Mapas de Karnaugh (introdução, até 4 variáveis)
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78 slides
Apr 24, 2014
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About This Presentation
Mapas de Karnaugh. Definição. Introdução. Até 4 variáveis. Agrupamentos possíveis com 2, 4 e 8 células. Exemplos. Problemas. Video à 1024 x 768 pixels @ 24 fps disponível no YouTube: http://youtu.be/ohRBnobVvgo
Slide Content
Mapas de Karnaugh
Circuitos Digitais I
Prof. Fernando Passold
1Thursday, April 24, 14
Circuitos Digitais I
Prof. Fernando Passold
1Thursday, April 24, 14
Introdução
•Origem:
•Desenvolvido em 1953 por Maurice
Karnaugh, um engenheiro de
telecomunicações da Bell Labs
•Objetivo:
•Reduzir (simplificar) expressões lógicas.
2Thursday, April 24, 14
•Origem:
•Desenvolvido em 1953 por Maurice
Karnaugh, um engenheiro de
telecomunicações da Bell Labs
•Objetivo:
•Reduzir (simplificar) expressões lógicas.
2Thursday, April 24, 14
Lógica do Mapa
•
Representar tabela verdade num outro formato
(gráfico); num formato “matricial”.
•
Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de
entrada:
RefABSaída
000
101
210
311
B
A
0 1
0
0 1
1
2 3
3Thursday, April 24, 14
•
Representar tabela verdade num outro formato
(gráfico); num formato “matricial”.
•
Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de
entrada:
RefABSaída
000
101
210
311
B
A
0 1
0
0 1
1
2 3
3Thursday, April 24, 14
Lógica do Mapa
•
Representar tabela verdade num outro formato
(gráfico); num formato “matricial”.
•
Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de
entrada:
RefABSaída
000
101
210
311
B
A
0 1
0
0 1
1
2 3
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•
Representar tabela verdade num outro formato
(gráfico); num formato “matricial”.
•
Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de
entrada:
RefABSaída
000
101
210
311
B
A
0 1
0
0 1
1
2 3
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Lógica do Mapa
•
Representar tabela verdade num outro formato
(gráfico); num formato “matricial”.
•
Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de
entrada:
RefABSaída
000
101
210
311
B
A
0 1
0
0 1
1
2 3Que
Falta ? Completar a tabela
verdade e o mapa!
9Thursday, April 24, 14
•
Representar tabela verdade num outro formato
(gráfico); num formato “matricial”.
•
Seja a tabela verdade composta para 2 variáveis de
entrada:
RefABSaída
000
101
210
311
B
A
0 1
0
0 1
1
2 3Que
Falta ? Completar a tabela
verdade e o mapa!
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Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
1. Completando a tabela...
11Thursday, April 24, 14
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
1. Completando a tabela...
11Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
1
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1
F=AB+AB
2. Completando o Mapa...
13Thursday, April 24, 14
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
F=AB+AB
2. Completando o Mapa...
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Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
F=AB+AB
3. Note: agrupamento de células (contíguas)!
15Thursday, April 24, 14
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
F=AB+AB
3. Note: agrupamento de células (contíguas)!
15Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
F=AB+AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
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•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
F=AB+AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
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Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
AB
AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
18Thursday, April 24, 14
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
AB
AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
18Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
AB
AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
18Thursday, April 24, 14
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
AB
AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
18Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
AB
AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
“sobra”
18Thursday, April 24, 14
•
Exemplo:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1011
2100
3111
F=AB+AB
AB
AB
F=AB+AB
F=B(A+B)
F=B
B
A
0 1
0
0 1
1
1
2 3
1
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
“sobra”
18Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
F=AB+AB
19Thursday, April 24, 14
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
F=AB+AB
19Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
2
1
3
1
F=AB+AB
19Thursday, April 24, 14
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
2
1
3
1
F=AB+AB
19Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
2
1
3
1
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
“sobra”
F=AB+AB
F=AB+AB
F=A(B+B)
F=A
"
AB
"
AB
F=A
19Thursday, April 24, 14
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
B
A
0 1
0
0 1
1
2
1
3
1
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
“sobra”
F=AB+AB
F=AB+AB
F=A(B+B)
F=A
"
AB
"
AB
F=A
19Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa Outra forma:
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
A
B
0 1
0
0 2
1
1
1 3
1
F=AB+AB
Note mudança na ordem entre A e B!
B
A
01
0
01
1
2
1
3
1
20Thursday, April 24, 14
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
A
B
0 1
0
0 2
1
1
1 3
1
F=AB+AB
Note mudança na ordem entre A e B!
B
A
01
0
01
1
2
1
3
1
20Thursday, April 24, 14
Uso do Mapa Outra forma:
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
“sobra”
F=AB+AB
F=AB+AB
F=A(B+B)
F=AF=A
AB
AB
Note mudança no ordem entre A e B!
A
B
0 1
0
0 2
1
1
1 3
1
21Thursday, April 24, 14
•
Exemplo_2:
Seja a função:
RefABSaída
0000
1010
2101
3111
Variável que mudou de nível:
Variável eliminada (simplificada)
“sobra”
F=AB+AB
F=AB+AB
F=A(B+B)
F=AF=A
AB
AB
Note mudança no ordem entre A e B!
A
B
0 1
0
0 2
1
1
1 3
1
21Thursday, April 24, 14
Outros Mapas para 2 variáveis
22Thursday, April 24, 14
22Thursday, April 24, 14
Outros Mapas para 2 variáveis
"
=AB+AB
=B(A+A
|{z}
=1
)
=B
"
=AB+AB
=B(A+A
|{z}
=1
)
=B
=AB+AB
=A(B+B
|{z}
=1
)
=A
=AB+AB
=A(B+B
|{z}
=1
)
=A
22Thursday, April 24, 14
"
=AB+AB
=B(A+A
|{z}
=1
)
=B
"
=AB+AB
=B(A+A
|{z}
=1
)
=B
=AB+AB
=A(B+B
|{z}
=1
)
=A
=AB+AB
=A(B+B
|{z}
=1
)
=A
22Thursday, April 24, 14
Mapa K para 3 variáveis
RefABC Y
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5
•
Mapa - Opção 1 e 2:
23Thursday, April 24, 14
RefABC Y
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5
•
Mapa - Opção 1 e 2:
23Thursday, April 24, 14
Mapa K para 3 variáveis
•
Mapa - Opção 1 e 2:
RefABC Y
0 000m0
1 001m1
2 010m2
3 011m3
4 100m4
5 101m5
6 110m6
7 111m7
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5
31Thursday, April 24, 14
•
Mapa - Opção 1 e 2:
RefABC Y
0 000m0
1 001m1
2 010m2
3 011m3
4 100m4
5 101m5
6 110m6
7 111m7
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5
31Thursday, April 24, 14
Mapa K para 3 variáveis
RefABC Y
0 000m0
1 001m1
2 010m2
3 011m3
4 100m4
5 101m5
6 110m6
7 111m7
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5 Repare na ordem
das céculas
•
Ordem das células:
33Thursday, April 24, 14
RefABC Y
0 000m0
1 001m1
2 010m2
3 011m3
4 100m4
5 101m5
6 110m6
7 111m7
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5 Repare na ordem
das céculas
•
Ordem das células:
33Thursday, April 24, 14
Mapa K para 3 variáveis
•
Ordem das células:
RefABC Y
0 000m0
1 001m1
2 010m2
3 011m3
4 100m4
5 101m5
6 110m6
7 111m7
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5
A ordem segue o código Gray
(apenas 1 bit varia de estado entre
células!)
34Thursday, April 24, 14
•
Ordem das células:
RefABC Y
0 000m0
1 001m1
2 010m2
3 011m3
4 100m4
5 101m5
6 110m6
7 111m7
A\
BC
00011110
0
m0m1m3m2
1
m4m5m7m6
AB\
C
01
00
m0m1
01
m2m3
11
m6m7
10
m4m5
A ordem segue o código Gray
(apenas 1 bit varia de estado entre
células!)
34Thursday, April 24, 14
Exemplo_1:
•Sem Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
Y=
X
m
{0,1,4,6}
35Thursday, April 24, 14
•Sem Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
Y=
X
m
{0,1,4,6}
35Thursday, April 24, 14
Exemplo_1:
•Sem Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Soma de
Produtos:
Minitermos
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
Y=
X
m
{0,1,4,6}
35Thursday, April 24, 14
•Sem Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Soma de
Produtos:
Minitermos
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
Y=
X
m
{0,1,4,6}
35Thursday, April 24, 14
•Sem Mapa:
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Sem Mapa:
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
AB
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
AB
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Sem Mapa:
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
AB
"
AC
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
AB
"
AC
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Sem Mapa:
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
AB
"
AC
Y=AB+AC
{
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Com Mapa:
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
2 010 0
3 011 0
4 100 1
5 101 0
6 110 1
7 111 0
=ABC
=ABC
=ABC
=ABC
Y=ABC+ABC+ABC+ABC
Y=AB(C+C)+AC(B+B)
Y=AB+AC
}
AB\
C
01
00
1 1
01
11
1
10
1
AB
"
AC
Y=AB+AC
{
Y=
X
m
{0,1,4,6}
36Thursday, April 24, 14
•Mapa:
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
38Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
38Thursday, April 24, 14
•Mapa:
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Detalhe: não existem agrupamentos de 3, 5 células ou os que
não sejam múltiplos de 2
n
.
Sempre serão:
2
1 !2 c´elulas !1var. eliminada
2
2
2
3
!4 c´elulas
!8 c´elulas
!2var. eliminadas
!3var. eliminadas
Exemplo_2:
39Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Detalhe: não existem agrupamentos de 3, 5 células ou os que
não sejam múltiplos de 2
n
.
Sempre serão:
2
1 !2 c´elulas !1var. eliminada
2
2
2
3
!4 c´elulas
!8 c´elulas
!2var. eliminadas
!3var. eliminadas
Exemplo_2:
39Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
=ABC+ABC+ABC
=BC(A+A)+ABC
=BC+ABC
Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta!
Exemplo_2:
40Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
=ABC+ABC+ABC
=BC(A+A)+ABC
=BC+ABC
Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta!
Exemplo_2:
40Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
=ABC+ABC+ABC
=BC(A+A)+ABC
=BC+ABC
"
AC
BC
Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta!
Exemplo_2:
40Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
=ABC+ABC+ABC
=BC(A+A)+ABC
=BC+ABC
"
AC
BC
Tentativa de agrupamento de 3 células: Não resulta!
Exemplo_2:
40Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC+ABC
=C(B+AB)
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
=ABC+AC
=C(AB+A)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
=C(A+B) =C(A+B)
x+xy=x+y
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2: =ABC+ABC+ABC
=BC+ABC
=C(B+AB)
=BC(A+A
|{z}
=1
)+ABC
=ABC+AC(B+B
|{z}
=1
)
=ABC+AC
=C(AB+A)
ou
Tentativa de agrupamento de 3 células:
Não resulta (nenhuma simplificação
direta)!
=C(A+B) =C(A+B)
x+xy=x+y
Desenvolvendo...
41Thursday, April 24, 14
•Mapa:
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
AC
BC
AB
Y=AC+BC+AB
Exemplo_2:
43Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
AC
BC
AB
Y=AC+BC+AB
Exemplo_2:
43Thursday, April 24, 14
•Mapa:
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
- Não implica em erro, mas
aumenta circuito!
Exemplo_2:Atenção:
Evitar
agrupamentos
redundantes!
44Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
- Não implica em erro, mas
aumenta circuito!
Exemplo_2:Atenção:
Evitar
agrupamentos
redundantes!
44Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
RefABCY
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Agrupamentos Redundantes:
- Não implica em erro, mas
aumenta circuito!
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
00000
10011
20101
30111
41001
51011
61101
71110
AB\
C
01
00 1
0111
111
1011
Agrupamentos Redundantes:
- Não implica em erro, mas
aumenta circuito!
Exemplo_2:
45Thursday, April 24, 14
Mapa K para 4 variáveis
•
Mapa - Opção 1:
•
Mapa - Opção 2:
Ref ABCD Y
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
AB\
CD
00011110
00
01
11
10
CD\
AB
00011110
00
01
11
10
47Thursday, April 24, 14
•
Mapa - Opção 1:
•
Mapa - Opção 2:
Ref ABCD Y
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
AB\
CD
00011110
00
01
11
10
CD\
AB
00011110
00
01
11
10
47Thursday, April 24, 14
•Mapa - Opção 1:
Ref ABCD Y
0 0000 m0
1 0001 m1
2 0010 m2
3 0011 m3
4 0100 m4
5 0101 m5
6 0110 m6
7 0111 m7
8 1000 m8
9 1001 m9
10 1010 m10
11 1011 m11
12 1100 m12
13 1101 m13
14 1110 m14
15 1111 m15
AB\
CD
00011110
00
m0m1m3m2
01
m4m5m7m6
11
m12m13m15m14
10
m8m9m11m10
Mapa K para 4 variáveis
63Thursday, April 24, 14
Ref ABCD Y
0 0000 m0
1 0001 m1
2 0010 m2
3 0011 m3
4 0100 m4
5 0101 m5
6 0110 m6
7 0111 m7
8 1000 m8
9 1001 m9
10 1010 m10
11 1011 m11
12 1100 m12
13 1101 m13
14 1110 m14
15 1111 m15
AB\
CD
00011110
00
m0m1m3m2
01
m4m5m7m6
11
m12m13m15m14
10
m8m9m11m10
Mapa K para 4 variáveis
63Thursday, April 24, 14
Mapa K para 4 variáveis
•
Mapa - Opção 1:
•
Mapa - Opção 2:
Ref ABCD Y
0 0000 m0
1 0001 m1
2 0010 m2
3 0011 m3
4 0100 m4
5 0101 m5
6 0110 m6
7 0111 m7
8 1000 m8
9 1001 m9
10 1010 m10
11 1011 m11
12 1100 m12
13 1101 m13
14 1110 m14
15 1111 m15
AB\
CD
00011110
00m0m1m3m2
01m4m5m7m6
11m12m13m15m14
10m8m9m11m10
CD\
AB
00011110
00m0m4m12m8
01m1m5m13m9
11m3m7m15m11
10m2m6m14m10
64Thursday, April 24, 14
•
Mapa - Opção 1:
•
Mapa - Opção 2:
Ref ABCD Y
0 0000 m0
1 0001 m1
2 0010 m2
3 0011 m3
4 0100 m4
5 0101 m5
6 0110 m6
7 0111 m7
8 1000 m8
9 1001 m9
10 1010 m10
11 1011 m11
12 1100 m12
13 1101 m13
14 1110 m14
15 1111 m15
AB\
CD
00011110
00m0m1m3m2
01m4m5m7m6
11m12m13m15m14
10m8m9m11m10
CD\
AB
00011110
00m0m4m12m8
01m1m5m13m9
11m3m7m15m11
10m2m6m14m10
64Thursday, April 24, 14
Problemas
RefABX
0001
1010
2100
3111
"A\
B
AB\
C
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65Thursday, April 24, 14
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66Thursday, April 24, 14
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A
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66Thursday, April 24, 14
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67Thursday, April 24, 14
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67Thursday, April 24, 14
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67Thursday, April 24, 14
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67Thursday, April 24, 14
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A
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67Thursday, April 24, 14
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A
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A
¯
B+B
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Redundante
67Thursday, April 24, 14
Problema:
AB\
C
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68Thursday, April 24, 14
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C
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Resp.:
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68Thursday, April 24, 14
Solução:
AB\
C
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¯
BC+
¯
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¯
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¯
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¯
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C
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00 1
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10 1
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¯
A
¯
BC+
¯
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BC+ABC
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¯
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¯
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¯
B+B)
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¯
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¯
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Y=C
69Thursday, April 24, 14
AB\
C
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RefABC Y
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Prova:
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¯
A
¯
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¯
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¯
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¯
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¯
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¯
B+B)
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¯
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¯
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AB\
C
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10 1
Y=
¯
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¯
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¯
B+B)
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¯
AC+AC
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¯
A+A)
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Y=C
69Thursday, April 24, 14
Agrupamentos Possíveis
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C
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AB
C
AB
AB
C
CD
70Thursday, April 24, 14
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C
AB
AB
C
AB
AB
C
CD
70Thursday, April 24, 14
Agrupamentos Possíveis
•Com 2 variáveis
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AB
AB
C
AB
AB
C
CD
70Thursday, April 24, 14
•Com 2 variáveis
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C
AB
AB
C
AB
AB
C
CD
70Thursday, April 24, 14
Agrupamentos Possíveis
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11
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AB
C
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AB
AB
CD CD
CD
CD
71Thursday, April 24, 14
•Com 4 variáveis
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10
AB
C
AB AB
AB
AB
CD CD
CD
CD
71Thursday, April 24, 14
Agrupamentos Possíveis
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AB
C
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AB
AB
CD CD
CD
CD
71Thursday, April 24, 14
•Com 4 variáveis
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AB
C
AB AB
AB
AB
CD CD
CD
CD
71Thursday, April 24, 14
Agrupamentos Possíveis
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AB
AB AB
AB
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72Thursday, April 24, 14
•Com 8 variáveis
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AB
AB AB
AB
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CDCD
72Thursday, April 24, 14
Agrupamentos Possíveis
•Com 8 variáveis
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AB
AB AB
AB
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CDCD
72Thursday, April 24, 14
•Com 8 variáveis
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AB
AB AB
AB
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CDCD
72Thursday, April 24, 14
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11
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1
111
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73Thursday, April 24, 14
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73Thursday, April 24, 14
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74Thursday, April 24, 14
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CDCD
74Thursday, April 24, 14
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74Thursday, April 24, 14
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74Thursday, April 24, 14
Problema
AB\
C
RefABC Y
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5 101 1
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Resp.:
Y=
¯
B+
¯
C
75Thursday, April 24, 14
AB\
C
RefABC Y
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1 001 1
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7 111 0
Resp.:
Y=
¯
B+
¯
C
75Thursday, April 24, 14
Solução
RefABC Y
0 000 1
1 001 1
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4 100 1
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2014
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2014
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anteriores...
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RefABC Y
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2014
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anteriores...
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Solução
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2014
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RefABC Y
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B
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¯
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BAté aqui em 15 Apr
2014
Corrigir algumas
equações em slides
anteriores...
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C
76Thursday, April 24, 14
Solução
RefABC Y
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A
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B
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B
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A
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B
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C+
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BC+
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AB
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C+A
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C+A
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BC+AB
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C
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¯
C+
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B(
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A+A)
Y=
¯
C+
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BAté aqui em 15 Apr
2014
Corrigir algumas
equações em slides
anteriores...
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C
76Thursday, April 24, 14
RefABC Y
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A
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B
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B
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BC+
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AB
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C+A
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C+A
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BC+AB
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C
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C+
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B(
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A+A)
Y=
¯
C+
¯
BAté aqui em 15 Apr
2014
Corrigir algumas
equações em slides
anteriores...
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¯
B+
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C
76Thursday, April 24, 14
Solução
RefABC Y
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A
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B
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A
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BC+
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AB
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C+A
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C+A
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BC+AB
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A
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B(
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C+C)+B
¯
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A+A)+A
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B(
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C+C)
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¯
C+
¯
B(
¯
A+A)
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¯
C+
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BAté aqui em 15 Apr
2014
Corrigir algumas
equações em slides
anteriores...
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¯
A
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B
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¯
B(
¯
A+A)+B
¯
C
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¯
B+B
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C
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¯
B+
¯
C
76Thursday, April 24, 14
RefABC Y
0 000 1
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C
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A
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B
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C A
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B
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¯
A
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B
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C+
¯
A
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BC+
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AB
¯
C+A
¯
B
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C+A
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BC+AB
¯
C
Y=
¯
A
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B(
¯
C+C)+B
¯
C(
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A+A)+A
¯
B(
¯
C+C)
Y=
¯
C+
¯
B(
¯
A+A)
Y=
¯
C+
¯
BAté aqui em 15 Apr
2014
Corrigir algumas
equações em slides
anteriores...
Y=
¯
A
¯
B+B
¯
C+A
¯
B
Y=
¯
B(
¯
A+A)+B
¯
C
Y=
¯
B+B
¯
C
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¯
B+
¯
C
76Thursday, April 24, 14
Problemas
Ref ABCD Y
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10
77Thursday, April 24, 14
Ref ABCD Y
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1 0001 1
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15 1111 1
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CD
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77Thursday, April 24, 14
Problemas
AB\
CD
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78Thursday, April 24, 14
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78Thursday, April 24, 14
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