Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MN

Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MN

1. MÉTODO DE LA REGLA
FALSA (O MÉTODO DE LA
FALSA POSICIÓN)
Clase 4
03-Junio-2014

2. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Undefectodelmétododebisección,esquealdividirelintervalo�,�en
mitadesigualesnosetomaencuentalamagnitudde�����;ysipor
ejemplo�(�)estamascercadeceroque�(�),esrazonablequelaraízse
encuentremascercade�������,������??????
??????=0.

3. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Elmétododelareglafalsaaprovechalaideadeunirlospuntos
�,���(�,��)conunalínearecta.Lainterseccióndeestalíneaconel
eje�proporcionaunamejorestimacióndelaraíz.Aligualqueelmétodo
debisección,setomaesepuntocomoelnuevovalorextremodelintervalo,
yseeliminaelsubintervaloquenocontengalaraíz.

4. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Elprocedimientoserepitehastaqueselogreunaaproximaciónconunerror
cercanoacero.Elreemplazodelacurvaporunarectadaunaposiciónfalsadela
raíz.Deaquíquesepuedaconsiderarconunmétododeinterpolaciónlineal.
•Laformulaparalaprediccióndelanuevaaproximaciónalaraízsepuedeobtener
delaecuacióndelalíneaquepasasporlospuntosextremosdelintervalo
seleccionado:�,���(�,��).Elpuntodondelarectacortaaleje�seobtiene
mediantelaecuación.
??????
??????=�−
�(�)(�−�)
��−�(�)

5. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Laecuacióndelarectadondeseconoceunpuntosobrelamismaysu
pendientees:
•Queenlarectadelafigura1es
�−�
1=��−�
1……….(1)

6. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
??????�����1Primeraiteracióndel
MétododelaFalsaPosición

7. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Queenlarectadelafigura1es
•Enlainterseccióndeestarectaconeleje�secumplelacondiciónenque
��=0,porloquealdespejar�seobtiene:
��−��=
��−��
�−�
�−�……..(2)
??????
??????=�−
���−�
��−��
……..(3)

8. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Laecuación(3)eslaecuaciónusadaparapredecirlanuevaaproximación
alasolución,lacualincluyecomoseseñalo,losvaloresdelasfunciones
evaluadasenelintervalo.

9. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Algoritmo
1.Seleccionarlosvaloresinicialesde���yevaluar����(�)eneste
intervalo,demaneraquelafuncióncambiedesigno.Estableceruna
toleranciadeerror.
2.Laprimeraaproximacióndelaraízsecalculapormediodelaecuación
(4)
??????
??????=�−
���−�
��−��
……..(4)

10. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Algoritmo
3.Realizarlassiguientesevaluacionesparadeterminarsiseencontrólaraízo
parasaberenquesubintervaloselocaliza.
Si��∙�??????
??????=0⟹laraízesiguala??????
??????yseterminanloscálculos.
Si��∙�??????
??????>0⟹laraízseencuentraentre??????
??????��.Hacer�=??????
??????ypasaral
punto4.
Si��∙�??????
??????<0⟹laraízseencuentraentre??????
??????&#3627408486;&#3627408462;.Hacer&#3627408463;=??????
??????ypasaral
punto4.

11. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Algoritmo
4.Calcularelnuevo??????
??????conlaecuación4.
5.Calcularelerroraproximado,conlaecuación(5)paradecidirsilanueva
aproximacióncumpleconelcriteriodeerrorestablecido.Siesasílos
cálculosterminan,encasocontrarioseregresaalpaso3.
&#3627408466;
&#3627408477;=
??????
??????
????????????&#3627408481;&#3627408482;????????????
−??????
??????
??????&#3627408475;&#3627408481;??????????????????&#3627408476;??????
??????
??????
????????????&#3627408481;&#3627408482;????????????
∗100……(5)

12. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Ejemplo1(Archivomne2-2v3)
•Aplicarelmétododelareglafalsaparaencontrarlaraízrealmayordel
polinomio.
•Realizarelprocesoiterativohastaquesecumplaun??????
??????<&#3627409358;.&#3627409358;&#3627409359;??????%
&#3627408467;&#3627408485;=−3.7083&#3627408485;
3
+16.2965&#3627408485;
2
−21.963&#3627408485;+9.36

13. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Solución
•Parainiciarelproblemasegeneraunagráficadelaecuación
•Enelintervalodevaloresde"??????“&#3627408413;&#3627408414;−??????????????????.Paraestosesiguenlospasosque
seindicanenelarchivodecomograficarenExcel.
&#3627408467;&#3627408485;=−3.7083&#3627408485;
3
+16.2965&#3627408485;
2
−21.963&#3627408485;+9.36

14. &#3627408467;&#3627408485;=−3.7083&#3627408485;
3
+16.2965&#3627408485;
2
−21.963&#3627408485;+9.36
Figura 2 Gráfico de la Función

15. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•Lagraficadelafigura2muestraqueenelintervalode0a2.5existentres
cambiosdesigno,porloquelasraícesdelpolinomioselocalizanenel.
Dependiendodelosvaloresinicialesseleccionados,sepodrálocalizar
cualquieradelastresraíces.

16. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelareglafalsamedianteelusodeExcel
1.Deacuerdoalagraficadelafigura2,seleccionarunintervalode2.1a
2.5paraencontrarlaraízmayordelpolinomio,yaqueenelsepresentaun
cambiodesignoenelvalordelafunción,porloqueestospuntospueden
serlosvalorescorresp0pndientesde&#3627408462;&#3627408486;&#3627408463;paraaplicarelalgoritmo.

17. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelareglafalsamedianteelusodeExcel
2.ConstruirenExcellatablaqueapareceenlafigura3,enlasquese
incluyendiferentescolumnaspara:elnúmerodeiteración(columnaA),
losvaloresdelosextremosdelintervalo&#3627408462;&#3627408486;&#3627408463;(columnasByC),losvalores
delaevaluacióndelafunciónenlosextremosdelintervalo
&#3627408467;&#3627408462;&#3627408486;&#3627408467;&#3627408463;columnas(DyE),elcalculode??????
??????(columnasF),laevaluación
delafunciónen??????
??????,&#3627408467;(??????
??????)(columnaG)yelporcentajedeerror
aproximado(columnaH).

18. Figura 3 Tabla para iniciar el método de la regla falsa

19. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelareglafalsamedianteelusodeExcel
3.Introducirlosvaloresdelaiteracióninicialydelosextremosdelintervalo&#3627408462;&#3627408486;&#3627408463;,en
lasceldasA70,B70yC70,respectivamente.
4.IntroducirlaformulaparaevaluarlafunciónenlasceldasD70yE70,paralocual
hayquetenercuidadoqueelvalorqueseutiliceseaeldelaceldaconlaque
tengacorrespondiente,porejemploparaevaluar&#3627408467;(&#3627408462;)sedeberáutilizarlos
valoresde&#3627408462;,queseencuentranenlaceldaB70,paraevaluar&#3627408467;(&#3627408463;)sedeberá
utilizarelvalorde&#3627408463;,queseencuentraenlaceldaC70,comosemuestraenla
figura.

20. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelareglafalsamedianteelusodeExcel
5.IntroducirlaceldaF70laformulaparaevaluar??????
??????(ecuación4)yevaluarla
funciónenesepunto&#3627408467;(??????
??????)enlaceldaG70.
6.Seguirlospasos6al11delejemplo(mne2-1v3)correspondientesala
implementacióndelalgoritmodebisecciónmedianteelusodeExcel,yaquelos
algoritmosdelmétododebisecciónydelmétododelareglafalsasonmuy
parecidos,alfinalseobtieneelvalordelaraíz,elcualapareceenlatabladela
figura4.

21. Figura 4 Presentación de las iteraciones para el calculo de la raíz mayor del polinomio
&#3627408467;&#3627408485;=−3.7083&#3627408485;
3
+16.2965&#3627408485;
2
−21.963&#3627408485;+9.36

22. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
1.Deacuerdoalagráficadelafigura2,sepuedeseleccionarelintervalo
de2.1a2.5paraencontrarlaraízmayordelpolinomio,yaqueenelse
presentauncambiodesignoenelvalordelafunción,porloqueestos
puntospuedenserlosvalorescorrespondientesde&#3627408462;&#3627408486;&#3627408463;paraaplicarel
algoritmo.

23. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisualBasic
2.ParaconstruirenExcellatablamostradaenlafigura5seabreunahojanuevayseetiquetanlas
celdasaempleardeacuerdoalalgoritmo.Enestecasodeberánaparecer:elporcentajede
error(celdaB4),elvalorinicialde&#3627408462;(celdaB6),elvalorinicialde&#3627408463;(celdaB8)yelvalordelaraíz
(celdaB10).Tambiénseetiquetanlascolumnasdelatabladeresultadosqueapareceráconlos
siguientesdatos:numerodeiteración(columnaA),valorde&#3627408462;(columnaB),valorde&#3627408463;(columna
C),evaluacióndelafunciónenelpunto&#3627408462;,&#3627408467;(&#3627408462;)(columnaD),evaluacióndelafunciónenel
punto&#3627408463;,&#3627408467;(&#3627408463;)(columnaE),productode&#3627408467;&#3627408462;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408467;(&#3627408463;)(columnaF),calculodelaaproximación??????
??????
(columnaG),evaluacióndelafunciónen??????
??????(columnaH)yelporcentajedeerroraproximado
&#3627408466;
&#3627408477;(columnaI).

24. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
3.Unavezhechalatabladelafigura5seincrustanlosbotones,loscualesse
etiquetanconlasleyendas:“calcular”y“limpiar”,segúnsemuestraenla
figura6.

25. Figura 5 Tabla inicial para calcular las raíces del polinomio por el método de la regla falsa

26. Figura 6 Se incrustan los diferentes botones para el método de la regla falsa con Visual Basic

27. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
4.Elbotóncorrespondientea“calcular”tieneelpropósitodecalcularlaraíz
ytienelesiguientecódigodeprogramación.

29. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
5.Elbotóncorrespondientea“limpiar”tieneelsiguientecódigode
programación.

31. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
6.Lafunciónseintroduceenelcódigogeneral

32. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
7.Unavezqueseintrodujeronloscódigosanteriores,seejecutaelprograma
introduciendolosvaloresinicialessugeridosenlagráfica,&#3627408462;=2.1,&#3627408463;=
2.5&#3627408486;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408477;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408464;&#3627408466;&#3627408475;&#3627408481;&#3627408462;&#3627408471;&#3627408466;&#3627408465;&#3627408466;&#3627408466;&#3627408479;&#3627408479;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408465;&#3627408466;0.015,segúnapareceenlafigura7.Laraíz
obtenidafuede2.288534.

33. Figura 7 Calculo de la primera raíz por el método de la regla falsa con Visual Basic

34. MÉTODO DE LA REGLA FALSA
•ImplementacióndelalgoritmodelmétododelareglafalsamedianteVisual
Basic
8.Sisedeseaaproximarlaotraraíz,seutilizaelbotón“limpiar”ysecambian
losvaloresiniciales,enestecasolosvaloresinicialessugeridossegúnla
gráficason:&#3627408462;=1.05,&#3627408463;=1.3,yelporcentajedeerrorde0.015,según
apareceenlafigura8.Laraízobtenidafuede1.129710

35. Figura 8Calcula de la segunda raíz por el método de la regla falsa con Visual Basic