Linealización de sistemas no lineales.pdf

Linealizar los sistemas no lineales para dar solucion a las ecuaciones

1. Linealización de Sistemas No Lineales
Unidad de Pos Grado
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Universidad Nacional de Ingeniería
Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

2. Índice
1
Motivación
2
Linealización de un sistema no lineal
3
Ecuación de estado discreto
4
Diagrama de bloques
Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

3. Motivación
La siguiente ecuación diferencial
ℓ¨y(t) =−gsen(y(t))−b˙y(t) (1)
describe el movimiento del péndulo alrededor del origen con
coeficiente de fricciónb.
notamos que (1) es una ecuación no lineal.
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4. Motivación
La siguiente ecuación diferencial
ℓ¨y(t) =−gsen(y(t))−b˙y(t) (1)
describe el movimiento del péndulo alrededor del origen con
coeficiente de fricciónb.
notamos que (1) es una ecuación no lineal.
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5. Aproximación linear
Es posible aproximar la parte no linear de (1) por una parte linear
(este proceso se conoce como linealizar) para obtener
¨y(t) +
b
ℓ
˙y(t) +
g
ℓ
y(t) =0 (2)
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6. Considere la ecuación diferencial
¨y+a˙y+b y=0
Hacemos un cambio de variablev1(t) =y(t)yv2(t) =˙y(t).
De este
forma se obtiene la siguiente representación matricial
ffi
˙v1(t)
˙v2(t)
ffl
=
ffi
1 0
−b−a
ffl ffi
v1(t)
v2(t)
ffl
,
la que se escribe de forma sucinta˙v=Av
esta forma de escribir es llamada, en donde, Aes
lamatriz dinámica del sistema.
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7. Considere la ecuación diferencial
¨y+a˙y+b y=0
Hacemos un cambio de variablev1(t) =y(t)yv2(t) =˙y(t).
De este
forma se obtiene la siguiente representación matricial
ffi
˙v1(t)
˙v2(t)
ffl
=
ffi
1 0
−b−a
ffl ffi
v1(t)
v2(t)
ffl
,
la que se escribe de forma sucinta˙v=Av
esta forma de escribir es llamada, en donde, Aes
lamatriz dinámica del sistema.
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8. Considere la ecuación diferencial
¨y+a˙y+b y=0
Hacemos un cambio de variablev1(t) =y(t)yv2(t) =˙y(t).
De este
forma se obtiene la siguiente representación matricial
ffi
˙v1(t)
˙v2(t)
ffl
=
ffi
1 0
−b−a
ffl ffi
v1(t)
v2(t)
ffl
,
la que se escribe de forma sucinta˙v=Av
esta forma de escribir es llamada, en donde, Aes
lamatriz dinámica del sistema.
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9. Considere la ecuación diferencial
¨y+a˙y+b y=0
Hacemos un cambio de variablev1(t) =y(t)yv2(t) =˙y(t).
De este
forma se obtiene la siguiente representación matricial
ffi
˙v1(t)
˙v2(t)
ffl
=
ffi
1 0
−b−a
ffl ffi
v1(t)
v2(t)
ffl
,
la que se escribe de forma sucinta˙v=Av
esta forma de escribir es llamada, en donde, Aes
lamatriz dinámica del sistema.
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10. Espacio de Estado
Una representación matricial de un SLIT es dado por
(
˙v=Av+Bx
y=Cv+Dx
x(t)∈R
n
señal de entrada
y(t)∈R
q
señal de salida
v(t)∈R
p
vector de estado
A∈R
p×p
matriz dinámica
B∈R
p×n
matriz de entrada
C∈R
q×p
matriz de salida
D∈R
q×n
matriz de transmisión directa
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11. Ecuaciones en espacio de estado
Los espacios de estado son útiles para describir las propiedades de
cualquier sistema (discreto o continuo).
Los sistemas dinámicos pueden escribirse como una relación de
entrada y salida o a través de una variable interna denominada
variable de estado.
Una representación gde espacios de estados
(
˙v(t) =f(v(t),x(t)),
y(t) =g(v(t),x(t)).
(3)
en donde,v(t)∈R
n
es lavariable de estado.
Si (3) es escrita sin
dependencia explicita dex(t), el sistema es llamadosistema
homogéneo. Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

12. Ecuaciones en espacio de estado
Los espacios de estado son útiles para describir las propiedades de
cualquier sistema (discreto o continuo).
Los sistemas dinámicos pueden escribirse como una relación de
entrada y salida o a través de una variable interna denominada
variable de estado.
Una representación gde espacios de estados
(
˙v(t) =f(v(t),x(t)),
y(t) =g(v(t),x(t)).
(3)
en donde,v(t)∈R
n
es lavariable de estado.
Si (3) es escrita sin
dependencia explicita dex(t), el sistema es llamadosistema
homogéneo. Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

13. Ecuaciones en espacio de estado
Los espacios de estado son útiles para describir las propiedades de
cualquier sistema (discreto o continuo).
Los sistemas dinámicos pueden escribirse como una relación de
entrada y salida o a través de una variable interna denominada
variable de estado.
Una representación gde espacios de estados
(
˙v(t) =f(v(t),x(t)),
y(t) =g(v(t),x(t)).
(3)
en donde,v(t)∈R
n
es lavariable de estado.
Si (3) es escrita sin
dependencia explicita dex(t), el sistema es llamadosistema
homogéneo. Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

14. Ecuaciones en espacio de estado
Los espacios de estado son útiles para describir las propiedades de
cualquier sistema (discreto o continuo).
Los sistemas dinámicos pueden escribirse como una relación de
entrada y salida o a través de una variable interna denominada
variable de estado.
Una representación gde espacios de estados
(
˙v(t) =f(v(t),x(t)),
y(t) =g(v(t),x(t)).
(3)
en donde,v(t)∈R
n
es lavariable de estado.
Si (3) es escrita sin
dependencia explicita dex(t), el sistema es llamadosistema
homogéneo. Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

15. Solución de un espacio de estado
Dado (3) conv(t)∈R
n
, llamaremos solucion de (3) a una función
˜v(t)∈R
n
definida en un intervaloIy diferenciable en el intervaloI, de
forma que satisface
˙˜v=f(˜v,x)y en todo el intervaloI.
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16. Puntos de equilibrio
Considere¯vsoluciónde (3).
Six(t) =¯xconstante (sistema homogéneo), entonces los puntos de
equilibrio de un SLIT se determinan de la siguiente forma
0=˙v(t) =f(¯v,¯x).
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17. Matrices de estado
Una aproximación de
de equilibrio mediante las matrices de estado linealizadas
A=
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(¯v,¯x)
,B=
ffi
∂fi
∂xj
ffl



(¯v,¯x)
C=
ffi
∂gi
∂vj
ffl



(¯v,¯x)
,D=
ffi
∂gi
∂xj
ffl



(¯v,¯x)
en donde,
A=
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(¯v,¯x)
=



∂f
1
∂v
1
∂f
1
∂v
2
∂f
2
∂v
1
∂f
2
∂v
2










(¯v,¯x)
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18. Matrices de estado
Una aproximación de
de equilibrio mediante las matrices de estado linealizadas
A=
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(¯v,¯x)
,B=
ffi
∂fi
∂xj
ffl



(¯v,¯x)
C=
ffi
∂gi
∂vj
ffl



(¯v,¯x)
,D=
ffi
∂gi
∂xj
ffl



(¯v,¯x)
en donde,
A=
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(¯v,¯x)
=



∂f
1
∂v
1
∂f
1
∂v
2
∂f
2
∂v
1
∂f
2
∂v
2










(¯v,¯x)
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19. Modelo Predador-Presa
Ejemplo 1.
simplificada la relación entre depredadorv1y la presav2en un hábitat
con disponibilidad infinita de alimento para las presas.
(
˙v1=−av1+bv1v2,
˙v2=cv2−dv1v2
con
depredador vs presa,
factor de la presa al encontrar al depredador, entonces
(
f1(v1,v2) =−av1+bv1v2,
f2(v1,v2) =cv2−dv1v2
Considerar los parámetrosa,b,cydpositivos.
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20. continua ... Calcular los puntos de equilibrio del sistema haciendo
f1(v1,v2) =−av1+bv1v2=0,yf2(v1,v2) =cv2−dv1v2=0.
Los puntos de equilibrio son(0,0)y(
c
d
,
a
b
).
El jacobiano del sistema
ffi
∂fi
∂vj
ffl
=
ffi
−a+bv2bv1
−dv2c−dv1
ffl
Sustituimos cada punto de equilibrio en el jacobiano i.e;
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(0,0)
=
ffi
−a0
0c
ffl
,
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(c/d,a/b)
=
ffi
0 bc/d
−ad/b0
ffl
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21. continua ... Calcular los puntos de equilibrio del sistema haciendo
f1(v1,v2) =−av1+bv1v2=0,yf2(v1,v2) =cv2−dv1v2=0.
Los puntos de equilibrio son(0,0)y(
c
d
,
a
b
).
El jacobiano del sistema
ffi
∂fi
∂vj
ffl
=
ffi
−a+bv2bv1
−dv2c−dv1
ffl
Sustituimos cada punto de equilibrio en el jacobiano i.e;
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(0,0)
=
ffi
−a0
0c
ffl
,
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(c/d,a/b)
=
ffi
0 bc/d
−ad/b0
ffl
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22. continua ... Calcular los puntos de equilibrio del sistema haciendo
f1(v1,v2) =−av1+bv1v2=0,yf2(v1,v2) =cv2−dv1v2=0.
Los puntos de equilibrio son(0,0)y(
c
d
,
a
b
).
El jacobiano del sistema
ffi
∂fi
∂vj
ffl
=
ffi
−a+bv2bv1
−dv2c−dv1
ffl
Sustituimos cada punto de equilibrio en el jacobiano i.e;
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(0,0)
=
ffi
−a0
0c
ffl
,
ffi
∂fi
∂vj
ffl



(c/d,a/b)
=
ffi
0 bc/d
−ad/b0
ffl
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23. Para un análisis computacional consideroa=b=c=d=1,
entonces en el punto de equilibrio(0,0)se tiene la siguiente
representación lineal
˙v=
ffi
−1 0
0 1
ffl
v
en el punto(1,1)se tiene la siguiente representación lineal
˙v=
ffi
0 1
−1 0
ffl
v.
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24. Condición inicial(v1(0),v2(0)) = (0.9;1.1)
Curva continua representa el predador y la curva punteada la presa.
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25. Condición inicial(v1(0),v2(0)) = (1.1;1.1)
Curva continua representa el predador y la curva punteada la presa.
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26. Espacio de fase
Plano de fase del modelo Lotka-Volterra para condiciones iniciales
(0.1;0,1)(curva punteada) y(0.1;1)(curva continua) para
(a=b=c=d=1).
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27. Circuito RC



˙v=−
1
τ
v+
1
τ
x
y=−v+x.
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28. Circuito RLC









ffi
˙v1
˙v2
ffl
=
ffi
−1/RC1/C
−1/L 0
ffl ffi
v1
v2
ffl
+
ffi
0
1/L
ffl
x
y=
fi
1/R0
fl
ffi
v1
v2
ffl
.
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29. Circuito 3 orden



















˙v1
˙v2
˙v3

=


0 0 1 /C1
0−1/R2C2−1/C2
−1/L 1/L −R1/L




v1
v2
v3


y=
fi
1 0 0
fl


v1
v2
v3


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30. Ecuación de estado de un sistema discreto
Un sistema discreto de ordennpuede ser escrito en función de las
variablesx1[k],x2[k], . . . ,xn[k]. Esasnvariables son relacionadas por
una ecuación de











x1[k+1] =f1(x1[k],x2[k], . . . ,xn[k],k),
x2[k+1] =f2(x1[k],x2[k], . . . ,xn[k],k),
.
.
.
xn[k+1] =fn(x1[k],x2[k], . . . ,xn[k],k),
(4)
en donde, las variablesx1[k],x2[k], . . . ,xn[k]son llamadasvariables
de estado.
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31. Representación matricial de un sistema discreto
Considere un SLIT representados por las siguientes ecuaciones
matriciales (
v[k+1] =Av[k] +Bx[k],
y[k] =Cv[k] +Dx[k]
(5)
en donde
x[k]∈R
n
señal de entrada
y[k]∈R
q
señal de salida
v[k+1]∈R
p
vector de estado
A∈R
p×p
matriz dinámica
B∈R
p×n
matriz de entrada
C∈R
q×p
matriz de salida
D∈R
q×n
matriz de transmisión directa
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32. Representación canónica
Sistema SISO
Un sistema discreto en el tiempo con una señal escalar de entrada
x[n]y una salida escalary[n]es llamado SISO (single-input
single-output). Estos sistemas pueden ser descritos por ecuaciones
de primer orden en las variables de estado
(
v[n+1] =f(v[n],x[n]),n∈Z
y[n] =g(v[n],x[n]),n∈Z
(6)
en donde,v[n]∈R
m
variable de estado.
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33. Puntos de equilibrio
Considere¯vsolución de (6). Si
f(¯v[n],¯x[n]) =0
para¯x[n] =¯xconstante, entonces(¯v,¯x)es un punto de equilibrio del
sistema (6).
Ejemplo 3.
v[n+1] =βv[n](1−v[n]), β >0.
Halle los puntos de equilibrio del sistema anterior.
Solución.
¯v=0 y ¯v=
β−1
β
.
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34. Puntos de equilibrio
Considere¯vsolución de (6). Si
f(¯v[n],¯x[n]) =0
para¯x[n] =¯xconstante, entonces(¯v,¯x)es un punto de equilibrio del
sistema (6).
Ejemplo 3.
v[n+1] =βv[n](1−v[n]), β >0.
Halle los puntos de equilibrio del sistema anterior.
Solución.
¯v=0 y ¯v=
β−1
β
.
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35. Puntos de equilibrio
Considere¯vsolución de (6). Si
f(¯v[n],¯x[n]) =0
para¯x[n] =¯xconstante, entonces(¯v,¯x)es un punto de equilibrio del
sistema (6).
Ejemplo 3.
v[n+1] =βv[n](1−v[n]), β >0.
Halle los puntos de equilibrio del sistema anterior.
Solución.
¯v=0 y ¯v=
β−1
β
.
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36. Linealización
Una linealización de (5) representa el comportamiento del sistema de
manera aproximada alrededor de los puntos de equilibrio.
Ejemplo 4.
(
v1[n+1] =2(1−v1[n])v1[n]−βv1[n]v2[n]
v2[n+1] =0.8v2[n] +3βv1[n]v2[n].
Solución:
Prof. E. Lévano (UNI) Sistemas Lineales y No Lineales 20/04/2024

37. Linealización
Una linealización de (5) representa el comportamiento del sistema de
manera aproximada alrededor de los puntos de equilibrio.
Ejemplo 4.
(
v1[n+1] =2(1−v1[n])v1[n]−βv1[n]v2[n]
v2[n+1] =0.8v2[n] +3βv1[n]v2[n].
Solución:
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38. Linealización
Una linealización de (5) representa el comportamiento del sistema de
manera aproximada alrededor de los puntos de equilibrio.
Ejemplo 4.
(
v1[n+1] =2(1−v1[n])v1[n]−βv1[n]v2[n]
v2[n+1] =0.8v2[n] +3βv1[n]v2[n].
Solución:
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39. continua...
El jacobiano es dado por
ffi
2−4v1−βv2 βv1
3βv2 0.8+3βv1
ffl
entonces para el punto de equilibrio(0,0)se tiene la siguiente
representación lineal
v[n+1] =
ffi
2 0
0 0.8
ffl
v[n].
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40. continua...
El jacobiano es dado por
ffi
2−4v1−βv2 βv1
3βv2 0.8+3βv1
ffl
entonces para el punto de equilibrio(0,0)se tiene la siguiente
representación lineal
v[n+1] =
ffi
2 0
0 0.8
ffl
v[n].
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41. continua...
El jacobiano es dado por
ffi
2−4v1−βv2 βv1
3βv2 0.8+3βv1
ffl
entonces para el punto de equilibrio(0,0)se tiene la siguiente
representación lineal
v[n+1] =
ffi
2 0
0 0.8
ffl
v[n].
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42. Diagrama de bloques en serie
Y(s) =G3(s)G2(s)G1(s)X(s)
Función de transferencia en malla abierta
Y(s)
X(s)
=G3(s)G2(s)G1(s)
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43. Diagrama de bloques en paralelo
Y(s) = (G3(s) +G2(s) +G1(s))X(s)
Función de transferencia en malla abierta
Y(s)
X(s)
=G3(s) +G2(s) +G1(s)
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44. Diagrama de bloques lazo cerrado
Y(s) =G(s)(X(s)−Y(s)H(s))
Función de transferencia en malla cerrada
Y(s)
X(s)
=
G(s)
1+G(s)H(s)
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45. ¡Muchasgracias!
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