Limit, Limit kiri dan kanan, limit tak hingga dan menju tak hingga, kekontinuan.pptx

Limit, Limit kiri dan kanan, limit tak hingga dan menju tak hingga, kekontinuan

1. Limit, Kekontinuan OLEH : PRATAMA YULY NUGRAHA

2. TEOREMA LIMIT Limit seperti pedekate tapi tidak pernah jadian .

3. x  1  1 f ( x )  x 2 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian limit secara intuisi Perhatikan fungsi Fungsi diatas tidak terdefinisi di x =1, karena di titik tersebut f ( x ) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan ,nilai f ( x ) akan mendekati berapa jika x mendekati 1 ? Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f ( x ) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 f ( x ) 1.9 1.99 1.999 1.9999 ? 2.0001 2.001 2.01 2.1 3 Kalkulus 1 TEOREMA LIMIT

4. TEOREMA LIMIT Definisi Umum Jika adalah variable pada bilangan asli anda dapat dengan mudah menyebut anggota terbesar himpunan tersebut , yaitu 3. Tetapi dapatkah anda menyebut anggota terbesar himpunan bilangan itu jika adalah variable pada himpunan bilangan real ?  

5. TEOREMA LIMIT

6. TEOREMA LIMIT Definisi Umum Limit adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi saat variabel mendekati nilai tertentu. Notasi limit : “ jika mendekati a, maka nilainya mendekati L atau limit dari , jika mendekati adalah ” ” saat x berada sangat dekat tapi tidak sama dengan c maka juga berada sangat dekat dengan L (dari kanan maupun dari kiri)”.  

7. Limit fungsi f ( x ) menuju titik c adalah L .

8. Semakin x mendekati c , maka nilai f ( x ) juga semakin dekat dengan L .

9. Contoh Limit

10. CONTOH LIMIT Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3

11. LIMIT TAK TENTU Secara umum, untuk mencari nilai limit fungsi aljabar berbentuk yang mengandung bentuk tak tentu digunakan metode pemfaktoran . Jika dimisalkan factor yang sama itu adalah ( x-c ), maka :  

12. CONTOH LIMIT TAK TENTU Carilah Penyelesaian :  

13. Tinjau fungsi f ( x ) = Fungsi tersebut tak terdefinsi untuk x = 1  

14. CONTOH LIMIT

15. CONTOH LIMIT Semua informasi yang telah kita olah terlihat mempunyai kesimpulan yang sama; f(x) mendekati 3 saat x mendekati 1. Dalam lambang matematika , kita tulis Ini dibaca "limit ketika x mendekati 1 dari adalah 3"  

16. LIMIT SATU ARAH Menurut teorema bahwa suatu fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan mempunyai limit untuk 𝑥 yang mendekati 𝑎 jika dan hanya jika nilai limit kanan sama dengan nilai limit kiri fungsi, ditulis  

17. lim f ( x ) x  c  Limit Kiri dan Limit Kanan x c Jika x menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c , limit disebut limit kiri, lim f ( x ) x  c  Jika x menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c , limit disebut limit kanan, c x x  c  x  c  x  c Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan): lim f ( x )  L  lim f ( x )  L dan lim f ( x )  L Notasi: Notasi: Jika x  c   lim f ( x ) lim f ( x ) x  c  maka lim f ( x ) tidak ada x  c

18. LIMIT KIRI DAN KANAN Notasi : , artinya nilai y = f(x) mendekati L jika nilai x mendekati a dari arah kanan, dan disebut limit kanan dari f(x). , artinya nilai y = f(x) mendekati l jika nilai x mendekati a dari arah kiri, dan disebut limit kiri dari f(x).  

19. LIMIT KIRI DAN KANAN Jika , maka dikatakan f(x) mempunyai limit pada x=a. jika , maka dikatakan f(x) tidak mempunyai limit pada x = a. Untuk fungsi sederhana, dalam mencari limit fungsi pada suatu titik .  

20. CONTOH LIMIT KIRI DAN KANAN

21. SIFAT-SIFAT LIMIT

22. LATIHAN Hitunglah :  

23. Limit Trigonometri Limit fungsi trigonometri adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi trigonometri saat variabelnya mendekati nilai tertentu. Konsep ini sama dengan limit fungsi aljabar, hanya saja fungsinya melibatkan sinus ( sin ), cosinus ( cos ), tangen (tan), dan fungsi trigonometri lainnya. Secara umum, untuk menghitung limit fungsi trigonometri, kita bisa menggunakan substitusi langsung . Jika hasilnya bukan bentuk tak tentu (0/0,∞/∞, dll.), maka hasil substitusi tersebut adalah nilai limitnya.

24. Limit Trigonometri Rumus-Rumus Dasar Limit Trigonometri Ada beberapa rumus dasar yang sering digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri, terutama saat substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu (0/0). Rumus ini hanya berlaku untuk x→0.

25. Limit Trigonometri Rumus-rumus ini juga dapat dikembangkan untuk bentuk yang lebih kompleks:

26. Limit Trigonometri Terdapat 3 cara untuk menghitung limit trigonometri : Substitusi Langsung: Hitunglah nilai dari Subtitusi ke Sehingga :  

27. Limit Trigonometri Menggunakan rumus dasar : Hitunglah nilai dari Jika kita substitusi langsung, hasilnya adalah 0/0. Oleh karena itu, kita gunakan rumus dasar:  

28. Limit Trigonometri Menggunakan Identitas Trigonometri: Kadang kala, kita perlu menyederhanakan fungsi menggunakan identitas trigonometri , seperti :  

29. Limit Trigonometri Contoh: Jika disubstitusi, hasilnya 0/0. Gunakan identitas Gunakan rumus dasar  

30. Limit Trigonometri , maka Jadi,  

31. LIMIT TAK HINGGA Limit Tak Berhingga Tinjau grafik     Contoh lain: Carilah nilai limitnya :  

32. LIMIT TAK HINGGA Dengan melihat grafik jelas bahwa nilai f (𝑥) akan menuju positif tak hingga baik 𝑥 menuju 1 dari arah kanan maupun dari arah kiri. Ini berarti jika 𝑥 → 1 . Walaupun dalam hal ini f (𝑥) tidak menuju pada nilai atau bilangan tertentu ketika 𝑥 menuju 1 , namun dalam kasus ini 𝑔(𝑥) mempunyai limit di tak hingga. Inilah sebenarnya pengertian limit tak hingga .  

33. LIMIT MENUJU TAK HINGGA Pada prinsipnya langkah pertama untuk menyelesaikan limit suatu fungsi adalah dengan cara substitusi langsung, jika ternyata hasilnya adalah atau bentuk tak tentu yang lain maka dapat kita lakukan dengan cara-cara tertentu. Bentuk limit Fungsi untuk  

34. b. Limit di Tak Hingga x  lim f ( x )  L a. jika     M   x  M  | f ( x )  L |   atau f ( x ) mendekati L jika x menuju tak hingga L x Contoh: Hitung  2 x  5 lim 2 2 x  4 x 2 x  Jawab: x 2 x 2 (2  4 ) x 2  5 ) x x 2 (1  2 x  lim  lim 2 x 2  4  2 x  5 x 2 x  4 x 2 x 2  x 2 1  2  5  lim x  = 1/2 (bagi dengan x pangkat tertinggi dari penyebut)

35. x  lim f ( x )  L jika     M   x  M  | f ( x )  L |   atau f ( x ) mendekati L jika x menuju b. L x Contoh: Hitung Jawab: lim  4 2 x  5 x  2 x 2  4 lim 2 x  5 x  2 x 2 x 2  lim x  x 2 (2  4 ) x 2 x x 2 ( 2  5 )  lim 2 x 2 4 x (2  ) x ( 2  5 ) x  =  

36. Contoh: Hitung x  lim  x  3  x x 2 Jawab : limit diatas adalah bentuk (   ) x  lim x  x  3  x 2 ) x 2  x  3  x 2 x 2  x  3  x  lim x  x  3  x ( x   x  3  x x 2  x  3  x 2 x 2 x   lim  x  3  x x 2 x  3 x   lim x x   lim x x 2 x 2 (1  1  3 )  x x (1  3 ) x 2  | x | x x  x x 2  3 x   x 1  1 x (1  3 )  lim  1)  3 1  3  lim x 2 x x x   ( 1  1   1 2 36 Kalkulus 1

37. CONTOH LIMIT MENUJU TAK HINGGA Bentuk dapat diselesaikan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x) Contoh :  

38. CONTOH LIMIT MENUJU TAK HINGGA Bentuk dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan sekawannya yaitu , sehingga bentuk limit menjadi Contoh :  

39. lim 3  x Soal Latihan Hitung x  3  3  x lim x  2  x 2  4 3 x  lim lim( x  1  x ) x x  1  x 2 x  1  1 lim x 2 x  lim x  x 2  x x  1 . 1. 2. 3. 4. 5. 6.  x  2 7. lim sin( x  1) x  1 x 2 tan x 8. lim 2  3 x x  x x 2  2 x  5 9. lim x  x 2 39 Kalkulus 1 2 x  5 2 x  3 10. lim  x  2 x 

40. LATIHAN Tentukan Tentukan Tentukan Tentukan Tentukan Tentukan  

41. Kekontinuan Fungsi Fungsi f ( x ) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika (i) (ii) (iii) f ( a ) ada lim f ( x ) ada x  a lim f ( x )  f ( a ) x  a a Jika salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakan tidak kontinu di x = a (i) º f ( a ) tidak ada f tidak kontinu di x = a 41 Kalkulus 1

42. a (ii) L 2 L 1 Karena maka Fungsi f ( x ) tidak kontinu di x = a (iii) a ● º f(a) L f ( a ) ada lim f ( x ) x  a ada Tapi Fungsi f ( x ) tidak kontinu di x = a 42 Kalkulus 1 lim f ( x )  f ( a ) x  a lim f ( x )  lim f ( x ) x  a  x  a  lim f ( x ) tidak ada x  a

43. (iv) a f(a) f ( a ) ada x  a lim f ( x ) ada lim f ( x )  f ( a ) x  a f ( x ) kontinu di x = a Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendefinisikan nilai fungsi di titik tersebut = limit fungsi Hal ini disebut dg Ketakkontinuan terhapuskan ( removable discontinuity ) a º 43 Kalkulus 1

44. Contoh: Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x =2, jika tidak sebutkan alasannya  4 x  2 x 2   3  4 , x  2   x 2 a. f ( x )  b. f ( x )   x  2 , x  2 2  x  1, x  2  x  1, x  2 c. f ( x )   Jawab : a. Fungsi tidak terdefinisi di x =2 (bentuk 0/0) f ( x ) tidak kontinu di x =2 b. (i) f( 2) = 3  lim x  2  4 ( x  2)( x  2)  lim x  2 ( x  2)  4 lim x  2 x  2 x 2 x  2 x  2 jadi, lim f ( x )  f (2) (ii) f ( x ) tidak kontinu di x =2 44 Kalkulus 1

45. c. f (2)  2 2  1  3 lim f ( x )  lim x  1  3 x  2  x  2  lim f ( x )  lim x 2  1  3 x  2  x  2  lim f ( x )  3 45 Kalkulus 1 x  2 lim f ( x )  f (2) x  2 Karena semua syarat kekontinuan dipenuhi f ( x ) kontinu di x =2

46. Kontinu kiri dan kontinu kanan Fungsi f ( x ) disebut kontinu kiri di x = a jika lim f ( x )  f ( a ) 46 Kalkulus 1 x  a  Fungsi f ( x ) disebut kontinu kanan di x = a jika lim f ( x )  f ( a ) x  a  Fungsi f ( x ) kontinu di x = a jika f ( x ) kontinu kiri dan kontinu kanan di x = a   2 ax  1, x  2 Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi f ( x )   x  a , x  2 kontinu di x =2

47. Jawab : Agar f ( x ) kontinu di x =2, haruslah * f kontinu kiri di x =2 lim f ( x )  f (2) x  2  x  2  lim x  a  a 2 2  1 * f kontinu kanan di x =2 lim f ( x )  f (2) x  2   1  4 a  1 lim ax 2 x  2  2  a  4 a  1  3 a   3 a  1 47 Kalkulus 1 4 a  1  4 a  1 (trivial) Jadi, a =1 f kontinu kiri dan kontinu kanan di x =2

48.  2 x  2, x   1  x 2 1. Diketahui f ( x )    1, x   1 Soal Latihan    f ( x )   ax  b ,1  x  2  selidiki kekontinuan fungsi f ( x ) di x = - 1 2. Agar fungsi x  1, x  1 3 x , x  2 kontinu pada R , maka berapakah a + 2 b ? 3. Tentukan a dan b agar fungsi x  2 , x  2 2  4 x , x  2 48 Kalkulus 1   ax 2  bx  4 f ( x )     kontinu di x = 2

49. 4. Tentukan a dan b agar fungsi f kontinu di domainnya. 49 Kalkulus 1    f ( x )   3 x , x  1  2 ax  b , x  1 2 bx  a , x  1