Lista de exercícios 6 - Mat Elem

exercícios

1. 1
Coordenadas cartesianas. Funções. Exercícios.
Lista 6a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclus?es nais n?o ser?o aceitas.
1. Marcar os pontos dados no plano cartesiano:
O= (0,0),A= (−3,4),B= (1,4),C= (−3,−2).
Solução.
Figura 1: Exercício 1.
2. Desenhar as regi?es no plano cartesiano denidas pelas f?rmulas:
a)P= (x, y):y= 1; b)P= (x, y):x≥ −2; c)P= (x, y):|x|<1,y >0.
Solução.
Figura 2: Exercício 2a).

2. 2
Figura 3: Exercício 2b).
Figura 4: Exercício 2c).
3. Marcar os pontosAeBno plano cartesiano e encontrar a distância entre eles:
a)A= (0,0),B= (0,1);
b)A= (1,2),B= (0,1);
c)A= (−1,2),B= (−3,−2);
d)A= (3,−1),B= (−2,3).
Encontrar o ponto médio do segmentoAB.
Solução de 3c):
Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontosA= (xA, yA)eB= (xB, yB):d(A, B) =
√
(xA−xB)
2
+ (yA−yB)
2
, obtemosd(A, B) =
√
(−1−(−3))
2
+ (2−(−2))
2
=
√
20.
Usando a fórmula-padrão do ponto médioCdo segmentoAB, ondeA= (xA, yA)eB= (xB, yB):
C= (
xA+xB
2
,
yA+yB
2
), obtemosC= (
−1+(−3
2
),
2+(−2)
2
) = (−2,0).

3. 3
4. Encontrar o domínio da função:
a)f(x) =
1
x
2
−x
;
b)f(x) =
√
9−x
2
.
Solução.
a) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de n?meros reais para os quais a f?rmula da deni??o tem sentido. Notamos, que a ?nica
restrição é que o denominador deve ser diferente de0, de onde vemx(x−1)̸= 0, isto é,x̸= 0,
x̸= 1. Sem outras restrições, concluímos que o domínio éX= (−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
b) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de n?meros reais para os quais a f?rmula da deni??o tem sentido. Notamos, que a
deni??o da raiz leva a restri??o9−x
2
≥0, oux
2
≤9, cuja solução−3≤x≤3. Sem outras
restrições, concluímos que o domínio éX= [−3,3].
5. Encontrar os valores da funçãof(x)nos pontos indicados:
f(x) =
√
x
2
−9; a)f(0), b)f(−3), c)f(x+ 3), d)f(
x
2
), e)f(
1
x
2).
Solução.
a) a fun??o n?o ? denida no ponto0,
b)f(−3) =
√
(−3)
2
−9 =
√
9−9 = 0,
c)f(x+ 3) =
√
(x+ 3)
2
−9 =
√
x
2
+ 6x,
d)f(
x
2
) =
√
(
x
2
)
2
−9 =
√
x
2
4
−9 =
1
2
√
x
2
−36,
e)f(
1
x
2) =
√
(
1
x
2
)
2
−9 =
√
1
x
4−9 =
1
x
2
√
1−9x
4
.
6. Demana, p.80-81:
N 1, 2, 5, 6, 10, 14, 17, 19
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Encontrar a imagem da função e comparar a resposta com a de Demana p.283:
a) N17:f(x) = 10−x
2
. Primeiro, notamos que o domínio da funçãoy=f(x) = 10−x
2
são
todos os reais (X=R). Segundo, comox
2
≥0,∀xex
2
>0,∀x̸= 0, entãoy= 10−x
2
≤10,∀x
e10−x
2
<10,∀x̸= 0(lembramos que o símbolo∀signica "para qualquer", "qualquer"). Logo,
a imagemYé contida em(−∞,10]. Vamos ver que qualquer número do último intervalo entra em
Y. Pela deni??o, temos que tomar∀y∈(−∞,10]e mostrar que ele pertence ao conjunto imagem.
Ent?o, de acordo com a deni??o, sey≤10, deve existir pelo menos um númeroxdo domínio tal
quey= 10−x
2
, ou, em outras palavras, a equaçãoy= 10−x
2
deve ter pelo menos uma solução
real para incógnitax. Isso realmente se observa, porque a solução dessa equação se encontra na
formax=±
√
10−ypara qualquery≤10.
b) N19:f(x) =
x
2
1−x
2. Primeiro, notamos que o domínio da funçãoy=f(x) =
x
2
1−x
2consiste de
todosxque não anulam o denominador, isto é,x̸=±1. Agora, para descobrir a imagem, temos
que ver para os quais valores deya equaçãoy=
x
2
1−x
2em relação a incógnitaxtem pelo menos uma
solução. Para resolver, reescrevemos ela na forma(1−x
2
)y=x
2
e depoisx
2
(1 +y) =y. Supondo,
no momento quey̸=−1, temos aindax
2
=
y
1+y
. A última equação tem soluções quando a parte
direita não é negativa:
y
1+y
≥0, o que ocorre quandoy≥0e1+y >0, ou quandoy≤0e1+y <0.
Das primeiras duas restrições temosy≥0e das segundas duas ≥y <−1. Restou ainda vericar se
y=−1faz parte da imagem: neste caso temos
x
2
1−x
2=−1oux
2
=x
2
−1ou0 =−1o que é uma
arma??o falsa. Assim a imagem ?Y= (−∞,−1)∪[0,+∞).