Los 10 Casos de Factoreo

Algebra

1. Expresiones Algebraicas Los 10 casos de Factorización

2. " Común" significa que están o que pertenecen a todos. De tal manera que factor común tiene el significado de la(s) cantidad(es) que aparece multiplicando en todos los términos de la expresión . Ejemplo: 4 a 2 b + 6 abx 5= 2 ab (2 a + 3 x 5) CASO 1: FACTOR C OMÚN Regla: Se localizan y se escriben todos los factores comunes en su máxima expresión, a continuación un paréntesis y adentro de él lo que queda de la expresión original.

3. CASO 2: FACTOR C OMÚN POR AGRUPACIÓN El proceso consiste en agrupar términos en cantidades iguales (de dos en dos, o de tres en tres, etc.), para luego factorizar cada grupo por factor común y finalmente volver a factorizar por factor común, en donde el paréntesis que de b e quedar repetido en cada grupo es el factor común. Ejemplo: 2 ac + bc + 10 a + 5 b = c (2 a + b ) + 5(2 a + b ) Regla: el signo del primer término de cada grupo es el signo que de b e ponerse en cada factorización por factor común.

4. CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Existe trinomio cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer termino son raíces cuadradas exactas, y su segundo debe ser el doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadrados perfectos. Ejemplo: x + 6x + 9 = (x+3) 2 2 X 3 2.x.3=6x Regla : Para resolverlo sacamos las raíces del primer y el tercer término y se forma una resta de las dos raíces elevado al cuadrado.

5. Se lo utiliza cuando hay un binomio y sus dos términos son cuadrados perfectos y están separados por una resta. Ejemplo: 4 a 2 - x 6= (2 a + x 3)(2 a - x 3 ) CASO 4: DIFERENCIA DE CUADRADOS Regla: Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados, formados con las raíces cuadradas de los términos originales.

6. CASO 5: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Se lo utiliza cuando tenemos un trinomio y su segundo termino no es el resultado que da cuando se multiplica duplo de la raíz cuadradada del primero y el tercero. Regla: Al comprobar que no es un trinomio cuadrado perfecto realizando la Multiplicación del duplo de la primera raíz por el tercer término. Procedemos a Agregamos un término y sumamos y restamos con el término para obtener el resultado

7. x + 3x + 4 = 4 2 +x - x (x + 4x + 4 ) - x 2 4 2 (x + 2) - x 2 [(x + 2) – x] [(x +2) – x] 2 2 ( x + 2 + x ) ( x + 2 – x ) 2 2 ( x + x + 2 ) ( x + x – 2 ) 2 2 X + 3x + 4 = (x - x + 2 ) ( x - x + 2) 2 2 4 2 Ejemplo:

8. CASO 6: TRINOMIO DE LA FORMA x + bx + c 2 Estos trinomios tienen que tener una sola equis cuadrada. La letra b representa en general a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x . Ejemplo: x + bx + c = (x+3)(x+2) 2 2 Regla: Para factorizar un trinomio de la forma x + bx + c , se buscan dos números que sumados den b y multiplicados den c. Estos números hallados se colocan cada uno en un paréntesis . 2

9. CASO 7: TRINOMIO DE LA FORMA ax + bx + c 2 La diferencia de esta forma con la anterior es que en ésta debe haber más de una. La letra a representa un número que vaya junto a la x (indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x . 2 Regla: Para factorizar se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del 1er término, se resuelve el producto del primero y tercer término dejando Indicado el segundo término, se factoriza como el caso de trinomio de la forma x + bx + c , o sea, se buscan dos números que multiplicados y sumados den lo mismo, y se factoriza los binomios resultantes sacándoles Factor común. Luego se descompone el denominador y por ultimo dividimos

10. Ejemplo: 15x - 23x + 4 15 ( 15x - 23x +4 ) 15 - 23 (15x) + 60 (15x ) 4 2 2 2 - (15x - 20) ( 15x – 3 ) 2 2 15 5 (3x -4) 3(5x -1) 5 . 3 15x - 23x + 4 = (3x -4) (5x -1)

11. CASO 8: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS La diferencia de esta forma con la anterior es que en ésta debe haber más de una. La letra a representa un número que vaya junto a la x (indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que vaya junto a la x ; y la c representa a cualquier número que vaya sin la x . ( a + b ) = a + 3 a b + 3 ab + b 3 3 2 2 3 ( a - b ) = a - 3 a b + 3 ab - b 3 3 2 2 3

12. CASO 9: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS Regla: Una diferencia de cubos se factoriza en dos factores. El primer factor es un binomio formado con la resta de las raíces cúbicas de los términos; el segundo factor es un trinomio que se forma a partir del factor anterior de la siguiente manera : Y Cuadrado del primer término (del primer factor antes obtenido); Y más el producto del primer término (del factor anterior) por el segundo; Y más el cuadrado del segundo término (del factor anterior). Esta diferencia se da cuando tenemos dos términos y estos tiene raíces cubicas. Ejemplo: a -1 = (a-1) (a + a + 1) 3 2

13. CASO 10: SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar Regla: Abrir dos pares de paréntesis , en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una  suma , el polinomio es de signos intercalados Si es una  resta , el polinomio es de signos positivos. Ejemplo: X + y = (x + y) (x -x y + x y - xy +y ) 5 5 4 3 2 2 3 4