Métodos numéricos método de la secante

TRABAJO MÉTODOS NUMÉRICOS

1. FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y ARQUITECTURA
E.A.P INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA : Métodos Numéricos
DOCENTE : Lic. Heli Mariano Santiago
ALUMNOS :
Cuellar Natividad, Lincoln
Huacho Candia, Marco
MÉTODO DE LA SECANTE

2. INTRODUCCIÓN:
Alahoradehallarlasraícesdemuchasfuncionesnotodassehallandemanerasencillao
aplicandolosmétodosqueconocemos.Esasfuncionessongeneralmentelogarítmicas,
exponenciales,trigonométricasocombinacionesdeestas. Parahallarlasraíces
aproximadasrecurrimosalosmétodosnuméricos. Entreestosmétodostenemosel
métododeNewtonRaphson,elmétododebolsazo,elmétododepuntofijo,etc.
Enestaoportunidadvamosausarelmétododelasecanteparahallarlasolucióndelos
problemasquesemostraránposteriormente.

3. MÉTODO DE LA SECANTE:
Esunmétodonuméricoabierto,surgecomosoluciónalinconvenientequesetieneenel
métododeNewton–Raphsonyaquenotodaslasfuncionestienenunaderivadaoaveceses
difícilhallarlo.
Estemétodoconvergesilafunción,delcualesnecesariohallarlaraíz,escontinuaentrelos
puntosdondesevaaiterar.
Senecesitandospuntosparaempezararealizarlaiteración. Sepuedededucirlafórmulade
recurrenciadelasiguientemanera:
Convergencia:
Fórmula de recurrencia:
TenemoslafórmuladeNewton:
????????????
????????????+1=????????????
????????????−
????????????(????????????)
????????????́(????????????)

4. Aproximamos la derivada por la siguiente expresión:
????????????́(????????????)=
∆????????????
∆????????????
=
????????????????????????
????????????−????????????????????????
????????????−1
????????????
????????????−????????????
????????????−1
Entonces:
????????????
????????????+1=????????????
????????????−????????????(????????????
????????????)�
????????????
????????????−????????????
????????????−1
????????????????????????
????????????−????????????(????????????
????????????−1)

5. tan0.1????????????=9.2????????????
−????????????
????????????????????????=tan0.1????????????−9.2????????????
−????????????????????????
0=3.2,????????????
1=3.7,????????????=10
−4
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
0=tan0.1∗3.2−9.2????????????
−3.2????????????????????????
0=−0.043622
????????????????????????
1=tan0.1∗3.7−9.2????????????
−3.7????????????????????????
1=0.160406
????????????
????????????+1=????????????
????????????−
????????????????????????
????????????[????????????
????????????−????????????
????????????−1]
????????????????????????
????????????−????????????????????????
????????????−1
????????????
2=????????????
1−
????????????????????????
1????????????
1−????????????
0
????????????????????????
1−????????????????????????
0
=3.7−
0.1604063.7−3.2
0.160406+0.043622
=3.3069
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
1=0.160406
????????????????????????
2=tan0.1∗3.3069−9.2????????????
−3.3069
????????????=
3.3069−3.7
3.3069
=0.111872
????????????????????????
2=6.305626∗10
−3
????????????
3=????????????
2−
????????????????????????
2????????????
2−????????????
1
????????????????????????
2−????????????????????????
1
=3.3069−
6.305626∗10
−3
3.3069−3.7
6.305626∗10
−3
=3.290818
????????????=
3.290918−3.3069
3.290918
=0.0048563
PROBLEMA:

6. ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
4=????????????
3−
????????????????????????
3????????????
3−????????????
2
????????????????????????
3−????????????????????????
2
=3.290818−
0.0009553.290818−3.3069
0.000955−6.305626∗10
−3
=3.292935
????????????????????????
2=6.305626∗10
−3
????????????????????????
3=tan0.1∗3.290818−9.2????????????
−3.290818
=−0.000955
????????????=
3.292935−3.290818
3.292935
=0.000642
????????????
3=3.290818
????????????
2=3.3069
I ????????????
????????????−???????????? ????????????
???????????? ????????????(????????????
????????????−????????????) ????????????(????????????
????????????) ????????????
????????????+???????????? Error%
1 3.2 3.7 -0.043622871 0.160406718 3.306903296
2 3.7 3.30690329 0.160406718 0.006305627 3.29081826411.88715449
3 3.306903296 3.29081826 0.006305627 -0.000955788 3.2929354660.488785191
4 3.290818264 3.29293547 -0.000955788 0.000004921823.2929246230.064295276
5 3.292935466 3.29292462 0.000004921820.0000000023113.2929246150.000329273
La respuesta:3.292924623

7. PROBLEMA APLICATIVO:
Considéreseuncamióncisternadeaguadelasiguienteforma:
Sedeseatransportaraguaenestecamióncisternaparaunaobraqueseencuentraacierta
distanciadetalmaneraquesucontenidodeaguaseael85%delacapacidadtotaldetanque,dado
queeslacapacidadmáximaquesepuedellevarconlafinalidaddegarantizarelcumplimientodela
NTP(NormaTécnicadeProtección),paraellodebemoscalcularhastaquealtura“h”debedeser
llenadoeltanqueconlafinalidaddequesecumplaconlascondicionesmencionadas.
Setieneestecamióncisternadeformacilindrorectoelípticolacualtieneunabasemenorde
b=90cm,unabasemayordea=130cmyunalongitudL=1120cm

8. Datos del problema:
Segúnelproblemanuestroobjetivoeshallarlaalturaparacuandoelaguallenael85%dela
capacidaddeltanquecisterna.
ℎ
Delgráficosepuedededucir:
VARIABLE DESCRIPCIÓN VALOR
h
Altura a hallar la cual
comienza desde el nivel
del suelo hasta la
capacidad
máxima del tanque.
Incógnita
V
Volumen máximo que
puede soportar el
tanque.
35000L
a Lado mayor de la elipse1.3 m
b Lado menor de la elipse0.9 m
L
Largo del tanque de
cisterna
11.2 m
ℎ????????????0,2????????????

9. Hallemoselvolumenenfuncióndelaaltura:
????????????ℎ=
1638
125
????????????????????????????????????????????????????????????????????????
10
9
ℎ−1+
????????????
2
+
10
9
ℎ−1 1−
10
9
ℎ−1
2
????????????
3
Reemplazamoselvolumendedatoparahallarunafuncióndeh:
????????????ℎ=????????????????????????????????????????????????????????????????????????
10
9
ℎ−1+
10
9
ℎ−1 1−
10
9
ℎ−1
2
−1.100144
ℎ????????????0,1.8????????????????????????????????????.(????????????)
Fig.(a)
Tengamosencuentalasiguienterestricción:

10. Desarrollo del problema:
Teníamos:
????????????ℎ=????????????????????????????????????????????????????????????????????????
10
9
ℎ−1+
10
9
ℎ−1 1−
10
9
ℎ−1
2
−1.100144
ℎ????????????0,1.8
Hallaremoslasraíceslafunciónf(h)porelmétodoabiertoquees“elmétododelasecante”
conunatoleranciamáximadeerrorde10
-5.
La fórmula de recurrencia para realizar la iteración es:
????????????
????????????+1=????????????
????????????−????????????(????????????
????????????)�
????????????
????????????−????????????
????????????−1
????????????????????????
????????????−????????????(????????????
????????????−1)
Empecemosconlosvaloresinicialeslascualesson:
????????????
0=0
????????????
1=1.8

11. Desarrollo manual:
Desarrollo con software:
Parahallarloscerosdelafunciónf(h)conunsoftwareprimerohallaremos
eldiagramadeflujoyaqueestonosfacilitaráescribirelcódigoenun
lenguajedeprogramación.

12. Diagrama de flujo Algoritmo en Python:
Resultados:
Luegoderealizarelalgoritmotantodemaneramanualcomotambiéncon
elusodeunsoftwarelosresultadossonlosmismos.
Elvalordehes:
h=1.4269metros

13. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
Elmétododelasecanteesunmétodopararesolverecuacionesnolinealesdeformamuyeficiente
sintenermuchasrestriccionesylimitaciones.
Parahallarlosvaloresinicialesesrecomendableorientarseporlasgráficasdelasfuncionesf(x)=0.
Estemétodoesaplicabletantoparaproblemasmatemáticos(académicos)yparamodelados
matemáticosaplicadosalavidareal.
Antesderesolverunproblemaporelmétododelasecanteesrecomendableordenaslosdatosdel
problemaytenerencuentalasrestriccionesdelavariableahallar,esdecir,calculareldominiodela
función.
Estemétodoesrecomendableresolverloconlaayudadeunsoftwareporqueconvergemáslento
queotrosmétodosnuméricos.
Paracorroborarlosresultadosenunasoftwareesrecomendablerealizarlasprimerasiteracionesde
formamanual.

14. Bibliografía
ColaboradoresdeWikipedia.(2021,11enero).Métododelasecante. Wikipedia,laenciclopedialibre.
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_la_secante
DeJorgeyfloreth, L.T.L.E.(2017,7abril).MétodoSecante.MétodosNuméricos.
https://jorgeyfloreth.wordpress. com/2017/03/06/metodo-secante/
Secante.(2014,23junio).ProyectoMétodosNuméricosMA-0320.https://arturoguillen90.wordpress. com/ecuaciones-
no-lineales/secante/
G. (2011, 24 febrero). Capacidad de un cilindroelíptico. Todoexpertos.
https://www.todoexpertos.com/categorias/ciencias-e-ingenieria/matematicas/respuestas/2628779/capacidad-de-un-
cilindro-eliptico
M.(2021,15marzo).Camióncisterna:conducción,requisitosynormativa.movertis.com.
https://www.movertis.com/blog/camion-cisterna-conduccion-requisitos-y-normativa /
Laimportanciadelaguaenlaconstrucción.(2019,21noviembre).ConstruyendoSeguro.
https://www.construyendoseguro.com/la-importancia-del-agua-en-la -construccion/