Los polígonos

Los polígonos. Tipos de polígonos. Teorema de Pitágoras. Cálculo del perímetro y del área.

1. LOS POLÍGONOS Matemáticas Ámbito Científico-Tecnológico

2. La Geometría es una rama de las matemáticas que se ocupan del estudio de las figuras en el plano o el espacio. Se estudian sus formas, sus propiedades (puntos, rectas, planos, etc.) y su ubicación en el espacio. Es muy útil para la elaboración de mapas y planos, para la orientación espacial, la construcción, el desarrollo de infraestructuras y caminos, la navegación, etc. ¿Qué es la Geometría?

3. ¿Qué es un Polígono? Esto de aquí es un hexágono Un polígono es una línea o curva poligonal cerrada. Son segmentos que se unen por puntos (vértices). Forman figuras planas, bidimensionales.

4. Elementos de un polígono Se encuentran en todos los tipos de polígonos Los lados son los segmentos que forman el polígono. Los vértices son los puntos donde se cortan los lados. Las diagonales son las líneas que unen dos vértices no consecutivos. Los lados forman ángulos en el punto en que se cortan.

5. Clases de polígonos Un polígono tiene el mismo número de ángulos, de vértices y de lados. No puede haber de dos lados porque tienen que ser CERRADOS. Los polígonos se clasifican, según el número de lados, en:

6. Diferencia entre Polígono regular y polígono irregular Un pentágono regular tiene sus cinco lados iguales (miden lo mismo), y los ºc de sus ángulos miden lo mismo. Los polígonos que tienen todos los lados y todos los ángulos iguales se llaman polígonos regulares. Son polígonos irregulares aquellos que: Tiene los ángulos iguales pero no los lados. Tiene los lados iguales pero no los ángulos. No son iguales ni los lados ni los ángulos.

7. Diferencia entre Polígono regular y polígono irregular Eneágono (9 lados) Sus nueve lados miden lo mismo. Mide unos 2 cm de mi dedo, y eso mide cada lado. Forman ángulos de 140º, todos ellos. Tiene en total 9 lados, 9 ángulos y 9 vértices.

8. Diferencia entre Polígono regular y polígono irregular Un heptágono irregular (7 lados) Sus lados no miden lo mismo. Unos miden más que otros. Sus ángulos no miden lo mismo: Uno mide 270º, otro menos de 90º, uno un poco más de 90º, etc. Combina ángulos agudos y obtusos. Eso sí, tiene el mismo número de vértices que de lados (7).

9. Página 89. Actividades 279-280. Polígonos. Página 90. Actividades 281. Polígonos regulares. ACTIVIDADES

10. Los triángulos Se dice que un triángulo equilátero es a la vez isósceles por tener también, seguros, 2 lados iguales Para dibujarlos, se usa un compás y una regla Los triángulos son polígonos de tres lados. Según sus características, pueden ser de los siguientes tipos:

11. Página 86, actividades 270 y 271: Clases de triángulos. ACTIVIDADES

12. Los triángulos Resultado de un triángulo dibujado con compás y regla ( ver simulador ) Para que su construcción sea significativa, es mejor utiliza tanto un compás como una regla, además de un lápiz. Salvo que sus 3 lados sean iguales, la suma de las longitudes de dos lados siempre debe ser mayor que la longitud del lado mayor.

13. Los triángulos Un lado cualquiera de un triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º, siempre. PROPIEDADES Así no se puede hacer nada Actividad : Sumemos los ángulos y da 180º, sean cuales sean los valores

14. Los triángulos Es importante saber identificarlos cuando resolvamos problemas de geometría complejos. Ojo, este cateto no tiene por qué ser “inútil”… Un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos es recto (90º). En estos triángulos, los lados perpendiculares se llaman catetos, y el lado opuesto, hipotenusa.

15. Los triángulos ¿QUÉ SE TE OCURRE PARA HALLARLO? Resulta que tenemos un triángulo rectángulo, y desconocemos el valor de uno de sus lados. Puede ser o la hipotenusa, o uno de los dos catetos. PROBLEMA Venga, pensad…

16. Los triángulos Es un ejemplo de cómo, más o menos, quedaría Se trataría de coger una hoja cuadriculada y dibujar los dos lados y unirlos, y contar los cuadraditos que hay (un cuadrado = 1 centímetro) en el nuevo lado formado. MÉTODO 1

17. Los triángulos Fíjate bien en cada uno de ellos: Cateto 1 (b), Cateto 2 (c) e Hipotenusa (a) Se trata de representar los valores conocidos y calcular el área de los posibles cuadrados que se construyen encima de cada lado. El cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene un valor equivalente a la suma de los dos cuadrados construidos sobre los catetos. MÉTODO 2

18. Los triángulos Se simplifica todo con una fórmula sencilla H = Valor de la Hipotenusa X = Valor del Cateto 1 Y = Valor del Cateto 2 Este MÉTODO 2 se corresponde con el “Teorema de Pitágoras”. Para hallar un valor, basta con despejar los valores desconocidos de esta fórmula. MÉTODO 2

19. Los triángulos ¡VENGA! HAGÁMOSLO UN MOMENTO EN UN FOLIO O CUADERNO… ¿OS SALE LO MISMO? FÁCIL, ¿NO?

20. Página 87. Actividades 272-274. Teorema de Pitágoras . Página 88. Actividades 276-278. Aplicaciones del Teorema de Pitágoras. Página 90. Actividad 282. Polígonos regulares (cálculo del apotema). ACTIVIDADES

21. Los cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos de 4 lados. Según sus características, pueden ser de los siguientes tipos:

22. Los cuadriláteros Los paralelogramos son aquellas figuras que tienen los cuatro lados iguales dos a dos. Coinciden con los cuadriláteros.

23. Los cuadriláteros Si trazamos una diagonal, el paralelogramo queda dividido en dos triángulos iguales. Los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

24. Los cuadriláteros Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, mientras que los contiguos son suplementarios. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio de las dos.

25. Cálculo de diagonales de un cuadrilátero. Cálculo de valores de los lados o la altura de un cuadrilátero. Facilitarán el cálculo de áreas al tener esos datos. Los cuadriláteros APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA LOS CUADRILÁTEROS Si te fijas, se componen de triángulos rectángulos a los cuales podemos aplicarle el teorema perfectamente.

26. Página 91. Actividades 283-284. Cuadriláteros. Página 92. Actividades 285-286. Paralelogramos. ACTIVIDADES

27. El perímetro de una figura consiste en la suma de los valores de todos los lados. Es aplicable a cualquier polígono. El perímetro de una figura Perímetro de esta figura: 2 + 3 + 0’5 + 4 + 1’5 = 11 cm Se han sumado los valores de cada uno de los lados de este polígono.

28. Áreas de cuadriláteros y triángulos TRIÁNGULOS ÁREA DEL TRIÁNGULO : Base (b) * Altura (h) 2 Si dividimos un rectángulo por la mitad, obtenemos dos triángulos, de ahí viene. Si tenemos un triángulo de base b 6 y de altura h 8: (6*8)/2 = 24 cm ²

29. Áreas de cuadriláteros y triángulos CUADRADO ÁREA DEL CUADRADO: Lado (a) * Lado (a) = Lado ² Si tenemos un cuadrado cuyos lados miden 6 centímetros, el área sería 6 * 6 = 36 cm ²

30. Áreas de cuadriláteros y triángulos RECTÁNGULO ÁREA DEL RECTÁNGULO: Base (b) * Altura (a) Si tenemos un rectángulo de base 10 y de altura 5, pues el área será 10 * 5 = 50 cm ²

31. Página 93. Actividades 287-290. Medidas del cuadrado y del rectángulo. Página 94. Actividades 291-292. Medidas del triángulo. ACTIVIDADES

32. Áreas de cuadriláteros y triángulos ROMBO ÁREA DEL ROMBO: Diagonal mayor (D) * Diagonal menor (d) 2 Si tenemos un rombo de diagonal mayor 8 y de diagonal menor 6, sería: (8*6)/2 = 24 cm ²

33. Página 95. Actividades 293-294. Medidas del rombo. ACTIVIDADES

34. Áreas de cuadriláteros y triángulos ROMBOIDE ÁREA DEL ROMBOIDE: Si se dan cuenta, podemos cortar el triángulo (cateto h) y pegarlo en el extremo opuesto, y formamos un rectángulo. Base (b) * Altura lateral (h) Si tenemos un romboide de base 8 cm y de altura h 6 cm, sería : 8*6 = 48 cm ²

35. Áreas de cuadriláteros y triángulos TRAPECIO ÁREA DEL TRAPECIO : (Base mayor (B) + Base menor(b))* Altura lateral (h) 2 Si tenemos un trapecio de Base mayor B con valor de 9 cm, con base menor b con valor de 5 cm, y una altura lateral h de valor 8 cm: (5+9)*8 56 cm ² 2

36. Página 97. Actividades 295-296. Medidas del trapecio. ACTIVIDADES

37. Áreas de los polígonos regulares Estos pasos sirven para todos los polígonos regulares Calcular el perímetro de dicha figura (sumar los valores de todos los lados). Calcular la apotema (es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados) mediante Teorema de Pitágoras. Tenemos, para esto, el valor del lado y el del radio (coincide con el del lado), pero ojo, el valor del lado se divide entre dos. Apotema de un hexágono

38. Áreas de los polígonos regulares Una vez hallada el área, tenemos que multiplicar el valor del Perímetro y el valor del apotema, y posteriormente dividirlo por 2: Perímetro*apotema 2

39. Áreas de los polígonos regulares Primero, tenemos que hallar el perímetro de la figura. Tenemos un hexágono regular de 4 cm de lado. El perímetro sería la suma de todos los lados (6): 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6*4 = 24 cm. EJEMPLO

40. Áreas de los polígonos regulares Hallar la apotema con el Teorema de Pitágoras Ahora tenemos que calcular la apotema con el Teorema de Pitágoras. Dividimos la figura en triángulos, tantos como número de lados tenga. Luego, cogemos uno de ellos y lo dividimos en dos. EJEMPLO

41. Áreas de los polígonos regulares H² = C1² + C2 ² Tenemos un triángulo, con un radio (hipotenusa) que mide 4 cm y un lado (cateto) que mide la mitad, al haberlo dividido por dos (2). Con estos datos, aplicamos la fórmula del Teorema de Pitágoras. EJEMPLO

42. Áreas de los polígonos regulares ¿Te acuerdas cuál era? ¡A ver si estáis atentos! Aplicando la fórmula, tenemos la siguiente operación: H = √(4² + 2²) = √12 = 3’46 cm Ahora tenemos todos los datos necesarios para aplicar la fórmula del área. EJEMPLO

43. Áreas de los polígonos regulares Ahora toca practicar… Apliquemos la fórmula de marras: A = Perímetro*Apotema 2 A = 24*3’46 2 A = 41’52 cm ² EJEMPLO

44. Página 97. Actividades 297-298. Medidas de los polígonos regulares. Fichas de repaso para el examen. ACTIVIDADES