Limites de funciones

En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad

1. LÍMITES DE FUNCIONES Prof. Carlos A. Blanco I.E.S. María de Molina (Zamora)

2. LÍMITES DE FUNCIONES En esta presentación trataremos los siguientes apartados: Idea intuitiva de límite Límites laterales Límites infinitos y límites en el infinito Propiedades de los límites Cálculo de límites Indeterminaciones Asíntotas y ramas infinitas Continuidad

3. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE El límite de una función nos quiere dar una idea del comportamiento de una función para valores de la variable independiente ( ) próximos a un cierto valor. Si el valor al que se va a acercar la variable independiente es , entonces se estudiaran los valores de la variable dependiente ( ) para valores de la variable independiente próximos a dicho valor .   Si la función es y queremos calcular el límite de dicha función en , elaboraremos una tabla de valores con valores próximos a :   0,1 -0,1 0,01 -0,01 0,001 -0,001 0,47619 0,52631 0,49751 0,50251 0,49975 0,50025 0,1 -0,1 0,01 -0,01 0,001 -0,001 0,47619 0,52631 0,49751 0,50251 0,49975 0,50025 Concluimos que el límite de dicha función en es  

4. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE Si en la función anterior, por contra, queremos calcular el límite en , tendremos las siguientes tablas de valores:   Cuando una función tenga límite lo escribiremos de la siguiente manera   -1,9 -1,99 -1,999 -1,9999 -1,99999 10 100 1000 10000 100000 -1,9 -1,99 -1,999 -1,9999 -1,99999 10 100 1000 10000 100000 -2,1 -2,01 -2,001 -2,0001 -2,00001 -10 -100 -1000 -10000 -100000 -2,1 -2,01 -2,001 -2,0001 -2,00001 -10 -100 -1000 -10000 -100000 Debemos concluir que no existirá el límite de dicha función para .  

5. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE Completa la tabla para calcular , y deduce cuál debe ser el límite   Dada la función en la gráfica adjunta, ¿cuál crees que será el límite en ? ¿Podemos calcular el límite en ? ¿Y en ?   4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001 4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001 El límite debe ser 3. 4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001 3,068965 2,935483 3,006688 2,993355 3,000666 2,999333 4,9 5,1 4,99 5,01 4,999 5,001 3,068965 2,935483 3,006688 2,993355 3,000666 2,999333 El límite en es 2. El límite en es 3. No podemos calcular el límite en porque no podemos acercarnos a dicho número  

6. IDEA DE LÍMITE Y límites laterales Al calcular un límite en , nos importan los valores que va tomando la función al acercarnos a dicho valor . No debemos tener en cuenta el valor que tome la función en , o si quiera si existe la función en dicho punto. Por ejemplo, antes intentamos calcular el límite de la función en , y ahí, la función no estaba definida. Además, los valores que tomaba la función para valores próximos a y mayores que ( al acercarnos a por la derecha ) eran cada vez mayores en valor absoluto y positivos. Y los valores que tomaba la función para valores próximos a y menores que ( al acercarnos a por la izquierda ) eran cada vez mayores en valor absoluto y negativos. Es el concepto de límites laterales:      

7. IDEA DE LÍMITE Y límites laterales Si existen los límites laterales en un punto y ambos coinciden, entonces la función tiene límite en dicho punto y el valor del límite es el valor de los límites laterales.       Si , vamos a observar los valores de la función para valores próximos a :   0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 100 10000 1000000 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 100 10000 1000000 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 100 10000 1000000 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 100 10000 1000000  

8. L ímites infinitos Decimos que el límite de una función en es , si al aproximarnos al valor , los valores de la función se hacen indefinidamente grandes; es decir, son mayores que un valor , sea cual sea dicho valor. El límite de una función en es , si los valores de la función se hacen indefinidamente grandes en valor absoluto y negativos; es decir, son menores que un valor , sea cual sea. Ejemplo : calculamos Al tomar valores próximos a 3 observamos que el numerador se acerca a 4, mientras que el denominador se acerca a 0 (con valores positivos) De este modo, el cociente se hace tan grande como se quiera y por tanto no se aproxima a ningún número :        

9. límites en el infinito Consisten en observar los valores de la función para valores indefinidamente grandes de la variable independiente ( ). Ejemplo : c alculamos A valores cada vez más grandes de se obtienen valores como los de la tabla abajo . Concluimos que el límite es .   10 100 1000 10000 100000 -2,02020 -2,00020 -2,000002 -2,00000001 -2,0000000002 10 100 1000 10000 100000 -2,02020 -2,00020 -2,000002 -2,00000001 -2,0000000002

10. Propiedades de los límites Si y , entonces se tiene que: , si   Las operaciones anteriores son ciertas siempre que tengan sentido.

11. cálculo DE Límites En virtud de las propiedades anteriores, podremos calcular los siguientes límites: Como se puede ver, para la mayor parte de funciones, calcular el límite de la función se reducirá simplemente a sustituir la variable por el valor y operar . Esto será así, siempre que las operaciones tengan sentido en .          

12. Cálculo de límites Calcula los límites:  

13. LÍMITES QUE SON 0 O   En los ejemplos anteriores, obteníamos expresiones que tenían sentido en . Se tenían límites determinados . También se pueden obtener expresiones que no tiene sentido en , cuyo límite será o , como los siguientes ejemplos:  

14. Indeterminaciones Si finalmente se obtiene una expresión que no tiene sentido en , y cuyo límite no es ni ni , se trata de alguna indeterminación : Estudiaremos los siguientes tipos de indeterminaciones: Indeterminación tipo cociente Indeterminación tipo producto Indeterminación tipo diferencia Indeterminación tipo potencia .  

15. Indeterminaciones tipo cociente Comenzaremos con las indeterminaciones tipo cociente, de las que tenemos los siguientes casos: La tercera de las indeterminaciones tipo cociente no es exactamente una indeterminación, puesto que el resultado será . De hecho, la indeterminación es conocer el signo de dicho .  

16. Indeterminación   Empecemos ahora resolviendo cada una de las indeterminaciones anteriores. Comenzamos por las indeterminaciones tipo cociente, y entre ellas, por . Cuando estas indeterminaciones vienen de un límite en el infinito de un cociente de polinomios, dividiremos todos los términos del límite por la potencia de mayor grado:        

17. Indeterminación   Calcula los siguientes límites:  

18. Indeterminación   La siguiente indeterminación es del tipo . En este caso, si el límite es el de un cociente de polinomios, el hecho de que la indeterminación sea significa que el punto en el que estamos calculando el límite es una raíz tanto del numerador como del denominador. En ese caso, basta con descomponer dichos polinomios y simplificar:      

19. Indeterminación   Calcula  

20. Indeterminación   Realmente no es exactamente una indeterminación, puesto que si en una división el denominador se va haciendo cada vez más pequeño, el cociente tiende a ser cada vez más grande, con lo que el resultado será . La única cuestión es conocer el signo, y eso lo resolveremos con límites laterales:     indica que el valor se acerca a cero con valores positivos y indica que el valor se acerca a cero con valores negativos  

21. Indeterminación   Calcula   Calcula   Calcula  

22. Indeterminación tipo cociente Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la indeterminación es , debemos tener en cuenta que el grado del radicando se divide entre dos y que el exponente de se multiplica por dos al entrar a la raíz:   Si calculamos un límite en el que hay raíces cuadradas y la indeterminación es , lo que haremos será multiplicar numerador y denominador por el conjugado de la expresión radical:          

23. Indeterminación tipo cociente Calcula   Calcula  

24. Indeterminaciones tipo producto Las siguientes son indeterminaciones tipo producto, de las que tenemos los siguientes ejemplos:

25. Indeterminación   En estos casos, intentaremos reducir la indeterminación a una del tipo cociente observando que: En la mayor parte de las situaciones, basta con operar para reducir la indeterminación a una del tipo cociente:    

26. Indeterminaciones tipo diferencia Las siguientes son indeterminaciones tipo diferencia, de las que tenemos los siguientes ejemplos :

27. Indeterminación   Igual que en el caso anterior, hay que reducir esta indeterminación a alguna de los tipos anteriores: En la mayor parte de las situaciones, basta con operar: Si en el límite hay raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión radical:        

28. Indeterminación   Calcula   Calcula  

29. Indeterminaciones tipo potencia Las siguientes son indeterminaciones tipo potencia, de las que tenemos los siguientes casos:

30. Indeterminación tipo potencia Casi todas las indeterminaciones tipo potencia se pueden reducir a la indeterminación . Para resolverlas necesitaremos conocer un teorema:   Teorema : No damos la demostración del teorema, sino que simplemente observaremos el comportamiento de la sucesión para algunos valores de :   1 10000 100000 2 10 100 1000 2,5937 2,7181 2,7048 2,7169 2,7182 Se observa que la sucesión es creciente y acotada. El valor del límite es el número  

31. Indeterminación tipo potencia Como consecuencia del teorema anterior, se tiene otro similar: Teorema : Si entonces De este modo, para resolver una indeterminación tipo potencia, el objetivo es convertir la expresión inicial en una del tipo de este teorema:        

32. Indeterminación tipo potencia De la construcción anterior, se deduce que para resolver una indeterminación tipo potencia, podemos usar la siguiente fórmula:     Si  

33. Indeterminación tipo potencia Calcula    

34. Asíntotas y ramas infinitas Una rama infinita de una función es cualquier porción continua de su gráfica que tenga longitud infinita. Las ramas infinitas aparecen cuando las variables se hacen o Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de una función. Si la recta es vertical hablamos de asíntotas verticales S i la recta es horizontal hablamos de asíntotas horizontales Si la recta es oblicua hablamos de asíntotas oblicuas .  

35. CÁLCULO DE LAS Asíntotas Asíntotas verticales: Las asíntotas verticales se encuentra en puntos que no se encuentran en el dominio de la función. Más concretamente, en la frontera de su dominio. Para que una función tenga una asíntota vertical en un punto , debe suceder que:   Ejemplos: Busca las AV de y          

36. CÁLCULO DE LAS Asíntotas Asíntotas horizontales: Para que una función tenga una asíntota horizontal, debe suceder que: Ejemplos: Busca las AH de y        

37. CÁLCULO DE LAS Asíntotas Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas son rectas oblicuas que se aproximan a una de las ramas infinitas de la función. La ecuación de dichas rectas será de la forma , con lo que basta calcular la pendiente y la ordenada de dicha recta. Para ello se usan las siguientes fórmulas:   Obviamente, ambos límites deben existir y ser números reales. Ejemplo: Busca la AO de la función           La asíntota oblicua es  

38. Cálculo de las asíntotas Calcula las asíntotas de   AV : El denominador se anula en y en . Probamos: no AV en y Luego hay AV en AH : Calculamos el límite en Hay AH: AO : Como hay AH no puede haber AO . Las asíntotas de la función son y .  

39. Cálculo de las asíntotas Calcula las asíntotas de   AV : El denominador se anula en . Probamos: y hay AV en AH : Calculamos el límite en no hay AH AO : Como no hay AH puede haber AO . hay AO Las asíntotas de la función son y .  

40. continuidad Se tiene que una función es continua si se puede dibujar “continuamente” sin levantar el lápiz del papel. Esto se formaliza, a través de las nociones de límites estudiadas hasta ahora, en que una función es continua en un punto , si cumple:   Observamos que deben cumplirse tres condiciones: La función debe estar definida en el punto (debe existir ) Debe existir el límite de la función en dicho punto. Ambos valores deben coincidir.   Si alguna de estas condiciones no se cumple, decimos que la función presenta algún tipo de discontinuidad en el punto.  

41. continuidad Observamos los siguientes ejemplos: Esta función es continua en todos sus puntos, porque para todos ellos se tiene que:   Esta función presenta una discontinuidad evitable en , puesto que  

42. continuidad Más ejemplos: Esta función presenta una discontinuidad de salto infinito en , puesto que La función no tiene límite en , siendo los límites laterales infinitos.   Esta función presenta una discontinuidad de salto finito en , puesto que L a función no tiene límite en , siendo los límites laterales finitos.  

43. continuidad Estudia la continuidad de la función   Estudia la continuidad de la función   Puesto que es una función racional cuyo denominador se anula en , la función no está definida en dicho punto y por tanto será discontinua. Estudiamos el tipo de discontinuidad calculando el límite: y La discontinuidad es de salto infinito.   Se trata de una función a trozos, siendo cada trozo una función polinómica, y por tanto continuas en sus dominios de definición. El único punto en el que se debe estudiar la continuidad es donde se unen dichos trozos: La función tiene una discontinuidad de salto finito en .