Método de newton raphson Metodos Numericos

Método de newton raphson Metodos Numericos

1. Método de Newton- Raphson Clase 6 1 4 - Febrero -201 5

2. Método de Newton Raphson Este método es uno de los mas ampliamente usados en la búsqueda de raíces de ecuaciones. Según se puede ver en la figura 1

3. Figura 1. Método de Newton Raphson

4. Método de Newton Raphson Si se parte de un valor inicial , que no se encuentre alejado de la raíz, al trazar una tangente al punto y extrapolarla hasta su intersección con el eje , el punto donde esta tangente cruza al eje representa una aproximación mejorada de la raíz.  

5. Método de Newton Raphson La ecuación de la recta tangente que pasas por el punto y cuya pendiente es es: Al sustituir en esta ecuación el punto de intersección de la recta tangente el eje , se tiene:  

6. Método de Newton Raphson Donde:  

7. Método de Newton Raphson La ecuación es la expresión conocida como ecuación predictor de Newton- Raphson . Algoritmo Introducir la ecuación a resolver . Introducir la derivada de la función a resolver Introducir el máximo numero de iteraciones Introducir valor máximo error porcentual aproximado  

8. Método de Newton Raphson La ecuación es la expresión conocida como ecuación predictor de Newton- Raphson . Algoritmo Seleccionar una aproximación inicial cercana a la raíz Inicializar el contador el contador Mientras que continuar con los pasos 8 al 11. Calcular la siguiente aproximación a la raíz mediante la ecuación (1)  

9. Método de Newton Raphson La ecuación es la expresión conocida como ecuación predictor de Newton- Raphson . Algoritmo Calcular el error porcentual aproximado con la ecuación Verificar que se cumpla la condición . Si se cumple, entonces se ha encontrado la aproximación final, ir al paso 13, de lo contrario continuar.  

10. Método de Newton Raphson Hacer Verificar si se cumple la condición . Si después de iteraciones no se ha cumplido que , el método ha fracasado. Terminar la ejecución del algoritmo. Imprimir los resultados  

11. Ejemplo Obtener la raíz real negativa de la ecuación  

12. Solución Para iniciar la solución del problema se genera una gráfica de la ecuación, en el intervalo de valores de la variable de . Para esto se siguen los pasos que se muestran en la diapositiva como graficar con Excel, como se muestra en la figura 2.  

13. Figura 2 Gráfica de la ecuación  

14. Solución Para usar la ecuación predictor de Newton- Raphson (2), es necesario obtener la derivada de la ecuación (1)  

15. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson mediante el uso de Excel Construir la tabla de la figura 3 para iniciar el método de Newton- Raphson , la cual tiene diferentes columnas que incluyan valores de: número de iteración (columna A), aproximación lineal (columna B), evaluación de la función en el punto inicial (columna C), evaluación de la derivada de la función (columna D), calculo de la siguiente aproximación (columna E) y el porcentaje de error aproximado (columna F).  

16. Figura 3 Tabla para iniciar El Metodo de Newton Raphson

17. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson mediante el uso de Excel Introducir el valor inicial de la variable en la celda . En la Figura 2 se muestra la grafica de la función en el intervalo de valores de de . Al observar la gráfica, se puede seleccionar como punto inicial . Introducir la formula de la evaluación de la función en la celda C56, la formula para evaluar la derivada de la función (2) en la celda D56 y la ecuación predictoria de Newton Raphson (1). Finalmente se obtiene una tabla como de la figura 4.  

18. Figura 4 Introducción del valor inicial de la variable, la evaluación de la función, la derivada de la función y la ecuación predictora de Newton- Raphson

19. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson mediante el uso de Excel Asignar el valor de la celda E56 a la celda B57, ya que en la segunda iteración, el valor obtenido de de la primera iteración, se convierte en el valor de para la segunda iteración. Los demás cálculos se repiten de la misma forma que en la primera iteración e incluir el calculo del porcentaje de error aproximado. Para termina la solución del problema se repiten los cálculos a partir de la segunda iteración. En la figura 5 se muestra una tabla de valores con las iteraciones necesarias para aproximar la raíz, la cual aparece en la celda E60 remarcada al final de la tabla.  

20. Figura 5 Iteraciones para el calculo de la raíz de de Newton- Raphson .  

21. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic En la figura 2 se puede observar que existe una raíz cercana a , por lo que este valor puede ser el correspondiente a para iniciar el proceso .  

22. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 6 se abre una hoja nueva en el mismo archivo, y se etiquetan las celdas a emplear al algoritmo. En este caso deberán aparecer: el porcentaje de error (celda B4), el valor de (celda B6), y el valor de la raíz (celda B8). También se etiquetan las columnas de la tabla de resultados que aparecerá con los siguientes datos: número de iteración (columna A), valor inicial (columna B), evaluación de la función en el punto (columna D), calculo de la siguiente aproximación (columna E) y el porcentaje de error aproximado (columna F).  

23. Figura 6 Inicio de los cálculos de las raíces de , por el método de Newton− Raphson  

24. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic Una vez hecha la tabla de la figura 6 se incrustan dos botones de acuerdo a las instrucciones anteriormente vistas en ejercicios anteriores, los cuales se etiquetan con las leyendas: “calcular” y “limpiar”, según se muestra en al figura 7

25. Figura 7 Se incrustan los diferentes botones para el método de Newton- Raphson por Visual Basic.

26. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic El botón correspondiente a “calcular” tiene el propósito de calcular la raíz y tiene el siguiente código de programación.

27. Figura 8 Código Fuente del Botón Calcular

28. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic El botón correspondiente a “limpiar” tiene el siguiente código de programación.

29. Figura 9 Código Fuente del Botón Limpiar

30. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic La función y la derivada de la función se introducen en el código general de la siguiente manera:

31. Implementación del algoritmo del método de Newton Raphson Visual Basic Una vez que se introdujeron los códigos anteriores, se ejecuta el programa introduciendo el valor inicial sugerido , según aparece en la figura 10. La raíz obtenida fue de  

32. Figura 10 Calculo de la primera raíz por el Método de Newton Raphson con Visual Basic