) f no es sobreyectiva d) f es inyectiva e) f es impar

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA con respecto a la función f de variable real?
2
3
( 2) ; -1
( ) -1 ; 1
; -1 1



xx
f x x x
xx
  




a) f es creciente en el intervalo (-1,1) b) f es impar en el intervalo (-1,1)
c) f es par en el intervalo (1,+) d) f es decreciente en el intervalo (-2,-1)
e) f es creciente en el intervalo (1,+)
3. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia: 











1;44
1;
1;1
2
xxx
xx
x
xf . Entonces es
FALSO, que:
a) ,0frg d) f es creciente en el intervalo ,2 .
b) f no es una función par. e) f no es una función impar.

251. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
249


c) f es decreciente en el intervalo 1,0 .

4. Considere el gráfico de una función de variable real:



















Entonces su REGLA DE CORRESPONDENCIA es:
a) 











2,3
20,21
0,
2
xx
xx
xx
xf c) 











2,1
20,212
0,
2
xx
xx
xx
xf
b) 











2,3
20,21
0,
2
xx
xx
xx
xf d)  











2,3
20,122
0,
2
xx
xx
xx
xf
e) 











2,3
20,212
0,
2
xx
xx
xx
xf

5. Realizar las gráficas de las funciones con reglas de correspondencias:
a)2
2 5 ; 0
( ) 1 ; 0 2 ;
1 ; 2



xx
f x x x x
x


    


 b) ( ) 2 1 2 1 ; f x x x x    
c) 
2
( ) 2 3f x x   d) ( ) 2 6 4f x x  
6. Si f es una función de variable real tal que: 2
2 1 , - 2 1
()
2 1 , 1 3


xx
fx
x x x
  

   
entonces el GRÁFICO de f es:

a) b)










c) d)









e) Elija esta opción si ninguno es el gráfico.

252. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
250

7. Sean 
2
1 ; -2 1
3 2 ; 1< <3
xx
fx
x x x
  

 y ( ) ;
2
xx
g x x


GRAFICAR:
   a) b) c) - d) - -2 f x g x f x g x
8. Si se define la función f con regla de correspondencia 2
( ) ;f x x x entonces, una de las
siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela.
a) f es una función PAR
b) Para x=-2, el valor de la función es 8
c) 3
)(xxf
d) En el intervalo (0,+), f es estrictamente creciente
e) El rango de f es (0,+)

9. La gráfica de la función ( ) 1 1 ; es : f x x x x   

a) b)










c) d)









e) Seleccione esta opción si ninguna de las anteriores es el gráfico.

10. Considere el siguiente gráfico para una función g de variable real:












Entonces el GRÁFICO de f , tal que  121  xgxf ,es:

a) b)

253. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
251




c) d)














e)











11. Sea f una función de una variable real, con regla de correspondencia:














22
2222
8
1
222
2
2
xx
xx
xx
xf
Entonces el RANGO de la función es el intervalo:
a) 2, b) ,0 c) ,2 d) , e),2


12. Sea x y x  4 ; 24)(  xxf , entonces es FALSO que:
a) Si la función es impar, entonces la función no es par
b) El vértice de la parábola está en (4,2)
c) La función es decreciente
d) La función es par
e) El Rango de la función es ,2
13. La GRÁFICA de la función f , con regla de correspondencia 
2
2 2 ; 2
2 2 ; 2
1
2 2 ; 2
2
xx
f x x x
x x x

 

    

    

es:
a) b)











c) d)

254. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
252

e)












9.6.10.2 FUNCIONES ESPECIALES

9.6.10.2.1 FUNCIÓN ESCALÓN

La regla de correspondencia es: 
1 ; 0
()
0 ; 0
x
f x x
x


 


Su Gráfico, sería:













9.6.10.2.2 FUNCIÓN SIGNO
La regla de correspondencia es:
1 ; 0
() 0 ; 0
1 ; 0
x
f x sgn x x
x


 


Su Gráfico, sería:









-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
()f x x
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
()fx sgnx

255. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
253
9.6.10.2.3 FUNCIÓN ENTERO MAYOR

La regla de correspondencia es:

( ) ; 1,f x x n n x n n       


Se podría decir que el entero mayor de un número real x es igual al
mayor de los enteros que es menor o igual a x .
Es decir 3 ; 3 4
2 ; 2 3
1 ; 1 2
()
0 ; 0 1
1 ; 1 0
2 ; 2 3
x
x
x
f x x
x
x
x




 


   


   

   


Su Gráfico, sería:













Ejemplo 1
La gráfica  sgn 2f x x , sería la gráfica de sgnyx desplazada 2 unidades a la
derecha.

1 ; 2 0 1 ; 2
sgn 2 0 ; 2 0 0 ; 2
1 ; 2 0 1 ; 2
xx
x x x
xx
  

     

    










-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
()f x x

-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
sgn 2fx x

256. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
254
Ejemplo 2
La gráfica  3sgn 2f x x , sería la gráfica de sgn 2yx alargarda por 3.




3 1 ; 2 3 ; 2
3sgn 2 3 0 ; 2 0 ; 2
3 ; 23 1 ; 2
x x
x x x
xx
 
 
    

 



















Ejemplo 3
La gráfica  3sgn 2f x x , sería la gráfica de 3sgn 2yx reflejada (girada 180
0
)
con respecto al eje x=2.

3 ; 2 0 3 ; 2
3sgn 2 0 ; 2 0 0 ; 2
3 ; 2 0 3 ; 2
xx
x x x
xx
  

     

    

















Nota: En este caso es igual que  3sgn 2f x x   ( reflejada con respecta al eje x) ¿Por
qué?. -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
 3sgn 2f x x
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
 3sgn2f x x

257. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
255
Ejemplo 4
La gráfica  sgn 2f x x , sería 
1 ; 2 0 1 ; 2
sgn 2 0 ; 2 0 0 ; 2
1 ; 21 ; 2 0
x x
x x x
xx
   
 
     

   


















Ejemplo 5
La gráfica   sgn 2f x x , sería


















Ejercicios propuestos 9.10
1. Calcular:
a) 
95
2sgn
22
13
 
 

 b)  

1
sgn
2
e
e


   
    

-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
 sgn 2f x x
-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
 sgn 2f x x

258. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
256
2. Graficar:
a) ( ) 1f x x
b) ( ) 3 1f x x
c)  
2
( ) 1f x x
d)  
2
( ) 1 4f x sgn x  
e) ( ) 2f x x x  
f)  ()f x sgn x sgn x
g)  ( ) 2 1 5 2f x x sng x   
h) ( ) 1f x x   

i) ( ) 2f x x  

j) ( ) 2f x x   

k) ()
2
x
fx




l) ()f x x x   

m) ()f x x x   

n)  ()f x x sng x
o)  
2
3f x x sng x  
p)  1f x x sng x  

3. Considerando Re , hallar el conjunto solución para:
a. 21x
b.  
2
sgn 4 1x  
c.  
2
sgn 2 4 1x  

d.  0x sng x
e. 2
1x

4. Sean f y g funciones de en tales que 

 
2 1
Sgn 2 1
;,
;
xx
fx
x x x
 


    
 4
1 4
;
;
xx
gx
xx
 


  
. Entonces  f g x es:
a)  


04
1 4 2
1 2 0
2 1 0 1
14
24
;
;
; ,
;
; ,
;
x
xx
x
f g x
xx
xx
x


    

  

 
  




  d)  
 


14
2 4 2
2 1 2 1
14
24
;
; ,
; ,
; ,
;
x
xx
f g x x x
xx
x
  

   


    





b) 
 


1 4 2 0
2 4 2
2 1 0 1
14
24
; , ,
;
; ,
; ,
;
x
xx
f g x x x
xx
x
     

    

   




 e) 
 

1 4 2 1
2 4 2
14
24
; , ,
;
; ,
;
x
xx
f g x
xx
x
     

    
 



c)  
 


04
1 4 2
2 1 2 1
14
24
;
; ,
; ,
; ,
;
x
xx
f g x x x
xx
x


   


    





5. Si f es una función de en tal que  sgnf x x x , entonces su grafico es:



















e) Ninguno
a)-3-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f

b)-3-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f

c)
-3-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f
d)-3-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f

259. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
257
6. Si f es una función de en tal que 3 4 2 5f x x x x        , entonces su
grafico es:

































9.6.11 FUNCIÓN INVERSA
Ya hemos mencionado que para que la función inversa 1
f exista es
necesario y suficiente que la función f sea biyectiva.
Con conjuntos finitos, determinar inversas es muy sencillo. Para hallar
la función inversa 1
f de una función biyectiva, bastaba con tomar el
camino de regreso; entonces, obteníamos el rango de f como dominio 1
f
y al dominio f como rango de 1
f . En los pares ordenados, la primera
componente pasa a ser la segunda componente y la segunda componente
pasa a ser la primera componente.
Para lograr esto, con una función de variable real f con regla de
correspondencia dada, deberíamos realizar lo siguiente:
1. Si tenemos )(xfy deberíamos hacer yfx . [Cambiar “x” por
“y” y “y” por “x”]
2. Despejar “y ”.
Entonces la regla de correspondencia de la inversa xfy
1
 , sería la
ecuación obtenida.
c)

1234567
-1
1
2
3
x
f
a)
1234567
-1
1
2
3
x
f
b)
1234567
-1
1
2
3
x
f
d)
1234567
-1
1
2
3
x
f
e)
-1 123456
-1
1
2
3
x
f

260. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
258



Ejemplo 1
Sea 12)( xxf , hallar 1
f
SOLUCIÓN:
En 12xy , cambiando “x” por “y” y “y” por “x”, tenemos 12yx
Despejando “y”, 2
1
2
2
1
12
12





x
y
x
y
xy
yx entonces 2
1
2
1
)(
1


xxf

Ocurre algo interesante cuando trazamos tanto la gráfica de f como
de su inversa 1
f en un mismo plano cartesiano.












Los gráficos de f y 1
f son simétricos a la
recta xy .

No olvide que ff


1
1

Ejemplo 2
Sea 2
)(xxf ; 0x hallar 1
f y graficarlas en un mismo plano.
SOLUCIÓN: Como tenemos 2
xy , entonces 2
yx . Donde 0y
Por lo tanto xf
1

261. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
259



Ejemplo 3
Sea 2
)(xxf ; 0x , hallar 1
f y graficarlas en un mismo plano.
SOLUCIÓN: Como tenemos 2
xy , entonces 2
yx donde 0y .
Por lo tanto xf
1













Ejemplo 4
Sea 0;2
2
1
)(
2
 xxxf . Hallar 1
f y graficarlas en un mismo plano.
SOLUCIÓN:
2
2
2
1
1
2; 0
2
24
24
24
( ) 2 4; 2
x y y
xy
yx
yx
f x x x

  

  
  
    





Ejemplo 5
Sea 







2;)42(
2;4
)(
2
xx
xx
xf . Hallar 1
f y graficarla
SOLUCIÓN: Encontramos la inversa para cada intervalo de f . Observe que, la gráfica de f es:

262. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
260
Para 2);42(  xxy tenemos: 0;2
2
1
2;2
2
1
2;42
2;42
2);42(
1






xxf
yxy
yxy
yyx
yyx

Note que 2y cuando 0x





Primero: Segundo:



























Ejercicios Propuestos 9.11
1. Si f es una función cuyo dominio es el intervalo [5,, y su regla de correspondencia es
55)( xxf . Entonces, el dominio de )(
1
xf
 , es:
a) ,5 b) 0 ,5 c) 0 ,5 d)  ,5 e)   + 5, 5 ,5

2. La función inversa de la función de variable real 22)( xxf siendo x  2, es: 
2
-1 -1 2 -1 2
-1 2 -1 2
) ( ) 2 2 ; -2 ) ( ) ( 2) 2 ; -1 ) ( ) ( 2) 2 ; -2
) ( ) 4 ; 2 ) ( ) 2 4 ; 1


a f x x x b f x x x c f x x x
d f x x x e f x x x x
           
      


3. Sea )(
1
xf
 la regla de correspondencia de una función que es inversa de otra función de variable real f y
que está definida así: 3
1
; 2
2
2 ; <2
()
x
x
fx
xx






Entonces el valor de la suma )4()2( ff es igual:
a) 1 b) -1 c) 3 d ) -3 e) 2

4. Si f es una función invertible, tal que:
2
8 15 ; 4
2( -6) ; <4
()
x x x
fx
xx
  


Entonces el dominio de )x(f
1 es:
a) b)  
c
1- ,4 c)  
C
1- ,4 d)  ,2 e)  1- ,
Para 2;4
2
 xxy tenemos: 0;4
2;4
2;4
2;4
2;4
1
2
2
2






xxf
yxy
yyx
yyx
yyx

Note que 2y cuando 0x
Por tanto: 








0;2
2
1
0;4
1
xx
xx
f

263. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
261
5. Sea f una función de una variable real, que tiene una función inversa cuya regla de correspondencia es: 
3
1
;1312
1


xxxf
, entonces la regla de correspondencia de f , es:
a)

3
1
;
3
1
6
2
1


 x
x
xf b)

1;
3
1
6
2
1


 x
x
xf
c)

3
1
;
12
1
3
2
1


 x
x
xf d)

3
1
;
3
1
3
2
1


 x
x
xf
e)

1;
3
1
12
2
1


 x
x
xf

6. Hallar y graficar la inversa de:
a) 
2
1 ; 0
3 1 ; 0
xx
fx
xx


 b) 

3
1 ; 1
1 ; 1
xx
fx
xx



c) 
1 ; 1
1
;1
1
xx
fx
x
x





 d)
2
4 ; 2
2 4 ; 2
xx
fx
xx






9.6.12 COMPOSICIÓN D E FUNCIONES

El concepto de componer funciones ya lo hemos mencionado en el
capítulo 4, sin embargo recuerde que para obtener fg , empezando con
“x ” como dominio de f obtenemos su rango )(xfy , y luego este rango
lo hacemos dominio de g para obtener ))((xfgy . Lo cual
esquemáticamente, sería:





Algo similar se haría para el caso de obtener gf





Si f y g son funciones de variable real, se trabajaría con las reglas de
correspondencia.

Ejemplo 1
Sean ( ) 2 1;f x x x   y 2
( ) 3 2;g x x x x    .
Hallar )(xgf
SOLUCIÓN: Por definición  )()( xgfxgf  (f evaluada en g )




f
g
x
)(xfy )(xfgy
 )()( xfgxfg 
f
g
x
)(xgy )(xgfy
 )()( xgfxgf 
f
g
x
23
2
 xxy
)(xgfy
 )()( xgfxgf 
12x

264. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
262








Ejemplo 2
Para el ejemplo anterior obtener fg
SOLUCIÓN: Por definición )()( xfgxfg  (g evaluada en f), entonces:
 
   


 61412)(
3231212)(
212)144(3)(
212123)(
2)()(3)(
2
2
2
2
2





xxxfg
xxxxfg
xxxxfg
xxxfg
xfxfxfg






Analicemos ahora los siguientes ejercicios resueltos:

Ejercicio resuelto 1
Sean f y g dos funciones de una variable real, cuyas reglas de correspondencia son: 1
2
x)x(f
, x x)x(g 2 , x
Entonces es VERDAD que:
a) El rango de gf es el intervalo ,0
b) El rango de fg es el intervalo 1,
c) ( )(1)f g f =0 d) (1)g f g  2 e) 
1
(1)gg
 =0
SOLUCIÓN:
Analizando una a una las opciones:
a) Obtengamos primero  )()( xgfxgf 

12
12
2
2


xy
xy . Entonces ,1)(gfrg (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es falsa.

b) Obtengamos ahora  )()( xfgxfg 
 12
2
xy
1
12
2
2


xy
xy .Entonces 1,)( fgrg (¿POR QUÉ?), por tanto esta opción es correcta.

c) Caculemos     1)0())2(()1()1(  fgffgffgf . Por tanto esta opción es falsa

d) Calculemos     0)2())1(()1()1(  gfggfggfg . Por tanto esta opción es falsa.

e) Al calcular  11
1


gg por que  
 xxgg
xxgg






1
1 . Por tanto esta opción es falsa.  

 326)(
1)23(2)(
1)(2)(
2
2



xxxgf
xxxgf
xgxgf




265. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
263
xy2
1xy

Veamos, si xxg
yx
xxg




2)(
2
2)(
1 entonces   
 
 xxgg
xxgg
xggxgg






1
1
11
)2(2
)(


 y también

 
 xxgg
xxgg






1
1
)2(2


Ejercicio resuelto 2
Si 





1;1
1;2
)(
xx
xx
xf y ( ) ;g x x x
Entonces la composición g f x está dada por la regla de correspondencia:
a) 2 ; 1
( )( )
1 ; 1


xx
gof x
xx


 c) 2 ; 1
( )( )
1 ; 1


xx
gof x
xx



b) 2 ; 1
( )( )
1 ; 1


xx
gof x
xx
  

 d) 2 ; 1
( )( )
- -1 ; 1


xx
gof x
xx
  


e) 2 ; 0
( )( )
1 ; 0



xx
gof x
xx



SOLUCIÓN:
Aplicando la definición  )()( xfgxfg  tenemos  )()( xfxfg  .
Con la gráfica de f nos podemos ayudar.
















Ejercicios Propuestos 9.12
1. Si f y g son dos funciones de IR en IR tales que: 1)( xxf y 3
)(xxg . Entonces, una de
las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) 
3
1
3






xxgfg b) 20fgf c) 10gfg
d)  1
3
xxfgf e)  3xxfff
2. Seanf y g dos funciones de variable real tal que: 







2;
2;1
)(
xx
xx
xf











4;1
42;
2
2;1
)(
xx
xx
xx
xg
Entonces es FALSO que:

266. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
264
a)  3)2(gf b)1)1(/gf c) 1)2(gf
d)16
3
)4(
)2()2(


g
gf e)4)2(fg

3. Considerando f x ax b . Los valores de a y b para que 41f f x x , son:
a) 1
2
3
2 1
,
,
ab
ab
  

    b) 1
2
3
2 1
,
,
ab
ab


    c) 13
2
1
0
2
,
,
ab
ab
  


  

d) 5 3
2 8
,
,
ab
ab
  

 e) 0 7
2 3
,
,
ab
ab


   




9.6.12.1 COMPOSICIÓN DE FUNCI ONES (PARTE II)

Para funciones cuyas reglas de correspondencias están definidas por
intervalos hay que ser muy cuidadoso.

Ejemplo 1
Sean f y g funciones de variable real tales que:
2
2 1 ; 1
()
;1
xx
fx
xx


 y 2
1 ; 0
()
;0
xx
gx
xx



Hallar: a)f g x y b) g f x
SOLUCIÓN:

a) Aplicando la definición:
 
 
 
2
2 1 ; 1
;1
g x g x
f g x f g x
g x g x
 

 

Ahora debemos averiguar en que intervalo de x , la función g es mayor o igual a 1 y en que intervalo, la
función g es menor a 1 . Para lo cual recurrimos al gráfico de g :



















Se observa que 1g cuando 0x ; y que 1g cuando 0x .
A la definición de g que esté por arriba o en 1y , la multiplicamos por 2 y le sumamos 1, mientras que lo
que esté por debajo de 1y la elevamos al cuadrado (NOTA: ubique sus respectivos dominios una vez que
le aplique la definición). 2
1yx yx ()1gx ()1gx

267. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
265



2
2
2 1 1 ; 0
;0
xx
f g x
xx
  







b) Ahora hallemos g f x aplicando la definición:
  
 
 
2
1 ; 0
;0
f x f x
g f x g f x
f x f x


 

Debemos averiguar en que intervalo de x , la función f es mayor o igual a 0 y en que intervalo, la función f
es menor a 0 . Para lo cual recurrimos al gráfico de f :





















Se observa que f siempre es mayor o igual cero, entonces le aplicamos la primera definición deg a toda f
; es decir, a ambas definiciones de f las elevamos al cuadrado y le sumamos uno (NOTA: ubique sus
respectivos dominios una vez que le aplique la definición).
    
2
1 ; 0g f x g f x f x f x    



 

2
2
2 1 1 ; 1
1 ; 1
xx
g f x
xx
  






Ejemplo 2
Sean f y g funciones de variable real tales que:
3
2
1 ; 0
()
1 ; 0
xx
fx
xx


   y 2
;1
()
1 ; 1
xx
gx
xx
 


Hallar: a)f g x y b) g f x
SOLUCIÓN:
a) Aplicando la definición:
 
 
 
3
2
1 ; 0
1 ; 0
g x g x
f g x f g x
g x g x


  
 
  
 21yx 2
yx ()0fx ()0fx ()fx

268. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
266
Ahora debemos averiguar en qué intervalo de x , la función g es mayor o igual a 0 y en que intervalo, la
función g es menor a 0 . Para lo cual recurrimos al gráfico de g :



























Se observa que 0g cuando 1x ; y que 0g cuando 1x .
A la definición de g que esté por arriba o en 0y , la elevamos al cubo y le sumamos 1, mientras que a la
que esté por debajo de 0y la elevamos al cuadrado, la multiplicamos por -1 y le sumamos 1 (NOTA:
ubique sus respectivos dominios una vez que le aplique la definición).



3
2
2
1 ; 1
1 1 ; 1
xx
f g x
xx




   



b) Ahora hallemos g f x aplicando la definición:
  
 
 
2
;1
1 ; 1
f x f x
g f x g f x
f x f x


 

Debemos averiguar en qué intervalo de x , la función f es mayor o igual a 1 y en que intervalo, la función f
es menor a 1 . Para lo cual recurrimos al gráfico de f :
















2
yx 1yx ()0gx ()0gx
3
1yx 2
1yx ()1fx ()1fx

269. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
267


Se observa que f es mayor o igual uno cuando x es mayor o igual a cero y que f es menor que uno
cuando x es menor que cero.
A la definición de f que esté por arriba de 1y , la elevamos al cuadrado; y a la definición de f que esté
por debajo de 1y le restamos 1 (NOTA: ubique sus respectivos dominios una vez que le aplique la
definición).


2
23
3
2 2
1 ; 0 1 ; 0
1 1 ; 0 ;0
xx xx
g f x
xx xx
   

    



Ejemplo 3
Sean f y g funciones de variable real tales que:
1 ; 0
()
2 1 ; 0
xx
fx
xx


 y 2 ; 0
()
1 ; 0
x
gx
xx



Hallar : a)f g x y b) g f x
SOLUCIÓN:
a) Aplicando la definición:
 
 
 
1 ; 0
2 1 ; 0
g x g x
f g x f g x
g x g x
  
 


Ahora debemos averiguar en qué intervalo de x , la función g es mayor a 0 y en que intervalo, la función g
es menor 0 igual a 0 . Para lo cual recurrimos al gráfico de g :



















Se observa que siempre0g . Por tanto, a toda g habrá que restarle uno (NOTA: ubique sus respectivos
dominios una vez que le aplique la definición).
 


1; 0
2 1 ; 0
1 1 ; 0
f g x g x g x
x
f g x
xx
  


  

1 ; 0
;0
x
f g x
xx




b) Ahora hallemos g f x aplicando la definición: 2y 1yx ()0gx ()0gx

270. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
268
  

 
2 ; 0
1 ; 0
fx
g f x g f x
f x f x


 

Debemos averiguar en qué intervalo de x , la función f es mayor o igual a 0 y en que intervalo, la función f
es menor a 0 . Para lo cual recurrimos al gráfico de f :




















Se observa que 0f cuando 1x así como también cuando 1
2
0x   y que 0f cuando 01x
, así como también cuando 1
2
x
A la definición de f que esté por arriba del eje x , le hacemos corresponder 2 ; y a la definición de f que
esté por debajo del eje x la multiplicamos por 1 y le sumamos 1 .



 
1
2
1
2
2 ; 1
2 ; 0
1 1 ; 0 1
1 2 1 ;
x
x
g f x
xx
xx


  


   


   




Ejercicios Propuestos 9.13
1. Hallarf g x yg f x para:
1. 2 ; 1
()
1 ; 1
xx
fx
xx


 y 2
;1
()
3 ; 1
xx
gx
xx
 


2. 2
1 ; 1
()
2 ; 1
xx
fx
x


 y 1 ; 0
()
1 ; 0
xx
gx
xx
  


3. 2
2 2 ; 1
()
1 ; 1
xx
fx
xx
  

   y 2
2 ; 0
()
4 ; 0
xx
gx
xx


  
4. 1 ; 2
()
;2
xx
fx
xx
  


 y ()g x x
5. 3 ; 1
()
2 ; 1
xx
fx
x


 y 1 ; 3
()
;3
xx
gx
xx
  



6. 2
;0
()
;0
xx
fx
xx


 y 2
6 2 ; 2
( ) 2 ;1 2
1 ; 1
xx
g x x
xx


  

 1yx 21yx ()0fx ()0fx 1
2


271. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
269
2. Si f y g son funciones de en tales que 
3
1
4
11
3 1
4
;
;
xx
fx
xx

  




  
 y f g x x . El valor de 01gg
es igual a:
a) 5
2 b) 1
2 c)8
3
 d)3
4
 e)11
12


3. Sean 
2 0
2 0
;
;
x x x
fx
x
  

 y 
2
2 10 1
1
,
,
xx
gx
xx
  

 . Es VERDAD que:
a) 
2 5 1
2 1
;
;
x x x
f g x
xx
  

 b) 
 2 2 10 - 2 10 0
4 0
;
;
x x x
f g x
x
   


c) 2 ;f g x x    d) 
2
0
0
;
;
xx
f g x
xx



e) 
2
1 0
3 0
;
;
xx
f g x
xx



4. Sean 
4 2
3 2
;
;
xx
gx
xx


 y 
4 5
6 5
,
,
xx
fx
xx


 . Es VERDAD que:
a)  
8 1
1 2 8
2 1 2
9 8
;
;
;
;
xx
xx
f g x
xx
xx


  

  

 b) 
4 1
2 1 8
9 8
;
;
;
xx
f g x x x
xx


   



c) 
5 1
2 1 8
5 8
;
;
;
xx
f g x x x
xx


   


 d) 
5 1
2 1 8
9 8
;
;
;
xx
f g x x x
xx


   



e) 
4 5
9 5
;
;
xx
f g x
xx







Misceláneos
1. Sea f una función de variable real, tal que xx
xx
xf
2
2
)(
2


 , entonces el MAYOR DOMINIO de la función
es:
a)IR b) ,20, c)
C
2,0 d),0 e)2,0IR

2. Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a) Una función f es par, si y sólo si  )()( xfxfx  .
b) Una función f es impar, si y sólo si  )()( xfxfx  .
c) Siempre se cumple que  axaaxx  .
d) Una función es estrictamente decreciente, si y sólo si 21,xx [21xx )()(
21 xfxf ].
e) Una función es estrictamente creciente, si y sólo si 21,xx [21xx )()(
21 xfxf ].

3. Dadas las funciones de variable real f y g cuyas reglas de correspondencia son






4;82
4;4
)(
xx
xx
xf y xxg)(
Entonces  xfg es:
a) 






4;83
4;4
xx
x
xfg b) 






4;8
4;4
xx
x
xfg
c) 









0;24
40;4
4;83
xx
x
xx
xfg d) 









0;2
40;4
4;3
xx
x
xx
xfg

272. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
270
e) 









4;24
40;4
0;83
xx
x
xx
xfg

4. Sean f y g funciones de variable real, tales que






1;2
1;12
)(
2
xxx
xx
xf y 







1;23
1;1
)(
xx
xx
xg , entonces 1gf es:
a)4 b)1 c)3 d)2 e)1

5. Sea :f una función, tal que 







4;28
4;4
)(
xx
xx
xf , entonces es FALSO que:
a) La función no es par.
b) La función no es impar.
c) La función es decreciente en el intervalo 0, .
d) La función es sobreyectiva.
e) La función no tiene inversa.

6. Sea :f , tal que 







2;2
2;2
)(
xx
xx
xf , entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA DE SU
INVERSA es:
a)








2;2
2;2
)(
2
2
1
xx
xx
xf b)








0;2
0;2
)(
2
2
1
xx
xx
xf
c)








0;2
0;2
)(
2
2
1
xx
xx
xf d)








0;2
0;2
)(
2
2
1
xx
xx
xf
e)








0;2
0;2
)(
2
2
1
xx
xx
xf

7. Sean f y g funciones de variable real, tales que: 23
23)( xxxf  y 22)( xxg
Entonces ))(( xfg es:
a)226))((
23
 xxxfg b)246))((
23
 xxxfg
c) 
23
222)32(3))((  xxxfg d)2223
22
 xxx
e)22
23
))((
23



x
xx
xfg

8. Sean f y g funciones de variable real tales que: 22)(  xxxf y 9)(
2
xxg
Entonces el DOMINIO NATURAL de la función g
f es el intervalo:
a)2,
3
2 b),32,
3
2 c) ,22,
2
3 d),
3
2 e),33,
3
2

9. Sea f una función de variable real, entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) Si f es sobreyectiva entonces f es impar.
b) Si f es biyectiva entonces f es decreciente.
c) Si f es par entonces f no es inyectiva.
d) Si f es impar entonces f es creciente.
e) Si f es estrictamente creciente entonces f es sobreyectiva

10. Sean f y g funciones de variable real tales que:








1;
1;13
)(
2
xx
xx
xf y 










5;2
52;3
2;5
)(
2
xx
xx
x
xg
Entonces LA REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función  )(xgf es:

273. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
271
a) 














5;3
52;3
21;5
1;63
)(
2
2
2
xx
xxx
xx
xx
xgf b) 














5;3
52;3
21;5
1;63
)(
2
2
2
xx
xxx
xx
xx
xgf
c) 














5;3
52;3
21;5
1;63
)(
2
2
2
xx
xxx
xx
xx
xgf d) 












5;2
52;3
21;
1;63
)(
2
2
xx
xx
xx
xx
xgf
e) 














5;2
52;3
21;5
1;63
)(
4
2
2
xx
xxx
xx
xx
xgf
11. Sea f una función de variable real tal que:  34
2
 xxxf . Para que 0)(xf entonces “x ”
debe pertenecer al intervalo:
a)0,2 b)  ,01, c)3,1 d) ,31, e)3,4

12. Sea f una función de variable real tal que 












2;4
20;1
02;2
2;3
)(
2
2
1
xxx
xx
xx
x
xf
Entonces en RANGO de f es el intervalo:
a)3,4 b) ,4 c) ,4 d)3,4 e),0

13. Sea :f tal que 










0;1
10;1
1;1
)(
2
xx
xx
xx
xf entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de su
inversa es:
a)











1;1
10;1
0;1
)(
2
1
xx
xx
xx
xf b)








0;12
0;1
)(
2
1
xx
xx
xf
c)








1;13
1;4
)(
2
1
xx
xx
xf d)











1;1
10;1
0;1
)(
2
1
xx
xx
xx
xf
e)








1;1
1;1
)(
1
xx
xx
xf

14. Sean f y g funciones de variable real tales que: 13)(
2
xxf y xxxg 
3
2)(
Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) f es impar pero g es par
b)  1)2(gf
c) fg no existe
d) f es inyectiva o g es impar
e) Si f es par entonces g no es impar

15. El DOMINIO NATURAL de una función f , con regla de correspondencia 2
1
2
)(
2



 xx
x
x
xf ,
es el intervalo:
a)
C
2,1 b)2,1 c) 1, d),2 e)  ,21,

274. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
272
16. Considere una función de variable real, tal que: 3
5
1



y
x . Una de las siguientes afirmaciones es
FALSA, identifíquela:
a) El dominio de la función es el intervalo    ,33,
b) La función es inyectiva en su dominio natural
c) La función intercepta al eje "x" en 5
14

d) La función es decreciente en su dominio natural
e) La función intercepta al eje "y" en 3
14
17. Sean f y g funciones de variable real tal que






1;3
1;2
)(
xx
xx
xf   








0;
0;
2
2
xx
xx
xgf
Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la función g es:
a)










0;4
10;3
1;2
)(
2
2
xx
xxx
xxx
xg b)







04
02
2
x;x
x;xx
)x(g
c)












0;4
10;3
1;1
22
)(
2
2
xx
xxx
x
xx
xg d)xxxg 
2
)(
e)














0;2
10;
2
3
2
1;1
22
)(
2
2
xx
xx
x
x
xx
xg
18. Considere las funciones f y g tales que 10
3
( ) 2 ;f x x x   y 
2
3;g x x x   . Entonces el
RANGO de la función gf es el intervalo:
a) ,3 b),3 c) 3, d)3,3 e)R

19. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) La función 
1
3
1



x
y es inyectiva
b) La función 3
2
xy es par
c) La función 3 xy es decreciente en su dominio natural
d) La función 3
xy es creciente para todos los reales
e) La función xy4 es impar

20. Sea f una función de variable real tal que 2;12)(  xxxf , entonces la FUNCIÓN INVERSA
es:
a) 1;21)(
21


xxxf b) 2;21)(
21


xxxf
c) 1;21)(
21


xxxf d) 1;21)(
21


xxxf
e) f no tiene inversa
21. Sea f una función de variable real tal que 24
13
)(



x
x
xf entonces es FALSO que:
a)x
x
x
x
f
6
52
2
1 







 b)f no es par c)f no es impar
d) f está definida para 2
1
x e)0
3
1
f
22. Sea f una función de variable real tal que 31)(  xxf . Entonces una de las siguientes
proposiciones es correcta, identifíquela:
a) La gráfica de f se dibuja en el primer cuadrante y segundo cuadrante.
b) El rango de f es el intervalo 3,
c) El rango de f es el intervalo  3,
d) f es una función impar
e) f es una función par

275. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
273
23. Sea la recta con ecuación 253 yx . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) La pendiente de la recta es 3
5

b) La recta intercepta al eje y en 2
c) La recta es paralela a la recta 5
21
5
3
xy
d) El punto 
5
2
,0 pertenece a la recta.
e) La recta es decreciente.

24. Sea xxxf 2)(
21

 ; 1x , la regla de correspondencia de la función inversa de una función f .
Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a)11)( xxf ; 1x b)11)( xxf ; 1x
c)11)( xxf ; 1x d)11)( xxf ; 1x
e)11)( xxf ; 1x

25. Sean f y g funciones de variable real tal que: xxf 3)( y 9
1
)(
2


x
xg Entonces el
DOMINIO NATURAL de ))(( xgf es el intervalo:
a) b)3,3 c)3,3 d)
C
3,3 e)
C
3,3

26. Sea :f una función tal que 12)(
2
 xxxf . Entonces su GRÁFICA es:























e)













27. Sea :g una función tal que 43)( xxg . Entonces una de las siguientes afirmaciones es
FALSA, identifíquela.
a) 43g
b) El rango de g es el intervalo  ,4
c) g es decreciente en el intervalo  3,
d) g es creciente en el intervalo ,0
e) 10g y 3)2(g

a) b)
c)
d)

276. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
274
28. Sean :f y :g , funciones tales que: 32)(
3
xxf y 
36
134)(  xxxg
Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de ))(( xgf es:
a)326))((
23
 xxxgf b)33))((
23
 xxxgf
c)14))(( xxgf d)323))((
3
xxgf
e)312))((
3
xxgf

29. Sea la función 32
1
3
12
)(





x
x
x
xf , entonces su DOMINIO NATURAL es el intervalo:
a)
C
5,1 b)
C
5,1 c) 5, d),1 e)
C
5,1

30. Considerando la función de variable real 








22
22
)(
2
xx
xx
xg , es FALSO que:
a)g es inyectiva. b)3
)0(
)3()1(


g
gg c)g es creciente para 2x .
d)g tiene inversa. e)g no es impar.
31. Sean las funciones 








0;
10;13
1;12
)(
2
xx
xx
xx
xf , y 





0;2
0;1
)(
xx
x
xg , entonces es VERDAD que:
a)El rango de g es  2, . b)g tiene inversa. c)3)1)(( gf .
d)  )1)(()2()1( fggf  . e)g es decreciente en el intervalo )0,( .

32. Sean las funciones 








5;
55;1
5;3
)(
xx
xx
x
xf y 







0;
0;2
)(
xx
x
xg , entonces LA REGLA DE
CORRESPONDENCIA de ))(( xgf es:
a) 











5;2
50;1
05;1
5;3
))((
xx
xx
x
xx
xgf d)











5;2
50;1
05;2
5;3
))((
xx
xx
x
xx
xgf
b) 











5;2
50;1
05;1
5;3
))((
xx
xx
x
xx
xgf e) 











5;2
50;1
05;1
5;3
))((
xx
xx
x
xx
xgf
c) 








0;
20;12
2;5
))((
xxx
xx
x
xgf
33. Sean f y g funciones de variable real, tales que 12)(  xxxf y 2
2)( xxg  , entonces
la regla de correspondencia para gf es:
a)122))((
2
 xxxgf b)2
1))(( xxxgf 
c)12))((
2
 xxxgf d) 
2
122))((  xxxgf
e)322))((
22
 xxxgf

34. Sea g una función de variable real, tal que:

277. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
275
Entonces el GRÁFICO de )2(2)(  xgxf es:
a) b)













c) d)













e)

278. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
276
35. Con respecto a la función de variable real 









3;3
3;)3(
)(
2
xx
xx
xf , una de las siguientes proposiciones
es VERDADERA, identifíquela:
a) 









0;3
0;3
)(
1
xx
xx
xf d) 









0;3
0;3
)(
1
xx
xx
xf
b) 









0;3
0;3
)(
1
xx
xx
xf e) f no tiene inversa.
c) 









0;3
0;3
)(
1
xx
xx
xf
36. Con respecto a la gráfica x
y
3
4 , una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:

a) La función tiene asíntota horizontal en 0y .
b) La función tiene asíntota vertical en 4x .
c) La función es creciente para 0x .
d) La función corta al eje y en -4.
e) La función es decreciente para )0,(x .

37. Sea f una función de variable real tal que 42)(
2
 xaxxf . El VALOR que debe tener "a " de tal
manera que ,fRg
3
2 , es:
a)3
10 b)10
3
 c)10
3 d)3
2
 e)4

38. Sea f una función de variable real, tal que 5
1
)(


x
xxf . Entonces su MAYOR DOMINIO POSIBLE
es:
a) b),5 c)0 d)0, e)0,5

39. Sea f una función de variable real, tal que 24)( xxf . Entonces una de las siguientes
proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) El par ordenado 2,4 pertenece a f .
b) El mayor dominio posible de f es el intervalo  4, .
c) El rango de f es el intervalo  ,2 .
d) El mayor dominio posible de f es el intervalo  4, .
e) f es decreciente en su dominio.
40. Sea f una función de variable real, tal que 










2;3
22;1
2;
)(
2
xx
xx
xx
xf
Entonces es VERDAD que:
a)f es par b))2()2()0(  fff c)rg f
d)f es inyectiva. e)f es biyectiva.
41. Sean f ,g y h funciones de variable real, tales que: 3
)(xxf , 2)(
2
xxg , xxh)(
Entonces es FALSO que:
a))(fg es una función impar. b)fh es una función impar. c)f es creciente en todo .
d)gf no es par ni impar. e)gh es par.
42. Sea f una función de variable real tal que 
x
xx
xf
12
)(

 , entonces su DOMINIO NATURAL es el
intervalo:
a)2,0 b) ,20,1 c) ,20, d) 0, e),2

279. Moisés Villena Muñoz Cap. 9 Funciones de una Variable Real
277
43. Sean f y g funciones de variable real tales que 







2;2
2;13
)(
xx
xx
xf y 







0;
0;
)(
2
2
xx
xx
xg
Entonces es VERDAD que:
a)32gf b)Domfx

 c)








0
g
f no está definida
d)11.gf e)f5,2

44. Sea la función de variable real 









2;5
20;1
0;1
)(
2
x
xx
xx
xf , entonces su RANGO es el intervalo:
a)50, b)51, c),0 d)51, e) ,

45. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 32)( xxf . Entonces es FALSO
que:
a) El punto (2,3) pertenece a la gráfica de f. b) La función f es decreciente
c) La gráfica de f corta al eje x en x=11. d) La gráfica de f no corta al eje y.
e) f es creciente.

46. Dadas las siguientes funciones de variable real, determine ¿cuál de ellas corresponde a una FUNCIÓN PAR?.
a)
2
1)( xxk b)23)(
4
 xxxg c)6)(
2
 xxxj
d)43)(
24
 xxxh e)22)(
3
 xxxf

47. El DOMINIO NATURAL posible de la función f de variable real, con regla de correspondencia 3
2032
)(
2



x
xx
xf
, es el intervalo:
a) 4,3,
2
5
 b) ,33, c) 4,3,
2
5

d) 4,3,
2
5
 e) 4,3,
2
5


48. Sea f una función de variable real tal que: 











5
62
1)(
24
2
ax
x
axf . Si a entonces el VALOR de 





1
2
af
es:
a)1
2

a b)1
2

a c)1
1
2


a
a d)1a e)1
2
a

49. Sean f y g funciones de variable real tales que: xxxf 22)(  y xxg )( . Entonces el
DOMINIO de la función fg es el intervalo:
a),2 b) ,2 c) ,
3
1 d)
3
1
,0 e)1,
3
1


50. Sea f una función de variable real, tal quex
xx
xf
)3)(4(
)(

 , entonces el DOMINIO NATURAL
que tiene la función, es:
a)4,3 b)4, c)4,00,3 d)4,00,3 e)
C
4,3

51. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 2)( xxf , entonces una de las
siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)  2/xxDomf b),0rgf c) f es decreciente en su dominio
d) f no es inyectiva en su dominio e) f es par
52. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia 34)(
2
 xxxf . Entonces el
RANGO de f es el intervalo:
a)1, b)1,0 c),1 d),0 e) 0,

53. El DOMINIO NATURAL posible de una función de variable real con regla de correspondencia 1
2
1
)(
2




x
xx
xf
es el intervalo:
a)1,1 b) 2,11, c) 2,11, d),2 e)2,1

280. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
279

10
10.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
10.3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
10.4 ECUACIONES EXPONENCIALES
10.5 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
10.6 INECUACIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS
10.7 PROBLEMAS DE APLICACI ÓN


Otras funciones de variable real importantes que merecen un capítulo
aparte son las Exponenciales y las Logarítmicas. Así como también las
propiedades de los logaritmos permitirán resolver otras situaciones, no
sólo aquí sino también en otros cursos.

281. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
280
83
42
21
10
1
2
3
2
1
4
1
8
1



yx

TABLA DE VALORES x
y2


OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y caracterice la función exponencial y la función logarítmica.
 Represente en el plano cartesiano el gráfico de funciones exponenciales y logarítmicas
dadas sus reglas de correspondencia.
 Aplique las propiedades de los exponentes y los logaritmos para simplificar expresiones y
resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
 Use esquemas críticos para resolver problemas de aplicación de los logaritmos.



10.1 FUNCIÓN EXPONEN CIAL
Una función f , de variable real, se la
denomina FUNCIÓN EXPONENCIAL si su
regla de correspondencia en su expresión
básica es de la forma:






Ejemplo 1
Sea x
xf 2)( . Tracemos su gráfica, con la ayuda de una tabla de valores












Conclusiones:
En la función exponencial x
ay donde 1a , se cumple que:
 Es una función CRECIENTE
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “x ” (¿QUÉ ES UNA ASÍNTOTA?)
 ()Dom f
 ,0)(fRg


BASE
EXPONENTE x
axf)(
donde 10aa

282. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
281
Estas conclusiones pueden variar si la función exponencial ya no es de
la forma básica.
Observe que: 

2 donde  cantidad muy grande; y por lo tanto 0
2
1
2 



Ejemplo 2
Tracemos ahora la gráfica de x
x
y







 2
2
1 . Con la ayuda de una tabla de valores















Conclusiones:
En la función exponencial x
ay donde 10a , se cumple que:
 Es una función DECRECIENTE
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “x ”
 ()Dom f
 ,0)(fRg

Existe una base utilizada frecuentemente, esta es la base ea .
Algunas gráficas, empleando esta base son:






















 125.03
25.02
5.01
10
21
42
83
3
2
1
2
2
1
1
2
1
0
2
1
1
2
1
2
2
1
3
2
1










yx

TABLA DE VALORES x
x
y







 2
2
1

x
ey

x
ey



283. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
282
Considerando definiciones anteriores para estas gráficas, tenemos:
















































1

x
ey

1
1

x
ey

x
ey




1
1

x
ey

x
ey
x
ey











0;
0;
xe
xe
ey
x
x
x

284. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
283











Ejemplo
Graficar 1
1
( ) 3
2
x
fx





Considere la gráfica de 
1
2
x
y













Trasládela una unidad a la izquierda, luego tres unidades hacia abajo y de allí obtenga su valor absoluto. Es
decir:


















1

x
ey

-4 -3 -2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
1
1
( ) 3
2
x
fx






-4 -3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
x
y
1
1
3
2
x
y






-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
x
y
1
2
x
y





285. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
284
Ejercicio Propuesto 10.1
1. Graficar:
1. 1
2


x
y
2. 
1
1


x
e
y
3. x
y


1
2
4. 1
2


x
y
5. x
y


1
2
6. x
y


1
2
7. 1
23


x
ey

2. El grafico de la función de variable real con regla de correspondencia 
1x
f x e

 es:






















e) Ninguna de las anteriores



a)
-2 -1 1
1
x
f
b)
-1 1 2
1
x
f
c)
-2 -1 1 2
-1
x
f
d)
-2 -1 1 2
1
x
f

286. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
285
10.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

A la función inversa de la función
exponencial, definida biyectiva (
RRa
x
: ), se
la llama FUNCIÓN LOGARÍTMICA. Y su
regla de correspondencia en su expresión
básica es de la forma:
xxf
a
log)( donde 10aa

Con respecto a su gráfica tenemos:













Conclusiones:
La función logarítmica xxf
a
log)( donde 1a
 Es una función CRECIENTE
  ,0logxDom
a . Aquí surge una nueva restricción: 0x (logarítmo de números negativos no se
define)
  log
a
rg x 
 Su gráfica tiene como asíntota al eje “y ”

Por otro lado,










10;log  axy
a
10;  aay
x

1;aay
x
1);(log  axy
a
0)1(log
a

Esta es una función
DECRECIENTE.

287. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
286
Si ea tenemos la función LOGARITMO NATURAL











Si 10a , tenemos:











Pero la gráfica para e
a1 sería:











Aplicando criterios anteriores, por ejemplo desplazamiento horizontal,
tenemos:









)1ln(xy

xy
e
1log

xxy loglog
10


xxy
e
lnlog

288. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
287

Observemos una gráfica interesante:












Entonces la gráfica de xyln sería:
















Ejercicio Propuesto 10.2
Graficar:
1. 1ln2  xy 6. 2lnxy
2. xy 2log 7. 2log
2
1
 xy
3. xy  2log
2
1 8.  1
2
log 2 1yx  
4. 
1
2
log 1 1yx   9. log 1yx

5. xy  2log
2
1
)ln(xy 







0;)ln(
0;ln
ln
xx
xx
xy

289. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
288
Analicemos ahora el siguiente ejercicio:

Ejercicio Resuelto
Sea)3log(
)(
2
1
x
x
xf

 . Hallar su máximo dominio posible.
SOLUCIÓN:
La regla de correspondencia)3log(
)(
x
x
xf

 presenta las restricciones:
0)3(0)3log(0  xxx

Entonces:




Por lo tanto el máximo dominio posible es el intervalo 3,22,0


Ejercicios Propuestos 10.3
1. Graficar :
a) 3
( ) log 2 1f x x   ; x>2
b) 2
( ) 2 log 1f x x   ; x>-1
c) ( ) ln 2 1f x x   

2. El rango de la función: ( ) 4 2 ;
x
f x x

   es el intervalo:
a)0 , b) ,4 c) ,0 d) 4 , e) 4 ,1
3. Si f es una función tal que 3
1
2)( 


x
xf , con x , entonces el rango de f es:
a)  2,3 b)  c)  ,3 d)  3, e) 0,3
4. Dada la función de variable real  xxf  10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función es:
a) ,10 b) 10, c) ,10 d),10 e) 10,

5. Sea la función :f con regla de correspondencia : 











01
011
2
1log
xx
xx
xx
xf

entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) f es sobreyectiva.
b)f es biyectiva.
c)f es una función decreciente.
d)43f .
e)f es una función impar.

6. Sea 








1;1
1;1
2
xx
xx
xf y 
x
xg 3 ,x , entonces es FALSO que:
a)11fg
b)81gf
c) 81gfg
d) 01fgf
e)00gf
  ///////////////////////////// 

0 1 2 3
O

290. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
289
7. Sean f y g funciones de variable real tales que 
2
; 1
; 1
x
ex
fx
xx
 

 y 
3
; 1
log ; 1
xx
gx
xx



 . Se
puede afirmar que:
a)  
2
3
; 1
log ; 1
xx
f g x
xx
 

 b)  
3
log
2
; 1
e ; 1
x
x
ex
f g x
ex
 


 

c)  
 
3
log
2
3
; 1
;1 3
log ; 3
x
x
ex
f g x e x
xx
 


  


 d)  
3
; 1
log ; 1
xx
f g x
xx




e) Ninguna de las anteriores




10.3 PROPIEDADES DE LOS L OGARITMOS

Existen expresiones algebraicas que contienen logaritmos. Para
simplificarlas debemos considerar sus propiedades.
1. 01log
a
2. xa
x
a

log donde 0x
Ejemplo  
132
213log
2
2


xx
xx
para 013
2
xx
Ejemplo 
12
12ln


xe
x
para 012x
3. xa
x
a
)(log
4. 1loga
a
5.  MM
aa
loglog 


Ejemplo
Para calcular 8log
2 ; a 8 lo expresamos en término de 2 , para poder aplicar las propiedades.
Es decir: 32log32log8log
2
3
22 
6.  NMMN
aaa
logloglog 
Ejemplo 5log2log)52(log10log
aaaa


7. NM
N
M
aaa logloglog 






291. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
290
8. Cambio de base a
M
M
b
b
a
log
log
log


Ejercicio resuelto 1
Calcular: 

















125
16
log2
27
6
log
25
36
log3
3
Solución: Descomponiendo los números en sus factores primos y aplicando propiedades tenemos:    
   
   
 
2log
5log62log83log62log35log63log62log6
5log62log83log62log35log6)32log(6
5log62log83log62log35log66log6
5log32log423log2log35log26log23
5log2log29log2log35log6log3
125log16log2
9
2
log325log36log3
125
16
log2
27
6
log
25
36
log3
2
3422
3































NOTA: podría resolverse más rápido si aplicamos las propiedades en sentido contrario.



Ejercicio resuelto 2
Si 2logx
a , entonces al SIMPLIFICAR la expresión:
 
 a
y
x
xy
yx
aa
log
log
3
1
log2log
3
64
2


















se obtiene:
a) -1 b) -2 c)-3 d) -4 e) -5

Solución: Aplicando propiedades, tenemos: 


 
  
4
)2(2
log2
log3log3loglog6log3log2
log3log3loglog6
2
log6log4
loglog3loglog2
log2
loglog
10log
log
10log
log
3log1log2
log
log
log
log
3
1
log2log
2
1
2
3
64
3
2
64
10
10
3
64






























































x
yxxyyx
yxxy
yx
yxxy
a
yx
a
y
x
xy
a
yx
a
y
x
xy
yx
a
aaaaaa
aaaa
aa
aaaa
a
aa
a
a
a
a
aa
a
a
aa
Por lo tanto la opción “d” es correcta.

292. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
291
Ejercicio resuelto 3
Despejar “x ” si x
y3
SOLUCIÓN:
Aplicando logaritmo en base 3 a ambos miembros y luego aplicando propiedades,
tenemos
3loglog
3loglog
3
33
33
xy
y
y
x
x


 Entonces yx
3
log

Ejercicio resuelto 4
Despejar “x ” si )(log
2
1
xy 
Solución:
Poniendo cada miembro como exponente de la base 2
1 y aplicando propiedades, tenemos:
x
xy
y
xy




















2
1
2
1
2
1
)(log
)(log
2
1
2
1 Entonces: 
y
x
2
1



Ejercicio resuelto 5
Despejar ""t en la ecuación 












w
zt
e
z
x
y
2
1
SOLUCIÓN: Una opción sería despejar la exponencial e , para de ahí aplicar logaritmo
























x
zyx
e
w
zt
x
zyx
e
x
zy
e
e
x
yz
e
z
x
y
w
zt
w
zt
w
zt
w
zt
lnln
lnln
1
1
1
2
2
2
2
2 Entonces:   
  
  
  xzyx
z
w
t
xzyx
z
w
t
w
z
xzyx
t
xzyx
w
zt
lnln
lnln
lnln
lnln
2
2
2






293. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
292

Ejercicios Propuestos 10.4
1. Al resolver la ecuación: 3 423
1;
xy
aa

 0a
se obtiene la ecuación de una recta de la cual podemos afirmar que:
a) su pendiente es 4 d) el punto (2,1) pertenece a la recta
b) su pendiente es 4/9 e) su pendiente es -4/9
c) la intersección con el eje de las “y ” es 8

2. El resultado de la operación: 

















80
81
log3
24
25
log5
15
16
log7 es:
a) log3 b) log5 c) 1 d) log 2 e) 0

3. Si 48log3
a
logy 4log
a
yx
a
 , entonces el valor de: 







4
2 3
5

4
log
yx
yx
a es:
a) 6 2log 48
a
 b) 2log 48
a c) 6 log 48
a
 d) 0 e) 6

4. Si ,2/37
b
log ; 4/2log aa
b
 siendo 1b , a

 , entonces
el valor de ,
21
28log 




a
b
b es: a) a b) 2a c) 4a d) 1 e) 12a

5. Si ln 2 0,693 y ln3 1,099 calcule:
a) ln(1,5) b) ln(48) c) l9
log 24

6. Para la expresión:  ,1
2
loglog2
2
log  yxyx con ,0xy una expresión equivalente
es: a) )
4
/log(yx b) 4
log1 y c) 10 d) 




4
10logy e) 1
4
log 





y

7. Hallar el 6
5
log si 3
100
log y 2
100
log

8. Al despejar el valor de "k " en la expresión: k
c
ba
3
2
10 se obtiene:
a) 
ba
c
k
2
3
10
 c) 3
logloglog cba k
2

b)c 3log b log+alog2 k d) c 3log b 2log+ak log2
e) c 3log+ b 2logalogk

9. Al despejar "n " en la ecuación: nk
k
R
CM 






100
1 se obtiene si 0, 0, 0, 0k C M   
a)   ]log100[log
loglog
kRkk
CM
n


 d) ]R logk [log
loglog



k
CM
n
b)  ]loglog100 [log
loglog
kRkk
CM
n


 e)   ]2log100[log
loglog



kRkk
CM
n
c)   ]2log100[log
loglog



kRkk
CM
n
10. Sea ,xy . Al despejar y en la siguiente ecuación: y
e
x
e
x
e

 )12(
2 se obtiene:
a) 1yx b) 
2
2yx c) 
2
1yx d) 2
32y x x  
e) Elija esta opción si ninguna corresponde a y .

11. Si log 2 0.3010 y log3 0.4710 , entonces el valor de log120 es:
a) 1.255 b) 0.778 c) 1.079 d) 2.0791 e) 1.079
12. El valor de la expresión 2 ln 3 1 2log 2
10e

 es:
a) 5
10e b) 25
10e c) 2
3 10e d) 2
40 3e e) 3
40 2e

294. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
293
Ahora analicemos lo siguiente:

Ejercicio Resuelto
Sea 








0;3
01;1
1;)(log
)(
2
1
x
xx
xx
xf
x . Hallar la regla de correspondencia de su inversa y
graficar.
SOLUCIÓN:
A cada expresión de la regla de correspondencia de f , le encontramos su inversa, estableciendo
sus respectivos intervalos de existencia:
1: Para 1);(log
2
1  xxy Tenemos:1
2
1
log ( ); 1
1
;0
2

   


  

x
x y y
fx

2: Para 01;1  xxy Tenemos: 10;1
1
01;1



xxf
yyx

3: Para 0;3  x
x
y Tenemos:1;
3
log
1
0;3



xxf
y
y
x






Por lo tanto:



Graficando en un mismo plano tanto a f como a su inversa 1
f





































1;3log
10;1
0;
2
1
)(
1
xx
xx
x
x
xf

xy
3
log
1xy
x
y 






2
1
)(log
2
1xy 
1xy
x
y3
)0,1(
)0,1(
)1,0(
)1,0(
)(xfy
)(
1
xfy



295. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
294
Ejercicios propuestos 10.5
1. Sea la función de variable real f definida por la regla de correspondencia:
3 ; 0
()
1 ; 0



x
x
fx
xx
 


Entonces, la función inversa de f tiene como regla de correspondencia a:
a)31
log ; 0
()
- 1 ; 0


xx
fx
xx



 d) 31
log ; 1
()
-1 ; 1


xx
fx
xx




b)31
log ; 0
()
-1 ; 0


xx
fx
xx



 e) 31
log ; 1
()
- -1 ; 1


xx
fx
xx




c)31
log ; 1
()
- 1 ; 1


xx
fx
xx




2. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia: 
 
2
ln log
2
3 log
x
f x x e
entonces la regla de correspondencia de su FUNCIÓN INVERSA es:
a) 21
2)(
x
xf 
 b)21
log)( xxf
e
 c)xxf log)(
1


d) 21
)(
x
exf 
 e) La función f no tiene inversa
3. Sea :f

 una función exponencial y ,38
1


f entonces la regla de correspondencia de f es:
a) x
xf 8)( b) x
xf 3)( c) x
xf 5)( d) x
xf 2)( e) x
exf)(

4. Dada la función x
xf


3
2)( donde x . Entonces la regla de correspondencia de )(
1
xf
 es:
a) )(
1
xf
 =2 ln (3-x) b) )(
1
xf
 = log2 (x)  3 c) )(
1
xf
 = log2 (x) + 3
d) )(
1
xf
 =log2 (x) + 3 e) )(
1
xf
 =3 log2 (x)

5. Dada la función  ,0,0:)(xf tal que xxxf log2log)(  , entonces la regla de
correspondencia de la función inversa de f es:
a)  1102)(
1

 x
xf b)  110
1
)(
1



x
xf c)  110
2
)(
1




x
xf
d) x
xf
10
2
)(
1

 e)  110
2
)(
1



x
xf
6. Si se define 2
-2
4 2 ; 2
( ) ,
2 1 ; 2
x
x x x
f x x
x
   

 ; entonces, la regla de correspondencia de )(
1
xf

es:
a)









2
1log2
)(
21
x ; x-2-2
2>x ; x
xf c) 









2x ; x+2-2
2>x ; x
xf
1log2
)(
21
b)









2x ; x-2+2
2>x ; x
xf
1log2
)(
21 d) 









2x ; x-2-2
2>x ; x
xf
1log2
)(
21
e)









2x ; 2-x+2
2>x ; x
xf
1log2
)(
21

7. Sea f una función de variable, tal que:-1
log ; -1
()
2 1 ; 1
x
xx
fx
x




  

. De ser posible, encontrar la regla de
correspondencia de su función inversa.

8. Sea f una función de variable real tal que 2
1
2
2
1
)(
x
xf

 ;x , entonces la regla de
correspondencia de su función inversa es:
a)2
1
;2
2
1
2
log2)(
1








xxxf b)2
1
;
2
1
2
log22)(
1








xxxf
c)2
1
;
2
1
2
log22)(
1








xxxf d)2
1
;
2
1
2
log
2
1
)(
1








xxxf
e)2
1
;
2
1
2
log22)(
1








xxxf

296. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
295
9. Sea f una función de variable real, tal que  xxf
b
 1log , entonces la regla de correspondencia
de su inversa xf
1 es:
a)xf
1 =x
b
x
b1 b)xf
1 =2
1



x
b
x
b c)xf
1 =x
b
x
b1
d)xf
1 =x
b
x
b

1 e)xf
1 =x
b
x
b

1

10. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia




















2;1
2
2
1
2;1log
1
2
1
x
x
xx
xf
Entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a)









0;1log2
0;12
2
1 xx
x
x
xf b)
















0;21log
0;1
2
1
2
1 xx
x
x
xf
c)
















0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
x
xf d)









0;1log2
0;12
2
1 xx
x
x
xf
e)
















0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
x
xf

11. La regla de correspondencia de 1
f
 , estando f definida por 
log 2
2 ; 0
x
f x x es:
a) 
1 log 21
2
f x x

 b) 
1
1 log 21
4
f x x


 c) 
1
1 log 21
2
f x x


d) 
1 log 21
4
f x x

 e) Ninguna de las anteriores.

12. Si 
1
2
log ; 1
1 ; 1 0
3 ; 0
x
xx
f x x x
x
   

    


 , entonces es VERDAD que:
a) 
1
3
2 ; 0
1 ;0 1
log ; 1
x
x
f x x x
xx


 

   


 b) 
1
3
1
; 0
2
1 ;0 1
log ; 1
x
x
fx xx
xx







  


 

c) 
1
3
1
; 0
2
1 ;0 1
log ; 1
x
x
fx xx
xx







  


 
 d) 
1
3
1
; 0
2
1 ;0 1
log ; 1
x
x
fx xx
xx







  


 

e) Ninguna de las anteriores.

13. Sea 
2
2
4 2 ; 2
2 1 ; 2
x
x x x
fx
x

   

 . La regla de correspondencia de 1
f
 es:
a) 
21
2 log 1 ; 2
2 2 ; 2
xx
fx
xx

   


   b) 
21
2 log 1 ; 2
2 2 ; 2
xx
fx
xx

   


  
c) 
21
2 log 1 ; 2
2 2 ; 2
xx
fx
xx

   


   d) 
21
2 log 1 ; 2
2 2 ; 2
xx
fx
xx

   


  

297. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
296
e) 
21
2 log 1 ; 2
2 2 ; 2
xx
fx
xx

   


  
14. Sea f una función de variable real cuya función inversa tiene regla de correspondencia 
1
2
1
2
log 1 ; 2
1
1 ; 2
2
x
xx
fx
x


  





. La regla de correspondencia de f es:
a) 
1
2
2 1 ; 0
2 log 1 ; 0
x
x
fx
xx


  
 b) 
1
2
1
1 ; 0
2
log 1 2 ; 0
x
x
fx
xx


 

 

  

c) 
1
2
1
1 ; 0
2
2 log 1 ; 0
x
x
fx
xx


 

 

  
 d) 
1
2
2 1 ; 0
2 log 1 ; 0
x
x
fx
xx


  

e) Ninguna de las anteriores


10.4 ECUACIONES EXPONENCI ALES
Las ecuaciones que trataremos a continuación, presentan en sus
expresiones funciones exponenciales.
Encontrar el conjunto solución, quizás signifique la determinación de
los ceros de una función.
Ejercicio resuelto 1
Los valores para los cuales: 2
( ) 2 2 ;
xx
f x x x   , se intercepta con el eje X son:
a) 2 y -2 b) 3 y -3 c) 0 d) 1 y -1 e) 4 y -4
SOLUCIÓN:
Igualando a cero, tenemos: 11
0)1)(1(2
0)1(2
)1(20
220
2
2
2





xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Por tanto la opción “d” es correcta.

Otras situaciones, serían:

Ejercicio resuelto 2
Si x , entonces el conjunto solución de la ecuación  
2
-1/ 2
4 2 4
xx
 es:
a) {1/2} b) {0} c) {1} d) {-1} e) {-3, 1}
Solución:
Poniendo 4 en término de 2, tenemos:

13
0)1)(3(
032
212
22
222
222
2
2
122
122
22
2
2
2
1
2










xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Por tanto la opción “e” es correcta.

298. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
297
Ejercicio resuelto 3
Sea x . El conjunto solución de: 3
1
5)25(2 


xx es:
a) {0, 1} b) {log5 (1/2)} c) {log5 3} d) {log3 5} e) {log5 2}
Solución:
Primero pongamos a 25 en términos de 5: 0355
2
52
03
1
5
2
52














xx
x
x

Luego hagamos el siguiente cambio de variable:u
x
5 y resolvemos para “u ”: 
 
0
2
1262
06252
0352
1
31
2
2














uu
uu
uu

Entonces:  
2
1
3
0123


uu
uu
Ahora regresamos a “x ”, para lo cual 2
1
535 
xx
Aplicando logaritmo tenemos: 3log
3log5log
3log5log
5
55
55



x
x
x , en cambio

Por tanto la opción “c” es correcta.


Ejercicios Propuestos 10.6
1. Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones si el Re
a)  
39
5,44
2

xx
b) 8)4(616 
xx
c)  
xx 

22
162
d) 23
xx
ee
e) 232
54


xx
f) 7503333
4321

 xxxx
g) 
x
x
x 5.01
42


h) x
xx
e
ee
12


2. La suma de las soluciones de la ecuación: 2
( 1) 1
4 2 ,
x
x

 ; es :
a) 1/2 b) 1 c) 0 d) -1/2 e) 1/9
3. La SUMA de los valores de x , que satisfacen la ecuación: 0222
01

xx es:
a) -1 b) 1 c) -2 d) 0 e) 2
4. La suma de las soluciones de la ecuación: 065
2

xx
ee , siendo x , es igual a:
a) ln 6 b) ln 20 c) ln16 d) ln14 e) ln8
5. Sea Re , entonces la suma de las soluciones de la ecuación: 012 
xx
ee es igual a:
a) ln1 b) ln 2 c) 1 d) ln 2 e) ln 2 ln 2
6. La SUMA de las soluciones de la ecuación 03
2
310
14
3 






 xx , es:
a) 2
1 b) 0 c)2
1 d) 1 e) 2 






2
1
log5log
55
x
NO es POSIBLE

299. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
298
7. La SUMA de las soluciones de la siguiente ecuación 4
1
16
4
5
2
1



x
x
x es:
a)1 b)0 c)2 d)–1 e)–2

8. Con respecto a la ecuación 11
21
xx
ee
  
 , es verdad que:
a) El conjunto solución tiene dos elementos.
b) 1 ln 2 es solución.
c) Ap x
d) ln 2 forma parte de Ap x
e) 1 ln 2 es solución.

9. Sea f una función de variable real tal que 
110
sgn 1 10
10
x
x
fx

  

 . Si Re y :0p x f x ,
entonces es VERDAD que:
a) 0,1Ap x b)  11,10Ap x c)  1,1Ap x
d) 0,1Ap x e) 0,1Ap x

10. Sea 
1 2 3 4
:3 3 3 3 750
x x x x
px
   
    . Es VERDAD que:
a)  2,6Ap x b)  1,2,3,4Ap x c) 5
C
Ap x
d) 3,6Ap x   e)  2,6Ap x Ap x

11. Si Re y  
33
: 3 2 192 3
xx
px

 , entonces es VERDAD que:
a) 1,0Ap x b) 0,1Ap x c) 3,Ap x  
d) 3,Ap x e) Ap x



10.5 ECUACIONES LOGARÍTMI CAS
Analicemos los siguientes ejercicios.

Ejercicio resuelto 1
Al resolver la ecuación: 3)3log()15log(  xx , se obtiene:
a)1 b) 2999/995 c) 299/95 d) 2/95 e) 95/299
SOLUCIÓN:
Como todos los logaritmos están en base 10, aplicando propiedades tenemos:
995
2999
3
33
15
log
2999995
3000100015
10
3
15
1010
3
3
15
log












x
x
xx
x
x
x
x
x
x
Opción “b”.

Ejercicio resuelto 2
El conjunto solución de la ecuación: 






x
x
2
log2log3log
222 es:
a) {2, -2} b) {2} c) {1/2, -1/2} d) {-2, ½} e) {1/2}
SOLUCIÓN:

300. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
299
Aplicando propiedades, tenemos:
4
1
2
8
22
2
log8log
2
log8loglog
2
2
log
)8(log
22
222
2
2































x
x
x
x
x
x
x
xx

La opción correcta es la “e”

Las ecuaciones con logaritmos, al igual que las ecuaciones con
radicales, introducen soluciones extrañas. Por tanto asegúrese que los
valores de “x ” satisfagan el predicado dado.

Ejercicio resuelto 3
Dada la ecuación:  132log x
x el valor de “ x “ es:
a) log 3 b) log (2/3) c) 2 d) 3 e) No hay valor posible de x
SOLUCIÓN:

Poniendo cada miembro como exponente de la base “x ”, tenemos:  
3
32
132log





x
xx
xx
x
x
Opción “d”.

Ejercicio resuelto 4
La solución de la ecuación:   9loglog
10
xx
x es un valor que se encuentra entre:
a)1 y 4 b) 5 y 7 c) 8 y 11 d) 12 y 14 e) 15 y 18
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades tenemos:  
10
91
910log
9log10log




x
x
x
xx
x
Por tanto la opción “c” es correcta.

Ejercicio resuelto 5
La solución de la ecuación:   04
5
log4
2
5
log  xx es:
a) x no existe b) x=10 c) x=1/25 d) x=25 e) x=0
SOLUCIÓN:

Haciendo cambio de variable xu
5
log , tenemos: 2
0)2(
044
2
2



u
u
uu
Pero, como 2
5
log xu entonces:25
2
5
2
5
log
5
5




x
x
x

Por tanto la opción “d” es correcta. 2
1
2
1
4
12



x
x
x
2
1
x

NO satisface
la ecuación
original

301. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
300
Ejercicio resuelto 6
Sea Re , la suma de las soluciones de la ecuación: 22
)(log)log( xx es igual a:
a) 2 b) 1 c) 100 d) 101 e) 1
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades, tenemos:
2
loglog2 xx . Haciendo cambio de variable: xylog

Tenemos: 20
0)2(
02
2
2
2




yy
yy
yy
yy entonces 1
1010
0log
0log



x
x
x y 100
1010
2log
2log



x
x
x

Los 2 valores son soluciones por tanto su suma es 101. Opción “d”

Ejercicio resuelto 7
La suma de los valores de "x" , tal que: 01
9log
2
1log
25 45

x es:
a) -2 b) 3 c) -4 d) 5 e) -6


SOLUCIÓN:
Expresando 25 y 2 en términos de las bases de los logaritmos, tenemos:


12
2
013
2
1
01
9log
4
2
1
01
9log
4
1log
5
01
9log
4
1log
2
5
2
1
4
4
2
1
2
5
4
5
















xx
x
x
x
x

Las soluciones de la última ecuación son:21
2
21
1
21
2,1
2
222
2,1
2
)1)(4(42
2,1
012
2








x
x
x
x
x
xx que al sumarlas se obtiene: 22121
21 xx
. Por tanto la opción “a” es correcta.

Ejercicio resuelto 8
Sea   02log2log2log:
162









xxx
xp , x , entonces es VERDAD que:
a)Ap x b)10,0xAp c),10xAp
d)  xAp10,9 e)
C
xAp 10,0
SOLUCIÓN:
Expresando todos los logaritmos presentes, en base “x ”, tenemos:

302. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
301
  0
16
log
2log
2
log
2log
2log 

























xx
x
x
x
x
x
Resolviendo, tenemos:  
 
2
1
2
1
0
0)21)(21(
0)41(
04
04
0
)41)(1(
)1()41(
0
411
:2log
0
2log41
2log
2log1
2log
0
2loglog
2log
2loglog
2log
2
3
232
2
2
2
4
11
2





















vvv
vvv
vv
vv
vvvv
vv
vvvv
v
v
v
v
entoncesvSi
xx
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x


Las soluciones son 4 y 4
1 , por tanto la opción “b” es correcta.

Ejercicio resuelto 9
Dado el predicado 12
25
3
4
4
3
:)(
loglog












xx
xp y Re , entonces es verdad que:
a) Ap(x)=  b) Ap(x)  [1, 10] c) Ap(x)  [-10,10
-1
]
d) xp(x) e) Ap(x)  [10
-1
,10]
SOLUCIÓN:
Expresando en una misma base, tenemos:12
25
4
3
4
3
1
loglog






















xx luego hacemos cambio de
variable: x
y
log
4
3






 y reemplazando nos queda: NO
xx
x
x



12
02log
02log
4
2
2
1
2log
2
1
2log




x
x
xx
x
x
4
1
1
2
2
1
2log
2
1
2log





x
x
xx
x
x

303. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
302
  
4
3
3
4
03443
0
34
9121612
0144)12(25)12(
0122512
251212
12
251
12
25
11
3443
2
2
2
1




























yy
yy
yy
yy
yy
yy
y
y
yy
Entonces: 10
1
1010
4
3
4
3
3
4
4
3
1log
1log
log






















x
x
x
x y 10
1010
4
3
4
3
4
3
4
3
1log
log
log




















x
x
x
x
Opción “e”.


Ejercicios Propuestos 10.7
1. En la ecuación: 34
2loglog
44 
x el valor de “x ” que la satisface es:
a) 64 b) log (2/3) c) 2 d) 3/2 e) No hay valor posible de x

2. El número de elementos del conjunto solución de la ecuación:
   xxxxx log62log/1log63
2
log 





 es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Sea Re y sea el predicado  02log2log12log:)(  xxxxp
Entonces el conjunto solución de p(x) es:
a){1, 3} b) {1} c) {3} d) {1} e) {3}
4. El conjunto solución de la ecuación   01log11log
5
2
1
 xxe
x es:
a) R
+
b) R {0} c) ( d) { 0 } e) r

5. El conjunto solución de: log (2x1)  log (x) = 2; x es:
a) R b) R
+
c) { 1/98} d)  e) {1/98}

6. La solución de la ecuación: 3)72(
3
log)2(
3
log  xx es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. La suma de las soluciones de la ecuación: 0
6log
10
5log
3
log
25
35 
xx es:
a) 2 b) 33 c) 5 d) 6 e) 10

8. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 130log2log2log  xxx es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

304. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
303
9. Hallar el conjunto solución de la siguiente ecuación: 22
2
2
1log2
2
2log 











 xx

10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 3log2
10 x
x
x  es:
a)10 b)110 c)10010 d)10100 e)1010

11. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) 33
log log
5 2 29
2 5 10
xx
   

   
   
b) 2
2
log
log 2
log 2
x
x
x
12. Si Re y    3 2 2
: log log log 1 1p x x  , entonces Ap x es:
a) 256 b) 257 c)  1, 256 d) 255 e)  1, 255







10.6 INECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Para el caso de inecuaciones con exponentes o logaritmos considere la
propiedad de las funciones estrictamente crecientes 
1 2 1 2
x x f x f x  

y la propiedad de las funciones estrictamente
decrecientes
1 2 1 2
x x f x f x  
 .

Ejemplo 1
Encuentre el conjunto solución de 
1
2
-
2 4 4
xx
 .
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades:


1
2
1
2
-
2- 2
2 -1 2
3 -1 2
2 4 4
2 2 2
22
22
xx
xx
xx
x






Aplicando la propiedad de las funciones estrictamente crecientes (se preserva el sentido de la desigualdad
con respecto a sus argumentos):
3 1 2
33
1
x
x
x




305. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
304
Ejemplo 2
Encuentre el conjunto solución de 
21
2 7 2 4 0
xx
   .
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades:



21
2
2
2 7 2 4 0
2 2 7 2 4 0
2 2 7 2 4 0
xx
xx
xx

  
  
  
Ahora hacemos cambio de variable: 2
x
y
 
2
2 7 4 0
4 2 1 0
yy
yy
  
  





Entonces:
1
2
1
2
4
24
x
y  
  


Esto lo podemos averiguar haciendo uso de su gráfico















Por tanto 2x


Ejemplo 3
Encuentre el conjunto solución de 2
log 0x .
SOLUCIÓN:

Considerando que 2
log 1 0 y aplicando la propiedad de las funciones estrictamente crecientes (se preserva
el sentido de la desigualdad con respecto a sus argumentos):
2
22
log 0
log log 1
01
x
x
x



NOTA: Recuerde su gráfica.   1
2
 4 ----------
++++++++++++++++
1
2
 2
x
y 1
2
4y

306. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
305
Ejemplo 4
Encuentre el conjunto solución de 1
2
log 0x .
SOLUCIÓN:

Considerando que 2
log 1 0 y aplicando la propiedad de las funciones estrictamente decrecientes (se cambió
el sentido de la desigualdad con respecto a sus argumentos):
1
2
11
22
log 0
log log 1
1
x
x
x



NOTA: Recuerde su gráfica.

Ejemplo 5
Encuentre el conjunto solución de 
2 5 2 5
log log 1 2xx   .
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades: 

 
2 5 2 5
2 5 2 5
2
2 5 2 5
log log 1 2
log 1 2log 2 5
log 1 log 2 5
xx
xx
xx
  
   

   



Como la base es mayor a uno, por tanto estamos ante una función creciente, la desigualdad será en el mismo
sentido para sus argumentos


2
2
2
1 2 5
20
20 0
5 4 0
xx
xx
xx
xx


  
  



Por tanto 04x
NOTA: Recuerde que no se define logaritmos de números negativos.


Ejemplo 6
Encuentre el dominio natural para   
2
1
2
log 1f x x .
SOLUCIÓN:
En este caso tenemos:  
 
2
1
2
2
11
22
log 1 0
log 1 log 1
x
x



Y como es decreciente
 
2
0 1 1x  

  5 4 ------------------
++++++++++++++++0

307. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
306
Es decir
22
0 1 1 1xx    
Resolviendo por separado

Entonces

















Por otro lado










Haciendo intersección
2 1 1 2xx      


Ejercicios Propuestos 10.8
1. Hallar el conjunto solución de:
a)  
2
4 4,5
93
xx

b) 
21
3 26 3 9 0
xx
  
c)  
2
log 3 1 2x  
d)  
1
2
0 log 3 3 1x  
e)   
11
22
log 2 1 log 2 0xx   
f)  log 1 2 0x   
g) 
1
3
log 1 3 1sng x

  


2. El conjunto solución de la inecuación 24
log log 1xx es:
a)4,Ap x b)  ,2Ap x  c) Ap x
d) ,1 2,Ap x    e)  ,4Ap x  1 1 ------------------
++++++++++++++++0   
2
01
1 1 0
x
xx

   11xx  
  2 2 ------------------
++++++++++++++++0   
2
2
11
20
2 2 0
x
x
xx


   22x 

308. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
307
3. Sea la función con regla de correspondencia  1
10
2
log
23
x
fx
x

 

 , su dominio natural es:
a) 1,3 b) 1,3 c) 1,0 0,3
d) 1,0 0,3 e) 1,0 0,3

4. Sea f una función de variable real tal que 
110
1 10
10
x
x
fx

  

 . Si Re y :0p x f x , es
VERDAD que:
a) 2, 2
C
Ap x b) 2,2Ap x c) 10,Ap x   
d) 0,
C
Ap x e)  0,2 0, , 2Ap x     

5. Hallar el dominio natural de 
2
ln 1
4
x
fx




a) 2, 2 b) ,2 2,   c) 2, 2 d)
e) ,1 4,  





10.7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Analicemos los siguientes problemas.

Problema resuelto 1
Una compañía está ampliando sus instalaciones, y tiene opción para escoger entre dos
modelos, cuyas funciones de costo son, respectivamente:
 5,402log3)(
1  xxC y  560log2)(
2  xxC
Donde x es la tasa de producción. Entonces, la tasa x para la cual los dos modelos tienen el
mismo costo es:
a) 15 b) 10 c) 20 d) -15 e) -20
SOLUCIÓN:
Igualando costos, determinamos el valor de “x ” buscado:
 
10
40040
54052060
)5.402(10560
10
5.402
560
1
5.402
560
log
23)5.402log()560log(
)560log(25.402log3
)()(
21













x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
xCxC
Opción “b”

Los siguientes problemas se refieren a modelos de crecimiento y de
decrecimiento exponencial.

309. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
308
Problema resuelto 2 (calculadora)
La población del planeta en 1976 era de 4 mil millones y estaba creciendo a un 2% anual. Si
esta tasa de crecimiento sigue vigente, ¿cuándo alcanzará la población los 10 mil millones.
SOLUCIÓN:
En la siguiente tabla anotemos la población que tendrá el planeta, año a año, a partir de 1976.

Año POBLACIÓN (P )
1976 0 4
0
P mil millones
1977 1 )02.01(02.0
000
 PPP
1978 2  
2
0000
)02.01()02.01)(02.01()02.01(02.0)02.01(  PPPP

1979 3  
3
0
02.01P

... ... ...
t t
PtP )02.01()(
0



Entonces la función t
tP )02.1(4)( nos permite calcular la población del planeta, en miles de millones de
habitantes, en cualquier año a partir de 1976.
Para hallar “t ” cuando la población sea de 10 mil millones de habitantes, hacemos lo
siguiente:añost
t
t
t
t
t
3.46
)02.1log(
)5.2log(
)02.1log()5.2log(
)02.1log()5.2log(
)02.1(5.2
)02.1(410








Un modelo de CRECIMIENTO EXPONENC IAL está dado por la siguiente
función: t
rYty )1()(
0 donde 
0Y valor inicial y r tasa de crecimiento.














Si tuviésemos un modelo de DECRECIMIENTO EXPONENCIAL, su ecuación
sería t
rYty )1()(
0 (¿POR QUÉ?) (¿CUÁL SERÍA SU GRÁFICA?)




0
y

t
ryty 1)(
0

310. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
309
Problema resuelto 3 (calculadora)
Dos periódicos que compiten tienen circulaciones de 1 millón y 2 millones, respectivamente.
Si el primero aumenta su circulación en un 2% al mes, mientras que la circulación del
segundo decrece en un 1% al mes, calcule cuánto deberá transcurrir antes de que las
circulaciones sean iguales.
SOLUCIÓN:
Llamemos )(ty a la circulación mensual, en millones de ejemplares, de los periódicos.
La información del primer periódico es: 1
0
Y y su tasa de crecimiento es 02.0r . Entonces su función
circulación, es: tt
ty )02.1(1)02.01(1)( 
La información del segundo periódico es: 2
0
Y y su tasa de decrecimiento es 01.0r . Entonces su
función circulación, es: tt
ty )99.0(2)01.01(2)(  .
Igualando las circulaciones, tenemos: 


2.23
99.0
02.1
log
2log
2log
99.0
02.1
log
2
99.0
02.1
2
99.0
02.1
99.0202.1






















t
t
t
t
t
tt


RESPUESTA: Al cabo de 23,2 meses


Problemas Propuestos 10.9
1. (Calculadora) El volumen de ventas de una marca de detergente disminuye después de una campaña
publicitaria de acuerdo a la fórmula  
t
3,1750

tV , donde t es el tiempo en meses. La siguiente
campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial.
¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas?

2. Un científico ha determinado que el crecimiento de cierta bacteria está dado por la función 
3
.


t
eAxf
, donde A es el número inicial de bacterias que hay al tiempo t = 3. Entonces esta
cantidad inicial de bacterias se duplicará para:
a) 6t b)3
2ln
t c)32lnt d) 2t e)32lnt

Misceláneos
1. El CONJUNTO SOLUCIÓN de la ecuación  
1
12
2313log
3



xx
xx , es:
a) 0 b) 1 c) 





2
3 d) 





3
2 e) 

2. Sea f una función de variable real, tal que 12)( 
x
xf , entonces es VERDAD que:
a) rg  ,f b) rg ,0f c) rg 0,1f
d) rg 1,0f e) rg 0,1f

  
tt
yy 02.102.01 
  
tt
yy 99.0201.012 

t

311. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
310
3. Sea f una función de variable real, tal que 











4;44
44;
4;2
)(
2
xx
xx
x
xf
x , entonces la regla
de correspondencia de )(xfy es:
a)












4;44
04;
40;
4;
2
2
)(
xx
xx
xx
x
x
xf b)












4;44
04;
40;
4;
2
2
)(
xx
xx
xx
x
x
xf
c)











4;44
44;
4;
2
2
)(
xx
xx
x
x
xf d)












4;44
44;
4;
2
2
)(
xx
xx
x
x
xf
e)













4;44
04;
40;
4;
2
2
)(
xx
xx
xx
x
x
xf

4. La regla de correspondencia de la función f












es:
a)xxf
2log)( b)xxf
2log)( c)xxf
2
1
log)(
d)xxf
2
1
log)( e)xxf
2
log)(

5. Sea f una función de variable real tal que 12)(
3

x
xf , entonces es VERDAD que:
a),1frg b),1fDom c) )3(3
1
ff 

d) )0(63
1
ff 
 e) 5)3(
1


f

6. La regla de correspondencia de la función f


















es:
a))3(log)(
2
1
 xxf b))3(log)(
2
1
 xxf c))3(log)(
2 xxf

312. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
311
d))3(log)(
2
1
 xxf e)3log)(
2
1 xxf


7. Una de las siguientes reglas de correspondencia corresponde al gráfico adjunto, identifíquela:

a)  1log
2 xxf
b) 12)(
1

x
xf
c) 1log)(
2 xxf
d) 12)( 
x
xf
e)  12
x
xf




8. Sea el predicado 1
3
1
16
4
2
:)(




x
x
xp , entonces su CONJUNTO SOLUCIÓN )(xAp es:
a)1 b)1 c)5 d)2 e)2

9. Si 2
5
2log
a y 3
1
3log
a ; 10aa . Entonces el VALOR de 108log2
a es:
a)8
5 b)6 c)3 d)4
3 e)2
3

10. La SUMA de las soluciones de la ecuación: 
x
x

2log
2 1;x , es:
a)4 b)6 c)2
5 d)4
3 e)3

11. La SUMA de las soluciones de la ecuación  
2
3
2
3 loglog xx , es:
a)2 b)10 c)8 d)5 e)9

12. El VALOR de “x ” que satisface la ecuación:  12logln 
x , es:
a)2 b)e c)2
e
d)2
2
e)2
-e

13. Sean f y g funciones de variable real tal que, 3)(
2

x
exf y xxg 3ln)( . Entonces la REGLA DE
CORRESPONDENCIA de )(gf es:
a)3))((
2
xxgf ; 0x b)3))(( xxgf ; 0x
c)39))((
2
xxgf ;0x d)xxgf 8))((  ; 0x
e)33ln))(( xxgf ; 0x

14. Sí m3log
4 y n7log
2 ; entonces 21log
2 es igual a:
a)12nm b)12mn c)2n1m d)nm2 e)m2

15. Sea las funciones de variable real x
xf 2)( y  2log
2
2
 xxg y, entonces la regla de
correspondencia de )(xgf es:
a)
2
2
2)(


x
xgf b) 22log)(
2
2

x
xgf
c) 2)(
2
xxgf d) 12log)(
2
2
 xxgf
e) No es posible encontrar )(xgf

16. El DOMINIO NATURAL de la función de variable real  
2
32log
)(
2



x
xx
xf es el intervalo:
a),3 b)  ,31,2 c) 3,12, d) ,1 e) 3,01,2

17. Sea el predicado 0639:)( 
xx
xp . Entonces su conjunto solución )(xAp es:
a)1 b)2,3 c)2,1 d)2 e)1,1

313. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
312
18. Una expresión equivalente para )1log(
2
1
3loglog2  xxx es:
a)1log
)3log(
2
x
x
x b)1log
3log
2
x
x
x c)1
3
log
2
x
x
x
d)1
)3(
log
2
x
x
x e)1log
log3log
2
x
x
x

19. Sea f una función de variable real, con regla de correspondencia 22)(
1

x
xf ; entonces la regla de
correspondencia de la función inversa 1
f es:
a) 1;2)1(log)(
2
1


xxxf d) 2;1)2(log)(
2
1


xxxf
b) 1;2)1(log)(
2
1


xxxf e) 2;1)2(log)(
2
1


xxxf
c) 1;)1(log)(
2
2
1


xxxf

20. Sean f y g funciones tales que : 2
2
1
)( 






x
xf y 2)( xxg , entonces es FALSO que:
a)4
3
)1()2( gf b)2
3
)1)(( gf c)0)2)(( gf
d)0)2(








f
g e)3)0)(( fg

21. Dada la función de variable real  xxf  10log , entonces el MAXIMO DOMINIO POSIBLE de la función
es:
a),10 b) 10, c) ,10
d),10 e) 10,

22. Sea la función :f con regla de correspondencia : 











01
011
1log
2
xx
xx
xx
xf
Entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a)xf es sobreyectiva. b)xf es biyectiva.
c)xf es una función decreciente. d)43f .
e)xf es una función impar.

23. Sea f una función de variable real con regla de correspondencia  xxf  2log
2
1 , entonces su
GRÁFICO es:




a) b)









c) d)

314. Moisés Villena Muñoz Cap. 10 Función Exponencial y Función Logarítmica
313



e)













24. Sea f una función de variable real, cuya función inversa tiene regla de correspondencia 














 

2;1
2
1
2;1log
2
1
2
1
x
xx
xf x
, entonces la REGLA DE CORRESPONDENCIA de f es:
a)









0;1log2
0;12
2
1 xx
x
xf
x b)















0;21log
0;1
2
1
2
1 xx
x
xf
x
c)















0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
xf
x d)









0;1log2
0;12
2
1 xx
x
xf
x
e)















0;1log2
0;1
2
1
2
1 xx
x
xf
x
25. La SUMA DE LAS SOLUCIONES de la ecuación 4
3
log192loglog2 x es:
a)–12 b)12 c)0 d)24 e)144

26. Si xm
a
log y yn
a
log . Entonces la expresión: 2
3
log
m
mn es EQUIVALENTE a:
a)x
yx
3
 b)3
22
yx c)2
32
yx d)x
yx
2
3 e)y
yx32

27. Sea f una función de variable real, tal que 12)(
3

x
xf , entonces es VERDAD que:
a),1fDom b) f es decreciente. c)f no es inyectiva.
d) f es par. e) ,1frg

28. Una población de bacterias crece según la fórmula 18
0
)8(
t
PP , donde 0
P es la población inicial y t
el tiempo en días. Entonces es VERDAD que, la población se duplicó al:
a) Cuarto día. b) Tercer día. c) Segundo día
c) Quinto día e) Sexto día.

29. El volumen de ventas de cierto producto está creciendo exponencialmente a una tasa del 12 % anual. Si el
actual volumen es de 500 unidades diarias, entonces el tiempo que se demora en alcanzar 1000 unidades
es:
a) 5
1
ln
3
25
t años b) 5
1
ln
3
1
t años c) 2ln
3
2
t años
d) 2ln
4
3
t años e) 121
2
.ln
ln
t años

30. La SUMA de las soluciones de la ecuación  1log3log  xx es:
a)5 b)3 c) 0 d) 2 e) 3

316. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
315

11
11.1 DEFINICIÓN
11.2 DOMINIO
11.3 RANGO
11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN
11.5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
11.6 TEOREMA DEL RESIDUO
11.7 TEOREMA DEL FACTOR
11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL D EL ALGEBRA
11.9 MULTIPLICIDAD


Los polinomios presentan propiedades importantes y pueden ser
expresiones algebraicas que conforman reglas de correspondencia de
funciones de variable real, por lo tanto le dedicamos este capítulo para
su estudio. Aunque no lo vamos a terminar completamente, pero sí vamos
a dar nociones básicas que con ayuda del Cálculo Diferencial se logrará
un análisis completo.

317. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
316

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina y caracterice a la función polinomial.
 Aplique el teorema del residuo, el teorema de factor y el teorema fundamental del Algebra.
 Obtenga los ceros de una función polinomial.
 Aplique el procedimiento de división sintética para obtener de ser posible las raíces de un
polinomio.

11.1 DEFINICIÓN
Sea f una función de variable real. Entonces f
es una FUNCIÓN POLINOMIAL, si y sólo si
tiene como regla de cor respondencia un
polinomio de grado "n ", es decir:
01
2
2
1
1
)( axaxaxaxaxf
n
n
n
n
n
n






donde 
1 2 1 0
, , , , 0 0
n n n n
a a a a a a n

     
En este grupo estarían las funciones lineales (y mx b ), las funciones
cuadráticas (2
y ax bx c   ) y la función cúbica (3
yx ), que ya estudiamos
anteriormente.
Ejemplos























1
1)( xxf
1
x

148)(
2
 xxxf

33)(
23
 xxxxf

318. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
317
Por ahora, sólo podríamos justificar la gráfica de una función
polinómica de hasta grado 2 (2n ). Para funciones polinómicas de grado
mayor a 2 (3n ), se requieren otros criterios; los cuales se los tratarán
en cursos posteriores.

Sin embargo, podemos desde ya ir estableciendo preliminares útiles
para funciones polinomiales.

11.2 DOMINIO
El dominio natural para una función polinomial f , es el conjunto de
los números reales, es decir: Dom f .

11.3 RANGO
 Si n es IMPAR, entonces el rango de una función polinomial f ,
son todos los números reales, es decir: rg f .
 En cambio, si n es PAR, entonces el rango de una función
polinomial f , es un intervalo de la forma ,bfrg o de la forma  bfrg ,


11.4 CEROS DE LA FUNCIÓN
Los interceptos de la gráfica de una función polinomial f con el eje
“x ”, son las raíces reales de la ecuación 0)(xf .

Ahora veamos ciertas nociones que nos permitirán fundamentar temas
en torno a lo anterior.

Recuerde que se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir
polinomios. Pero, en especial la división de polinomios nos ofrece
resultados interesantes.

11.5 DIVISIÓN DE POLINOMI OS
Suponga que dividimos el polinomio 53:)(
23
 xxxxf entre el
polinomio 2:)( xxg , entonces tenemos:












Residuo:r
Divisor:)(xg 32
3 2 2
2
2
3 5 2
21
// 5
2
// 5
2
// 3
x x x x
x x x x
xx
xx
x
x
   
   
  




Cociente:)(xC
Dividendo:)(xf

319. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
318
Es decir:
 
2
3
1
2
53
2
23




x
xx
x
xxx
En general, se podría precisar que: )(
)(
)(
)(
xg
r
xc
xg
xf


O lo que es lo mismo: rxgxcxf  )()()(

Que para el ejemplo sería: 53
23
 xxx 3)2)(1(
2
 xxx


"Si el residuo es igual a cero, se dice entonces
que )(xf es divisible para )(xg "
)(xg
puede ser cualquier polinomio de grado menor o igual al de )(xf
para poder expresar la división como de la forma anterior.
Cuando )(xg es un polinomio lineal de la forma "ax ", surgen
algunas particularidades muy singulares.
El residuo se lo puede calcular rápidamente empleando el siguiente
teorema.
11.6 TEOREMA DEL RESIDUO
Si un polinomio )(xf se divide entre "ax ",
entonces el residuo es )(af . Es decir )(afr .

DEMOSTRACIÓN:
La división de un polinomio)(xf entre otro polinomio )(xg se la puede expresar de la forma: rxgxcxf  )()()(
. Supongamos que axxg )( , entonces raxxcxf )()(
.
Calculemos ahora )(af . Entonces  rrraaacaf  0)()(
Por lo tanto )(afr . L.q.q.d.
Ejemplo
Para el ejercicio anterior: 3
52128
52)2(3)2()2(
23


pr

320. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
319
Por otro lado, si quisiéramos saber a qué es igual el residuo al dividirlo
ahora para 1x , bastaría con calcular )1(f . Es decir, 051315)1()1(3)1()1(
23
fr
.
Lo cual se puede comprobar realizando la división:











Por el resultado anterior, decimos que “53
23
 xxx ” es divisible
para “1x ”.

Esto último nos sugiere presentar ahora el siguiente teorema:


11.7 TEOREMA DEL FAC TOR

Un polinomio )(xf tiene un factor “ax ” si y sólo si, 0)(af
.

Ejemplo
Como el residuo de la división de 53
23
 xxx entre 1x , es igual a cero, entonces
decimos que 1x es un factor del polimonio 53
23
 xxx .


Además, esto quiere decir que 53
23
 xxx puede ser expresado de la
forma factorada siguiente: )54)(1(53
223
 xxxxxx .

Revise el método de división sintética para factorizar un polinomio de
grado mayor o igual a 3 y asegúrese de que los resultados anteriores
coincidan.

////
55
55//
44
54//
54
153
2
2
223
23






x
x
xx
xx
xxxx
xxxx

321. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
320
11.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Toda ecuación polinomial 0)(xf de grado "n " tiene
exactamente "n " raíces reales o complejas.

O sea:
0)())((
0)(
21
01
2
2
1
1






n
n
n
n
n
n
n
xxxxxx
axaxaxaxaxf


Entonces n
xxx,...,,
21 son las raíces de la ecuación polinómica 0)(xf ,
no necesariamente diferentes; es decir, que pueden ser diferentes o
iguales.

11.9. MULTIPLICIDAD
Si un factor “ax ” está presente “k ” veces en
la forma factorada de un polinomio, se dice que
“a ” es una raíz de multiplicidad “k ”.

Las raíces reales indican los ceros de la función.

RESUMEN:
Sea )(xf un polinomio. En la operación ax
xf

)(
1. El residuo )(afr
2. Si 0r entonces decimos que:
 )(xf es divisible para "ax ".
 "ax " es un factor de )(xf .
 "a " es una raíz de )(xf 0 ,
 El polinomio se anula cuando ax , es decir0)(af

Ejercicio Resuelto 1
El valor de "k ", tal que al dividir el polinomio 32)(
23
 xkxxxP para 1x se
obtenga como residuo -1, es:
a) 2 b) 1 c) -1 d) 0 e) -5
SOLUCION:
Aplicando el teorema del residuo, tenemos: 1
12
1312
13)1()1()1(2
1)1(
23





k
k
k
k
presiduo
RESPUESTA: Opción “b”.

322. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
321
Ejercicio Resuelto 2
Para que el polinomio:   mxmmxxmxxP  15232)(
234 sea
divisible para ,2x entonces "m " debe ser igual a:
a) 2 b) -2 c) 10 d) -10 e)0
Solución:
Divisibilidad significa que el residuo 0r es decir 0)2( rp .
Entonces:
10
505
0505
02220162432
022208)23(32
02)1()2(5)2)(23()2(2
02)1()2(5)2)(23()2(2)2(
234
234







m
m
m
mmmm
mmmm
mmmm
mmmmp

RESPUESTA: Opción “c”


Ejercicio Resuelto 3
El polinomio de grado 5, que tiene como raíces a 1 con multiplicidad 2; a 3 con multiplicidad
2; y, a 0 , es:
a) 924228
234
 xxxx b)xxxxx 924228
2345

c)xxx
22
25 d)xxx
13
31 e)xxx 31
SOLUCIÓN:
Recuerde que multiplicidad, significa la cantidad de veces que está presente una raíz, entonces:
xxxxx
xxxxx
xxxxxxxxx
xxxxx
xxxxp
924228
)924228(
)961812296(
)96)(12(
)0()3()1()(
2345
234
223234
22
22





RESPUESTA: Opción “b”

Aquí podemos mencionar una aplicación. Piense que si quisiéramos
obtener los ceros de la función polinomial
xxxxxxf 924228)(
2345

Habría que plantearse la situación: 0)(xf , y de allí, encontrar las
raíces reales de la ecuación polinómica
0924228
2345
 xxxxx
Una opción sería que por inspección primero determinemos de ser
posible, un valor de “x ” para el cual se anule el polinomio, para
establecer un factor “ax ” del polinomio. Luego realizamos la división
para este factor.

323. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
322
Ahora trabajamos con el cociente. Inspeccionamos para determinar el
valor para el cual se anule y luego realizamos la división respectiva.
Y así sucesivamente, hasta lograr establecer todos factores del
polinomio.
Las operaciones anteriores para el polinomio xxxxx 924228
2345
 ,
serían:













Otra opción sería la siguiente. Primero sacamos factor común:
)924228(924228
2342345
 xxxxxxxxxx


Para el segundo factor, por división sintética, tenemos:










El último factor es un trinomio que ya puede ser factorizado por el
método convencional y por tanto, nos queda:
0)3()1()1)(3)(3)(1()(
22
 xxxxxxxxxf


Entonces las raíces serán 0
1x con multiplicidad 1 , 1
2x con
multiplicidad 2 ; y, 3
3
x con multiplicidad 2.
)34)(3)(1()9157)(1(
0341
9123
3091571
91571
19242281
223






xxxxxxxxxx
//
//99
9399//
93//1515
12492415//
9154//77
)1)(3(343924227//
39157
1924228
)924228(
2
22
223
22323
2334
234
234









x
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxxx

324. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
323
Ejercicio Resuelto 4
Para que el polinomio  633:
2
xxxq sea un factor del polinomio    xnxnmnxxmxp 1221:
234

, los valores de m y n son:
a) 2
1
 y 1 b) 2 y 1 c) 2
1 y 1
d) 2
1
 y 1 e) 2
1 y 1
SOLUCIÓN:
Observe que: )1)(2(3)2(3633:)(
22
 xxxxxxxq
Entonces, decir que el polinomio )(xp es divisible para  633:
2
xxxq es lo mismo decir que es
divisible tanto para 2x como para 1x
Lo anterior, quiere decir que 0)1(0)2(  pp
02
01221
0)1)(12()1)(()1(2)1)(1()1(
09410
018820
02444161616
0)2)(12()2)(()2(2)2)(1()2(
234
234







nm
nnmnm
nnmnmp
nm
nm
nnmnm
nnmnmp
Las dos condiciones 




02
9410
nm
nm deben ser consideradas simultáneamente
En la segunda ecuación se obtiene mn2 ; reemplazándola en la primera, tenemos:2
1
918
9)2(410



m
m
mm
Por tanto 1n .
RESPUESTA: Opción “e”

Ejercicio Resuelto 5
Si 321
,,rrr son raíces de  00
332
2
1
3
 aaxaxax . Entonces 321 rrr  es
igual a:
a) 0 b) 321
aaa  c) 3213 aaa d) 1
a e) 321 aaa 
SOLUCION:
El polinomio dado puede ser expresado en términos de sus raíces, de la siguiente forma:
))()((
32131
2
1
3
rxrxrxaxaxax 
Desarrollando el miembro de la derecha, tenemos:
321213132
2
123
3
31
2
1
3
3212131
2
132
2
2
2
3
3
32112
2
32132
2
1
3
)()(
))((
))()((
rrrxrrrrrrxrrrxaxaxax
rrrxrrxrrxrxrrxrxrx
rxrrxrxrx
rxrxrxaxaxax




Empleando el criterio de que si los polinomios son iguales, los coeficientes, respectivamente deben ser
iguales, entonces: 1231
1231 )(
rrra
rrra

 .
RESPUESTA: Opción “d”.

325. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
324
Ejercicios Propuestos 11.1
1. Dado el polinomio:  116
223
2
4
 kkkxxkxkkx ;k . Un valor de "k ", para
que el polinomio sea divisible para 2x es:
a) 17/3 b) 34/3 c) 51/3 d) 68/3 e) 11/3
2. El valor de k para que el polinomio  10
2
2
3
3
4
:  xkxxxxp sea divisible para
el binomio 2x , es:
a) 10 b) -5 c) 0 d) -10 e) 5
3. El valor de k para que el polinomio   xxkxkxxp 3
2
1
3
2
4
:  sea divisible para el binomio 1x
, siendo k , es:
a) -3 b) -2 c) -4 d) -1 e) 3
4. Dada la función polinómica: 
4 2 2 3 4
: 5 ,p x x ma x a x a x    , el valor de m para que el valor de a
sea una raíz de la ecuación 0xp , es:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 4
5. Dado el polinomio:  kxxxxp  3
45
2: . El valor de k para que una de las raíces de la ecuación: 0xp
sea igual a 2 es:
a) 55 b) 39 c) 48 d) 53 e) 54
6. Si 3x es un factor del polinomio  32
2
11
3
2:  kkxxxxp , entonces el valor de k es:
a) 2 b) -3 c) 6 d)4 e) -6
7. Para que el polinomio  116
223
2
4
 kkkxxkxkkx sea divisible para 2x ,
hay dos valores para "k ". La SUMA de estos valores es:
a) 1 b) 3
20 c) 1 d)3
17 e)20
8. Sea el polinomio  53
2
7
4
6:  xxxxp , entonces es verdad que:
a) Si 1x , entonces 0xp
b) 292p
c) 021 pp
d) 3212 pp
e) 02.1 pp
9. Los valores de p y q que hacen al polinomio: qpxx 
24 divisible para el polinomio 56
2
xx ; son
respectivamente:
a) 26 y -25
b) 10 y 15
c) -26 y 25
d) 20 y 10
e) -10 y -15
10. La suma 21kk para que el polinomio 
21
2
2
3
5
4
: kxkxxxxp  sea divisible para el trinomio  65
2
: xxxq
, es igual a:
a) -2 b) -1 c) -5 d) -3 e) -4
11. Sea la función polinomial xxxxxf 2
23
2
4
)(  , entonces una de las siguientes proposiciones es
FALSA, identifíquela:
a) ()fx es divisible para el polinomio xx
3
b) Una de las raíces de la ecuación 0)(xf es 0.
c) f tiene una raíz de multiplicidad 2.
d) f tiene 4 raíces reales.
e) Una de las raíces de la ecuación0)(xf es 2.

326. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
325

12. Una de las siguientes ecuaciones polinomiales tiene raíz 2 de multiplicidad 3 identifíquela:
a)  015
2
2
3
4:  xxxxp
b)  013
3
2
4
6
5
5:  xxxxxp
c)  065
2
2
3
2:  xxxxp
d)  02
2
3
4
5
6
4:  xxxxp
e)  084
2
6
3
5
4
:  xxxxxp




Misceláneos
1. El VALOR de n para que "a " sea una raíz del polinomio 43224
5)( axaxnaxxp 
es:
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5

2. Los interceptos de la función 
32
252)(  xxxxxxf con el eje x , son:
a)–2 y –5
b)2 y 5
c)0, -2 y 2
7
d) 0, 2 y 5
e) 0, -2 y 2
7


3. IDENTIFIQUE la ecuación polinómica que contiene a “3” como raíz con multiplicidad dos.
a) 0125
23
 xxx
b) 0935
23
 xxx
c) 095
23
 xxx
d) 015
23
 xxx
e) 033
23
 xxx

4. Sea el polinomio baxxxp 2)(
34
 . Determine los valores de "a " y "b " tal que 1x sea una raíz
del polinomio y al dividir el polinomio para )1(x el residuo sea igual a 1.
a) 4
1
b y 2
1
a
b) 2
1
b y 4
1
a
c) 4
1
b y 2
1
a
d) 4
1
b y 2
1
a
e) No existen valores para a y b que cumplan tales condiciones

5. Dado el polinomio 1249:)(
24
 xxxxp , es verdad que:
a) El polinomio es divisible para 34
2
xx .
b) El polinomio tiene una raíz 2 de multiplicidad 2 .
c) El polinomio no tiene raíces reales.
d) Una de las raíces del polinomio es 3 .
e) El polinomio es divisible para )1(x .

6. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si se divide el polinomio 67:)(
2
xxxp para 4x ; el residuo es –6.
b) La ecuación  01
4
2
x tiene como raíz a 1 con multiplicidad 4.
c) Si se divide el polinomio 239:)(
24
 aaaap entre 2a ; el residuo es 2 .

327. Moisés Villena Muñoz Cap. 11 Funciones Polinomiales
326
d) Si se divide el polinomio xxxxp 
23
2:)( para x el residuo es 0.
e) Un factor del polinomioxxxxp 
23
2:)( es 1x .

7. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) Si se divide 67
2
xx para 4x se obtiene como residuo 6 .
b) El polinomio 011)(
22
 xxxp tiene raíz a "1 " de multiplicidad 4.
c) Si se divide 239
24
 aaa para 2a se obtiene como residuo -24.
d) El polinomio xxxp
3
0)(  es de grado 4.
e) El polinomio 02)(
23
 xxxxp tiene a "0" como una raíz.

8. En valor de m , para que la ecuación    031212
2
 mxmxm tenga una raíz igual a 1 , es:
a)3
7
b)7
3
c)7
6
d)7
2
e)7
1
9. El polinomio px de cuarto grado tal que 10p , es divisible para 2
22xx , al dividirlo para x el
residuo es -2 y cuyo coeficiente de 4
x es 1, es:
a) 4 3 2
2 2 2x x x x   
b) 4 3 2
2 2 2x x x x   
c) 4 3 2
2 3 2x x x  
d) 4 3 2
22x x x  
e) 4 3 2
3 2 2 2x x x x   

10. Al preguntar a Wendy, ¿Cuál fue su nota en el examen de ingreso de matemáticas, ella respondió: “es igual
al valor de k para que 1x sea factor de 10 7 6
5 13x kx x   ”. Entonces la nota de Wendy es:
a) 5
b) 13
c) 17
d) 1
e) 20

11. Un polinomio p(x) de grado7, tal que 1 sea una raíz de multiplicidad 2,0 una raíz de multiplicidad 4 y p(2) =
36, es:
a)  
24 1
1
4
x x x
b)   
245
11
2
x x x
c) 
24
15x x x
d) 
23
1 5 12x x x  
e)  
24 5
1 36
2
x x x  

328. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
327

12
12.1 ÁNGULO
12.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
12.3 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
12.4 VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
12.5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
12.6 ECUACIONES TRIGONO MÉTRICAS
12.7 INECUACIONES TRIG ONOMÉTRICAS




Existen expresiones algebraicas que contienen funciones
trigonométricas, que para simplificarlas hay que conocer y usar sus
propiedades, identidades y valores conocidos.

329. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
328

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina ángulo.
▪ Defina función acotada, función periódica, funciones trigonométricas para ángulos en general.
▪ Aplique las identidades trigonométricas básicas para determinar si ciertas expresiones
trigonométricas dadas son identidades o no.
▪ Represente en el plano cartesiano el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.
▪ Resuelva ecuaciones e inecuaciones trigonométricas.


12.1. ÁNGULO.

ÁNGULO es la abertura que existe entre 2
semirectas que tienen un punto común de
intersección.
Esquemáticamente tenemos:











12.1.1. PATRÓN DE MEDIDA

La MEDIDA DE UN ÁNGULO es la cantidad
de rotación que tiene que realizar el lado
inicial para coincidir con el lado terminal.
Si consideramos la rotación en sentido contrario al de las manecillas
del reloj diremos que el ángulo es POSITIVO; en cambio, si lo medimos en
sentido horario diremos que el ángulo es NEGATIVO.
La medida de un ángulo se la expresa en:
➢ GRADOS (patrón referencial); y/o
➢ RADIANES (patrón de números reales)
Para realizar conversiones consideremos la equivalencia básica:
=

180 Radianes
Se lo puede denotar de
la siguiente manera
También se suele emplear
letras del alfabeto griego





330. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
329
Si se desea convertir de grados a radianes, multiplique por  divida
para 180 . Si se desea convertir de radianes a grados, multiplique por 180
y divida para  .

A manera de ejemplos, tenemos:

GRADOS RADIANES 
30
6


45
4


60
3


90
2


150
6
5

180
 
210
6
7

270
2
3 
300
3
5 
330
6
11

360
2 
135

120

225

315



Ejercicios Propuestos 12.1
1. Convierta de grados a radianes:
a) 75 d) 12
b) 15 e) 330−
c) 40 f) 1

2. Convierta de radianes a grados
a) 12
 d) 11
6

−
b) 15
 e) 180

c) 5
8
 f) 1






Completar

331. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
330
12.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

12.2.1 FUNCIÓN SENO Y FUNCI ÓN COSENO
La regla de correspondencia para la función seno es xxf sen)(= , y
para la función coseno xxf cos)(= , donde x denota un ángulo.
Para tabular valores de estas funciones, y realizar las gráficas
respectivas, recurrimos a un círculo unitario, centrado en el origen.









Para las coordenadas del vértice del radio vector en ángulos (posición)
estratégicos tenemos:































2sen0
2
3
sen1
sen0
2
2
3
2
sen1
0sen0
sen
2
0
=






=
=
−






=
=
xx








2cos1
2
3
cos0
cos1
2
2
3
2
cos0
0cos1
cos
2
0
=






=
=−






=
=
xx


Note que aquí la variable
independiente “x ” representa a un
ángulo
En cada posición de giro del radio vector
(ángulo “x ”), la ABCISA del vértice indica
el valor del COSENO y la ORDENADA indica el
valor del SENO. ¿POR QUÉ?

332. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
331
CONCLUSIONES :
➢ (sen ) (cos )Dom x Dom x==
➢ Las gráficas son ONDAS SENOIDALES.
➢ Sus gráficas presentan SIMETRÍA.
El seno es una función impar. Por tanto xxsen)sen(−=−
El coseno es una función par. Por tanto xxcos)cos(=−
➢ Son FUNCIONES PERIÓDICAS , con período 2=T .
Una FUNCIÓN ES PERIÓDICA si y sólo si )()( xfTxf =
Por tanto )sen()sen( xTx = y )cos()cos( xTx =
➢ Son FUNCIONES ACOTADAS.
Una FUNCIÓN ES ACOTADA si y sólo si  mxfnx  )(
Note que 1,1cos)(sen −=== xrgxrg , es decir: 1sen1 − x
 1cos1 − x

Estas conclusiones son válidas para las funciones en su forma
elemental, pero piense cuales serían las características de las gráficas de:

➢ xysen2= .
Generalice xAysen= donde amplitudA
➢ )sen(
6

−=xy .
Generalice para)sen(=xy donde desfase
➢ )2sen(xy= .

Generalice paraxysen= donde angularafrecuenci

Finalmente, las reglas de correspondencia de la función seno y de la
función coseno pueden ser generalizadas de la siguiente forma:

))(sen( = xAy  donde T


2
= entonces 
2
=T
))(cos( = xAy 


Ejercicios Propuestos 12.2
GRAFIQUE:
1. )(xseny−= ; cos( )yx=−
2. )sen(xy −= ; cos( )yx=−
3. )(xseny= ; cos( )yx=

333. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
332

4. xysen= ; cosyx=
5. 1)(2
3
+−=

xseny ; 3
2cos( ) 1yx

= − +
6. 3
2 (2 ) 1y sen x

= − + ; 3
2cos(2 ) 1yx

= − +
7. 2
2 (3 ) 1y sen x

= − + ; 2
2cos(3 ) 1yx

= − +
8. 3 (2 ) 1y sen x= − − + ; 3 cos(2 ) 1yx = − − +
9. ()( )sgn senyx= ; ()( )sgn cos 2yx=
10. ()( )cosyx= ; sen
2
x
y

=


11. ()senyx= ; ()cosyx=
12. ()senx
ye

= ; ()( )ln cosyx =

12.2.2 FUNCIÓN TANGENTE
La función tangente se define como sen
tg
cos
x
yx
x
==
Por tanto su gráfica tendrá asíntotas verticales cuando 0cos=x . Es
decir en (2 1) ; 1,2,...
2
x n n

=  − =











CONCLUSIONES :
➢ (tg ) (2 1) ; 0,1, 2,...
2
Dom x n n

= −  − =

➢ (tg )rg x= . Por tanto, no es una función acotada.
➢ Es una función periódica, con período =T . Entonces T

= .
➢ Es una función impar. Por tanto xxtg)tg( −=− .
➢ En general, la regla de correspondencia sería ))(tg( = xAy  .

Ejercicio Propuesto 12.3
GRAFICAR:
1. )(xtgy−=
2. )(xtgy −=
3. xytg=
4. )(xtgy=
5. xytg=
6. )(
3

−=xtgy
7. 3
2 (2 )y tg x

=+

334. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
333
12.2.3. FUNCIÓN COSECANTE
La función cosecante se define como 1
csc
sen
yx
x
==
Su gráfica tendrá asíntotas verticales cuando sen 0x= . Es decir en ; 0,1,2,...x n n=  =















12.2.4. FUNCIÓN SECANTE
La función secante se define como 1
sec
cos
yx
x
==
Su gráfica tendrá asíntotas verticales cuando cos 0x= . Es decir en (2 1) ; 1,2,...
2
x n n

=  − =

335. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
334
12.2.5. FUNCIÓN COTANGENT E
La función cotangente se define como 1 cos
cot
tan sen
x
yx
xx
= = =
Su gráfica tendrá asíntotas verticales cuando 0senx= . Es decir en ; 0,1,2,...x n n=  =













Ejercicio Propuesto 12.4
GRAFICAR:
1. cot( )yx=−
2. cot( )yx=−
3. cotyx=
4. cot( )yx=
5. cotyx=
6. 3
cot( )yx

=−
7. 3
2cot(2 )yx

=+
8. 2
2csc( )yx

=−

336. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
335
12.3 RELACIONES TRIGONOMÉ TRICAS INVERSAS
Definamos las relaciones trigonométricas inversas y dejaremos para el
lector que se encargue de definir a las funciones trigonométricas
biyectivas para obtener las correspondientes inversas.
12.3.1 RELACIÓN ARCO SENO

La relación arco seno se define como 1
arcsen seny x x
−
== .
Su gráfica sería:
















Sería como dibujar a la función seno pero ahora con respecto al eje y .

12.3.2 RELACIÓN ARCO COSENO

La relación arco coseno se define como 1
arccos cosy x x
−
== .
Su gráfica sería:















yarcsenx= x 1 1−  2 −
arccosyx= x 1 1−  2 − 2−

337. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
336
12.3.3 RELACIÓN ARCO TANGENTE

La relación arco tangente se define como 1
arctan tany x x
−
== .
Su gráfica sería:





















12.3.4 RELACIÓN ARC O COTANGENTE

La relación arco cotangente se define como 1
cot coty arc x x
−
== .
Su gráfica sería:


















arcy tgx= x 2
 2
3
 2

− 2
3

−
arccotyx= x  2 − 2−

338. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
337
12.3.5 RELACIÓN ARCO SECANTE

La relación arco secante se define como 1
sec secy arc x x
−
== .
Su gráfica sería:



















12.3.6 RELACIÓN ARCO COSECANTE

La relación arco cosecante se define como 1
csc cscy arc x x
−
== .
Su gráfica sería:




















arcsecyx= x 2
 2
3
 2

− 2
3

−
arccscyx= x  2 − 2−

339. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
338
Ejercicio Propuesto 12.5
1. Sea :fY una función biyectiva cuya regla de correspondencia es ()3arctan 4 1
2
x
fx

= + −

 ,
entonces el conjunto Y es:
a) 22
1, 1
33

− − −

 b) 2, 2
44

− + −

 c) ( )4, 4− + +
d) 11
,
3 2 3 2

− + −

 e) 33
1, 1
22

− − −



2. Sea : 2,2 0,
3
f

−

 tal que ()
1
3 2 6
x
f x arcsen

= − +

 . La regla de correspondencia de la
función inversa es:
a)()
1
2sen3f x x
−
=− b) ()
1
2sen 3
6
f x x
− 
= − −


c) ()
1
2sen 3
2
f x x
− 
=−

 d) ()
1
2cos3f x x
−
= e) ()
1
3sen2f x x
−
=



12.4. VALORES DE FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS
CONOCIDOS
Con ciertos ángulos el estudiante puede concebir estrategias básicas
para solucionar situaciones prácticas. Para otros ángulos no nos
preocuparemos mayormente, porque bast ará sólo con emplear una
calculadora.
Ubiquemos en una tabla los valores del seno, coseno y tangente para
los ángulos que ya definimos anteriormente y además también para los
ángulos de 30°, 45° y 60°, que justificaremos luego. x
xsen xcos xtg 0
0 1 0 
30
6
=

2
1 2
3 3
3 
45
4
=

2
2 2
2 1

60
3
=

2
3 2
1 3

90
2
=

1
0  
180=
0 1− 0 
270
2
3
=

1−
0  
3602=
0 1 0
La trigonometría está íntimamente ligada a la geometría. Para obtener
los valores de las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60° podemos

340. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
339

emplear un triángulo rectángulo. El teorema de Pitágoras es de mucha
ayuda.
12.4.1 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo (triángulo
que tiene un ángulo recto (90°)), el
cuadrado de la longitud de su hipotenusa
es igual a la suma del cuadrado de las
longitudes sus catetos.








Es decir: 222
bac +=

12.4.2 Funciones trigonométricas para un triángulo
rectángulo
Para el triángulo rectángulo anterior tenemos:
sen Hipotenusa
opuestoLado
x=  c
a
x=sen
cosHipotenusa
adyacenteLado
x=  c
b
x=cos
tgadyacenteLado
opuestoLado
x=  b
a
x=tg

Y para las Cofunciones tenemos:

COSECANTE : a
c
x
x ==
sen
1
csc

SECANTE: b
c
x
x ==
cos
1
sec

COTANGENTE: a
b
x
x ==
tg
1
cot

341. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
340

12.4.3 Funciones trigonométricas para 
45 , 
30 y 
60 .

Para 
45 empleamos un triángulo rectángulo de catetos iguales.
Digamos 1==ba , entonces aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos
que 211
22
=+=c









Para 30° y 60° empleamos un triángulo equilátero (triángulo de lados de igual
medida y por ende, ángulos de igual medida (60°)). Digamos 2=l










Ejercicio resuelto
La operación ( )




45cos45sen30sen45tg4
60csc
30tg
260sen
2
+−−+ da como
resultado:
a) 4
9 b) 4
9
− c) 1 d) 0 e) -1
SOLUCIÓN:
Reemplazando los valores de funciones trigonométricas para los ángulos, tenemos:

4
9
4
123
3
4
3
4
6
3
2
4
3
4
2
2
1
14
2
3
3
3
2
4
3
2
2
2
2
2
1
14
3
2
3
3
2
2
3
1
2
1
1
2
12
−=
−
=−=−




























+=
=












+−−








+=
























+−−












+










RESPUESTA: Opción "b"


2
1
45sen=

ó 2
2
45sen=
 2
1
45cos=

ó 2
2
45cos=

1
45cos
45sen
45tg =


=
 
2
1
30sen=

2
3
60sen=
 2
3
30cos=

2
1
60cos=
 3
3
3
1
30tg ==

360tg=


342. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
341
Para ÁNGULOS MAYORES A 90° Y MENORES A 360°, podemos considerar lo
siguiente:

1. Regla del cuadrante:

Cuadrante x I
2
0

x )()( xfxf= II


x
2 )()( xfxf −= III
2
3

x )()( −= xfxf IV


23
2
x )2()( xfxf −=

El signo se lo escoge de acuerdo a la siguiente regla:

2. Regla de los signos

Cuadrante x xsen ,xcsc xcos ,xsec xtg , xctg I
2
0

x + + + II


x
2 + - - III
2
3

x - - + IV


23
2
x - + -

Entonces las funciones trigonométricas POSITIVAS en los respectivos
cuadrantes son:











Ejemplo 1
Para calcular 
135sen , debemos considerar que:
1. En ángulo es del segundo cuadrante, por tanto su seno es positivo.
2. 2
2
45sen)135180sen(135sen ==−=










Donde sen, cos, tg
csc,sec, cot
f=
=

343. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
342
Ejemplo 2
Para calcular 
210cos , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del tercer cuadrante, por tanto su coseno es negativo.
2. 2
3
)30cos()180210cos(210cos −=−=−−=









Ejemplo 3
Para calcular 300tg , debemos considerar que:
1. Es un ángulo del cuarto cuadrante, por tanto su tangente es negativa.
2. 3)60tg()300360tg(300tg −=−=−−=











Ejercicios Propuestos 12.6
Calcular:
1. cos120
2. tg150
3. sen225
4. tg240
5. cos315


Para ÁNGULOS SUPERIORES A 360° , considere el criterio de la función
periódica, es decir: )2()( nxfxf −= . Donde "n " es un número natural, lo
suficiente para llevar a "x " a un ángulo entre 0° y 360°, y luego aplicar las
reglas anteriores.

Ejemplo 1
Para calcular 405sen , debemos considerar que:
( )
2
2
405sen
45sen405sen45sen360405sen405sen
=
==−=



344. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
343
Ejemplo 2
Para calcular 1125tg , debemos considerar que: 11125tg45tg))360(31125tg(1125tg ==−=




Ejemplo 3
Para calcular 480cos , debemos considerar que:
1. =− 120cos)360480cos( .
2. 2
1
60cos)120180cos(120cos −=−=−−=



Ejercicios propuestos 12.7
Calcular:
1. cos1080
2. tg495
3. sen1050
4. cos1125
5. tg405


Si el ÁNGULO ES NEGATIVO se puede emplear uno de los siguientes
métodos:
1. El criterio de simetría, es decir )sen()sen( xx−=− , xxcos)cos(=−
y xxtg)tg(−=− . Y el resto de m anera
semejante a lo que ya se ha explicado.
2. Llevarlo a un ángulo entre 0° y 360°, )2()( nxfxf +−=−

Ejemplo
Para calcular )30sen(− , podemos considerar que:
➢ 2
1
30sen)30sen( −=−=− ; o considerar que,
➢ 2
1
330sen)36030sen()30sen( −==+−=−


Ejercicios propuestos 12.8
Calcular:
1. ( )cos 570−
2. ( )tan 855−
3. ( )sen 1050−
4. ( )cos 1050−
5. ( )tan 480−

345. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
344
12.5. IDENTIDADES TRIGONO MÉTRICAS
Existen expresiones trigonométricas que son válidas para cualquier
valor de x .
Del círculo unitario que nos sirvió para definir a la función seno y a la
función coseno, tenemos que: 1cossen
22
=+ xx (JUSTIFÍQUELO)
De aquí, al despejar tenemos que: xx
22
cos1sen −=
xx
22
sen1cos −=
Dividiendo la primera anterior para 2
cosx resulta 22
tan sec 1xx=−
Dividiendo la siguiente para 2
sen x resulta 22
cot csc 1xx=−
Además se puede demostrar que:




De aquí se deriva que:




Si hacemos xy= en las identidades para la suma de seno y coseno,
resulta:




yxyxyx sencoscossen)sen( +=+
yxyxyx sencoscossen)sen( −=−
yxyxyx sensencoscos)cos( −=+
yxyxyx sensencoscos)cos( +=−
sen( ) tan tan
tan( )
cos( ) 1 tan tan
x y x y
xy
x y x y
++
+ = =
+−
tan tan
tan( )
1 tan tan
xy
xy
xy
−
−=
+

xxx cossen22sen=





−
−
−
=
x
x
xx
x
2
2
22
sen21
1cos2
sencos
2cos

346. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
345
Si hacemos 2
x
x= en 2
cos2 2cos 1xx=− y en 2
cos2 1 2senxx=− ; y luego
despejamos, resulta que:




Otras identidades son:
() ()
() ()
() ()
1
sen cos sen sen
2
1
sen sen cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
= + + −

= − + − −

= + + −


Sumando las identidades para la suma y diferencia de los senos, se
logra justificar la primera identidad.
()
()
() ()
sen sen cos cos sen
sen sen cos cos sen
sen sen 2sen cos
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
+ = +
+ − = −
+ + − =
No deje de justificar las otras dos identidades
Ahora haciendo x mx= y y nx= tenemos:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
sen cos sen sen
2
1
sen sen cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
mx nx m n x m n x
mx nx m n x m n x
mx nx m n x m n x
= + + −

= − + − −

= + + −

Identidades de suma y resta de senos y cosenos también
resultan importante para simplificar expresiones específicas: 2
cos1
2
cos
xx +
=
2
cos1
2
sen
xx −
=

347. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
346
sen sen 2sen cos
22
sen sen 2sen cos
22
cos cos 2cos cos
22
cos cos 2sen cos
22
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy
x y x y
xy
+−   
+=
   
   
−+   
−=
   
   
+−   
+=
   
   
+−   
− = −
   
   
¡Demuéstrelas!

Ejemplo 1
Calcular )75sen(

SOLUCIÓN:
Una opción sería emplear la identidad yxyxyx sencoscossen)sen( +=+ ( )
4
132
2
1
2
2
2
3
2
2
30sen45cos30cos45sen)3045sen()75sen(
+
=
+=
+=+=




Ejemplo 2
Calcular ()()
7
24 24
sen cos

SOLUCIÓN:
Empleando la identidad () ()
1
sen cos sen sen
2
x y x y x y=  + + − 

Reemplazando:( )
7 1 7 7
sen cos sen sen
24 24 2 24 24 24 24
1 8 6
sen sen
2 24 24
1
sen sen
2 3 4
1 3 2
2 2 2
1
32
4
     


   
= + + −
   
   
   
=+
   
   
   
=+
   
   

=+

=+


Ejemplo 3
Si 3
2
x

 y 3
sen
5
x=− . Calcular:
a) ()sen 2x b) ()cos 2x c) sen
2
x


SOLUCIÓN:

a) Empleando la identidad trigonométrica sen2 2sen cosx x x=

348. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
347
Se observa que debemos encontrar el valor de cosx
Considerando que 3
5
senx= , sabemos que en un triángulo rectángulo con un ángulo x , su cateto
opuesto mediría 3 y su hipotenusa 5:










Por tanto empleando el Teorema de Pitágoras, podemos calcular la medida del otro cateto y ya se podría
obtener el valor del coseno de ángulo
22
5 3 25 9 16 4a= − = − = =
Entonces
4
cos
55
a
x= − = − (No olvide quex es un ángulo del tercer cuadrante por tanto su coseno
también es negativo)
Reemplazando:
3 4 24
sen 2 2sen cos 2
5 5 25
x x x
  
= = − − =
  
  


b) Empleando la identidad trigonométrica 2
cos2 1 2senxx=−
Reemplazando simplemente
2
2 3 9 25 18 8
cos2 1 2sen 1 2 1 2
5 25 25 25
xx
−   
= − = − − = − = =
   
   
c) Empleando la identidad 1 cos
sen
22
xx −
=
Observe que 3
2
x

 (tercer cuadrante) por tanto 3
2 2 4
x
 (el ángulo medio pertenece al
segundo cuadrante), elegimos el signo positivo para el radical, por tanto:
()
4
4 11
1 cos 9 3 3 105 5
sen
2 2 2 2 10 10 10
xx
+−−
−
= + = = = = =


Ejemplo 4
Al simplificar la expresión: ( )xx
xx
sen1cos
cossen1
2
+
−+ se obtiene:
a) xsen b) xcos c) xtg d) 1 e) 0

SOLUCIÓN:
Reemplazando la identidad xx
22
cossen1 += en la expresión dada, tenemos:

2 2 2 2
1 sen cos sen cos sen cos
cos (1 sen ) cos (1 sen )
sen (sen 1)
cos (1 sen )
sen
tg
cos
x x x x x x
x x x x
xx
xx
x
x
x
+ − + + −
=
++
+
=
+
==
RESPUESTA: opción "c"
x 3 5 a

349. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
348
Ejemplo 5
¿Qué expresión se debe colocar en lugar de "x ", para que: xA
A
A
A 2
sen1
cos
sen1
cos
=
−
+
+ se
convierta en una identidad?
a) Acsc c) Asen e) Acos
b) AAcossen d) Atg
SOLUCIÓN:
Despejando "x " en la igualdad dada, tenemos:
Ax
A
A
x
A
A
x
xAA
A
xAA
AAAAAA
xAA
AAAA
xA
A
A
A
cos
cos
cos
cos
sen1
2
)sen1)(sen1(
cos2
2
)sen1)(sen1(
cossencossencoscos
2
)sen1)(sen1(
)sen1(cos)sen1(cos
2
sen1
cos
sen1
cos
2
2
=
=
−
=

=
−+

=
−+
++−
=
−+
++−
=
−
+
+
RESPUESTA: Opción "e"



Ejercicios Propuestos 12.9
1. Calcular:
a)cos15
b) sen105
c) cos75
d) tan15
e) ()sen 22.5
2. Si 3
tan
4
x= y 0
2
x

 calcular cosx
3. Si 4
cot
3
x=− y 32
2
x

 calcular senx
4. Si 3
2
x

 , y 3
tan( )
4
x= , entonces encuentre el valor de sen
2
x

 y cos
2
x


5. Si arccos(3 )yx= , 0
2
y

 , cot( ) ?y= , sen( ) ?y= .
6. Si sen( ) 0x y tan( ) 3x= , arcsen(cos( )) ?x=
7. La expresión tan cot
cot tan
xx
xx
+
− , es idéntica a:
a) x2csc
b) x2sec
c) x2sen
d) x2cos
e) tan2x

350. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
349
8. Una expresión idéntica a x
xxx
2
2
cos1
1cossen2sen
−
−+ es:
a)xxcossen+
b) xsen2
c) x
2
cos1−
d) 1cos2 −x
e) xxcos2sen−

9. La expresión x
x
x
x
sen
cos1
cos1
sen +
+
+ es equivalente a:
a) xsec
2
1
b) 3tanx
c) 2cscx
d) xcos
e) 4 cotx

10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a 





+
4
cos8

x ?
a) ( )xxsencos2 −
b) ( )xxcossen2 −
c) ( )xsen12+
d) ( )xxcossen2 +
e) ( )xcos12−

11. La expresión: 2
1 cot
2cos sen
csc



−
+

 es idéntica a:
a) 2tan
b) -1
c) 2 cot
d) 1
e) tan

12. Una expresión idéntica a 2
2
sen 2 cos sen 1
1 sen
x x x
x
+−
− es:
a)xxcossen+
b) x
2
sen1−
c) xsen2
d)xxcos2sen−
e) 1sen2 −x

13. ¿Cuál de las siguientes igualdades es una identidad?
a) 





=−
2
cossencos
22 x
xx
b) 22
tan 1 secxx=−
c) 





=+
2
cos2cos1
2x
x
d)xxx cossen2sen2 =
e) 





+=
2
cossen xx
14. La expresión equivalente a cos sen
1 tan 1 cot
AA
AA
+
−− es:
a) 2cscA b) cot tanAA+ c) sen cosAA+
d) secA e) 2
2cosA

351. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
350
15. La expresión 2
cos
1 2sec
cot
1
1 sec
cot
A
A
A
A
A

+



++

 es idéntica a:
a) 1
2 b) cosA c) 1
2
cosA d) 2cosA e)secA
16. La expresión ( )
2
22
cos sen 1 2cos
sen cos cos tan 1
x x x
xx xx
++
−
− − es equivalente a:
a) 2
sen cosxx− b) 2
sen cosxx+ c) 2
1 tanx+
d) 2
1 tanx− e) 2cos
1 tan
x
x+

17. Al simplificar sen9 sen5
cos9 cos5
xx
xx
+
+ se obtiene:
a) sen7x b) cos7x c) tan7x d)cot7x e)sec7x

18. Simplificar cos cos2 cos3  ++ :
a)( )cos2 1 2cos+ b)( )cos2 1 cos+ c) ( )cos 1 2cos+
d) ( )cos2 1 cos2+ e) Ninguna de las anteriores


12.6 ECUACIONES TRIGONOMÉ TRICAS

Con todo lo anterior podemos resolver ecuaciones que contengan
funciones trigonométricas.

Ejemplo 1
El conjunto solución de la ecuación 
1
cos ; 0,2
2
senx x x = − 
SOLUCIÓN:
Haciendo uso de identidades trigonométricas:
( )
1
2 cos 2
2
21
senx x
sen x

=−


=−
Entonces ()2 3 2
2
xn

=+ O lo que es lo mismo ()3
4
xn

=+
Si 0n= , entonces 3
4
x

= y necesitamos también
Si 1n= , entonces 37
44
x

= + =
El conjunto solución de acuerdo al referencial sería: 3 , 7
44



OBSERVACIÓN: si el referencial fuese el intervalo 2 ,0− , las soluciones serían:
Para 1n=− , tenemos 3
44
x

= − = − y
2n=− , tenemos 3 2 5
44
x

= − = −
,5
44

−−


352. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
351
Ejemplo 2
El conjunto solución de la ecuación 
2
3 2cos 0 , 0,2senx x x + = 
SOLUCIÓN:
Tratemos de expresarla siempre en términos de sólo senos o sólo cosenos, en este caso será mejor sólo en
términos de senos:
( )
( )( )
2
2
2
2
3 2cos 0
3 2 1 0
3 2 2 0
2 3 2 0
2 2 1 0
2 0 2 1 0
1
2
2
senx x
senx sen x
senx sen x
sen x senx
senx senx
senx senx
senx senx
+=
+ − =
+ − =
− − =
− + =
− =  + =
=  = −
El primer planteamiento no tiene solución, el segundo sí:
7 ,11
66




Ejemplo 3
El conjunto solución de la ecuación 
42
10cos 3 0 , 0,2x sen x x + − = 
SOLUCIÓN:
En este caso lo expresamos en términos del coseno:
( )( )
42
42
42
22
22
22
10cos 3 0
10cos 1 cos 3 0
10cos cos 2 0
5cos 2 2cos 1 0
5cos 2 0 2cos 1 0
2
cos 2cos 1
5
2 1 1 2
cos cos
5 2 2 2
x sen x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
+ − =
+ − − =
− − =
+ − =
+ =  − =
= −  =
= −  =  =  = 
El primer planteamiento no tiene solucion, el segundo sí:
, 3 , 5 , 7
4 4 4 4
   



353. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
352
Ejercicios Propuestos 12.10
1. Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el referencial
indicado:
1. 
2
sen ( ) sen( ) 2 0 , 0, 2x x x − − = 
2. 
2
2sen ( ) cos 1 0 , 0, 2x x x − − = 
3. cos2 4cos 3 0 , 0,2x x x − + = 
4. 
2
cos(2 ) cos ( ) , 0, 2x x x =
5. sen( ) cos( ) 1 , 0,2x x x + = 
6. tan(2 ) 2cos( ) 0 , 0,2x x x − = 
7. sen(2 ) 2sen( ) , ,
22
x x x

=  −


8. 
2
sen (2 ) 1 , 0,xx =
9. cot 2 3 , 0, 2
6
xx



− = − 


10.  cot 2 3 , 2 , 0
6
xx



− = −  −


2. Sea () ( )2cos 3
2
f x x

=− donde )0,2x entonces el conjunto () /0C x f x== es:
a) 3 7 9 11
, , ,
6 6 6 6
   

 b) 5 7 9
, , ,
6 6 6 6
   


c) 3 5 7 9 11
, , , , ,
6 6 6 6 6 6
     

 d) 2 4 5
0, , , , ,
3 3 3 3
   




e) 3 5 7
, , , ,
6 2 3 4
   




3. Sea (): sen( )sen 1 cos( )
2
x
p x x x

=−

 y Re 0,2= , entonces la cantidad de elementos de ()Ap x es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) 4

4. Si 22x−   y ()
2
sen
:8 2 2
x
px = , entonces es VERDAD que:
a) ()
3
,,
4 2 4
Ap x
  
=
 b) ()
3 5 7
, , ,
4 4 4 4
Ap x
   
=
 c) ()
35
,,
4 4 4
Ap x
  
=

d) ()
1,sen
2
x Ap x x  = e) ()
( )21
/ 1,2,3,4
4
n
Ap x x n
 − 
= =  =

5. Sea () () ()
2
:sen 2 sen 2 2 0p x x x − − = y el Re 0,2= . La suma de los elementos de ()Ap x
es:
a) 5 b) 3
2
 c) 7
2
 d) 5
2
 e) 3
4

6. Si ()
3
: sen sen
3 3 2
p x x x
   
− − + = −
   
    y Re 0,2= . La suma de los elementos de ()Ap x
es:
a) 0 b) 9
4
 c) 2 d)  e) 2
3

7. Si Re 0,2= y ()
4sen cos sen2
: 2 2 2 0
x x x
px + − = , entonces es VERDAD que:
a)(),2Ap x= b)()
3
0, , , ,2
22
Ap x



=
 c) ()
3
0, ,
22
Ap x

=

d) () 0, ,2Ap x= e) ()
3
,
22
Ap x

=

8. Si (): tan tan2 0p x x x−= , x , entonces la suma de los elementos de ()Ap x es:
a) 5
6
 b) 3 c)5
2
 d) 2
 e) 2


354. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
353
12.7 INECUACIONES TRIGON OMÉTRICAS

Ejemplo 1
El conjunto solución de 2sen 1 0 ; 0,2xx −  
SOLUCIÓN:
Despejando tenemos 1
sen
2
x⊥
Una buena opción es observar el grafico de la función seno en el referencial especificado











Entonces el conjunto solución es el intervalo ,5
66




Ejemplo 2
El conjunto solución de ( ) 2cos 2 0 ; 0,2xx + = 
SOLUCIÓN:
Utilizando la definición de la función escalón, para que sea igual a cero, su argumento debe ser menor o igual
a cero, es decir:
2cos 2 0
2
cos
2
x
x
+
−
Observando el grafico de la función coseno en el referencial especificado


















Entonces el conjunto solución es el intervalo 3 , 5
44


 cosyx= x 3
4
 5
4
 2
2
−
ysenx= 6
 5
6
 1
2

355. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
354

Ejercicios Propuestos 12.11
1. Encuentre el conjunto solución de:
1. () 2sen 1 ; 0,2xx−  
2. cos 0 ; 0,2xx =
3. 
1
senx 0 ; 0, 2
2
x− = 
4. 
1
sgn sen 1 ; 0, 2
2
xx 

+ = − 


2. Sea Re 0,2= y ():sen cosp x x x , entonces ()Ap x es:
a) ,
2




 b) 5
,,
44


   


    c) 2
,
43



d)2
,
33


 e) 5
,
44




3. Si Re 0,2= y (): 2 sen 1
2
x
px



 , entonces ()Ap x es:
a) 5
,
33


 b) 5
,
33
C


 c) 5
,
66



d) 5
,
66
C


 e) 5
,
33





4. Si Re 0,2= y (): sgn 2sen 1 1
2
x
px

−=
 , entonces ()Ap x es:
a) 5
,
66


 b) 5
,
33


 c) 5
0, ,
66


   

   
   
d) 5
0, ,
33


   

   
    e) 5
,
36












Misceláneos
1. Una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:
a) 2
1
3
5
cos=

b) 3
3
6
7
tg=

c) =8cos0cos
d) 63
cossen

=
e) ( ) xxgxxx coscottgcos =+

2. La expresión xx
xx
2cos2sen1
2cos2sen1
−+
++ es IDÉNTICA a:
a)xsen
b)xcos
c)xsec
d)xcot
e)xtg

356. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
355
3. Sean “x ” y “y ” números reales. Entonces una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela:
a) ()sen sen cos cos senx y x y y x+ = −
b) Sen Cos
Sen2
2
xy
x=
c) 22
Cos 1 Senxx=+
d) 2
1 cos
sen
2
xx
x
+
=
e) 22
Cos2 Cos Senx x x=−

4. El valor de  para que la expresión x
x
x
cos
sen1
1
tg
=
−
+ sea una IDENTIDAD es:
a)xcos
b)xsec
c)xsen
d)x
2
cos
e)1

5. La expresión xx
xx
2cos2sen1
2cos2sen1
−+
++ es idéntica a:
a)xsen
b)xcos
c)xtg
d)gxcot
e)xsec


6. El valor de la expresión: 1
2
3
cot1
4
cos
6
sen
4
cos
6
sen
−














+





 
+






 
−
 es:
a)3
1
− b)12− c)3− d)12
3
− e)12
3

7. SIMPLIFICANDO xx
xx
cos2sen
cos4cos3
3
−
− , se obtiene:
a)xxcossen+
b)xcos21−
c)1sen2 +x
d)xsen2−
e)xxsencos−

8. La expresión x
xx
x
cos
cossen
1tg








+
+ es idéntica a:
a) tg x
b) tg x +1
c) ctgx
d) ctgx - 1
e)1

9. La expresión 2
tg1
cscsec








+
+
x
xx es IDÉNTICA a:
a)x
2
cot
b)x
2
sec
c)x
2
csc
d)x
2
sen
e)x
2
cos

357. Moisés Villena Muñoz Cap. 12 Trigonometría
356
10. La expresión ( )( ) xxx cotcsccos1 +− es IDÉNTICA a:
a)xsen−
b)xcsc
c)xcsc−
d)xsen
e)xcos−

11. El VALOR de 

60cot.45tg
30sec.60tg.45sen , es:
a)6
b)3
32
c)3
7
d)32
e)3
1
12. El valor de la suma cos1 cos2 cos3 cos360+ + + es:
a) 0 b)1 c)1− d)1
2 e) 1
2
−
13. La expresión sen
2 3 4 6 8 12
     
− + − + − +

 es igual a:
a)1
2 b) 1
2
− c) 3
2 d) 3
2
− e) 1
14. Si 0x y ()( ) ( )
2 3
sen sen
: log 2 log 4sen
xx
p x x  , entonces ()Ap x viene dada por:
a) 5
0, ,
66


   

   
    b) 22
,,
3 3 3
  

   

   
    c)2
,
63



d) 2
,
33


 e) 2
,
66



15. El valor de tanx , tal que ( )
15
arcsen
17
x=− ; 3
2
2
x

 es:
a) 15
8
− b) 17
5 c) 15
17 d) 15
17
− e) 8
15
−
16. Dado ()arccos 3yx= tal que 0
2
y

 entonces la coty y seny son respectivamente:
a) ( )
2
3 1 9xx− ; 2
19x− b) 2
3
19
x
x− ; 2
3
19x−
c) 2
19
x
x− ; 2
3
19x− c) 2
3
19
x
x− ; 2
19x−
e) 2
19x− ; 2
1
19x−

358. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
357

13
13.1 DEFINICIÓN
13.2 DIMENSIÓN
13.3 CLASES DE MATRICES
13.4 IGUALDAD DE MATRICES
13.5 OPERACIONES
13.6 DETERMINANTE
13.7 MATRIZ INVERSA


Los arreglos matriciales permiten estructurar muchos contenidos
matemáticos. De allí su importancia de estudio en este capítulo.

359. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
358

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
▪ Defina arreglo matricial.
▪ Defina y aplique las definiciones para identificar matrices cuadradas, matriz identidad,
matrices triangulares superior e inferior, matrices diagonales, matrices simétricas.
▪ Aplique operatoria elemental con matrices: suma, resta, multiplicación por escalares,
multiplicación entre matrices.
▪ Halle determinantes de matrices.
▪ Aplique las propiedades de los determinantes para ejercicios conceptuales.
▪ Justifique la existencia de la inversa de una matriz
▪ Determine, de existir, la inversa de una matriz.

13.1 DEFINICIÓN
Una matriz es un arreglo rectangular de
números.
Se acostumbra denotar a una matriz con letras del abecedario, en
mayúscula.
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
Columna
Renglón
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a

→


=




1 2 3 n
1
2
3
m
C C C C
R
R
R
R
A los arreglos horizontales se los denominan renglones o filas.
A los arreglos verticales se los denominan columnas.
Al número ija se lo denomina elemento de la matriz, donde "i " (el
primer número del subíndice) indica la fila en donde se encuentra y "j "
(el segundo número del subíndice) la columna, es decir:





13.2 ORDEN O DIMENSIÓN
El orden o la dimensión de una matriz está dada por la cantidad de
filas y la cantidad de columnas que posea. Al decir nm
A
 , se indica que A
es una matriz que tiene m filas y n columnas.

360. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
359
Ejemplos
23
2 1 3
1 0 2
A

−
=

− A→ es de orden 23 porque tiene que tiene 2 filas y 3 columnas.

33
1 2 3
0 1 2
1 2 3
B

−−

=−


 B→ es de orden 33 porque que tiene 3 filas y 3 columnas.

Ejercicio Propuesto 13.1

1. Determine la matriz ()43 ij
Aa

= para la cual 2−+=jia
ij . [SUGERENCIA: por ejemplo con
objeto de calcular 21
a , haga 2=i y 1=j en la fórmula 1212
21
=−+=a ].
2. Determine la matriz ()33 ij
Aa

= para la cual 0;
1;
ij
ij
ij
=
=

a



13.3 CLASES DE MATRICES
13.3.1 MATRIZ CUADRADA
Una matriz nm
A
 es cuadrada si y sólo sí nm= .
Es decir una matriz cuadrada tiene igual cantidad de filas que de
columnas y se la denota como nn
A
 .
Caso contrario se la considera una matriz rectangular.

Cuando una matriz es cuadrada surge la definición de Diagonal
Principal para los elementos ija donde ji= . Y Diagonal Secundaria
para los elementos de la otra diagonal.




La suma de los elementos de la Diagonal Principal es llamada Traza
de la matriz y se la denota como ()Tr A , es decir:
()
11 22 33 nn
A a a a a= + + + +Tr
Dentro de las matrices cuadradas también aparecen las siguientes
clases de matrices: 















=

nnnnn
n
n
n
nn
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





321
3333231
2232221
1131211

Diagonal
Principal
Diagonal
Secundaria

361. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
360
13.3.1.1 MATRIZ TRIANGULAR SUP ERIOR
Una matriz cuadrada es triangular superior cuando los elementos que
están bajo la diagonal principal son todos ceros.




13.3.1.2 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Una matriz cuadrada es triangular inferior cuando los elementos que
están sobre la diagonal principal son todos ceros.







13.3.1.3 MATRIZ DIAGONAL
Una matriz cuadrada es diagonal cuando l os elementos que están
sobre y bajo la diagonal principal son todos iguales a cero.






13.3.1.4 MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz diagonal que tiene al número 1 en toda la diagonal
principal.







13.3.1.5 MATRIZ CERO
Es la matriz que tiene todos sus elementos cero. Puede ser cuadrada
como puede ser rectangular. 















=

nn
n
n
n
nn
a
aa
aaa
aaaa
A





000
00
0
333
22322
1131211
















=

nnnnn
nn
aaaa
aaa
aa
a
A





321
333231
2221
11
0
00
000
















=

nn
nn
a
a
a
a
A





000
000
000
000
33
22
11
















==

1000
0100
0010
0001





nnnn IA

362. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
361


13.4 IGUALDAD DE MATRICE S
Dos matrices nm
A
 y nm
B
 son iguales si y sólo si:
ijij
ba=
Es decir, sus elementos respectivos son iguales.

Ejercicios propuestos 13.2
1. Determine los valores de las variables para los cuales las ecuaciones matriciales siguientes se satisfacen:
a) 





=






43
21
3
2
y
x
b) 1 3 3 2 7 1
5 3 5 2 3
1 1 0 5 1
x t v
x y w
u y z
+ + +   
   
+ = −
   
   + + − −   
2. Dadas las matrices: 









+
+−+
=
243
012
4232
3
2321
k
kkkk
A y 









=
043
012
232
B entonces el valor de 321
kkk ++
, tal que BA= , es:
a) 4
5
− b) 3
2
− c) 3 d) 2
1 e) 2
3



13.5 OPERACIONES
13.5.1 SUMA
Sean BA dos matrices de nm , entonces:
nmnmnm
CBA

=+ , donde ijijij bac +=
Los elementos de la matriz resultante C se los obtiene sumando
algebraicamente los elementos de la matriz A con los respectivos
elementos de la matriz B .

Ejemplo
Sean las matrices
23
2 1 1
1 2 3
A

−
=
 y 23
1 0 1
2 1 3
B

−
=
−−
Hallar BAC += .
SOLUCIÓN:

363. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
362
()
() ()
2 3 2 3
23
2 1 1 1 0 1
1 2 3 2 1 3
2 1 1 0 1 1 1 1 2
1 2 2 1 3 3 1 3 0
C A B
C


−−   
= + = +   
−−   
 + − − + +  −
== 
+ − + + − −



13.5.1.1 PROPIEDADES

Sean nm
A
 ,nm
B
 y nm
C
 , matrices.
Entonces:
1. ABBA +=+
2. ( ) ( )CBACBA ++=++
3. AA=+0 , donde nm0 Matriz Cero
4. ()0=−+AA

13.5.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALARES
Sea  y la matriz nm
A
 , entonces:
nmnmCA
= , donde ijijac=
Los elementos de la matriz C se los obtiene multiplicando por la
constante  a los elementos de la matriz A .
Ejemplo
Si tenemos la matriz 2 1 0
1 2 3
A
−
=
 , entonces:
() ()()
()()()
2 2 1 2 0 22 1 0 4 2 0
22
1 2 2 2 3 21 2 3 2 4 6
CA
 − −−   
= = = =    
    


13.5.2.1 PROPIEDADES

Sean nm
A
 y nm
B
 matrices; y , ,
entonces:
1. ( ) BABA +=+
2. () ()()AAA ==

364. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
363
13.5.3 MULTIPLICACIÓN ENTR E MATRICES
Sea A una matriz nm y sea B una matriz qn
(la cantidad de columnas de la matriz A igual a la cantidad de filas de la matriz B )
entonces:
qmqnnm
CBA

=
donde njinjijijiij
babababac ++++= 
332211

Es decir, el elemento ij
c se lo obtiene sumando algebraicamente los
resultados de la multiplicación de los elementos de la fila i de la matriz A
con los respectivos elementos de la columna j de B .

Ejemplo
Para las matrices
23
2 1 1
1 2 3
A

−
=
 y 33
1 1 1
0 2 3
1 1 1
B

−

= − −



Obtengamos la matriz ABC=
Primero observe que, sí es posible obtener la matriz C , porque la matriz A tiene 3 columnas y la
matriz B tiene 3 filas.
Entonces:
32
232221
131211
323332

 







==
ccc
ccc
CBA 6)1)(1()3)(1()1)(2(
5)1)(1()2)(1()1)(2(
1)1)(1()0)(1()1)(2(
13
12
11
=+−−+=
=+−−+=
−=+−+−=
c
c
c
2)1)(3()3)(2()1)(1(
0)1)(3()2)(2()1)(1(
2)1)(3()0)(2()1)(1(
23
22
21
−=+−+=
=+−+=
=++−=
c
c
c

Por lo tanto:
23
1 5 6
2 0 2
C

−
=
−

13.5.3.1 PROPIEDADES
Sea  y CBA,, matrices.
Entonces:
1. ( ) ACABCBA +=+
2. AAI=
3. () ()BABAAB ==
4. () ()BCACAB=

365. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
364
Las dimensiones de las matrices CBA,, deben ser tales que se puedan
realizar las operaciones indicadas.
Note que AB no siempre es igual a BA ¿POR QUÉ?

Ejercicio Resuelto
Sean las matrices 













−−−
−
−−
=
23
2
3
201
2
k
kkA y 











−−
−−
−−
=
321
3
1102
5
3
k
k
k
kB , entonces el valor de "k " para que
la matriz AB sea una MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR es
a) 1− b) 0 c) 3 d) 2− e) 1
SOLUCIÓN:
Al multiplicar la matriz 33
A con la matriz 33
B resulta una matriz 33
C . El asunto es que 33
C sea
triangular superior, entonces 000
323121
=== ccc . Es decir: 33
33
2322
131211
333333
00
0












==
c
cc
ccc
CBA
032)1)(3())(()2)((
2
21
=−−=−+−−+−= kkkkkc
045)2)(2())(3()10(
023)1)(2())(3()2(
32
32
32
2
2
31
32
2
=++=−−+−−+−





−=
=++=−−+−−+−





−=
kkkkc
kkkc
kk
k

Las 3 ecuaciones proporcionan diferentes soluciones
1.()()
13
013
032
2
−==
=+−
=−−
kk
kk
kk 2.()()
12
012
023
2
−=−=
=++
=++
kk
kk
kk 3.()()
140
014
0)45(
045
2
23
−=−==
=++
=++
=++
kkk
kkk
kkk
kkk
Observe que sólo1−=k satisface las tres condiciones, por tanto
RESPUESTA: Opción "a"


Ejercicios Propuestos 13.3
1. Efectuar las operaciones:
a) 2 1 3 0 1 2
1 4 7 1 2 8
−   
+
   
−−   
b) 1 2 3 0 1 2
2 2 1 0 3 3 2 4
4 5 6 1 0 3
−   
   
− + −
   
    −
   
c) 2 3 1 1
1 2 3 2
4 5 6 3
   
   
−−
   
   
   
d) 10
1 2 3 3 1
2 4
4 5 6 2 1
0 3
−
−   
   
−   



2. Calcule IAA 32
2
−+ para 





=
32
21
A

366. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
365
3. Al multiplicar la matriz 





=
dc
ba
A por la matriz 33
4 0
B
−
=

 se obtiene la matriz 





−−
−−
=
62
31
C
, entonces la SUMA de dcba +++ es:
a) 0 b) 6 c) 2 d) 4 e) 3
4. Considerando las siguientes matrices:
( )
2
1 1 2 4 0 3
1 4 0 3
0 3 4 1 2 3
3
A ; B ; C ; D

−−    
= = = − =    
−−    
 .
Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)5 1 1
1 1 7
AB
−−
+=
− b) 8 0 6
4 0 3
12 0 9
CD


= − −



c)CA+ no está definida d)







=
9
9
AD
e) Elija esta opción si todas las anteriores proposiciones son verdaderas.
5. Dadas las matrices: 





=
43
21
A y 2 1
32
B
−
=

−− encuentre:
a) ( )
2
BA+ b) 22
2 BABA ++
6. Sean las matrices: 1
1
p
A
q

=

− y 





−
−
=
12
11
B encuentre "p " y "q " para que ( )
222
BABA +=+
.


13.5.4 MATRIZ TRANSPUESTA
Sea ()
ij
aA= una matriz de nm . Entonces su
matriz transpuesta, denotada como ()
ji
t
aA= , es
de mn y se obtiene tomando las filas de la
matriz A como columnas para la matriz t
A y por
ende las columnas de la matriz A serán las filas
de la matriz t
A .
Ejemplo
La matriz transpuesta para la matriz 23
2 1 1
1 2 3
A

−
=
 es 32
2 1
12
1 3
t
A



=−




13.5.4.1 PROPIEDADES
Sean nm
A
 y nm
B
 matrices, entonces:
1. ()AA
t
t
=
2. ( )
ttt
BABA +=+
3. ()
ttt
ABAB=

367. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
366
13.5.5 MATRIZ SIMÉTRICA

Una matriz nn
A
 es simétrica si y sólo si AA
t
=

Para que una matriz sea simétrica se debe cumplir que jiijaa=


Ejemplo
La matriz 1 2 3
2 0 1
3 1 2
A
−

=


−−
 es simétrica porque 1 2 3
2 0 1
3 1 2
t
AA
−

==


−−



Ejercicio Propuesto 13.4
1. Sea la matriz 









=
410
538
642
A , la SUMA de los ELEMENTOS de la diagonal principal de la matriz ( )
t
AA−24
es:
a) 36 b) 12 c) 16 d) 8 e) 9


13.6 DETERMINANTE
Sea A una matriz de nn . El DETERMINANTE de A ,
denotado por A o también Adet , se define de la
siguiente manera:
1. Si 
111111 aAaA =→=

2. Si 21122211
2221
1211
22
aaaaA
aa
aa
A −=→






=

3. Si 13
13
12
12
11
11
333231
232221
131211
33
AaAaAaA
aaa
aaa
aaa
A ++=→
















=


Donde ij
A se llama cofactor y se define como:

368. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
367

Entonces
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aA +−=
NOTA: Se puede emplear cualquier fila o columna. ¿Cómo
sería el determinante?

La forma mencionada para hallar el determinante se llama MÉTODO DE
MENORES. Si embargo existen otros métodos que podrían emplearse. Este
método es general, sirve para matrices de mayor orden.

Ejemplo
Hallar el determinante de la matriz 2 1 4
3 5 1
1 0 0
A


=−



SOLUCIÓN:
Note que es mejor emplear la última fila porque tiene algunos ceros, entonces 2 1 4
1 4 2 4 2 1
3 5 1 1 0 0
5 1 3 1 3 5
1 0 0
A= − = − +
−−
 
1 4
1 0 0
51
1 1 1 4 5 21
A
A ( )( ) ( )( )
= + +
−
= − − = −



13.6.1. PROPIEDADES
Sean nn
A
 y nn
B
 matrices, entonces:
1. BAAB=
2. AA
t
=

Pregunta: BABA +=+ ¿Si o no? Justifique su respuesta.

369. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
368
13.6.2 OTRAS PROPIEDADES

1. Si una matriz es triangular superior, triangular
inferior o diagonal, entonces su determinante
es igual a la multiplicación de los elementos de
la diagonal principal.

Ejemplo
Para la matriz triangular superior2 10 5
0 1 4
0 0 3
A
−

=−


 calculando su determinante por el método de
menores, empleando la primera columna, tenemos:  
14
2 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 6
0 3
A ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
−
= − + = − − = − = −
.
¡Generalícelo!


2. Si una matriz tiene 2 filas o columnas iguales o
múltiplos entonces su determinante es igual a
"0".

Ejemplo 1
Al hallar el determinante de la matriz 1 3
26
A

=
−− cuya segunda fila es 2− veces la primera,
encontramos que:
0
)2)(3()6)(1(
=
−−−=
A
A

Ejemplo 2
Lo mismo ocurre con esta matriz 1 2 3 6 5
1 0 1 0 2
2 1 2 3 1
1 2 1 6 0
1 3 0 9 1
A
−

−

=−−

−−


−− , note que la cuarta columna es
el triplo de la segunda, por lo tanto 0=A
¡Generalícelo!


3. Si se intercambian 2 filas o columnas en una
matriz entonces su determinante cambia de
signo.

370. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
369

Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz 1 3
4 5
A
−
=
− entonces 7125 −=−=A
Si formamos la matriz 4 5
1 3
B
−
=
− (intercambiamos las filas de la matriz A ) entonces 7512=−=B
.
¡Generalícelo!

4. Si a todos los elementos de una fila o columna de
una matriz A los multiplicamos por una constante 0k
, entonces el determinante de la nueva
matriz es k veces el determinante de la matriz A
.




Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz 







=
2221
1211
aa
aa
A entonces 22122211 aaaaA −=

Si formamos la matriz 







=
2221
1211
aa
kaka
B (multiplicamos por k a todos los elementos de la primera fila de la
matriz A ) entonces
AkaaaakakaakaB =−=−= )(
2112221121122211 .

En cambio el AkkA
n
= ¿POR QUÉ?


5. Si a todos los elementos de una fila o columna de
una matriz A les sumamos respectivamente k
veces otra fila o column a, entonces el
determinante no varía.


Ejemplo
Suponga que se tiene la matriz 11 12
21 22
aa
A
aa

=
 entonces 22122211 aaaaA −=

371. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
370
Si formamos la matriz 







++
=
12221121
1211
kaakaa
aa
B (a los elementos de la segunda fila le adicionamos
respectivamente k veces la primera fila), entonces
Aaaaa
akaaaakaaa
kaaakaaaB
=−=
−−+=
+−+=
21122211
1112211212112211
112112122211 )()(

Ejercicios Propuestos 13.5
1. Dadas las matrices: 1 2 1
0 2 3
A
−
=

 y 1 2 0
1 1 1
B

=

− entonces el valor de()
t
ABdet es:
a) 15 b) 35 c) 5 d) 45 e) 25
2. Calcule los siguientes determinantes:
a) 2 1 4
3 5 1
1 0 0
− b) 1 0 1 0
2 1 0 3
0 2 1 1
1 2 0 1
−
−
−
3. Sean las matrices: 3 2 1 1 0
1 1 1 3 2
0 1 4 0 1
1 1 1 2 3
1 0 5 0 1
A ; B ; C ; D
−   
−      
= = = =
      
   
   −
    , entonces el valor del () DCBA
TT
−..det
es:
a) 44− b) 38 c) 38− d) 39 e) 44
4. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 60
100
990
23
=
−x
x
xx son:
a) 5 y 4− b) 5 y 4 c) 5− y 4 d) 5− y 4− e) 0 y 1
5. Los valores de x que satisfacen la ecuación: 3
1
32
001
2
=
+
−
xxx
xx , son:
a) 3 y 6 b) 6 y 0 c) -1 y 0 d) 6 y -1 e) 3 y 0
6. Al calcular 0
34
201
122

−
x
x , se obtiene:
a) 0=x b) 5x c) 0x d) 3x e) 2x
7. El valor del determinante de la matriz 













−
−
−
=
01
2
1
23log2
1log18log
3
10
1ln
2
x
xx
e
A es:
a) 0 b) 2 c) -6 d) 6 e) -4
8. Sea Re= y sea el predicado ()
13
: 2 6 0
0 1 1
ax a
p x x =
− . Los valores de “a” para que los elementos de ()Ap x
sean diferentes son:
a) ()( )
5
0
2
aa   − b) ()( )
2
0
15
aa   − c) 0a=
d) 15
0
2
a−   e) 2 0
15
a−  

372. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
371
13.7 MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz de nn . Si existe una matriz 1−
nn
A
tal que IAAAA ==
−− 11 , se dice que A es
inversible.
En este caso a la matriz 1−
nn
A se la llama la matriz inversa de A .
Si 1−
A existe, se dice que A es una matriz no singular. Caso
contrario; es decir, que 1−
A no exista, se dice que A es una matriz
singular.
Existen varias maneras de calcular matrices inversas, pero aquí solo lo
vamos a hacer empleando la siguiente fórmula:
()
t
A
A
A ˆ
1
1
=
− , donde A
 Matriz de Cofactores.

Esto da lugar el siguiente teorema (Una condición necesaria y suficiente para la existencia de
la matriz inversa).

Teorema.

1−
A existe si y sólo si 0A


Ejercicio resuelto 1
De existir, hallar la inversa de la matriz1 3
4 5
A
−
=
−
SOLUCIÓN:
Primero empecemos hallando: 7−=A . Este resultado nos indica que si va a existir la matriz
inversa.
A continuación hallamos la matriz de cofactores








−−
−−
=








−+−
−−+
=








=
13
45
)1()3(
)4()5(
2221
1211
AA
AA
A

Entonces:
()








=








−−
−−
−=








−−
−−
−
==
−
−
7
1
7
4
7
3
7
5
1
1
14
35
7
1
13
45
7
11
A
A
A
A
t
t
Comprobando
1
1 3 5 3 7 0 1 011
4 5 4 1 0 7 0 177
AA
−
−       
= = =       
−       

373. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
372
Ejercicio resuelto 2
De existir, hallar la inversa de la matriz 1 0 2
0 3 1
2 1 0
A


=


−

El determinante de la matriz es:11)6(20)1(1 −=−+−=A
Y su matriz de cofactores: 









+−−+
−−−+−
−+−−+
=
)3()1()6(
)1()4()2(
)6()2()1(
A
 = 1 2 6
2 4 1
6 1 3
−

−−


−−

Entonces su matriz inversa es:
1
1 2 6 1 2 6 1 2 6
1 1 1
2 4 1 2 4 1 2 4 1
11 11 11
6 1 3 6 1 3 6 1 3
t
A
−
− − − −     
     
= − − = − − = −
     
−−
     
− − − − −
     
Comprobando
1
1 0 2 1 2 6 11 0 0 1 0 0
11
0 3 1 2 4 1 0 11 0 0 1 0
11 11
2 1 0 6 1 3 0 0 11 0 0 1
AA
−
−       
       
= − = =
       
       
− − −
       


13.7.1. Propiedades
Sean nn
A
 y nn
B
 matrices inversibles,
entonces:
1. ()AA=
−
−
1
1
2. A
A
1
1
=
−
3. ()()
1
1
−
−
=
t
t
AA
4. ()
111 −−−
=ABAB

Ejercicio resuelto 3
Sea X una matriz, tal que: 2 3 1 2 3
4 8 0 4 0
X
   
=
   
−    . Entonces X es igual a:
a) 2 7 6
0 4 0


− b) 2 0
7 6
40



−
 c) 2 7 6
1 4 3


− − −
d) 2 1
74
63


−

−
 e) 





−
−
341
672
SOLUCIÓN:
Una manera es despejar la matriz X , multiplicando por la inversa a ambos miembros
11
2 3 1 2 3
4 8 0 4 0
A
A X A
−−   
=
   
−   
1
1
1 2 3
0 4 0
1 2 3
0 4 0
IX A
XA
−
−

=
−

=
−

374. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
373
Hallemos la inversa de 





=
84
32
A , para lo cual
41216=−=A y 





+−
−+
=
23
48
ˆA entonces3
41
1
2
8 4 21
3 2 1 4
t
A
−
−−   
==
   
−−   
Por lo tanto
11
44
8 3 1 2 3 8 28 24 2 7 6
4 2 0 4 0 4 16 12 1 4 3
X
−      
= = =      
− − − − − − − −      
Respuesta: Opción "c"

Ejercicio resuelto 4
Dada la matriz 1 0 1
4
3
13
Ak
k
kk
−

=

−− los valores de "k " que hacen que la matriz A no tenga
inversa, son:
a) 2 y 6 b) -2 y 6 c) 2 y 6 d) 2 y -6 e) -2 y -6
Solución:
Para que una matriz no tenga inversa se requiere que su determinante sea igual a cero
( )
()()
4
2
2
2
1 0 1
3 0
1 3
1 12 0 9 0
12 9 0
8 12 0
6 2 0
62
k
k
kk
k ( k k )
k k k
kk
kk
kk
−
=
−−
+ − − − + =
+ + − =
+ + =
+ + =
= −  = −
RESPUESTA: Opción "e"




Ejercicios Propuestos 13.6
1. Dada la matriz A=2 1 3
0 2 0
2 1 1
−



 , la matriz inversa de A es igual a:
a) 











−
−−
2
1
2
1
2
1
0
2
1
0
4
3
2
1
4
1 b)











−
−
−
2
1
0
4
3
2
1
2
1
2
1
2
10
4
1 c) 2 0 4
4 4 4
6 0 4
−

−−

−

d) 1 2 3
0 2 0
2 2 2
−

−

−−
 e) 2 4 6
0 4 0
4 4 4
−

−

−−

2. Dadas las matrices: 





=
42
31
A y 2 1
3 1
B
−
=

− verifique que ()
111 −−−
=ABAB
3. Dada la matriz 









=
654
021
432
A , una de las siguientes afirmaciones es FALSA, identifíquela:

375. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
374
a) 6−=A b)









=+
12108
042
864
AA c)











−−
−
−−
=
−
6
1
3
1
2
1
3
2
3
21
3
4
3
12
1
A
d)











−−
−−
−
=
−
6
1
3
2
3
4
3
1
3
2
3
1
2
1
12
1
A e)48−=+AA

4. Encuentre la inversa de cada matriz, si existe:
a) 3 2
11


− b) 1 2 3
2 1 1
3 1 2
−−

−


 c)









012
120
001
d) 









987
654
321 e) 1 1 1 2
2 3 0 3
1 1 1 1
3 0 1 2
−

−



−
5. Dada la matriz 















−





−
−
=
42
2
1
log
131log
14log8log
2
2
22
A . Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a) 









−−−
−
−−
−=
−
931
8136
3110
31
11
A b)









−−
−−
−−
−=
−
983
3131
1610
31
1
1
A c)









−−−
−
−−
=
−
931
8136
3110
31
11
A
d)









−−
−−
−−
=
−
983
3131
1610
31
1
1
A e) A no tiene inversa
6. Sea la matríz 2 1 3
0 3 2
1 2 0
A


=


 , entonces su MATRIZ INVERSA, es:
a)









−
−
−
−=
−
633
432
764
15
1
1
A b)









−
−
−
=
−
647
336
324
15
11
A c)









−
−
−
−=
−
647
336
324
15
11
A
d)









−
−
−
=
−
633
432
764
15
1
1
A e) A no tiene inversa
7. Determine la matriz A que hace verdadera la ecuación matricial: 2 0 6 0
1 1 3 1
0 1 0 1
A
   
   
− = −
   
   
   
8. Sea A una matriz tal que 12
23
A

=

 . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA , identifíquela:
a)





=
94
41
2
A b)1=A c)






−
=
−
9
1
4
1
4
1
1
1
A
d)





=−+
1612
124
32
2
IAA e)







=
−
3
1
2
1
2
1
1
1
A

9. Si 




−−
=
43
32
A , y además, 





=
−
dc
ba
A
1 , entonces el valor de ()
()da
cb
−
− , es:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -3 e) 3

10. Dada la matriz 1 2 4
0 2
1 4 0
A 
−−

=

−
 , entonces el valor de  para que la matriz NO TENGA
INVERSA es:
a) 0 b) -3 c) -1 d) 2 e)-2

376. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
375
11. Sean las matrices 





−
=






−−
=






−
−
=
011
321
42
21
,
54
32
CyBA , entonces es cierto que:
a) 





=
−
10
21
1
B b) 




−−
=
63
63
CB c) 





−
−
=
2010
164
AB
d) 











−−
−−
=
−
12
2
3
2
5
1
A e) 











−
−
=
−
5
1
1
11
1
A

12. Sea A la matriz: 1 2 0
4 6 1
5 0 3


−−


−
 entonces es verdad que:
a) ()det 12A= b) ()
2
det 1A= c) ()
1
det
16
T
A= d) ()
11
det
10
A
−
=
e) ( )
1
det 1
T
AA
−
=

13. Si A es una matriz de 33 y det 5A= , entonces es cierto que:
a) ()det 3 15A= b) ()
11det 2
40
A
−
= c) ()( )
1
8
det 2
5
A
−
=
d) ()
127
det 3
5
A
−
= e) ()
1
det 5A
−
=−
14. Dada la matriz ()
22
3
2
log 8 log 4 1
log 81 3 1
1
log 2 4
2
A
−
=−
− . Si 1
ij
A B b
−
==
 entonces 11 21 31
b b b++ es:
a) 16
7 b) 1
7
− c) 38
7 d) 18
7
−
e) Ninguna de las anteriores



Misceláneos
1. Sean las matrices 





−
−
=
51
24
A y 





−
−
=
k
B
2
14 . El valor de "k " para que BAdetdet= es:
a) 5 b) 4 c)3 d)2 e)1

2. La matriz X que satisface la ecuación 





=





301
243
20
11
X
a)







2
1
2
3
2
1
42
0 b)







00
00
2
1
2
1 c)







2
3
2
1
2
1
2
5
0
4
d)





110
111 e)






 −−
00
4
2
1
2
1
2
5

3. Sea la matriz 









−
−
=
103
010
207
A

Entonces su MATRIZ INVERSA es:
a)









=
−
703
010
201
1
A b)1
1 0 2
0 1 0
3 0 7
A
−
−−

=−

−−

c)











=
−
2
7
0
2
3
0
2
1
0
10
2
1
1
A d)









−
−
=
103
010
207
A
e) La matriz A no tiene inversa.

377. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
376
4. Sean las matrices 





−
−
=
113
202
A , 





−
−
=
211
201
B y 









=
05
40
21
C
Entonces el VALOR del ( )( )det 2
T
A B C

−
 es:
a)74 b) 200 c)-100 d)10 e)100

5. Sean A, B y C matrices tales que, 









−=
123
110
521
A , 









=
145
026
005
B y 









=
241
300
620
C . Entonces es
VERDAD que:
a) 6det
det
det
2
−=−





C
B
A
b) CA
T
detdet=
c) ()5det=AB
d) T
CBdetdet=
e) A no tiene inversa o B si tiene inversa.

6. Sea la matriz 





=
33
24
A . Entonces los VALORES de “ ” tal que ( )0det =−IA , son:
a) 1 y 6
b)–1 y –6
c)1 y –6
d)–6 y 1
e) 7 y 6

7. Dada la matriz 









−−
−
=
304
213
012
A , el PRODUCTO DE LOS ELEMENTOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL de 1−
A
es:
a)343
90
− b)7
90
− c)343
90
d)343
180
− e)441
90
−

8. El DETERMINANTE de la matriz 















−
−=
10210
24204
73113
61011
52122
A es:
a) -2 b)0 c)-1 d)1 e)5

9. Sea la matriz 





=
01
12
A ; entonces es VERDAD que:
a)





=
12
15
2
A b)





=
−
01
02
1
A c)





=
25
512
3
A
d) 





=
−
10
012
1
A e)





=
02
11
IA

10. La matriz X , tal que: 




−
=





13
12
43
11
X es:
a)





−
−
=
43
52
X b)





−
−
=
43
55
X c)





=
01
12
X
d) 





−
−
=
42
51
X e)




−
=
20
11
X

11. Dadas las matrices: 









−=
20
01
21
A y 





=
014
131
B y ABC= . Entonces La MATRIZ INVERSA 1−
C ,
es:

378. Moisés Villena Muñoz Cap. 13 Matrices y Determinantes
377
a)









−−=
−
022
130
152
1
C b)









−
−=
−
011
235
202
1
C
c) 











−−=
−
0
4
1
4
1
8
1
8
3
0
8
1
8
5
4
1
1
C d) 











−
−=
−
0
8
1
8
1
4
1
8
3
8
5
4
10
4
1
1
C
e) La matriz C no tiene inversa.

12. Si el determinante de una matriz A es 16. Entonces es FALSO que:
a) La Matriz A tiene inversa.
b) La matriz A es una matriz cuadrada.
c) La matriz A tiene 2 filas iguales.
d) Si B es una matriz que tiene determinante igual a 2, entonces del det(AB)=32.
e) El determinante de la matriz inversa 1−
A es igual a 16
1 .
13. Sea la matriz 









−
−
=
032
120
111
A entonces su MATRIZ INVERSA 1−
A es:
a)









−
−=
−
011
321
201
1
A b)









−−
−−
−
=
−
254
122
133
1
A
c)









−
−−
−−
=
−
211
523
423
1
A d)









=
−
100
010
001
1
A
e) Elija esta opción si la matriz A no tiene inversa.

14. Sean A y B matrices tales que: 









−
−
−
=
212
110
211
A y 









−
−=
111
201
321
B , entonces el valor de ()detAB
es:
a)-35
b)7
c)-7
d)-5
e)35

379. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
379


14
14.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
14.1.1 DEFINICIÓN
14.1.2 CONJUNTO SOLUCIÓN
14.1.3 MÉTODO DE GAUSS
14.1.4 REPRESENTACIÓN MATRICIAL
14.1.5 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
14.2 SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES
14.2.1 INECUACIÓN LINEAL EN DOS
VARIABLES
14.2.2 CONJUNTO SOLUCIÓN
14.2.3 SISTEMA DE INECUACIO NES
14.2.4 PROGRAMACIÓN LINEAL
14.3 SISTEMAS NO LINEALES



Ya hemos tenido la oportunidad de resolver sistemas de ecuaciones con
dos o tres incógnitas. El objetivo ahora es ser más generales, y definir
métodos para hallar conjunto solución, incluso de sistemas con más
ecuaciones que incógnitas. Y además hacer análisis de las soluciones.

380. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
380

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
▪ Defina sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos.
▪ Defina Conjunto Solución de sistemas de ecuaciones lineales, sistemas consistentes con
solución única, sistemas consistentes con infinitas soluciones, sistemas inconsistentes.
▪ Aplique el método de eliminación de Gauss para determinar conjunto solución de sistemas de
ecuaciones lineales.
▪ Justifique la consistencia o inconsistencia de un sistema de ecuaciones lineales.
▪ Diseñe sistemas de ecuaciones que tengan solución única, infinitas soluciones o que sean
inconsistentes.
▪ Resuelva problemas de aplicación.

Una ECUACIÓN LINEAL en las incógnitas n
xxxx ,,,,
321

es de la forma:
1332211
bxaxaxaxa
nn
=++++ 
donde 1 2 3 1
, , , , ,
n
a a a a b 

Ya ha surgido la oportunidad de tratar sistemas lineales de dos o tres
incógnitas.
Ejemplo
Un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: 


=+
=−
243
12
yx
yx
Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: 




−=−+−
=++
=++
253
132
0
zyx
zyx
zyx


Definiremos ahora sistemas con más ecuaciones y con más incógnitas.
Y no necesariamente la misma cantidad de ecuaciones que incógnitas.


14.1 SISTEMA DE ECUACIONE S LINEALES.

14.1.1 DEFINICIÓN
Un SISTEMA LINEAL de "m " ecuaciones con
"n " incógnitas es un predicado de la forma: ( )









=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
n
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
xxxxp






332211
33333232131
22321222121
11313212111
321 :,,,,

donde 1, 2,3,... ; 1, 2,3,...,
ij i
a b para i m j n  = =

381. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
381
Si 0
321
=====
m
bbbb  (todos iguales a cero) se llama "Sistema homogéneo ".
Caso contrario se llama "Sistema no homogéneo"

14.1.2 CONJUNTO SOLUCIÓN
El conjunto solución ( )
n
xxxxAp ,...,,
321 de un sistema lineal está
constituido por vectores de n .

Para todo sistema lineal su conjunto solución tendrá una de las
siguientes tres características:
CASO I. Estar constituido por únicos valores n
kkkk ,,,,
321
 para las
respectivas incógnitas n
xxxx ,,,,
321
 , que satisfacen
simultáneamente a las ecuaciones. En tal caso se dirá que
el sistema tiene solución única. Es decir:
( )( ) 
nn
kkkkxxxxAp ,...,,,,...,,
321321
=
CASO II. Estar constituido por infinitos valores para n
xxxx ,,,,
321

. En tal caso se dirá que el sistema tiene
infinitas soluciones. Es decir:
( )( )( ) ,,...,,,,,...,,,,...,,
22
3
2
2
2
1
11
3
1
2
1
1321 nnn
kkkkkkkkxxxxAp =
CASO III. No tener elementos. No existen valores para n
xxxx ,,,,
321

que satisfagan a las ecuaciones al
mismo tiempo. En tal caso se dirá que el sistema no
tiene solución. Es decir: ( )=
n
xxxxAp ,...,,
321
.

Cuando el sistema tiene solución, se dice que es un SISTEMA
CONSISTENTE . Caso contrario, es decir, cuando no tiene solución, se
dice que es un SISTEMA INCONSISTENT E.

En conclusión los sistemas lineales
pueden ser:
SISTEMA CONSISTENTE
• Con Solución única, o
• Con Infinitas soluciones
SISTEMA INCONSISTENTE
• No tienen solución.

382. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
382
Existen varios métodos para hallar el conjunto solución de sistemas
lineales, pero el que vamos a estudiar aquí, resulta ser el método general
que le permitirá no sólo hallar el conjunto solución, sino también
analizar consistencia e inconsistencia de sistemas.


14.1.3. MÉTODO DE GAUSS
La esencia del método consiste en ir estableciendo sistemas
equivalentes que tendrán el mismo conjunto solución, hasta llegar a un
sistema simple que nos permita deducir rápidamente su conjunto
solución.

PASO 1. Plantear la matriz aumentada del sistema. Esta
es, la matriz de coeficientes de las incógnitas aumentando los
términos independientes. Es decir: 















mmnmmm
n
n
n
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa






3
2
1
321
3333231
2232221
1131211


PASO 2. Reducir por renglones a la matriz aumentada
hasta obtener una matriz escalonada (tratar de formar un sistema
triangular superior) 















mmn
n
n
n
d
d
d
d
c
cc
ccc
cccc






3
2
1
333
22322
1131211
000
00
0

Utilizando a necesidad una de las siguientes operaciones
(operaciones que forman sistemas equivalentes que poseen el mismo conjunto
solución):












❖ Intercambiar filas.
❖ Multiplicar una fila por una constante
diferente de cero "0".
❖ Adicionar a una fila "k " veces otra fila.

383. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
383
Ejemplo 1
Sea el sistema 




=+−
=+−
=−+
1032
1132
44
:),,(
zyx
zyx
zyx
zyxp
PASO I: Su matriz aumentada es: 4 1 1 4
1 2 3 11
2 1 3 10
−

−


−
PASO II: El objetivo ahora será reducirla hasta una matriz escalonada empleando las operaciones permitidas.
Note que se puede intercambiar la primera con la segunda fila para tener "1 " en el primer elemento de la
primera fila. 21
1 2 3 11
4 1 1 4
2 1 3 10
FF
−

⎯⎯⎯→ −


−

Luego de esto, será posible obtener una matriz equivalente con "0" como primer elemento en los dos últimos
renglones, bastaría con adicionar a la segunda fila respectivamente -4 veces la primera fila (o lo que es lo
mismo, multiplicar por -4 a la primera fila y se la suma algebraicamente a la segunda). En el mismo paso se
puede adicionar a la tercera fila -2 veces la primera fila 21
31
4
2
( 2)( 4) 1 2 3 11 1 2 3 11
4 1 1 4 0 9 13 40
2 1 3 10 0 3 3 12
FF
FF
−
−
− − − −   
   
− ⎯⎯⎯→ − −
   
   
− − −   

Podemos ahora multiplicar por 3
1 a la tercera fila
()
3
1
3
1
3
1 2 3 11 1 2 3 11
0 9 13 40 0 9 13 40
0 3 3 12 0 1 1 4
F
−−   
   
− − ⎯⎯→ − −
   
   
− − − −   
Luego intercambiamos la segunda con la tercera fila 23
1 2 3 11
0 1 1 4
0 9 13 40
FF
−

⎯⎯⎯→ − −


−−

Al adicionarle a la tercera fila -9 veces la segunda fila, conseguimos el sistema triangular superior:
32
9
1 2 3 11 1 2 3 11
( 9) 0 1 1 4 0 1 1 4
0 9 13 40 0 0 4 4
FF−
−−   
   
− − − ⎯⎯⎯→ − −
   
   
− − − −   
Podemos multiplicar por 4
1
− a la tercera fila
()
3
1
4
1
4
1 2 3 11 1 2 3 11
0 1 1 4 0 1 1 4
0 0 4 4 0 0 1 1
F
−−   
   
− ⎯⎯⎯→ − −
   
   
− − −   
El sistema equivalente, finalmente sería
1 2 3 11
0 1 1 4
0 0 1 1
x y z
−

− − 


 2 3 11
4
1
x y z
yz
z
− + =

− = −

=
La última ecuación nos dice que 1z= . Reemplazando este valor en la segunda ecuación tenemos: 4 1 4 3y z y= − = −  = −
. Y finalmente, reemplazando estos dos valores en la primera ecuación, tenemos:
11 2 3
11 2( 3) 3(1)
2
x y z
x
x
= + −
= + − −
=

Por lo tanto el conjunto solución sería ( , , ) / 2; 3; 1
x
Ap x y z y x y z
z


= = = − =

 .

384. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
384
O simplemente 



















−=
1
3
2
),,(zyxAp .
Lo cual nos permite pensar que estamos en el CASO I, es decir es un SISTEMA CONSISTENTE CON
SOLUCIÓN ÚNICA.


El procedimiento anterior no es rígido, es decir se podrían hacer otros
pasos diferentes si fuese necesario, pero el objetivo debe ser el mismo,
llegar a un sistema triangular superior. Y por ende se debe llegar al
mismo conjunto solución.


Ejemplo 2
Sea el sistema 27
( , , ) : 3 2 4
5 3 2 17
x y z
p x y z x y z
x y z
+ + =

− − = −

+ + =

PASO I: Su matriz aumentada es: 2 1 1 7
3 2 1 4
5 3 2 17


− − −




PASO II: Ahora hacemos reducción de filas hasta llevarla a una matriz escalonada. ()
()
2 21
3 3 1
3
2 3 3 2
2 3
25
1
7 12
2 1 1 7 2 1 1 7 2 1 1 7
3 2 1 4 6 4 2 8 0 7 5 29
5 3 2 17 10 6 4 34 0 1 1 1
2 1 1 7 2 1 1 7 2
0 1 1 1 0 1 1 1
0 7 5 29 0 0 12 36
F FF
F F F
F
F F F F
−
−

−
+ 
     
     
− − − ⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯→ − − −
     
     
−−     
   
   
⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→
   
   
− − − − −   
1 1 7
0 1 1 1
0 0 1 3


−−




El sistema equivalente es: 27
1
3
x y z
yz
z
+ + =

− = −

=
La última ecuación nos dice que 3z= .
Despejamos y en la segunda ecuación: 1yz=− y reemplazamos z :2y=
Despejamos x en la primera ecuación: 7
2
yz
x
−−
= y reemplazamos y y z :1x=
Por tanto, el conjunto solución sería. 1
( , , ) 2
3
Ap x y z


=

 
 .

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA


Ahora veamos sistemas con infinitas soluciones

385. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
385
Ejemplo 3
Sea 22
( , , ) : 3 2 3 1
21
x y z
p x y z x y z
x y z
+ + =

+ + =

+ + = −
PASO I: La matriz aumentada para este sistema es: 1 1 2 2
3 2 3 1
2 1 1 1




−
PASO II: Realizando reducción de filas, tenemos:
()
21
31
232
3
2
1
1 1 2 2 1 1 1 2
3 2 3 1 0 1 3 5
2 1 1 1 0 1 3 5
1 1 1 2 1 1 1 2
0 1 3 5 0 1 3 5
0 0 0 0 0 0 0 0
FF
FF
FFF
−
−
−−
   
   
⎯⎯⎯→ − − −
   
   
− − − −   
   
   
⎯⎯⎯→ − − − ⎯⎯⎯→
   
   
   
Siguiendo la técnica anterior, el sistema equivalente sería: 22
35
00
x y z
yz
z
+ + =

+=

=

La última ecuación se satisface para cualquier valor de "z ", es decir z . Por esto, "z " recibe el nombre
de variable libre o independiente o arbitraria.
Despejando " y " en la segunda resulta 53yz=− .
Ahora, en la primera ecuación al despejar "x " tenemos:22x y z= − − . Reemplazando y por su
expresión respectiva y simplificando resulta: 3xz=− .

Por tanto, el conjunto solución sería:

( , , ) / 3 5 3
x
Ap x y z y x z y z z
z


= = −  = −  


O también
3
( , , ) / 3 5 3 5 3 /
xt
Ap x y z y x t y t z t t t t
zt
   −    
      
= = −  = −  =   = −  =      
      
      

Esto nos permite pensar que estamos en el CASO II, es decir un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS
SOLUCIONES.
Existen infinitos valores para las incógnitas que satisfacen a las ecuaciones. Para obtener algunos de estos
valores, se le da valores a "z " o “t ”, por ejemplo: si 1z= . Entonces, (1) 3 2x= − = − y ()5 3 1 2y= − =


Se puede comprobar que ésta es una solución del sistema para lo cual sólo habrá que reemplazar en el
sistema original: ()()()
()()()
()()()
2 2 2 1 2
3 2 2 2 3 1 1
2 2 2 1 1
− + + =

− + + =

− + + = −
 .
Si se desea otra solución, le damos otro valor a "z ". Ahora puede ser 0z= . Entonces, 3x=− y 5y=
. Note que también estos valores satisfacen al sistema: ()()()
()()()
()()()
3 5 2 0 2
3 3 2 5 3 0 1
2 3 5 0 1
− + + =

− + + =

− + + = −


386. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
386
Ejemplo 4
Sea 




=+−
=+−
=−+
3059
9423
4
:),,(
zyx
zyx
zyx
zyxp
PASO I: La matriz aumentada para este sistema es: 1 1 1 4
3 2 4 9
9 1 5 30
−

−


−
PASO II: Realizando reducción de filas, tenemos:
3221
31
23
9
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4
3 2 4 9 0 5 7 3 0 5 7 3
9 1 5 30 0 10 14 6 0 0 0 0
FFFF
FF
−−
−
− − −     
     
− ⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − −
     
     
− − −     
El sistema equivalente sería: 




=
−=+−
=−+
00
375
4
z
zy
zyx
La última ecuación nos dice que z .
Despejando " y " en la segunda ecuación resulta 5
37+
=
z
y .
Ahora, en la primera ecuación al despejar "x " tenemos: zyx +−=4 . Reemplazando y por su
expresión respectiva y simplificando resulta: 5
217z
x
−
= .
Por tanto, el conjunto solución sería:

17 2 7 3
( , , ) /
55
x
zz
Ap x y z y x y z
z

−+
= =  =  


O también
17 2
5
17 2 7 3 7 3
( , , ) /
5 5 5
/
t
x
t t t
Ap x y z y x y z t t t
z
t
 − 

    
− + +    
= =  =  =   ==     
   

 




Esto nos permite pensar que este es otro SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.
Obtengamos algunos de estos valores, se le da valores a "z " o “t ”, por ejemplo: si 1=z . Entonces, 3
5
15
5
)1(217
==
−
=x
y 2
5
10
5
3)1(7
==
+
=y

Comprobando 3 2 1 4
3(3) 2(2) 4(1) 9
9(3) (2) 5(1) 30
+ − =

− + =

− + = .
Si 4−=z . Entonces, 5
5
25
5
)4(217
==
−−
=x y 5
5
25
5
3)4(7
−=
−
=
+−
=y .
Estos valores también satisfacen al sistema: 




=−+−−
=−+−−
=−−−+
30)4(5)5()5(9
9)4(4)5(2)5(3
4)4()5()5(
El conjunto solución (por extensión) sería:




















−
−










= ,...
4
5
5
,
1
2
3
),,(zyxAp

387. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
387
Un sistema con otro tipo de infinitas soluciones, es el siguiente:

Ejemplo 5
Sea 




=−+
=−+
=−+
12333
8222
4
:),,(
zyx
zyx
zyx
zyxp

PASO I: La matriz aumentada del sistema es: 









−
−
−
12333
8222
4111
PASO II: Reduciendo renglones, resulta:
21
31
2
3
1 1 1 4 1 1 1 4
2 2 2 8 0 0 0 0
3 3 3 12 0 0 0 0
FF
FF
−
−
−−   
   
− ⎯⎯⎯→
   
   
−   
Lo cual da lugar al siguiente sistema: 4
0 0 0
00
x y z
yz
z
+ − =

+=

=
4x y z
y
z
→ = − +


Aquí “x ” y “y ” son las Variables libres o Independientes o arbitrarias.
Este es otro SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.
Por tanto, el conjunto solución sería:

43
( , , ) / 4 1 , 1 ,
10
x
Ap x y z y x y z y z
z
        
        
= = − +     =        
        
        
Se le da valores arbitrarios tanto a "z " como a "y " para obtener valores para "x ".
El conjunto solución también puede ser expresado de la siguiente manera:
4
( , , ) / 4 , / ,
x r t
Ap x y z y x r t y r z t r t r r t
zt
   − +    
      
= = − +  =  =   =       
      
      

Ahora analicemos sistemas inconsistentes.

Ejemplo 6
Sea 




=−+
=−+
=−+
2443
0232
42
:),,(
zyx
zyx
zyx
zyxp
PASO I: La matriz aumentada es: 









−
−
−
2443
0232
4211
PASO II: Reduciendo renglones, resulta:
321
31
22
3
1 1 2 4 1 1 2 4 1 1 2 4
2 3 2 0 0 1 2 8 0 1 2 8
3 4 4 2 0 1 2 10 0 0 0 2
FFFF
FF
−−
−
− − −     
     
− ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −
     
     
− − −     
Lo cual da lugar al siguiente sistema:+ − =

+ = −

=−

24
28
02
x y z
yz
z
La última ecuación es una proposición falsa, esto indica una INCONSISTENCIA. Por tanto, éste es un
SISTEMA QUE NO TIENE SOLUCIÓN.
Su conjunto solución es:( , , )Ap x y z= (No existe algún valor para x , y y z que satisfaga al sistema).

388. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
388
Ejemplo 7
Sea 24
( , , ) : 2 2 4 0
3 3 6 12
x y z
p x y z x y z
xyz
+ − =

+ − =

+ − =
PASO I: La matriz aumentada es: 1 1 2 4
2 2 4 0
3 3 6 12
−

−


−
PASO II: Reduciendo renglones, resulta:
21
31
2
3
1 1 2 4 1 1 2 4
2 2 4 0 0 0 0 8
3 3 6 12 0 0 0 0
FF
FF
−
−
−−   
   
− ⎯⎯⎯→ −
   
   
−   
Lo cual da lugar al siguiente sistema:+ − =

=−

=

24
08
00
x y z
z
z
La penúltima ecuación es una proposición falsa, esto indica que es un SISTEMA INCONSISTENTE.
Su conjunto solución es:=),,(zyxAp


Analicemos ahora sistemas rectangulares.


Ejemplo 8
Sea 




−=+
−=+
=−
245
123
32
:),(
yx
yx
yx
yxp . Hallar su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y haciendo las reducciones de filas convenientes: ()
()
()
2 21
3 3 1
3 32
2 3
25
7 13
2 1 3 2 1 3 2 1 3
3 2 1 6 4 2 0 7 11
5 4 2 10 8 4 0 13 19
2 1 3 2 1 3
0 7 11 0 7 11
0 91 133 0 0 10
F FF
F F F
F FF
−
−
−
− − −     
     
− ⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −
     
     
− − −     
−−   
   
⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯→ −
   
   
−   

El último renglón nos da una INCONSISTENCIA. Por tanto =),(yxAp

Ejemplo 9
Sea 3
2 3 4
( , , ) :
2 2 1
3 4 7
x y z
x y z
p x y z
x y z
xy
+ + =

+ − =

+ − =

+= . Hallar su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y haciendo reducciones de filas:
21
3 1 3 2
4 1 3 1
2
3
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3
2 3 1 4 0 1 3 2 0 1 3 2
1 2 2 1 0 1 3 2 0 0 0 0
3 4 0 7 0 1 3 2 0 0 0 0
FF
F F F F
F F F F
−
−−
−−
     
     
− − − − −
     
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
     − − −
     
−−     

389. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
389
El sistema equivalente sería:
3
32
x y z
yz
+ + =

− = −
Note que la filas de ceros en este caso es como que se anulan dos ecuaciones:
Despejamos y :32yz=−
Despejamos x en la primera ecuación y reemplazamos y :
( )3 3 3 2 5 4x y z z z x z= − − = − − −  = −
Entonces su conjunto solución es: 54
( , , ) 3 2 /
t
Ap x y z t t
t
 − 

= − 

  

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.

Ejemplo 10
Sea 2 3 4
3
( , , ) :
3 2 2 7
5 3 7
x y z
x y z
p x y z
x y z
x y z
+ − =

+ + =

+ + =

− + = . Hallar su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y haciendo reducciones de filas:
21
3112
41
4
32
42
2
3
5
1
2
3
2 3 1 4 1 1 1 3 1 1 1 3
1 1 1 3 2 3 1 4 0 1 3 2
3 2 2 7 3 2 2 7 0 1 1 2
5 1 3 7 5 1 3 7 0 6 2 8
1 1 1 3 1 1 1 3
0 1 3 2 0 1 3
0 1 1 2
0 3 1 4
FF
FFFF
FF
F
FF
FF
−
−
−


+
+
−     
     
− − −
     
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
      − − −
     
− − − − −     


− − −

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
− − −

− − −
3
43
4
1
4
1
10
2
0 0 4 4
0 0 10 10
1 1 1 3 1 1 1 3
0 1 3 2 0 1 3 2
0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 0 0 0
F
FF
F

−

−

−




−

 −−

−−
   
   
− − − −
   
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
   
   
   

El sistema equivalente sería:
3
32
1
x y z
yz
z
+ + =

− = −

=
Note que en este caso la fila de cero es como que se anula una ecuación:
La última ecuación nos dice que 1z= .
Despejamos y y reemplazamosz :()3 2 3 1 2 1y z y= − = −  =

Despejamos x en la primera ecuación y reemplazamos y y z :3 3 1 1 1x y z x= − − = − −  =
Entonces su conjunto solución es: 1
( , , ) 1
1
Ap x y z


=

 

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA.

390. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
390
Ejemplo 11
Sea 2 3 4 3
( , , , ) :
2 3 3 2 1
x y z w
p x y z w
x y z w
+ + + =

+ − + = . Hallar su conjunto solución.
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada, y haciendo reducciones de filas:
21
2
1 2 3 4 3 1 2 3 4 3
2 3 3 2 1 0 1 9 6 5
FF−   
⎯⎯⎯→   
− − − − −   
El sistema equivalente resultante es:
2 3 4 3
9 6 5
x y z w
y z w
+ + + =

+ + =
Despejamos y :5 9 6y z w= − −
Cómo no tenemos información de z y w , decimos que z y w
Despejamos x en la primera ecuación, y reemplazamos y :
( )3 2 3 4 3 2 5 9 6 3 4 3 10 18 12 3 4 15 8 7x y z w z w z w z w z w x z w= − − − = − − − − − = − + + − −  = + −

El conjunto solución sería:
¨
15 8 7 15 8 7
5 9 6 5 9 6
( , , , ) / , / ,
z w t r
z w t r
Ap x y z w z w t r
zt
wr
 + −   + −    
      
− − − −   
   
=  =    
   
   
   
   
      
Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.

Ejemplo 12
Hallar el conjunto solución para 




=+++−
=++−
=−+−
42
2322
5
:),,,(
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxp
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y reduciendo por renglones:
21
31
3
32
5
2
1
3
1
5
1 1 1 1 5 1 1 1 1 5
2 2 1 3 2 0 0 1 5 8
1 1 2 1 4 0 0 3 0 9
1 1 1 1 5 1 1 1 1 5
0 0 1 5 8 0 0 1 5 8
0 0 1 0 3 0 0 0 5 5
1 1 1 1 5
0 0 1 5 8
0 0 0 1 1
FF
FF
F
FF
F
−
+


+



− − − −   
   
− ⎯⎯⎯→ − −
   
   
−   
− − − −   
   
⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯→ − −
   
   
−   
−−

⎯⎯⎯→ − −


−
El sistema equivalente resultante es:





−=
−=+−
=−+−
1
85
5
4
43
4321
x
xx
xxxx
De la última ecuación tenemos que: 4
1x=− , reemplazándolo en la segunda tenemos:
3
33
5( 1) 8
8 5 3
x
xx
− + − = −
= −  = .

391. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
391
En la primera ecuación reemplazamos los valores encontrados12
12
3 1 5
1
xx
xx
− + + =
=+ , entonces
podemos decir que 2
x . Aunque lo mismo podríamos decir de 1
x y despejar 2
x . Estamos
ante un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES, cuyo conjunto solución puede
ser expresado de la siguiente forma:

1
2
1 2 3 4 1 2 2 3 4
3
4
13
02
( , , , ) / 1 3 1 , ,
33
11
x
x
Ap x x x x x x x x x
x
x
     
     
       
= = +    =  = − =   
    
   
    
       −−    

Ahora veamos sistemas homogéneos.

Ejemplo 13
Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo:




=++
=++
=+−
0736
0523
0432
:),,(
zyx
zyx
zyx
zyxp
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones:
()
()
2
321
31
32
2
133
3
12
2 3 4 0 2 3 4 0
3 2 5 0 6 4 10 0
6 3 7 0 6 3 7 0
2 3 4 0 2 3 4 0
0 13 2 0 0 13 2 0
0 12 5 0 0 156 65 0
2 3 4 0
0 13 2 0
0 0 41 0
F
FFF
FF
FF
−
−
−
−−   
   
⎯⎯⎯→
   
   
   
−−   
   
⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ −
   
   
−−   
−

⎯⎯⎯⎯→ −


−
El sistema equivalente sería:
2 3 4 0
13 2 0
41 0
x y z
yz
z

− + =


−=

 −=

De la última ecuación concluimos que 0z=
Reemplazando z en la segunda ecuación, obtenemos: 0y=
Reemplazamos y y z en la primera ecuación, obtenemos: 0x=
Este tipo de solución es llamada SOLUCIÓN TRIVIAL.
0
( , , ) 0
0
Ap x y z


=

 

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON SOLUCIÓN ÚNICA.

Los sistemas homogéneos tienen una característica especial, son
sistemas consistentes, por simple inspección se puede comprobar que
por lo menos la solución trivial los satisface, aunque además de la
solución trivial puede haber más soluciones.

392. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
392
Ejemplo 14
Hallar el conjunto solución para el sistema homogéneo:20
( , , ) : 3 2 6 0
5 3 7 0
x y z
p x y z x y z
x y z
+ + =

+ + =

+ + =
SOLUCIÓN:
Planteando la matriz aumentada y reduciendo renglones:
()
()
2 3121
3 3 1
2 3
25
2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0
3 2 6 0 6 4 12 0 0 1 9 0 0 1 9 0
5 3 7 0 10 6 14 0 0 1 9 0 0 0 0 0
F FFFF
F F F
−−
−
       
       
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
       
       
       

El sistema equivalente sería:
20
90
x y z
yz
+ + =

+=
De la última ecuación concluimos que 9yz=−
Reemplazamos y despejamos x en la primera ecuación: ()9
4
22
zzyz
x x z
− − −−−
= =  =
El conjunto solución es:
4
( , , ) 9 /
t
Ap x y z t t
t


= − 

  

Este es un SISTEMA CONSISTENTE CON INFINITAS SOLUCIONES.




Ejercicios Propuestos 14.1
1. Encuentre el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales:
a)




−=++−
=++
−=++
932
4832
5113
zyx
zyx
zyx b) 




=++
=+−
=++
27372
20723
92
zyx
zyx
zyx c) 




=+−
=+−
=++
11532
20723
92
zyx
zyx
zyx
d) 




=++
−=+−−
=++
8433
1
3
zyx
zyx
zyx e) 






=++
=++
−=+−
=−+
232
732
123
4
zyx
zyx
zyx
zyx f) 




=+−
=+−
=−+
3059
923
4
zyx
zyx
zyx
g) 




=−+−
=++
=++
03
0
032
zyx
zyx
zyx h) 




=+
=++
=++
02
0
032
yx
zyx
zyx

2. Sea el sistema de ecuaciones: 









=++
=−+
=++
4
111
1
132
4
214
zyx
zyx
zyx entonces el valor de "y " que lo satisface
es:
a)1 b) -1 c) ½ d) -1/2 e) 1/3

393. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
393
3. Con respecto al sistema 




=++
=++
=+−
0736
0523
0432
zyx
zyx
zyx , una de las siguientes afirmaciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) El sistema tiene como solución 0,1,2 =−== zyx .
b) El sistema sólo tiene solución trivial:0,0,0 === zyx .
c) El sistema es inconsistente.
d) Además de la solución trivial, el sistema tiene como solución 4,1,2 =−== zyx .
e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

4. Dado el sistema de ecuaciones lineales:





=++
=−−−
=−+−
0
02
032
32
321
321
xx
xxx
xxx entonces es VERDAD que:
a) Una de las soluciones del sistema es: x1=-3; x2=3; x3=-3
b) El sistema no tiene solución y es inconsistente, aunque homogéneo.
c) El sistema tan sólo tiene una única solución, que es la trivial.
d) El sistema, además de la solución trivial, tiene infinitas soluciones.
e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.


Existen otros tipos de problemas en donde no se trata de hallar el
conjunto solución sino de diseñar el sistema


Ejemplo 1
Con respecto al siguiente sistema de ecuaciones:






=−++
=++
=−+
cxcxx
xxx
xxx
3
2
21
321
321
)5(
62
2
El valor de "c" para que sea INCONSISTENTE, es:
a) -2 b) 2 c) 0 d) 1 e) 4
SOLUCIÓN:
Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones de la misma forma que en los ejercicios
anteriores:
( ) ( )
()( )
21
31
3
22
1 1 1 2 1 1 1 2
1 2 1 6 0 1 2 4
1 1 5 0 0 4 2
1 1 1 2
0 1 2 4
0 0 2 ( 2 2
FF
FF
Factorizamos F
c c c c
c c c
−
−
    −−
   
   
⎯⎯⎯→
   
   
− − −
   
 −

⎯⎯⎯⎯⎯→


− + −

Analizando el último renglón
Si =2c ( )0000 INFINITAS SOLUCIONES.
Si −=2c ( )4000 − INCONSISTENTE.
Si − 22cc ( )0000
21
kk SOLUCIÓN ÚNICA.

RESPUESTA: Opción "a".

394. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
394
Ejemplo 2
Sea el siguiente sistema ()
( )( )
2
21
2 3 1
2 4 2 10 3
x y az
x a y z a
x a y a z a

− + − = −


+ − + = − +

− + − + − = , donde a , indique ¿cuál
de las afirmaciones siguientes es VERDADERA?
a) 2=a el sistema tiene infinitas soluciones
b) 2−=a el sistema tiene solución única
c) 2=a el sistema tiene solución única
d) 22 −== aa el sistema tiene solución única
e) 2=a el sistema es inconsistente
SOLUCIÓN:
Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:
( )
( )
( )
()()
21
31
31
3
2
2
2
2
2
1 2 1
1 ( 2) 3 1
2 (4 2 ) 10 3
1 2 1
03
0 2 2 10 3 2
1 2 1
03
0 0 4 2
1 2 1
03
0 0 2 2 2
FF
FF
FF
Factorizamos F
a
aa
a a a
a
a a a
a a a
a
a a a
aa
a
a a a
a a a
+
−
+
− − −


− − +


− − −

− − −


⎯⎯⎯→ − −


− + − +

− − −


⎯⎯⎯→ − −


−+

− − −

⎯⎯⎯⎯⎯→ − −


+ − +


Analizando el último renglón
• Si =2a ( )4000 INCONSISTENTE.
• Si −=2a ( )0000 INFINITAS SOLUCIONES.
• Si − 22aa SOLUCIÓN ÚNICA.
RESPUESTA: Opción "e".


Ejemplo 3
Sea el sistema de ecuaciones ()
( )





+=−−++
−=−+−−
=−+
2333
62432
322
2
kzkkyx
kzkyx
zyx El valor de "k " para
que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES es:
a)3
2− b)1− c)0 d)1 e)2

SOLUCIÓN:
Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:
( )
2
1 2 2 3
2 3 (4 ) 2 6
1 3 3 3 2
kk
k k k
 −


− − − −


− − +


395. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
395
( )
( )
21
31
32
2
2
2
1 2 2 3
0 1 2
0 1 1 3 1
1 2 2 3
0 1 2
0 0 1 1
FF
FF
FF
kk
k k k
kk
kk
+
−
−
 −


⎯⎯⎯→ −


− − −

 −


⎯⎯⎯→ −


−−

()()
3
1 2 2 3
0 1 2
0 0 1 1 1
Factorizamos F
kk
k k k
 −

⎯⎯⎯⎯⎯→ −


− + −

Analizando el último renglón
• Si =1k ( )0000 INFINITAS SOLUCIONES.
• Si −=1k ( )2000 − INCONSISTENTE.
• Si − 11kk SOLUCIÓN ÚNICA.
RESPUESTA: Opción "d".

Ejemplo 4
Analizar el sistema 3
2
x y z a
x y b
x y z c
+ − =

+=

+ + =

SOLUCIÓN:
Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:
13 21
31
32
2
3
2
3 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 0 2 1 0 0 1 2 2
1 1 1 3 1 1 0 2 4 3
111
0 1 2 2
0 0 0 2
FF FF
FF
FF
a c c
b b b c
c a a c
c
bc
a b c
−
−
−
−     
     
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − − −
     
     
− − − −     


⎯⎯⎯→ − − −


−+
El último renglón nos indica que si elegimos 20a b c− + = el sistema tendrá INFINITAS SOLUCIONES,
caso contrario; es decir si elegimos 20a b c− +  , el sistema será INCONSISTENTE.
Además, EL SISTEMA NUNCA TENDRÁ SOLUCIÓN ÚNICA.

Ejemplo 5
Analizar el sistema 32
2
x y z a
x y b
x y z c
+ − =

+=

+ + =

SOLUCIÓN:
Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:
13 21
31
32
2
3
2
3 1 2 1 1 1 1 1 1
2 1 0 2 1 0 0 1 2 2
1 1 1 3 1 2 0 2 5 3
1 1 1
0 1 2 2
0 0 4 2
FF FF
FF
FF
a c c
b b b c
c a a c
c
bc
a b c
−
−
−
−     
     
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ − − −
     
     
− − − −     


⎯⎯⎯→ − − −


−+
El último renglón nos indica que EL SISTEMA SÓLO TENDRÁ SOLUCIÓN ÚNICA, para cualquier valor de a
, b y c .

396. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
396
Ejemplo 6
Determine condiciones para a , b , c y d tal que el sistema 2
34
2
x y a
x y b
x y c
x y d
+=

−=

+=

+= sea consistente.
SOLUCIÓN:
Planteamos la matriz aumentada del sistema y reducimos renglones:
21
3 1 3 2
41
32
42
2
3
3
1 1 1 1 1 1
2 1 0 3 2 0 1 3
3 4 0 1 3 0 3 2
1 2 0 1 0 1
11
0 1 3
0 0 3 11
0 0 2
FF
F F F F
FF
FF
FF
a a a
b b a c a
c c a b a
d d a d a
a
ca
b c a
d c a
−
−
−
+
−
     
     
− − − −
     
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
      − − −
     
−−     


−

⎯⎯⎯→
 +−

−+
Aquí debemos considerar los dos últimos renglones. Debemos elegir 3 11 0b c a+ − = y 20d c a− + =
para que el sistema sea consistente.

Ejercicios Propuestos 14.2
1. Considere el sistema de ecuaciones lineales: 




=+−−
=−+
=+−
cxxx
bxxx
axxx
321
321
321
2155
53
32 entonces es CIERTO que:

a) La matriz de coeficientes del sistema es invertible.
b) Para cualquier valor de a , b y c , el sistema es consistente.
c) Si 0===cba el sistema tiene solución única
d) El sistema es inconsistente sólo si bac 32−
e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 




=−++−
=+−
=−
0)13(3
723
3
321
321
21
xaxx
axxx
xx , entonces una de las siguientes
proposiciones es FALSA, identifíquela:
a) Si 1=a a=1, el sistema tiene infinitas soluciones.
b) Si 1a , el sistema tiene solución única.
c) Si 1=a , el sistema no tiene solución única.
d) No existe un número real 1a tal que el sistema sea inconsistente.
e) Una de las proposiciones anteriores es falsa.

3. El sistema de ecuaciones lineales 




=++−
=−+
=−−
czyx
bzyx
azyx
22
32 , es CONSISTENTE si:
a) cab+=
b) cab+
c) cba+
d) bac+
e) cba+=
4. Los valores de la constante "a " para los cuales el sistema 




=+
−=+
−−=
02
4
32
zay
zxya
yzx
tiene un número infinito de soluciones, es:
a) -4 y 1
b) -4 y -1
c) 4 y 1
d) 4 y -1
e) 4

397. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
397
5. Considere el sistema de ecuaciones: 






=++
=+
=++
122
2
23
2
zyx
zky
zyx entonces es VERDAD que:
a) El sistema tiene infinitas soluciones si k .
b) El sistema es consistente si 2
1
=k
c) Si 2=k entonces 2
5
=z
d) Si 2
1
−=k el sistema es inconsistente.
e) Todas las proposiciones anteriores son falsas.

6. Los VALORES de k para que el siguiente sistema lineal 




=−+
=−−
=+−
022
022
04
zyx
kzyx
zykx tenga INFINITAS SOLUCIONES, son:
a) -1 y -5
b) 1 y -5
c) 1 y 5
d) 2 y -5
e) -1 y 5




14.1.4 REPRESENTACIÓN MATRICIA L
El sistema lineal de ecuaciones: 








=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa





332211
33333232131
221321222121
11313212111

Puede ser representado mediante una multiplicación de matrices de la
siguiente forma 















=
































mnmnmmm
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa






3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211


Lo que esquemáticamente sería:





Ejemplo 1
Para el sistema 




−=−+
=+−
−=+−
332
232
12
zyx
zyx
zyx la representación matricial sería:









−
−
=




















−
−
−
3
2
1
321
321
112
z
y
x

398. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
398
Ejemplo 2
La representación matricial del sistema 




=−
−=+
=−
322
13
12
yx
yx
yx es:









−=


















−
−
3
1
1
22
31
12
y
x


Ejercicio Propuesto 14.3
1. Con respecto al siguiente sistema 









=




















−−−
−−
31
15
5
221
331
320
3
2
1
x
x
x , es verdad que:
a) Tiene infinitas soluciones d) No tiene solución
b) Tiene solución única e) Tiene una variable libre
c) Tiene dos variables libres



14.1.5 PROBLEMAS DE APLICAC IÓN
Problemas con más de una incógnita amerita plantear más de una
ecuación, que deben ser consideradas simultáneamente. Los arreglos
matriciales van a ser de mucha utilidad para hacer un planteamiento
rápido de los problemas de aplicación.

Ejercicio resuelto 1
La producción de dos tipos de artículos, A y B , requiere del uso de dos máquinas I, II.
Para los artículos del tipo A se requiere utilizar tres horas de la máquina I y cuatro horas
de la máquina II. Para los artículos del tipo B se requiere utilizar una hora de la máquina I y
dos horas de la máquina II. Si el tiempo total disponible de la máquina I es de cinco horas al
día y de la máquina II es de ocho horas diarias, el total de artículos A y B que se pueden
fabricar en un día respectivamente son:
a) 1 y 2 b) 2 y 4 c) 3 y 6 d) 4 y 2 e) 3 y 2
SOLUCIÓN:
Es muy conveniente interpretar la información ubicándolo en una tabla, de la siguiente manera:
Sean: Cant. de art.xA
Cant. de art.yB
Entonces:








Los renglones permiten proponer la ecuación respectiva.
Para el primer renglón:
( ) ( )
3 horas de MaqI 1 hora deMaqI
" " unidades de " " unidades de 5 horas MaqI
1 unidad de A 1 unidad de
x A y B
B
+=
Esto quiere decir que: 53 =+yx

Para el segundo renglón: Art
Maq
Tiempo total
3 1 5
4 2 8
AB
I
II
)(x
)(y

399. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
399

Esto quiere decir que: 824 =+yx

Note que se forma un sistema lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas:



=+
=+
824
53
yx
yx
Sus soluciones pueden ser encontradas por el método que usted escoja, sin embargo podemos hacer lo
siguiente:
Despejar "x " en ambas ecuaciones y luego igualar
4
28
284
824
y
x
yx
yx
−
=
−=
=+ 3
5
53
53
y
x
yx
yx
−
=
−=
=+

2
20242
420624
)5(4)28(3
3
5
4
28
=
−=
−=−
−=−
−
=
−
y
y
yy
yy
yy Entonces: 1
3
25
=
−
=
x
x

Respuesta:1 unidad de
2 unidades de
xA
yB
=
=


Ejercicio resuelto 2
Un fabricante produce tres artículos A, B y C. La utilidad por cada unidad vendida de A, B y
C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17000 por año y los costos de
producción por cada unidad son de $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente serán
producidas y vendidas un total de 11000 unidades entre los tres productos y se obtendrá
una utilidad total de $25000. Si el costo total será de $80000, entonces el número de
unidades del producto B es:
a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000
SOLUCIÓN:
Tabulando la información:










Entonces el sistema para este problema es:




=++
=+++
=++
000,11
000,80000,17754
000,2532
zyx
zyx
zyx
Que al resolverlo, tenemos:
( ) ( ) MII horas B de unidades y
B de unidad
de MaqII hora
A de unidades x
A de unidad
MaqII de horas
8 " "
1
2
" "
1
4
= + Art
Totales
Utilidad 1 2 3 $25,000
Cost. Fij. 17,000
$80,000
Cost. Var. 4 5 7
Produc 11,000
A B C
x y z

400. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
400





















−











−
−











000,5100
000,14210
000,11111
000,19310
000,14210
000,11111
)1(
000,63754
000,25321
000,11111
)4(
)1(
000,11111
000,63754
000,25321
Por lo tanto:
5,000 unid.
2 14,000 4,000 unid.
4,000 5,000 11,000 2,000 unid.
zC
y z y B
x x A
=
+ =  =
+ + =  =
RESPUESTA: Opción "d"

SEGUNDO MÉTODO:
Aplicando la regla de Cramer: 4000
754
321
111
7000,634
3000,251
1000,111
==y


Ejercicio resuelto 3
Una persona invirtió un total de $20000 en 3 inversiones al 6%, 8% y 10%. El ingreso anual
total fue de $1624 y el ingreso de la inversión del 10% fue dos veces el ingreso de la
inversión al 6%. ¿De cuánto fue cada inversión?
Solución:
Planteando el sistema en forma directa tenemos:
Sean: dólares invertidos al 6%x
dólares invertidos al 8%y
dólares invertidos al10%z
Entonces:















=
=++
=++
xz
zyx
zyx
100
6
2
100
10
1624
100
10
100
8
100
6
000,20 entonces 






==
=++
=++
xxz
zyx
zyx
5
6
10
12
1624001086
000,20

Reemplazando "z " en la segunda ecuación:
8
18162400
162400
10
12
1086
x
y
xyx
−
=
=





++
Reemplazando "z " y " y "

401. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
401
162400 18 6
20000
85
40 812000 90 48 800000
2 12000
$6000 al 6%
x
xx
x x x
x
x
−
+ + =
+ − + =
=
=

Entonces 162400 18(6000)
8
$6800 al 8%
y
y
−
=
= y 6
6000
5
$7200 al 10%
z
z
=
=


Ejercicio resuelto 4
Una compañía paga a trabajadores calificados $15 por hora en su departamento de
ensamblado. Trabajadores semicalificados en ese mismo departamento ganan $9 por hora.
A los empleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los
pedidos, la compañía necesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de
ensamblado y envíos. Pagará un total de $760 por hora a estos empleados. A causa de un
contrato con el sindicato, debe emplearse el doble de trabajadores semicalificados que de
trabajadores calificados. Entonces EL NÚMERO DE TRABAJADORES CALIFICADOS que
contratará la compañía es:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50

SOLUCIÓN:
Tabulando la información:







Y considerando la condición:
2
Califica Semicalifica
xy=

Resulta el sistema:





=
=++
=++
xy
zyx
zyx
2
70
76010915
Reemplazando "y " en la segunda ecuación:
xz
zx
zxx
370
703
702
−=
=+
=++
Reemplazando "y " y " z " en la primera ecuación:
15 9(2 ) 10(70 3 ) 760
15 18 700 30 760
3 760 700
20 trab. calf.
x x x
x x x
x
x
+ + − =
+ + − =
=−
=
RESPUESTA: Opción "b"
Trab
Calif. Semicf Envío Total
Pago h 15 9 10 760
70x y z


402. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
402
Ejercicios Propuestos 14.4
1. Una empresa utiliza 3 tipos de materias primas M1, M2, M3 en la elaboración de 2 productos P1 y P2. El número
de unidades de M1, M2 y M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2 y 4 respectivamente, y por cada unidad de
P2 son 4, 1 y 3 respectivamente. Si la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a la semana, y
los costos por unidad de M1 ,M2 y M3 son $1, $3 y $2 respectivamente, entonces la cantidad gastada en materia
prima a la semana en la producción de P1 y P2, es:
a) $730
b) $420
c) $550
d) $880
e) 990
2. Una industria fabrica 3 clases de artículos: x1, x2, x3, en sus 3 fábricas A, B y C. Cada fábrica debe producir
igual cantidad de cada artículo diariamente. Los costos de producción por unidad (en dólares) vienen dados por
la matriz:










30,030,060,0
40,020,040,0
20,010,050,0
321
CFábrica
BFábrica
AFábrica
xxx
Si los costos de producción total diaria son $75 para la fábrica A, $90 para la fábrica B y $120 para la fábrica C,
entonces el número de unidades del artículo x2 que se producen en cada fábrica es igual a:
a) 25
b) 50
c) 100
d) 125
e) 150
3. Una empresa produce 3 productos A, B y C, los que procesa en 3 máquinas. El tiempo en horas requeridas
para procesar una unidad de cada producto por las 3 maquinarias está dado por:










112
421
213
IIIMAQ
IIMAQ
IMAQ
CBA
Se dispone de la maquinaria I por 850 horas, de la máquina II por 1200 horas y la máquina III por 550 horas.
¿Cuántas unidades de cada producto deberían producirse con objeto de emplear todo el tiempo disponible de
las máquinas?

4. Una compañía produce tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sillones reclinables. Cada uno requiere de
madera, plástico y aluminio, como se indica en la siguiente tabla:










unidadesunidadesunidad
unidadesunidadunidad
unidadesunidadunidad
Aluminio
Plástico
Madera
SillonesMecedoraSilla
532
211
111
La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de
aluminio. Entonces el NÚMERO DE MECEDORAS que debe fabricar la compañía con objeto de emplear todo el
material existente, es:
a) 100
b) 120
c) 150
d) 200
e) 250

5. Un contratista dispone de 5000 horas-hombre de mano de obra para 3 proyectos, BA, y C . Los costos por
hora-hombre para cada proyecto son de $8, $10 y $12 respectivamente y el costo total es de $53.000. Si el
número de horas-hombre para el proyecto C es igual a la suma de las horas-hombre requeridas por los
proyectos A y B . Entonces es FALSO afirmar que el número de horas-hombre requeridas para:
a) El proyecto C es 2500
b) Los proyectos A y B es 2500
c) Los proyectos B y C es 4500
d) El proyecto B es 1500
e) Los proyectos A y C es 3500

403. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
403
14.2 SISTEMA DE INECUACIO NES LINEALES

14.2.1 INECUACIÓN LINEAL EN DOS VARI ABLES.

Una inecuación lineal en dos variables es un predicado de la forma:
(), : : , ,p x y ax by c a b c+
Donde puede ser , , o   

Ejemplo 21xy−



14.2.2 CONJUNTO SOLUCION DE UNA INECUACIÓN

Sea (),p x y una inecuación lineal. Su conjunto solución (),Ap x y
está constituido por los pares ordenados (),xy que satisfacen la
inecuación.
La recta definida por la ecuación = ax by c+ divide al plano
cartesiano en dos regiones, el conjunto solución de la inecuación puede
ser una de estas regiones y en ocasiones incluye a los puntos que están
sobre la recta.


Ejemplo 1
Para la inecuación 21xy− , si la observamos de la manera 21yx− (despejando y), se
concluye que su conjunto solución son los puntos del plano cartesiano que están bajo la recta 21yx=−

404. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
404

Ejemplo 2
Para la inecuación 31yx+ , su conjunto solución son los puntos del plano cartesiano que están
arriba y en la recta 31yx=+










Ejemplo 3
Para la inecuación 3x , su conjunto solución son los puntos del plano cartesiano que están a la
derecha y en la recta 3x=












14.2.3 SISTEMA DE INECUACI ONES

Un sistema de inecuaciones lineales es un predicado de la forma

()
1 1 1
2 2 2
, : : , , , 1,2,3, ,
i i i
n n n
a x b y c
a x b y c
p x y a b c i n
a x b y c
+

+
=


+






Donde puede ser , , o   

405. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
405
Ejemplo
Un sistema de 2 inecuaciones con 2 incógnitas: ()
21
,:
3 4 2
xy
p x y
xy
−

+


Su conjunto solución es una región del plano cartesiano, que es
mejor interpretarlo gráficamente.

Ejemplo
Sea ()
21
5
,:
1
1
2
yx
yx
p x y
yx
+

  −


+

 . Hallar (),Ap x y .
SOLUCIÓN:
El conjunto solución del sistema será la región del plano que esta bajo las rectas 21yx=+ y 5yx=−
; y sobre la recta 1
1
2
yx=+






















14.2.4 PROGRAMACIÓN LINEAL

En los problemas de programación lineal se trata de cumplir un
objetivo sujeto a restricciones.
Para resolver un problema de programación lineal se recomienda
seguir los pasos:
1. Defina la FUNCIÓN OBJETIVO . Es la función que se va a
maximizar o minimizar.
2. Defina las RESTRICCIONES. Est as normalmente son de
desigualdades.
3. Describa la REGIÓN FACTIBLE. Es el conjunto solución del
sistema de restricciones.
4. Determine el (los) elemento(s) de la región factible que
maximizan, o minimizan, la función objetivo.

406. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
406
Ejemplo
Una fabrica de muebles produce dos tipos de sofás, tipo I y tipo II. Cada sofá tipo I necesita 4 horas
de montaje y 3 horas de tapizado, mientras que cada sofá tipo II requiere 3 horas de montaje y 4
horas de tapizado. La empresa dispone a lo mucho de 290 horas en la línea de montaje y 180
horas en la línea de tapizado a la semana. La empresa puede vender todos los artículos que
produce y obtener una utilidad de $100 por sofá tipo I y $60 por cada sofá tipo II. Calcule el número
de sofá tipo I y el número de sofá tipo II que deberían fabricarse a la semana con objeto de
maximizar la utilidad total.

SOLUCIÓN:
Primero ubiquemos la información en una tabla:


Sofá tipo I Sofá tipo II Disponibilidad
máxima (h)
Montaje (h) 4 3 290
Tapizado (h) 3 1 180
Utilidad ($) 100 60


Sean: x: cantidad de sofás tipo I
y: cantidad de sofás tipo II
Entonces:
1. La función objetivo, sería la utilidad total: 100 60U x y=+
2. Como el problema menciona las horas de disponibilidad máxima en cada proceso, las
restricciones serán de desigualdad:
4 3 290
3 1 180
0
0
xy
xy
x
y
+

+




3. La REGIÓN FACTIBLE está compuesta por los valores de x y y que satisfacen las
restricciones, sería la intersección de todas las restricciones.





















4. La solución está dado por el par ordenado que produciría la mayor utilidad, sería
mejor probar con los vértices del polígono (región factible) que estén más
alejados del origen ¿por qué?:

407. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
407 () ()200 0 160 17 5 2800U . $= + =
() ()200 15 160 10 4600U$= + =
() ()200 21 160 0 42000U$= + =

Se observa que con 15 sofás tipo I y 10 sofás tipo II, la utilidad toma su valor
máximo. Por tanto esta sería la solución. La cantidad óptima de sofás que se deben
fabricar.

Ejercicios Propuestos 14.5
1. Una Empresa produce dos tipos de cocinas, a gas y eléctricas. Cada una requiere para su
fabricación del uso de tres máquinas I, II y III. Cada Cocina a gas requiere del uso de la
máquina I durante 2 horas, de la máquina II por 1 hora y de máquina III otra hora. Una cocina
eléctrica requiere 1 hora de la máquina I, 2 horas de la II y 1 hora de la III. Además, suponga
que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de la máquina I, II y II es de
180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad por cada cocina a gas es de $40 y por cada
cocina eléctrica es de $60. Si la compañía vende todas las cocinas que pueda producir,
¿cuántas cocinas a gas y cuántas eléctricas debe producir la Empresa con el fin de maximizar
la utilidad mensual?
2. Una empresa produce dos tipos de Alimentos. El tipo I y el tipo II. El tipo I contiene 3 g. de un
nutriente A, 3 gramos de un nutriente B y 1 gramo de un nutriente C. El alimento tipo II contiene
1 g. de un nutriente A, 2 g del B y 3 gramo del C. Cada mes la empresa puede confiar en un
suministro de 75 Kg del nutriente A, 80 Kg nutriente B y 60 Kg del nutriente C. Su planta
productora puede elaborar a lo más 30 Kg de los dos alimentos al mes. Si la empresa obtiene
una utilidad de $3 por cada unidad del refresco tipo I y $4 por cada unidad del tipo II, ¿qué
cantidades de cada tipo deberá producir a fin de obtener la utilidad máxima?



14.3 SISTEMAS NO LINEALES

14.3.1 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Es un predicado formado por un conjunto de ecuaciones en que
por lo menos una de las incógnitas no es lineal. El conjunto solución está
formado por los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las
ecuaciones.

14.3.2 SISTEMA DE INECUACIÓ N NO LINEAL
Es un predicado formado por un conjunto de Inecuaciones donde
por lo menos una de las incógnitas no es lineal. El conjunto solución es
la intersección de las regiones que describen las inecuaciones.
Como el conjunto solución de un sistema de inecuaciones en dos
variables, igual que el de ecuaciones, es una región del plano resulta más
conveniente graficarlo.

408. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
408

Ejemplo
Represente en el plano el conjunto solución de ()
2
4
2
yx
p x,y :
yx
+

− . Determine además
los puntos de intersección.
SOLUCIÓN:
El conjunto solución del sistema sería la región intersección dada por la que está bajo la recta 4yx=+
y encima de la parábola 2
2yx=−
















Los puntos de intersección están dados por el conjunto solución del sistema no lineal 2
4
2
yx
yx
=+

=−
Igualamos las ecuaciones y hallamos x:
()()
2
2
42
60
3
3 2 0
2
xx
xx
x
xx
x
+ = −
− − =
=
− + =  
=−
De allí obtenemos los valores de y:
Si x = 3 entonces 3 4 7y= + =
Si x = -2 entonces 2 4 2y= − + =
Por lo tanto, las gráficas se intersecan en los puntos ()
1
22P,− y ()
2
37P,


Ejercicios Propuestos 14.6
Graficar el conjunto solución de:
1) 2
2yx
yx
−


2) 6
0
yx
yx
y


 − +



3) 3
6
2
yx
yx
x
y

+



−

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
4yx=+
2
2yx=−

409. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
409
Misceláneos
1. Con respecto al sistema 




=+
=−
=+
5
42
3
ayx
yx
yx . Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a) Si 2=a entonces el sistema tiene solución única.
b) Si a , el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Sia , el sistema es inconsistente.
d) Si 4a es inconsistente.
e) Si 5=a entonces el sistema tiene solución única.

2. Una institución de pesca del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga tres especies de
peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad
del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de
3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo
es de 2 unidades del alimento A, 1 del B y 5 del C. Cada semana se vierte al lago 25000 unidades del
alimento A, 20000 del alimento B y 55000 del C. Suponga que los peces se comen todo el alimento. Si
hubiesen 6000 peces de la especie 3 entonces habrían:
a) 10000 peces de la especie1 y 1000 de la especie 2.
b) 1000 peces de la especie1 y 10000 de la especie 2.
c) 6000 peces de la especie1 y 5000 de la especie 2.
d) 8000 peces de la especie1 y 6000 de la especie 2.
e) 6000 peces de la especie1 y 8000 de la especie 2.
3. Con respecto al sistema 




=+
=+
−=+
1
52
132
yx
yx
yx
Es VERDAD que:
a) El sistema tiene infinitas soluciones.
b) El sistema es inconsistente.
c) El sistema tiene como única solución a 3−=x y 4=y .
d) El sistema tiene como única solución a 4=x y 3−=y .
e) El sistema tiene como única solución a 4−=x y 3=y .

4. El valor de “k ” para que el sistema ()





−=−++−
−=++−
=−−
kzkyx
zyx
zyx
252
8
052 sea INCONSISTENTE, es:
a) 3
b) 0
c) –4
d) –3
e) –1

5. El gerente de un restaurante desea alquilar 200 juegos de platos. Una cierta clase de platos cuesta $25 el
juego y otra clase cuesta $45 el juego. Si el gerente sólo desea gastar $7400, ENTONCES EL NÚMERO DE
JUEGOS DE CADA CLASE DE PLATOS QUE DEBE ALQUILAR es:
a) 120 platos de $25 el juego y 80 platos de $45 el juego.
b) 100 platos de $25 el juego y 60 platos de $45 el juego.
c) 60 platos de $25 el juego y 100 platos de $45 el juego.
d) 90 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.
e) 80 platos de $25 el juego y 120 platos de $45 el juego.
6. Sea el sistema 




=++
=−+
=+−
azyx
zyx
zyx
23
432
52 . Entonces el VALOR de “a ” para que el sistema sea CONSISTENTE
es:
a) 1
b) 7
c) 9
d) 4
e) 0

410. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
410
7. Sea el sistema 






−=−+−
=−−+
=−+−
=+++
3423
3523
9432
10
uzyx
uzyx
uzyx
uzyx , entonces es VERDAD que:
a) El sistema es inconsistente.
b) El sistema tiene infinitas soluciones.
c) El sistema tiene solución trivial.
d) El sistema tiene solución única.
e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.

8. Un turista que viaje al Mundial de Fútbol de Japón y Corea gastará $30 al día por hospedaje en la ciudad de
Tokio, $20 al día en la ciudad de Seúl y $20 al día en la ciudad de Kobe. En cuanto a alimentos, el turista
gastará $20 diarios en Tokio, $30 diarios en Seúl y $20 diarios en Kobe. Además por conceptos varios el
turista gastará $10 en cada una de las ciudades mencionadas. Si sólo puede gastar un total de $340 por
hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Entonces el NÚMERO DE DÍAS que el turista podrá
estar en Tokio, Seúl y Kobe, respectivamente es:
a) 6, 4 y 4 días
b) 3, 2 y 2 días
c) 1 días en las tres ciudades
d) 8, 4 y 4 días
e) 10, 4 y 4 días
9. Con respecto al sistema de ecuaciones 




=−+−
−=−+−
=+−
65
323
12
zyx
zyx
zyx
Es VERDAD que:
a) 5−=+yx
b) El sistema es inconsistente.
c) El determinante de la matriz de coeficiente es 1.
d) El sistema tiene solución única
e) El sistema tiene infinitas soluciones


10. Con respecto al sistema lineal: 


=−++
=+−−
02
0223
wzyx
wzyx
Es VERDAD que:
a) Tiene única solución.
b) Una de sus soluciones es 0=x , 0=y , 1=w , 1=z
c) Su conjunto solución tiene 1 variable libre.
d) Su conjunto solución tiene 2 variables libres.
e) El sistema es inconsistente.
11. El valor de a para que el sistema 




=+−
=+−+
=++
32
96)1(3
232
zyx
zyax
zyx tenga infinitas soluciones es:

a)3 b) 2 c) 1 d) 0 e) 2−
12. Con respecto al sistema 




=+
=−
=+
5
42
3
kyx
yx
yx Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA,
identifíquela:
a) Si 2=k entonces el sistema tiene única solución.
b) Si k el sistema tiene infinitas soluciones.
c) Si k el sistema es inconsistente.
d) Si 4=k entonces el sistema tiene única solución.
e) Si 5=k entonces el sistema es consistente.

13. Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para
pintarse y 2
1 hora de mano de obra en pulido; el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada
uno de los procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de
mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulido. Entonces el NÚMERO DE
AUTOMÓVILES de cada modelo que pueden ser producidos cada hora si se utilizan todas las horas de mano
de obra, es:

411. Moisés Villena Muñoz Cap. 14 Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones
411
a) 60 automóviles del modelo A y 40 del modelo B.
b) 40 automóviles del modelo A y 60 del modelo B.
c) 45 automóviles del modelo A y 50 del modelo B.
d) 20 automóviles del modelo A y 80 del modelo B.
e) 80 automóviles del modelo A y 20 del modelo B.

14. Un microempresario desea repartir los $8600 de ganancia con sus otros dos socios considerando que su
parte sea igual a las 3
2 de la parte que le corresponde a su primer socio y que la parte de su primer socio
sea igual a los 6
5 de la parte que le corresponde a su segundo socio. Entonces al microempresario, a su
primer socio y a su segundo socio, le corresponden respectivamente:
a) $1500, $3500, $3600
b) $2000, $4000, $2600
c) $2000, $3000, $3600
d) $3000, $3000, $2600
e) $1000, $4000, $3600

15. Sea el sistema: 








−=+
−=
−
−
−=
−
+−
yxyz
zy
x
y
x
z
334
2
8
20
10
5
196
4
Entonces es VERDAD que:
a) El sistema es homogéneo y tiene solución trivial.
b) El sistema es inconsistente.
c) La única solución del sistema es 2;5;4 −=== zyx .
d) No es un sistema lineal.
e) El sistema tiene infinitas soluciones.

412. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
413

15
15.1 ANGULOS OPUESTOS POR EL
VÉRTICE
15.2 ANGULOS ALTERNOS INT ERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS,
CORRESPONDIENTES
15.3 FIGURA PLANA
15.4 TRIÁNGULOS
15.5 CUADRILATEROS
15.6 FIGURAS CIRCULARES


Para resolver situaciones prácticas, de nuestro cotidiano vivir, hacer
uso de conceptos y procedimientos geométricos se hace necesario, de
allí la importancia de este estudio.

413. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
414
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
▪ Defina ángulos.
▪ Identifique ángulos opuestos por el vértice, externos, internos, alternos externos, alternos
internos, correspondientes.
▪ Identifique ángulos congruentes.
▪ Identifique triángulos congruentes y semejantes.
▪ Resuelva triángulos.
▪ Calcule áreas y perímetros de polígonos y figuras circulares.

Definiciones y criterios de Trigonometría van a ser útiles en este
capítulo, por tanto habrá situaciones que deberán recordarse para ser
usadas.
La teoría de la Geometría Plana es muy extensa, sin embargo aquí nos
limitaremos a hacer una breve exposición de los conceptos y teoremas
más útiles o más bien de los que necesitaremos en los cursos de Cálculo.

15.1. ANGULOS OPUESTOS POR EL VÉR TICE
Suponga que dos rectas se intersecan en un punto.








Al punto de intersección se lo denomina vértice. Los pares de ángulos
"x "," " y "y "," " se los denomina "ángulos opuestos por el vértice".
Observe que los ángulos opuestos por el vértice son de igual medida.

15.2 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y ÁN GULOS
SUPLEMENTARIOS.
Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas es
igual a 90 .
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas es
igual a 180 .

414. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
415
15.3 ANGULOS ALTERNOS INTERNOS,
ALTERNOS EXTERNOS, C ORRESPONDIENTES
Suponga que se tienen tres rectas 1
l , 2
l y 3
l ubicadas en el plano de la
manera indicada en el gráfico:








Los ángulos A , B , G y H se denominan Externos.
Los ángulos C , D , E y F se denominan Internos.
Los pares de ángulos:
• C y F , D y E se denominan Alternos Internos.
• A y H , B y G se denominan Alternos Externos.
• A y E , B y F , C y G , D y H se denominan
Correspondientes.
Si 1
l , 2
l son paralelas (21
//ll ) entonces los pares de ángulos alternos
internos, alternos externos y correspondientes son de igual medida.









A B C D F G H E 1
l 2
l 3
l
A B C D F G H E 1
l 2
l 3
l

415. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
416

Ejercicio Propuesto 15.1
1. Si EH DA ; LK MJ y 5
9
ABJ

= , encuentre las medidas de los ángulos FGB
y CFG















2. En la figura PN RS ; MN RQ , 2
3
QRS

= . Hallar MNP











3. Si AB y CD son paralelas en el gráfico adjunto, determine la medida en radianes del ángulo ‘x’ y
la medida del ángulo ‘y’.













4. En la figura se conoce que: el ángulo AOC mide 5
18
 radianes; el ángulo BOD mide 2

radianes; OP divide en dos ángulos de igual medida al ángulo AOB y OQ divide en dos
ángulos de igual medida al ángulo DOC . Determinar la medida del ángulo QOP .









G E A F B C H D 180BGF y=− 90AGF x=− 2CHE x=
0 E A P B C Q D
A B C D E F H G L M K J
P N M S R Q

416. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
417


15.3. FIGURA PLANA

Se denomina FIGURA PLANA a todo
subconjunto no vacío del plano.

Por tanto, desde un punto sería una figura plana. Estamos interesados
en las figuras planas cerradas

15.3.1 Figura plana convexa

Sea F una figura plana cerrada y sean 1
P y 2
P
puntos de la figura. F es convexa si y
sólo si
1 2 1 2
,P P PP F  




Una figura convexa sería:










Una figura no convexa podría ser












De aquí en adelante trataremos sólo con figuras convexas. 1
P 2
P
2P 1P

417. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
418
15.3.2 Puntos Colineales

Sean 1
P , 2
P y 3
P tres puntos del plano. 1
P , 2
P
y 3
P son colineales si y sólo si 321
PPP o 312
PPP
o 213
PPP .

En otros términos, se dice que los puntos son colineales si pertenecen
a una misma recta.

Si tenemos puntos no colineales, podemos formar una figura plana
cerrada trazando segmentos de rectas uniendo todos los puntos. Esta
figura, formada así, se convertirá en un importante objeto de estudio.



15.3.3 Poligonal

Sean 1
P , 2
P ,…, n
P , n puntos no colineales.
Se denomina POLIGONAL al conjunto de
puntos que pertenecen a la unión de los
segmentos de rectas 21
PP , 32
PP ,…,1
PP
n . Es
decir:
Poligonal 1 2 2 3 1
/
n
P P PP P P P P=    
















La poligonal divide al plano en dos regiones: la interior a la poligonal
y la exterior a la poligonal.
1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P Interior
Exterior

418. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
419
15.3.4 Polígono.

Se denomina POLÍGONO al conjunto de
puntos que pertenecen tanto a lo poligonal
como a la región interior de la poligonal.

A los puntos 1
P , 2
P ,…, n
P se los denomina vértices del polígono. A
los segmentos 21
PP , 32
PP ,…,1
PP
n se los denomina lados del polígono. A
los segmentos de rectas formados entre vértices no consecutivos, 13
PP , 24
PP
,…,11n
PP
− se les denomina diagonales. A los ángulos en cada vértice, 1 2 3
PP P
, 2 3 4
P P P ,…, 11nn
P P P
− se les denomina ángulos interiores.
Si los lados del polígono son de igual medida, se dice que es un
polígono regular; caso contrario se dice que es un polígono irregular.


3.4.1 Congruencia y semejanza de polígonos

Sean los polígonos ( )
nPPPP 
21 y ( )
n
QQQQ 
21






Suponga que:
1. Los ángulos interiores, respectivamente,
son de igual medida. Y;
2. k
QQ
PP
QQ
PP
QQ
PP
n
n
====
1
1
32
32
21
21

Entonces, si 1=k se dice que los polígonos son
congruentes, caso contrario, es decir si 1k , se
dice que los polígono son semejantes.

Los polígonos, de acuerdo al número de lados que tengan reciben
nombres en especial.
1P 2P 3P 4P 5P

1Q 2Q 3Q 4Q 5Q

419. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
420

15.4. TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono de tres lados.

15.4.1 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS D E ACUERDO
A SUS LADOS
15.4.1.1 Equilátero
Todos sus lados y ángulos tienen igual medida.





Por tanto sus ángulos interiores miden 60°. ¿POR QUÉ?
15.4.1.2 Isósceles
Tienen dos lados y sus respectivos ángulos adyacentes de igual
medida








15.4.1.3 Escaleno

Tienen sus lados y ángulos de diferentes medidas.







El siguiente teorema es de gran utilidad.

15.4.2 TEOREMA
En todo triángulo la suma de las medidas
de sus ángulos interiores es igual a 
180 .

¡DEMUÉSTRELO!

420. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
421

Ejercicio Propuesto 15.2
1. Un barco navega entre dos orillas paralelas, desde el punto A al punto D , como se muestra
en la figura. Se conoce que 2
3
EAB

= , 2
9
BCD

= , ABC CDF= , CBD CDB=
. Calcular la medida del ángulo ABC .












2. En la figura adjunta, el ángulo PRQ es igual a 2
 , QT = QV, PS = PV. Determine la medida
del ángulo SVT.




15.4.3 TEOREMA

En triángulos de lados de igual medida o
proporcionales se oponen ángulos de igual
medida.
¡DEMUÉSTRELO!

15.4.4. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para determinar si dos triángulos son congruentes o semejantes,
bastará con:

CRITERIO 1: Comprobar que tienen dos ángulos de igual medida
(semejantes) y un lado de igual medida
(congruentes).

CRITERIO 2: Comprobar que tienen un ángulo de igual medida y
dos lados de medidas proporcionales (semejantes) o
dos lados de igual medida (congruentes).
A B C D E F

421. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
422
CRITERIO 3: Comprobar que tienen tres lados de medidas
proporcionales (semejantes) o tres lados de medidas
iguales (congruentes).

Ejemplo 1
Referente al gráfico: 12==BCAB , CDEBDC= , 16=BD , 8=CE
Hallar DE












SOLUCIÓN:
Primero ubicamos los datos en el gráfico.
Se observa que:
• El triángulo ABC es isósceles, por tanto los ángulos adyacentes son de igual medida (una raya).
• El ángulo BCA es de igual medida que el ángulo CDE por ser opuestos por el vértice.
• El triángulo ABD es semejante al triángulo CDE debido a que tienen sus ángulos interiores de igual
medida.














POR TANTO, HACIENDO SEMEJANZA: 3
32
12
8
16
== x
x

Ejemplo 2
Referente al gráfico: 2=AD , 2
3
=EC , 2
1=EF , 0
90BDF BEA =  =
Hallar DF













A B C D E
A B C D E 12 12 16 8 x
A B C D E F

422. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
423
SOLUCIÓN:
Primero ubicamos los datos en el gráfico.
Se observa que AFD es de igual medida que el CFE
Entonces el triángulo ADF es semejante al triángulo CEF debido a que tienen sus ángulos interiores de igual
medida.














POR TANTO, HACIENDO SEMEJANZA: 3
2
2
2
3
2
1
== x
x
Ejemplo 3
En el triángulo de la figura: 12=AB , 15=AC , 15=BC , BCMN// , 4=MN . Hallar NC
.













SOLUCIÓN:
Ubicando los datos en la figura, se observa que el triángulo ABC es semejante al triángulo AMN.














Aplicando semejanza: 4
15
4
15
== y
y (Aunque ya se podría predecir este valor. ¿Por qué?
Ahora: 1141515 =−=−== yNCx A B C D E F 2 2
3 2
1 x
A B C M N
A B C M N 4 12
15
15
y
x
/
/

423. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
424
Ejercicios Propuestos 15.3
1. En la figura adjunta, RS es la altura correspondiente al lado PQ, PT es la altura
correspondiente al lado RQ, PQ = 8, RS = 9 y PT = 6. Determine la longitud de QR.















2. Si se tiene el triángulo ABC y el segmento MN es paralelo al segmento AB, entonces la
distancia ‘x’ es igual a:





3. Referente al gráfico adjunto, se tienen los siguientes datos:
AB = AD + 10, EC = 12, AC = 20, EF = FC,  BAC =  EAD.
Determine la longitud del lado AD. .

424. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
425
15.4.5 RESOLUCIÓN DE TRIÁN GULOS
La resolución de un triángulo consiste en establecer las medidas de
todos sus lados y ángulos. Para lo cual existen procedimientos diferentes
dependiendo si el triángulo es rectángulo o si es un triángulo cualquiera.

15.4.5.1 Triángulo rectángulo
Si tenemos un triángulo rectángulo:






Para determinar la medida de uno de sus lados conociendo las medidas
de los otros dos lados podemos hacer uso del Teorema de Pitágoras, es
decir que 222
bac += de donde:

22
22
22
acb
bca
bac
−=
−=
+=

Si conocemos al menos la medida de dos de sus lados podemos hacer
uso de las funciones trigonométricas para los ángulos agudos A y B :
c
a
A=sen c
b
B=sen
c
b
A=cos c
a
B=cos
b
a
A=tg a
b
B=tg
Puede ocurrir también que si conocemos las medidas de los ángulos y
la medida de un lado entonces, podemos emplear las funciones
trigonométricas anteriores para determinar las medidas de los otros
lados.
Para problemas de aplicaciones, las siguientes definiciones resultan
útiles.

425. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
426

Suponga que desde el suelo observamos hacia la cúspide de una torre







Al ángulo "x " se lo llama "Angulo de elevación"

Si cambiamos la óptica, suponga ahora qu e hacemos la observación
desde la cúspide de la torre hacia un objetivo en el suelo.









Entonces al ángulo "y " se lo llama "Angulo de depresión"

Ejercicio resuelto 1
Desde un punto O, el ángulo de elevación a la cúspide de una torres es de 45°. Alejándose
100m el ángulo de elevación es de 30°. Determinar la altura de la torre.
SOLUCIÓN:
Un esquema del planteamiento del problema sería:








La altura "x " de la torre se la determina empleando funciones trigonométricas para los ángulos
de los triángulos que se forman:

426. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
427

Para el triángulo:




Por otro lado:





Por lo tanto:



Ejercicio resuelto 2
Una chimenea tiene 30m. de altura más que otra. Un observador que está a 100m. De
distancia de la más baja observa que sus cúspides están en una recta inclinada respecto al
horizonte un ángulo de º30 ; hállese las alturas de las chimeneas.
SOLUCIÓN:
Un esquema del planteamiento del problema es:












Aplicando funciones trigonométricas a los ángulos del triángulo rectángulo que se forma, tenemos:










15.4.5.2 Triángulo en general
Si tenemos un triángulo cualquiera



Dependiendo de la información que dispongamos
podemos hacer uso de las siguientes leyes:
( )
33
3100
310033
333100
31003
1003
3
−
=
=−
=+
=+
+
=
x
xx
xx
xx
x
x
yx
y
x
y
x
==
=
1
45tg


mxh
x
x
3
3100
30tg100
100
30tg
==
=
=


mH
H
xH
3
903100
30
3
3100
30
+
=
+=
+=
y
x
y
x
+
=
+
=
1003
3
100
30tg


427. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
428

Ley del Seno
c
C
b
B
a
A sensensen
== ¡DEMUÉSTRELA!
Ley del Coseno
Cabbac cos2
222
−+=
Abcbca cos2
222
−+=
Bacacb cos2
222
−+= ¡DEMUÉSTRELA!
Ejercicio resuelto 1
Sea un triángulo ABC tal que 105A= , 60C= , 4=b . Encuentre las medidas de
los lados c y a y la del ángulo B
SOLUCIÓN:
Esquematizando la información, tenemos:







La medida del ángulo B sería: 180
180 60 105
15
B C A
B
B
=  − −
=  −  − 
=
Obtengamos 15sen y 105sen :










Aplicando la ley de los senos determinamos las medidas de los lados "c" y "a":


















Piense cuál sería el procedimiento para resolver el problema, aplicando la ley de los cosenos. ( )13
4
2
2
3
4
15sen
60sen4
15sen
4
60sen
sensen
−








=
=
=
=
c
c
c
B
b
C
c



( )13
4
2
15sen
2
1
2
2
2
3
2
2
30sen45cos30cos45sen
)3045sen(15sen
−=














−
















=
−=
−=



( )
( )
( )
( )13
134
13
4
2
13
4
2
4
15sen
105sen4
sen
sen
sensen
−
+
=
−








+








=
=
=
=
a
a
a
B
Ab
a
B
b
A
a

( )13
4
2
2
2
2
1
2
2
2
3
45sen60cos45cos60sen
)4560sen(105sen
+








=














+
















=
+=
+=



428. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
429

Ejercicio resuelto 2
Sea un triángulo ABC tal que 5,35,5 === cba . Encontrar las medidas de los ángulos
internos.
SOLUCIÓN:
Esquemáticamente tenemos:




Aplicando la ley del coseno:










La medida de uno de los otros dos ángulos, se la puede determinar aplicando también la ley del
coseno o aplicando la ley de los senos.
Aplicando la ley de los senos: a
A
c
Csensen
= tenemos:==

=
=
30
2
1
sen
5
5
30sen
sen
sen
CC
c
a
A
C
Este último resultado también lo podemos obtener directamente. Observe que el triángulo es
isósceles, por tanto sus ángulos adyacentes son iguales.
La medida del tercer ángulo se lo obtiene por diferencia, es decir:
180 30 30
120
B
B
=  −  − 
=



Ejercicio resuelto 3
Los ángulos internos de un triángulo cuyos lados miden: ( );13;2;2 mcmbma −===
son:
a) 
60;75;45 === CBA
b) 
75;45;60 === CBA
c) 
105;60;15 === CBA
d) 
15;135;30 === CBA
e) 
30;45;150 === CBA
SOLUCIÓN:
Semejante al problema anterior, conocemos las medidas de todos los lados del triángulo.


()()()
()
()
()

30
2
3
cos
35)5(2
35
cos
35)5(2
5355
cos
2
cos
2
2
2
2
222
==
=
−+
=
−+
=
AA
A
A
bc
abc
A

429. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
430

a
2
13+
a











Aplicamos ahora la ley del seno para encontrar la medida del ángulo A, aunque también la
podemos encontrar con la ley del coseno




Finalmente, nos queda:









Ejercicios propuestos 15.4
1. En el triángulo de la figura, el valor de la medida del ángulo  es:
a) º30
b) º75
c) º45
d) º90
e) º60



2. Los lados de un triángulo miden respectivamente: 6;2;13 ==+= cba . Entonces los ángulos
interiores del triángulo son:
a) 30º, 50º, 100º
b) 15º, 45º, 120º
c) 15º, 75º, 90º
d) 45º, 60º, 75º
e) 45º, 30º, 105º
3. En un triángulo ABC los ángulos A y B miden 30 y 135 respectivamente, y el lado AB es de 100 m.
Determine la longitud de la perpendicular trazada desde el vértice C al lado AB prolongado.



()( )
()( )
()( )
( )
()( )

135
2
2
cos
1322
132
cos
1322
413232
cos
1322
4132
cos
2
cos
22
222
=
−=
−
−−
=
−
−+−+
=
−
−−+
=
−+
=
B
BB
B
B
ac
bca
B
==
==
=
=
=
30
2
1
sen
4
2
2
2
2
2
sen
2
135sen2
sen
sen
sen
sensen
AA
A
A
b
Ba
A
b
B
a
A


La medida del ángulo C la encontramos por
diferencia de ángulos:
180 135 30 15C= − −  = 

430. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
431
15.4.6 PERÍMETRO Y AREA DE UN TRIÁNGULO
Sea un triángulo ABC . Cualquiera de los tres lados se definen como
bases del triángulo. Como altura (h) del triángulo se define a la longitud
de la perpendicular trazada desde un vértice hacia una de sus bases o a
la prolongación de estas bases:








Por lo tanto:

Perímetro = cba++





Para triángulos particulares, tenemos:









Observe que en los triángulos anteriores se cumple que:
Ach
c
h
A sensen ==
Por tanto: 2
sen
2
´ Abchb
A =

=

Conociendo la medida de uno de sus ángulos interiores y las medidas
de los lados que constituyen a este ángulo, el área sería:





Los triángulos son polígonos básicos, porque los demás polígonos
pueden ser divididos en triángulos, lo cual permite resolver otras
situaciones.



Area 2222
321
hahchbalturaBase 
=

=

=

=
Área2
hb
=
Área2
sen
2
sen
2
sen BacCabAbc
===

431. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
432
Ejemplo 1
En la figura adjunta RS es la altura correspondiente al lado ,PQ PT es la altura
correspondiente al lado ,RQ si 9,8==RSPQ y 6=PT , entonces la longitud QR es:
a) 3
16
b) 16
3
c) 12
d) 4
27
e) 27
4
SOLUCIÓN:
Ubicando la información en el diagrama dado, tenemos:








El área del triángulo PQR se la puede determinar, en este caso, de dos maneras:
1. Tomando coma base a PQ entonces su altura sería RS , por tanto el área es:
2
)9)(8(
=A
2. Tomando coma base a RQ entonces su altura sería PT , por tanto el área es
2
)6(x
A=
Finalmente igualando las áreas2
)6(
2
)9)(8( x
A == entonces: 12
726
=
=
x
x
RESPUESTA: Opción "c"

Ejemplo 2
El triángulo ABC es equilátero de lado 5=l . Si 1
l y 2
l son rectas paralelas. Hallar el valor
del área del triángulo ABD.













SOLUCIÓN:
Ubicando los datos en el gráfico, se observa que los triángulos ABC y ABD tienes la misma base y
la misma altura, por tanto tendrán la misma área, entonces: A B C D 1
l 2
l

432. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
433










2
4
325
60)5)(5(
2
1
usenABCAreaABDArea ===




Ejemplo 3
Calcular el valor del área del triángulo ABC si 8=BD y 2=CD










SOLUCIÓN:
Ubicando los datos en el gráfico.










Tomamos como base 10=BC .
Determinamos h. considerando que el triángulo ABD es semejante al triángulo ADC: 416
2
8
2
=== hh
h
h

Finalmente: ()()
2
20
2
410
uABCArea ==


Ejemplo 4
En la figura adjunta, q es un triángulo isósceles de área igual a 6; t es un triángulo
equilátero de lado de medida igual a 2. Entonces la medida de la hipotenusa del triángulo p
es igual a:
a) 6
b) 3
c) ( )133− A B C D 1
l 2
l 5 5 h h 5
60
A B C D
A B C D 8 2 h

433. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
434
d) 3
e) 36
SOLUCIÓN:
Interpretando la información proporcionada, tenemos:







El área del triángulo "q" es: 6
2
))((
==
xx
A
q entonces:32
12
12
6
2
2
2
2
=
=
=
=
x
x
x
x
"y " es la altura del triángulo equilátero "t", entonces3=y
Y para el triángulo "p" tenemos: 6
2
3
33
60sen
33
33
60sen
332
60sen
==
=
=
+
=
+
=
ll
l
l
ll
yx




RESPUESTA: Opción "a"





Ejercicios Propuestos 15.5
1. Un triángulo cuya hipotenusa mide 85 cm. es tal que, al aumentar la longitud de uno de sus
lados en 11 cm. y al disminuir la longitud del otro en 7 cm., la longitud de la hipotenusa no se
altera. Encuentre las medidas de los lados del triángulo.
2. En el triángulo, MN || BC, AB = 6, BC = 15, MN = 9. Determine per( )
per( )
ABC
AMN



434. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
435

3. Sobre el lado AB del cuadrado ABCD se construye un triángulo equilátero AEB y se unen los
puntos E y D. Si AD = 1, calcular el área del triángulo DAE y la longitud AG.







.







4. Dado el triángulo ABC , y los puntos medios D , E , F son los puntos medios de los
lados del triángulo. Determine la relación: Area
Area
DEF
ABC



5. La esquina inferior derecha de una página se dobla hasta alcanzar el lado mayor izquierdo,
como se muestra en la figura. Si el ancho de la página es 6 cm. y 30A= , determine la
longitud ‘L’



6. Calcular el área de la región sombreada, si el cuadrado ABCD tiene lados de longitud "a" y los
puntos P y Q son puntos medios de los lados del cuadrado.












7. Si P es un triángulo con vértices 1
P , 2
P y 3
P y Q un triángulo semejante a P con vértices 1
Q
, 2
Q y 3
Q tal que k
QQ
PP
QQ
PP
QQ
PP
===
13
13
32
32
21
21 , demuestre que QP
AkA
2
= .

8. En la figura adjunta se tiene el cuadrado BDEF se conoce además que AB= 5, BC=2, entonces
el área de la región sombreada es:

a) 9/60
b) 10/3
c) 10/9
d) 80/9
e) 4/3

435. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
436




9. En el gráfico adjunto 30= y 45

= , 3BC= , 8CE= el área de la región sombreada es:
a) 3 6 2+
b) ( )3 2 3 1−
c) ( )3 2 3 4+
d) 62+
e) 23+





10. Sea el triángulo equilátero ABC de lado “a” (ver figura), se define a partir de cada vértice sobre
los lados y en el mismo sentido una longitud “x”, uniéndose los puntos obtenidos. Entonces un
posible valor que toma “x” para que el área del triángulo DEF sea la tercera parte del área del
triángulo ABC, es:
a) a
b) 2
a
c) 4
a
d) 2a
e) 3
a

436. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
437
15.5 CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Entre los más
conocidos, tenemos:

Rectángulo






Cuadrado






Paralelogramo






Trapecio








Ejercicios Propuestos 15.6
1. Si un triángulo equilátero tiene igual perímetro que un cuadrado, entonces es verdad que:
a) El área del triángulo es igual que el área del cuadrado.
b) El lado del cuadrado es más grande que el lado del triángulo.
c) El área del cuadrado es mayor que el área del triángulo.
d) La diagonal del cuadrado tiene igual longitud que la altura del triángulo.
e) El lado del cuadrado es mayor que la altura del triángulo.

2. Encuentre el perímetro y la diagonal de un cuadrado cuya área es la tercera parte del área de
un cuadrado de lado igual a 9 cm.

3. Si se aumenta .2m al lado de un cuadrado, su área aumenta en 2
36m . El lado del
cuadrado inicial es:
a) .4m b).6m c).8m d).16m e).32m



Áreahb=

Área2
l=

Área2
)( hbB +
=
Áreahb=

437. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
438
4. En el gráfico, AB DE , ( )130m ABH= , ( )120m DCH= . El valor de la medida del
ángulo “x” es:
a) 40
b) 80
c) 45
d) 30
e) 60





15.6. FIGURAS CIRCULARES

15.6.1 CIRCUNFERENCIA

La circunferencia ya fue definida como lugar geométrico en el
capítulo de cónicas, se trata ahora de definirla como una figura plana.

Sea r
+
 y 0
P un punto de un plano  . La
circunferencia se define como el conjunto
de puntos P del plano  tales que la
distancia de los puntos de P a 0
P es igual a r
. Es decir:
() rPPdPC ==
0,/








La longitud de la circunferencia está dada por:


¡JUSTIFÍQUELA!




Perímetrorl==2

438. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
439
15.6.2 CÍRCULO

El círculo es la unión de los puntos de la
circunferencia con los puntos de su
interior. Es decir:
() 
0
/,Círculo P d P P r=  

El área del círculo está dada por: ¡JUSTIFÍQUELA!


15.6.2.1 Posiciones relativas entre una recta l y una
circunferencia C
1. l y C no se intersecan. En tal caso, no tienen punto en común
y a l se la denomina recta externa.











2. l y C se intersecan en un punto. En tal caso a l se la
denomina recta Tangente.










3. l y C se intersecan en dos puntos. En tal caso, a l se la
denomina recta secante.







Área2
r= 0P l
0P l A B
0
P l r

439. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
440
Al segmento de recta desde el punto A al punto B ,AB , se le denomina
CUERDA. Al segmento de circunferencia del punto A al punto B ,AB , se
le denomina ARCO.

Si la recta secante pasa por el centro, a la cuerda se le denomina
diámetro.


15.6.2.2 Angulo central y Angulo inscrito
En la figura, al ángulo CAP
0 se le denomina ángulo central. Al ángulo ABC
se le denomina ángulo inscrito










Teorema

La medida del ángulo central es el doble de la
medida del ángulo inscrito.


Ejercicios Propuestos 15.7
1. En la figura adjunta, la cuerda AB es igual al radio del círculo, y la cuerda BC es igual a 2r .
Determine la medida del ángulo D.













2. La longitud de la circunferencia centrada en 0
P es:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 18
e) 11

0P A B C

440. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
441
3. En el gráfico adjunto, los arcos MN, NP, y PQ tienen la misma longitud y O es el centro de la
circunferencia. Determine la medida del ángulo PRQ.



4. En la figura adjunta, se muestran dos triángulos inscritos en una circunferencia, con la medida
de sus respectivos lados, si PQ es el diámetro, determine 22
ba+ .





15.6.2.3. Polígonos regulares inscritos y circunscritos a
circunferencias

Al inscribir polígonos regulares en circunferencias se obtienen
resultados interesantes en relación del lado del polígono con el radio de
la circunferencia.

Ejemplo 1
Obtener la relación entre el lado l de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio r

SOLUCIÓN:











Del triángulo rectángulo OAB, observe la figura, tenemos:
330230
2
rlrCosl
r
Cos
l
===



120 
30 r r l l 2
l r O O A B

441. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
442
Ejemplo 2
Obtener la relación entre el lado l de un cuadrado inscrito en un círculo de radio r
SOLUCIÓN:












Del triángulo rectángulo OAB, observe la figura, tenemos:
245245
2
rlrCosl
r
Cos
l
===


Ejemplo 3
Obtener la relación entre el lado l de un hexágono inscrito en un círculo de radio r

SOLUCIÓN:












Del triángulo rectángulo OAB, observe la figura, tenemos:
2
60 2 cos60
l
Cos l r l r
r
=  =  =

15.6.3 SECTOR CIRCULAR
Un sector circular es una porción de un círculo.







La medida del arco “S” está dada por:


El área del sector circular está dada por:


Área()
2
2
1
r= rS=
r l l 2
l r 
45 O A B
l 2
l r r 
60 O A B

442. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
443
15.6. 4 CORONA CIRCULAR











Ejercicio resuelto 1
Hallar el área de la región sombreada de la figura:











La región anterior se la denomina segmento circular.

Ejercicio resuelto 2
El triángulo ABC es equilátero, .12cmOA= Determine el área de la parte sombreada.
a) 2
32.245cm
b) 2
32.265cm
c) 2
32.345cm
d) 2
32.365cm
e) 2
32.325cm

SOLUCIÓN:
Ubicando la información en la figura dada:









El área de la región sombreada es: triángulocírculo
AAA −=

()() 
2
2
2
1
rrA −=


Área sombreadaA= sector circular A− triángulo 

sen
2
1
2
1
2
2
rA
rA
=
=


( )−=
−=
sen
2
1
2
rA
AAA
tsc

443. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
444

El área del círculo es: 


144
)12(
2
2
=
=
=
círculo
círculo
círculo
A
A
rA
Para hallar el área del triángulo, primero necesitamos hallar la longitud de su lado
312
2
3
24
30cos24
2
30cos12
12
2
30cos
=








=
=
=
=
l
l
l
l
l



Entonces: ()
3108
2
2
3
)3(144
2
60sen312
2
=
=
=
triángulo
triángulo
triángulo
A
A
A


Por lo tanto: 2
32.265
3108144
cmA
A
=
−=
RESPUESTA: opción "b"


SEGUNDO MÉTODO

Podemos plantear el problema rápidamente por segmento circular:











El área total sería tres veces el área del segmento circular mostrado, es decir: ()( )() ()()
2 2 2
3231
.. 2 3 2 2
3 3 12 120 12 12
T Seg Circ
A A sen

= = − = −



Por lo tanto: 2
32.265
3108144
cmA
A
=
−=


120 12 12

444. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
445
Ejercicio resuelto 3
Si O y ´O son los centros de las circunferencias de radio igual a 1. Hallar el área de la
región sombreada.








SOLUCIÓN:
Marcando los radios en la región sombreada:








Se observa que el área de la región buscada es el doble del área del segmento circular de radio 1
y ángulo de 
120 . Es decir:










 ( ) 
2
3
333
22
2
1
22212 −=−=−=

 sensenrA

Ejercicio resuelto 3
Si O , ´O y ´´O son los centros de las circunferencias de radio igual a 1. Hallar el área de la
región sombreada.







SOLUCIÓN:
Marcando los radios en la región sombreada




O ´O 1=r 1=r
O ´O 1 1 1 1 1 
60 
60
O ´O 1 1 
120
O ´O ´´O
O ´O ´´O 1 1 1 
60

445. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
446
Se observa que el área de la región sombreada buscada, es igual al área del triángulo equilátero ´´´OOO
más tres veces el área del segmento circular de radio 1 y ángulo 
60 . Es decir:
 
2
3
2
)()1(360)1)(1(
33
2
2
1
2
1
−=−+=


sensenA



Ejercicio resuelto 4
Si O el centros de las circunferencia de radio igual a R . Hallar el área de la región
sombreada.






SOLUCIÓN
El área buscada sería el área del hexágono menos el área del sector circular de radio 1 y ángulo
de 
120







El área del hexágono sería:
2
2
32
2
1
2
1
2
33
3)60)()(6( RRsenRRnlaA
h ====

El área del sector circular sería:
22
2
1
33
2
RRA
C

=





=
El área buscada sería:
222
32
33
32
33
RRRAAA
Ch








−=−=−=


Ejercicio resuelto 5
Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2=l , hallar el área de la región sombreada.











O R
O R a R 2
R 
60 
120
A B C

446. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
447
SOLUCIÓN:
La región sombreada es una corona circular, por tanto habrá que determinar los radios de las
circunferencias.












Recuerde que Rl3= entonces 3
l
R=

Ahora bien, en el triángulo rectángulo OAD: 32
2
3
1
30
2
l
r
l
rr
tg
l
===

Por lo tanto:
( ) 

 ===








−=−=
22
22
22
2
44123
l
ll
rRA


Ejercicios Propuestos 15.8
1. Si AB es el lado del hexágono regular y BC es el lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo centrado
en O, entonces el valor del ángulo B es:


2. En un círculo de radio ‘r’ se tiene inscrito un rectángulo de tal manera que la base del rectángulo es igual al
radio del círculo. Determine la medida de la altura del rectángulo.

3. El área del triángulo equilátero circunscrito a la circunferencia es 34 . Calcular el área del triángulo
OAB.












A B C R r 2
l 
30 l O D

447. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
448


4





a) b) c)
d) e)
4. Si el triangulo equilátero de la figura adjunta tiene un área total cuyo valor es 2
3a , calcule el área de la
región sombreada.













5. Si se conoce que la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de 27 m.,
determine el área del cuadrado circunscrito a la circunferencia.

6. Si el perímetro del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es de 9 cm., determine la longitud del
lado del triángulo equilátero circunscrito a la misma circunferencia.

7. En la gráfica se observan dos circunferencias concéntricas de radio interior ‘r’ y radio exterior ‘R’. Si el
segmento AB, que es tangente a la circunferencia interna, tiene una longitud de ‘a’ unidades, determine el
área de la corona circular.














8. El valor del área de la región sombreada de la figura adjunta es:
a) 2
)2425( cm−
b) 2
)1225( cm−
c) 2
)245.12( cm−
d) 2
)2425( cm+
e) 2
)245.2( cm−



9. El porcentaje de fracción 8
9
3
2
 está gráficamente representado por cualquiera de las siguientes figuras
sombreadas. Identifíquela.

448. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
449


10. Si el área del cuadrado ABCD es 2
16u y se divide en 16 cuadrados iguales, el área de la parte
rayada es:
a) 2
)4( u+
b) 2
4u
c) 2
)4( u−
d) 2
)43( u+
e) 2
)4( u−



11. Encuentre el área de la región sombreada de la figura en términos del radio r .











12. Si los lados del cuadrado ABCD miden .4cm Entonces el área de la parte sombreada de la figura es:
a) 2
16cm
b) 2
8cm
c) 2
16cm
d) 2
2cm
e) 2
4cm




13. En el triángulo equilátero de la figura adjunta se construyen seis arcos de circunferencia ubicando sus
centros en los vértices CBA,, o en los puntos medios de los lados FED,, . Entonces el área de la
región sombreada es:
a) ( )332
2
−a
b) 







−
2
33
2
a
c) ( )333
2
−a
d) 







−
2
23
2
a
e) 





−
2
3
2
a
14. Si el diámetro de la circunferencia de la figura adjunta es .10cm y la longitud de la cuerda AB es 35
, entonces el área de la región sombreada es:
a) 





−
2
1
3
25

b) 







−
4
3
3
25

c) 3
25
d) 







−
4
3
3
100

e) 





−
2
1
3
100


a2

449. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
450

15. En la figura adjunta ABC es un triángulo equilátero y su lado mide .10cm ; MP, yN son los
puntos medios de cada lado; PNMN, y PM son arcos de circunferencia cuyos centros son los
vértices del triángulo. Entonces el área de la región sombreada es en centímetros cuadrados igual a:
a) 253100−
b) ( )25350
2
1
−





c) ( )253502 −
d) ( )253100
2
1
−





e) ( )25350
2
1
+








16. El perímetro de la región sombreada es:
a) ()2+
b) ()2+r
c) ( )2
2
+
d) ()2+
e) ()22+



17. En la siguiente figura:

ADCDBCAB ===
cmr4=

Entonces el área de la región sombreada es:
a) 32 cm2
b) 8 cm2
c) 5 cm2
d) 6 cm2
e) 16 cm2




18. El perímetro de la región sombreada es:
a) 3 cm
b) ( )13+ cm
c) 3 cm
d) ( )23+ cm
e) 4 cm




19. Calcular el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia externa es 2a.

450. Moisés Villena Muñoz Cap. 15 Geometría Plana
451
O P M N R Q

20. Determine el área de la región sombreada del gráfico adjunto, conociendo que la recta 3
l es
perpendicular a las rectas 1
l y 2
l , sobre ellas se grafica una circunferencia de radio a; luego se grafica
una segunda circunferencia de tal forma que es tangente a la primera circunferencia y tangente a las
rectas 2
l y 3
l .















21. La figura muestra un hexágono regular cuyo lado mide 5 cm. Si cada vértice se toma como centro para
construir arcos de circunferencia desde los puntos medios de cada lado: M, N, O, P, Q y R, ¿cuál es el
área de la superficie sombreada?












22. Si se tiene un polígono regular de n lados, donde la longitud de uno de sus lados es 2. Demuestre que la
medida de la apotema es 2
tg
2
n
n

 − 



23. Demuestre que el radio de la circunferencia que puede circunscribirse en un polígono regular de "n" lados,
donde la longitud de uno de sus lados es 2, está dado por 2
sec
2
n
n

 − 


24. Si P es un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r, demuestre que el área de P
es 





n
sennr
2
2
1
2
25. Sea A , B , C un triángulo cualquiera inscrito en una circunferencia de radio r . Demuestre que el área
del triángulo es 4
abc
A
r
= .








26. El área sombreada en la figura viene dada por:
a) 2
b) 5
9

c) 10
9

d) 9

e) 40
9


2
l 1
l A a 3
l
A B C a b c r

451. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
453


















16
16.1. SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA
16.2. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE
16.3. CUERPOS REDONDOS
16.4. SÓLIDOS DE REVOLUCIÓ N



Igual que la geometría Plana, existen superficies y sólidos del
espacio que se presentan en problemas reales, de ahí su
importancia para nuestro estudio.

452. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
454
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina superficies y sólidos.
• Determinar áreas de superficies.
• Determinar volúmenes de sólidos.

16.1 SUPERFICIE PRISMÁTIC A Y PRISMA
16.1.1 DEFINICIÓN
Suponga que se tiene una poligonal d y que
se trazan rectas paralelas a una recta dada g
siguiendo la poligonal; al conjunto de
puntos que pertenecen a estas rectas se
denomina SUPERFICIE PRISMÁTICA
INDEFINIDA.


















A la recta g se la llama generatriz y a la poligonal d directriz.
Observe que la superficie prismática sería la frontera.
En cambio PRISMA sería ya no considerar a la poligonal solamente
sino a su región interior también, es decir al polígono. Por tanto nos
estaríamos refiriendo al sólido.
Si consideramos la región limitada entre dos planos paralelos tenemos
un PRISMA DEFINIDO . Aquí surgen las siguientes definiciones. A los
polígonos de los planos se los denomina BASE. Si g es una recta g d P

453. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
455
perpendicular a los planos que contienen a las base, tenemos un Prisma
Recto definido. Caso contrario se lo llama Prisma Oblicuo. Nos
dedicaremos al estudio sólo de los Prismas rectos.



















Las definiciones que surgen para este cuerpo están ilustradas en el
dibujo anterior. La distancia entre las bases se denomina altura y se la
denota con la letra h .

16.1.2 ÁREA DE LA SUPERFICIE DE UN PRISMA

El área de la base, es el área de una figura plana, por lo general un
polígono, por tanto su cálculo se lo realiza igual que en geometría plana.
El área de la superficie lateral, se la determina hallando el área de
cada una de las caras laterales y luego habrá que sumarlas. Si la base es
un polígono, entonces las caras laterales son rectángulos y si el polígono
es regular, bastará con hallar al área de una cara y multiplicarla por el
número de lados.
El área total será igual a la suma del área lateral con el doble del área
de una de las bases. Es decir:
2
Total Lateral Base
A A A=+

16.1.3 VOLUMEN DE UN PRISMA

El volumen de todo prisma está dado por el producto del área de una
base por la altura. Es decir:
Base
V A h=
Base
Superior
Base Inferior
Cara Lateral
Aristah

454. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
456
Ejercicio propuestos 16.1.
1. Se necesita construir una piscina como se indica en la gráfica. Si el metro cúbico de agua tiene un costo de
1 dólar. ¿Cuánto gastaría en llenar la piscina? arctan10=
















16.2. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE

Sea un polígono convexo. Sea V un punto
tal que no pertenece al plano que contiene
al polígono. Se denomina SUPERFICIE
PIRAMIDAL O ÁNGULO POLIÉDRICO al
conjunto de puntos pertenecientes a
semirectas que tienen como origen a V y
que intersecan a la poligonal del polígono.

















V d
 m2 m20 m6 m1

455. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
457
Si las semirectas intersecan a todo el polígono, tenemos una región
sólida que se denomina Pirámide Indefinida. Si consideramos la región
superior de la superficie piramidal limitada inferiormente por un plano
que la corta tenemos una Pirámide Definida o simplemente una
pirámide de altura h, y si el pie de la altura de la pirámide equidista de
los vértices de la base tenemos una pirámide recta. Las definiciones se
ilustran en la figura.


















16.2.1 ÁREA DE LA SUPERFICIE PIRAMIDAL

La base es un polígono, igual que en los prismas, por tanto el área de
esta superficie se la determina de la misma forma como ya se ha
mencionado.
El área de la superficie lateral, se la determinada hallando el área de
cada una de las caras laterales y luego sumarl as. Si la base es un
polígono, entonces las caras laterales son triángulos y si el polígono es
regular, bastará con hallar al área de una cara y multiplicarla por el
número de lados.
El área total será igual a la suma del área lateral con el área de la
base. Es decir:
Total Lateral Base
A A A=+



16.2.2 VOLUMEN DE UNA PIRÁM IDE

El volumen de toda pirámide está dado por: 1
3
Base
V A h= V Base
Cara
Lateral
Aristah

456. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
458

Ejercicio propuestos 16.2
1. Hallar el volumen de una pirámide triangular en la que todos sus lados y aristas tienen la misma longitud l .

2. Determine el volumen del sólido que se muestra en la figura:













3. Encuentre el área de la superficie lateral de un tetraedro, cuyas caras laterales son congruentes, cuya
apotema mide el triple de la arista de la base y la circunferencia circunscrita a la base mide 24 cm.

4. Un recipiente sin tapa tiene la forma de una pirámide regular invertida, donde su altura mide 3 pies y su
base es un hexágono inscrito de una circunferencia de diámetro igual a 2 pies. Se desea pintar 100 de estos
recipientes por dentro y por fuera, para lo cual se utilizará pintura donde con un galón se puede pintar 470
pies cuadrados. Determine la cantidad de galones de esa pintura que se necesitarán para pintar los 100
recipientes.

16.3. CUERPOS REDONDOS

16.3.1 CILINDRO

El cilindro es un prisma circular, es decir sus bases son círculos. Las
dimensiones que lo definen es la medida del radio de su base y su altura.










La superficie lateral es un rectángulo, observe la figura:










Entonces, el área de la superficie lateral sería:
2
Lateral
A rh= h
r
hr2
a a 2a

457. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
459

Y su área total sería: ()
2
2 2 2
Total
A r rh r r h  = + = +

Su volumen sería hrV
2
=


16.3.2 CONO

El cono es una pirámide circular, es decir su base es un círculo.












Las dimensiones que la definen es el radio de su base y su altura.

La superficie lateral es un sector circular













Llamando g a la GENERATRÍZ del cono, observe la figura anterior, el
área de la superficie lateral sería: 21
2
Lateral
Ag =


Pero g
r

2
= entonces 212
2
Lateral
r
A g rg
g



==



hr
gr2 

458. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
460
Su volumen sería: hrV
2
3
1
=


16.3.3 SUPERFICIE ESFÉRICA

Sea C un punto del espacio y sea r un
número positivo. La superficie esférica es
el conjunto de punto tales que su distancia
a C es igual a r .
















16.3.3.1 ESFERA

La esfera, en cambio, es el conjunto de puntos
tales que su distancia al centro es menor o
igual a r .

La Esfera entonces es la región interior con su frontera.

El área de la superficie esférica es: 2
4rA=
Y su volumen es 3
3
4
rV=





C r

459. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
461
Ejemplo
Un cono recto está inscrito en una esfera de radio R y centro O . Si el volumen y
radio del cono es 3
12cm y cm3 respectivamente. Halle el área de la esfera.











SOLUCIÓN:
Como el área de la esfera es función del radio, entonces debemos encontrarlo.
Llamemos h a la altura del cono y r al radio de la base del cono. El radio es dato del
problema y la altura puede ser calculada debido a que nos proporcionan el valor del
volumen del cono.
() 43
3
1
12
3
1
2
2
==
=
hh
hrV
C


Ahora observe la figura:










Aplicando El teorema de Pitágoras al triángulo






Tenemos
()
()8
25
42
43
2
2
22
22
2222
222
=
+
=
+
=
+−+=
−+=
R
h
hr
R
RhRhrR
RhrR
Finalmente
2
2
16
625
8
25
4 cmA
E

 =





=


R O
O R r R Rh− h
R r Rh−

460. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
462
16.3.4 CONO TRUNCADO

Analicemos un tronco de cono.
















Note que: G
g
H
h
R
r
==

Su volumen es:
( )´
3
22
hrRrRV ++=
 ¡Demuéstrelo!

El área de su superficie lateral es:
()´grRA
L += ¡Demuéstrela!


Ejercicios Propuestos 16.3
1. Una esfera está inscrita en un cono y la longitud del diámetro de la base del cono es igual a la longitud de la
generatriz del mismo, los cuales miden 10 cm. Determine el volumen de la esfera.
2. Una esfera está situada dentro de un cilindro de manera que la altura y el diámetro del cilindro tienen la misma
dimensión que el diámetro de la esfera. Determine la relación entre el área de la superficie esférica y el área de
la superficie lateral del cilindro.
3. En una esfera de radio r se tiene inscrito un cilindro de tal manera que el diámetro del cilindro es congruente
con el radio de la esfera. Calcule la relación entre el volumen del cilindro y el volumen de la esfera.
4. Sean dos esferas concéntricas, con la característica de que la esfera externa se encuentra circunscrita a un
cono cuya generatriz mide 3 cm., y es igual en longitud al diámetro de su base; la esfera interna está inscrita en
el mismo cono. Determine el volumen del espacio entre las dos esferas.
5. Un globo esférico contiene originalmente 332
3
cm
 de aire. Luego de inflarlo más, se halla que su diámetro ha
crecido 2 cm. Determine el volumen de aire que se incrementó.
6. Un recipiente en forma de cono recto de 15 cm. de altura y radio ‘r’ tiene sus 8
27 partes llenas de helado,
determine la altura ‘a’ del helado.
r R g G h H hHh −=´ gGg −=´

461. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
463

7. En un cono circular recto donde el diámetro de la base y su altura miden 3m., se inscribe otro cono cuya altura
mide 2m. de manera que él vértice del cono inscrito coincide con el centro de la base del cono circunscrito.
Determine el volumen del cono inscrito.
8. Dos esferas tangentes externamente tienen radios de longitud iguala 8 cm. y 12 cm. respectivamente. Las
esferas están situadas sobre la superficie lisa de una mesa. Determine la distancia entre los dos puntos de
tangencia de las esferas con la mesa.
9. Si la longitud del radio de un cono recto aumenta en un 25% y la longitud de su generatriz disminuye en un 60%
, determine en qué porcentaje disminuye el área de la superficie lateral del cono.
10. En una caja cuya superficie corresponde a la de un paralelepípedo recto rectangular caben exactamente
seis latas cilíndricas de radio r . ¿Cuál es la razón entre el volumen de las seis latas juntas y el volumen de la
caja?





11. Una empresa necesita enlatar productos para exportación. Los requerimientos son los siguientes: el envase
debe ser cilíndrico con una capacidad de 3
400cm y un diámetro de longitud igual a cm15 . Si se desea
colocar una etiqueta adhesiva que recubra la superficie lateral externa, ¿cuánto material deberá utilizar en la
elaboración de 1000 latas?
12. Se tiene una orden de trabajo de 1000 cojinetes de bronce, los mismos que tienen la siguiente forma:





Sabiendo que en el proceso de fundición del bronce se tiene una pérdida del 10% del material fundente,
¿qué cantidad de bronce (3
cm ) hay que considerar en la fundición para obtener el número de cojinetes
que se desean?
13. Una esfera de radio r está inscrita en un prisma recto de base hexagonal, tal que la esfera es tangencial a
cada una de las caras laterales y a las bases. Determine la razón entre el volumen de la esfera y el volumen
del prisma



5cm 4cm 10cm

462. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
464
14. Determine el volumen de la pieza de acero que se muestra en la figura:












15. La diagonal mayor de un cubo que está lleno de 2
0H , mide 6 cm, si se introduce una esfera inscrita en el
cubo, entonces la cantidad de 3
2
0 H cm que no se derrama es igual a:
a) ( )2 3 3 2− b) ( )3 6 2− c) ( )23−
d) ( )4 3 6− e) ( )2 3 2−

16. Un globo esférico contiene originalmente 32
3
 dm
3
de aire. Luego de inflarlo más se halla que su diámetro
ha crecido en 2 dm. ¿Qué volumen de aire se aumentó?
a) 14 dm
3
b) 76
3
 dm
3
c) 8 dm
3

d) 85
6
 dm
3
e) 125
10
 dm
3



16.3 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓ N

Las figuras planas conocidas, como los triángulos, rectángulos y
circunferencias, pueden ser giradas con respecto a un eje y se generan
los sólidos de revolución. Estos sólidos serán cuerpos redondos.
Consideraremos sólo ejes verticales u horizontales.









r h
r h
r

cm8 cm8 cm2 cm4 cm1 cm2 cm2

463. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
465
Ejemplo 1
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región sombreada alrededor del eje y.















SOLUCIÓN:
Observe que al hacer girar 
360 la región sombreada alrededor del eje y , se forma un sólido compuesto
de un cono con un cilindro y en su interior hay un vacío de una esfera.

















Por tanto: cono cilindro esfera
V V V V= + −
Entonces
()()
3333322
7
3
4
8
3
1
3
4
22
3
1
aaaaaaaaaV  =−+=−+=


Ejemplo 2
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región sombreada alrededor del eje
indicado.












a3 a2 a a a2 x y
a a a2 a2
a3 a2 a a a2 x y

464. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
466
SOLUCIÓN:
El sólido generado está compuesto por un cilindro y un tronco de cono.















Por tanto:

()( )
333222
3
10
3
7
22
3
aaaaaaaaaaV 

 =+=+++=

Ejemplo 3
Sea R una región de 2 definida por 








+

0
0
6
4
y
x
yx
x
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar R alrededor del eje:
a) y b) x

SOLUCIÓN:
a) alrededor del eje y tenemos:















El sólido generado esta compuesto por un cono y un cilindro, entonces:
() ()
221 160
4 4 4 2
33
cono cilindro
V V V   = + = + =








b) Alrededor del eje x tenemos: x y 6=+yx 4=x 2 4 2 6 6
a a a2 a2

465. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
467























El sólido generado es un tronco de cono, entonces:
()()()()( )()

3
208
46622
3
22
=++=V



Ejercicios propuestos 16.4
1. Determine el volumen del sólido que se genera al girar la región sombreada alrededor del eje indicado.























2. En el trapecio de la figura, las longitudes de los segmentos AC y CE son respectivamente 2 m. y 1 m., la
medida del ángulo CAB es 4
 . La figura es rotada 360 alrededor del eje PQ. Calcular el volumen, y el
área lateral del sólido de revolución generado.









x y 6=+yx 4=x 2 4 2 6 6
cm2 cm4 cm5 cm3 cm4

466. Moisés Villena Muñoz Cap. 16 Geometría del Espacio
468
3. Al rotar una vuelta completa, la parte sombreada del gráfico adjunto alrededor del eje PQ, encuentre el
volumen del sólido generado.





4. Al rotar una vuelta completa, la parte sombreada del gráfico adjunto alrededor del eje PQ, encuentre su
volumen y su área lateral del sólido generado.

5. Determine el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por la semicircunferencia definida por la
ecuación 01264
22
=+−−+ yxyx , alrededor de la recta 3=y .

6. Sea R la región limitada por 1
2
1
0
yx
yx
y
y
−

−




Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar R alrededor del eje 2x= .

7. Sea R la región definida por () 
2
, / 0 5 2 4R x y y x x=    −    . Determine el volumen
del sólido que se genera al rotar R alrededor de:
a) eje x . b) la recta 4=x

8. Sea la región () 
2
, / 0 6, 0, 2 4 0, 2 12 0R x y x y x y x y=     − +  + −  . Determine el
volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor de la recta 6x= .

9. Con referencia a las regiones S y T, mostradas en el gráfico adjunto califique las siguientes proposiciones de
los numerales como verdadero o falso.

a) Al rotar la región S alrededor del eje CC’ se genera un cono de
revolución de radio 2 y altura1:
Verdadero Falso
b) El volumen del solido generado al rotar R=SUT alrededor del eje AA’
es 28
3

Verdadero Falso
c) El volumen del solido que se genera al rotar R=SUT alrededor del eje
AA’ es el mismo que se genera al rotar R alrededor del eje CC’:
Verdadero Falso
d) El sólido que se genera al rotar R=SUT alrededor del eje BB’ es el
mismo solido que si genera al rotar R alrededor del eje AA’:
Verdadero Falso
10. En la figura adjunta ABC es equilátero, al área que genera la superficie, rayada al girar alrededor del eje
AC, si el segmento AD es una bisectriz, es:
a) 3
3 16a
b) 3
3a
c) 3
16a
d) 3
64a
e) Ninguna de las anteriores


S
T

467. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

469

17
17.1 DEFINICIÓN
17.2 ENFOQUE GEOMÉT RICO
17.3 IGUALDAD
17.4 OPERACIONE S


Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos
vectores de 2 . Pero el interés ahora es ser más generales.

468. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

470
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
▪ Defina vectores en 23
, , ,
n .
▪ Opere (sume, reste, multiplique por escalares) Vectores en 23
, , ,
n .
▪ Defina y calcule norma de un vector,
▪ Defina vectores unitarios.
▪ Obtenga un vector unitario a partir de un vector dado.
▪ Exprese un vector en combinación lineal de otros vectores dados.
▪ Determine si dos vectores son paralelos.
▪ Calcule producto punto.
▪ Determine medida de ángulos entre vectores.
▪ Defina vectores ortogonales.
▪ Determine si dos vectores son ortogonales o no.
▪ Determine si un conjunto de vectores es ortonormal o no.
▪ Calcule proyección escalar y vectorial.
▪ Encuentre las componentes ortogonales de un vector.
▪ Encuentre el producto cruz entre dos vectores.
▪ Halle el área del paralelogramo sustentados por dos vectores.
▪ Encuentre el volumen del paralelepípedo sustentado por tres vectores.

17.1 DEFINICIÓN
Un vector de n es un conjunto
ordenado de n números reales, los
cuales son llamados componentes. Lo
denotaremos de la siguiente manera:
( )
12
, , ,
n
x x x=v
Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado (),xy , será un
vector de 2 . Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada ( ),,x y z
, será un vector de 3 .
Considerar a los vectores de 2 como pares ordenados o a los vectores
de 3 como ternas ordenadas, nos permite obtene r sus propiedades
algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una
representación del vector en el plano cartesiano para vectores de 2 o en
el sistema tridimensional para vectores de 3 .

17.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Un vector de 2 se lo representa en el Plano Cartesiano como un
segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos ()
1 1 1
,P x y y ( )
222
,yxP
. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde 1
P hacia 2
P
tenemos una representación del vector.

469. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

471
( )1 2 2 1 2 1
,vPP x x y y= = − −









Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes
en el plano cartesiano. Una representación equivalente útil es aquella
que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida
(Fig. 17.2)
Surgen características importantes cuando obtenemos una
representación geométrica de un vector. Características como la longitud
del segmento de recta y la medida del ángulo de inclinación de este
segmento.









17.2.1 MAGNITUD O NORM A
Sea (),xy=v un vector de 2 . La magnitud o
norma de v denotada como v , se define
como:
22
xy=+v
x y ()
1 1 1
,Pxy ( )
2 2 2
,Pxy 12
PP=v
x y (),xy=v  v

Fig. 17.1
Fig. 17.2

470. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

472
Ejemplo 1
Sea ()1,1=v , un vector de 2 , hallar v .
SOLUCIÓN:
Por definición: 22
1 1 2= + =v


Ejemplo 2
Sea ( )3, 1= − −v , un vector de 2 , hallar v .
SOLUCIÓN:
Por definición: ()()
2
2
3 1 3 1 2= − + − = + =v


Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
Para ( )2 1 2 1
,x x y y= − −v sería ( )( )
22
2 1 2 1
x x y y= − + −v

17.2.2 DIRECCIÓN
La dirección de (),xy=v está definida por la
medida del ángulo de inclinación de la línea de
acción del segmento de recta con respecto a
la dirección positiva del eje x; es decir, por el
ángulo  (fig. 1.2). Entonces:
arctan
y
x
=

Si el ángulo  es medido en sentido antihorario se lo dirá positivo,
caso contrario se lo considera negativo.

Ejemplo 1
Hallar la dirección de ()1,1=v .
SOLUCIÓN:
Por definición:
1
arctan
14

==
O También: 7
4

=−

471. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

473

















Ejemplo 2
Hallar la dirección de ( )3, 1= − −v .
SOLUCIÓN:
Por definición: 1
arctan 7
63


−
==
−

O También: 5
6

=−
















Para ( )2 1 2 1
,x x y y= − −v sería 21
21
arctan
yy
xx

−
=
−

-1 1
1
x
y 4
 7
4

−
-3 -2 -1 1
-1
1
x
y 7
6
 5
6

−

472. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

474
Para ( )2 1 2 1 2
,vP P x x y y= = − − tenemos:









La representación Geométrica para un vector de 3 sería análoga a 2
. Suponga que se tienen los puntos ( )
1 1 1 1
,,P x y z y ( )
2 2 2 2
,,P x y z . Si
trazamos un segmento de recta dirigido desde 1
P hacia 2
P tenemos una
representación del vector ( )
1 2 1 2 1 2 1
,,vPP x x y y z z= = − − −











Su representación con punto de partida el origen sería:








x y z v ( )zyxP,,
x y z v ( )
1111 ,,zyxP= ( )
2222 ,,zyxP=
x y ()
1 1 1
,Pxy ( )
2 2 2
,Pxy 21
PP=v

Fig. 17.3
Fig. 17.4
Fig. 17.5

473. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

475

La magnitud o norma de ( ),,x y z=v se
define como:
2 2 2
x y z= + +v

Para ( )2 1 2 1 2 1
,,x x y y z z= − − −v sería:

( )( )( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
x x y y z z= − + − + −v

La dirección de ( ),,x y z=v está definida por
la medida de los ángulo que forma la línea de
acción del segmento de recta con las
direcciones positivas de los ejes x , y , z













Los ángulos  ,  y  son llamados Ángulos Directores.
Observe que: 2 2 2
xx
Cos
x y z
==
++
v
2 2 2
yy
Cos
x y z
==
++
v
   x y z v

Fig. 17.6

474. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

476 2 2 2
zz
Cos
x y z
==
++
v


Ejercicio.
Demostrar que 1coscoscos
222
=++ 

Para más dimensiones no disponemos de in terpretación geométrica.
Pero podemos hacer generalizaciones.

Si ( )
1 2 3
, , , ,
n
x x x x=v un vector de n ,
entonces la norma de v se define como:
2 2 2 2
1 2 3 n
x x x x= + + + +v



17.3 IGUALDAD
Sean ( )
1
1 2 3
, , , ,
n
x x x x=v y ( )
2 1 2 3
, , , ,
n
y y y y=v
vectores de n . Entonces 12
=vv , si y sólo si:
( )( )( ) ( )
nnyxyxyxyx ==== 
332211



17.4 OPERACIONES
17.4.1 SUMA Y RESTA

Sean 1
v y 2
v dos vectores de n tales que ( )
1 1 2
, , ,
n
x x x=v
y ( )
2 1 2
, , ,
n
y y y=v ,
Entonces:
1. La suma de 1
v con 2
v , denotada como 12
+vv
, se define como:

475. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

477
( )
1 2 1 1 2 2
, , ,
nn
x y x y x y+ = + + +vv
2. La resta de 1
v con 2
v , denotada como 12
−vv
, se define como:
( )
1 2 1 1 2 2
, , ,
nn
x y x y x y− = − − −vv


Ejemplo
Sean ( )
1
5,2,1=−v y ( )
2
3,0, 2=−v , dos vectores de 3 , hallar 12
+vv y 12
−vv
SOLUCIÓN:
Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos: ( )
12
5 3, 2 0,1 ( 2)+ = − + + + −vv )1,2,2(−−=
( )( )
12
5 3, 2 0,1 ( 2) 8,2,3− = − − − − − = −vv



17.4.1.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Sea la representación, Fig. 17.7, para los vectores ()1 1 1
,xy=v y ( )2 2 2
,xy=v











Considerando una representación equivalente de 2
v de tal forma que
esté ubicado a continuación de 1
v , Fig. 17.8.






Fig. 17.7

476. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

478










Definiendo el vector ( )3 3 3
,xy=v , observe la figura anterior:
Ahora tenemos que ( )( )()2 3 1 3 1 3 3 1 1
, , ,x x y y x y x y= − − = −v
Por tanto 2 3 1
=−v v v ; es decir:
3 2 1
=+v v v
El vector de la diagonal mayor del paralelogramo que sustentan lo
vectores 1
v y 2
v es el vector suma de 1
v con 2
v .
Por otro lado, definamos el vector 4
v , fig. 17.9.









( )( )()
4 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1
, , ,x x y y x y x y= − − = − = −v v v

El vector de la diagonal menor del paralelogramo que sustentan lo
vectores 1
v y 2
v es el vector diferencia.
PREGUNTA: ¿Cómo se representaría 12
−vv ?.




Fig. 17.8
Fig. 17.9

477. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

479
Para 3 , el asunto es análogo, fig. 17.10.















17.4.1.2 PROPIEDADES

Sean 1
v , 2
v y 3
v vectores de n , entonces:
1. 1 2 2 1
+ = +v v v v la suma es conmutativa
2. ( )( )1 2 3 1 2 3
+ + = + +v v v v v v la suma es
asociativa
3. n
0 , n
v tal que +=v 0 v .
Donde ( )0,0, ,0=0 es llamado Vector Neutro
4. n
v ,()
n
 − v tal que ()+ − =v v 0
Donde ()−v es llamado Vector Inverso Aditivo de v


17.4.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

Sea  y sea ( )
12
, , ,
n
x x x=v un vector de n
. Entonces:
( )( )
1 2 1 2
, , , , , ,
nn
x x x x x x    ==v



x y z ( )
1 1 1 1
,,xyz=v ( )
2 2 2 2
,,xyz=v 12
+vv

Fig. 17.10

478. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

480
Ejemplo 1
Sea ( )5,2,1=−v un vector de 3 , hallar 3v
SOLUCIÓN: ( )( )3 3 5,2,1 15,6,3= − = −v



Ejemplo 2
Sean 1
v y 1
v dos vectores de 3 tales que: ( )
1
3,0, 2=−v y 2
( 5,2,1)=−v . Hallar el
vector 12
23=−v v v
SOLUCIÓN: ( )( )
( )
12
23
6,0, 4 15,6,3
21, 6, 7
=−
= − − −
= − −
v v v
v
v





17.4.2.1 ENFOQUE GEOMÉ TRICO
Si  y 2
v o 3
v , entonces:
1. Si 1 , el vector v representa un vector de mayor
magnitud que v .
2. Si 01 el vector v representa un vector de
menor magnitud que v
3. Si 1− el vector v representa un vector de mayor
magnitud y dirección contraria a v
4. Si 10−   el vector v representa un vector de
menor magnitud y dirección contraria a v


17.4.2.2 PROPIEDADES
1. ( )
1 2 1 2 1 2
,,
n
       + = +

v v v v v v
2. ( ),,
n
         + = +

v v v v
3. ()(),,
n
        = 

v v v
4. ,
n
       = 

v v v

Las demostraciones de las propiedades 1, 2 y 3 son fáciles de realizar
(no olvide hacerlas); veamos la demostración de la propiedad 4.

479. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

481
Sea  y sea( )1 2, 3
, , ,
n
x x x x=v , entonces:
()()() ()
( )
( )
22 2 2
1 2, 3
2 2 2 2 2
1 2, 3
2 2 2 2 2
1 2, 3
n
n
n
x x x x
x x x x
x x x x
    



= + + + +
= + + + +
= + + + +
=
v
vv
Veamos un ejemplo donde se emplea esta propiedad.

Ejemplo
Sea ( )50,20,10=−v hallar v .
SOLUCIÓN:
Se observa que ( )10 5,2,1=−v , entonces :
()
2
22
10 5 2 1 10 30= − + + =v

17.4.2.3 VECTORES UNITARIOS
Un vector u es UNITARIO si y sólo sí su norma
es igual a 1 , es decir: 1=u

Ejemplo
El vector ( )
11
22
,=u es unitario porque
()()
22
1 1 1 1 2
2 2 222
1= + = + = =u

Un vector v puede ser expresado de la forma =v v u por tanto
=
v
u
v

Ejemplo
Hallar un vector unitario u para el vector (1,2,3)=v
SOLUCIÓN:
Aplicando =
v
u
v tenemos:

480. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

482
(1,2,3)
14
1
(1,2,3)
14
1 2 3
,,
14 14 14
=
=

=


u
u
u comprobando 1 4 9
14 14 14
14
14
1
= + +
=
=
u
u
u


17.4.2.4 VECTORES PARA LELOS
Sean 1
v y 2
v dos vectores de n .
Entonces 1
v y 2
v son paralelos si y sólo
si el uno es múltiplo escalar del otro; es
decir:
12
k=vv

Observe lo siguiente.
Si ( )
1 1 2
, , ,v
n
x x x= y ( )
2 1 2
, , ,v
n
y y y= ; y si son paralelos
entonces
( )( )
( )( )
12
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , ,
, , , , , ,
vv
nn
nn
k
x x x k y y y
x x x ky ky ky
=
=
=

Por igualdad de vectores
1 1 2 2 nn
x ky x ky x ky=  =   =
O también:
12
12
n
n
x x x
k
y y y
= = = =
Se concluye que, cuando los vectores son paralelos, existe
proporcionalidad entre sus componentes .

Ejemplo
El vector ()1
3, 2=−v es paralelo al vector ()2
6, 4=−v porque 21
2=vv o también porque 2
2
4
3
6
=
−
−
=

481. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

483
Por otro lado. Note que cualquier vector de 2 , (),xy=v , puede ser
expresado en términos de los vectores ()1,0i= y ()0,1j=
()()(), 1,0 0,1v
ij
x y x y
xy
= = +
=+
Es decir, tenemos otra representación algebraica del vector.

Ejemplo
El vector ()2, 3=−v puede ser expresado de la forma 23=−v i j

Un vector de 3 , ( ),,x y z=v , puede ser expresado en término de los
vectores ()1,0,0=i ,()0,1,0=j y ()0,0,1=k
( )()()(), , 1,0,0 0,1,0 0,0,1v
v i j k
x y z x y z
x y z
= = + +
= + +
Ejemplo
El vector ( )2, 5,3=−v también se lo puede denotar de la forma 2 5 3= − +v i j k


Con lo anterior surge la siguiente definición


17.4.2.5 COMBINACIÓN LINEAL

Sean 1 2 3 n
, , , ,v v v v vectores de n . Una
Combinación Lineal de estos vectores es una
expresión de la forma:
1 1 2 2 3 3 n n
a a a a+ + + +v v v v
donde 1 2 3
, , ,...,
n
a a a a 

Observe que el resultado de la combinación lineal es otro vector de n
.

482. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

484
Ejemplo
Con los vectores ()
1
1,3=v y ()
2
5,2=v al formar la siguiente combinación lineal 12
32−vv
tenemos:
()
()()
()
12
3 2 3(1,3) 2 5, 2
3,9 10, 4
7,5
− = −
=−
=−
vv
El resultado el vector ()7,5=−v

También puede ser posible expresar un vector en combinación lineal
de otros vectores.

Ejemplo
Exprese y encuentre la combinación lineal del vector ()7,9=v en términos de ()
1
2,3=v
y ()
2
1,1=v
SOLUCIÓN:
La combinación lineal ()7,9=v en términos de ()
1
2,3=v y ()
2
1,1=v sería:
()()
12
7,9 2,3 (1,1)


=+
=+
v v v
Ahora, el objetivo sería determinar el valor de  y  .



=+
=+
93
72


Resolviendo el sistema, obtenemos: 2= y 3=
Por tanto:
()()
12
7,9 2 2,3 3(1,1)
=+
=+
v v v


Ejercicios propuestos 17.1
1. Sean ( ) ( ) ( )
1 2 3
1, 2,3 , 3,2,5 , 2, 4,1= − = − = −v v v . Calcular:
a) 12
−vv c) 1 2 3
−−v v v
b) 23
35+vv d) 1 2 3
2 4 7−+v v v
2. Dados los vectores 1 2 3
3,4, 2 3,4, 6 4, 1,5= − − = − = −v v v . Halle un vector 4
v tal que ( )
1 2 3 4
1,4,5+ + + = −v v v v

a)8,3,5−−− b)8,3,5−− c)8,3,5−−
d)8,3,5−− e)6,3,5−−−
3. Sean los vectores de 3 , ( )
1
2, 3,4=−v , ( )
2
2,3, 1=−v , ()
3
4,8,2=v , ()
4
1,0,0=v .
Entonces un vector v tal que 1 2 3 4
2− − + =v v v v v , es:
a)( )7,17, 4=−v b)()6,8,9=v c)()6,8,9=v
d)( )7,17,4=−v e)( )7, 17, 4= − −v

483. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

485
4. Sean los vectores ()
1
1,3,0=v , ()
2
2,3,1=v ( )
3
4, 1, 7= − −v , determine los valores de a y b
para que la combinación 3 1 2
ab=+v v v sea verdadera:
a)7.
3
20
== ba d) 3
13
.
3
14
=−= ba
b) 7.18 −== ba e) Elija esta opción si a y b no existe
c) 7.
3
20
−== ba
5. Dados los vectores ( ) ( ) ()( )
1 2 3
1, 2,2 ; 2, 2,0 ; 0,1,7 ; 2,5,3= − = − = = −v v v v ,
entonces para que se cumpla que 1 1 2 2 3 3
k k k+ + =v v v v ; el valor de 321
kkk ++ debe
ser:
a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2







17.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)

Sean ( )
1 1 2
, , ,
n
x x x=v y ( )
2 1 2
, , ,
n
y y y=v
vectores de n . El producto punto de 1
v y 2
v ,
denotado como 12
•vv , se define como:
( )( )
1 2 1 2 3 1 2 3
1 2 1 1 2 2 3 3
, , , , , , , ,
nn
nn
x x x x y y y y
x y x y x y x y
• = •
• = + + + +
vv
vv
Note que el resultado del producto punto es un número real.

Ejemplo 1
Si ()
1
3,1=v y ()
2
1,4=−v entonces
()()()()
12
3 1 1 4 3 4 1• = − + = − + =vv


Ejemplo 2
Hallar 12
•vv para ( )
1
3,0, 2=−v y 2
( 5,2,1)=−v
SOLUCIÓN:
12
12
12
12
(3,0, 2) ( 5,2,1)
(3)( 5) (0)(2) ( 2)(1)
15 0 2
17
• = − • −
• = − + + −
• = − + −
• = −
vv
vv
vv
vv

484. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

486
Ejemplo 3
Sean 1
v y 2
v dos vectores de n tales que: ( )
1
2,1,3, 1= − −v y ( )
2
3,0, 1,2=−v . Hallar 12
•vv

SOLUCIÓN:
12
12
( 2)(3) (1)(0) (3)( 1) ( 1)(2)
11
• = − + + − + −
• = −
vv
vv


17.4.3.1 PROPIEDADES
Sean 1
v y 2
v vectores de n . Entonces:
1. 1 2 2 1
• = •v v v v El producto escalar es conmutativo
2. ( )
1 2 3 1 2 1 3
• + = • + •v v v v v v v El producto
escalar es distributivo
3. ()() ( )
1 2 1 2
  • = •v v v v

Además, si ( )
12
, , ,v
n
x x x= entonces
( )( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2
, , , , , ,vv
n n n
x x x x x x x x x• = • = + + +
Por lo tanto 2
•=v v v o también =•v v v


3.4.3.2 ENFOQUE GEOM ÉTRICO
Suponga que  es el ángulo que forman entre si los vectores 1
v y 2
v .






Consideremos el triángulo:







Fig. 17.11
Fig. 17.12

485. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

487
Aplicando la ley del coseno, tenemos:
2 2 2
2 1 1 2 1 2
2 cos− = + −v v v v v v
Aplicando propiedades y simplificando:
( )( )
2 1 2 1 1 1 2 2 1 2
2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2
1 2 1 2
2 cos
2 cos
2 2 cos
v v v v v v v v v v
v v v v v v v v v v v v v v
v v v v



− • − = • + • −
• − • − • + • = • + • −
− • = −
Finalmente, resulta que:
1 2 1 2
cos•=v v v v

De aquí podemos calcular el ángulo entre dos vectores.

Ejemplo
Hallar el ángulo  que forman los vectores ()1
1, 3=v y ( )2
3, 1= − −v
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad tenemos:
()( )
()( )
()()
12
12
1, 3 3, 1
3 3 2 3 3
cos
2 2 4 2
1, 3 3,1

• − −
• − − − −
= = = = =
−
vv
vv
Por tanto: 6
5
2
3
arccos

=







−
=

Ejercicio Propuesto 17.2
1. Dados los vectores: ( )
1
1,2, 1=−v y ()
2
2,1,0=v el resultado de la operación: ( )( )
1 2 2 1
3 2 2− • −v v v v

es:
a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -18
2. Sean los vectores de 3 , ( )
1
1,2,1=−v , ( )
2
1, 2,1= − −v y ( )
3
0, 1,0=−v . Entonces el valor de ( ) ( )
2
1 2 2 1 2 3
22• −  + • 

v v v v v v

a)( )0,24,0− b)-24 c)( )0,0,24 d)12 e)24

3. Sean 1
v , 2
v vectores de 2 , tales que: ()
1
5,2=v y ()
2
7, 2=−v . Entonces un vector 3
v tal
que: 13
38•=vv y 32
34•=vv es:
a)()
3
4,6=v b)()
3
6,9=v c)()
3
6,4=v
d)()
3
6,0=v e)()
3
4,9=v
4. Sean 1
v , 2
v y 3
v vectores de 3 tales que: ( )
1
3, 2,1=−v , ( )
2
5,1,0=−v y ( )
3
0,4,0=v .
Entonces al efectuar la operación
( )( )
22
1 1 2 2 3 3
3 4 6 2− • − • −v v v v v v
se obtiene como resultado:
a) 54 b) 110 c) 84 d) 184 e) 52

486. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

488

5. La medida del ángulo definido entre los vectores 1
cos sen
66
v i j

=+ y 2
33
cos sen
44

=+v i j
es:
a) 2
 b) 3
 c) 4
 d) 6
 e) 7
12

6. Sean 1
v , 2
v vectores de 3 tales que 1
5v= y 2
3v= . Si el ángulo de separación entre ellos
es de 3 entonces el valor de 12
vv+ es:
a) 8 b) 5 15− c) 8 2 15+ d) 15 15+ e) 8 15+

7.


17.4.3.3 VECTORES ORTO GONALES
Sean 1
v y 2
v dos vectores de n . Entonces 1
v y 2
v
son ortogonales si y sólo si 12
0•=vv

Ejemplo
Los vectores 1
(1,2, 1)=−v y 2
( 3,2,1)=−v son ortogonales, porque
12
(1)( 3) (2)(2) ( 1)(1) 0• = − + + − =vv



El hecho de que 12
0•=vv significa que el ángulo entre ellos tiene
medida de 
90 , es decir 2

= . ¿Porqué?
En este caso se dice que 1
v y 2
v son vectores perpendiculares.









Este concepto puede ser utilizado en problemas de diseño, como el
siguiente:




Fig. 17.13

487. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

489
Ejemplo
Dados los vectores ( )
2
1
1,2,3a=−v y ( )2
5
2, ,
24
a= − −v , encontrar los valores de "a "
para que sean ortogonales.
SOLUCIÓN:
Para que 1
v y 2
v sean ortogonales se debe cumplir que 12
0•=vv , entonces:
( )
22 55
12 24 8
1,2,3 ( 2, , ) 2 2 2a a a a• = − • − − = − + − +vv
Por lo tanto
4
3
4
7
0211616
022
2
8
212
=−=
=−+
=+−−
aa
aa
aa



17.4.3.4 VECTORES ORT ONORMALES
Los vectores 1 2 3 n
, , , ,v v v v de n son
ORTONORMALES si y sólo si:
1 cuando
0 cuando
ij
ij
ij
ij
• = =

• = 
vv
vv

Es decir, un conjunto de vectores es ortonormal si y sólo si está
constituido por vectores que son unitarios y ortogonales a la vez.

Ejemplo 1
Los vectores ()1,0=i y ()0,1=j son ortonormales porque 1=i , 1=j y 0•=ij

Ejemplo 2
Los vectores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)= = =i j k son ortonormales, porque 0• = • = • =i j i k j k
y además 1= = =i j k

488. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

490
Ejercicios Propuestos 17.3
1. Sean 1
v y 2
v vectores en 3 , tales que 1
2,1,1=v y 2
1,1,1=v . Una de las siguientes
proposiciones es VERDADERA identifíquela:
a) 1
v y 2
v son ortogonales.
b) 1
v y 2
v son paralelos.
c) 21
2 3 3 2−=vv
d) 21
2 3 1,0, 1− = −vv
e) 21
2 3 3−=vv
2. Sea los vectores de:( )
1
, 3, 1kk=−v y ( )
2
3, 1,k=−v . Determine los valores de k tales que 1
v y 2
v
sean ORTOGONALES.
a) 3 y 1 b) 3 y -1 c) -3 y -1 d) -3 y 1 e) 0 y -3
3. La SUMA DE LOS VALORES de "a " que hacen que los vectores 1
1 ,3 ,1aa=−v y 2
, 1,3a=−v
SEAN ORTOGONALES, es:
a) -3 b) -1 c) -2 d) 0 e) 3
4. Sean los vectores ( ) ( )1, 2,3 , 4, 1,2= − = −AB y ( )2,0, 3=−C encontrar el valor de t , tal que t+AB
sea ortogonal a C .
5. Si se tienen los vectores ( )
1
1, 2, 0=−v y ( )
2
1, 2 , 3ba= − −v , si 1
v y 2
v son ortogonales y 12
3
2 , 1,
2
aa

= − − −


vv
, entonces los valores de a y b , respectivamente son:
a) 2 y 2
3 b) 2
1 y -2 c) -1 y 2
1 d) -2
1 y -1 e) -2
1 y 1
6. Sean 12
,vv y 3
v vectores de 3 tales que ()
1
3,1,2=v , ( )
2
2,1, 1=−v y 3 1 2
2b=+v v v .
Entonces el VALOR de “b ” para que 3
v sea ortogonal a 2
v es:
a)7
5
− b)7
2
− c)5
12 d)12
5
− e)5
12
−
7. Sean 1
v y 2
v vectores de 3 tales que: ()
1
2,1,v c= , ( )
2
1,1,0vc=+ . Un valor de “c” para que 12
2vv+
sea ortogonal a 2
v es:
a) 2− b) 3− c)0 d)1 e)1−
8. Sea  y sean 12
,vv y 3
v vectores de 3 tales que ( )
1
1,2, 1v=− , ()
2
3,2,1v= . Si 2 1 3
v v v=+
y 3
v es perpendicular a 1
v , entonces es VERDAD que:
a) ()
3
1,0,1v= b) ( )
3
2,0, 2v= − − c) ( )
3
2,0,2v=
d) ()
3
0,1,1v= e) ( )
3
0,2,2v=
9. Sean 12
,vv y 3
v vectores de 3 tales que ( )1
3
23
2
v i j k= + − + + , 2
2v i j k= + − . Si
además 1 2 3
v v v=+ , entonces para que 3
v sea perpendicular a 2
v el valor de “ ” debe ser:
a) 2 b) 3
2 c) 6
3 d) 3
6 e) 6
2
10. Sean 1 2 3
,,v v v y 4
v vectores de 3 tales que 3 1 2
3v v v=− , 4 2 1
3v v v=− , 3
v y 4
v
son ortogonales y 12
2vv== . El ángulo que forman 1
v y 2
v es:
a) 5
3
 b) 7
6
 c) 5
6
 d) 3
 e) 6


489. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

491
17.4.3.5 PROYECCIONES

17.4.3.5.1 PROYECCIÓN ESCALAR
La proyección escalar de 2
v sobre 1
v , denotada como 1
2
proy
v
v , es la
magnitud de la sombra que hace 2
v sobre 1
v . Observe la figura 17.14.








Del triángulo tenemos : 1
2
2
proy
cos=
v
v
v .
Despejando, resulta: 1
22
proy cos=
v
vv

Multiplicando y dividiendo por 1
v resulta:
( )
( )
1
21 12
2 2 1
11
cos
proy
 •
= = = •
v
vv vv
v v u
vv

17.4.3.5.2 PROYECCIÓN VECTORIAL
El vector proyección de 2
v sobre 1
v , denotada como 1
2v
proy v , es:
( )
1
1 2 1
2 1 2 1
11
•
= = •


v
v v v
proy v u v u
vv






1
22
proy cos=
v
vv 2
v 1
v 
1
2v
proyv 2
v 1
v 1
u

Fig. 17.14
Fig. 17.15

490. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

492
Ejemplo
Sean ()
1
1,2,3=v y ()
2
1,1,1=v . Hallar la proyección vectorial de 2
v sobre 1
v .
SOLUCIÓN:
()()( )()
( )
()
1
1
1 2 1
2
11
2
2 2 2
2
1,2,3 1,1,1 1,2,3
1 2 3
6 1,2,3
14
369
,,
777
•
==


•
=
++
=

=


v
v
v v v
proy v
vv
proy v
Realice el trabajo análogo para obtener la proyección escalar y la
proyección vectorial de 1
v sobre 2
v .









17.4.3.6 DESCOMPOSICIÓ N ORTOGONAL
Suponga que se tiene dos vectores ortogonales 1
v y 2
v y otro vector v ,
como se muestra en la figura 17.17.









Suponga que se desea descomponer (expresar) v en términos de 1
v y 2
v
. En la expresión 1 1 2 2
v v vCC=+ realizando el producto punto con 1
v
y despejando, tenemos: 2
1v
proyv 2
v 1
v 2
u
2
v
proyv 2
v 1
v 1
v
proyv v

Fig. 17.16
Fig. 17.17

491. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

493
1 1 1 1 2 2 1
0
2
1 1 1
1
1 2
1
v v v v v v
v v v
vv
v
CC
C
C
• = • + •
•=
•
=
Análogamente, realizando el producto punto ahora con 2
v ,
encontramos:
2 1 1 2 2 2 2
0
2
2 2 2
2
2 2
2
v v v v v v
v v v
vv
v
CC
C
C
• = • + •
•=
•
=
Es decir:
( )( )
1 1 2 2
12
1222
12
1 1 2 2
v v v
v v v v
vv
vv
v v u u v u u
CC=+
   
••
=   + 
   
   
= • + •
Observe que:
11
=+
vv
v proy v proy v

Ejemplo
Sean ()
1
3,1=v y ()
2
1,5=v vectores de 2 . Hallar dos vectores ortonormales 1
u y 2
u
, Tal que 1
u sea paralelo a 1
v y 2
v sea ortogonal a 1
v .
SOLUCIÓN
Lo que queremos hacer, es encontrar dos vectores 1
u y 2
u tales que:










1
v 1
2v
proyv 2
v 1
u 2
u ()1,3 ()5,1 1
2 2 2
´=−
v
v v proyv x y

Fig. 17.18

492. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

494

Primero, hallamos un vector unitario en la misma dirección (paralelo) de 1
v .
Entonces ()
1
3,1 31
,
10 10 10

==


u
SEGUNDO, hallamos un vector 2
´v que sea ortogonal a 1
v .
Observe que 1
2 2 2
´=−
v
v v proy v entonces:
1
2 2 2
33
10 10
11
10 10
3
10
8
101
10
24
10
8
10
7
5
2
21
5
´
11
55
1
5
1
5
´
−
=−
      
= − •      
   
      

=− 

 
   
=−   
   

=

v
v v proy v
v
Luego ()()
7
52
2
7
2 5
1,3 1,3´ 13
,
´ 10 10 10 10
−− 
= = = = −


v
u
v

Ejemplo
Exprese y determine la combinación lineal del vector ()1,1=v en término de los vectores
ortogonales ( )
3 1
1
10 10
,=u y ( )
31
2
10 10
,=−u .
SOLICIÓN:
Como 1
u y 2
u son vectores ortonormales, empleamos la formula
( )( )
11
1 1 2 2
33 11
10 10 10 10
3311
10 10 10 10
3 1
10 10
42
10 10
31
10 10
1 1 1
1 1 1
1
1
=+
= • + •
   −  −            
= • + •               
       
                  
−   
=+   
   
    
vv
v proy v proy v
v v u u v u u

Utilizando esta propiedad no es necesario resolver sistema alguno

493. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

495
Ejercicios Propuestos 17.4
1. Sean ()
1
1,3=v y ()
2
1,1=v . Descomponer 1
v en dos vectores, un vector X paralelo a 2
v
y un vector Y ortogonal a 2
v .

2. Sean los vectores 1
3 2 4= − +v i j k y 2
3 3 2= + −v i j k .
a) Determinar la proyección vectorial de 1
v sobre el vector 2
v .
b) Calcular la componente de 1
v perpendicular a 2
v .

3. Sean 1
v y 2
v vectores en 3 , tales que ( )
1
2, 1,2v=− y ()
2
0,3,4v= . La 21
12
Proy Proy
vv
vv+
es igual a:
a) 8
3 b) 3
8 c) 2 d) 10
3 e) 3
8
−

4. Sea v un vector de 3 . Si 50v= , su proyección escalar sobre el vector 34p i k= − + es
de 3− y v es ortogonal a vector k , entonces v es:
a) ( )5,5,0− b) ( )5, 5,0−− c)( )5, 5,0− d) ( )0, 5,5− e) ()0,5,5



17.4.4. PRODUCTO VECTO RIAL. PRODUCTO CRUZ
Sean ( )
1 1 1 1
,,x y z=v y ( )
2 2 2 2
,,x y z=v
vectores de 3 . El Producto Vectorial
de 1
v con 2
v denotado como 12
vv se
define como:
( )( )
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
,,y z z y x z x z x y y x = − − − −vv


Una manera práctica para obtener el resultado de la operación
Producto Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante,
para la primera fila:

1 2 1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
=
i j k
vv


Ejemplo.
Sea ( )
1
1,2, 1=−v y ( )
2
2, 1,0=−v entonces:
12
1 2 1 2 5
2 1 0
 = − = − − −
−
i j k
v v i j k

494. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

496

17.4.4.1 PROPIEDADES.
Sean 1
v , 2
v y 3
v vectores de 3 y 12
,
1. El vector ( )
12
vv es tanto perpendicular a 1
v
como a 2
v
2. El sentido del vector ( )
12
vv se lo puede
obtener empleando la mano derecha.
Mientras los dedos se dirigen desde 1
v
hacia 2
v , el pulgar indica la dirección de ( )
12
vv
. Fig. 17.19.














3. ( )
1 2 2 1
 = − v v v v
4. 11
=v v 0
5. Si 12
//vv entonces 12
=v v 0
6. ()() ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
   = v v v v
7. ( )( )( )
1 2 3 1 2 1 3
 + =  + v v v v v v v
8. ( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
 = − •v v v v v v



De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar,
se obtiene un resultado muy importante:
1
v 2
v 12
vv • •

Fig. 17.19

495. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

497 ( )
( )
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
222
1 2 1 2
2 2 2 2
2
1 2 1 2
22
2
12
2 2 2
2
1 2 1 2
cos
cos
1 cos
sen




 = − •
=−
=−
=−

=
v v v v v v
v v v v
v v v v
vv
v v v v


Finalmente:

1 2 1 2
sen=v v v v



17.4.4.2 APLICACIONES

17.4.4.2.1 CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGR AMO
SUSTENTADO POR DOS V ECTORES.
Sean 1
v y 2
v dos vectores, no paralelos. Observe la figura 3.20.










Tomando como base a 2
v , tenemos:
2
Area=base•altura
h=v


Observe que 1
sen
h
=
v entonces 21
Area sen =vv

Y por la propiedad del producto cruz:

12
Area=vv
1
v 2
v  h 2
v 1
v

Fig. 17.20

496. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

498
Ejemplo 1
Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores ( )
1
1,2, 1=−v y ( )
2
2, 1,0=−v
SOLUCIÓN:
El área del triángulo sustentado por dos vectores 1
v y 2
v es la mitad del área del paralelogramo
sustentado por los vectores, es decir:
12
Area Triángulo
2

=
vv
Como 12
1 2 1 2 5
2 1 0
 = − = − − −
−
i j k
v v i j k
entonces

()()()
2 2 2
12
1 2 5 30
Area Triángulo
2 2 2
− + − + −
= = =
vv



Ejemplo 2
Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos ( )0,2,1− , ()1,1,1 y ( )1,0,2−
SOLUCIÓN:
Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el orden de estos
puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado anteriormente debido a que el área
del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.










En este caso, ( )()
1 1 2
1 1, 1 ( 2), 1 0 0,3,1PP
→
= = − − − − =v
( )( )
2 2 3
2 1, 0 ( 2), 1 0 3,2,1PP
→
= = − − − − − = −v


Entonces,
12
0 3 1 3 9
3 2 1
 = = − +
−
i j k
v v i j k
()()()
2 2 2
12
1 3 9 91
Area Triángulo
2 2 2
+ − +
= = =
vv

1
v 2
v ( )0,2,1
1−P ()1,1,1
2P ( )1,0,2
3−P

Fig. 17.21

497. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

499
17.4.4.2.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALEL EPÍPEDO
SUSTENTADO POR TRES VECTORES

Sean 1
v , 2
v y 3
v tres vectores de 3 , no coplanares. Observe la
figura 17.22.












Los tres vectores sustentan un paralelepípedo. Tomando como base el
paralelogramo sustentado por 1
v y 2
v , la altura h del paralelepípedo
será la proyección escalar de 3
v sobre 12
vv , entonces:
Volumen Paralelepípedo=Area base×altura

Donde 12
Area base=vv ( )
12
1 2 3
3
12
alturah

•
= = =

vv
v v v
Proy v
vv

Por tanto:
( )
1 2 3
12
12
Volumen
•
=

v v v
vv
vv

Finalmente, simplificando resulta:
( )
1 2 3
Volumen=  •v v v



Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR de los vectores 1
v , 2
v y 3
v , y su interpretación es el volumen
del paralelepípedo sustentado por los vectores 1
v , 2
v y 3
v . Observe
además que no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.

1
v 2
v 3
v 12
vv h h base•

Fig. 17.22

498. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

500
Ejemplo
Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores ( )
1
1, 2,1=−v , ( )
2
2,0, 1=−v
y ()
3
1,2,3=v .
SOLUCIÓN.

Por lo definido anteriormente,
( )
3
1 2 3
1 2 1
Volumen 2 0 1 2 14 4 20
1 2 3
u
−
=  • = − = + + =v v v





Ejercicios propuestos 17.5
1. Sean los vectores 52
x
A= − +A i j k y 32
z
B= − + −B i j k . Calcule los valores de x
A y z
B
para los cuales AB es paralelo a: a) al eje x b) al eje y

2. Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)

3. Dados tres vectores ()
1
5,2,6=v , ( )
2
1,8,3=−v , ( )
3
2, 7,4=−v forman un tetraedro con
vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen.

4. Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice
opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura.

5. Sean u y v vectores no nulos, diferentes tales que: 1
=+w u v , 2
=−w u v , ()
1
32
=+w u v
. Hallar ( )
1 2 3
•w w w

6. Sean los vectores no paralelos A y B en 3 donde 2AB•= , 1A= y 4B= . Si se define
el vector ( )23C A B B=  − , entonces el modulo del vector C es igual a:
a) 83 b) 12 c) 34 d) 43 e) 8

7. El área del triángulo definido por los puntos ()0,0,0 , ( )0,2,4 y ( )2,2,0 es:
a) 2 b) 4 c) 12 d) 6 c) 3

8. Los vértices de un paralelepípedo son los puntos ()1,1,1A , ()3,1,2B , ( )0, 4,1C− , ( )2, 3, 2D− − −
y sus aristas son los segmentos AB , AC y AD , entonces su volumen es:
a) 6 b) 19 c) 1 d) 20 e) 15

499. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

501


Misceláneos
1. Demuestre que:
a. 1 2 1 2
•v v v v ( DESIGUALD DE SCHWARZ)
b. 1 2 1 2
+  +v v v v (DESIGUALDAD TRIANGULAR)
2. Determine si las proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente.
a. Si 1
v

y 2
v son vectores unitarios entonces 12
2+=vv
b. Si 1
v

y 2
v son vectores ortogonales entonces 12
2+=vv
c. Si 1
v

y 2
v son vectores ortogonales entonces 22
1 2 1 2
− = +v v v v
d. Si
1
v


y 2
v son vectores ortogonales entonces 2 2 2
1 2 1 2
+ = +v v v v
e. Si
1
v


y 2
v son vectores ortogonales entonces 2 2 2
1 2 1 2
− = +v v v v
f. Si 1 2 1 3
• = •v v v v entonces 23
=vv
g. Si los vectores 1
v

y 2
v son paralelos entonces ( )
1 2 1 2
•=v v v v
h. Si 1
v y 2
v son vectores de 2 , donde 12
=vv entonces 12
+vv y 12
−vv
son ortogonales.
i. Sean 1
u , 2
u , 1
v y 2
v vectores en el plano tales que 1
7=u , 2
2=u , 1 1 2
25=−v u u
y 2 1 2
3= − +v u u . Si 12
4•=uu entonces 1
v y 2
v son
ortogonales.
j. Si 1
v y 2
v son vectores de 2 y  . Si 1 2 1 2
+ = +v v v v , entonces 12
=vv

k. Si 1
v y 2
v son vectores de 2 entonces 1 2 1 2 1
2+ + − =v v v v v .
l. Si 1
v y 2
v son vectores de 2 entonces los vectores2 1 1 2
+v v v v y 2 1 1 2
−v v v v
son ortogonales.
m. Si los vectores ()
1
0,0,a=v , ()
2
3,4,0=v y ( )
3
0,4,6=v forman un paralelepípedo
cuyo volumen es 3
120u , entonces 10a= .
3. Sean 1
v

y 2
v vectores unitarios. Si los vectores 3 1 2
2=+v v v y 4 1 2
54=−v v v son
ortogonales. Hallar la medida del ángulo  que forman entre sí los vectores 1
v

y 2
v .
4. Sean 1
v y 2
v vectores de 2 , tales que ()
1
2,3=v y ()
2
1,0=−v . Determine los
valores de  , de tal forma que los vectores ( )
12
+vv y ( )
12
−vv sean ortogonales.
5. Sean 1
43= − +v i j , 2
2=−v i j y 3
67=−v i j ; determinar escalares k y m tales
que 3 1 2
km=+v v v .
6. Sea  ( )0 , el ángulo que forman los vectores 1
v

y 2
v , Si 1 3 2
2=−v v v , 14
2
5
4
−
=
vv
v
, 12
1==vv y 34
⊥vv , determine el valor de la tan .
7. Determine un vector X , perpendicular al vector 45=−v i j que tenga una longitud de 10
unidades.

500. Moisés Villena Muñoz Cap. 17 Vectores en 23
, , ,
n

502
8. Sean 1
32=−v i j , 2
34= − +v i j y 3
78=−v i j ; determinar escalares k y m tales
que 3 1 2
km=+v v v .
9. Los vectores 1
v y 2
v forman entre sí un ángulo que mide 45 y 1
3=v . Determine el valor
de 2
v de tal manera que 12
−vv sea perpendicular a 1
v .
10. Sea V un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si U es un vector cualquiera, el
vector 2
•
=−
UV
W U V
V es ortogonal a V .
11. Demuestre que si U es ortogonal a V y a W , entonces U es ortogonal a cd+VW para
escalares cualquiera c y d .
12. Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores A , B y C
, es ( )( )
1
2
−  −B A C A
13. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas +AB , +BC y +CA y es el doble del
volumen del tetraedro de aristas A , B y C .

14. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son perpendiculares.

501. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
503

18
18.1 RECTAS EN 2
18.2 CIRCUNFERENCIA
18.3 PARÁBOLA
18.4 ELIPSE
18.5 HIPÉRBOLA


Existen otros lugares geométricos de interés que merecen ser
estudiados.

502. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
504
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Encuentre ecuaciones de rectas dados dos puntos, un punto y su pendiente, un punto y un
vector paralelo, un punto y un vector normal.
• Encuentre distancia de un punto a una recta.
• Defina si dos rectas son paralelas, coincidentes o se intersecan en un punto.
• Hallar ángulos y puntos de corte entre rectas intersecantes
• Determine distancia entre rectas paralelas.

18.1. RECTAS EN 2
Trataremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de un
análisis vectorial.

18.1.1 ECUACIONES
18.1.1.1 Ecuación de una recta definida por dos puntos
Es obvio que dos puntos definen una recta, observe la figura:










Llamemos a ( )
1 2 2 1 2 1
,SPP x x y y= = − − vector directriz de la recta l .
Sea el vector ( )
1 1 1
,vPP x x y y= = − − , definido entre el punto ()
111
,yxP
y un punto ()yxP, cualquiera de la recta. Observe que S y v son
paralelos, entonces vSk= para k . Por consiguiente:
( )( )
( )( )( )( )
121211
121211
,,
,,
yykxxkyyxx
yyxxkyyxx
−−=−−
−−=−−
Por igualdad de vectores:
( )
( )


−=−
−=−
121
121
yykyy
xxkxx

Finalmente:

503. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
505 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
Ecuación de una recta definida por
dos puntos ()
111
,yxP y ( )
222
,yxP
18.1.1.2. Ecuación de una recta definida por un punto y
su pendiente
Tomando la ecuación anterior en la forma ( )
21
11
21
yy
y y x x
xx
−
− = −
−
La medida de la inclinación de la recta se la llama "Pendiente", se la
denota como m y se la define como 21
21
yy
m
xx
−
=
− . Entonces, tenemos:
( )
11 xxmyy −=− Ecuación de una recta definida por un
punto ( )
111
,yxP y su pendiente m

18.1.1.3. Ecuación de una recta definida por un punto
y un vector paralelo
Considerando el vector directriz ( )()
2 1 2 1
,,S
xy
x x y y s s= − − = como un
vector paralelo a la recta, tenemos:
yx
s
yy
s
xx
11−
=
− Ecuación de una recta definida por un punto ( )
111
,yxP
y un vector paralelo (),S
xy
ss= .


18.1.1.4. Ecuaciones Paramétricas de una recta
Considerando t
s
yy
s
xx
yx
=
−
=
−
11 tenemos 






=
−
=
−
t
s
yy
t
s
xx
y
x
1
1
Por tanto otra forma de la ecuación de una recta, sería:
1
1
;
=+

=+

x
y
x x s t
t
y y s t Ecuaciones Paramétricas

504. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
506
18.1.1.5. Ecuación Vectorial de una recta
De lo anterior tenemos ()()()tssyxyxl
yx
,,,:
11
+= considerando (),Vxy=
el vector posición de un punto de la recta, ()
1 1 1
,Vxy= el
vector posición de un punto de la recta y (),S
xy
ss= un vector paralelo
a la recta; tenemos: 1
V V St=+
Ecuación Vectorial de una recta

18.1.1.6. Ecuación de la recta definida por un punto y
un vector normal
Ahora suponga que se tiene un vector (),nab= perpendicular a la
recta












El vector (),nab= y el vector ( )
0 0 0
,VPP x x y y= = − − son
ortogonales, por tanto 0nV•= .
Reemplazando tenemos ()( )0,,
00 =−−• yyxxba
Y resolviendo resulta:

( )( )0
00 =−+− yybxxa Ecuación de la recta definida por
un punto ( )
000
,yxP y un vector
normal (),nab=

505. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
507
18.1.1.7. Ecuación general de una recta
En la última ecuación resolviendo, resulta: ( )0
0
00
00
=−−++
=−+−
byaxbyax
bybyaxax

Haciendo 00
byaxc −−= resulta: 0=++ cbyax
Ecuación general de una recta


Ejemplo 1
Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos ()3,2− y ()2,1−
SOLUCIÓN:
Utilizando 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
− y los puntos dados ()3,2
1−P y ()2,1
2
−P (No importa el orden)
Reemplazando tenemos: ()
() 32
3
21
2
−−
−
=
−−
−− yx
Resolviendo y despejando tenemos:
0135
93105
5
3
3
2
=++
−=−−
−
−
=
+
yx
yx
yx


Ejemplo 2
Hallar la ecuación general y ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto ()3,7
y es paralela a la recta que tiene por ecuación 013 =++yx
SOLUCIÓN:
La recta dada tiene vector normal ()3,1n= . Como la recta buscada es paralela a esta recta
entonces un vector normal sería el mismo.
Empleamos la forma de la ecuación de la recta definida por un punto y un vector normal ( )( )0
00 =−+− yybxxa

reemplazando tenemos:
()()
0243
03213
03173
=−+
=−+−
=−+−
yx
yx
yx
En la última ecuación, despejando y tenemos 3 24yx= − + . Una parametrización sería



−=
=
ty
tx
324 ;t

506. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
508
Ejemplo 3
Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto ( )1,2−− y es perpendicular a
la recta que tiene por ecuación 0135 =−+yx
SOLUCIÓN:
La recta dada tiene vector normal ()5,3n= . Como la recta buscada es perpendicular a esta
recta entonces un vector directriz sería el mismo. Es decir ()5,3S=
Empleamos la forma de la ecuación de la recta definida por un punto y un vector paralelo
yx s
yy
s
xx
11
−
=
−
Reemplazando y resolviendo, tenemos:
() ()
0153
5563
3
1
5
2
3
1
5
2
=+−
+=+
+
=
+
−−
=
−−
yx
yx
yx
yx



Ejemplo 4
Demuestre que la ecuación de la recta que contiene a los puntos ()0,A y ()B,0 es 1=+
B
y
A
x

SOLUCIÓN:
Empleando la forma de la ecuación de la recta definida por dos puntos: 12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−

Reemplazando ()0,
1
AP y ()BP,0
2 , tenemos: 0
00
1
1 l.q.q.d.
x A y
AB
x A y
AB
xy
AB
xy
AB
−−
=
−−
−
=
−
− + =
+=

507. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
509

18.1.2. POSICIONES RELATI VAS
18.1.2.1 Entre un punto y una recta
18.1.2.1.1 Un punto 0
P pertenece a la recta l
Un punto 0
P de coordenadas ( )
00
,yx pertenece a la recta l con
ecuación 0=++ cbyax si y sólo si las coordenadas del punto
satisfacen la ecuación de la recta, es decir 0
00 =++ cbyax .









18.1.2.1.2 El punto 0
P no pertenece a la recta l
Un punto 0
P de coordenadas ( )
00
,yx no pertenece a la recta l con
ecuación 0=++ cbyax si y sólo si las coordenadas del punto no
satisfacen la ecuación de la recta, es decir 0
00 ++ cbyax .
En este caso podemos determinar la formula de la distancia entre el
punto y la recta.
Observe la figura:

508. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
510
La distancia del punto 0
P a la recta será la proyección escalar de V
sobre n . El vector V está definido entre los puntos ()
000,yxP y ()yxP,
donde b
axc
y
−−
= (despejando de la ecuación de la recta). Es decir,
0 0 0
,V
c ax
PP x x y
b
⎯⎯→
−−
= = − −

 .
Ahora,

()
( )
00
0
22
00
22
00
22
,,
( , ) Proy
n
Vn
V
n
c ax
x x y a b
b
d P l
ab
c ax
x x a y b
b
ab
ax ax by c ax
ab
+
− + •
• 
= = =
+
+
− + +

=
+
− + + +
=
+
Por tanto:
22
00
0
),(
ba
cbyax
lPd
+
++
=


Ejemplo
Hallar la distancia entre el punto ()1,2 y la recta que tiene por ecuación 013 =++yx
SOLUCIÓN:
Empleando la formula 22
00
0),(
ba
cbyax
lPd
+
++
= tenemos:
10
8
13
1)1(1)2(3
),(
22
0
=
+
++
=lPd

509. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
511

18.1.2.2 POSICIÓN RELATIV A ENTRE DOS RECTAS
18.1.2.2.1 Rectas coincidentes
Sea 1
l una recta con ecuación 0
111
=++ cybxa y sea 2
l una recta
con ecuación 0
222 =++ cybxa . Entonces 1
l y 2
l son coincidentes si y
sólo si:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
==

Ejemplo
Las rectas con ecuaciones 032 =−+yx y 0936 =−+yx son COINCIDENTES debido a
que 3
3
9
1
3
2
6
=
−
−
== .

18.1.2.2.2 Rectas paralelas
Dos rectas 1
l y 2
l con ecuaciones 0
111
=++ cybxa y 0
222 =++ cybxa
son paralelas si y sólo si:
2
1
2
1
b
b
a
a
=

Ejemplo
Las rectas con ecuaciones 032 =−+yx y 0536 =++yx son PARALELAS debido a
que
1
3
2
6
=

18.1.2.2.3 Rectas intersecantes en un punto
Dos rectas 1
l y 2
l con ecuaciones 0
111
=++ cybxa y 0
222 =++ cybxa
se intersecan en un punto si y sólo si:
2
1
2
1
b
b
a
a


Ejemplo
Las rectas con ecuaciones 032 =−+yx y 053=++yx se INTERSECAN EN UN PUNTO
debido a que 1
3
2
1
 .

510. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
512

En este caso, es posible hallar el punto de intersección y los ángulos
entre ellas.










Para encontrar el punto bastará con resolver el sistema simultáneo:



=++
=++
0
0
20202
10101
cybxa
cybxa
Los ángulos de intersección entre las rectas serán los mismos que los
de los vectores normales o de los vectores directrices. Es decir:
1 2 1 2
1 2 1 2
arccos arccos
n n S S
n n S S

••
==



Ejercicio resuelto
Hallar el ángulo de intersección entre las rectas cuyas ecuaciones son ()()()3,12,1,:
1
tyxl +=
y ()()( )1,32,1,:
2
−−+−= tyxl .
SOLUCIÓN:
En este caso los vectores directrices son ()1
1, 3S= y ( )2
31S= − − , por tanto
()( )
()()
12
12
1, 3 3, 1
3
arccos arccos arccos 5
2 2 2 6
SS
SS


• − − •
= = = − = 


Hemos obtenido el ángulo mayor.
El ángulo menor sería 6
 ¿Por qué?

511. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
513
Ejercicios Propuestos 18.1
1. Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(3,2) y que es paralela a al vector 3v i j=−

2. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (-2,1) y es paralela al vector 3,1− .
3. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta dada por: tytx 23 −=+=

4. Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta cuyas
ecuaciones paramétricas son tytx 23 −=+= ,t
5. Determine la ecuación general de la recta que es paralela al vector ()3, 4v=− y que contiene al punto
que está dado por la intersección de las rectas que tienen por ecuación 2=+yx y 142 =−yx
6. Determine la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta con ecuación 014 =−+yx , y
que contiene al punto de intersección de las rectas con ecuaciones 0730352 =−−=+− yxyx .
7. Sean las rectas 1
: 2 3 0l ax y+ − = y 2
:5 7 0l x by+ − = . Si su punto de intersección es ()1,3P−
, determine los valores de a y b -
8. Determine la distancia de punto ()
0
2,3P a la recta de ecuación 2 4 0yx+ − =
9. Determine la distancia entre las rectas 0432:
1
=−+yxl y 0396:
2
=−+yxl
10. Determine la menor distancia entre las rectas que tienen por ecuación 0432 =+−yx y 


+=
+=
ty
tx
22
31
11. Determine el valor de “k” para que la distancia de la recta con ecuación053 =++ykx al punto (-2,2)
sea igual a 1.
12. Determine la medida del ángulo agudo formado por las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son: tyx −== 101
y tytx 2421 −=−= .
13. Determine la ecuación de la recta de pendiente 4
3
− y que forma con los ejes coordenados, en el primer
cuadrante, un triángulo cuya área tiene un valor de 2
24u .
14. Determine la ecuación de la recta que equidista de las rectas cuyas ecuaciones son: 0102 =++yx y 022 =−+yx
.
15. Encontrar el valor de “k” para que las rectas que tienen por ecuaciones 593 =+ykx y 046 =−yx ,
sean perpendiculares.
16. Encontrar el valor de “k” para que la recta que tiene por ecuación 083 =−−kyx forme un ángulo de
medida 45 con la recta de ecuación 01752 =−+yx .
17. Determine la ecuación de la recta cuyo punto más cercano al origen es (3,4).
18. Determine todos los posibles valores de “k ” para que la recta con ecuación 02 =++ kyx forme con
los ejes coordenados un triángulo cuya área tiene un valor de 2
16u .
19. Determine la ecuación de la recta “l ”
= 40EAF
= 100DBC

512. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
514
20. Si L es una recta cuya ecuación es: 3 2 5 0xy+ − = entonces es VERDAD que:
a) L tiene pendiente 3
2
b) L interseca al eje y en -5
c) L es perpendicular a la recta 2 3 15 0xy− − =
d) L es paralela a 3 2 5 0xy− + =
e) El punto ()3,2 pertenece a L
21. Sea el vector (2, 3)v=− . La ecuación de la recta L paralela a v tal que ()6,1 L− es:
a) 2 3 16xy−=
b) 3 2 16 0xy+ + =
c) 3 2 16 0xy− + =
d) 2 3 16 0xy+ − =
e) Ninguna de las anteriores

22. La ecuación de la recta que tiene pendiente 5
12 y que contiene al punto de intersección de la recta 1
:3 9 0L x y+ − =
y 2
: 4 3 1 0L x y− + = , es:
a) 3 12 26 0xy− + =
b) 5 12 2 2 0xy− + + =
c) 5 12 10 0xy+ + =
d) 12 5 2 7 0xy− + =
e) 12 5 2 3 0xy− + + =

23. Sea una recta L que contiene al punto ()
0
1,2P y que es perpendicular al vector ()2,1v=− . Entonces
es VERDAD que:
a) ()1, 2PL−
b) () 
2
, / 2 5 0L x y x y=  + − =
c) La pendiente de L es -2.
d) El vector ( )2, 4v= − − es paralelo a la recta L.
e) L es perpendicular a la recta 2 5 1 0xy+ − =

24. Si L es una recta que contiene al punto ()1,3 y que es paralela al vector ( )
1
2, 4v= − − , entonces es
VERDAD que:
a) ()2,4L
b) L es paralela a la recta cuya ecuación es 2 4 0xy+ − =
c) L forma un ángulo de 4
 con la recta de ecuación 1yx=+
d) L es perpendicular a la recta cuya ecuación es 2 4 0xy+ − =
e) El vector ()
2
5,1v= es paralelo a la recta L

25. Un valor de p para que la recta 1
: 2 5 2 0L x y− + = se encuentre a una distancia de 3 29 unidades de
la recta 2
: 6 15 0L x y p− + + = , es:
a) 3
b) 5
c) 0
d) -2
e) 1

513. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
515
18.1.3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ),(
111
yxP
y ),(
222
yxP , está dada por: ( )( )
2
12
2
12
yyxxd −+−=












Si los puntos están alineados verticalmente, es decir:










La distancia está dada por:

Si los puntos están alineados horizontalmente, es decir:











La distancia está dada por:







12yyd −=
12xxd −=

514. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
516
18.2. CIRCUNFERENCIA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina Circunferencia.
• Encuentre ecuaciones canónicas y generales de circunferencias.
• Grafique circunferencias.
• Resuelva problemas relacionados con circunferencias.
18.2.1. Definición
Sea O un punto del plano y sea “r ” un
número real positivo. Se define la
circunferencia como el conjunto de puntos ),(yxP
tal que la distancia de P a O es
igual a “r ”. Es decir:
 Circunferencia ( , )/ ( , )P x y d P O r==

Al punto “O ” se le denomina centro de la circunferencia y a “r ”
se le denomina radio de la circunferencia.
18.2.2. Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que O tiene coordenadas ),(kh













La distancia entre los puntos ),(yxP de la circunferencia y el
punto ),(khC , la cual denotamos como “r ”, está dada por 22
)()( kyhxr −+−=
, entonces, tenemos: 222
)()( rkyhx =−+−
Ecuación canónica de una
circunferencia. Para 0
2
r . ()khO, r ()yxP, y x

515. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
517
Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por
ecuación:
222
ryx =+
Es decir, una circunferencia con centro (0,0)O , el origen:















Despejando “y ”, obtenemos las ecuaciones de las
semicircunferencias superior e inferior.

Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto()4,2O
y radio 3
SOLUCIÓN:
Reemplazando en 2 2 2
( ) ( )x h y k r− + − = tenemos:
2 2 2
22
( 4) ( 2) 3
( 4) ( 2) 9
xy
xy
− + − =
− + − =
La ecuación canónica pedida.

Ahora, en la ecuación canónica del ejemplo anterior 2 2 2
( 4) ( 2) 3xy− + − =
, al elevar al cuadrado y reducir términos
semejantes se obtiene:
22
22
4 16 4 4 9
4 4 11 0
− + + − + =
+ − − + =
x x y y
x y x y ()0,0O y x 22
y r x=− r 22
y r x=− − Semicircunferencia
Superior
Semicircunferencia
Inferior

516. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
518
Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia
tendrá la forma:
22
´ ´ ´ 0x y C x D y F+ + + + =
O también: 22
0Ax Ay Cx Dy F+ + + + =


Esta última ecuación es llamada ECUACIÓN GENERAL DE UNA
CIRCUNFERENCIA.
Por tanto si nuestra intención fuese dibujar la circunferencia o
descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación
general, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica
completando trinomios cuadrados perfectos.

Ejemplo 1
Trazar la gráfica de 22
2 2 5 4 1 0x y x y+ − + − =
SOLUCIÓN:
Primero transformamos la ecuación general dada en su ecuación canónica.
( )( )
( )
( )
()
()
16
49
1
4
5
8
49
12
4
5
2
2
8
25
1122
16
25
2
5
2
122
2
5
2
14252
2
2
2
2
22
22
22
=++





−
=++





−
++=+++





+−
=++





−
=++−
yx
yx
yyxx
yyxx
yyxx
Por tanto es una circunferencia con centro 





−1,
4
5
O y radio 4
7
=r















 agrupamos para "x" y para "y" 
Factor común " 2"
El tercer término que hace falta para completar el
trinomio cuadrado perfecto se lo obtiene dividiendo 
para 2 a los coeficientes de los términos lineales
y se los eleva al cuadrado.

517. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
519
Ejemplo 2
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación 01264
22
=−+−+ yxyx
Solución
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando
cuadrados
( )( )
25)3()2(
94129644
22
22
=++−
++=++++−
yx
yyxx
Tenemos una circunferencia de radio 5=r y centro )3,2(−C










No toda ecuación de la forma 22
0Ax Ay Cx Dy F+ + + + =
representará una circunferencia.
Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene 0
2
=r ,
es decir resulta 0)()(
22
=−+− kyhx , el lugar geométrico es el punto ( , )O h k
. ¿Por qué?
Si 0
2
r , la ecuación no representa lugar geométrico. Suponga
que se hubiese obtenido la ecuación canónica()
16
49
1
4
5 2
2
−=++





− yx .
Entonces 16
49
−=r , por tanto esta ecuación no representa lugar
geométrico alguno.

CONCLUSIONES :
En la ecuación canónica ()( )
222
rkyhx =−+− :
1. Si 0
2
r , representa una circunferencia con
centro ()khO ,= y radio r .
2. Si 0
2
r , no representa lugar geométrico
alguno.
3. Si 0=r , representa al punto centro ()khO ,= .
)3,2(−C 5=r

518. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
520
Otros tipos de problemas serían:
Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos ()1,2 , ()3,0
y ( )3 3 , 3+
Solución:
Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso
empleamos la ecuación general 22
´ ´ ´ 0x y C x D y F+ + + + = .
Reemplazando las coordenadas de los puntos dados:
()()
()()
( ) ( )()
22
22
2
2
1 2 ´ 1 ´2 ´ 0
3 0 ´ 3 ´ 0 ´ 0
3 3 3 ´ 3 3 ´ 3 ´ 0
C D F
C D F
C D F

+ + + + =


+ + + + =

+ + + + + + =

Resolviendo simultáneamente el sistema:
( ) ( )
2
´ 2 ´ 5
3 ´ ´ 9
3 3 ´ 3 ´ ´ 3 3 9
C D F
CF
C D F

+ + = −

+ = −

+ + + = − + −

En la segunda ecuación se obtiene ´ 9 3 ´FC= − −
Reemplazando en la primera:
´ 2 ´ ´ 5
´ 2 ´ 9 3 ´ 5
2 ´ 2 ´ 4
´ 2 ´
C D F
C D C
CD
DC
+ + = −
+ − − = −
− + =
=+
Reemplazando ´D y ´F en la tercera ecuación:
( ) ( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
2
2
3 3 ´ 3 ´ ´ 3 3 9
3 3 ´ 3 2 ´ 9 3 ´ 3 3 9
3 ´ 3 ´ 6 3 ´ 9 3 ´ 9 6 3 3 9
3 ´ 3 ´ 18 6 3
3 3 ´ 6 3 3
´6
C D F
C C C
C C C C
CC
C
C
+ + + = − + −
+ + + + − − = − + −
+ + + − − = − − − −
+ = − −
+ = − +
=−
Entonces:
´ 2 ´
26
´4
DC
D
=+
=−
=− y ()
´ 9 3 ´
9 3 6
´9
FC
F
= − −
= − − −
=
Por tanto, la ecuación general de la circunferencia sería:
22
6 4 9 0x y x y+ − − + =
Agrupando y completando cuadrados, se obtiene la ecuación canónica:
( )( )
22
22
6 4 9 0
6 9 4 4 9 9 4
x y x y
x x y y
+ − − + =
− + + − + = − + +
()()
22
3 2 4xy− + − =

519. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
521

Ejercicios Propuestos 18.2
1. Encuentre la ecuación general de las circunferencias, con:
a) Centro (-2,5) y radio 2 b)Centro (-3,0) y radio 4 c) Centro (0,-2) y radio 3
2. Investigue si la gráfica de 014522
22
=−+−+ yxyx es una circunferencia. Si es así, encuentre su
centro y su radio.
3. Encuentre la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro (1,-3) y pasa por el punto (2,-1).
4. El centro "O" y radio "r" de la circunferencia que tiene por ecuación 014233
22
=−−++ yxyx , son
respectivamente:
a) 1 2 8
,
3 3 3
Or

−  =

 b) 3
8
3
2
,
3
1
=





rO c)9
8
3
2
,
3
1
=





− rO
d)3
8
3
2
,
3
1
=





− rO e) 9
8
3
2
,
3
1
=





− rO
5. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones:
a. 0142
22
=+−−+ yxyx b. 092222
22
=+−−+ yxyx
b. 01364
22
=++−+ yxyx c. 01764
22
=+−−+ yxyx
6. La ecuación 02381244
22
=−+−+ yxyx , representa:
a) Una circunferencia de radio 6.
b) Una circunferencia de longitud 18 . (SUGERENCIA: Rl=2 )
c) Una circunferencia que encierra una región de área 9 . (SUGERENCIA: 2
RA= )
d) Una circunferencia de centro ()1,
2
3
− .
7. Sea la ecuación 054233
22
=−−−+ yxyx . Entonces es VERDAD que:
a) Representa una circunferencia de centro 





−−
3
2
,
3
1 y radio 3
20 .
b) Representa una circunferencia de centro ()2,1 y radio 20 .
c) Representa una circunferencia de centro 





3
2
,
3
1 y radio 20 .
d) Representa una circunferencia de centro 





3
2
,
3
1 y radio 3
20 .
e) La ecuación no representa lugar geométrico alguno.

8. Sea la circunferencia cuya ecuación es 09232481616
22
=−+−+ yxyx . Entonces es VERDAD que:
a) El radio de la circunferencia es 6.
b) El área del círculo limitado por la circunferencia es 6 .
c) La longitud de la circunferencia es 6 .
d) El centro de la circunferencia es ()1,
2
3
−
e) Marque esta casilla si todas las proposiciones anteriores son falsas.
9. El VALOR de "D " para que el radio de la circunferencia que tiene por ecuación 22
3 2 0x y x y D+ + − + =
sea igual a 2 es:
a)3
4 b)3
4
− c)4 d)4
3
− e)0
10. Con respecto a la ecuación 02364
22
=−+++ yxyx , es VERDAD que:
a) Representa una circunferencia con centro ()3,2
b) Representa una circunferencia con centro ( )3,2−−
c) Representa una circunferencia de radio 36
d) Representa una circunferencia de longitud 72
e) La ecuación dada no representa lugar geométrico.

11. La ECUACIÓN GENERAL de la circunferencia que tiene como centro al punto )3,4( y que contiene al
punto )1,6( , es:
a) 0176822
22
=+−−+ yxyx d)01768
22
=+−−+ yxyx
b) 01268
22
=++−+ yxyx e) 01768
22
=++++ yxyx
c) 01768
22
=−+++ yxyx

520. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
522

12. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos )5,1(),6,0(BA y cuyo centro se
encuentra sobre la recta definida por la ecuación 1−=+yx .

13. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 0532 =+−yx
, y está centrada en el punto ( )2,1−−

14. La intersección de las rectas 032:
1
=+−yxL y 024:
2
=−+yxL es el centro de una
circunferencia que es tangente a la recta 01:
3
=+−yxL . Determine la ecuación de la circunferencia.

15. Determine la longitud de la cuerda de la circunferencia que tiene como ecuación 0111146
22
=−−−+ yxyx
conociendo que el punto medio de dicha cuerda tiene coordenadas ()
2
7
2
17
,
.
16. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene los puntos ()0,0 , ()1, 1− y ()9, 1− .

17. Determine la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas de ecuaciones yx= y 1xy+=
y que contiene al punto ()2,2 .
18. Determine los valores de “k” tales que la recta : 4 3 0l x y k− + = sea tangente a la circunferencia cuya
ecuación es 22
12 24 11 0x y x y+ − − + =
a) 77 y -53 b) 11 y -31 c) 21 y 53 d) 77 y 53 e) -11 y 31


18.2.3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN
En algunos problemas de aplicación las variables están
relacionadas con ecuaciones de circunferencias. La diferencia es que
casi siempre los lugares geométricos son considerados sólo en el primer
cuadrante.
Problema resuelto 1
La industria de patines LUX y ANKA, fabrica dos modelos: el veloz modelo LUX de patines
con ruedas en línea ()x y el clásico modelo ANKA de patines con ruedas en pares ()y ,
donde las letras y,x representan las cantidades en decenas de miles de patines del
respectivo modelo que se producen por año, y que están relacionadas entre sí por la
ecuación de la circunferencia: 391012
22
=+++ yxyx . Entonces el máximo número
de patines del modelo clásico ANKA, denotado por “y ” (en decenas de miles), que se
pueden producir anualmente es igual a:
a) 5 b) 4 c) 10 d) 3 e) 6
SOLUCIÓN:
La ecuación que representa la relación entre las dos clases de patines, es la de una circunferencia, que
en su forma canónica sería:
( )( )
( )( )
()()10056
25363925103612
391012
391012
22
22
22
22
=+++
++=+++++
=+++
=+++
yx
yyxx
yyxx
yxyx

Una circunferencia con centro ( )5,6−−O y radio 10=r






Note que como es un problema de
aplicación 0
0


y
x . Entonces en el
primer cuadrante se cumple que
0
0
=→
=→
xy
yx
max
max

521. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
523


Por tanto, como queremos max
y hacemos 0=x en()()10056
22
=+++ yx .
Es decir: ()( )
( )
( )
ANKApatinesy
y
y
y
y
max
max
max
max
max
3
85
645
361005
100560
2
2
22
=
=+
=+
−=+
=+++
RESPUESTA: Opción "d"

Problema resuelto 2
Un fabricante de zapatos puede vender "x" unidades de su producto a "p" dólares por
unidad. Con "x" y "p" relacionados entre sí por la ecuación: 0350020
22
=−++ ppx

Entonces el PRECIO MÁS ALTO por encima del cual no hay posibilidad de venta es:
a)$10 b) $20 c) $30 d) $40 e) $50
SOLUCIÓN:
De manera semejante al problema anterior, primero transformamos la ecuación a su forma canónica
para de allí determinar su max
p , que sería cuando 0=x
( )
( )360010
100350010020
0350020
22
22
22
=++
+=+++
=−++
px
ppx
ppx
Entonces:
( )
( )
50$
1060
6010
360010
3600100
2
22
=
−=
=+
=+
=++
max
max
max
max
max
p
p
p
p
p
Segundo método: Directamente, en la ecuación general dada se puede reemplazar 0=x para
obtener el max
p , es decir: ( )( )
50$
05070
0350020
2
=
=−+
=−+
max
maxmax
p
pp
pp

RESPUESTA: Opción "e".


Ejercicios propuestos 18.3
1. Una empresa que fabrica zapatos puede producir zapatos para caballero o para dama modificando el
proceso de producción. Las cantidades posibles x y y (en cientos de pares) están relacionadas por la
ecuación: 9753040
22
=+++ yxyx . Dibuje la curva de transformación de productos de esta
empresa. ¿Cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo que pueden producirse?

2. El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la
fermentación. Las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kilogramos) y y de sidra (en
litros) están relacionadas por la ecuación: 68592508
22
=+++ yxyx . Dibuje la gráfica de esta
relación y determine las cantidades máximas de manzanas o sidra que pueden producirse.

Circunferencia de centro )10,0(−O y
radio 60=r

522. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
524
3. Una empresa produce 2 artículos A y B . Las cantidades de producción de los artículos A y B , en
miles, son m y n respectivamente; y están relacionadas por la ecuación: 3264
22
=+++ nmnm .
Entonces la cantidad de producción máxima de A sobre el cual no se registra producción de B , en
miles , es: a)5 b)6 c)7 d)4 e)2

4. (CALCULADORA) Las industrias de bicicletas Coronado fabrican dos tipos de bicicletas denominadas
Coronado y Estrella del Este. Las cantidades posibles x y y (en miles) que puede producir al año están
relacionadas por: 47106
22
=+++ yxyx . Bosqueje la curva de esta empresa. ¿Cuáles son los
números máximos de bicicletas de cada tipo que pueden producirse?

18.3. PARÁBOLA
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina Parábola.
• Encuentre ecuaciones canónicas y generales de Parábolas.
• Grafique Parábolas.
• Resuelva problemas relacionados con Parábolas.
18.3.1. Definición
Sea l una recta y sea F un punto. La
parábola se define como el conjunto de
puntos ),(yxP , tal que su distancia al punto F
es igual a su distancia a la recta l . Es
decir:
Parábola = ),(),(/),( lpdFPdyxP =
Al punto F se le denomina foco de la parábola y a la recta l se le
denomina directriz de la parábola.
18.3.2 Ecuación canónica
Supongamos que F tiene coordenadas ()p,0 y la recta l tiene
ecuación py−= con 0p . Observe la gráfica:











foco
Vértice)0,0(V ),(yxP ),(lpd ),(Fpd ),0(pF py−= p p− l
directriz x y
Eje Focal

523. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
525
Observe que 22
)()0(),( pyxFPd −+−= y que pylPd +=),( .
Igualando distancias y resolviendo:
( )
pyx
ppyyppyyx
pypyx
pypyx
lPdFPd
4
22
)()()0(
)()0(
),(),(
2
22222
2
2
22
22
=
++=+−+
+=−+−
+=−+−
=
Al punto V se le denomina vértice de la parábola, en este caso tiene
coordenadas ()0,0 . A la recta perpendicular a la directriz, que contiene
al vértice y al foco, se le denomina Eje Focal. Observe que para la
parábola anterior el eje focal es el eje y .
Observe además que la parábola es cóncava hacia arriba.
Al segmento de recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco y
que tiene como extremos los dos puntos de la parábola, se denomina
lado recto y tiene una medida de p4 . ¡Demuéstrelo!
Suponga ahora que el vértice no es el origen, que tenemos ),(khV ,
entonces su ecuación sería: )(4)(
2
kyphx −=−

Y su gráfico sería:














Eje focal
foco
directriz),(khV ),(yxP ),( pkhF + pky−= p p l x y
Lado recto=4p

524. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
526


Para otros casos, tenemos: )(4)(
2
kyphx −−=−

Una parábola con eje focal vertical, pero cóncava hacia abajo.












Si la parábola tiene ecuación )(4)(
2
hxpky −=− , Su eje focal será
horizontal y además será cóncava hacia la derecha:














Eje focal
foco),(khV ),( pkhF − pky+= p p l x y
directriz
Eje focal
foco),(khV ),( kphF+ phx−= p p l x y
directriz

525. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
527
Si la parábola tiene ecuación )(4)(
2
hxpky −−=− . Su eje focal
será horizontal , pero ahora será cóncava hacia la izquierda:

















La ecuación general de esta cónica será de la forma 0
22
=++++ FDyCxByAx
con 0=A o 0=B pero no ambos. Es decir
tendremos ecuaciones de la forma 2
0Ax Cx Dy F+ + + = o de la forma 2
0By Cx Dy F+ + + =
, según sea la dirección del eje focal.
O más simplemente 2
´ ´ ´ 0x C x D y F+ + + =
2
´ ´ ´ 0y C x D y F+ + + =
Ejemplo 1
Graficar la parábola que tiene por ecuación 09724204
2
=+−− yxx . Indique
coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la recta directriz.
SOLUCIÓN:
Despejando la variable cuadrática para completarle cuadrados y agrupando, tenemos: Eje focal
foco),(khV ),( kphF− phx+= p p l x y
directriz

526. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
528
)3(6
2
5
186
2
5
4
25
4
97
4
24
4
25
5
4
4
9724204
2
2
2
2
−=





−
−=





−
+−=





+−
−−=−
yx
yx
yxx
yxx
Se deduce entonces que:
1. La parábola tiene vértice 





3,
3
5
V .
2. El eje focal es paralelo al eje y
3. La parábola es cóncava hacia arriba
4. 2
3
=p debido a que p46= .
Realizando su gráfica tenemos:










Ejemplo 2
Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco el punto de coordenadas )2,3(−−
y directriz la recta con ecuación1=x .
SOLUCIÓN
En primer lugar representamos el foco y la directriz en el plano cartesiano.










Eje focal





3,
2
5
V 





2
9
,
2
5
F 2
3
=y 2
3
=p 2
3
=p
directriz
( )2,3−−F ()2,1−−V 2=p Eje focal
directriz1=x

527. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
529

Concluimos que:
1. El vértice debe tener coordenadas )2,1(−−
2. El eje focal es paralelo al eje x
3. La parábola es cóncava hacia la izquierda.
4. 2=p , distancia del vértice al foco o distancia del vértice a la directriz.
5. La ecuación de trabajo es )(4)(
2
hxpky −−=−
Bien, reemplazando los valores en la ecuación de trabajo, tenemos:
2
2
( 2) 4(2)( 1)
4 4 8 8
yx
y y x
+ = − +
+ + = − −
2
8 4 12 0x y y+ + + =
Ejemplo 3
Un puente colgante de m120 de longitud tiene trayectoria parabólica sostenida por torres
de igual altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto más bajo de
cada cable está a m15 de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres.
SOLUCIÓN:
Primero hacemos una representación gráfica de la información proporcionada, trabajando en el plano
cartesiano, es mejor poner el vértice en el origen:












La ecuación de la trayectoria sería: yx
yx
60
)15(4
2
2
=
=
Utilizando la ecuación de la trayectoria determinamos “y”: 60
6060
60
2
2
=
=
=
y
y
yx
Por lo tanto la altura de las torres sería: mh
h
pyh
75
1560
=
+=
+=

120 my x
Superficie terrestre Directriz)0,0(V ),60(yP m15 xy60= h y   

528. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
530

Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la parábola que tiene eje focal vertical y contiene los puntos ()1,5− , ()3,1
y ()7,5 .
SOLUCIÓN:
Ya que tiene eje focal vertical empleamos la ecuación 2
´ ´ ´ 0x C x D y F+ + + = (¿Por qué?).
Como los puntos pertenecen a la parábola, las coordenadas deben satisfacer su ecuación.
Reemplazando y simplificando:

() ()()
() ()()
() ()()
2
2
2
1 ´ 1 ´ 5 ´ 0
´ 5 ´ ´ 1
3 ´ 3 ´ 1 ´ 0 3 ´ ´ ´ 9
7 ´ 5 ´ ´ 49
7 ´ 7 ´ 5 ´ 0
C D F
C D F
C D F C D F
C D F
C D F
− + − + + =
− + + = −


+ + + =  + + = −

+ + = −
+ + + =


Resolviendo el sistema simultáneo se obtiene:

´6C=− , ´4D=− y ´ 13F=

Por tanto la ecuación buscada sería:
2
6 4 13 0x x y+ − − + =


Ejercicios Propuestos 18.4
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus
elementos).
a. 0142
2
=+−− yxx
b. 09222
2
=+−− yxy
c. 01364
2
=++− yxy
d. 01764
2
=+−−− yxx
2. Determine la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta definida por 1=y , contiene al punto ()3,0
y la menor distancia entre la parábola y la directriz es igual a 2.
3. Determine la ecuación canónica de la parábola donde la recta directriz tiene la ecuación 02=+y y los
extremos del lado recto son los puntos ()2,0A y ()2,8B .
4. Encuentre la ecuación canónica de la parábola que tiene eje focal vertical y contiene los
puntos:)
2
1
,
2
3
(),1,1(),0,0( −−
5. Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focal es horizontal.
6. Encuentre la ecuación canónica de la parábola que tiene eje focal horizontal contiene los puntos: )0,1(),1,0(),1,1(−−

7. Resuelva el problema anterior suponiendo ahora que el eje focal es vertical.
8. Los animales que saltan siguen una trayectoria parabólica. La figura adjunta muestra el salto de una rana
superpuesta a un sistema coordenado rectangular. Si la longitud del salto es de 9 pies y la altura máxima es
de 3 pies, entonces la ecuación que rige la trayectoria de la rana es:

a) 2
4 36 27 0x x y+ − =
b) 2
4 36 27 0x x y− − =
c) 2
4 36 27 0x x y+ + =
d) 2
4 36 27 0x x y− + =
e) 2
4 27 0xy−=

529. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
531
18.4. ELIPSE
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina Elipse.
• Encuentre ecuaciones canónicas y generales de Elipses.
• Grafique Elipses.
• Resuelva problemas relacionados con Elipses.
18.4.1 Definición
Sean 1
F y 2
F dos puntos del plano y sea a
una constante positiva. La Elipse se define
como el conjunto de puntos ( , )P x y , tales
que la suma de su distancia a 1
F con su
distancia a 2
F es igual a a2 . Es decir:
Elipse= ()()() aFPdFPdyxP 2,,/,
21
=+

A 1
F y 2
F se les denominan focos de la elipse y “a ” representa la
medida del semieje mayor de la elipse.
18.4.2. Ecuación Canónica
Sean ()0,
1
cF− y ()0,
2
cF , observe el gráfico:















De la definición tenemos: () aFPdFPd 2),(,
12 =+
Eje focal)0,0(O )0,(
1cF− c x y c )0,(
2cF )0,(
2
aV )0,(
1aV− a a b b ),(yxP

530. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
532 aycxycx 2)0()()0()(
2222
=−+++−+−

Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo
términos semejantes:
( )( )
() cxaycxa
ycxcxycxaaycxcx
ycxycxaaycx
ycxaycx
444
2)(442
)()(44)(
)(2)(
222
222222222
2222222
2
22
2
22
+=++
++−+++−=++−
+−+++−=+−
++−=+−
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo
términos semejantes:
( )( )
 
 
22242222
2224222
2
2
2
22
22
2)(
)(
xccxaayccxxa
xccaaycxa
cxaycxa
++=+++
++=++
+=++
( ) ( )
22222222
224222222
22242222222
22
caayaxca
caayaxcxa
xccxaayacacxaxa
−=+−
−=+−
++=+++
Dividiendo para ( )
222
caa−
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x a c a y a a c
a a c a a c a a c
−−
+=
− − −
1
22
2
2
2
=
−
+
ca
y
a
x
Finamente, llamando 222
cab −= tenemos:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x Ecuación canónica de la
elipse con centro ()0,0O y eje focal
horizontal
“b ” representa la longitud del semieje menor, Observe la gráfica
anterior.
Aquí el lado recto tiene dimensión a
b
2
2 . ¡Demuéstrelo!
Para los casos generales tenemos:
Suponga que el vértice es el punto ),(khV , y que el eje focal sea
horizontal entonces su ecuación sería:

531. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
533
()()
1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
Y su gráfica sería:











Observación: La dirección del eje focal está indicada por el término
que tiene el mayor denominador, es este caso ese sería el valor de “2
a ”.
Observe también que ba .
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería: ()()
1
2
2
2
2
=
−
+
−
b
hx
a
ky

Y su gráfica sería:













Eje focal),(khO ),(
1 kchF− x y ),(
2
kchF+ ),(
2
kahV+ ),(
1 kahV−
Lado recto
Eje focal),(khO ),(
1 ckhF − c x y c ),(
2
ckhF + ),(
2
akhV + ),(
1 akhV − a a b b

532. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
534
Ejemplo 1
Graficar la Elipse que tiene por ecuación 0156961001625
22
=−−++ yxyx . Indique
todos sus elementos.
Solución
La ecuación general dada, la transformamos a la ecuación canónica completando cuadrados
( )( )
() ()400316225
14410015696164425
22
22
=−++
++=+−+++
yx
yyxx
Ahora dividimos para 400
() ()
()()
1
25
3
16
2
400
400
400
316
400
225
22
22
=
−
+
+
=
−
+
+
yx
yx
La última ecuación nos indica que la elipse tiene:
1. Centro ()3,20−
2. Eje focal vertical, debido a que el mayor denominador está sobre el termino que contiene a “y ”
Entonces 525
2
== aa
3. 416
2
== bb
4. Lo anterior nos permite calcular el valor de c .
3
9
1625
22
=
=
−=
−=
c
c
c
bac
Por lo tanto la gráfica sería:












y x )6,2(
1−F )0,2(
2
−F )2,2(
2−V )8,2(
1−V )3,2(−O Eje Focal

533. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
535
Ejemplo 2
Hallar la ecuación general de la Elipse cuye eje mayor mide 20 unidades y los focos son
los puntos de coordenadas ( )35,.0 y ( )35,0− .
SOLUCIÓN:
Primero representamos en el plano cartesiano los puntos dados.




















Observamos que la elipse tiene como eje focal, el eje y, que 35=c . Como nos dicen que el eje mayor
mide 20 unidades, entonces 10=a . Esto, nos permite calcular b :
()()
2
2
2 2 2
10 5 3 100 75 25 5b a c b= − = − = − =  =
Finalmente la ecuación de la elipse sería:
1004
1
25100
22
22
=+
=+
yx
xy

Ejemplo 3
Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. Y el eje menor 6 km.
Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento
en que pasa a la altura de uno de los focos.
Solución
Representando en el plano cartesiano la información proporcionada, tenemos:








y Eje Focal)0,0(O )35,0(
1
F )10,0(
1V )35,0(
2
−F )10,0(
2
−V
)0,0(O )0,4(
2
F )0,4(
1
−F )0,5(
1
V )0,5(
2
−V carroa
b
2 d

534. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
536
La ecuación de la elipse sería: 1
35
2
2
2
2
=+
yx

Como 5=a y 3=b entonces 4
16925
222
=
=−=−=
c
bac

La dimensión de la altura de uno de los focos a la elipse es la mitad de la dimensión del lado recto





Empleando el teorema de Pitágoras, resulta: ()
5
481
4
2
5
92
=
+=
d
d


Ejercicios Propuestos 18.5
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus
elementos).
a. 011181694
22
=−+−+ yxyx
b. 011161849
22
=−−++ yxyx
2. Si los focos de una elipse son los puntos )3,2(),3,4(
21
=−= FF y el perímetro del triángulo cuyos
vértices son los focos y un punto de la elipse, es igual a 16, determine la ecuación de la elipse.
3. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base tiene 30 m. y su parte más alta con
respecto a la tierra es 10 m. Determine la altura del arco a 6 m. del centro de la base.
4. Determine los valores de k para que la ecuación kyxyx =+++ 1222
22 describa una elipse.
5. La Tierra gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica con excentricidad igual a 0.0172 y eje mayor
de 6
299 10 Km. Si el sol está ubicado en uno de los focos de la elipse, determine la mayor y la menor
distancia entre la Tierra y el Sol. (NOTA: excentricidad c
a
e= )
6. Si una elipse tiene como centro al punto (2,3), su eje mayor es paralelo al eje x, la longitud del eje menor es
4 y la distancia desde uno de los vértices del eje mayor a uno de los vértices del eje menor es 13
entonces es VERDAD que uno de los siguientes puntos pertenece a la elipse:
a) ()4,5 b) ()3,0 c) ()2,1− d) ()5,3 e)( )4, 10
7. La elipse mostrada en el gráfico tiene focos1
F y 2
F y ecuación 22
1
81 25
xy
+= . El perímetro del cuadrilátero 21
AF BF
es igual a:
a) 20
b) 36
c) 1
d) 10
e) Faltan datos




4=c 5
9
2
=
a
b d carro

535. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
537
18.5. HIPÉRBOLA

OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina Hipérbola.
• Encuentre ecuaciones canónicas y generales de Hipérbolas.
• Grafique Hipérbolas.
• Resuelva problemas relacionados con Hipérbolas.

18.5.1 Definición
Sean 1
F y 2
F dos puntos del plano y sea a
una constante positiva. La Hipérbola se
define como el conjunto de puntos ),(yxP
del plano, tales que el valor absoluto de la
diferencia de su distancia a 1
F con su
distancia a 2
F es igual a a2 . Es decir:
Hipérbola= ()()() aFPdFPdyxP 2,,/,
21
=−

A 1
F y 2
F se les denominan focos de la hipérbola.
18.5.2 Ecuación Canónica
Sean ()0,
1
cF− y ()0,
2
cF , observe el gráfico:














Eje focal)0,0(O )0,(
1cF− x y )0,(
2cF )0,(
2
aV )0,(
1aV− ),(yxP b b
Asintota
Asintota

536. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
538

De la definición tenemos: () aFPdFPd 2),(,
21 =−
aycxycx 2)0()()0()(
2222
=−+−−−++

Despejando un radical, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes:
( )( )
()
222
222222222
2222222
2
22
2
22
444
2)(442
)()(44)(
)(2)(
ycxaacx
ycxcxycxaaycxcx
ycxycxaaycx
ycxaycx
+−=−
++−++−+=+++
+−++−+=++
+−+=++
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y reduciendo términos
semejantes: ( )( )
 
 
22224222
2224222
2
22
2
2
22
)(2
)(
yccxxaacxaxc
ycxaacxaxc
ycxaacx
++−=+−
+−=+−
+−=−
( ) ( )
22222222
422222222
22222224222
22
acayaxac
acayaxaxc
yacacxaxaacxaxc
−=−−
−=−−
++−=+−

Dividiendo para ( )
222
aca−
)(
)(
)()(
)(
222
222
22
22
222
222
aca
aca
ac
ya
aca
acx
−
−
=
−
−
−
− 1
22
2
2
2
=
−
−
ac
y
a
x

Finamente, llamando 222
acb −= tenemos:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x Ecuación canónica de la
hipérbola con centro ()0,0O y eje
focal horizontal
Aquí “b ” representa la longitud del segmento (Observe la gráfica
anterior) llamado semieje conjugado.
Para los casos generales tenemos:

537. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
539
Suponga que el vértice es el punto ),(khV , y que el eje focal sea
horizontal entonces su ecuación sería:
()()
1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
Y su gráfica sería:












OBSERVACIÓN : La dirección del eje focal esta indicada por el
término positivo y además sobre este término estará “2
a ”.
Por lo tanto, si el eje focal fuese vertical, su ecuación sería: ()()
1
2
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky

Y su gráfica sería:












Eje focal),(khO ),(
1 kchF− x y ),(
2 kchF+ ),(
2
kahV+ ),(
1 kahV−
Asintota
Asintota
Eje focal),(khO ),(
1 ckhF − x y ),(
2
ckhF + ),(
2
akhV + ),(
1 akhV −

538. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
540
Ejemplo 1
Graficar la hipérbola que tiene por ecuación 01623
22
=−++− yxyx . Indique
coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓN:
Agrupando y completando cuadrados para darle la forma canónica a la ecuación: ( )( )
()()
()()
()()
1
1
11
1113
1131
31112312
2
3
1
2
22
22
22
=
+
−
−
=+−−
−=−−+
−+=+−−++
xy
xy
yx
yyxx

Se concluye que:
1. La hipérbola tiene eje focal vertical, debido a que el termino positivo es el que contiene a “y”.
2. 3
1
3
12
== aa
3. 11
2
==bb
El valor de c se lo calcula empleando la fórmula 22
bac += , es decir: 3
1
3
4
3
122
21 ==+=+= bac

Por lo tanto su gráfica sería:













Las ecuaciones de las asíntotas se determinan igualando a cero la ecuación canónica:
()()
()()
() ()
() ()
()
22
22
22
2
3 1 1 0
3 1 1
3 1 1
3 1 1
1
1
3
yx
yx
yx
yx
x
y
− − + =
− = +
− = +
− =  +
+
−=  ()1
1
3
x
y
+
=
Eje focal)1,1(−C 3
1
1
1,1(+−=V 3
1
2
1,1(−−=V 3
1
2 21,1(−−=F 3
1
1 21,1(+−=F

539. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
541
Ejemplo 2
Hallar la ecuación general de la cónica que tiene por focos los puntos )3,1( y )3,7( ; y por
vértices los puntos )3,2( y )3,6(
SOLUCIÓN:
Representando los focos y vértices en el plano cartesiano, sacamos las conclusiones necesarias para
plantear la ecuación buscada














Del gráfico se observa que:
1. El eje focal debe ser horizontal.
2. El centro tiene coordenadas ()3,40 .
3. 2=a y 3=c
El valor de b se calcula empleando la formula 22
acb −= , es decir:
549
22
=−=−= acb
Ahora hallando la ecuación de la hipérbola, tenemos:
()()
( )( )
024244045
0203624480405
209641685
1
5
3
4
4
22
22
22
22
=++−−
=−−+−+−
=+−−+−
=
−
−
−
yxyx
yyxx
yyxx
yx

Ejemplo 3
Determine la ecuación de la hipérbola que tiene como asíntotas las rectas: 4 3 7xy−= , 4 3 1xy+=
, su eje principal es paralelo al eje X y contiene el punto ()41,−
SOLUCIÓN:
La intersección de las asuntotas será el centro de la hipérbola
Eje focal()3,1
1
F ()3,2
1V ()3,4O ()3,6
2V ()3,7
2
F

540. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
542
4 3 7
4 3 1
8 8 1
xy
xy
xx
−=

+=
=  = Reemplazando: ()4 1 3 1
33
1
y
y
y
+=
=−
=−
Por ahora la ecuación sería ()()
22
22
11
1
xy
ab
−+
−=
La relación entre a y b está dada por la pendiente de la asíntota 4 3 7xy−= , es decir b
m
a
= . Es
decir 44
33
=  =
b
ba
a
Las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación de la hipérbola:
()( )
22
22
2
2
4 1 1 1
1
4
3
9
1
93
− − +
−=



=
=  =
a
a
a
aa  4
34
3

=  =


bb

()()
22
11
1
9 16
−+
−=
xy



Ejercicios Propuestos 18.6
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (Indique todos sus
elementos).
a. 09181694
22
=−+−− yxyx
b. 09161849
22
=−−+− yxyx
2. Determine la ecuación de las asíntotas de la hipérbola definida por 016834
22
=++− xyx .
3. Determine la ecuación de la recta que contiene al centro de la hipérbola cuya ecuación es 0498324
22
=+−+− yxyx
y es perpendicular a la recta definida por la ecuación 0392 =+−yx
.
4. Determine la distancia entre los vértices de la cónica con ecuación 9244189
22
=+++− yyxx
5. Si una hipérbola, una circunferencia de radio 5 y el rectángulo ABCD de lado6=AB , están ubicados en
el plano cartesiano como se muestra en la figura, determine la distancia entre los vértices de la hipérbola.

541. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
543
6. Si se conoce que los vértices de una hipérbola tienen coordenadas ()5, 2− y ( )3, 2−− , y que uno de los
focos tiene coordenadas ()6, 2− . Entonces la ecuación de la hipérbola es:
a) ()()
22
12
1
43
xy+−
−= b) ()()
22
12
1
16 9
xy−+
−=
c) ()()
22
12
1
16 9
xy+−
−= d) 22
4 3 8 6 0x y x y− + − =
e) ()()
22
21
1
9 16
yx−+
−=


Otras regiones del plano, importantes a considerar, serían
aquellas que están definidas por inecuaciones.

Ejemplo 1
Grafique la región del plano () 4/,
2
−= xyyxR
SOLUCIÓN:





















Ejemplo 2
Grafique la región del plano () 4/,
22
+= yxyxR
















y x 4
2
−=xy 4
2
−xy 4
2
−xy
y x 4
22
=+yx 4
22
+yx 4
22
+yx 2

542. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
544
Ejemplo 3
Grafique la región del plano () 1/,
22
−= yxyxR































Ejemplo 4
Grafique la región del plano () 124/,
2
−−= xyxyxR
























y x 1
22
=−yx 1
22
−yx 1 1
22
−yx 1
22
−yx
90()5,3 ( )3,1−− 4
2
−=xy 12−=xy

543. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
545
Ejemplo 5
Grafique la región del plano () 
2 1
2
, / 4 2R x y x y x= − −   − +





















Ejercicios Propuestos 18.7
1. Si 1:),(
2
2
2
2
−
b
y
a
x
yxp , grafique ),(yxAp .
2. Grafique las regiones en el plano definidas por:
1. 953
22
+yx
2. 16
22
+yx
3. 1
918
22
+
yx
4. 1
10025
22
−−
yx
3. Grafique en el plano el conjunto solución de los siguientes sistemas:
1) 




+
+
2
16
22
yx
yx

2) 




+
+
4
1
22
22
yx
yx



Misceláneos
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones: (indique
vértices, focos, centros, asíntotas)















a) 02264
2
=+−+ xyy
b) 3210653
22
=++− yxyx
c) 0361212
22
=+−−+ yxyx
d) 0663
22
=+++ xyx
e) 0934
22
=+−++ yxyx
f) 011385449
22
=++−− yxyx
g) 32894
22
=−+ xyx
h) 42)1(
2
+=− xy
i) 044
2
=−− yxx
j) 04164
22
=+−+− yyxx
k) 0156961001625
22
=−−++ yxyx
l) 02884
2
=+−− xyy
m) 016834
22
=++− xyx 2
4xy −−= 2
2
1
+−=xy

544. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
546
2. Califique como Verdadera o falsa cada una de las proposiciones. Justifique
formalmente su respuesta.
a. La ecuación cbyaxyx =+++
22 representa una circunferencia para todos los números
reales diferentes de cero a,b,c.
b. La distancia entre los focos de la gráfica de 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x es 22
2 ba−
c. La ecuación 042
22
=+−+ kxyx describe una circunferencia si y sólo si ( )()+−− ,22,k

d. El vértice de una parábola es el foco de la otra parábola y viceversa, si la ecuación de una de ellas es 0142
2
=+−− xyy
, entonces la ecuación de la otra parábola es 0422
2
=−++ xyy
e. La cónica de ecuación 2
21y x x= + − , tiene su foco en ()1,0 .
f. Sea la parábola P , cuya ecuación es 2
: 2 3 5 2 0P y y x− + + = , su foco tiene por coordenadas 0
107 3
,
40 4
F

−



g. Sea la ecuación 22
2 3 2 0Ax y x y− + − = con Re= ; 0A , la ecuación describe una
hipérbola.
h. Sea P la cónica descrita por la ecuación 2
4 8 0x x y+ − = , denotamos s
E su eje de
simetría y R
L su lado recto, entonces el punto de intersección entre s
E y R
L tiene coordenadas 3
2,
2

−




3. Determine la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el vértice de la parábola que tiene
por ecuación 03
2
=−+ yyx , y contiene al foco de la misma.
4. Una circunferencia tiene por ecuación ()12
22
=−+yx . La recta de ecuación kxy= donde Rk
, es tangente a la circunferencia. Halle todos los valores posibles de k .
5. Determine la ecuación del conjunto de puntos ),(yxP tales que la suma de la distancia de P a
los puntos )0,4(− y )0,4( es 14.
6. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos ),(yxP tales que la distancia al punto )3,1(−
es dos veces la distancia a la recta definida por la ecuación 04=−x .
7. Un avión sigue una trayectoria tal que su distancia a una estación de radar situada en el punto )0,2(
es igual a un tercio de su distancia a una carretera que sigue el trayecto de la recta definida por 2−=x
. Determine la ecuación de la trayectoria que sigue el avión.
8. Determine la ecuación del lugar geométrico compuesto de puntos ),(yxP que cumplen con la
condición de que su distancia al eje ‘y’ es el doble que su distancia al punto (2,-3).
9. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto (2,-2) es siempre igual a un tercio de su
distancia al punto (4,1). Determine la ecuación del lugar geométrico,
10. Determine la ecuación general del lugar geométrico definido por el conjunto de puntos ()yx,
ubicados en el plano tales que la distancia al punto ( )2,1−− es el doble de la distancia a la recta
definida por la ecuación 03=−x .
11. Determine la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la distancia
a la recta 03=+x es siempre dos unidades mayor que su distancia al punto (1,1).
12. Sea 




=−−
=−+
0522
0254
:),(
22
22
yx
yx
yxp hallar ),(yxAp .
13. Hallar los valores de ‘b’ para los cuales el sistema: 




+=
=+
bxy
yx 4
22 tiene solución única.
14. Sea el sistema 




=+−−−
=++−−
01628
01638
22
2
11
2
axayy
axayy , 12
,aa
+
 . Encuentre los valores de 21
,aa
para que el sistema tenga solución en 2 .

545. Moisés Villena Muñoz Cap. 18 Geometría Analítica
547

15. Encontrar el conjunto solución de los siguientes sistemas (realice las respectivas gráficas)
a) 




+=
=
32
2
xy
xy
b) 


=−
=+
96
25
2
22
yx
yx
c) 




−=
=
2
2
9
20
xy
yx
d) 




=−
=+
4
12
22
22
yx
yx

16. Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto (-1,6) y es tangente al lugar geométrico que tiene
por ecuación 0362
22
=−−−+ yxyx .
17. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 2
3
− y es tangente al lugar geométrico que tiene
por ecuación 0474844
22
=−+++ yxyx .
18. Hallar la ecuación de la recta que es paralela a la recta que tiene por ecuación0314 =++yx y es
tangente al lugar geométrico que tiene por ecuación 086
22
=−++ xyx .
19. Determine la ecuación de la recta l que contiene al centro de la elipse de ecuación 0436894
22
=+−++ yxyx
y contiene al foco de la parábola de ecuación 0546
2
=+−− yxx
.
20. Determine la ecuación de la parábola que es cóncava hacia arriba y contiene tres de los vértices de la
elipse cuya ecuación es 22
9 4 36xy+= .
21. Determine el valor de la distancia mínima entre la circunferenciaC y la recta L , si sus ecuaciones
son respectivamente 22
: 2 4 4 0C x y x y+ + − − = y : 2 6 0L x y− − = .
22. Dadas una circunferencia C y una elipse E que son concéntricas de las cuales se conoce la
ecuación de la elipse 22
:9 16 18 64 62 0E x y x y+ + − − = y que C es tangente al eje,
determine la ecuación de C .
23. Demostrar que la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 222
ryx =+ , en el punto ),(
11
yx
perteneciente a la circunferencia es: 2
11
ryyxx =+ .
24. Sea el sistema 2
;0
23
y mx m
x y y
=

= + + . El valor de “m” para que el sistema tenga solución única es:
a) 13+ b) 13
4
−+ c) 3
2 d) 2 e) 4
3
25. Con referencia al sistema 22
2
4 25 0
2 5 0
xy
xy
+ − =

− − = . Se puede afirmar que:
a) No tiene solución.
b) Tiene infinitos números de soluciones.
c) ()3,2− es un elemento de su conjunto solución.
d) Su conjunto solución tiene 2 elementos.
e) Tiene solución única.

546. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
549


19
19.1 DEFINICIÓN
19.2 IGUALDAD
19.3 OPERACIONES
19.4 REPRESENTACIÓN RECTANGULAR
19.5 CONJUGADO
19.6 FORMA POLAR
19.7 POTENCIACIÓN
19.8 RADICACIÓN



El conjunto universo de los números es los Complejos. Aquí podremos
dar solución a problemáticas que aún estaban sin resolver, como raíces
pares de números negativos, logaritmos de números negativos, …

547. 550
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Conceptualice a los números complejos.
• Sume, reste, multiplique, divida a números complejos.
• Represente rectangular y polarmente a un número complejo.
• Obtenga potencia de números complejos.
• Obtenga raíces de números complejos.

19.1. DEFINICIÓN
El conjunto de los números complejos,
denotado con la letra , se lo define
como:
() ,/z x y x y= =   

Es decir, lo podemos relacionar con el conjunto de los pares
ordenados. De esta manera nos permitirá inicialmente comprender sus
propiedades.
A “x ” se le llama “Parte Real” y se lo denota como ()Rez y a “y ” se le
llama “Parte Imaginaria” y se lo denota como ()Imz .

19.2 IGUALDAD
Si ()
1 1 1
,z x y= y ( )
2 2 2
,z x y= entonces 12
zz=
si y sólo si 12
xx= y 12
yy=



19.3 OPERACIONES
19.3.1 SUMA
Si ()
1 1 1
,z x y= y ( )
2 2 2
,z x y= entonces ( )
1 2 1 2 1 2
,z z x x y y+ = + +
.



Ejemplo
Sea ( )
1
2, 3z=− y ()
2
1, 2z=− entonces ( )()
12
2 1, 3 2 1, 1zz+ = − − + = −

548. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
551

19.3.1.1 PROPIEDADES
1. Si 12
,zz entonces 12
zz+ Propiedad de Cerradura
2.  
1 2 1 2 2 1
,z z z z z z  + = + Propiedad Conmutativa
3. ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
,,z z z z z z z z z  + + = + +

Propiedad Asociativa
4. ()0,0 ,(),xy tal que ()()(), 0,0 ,x y x y+= .
Donde ()0,0 es llamado el Elemento Idéntico Aditivo
5. (),xy ,( ),xy

 tal que ()( )(), , 0,0x y x y

+= .
Donde ( ),xy
 es llamado el Elemento inverso Aditivo


19.3.2 MULTIPLICACIÓN ENTRE COMPLEJOS
Si ()
1 1 1
,z x y= y ( )
2 2 2
,z x y= entonces:
( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
,z z x x y y x y y x= − +


Ejemplo
Sea 1 1
1
2, 3
xy
z

=−

 y 22
2
1, 2
xy
z

=−
 entonces
()()()()()()()() ()( )()
1 2 1 2 1 2 1 2
12
,2 1 3 2 2 2 3 1 2 6 ,4 3 4, 7
x x y y x y y x
zz −+


= − − − − = − − − + =




Más adelante podremos realizar la multiplicación entre complejos de
una manera más sencilla.

19.3.2.1 PROPIEDADES
1. Si 1
z y 2
z entonces 12
zz Propiedad de Cerradura
2.  
1 2 1 2 2 1
,z z z z z z  = Propiedad Conmutativa
3. () ()
1 2 3 1 2 3 1 2 3
,,z z z z z z z z z  = 
 Propiedad Asociativa
4. ()1,0 ,(),xy tal que ()()()1,0 , ,x y x y= .

549. 552
Donde ()1,0 es llamado “Idéntico Multiplicativo”
5. () (), 0,0xy  − ,( ),xy

 tal que()( )(), , 1,0x y x y

= .
Donde ( )
2 2 2 2
,,
xy
xy
x y x y
 
=−

++ es llamado “Inverso Multiplicativo”

19.3.3 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALA R
Si  y (),z x y= entonces:
()( ),,z x y x y   == .

Ejemplo
Sea ( )2, 3z=− entonces ( )( )5 5 2, 3 10, 15z= − = −
19.3.3.1 PROPIEDADES
1. Si  y z entonces z Propiedad de Cerradura
2. ( )
1 2 1 2 2 1
;,z z z z z z       + = +

Propiedad Distributiva
3. ( ),; z z z z         + = +

Propiedad Distributiva
4. () ()(),; z z z z          = = 
 .
Propiedad Asociativa
5.  1 ; 1z z z    = .
Donde 1 es llamado el Elemento Idéntico

19.4 REPRESENTACIÓN RECTANGULAR
El complejo (),z x y= puede ser expresado de la forma ()()(), 1,0 0,1z x y x y= = +
.
Observe que ()1,0 1= y llamemos ()0,1i= , entonces

550. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
553

z x yi=+
Tenemos una nueva representación que de aquí en adelante será muy
útil.
Veamos a que es igual 2
i .
()()()()()()()()()()( )()()
2
1
0 0 1 1 , 0 1 1 00,1 0,1 1,0 1 1,0i i i −−= = = = − = −
Entonces 2
1i=− .
Con la forma rectangular de los números complejos podemos
multiplicarlos fácilmente.
Ejemplo
Sea ()
1
2, 3z=− y ()
2
1,2z=− entonces 1
23zi=− y 2
12zi= − + .
Ahora veamos el producto: ( )( ) () ()
2
12
2 3 1 2 2 4 3 6 2 7 6 1 2 7 6 4 7 4,7z z i i i i i i i i= − − + = − + + − = − + − − = − + + = + =


Observe que se obtiene el mismo resultado anterior.
También podemos calcular rápidamente potencias de i .
Ejemplo
()
32
i i i i= = − ()
2
42
1ii==
()
2
52
i i i i== ()
3
62
1ii= = −
()
3
72
i i i i= = − ()
4
82
1ii==
()
4
92
i i i i== ()
5
10 2
1ii= = −


19.5 CONJUGADO
Sea z x yi=+ entonces el conjugado de z ,
denotado por z , se define como:
z x yi=−

551. 554
19.5.1 PROPIEDADES
1. ()
22
,z x y z z x y =  = +

2. ()z z z

  =

3. 1 2 1 2 1 2
,,z z z z z z  + = +

4. 1 2 1 2 1 2
,,z z z z z z  =


Demostremos la primera propiedad. El resto se la deja como ejercicio
para el lector
Sea z x yi=+ , entonces z x y i=− . Ahora hagamos el producto:
( )( )
()
()
2
2
2 2 2
22
22
1
zz x y i x y i
x yi
x y i
xy
zz x y
= + −
=−
=−
= − −
=+

Este resultado es interesante. El producto de un número complejo con
su conjugado es un número real.

Esta propiedad es útil para la división entre números complejos.

Ejemplo 1
Sea 1
16 11zi=− y 2
32zi=+ hallar 1
2
z
z .
SOLUCIÓN:
1
2
16 11
32
z i
zi
−
=
+ Multiplicamos y dividimos por el conjugado del
denominador
( )( )
( )( ) ()()
2
1
22
2
1
2
16 11 3 2 48 32 33 22 26 65
3 2 3 2 13 32
25
iiz i i i i
z i i
z
i
z
−− − − + −
= = =
+− +
=−

552. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
555

Ejemplo 2
Sea 1
47zi=+ y 2
12zi= − + hallar 1
2
z
z .
SOLUCIÓN:
1
2
47
12
z i
zi
+
=
−+ Multiplicamos y dividimos por el conjugado del
denominador
( )( )
( )( ) ()()
2
1
22
2
1
2
4 7 1 2 4 8 7 14 10 15
1 2 1 2 5 12
23
iiz i i i i
z i i
z
i
z
+ − − − − − − −
= = =
− + − − −+
=−




Ejemplo 3
Sea 1
1 12zi= − + y 2
12zi=− hallar 1
2
z
z .
SOLUCIÓN:
1
2
1 12
12
z i
zi
−+
=
− Multiplicamos y dividimos por el conjugado del
denominador
( )()
()() ()()
2
1
22
2
1
2
1 12 1 2 1 2 12 24 25 10
1 2 1 2 5 12
52
iiz i i i i
z i i
z
i
z
− + + − − + + − +
= = =
−+ +
= − +


Ejemplo 4
Sea 1
25zi=+ y 2
23zi= − − hallar 1
2
z
z .
SOLUCIÓN:
1
2
25
23
z i
zi
+
=
−− Multiplicamos y dividimos por el conjugado del
denominador
( )( )
( )( )
()()
1
2
22
1
2
2 5 2 3
2 3 2 3
19 4
23
25 10
13
25 10
13 13


iiz
z i i
i
i
z
i
z
+ − +
=
− − − +
−−
=
−+
−+
=
= − +

553. 556
Ejemplo 5
Calcular 7 16
1
ii
z
i
−
=
− .
SOLUCIÓN:
Calculamos las potencias de i :
()()
38
22
7 16
1
1 1 1
i i ii i i
z
i i i
−− − −
= = =
− − + − +
Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador y simplificamos:

( )( )
( )( )
()()
2
22
11
11
1
11
2
2


ii
z
ii
i i i
i
zi
− − − −
=
− + − −
+ + +
=
−+
=
=



Ejercicios Propuestos 19.1
1. Determine el valor de 151 41
23
ii
i
−
− .
2. Simplifique la expresión 45
( 3 2 )
(1 3 )(1 3 )
ii
ii
−+
+− .
3. Calcular 1
1
1
1
1
i
i
i
zi
i
i
−
−
+
=−
−
−
+
4. Calcular 1
1
1
i
z
i
i
i
=
−
−
−
5. Sea 4 3 2
1 2 3 4
()f x x a x a x a x a= + + + + , un polinomio de coeficientes reales. Si (1 ) 0fi+= y ( ) 0fi=
, determine los valores de los coeficientes del polinomio.
6. Demuestre que z , z z z  =

7. Al reducir la expresión 1
1
1
1
i
i
i
i
+
+
+
+ a la forma x yi+ donde ,xy se obtiene:
a) 2 3 1 3i−
b) 4 3 2 3i+
c) 23i+
d) 1 1 2i+
e) 1 5 3 5i+

554. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
557

19.6 FORMA POLAR
Anteriormente definimos a un número complejo como un par ordenado
de números reales. Si ubicamos este par ordenado como un punto en el
plano, existe otra forma de representar un número complejo.
Observe la figura.






A z se le llama “Módulo de z ”, también se lo denota como “r ”, y está
dado por:
22
z r x y= = +
A 0
 se le llama “Argumento de z ”, también se lo denota como ()argz
, y está dado por:
()
0
arg arctan
y
z
x


==

 ; 0x , 0
02
Observe que se podría obtener otras representaciones polares para el
mismo complejo z , basta considerar:
()
0
2;kk  = + 
A 0
 le llamaremos “Argumento fundamental de z ”.
x y (),zPxy= zr= 0


555. 558
Otras igualdades que van a resultar útiles son las siguientes:
0
0
cos
sen
xr
yr


=

=

Se deducen de acuerdo al grafico anterior.
Con la Identidad de Euler cos sen
i
ei

=+ (su demostración
escapa del alcance de este texto) y con las igualdades que hemos
obtenido se puede obtener la representación polar de un número
complejo:
( )
0
00
00
cos sen
cos sen
i
z x yi r r i
z r i
z r e



= + = +
=+
=
Y en general quedaría: ( )
0
2
;
ik
z r e k
+
=

Ejemplo 1
Encuentre la representación polar del complejo 1zi=+ .
SOLUCIÓN:
Calculamos el módulo y su argumento:
2 2 2 2
1 1 2z r x y= = + = + =
()
0
1
arctan a arctan arctan1 2 ;
1 4 4
y
kk
x

  = = = =  = + 
Por lo tanto, 2
4
1 2 ;
ik
z i e k



+


= + = 


Ejemplo 2
Encuentre el módulo de 12
iz z
e donde 1
2zi=+ y 2
12zi=− .
SOLUCIÓN:
Reemplazando tenemos: ()() ( ) ()
2
2
12
2 4 2
2 1 2 4 3 4 3 4 3 3 3
i i i i
i i i i iiz z i i i i
e e e e e e e e
− + −
+ − − −+
= = = = = =

Por tanto, su módulo es 3
e .

556. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
559

Ejemplo 3
Si Re= y sea (): 1 2p z z−= . Hallar ()Ap z y describa su lugar geométrico.
SOLUCIÓN:
Supongamos que z x yi=+ , entonces:
()
()
()
2
2
2
2
1 2 1 2
12
12
14



z x yi
x yi
xy
xy
− =  + − =
 − + =
 − + =
 − + =
Por lo tanto, ()()() 
2
2
, / 1 4Ap z x y x y= − + = describe una circunferencia de centro ()1,0C y radio 2r=


Ejemplo 4
Si Re= , calcular ()ln 1− .
SOLUCIÓN:
Primero hallemos la forma polar del complejo: 10zi= − + .
()()
22
22
1 0 0z r x y= = + = − + =
()
0
0
arctan arctan arctan 0
1
y
x
= = =
−
Como la parte real es negativa y la parte imaginaria es cero, entonces: 0
=
Entonces: ( )2
1;
ik
ek
+
− =  .
Ahora: ()
( )
( )( ) ( )
2
ln 1 ln 2 ln 2 ;
ik
e i k e i k k

   
+
− = = + = + 

19.6.1 PROPIEDADES
Sean 12
,,z z z , entonces:
1. zz=
2. 2
z z z=
3. 1 2 1 2
z z z z+  +
4. 1 2 1 2
z z z z=
5. 11
22
zz
zz
=
6. ()
1 2 1 2
arg arg argz z z z=+
7. 1
12
2
arg arg arg
z
zz
z

=−

¡No olvide demostrarlas!

557. 560
La representación polar de un número complejo es útil en la
potenciación y en la radicación de los números complejos.

19.7 POTENCIACIÓN.
Sea n . Empleando la notación polar
tenemos: ()
n
n i n in
z r e r e

==

Ejemplo 1
Calcular ()
10
1i+ .
SOLUCIÓN:
Del ejemplo anterior tenemos que: 4
12
i
ie

+= , entonces:
() ()
10 10
5
10
10
54 4 2
1 2 2 2
i i i
i e e e
  
   
+ = = =   
   
Ahora empleamos la identidad de Euler:
()

()
5
10
5
2
10
55
1 2 32 cos sin
22
32 cos sin
22
32 0
1 32


i
i e i
i
i
ii



   
+ = = +
   
   
   
=+
   
   
=+
+=

Ejemplo 2
Calcular ( )
5
13i− .
SOLUCIÓN:
Primero hallemos la forma polar del complejo: 13zi=− .
()
2
2 2 2
1 3 2z r x y= = + = + − =
()0
3
arctan arctan arctan 3
1
y
x

−
= = = −
Como la parte real es positiva y la parte imaginaria es negativa, 0
 es un ángulo del cuarto cuadrante.
Entonces: 0
5
3

=
Entonces: 5
3
1 3 2
i
ie

−=
Entonces: ( )
5
5 25
5
533
1 3 2 2
ii
i e e


− = =

Ahora empleamos la identidad de Euler:

558. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
561

( )
( )
25
5
3
5
25 25
1 3 32 32 cos sin
33
32 cos sin
33
13
32
22
1 3 16 16 3


i
i e i
i
i
ii



   
− = = +
   
   
   
=+
   
   

=+

− = +


19.8 RADICACIÓN
Sea n . Entonces:
( )
( )
( )
0
0
1
1
2
2
1
0,1, , 1;
nikn n
k
i
n nn
kn
z z r e
z r e


+
+
=−
==
=

Ejemplo 1
Calcular las raíces cuadradas del complejo 1− .
SOLUCIÓN:
Primero hallemos la forma polar del complejo: 10zi= − + .
()()
22
22
1 0 1z r x y= = + = − + =
()
0
0
arctan arctan arctan 0
1
y
x
= = =
−
Como la parte real es negativa y la parte imaginaria es cero, entonces: 0
=
Entonces: ( )2
1
ik
e
+
−=
Entonces: ( )
( )
( )2
1
222 2
1 ; 0,1
k
i
ik
e e k


+
+
− = = =
Las dos raíces cuadradas serían:
()( )20
22
1
0 cos sin
22
ii
k z e e i i
 

+
=  = = = + =
()( )21 3
22
2
33
1 cos sin
22
ii
k z e e i i
 

+
=  = = = + = −

559. 562
Ejemplo 2
Calcular las raíces cúbicas del complejo 8i .
SOLUCIÓN:
Primero hallemos la forma polar del complejo: 08zi=+ .
()()
22
22
0 8 8z r x y= = + = + =
Como la parte real es cero y la parte imaginaria es positiva, entonces: 0
2

=
Entonces: 2
2
8
ik
ie



+


=
Entonces: ( )
1 2
3 42
2
23 36
8 8 2 2 ; 0,1,2
k
k
ik ii
i e e e k


 


+

+

+



= = = =


Las tres raíces cúbicas serían:
()( )40
66
1
31
0 2 2 2 cos sin 2 3
6 6 2 2
ii
k z e e i i i
 

+

=  = = = + = + = + 
  ()( )41 5
66
2
5 5 3 1
1 2 2 2 cos sin 2 3
6 6 2 2
ii
k z e e i i i
 

+

=  = = = + = − + = − + 
 
 
()( )
()
42 9 3
66 2
3
33
2 2 2 2 2 cos sin 2 0 2
22
ii i
k z e e e i i i
  

+

=  = = = = + = − = −




Note que las n raíces de un número complejo están igualmente
espaciadas un ángulo de 2
n
 .

Ejemplo 3
Calcular las raíces cuartas del complejo 16i− .
SOLUCIÓN:
Primero hallemos la forma polar del complejo: 0 16zi=− .
()()
22
22
0 16 16z r x y= = + = + − =
Como la parte real es cero y la parte imaginaria es negativa, entonces: 0
3
2

=
Entonces: 3
2
2
16
ik
ie



+


−=
Entonces: ( )
3
1
2
43 342
2
24 84
16 16 2 2 ; 0,1,2,3
k
k
ik ii
i e e e k


 


+

+

+



− = = = =


Las cuatro raíces cuartas están igualmente espacias 2
 y serían:
()( )3 4 0 3
88
1
33
0 2 cos sin
88
ii
k z e e i
 

+
=  = = = + ()( )3 4 1 7
88
2
77
1 2 cos sin
88
ii
k z e e i
 

+
=  = = = +
()( )3 4 2 11
88
3
11 11
2 2 cos sin
88
ii
k z e e i
 

+
=  = = = +
()( )3 4 3 15
88
4
15 15
3 2 cos sin
88
ii
k z e e i
 

+
=  = = = +

560. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
563

Ejemplo 4
Sea Re= . Sea ()
2
: 1 0p x x+= . Hallar ()Ap x .
SOLUCIÓN:
Si despejamos x, tenemos:
22
1 0 1 1x x x+ =  = −  = −
Entonces, el problema sería el mismo del ejemplo 1. Por lo tanto: (),Ap x i i=−


Ejercicios Propuestos 19.2
1. Encuentre z , ()argz , ()lnz :
a. 2z=
b. 4zi=
c. 2zi=−
d. 1zi=−
e. 55zi=+
f. 55zi= − −
g. 4i
ze

=
h. 25i
ze
−
=
i. 2
2
3
i
ze

+
=

2. Determine el valor de la expresión 4
3
31
131
ii
i
−+
 
−+ .
3. Si 1
1zi=+ , 2
3zi= , 3
13zi= − − , determine 4
1
32
2
z
z
z
−
4. Demuestre que z , arg( ) arg( )zz=−
5. Simplifique la expresión 49
(1 ) ( 3 )ii− + + .
6. Si x , encuentre las soluciones de 4
10x−= .
7. Si z , encuentre las soluciones de 8
10z−=
8. Si z determine la solución de la ecuación 2 4 3
13
z
ii
i
− + = −
+ .
9. Si Re= , encuentre las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a. 2
90x+=
b. 3
10x+=
c. 4
30x−=
d. 4
16 0x+=
e. 5
10xi+ − =


10. Indique si el valor de verdad de la proposición es VERDADERO o FALSO. Justifique
a. La expresión 10
13
13
i
i
+


−+
 es equivalente a 13
22
i−+
b. Si 8 8 3zi= − + , entonces una de las raíces cuartas de z es 3i−− .
c. Una de las raíces quinta de 13i− es 5
2(cos(276 ) sen(276 ))i +  .

561. 564
11. Sea 13zi= − + entonces el módulo de zi
e es:
a) 1
e
−
b) 2
e
c) 1
d) 3
e
−
e) 2
e
−

12. Si 1
1Zi=+ y 2
12Zi=− , el modulo del complejo ()
12
i Z Z
e es:
a) e
b) 3
e
c) 2e
d) 3e
e) 1e+
13. Determine. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA?
a) ()
43
,
n
i i n
+
− = − 
b) () ()cos 2 sen 2
cos sen
cos sen
A i A
A i A
A i A
+
=−
+
c) 2
Im
2
ii
e



+



 =


d) ()
46
1,
n
in
+
= − 
e) 3
3
Re
2
i
e


=



14. Si una de las raíces cubicas de un número complejo z es 22
cos sen
99
i
   
+
   
    entonces es
VERDAD que:
a) 88
cos sen
33
i
   
+
   
    es otra de las raíces cubicas del numero complejo z .
b) El módulo de z es 2
c) La parte real de2
z es 4
cos
9



d) La parte imaginaria de 3
z es igual a 1
e) 3
1z=

15. Sea ()
2 16
: det
4
2
px




−
 y Re= , entonces ()Ap x es:
a) 5
44
8 ,8
ii
ee




b) 3
22
8 ,8
ii
ee




c)  2 ,2
i
e

d) 
e) Ninguna de las anteriores

16. Si z entonces el lugar geométrico determinado por 1 2 2z z i− = + es:
a) Una elipse con centro en (-1/3, -8/3)
b) Una circunferencia con centro (-1/3, -8/3) y radio 2 5 3
c) Una hipérbola con centro en (-1/3, -8/3)
d) Una circunferencia con centro en (1/3, 8/3) y radio en 2 5 3
e) Marque esta casilla si la igualdad no representa lugar geométrico

562. Moisés Villena Muñoz Cap. 19 Números Complejos
565


17. Sea Re= , y ()( ): det 0p A I −= donde I es la matriz identidad de 33 y 1 0 0
0 0 1
2 9 0



A
−

=−



, entonces ()Ap es:
a) 16 2
0, ,
i i
ee




b) 2
0,1,3
i
e




c) 5
44
0,3 ,3
ii
ee




d) 3
22
,2 ,2
ii
i
e e e





e) 3
22
,3 ,3
ii
i
e e e





18. Dado el referencial Re= , el conjunto solución de la ecuación ()
2
21
i
z

=−

 , viene dado por:
a) 2 2 2 2
,
2 2 2 2
ii

+ − −

b) 2 2 2 2
,
2 2 2 2
ii

− + −

c) 2 2 2 2
,
2 2 2 2
ii

+ − +

d) 2 2 2 2
,
2 2 2 2
ii

− − −

e) 

19. Considere el predicado ()
1
:2
1
z
pz
z
+
=
− y el referencial Re= entonces ()Ap z representa:
a) Una recta
b) Una parábola
c) Dos rectas
d) Una elipse
e) Marque esta casilla si ()Ap z no representa lugar geométrico.

563. 566
Misceláneos
1. Sean 1
1zi=+ , 3
2
2
i
ze

= , 3
23zi=− . Entonces el valor de 2
33
1
2
z
zz
z
− es:
a) 8i− b) 8i−− c) 8i+ d) 2i−+ e) 2i−−
2. Sea Re= y sea 4
( ) : 16 0p z z i+= , entonces el producto de los elementos de ()Ap z
es:
a) 16i b) 16i− c) 2i d) 2i− e) i−

3. Si una de las raíces cúbicas de un número complejo es 3i−+ , entonces el número
complejo es:
a) 3i−+ b) 3i− c) 8i d) 8i− e) 3i
4. Si 1
13Zi=− ; 2
2Zi=+ , entonces el módulo del número 1
2
Z
i
Z
e es:
a) 7
5 b) 1
5
− c) 1
5
e
− d) 7
5
e e) 7
3
e
5. Sea 4 3 2
1 2 3 4
()f x x a x a x a x a= + + + + , un polinomio de coeficientes reales. Si (1 ) 0fi−= y (2 ) 0fi+=
, determine los valores de los coeficientes del polinomio.

564. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
567


























20
20.1 EL SISTEMA POLAR
20.2 ECUACIONES EN COORDEN ADAS POLARES
20.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN
COORDENADAS POLARES : RECTAS,
CIRCUNFERENCIAS , PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS,
LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.








Objetivos:
• Graficar Rectas, circunferencias, parábolas, elipses,
hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en
coordenadas polares

565. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
568
20.1 EL SISTEMA POLAR
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas
de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este
punto esté definido por un vector de magnitud r que parte desde el origen y
que tiene ángulo de giro  , tendríamos otra forma de definir un punto.






Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor
de r y el valor de  . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (),r ,
en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.
Se deducen las siguientes transformaciones:
De rectangulares a polares: 




=
+=
x
y
yxr
arctg
22
De polares a rectangulares: 


=
=
sen
cos
ry
rx

Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.

Ejemplo
Encuentre las coordenadas polares del punto)1,1(P
SOLUCIÓN:
Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

566. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
569









Utilizando las transformaciones 





==
=+=
4
arctg
211
1
1
22
r
Además se podría utilizar otras equivalencias polares:
)3,2()5,2()7,2(),2(
4444

−−=−=−= (Analícelas)


Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares,
no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer
directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano
que tenga como referencia ángulos y magnitudes.
Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar.
Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al
origen con diferentes ángulos de inclinación.
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2
 ”.
El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

567. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
570












Ejercicios propuestos 20.1
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas.
Exprese dichos puntos con 0r y con 0r .
a. )
2
,1(
 b. )0,3(
c. )
3
2
,4(

− d. ),1(−
e. )
2
3
,2(

−
2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego
encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos.
a. )
4
,2(
 e. )3,4(
b. )
3
,1(

− f. )
3
2
,2(

c. )
6
7
,4(

− g. )
3
5
,2(

−−
d. )
2
3
,
2
3
(
 h. )
4
5
,4(

−

3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos.
a. )1,1(− b. )2,32(−
c. )3,1(−− d. )4,3(

4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares.
Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas.
a. )
4
3
,3()
6
,1(

−
 . b.)4,1()
4
,2( −
 c. )
6
,1()
3
,1(

−

Eje Polar
Polo
Eje 2
 15 30 45 60 75 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345

568. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
571
20.2 ECUACIONES EN COORD ENADAS POLARES
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma )(=fr
. Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos
obtener una tabla de valores para ciertos puntos y representarlos en el sistema
polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos.

Ejercicio Propuesto 20.2
1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.
a. 2)sen(=r b. )sen(2=r
c. )cos(1
1
−
=r d. )2sen(
2
=r
e. =
2
r f. )cos(42
3
−
=r

2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada.
a. 5=y e. 1+=xy
b. 25
22
=+yx f. yx4
2
=
c. 12=xy g. 1
22
=−yx
d. 222222
bayaxb =+ h. p
x
y
4
2
=

3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de:
1. 
=
cos
6
r
2. 
=
sen
6
r
3. =cos6r
4. += cos33r
5. += cos36r
6. += cos63r
7. +
=
cos33
9
r
8. +
=
cos36
9
r
9. +
=
cos63
9
r

569. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
572
20.3 GRÁFICAS DE ECUACI ONES EN COORDENADAS
POLARES
Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por
inspección describir su lugar geométrico.
20.3.1 RECTAS
20.3.1.1 Rectas que contienen al polo.






La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece
a ella, es de la forma mxy=
Realizando las transformaciones respectivas: =
=


=
=
tgtg
cos
sen
cossen
m
rmr
mxy

Resulta, finalmente: =


Ejemplo
Graficar 4

=
Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es
una recta, que pasa por el polo con un ángulo de 4
 . Es decir:

570. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
573









20.3.1.2 Rectas que NO contienen al polo y se encuentran a
una distancia "d" del polo.
Observemos la siguiente representación gráfica:






Del triangulo tenemos: ()
r
d
=−cos
Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería:
()−
=
cos
d
r
Ejemplo
Graficar ()
6
cos
4

−
=r
SOLUCIÓN:

571. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
574

Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es
una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del
ángulo de la perpendicular a la recta es6
 . ES decir:






Ahora veamos casos especiales:
1. Si 
0= entonces la ecuación resulta 
=
cos
d
r . Una recta
vertical.





Al despejar resulta dr =cos es decir dx= .
2. Si 2

= entonces la ecuación resulta: () 
=
+
=
−
=

sensensencoscoscos
222
ddd
r

Una recta horizontal.

572. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
575
3. Si = entonces la ecuación resulta: () −
=
+
=
−
=
cossensencoscoscos
ddd
r

Una recta vertical.
4. Si 2
3

= entonces la ecuación resulta: ( ) −
=
+
=
−
=

sen3sensen3coscos3cos
222
ddd
r

Una recta horizontal.

20.3.2 CIRCUNFERENCIAS
3.2.1 Circunferencias con centro el polo.





La ecuación cartesiana de una circunferencia es:
222
ayx =+
Aplicando transformaciones tenemos:
( )( )
( )
22
2222
22222
222
222
sencos
sencos
sencos
ar
ar
arr
arr
ayx
=
=+
=+
=+
=+
Resultando, finamente:
ar=

573. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
576

Ejemplo
Graficar 2=r
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una
circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2.







20.3.2.2 Circunferencias que contienen al polo y tienen centro
el punto (),a
Observemos el gráfico:





De allí obtenemos el triángulo:

574. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
577
Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: ()
()−=
−−+=
cos2
cos2
2
222
arr
arara

Resultando, finalmente: ()−=cos2ar


Ejemplo
Graficar ()
3
cos4

−=r
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una
circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ()
3
,2
 . Por tanto su
gráfico es:






Casos especiales, serían:
1. Si 
0= tenemos ( ) =−= cos20cos2 aar

Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos:
( )
()
222
2222
22
2
02
2
2
2
cos2
ayax
ayaaxx
axyx
axr
r
x
ar
ar
=+−
+=++−
=+
=
=
=

575. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
578


Una circunferencia con centro el punto )0,(a y radio ar=






2. Si = tenemos () −=−= cos2cos2 aar
Una circunferencia con centro el punto )0,(a− y radio ar=






3. Si 2

= tenemos () =−=

sen2cos2
2
aar
Una circunferencia con centro el punto ),0(a y radio ar=

576. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
579

4. Si 2
3

= tenemos ( ) −=−=

sen23cos2
2
aar
Una circunferencia con centro el punto ),0(a− y radio ar=








20.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta
directriz está a una distancia "d" del polo
Observe la figura.










Se define a la parábola (1=e ), a la elipse (10e ) y a la hipérbola
(1e ) como el conjunto de puntos del plano tales que: () ()lPdeFPd ,,=

577. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
580
Entonces:
() ()
() 
()
()
() 
()−+
=
=−+
=−+
−−=
−−=
=
cos1
cos1
cos
cos
cos
,,
e
ed
r
eder
ederr
eredr
rder
lPdeFPd
Casos especiales son:
1. Si 
0= tenemos +
=
cos1e
ed
r
2. Si = tenemos −
=
cos1e
ed
r
3. Si 2

= tenemos +
=
sen1e
ed
r
4. Si 2
3

= tenemos −
=
sen1e
ed
r
Ejemplo 1
Graficar +
=
cos1
6
r
SOLUCIÓN:
En este caso "1=e " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con
foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana "6=x " (a la derecha y
paralela al eje 2
 ). Parábola cóncava a la izquierda.

578. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
581
Ejemplo 2
Graficar −
=
cos1
6
r
SOLUCIÓN:
Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en
la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “6−=x " (a la
izquierda y paralela al eje 2
 ). Cóncava hacia la derecha.








Ejemplo 3
Graficar +
=
sen1
6
r
SOLUCIÓN:
Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6=y (paralela y arriba del eje polar).
Cóncava hacia abajo.

579. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
582
Ejemplo 4
Graficar −
=
sen1
6
r
SOLUCIÓN:
Es una parábola con foco el polo y recta directriz 6−=y (paralela y abajo del eje polar).
Cóncava hacia arriba.






Ejemplo 5
Graficar +
=
cos1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
En este caso "2
1
=e " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el
polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.





NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también:
+
=
cos2
12
r ¿Por qué?

580. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
583
Ejemplo 6
Graficar −
=
cos1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar.







Ejemplo 7
Graficar +
=
sen1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2
 hacia abajo.

581. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
584

Ejemplo 8
Graficar −
=
sen1
6
2
1
r
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2
 hacia arriba.








Ejemplo 9
Graficar +
=
cos21
6
r
SOLUCIÓN:
En este caso "2=e " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el
polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.

582. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
585
Ejemplo 10
Graficar −
=
cos21
6
r
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.








Ejemplo 11
Graficar +
=
sen21
6
r
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2
 hacia arriba.

583. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
586

Ejemplo 12
Graficar −
=
sen21
6
r
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2
 hacia abajo.







20.3.4 CARACOLES
Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: = cosbar o de la forma = senbar

Consideremos tres casos:
1. Si ba= se llama CARDIOIDES
Ejemplo 1
Graficar += cos66r






Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir:)()( −=ff

584. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
587

Ejemplo 2
Graficar −= cos66r






Ejemplo 3
Graficar += sen66r







Ejemplo 4
Graficar −= sen66r

585. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
588



2. Si ba se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO
Ejemplo 1
Graficar += cos36r






Ejemplo 2
Graficar −= cos36r







Ejemplo 3
Graficar += sen36r





Esta gráfica presenta simetría al eje 2
 , es decir: )()( =− ff

586. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
589



Ejemplo 4
Graficar −= sen36r







3. Si ba se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO
Ejemplo 1
Graficar += cos63r





Nota: Determine los ángulos de formación del rizo.
Ejemplo 2
Graficar −= cos63r

587. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
590


Ejemplo 3
Graficar += sen63r







Ejemplo 4
Graficar −= sen63r







20.3.5 ROSAS
Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma ()= narcos
o ()= narsen para 1nn  
De aquí consideramos dos casos:

1. Si n es PAR es una rosa de n2 pétalos

588. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
591

Ejemplo
Graficar ()= 2sen4r
SOLUCIÓN:
Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos









2. Si n es IMPAR es una rosa de n pétalos
Ejemplo
Graficar ()= 3cos4r
SOLUCIÓN:
Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos

589. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
592


20.3.6 LEMNISCATAS
Tienen ecuación polar de la forma = 2cos
2
ar o de la forma = 2sen
2
ar

Ejemplo 1
Graficar = 2cos4
2
r








Ejemplo 2
Graficar −= 2cos4
2
r

590. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
593

Ejemplo 3
Graficar = 2sen4
2
r







20.3.7 ESPIRALES
Consideramos dos tipos:
20.3.7.1 ESPIRAL DE ARQUÍMEDES.
Su ecuación polar es de la forma =ar
Ejemplo
Graficar =2r

591. Moisés Villena Muñoz Cap. 20 Coordenadas Polares
594
20.3.7.2 ESPIRAL LOGARÍTMICA.
Su ecuación polar es de la forma 
=
b
aer
Ejemplo
Graficar 
=
3
2er





Ejercicios propuestos 20.3
1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada.
1. 5=r
2. 4

=
3. )sen(2=r
4. )cos(−=r
5. )cos(3−=r
6. )sen(1
2
−
=r
7. )sen(2
2
−
=r
8. )sen(21
2
−
=r
9. )cos(21 −=r
10. )sen(23 +=r
11. −= 0;sen42r
12. ))cos(1(3 −=r
13. )sen(42 +=r
14. 0)sen(52 =+−r
15. )3sen(=r
16. )5sen(=r
17. )4cos(2 =r
18. )2cos(4
2
=r
19. )2sen(3
2
=r
20. )3cos(6 −=r
21. −= 3sen4r
22. 0,=r
23. )cos()sen( +=r
24. 0)cos()sen( =+
2. Graficar en un mismo plano 


+=
=


cos1
cos3
r
r y determine los puntos de intersección.
3. Graficar en un mismo plano 




+=
=


cos1
3
r
senr y determine los puntos de intersección.
4. Graficar en un mismo plano 




=
−=
2
2cos8
2
r
r y determine los puntos de intersección.
5. Graficar en un mismo plano 3
2
44
r
sen
r sen



=
+

=+ y determine los puntos de intersección.
6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de ()2cos4=r y exterior a 2=r
7. Sea ()
23
,:
1
r sen
pr
r




 , determine (),Ap r
8. Sea () ()
3
, / 4
44
R r r sen

  

=    
 , bosqueje R

592. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

595









21
21.1 LÍMITE EN UN PUNTO
21.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
21.1.2 TEOREMA DE UNICIDAD DE
LÍMITES
21.1.3 LÍMITES LATERALES
21.1.4 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
21.1.5 CÁLCULO DE LÍMITES

21.2 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
21.3 DERIVADA
21.3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE
RECTA TANGENTE
21.3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNE A
21.3.3 DEFINICIÓN DE DERIVA DA
21.3.4 DERIVACIÓN





OBJETIVOS:
 Definir Límites.
 Describir gráficamente los límites.
 Calcular límites.
 Analizar continuidad
 Definir derivada
 Calcular derivadas
 Obtener ecuación de recta tangente a una curva en un punto

593. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

596
21
1.90 4.80
1.95 4.90
1.99 4.98
2.01 5.02
2.05 5.10
2.10 5.20
x y x

21.1 LÍMITE EN UN PUNTO
El Cálculo, básicamente está fundamentado en los límites, por tanto este tema
es trascendental para nuestro estudio. De hecho los dos conceptos principales
del Cálculo, la Derivada y la Integral Definida, están basados en límites.
Conceptualizar límites determinando el comportamiento de una función e
interpretarlo en su gráfica, ayudará bastante en el inicio de nuestro estudio.
21.1.1 DEFINICIÓN INTUITIVA
Ciertas funciones de variable real presentan un comportamiento un tanto
singular en la cercanía de un punto, precisar sus características es nuestra
intención y el estudio de los límites va a permitir esto.
Empecemos analizando ejemplos sencillos; en los que podamos por simple
inspección concluir y tener una idea del concepto de límite.
Ejemplo 1
Veamos cómo se comporta la función f con regla de correspondencia 12)( xxf en la
cercanía de 2x .
Evaluando la función para algunos valores de x , próximos (acercándose) a 2:








En la tabla de valores se han ubicado unas flechas para dar a entender que tomamos a la x aproximándose
a 2 en ambas direcciones y se observa que los valores de y se van acercando a 5. Aunque son sólo seis
valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la función se aproxima a 5 cada vez
que su variable independiente x se aproxima a 2. Este comportamiento lo escribiremos de la siguiente
forma:  512lím
2


x
x
Lo anterior se puede ilustrar desde la gráfica, observe la figura 21.1:












Fig. 21.1

594. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

597
2
56
1
0.90 6.90
0.95 6.95
0.99 6.99
1.01 7.01
1.05 7.05
1.10 7.10
xx
xy
x




Ejemplo 2
Ahora veamos el comportamiento de esta otra función f con regla de correspondencia 1
65
)(
2



x
xx
xf
, en la cercanía de 1x .
Evaluando la función para ciertos valores de x , cada vez más próximos a 1, tenemos:









Parece ser que esta función se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independiente x se
aproxima a tomar el valor de 1, es decir 7
1
65
lím
2
1



 x
xx
x .
Note que no es necesario que la función esté definida en el punto de aproximación.
Por otro lado, la regla de correspondencia 1
65
)(
2



x
xx
xf es equivalente a 1;6)(  xxxf
(¿POR QUÉ?).

Este comportamiento se lo puede visualizar desde su gráfica, observe la figura 21.2:













De lo expuesto en los dos ejemplos anteriores, sin ser tan riguroso, podemos
emitir la siguiente definición:


Fig. 21.2

595. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

598

Una función f tiene límite L en un punto 0
x
, si f se aproxima a tomar el valor L
cada vez que su variable x se aproxima a
tomar el valor 0
x . Este comportamiento se
denota como: 0
lím ( )
xx
f x L



Para los dos ejemplos anteriores el comportamiento de las funciones se puede
determinar analizando sus gráficas; pero esto podría ser no tan sencillo; es más,
suponga que se necesite bosquejar la gráfica teniendo características de su
comportamiento. De ahí la necesidad del estudio de límite de funciones.

Ejercicios Propuestos 21.1
Emplee una calculadora para estimar los siguientes límites:
1. 1
1
1

x
x
lím
x 2. 4
2
lím
2
2

x
x
x
3. 0
lím
x
Senx
x
 4. 
1
0
lím 1
x
x
x



21.1.2 TEOREMA DE UNICIDAD DE LÍMITE .
Sea f una función de una variable real. Si f
tiene límite en 0
xx , entonces este es
único.


21.1.3 LÍMITES LATERALES
Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento y
por la izquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre
frecuentemente en funciones que tienen regla de correspondencia definida en
intervalos y que su gráfica presenta un salto en un punto. Para expresar
formalmente este comportamiento se hace necesario definir límites en un punto
por una sola dirección.

596. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

599


21.1.3.1 LÍMITE POR DERECHA
Sea f una función de variable real. Suponga que f
se aproxima a tomar el valor de L cuando x se
aproxima a tomar el valor de 0
x , pero sólo por su
derecha, decimos que f tiene límite L por
derecha y lo denotamos como 0
lím ( )
xx
f x L


 .

Ejemplo 1
Una función creciente en ,
0
x











Ejemplo 2
Una función decreciente en ,
0
x










Fig. 21.3
Fig. 21.4

597. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

600



21.1.3.2 LÍMITE POR IZQUIERDA.
Sea f una función de variable real. Suponga que f
se aproxima a tomar el valor de L cuando x se
aproxima a tomar el valor de 0
x , pero sólo por su
izquierda, decimos que f tiene límite L por
izquierda y lo denotamos como 0
lím ( )
xx
f x L


 .

Ejemplo 1
Una función decreciente en  
0,x










Ejemplo 2
Una función creciente en  
0,x








Fig. 21.5
Fig. 21.6

598. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

601

Note que lo que se ha hecho es no otra cosa que separar la definición de
límite en un punto que fue dada al comienzo.
De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Límite se
podría decir lo siguiente:

TEOREMA DE EXISTENCIA DE LÍMITE
Una función f tiene límite en 0
x sí y sólo
si se cumple que tanto por izquierda como
por derecha de 0
x , f tiende a tomar el
mismo valor. Es decir:
  LxfLxfLxf
xxxxxx



)(lím)(lím)(lím
000

Si se da que )(lím)(lím
00
xfxf
xxxx


 , se dice que )(lím
0
xf
xx no existe.

Ejemplo
Sea 2
2
)(



x
x
xf . Hallar )(lím
2
xf
x :
SOLUCIÓN:
Expresando la regla de correspondencia sin valor absoluto, tenemos:
























2;1
2;1
2;
2
2
2;
2
2
2
2
)(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xf
Esto quiere decir que su gráfica es:





De la gráfica observamos que 1)(lím
2



xf
x y 1)(lím
2



xf
x ; entonces se concluye que 2
lím ( ) no existe
x
fx

.



Fig. 21.7

599. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

602


Ejercicios Propuestos 21.2
1. Trace la gráfica y determine, por inspección, el límite indicado si existe, si no existe justifique.
a. 









1,3
1,1
1,2
x
x
x
xf ;xf
x1
lím

b. 
2
2
x
fx
x


 ;
2
lím
x
fx
 ; 
2
lím
x
fx

c. 






2,45
2,72
xx
xx
xf ; xf
x2
lím

d. f x x x ;xf
x

0
lím ,
0
lím
x
fx


e.  

,1
3 , 1 4
,4
x x x
f x Sgn x x
xx
  

    


 ;
1
lím
x
fx
 
5
2
, lím
x
fx


2. Bosqueje la gráfica de una función que cumpla las condiciones siguientes:
 Dom f
 f es decreciente en  2,03,
 f es creciente en  ,20,3
 
3
lím 2
x
fx



 
3
lím 0
x
fx



 
2
lím 1
x
fx


 023 ff y 5)0(f


3. Bosqueje el gráfico de una función que cumpla las condiciones siguientes:
 Dom f
 f es creciente en ,0 0,3 
 f decreciente en ,3
 
0
lím 3
x
fx



 
0
lím 0
x
fx



 
3
lím 5
x
fx


  0)6(33  fff y 2)0(f

600. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

603

21.1.4 TEOREMAS SOBRE LÍMITES
21.1.4.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LÍMITE
Sean f y g funciones con límite en 0
x ; es
decir, suponga que 0
lím ( )
xx
f x L

 y 0
lím ( )
xx
g x M


. Entonces:
1. 0
lím
xx
kk

 , k
2. 0
0
lím
xx
xx


3. 00
lím ( ) lím ( )
x x x x
kf x k f x kL

 , k
4.  
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
  
    
5.  
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( ) lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x L M
  
    
6.  
0 0 0
lím ( ) ( ) lím ( )lím ( )
x x x x x x
f x g x f x g x LM
  

7. 0
0
0
lím ( )
()
lím
( ) lím ( )
xx
xx
xx
fx
f x L
g x g x M






 ;siempre que 0
lím ( ) 0
xx
gx


8. 
00
lím ( ) lím ( )
n
n
n
x x x x
f x f x L



 , nN
9. 00
lím ( ) lím ( )
nn
n
x x x x
f x f x L


siempre que0
lím ( ) 0
xx
fx

 cuando n es par.

Observe que el recíproco del teorema anterior es falso.
Ejemplo
Suponga que se tiene 





0;0
0;1
)(
x
x
xf y 





0;1
0;0
)(
x
x
xg
entonces  






0;0
0;1
)(
x
x
xgf

601. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

604

Observe que: 0
lím ( )
x
fx
 no existe y que 0
lím ( )
x
gx
 tampoco existe, sin embargo  
0
lím ( ) 1
x
f g x


(existe). Es decir, “ Si  gf es una función con límite en un punto, entonces no podemos
asegurar que f y g también tienen límite en ese punto”

El teorema principal de límite permite establecer límites de ciertas funciones.
Ejemplo
Calcular  23lim
2
2


xx
x
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema principal de límites, tenemos:
 

22
2 2 2 2
2
22
2
lim 3 2 lim lim3 lim2 (inciso 4 y 5)
lim 3lim 2 (inciso 8, 3y1)
2 3(2) 2
8
x x x x
xx
x x x x
xx
   

    
  
  


Lo último del ejemplo anterior permite concluir que con una sustitución basta.
21.1.4.2 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN
Sea f una función polinomial o una función
racional, entonces 0
0
lím ( ) ( )
xx
f x f x

 siempre
que 0
()fx esté definida y que el
denominador no sea cero para el caso de
una función racional.

De principio o de final, en el cálculo de límite, se empleará el teorema de
sustitución.

Ejemplo
Calcular  23lim
2
2


xx
x
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de sustitución, tenemos:
  82)2(3223lim
22
2


xx
x

602. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

605

21.1.5 CALCULO DE LÍMITES
En el cálculo de límites, la aplicación del Teorema de Sustitución puede
bastar. Aunque enunciamos el Teorema de sustitución para funciones
polinomiales y racionales, debemos decir que el teorema también se aplica para
funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, potenciales.
Ejemplo 1
Calcular  
1
lím
x
xx



SOLUCIÓN:
En la cercanía de 1, pero a su derecha, 1x ; entonces:
  
11
lím lím 1 1 1 0
xx
x x x


     

Ejemplo 2
Calcular  
1
lím
x
xx



SOLUCIÓN:
En la cercanía de 1, pero a su izquierda, 0x ; entonces:    
1 1 1
lím lím 0 lím 1
x x x
x x x x
  
  
    


Ejemplo 3
Calcular  
1
lím 2 1 1
x
x Sgn x


  
SOLUCIÓN:
En la cercanía, a la izquierda de 1:
1. 2 1 0x
2. 11Sgn x
Entonces:

  

11
1
lím 2 1 1 lím 0 1
lím 1 1
xx
x
x Sng x




    
   

Ejemplo 4
Calcular   
3
lím ln 2
x
x


SOLUCIÓN:
Aplicamos definición de la función escalón:

603. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

606

 


 
1 ; ln 2 0
ln 2
0 ; ln 2 0
1 ; 2 1
0 ; 0 2 1
1 ; 3
ln 2
0 ; 2 3
x
x
x
x
x
x
x
x




 



  

 

Entonces:
  
3
lím ln 2 1
x
x



  
3
lím ln 2 0
x
x



Por tanto:
  
3
lím ln 2
x
x

 NO EXISTE

Ejercicios Propuestos 21.3
Calcular:
1. 462lím
4



x
x
2. x
x
x 


 3
14
lím
3
3.  
0
lím 2
x
x Sgnx



4. 3
3
lím
3x
x
x




5. 0
1
lím
1x
x
x




6. 2
2
2
1
lím
1x
xx
x




7. 

2
0
tan
lím
x
x Sgn x
x



8. 2
lím sen
x
x


9. 
2
2
lím cos
x
x





10. 
5
lím 5 1 3
x
x x x  


    



21.1.5.1 Indeterminaciones
En casos donde no se pueda aplicar el teorema de sustitución y se observen
resultados de la forma: 0
0
0
0
0
1
0



  



Habrá que utilizar recursos algebraicos para calcular los límites.
Las expresiones anteriores son llamadas indeterminaciones debido a que su
valor no se lo puede determinar por simple inspección. Por ejemplo, si tenemos

604. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

607
0
0
(entiéndase cantidades pequeñas entre cantidades pequeña), suponga que
sea igual a una constante c , es decir 0
0
c entonces 00c sería verdadera
para cualquier c . Analice el resto de indeterminaciones.

Ejemplo 1
Calcular 2
1
56
lím
1
x
xx
x



SOLUCIÓN:
Se observa que 2
1
5 6 0
lím
10
x
xx
x



 , una indeterminación.
Definamos 
2
56
1
xx
fx
x


 .
Esto implica que 
61
6 ; 1
1
xx
f x x x
x

   

Sea  6g x x
Como ;1f x g x x   entonces  
11
lím lím
xx
f x g x

 ; es decir:

2
11
56
lím lím 6
1
xx
xx
x
x




Finalmente aplicamos el Teorema de Sustitución:

1
lím 6 1 6 7
x
x

   




Ejemplo 2
Calcular 2
2
7 10
lím
2
x
xx
x



SOLUCIÓN:
Tenemos que: 2
2
7 10 0
lím
20
x
xx
x



 (Indeterminación)
Entonces:


2
2 2 2
257 10
lím lím lím( 5)
22
x x x
xxxx
x
xx
  

  

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
2
lím( 5) 2 5 3

    
x
x

Ejemplo 3
Calcular 4
5 14
lím
2
x
xx
x



SOLUCIÓN:

605. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

608

Aquí tenemos: 4
5 14 0
lím
02
x
xx
x



 (Indeterminación)
Simplificamos:
  
 
4 4 4
72
5 14
lím lím lím 7
22
x x x
xx
xx
x
xx
  


  

Aplicando el Teorema de Sustitución, resulta:
 
4
lím 7 4 7 9
x
x

   
SEGUNDO METODO:
Podemos hacer un Cambio de Variable: 2
ux . Este caso xu , y cuando4x , 2u
Por tanto el límite en la nueva variable sería:
2
2
5 14
lím
2
u
uu
u



Simplificando la expresión y aplicando en teorema de sustitución:


2
2 2 2
725 14
lím lím lím 7 9
22
u u u
uuuu
u
uu
  

   


Ejemplo 4
Calcular 1
1
lím
1
x
x
x



SOLUCIÓN:
Aquí también tenemos: 1
10
lím
10
x
x
x



 (Indeterminación)
Racionalizamos el numerador y simplificamos:
   
1 1 1
1 1 1 1 1
lím lím lím
12 1 1 1 1
x x x
x x x
x x x x x
  
  
   
    
Ejemplo 5
Calcular 31
1
lím
1
x
x
x



SOLUCIÓN:
Note que: 31
10
lím
01
x
x
x



 (Indeterminación).

Podemos aplicar uno de los siguientes métodos:

PRIMER MÉTODO:
Racionalizamos el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:


2
33
231
33
1
11
lím
11
1
x
xx
xx
xx
xx










 
 
 
 
22
3333
1
1 1 1 1 1
3
lím
21 1 1 1
x
x x x
xx

    

  
SEGUNDO MÉTODO:
Cambio de Variable: 6
ux . Entonces Si 11 ux

606. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

609

Reemplazando tenemos: 63
2
3611
11
lím lím
11
uu
uu
uu




Factorizamos y simplificamos:
 

 

 

2 2 2
11
1 1 1 1 1 1 3
lím lím
1 1 1 1 1 2
uu
u u u u u
u u u

      
  
   

Ejemplo 6
Calcular 2
2
3 2 2
lím
4x
xx
x




SOLUCIÓN:
Aplicamos el teorema principal de límite:
  2
22
2
lím 3 2 lím
4xx
x
x
x


  



Para el primer factor tenemos:  
2
lím 3 2 3
x
x


 ¿Por qué?
Y para el segundo:



4
1
2
1
lím
22
2
lím
22
2
lím
4
2
lím
4
2
lím
2
22
2
2
2
2



















x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
xxxx
Por lo tanto:
2
2
3 2 2 13
lím (3)
444x
xx
x


 
   

 





Ejercicios Propuestos 21.4
Calcular:



















1. 3
9
lím
2
3

x
x
x
2. 4
2
lím
2
2

x
x
x
3. 2
8
lím
3
2

x
x
x
4. 2
2
4
9 20
lim
34
x
xx
xx



5. 2
2
2
3 10
lim
5 14
x
xx
xx



6. 32
32
1
53
lim
2 7 4
x
x x x
x x x

  
  
7. 32
32
2
2 10
lim
2 2 4
x
x x x
x x x

  
  
8. 4
2
lím
4

x
x
x
9. 2
11
lim
2
x
x
x



10. 8
2
lím
3
8

x
x
x
11. 2
1
lím
2
3
1 

 xx
x
x
12. 
1
1
lím
2
1 

 x
axax
x
13. 











2
332
1 1
12
x
xx
lim
x
14. 











3
1 1
2
1
3
lím
xx
x
15. 8
37
lím
3
8 

 x
x
x
16. 2
2
3 2 2
lím
4x
xx
x





607. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

610


Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una
función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su
comportamiento justamente en el punto.

21.2 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su
gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera
alzar la mano. Esto en términos formales sería:

21.2.1 DEFINICIÓN

Sea f una función de una variable real definida en
un intervalo abierto ),(ba y sea ),(
0
bax . Se dice
que f es continua en "0
x " si 0
0
lím ( ) ( )
xx
f x f x

 . Es
decir, si se cumplen tres cosas:
1. )(
0
xf está definida
2. Lxf
xx


)(lím
0 (existe); y
3. )(
0
xfL
Caso contrario, se dice que f es discontinua en "0
x "


Ejemplo
Una función continua en un punto0
x
















Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto 0
x , tenemos:





Fig. 21.8

608. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

611




Ejemplo 1











La función no es continua en 0
x , debido a que 0
lím ( )
xx
f x no existe



Ejemplo 2











La función no es continua en 0
x , debido a que 0
lím ( )
xx
f x no existe



Ejemplo 3










La función no es continua en 0
x , debido a que )()(lím
0
0
xfxf
xx





Fig. 21.9
Fig. 21.10
Fig. 21.11

609. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

612

Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una
discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una
discontinuidad removible, porque sería cuestión de definir a f en el punto
"0
x " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A
propósito, observe que sólo en este caso el límite existe.

Ejemplo 4
1
65
)(
2



x
xx
xf no está definida en 1x y su gráfica es la de 1;6)(  xxxf que
no es continua en 1x . (tiene un hueco)











Definiéndola continua tenemos 









1;7
1;
1
65
)(
2
x
x
x
xx
xf



Ejercicios Propuestos 21.5
1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.

1. 4
16
)(
2



x
x
xf
2. 

2
2 ; 2
2 ; 2
xx
fx
x
  


3. 









1;
10;
0;
)(
2
xx
xx
xx
xf
4. 2
23
;1
() 5
2 3 ; 1
x
x
fx
x x x




   
5. 2
1 2 ; 3
()
2 5 ; 3
x x x
fx
xx
  


6. 
1
;2
1
1 ; 2
x
fx x
xx





7. 
1
;0
1
1
;0
1
x
x
fx
x
x








8. ( ) ( 2) Sgn( 2)f x x x   
9. 1
()
2
f x x
10. ()f x x x
11.  ( ) sen ; 2 ,2  f x x x
12. 
2
()f x x

2. Calcular el valor de "A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R .
1. 









3;
3;
9
3
)(
2
xA
x
x
x
xf 3. 
2
3
23
;1
1
;1
xx
x
fx x
Ax


 



Fig. 21.12

610. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

613

2. 
22
;6
6
;6
x
x
fx x
Ax






4. 
3
32
;1
1
;1
x
x
fx
x
Ax


 
 






21.3 DERIVADA
Desde la antigüedad (300 A.C.) existía el problema de la determinación de la
ecuación de la recta tangente en un punto de una curva; recién en el siglo XVII
fue resuelto este problema. Tratando de dar solución a lo planteado es como se
da inicio al Calculo Diferencial. Este inicio se le atribuye a GOTTFRIED
WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) junto con ISAAC NEWTON (1642 -1727),
preocupado por describir la velocidad instantánea que lleva un móvil cuando se
desplaza siguiendo una trayectoria, después veremos que es el mismo
problema.

Empecemos primero estudiando el problema geométrico.

21.3.1 DEFINICIÓN DE PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la recta
tangente a la gráfica de una función f , en un punto 0
x , Fig. 21.13.

























La ecuación de la recta tangente estaría dada por:

0 tg 0
( ) ( )y f x m x x   x y 0
x 0
y yfx Recta tangente

Fig. 21.13

611. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

614


Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.

Observe la Fig. 21.14


















La pendiente de la recta secante entre los puntos  
00
, ( )x f x y  
00
, ( )x h f x h
sería 00
sec
( ) ( )f x h f x
m
h


La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se haga cada
vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la posición de la
recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:

00
tg
0
( ) ( )
lím
h
f x h f x
m
h





21.3.2 VELOCIDAD INSTANTÁNE A

Suponga que se tengan la ecuación del espacio e recorrido por un móvil, y
que sea función del tiempo; es decir e f t . Suponga ahora que se quiere
determinar la velocidad media m
v en un intervalo de tiempo  
00
,t t h , esta
estaría dada por:
 
00
00
m
f t h f te
v
t t h t


  
La velocidad instantánea v sería la velocidad media calculada en intervalos
de tiempo t cada vez más pequeño; es decir: x y 0
xh 
0
fx yfx Recta tangente
Recta Secante0
x  
0
fxh h  
00
f x h f x

Fig. 21.14

612. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

615

 
00
0 0 0
lim lim lim
m
t t h
f t h f te
vv
th
    

  


Note que esta definición para la velocidad instantánea tiene la misma forma
que la de la pendiente de la recta tangente, por tanto el problema sería el mismo.
De aquí se dará la definición de la derivada.


21.3.3 DEFINICIÓN DE DERIVADA


Sea f una función de variable real. Sea 0
x
un punto del dominio de f . La
derivada de f en "0
x ", denotada como 
0
´fx
, se define como:
h
xfhxf
xf
h
)()(
lím)´(
00
0
0



Siempre que este límite exista.



Cuando la derivada en "0
x " existe se dice que es f es diferenciable en
"0
x ".
Otras notaciones que se emplean para la derivada son: ´y o x
Dy .
Leibniz utilizó la notación dy
dx .
En cualquier caso, la derivada en "x " sería:

0
( ) ( )
´( ) lím
h
f x h f x
fx
h




Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada ( ) 2 1f x x
SOLUCIÓN:
  
0
0 0 0 0
( ) ( )
´( ) lím
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
lím lím lím lím2
´( ) 2
h
h h h h
f x h f x
fx
h
x h x x h x h
h h h
fx

   


       
   


613. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

616


Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada 2
()f x x
SOLUCIÓN:


 
 
xxf
hx
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxf
xf
h
h
h
h
h
2)´(
2lím
2
lím
2
lím
lím
)()(
lím)´(
0
0
222
0
22
0
0


















Ejercicios propuestos 21.6
1. Sea 
2
21f x x x   .
a) Calcule el valor de (2.5) (2)
0.5
ff
b) Calcule el valor de (2.3) (2)
0.3
ff
c) Calcule el valor de (2.1) (2)
0.1
ff
d) Calcule el valor de ´2f . Explique por qué los valores anteriores son aproximados a este resultado.

2. Hallar ´(3)f , considerando la gráfica:



















3. Empleando la definición, determine la derivada de:
a) ( ) 3 2f x x d) 2
( ) 2 1f x x x   
b) ( ) 2 1f x x   e)3
( ) 2f x x
c) 2
( ) 2 3f x x x   f) 23
1
)(


x
xf


()yfx

614. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

617

21.3.4 DERIVACIÓN

El proceso de encontrar la derivada de una función puede presentarse
complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no tan engorroso
este trabajo se dispone de técnicas y reglas.

21.3.4.1 FÓRMULAS DE DERI VACIÓN.

Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden emplear las
fórmulas siguientes:

1. ( ) 0 ;
x
D k k  
2. 1)(xD
x
3. 
1
)(


nn
x
xnxD
4. xx
x
eeD )(
5. aaaD
xx
x
ln)(
6. x
xD
x
1
)(ln
7. ax
xD
ax
ln
1
)(log
8. xxD
x
cos)(sen
9. xxD
x
sen)(cos
10. 2
(tan ) sec
x
D x x
11. 2
(cot ) csc
x
D x x
12. (sec ) sec tan
x
D x x x
13. (csc ) csc cot
x
D x x x


Demostraciones:
Las Demostraciones de algunas de las fórmulas anotadas serían:

1. Sea f x k . Hallaremos su derivada empleando la definición: 0
( ) ( )
´( ) lím
h
f x h f x
fx
h



0
0
límlím)(
00



 hh
kk
kD
hh
x (La derivada de una constante es cero)

2. Sea f x x entonces: 
00
( ) lím lím 1
x
hh
x h x h
Dx
hh


  

615. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

618

3. Sea 
n
f x x entonces: 
0
( ) lím
n
n
n
x
h
x h x
Dx
h


 . Consideraremos n . Desarrollando el
binomio y simplificando:





11 2 2 1
2
00
11 2 2 1
2
0
11 2 2 1
2
0
11 2 2
2
0
0 0
0
...
( ) lím lím
...
lím
...
lím
lím ...
nnn n n n n nn
n
n
x
hh
nnn n n n
h
nnn n n n
h
nnn n n
h
x nx h x h nxh h x
x h x
Dx
hh
nx h x h nxh h
h
h nx x h nxh h
h
nx x h nxh
  

  

   

  

     



   

    



   

1
0
1
()
n
nn
x
h
D x n x



 







La demostración del resto de estas fórmulas se la dejamos para el lector.



Ejemplo 1
Si 4fx entonces ´0fx (FORMULA 1)


Ejemplo 2
Si 
2
f x x entonces 
21
´ 2 2f x x x

 (FORMULA 3)


La fórmula 3 también es válida para exponentes racionales.


Ejemplo 3
Si  
1
2
f x x x entonces 
1
2
1
1
2
1
´
2
f x x
x




Ejemplo 4
Hallar la ecuación de la recta tangente a 
3
f x x en 1x
SOLUCIÓN:
Observe la Fig. 21.14

616. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

619
























La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente está dada por:  
00
xxmyy 

El punto sería: 0
1x
y 
3
00
( ) 1 1y f x  
La pendiente sería:
2
0
1
´( ) ´(1) 3 3
tg
x
m f x f x

   

Por tanto, la ecuación de la recta tangente sería: 1 3( 1)yx  


Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no aparecen
comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar reglas para estos
casos.


21.3.4.2 REGLAS DE DERIVACIÓN

Sean f y g funciones diferenciables y k
una constante, entonces:
1. ( ( )) ´( )
d
kf x kf x
dx
 (Múltiplo constante)
2. ( ( ) ( )) ´( ) ´( )
d
f x g x f x g x
dx
   (Suma)
3. ( ( ) ( )) ´( ) ´( )
d
f x g x f x g x
dx
   (Resta)
4. ( ( ) ( )) ´( ) ( ) ( ) ´( )
d
f x g x f x g x f x g x
dx
 (Producto)
5. 
2
( ) ´( ) ( ) ( ) ´( )
() ()
d f x f x g x f x g x
dx g x gx
 


 (Cociente) 
3
fx x Recta tangente

Fig. 21.14

617. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

620

Demostración
La justificación de las dos primeras de estas reglas sería:
1.
 
0
0
0
( ) ( )
( ( )) lím
( ) ( )
lím
( ) ( )
lím
´( )
h
h
h
d kf x h kf x
kf x
dx h
k f x h f x
h
f x h f x
k
h
kf x










2.
  
  
   
0
0
00
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) lím
( ) ( ) ( ) ( )
lím
( ) ( ) ( ) ( )
lím lím
´( ) ´( )
h
h
hh
f x h g x h f x g xd
f x g x
dx h
f x h f x g x h g x
h
f x h f x g x h g x
hh
f x g x



    

    

   


4.
  
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) lím
h
f x h g x h f x g xd
f x g x
dx h

  

Al numerador le sumamos y restamos f x g x h

0
( ) ( ) ( ) ( )
lím
h
f x h g x h f x g x f x g x h f x g x h
h

      
Agrupamos y aplicamos propiedades de los límites:
 
  
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
lím
( ) ( ) ( )
lím
h
h
f x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
h
f x h f x g x h g x h g x f x
h


         
   
        
   
 





00
0 0 0
( ) ( )
lím ( ) lim
( ) ( )
lím lim ( ) lim
´´
hh
h h h
f x h f x g x h g x
g x h f x
hh
f x h f x g x h g x
g x h f x
hh
f x g x f x g x

  
      
   

      
   

   
   

La demostración del resto de estas reglas se la dejamos para el lector.

Con lo anterior ya podemos obtener derivadas de funciones con reglas de
correspondencias un tanto más complejas en su forma.

Ejemplo 1 (derivada del múltiplo constante)
Si 
1
3
3
4
4f x x
x

 entonces   
1
14
3 3 3
1
1
3
4
´ 4 4
3
d
f x x x x
dx

    

618. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

621

Ejemplo 2 (Derivada de suma y resta)
Si 
2
43f x x
x
   entonces
 
12 1
´ 4 2 3 4 2 0
2
d d d
f x x x x
dx dx dx x
 
     



Ejemplo 3 (Derivada del producto)
Si 
x
f x xe entonces    ´ 1 1
x x x x xdd
f x x e x e e xe e x
dx dx
   
     
   
   

Ejemplo 4 (Derivada del producto)
Si   
23
21f x x x   entonces:
     
    
2 3 2 3
3 2 2
4 4 2
42
´ 2 1 2 1
2 0 1 2 3 0
2 2 3 6
5 6 2
dd
f x x x x x
dx dx
x x x x
x x x x
x x x
   
     
   
   
     
   
  

Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:

 ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( ) ( ) ( ) ( ) ´( )
d
f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x
dx
  
¡Generalícela!
Ejemplo 5 (Derivada del producto)
Si sen ln
x
f x e x x entonces
´ sen ln sen ln sen ln
1
sen ln cos ln sen
x x x
x x x
d d d
f x e x x e x x e x x
dx dx dx
e x x e x x e x
x
     
  
     
     

  




Ejemplo 6 (Derivada de cociente)
Si 
2
3
2
1
x
fx
x


 entonces

    
 
  
 
   
2 3 2 3
3 2 2
22
33
4 4 2 4 2
22
33
2 1 2 1
2 1 2 3
´
11
2 2 3 6 6 2
11
dd
x x x x
x x x x
dx dx
fx
xx
x x x x x x x
xx
   
    
      
   


     



619. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

622


Con lo anterior, podemos resolver otros tipos problemas.


Ejemplo 7
Determine ,0f si  1 2 ... 100f x x x x x    .
SOLUCIÓN:
La derivada de f sería      ´ 1 1 2 100 1 2 100 1 1 ... 100f x x x x x x x x x x                
     
A
hora evaluamos la derivada en cero:      

00
´ 0 1 0 1 0 2 0 100 0 1 0 2 0 100 0 0 1 1 ... 0 100
´ 0 1 2 100 100!
f
f
                
     



Ejemplo 8
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto  2, 5 y que son
tangentes a la curva definida por la ecuación 2
4y x x .
SOLUCIÓN:
Primeramente grafiquemos la curva y el punto. Fig. 21.15















Note que el punto  2, 5 no pertenece a la curva. Buscaremos ahora el punto de tangencia (observe
que hay dos).
La pendiente de la recta tangente es la derivada f evaluada en 0
xx , es decir

0
00
´ 2 4 2 4
tg xx
m f x x x

    
La pendiente de esta recta también se la puede calcular por los puntos  2, 5 y  
00
,xy , es decir:  2,5  
00
,xy  
00
,xy 
2
4fx x x

Fig. 21.15

620. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

623



0 0
00
5 5
22
tg
y y
m
xx
 

  
El punto  
00
,xy pertenece a la curva, por tanto debe satisfacer su ecuación; es decir: 2
0 0 0
4y x x .
Al reemplazar en la ecuación anterior, se obtiene:
2
0 0 0
00
5 4 5
22
tg
y x x
m
xx
  


Ahora igualamos las pendientes y encontramos 0
x :
  
2
00
0
0
22
0 0 0 0
2
00
00
00
45
24
2
2 8 8 4 5
4 3 0
3 1 0
31
xx
x
x
x x x x
xx
xx
xx



    
  
  
    
Estos valores los reemplazamos en 2
0 0 0
4y x x , y obtenemos los respectivos 0
y :

2
0
3 4 3 9 12 3y       

2
0
1 4 1 1 4 3y       
Por tanto, los puntos de tangencia son  3, 3 y  1, 3 .
Las respectivas pendientes serían:


2 3 4 2
2 1 4 2
tg
tg
m
m
    
    
Finalmente las ecuaciones de las rectas tangentes serían:
  

3 2 3
3 2 3
29
yx
yx
yx
     
   
   y   

3 2 1
3 2 1
21
yx
yx
yx
    
  



Ejemplo 9
Si f , g y h son funciones tales que ( ) ( )
()
2 ( ) 3 ( )
f x g x
hx
f x g x

 , (1) 3f , (1) 3g , ´(1) 2f
, ´(1) 1g . Determine ´(1)h .
Solución:
La derivada de h sería:
    
 
    
 
2
2
( ) ( )
´( )
2 ( ) 3 ( )
( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( )
2 ( ) 3 ( )
´( ) ( ) ( ) ´( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 2 ´( ) 3 ´( )
2 ( ) 3 ( )
x
xx
f x g x
h x D
f x g x
D f x g x f x g x f x g x D f x g x
f x g x
f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
f x g x




  


   


Ahora evaluando en 1:

621. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

624

    
 
    
 
 



2
2
2
2
´(1) (1) (1) ´(1) 2 (1) 3 (1) (1) (1) 2 ´(1) 3 ´(1)
´(1)
2 (1) 3 (1)
( 2)( 3) (3)(1) 2(3) 3( 3) (3)( 3) 2( 2) 3(1)
2(3) 3( 3)
6 3 6 9 9 4 3
69
9 3 9 1
3
36
9
´(1) 4
f g f g f g f g f g
h
fg
h
   


        


    


  






Ejemplo 10
Demuestre que las gráficas de 2senf x x y 2 cosg x x se intersecan en ángulo
recto en cierto punto tal que 2
0

x
SOLUCIÓN:
La intersección se obtiene igualando las ecuaciones, es decir: xx cos2sen2  , de aquí se obtiene tan 1x
, lo cual quiere decir que 4

x

















Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de intersección
son perpendiculares, es decir 1
21
mm . Fig. 21.16
Si 2 senf x x , entonces ´ 2 cosf x x que en el punto tenemos:
1
2
2
2cos2
41











m
Si 2 cosg x x , entonces ´ 2 seng x x que en el punto tenemos:
1
2
2
2sen2
42











m
Por tanto: 111
21
mm L.Q.Q.D.








Fig. 21.16

622. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

625



Ejercicios Propuestos 21.7
1. Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a) 
3
4 2ln 3
x
f x x x e  
b)   
32
21f x x x  
c)   sen cosf x x x x x  
d) 
2
1
sen
x
fx
xx


e) 
sen 1
x
xe
fx
x


f) 
21
ln
2
x
f x x e x


2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación 
2
22f x x x   en
el punto 1,5 .
3. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia 
2
34f x x
y que sea paralela a la recta 3 2 0xy   .
4. Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto 2,5 y que son tangentes a la curva
definida por la ecuación 2
4y x x .
5. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por 32
( ) 2 3 24f x x x x   y
que son paralelas a la recta cuya ecuación es 0712 yx .
6. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 2
yx
. Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la
trayectoria en ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
7. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación 2
7xy
. Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa
la partícula por primera vez.
8. Determine ,0f si  50...21  xxxxxf
9. Si f , g y h son funciones tales que )(4)(3
)()(
)(
xgxf
xgxf
xh

 , 2)3(f , 2)3(g , 1)3´(f , 2)3´(g
. Determine )3´(h .



Misceláneos
1. Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente.
a. Si 2
( ) 5
lím 3
2x
fx
x




 , entonces 0)(lím
2



xf
x
b. Sea f una función de variable real tal que lím ( )
xa
fx

 existe y lím 1
()xa
xa
fx



 . Entonces lím ( ) 0
xa
fx



.
c. Si  )()(lím xgxf
ax

 existe, entonces existen )(límxf
ax y xg
ax
lím
d. Si xgxf)( para toda x , entonces xgxf
axax 
lím)(lím
e. Si 






)(
)(
lím
xg
xf
ax existe y 0)(lím 

xf
ax entonces 0)(lím

xg
ax
f. Si 22
lím
xa
x x a a
xa


  
 existe entonces 0a .

623. Moisés Villena Muñoz Cap. 21 Introducción a Límites y Derivadas

626

g. Si  )()(lím xgxf
ax existe y )(límxf
ax existe entonces )(límxg
ax existe.
h. Existen dos funciones de variable realf y g tales que 0)(lím)(lím
00





xgxf
xx y e
xg
xf
x


 )(
)(
lím
0

i. No existen dos funciones f y g tales que 0
lím ( ) 0
x
fx

 , 0
lím ( ) 0
x
gx

 y 0
()
lím 5
()
x
fx
gx


j. Si 3)(lím 

xf
ax , 2)(lím 

xg
ax , entonces 1)()(
1)()(
lím
3


 xgxf
xgxf
ax =1

m. Si f y g son derivables en cx y 0)()´( cgcf y )()()( xgxfxh entonces 0)´(ch
.
n. La ecuación de la recta tangente a la curva 3
xy en el punto 1,1 es 131  xy .
o. La expresión 2
1sen
2

 


x
x
lim
x es la derivada de xxf sen)( cuando 2

x .
p. La función 356)(
3
 xxxf no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
q. Si tenemos las curvas baxxxf 
2
)( y cxxxg 
3
)( . Entonces no existen valores ,,abc
, tales que ellas posean una recta tangente común en el punto )2,2( .
r. Si 0)()( cgcf y )()()( xgxfxh entonces 0)´(ch
s. Si f y g son funciones de en tales que ´´gf entonces gf
2. Determine a, b y c conociendo que las curvas baxxy 
2 y 2
xcxy  tienen una recta
tangente común en el punto )0,1( .
3. Determine el valor de k de manera que la recta definida por 03 kyx sea tangente a la parábola
definida por 152
2
 xxy .
4. Determine la ecuación de la recta tangente a la función f cuya regla de correspondencia es 66)(
2
 xxxf
, y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la
parábola.

624. CAPITULO 1: Lógica Matemática

Ejercicios Propuestos 1.1
a) si b) no c) no d) si e) si f) no
g) si h) no i) si j) no.

Ejercicios Propuestos 1.2
1. a) Si te gustan las matemáticas entonces te gusta este deber.
b) No te gustan las matemáticas o te gusta este deber.
c) Si no te gusta este deber entonces no te gustan las matemáticas.
d) Si te gustan las matemáticas o no te gustan las matemáticas entonces te gusta este deber.
2.
ANTECEDENTE CONSECUENTE
a) No se ama a primera vista No se ama como es debido
b) Se es secretaria Se enseña la pierna
c) Se roba un sucre Se roba un millón
d) Pienso existo
e) Siembras vientos Cosechas tempestades
f) Un polígono es un cuadrado Es un rectángulo
g) Hacemos uso apropiado de los medios que el Dios de
la Naturaleza ha puesto bajo nuestro dominio
No somos débiles
h) Tienes éxito aprecias la opinión de los demás
i) Evitar enfermedades Alimentarse adecuadamente
j) Tengo motivación Estudio
k) El ser humano puede superar su angustia y soledad

Tiene un error auténtico y un trabajo
espontáneo y creativo.

3. a)  c b a d   b)  bdc 

4. RECÍPROCA: Si un triangulo es rectángulo entonces está circunscrito en un semicírculo.
INVERSA: Si un triángulo no está circunscrito en un semicírculo entonces no es rectángulo.
CONTRARECÍPROCA: Si un triángulo no es rectángulo entonces no está circunscrito en un semicírculo.

5. b



Ejercicios Propuestos 1.3
1) verdadera 2) verdadera 3) falsa

Ejercicios Propuestos 1.4
3) d 4) c 5) d 6) d 7) 

Ejercicios Propuestos 1.5
a) si b) no c) no d) no e) no f) no

625. Ejercicios Propuestos 1.6
1) a 2) d 3) b 4) a 5) c 6) d 7) a 8) c 9) c
10) d 11) e 12) c

Ejercicios Propuestos 1.7
1) c 2) e 3) c

Misceláneos
1) b 2) a 3) d 4) c 5) a 6) e 7) c 8) d 9) e
10) c 11) b 12) c 13) a 14) c 15) d 16) c 17) c 18) d
19) c 20) b 21) c 22) d 23) c 24) a


CAPITULO 2: Conjuntos

Ejercicios Propuestos 2.1
1) b 2) c 3) a

Ejercicios Propuestos 2.3
1) b 2) e 3) c 4) a 5) a 6) a 7) c 8) b 9) c
10) b 11) b 12) c 13) a

Ejercicios Propuestos 2.4
1) a: 110 b: 660 c: 510 d: 320 e:190
2) a 3) a 4) a 5) d 6) a 7) a 8) b 9) a
10) a: 2 b: 13 c: 14 d:12
11) e 12) b 13) a 14) c 15) a

Misceláneos
1) b 2) e 3) e 4) d 5) b 6) e 7) d 8) c 9) e
10) a 11) e 12) d 13) d 14) d



CAPITULO 3: Lógica y Teoría de Conjunto

Ejercicios Propuestos 3.1
1) c 2) d 3) a 4) c 5) b 6) a

Ejercicios Propuestos 3.2
2) b 3) c 4) c

Ejercicios Propuestos 3.3
2) c 3) c 4) b

Ejercicios Propuestos 3.4
1) a 2) d 3) c 4) c 5) d 6) c 7) d 8) e 9) d

626. Misceláneos
1) c 2) c 3) c 4) c 5) a 6) d 7) b 8) e 9) b
10) e 11) e 12) d 13) c 14) d 15) c 16) e





CAPITULO 4: Relaciones y Funciones

Ejercicios Propuestos 4.1
1) e 2) d

Ejercicios Propuestos 4.2
1) a

Ejercicios Propuestos 4.3
1) e 2) b 3) c 4) e

Ejercicios Propuestos 4.4
1) e 2) e 3) d 4) b 5) b 6) b 7) b 8) c 9) c
10) e 11) c 12) b 13) c 14) a 15) e

Misceláneos
1) a 2) c 3) a 4) d 5) b 6) c 7) e 8) e 9) c
10) b 11) e 12) e 13) d 14) b 15) e 16) d 17) e 18) d




CAPITULO 5: Los Números

Ejercicios Propuestos 5.1
1) a: 50
101 b: 99
1 c: 4950
15551 d: 9000
45183
2) a: 30
1419 b: 1

Ejercicios Propuestos 5.3
1) d 2) b 3) e 4) e 5) b

Ejercicios Propuestos 5.4
1) b 2) c 3) e 4) b 5) e 6) e

Ejercicios Propuestos 5.5
1) a 2) d 3) a 4) d 5) d

Ejercicios Propuestos 5.6
1) e 2) b 3) d 4) b 5) b 6) d 7) d 8) c 9) a

627. Ejercicios Propuestos 5.7
1) e 2) c 3) b 4) b 5) e 6) c 7) d 8) c 9) e
10) c 11) c 12) b 13) b 14) e 15) e 16) d 17) b 18) b
19) e 20) a

Ejercicios Propuestos 5.8
1) b 2) c 3) a 4) a 5) d


Misceláneos
1) c 2) a 3) a 4) e 5) b 6) d 7) a 8) b 9) a
10) b 11) d 12) d 13) e 14) c 15) d 16) b 17) a 18) e
19) a 20) d 21) b 22) a 23) a 24) d 25) c 26) b 27) c
28) d 29) a 30) d 31) d 32) c 33) a 34) c 35) c 36) e
37) a 38) d 39) e 40) e 41) e 42) b 43) b 44) a 45) b
46) d 47) c 48) a 49) e 50) b 51) e 52) b 53) e



CAPITULO 6: Ecuaciones

Ejercicios Propuestos 6.1
1) a: 3 b: 0 2) c 3) c

Ejercicios Propuestos 6.2
1) a 2) c 3) d

Ejercicios Propuestos 6.3
1) d 2) c 3) a 4) a 5) a 6) d 7) d

Ejercicios Propuestos 6.4
1) 11 2) e 3) d 4) e

Ejercicios Propuestos 6.5
1) 1,1 2) 1 3)  2,0,1 4)
2
1 5)





3
1
6) 3 7) 2,4 8) 5,3 9) 1,6

Ejercicios Propuestos 6.6
1) 






4
1
,
2
1 2) 2 3)  4) 
2
1
,2 5) 2,0
6) 2 7) 





 2,
5
16 8) 






3
1
,3 9) 





2
1 10) 4,2
11)  12) 

628. Ejercicios Propuestos 6.7
1) b 2) d 3) c 4) 50 5) a 6) b 7) e 8) $52000 y $8000
9) a 10) c 11) 1500 12) a 13) d 14) c 15) c 16) a
17) a 18) c

Misceláneos
1) b 2) d 3) b 4) e 5) c 6) a 7) b 8) b 9) a
10) b 11) b 12) e 13) c 14) e 15) a 16) d 17) a 18) d
19) b 20) c 21) a 22) d 23) c 24) b 25) a 26) c 27) a
28) a 29) c 30) a


CAPITULO 7: Inecuaciones

Ejercicios Propuestos 7.1
1) ,1 2) 3, 3) 0,

Ejercicios Propuestos 7.2
1) 1,6 2) 3,2 3)3,3 4) ,0 5)1,2


Ejercicios Propuestos 7.3
1) b 2) c 3) a 4) e 5) a 6) e

Ejercicios Propuestos 7.4
1) a:  
C
3
2
3
4
, b:  
2
5
2
3
, c:  d: 3 e:  1, f:  
3
14
,
g: 



4
3
,
2
1 h:  , i:  ,
2) d 3) e 4) a

Ejercicios Propuestos 7.5
1) a:  b: ,2 c: C







3
1
,5 d:   





 ,33,
3
2
4, e: 





5,
5
3
2) c 3) c 4) b 5) b

Ejercicios Propuestos 7.6
1) 200x 2) 1000x 3) a 4) b
5) a: $5  $7 b: 86p
6) $200 7) e 8) al menos 220000 9) a 10) c

Misceláneos
1) d 2) a 3) c 4) c 5) a 6) e 7) a 8) d 9) d
10) c 11) a 12) b 13) d 14) e 15) e

629. CAPITULO 8: Números Naturales

Ejercicios Propuestos 8.2
1) 64
840vu 2) 22
924yx 3) c 4) 3
10 5) a 6) b
7) 61236 8) a 9) e 10) d 11) b 12) b
13) d 14) a 15) n=8 16) c 17) a 18) d
19) a


Ejercicios Propuestos 8.3
1) a 2) a 3) d 4) e 5) b 6) b 7) d 8) b
9) b 10) b 11) d 12) d 13) c 14) c 15) 20 pagos
16) d 17) 9 pagos 18) c 19) e 20) $120

Ejercicios Propuestos 8.4
1) a: Geométrica b: Ninguna c: Geométrica d: Aritmética e: Ninguna
2) c 3) c 4) a 5) a 6) d 7) e 8) 128,64,32,16,8
9) c 10) b 11) d 12) c 13) c 14) c 15) a 16) c 17) d
18) b 19) c 20) c 21) d 22) c

Misceláneos
1) c 2) b 3) d 4) b 5) b 6) a 7) e 8) d 9) b
10) a 11) b 12) c 13) d 14) a 15) d 16) b 17) c 18) c
19) c 20) e 21) c 22) c 23) d 24) e 25) c 26) a 27) b
28) a 29) e 30) a 31) a 32) b 33) b 34) a 35) b


CAPITULO 9: Función de una variable real

Ejercicios Propuestos 9.1
1) b

Ejercicios Propuestos 9.2
1) b 2) d 3) d 4) c 5) a

Ejercicios Propuestos 9.3
1) a 2) b 3) d 4) d

Ejercicios Propuestos 9.4
1) Ninguna 2) Par 3) Ninguna 4) Ninguna
5) Ninguna 6) Impar

Ejercicios Propuestos 9.5
1) c

630. Ejercicios Propuestos 9.6
2) c

Ejercicios Propuestos 9.7
1) a 2) a 3) b 4) a 5) e 6) b 7) c 8) b

Ejercicios Propuestos 9.9
1) c 2) c 3) c 4) d 6) a 8) e 9) d 10) d 11) b
12) d 13) d

Ejercicios Propuestos 9.10
1) a) 3
2
 b) 5
6

3) a) 2, b) 2, 2 c) 0, 4
C d) 0,1
e)  2, 1 1, 2  

4) b 5) a 6) c

Ejercicios Propuestos 9.11
1) d 2) c 3) c 4) b 5) e

Ejercicios Propuestos 9.12
1) d 2) d 3) b

Ejercicios Propuestos 9.13
1)
1) 
2
1
3
1
3
2 ; 1
3 2 ;
3 1 ; 1
xx
f g x x x
xx
  

  

   
 



2
1 ; 0
3 1 ; 0 1
3 2 ; 1
xx
g f x x x
xx



   



2) 

2
1 1 ; 2 0
2 ; 2 0
x x x
f g x
x
     

    
2
3 ; 1
;1
x
g f x
xx



3) 
2
2
10 2 ; 0
2 1 ; 3 0
2 2 ; 3
xx
f g x x x
xx
  

     

   
 
2
5 ; 1
2 2 2 ; 1
xx
g f x
xx
   

  
4) 
1 ; 2
;2
xx
f g x
xx
  


 
;2
1 ; 2
xx
g f x
xx




5)  
3 ; 3
2 ; 0 3
2 ; 3 0
2 ; 3
xx
x
f g x
xx
x


  

    

   
3 ; 6
4 ; 1 6
3 ; 1
xx
g f x x x
x


   



6)  
 
 
2
2
2
6 2 ; 3
6 2 ; 2 3
4 ;1 2
1 ; 1
xx
xx
f g x
x
xx


   

  


  
 
4
2
1 ; 0
1 ; 0
xx
g f x
xx




2) c 3) c 4) a

631. Misceláneos
1) e 2) e 3) c 4) c 5) d 6) d 7) b 8) e 9) c
10) a 11) c 12) c 13) a 14) d 15) a 16) d 17) e 18) c
19) a 20) d 21) d 22) c 23) c 24) e 25) e 26) b 27) d
28) a 29) b 30) b 31) c 32) a 33) e 34) e 35) d 36) e
37) c 38) e 39) d 40) c 41) b 42) c 43) c 44) c 45) e
46) d 47) d 48) e 49) b 50) d 51) c 52) a 53) b



CAPITULO 10: Función Exponencial y Función Logarítmica

Ejercicios Propuestos 10.1
1) d

Ejercicios Propuestos 10.3
2) d 3) a 4) b 5) e 6) c 7) c

Ejercicios Propuestos 10.4
1) e 2) d 3) d 4) d 5) a: 0.406 b: 3.871 c: 1.4458
6) b 7) 
5log
 8) b 9) c 10) c 11) d 12) d

Ejercicios Propuestos 10.5
1) d 2) a 3) d 4) c 5) e 6) a
7) 
1
2
10 ; 0
1 log ( 1); 1 0



     
x
x
fx
xx 8) c 9) c 10) e 11) c 12) d
13) a 14) c

Ejercicios Propuestos 10.6
1) a: 15  xx b: 2
1
1  xx c: 2
16
33
 xx d: 3lnx
e: 










5
16
64
25
log
log
x f: 5x g: 12  xx h: 3
1
2lnx
2) c 3) d 4) a 5) d 6) b 7) a 8) b 9) e
10) d 11) d


Ejercicios Propuestos 10.7
1) d 2) b 3) c 4) a 5) d 6) a 7) c 8) e
9)  
44
8,8 10) e 11) a) 1
,3
3


 b) 1
,4
2


 12) d

Ejercicios Propuestos 10.8
1) a) 2 b)  ,2 c) 2,8
C
 d) 52
,
63



 e) 1
,3
2



f)  ,101 g) 26
1,
27




2) a 3) d 4) d 5) c

632. Ejercicios Propuestos 10.9
1) 1,55 meses 2) e


Misceláneos
1) e 2) c 3) a 4) e 5) e 6) a 7) d 8) b 9) e
10) c 11) b 12) c 13) c 14) d 15) c 16) b 17) a 18) c
19) d 20) a 21) b 22) e 23) d 24) e 25) b 26) d 27) e
28) e 29) e 30) d








CAPITULO 11: Funciones Polinomiales

Ejercicios Propuestos 11.1
1) a 2) b 3) b 4) a 5) e 6) c 7) b 8) c 9) c
10) e 11) c 12) e

Misceláneos
1) c 2) e 3) b 4) a 5) b 6) c 7) b 8) b 9) b
10) c 11) a

CAPITULO 12: Trigonometría

Ejercicios Propuestos 12.5
1) e 2) d

Ejercicios Propuestos 12.9
7) b 8) d 9) c 10) a 11) d 12) e 13) c 14) c 15) b
16) c 17) c 18) a 19) d

Ejercicios Propuestos 12.10
1.
1) 3
2


 2) , , 5
33




 3)  0, 2 4)  0, , 2
5) 0, , 2
2




 6) , ,5 ,3
2 6 6 2
   

 7)  2 , ,0, ,2   
8) ,3
44


 9) , ,3
22




 10) 2 , 3 , , ,0,
22



   


2) d 3) b 4) d 5) d 6) d 7) b 8) b

633. Ejercicios Propuestos 12.11
1)
1) 7 ,11
66


 2) 0, 3 , 2
22


   


    3) ,5
66


 4) 7 ,11
66



2) e 3) b 4) b


Misceláneos
1) e 2) d 3) e 4) b 5) d 6) a 7) c 8) e 9) c
10) d 11) a 12) a 13) c 14) a 15) a 16) d




CAPITULO 13: Matrices y Determinantes

Ejercicios Propuestos 13.2
2) a


Ejercicios Propuestos 13.3
1) a: 





160
502 b: 










21105
12413
1212 c: 










32
6
11 d: 







3258
1425
2) 





1612
124 3) a 4) d 5) a: 





40
59 b: 





73
06
6) 41qp

Ejercicios Propuestos 13.4
1) a


Ejercicios Propuestos 13.5
1) e 2) a: -21 b: -14 3) a 4) a 5) d 6) b 7) c
8) b

Ejercicios Propuestos 13.6
1) a 3) d 4) a: 







31
21
5
11
A b: 














375
571
173
14
11
A
c: 












214
102
001
1
A d: A no tiene inversa e: 



















2547
4
1223
28610
2
3
2
7
2
5
1
A

634. 5) d 6) d 7) 






10
03
A 8) d 9) c 10) b 11) d 12) e
13) d 14) d

Misceláneos
1) a 2) c 3) a 4) e 5) e 6) a 7) a 8) b 9) c
10) b 11) e 12) c 13) b 14) e

CAPITULO 14: Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ejercicios Propuestos 14.1
1) a: 



















1
0
6 b:  c: 
























Rz
z
y
z
x
x
y
x
5
7
5
1138
/
d:  e: 



















1
2
1 f: 

























0
5
3
5
17 g: 



















0
0
0 h: 




















Rz
z
z
z
/
2
2) c 3) b 4) c

Ejercicios Propuestos 14.2
1) d 2) a 3) a 4) d 5) d 6) b

Ejercicios Propuestos 14.3
1) b


Ejercicios Propuestos 14.4
1) a 2) e 3) A=100, B=150, C=200 4) a 5) c


Misceláneos
1) d 2) a 3) d 4) a 5) e 6) c 7) d 8) a 9)d
10) d 11) e 12) d 13) b 14) c 15) c


CAPITULO 15: Geometría Plana

Ejercicios Propuestos 15.1
1) 80FGB 100CFG 2) 2
3
MNP


3) 6

x , 3
2
y 4) 7
18
x



635. Ejercicios Propuestos 15.2
1) 5
18
ABC

 2) 4


Ejercicios Propuestos 15.3
1) 12 2) 4
413
x 3) 3
20
Ejercicios Propuestos 15.4
1) c 2) d 3) )13(50
Ejercicios Propuestos 15.5
1) 40 cm y 75 cm. 2) 3
5 3) 32;
4
1

4) 4
1 5) 8 cm. 6) 20
2
a
A
8) d 9) b 10) e


Ejercicios Propuestos 15.6
1) c 2) cmPerímetro312 cmDiagonal63
3) a 4) a

Ejercicios Propuestos 15.7
1) 12
 2) c 3) 4
h 4) 29

Ejercicios Propuestos 15.8
1) 2
 2) 3r 3) 3
2
4) 2
3
233
aA

 5) 2
196mA 6) cml6
7) 2
a 8) a 9) b
10) a 11) 4
2
1
2
r 12) a 13) b
14) b 15) b 16) d 17) e
18) d 19) 24
2
aA 20) 2
4
1
16
3
aA 






21) 
2
25
2
375
A 26) c

636. CAPITULO 16: Geometría del Espacio

Ejercicios Propuestos 16.1
1) 150$

Ejercicios Propuestos 16.2
1) 2
12
3
Vl 2)  
33
31
2
Va 3) 2
1944cmA
4) 39
47
30 gal.

Ejercicios Propuestos 16.3
1) 3500 3
27
cm
 2) 1 3) 33
16 4) 3
2
7 3
cm
5) 3
3
76
cmV 6) 10a 7) 3
6
mV

 8) cmd 68
9) %50 10) 4
 11) 2320000
3
cm 12) 3
99000cm
13) 3
9
 14)  
3
404 cmV  15) d
16) b

Ejercicios Propuestos 16.4
1) 3
3
244
cmV  2) 26
3
V 3
m .82
L
A  3) 2
3
64 3
u
4) 
12
731 3
u 5) 
3
4
V 6) 2V
7) a) 
3
26
V b) 
3
28
V 8) 316
3
V 
9) a) F b) V c) F d) F 10) a

CAPITULO 17: Vectores

Ejercicios Propuestos 17.1
1) a:  2,4,4 b:  20,14,1 c:  2,0, 3 d:  7,40,28
2) c 3) a 4) e 5) c

Ejercicios Propuestos 17.2
1) e 2) b 3) c 4) a 5) e 6) e

Ejercicios Propuestos 17.3
1) c 2) d 3) c 4) 2
7
t 5) d 6) e 7) a 8) c
9) d 10) c

637. Ejercicios Propuestos 17.4
1) 2,2X y 1,1Y
2) a)  
2
15 15 10
1 22 22 22
,,  
v
proy v b)  
81 29 39
22 22 11
,,
3) a 4) c


Ejercicios Propuestos 17.5
1) a) 2
15

x
A 5
4

z
B b) 2
15

x
A 5
4

z
B 2) 174
2
Area
3) 746
77
h 4) 678
5459
h 5) 0
6) a 7) d 8) b

Misceláneo
3) 3


4) 13
5) 4k , 5m
6) 3tan
7) 50 40
41 41
X i j
8) 3
2
k , 3
5
m

CAPITULO 18: Geometría Analítica

Ejercicios Propuestos 18.1
1) 093 yx 2) 053 xy 3) 52 yx
4) 052 yx 5) 01568 yx 6) 0244 yx
7) 34ab 8) 4
5 9) 13
3
10) 0d 11) 3
37222 12) 4

13) 02443 yx 14) 042 yx 15) 2
16) 7, -9/7 17) 02543 yx 18) 8
19) 0323 yx 20) c 21) b
22) a 23) d 24) d
25) a

Ejercicios Propuestos 18.2
2) 1,
4
5
C y 4
7
r 4) d 6) c 7) d 8) c
9) d 10) b 11) d
12)2523
22
 yx 13) 01652261313
22
 yxyx
14) 
72
121
2
3
8
2
6
1
 yx 15) 506
16) 
22
5 4 41xy   
17) 
2 2
79 1
2 2 2
xy    y 
22
791
2 2 2
xy   

638. Ejercicios Propuestos 18.3
1) 20
max
x 25
max
y 2) Kgx
max
146 lty
max
25
3) d 4) 48.4
max
x 49.3
max
y

Ejercicios Propuestos 18.4
2) 38
2
yx 3) yx 84
2
 4)  
48
49
4
3
2
8
7
 yx
5)   
2
5 25 1
8 4 16
yx    6)   
2
2512
6 3 24
yx   
7)   
2
2512
6 3 24
xy    8) d
Ejercicios Propuestos 18.5
2) 
1
16
3
25
1
22



 yx 3) mh 212 4) 19k
5) 6
152,0714 10
MAYOR
d  Km. 6
146,9286 10
MENOR
d  Km.
6) d 7) b

Ejercicios Propuestos 18.6
2) yx
2
3
1 3) 04429 yx 4) 6
5) 102d

Misceláneos
3)  
144
1
2
6
1
2
12
1
 yx 4) 3k 5) 1
3349
22

yx
6) 
1
12
3
4
5
22



 yx 7) 
1
2
2
4
9
2
2
5

 yx
8) 052241643
22
 yxyx 9) 055382888
22
 yxyx
10) 0314263
22
 yxyx 11) 0142
2
 xyy
12)      2,7,2,7,2,7,2,7),(
2
3
2
3
2
3
2
3
yxAp
13) 22b 14) 0
21
aa
15) a.  1,1,9,3),( yxAp
b.    2,21,2,21),( yxAp
c.   4,5,4,5,5,2,5,2),( yxAp
d.      2,22,2,22,2,22,2,22),( yxAp
24) b 25) c


CAPITULO 19: NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicios Propuestos 19.1
1) 0 2) 13
5 10
i 3) zi 4) 12
33
i
5) 1
2a , 2
3a , 3
2a , 4
2a

639. Ejercicios Propuestos 19.2
1) a. 2z , 0 2 ;kk   , ln ln2z
b. 4z , 2;
2
kk

   , ln 2ln 2 2
2
z k i



  


c.2z , 3
2;
2
kk

   , 3
ln ln 2 2
2
z k i



  


d.2z , 7
2;
4
kk

   , 17
ln ln 2 2
24
z k i



  


e. 52z , 2;
4
kk

   , 17
ln ln5 ln 2 2
24
z k i


   
   
   
   
f.52z , 5
2;
4
kk

   , 15
ln ln5 ln 2 2
24
z k i


   
   
   
   
g.1z , 4 , ln 4zi
h. 5
ze

 , 2 , ln 5 2zi   
i. 2
ze , 2
3

 , 2
ln 2
3
zi




2) 1 3) 7
3
3
i 5) 4 512i
6)  1, , 1,ii 7) 2 2 2 2 2 2 2 2
1, , , , 1, , ,
2 2 2 2 2 2 2 2
i i i i i i

       

8)  18 14i
9) a.  3 , 3ii b. 1 3 1 3
,1,
2 2 2 2
ii


 c.  
4 4 4 4
3, 3 , 3, 3ii
d.  2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2i i i i     
e. 10 10 10
10 10
3 3 11 11 19 19
2 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin ,
20 20 20 20 20 20
35 35 43 43
, 2 cos sin , 2 cos sin
20 20 20 20
i i i
ii
     
   
     
  
     
       

   

   

   
10) a. V b. V c. V
11) d 12) a 13) d 14) e 15) b 16) a 17) e 18) b 19) d


Misceláneos
1) b 2) a 3) c 4) d
5) 1
6a , 2
15a , 3
18a , 4
10a


CAPITULO 21: Introducción a Límites y Derivadas

Ejercicios Propuestos 21.2
1. a) existenoxflím
x


)(
1 b) existenoxflím
x

2 
2
1
x
lím f x


c) 3
2


xflím
x d) existenoxflím
x

0
e) existenoxf
x


)(lím
1 2
11
)(lím
2
5


xf
x

640. Ejercicios Propuestos 21.3
1) 2 2) 1 3) -2 4) 0 5) -1
6) 0 7) 1 8) 0 9) -1 10) 1

Ejercicios Propuestos 21.4
1) 6 2) 1
4
 3) 12 4) 1
5
 5) 11
9
6) 4
5 7) 19
2 8) 1
4 9) 1
2 10) 1
12
11) 1
9 12) 1a 13) 1
9 14) 1
2 15) 1
72
16) 1

Ejercicios Propuestos 21.5
1.
1)4x 2)2x 3)1x 4) 1x
5) 3x 6) no hay 7) 1x , 0x , 1x
8) 2x ,2x 9)  
1
/;
2
x x k k   10) x

11) 2
3
x , x , 0x , 2

x , x 12) 0x
2.
1) 1
6
A 2) 1
4
A 3) 15A 4) 1
12
A

Ejercicios Propuestos 21.6
1) a)2.5 b) 2.3 c) 2.1 d) ´ 2 2f
2) 
1
´3
2
f
3) a) ´3fx b) ´2fx c) ´ 2 2f x x d) ´ 4 1f x x   e) 
2
´6f x x
f)  
2
3
23)´(
2
3 
 xxf

Ejercicios Propuestos 21.7
1) a) 
2
34
3
2
´3
x
f x x e
x

  
b) 
42
´ 5 3 4f x x x x  
c)     ´ 2 cos 1 cos 1f x x x x x senx x senx      
d) 
 
2
2
22
cos 11
´
xxx
fx
x senx xsen x


e) 
 
 
2
1 1 cos
´
1
x
e x senx x x
fx
senx
    



f)  ´ 2 ln 1
2
x
xe
f x x x    

2) 41yx
3) 13
3
4
yx  
4) 21yx ; 29yx  
5) 12 81yx ; 12 44yx
6) 9,3P
7) 53 8) !50 9) 49
10

641. Misceláneos Cap. 21
1. a) F b) V c) F d) F e) F f) V g) F h) V i) F
j) F m) F n) V o) V p) V q) F r) V s) F

2. 3a , 4b , 1c

3. 7k
4. 4
1
xy