Limite de função de duas variáveis

Resolução do limite de uma função de duas variáveis pela definição.

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1. Limite de func~oes de duas variaveis reais
Denic~ao:Sejafuma func~ao de duas variaveis cujo domnioDcontem pontos arbitrariamente proximos de
(a; b). Dizemos que o limite def(x; y) quando (x; y) tende a (a; b) eLe escrevemos
lim
(x;y)!(a;b)
f(x) =L
se para todo >0 existe um numero correspondente >0 tal que
se 0<
p
(xa)
2
+ (y+b)
2
< ent~aojf(x; y)Lj< .
Problema:Mostrar que lim
(x;y)!(0;0)
3x
2
y
x
2
+y
2= 0.
Pela denic~ao de limite, temos que mostrar que
para todo >0 existe um >0 tal que
se 0<
p
(x0)
2
+ (y0)
2
< ent~ao



3x
2
y
x
2
+y
20


< .
Reescrevendo:
para todo >0 existe um >0 tal que
se 0<
p
x
2
+y
2
< ent~ao



3x
2
y
x
2
+y
2


< .
Obs.: O domnio da func~ao e Domf=R
2
n(0;0).
Demonstrac~ao
1
a
parte: manipulac~ao logica e algebrica de



3x
2
y
x
2
+y
2



Comoy
2
e sempre um numero positivo, sabemos que
x
2
x
2
+y
2
: (1)
Em outras palavras,x
2
somado a algum numero positivo tem necessariamente que ser maior ou igual a si
proprio.
Dividindo ambos os lados da desigualdade (1) porx
2
+y
2
, encontramos:
x
2
x
2
+y
2
1: (2)
Note que tal divis~ao so pode ser feita porque temos certeza quex
2
+y
2
>0, pois (0;0) n~ao pertence ao domnio
da func~ao.
Multiplicando ambos os lados da equac~ao (2) por 3jyj, obtemos
3x
2
jyj
x
2
+y
2
3jyj: (3)
Mas, pelas propriedades de modulojyj=
p
y
2
, ent~ao 3jyj= 3
p
y
2
. Assim,
3x
2
jyj
x
2
+y
2
3
p
y
2
: (4)
Sabemos quey
2
x
2
+y
2
, ent~ao
p
y
2

p
x
2
+y
2
. Logo, 3
p
y
2
3
p
x
2
+y
2
. Da,
3x
2
jyj
x
2
+y
2
3
p
y
2
3
p
x
2
+y
2
: (5)
Pela propriedade transitiva das desigualdades (sea < b < cent~aoa < c), conclumos que
3x
2
jyj
x
2
+y
2
3
p
x
2
+y
2
: (6)
1

2. Comox
2
ey
2
s~ao numeros maiores ou iguais que zero,
3x
2
jyj
x
2
+y
2=



3x
2
y
x
2
+y
2


. Ent~ao,




3x
2
y
x
2
+y
2




3
p
x
2
+y
2
: (7)
2
a
parte: manipulac~ao logica e algebrica de
p
x
2
+y
2
Dada a desigualdade 0<
p
x
2
+y
2
< , multiplicamos ambos os lados por 3 e obtemos
0<3
p
x
2
+y
2
<3: (8)
3
a
parte: conclus~oes
A partir de (7) e (8), obtemos




3x
2
y
x
2
+y
2




3
p
x
2
+y
2
<3: (9)
e conclumos, usando a propriedade transitiva das desigualdades, que




3x
2
y
x
2
+y
2




<3: (10)
Escolhemos, convenientemente,=

3
. Note que >0, pois, por hipotese, >0. Substituindoem (10),
obtemos



3x
2
y
x
2
+y
2




< : (11)
Assim, provamos que para todo >0, existe um >0 tal que



3x
2
y
x
2
+y
2


< sempre que 0<
p
x
2
+y
2
< .

2