MATEMATICAS-IV.pdf

Guía digital de matemáticas 4 bachillerato cuarto semestre

2. Estimada alumna, estimado alumno:
El libro de texto gratuito que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo
que realizan el gobierno federal, los gobiernos estatales, las maestras y los
maestros para garantizar que todas las niñas, los niños y los adolescentes que
cursan la educación media superior en el Telebachillerato Comunitario cuenten
con materiales educativos para apoyar su aprendizaje, y con ello alcanzar una
educación de excelencia.
Tu libro de texto gratuito promoverá que te desarrolles integralmente y fomentará
en ti el amor a la Patria y los valores; así reconocerás lo que te rodea, apreciarás tus
fortalezas y sabrás lo que tu comunidad, México y el mundo necesitan, y lo que
puedes hacer por ellos.
Este libro ha sido elaborado por profesionales y especialistas en distintas disciplinas
quienes tomaron en cuenta tus necesidades e inquietudes y forma parte de los
materiales educativos que se ofrecen para que, con el trabajo diario de maestras,
maestros, autoridades y familias, alcances el máximo logro de aprendizaje y el
fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad.
Este libro ya es tuyo; es un regalo de todo el pueblo de México para ti.
¡Conócelo, cuídalo y disfrútalo!
Distribución gratuita, prohibida su venta
El libro de texto gratuito que tienes en tus manos es el resultado del esfuerzo que
realizan el gobierno federal, los gobiernos estatales, las maestras y los maestros
para garantizar que todas las y los estudiantes que cursan la educación media
superior en el Telebachillerato Comunitario cuenten con materiales educativos
para apoyar su aprendizaje, y con ello alcanzar una educación de excelencia.

Tu libro de texto gratuito promoverá que te desarrolles integralmente y fomentará
en ti el amor a la Patria y los valores; así reconocerás lo que te rodea, apreciarás
tus fortalezas y sabrás lo que tu comunidad, México y el mundo necesitan, y lo
que puedes hacer por ellos.

Este libro ha sido elaborado por profesionales y especialistas en distintas
disciplinas quienes tomaron en cuenta tus necesidades e inquietudes y forma
parte de los materiales educativos que se ofrecen para que, con el trabajo diario
de maestras, maestros, autoridades y familias, alcances el máximo logro de
aprendizaje y el fortalecimiento de los lazos entre tu escuela y tu comunidad.
Este libro ya es tuyo; es un regalo de todo el pueblo de México para ti.
¡Conócelo, cuídalo y disfrútalo!

3. Matemáticas IVMatemáticas IV
Matemáticas IV

4. Telebachillerato Comunitario. Cuarto semestre
Matemáticas IV
Autor
Misael Garrido Méndez
Asesoría académica
Marcos Jesús Núñez Linares
Asesoría técnico-pedagógica
Dirección de Coordinación Académica
Diseño y diagramación
Saúl Ríos Bernáldez
D.R. Secretaría de Educación Pública, 2015
©
Argentina 28, Centro, 06020, Ciudad de México.
ISBN: 978-607-9463-07-6
Octava reimpresión, 2022
Impreso en México

5. Prefacio
Estimado estudiante, el libro que tienes en tus manos fue elaborado pensando en
ti, en tus necesidades e inquietudes, como un instrumento que te apoye ahora que
estudias el bachillerato. En sus páginas encontrarás contenidos y actividades que
son fundamentales para que, paso a paso, puedas alcanzar las metas que esta
asignatura te propone para este semestre.
A ti te toca, ahora, sacarle el mayor provecho a este libro, que es fruto del esfuerzo
de un grupo de profesores y especialistas. Si lo haces tu amigo, lo aprovechas al
máximo y lo combinas con el apoyo de tu maestro y de los demás recursos didácti-
cos que están a tu alcance, seguramente ampliarás tus competencias y habilidades
para construir un mejor futuro para ti y contribuir al desarrollo de tu comunidad, de
tu estado y de nuestro México.
Te deseamos éxito en esta importante etapa de tu formación: el bachillerato.

6. Matemáticas IV
Presentación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
¿Cómo está estructurado este libro? . . . . . . . . . . . . . . 11
¿Con qué conocimientos cuentas? . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bloque I. Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Regla de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHIXQFLRQHV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Evaluación de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Dominio y rango de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bloque II. Aplicas funciones especiales y transformaciones
JUiÀFDV
Concepto de funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Función inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Función sobreyectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Función biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Función inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Función escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Función valor absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Función de identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3URSLHGDGHV\FDUDFWHUtVWLFDVGHODVWUDQVIRUPDFLRQHVJUi¿FDV . . . . . 63
Familia de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tabla de contenido

7. Bloque III. Empleas funciones polinomiales de grado cero,
uno y dos
Modelo general de las funciones polinomiales. . . . . . . . . . . . . . . . 75
5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVGHJUDGRVFHURXQR\GRV . . . . 76
&RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGRFHUR . . . . . 76
&RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGRXQR . . . . . . 79
&RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGRGRV . . . . . . 85
Bloque IV. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y
cuatro
Modelo matemático de las funciones polinomiales de grado tres
y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Propiedades geométricas de la función polinomial de grado tres . . . . .105
Propiedades geométricas de la función polinomial de grado cuatro . . . .106
Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a
una función polinomial de grado tres y cuatro . . . . . . . . . . . . . . . .108
&RPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQSROLQRPLDOHQIXQFLyQ
de los valores que toman sus parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Bloque V. Utilizas funciones factorizables en la resolución
de problemas
División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Método de división sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
Ceros y raíces de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
Teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
Teorema de factorización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVIDFWRUL]DEOHV . . . . . . . . . . . . . .140
Tabla de contenido

8. Tabla de contenido
Bloque VI. Aplicas funciones racionales
Funciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
Concepto de función racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
Dominio de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
Rango de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVUDFLRQDOHV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
Modelado y solución de problemas con funciones racionales . . . . . . .160
Bloque VII. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Concepto de función exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
Dominio y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
Función exponencial natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
Logarítmos comunes y naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
Logarítmos de otras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
Propiedades generales de los logarítmos . . . . . . . . . . . . . . . . .186
Concepto de función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
Dominio y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVORJDUtWPLFDV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
Bloque VIII. Aplicas funciones periódicas
Concepto de función trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
Periodicidad de las funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . 211
Función seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
Función coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

9. Gráficas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Función seno generalizada (senoidal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
Función coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
Función coseno generalizada (cosenoide) . . . . . . . . . . . . . . . . .230
Modelado y solución de problemas con funciones trigonométricas . . . .234
Glosario 242
Apéndice 242
Referencias bibliográficas 306
Tabla de contenido
Gráficas de funciones trigonométricas 216
Función seno generalizada (senoidal) 220
Función coseno 229
Función coseno generalizada (cosenoide) 230
Modelado y solución de problemas con funciones trigonométricas 234
Glosario 242
Apéndice 244
Referencias bibliográficas 306

11. 9
Como parte de la formación básica, se presenta la asignatura Matemáticas IV. Ésta
pertenece al campo disciplinar de las Matemáticas, que conforme al Marco Curri-
FXODU&RP~QWLHQHOD¿QDOLGDGGHSURSLFLDUHOGHVDUUROORGHWXSHQVDPLHQWROyJLFR
y crítico, mediante procesos de razonamiento, argumentación y estructuración de
LGHDVTXHIDFLOLWHQWXIRUPDFLyQFRPRFLXGDGDQRUHÀH[LYR\SDUWLFLSDWLYRHQIDWL]DQ-
do una perspectiva plural y democrática.
3DUDTXHHOUHVXOWDGR¿QDOUHVSRQGDDHVWDVH[SHFWDWLYDVWHQGUiVTXHHVIRU]DUWH
mucho en esta etapa de desarrollo, crecimiento y preparación para el futuro.
Te invito a que aproveches al máximo todo lo que te ofrece este texto, realizando
HMHUFLFLRVEXVFDQGRLQIRUPDFLyQUHOHYDQWHVREUHODFXDOUHÀH[LRQDU\DUJXPHQWDUR
comprendiendo lo que tu programa de estudios busca lograr con su propuesta. Tie-
nes la oportunidad de leer previamente, practicar, repasar para el examen, aclarar
tus dudas, entre muchas otras posibilidades.
Presentación general

12. 10

¿Qué es una competencia?
(QHOFRQWH[WRHGXFDWLYRXQDFRPSHWHQFLDVHGH¿QHFRPR³ODLQWHJUDFLyQGHKDEL-
OLGDGHVFRQRFLPLHQWRV\DFWLWXGHVHQXQFRQWH[WRHVSHFt¿FR´$FXHUGR6HFUH-
taría de Educación Pública, 2008).
(O%DFKLOOHUDWR*HQHUDOEXVFDFRQVROLGDU\GLYHUVL¿FDUORVDSUHQGL]DMHV\GHVHPSH-
ños, ampliando y profundizando el desarrollo de competencias relacionadas con el
campo disciplinar que promueve la asignatura Matemáticas IV. Por ello se busca
el desarrollo de las 11 competencias genéricas y se pondrá énfasis particular en
las que se resaltan en negritas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en
cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresio-
nes en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. (VFXFKDLQWHUSUHWD\HPLWHPHQVDMHVSHUWLQHQWHVHQGLVWLQWRVFRQWH[WRV
PHGLDQWHODXWLOL]DFLyQGHPHGLRVFyGLJRV\KHUUDPLHQWDVDSURSLDGRV
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia gene-
UDOFRQVLGHUDQGRRWURVSXQWRVGHYLVWDGHPDQHUDFUtWLFD\UHÀH[LYD
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. 3DUWLFLSDFRQXQDFRQFLHQFLDFtYLFD\pWLFDHQODYLGDGHVXFRPXQLGDG
UHJLyQ0p[LFR\HOPXQGR
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. &RQWULEX\HDOGHVDUUROORVRVWHQLEOHGHPDQHUDFUtWLFDFRQDFFLRQHVUHV-
ponsables.
Las competencias disciplinares, que son las habilidades que debes desarrollar y
lo que tienes que aprender dentro del campo del conocimiento y la asignatura, se
HQXQFLDUiQDOSULQFLSLRGHFDGDEORTXH\WHVHUYLUiQSDUDLGHQWL¿FDUWXDSUHQGL]DMH


Presentación general

13. 11
Inicio del bloque
Al inicio de cada bloque encontrarás una breve introducción para acercarte al conte-
nido, las competencia disciplinares y los desempeños que se obtendrán a partir de
las actividades y los productos de aprendizaje.
¿Cómo está estructurado este libro?

14. 12
Desarrollo del bloque
Esta parte es fundamental, aquí encontrarás el contenido general y disciplinar que
necesitas para acercarte intelectualmente al tema de las Matemáticas.

A lo largo del bloque se intercalan estrategias didácticas de aprendizaje, activida-
des acompañadas de imágenes, ejemplos, preguntas detonadoras y evaluaciones.
Todo esto estará relacionado con los contenidos y las competencias a desarrollar.
También encontrarás algunos apoyos de estudio como cápsulas con datos intere-
santes y cuadros al margen del texto para reforzar tu aprendizaje, por ejemplo:

¿Cómo está estructurado este libro?
1. Datos interesantes, que
faciliten la relación de los
contenidos con tu vida diaria.
2. Procedimientos, que
muestran la secuencia lógica
para llegar a soluciones.
12
1.Datos interesantes, que
faciliten la relación de los
contenidos con tu vida diaria.
2.Procedimientos, que
muestran la secuencia lógica
para llegar a soluciones.

15. 13
¿Cómo está estructurado este libro?
3. Imágenes, que te ayudarán
a la mejor comprensión de
conceptos.
4. Figuras, que te permitirán
realizar las actividades de
aprendizaje.
Imágenes, que te ayudarán
a la mejor comprensión de
conceptos.
Figuras, que te permitirán
realizar las actividades de
aprendizaje.

16. 14
¿Cómo está estructurado este libro?
Simbología que facilitará tu
proceso de aprendizaje
Diseño instruccional
3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Aprende más
Actividad de aprendizaje
Apoyos para reforzar el aprendizaje
Glosario
ReÁH[LRQHPRVVREUHODDFWLYLGDG
Sabías que...
9HULÀFDWXVORJURV
Portafolio de evidencias

17. 15
Cierre del bloque
Al terminar cada tema se ofrece un resumen y se propone una actividad que te permi-
ta evaluar qué tanto has avanzado y cuáles son tus áreas de oportunidad. Para este
¿QWHQGUiVTXHDQDOL]DULQYHVWLJDUUHÀH[LRQDU\DUJXPHQWDUVREUHORDSUHQGLGR
El libro incluye actividades de aprendizaje para que puedas autoevaluar tu desem-
SHxRHQHOORJURGHODVFRPSHWHQFLDV$O¿QDOL]DUFDGDDFWLYLGDGSXHGHVFRQVXOWDU
ODUHWURDOLPHQWDFLyQTXHVHHQFXHQWUDHQHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR7HQSUHVHQWH
que el trabajo realizado deberás asentarlo en una evidencia que irás recopilando en
tu cuaderno para que tu maestro pueda evaluarte.
Los contenidos y las actividades se presentan de una manera atractiva. Aprovecha
cada pregunta, el contenido, las actividades, ya que cada una incidirá en tu creci-
miento personal, familiar y social. Trabaja con tu profesor y con tus compañeros,
acércate a ellos, resuelvan dudas y aprendan juntos; date la oportunidad de cons-
truir con ellos este viaje. Esperamos que el curso sea interesante y fructífero.

¿Cómo está estructurado este libro?

18. 16
Evaluación diagnóstica
El propósito de esta sección es determinar los conocimientos, habilidades y actitu-
des en función de las expectativas planteadas en Matemáticas IV. Dependiendo de
ORVUHVXOWDGRVGHHVWDHYDOXDFLyQVHGH¿QLUiQODVHVWUDWHJLDVSDUDDFRUWDUODEUHFKD
entre tus conocimientos antecedentes y los necesarios para acceder a los nuevos.
Instrucciones (I):5HDOL]DODVUD]RQHVRMXVWL¿FDFLRQHVQHFHVDULDVSDUDUHVROYHUOR
que se solicita escribiendo los procedimientos completos en tu cuaderno de trabajo,
D¿QGHTXHVLUYDQFRPRHYLGHQFLDGHWXDQiOLVLV\VROXFLyQ
1. Escribe la respuesta correcta en el espacio correspondiente:
¿Con qué conocimientos cuentas?
Término
algebraico
&RH¿FLHQWH
numérico
Literal
Grado
absoluto Grado relativo a la
primera variable
23
7xy
2
3mn
32
7.5 a bc
2
x
5
xy
45
xy
3
3
ab
1
2
mn
233
10rs
5.75

19. 17
¿Con qué conocimientos cuentas?
2. Encuentra el valor de la expresión

para a íb = 3 y
c = 5
3. Encuentra el resultado del producto
4. Despeja la variable y de la expresión
5. Resuelve la ecuación
6LPSOL¿FDODIUDFFLyQ
Instrucciones (II): Subraya la respuesta correcta:
7. La ecuación

es de grado:
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1
8. La ecuación

factorizada es igual a:

Instrucciones (III): Realiza lo siguiente.
9. Determina la ordenada del punto P
1
(-1, y
1
) para que su distancia al punto
P
2
(7, 4) sea igual a 10 unidades.
10. Ordena los siguientes términos de forma descendente (de mayor a menor) por el
grado con respecto a la variable y: 30x
3
y
7
, 70xy
8
, 12x
5
y
3
íx
2
y
6
, x
4
y.
¿Con qué conocimientos cuentas?
51
4
3 2 12
a
c
cb



a íb = 3 y
7272xyxy
5
2
21
x
y


3 2 30 2xx x x
2
2
9
56
x
xx



2
3 21yx x


2
4 40xx

a)
1 40xx b) 4 10xx c) 2 20xx
d)
2 20xx
P
1
(-1, y
1
)
P
2
(7, 4)

y: 30x
3
y
7
, 70xy
8
, 12x
5
y
3
íx
2
y
6
, x
4
y.

21. Reconoces y realizas operaciones
con distintos tipos de funciones
Bloque I
Bloque I. Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de
funciones

22. 20
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Introducción
El desarrollo de esta asignatura establece los principios básicos que se requieren
para resolver situaciones cotidianas y que, a diferencia de las demás áreas de las
Matemáticas, se presentan de manera clara y repetitiva, es decir, están siempre a
nuestro alrededor en espera de que las analicemos y las resolvamos.
(OGHVDUUROORGHODFRPSHWHQFLDGLVFLSOLQDUTXHHVWDEOHFHTXHORVHVWXGLDQWHV³DQDOL-
]DQODVUHODFLRQHVHQWUHYDULDEOHV«´\HVSUHFLVDPHQWHHOWpUPLQR³UHODFLyQ´HOTXH
denota los elementos a estudiar en el presente bloque.
Si recuerdas, desde tu desarrollo más elemental has relacionado entidades a partir
GHVXVLJQL¿FDGR3RUHMHPSORFXDQGRFRPHQ]DEDVDOHHUDSUHQGLVWHTXHFDGDXQD
de las letras del abecedario se correspondía con un sonido llamado fonema.
En cuestión de las cosas que comes, desde muy pequeño estableces relaciones
entre los alimentos y el sabor que tienen; o, incluso, cuando comenzabas a jugar
con algunos objetos, estableciste el gusto por ellos y los relacionabas de acuerdo al
tiempo que jugabas con cada uno, de tal forma que determinaste tu juguete favorito.
/DJUi¿FDHVXQDGHODVIRUPDVPiV~WLOHVFRQODTXHSRGHPRVUHSUHVHQWDUVLWXDFLR-
nes que pueden recibir los nombres de funciones y relaciones, ya que describen vi-
sualmente todos los elementos que se pueden analizar de dichas situaciones, tales
como el dominio, el contradominio y la correspondencia de un modelo matemático
o fórmula.
Como comentamos al inicio, las relaciones entre entidades están presente en todo
momento y son el motivo que denota los elementos a desarrollar en el presente
bloque.
¿Qué entidades de tu entorno puedes representar en términos de una relación?
¿Cómo puedes representarla?

23. 21
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Bloque I
1. Relaciones.
2. Funciones.
• Regla de correspondencia.
• 5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHIXQFLRQHV
• Evaluación de una función.
• Dominio y rango de una función.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias
• Actividad de aprendizaje 1. Relación.
• Actividad de aprendizaje 2. Función.
• Actividad de aprendizaje 3. Regla de
correspondencia.
• Actividad de aprendizaje 4. Representación y
evaluación de funciones.
• Actividad de aprendizaje 5. Dominio y rango
de funciones.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
8
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos y variaciona-
les, para la comprensión y análisis de situacio-
nes reales, hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
• Analiza las relaciones entre dos o más varia-
bles de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
• Elige un enfoque determinista o uno aleatorio
para el estudio de un proceso o fenómeno, y
argumenta su pertinencia.
Competencias disciplinares que se
desarrollan
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?

24. 22
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Desde la niñez hemos aprendido a establecer relaciones con todos los elementos
que nos rodean. Por ejemplo, al probar las cosas ácidas, aprendiste si te gustan así
RVLSUH¿HUHVODVFRVDVGXOFHVWDPELpQGHWHUPLQDVWHVLODUHODFLyQGHOREMHWR\HO
color es necesaria en tus objetos personales, como la ropa, zapatos, etcétera.
I. Siguiendo la misma idea, asocia las imágenes y escribe una palabra que relacio-
nes directamente con ellas:
II. Ahora escribe una palabra que relaciones con lo siguiente:
III. En plenaria, o por equipos, comenten sus respuestas y establezcan lo siguiente:
1. ¿Cuáles son las similitudes y diferencias con las respuestas de tus compañe-
ros?

Abeja Vaca
Gallina Borrego

25. 23
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
2. ¿Cómo y por qué se relacionan los cuatro conceptos que se ilustran?
3. De los cuatro elementos que se mencionan, existe uno que no tiene relación di-
recta, ¿cuál es?, ¿por qué no se relaciona?
4. ¿Cuál es la relación directa de los primeros cuatro elementos? ¿Por qué?

Aprende más
Relaciones
La idea intuitiva de conjunto está relacionada con el concepto de agrupación o co-
lección de objetos; por ejemplo, cuando escuchamos un grupo de músicos tocando
juntos una melodía, decimos que se trata de un conjunto musical; a una agrupación
de casas construidas de manera similar podemos denominarla conjunto habitacio-
QDO'HHVWDPDQHUDVHSXHGHGH¿QLU

Conjunto
Elemento
Es el grupo o colección de personas, objetos, etc.
que tienen alguna característica en común.
Los conjuntos están formados por
elementos y es cada una de las
personas u objetos.
Para referirse a un
conjunto se utilizan
letras mayúsculas.
Para referirse
a un elemento
se utilizan letras
minúsculas.

26. 24
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones


.
Existen tres formas de representar a los conjuntos:
Por ejemplo: el conjunto de los colores primarios (rojo, azul, amarillo) puede repre-
sentarse por H[WHQVLyQ:
A = {rojo, azul, amarillo}

Por FRPSUHQVLyQ:
A = {[_[es un color primario}
En donde la línea _GHEHOHHUVHFRPR³WDOTXH´$VtORDQWHULRUUHSUHVHQWDDO³FRQMXQ-
to de x tal que xHVXQFRORUSULPDULR´
Por GLDJUDPDGH9HQQ: para representar conjuntos mediante un diagrama de Venn
primero debe indicarse quién es el conjunto universo, es decir, el conjunto que con-
tiene a todos los elementos con los que se va a trabajar (este conjunto puede variar).
3DUDUHSUHVHQWDUDOFRQMXQWR$HQXQGLDJUDPDGH9HQQSRGHPRVGH¿QLUHOFRQMXQWR
universo de la siguiente manera:
U = {[_[es un color primario}

El símbolo  sirve para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, por ejem-
plo: azul  AVHOHHFRPR³D]XOSHUWHQHFHDOFRQMXQWRA´
El símbolo UHSUHVHQWDDXQVXEFRQMXQWRGH¿QLGRFRPR³HVHOFRQMXQWRTXHTXHGD
FRPSUHQGLGRGHQWURGHRWUR´SRUHMHPSORHOFRQMXQWRA de los colores primarios es
un subconjunto del conjunto U = {todos los colores}, esto es AU.
Representación de
conjuntos
Extensión
Diagramas de
Venn
Comprensión
rojo
azul
amarillo
verde
magenta
A
U
Figura 1.1.

27. 25
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Figura 1.2.
27
Si analizamos los conjuntos:
A = {rojo, azul, amarillo}
B = {blanco, negro}
Cuando se consideran dos conjuntos y tomamos el primer elemento del conjunto
A: rojo, y formamos parejas que tengan como primer componente al rojo y como
segundo componente a cada uno de los elementos de B, y así sucesivamente,
repitiendo el procedimiento con el azul y amarillo, formamos un conjunto cuyos ele-
mentos sean todas estas parejas: (rojo, blanco), (rojo, negro), (azul, blanco), (azul,
negro), (amarillo, blanco), (amarillo, negro), a este conjunto se le llama producto
cartesiano de A y B.
Observemos que las parejas son ordenadas, es decir, no es lo mismo (rojo, blanco)
que (blanco, rojo), de modo que debemos colocar antes del símbolo ×, los primeros
componentes de las parejas pertenecientes al conjunto, así:
(rojo, blanco) ∈A × B
(blanco, rojo) ∈B × A
Un producto cartesiano A
× B puede representarse de la siguiente manera: en un
eje horizontal marcamos los elementos de A y en uno vertical, los de B. Se trazan
perpendiculares a los ejes a partir de cada una de estas marcas y el punto donde se
cortan representa a la pareja correspondiente, por ejemplo:
Se representa por
A × B
Se refiere al conjunto de parejas ordenadas
cuyo primer componente pertenece al conjunto
A y el segundo al B.
Por extensión se representa así:
A x B = {(rojo,blanco),(rojo,negro),(azul,blanco),(azul,negro),(amarillo,blanco),(amarillo,negro)}
Figura 1.2.
B
A
α
β
δ
ε
a b c d
(a, α)

28. 26
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Si comparamos con el conjunto A × B vemos que son las mismas parejas ordena-
das. También podemos obtener el producto cartesiano de un conjunto con él mismo.
Como ejemplo podemos considerar las estaciones del año y le llamaremos A:
A = {primavera (p), verano (v), otoño (o), invierno (i)}

El producto cartesiano de A × A está dado por:
A = {(p, p), ( p, v), (p, o), (p, i), (v, p), (v, v), (v, o), (v, i), (o, p), (o, v), (o, o), (o, i),
(i, p), (i, v), (i, o), (i, i)}
3XHGHD¿UPDUVHTXHVHDVRFLDQWRGRVORVHOHPHQWRVGHA con ellos mismos. Un
caso importante es cuando se considera al conjunto de los números reales (^) y su
producto cartesiano con él mismo (^, ^). Este producto cartesiano ^ × ^ genera el
plano, ya que sus elementos son todas las parejas (x, y) de números reales (absci-
sas, ordenadas), es decir:
2EVHUYDTXHDGLIHUHQFLDGHOHMHPSORGHOD¿JXUDHVWHFDVRSRVHHXQDLQ¿QLGDG
de elementos, ya que el conjunto ^ HVLQ¿QLWR

Actividad de aprendizaje 1
Instrucciones: En equipos resuelvan lo siguiente, escriban el desarrollo en su cua-
GHUQR\YHUL¿TXHQFRQRWURVHTXLSRV
I. Problemas.
1. ¿Qué obtendrías al relacionar los elementos de ^ con ^ mismo?

2. Considera el punto Aí(QFXHQWUDODVFRRUGHQDGDVGHOSXQWR%DJUHJDQGR
1 a la abscisa del punto A y 2 a su ordenada. Representa el punto sobre el plano
cartesiano. Aplicando la misma regla (sumar 1 a la abscisa y 2 a la ordenada),
encuentra ahora los puntos C y D y así sucesivamente. Escribe la secuencia de
los puntos A, B, C,…, F. ¿Cómo pasas de un punto al subsecuente? ¿Cuál es la
coordenada del punto L? Explica cómo determinar las coordenadas del punto P
y ¿cuál es el modelo matemático para relacionar los puntos obtenidos?
\ × \ = {([\_[\, y\}

29. 27
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones

Para verificar los logros obtenidos en esta actividad y realizar tu autoevaluación
consulta el apéndice al final del libro.
Guarda el desarrollo y solución de esta actividad en tu portafolio de evidencias.
Aprende más
II. De forma individual, realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
3. Dar tres ejemplos de conjuntos:
a) Representarlos en las tres formas.
b) Utiliza los conjuntos para dar un subconjunto de cada uno de ellos.
4. Obtener los siguientes productos cartesianos si A = {2, 5} y B = {0, 4, 9}:
a) A × B
b) A × A
c) B × B

5. Escribe un problema y represéntalo gráficamente con cualquiera de las formas
estudiadas.
Las expresiones simbólicas, así como el sig-
nificado de la relación entre las abscisas y
las ordenadas de los puntos en la secuen-
cia, son importantes.
Anteriormente vimos que el plano cartesiano
es una representación de  × , es decir,
que contiene a todos los puntos cuyas coor-
denadas sean números reales. De esta ma-
nera podremos estudiar a los subconjuntos
de  × , los cuales toman formas diversas.
Un ejemplo es una curva (figura 1.3).
Figura 1.3. Plano cartesiano.
Subconjunto del
plano cartesiano

30. 28
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
A las rectas que forman el plano se les llama ejes: el horizontal es el eje X y el verti-
cal, Y. Para comenzar se establecerán relaciones entre los elementos de X y Y.
En la vida cotidiana, para comprender y organizar el entorno que nos rodea asocia-
mos objetos o elementos que presentan alguna característica común. Seguramente
has escuchado frases como depende de… o en función de…
Por ejemplo:
• A cada libro le corresponde un número total de páginas.
• Los resultados obtenidos en los exámenes están relacionados con el tiempo
dedicado a estudiar.
• A cada persona le corresponde una fecha de nacimiento.
• La distancia recorrida por un vehículo con su velocidad o el consumo de gasoli-
na.
Existen muchas formas de describir una relación, por ejemplo:
• Una oración: a cada número natural menor que 5 se le asocia su doble.
• Un diagrama:
• Una tabla:
x 1234
y 2468
• Parejas ordenadas:
{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}
• Ecuación: y = 2x
Una relación es el subconjunto de un producto cartesiano formado por los
HOHPHQWRVGHpVWH~OWLPRQRUPDOPHQWHGH¿QLGRSRUXQDUHJODROH\GDGD7DOHV
elementos se denotan como (x, y\VLJQL¿FDTXHx está relacionado con y.
1
2
3
4
2
4
6
8

31. 29
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
• *Ui¿FD
Todas las formas anteriores representan la misma relación.
Un ejemplo de relación es sean A = {1, 5, 7} y B = {4, 8}, su producto cartesiano es:
GHDFXHUGRFRQODGH¿QLFLyQGHUHODFLyQFRQVLGHUHPRVODUHJOD³A menor que B´
entonces analicemos qué parejas de A × B tienen como primer elemento un número
menor que el del segundo. Se observa que son (1,4),(1,8),(5,8),(7,8). El subconjun-
to formado por estas parejas es una relación R = {(1,4),(1,8),(5,8),(7,8)}
La representación de esta relación es la siguiente:
Los conjuntos relacionados reciben nombres especiales:
1
5
7
4
8
Dominio de la relación
Es el conjunto formado
por los primeros
componentes de las
parejas que pertenecen a
la relación.
En la relación anterior el
dominio es A.
Contradominio o codominio
6HUH¿HUHDOFRQMXQWRDOFXDO
pertenecen los segundos
componentes de las parejas
contenidas en la relación.
En la relación anterior, B es el
codominio.
Es importante señalar que en
algunas relaciones no se utilizan
todos los elementos del codominio
y los que se utilizan forman un tipo
de conjunto llamado:
Rango o conjunto
imagen
Es el conjunto formado
por los primeros
componentes de las
parejas que pertenecen a
la relación.
En la relación anterior el
dominio es A.
AB

32. 30
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
3RUHMHPSORHQODUHODFLyQGHOD¿JXUDVHWLHQHTXH
C = {0,1,2} : Dominio
D = {0,1,2,3,4} : Codominio
0, 1, 2 : Argumentos
E = {0,2,4} : Rango
0, 2, 4 : Imágenes
Funciones
Para iniciar a estudiar este tema te invitamos a realizar lo siguiente: en equipos
construyan una caja rectangular sin tapa, que sirva para guardar diversos objetos.
Cada equipo diseñará una caja diferente. Dispones de una hoja de papel tamaño
carta cuyas dimensiones son 21.6 cm de ancho por 27.9 cm de alto.
1. Recorta en las esquinas de ella cuadrados de x = 1, 2, 3, 4, 5, ... 10 cm de lado,
VHJ~QORLQGLTXHHOPHGLDGRUGHOJUXSR¿JXUD

2EWHQGUiVXQDVXSHU¿FLHFRPRODTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD

'REODODVSHVWDxDVSDUDIRUPDUODFDMDUHFWDQJXODU¿JXUD

(OSURGXFWR¿QDOVHUiFRPRVHPXHVWUDHQ¿JXUD

0
1
2
0
1
2
3
4
CD
Figura 1.4.
Figura 1.5. Figura 1.6. Figura 1.7.
Figura 1.8.

33. 31
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Determina los siguientes datos:
1. Altura de la caja: ___________ cm; largo de la caja: ___________ cm; ancho
de la caja: ___________ cm.
2. Área de la base: ____________ cm
2
, Áreas laterales: ___________ cm
2
,
___________ cm
2
, ___________ cm
2
, ___________ cm
2
.
3. Área total de la caja:
4. Volumen de la caja: ___________ cm
3
Cada equipo dictará sus resultados y llenarán la siguiente tabla para formar pares
ordenados (área, volumen) y analizar los resultados.
x Área Volumen (Área, volumen)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
¿Cuál es el máximo valor que puede tomar x y por qué?
¿Existe un valor máximo y un valor mínimo para el volumen de la caja? ¿De qué
dependen esos valores?

34. 32
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Una función es una relación tal que cada elemento del dominio está relacionado con
uno y sólo un elemento del codominio. Por ejemplo, si f es una función con dominio
A y codominio B, su representación es:
f : A:B
(se lee "f" va de "A" a "B")
En cuanto a la notación de una función, la imagen de un argumento x bajo una fun-
ción f se denota como y = f(x), y se lee "y" igual a "f" de "x". Analicemos el siguiente
GLDJUDPD¿JXUD
f : A:B es una función, ya que cada elemento del dominio (A) está relacionado con
un único elemento del codominio (B). Así,
f (1) = 1
f (2) = 4
f (3) = 9
f(4) = 16
f (5) = 25
Otro ejemplo, es que en la vida real sabes que la cantidad de hierro contenida en un
fruto depende del tipo de fruto seleccionado. Así, una fresa contiene 1 mg de este
mineral, en tanto que una aceituna contiene 1.6 mg.
x fruto
(pieza)
Aceituna
Ciruela
pasa
Higo
seco
Lima Pera Cereza
y hierro
(mg)
1.6 3.9 4.0 0.4 0.5 0.5
La relación (x, y) = (fruto, cantidad de hierro) es una función. En cambio, la relación
(y, x) = (cantidad de hierro, fruto) no es una función, ya que en este caso, a una
misma cantidad de hierro, por ejemplo 0.5 mg, le corresponde más de un fruto.
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
AB
Figura 1.9.

35. 33
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Actividad de aprendizaje 2
Instrucciones (1): A partir de las reglas de correspondencia encuentra el codominio
e indica si se trata de una función o de una relación.
a)
b)
1
2
3
4
5
6
CD
Figura 1.10
Función
1
2
3
4
16
í
í
CD
Figura 1.11.
Función
I(x) = x
2
+ 5
I(1) = (1)
2
+ 5 = 6
I(2) =
I(3) =
I(4) =
I(5) =
I(x) =
5x
I(1) = 15r

=
15r
I í\I í
I(2) =
I(3) =
I(4) =
I(16) =

36. 34
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones

Para verificar los logros obtenidos en esta actividad y realizar tu autoevaluación
consulta el apéndice al final del libro.
Guarda el desarrollo y solución de esta actividad en tu portafolio de evidencias.
Aprende más
c)
f (x) = x − 3
f (7) = 7 − 3 = 4
f (8) = −4
f (9) =
f (10) =
d)
Los botones y ojales de una prenda de vestir se rela-
cionan de modo que, en la forma ordinaria del uso de la
prenda, a cada botón le corresponde sólo un ojal.
Instrucciones (2): Responde en tu libreta o cuaderno cuál de las siguientes relacio -
nes son funciones. Si es posible, determina el dominio y el rango.
a) {(0, 2), (1, 3), (0, 4), (3, 5)}
b) {(−1, 2), (−2, 3), (−4, 5), (−5, 5)}
c) {(−1, 8), (0, 8), (1, 8)}

Una manera de denotar una función es como el subconjunto de un producto carte-
siano  = {(x, y) | y = f(x)}, pero la notación más común es y = f(x), esta expresión
se lee como: "y" es igual a "f" de “x” y representa el valor que f asigna a la variable
7
8
9
10
4
C D Función
Función

37. 35
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
xHVWRVLJQL¿FDTXHHOYDORUGHODYDULDEOHy depende y está determinado exclusiva-
mente por el valor de x.
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre
sí, en donde al primero se le llama dominio y al otro contradominio. Esta regla no
permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos elementos del contrado-
minio o codominio.
Regla de correspondencia
La función es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos
llamados dominio y rango.
Algunas de las fórmulas que conocemos tienen las características de la función. En
una relación entre números reales, se presentan dos tipos de cantidades: constan-
tes y variables.
Por ejemplo:
a) El área A de un triángulo está dada por su base b y altura h, mismas que son las
variables, mientras que el 2 siempre tiene el mismo valor, es una constante:
b) El volumen V de una esfera depende de su radio r. Esta relación está dada por
la ecuación:
Para expresar estas fórmulas como función, vamos a escribirlas en la forma y = f(x).
En la siguiente página encontrarás una tabla con algunas fórmulas expresadas en
forma de función y la explicación de la relación de sus variables.
Una función es una regla de asociación entre dos conjuntos que relaciona a cada
elemento del primer conjunto con uno y sólo un elemento del segundo.
Una constanteHVXQVtPERORTXHUHSUHVHQWDXQYDORU¿MRPLHQWUDVTXHXQD
variable es un símbolo que puede representar diferentes valores.
bh
A
u

2

r
VrS

3
4
3

38. 36
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Fórmula Función Variables Ley de relación
l Elevar al cuadrado el valor de l.
b, h
Multiplicar las variables y dividir
entre 2.
d, t Dividir las variables.
h
Raíz cuadrada del producto de las
constantes 2 y g por h.
p Dividir la constante entre p.
r
Elevar al cuadrado la variable y
multiplicar por ?.
Actividad de aprendizaje 3
Instrucciones: En equipos formados por el mediador del curso, resuelvan los
VLJXLHQWHV SUREOHPDV GHVDUUROOHQ VX UHVSXHVWD \ YHUL¿TXHQ FRQ RWURV HTXLSRV
Expresen los siguientes enunciados como una función. Reconozcan sus variables,
constantes, la fórmula y la ley de relación.
1. El área de un rectángulo de largo igual al doble del ancho, en términos de uno
de sus lados.
2. El área de las caras laterales de un cubo, en términos del lado.
3. El área de un triángulo equilátero, en términos del lado.
4. El volumen de un cilindro de altura igual al triple del radio en términos del radio.
5. Una caja cerrada de base cuadrada y con un volumen de 240.
Tabla 1.1. Fórmulas expresadas en forma de función y = f (x)
Al
2 A fl
bh
A
u

2
A f bh ,
d
v
t

v f dt ,
v gh 2 v fh
c
v
p

v fp
Ar
S
2
A fr

39. 37
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones

Para verificar los logros obtenidos en esta actividad y realizar tu autoevaluación
consulta el apéndice al final del libro.
Guarda el desarrollo y solución de esta actividad en tu portafolio de evidencias.
Aprende más
Representación gráfica de funciones
Figura 1.12.
Para graficar una función usamos un sistema coordenado cartesiano, en el cual
localizamos los pares ordenados (puntos en el plano cartesiano).
Para trazar la gráfica de una función, primero determinamos un número suficiente
de puntos cartesianos, cuyas coordenadas la satisfagan, y después los unimos con
una curva o una recta para así determinar su comportamiento.
La gráfica es una de las formas más útiles con la que podemos representar funcio-
nes y relaciones, ya que describen visualmente tanto el dominio, el contradominio y
la correspondencia de una función o relación.
También ayuda a determinar si la correspondencia es una función o relación al tra-
zar rectas verticales sobre toda la gráfica. Si los trazos tocan en un solo punto a la
gráfica, significa que tenemos una función. En caso de que cualquiera de las verti-
cales toque en dos o más puntos, entonces es una relación pero no una función. A
esto se le conoce como la prueba de la recta vertical.
Por ejemplo, la circunferencia trazada en el plano cartesia-
no. ¿Se podrá considerar como una función? Observa que
al trazar la recta roja, ésta toca en dos puntos a la curva,
por lo tanto la circunferencia no es una función.
El número de pares ordenados que permiten obtener una
representación correcta de la gráfica depende de la fun-
ción de que se trate; para cierto tipo de funciones basta
determinar dos o tres pares ordenados, en otros casos se
requieren una gran cantidad de ellos.

40. 38
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Existen ciertos pares ordenados característicos que facilitan la construcción de la
JUi¿FD(VGHFLUORVSXQWRVVLORVKD\GRQGHODJUi¿FDGHXQDHFXDFLyQFRUWDDORV
ejes coordenados se llama intersecciones con los ejes.

Evaluación de una función
(OSURFHVRUHDOL]DGRSDUDREWHQHUSXQWRVGHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQVHOODPD
evaluar una función, en general, para evaluar una función y = f (x) se sustituye el
YDORUGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVREUHODUHJODGH¿QLGDSRUODIXQFLyQse puede
evaluar con números reales y en forma algebraica. Debemos tener mucho cuidado
cuando evaluamos una función, puesto que el valor debe pertenecer al dominio de
ésta. Por ejemplo:
Figura 1.13. Intersecciones con los ejes.
• La intersección en Y es el valor de y
cuando x = 0
• La intersección en X es el valor de x
cuando y = 0
&RQUHVSHFWRDOJUi¿FRGHOD¿JXUDE
representa la intersección en y, mientras que
"a" representa la intersección en x.

fx
x

1
HVWiGH¿QLGDSDUDWRGRxz0, por lo que I QRHVWiGH¿QLGR
(MHPSORGHHYDOXDFLyQQXPpULFD

fx x
Si
xt0 el contradominio está en los números reales. Así, si x 4

f 4 42

si
x0, el contradominio está en los números complejos.
Por lo tanto, si x 4, entonces

fi 4 42
(MHPSORGHHYDOXDFLyQDOJHEUDLFDGHXQDIXQFLyQ
Si

fx x
2
32

evaluar cuando xab
La solución es fab ab a ab b
2
22
3 23632

41. 39
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Actividad de aprendizaje 4
Instrucciones: Completa con las diferentes representaciones de las siguientes fun-
ciones.
)XQFLyQ7DEOD3DUHVRUGHQDGRV*Ui¿FD
a)
b)
xy
15
2 10
3 15
4 20
G = {(1,1),(-1,1),
(2,4),(-2,4)}

42. 40
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
)XQFLyQ7DEOD3DUHVRUGHQDGRV*Ui¿FD
c)
d)
H 8WLOL]DODSUXHEDGHODUHFWDYHUWLFDO\GHWHUPLQDFXiOHVGHODVVLJXLHQWHVJUi¿FDV
corresponden a una función.
I II III
yx3
fx x 2

43. 41
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
I 8WLOL]DODSUXHEDGHODUHFWDYHUWLFDO\GHWHUPLQDFXiOHVGHODVVLJXLHQWHVJUi¿FDV
corresponden a una función.

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

I II III
g) Para cada función, evaluar


1
2 , , , 4 y f fa b f f f t
x
§·

¨¸
©¹
‡

2
33fx x x
‡

3fx x
‡

1
3
x
fx
x



‡

2
1
3
xx
fx
x

44. 42
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Dominio y rango de una función
Como ya se vio anteriormente, los valores del dominio se colocan sobre el eje X.
Los valores del rango se colocan sobre el eje Y.

(OVLJXLHQWHDQiOLVLVHVSDUDHMHPSOL¿FDUDOJXQRVSURFHGLPLHQWRVSDUDREWHQHUHO
dominio y el rango de algunas funciones.
Por ejemplo, en una función como f (x) = 3x + 2 el dominio es {x
^}, es decir, en
LQWHUYDORVí’’QRLPSRUWDTXpQ~PHURVVHVXVWLWX\DQHQODIXQFLyQDOJHEUDLFD
pVWDVLHPSUHWLHQHVHQWLGR\ODUHSUHVHQWDFLyQJHRPpWULFDGHODIXQFLyQHVLQ¿QLWD
sin interrupciones.
Si una función tiene la variable en el denominador, se excluyen del denominador
aquellos valores de x que hacen cero al denominador. Por ejemplo:
Figura 1.16.
Figura 1.14. Figura 1.15.
Dominio
Rango eje Y

fx
x

1
Dominio
x\, pero xz0, esto indica que x 0 no está en el dominio, en
intervalos
f f*,0 0,

45. 43
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Su representación geométrica es:

2EVHUYDTXHODJUi¿FDHVLQ¿QLWDSHURQXQFDWRFDUiDOHMH<TXHUHSUHVHQWDDOYDORU
de x = 0.
/RVYDORUHVTXHKDFHQDXQDIXQFLyQLQGH¿QLGDSRUTXHHOGHQRPLQDGRUVHFRQYLHUWH
a cero se llaman asíntotas y pueden ser líneas rectas o curvas a las que se aproxima
RWUDFXUYDFRPRJUi¿FDGHGHWHUPLQDGDIXQFLyQVLQOOHJDUDWRFDUODSRUPiVTXH
se acerque.
Ahora, analicemos la siguiente forma de una función racional:

Figura 1.17.
Figura 1.18.
Observa que la línea de color
azul representa el valor indeter-
minado de la función, es decir, a
la asíntota x íTXHHVHTXL-
valente a x + 3 = 0.



px
fx
gx

Las raíces del numerador S(x) son raíces de la función I(x) y las raíces del denomi-
nador J(x) son asíntotas o indeterminaciones de la función I(x).
Entonces, si deseáramos hallar el dominio de la función
x
y
x



1
3
, dominio
x\
excepto x 3 (asíntota):

46. 44
B
loque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Sabes que los intervalos se utilizan con mucha frecuencia en las funciones para
determinar los dominios, entonces, se tiene que los intervalos son una forma de
representar números reales. Se les puede asociar directamente a desigualdades de
números reales de la siguiente manera:
Una manera simple de observarlos consiste en el tipo de símbolo empleado para
delimitar; el paréntesis no incluye al límite indicado, mientras que el corchete sí lo
incluye en el conjunto.

Actividad de aprendizaje 5
Instrucciones: En equipos, establezcan el dominio y la imagen de las siguientes
IXQFLRQHV(VFULEDQHOGHVDUUROORHQVXVFXDGHUQRVGHWUDEDMR\DO¿QDOL]DUYHUL¿-
quen los resultados con los demás equipos.

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

‡ 6Laxb, entonces el intervalo para x es (a, b); es un intervalo abierto.
‡ 6L
axbd, entonces el intervalo para x es [a, b); es un intervalo semiabierto
por la derecha.
‡ 6L
axbd, entonces el intervalo para x es (a, b]; es un intervalo semiabierto
por la izquierda.
‡ 6L
axbdd, entonces el intervalo para x es [a, b]; es un intervalo cerrado.
1.
fx x x
2
35
2.

fx x 3
3.

fx
x


4
2
4. xy y x Ÿ r
22 2
99
5.

fx x
2
4
6.
x
fx
x



2
25
5
7.

xx
fx
x



2
2 73
3
8.

xx
fx
x



2
43
1
9.
xx
fx
xx



2
2
( 4)( 3)
6
10.

fx
x


2
1
1

47. 45
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
Cierre del bloque I
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
Al inicio de esta sección se presentaron situaciones en las que se incluyó el concep-
to de relación. A lo largo del texto se han abordado los conceptos básicos al respec-
to de las relaciones y funciones. Siendo que estas últimas son el motivo principal del
presente material, realiza una síntesis en la que describas las ventajas de conocer
los elementos de relaciones y funciones descritos y como los aplicarías para mejo-
rar determinadas situaciones.
Es importante considerar que el trabajo de funciones es extenso y, en ocasiones,
por la teoría formal se vuelve un tanto complejo; sin embargo, puedes comenzar con
las bases respecto a qué elementos de una función debes conocer, si existe alguna
forma de organizarlas y, en general, los elementos aplicables a ellas. Integra todo lo
DQWHULRUDWUDYpVGHXQDLQYHVWLJDFLyQFX\RSURSyVLWRVHDLGHQWL¿FDUODLPSRUWDQFLD
de trabajar adecuadamente con funciones de cualquier tipo.
Autoevaluación
Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios y encuentra las soluciones. Realiza las
DQRWDFLRQHVQHFHVDULDVHQWXFXDGHUQRFRQRUGHQ\OLPSLH]D5HJLVWUD\UHÀH[LRQD
tus respuestas para que después las comentes con tus compañeros de clase.
I. Realiza en tu cuaderno un mapa conceptual con los aspectos más importantes
sobre relaciones y funciones.

II. Empieza un glosario con los términos más importantes del bloque I.
,,,5HDOL]DXQDSUHVHQWDFLyQJUi¿FDTXHH[SOLTXHORVVLJXLHQWHVSXQWRV
• Noción de relación y noción de función.
• Distintas formas de representar una función.
• Dominio y rango de una función.
• ¿Cuál es la característica que debe tener una relación para que sea función?
‡ (VFULEDQXQDUHÀH[LyQDFHUFDGHORDSUHQGLGR\UHDOL]DGRKDVWDHOPRPHQWR

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

49. Bloque II
Aplicas funciones especiales y
WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
Bloque II. Aplicas funciones especiales y transformaciones gráficas

50. 48
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
Introducción
Hasta ahora se han desarrollado las características y conceptos de relaciones y fun-
ciones, así como de las diferentes operaciones que se pueden realizar entre éstas.
En este bloque consideraremos ciertos tipos de funciones especiales, así como su
aplicación en diferentes ramas del saber.
Desde que conocimos las operaciones aritméticas básicas hemos considerado que
tienen cierto orden o relación entre ellas; por ejemplo, y con respecto a nuestro ob-
jetivo, cada una de estas operaciones básicas tiene una operación que llamamos
LQYHUVDORFXDOUHDOL]DORFRQWUDULRR³GHVKDFH´ORTXHODRSHUDFLyQDQWHULRULQGLFD
0iVHVSHFt¿FDPHQWHODRSHUDFLyQFRQWUDULDRLQYHUVDGHODVXPDHVODUHVWD\DVt
de modo contrario (la operación contraria a la resta es la suma); por lo tanto, se dice
que la suma y la resta son operaciones inversas. Así ocurre con la multiplicación y
la división; lo mismo se cumple en la potenciación y la radicación. Estos conceptos
de operaciones inversas se pueden aplicar también a las funciones, de ahí que es-
tudiemos las funciones inversas o también llamadas funciones recíprocas.
Para ir comprendiendo el concepto de inversa, te propongo analizar la siguiente
serie de operaciones:
Para el caso de a), supón que el número inicial es el 3, y para el de b) es 9. Después
GHXQDVHULHGHRSHUDFLRQHVHQHOSULPHULQFLVRVHREWXYRHOUHVXOWDGRíHQHO
VHJXQGRFDVR(QODSULPHUDUHODFLyQORTXHVHUHDOL]ySDUDREWHQHUíDSDUWLU
del número 3 fue: sumarle 4, dividir esa suma entre 5 y restarle 6 al resultado de la
división. La cuestión en este inciso es tratar de realizar las operaciones inversas, uti-
OL]DQGRORVYDORUHV\SDUDTXHDSDUWLUGHOYDORUíYDORU¿QDOREWHQJDPRV
el valor 3 (valor inicial). Como se trata de aritmética básica, seguramente podremos
realizar las operaciones inversas mentalmente. El resultado para este proceso será,
HQWRQFHVíí
Observemos que se aplicaron las operaciones aritméticas inversas para llegar al
resultado buscado, el 3.
Ahora contesta las siguientes preguntas: ¿qué ocurrirá si a este valor de 3, que
obtuvimos con las operaciones inversas, le realizamos de nuevo las operaciones
aritméticas originales, es decir, que valor se obtendrá? ¿Existirá relación entre las
operaciones inversas? En el caso de b), ¿cómo serán las operaciones inversas?

b) 953 6

(número inicial: 9)a)
34
6 4.6
5



(número inicial: 3)

51. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
49
Bloque II
1. Concepto de funciones especiales.
• Función inyectiva.
• Función sobreyectiva.
• Función biyectiva.
2. Función inversa.
3. Función escalonada.
4. Función valor absoluto.
5. Función constante.
6. Función de identidad.
7. Propiedades y características de las
WUDQVIRUPDFLRQHVJUi¿FDV
• Familia de rectas.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias
• Actividad de aprendizaje 1. Funciones inversas.
• Actividad de aprendizaje 2. Función escalonada.
• Actividad de aprendizaje 3. Transformaciones
JUi¿FDV
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
8
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos y variaciona-
les, para la comprensión y análisis de situacio-
nes reales, hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
• Analiza las relaciones entre dos o más varia-
bles de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
• Elige un enfoque determinista o uno aleatorio
para el estudio de un proceso o fenómeno, y
argumenta su pertinencia.
Competencias disciplinares que se
desarrollan
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?

52. 50
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
En algunos países las temperaturas se manejan en grados Fahrenheit y en otros
HQJUDGRVFHQWtJUDGRV6LWHQHPRVSRUHMHPSORODJUi¿FDTXHFRUUHVSRQGHDOD
función f (x) = 1.8x + 32
Esta función permite convertirde grados centígrados a grados Fahrenheit. De esta
manera, el eje de las ordenadas representa los Fahrenheit y el de las abscisas los
centígrados.
6LDQDOL]DPRVODJUi¿FDGHHVWDIXQFLyQLGHQWL¿FDPRVTXHHVXQDIXQFLyQLQ\HFWLYD
o uno a uno. Si le aplicamos la prueba de la vertical descubrimos que tocará en un
VRORSXQWRDODJUi¿FD'HHVWDPDQHUDVHSXHGHQREVHUYDUHQODJUi¿FDORVYDORUHV
de la siguiente tabla:
*UDGRV
FHQWtJUDGRV
*UDGRV
)DKUHQKHLW
03 2
í 14
&DGDXQRGHORVYDORUHVGHODIXQFLyQSXHGHFDOFXODUVH\DVtLGHQWL¿FDPRVHOYD-
lor de los centígrados en Fahrenheit. ¿Pero cómo logramos convertir de grados
Fahrenheit a centígrados? Para dar respuesta a la pregunta anterior es necesario
conocer los conceptos de las funciones especiales y en particular la función inversa.

Figura 2.1.

53. Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
51
Figura 2.4. Función escalonada.
Aprende más
Concepto de funciones especiales
Figura 2.2. Función continua. Figura 2.3. Función discontinua.Figura 2.4. Función escalonada.
Las funciones especiales se clasifican en:
Funciones explícitas. La variable dependiente está despejada. Ejemplo: y = f (x).
Funciones implícitas. La función está dada por una ecuación; es decir, la variable
dependiente no está despejada. Ejemplo: x
2
y − 4y = 2
Funciones continuas. Su gráfico no presenta ningún punto aislado, saltos o interrup-
ciones. Todas las funciones polinomiales son continuas.
Funciones discontinuas. Presentan saltos o interrupciones. Todas las funciones ra-
cionales son discontinuas para todos los valores de x que hacen cero el denomina -
dor.
Funciones escalonadas. Existen funciones que se definen a través de intervalos
cuyo dominio es (−∞,∞), sin embargo, no son continuas.
Funciones crecientes. Una función f es creciente sobre un intervalo en R. si para
cualquier valor x
1
y x
2
en R donde x
1
< x
2
, se tiene que f(x
1
)< f(x
2
), los valores de la
función se incrementan (figura 2.4).
Funciones decrecientes. Una función f es decreciente sobre un intevalo R si, para
cualquier x
1
y x
2
en R, donde x
1
> x
2
se tiene que f(x
1
) > f(x
2
), es decir, los valores de
una función disminuye (figura 2.5).
Figura 2.2. Función continua. Figura 2.3. Función discontinua.

54. 52
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
B
loque II
Función inyectiva
Método de línea horizontal para identificar si la función es inyectiva
Figura 2.7.
Una función f es inyectiva, univalente o uno-uno si y sólo si cada f (x) en el recorrido
es la imagen de exactamente un único elemento del dominio; es decir, es función
inyectiva si cada elemento del dominio tiene una imagen diferente en forma general:
f (x
1
) = f (x
2
) lo que implica que x
1
= x
2
Ejemplo:
El método de línea horizontal se utiliza para saber si una función es inyectiva o no.
Por ejemplo, si tenemos la función f (x) = 2x
2
+ x + 1, necesitariamos comprobar si
la recta horizontal f(x) = 4 corta la gráfica de la función en dos puntos. Observa la
figura 2.8.
La función f(x) = 2x
2
+ x + 1 no es inyectiva, porque la recta horizontal f(x) = 4 corta
a la gráfica de la función en dos puntos (figura 2.8). Por el contrario, con una función
como p(x) = x
3
− 1 se observa que la función f(x) = 4 corta la gráfica en un solo punto
(figura 2.9), por lo que la función sí es inyectiva.
A B
Figura 2.7.
Figura 2.6. Función decreciente.Figura 2.5. Función creciente.

55. Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
53
Función sobreyectiva
Función biyectiva
M N
N en M.
Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si cada elemen-
to de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.
Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva si y sólo si f es sobreyectiva
e inyectiva a la vez.
Una vez definidas las funciones inyectiva, sobreyectiva e inyectiva, podemos aplicar
estos conceptos a las funciones f(x), a qué clasificación pertenecen. Por ejemplo,
sean los conjuntos M = {p, q, r} y N = {1, 2, 3} para los cuales se definen las siguien-
tes funciones:
A B
Figura 2.8.
p
q
r
1
2
3
M N
Figura 2.9. Función biyectiva de N en M.
f
Figura 2.8. Figura 2.9.
f(x) = 2x
2
+ x + 1
f(x) = 4
f(x) = 4
p(x) = x
3
− 1

56. 54
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
Función inversa
Sabemos que existen funciones inversas: suma-resta; producto-cociente; radica-
ción-potencia; logaritmo-exponencial. Se expresan así:
La palabra inversa en álgebra tiene el mismo sentido de la palabra inversa en la vida
FRWLGLDQDHVGHFLU³ORFRQWUDULRGH´³ORRSXHVWRGH´
Una forma práctica de expresar una función inversa es intercambiar el dominio y el
rango de una función. La función inversa se expresa como f
í
(x\VHOHH³LQYHUVD
de f ´\VHUHSUHVHQWDFRPRf
í
: B:A.
Considerando una función f que tiene por dominio un conjunto A y por codominio
un conjunto B, entonces se llamará función inversa de f, a aquella función que tiene
como dominio B y por codominio al conjunto A. Denotaremos a la función inversa
como f
í
(y) = x y su diagrama es:
El proceso para encontrar la función inversa de otra dada es el siguiente:
• Se despeja la variable x de la función original, para la función inversa, esa es la
variable dependiente.
• Se intercambia la variable x por y.
• La ecuación resultante corresponde a la función inversa de la expresada.
:
:
:
8
8
8
A f B A f
í1
B
Figura 2.10.
f
Función f Función f
í1
Suma–resta: ac b bc a Ÿ
Producto-cociente:
b
ac b a
c
u Ÿ
Radicación-potencia:
2
ab b a Ÿ
Logaritmo-exponencial:

b
In a b e a Ÿ

57. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
55

Ejemplo 1: Obtener la función inversa de 21yx
Solución:
Ejemplo 2: Obtener la función inversa de
1
1
y
x


Solución:
Ejemplo 3: Calcular la inversa de la función inyectiva ( ) 1.8 32fx x
Solución:
/DHFXDFLyQVHH[SUHVDFRPRIXQFLyQf x 2x 1
$KRUDVHGHVSHMD[

y1
x gy
2


/DIXQFLyQLQYHUVDHV

1 x1
fx
2


6XVWLWX\Hf(x)

SRU\
f( x ) 1.8x 32

,QWHUFDPELDHQWUHHOODVWRGDVODV[\ODV\

x 1.8y 32
'HVSHMDQGR\VXVWLWX\HQGR\SRUI
í1
[
x 32
y
1.8


'HVSHMDQGR[

1 1 1y
yx1 1 x1 x 1 x
yy y

Ÿ Ÿ Ÿ
3RUORTXH

1 1x
fx
x


(VWDIXQFLyQLQYHUVDHQHOFDVRGH
FRQYHUVLRQHVHV~WLOSDUDFRQYHUWLU
GH)DKUHQKHLWDFHQWtJUDGRV

58. 56
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
/D¿JXUDPXHVWUDHQXQPLVPRSODQRODVJUi¿FDVGHODVIXQFLRQHVDQWHULRUHV
Interpretamos que en cada situación de uno a uno se conserva y existe una línea
que parece ser la que las separa, la función y = x.
Figura 2.11.
y = 1.8x

+ 32
y = x
y = (x í
.
Ejemplo 4: La siguiente fórmula permite convertir x grados centígrados a F(x) gra-
dos Farenheit:

9
32
5
Fx x
D ¢4XpVLJQL¿FDGRWLHQH

1
Fx

?
b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 68 grados Farenheit?
c) Hallar

1
Fx

Solución:
D&RQVWUX\HXQDIyUPXODSDUDFRQYHUWLU[JUDGRV)DUHQKHLWDJUDGRVFHQWtJUDGRV
E


5
C 68 68 32 20 C
9
q
F (VFULELPRV
9
y x 32
5
,QWHUFDPELDQGR [ SRU \ REWHQHPRV OD IXQFLyQ LQYHUVD
9
x y 32
5
(QpVWD
5
y x 32
9
(VFULELPRV


5
C x x 32
9
$Vt

1
Cx F x

59. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
57
Actividad de aprendizaje 1
Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios,
realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza
HQWXFXDGHUQR5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHV
con tus compañeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demás para
mejorar tu trabajo.
I. Desarrolla las actividades que se solicitan. Obtén la inversa de cada función y
determina cuáles de estas funciones son inversas y comprueba usando compo-
sición de funciones.

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

1. 37px x
2.

2
1mx x
3.
3
yx
6. Comprueba que son inversas cada par de funciones.
a)
1 ; g 1pxx xx
b)

3
6 3; G
6
x
Fx x x



7UD]DODJUi¿FDGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVLQYHUVDV
a)
5fx
b)
2
1xy
4.
11

63
yx
5.
2
61yx
c)
1
y
x

d) 42yx

60. 58
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
Aprende más
Función escalonada
Las funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones que se
GH¿QHQHQXQLQWHUYDORGHPDQHUDTXHH[LVWDXQDSDUWLFLyQGHOPLVPRHQHOTXHOD
función se mantenga constante en cada uno de los subintervalos.
,QIRUPDOPHQWHXQDIXQFLyQHVFDORQDGDHVDTXHOODTXHDOVHUGLEXMDGDVXJUi¿FD
tiene la forma de una escalera o una serie de escalones (que no necesariamente
deben ser crecientes). Este tipo de funciones tienen un comportamiento diferente
por intervalos; es decir, una función distinta en cada escalón.
Por ejemplo, si deseas asistir a un concierto de tu grupo musical favorito y
preguntas por los precios de los boletos, tal vez te dirían que de la primera
¿ODDODTXLQWDFXHVWDQGHODVH[WDDODGpFLPD\GHDKtHQ
DGHODQWH'HDFXHUGRFRQHVWRSRGHPRVYHUTXH
• Es una función discreta.
• Dominio = números naturales 1, 2, 3, 4, …
• Contradominio = 500, 350 y 200
• En general:
Entonces:
Ejemplo 1: /RV HVWDFLRQDPLHQWRV FREUDQ XQD FXRWD ¿MD SRU KRUD DXQ
FXDQGRVyORVHXWLOLFHXQDIUDFFLyQGHHVWHWLHPSR'HVFULEHJUi¿FDPHQWH
y con una ecuación la función para la tarifa que debe pagarse en un esta-
FLRQDPLHQWRTXHFREUDODKRUDRIUDFFLyQVLXQDXWRSHUPDQHFH
de una a cinco horas.
Figura 2.12.
Figura 2.13.
P fF donde P precio

y F fila
1 2 ... 5 500ff f
6 ... 10 350ff
Y para
10F!; 200fF

61. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
59
Solución:
Debemos recordar que en una función ningún elemento del dominio puede tener
GRVRPiVYDORUHVSRUHVDUD]yQORVLQWHUYDORVVHGHEHQHVSHFL¿FDUFRQGHWDOOH
Ejemplo 2: Representa y describe las características de las siguientes funciones.
31 1
()
21
x si x
fx
x si x
­
®
t¯

Dominio: D(f) = R; Recorrido: (f) = R
Solución:
(QJHQHUDOODIXQFLyQGHOSUREOHPDHV
P ft

10 si 0 t 1
20 si 1 t 2
P f t 30 si 2 t 3
40 si 3 t 4
50 si 4 t 5
d­
°
d
°
°
d®
°
d
°
d°¯
3XQWRVGHFRUWHGHOHMH<[
ŸI Âí í Ÿí
3XQWRVGHFRUWHFRQHOHMH;
3DUD[
\ \ [í
Ÿ [í Ÿ[
Ÿ
3DUD[•
\ \ [í 2
Ÿ [í 2 Ÿ[ •Ÿ

*Ui¿FD
^
3 x 1 si x 1
f(x)
x 2 si x 1


t

62. 60
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
Actividad de aprendizaje 2
Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios,
realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza
HQWXFXDGHUQR5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHV
con tus compañeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demás para
mejorar tu trabajo.
1. El costo del estacionamiento en un centro comercial es de 2.50 pesos cada 15
PLQXWRVODVSULPHUDVGRVKRUDV$SDUWLUGHODWHUFHUDKRUDHOFRVWRHV¿MRHLJXDO
a 15 pesos por hora
a) ¿Cuánto pagarías por estar en el centro comercial 1.5 horas?
b) ¿Cuánto pagarías por estar 2.5 horas?
c) ¿Cuánto pagarías por estar 5 horas?
G 7UD]DODJUi¿FDHQODFXDOVHUHÀHMHORTXHSDJDUtDVSRUHVWDUODVSULPHUDV
horas en el estacionamiento.
/RVLPSRUWHVGHOHQYtRGHSDTXHWHVGHGLIHUHQWHVSHVRVHQXQDR¿FLQDGHFRUUHRV
son.
Peso (g) Importe ($)
0 < p” 12.50
100 < p” 19.00
200 < p” 25.25
300 < p” 31.50
400 < p” 37.50
500 < p” 43.50
600 < p” 49.35
700 < p” 55.20
800 < p” 61.00
900 < p” 66.50

63. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
61
D 7UD]DODJUi¿FDHQODFXDOVHUHÀHMHORTXHSDJDUtDVSRUHQYLDUXQSDTXHWHGH
3.5 kg.

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
Función valor absoluto
El valor absoluto se representa por el símbolo
xHVWRVLJQL¿FDTXHVLx es de signo
positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que quede posi-
tivo, por ejemplo:


5 ( 5) 5, 4 4

64. 62
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
Función constante
Es aquella
que para cada
valor de x, su
imagen es K
f(x) = K
Donde K
es una
constante
Función constante
/XHJRHQWRQFHVODIXQFLyQGHYDORUDEVROXWRVHGH¿QHSRU
: , tal que , x RfR R fx xo 
De otra forma se representa por:

^`,| ,f xy y x x R 
La anterior es la función valor absoluto.
La representación geométrica de la función valor absoluto

fx x es:
Sus características son:
‡Es biyectiva.
‡Su dominio D son todos los reales, es decir, D = \.
‡Su contradominio C son todos los reales no negativos, es decir, C = R
+
‰{0}.
Esta función la puedes observar cuando compras por menudeo, por ejemplo: si
compras una camisa, un pantalón o unos zapatos, el precio de estos artículos se
PDQWLHQHFRQVWDQWHHVGHFLUQRFDPELDFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
Figura 2.15. Gráfica de una
función constante.
Figura 2.14. Representación geométrica de
la función de valor absoluto.
fx x
I(x) = K
.

65. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
63
Función de identidad
En tu casa, escuela, iglesia y en otros espacios puedes encontrar escaleras, si las
miras de costado, verás que algunas cuentan con escalones que tienen la misma
medida de ancho y altura. Si colocas sobre los escalones una tabla, vas a observar
FyPRVHSXHGHJHQHUDUODJUi¿FDTXHVHPXHVWUDHQOD¿JXUD
/DUHSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHODIXQFLyQGHLGHQWLGDGHV
una recta que pasa por el origen con una inclinación de
ƒ¿JXUD
Propiedades y características de las
WUDQVIRUPDFLRQHVJUi¿FDV
Algunas de las transformaciones de funciones se conocen como familias de fun-
FLRQHVVLPLODUHVWLHQHQODPLVPDIRUPDSHURSRVLFLRQHVGLIHUHQWHVHQXQDJUi¿-
FD3DUDHMHPSOL¿FDUHVWHFRQFHSWRGHWUDQVIRUPDFLRQHVJUi¿FDVDQDOL]DUHPRVXQ
ejemplo de línea recta.
Familia de rectas
Hemos estudiado que una recta del plano queda determinada por un par de datos
o condiciones: dos puntos, un punto y su pendiente, su pendiente y ordenada al
origen, etcétera. Si se determina una única condición, entonces un conjunto de
rectas, y no necesariamente una sola, la cumplirán. Al conjunto de todas las rectas
que satisfacen una única condición se le denomina familia de rectas o haz de rectas.
3DUDREWHQHUODHFXDFLyQGHXQDIDPLOLDRKD]GHUHFWDVVHGH¿QHODFRQGLFLyQ\
el dato más conveniente para obtenerla representado por un parámetro variable k,
perteneciente a los números reales.
Como estudiaremos en cursos posteriores, existen también familias de circunferen-
cias, parábolas, elipses y, en general, de diferentes lugares geométricos.
Figura 2.16.
El valor del
argumento es
igual al de la
imagen
f(x) = xFunción de identidad

fx x

66. 64
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
Los siguientes ejemplos explican el procedimiento recomendado para obtener la
HFXDFLyQGHXQDIDPLOLDWUDQVIRUPDFLyQJUi¿FDRKD]GHUHFWDV\VXFRQVWUXFFLyQ
JUi¿FD
Ejemplo: Determina la ecuación de la familia de rectas que pasan por el origen del
plano.
Solución:
(QODVLJXLHQWHV¿JXUDVVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVGHIXQFLRQHVf(x), g(x) y h(x) y la
fórmula de f(x) = x
2
¢&XiOHVVRQODVIyUPXODVGHODVRWUDVJUi¿FDV"
• La condición que deben cumplir todas las rectas de la familia es que pasan por el
punto (0, 0) sin importar su inclinación.
• El haz de rectas debe tener por ecuación y = x.
Dado que las rectas pueden tener cualquier ordenada al origen (valor en el que la recta
corta al eje y), hacemos b = k en la ecuación al origen tomando la forma: y = x + k.
Figura 2.17.
f(x) = x
2
g(x)
h(x)

67. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
65
6LDQDOL]DVODJUi¿FD¿JXUDSXHGHVYHUTXHDPEDVIXQFLRQHVVRQVLPLODUHV
SHURHQSRVLFLRQHVGLIHUHQWHVVHLQWHUSUHWDTXHODJUi¿FDGHf(x) tiene su origen en
el punto (0, 0), también se observa que g(x) tiene su origen en (0, 3) y h(x) inicia en
íHVGHFLUHVWiQGHVSOD]DGDVXQLGDGHVKDFLDDUULED\GRVXQLGDGHVKDFLD
abajo.
3DUDJHQHUDOL]DUHOFRQFHSWRDQWHULRUDODKRUDGHJUD¿FDUXQDIXQFLyQHVPX\LP-
portante tener en cuenta este tipo de transformaciones.
Los tipos elementales básicos para la transformación de funciones f(x) se resumen
en la siguiente tabla.
Tipo de transformación Fórmula
Traslación horizontal de c unidades a la derecha y = f (xíc)
Traslación horizontal de c unidades a la izquierda y = f (x + c)
Traslación vertical de c unidades hacia abajo y = f (xíc
Traslación vertical de c unidades hacia arriba y = f (x) + c
Actividad de aprendizaje 3
Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios,
realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza
en tu cuaderno.
5HJLVWUD \ UHÀH[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV
compañeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demás para mejorar tu
trabajo.
1. Dada la función y = x + 2, realiza el tipo de transformación que se indica.
a) y = f (x íc)
b) y = f (x + c)
c) y = f (xíc
d) y = f (x) + c

68. 66
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

2. Representa geométricamente las funciones valor absoluto f(x) = |x|.
a) y = |xí_
b) y = |x_í
3. Representa geométricamente las funciones denominadas constantes.
a) y = 3
b) y í
5HSUHVHQWDJUi¿FDPHQWHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV
a)
21
()
21 1
x si x
fx
x si x
­
®
t¯

b)
31 1
()
21
x si x
fx
x si x
­
®
t¯

69. $SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
67
Cierre del bloque II
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
Una vez estudiada la parte principal de este bloque, lo consecuente es que desarro-
lles las habilidades y actitudes necesarias, para así evidenciar que estás aprendien-
do sus criterios, así como las competencias genéricas de la asignatura.

(QHVWHSXQWR\DQWHVGHFHUUDUHOEORTXHUHÀH[LRQDDFHUFDGHODQWHV\HOGHVSXpV
de conocer dichas herramientas. Utiliza las siguientes preguntas para ayudarte a
GLFKDUHÀH[LyQ
• ¿Conozco y empleo las diversas funciones en mis actividades cotidianas?
‡ ¢'HWHUPLQRHLGHQWL¿FRHOERVTXHMRGHXQDJUi¿FDGHIXQFLyQHVFDORQDGD"
‡ ¢&RPELQRH¿FLHQWHPHQWHODVUHJODV\WHRUHPDVSDUDGHWHUPLQDUODVFDUDFWHUtVWL-
FDVGHODVWUDQVIRUPDFLRQHVJUi¿FDV"
‡ ¢%RVTXHMRPHQWDOPHQWHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQHVSHFLDOLQYHUVD"
&RPSDUWHHOSURGXFWRGHWXVUHÀH[LRQHVFRQWXGRFHQWH\JUXSRREVHUYDORVUHVXO-
tados de tus compañeros y contrasta con los tuyos todos los elementos recopilados.
Autoevaluación
Instrucciones:(QWXFXDGHUQRGHWUDEDMRUHDOL]DODLQWHUSUHWDFLyQJUi¿FDGHODV
VLJXLHQWHVIXQFLRQHV\HVFULEHVXFODVL¿FDFLyQ5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDV
para que después las comentes con tus compañeros.
)XQFLyQ&ODVL¿FDFLyQ
1.
3
32fx x x
2.
1f x lnx
3.
f x cosx senx
4.

21x
fx e

70. 68
$SOLFDVIXQFLRQHVHVSHFLDOHV\WUDQVIRUPDFLRQHVGHJUiÀFDV
B
loque II
)XQFLyQ&ODVL¿FDFLyQ
5.

2
1
1
x
fx
x



6.

21fx x
7.
log 1fx x
8.
21fx x
9.

3
6
x senx
fx
x


10.

1
2
x
fx x


11.

2
1f x cos x
12.

2
1x
f x ax b
xa
­
°
®
°

¯
13.
yx
14.
yx
15. 46xd

71. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
69

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Si de la actividad anterior obtuviste de 14 a 16 aciertos considera tu resultado como
excelente, de 11 a 13 aciertos como bien, de 8 a 10 como regular y si tus respuestas
correctas fueron menos de 8 aciertos considera tu desempeño como QRVX¿FLHQWH,
lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en
función de las respuestas correctas que tuviste?
Excelente
Bien
Regular
1RVXÀFLHQWH

16. 5xd

73. Bloque III
Empleas funciones polinomiales
de grado cero, uno y dos
Bloque III. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos

74. 72
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
Introducción
Una vez concluidas las aplicaciones para las funciones inversas y las transformacio-
QHVJUi¿FDVSRGHPRVGLULJLUQRVDORVVLJXLHQWHVHMHVWHPiWLFRVGHOFXUVR(QHVWH
caso, las funciones polinomiales.
$VtFRPRVHDQDOL]yHQHOFXUVR0DWHPiWLFDV,HVSHFt¿FDPHQWHHQHOEORTXHDOJH-
bra de polinomios, manejaremos éstos de igual forma; sin embargo, aquí abordare-
mos las funciones polinómicas, es decir, cada polinomio de una variable puede dar
origen a una función polinómica que contenga a esa misma variable. Por ejemplo,
el siguiente polinomio de una variable, 3x
2
íx + 5, puede dar origen a una función
SROLQRPLDOTXHGH¿QLUHPRVGHIRUPDJHQHUDOPiVDGHODQWHGHODIRUPD
f (x) = 3x
2
í

2x + 5 ó y = 3x
2
íx + 5
5HFXHUGDWDPELpQTXHORVSROLQRPLRVVHSXHGHQFODVL¿FDUSRUVXJUDGRRSRWHQFLD
DVtTXHODVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVVHUiQFODVL¿FDGDVSRUVXVJUDGRV$GHPiVFDGD
XQDGHODVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVGDUiRULJHQDGLIHUHQWHVUHSUHVHQWDFLRQHVJUi¿-
cas. Esto es precisamente lo que abarcará este bloque, a saber, la representación
de las funciones polinomiales y sus aplicaciones en diferentes ramas.
(QHVWHEORTXHVHLGHQWL¿FDQODVVLWXDFLRQHVGHXQPRGHORJHQHUDOGHODVIXQFLRQHV
polinomiales de grados cero, uno y dos, empleando los criterios de sus comporta-
PLHQWRVJUi¿FRVUHVSHFWLYRV(VWDVIXQFLRQHVVRQPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHGHV-
criben muchos fenómenos naturales como la presión atmosférica (grado cero), la
distancia recorrida por un móvil a una velocidad constante (grado uno), la distancia
recorrida por un móvil cuando tiene aceleración (grado dos); asimismo, ayudan a
VROXFLRQDUSUREOHPDVGHODYLGDFRWLGLDQDHQWHPDV¿QDQFLHURVRHVWLPDUODFDQWLGDG
de ingredientes a usar para preparar un determinado alimento.

75. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
73
Bloque III
1. Modelo general de las funciones polinomiales.
2. 5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVGH
grados cero, uno y dos.
• &RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQ
polinomial de grado cero.
• &RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQ
polinomial de grado uno.
• &RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQ
polinomial de grado dos.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias
• Actividad de aprendizaje 1. Función constante.
• Actividad de aprendizaje 2. Función lineal.
• Actividad de aprendizaje 3. Función cuadrática.
• Actividad de aprendizaje 4. Reto.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
10
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos y variaciona-
les para la comprensión y análisis de situacio-
nes reales, hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
• Analiza las relaciones entre dos o más varia-
bles de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
• Elige un enfoque determinista o uno aleatorio
para el estudio de un proceso o fenómeno y ar-
gumenta su pertinencia.
Competencias disciplinares que se
desarrollan
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?

76. 74
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Las funciones polinomiales nos ayudan a resolver problemas en la vida diaria, a
pesar de ello, rara vez estamos conscientes de los procesos matemáticos involu-
FUDGRVHQORTXHUHDOL]DPRV5HÀH[LRQHPRVDFHUFDGHODLPSRUWDQFLDGHOGLVHxRGH
modelos matemáticos para la toma de decisiones. En equipos resuelvan la siguien-
te situación:
Francisco solicita un empleo de ventas en una compañía de teléfonos celulares en
su ciudad. Después de pasar por todo el proceso de selección le informan que será
contratado y que venderá sólo un modelo particular de teléfono celular que cuesta
HVGH&XDQGRVHSUHVHQWDD¿UPDUVXFRQWUDWROHRIUHFHQWUHVRSFLRQHV
de planes de sueldo:
Plan A: sueldo base de 6500 pesos mensuales.
Plan B: sueldo base mensual de 2500 pesos más 10% de comisión sobre las ventas
del mes.
Plan C: sueldo base mensual de 5500 pesos más 7% de comisión sobre las ventas
realizadas en el mes.
Si estuvieras en el lugar de Francisco, ¿qué plan eligirías? ¿Por qué? Escribe en las
líneas tus conclusiones.
$O¿QDOL]DUHOEORTXHHVWHSUREOHPDVHUHWRPDSDUDTXHOHGHVXQDVROXFLyQIRUPDO
como solución de un proyecto.

77. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
75
Aprende más
Modelo general de las funciones polinomiales
n
aa
0
n
a
0
a

0
a

Grado
Coeficiente
Coeficiente o
principal
término
constante
Término
principal

Las funciones polinomiales son modelos matemáticos que describen relaciones en-
WUHGRVYDULDEOHVFRPRVXQRPEUHORLQGLFDVHGH¿QHQSRUPHGLRGHXQSROLQRPLR
que, como sabemos, es la expresión de suma o resta de términos algebraicos no
semejantes entre sí. La forma general de una función polinomial es:

n
n
n
fx x a x x x aa


!
12
1 21
En esta expresión Q es un número entero no negativo, que se denomina JUDGRGH
ODIXQFLyQSROLQRPLDO.
‡Los valores numéricos reales se denominan FRH¿FLHQWHVGHOSROLQRPLR.
‡ (OFRH¿FLHQWH, un número real diferente de cero (
n
az0) que actúa como
FRH¿FLHQWHGHOWpUPLQRGHPD\RUJUDGRVHGHQRPLQDFRH¿FLHQWHSULQFLSDO de la
función.
‡ (OFRH¿FLHQWH

se denominaFRH¿FLHQWHFRQVWDQWH.
‡De este modo,
n
n
ax

es el WpUPLQRSULQFLSDO de la función y el término

es el
WpUPLQRFRQVWDQWH o WpUPLQRLQGHSHQGLHQWH de ésta.
Entonces, la forma general de una función polinomial se puede representar con la
expresión siguiente:

N
P
N
nn
nn
f x a x a x ax ax a


!

12
1 21 0
Por ejemplo, para la función fx x x
2
2 75 , tenemos:
*UDGRGHOSROLQRPLRTXHGH¿QHDODIXQFLyQ 2
&RH¿FLHQWHV a
2
= 2, a
1
ía
0
= 5
&RH¿FLHQWHSULQFLSDO a
2
= 2
&RH¿FLHQWHFRQVWDQWH a
0
= 5
7pUPLQRSULQFLSDO2x
2
7pUPLQRFRQVWDQWHR
LQGHSHQGLHQWH 5

78. 76
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
5HSUHVHQWDFLyQJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVGHJUDGRV
FHURXQR\GRV
/RVHOHPHQWRVGHXQDIXQFLyQSROLQRPLDOJUDGRFRH¿FLHQWHVFRH¿FLHQWHSULQFLSDO
FRH¿FLHQWHFRQVWDQWHWpUPLQRSULQFLSDO\WpUPLQRFRQVWDQWHQRVSURSRUFLRQDQLQIRU-
PDFLyQSDUDDSUR[LPDUVXFRPSRUWDPLHQWRJUi¿FR
Una característica importante de las funciones polinomiales es que se trata de fun-
ciones continuas, que intuitivamente se pueden interpretar como funciones cuya
JUi¿FDQRHVWiURWDORFXDOPDWHPiWLFDPHQWHKDEODQGRTXLHUHGHFLUTXHHVWiQ
GH¿QLGDVHQWRGRVORVQ~PHURVUHDOHVVXGRPLQLRHV^).
/DJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVQRWLHQHQFRUWHV\VXWUD]RHVGHXQD~QLFD
línea, como si se dibujara colocando el lápiz sobre el papel y arrastrándolo sin des-
SHJDUORGHODKRMDFRPRVHPXHVWUDHQODVVLJXLHQWHV¿JXUDV\
Los siguientes conceptos de los polinomios de grados cero, uno y dos nos ayudarán
DLGHQWL¿FDUFDGDXQRGHORVHOHPHQWRV\JUi¿FDGHORVSROLQRPLRVREMHWRGHHVWXGLR
de este bloque.
&RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGRFHUR
La función constante (grado cero) es la función polinomial más simple. Su expresión
general es:
Se sabe que toda cantidad elevada a la potencia cero es uno, es decir x
0
1.
Figura 3.1. Función continua.
Las funciones polinomiales son
funciones continuas.
Figura 3.2. Función discontinua.
Las funciones discontinuas no son
polinomiales.
fx ax a a
0
00
1

79. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
77
Dado que a
0
es un número real constante, suele expresarse con la letra c. Así, la
expresión de la función constante más común es:

$QDOLFHPRVODH[SUHVLyQDQWHULRU(OSROLQRPLRTXHGH¿QHDHVWDIXQFLyQWLHQHDOD
variable x con exponente cero, de modo que su grado es cero. En la función cons-
tante se expresa una relación de correspondencia entre los valores de la variable y
el valor c, de modo que, para cada valor de xHQHOLQWHUYDORí’’HOYDORUREWHQLGR
por la función es c.
/DVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVGHVFULEHQHQXQSODQRFDUWHVLDQRJUi¿FDVGHSHQGLHQGR
del grado al que pertenezcan.

$SDUWLUGHHVWRGHGXFLPRVTXHWRGRVORVSXQWRVGHODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRQV-
WDQWHHVWiQGH¿QLGRVSRUODH[SUHVLyQx, c) y, consecuentemente, a la misma altura
respecto del eje X, dando lugar a una recta horizontal (paralela al eje X), que corta
al eje Y a la altura de y = cFRPRJUi¿FDGHODIXQFLyQHQHOSODQRFDUWHVLDQR
Si c = 0, la recta es el eje X del plano cartesiano. Entonces, la ecuación del eje X es
f(x) = 0.
Si c = 0, la función f(x) = 0 representa al eje X del plano cartesiano
Recordando que toda función polinomial tiene como dominio a los reales y que el
UDQJRHVHOFRQMXQWRGHYDORUHVTXHWRPDODIXQFLyQSRGHPRVD¿UPDUTXHHOGRPL-
nio de la función constante es el conjunto de los números reales, y que su rango es
el conjunto cuyo único elemento es c, es decir:
Figura 3.3. Gráfica de la función
constante f(x) = c.
f(x) = 0
fx c

Domf \ y ^`Rangof c

80. 78
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
3RUHMHPSORVLGHVHDPRVWUD]DUODJUi¿FDGHODIXQFLyQf (x) = 3, tabulamos algunos
puntos y luego los unimos.

Actividad de aprendizaje 1
Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios,
realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza
HQWXFXDGHUQR5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHV
con tus compañeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demás para
mejorar tu trabajo.
1. $SDUWLUGHODJUi¿FDVLJXLHQWHGHWHUPLQDODH[SUHVLyQGHODIXQFLyQ
x y = f(x) = 3 Punto
í 3 Aí
í 3 Bí
3 C(0, 3)
23 D(2, 3)
43 E(4, 3)
Figura 3.4. Gráfica de la función f(x) = 3.
Función
f(x) =
f(x) = 3
(QODJUi¿FDGHODIXQFLyQI(x) = 3 tenemos que Domf y u ^`Rangof 3

81. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
79
*UD¿FDUODIXQFLyQf(x í
*UD¿FDUODIXQFLyQf(x) = 2.5

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
&RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGRXQR
Es la función de grado impar más simple. Su expresión general es:


f x ax a
10
Otras formas comunes en que se expresa esta función son:
f x ax b

y f x mx b
6HGHQRPLQDIXQFLyQOLQHDOSRUTXHVXJUi¿FDHQHOSODQRFDUWHVLDQRHVXQDOtQHD
recta.

82. 80
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
Ejemplo:*UD¿FDUODIXQFLyQfx x
1
2
2
Solución:
6DELHQGRTXHHVXQDIXQFLyQGHJUDGRLPSDUWHQHPRVTXHHOVLJXLHQWHDQiOLVLVHVLQGLV-
SHQVDEOHSDUDFRQRFHUHLGHQWL¿FDUORVHOHPHQWRVGHODJUi¿FDGHODIXQFLyQGHSULPHU
JUDGR
(OFRH¿FLHQWHSULQFLSDOD

HVSRVLWLYRSRUORTXHODJUi¿FDGHHVWDIXQFLyQYD
GHVGHPHQRVLQ¿QLWRí’SRUGHEDMRGHOHMH;FRUWDDOHMH;\FRQWLQ~DKDVWDLQ¿-
QLWR’SRUHQFLPDGHpVWH
(OWpUPLQRFRQVWDQWHHVD

SRUORTXHODJUi¿FDFRUWDDOHMH<HQHOSXQWR
$GHPiVVDEHPRVTXHHVWDIXQFLyQGHEHWHQHUXQFHURRUDt]HQODVROXFLyQGHOD
HFXDFLyQSRUORTXHVHGHEHGHVSHMDU[


1
fx x 2
2


1
x20
2




1
2 x2 02
2
x40
x04
x4
§·

¨¸
©¹



x
1
y fx x 2
2
3XQWR
í
1
62321
2
A(íí
í B(í
í
1
2 2 121
2
C(í
'

1
2 2123
2

$


1
4 2224
2
$
/D IXQFLyQ WLHQH XQ FHUR
RUDt]HQHOSXQWRí

83. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
81
Aprende más
Parámetros y características de la función de grado uno. Al trazar la gráfica de una
ecuación polinomial y = mx + b de grado uno, se obtiene una recta, en estas gráfi-
cas se observa una cierta inclinación, el valor de esa inclinación se determina con
el valor de (m) y se llama pendiente de la recta, también se observa en la ecuación
el valor de (b) que se llama ordenada al origen y señala el valor en el que la recta
corta al eje y.
Por ejemplo, al trazar la gráfica de y = 3x + 2 (figura 3.5), se puede identificar el valor
de la pendiente (m = 3) y el valor de la ordenada al origen (b = 2).
Procedimiento para trazar una función lineal. Los pasos a seguir son:
1. Con el término constante b (ordenada al origen), localizar la intersección con el
eje Y, es decir, el punto (0, b).
2. Cambiar la expresión del coeficiente principal m (pendiente) a la forma fraccio-
naria, es decir, expresar:
p
m
r
=
3. Si m > 0, mover p unidades hacia arriba y r unidades hacia la derecha (o p uni-
dades hacia abajo y r unidades hacia la izquierda) y trazar el nuevo punto. Si
m = 0, la recta es horizontal y pasa por (0, b). Ya se puede trazar.
Figura 3.5.
m = 3
b = 2
y = 3x + 2

84. 82
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
f (x íx + 2
(0, 2)
í
m í
4. Si m < 0, mover p unidades hacia abajo y U unidades hacia la derecha (o p uni-
dades hacia arriba y U unidades hacia la izquierda) y trazar el nuevo punto.
5. Con los dos puntos obtenidos (excepto si m = 0), trazar la recta.
Ejemplo: 7UD]DODJUi¿FDGHODIXQFLyQ
fx x 1.5 2
Solución:
Recuerda que sobre el GRPLQLRse sabe que para todas las funciones polinomiales:
Domf \
(VGHFLUODJUi¿FDH[LVWHWLHQHSXQWRVSDUDYDORUHVGHxGHVGHí’KDVWD’
El UDQJR de la función lineal es el conjunto de todos los números reales, es decir:
Rangof \
/RDQWHULRUVLJQL¿FDTXHODJUi¿FDVHH[WLHQGHYHUWLFDOPHQWHGHVGHí’KDVWD’
Si en el ejemplo anterior la pendiente es cero (m = 0), entonces la función dada es
la función constante estudiada antes.
/DSHQGLHQWHHV
5 15 3
m 1.5 1
10 10 2

<ODRUGHQDGDDORULJHQE
7UD]DPRVHOSXQWR
&RPRPPRYHPRVXQLGDGHVKDFLD
DEDMR\GRVKDFLDODGHUHFKDSDUDREWHQHU
XQ QXHYR SXQWR WDPELpQ VH PXHVWUD HO
PRYLPLHQWR GH XQLGDGHV KDFLD DUULED \
GRVDODL]TXLHUGD
8QLPRVORVSXQWRV\SURORQJDPRVODOtQHD

85. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
83
Aprende más
/DIXQFLyQOLQHDOFRPRPRGHORGHYDULDFLyQGLUHFWD Decimos que en la relación de
dos variables hay una variación directa cuando al aumentar el valor de una aumenta
el valor de la otra, o bien, cuando al disminuir el valor de una disminuye el valor de la
otra. Por ejemplo, la cantidad de libros que se pueden comprar con cierta cantidad
GHGLQHURHVXQFDVRGHYDULDFLyQGLUHFWD³DPD\RUFDQWLGDGGHOLEURVVHUHTXLHUH
PD\RUFDQWLGDGGHGLQHUR´RELHQ³DPHQRUFDQWLGDGGHOLEURVFRUUHVSRQGHXQD
FDQWLGDGPHQRUGHGLQHUR´
Para expresar que la variable y varía directamente con respecto a la variable x, se
utiliza la expresión:
yxvTXHVHOHH³y es directamente proporcional a x´
Esta expresión puede transformarse en igualdad cambiando el símbolo v por la
igualdad e introduciendo una constante k, llamada constante de proporcionalidad,
que multiplique a la variable x; es decir,
yxv

es lo mismo que y = kx, que, como
función, es:

y f x kx
(la cual, como hemos estudiado, es la función lineal)
Aquí b es la pendiente y b = 0. Este modelo permite resolver problemas. Revisemos
algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Se compraron 3 libros y se pagó 150 pesos por ellos. ¿Cuál es el mode-
lo de variación? Usando este modelo, ¿cuánto se pagará por 5 libros?
Solución:
y 150
k 50 pesos/libro
x3

(OPRGHORGHYDULDFLyQHV
f x 50x GRQGH[HVODFDQWLGDGGHOLEURVTXHVHFRPSUDQ
3DUDVDEHUHOFRVWRGHOLEURV
f 5 50 5 250 pesos

86. 84
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
Actividad de aprendizaje 2
Ejemplo 2: Si un automóvil recorre 75 kilómetros en 80 minutos, ¿qué distancia
recorrerá en media hora? Resuelve el problema utilizando el modelo de variación
directa.
Solución:
Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios para encontrar las soluciones de cada
uno de ellos, realizando las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y
OLPSLH]D5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQ
tus compañeros de clase, escucha y respeta las aportaciones de los demás para
mejorar tu trabajo.
Resuelve los siguientes problemas:
1. Determina la ecuación de la recta horizontal que pase por el punto
P
1
7.5, 2.
2. Halla la ecuación de la recta vertical que pase por el punto
P
§·

¨¸
©¹
1
57
,
42
.
+DOODODJUi¿FDGHODHFXDFLyQx + yí
+DOODODHFXDFLyQGHODUHFWDTXHSDVHSRUHOSXQWRí\FX\RiQJXORGHLQ-
clinación sea igual a 315°.
+DOODODHFXDFLyQGHODUHFWDFX\RVH[WUHPRVVHDQORVSXQWRVíí\
y 75 15
k k m/min
x 80 16


15
fx x
16


GRQGH[HVHOWLHPSRGHOUHFRUULGRHQPLQXWRV
1
x hora 30 minutos
2
SRUORTXH


15
f 30 30 28.125 kilómetros
16

87. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
85
6. Halla la pendiente, el ángulo de inclinación y la ordenada al origen de la recta
cuya ecuación sea 5xíyí
7. Se compraron 6 libros y se pagó 300 pesos por ellos. ¿Cuál es el modelo de
variación? Usando este modelo, ¿cuánto se pagará por 25 libros?
8. Si un automóvil recorre 115 kilómetros en 80 minutos, ¿qué distancia recorrerá
en media hora?
9. Se compraron 5 conejos y se pagó 1500 pesos por ellos. ¿Cuál es el modelo de
variación? Usando este modelo, ¿cuánto se pagará por 15 conejos?
10. Si un automóvil recorre 75 kilómetros con 15 litros de gasolina, ¿qué distancia
recorrerá con 30 litros?

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
&RPSRUWDPLHQWRJUi¿FRGHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGRGRV
Su expresión general es f (x) = a
2
x
2
+ a
1
x + a
0

que suele expresarse como:
f (x) = ax
2
+ bx + c FRQD
DOJUD¿FDUHVWDIXQFLyQVHGHVFULEHXQDSDUiEROD
Como cualquier función polinomial, su dominio es el conjunto de todos los números
reales: Domf = ^
El análisis de los términos de una función cuadrática f (x) = a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
es:
• La constante aRFRH¿FLHQWHFXDGUiWLFRLQGLFDTXpWDQDQFKDRHVWUHFKDHVWDOD
parábola.
• Si a < 1 (a menor que 1) la parábola es muy ancha.

88. 86
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
• Si a > 1 (a mayor que 1) la parábola es muy estrecha.
‡ (OFRH¿FLHQWHb o término lineal indica el desplazamiento de la parábola a la de-
recha si b es negativo y a la izquierda si b es positivo.
• La parábola corta al eje Y en el punto (0, c).
• Si a > 0, (aSRVLWLYDODJUi¿FDHVODGHXQDSDUiERODTXHDEUHKDFLDDUULEDHV
decir, empieza arriba del eje X y termina arriba de él en un desplazamiento hori-
]RQWDOGHL]TXLHUGDDGHUHFKD¿JXUD
• Si a < 0, (aQHJDWLYDODJUi¿FDHVODGHXQDSDUiERODTXHDEUHKDFLDDEDMRHV
decir, empieza abajo del eje X y termina abajo de él en un desplazamiento hori-
]RQWDOGHL]TXLHUGDDGHUHFKD¿JXUD
'HPRGRTXHHOUDQJRGHODIXQFLyQFXDGUiWLFDGHSHQGHGHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDO
Para determinar los ceros de la función cuadrática es necesario resolver la ecua-
ción:
Esta ecuación puede resolverse usando la fórmula general:

La expresión dentro de la raíz cuadrada: b
2
íac se denomina discriminante de la
ecuación porque su valor determina si las raíces son reales o complejas.
• Si b
2
íac < ODVUDtFHVVRQFRPSOHMDV\VLJQL¿FDTXHODJUi¿FDQRFRUWDDOHMH
X, por lo que en este caso concluimos que la función cuadrática no tiene ceros
LQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;FRPRVHPXHVWUDHQODV¿JXUDV\
• Si b
2
íac = KD\XQDUDt]UHDO\VLJQL¿FDTXHODJUi¿FDFRUWDDOHMH;HQXQ
único punto, el vértice de la parábola; por lo tanto, la función sólo tiene un cero
en x íbaRELHQHQHOYpUWLFHíbaGHDFXHUGRFRQOD¿JXUD
Figura 3.6. a > 0. Figura 3.7. a < 0.
f(x) = a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
b b ac
x
a
r

2
4
2

89. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
87
Figura 3.8. Figura 3.9.
Figura 3.10. Figura 3.11.
‡Si b
2
íDF!ODVGRVUDtFHVVRQUHDOHV\VLJQL¿FDTXHODJUi¿FDFRUWDDOHMH;
HQGRVSXQWRV¿JXUDHVWRHVODIXQFLyQFXDGUiWLFDWLHQHGRVFHURVLQWHU-
secciones con el eje X) en:
bd
x
a


1
2
, donde d = b
2
í

4ac, que representa al punto (x
1
, 0)
bd
x
a


2
2
, donde d = b
2
í

4ac, que representa al punto (x
2
, 0)
Para determinar el vértice en este último caso, se debe considerar que la parábola
HVXQDJUi¿FDVLPpWULFDHVGHFLUODDOWXUDGHXQSXQWRDUunidades a la izquierda
del vértice es la misma para el punto a U unidades a la derecha del vértice.
(QWRQFHVFRQVLGHUDQGRODVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;SRGHPRVD¿UPDUTXHOD
coordenada[ del vértice es el punto medio del segmento que une las intersecciones
con el eje X, es decir:
V
xx
x


12
2

90. 88
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
1
Por lo tanto:
V
bd
bd bd
aa
x




22
2
bd
V
bb ba
aa
b
x
a



22
442
2
Ahora calculemos la coordenada y del vértice:


VV
VV V
V
V
y fx
y ax bx c
b b b b ab b
y a b ca c c
a a a a aa
aab ab a c a c ab
y
aa


§·§·§·
¨¸¨¸¨¸
©¹©¹ ©¹


2
2
2 2 22
22
2 22 2 2
22
2 2 4 2 42
24 4
44
ac b
a

2
2
4
4
b ac
a


2
4
4
V
d
y
a

4
, donde d = b
2
í

4ac, que es el discriminante de la ecuación cuadrática.
Finalmente, el vértice está determinado por el punto:
bd
V
aa
§·

¨¸
©¹
,
24
, donde d = b
2
í

4ac
‡El rango de la función cuadrática, como se explicó antes, depende del valor del
FRH¿FLHQWHSULQFLSDOGHODVLJXLHQWHPDQHUD
Si a < 0, la parábola abre hacia abajo, de modo que el vértice es el punto máximo
GHODJUi¿FD(QWRQFHV
d
Rangof
a
§º
f
¨ »
©¼
,
4
, donde d = b
2
í

4ac
Si a > 0, la parábola abre hacia arriba, de modo que el vértice es el punto mínimo
GHODJUi¿FD(QWRQFHV
d
Rangof
a
ª·
f
¸«
¬¹
,
4
, donde d = b
2
í

4ac

91. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
89
En general, el comportamiento de una función polinomial puede entenderse me-
GLDQWHHODQiOLVLVGHVXVSDUiPHWURVHQHVSHFLDOGHVXFRH¿FLHQWHSULQFLSDOa
n
y de
su término independiente a
0
.
Los siguientes ejemplos muestran la utilidad de este análisis de la función cuadrá-
tica.
Ejemplo 1: Explica el comportamiento de la función

x
fx
2
2
8
\WUD]DODJUi¿FD
Solución:
(QHVWDIXQFLyQ
1
a , b 0, c 2
8

/DJUi¿FDSDVDSRUHOHMH<HQHOSXQWRí'DGRTXHD!ODJUi¿FDHPSLH]DSRU
DUULEDGHOHMH;\WHUPLQDSRUDUULEDGHOHMH;
2
d b 4ac


2 18
d0 4 20 1
88
§· § ·

¨¸ ¨ ¸
©¹ © ¹
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;

21
x 20
8

21
x2
8


2
x 16
x 16 x4 r

/DJUi¿FDFRUWDDOHMH;HQí\

V
1
8
b0
x0
2a 2


V
11
82
d 11
y2
4a 4

*Ui¿FD
9íSXQWRPtQLPR
Domf \
>Rangof 2, f

92. 90
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
Ejemplo 2: Explica el comportamiento de la función fx x x
2
2 82

y traza la
JUi¿FD
Solución:
Ejemplo 3: Analiza la función
fx x x
2
3 30 76

\WUD]DVXJUi¿FD
Solución:
(QHVWDIXQFLyQ
a 2, b 8, c 2
/DJUi¿FDSDVDSRUHOHMH<HQHOSXQWRí
'DGRTXHDODJUi¿FDHPSLH]DSRUDEDMRGHOHMH;\WHUPLQDSRUDEDMRGHOHMH;
2
d b 4ac

2
d 8 4 2 2 64 16 48
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;


8 48 8 16 3 8 4 3
x
22 4 4
42 3
23
4
r r r



r

B
/DJUi¿FDFRUWDDOHMH;HQ2 3,0

\2 3,0

V
b88
x2
2a 2 2 4



V
d 48 48
y6
4a 4 2 8


9SXQWRPtQLPR
Domf \ @Rangof ,6 f
(QHVWDIXQFLyQ
a 3, b 30, c 76
/DJUi¿FDSDVDSRUHOHMH<HQHOSXQWR

93. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
91
Ejemplo 4:8QDSDUiERODWLHQHFRPRYpUWLFHHOSXQWRí\SDVDSRUHOSXQWR
í(QFXHQWUDODIXQFLyQFXDGUiWLFDGHHVWDSDUiEROD\WUD]DVXJUi¿FD
Solución:
'DGRTXHD!ODJUi¿FDHPSLH]DSRUDEDMRGHOHMH;\WHUPLQDSRUDEDMRGHOHMH;
2
d b 4ac

2
d 30 4 3 76 900 912 12
'DGRTXHGODJUi¿FDQRWLHQH
LQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;
V
b 30 30
x5
2a 2 3 6


V
d 12 12
y1
4a 4 3 12


9íSXQWRPtQLPR
Domf \ >Rangof 1, f
3RGHPRVYHUTXHODSDUiERODWLHQHFRPRSXQWRPi[LPRDOYpUWLFHDGHPRGRTXH

2
f x ax bx c

(OSXQWRíGHEHFXPSOLUODIXQFLyQSRUTXHHVSXQWRGHODSDUiEROD

2
9 a1 b1 c
abc 9
c ab9




(OYpUWLFHíWDPELpQHVSXQWRGHODSDUiERODSRUORTXH

2
1 a3 b3 c
9a3bc 1
c 9a 3b 1



,JXDODQGRDPEDVH[SUHVLRQHV
a b 9 9a 3b 1
9a a 3b b 9 1
8a 2b 8



Continúa...

94. 92
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III

Ejemplo 5: Un túnel de una carretera tiene forma de arco parabólico. Su altura es
de 8 metros y su anchura, a nivel de suelo, es de 4 metros. ¿Qué altura máxima
debe tener un camión de 2.5 metros de ancho para poder pasar por el túnel? Si la
mayoría de los camiones de carga que circulan en las carreteras de México tienen,
SRUQRUPDR¿FLDOPHWURVGHDQFKRSRUPHWURVGHDOWXUD¢HVDGHFXDGRHOGL-
seño del túnel para una carretera mexicana?
Solución:

2 4a b 8
4a b 4


$GHPiVSDUDHOYpUWLFHWHQHPRVTXH
V
b
x
2a
b
3 , 6a b, b 6a
2a


3RUORWDQWR
4a 6a 4
4
2a4,a ,a 2
2




'HGRQGH
b 62
b 12



c ab9
c 2 12 9
c 2 21
c 19




)LQDOPHQWH

2
f x 2x 12x 19
/DIXQFLyQSDUDHOW~QHOHV

2
f x ax bx c

2
a0 b0 c 8
c8

95. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
93
Actividad de aprendizaje 3



Instrucciones: Lee detenidamente las indicaciones de los siguientes ejercicios,
realiza las actividades que se te piden, anota las respuestas en orden y con limpieza
HQWXFXDGHUQR5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHV
con tus compañeros. Escucha con respeto las aportaciones de los demás para
mejorar tu trabajo.
$GHPiVHOSXQWRWDPELpQSHUWHQHFHDODSDUiERODSRUORTXH

2
0 a2 b2 8
4a 2b 8 0
2 2a b 4 0
2a b 4 0

6XVWLWX\HQGRODVFRRUGHQDGDVGHOYpUWLFHWHQHPRV
/DIXQFLyQGHOW~QHOHV

2
f x 2x 8

$KRUDFDOFXOHPRVODDOWXUDGHOFDPLyQTXHSXHGDSDVDUSRUHOW~QHO

2
h f 1.25 2 1.25 8 4.875
h 4.875 m

'DGRTXHODDOWXUDGHORVFDPLRQHVHVGHPPHQRUDPHOGLVHxRGHOW~QHOHV
DGHFXDGR
2a 0 4 0
2a 4 0
2a 4
4
a
2

a2
V
b
x
2a

b
0
2a

0 2a b
b0
b0

96. 94
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

1. $QDOL]DU\JUD¿FDUODVIXQFLRQHV
a) y xx
2
0.5 3 1
b)
yx x
2
2 43
c)
yxx
229
2
34

([SOLFDHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVLJXLHQWHIXQFLyQ\WUD]DODJUi¿FD

x
fx x
2
39
42 4
3. Encuentra la función de la parábola con intersección con el eje Y en el punto
íTXHSDVDSRUORVSXQWRVí\í
4. Determina el área máxima del terreno rectangular que se puede cercar con 60
metros de reja.
6HODQ]DYHUWLFDOPHQWHXQDSLHGUDFRQXQDYHORFLGDGLQLFLDOGHPV/DDOWXUD
que alcanza la piedra en t segundos está dada por la función:
ht t t
2
60 4.9

¿Cuánto tiempo le tomará a la piedra alcanzar la altura máxima? ¿Cuál es esa
altura?
6. Los costos de producción de x unidades de un producto están dados por la fun-
ción:
cx x x
2
3 535 1030

pesos
Si el precio por unidad es de 347 pesos, ¿cuál es la función para la utilidad si se
venden todas las unidades producidas? ¿Con cuántas unidades se obtiene la máxi-
ma utilidad?

97. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
95
Actividad de aprendizaje 4
El reto consiste en buscar y encontrar las condiciones más favorables para que
Francisco elija el plan de salario más lucrativo para él. Para lograr esta meta, te
sugerimos contestar las siguientes preguntas: ¿Qué plan le conviene elegir? ¿Bajo
qué circunstancias es mejor el plan C que los otros dos? ¿Es el plan B mejor que
los otros dos? ¿En qué circunstancias? ¿De qué depende que una opción sea mejor
que otra?
El proyecto se circunscribe al caso en que Francisco venderá únicamente teléfonos
celulares de 1000 pesos cada uno. Sabemos que en la realidad, un vendedor ofrece
XQDOtQHDGHYDULRVSURGXFWRVVLQHPEDUJRFRQODLQWHQFLyQGHVLPSOL¿FDUHOSURFHVR
es necesario delimitarlo de esta manera.
Es importante que se empleen ecuaciones y sistemas de ecuaciones en la búsqueda
de la mejor alternativa para Francisco.
Delimitando el reto: elección de la mejor alternativa
¿Cuál es el problema de contexto que se desea resolver?
¿En qué situaciones de tu comunidad puede ser útil este conocimiento?
¢4XpEHQH¿FLRVWLHQHSDUDWXFRPXQLGDGODUHVROXFLyQGHGLFKRSUREOHPD"
¿Es importante para tu vida este conocimiento? ¿Por qué?
Planeación de actividades
Organizados en equipos, de acuerdo con las indicaciones del docente facilitador,
realicen el proyecto. Es muy importante que en los equipos se deleguen responsabi-
lidades entre los integrantes, que elaboren un plan de trabajo y un código ético que
deberán cumplir con responsabilidad y respeto por el trabajo de sus compañeros,
de modo que logren realizar cabalmente las siguientes actividades:
1. Elijan el material necesario para el trabajo, por ejemplo: cartulina, plumones,
juego geométrico, software de computadora, calculadora, etcétera. Asimismo,
decidan la escala adecuada para representar los datos y las ecuaciones, así
como el uso de colores o materiales para distinguir los diferentes planes.
2. En un mismo plano cartesiano dibujen los puntos correspondientes al salario de
Francisco cuando vende 1, 2, 3,…, 15 unidades al mes, para cada una de las
opciones disponibles.

98. 96
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III
&RQEDVHHQODJUi¿FDREWHQLGDGLVFXWDQDFHUFDGHOPHMRUSODQGHSDJRSDUD
)UDQFLVFRMXVWL¿FDQGRSRUHVFULWRVXVDUJXPHQWRV\ODVFRQGLFLRQHVSDUDYDOL-
darlas.
4. Elaboren las ecuaciones de cada plan y grafíquenlas en un nuevo plano carte-
siano. Es necesario que los procedimientos completos empleados para obtener-
las sean escritos en un documento donde, además, se incluirán los elementos
del lugar geométrico considerados, por ejemplo, pendientes, intersecciones, et-
cétera.
5. Transformen las ecuaciones obtenidas para presentarlas en todas las formas
estudiadas en esta unidad. Los procedimientos realizados deberán agregarse al
documento de la actividad anterior.
6. Para encontrar la respuesta al problema de Francisco, es útil la determinación
GHORVSXQWRVGHLQWHUVHFFLyQHQWUHODVJUi¿FDVGHFDGDSODQGHVXHOGRTXHGH-
ben calcularse mediante el uso de sistemas de ecuaciones y anoten sus conclu-
siones.
7. Redacten una conclusión acerca de su trabajo y formulen una respuesta al pro-
blema, de modo que Francisco pueda elegir el mejor plan de sueldo.
8. Todos los integrantes del equipo deberán coevaluar a sus compañeros mediante
DUJXPHQWRVTXHMXVWL¿TXHQXQDQRWD¿QDO
9. Deben entregar al docente facilitador el portafolio de evidencias, que contiene
todos los productos de las actividades anteriores.
10. En la fecha asignada por el docente facilitador, todos los equipos presentarán
VXVFRQFOXVLRQHV\UHVXOWDGRVHQSOHQDULD$O¿QDOHOGRFHQWHIDFLOLWDGRUUHWURDOL-
mentará al grupo y realizará la evaluación del periodo.
5HÀH[LRQD¢4XpLQIRUPDFLyQWHyULFDQHFHVLWDVSDUDDIURQWDUHVWHUHWR"

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

99. Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
97
Cierre del bloque III
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
Autoevaluación
Cabe señalar que cada modelación de problemas con variables presentes en este
bloque, tiene una forma diferente de llegar a su solución; por ello se recomienda:
‡Leer con cuidado el problema y entenderlo.
‡Dibujar una diagrama si es pertinente.
‡Determinar las cantidades desconocidas y conocidas.
‡Emplear variables para representar cantidades desconocidas.
Como recordarás, al inicio del bloque se propuso la elaboración de un proyecto que
consistía en obtener los modelos lineales de situaciones comunes de una solicitud
GHHPSOHR\ODVRSFLRQHVGHVDODULR(OSUR\HFWRGHEHUiFXPSOLUFRQODVHVSHFL¿FD-
ciones que se piden de entrega.
Ha llegado la hora de entregar tu carpeta con los respectivos trabajos y hojas de
operaciones, el profesor les pedirá que realicen algunos cálculos con base en sus
modelos lineales.
Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios para encontrar las soluciones, realiza
las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y limpieza. Registra y
UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQWXVFRPSDxHURVGH
clase, escucha y respeta las aportaciones de los demás para mejorar tu trabajo.
Resuelve los siguientes problemas:
7UD]DODJUi¿FDGHODIXQFLyQ
fx x 23
2. Una casa que se compró hace 5 años cuesta 700 000 pesos. Si dentro de 3 años
su precio será de 1 millón de pesos, ¿cuál es el modelo de variación del precio
de esa casa en el tiempo? ¿Cuánto costó hace 5 años?
3. Una recta tiene los puntos (2, 9) y (7, 24). Encuentra la función de la recta y,
usando esta función, calcula la altura del punto cuya abscisa es 10.
4. Un submarino sumergido a 10 metros soporta una presión de 98 pascales. Si el

100. 98
Empleas funciones polinomiales de grado cero, uno y dos
B
loque III

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en
función de las respuestas correctas que tuviste?
Excelente
Bien
Regular
1RVXÀFLHQWH

submarino se sumerge 6 metros, la presión soportada es de 157 pascales. ¿Cuál
es el modelo de variación lineal de la presión con respecto a la profundidad
del submarino? Usando el modelo obtenido, calcula la presión a 200 metros de
profundidad.
5. Un automóvil recorrió 45 kilómetros con 5 litros de gasolina y 80 kilómetros con
9 litros. Determina el modelo lineal del rendimiento del automóvil. ¿Qué distancia
recorre el automóvil con 20 litros de gasolina?
6. Explica el comportamiento de la función

x
fx x
2
39
42 4
\WUD]DODJUi¿FD
7. Encuentra la función de la parábola con intersección con el eje Y en el punto
íTXHSDVDSRUORVSXQWRVíí\í

Si de la actividad anterior obtuviste 6 a 7 aciertos considera tu resultado como H[-
FHOHQWH, de 4 a 5 aciertos como ELHQ3 aciertos UHJXODUy si tus respuestas correctas
fueron menos de 3 considera tu desempeño como QRVX¿FLHQWH, lo que exige que
refuerces tus conocimientos previos.

101. Bloque IV
Utilizas funciones polinomiales
de grado tres y cuatro
Bloque IV. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro

102. 100
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
Introducción
En el boque anterior estudiamos las características de las funciones polinomiales de
grado cero, uno y dos. Además analizamos algunas de las aplicaciones de dichas
funciones en la representación de situaciones reales, con el propósito de transfor-
marlas e incluso resolverlas.
En el presente bloque ampliaremos el estudio de las funciones polinomiales, anali-
]DQGRODVFDUDFWHUtVWLFDVSDUiPHWURVFRPSRUWDPLHQWRJUi¿FR\DSOLFDFLRQHVGHODV
que corresponden a grado tres y cuatro.
Además, se presenta una estrategia aplicable a funciones polinomiales factoriza-
EOHVTXHSXHGHHPSOHDUVHSDUDERVTXHMDUODJUi¿FDGHGLFKDVIXQFLRQHV
Como observarás a lo largo de este bloque, la factorización es una de las herra-
mientas más fáciles de utilizar en el estudio de las funciones polinomiales de cual-
quier grado, incluso aplicaremos las técnicas descritas en el presente bloque en
aquellos polinomios analizados en el bloque anterior.
Si bien se pretende que apliques polinomios de grados tres y cuatro en la solución
de problemas reales, observarás que las aplicaciones tienen que ver con elementos
HVSHFt¿FRV\DYDQ]DGRVVLQHPEDUJRVHPXHVWUDDOJXQDDSOLFDFLyQSDUDHOFRQR-
cimiento general.

103. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
101
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?
Bloque IV
1. Modelo matemático de las funciones
polinomiales de grado tres y cuatro.
• Propiedades geométricas de la función
polinomial de grado tres.
• Propiedades geométricas de la función
polinomial de grado cuatro.
2. Métodos de solución de las ecuaciones
factorizables asociadas a una función
polinomial de grado tres y cuatro.
3. &RPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQ
polinomial en función de los valores que toman
sus parámetros.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias
• Actividad de aprendizaje 1. Funciones
polinomiales de grado tres y cuatro.
• Actividad de aprendizaje 2. Ecuaciones
asociadas a funciones polinomiales de grado
tres y cuatro.
• Actividad de aprendizaje 3. Comportamiento
GHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQSROLQRPLDOGH
grado tres y cuatro.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
10
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos, y variacio-
nales para la comprensión y análisis de situa-
ciones reales, hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
• Analiza las relaciones entre dos o más varia-
bles de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
• Elige un enfoque determinista o uno aleatorio
para el estudio de un proceso o fenómeno y ar-
gumenta su pertinencia.
Competencias disciplinares que se
desarrollan

104. 102
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
En el negocio de la familia Pérez, se necesitan cajas sin tapa para transportar sus
productos confeccionados. Se cuenta con cartones rectangulares de 50 x 60 cm,
¿cuál puede ser el máximo volumen de las cajas que necesita la familia Pérez?
Inicio de la secuencia:
1. Realiza un dibujo que represente el cartón rectangular y escribe las dimensiones
en cada lado.
2. Realiza un dibujo indicando los cuadrados de área x
2
, que deberán ser recor-
tados en cada esquina del cartón y escribe las dimensiones de cada elemento
después de recortar los cuadrados.
3. Realiza el dibujo de la caja e indica las dimensiones de cada uno de sus elemen-
tos.
4. Escribe la fórmula para calcular el volumen de la caja formada en función de la
longitud del lado x de cada cuadrado cortado en cada una de las esquinas.
5. ¿Cuántas variables hay en este problema?
6. ¿Indica cuáles son y cuál de ellas depende de la otra?
7. Escribe la fórmula del volumen de la caja como una función polinomial.
8. De acuerdo con las condiciones del problema indica el intervalo de valores que
puede tomar la longitud x del lado de cada uno de los cuadrados recortados al
cartón.
9. Completa la siguiente tabla, calculando los volúmenes correspondientes para
los valores de x señalados.

Figura 4.1.

105. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
103
X lado del cuadradoV (x) volumen
0.5
1
3
6
10
11
13
15
18
19.5
20
10. Completa la siguiente tabla, calculando los volúmenes correspondientes para
los valores de x señalados.
8QHORVSXQWRVJUD¿FDGRVFRQXQDOtQHDVXDYH
12. Para qué valor de x, el volumen de la caja será 5000 cm
3
.

106. 104
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
Aprende más
Modelo matemático de las funciones polinomiales
de grado tres y cuatro
En primera instancia, una función polinomial debe su grado al que corresponde al
polinomio incluido en su regla de correspondencia. Los polinomios a estudiar en la
presente sección son aquellos que contienen expresiones de grado tres como:
Y los que corresponden al grado cuatro:
&DEHVHxDODUTXHVLDOJXQRGHORVFRH¿FLHQWHVGHOSROLQRPLRHVLJXDODFHURVH
considera un polinomio incompleto; sin embargo, se mantienen las mismas propie-
dades y los elementos que los correspondientes a un polinomio completo. Enuncie-
mos las propiedades fundamentales de las funciones polinomiales.
• El dominio de las funciones polinomiales es todo el conjunto de los números
reales.
‡ /DVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVVRQFRQWLQXDVHVGHFLUVXVJUi¿FDVQRSUHVHQWDQ
interrupciones.
A partir de las propiedades anterio-
res podemos intuir algún compor-
WDPLHQWRLQLFLDOGHODJUi¿FDGHODV
IXQFLRQHVGHHVWHWLSR¿JXUDV\
4.3); para ello, deberá realizarse la
WDEXODFLyQHQWRGDVODVJUi¿FDV
Como indican las propiedades, se
SXHGH REVHUYDU TXH ODV JUi¿FDV
no tienen interrupciones y las fun-
ciones tienen como dominio todo el
conjunto de números reales.
Figura 4.2. f(x) = x
3
í1 Figura 4.3. f(x) = x
4
−x
2
f x ax bx cx d
32
con a, b, c, d R y a
f x ax bx cx d
32
con a, b, c, d R y a

107. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
105
Propiedades geométricas de la función polinomial de grado tres
Su expresión general es:
f x ax bx cx d
32
, donde az0
Como todas las funciones polinomiales, tiene como dominio el conjunto de los nú-
meros reales:
Domf \
Como función de grado impar, su rango son todos los números reales: Rangof \
Intersección con el eje Y: (0, d)
‡Si a > 0, la función va debajo del eje X, lo cruza y continúa arriba del eje X.
‡Si a < 0, la función empieza arriba del eje X y termina abajo del eje X.
‡El número máximo de intersecciones con el eje X (ceros de la función) es 3.
‡ 3RUWDEXODFLyQREWHQHPRVODJUi¿FD
Revisemos algunos ejemplos.
Ejemplo 1:'HVFULEHHOFRPSRUWDPLHQWR\ERVTXHMDODJUi¿FDGHODIXQFLyQ

fx x x x
3213
21
32
Solución:
Domf , Rangof \\
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<í
'DGRTXH
1
a0
3
ODJUi¿FDHPSLH]D
HQFLPDGHOHMH;\WHUPLQDGHEDMRGHpVWH
/DJUi¿FDSXHGHWHQHUPi[LPRFHURV

108. 106
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
Ejemplo 2:'HVFULEHHOFRPSRUWDPLHQWR\ERVTXHMDODJUi¿FDGHODIXQFLyQ
Solución:
Propiedades geométricas de la función polinomial de grado cuatro
Sean f (x) = x
4
y f (x íx
4
IXQFLRQHVFX\DVJUi¿FDVVHYLVXDOL]DQDFRQWLQXDFLyQ
Domf , Rangof^^
Intersección con el eje Y: (0, í2)
'DGRTXHD !ODJUi¿FDHPSLH]D
abajo del eje X y termina arriba de éste.
/DJUi¿FDSXHGHWHQHUPi[LPRFHURV
Figura 4.6. Figura 4.7.
fx x x x
32
4 52

109. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
107
Actividad de aprendizaje 1
$SDUWLUGHHVWDVJUi¿FDVSRGHPRVJHQHUDOL]DUSDUDIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVGHJUD-
do cuatro, lo siguiente:
1. /DJUi¿FDVHH[WLHQGHKDFLDHOPLVPRODGRUHVSHFWRGHOHMH;HQIRUPDGHSD-
UiERODV.
D 6LHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOHVSRVLWLYRa
n
> 0), los valores de fYDQGHVGHLQ¿QLWR
HVGHFLUODJUi¿FDHVWDUiDUULEDGHOHMH;\XQDYH]TXHKD\DWHQLGRVXPD\RU
cercanía al eje X, continuará arriba de él, considerando un desplazamiento hori-
]RQWDOKDFLDODGHUHFKD¿JXUD
E 6LHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDOHVQHJDWLYRa
n
ODJUi¿FDYDSRUDEDMRGHOHMH;\
FRQWLQ~DKDFLDí’GHVSXpVGHKDEHUWHQLGRVXPD\RUFHUFDQtDFRQHOHMH;DED-
MRGHOHMH;FRQVLGHUDQGRXQGHVSOD]DPLHQWRKRUL]RQWDOKDFLDODGHUHFKD¿JXUD
4.7).
(OUDQJRGHODVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVGHJUDGRFXDWURGHSHQGHGHOFRH¿FLHQWH
principal.
a) Si a
n
> 0, el rango incluirá todos los valores de yGHVGHXQPtQLPRKDFLDHOLQ¿QL-
to, es decir, 5DQJRI = [y
min
’
b) Si a
n
> 0, el rango incluirá todos los valores de yGHVGHí’KDVWDXQPi[LPRHV
decir, 5DQJRI = [y
min
’
3. La única intersección con el eje Y es el punto (0, a
0
).
Instrucciones (1):$QDOL]DODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV\ERVTXHMDVXJUi¿FD
a)
()fx x
3
1
b)
()fx x x
3
3
c)
()fx x x x
23
34 3 6

110. 108
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
3DUDYHUL¿FDUORVORJURVREWHQLGRVHQHVWDDFWLYLGDG\UHDOL]DUWXDXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVHFFLyQGH5HWURDOLPHQWDFLyQDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
Métodos de solución de las ecuaciones
factorizables asociadas a una función polinomial
de grado tres y cuatro

Instrucciones (2): Responde a lo siguiente marcando con una X en el paréntesis
que corresponda y completando la parte faltante.
, /DJUi¿FDGH
()fx x x
42
31 :
a) Comienza ( ) Arriba ( ) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de
izquierda a derecha.
b) Termina ( ) Arriba ( ) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de
izquierda a derecha.
c) Corta al eje Y en ________.
,, /DJUi¿FDGH
()
fx x
1003
2
:
a) Comienza ( ) Arriba ( ) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de
izquierda a derecha.
b) Termina ( ) Arriba ( ) Debajo del eje X, en un desplazamiento horizontal de
izquierda a derecha.
c) Corta al eje Y en ________.
En muchas de las funciones polinomiales que hemos analizado puedes notar que
VXJUi¿FDLQWHUVHFWDDOHMH;HQDOJXQDVQR&RQWDUFRQODVLQWHUVHFFLRQHVGHODV

111. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
109
funciones polinomiales con el eje X es de gran ayuda si esta información se agrega
a las técnicas que has aprendido hasta este punto.
Para mostrar hacia dónde vamos, analiza lo siguiente. Se tiene la función polino-
mial:
fx x x
3
4
Para la cual deseamos responder la siguiente cuestión: ¿a qué valor o valores de
la variable x les corresponde una imagen igual a cero? Para responder, debemos
considerar que si se requiere que la imagen de x sea igual a cero, tendremos que:
fx () 0 de donde se tiene la ecuación xx
3
40
Como recordarás, en tus cursos básicos de álgebra aprendiste que la ecuación pue-
de resolverse empleando la factorización que se describe a continuación:
xx
3
40
La ecuación dada se puede factorizar por factor común. Al factorizar el binomio en
el paréntesis se tiene:
xx
2
40
xx x 2 20
A partir de la última expresión resultante podemos establecer que el producto será
igual a cero, cuando al menos uno de los factores lo sea, es decir:
x
x
x



0
20
20
Así, los valores de x a los que corresponde una imagen igual a cero son:
xx x 0 2 2
De las parejas resultantes del proceso anterior, obtenemos que dichos puntos se
XELFDQHQHOHMH;OXHJRODVLQWHUVHFFLRQHVGHODJUi¿FDFRQHOHMH;VRQORVSXQWRV
(0, 0), (2, 0), (í2, 0).
Con las intersecciones con el eje x determinadas y los elementos que hemos visto,
VHSXHGHERVTXHMDUODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDHQOD
página siguiente.

112. 110
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
Ejemplo 1: Despeja la variable y y exprésala como I (x). Analiza y bosqueja la grá-
¿FDGHODIXQFLyQ
y
x
x


2
3
69
1
Solución:
Figura 4.8. Gráfica de la función f(x) = x
3
−4x

2
3y 6x 9 x 1
32
3y 6x 9x 6x 9
32
6x 9x 6x 9
y
3


32
y 2x 3x 2x 3

32
f x 2x 3x 2x 3
(VXQDIXQFLyQF~ELFDSRUORTXH
Domf Rangof \\
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH;í
3DUDKDOODUODVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;

2
6x 9 x 1
0
3



2
2x 3 x 1 0
2x 3 x 1 x 1 0

113. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
111
Ejemplo 2:'HWHUPLQDODVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;\ERVTXHMDODJUi¿FDGHOD
función:
fx x
3
1
Solución:
'HGRQGH
1 23
2x30 x10 x10
2x3 x1 x1
3
x x 1 x1
2



/DVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;VRQ
3
,0 , 1,0 y 1,0
2
§·

¨¸
©¹
'DGRTXHD !ODJUi¿FDFRPLHQ]DGHEDMRGHOHMH;\WHUPLQDDUULEDGHOHMH;
/DJUi¿FDHV
3URFHGHPRVDGHWHUPLQDUORVYDORUHVGH[TXHWLHQHQDOFHURFRPRLPDJHQHVWRHV
x 10
$OVHUHOELQRPLRGHXQDVXPDGHFXERVVHWLHQH

2
x1x x1 0
Continúa...

114. 112
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
Ejemplo 3: Traza el bosquejo de la función fx x x
42
() 1 .
Solución:
/DH[SUHVLyQDQWHULRUSHUPLWHREVHUYDUTXHXQRGHORVYDORUHVDGHWHUPLQDUHV[ í
6LQHPEDUJRORVYDORUHVGH[HQODVHJXQGDH[SUHVLyQUHTXLHUHQGHRWUDWpFQLFDSDUD
REWHQHUVH(QHVWHFDVRVLDSOLFDPRVODIyUPXODJHQHUDOSDUDUHVROYHUHFXDFLRQHVGH
VHJXQGRJUDGRREWHQHPRV


2
x x1 0
2
b b 4ac
x
2a
r
\DTXHD E íF VXVWLWX\HQGR


2
( 1) 1 4 1 1 1 14 1 3
x
21 22
r r r

/DH[SUHVLyQDQWHULRUPXHVWUDFODUDPHQWHTXHOD
HFXDFLyQQRWLHQHPiVVROXFLRQHVHQHOFDPSR
GH ORV Q~PHURV UHDOHV \ HQ FRQVHFXHQFLD OD
JUi¿FDQRWHQGUiPiVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH[
TXHFXDQGR[ í3RUORTXHHQODJUi¿FDVyOR
VHSXHGHYLVXDOL]DUXQRGHORVFHURVí\OD
LQWHUVHFFLyQFRQHOHMH<
(VLPSRUWDQWHUHFRQRFHUTXHODHFXDFLyQLQLFLDO
GHJUDGRWUHVWLHQHWUHVVROXFLRQHVHQHVWHFDVR
XQDVROXFLyQUHDO\GRVFRPSOHMDV
$OGHWHUPLQDUORVYDORUHVGH[TXHWLHQHQDOFHUR
FRPRLPDJHQ
42
x x 10
6H REVHUYD TXH OD HFXDFLyQ DQWHULRU QR WLHQH
VROXFLRQHV UHDOHV HV GHFLU WHQGUi FXDWUR VROX-
FLRQHVFRPSOHMDV(PSOHDQGRVXVFRH¿FLHQWHV\
JUDGRWHQHPRV

115. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
113
f(x) = 6x
3
íx
2
íx + 15
a
b
(
1, 3, 5, 15
1, 2, 3, 6

E

Denominador Numerador
Una de las técnicas utilizadas para factorizar polinomios de tercer grado es encon-
WUDQGR\FRPELQDQGRORVIDFWRUHVGHOFRH¿FLHQWHGHx de mayor grado y los factores
del término independiente, ya que las raíces del polinomio siempre dan como pro-
ducto a esos dos números, a este proceso se le llama UDtFHVUDFLRQDOHV.
A continuación se explica el procedimiento para encontrar las raíces de un polino-
mio. Se toma como ejemplo el siguiente:
¿Qué relacion observas entre el 6 y el 15? El número 6 y el 15 están relacionados
con el producto de sus factores:
(2)(1)(3) = 6
(3)(1)(5) = 15

Las raíces de este polinomio se formarán combinando los factores de estos núme-
ros. Las raíces racionales que se formarán sólo pueden ser algunas de las que se
construyan con estos números:
Por ejemplo, si consideramos que el denominador es 1, cada uno de estos números
es una posible raíz del polinomio:
rrrr1 3 5 15
De la misma manera, si consideramos al 2 como denominador, éstas serán las po-
sibles raíces:
rrrr
1 3 5 15

222 2
Evaluando cada uno de los valores en la función original, los valores que obtuvieron
una imagen igual a cero son:

35
1, ,
23
, es decir, xx x


35
1; ;
23

116. 114
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
-


-


La ecuacion xx x
32
6 7 14 15 0 factorizada es:
xx x 123350
Ejemplo 1: Encuentra las posibles combinaciones de raíces racionales de:
fx x x x x
432
( ) 6 13 16 53 30
Solución:
/DVSRVLEOHVFRPELQDFLRQHVGHUDtFHVUDFLRQDOHVVLHVTXHH[LVWHQHVWDUiQHQORVVL-
JXLHQWHVQ~PHURV
a 30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
b6 1, 2, 3, 6
r r
8QRGHORVSURFHVRVPiVIiFLOHVSDUDHYDOXDU\HQ-
FRQWUDU OD LPDJHQ FHUR HV OD GLYLVLyQ VLQWpWLFD 6L
VHWRPDODFRPELQDFLyQ\UHDOL]DPRVODGLYLVLRQ
VLQWpWLFD VH REWLHQH XQD LPDJHQ FHUR R UHVLGXR
FHURD¿UPDQGRTXHHVXQDUDt]UDFLRQDOGH
432
f( x ) 6x 13x 16x 53x 30

/DYHQWDMDGHODGLYLVLyQVLQWpWLFDHVWiHQTXHSUR-
SRUFLRQD SROLQRPLRV GH JUDGR LQIHULRU SDUD VHJXLU
SUREDQGRUDtFHV
$OFRPELQDUXQDYH]PiVORVIDFWRUHV\WRPDQGRDO
XQRSDUDUHDOL]DUODGLYLVLRQVLQWpWLFDREVHUYDPRV
TXHWDPELpQHVXQDUDt]

&XDQGRVHOOHJDDXQDIXQFLyQFXDGUiWLFDVHSXHGHSURFHGHUGHODPLVPDPDQHUDSDUD
FDOFXODUODVUDtFHVUHVWDQWHVRPHGLDQWHODIyUPXODJHQHUDO
2
b b 4ac
x
2a
r

2LQFOXVRXQDIDFWRUL]DFLyQGHODHFXDFLyQFXDGUiWLFDSRUDOJXQRGHORVPpWRGRVDSUHQ-
GLGRVHQORVFXUVRVGHiOJHEUD/DVUDtFHVRIDFWRUHVGHOSROLQRPLRVRQ
53
x 1 x x 2 x
32

ííí
íí
íí
5
3
í1 í
í
í
1

117. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
115
Actividad de aprendizaje 2
3RGHPRVD¿UPDUTXHHVWDVWpFQLFDVQRVSHUPLWHQWHQHUXQDFHUFDPLHQWRDOJUi¿FR
TXL]iPX\FHUFDQRDODJUi¿FD¿QDO0iVDGHODQWHDSUHQGHUiVHVWUDWHJLDVSDUDGH-
WHUPLQDUFRQSUHFLVLyQODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQSROLQRPLDO
Instrucciones (1):%RVTXHMDODVJUi¿FDVGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVSROLQRPLDOHV
a) fx xx x ( ) 3 ( 1)( 3)
b) gx x
3
() 1
c) yx x
42
34
d) fx x
4
() 3
e) gx x
3
( ) 27
3RUORWDQWRHOSROLQRPLRIDFWRUL]DGRHVLJXDOD
( )( )( )( )x 1 3x 5 2x 3 x 2
/DGHWHUPLQDFLRQGHODVUDtFHVGHXQSROLQRPLRSHUPLWHIDFWRUL]DUOR$VtFRPRKDFHUXQ
HVER]RGHVXJUi¿FR

118. 116
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
3DUDYHUL¿FDUORVORJURVREWHQLGRVHQHVWDDFWLYLGDG\UHDOL]DUWXDXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVHFFLyQGH5HWURDOLPHQWDFLyQDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
&RPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FDGHXQDIXQFLyQ
polinomial en función de los valores que toman
sus parámetros
n
aa
0


Instrucciones (2): Se construye una caja de cartón abierta a partir de una pieza con
dimensiones 40 cm por 20 cm. Para ello se cortan cuadrados de cierta longitud en
cada esquina. Modela el volumen de la caja a través de una función y responde las
siguientes preguntas:
1. ¿Qué tipo de función es?
2. ¿Cuál es su dominio?
3. ¿Es una función continua?
4. %RVTXHMDODJUi¿FDTXHOHFRUUHVSRQGH
(QJHQHUDOORVSROLQRPLRVFRQWLHQHQ³Q´WpUPLQRV\HQFRQVHFXHQFLDPLVPRQ~PH-
URGHFRH¿FLHQWHVLQFOXVRpVWRVSXHGHQYDOHUFHUR$SDUWLUGHGLFKRVFRH¿FLHQWHV
VHSXHGHGHVFULELUHOFRPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FDGHODIXQFLyQ\ERVTXHMDUOD
La forma general de una función polinomial es:
()
n
n
n
fx x a x x x aa


!
12
1 21

En esta expresión es un número entero no negativo, que se denomina JUDGRGHOD
IXQFLyQSROLQRPLDO.
‡ /RVYDORUHVQXPpULFRVUHDOHV
nn
aa aaa

!
1 210
, ,,,,

se denominan FRH¿FLHQWHVGHO
SROLQRPLR.

119. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
117
n
a
a
0


Actividad de aprendizaje 3
Instrucciones (1): Completa la siguiente tabla a partir de la función polinomial que
se presenta.
Polinomio Grado
Término
principal
&RHÀFLHQWH
principal
&RHÀFLHQWH
constante
f(x) = x
6
íx
f(x) = 2x
3
íx + 2
g(x) = 3x
4
+ x í 1
h(x) = x
3
‡ (OFRH¿FLHQWH, un número real diferente de cero (
n
az0) que actúa como
FRH¿FLHQWHGHOWpUPLQRGHPD\RUJUDGRVHGHQRPLQDFRH¿FLHQWHSULQFLSDOde la
función.
‡ (OFRH¿FLHQWH

se denomina FRH¿FLHQWHFRQVWDQWH.
‡ 'HHVWHPRGR
n
n
ax

es el término principal de la función y el término a
0
es el
WpUPLQRFRQVWDQWH o WpUPLQRLQGHSHQGLHQWH de ésta.
Por ejemplo, en la función polinomial:
fx x x x x
4 32
3 2 23

Grado:4
Término principal:3x
4
&RH¿FLHQWHSULQFLSDO :3
&RH¿FLHQWHFRQVWDQWH :3
Debes tener en cuenta que en un polinomio de grado QHO~QLFRFRH¿FLHQWHTXH
GHEHVHUGLVWLQWRGHFHURHVHOFRH¿FLHQWHSULQFLSDO¢&XiOHVODUD]yQ"&XDOTXLHUD
GHORVGHPiVFRH¿FLHQWHVGHOSROLQRPLRSXHGHVHULJXDODFHURFDVRGHOSROLQRPLR
incompleto).

120. 118
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
Instrucciones (2): Completa la siguiente tabla a partir de la función polinomial que
se presenta.
Polinomio Grado
Término
principal
&RHÀFLHQWH
principal
&RHÀFLHQWH
constante
43 6
3 í5 í8
31 2
42 0
3DUDYHUL¿FDUORVORJURVREWHQLGRVHQHVWDDFWLYLGDG\UHDOL]DUWXDXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVHFFLyQGH5HWURDOLPHQWDFLyQDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

121. Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
119
Cierre del bloque IV
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
Una vez estudiada la parte principal de este bloque IV, lo consecuente es que de-
sarrolles las habilidades y actitudes necesarias, para así evidenciar que estas apre-
hendiendo funciones polinomiales de grado tres y cuatro.
$O¿QDOGHOSUHVHQWHEORTXH\DFXHQWDVQXHYRVHOHPHQWRVGHDSUHQGL]DMHSDUDTXH
poco a poco te apropies de ellos y puedas trabajar y aplicar funciones polinomiales
a situaciones teóricas, pero también a algunas situaciones reales.
Con estos elementos, te invito a que investigues acerca de algún tipo de aplicación
de funciones polinomiales de grados tres y cuatro y comparte la información con tu
docente y grupo.
Cuestiónense acerca de la utilidad de estar desarrollando estos aprendizajes y la
LPSRUWDQFLDGHPDQHMDUORVDGHFXDGDPHQWH$O¿QDOSUHVHQWDDWXGRFHQWHODVREVHU-
vaciones del trabajo realizado para realimentar tu aprendizaje en cuanto a funciones
polinomiales.
Autoevaluación
Instrucciones: Encuentra las soluciones a los siguientes ejercicios para lo cual de-
bes realizar las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y limpieza. Regis-
WUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQWXVFRPSDxHURV
de clase escucha y respeta las aportaciones de los demás para mejorar tu trabajo.
1. Despeja la variable y de la ecuación:
Expresa la variable x como función de la variable y, analiza la función y bosqueja
VXJUi¿FD
2. Determina una de las raíces del polinomio xxx
32
.
/DJUi¿FDGHXQDIXQFLyQSROLQRPLDOFRUWDDOHMH;HQORVSXQWRVí\GHWHU-
mina el polinomio que le corresponde.
yy x
xy
x



3
22
9 10

122. 120
Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro
B
loque IV
3DUDYHUL¿FDUORVORJURVREWHQLGRVHQHVWDDFWLYLGDG\UHDOL]DUWXDXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVHFFLyQGH5HWURDOLPHQWDFLyQDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Si de la actividad anterior obtuviste 5 aciertos considera tu resultado como exce-
lente, si fueron 4 aciertos como bien, si tienes 3 aciertos como regular y si tus res-
puestas correctas fueron menos de 3 aciertos considera tu desempeño como no
VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en
función de las respuestas correctas que tuviste?
Excelente
Bien
Regular
1RVXÀFLHQWH
7UD]DODJUD¿FDTXHOHFRUUHVSRQGHDODIXQFLyQSROLQRPLDOfx x
4
() 1 .
*UD¿FDODIXQFLyQfx x x x
432
() 2 3 1 .

123. Bloque V
Utilizas funciones factorizables
en la resolución de problemas
Bloque V. Utilizas funciones factorizables en la resolución de
problemas

124. 122
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Introducción
3DUDODFRQVWUXFFLyQGHFDVDVHGL¿FLRV\FDUUHWHUDVHVQHFHVDULRFRQRFHUODUHVLV-
WHQFLDGHORVPDWHULDOHVSDUDWDOPRWLYRHVIUHFXHQWHHQFRQWUDUWDEODV\JUi¿FDV
que apoyan el cálculo para ciertos diseños arquitectónicos.
/DDSOLFDFLyQGHWDEODV\JUi¿FDVQRVSHUPLWHFDOFXODUHOFUHFLPLHQWRGHXQDSR-
blación animal o vegetal en función del tiempo, el peso de un bulto en función del
diámetro del mismo, el consumo de oxígeno en función del trabajo realizado, etc.
/DVJUi¿FDVGHIXQFLRQHVVHKDFHQSUHVHQWHVVLHPSUHTXHHQXQH[SHULPHQWRR
fenómeno se establezca cierta relación algebraica o se utilice una fórmula. Los fe-
QyPHQRVSXHGHQVHUVRFLDOHVWHFQROyJLFRVHLQFOXVRSDUWLFXODUPHQWHHVSHFt¿FRV
Aún cuando la teoría de ecuaciones que estudiamos actualmente surge en el siglo
XV, los egipcios, hacia el año 1890 aC, ya utilizaban ciertas proposiciones que los
inducían a resolver ecuaciones hasta de segundo grado.
En este bloque ampliaremos el conocimiento de la solución de ecuaciones polino-
miales factorizables.

125. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
123
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?
Bloque V
1. División sintética.
• Método de división sintética.
2. Ceros y raíces de la función.
3. Teorema del residuo.
4. Teorema del factor.
5. Teorema fundamental del álgebra.
6. Teorema de factorización lineal.
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVSROLQRPLDOHV
factorizables.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias.
• Actividad de aprendizaje 1. Ejercicios sobre
división sintética.
• Actividad de aprendizaje 2. Uso del teorema
del residuo.
• Actividad de aprendizaje 3. Ceros de una
función polinomial.
• Actividad de aprendizaje 4. Teorema de
factorización lineal.
• Actividad de aprendizaje 5. Raíces de
funciones polinomiales.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
10
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos y variaciona-
les para la comprensión y análisis de situacio-
nes reales, hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
• Analiza las relaciones entre dos o más varia-
bles de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
Competencias disciplinares que se
desarrollan

126. 124
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Organizados en equipos de cuatro estudiantes, respondan lo siguiente: ¿qué sig-
QL¿FDODSHQGLHQWH"/DJUi¿FDGHODWHPSHUDWXUDHQHOH[WHULRUHQXQFLHUWRSHULRGR
es una recta. ¿Qué tanto está cambiando el tiempo si la pendiente de la recta es
positiva? ¿Y si es negativa? ¿Y si es cero? Escriban su conclusión:

Aprende más
División sintética
Las funciones polinomiales factorizables VHGH¿QHQDSDUWLUGHUHODFLRQHVDULWPpWL-
cas como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.
Por la forma en que se presentan estas relaciones, las funciones algebraicas se
FODVL¿FDQGHODVLJXLHQWHPDQHUD
En este bloque estudiaremos las funciones polinomiales factorizables. Para lograr
comprender el análisis de la factorización de una función polinomial, es necesario
recordar la división entre polinomios, ampliando este conocimiento se estudiara la
división sintética.







0
10
2
2 10
32
3 2 10
1
1 10
Constante:
Lineal:
Polinomiales Cuadrática:
Cúbica:
De grado mayor:
nn
nn
fx a
f x ax a
f x ax ax a
f x ax ax ax a
f x ax a x ax a


­ ­
° °
° °
° °
®®
°°

°°
°°

¯¯
!
Funciones
algebraicas

127. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
125
Método de división sintética
Figura 5.1. Teja de una casa. El diseño de estas tejas
está basado en funciones polinomiales.
La GLYLVLyQVLQWpWLFD es un proceso para dividir un polinomio entre otro de grado
menor o igual, pero sin el uso de expresiones literales; es decir, empleamos única-
PHQWHORVFRH¿FLHQWHVQXPpULFRVGHORVWpUPLQRV
El proceso de la división sintética se basa en procedimientos desarrollados por Ru-
¿QL\+RUQHU3DUDUHDOL]DUHVWHSURFHVRGHEHPRVYHUL¿FDUTXH
1. Los polinomios dividendo y divisor estén ordenados descendentemente.
2. El grado del dividendo sea mayor o igual al grado del divisor.
Si se desea dividir
xx xxx
24 3 5
11 6 43 9 8 42

entre xx
2
32 6

por el mé-
todo de división sintética, primero se deben ordenar el dividendo y el divisor:
Dividendo:
xx x xx
54 3 2
8 6 43 11 9 42 ; grado Dividendo ( )5
Divisor: xx
2
2 36 ; grado Divisor ( )2
Dado que grado Dividendo grado Divisor!( ) () , 5 > 2, la división se puede realizar.
El acomodo de los elementos en la división sintética se apegará al esquema de la
¿JXUD
Línea de división
Cociente
Línea de cierre
Área de trabajo
Dividendo
Residuo
1er. término del divisor
Siguientes términos del divisor
Figura 5.2. Elementos de la división sintética.

128. 126
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Pasos de la división sintética
3DVR 6HHVFULEHQORVFRH¿FLHQWHVQXPpULFRV
del dividendo ordenado descendentemente en
un primer renglón. Si el polinomio está incom-
pleto, escribe cero en la columna del término
que falte. Dibuja una vertical junto al último
FRH¿FLHQWHHVFULWR

3DVRSe dejan algunos renglones en blanco
SDUDHO³iUHDGHWUDEDMR´/DFDQWLGDGGHUHQJOR-
nes necesarios se puede calcular de la siguien-
te manera:
Renglones de área de trabajo = grado(Dividendo)
ígrado(Divisor) + 1
En nuestro ejemplo,
5HQJORQHVGHiUHDGHWUDEDMR í
3DVR Se trazan dos líneas horizontales de-
bajo del área de trabajo y se prolonga la vertical
hasta cruzar estas dos horizontales. El proceso
VHPXHVWUDHQOD¿JXUD
3DVR6HHVFULEHHOSULPHUFRH¿FLHQWHQXPp-
rico del divisor en el espacio reservado para
él, como se indicó en el esquema. En nuestro
HMHPSORHVWHFRH¿FLHQWHHV¿JXUD
3DVR6HHVFULEHQORVVLJXLHQWHVFRH¿FLHQWHV
del divisor pero se cambian sus signos. Este
paso es muy importante para evitar errores en el
resultado. También deben escribirse ceros para
los términos que el divisor no tenga.
3DVR 6H EDMD HO SULPHU FRH¿FLHQWH GHO GLYL-
dendo hasta la línea de división.
3DVR6HGLYLGHHQWUHHOSULPHUFRH¿FLHQWHGHO
divisor y el resultado se coloca debajo del térmi-
no que se bajó.
Renglón 1
Renglón 2
Renglón 3
Renglón 4
Línea de división
Línea de resultados
Siguientes
términos del
divisor
1er.
FRH¿FLHQWH
del divisor
Figura 5.3. Paso 2 y 3.
ííí
+2
Figura 5.4. Paso 4.
ííí
ííí
ííí
+2
Figura 5.5. Paso 5.
+3 +6
ííí
+2
Figura 5.6. Paso 6.
+3+6
8

129. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
127
3DVR Se multiplica este número por los si-
JXLHQWHVFRH¿FLHQWHVGHOGLYLVRU\ORVUHVXOWDGRV
se colocan en el área de trabajo en las colum-
nas siguientes del renglón número dos.
3DVR Se checa que no se haya escrito al-
gún número en la última columna. De ser así se
termina el proceso y se deben determinar los
resultados. En nuestro ejemplo, el último núme-
ro escrito es 24, que aún no está en la última
columna del área de trabajo (que es la columna
GRQGHHVWiHOí
3DVR Si el proceso continua, entonces se
EDMDODVXPDGHORVFRH¿FLHQWHVGHODVLJXLHQ-
te columna a la línea de división y se repite el
proceso del paso 6 al 9, tantas veces como sea
necesario y hasta llegar a la última columna.
3DVR Cuando hemos escrito un número de-
bajo de la última columna, como en el proceso
próximo anterior, debemos colocar unas líneas
de cierre junto a la última cifra escrita en el últi-
mo renglón.
3DVR Como vemos, quedaron dos columnas
después de las líneas de cierre. Sumamos estas
columnas y escribimos los resultados en la línea
de división, como se muestra a continuación.
3DVR Ahora, determinemos el cociente. Sólo
YHPRVORVFRH¿FLHQWHVGHOSROLQRPLRTXHUHSUH-
senta al cociente. El último es el número 7, que
HVHOWpUPLQRGHJUDGRFHURDQWHVHVWiHOí
siendo el de grado 1; antes que éste está el 3,
que es el término de grado 2, así llegamos al pri-
mer término que es el término de grado 3. Como
la variable es x, el cociente es:
3DVR Ahora calculemos el residuo. Vemos
que en la zona del residuo hay dos ceros. Esto
VLJQL¿FDTXHHOSROLQRPLRGHOUHVLGXRHVGHSUL-
mer grado (un término de grado cero y un tér-
mino de primer grado). Pero como ambos son
FHURSRGHPRVGHFLUTXHHOUHVLGXR¿QDOHVFHUR
ííí
+2
Figura 5.7. Paso 7.
+3+6
8
+4
ííí
+2
Figura 5.8. Paso 8.
+3 +6
8
+4
+12 +24
ííí
+2
Figura 5.9. Paso 9 y 10.
+3 +6
í
í
+12 +24
+9 +18
íí
íí
+21 +42
ííí
+2
Figura 5.10. Paso 11 y 12.
+3 +6
í0 0
í
+12 +24
+9 +18
íí
íí
+21 +42
ííí
+2
Figura 5.11. Paso 13 y 14.
+3 +6
í0 0
í
+12 +24
+9 +18
íí
íí
+21 +42
32
4 3 57xxx

130. 128
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
3DVR Ahora sólo resta expresar el resultado:
54 3 2
32
2
8 6 43 11 9 42
4 3 57
2 36
xx x xx
xxx
xx



Ejemplo 1: Dividir por el método de división sintética la siguiente expresión:x xx x
xx


4 32
2
10 29 8 85 70
5 38
Solución:
Ejemplo 2: Dividir por el método de división sintética la siguiente expresión:
x x xx x x
xxx


7 5 43 2
43
7 12 29 20 5
2 57
Solución:
1 0 7 12 1 29 20 5
20 5 7
4 0 10 14
6 0 15 21
2 0 5 7 20 5 7
12 3 1 0 0 6 2 1
12 3 1







5HVXOWDGR
7 5 43 2
32
43 43
x 7x 12x x 29x 20x 5 6x 12
x 2x 3x 1
x2x5x7 x2x5x7



10 29 8 85 70
6 16
21 56
27 72 3 8
10 35 45 2 2 5
279






Resultados:
4 32
2
22
10x 29x 8x 85x 70 2x 2
2x 7x 9
5x 3x 8 5x 3x 8

131. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
129
Actividad de aprendizaje 1
3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando los procesos comple-
WRVHQWXFXDGHUQR$O¿QDOGHODDFWLYLGDGHVFULEHXQDFRQFOXVLyQVREUHHODYDQFH
de tu aprendizaje en la división algebraica.
1. Divide por el método de división sintética:
x x x xx x x
7 36 5 2 4
18 24 3 76 76 10 40

÷ xx x
45
42 3 8

2. Por división sintética, encuentra el resultado de la división:
m m mmm mmm y
2 4 3 5 23
12 19 11 3 30 1 4 5 2 1

3. Por división sintética, determina el resultado de
ab
a ab b


33
22
8
42
4. Determina el resultado de xx x y
2
56 3 , usando el método de división
sintética.
5. Usando división sintética calcula
pppppp
pp p


6 5 4 32
32
12 11 12 30 7 13 7
4 21

Conclusiones:

132. 130
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Ceros y raíces de la función

A los valores de x que hacen que un polinomio
n
n
ax ax a
10
....

valga cero se les
llaman UDtFHV o FHURVGHOSROLQRPLR.
Por ejemplo, sea el polinomio:
px x 1
Entonces, si x 1 , al sustituir dicho valor en el polinomio obtenemos cero.
$VtTXHíHVXQDUDt]GH
px
En otro ejemplo, si
qx x x
2
45
Observamos que para x = 5 y x íHOSROLQRPLRYDOHFHUR
Si f(U HQWRQFHVD¿UPDPRVTXHODIXQFLyQWLHQHXQFHURHQx = U, con lo que
queda determinado, de este modo, el punto (U, 0) como una intersección de la grá-
¿FDGHf(x) con el eje X. Para hallar los ceros de un polinomio, se debe resolver la
ecuación: f(x) = 0.
La cantidad de soluciones de una ecuación polinomial depende del grado, de modo
que si éste es Q, la ecuación f(x) = 0 tendrá Q soluciones, cada una de las cuales
SXHGHVHUUHDORFRPSOHMD\FRPRFRQVHFXHQFLDODJUi¿FDGHf(x) tendrá como
máximo Q intersecciones con el eje X. Son Q intersecciones con el eje X en el caso
de que todas las raíces de la ecuación sean reales.
Por ejemplo, una función de primer grado tiene sólo una raíz o cero y, como máxi-
mo, una intersección con el eje X. Las funciones de primer grado se denominan
IXQFLRQHVOLQHDOHVSRUTXHVXJUi¿FDHVXQDUHFWD6LODUHFWDHVKRUL]RQWDOSDUDOHODDO
eje X, entonces no existe intersección alguna con el eje X. Una función de segundo
grado o cuadrática tiene dos ceros y, como máximo, dos intersecciones con el eje X.
Una ecuación cúbica tiene tres ceros y, por lo tanto, como máximo tres interseccio-
nes con el eje X, etcétera.
/DVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH<TXHWLHQHODJUi¿FDVHFDUDFWHUL]DQSRUVHUSXQWRV
de abscisa igual a cero. Si x = 0, tenemos que:
Los ceros de una función polinomial I[son los valores que hacen que I[ 0
*Ui¿FDPHQWHVHUHFRQRFHQSXHVVRQORVYDORUHVGHODVDEVFLVDVGHORVSXQWRV
GHLQWHUVHFFLyQGHODJUi¿FDFRQHOHMH;

133. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
131

n
n
fa 00

n
n
a



1
1
0
a!
2
2
0
a
1
0 a
0
por lo que para toda función polinomial se cumple que fa
0
0
Se determina así al punto (0, a
0
) como la única intersección con el eje Y de cualquier
IXQFLyQSROLQRPLDO(OFRH¿FLHQWHFRQVWDQWHa
0
determina el punto sobre el eje Y por
HOFXDOSDVDODJUi¿FDGHODIXQFLyQ6LHOFRH¿FLHQWHFRQVWDQWHHVFHURODJUi¿FDGH
la función polinomial pasará por el origen del plano cartesiano, es decir, por el punto
(0, 0). Para comprender mejor esto último, analicemos la función:
fx x x
2
56
Comencemos el análisis notando que el grado de la ecuación f(x) = 0 es 2, lo que
QRVJDUDQWL]DTXHDORPXFKRODJUi¿FDWRFDUiGRVYHFHVDOHMH;5HVROYLHQGROD
HFXDFLyQREWHQHPRVTXHODVUDtFHVVRQ\ORTXHVLJQL¿FDTXHf(x) = 2 y que
f(x &RQHVWRSRGHPRVFRQFOXLUVLQPLHGRDHTXLYRFDUQRVTXHODJUi¿FDFRUWD
al eje X en los puntos (2, 0) y (3, 0).
3RURWURODGRHOWpUPLQRLQGHSHQGLHQWHHVFRQORTXHFRQFOXLPRVTXHODJUi¿FD
FRUWDDOHMH<HQHOSXQWR9LVWRGHRWUDIRUPDODJUi¿FDFRUWDDOHMH<DXQD
altura de 6 unidades sobre el eje X.
&RQODLQIRUPDFLyQDQWHULRU\UHFRUGDQGRTXHODJUi¿FDQRSXHGHHVWDUURWDSRGH-
mos trazar ésta:
¢&yPRVHXWLOL]DHOVDEHUTXHODJUi¿FDQRHVWiURWD"&RPHQWDWXUD]RQDPLHQWR
con el grupo.
Figura 5.15. Gráfica de la función f(x) = x
2
í 5x + 6

134. 132
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Aprende más
Teorema del residuo

Los siguientes teoremas muestran cómo se puede usar la división sintética para
evaluar polinomios fácilmente.
Si el polinomio
Px

se divide entre xc, entonces el residuo es el valor de Pc.
'HPRVWUDFLyQ Si el divisor en el algoritmo de la división es de la forma [íFpara
algún número real c, entonces el residuo debe ser una constante (puesto que el
grado del residuo es menor que el grado del divisor). Si a esta constante se le
denomina U, entonces:
Px x c Qx r ˜
Si se establece [ F en esta ecuación, se obtiene:
Px x c Qx r r r ˜ 0

Es decir,
Pc es el residuo U.
Ejemplo: Aplicar el teorema del residuo para hallar el valor de un polinomio, sea:
pxxxxx
543
()35473
a) Encuentre el cociente y el residuo cuando
Px

se divide entre [2
b) Usa el teorema del residuo para hallar
P2.
Solución:
D 3XHVWRTXHx2x 2 ODGLYLVLyQVLQWpWLFDSDUDHVWHSUREOHPDWRPDOD
VLJXLHQWHIRUPD

135. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
133
Teorema del factor
El teorema siguiente establece que los ceros de polinomios corresponden a facto-
res, c es un cero de P si y sólo si:
xc es un factor de
Px

'HPRVWUDFLyQ Si
Px

se factoriza como Px x c Qx ˜ , entonces:
Pc c c Qc Qc ˜ ˜ – 0 0
A la inversa, si
Pc 0, entonces por el teorema del residuo:
Px x c Qx x c Qx ˜ ˜0
Por lo tanto, xc es un factor de
Px

Ejemplo 1: Factorizar un polinomio por medio del teorema del factor, sea:
px x x
3
() 7 6
Demostrar que
P 10 y factorizar Px

por completo.
2 3 5 4 0 7 3
6 2 4 8 2
3 1 2 4 1 5



(OUHVLGXRHVSRUORWDQWR
p2 5
(OFRFLHQWHHV
43 2
3x x 2x 4x 1
\HOUHVLGXRHV
E 3RUHOWHRUHPDGHOUHVLGXR
P2

HVHOUHVLGXRFXDQGRPx

VHGLYLGHHQWUH
x 2 x 2
'HOLQFLVRDHOUHVLGXRHVSRUORWDQWR
P2 5

136. 134
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Solución:
Ejemplo 2: +DOODUXQSROLQRPLRFRQFHURVHVSHFL¿FDGRV+DOODUXQSROLQRPLRGH
JUDGRFXDWURTXHWLHQHFHURVí\
Solución:
Sustituyendo, se ve que:
3RUHOWHRUHPDGHOIDFWRUHVWRVLJQL¿FDTXHHVXQIDFWRUGH3[8VDQGRODGLYLVLyQ
sintética se ve que:
Por el teorema del factor deben ser factores del polinomio
deseado, así que
Puesto que es de grado cuatro es una solución del problema.

$OJUD¿FDUVHGHEHREVHUYDUTXHORVFHURVGH3FRUUHVSRQGHQDODVLQWHUVHFFLRQHVFRQ
HOHMH;GHODJUi¿FD
Figura 5.12.
Por el teorema del factoor r deben ser factores del polinomio
deseado, asíque
Ejemplo 2: +DOODUXQSROLQRPLRFRQFHURVHVSHFL¿FDGRV+DOODUXQSROLQRPLRGH
JUDGRFXDWURTXHWLHQHFHURVí \
Solución:
Sustituyendo, se ve que:
3RUHOWHRUHPDGHOIDFWRUHVWRVLJQL¿FDTXHHVXQIDFWRUGH3[8VDQGRODGLYLVLyQ
sintética se ve que:
Puesto que es de grado cuatro es una solución del problema.

137. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
135
Actividad de aprendizaje 2
3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando los procesos comple-
WRVHQWXFXDGHUQR$O¿QDOGHODDFWLYLGDGHVFULEHXQDFRQFOXVLyQVREUHHODYDQFH
de tu aprendizaje en la división sintética.
I. Usa la división sintética y el teorema del residuo para evaluar 3F.
1. px x x c
2
( ) 4 12 5 1
2.
px x x c
2 1
( ) 2 9 1
2

3. px x x x x c
432
( ) 5 30 40 36 14 7
,, (QFXHQWUDXQSROLQRPLRGHJUDGRHVSHFL¿FDGRTXHWHQJDORVFHURVGDGRV
4. Grado 4: ceros í1, 1, 3, 5
5. Grado 5: ceros í2, -1, 0, 1, 2
Conclusiones:

138. 136
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Teorema fundamental del álgebra
Este teorema es de gran importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encon-
trar los ceros o raíces de una ecuación representa encontrar todos los valores de x
para los cuales f (x) = 0.
Carl Friedrich Gauss fue uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos.
Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, a los 20 años de edad,
demostró su teoremaque dice lo siguiente:
Es decir que la ecuación:
nn n n
nn n n n
ax a x a x a x ax ax ax a cona



1 2 3 32
1 2 3 3 21 0
... 0, 0
tiene Q soluciones
Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue, ya que se
puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay Q raíces para todo polinomio
de este grado, entonces:


nn n n
nn n n
n
f x ax a x a x a x ax ax ax a
xrx rfx rx




1 2 3 32
1 2 3 3 21 0
12
...
...
donde
n
rr r
12
, ...,

son las raíces de fx
La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta unidad, sin em-
bargo, daremos algunas herramientas para encontrar las Q raíces.
Con las herramientas analizadas, nos percatamos de que no es necesario el uso de
fórmulas para resolver ecuaciones de grado Q, a lo más nos apoyamos en la fórmu-
la general de la ecuación de segundo grado y en la evaluación, teorema del factor,
teorema del residuo, etcétera para resolver ecuaciones de grado dos o mayor.
Por lo que, situaciones matemáticas que pueden ser verdaderamente complicadas,
se resuelven por métodos que resultan ser sencillos y de mucha facilidad y, al abor-
dar estas situaciones deben ser individuos capaces de ver la función y bosquejar
HQVXVPHQWHVHOFRPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FD(VWRHVSUHFLVDPHQWHORTXHYDVD
lograr al término de la presente sección.
7HRUHPDIXQGDPHQWDOGHOiOJHEUDTodo polinomio de grado Q tiene Q raíces.

139. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
137
Actividad de aprendizaje 3
3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Instrucciones (1): Explica el procedimiento que debe seguirse paso a paso para
determinar los ceros de una función polinomial. Escríbelo en las líneas siguientes:
Instrucciones (2): Encuentren los ceros de cada ecuación polinomial. Escribe el
procedimiento y la respuesta en tu cuaderno de trabajo.
a)
32
46yx x x
b)
32
3 42yx x x
c)
32
2 48yx x x
d)
4 32
3 3 31yxxxx
e)
52
4 12 3y x xx

140. 138
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Aprende más
Teorema de factorización lineal
El procedimiento que hemos utilizado para determinar las raíces de un polinomio
se ha centrado en la factorización de dicho polinomio y su expresión como la multi-
plicación de sus factores lineales, de sus factores complejos o una combinación de
ellos.
La multiplicidad tiene que ver con el número de factores lineales repetidos o no de
cada polinomio. Revisemos los ejemplos:
Si

2
3 18 3 6fx x x x x

de acuerdo al análisis con los ceros obtenidos,
existen las raíces :
‡ íWLHQHPXOWLSOLFLGDG
‡ WLHQHPXOWLSOLFLGDG
Si

32
2 48 2 2 2fx x x x x ix ix ; se observa que:
‡ íi tiene multiplicidad 1.
‡+2i tiene multiplicidad 1.
‡2 tiene multiplicidad 1.
Si

3
43
4 16 16 2 2fx x x x x x ; hay tres raíces iguales, entonces:
‡ WLHQHPXOWLSOLFLGDG
‡ íWLHQHPXOWLSOLFLGDG
‡La multiplicidad es 4 que es equivalente al exponente mayor de la función poli-
nomial.
En general, dado un polinomio en x, se determinan sus ceros o raíces lineales para
poder establecer el conteo de las raíces iguales y establecer su multiplicidad.
Por lo tanto:
‡ /DPXOWLSOLFLGDGHVWiUHIHULGDDOH[SRQHQWHGHFDGDXQRGHORVIDFWRUHVOLQHDOHV
o complejos de un polinomio.

141. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
139
• La suma de las multiplicidades de las raíces es equivalente con el grado del po-
linomio.
• Se hace uso del teorema del factor y de la división sintética.

Actividad de aprendizaje 4
Instrucciones: En equipos encuentren los ceros de cada ecuación polinomial. De-
terminen la multiplicidad en cada caso y compruébenla con el grado del polinomio.
Comparen sus respuestas con sus demás compañeros. Escriban los procedimien-
tos y las respuestas en su cuaderno.
3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
1.
32
46fx x x x
2.
32
3 42fx x x x
3.
54
4 12 3fx x x x
4.
432
2223fx x x x x
5.
4 32
3 3 31fxxxxx

142. 140
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Aprende más
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVSROLQRPLDOHVIDFWRUL]DEOHV
Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función polinomial sean
ORVQ~PHURVUHDOHVOXHJRHQWRQFHVORVSXQWRVHQORVTXHODJUi¿FDFRUWDDOHMHGH
ODVDEVFLVDVHVXQDLQWHUSUHWDFLyQJUi¿FDGHODVUDtFHVRFHURVGHGLFKDIXQFLyQ
Aun así, las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas
de ellas, pueden ser reales y otras complejas o incluso todas ellas pueden ser com-
plejas.
Una función polinomial no puede tener más ceros que el valor de su grado:
...
nn
f x ax a tendrá n ceros o raíces
Analiza los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. Determinar los ceros de la función
2
() 4fx x
Solución:
‡ 3RUWDEXODFLyQ
2
f(x) x 4 FRQD(x) 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3
x
I[
‡ 3RUIDFWRUL]DFLyQ
f(x) x 2 x 2 SRUORWDQWR
12
x 2yx 2
/DJUi¿FDVHPXHVWUDDFRQWLQXDFLyQ

143. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
141

Ejemplo 2: Determinar los ceros de
3
8fx x
Solución:

‡ 7HQHPRVXQDSDUiERODTXHWLHQHSRUHMH
GHVLPHWUtDHOHMHGHODV\
‡ (OLQWHUFHSWRFRQHOHMH\HVHOSXQWR

‡ /RVLQWHUFHSWRVFRQHOHMH[FHURVRUDt-
FHV\
&HURRUDt]&HURRUDt]
(YDOXDQGRIDFWRUHVGHíííí\í
3DUD[

3
2 8880 SRUORWDQWR
3
x8

HVGLYLVLEOHHQWUHx2
&RPSOHWDPRVHOSROLQRPLRSDUDUHVROYHUSRUGLYLVLyQVLQWpWLFD
3 210
1x 0x 0x 8x
í


(OWULQRPLR

2
x 2x 4

QRHVIDFWRUL]DEOHSRUORWDQWRUHVROYHUHPRVXWLOL]DQGRODIyU-
PXODJHQHUDOGHXQDHFXDFLyQGHVHJXQGRJUDGR
/OHYDGDDODIRUPD
22
ax bx c 0 x 2x 4 0 o FX\RVSDUiPHWURVa1 b2

c4 .
$SOLFDQGRODIyUPXOD


2
2
2 2 41 4b b 4ac 2 12 2 2 3i
x 1 3i
2a 21 2 22
r r r
r r

32
f x x 8 x 2 x 2x 4
Continúa...

144. 142
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
Actividad de aprendizaje 5
3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

Instrucciones: Encuentren las raíces complejas de cada función polinomial. Com-
paren sus respuestas con sus demás compañeros.
1.

2
81fx x
2.
2
9 12 6fx x x
3.
2
24fx x x
4.
32
3 4 30fx x x x
5.
5432
1fx x x x x x
(QFRQFOXVLyQ


32
f x x 8 x 2 x 2x 4 x 2 x 1 3i x 1 3iªº ªº
¬¼ ¬¼
(VGHFLU
x 2; x 1 3i; x 1 3i
8QFHURRUDt]UHDO\GRVUDtFHVFRPSOHMDV

145. Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
143
Cierre del bloque V
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
En el bloque anterior y en el presente hemos recorrido de un modo básico el trabajo
con funciones polinomiales de grado n. si bien es cierto que los polinomios se vuel-
ven más complejos a medida que su grado se incrementa, también es cierto que las
herramientas disponibles para el trabajo con ellos son abundantes y, sobre todo, la
combinación de estas produce elementos todavía más útiles para analizar el com-
portamiento de funciones polinomiales.
(QHVWHSXQWR\DQWHVGHFHUUDUHOEORTXHUHÀH[LRQDDFHUFDGHODQWHV\HOGHVSXpV
de conocer dichas herramientas. Utiliza las siguientes preguntas para ayudarte a
GLFKDUHÀH[LyQ
• ¿Conozco y empleo diversas formas de factorizar polinomios?
• ¿Determino los ceros racionales de una función polinomial a través de herra-
mientas distintas a la factorización lineal?
‡ ¢&RPELQRH¿FLHQWHPHQWHODVUHJODV\WHRUHPDVSDUDGHWHUPLQDUFHURVGHXQ
polinomio?
‡ ¢%RVTXHMRPHQWDOPHQWHODJUi¿FDGHXQSROLQRPLRFRQODD\XGDGHORVFHURV
racionales que determino?
&RPSDUWHHOSURGXFWRGHWXVUHÀH[LRQHVFRQWXGRFHQWH\JUXSRREVHUYDORVUHVXO-
tados de tus compañeros y contrasta con los tuyos todos los elementos recopilados.
Autoevaluación
Instrucciones: Lee los siguientes ejercicios para encontrar las soluciones de cada
uno de ellos, realizando las anotaciones necesarias en tu cuaderno con orden y
OLPSLH]D5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQ
tus compañeros de clase, escucha y respeta las aportaciones de los demás para
mejorar tu trabajo.
1. Encontrar los ceros o raíces de la función
43 2
( ) 2 19 27 9fx x x x x
2. Hallar el cociente y el residuo de
43 2
2 16 18 entre 2xx x x x
3. Dada
32
2 56fx x x x WUD]DU VX JUi¿FD GHWHUPLQDU ORV FHURV PDUFDU
sus interceptos con el eje y (si los hay) y expresar la multiplicidad de sus raíces.

146. 144
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
B
loque V
3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en
función de las respuestas correctas que tuviste?
Excelente
Bien
Regular
1RVXÀFLHQWH
4. Determinar la multiplicidad de ceros o raíces y los factores lineales del polino-
mio:
54 3 2
( ) 6 15 30 44 1px x x x x x

5. Determinar el número de raíces de la ecuación:
43 2
4 12 24 24 0xx x x
Si de la actividad anterior obtuviste 5 aciertos considera tu resultado como H[FHOHQ-
WH, de 4 aciertos como ELHQ3 aciertos UHJXODUy si tus respuestas correctas fueron
menos de 3 considera tu desempeño como QRVX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces
tus conocimientos previos.

147. Bloque VI
Aplicas funciones racionales
Bloque VI. Aplicas funciones racionales

148. 146
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
Introducción
Tomando como base el estudio de las funciones polinomiales se introducen las
funciones racionales y se obtienen las principales características de las mismas,
el bloque inicia con el estudio de algunos problemas cuyo modelo matemático son
funciones racionales, lo que permite pasar posteriormente a estudiar otras caracte-
rísticas de las funciones.

149. Aplicas funciones racionales
147
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?
Bloque VI
1. Funciones racionales.
• Concepto de función racional.
• Dominio de una función racional.
• Rango de una función racional.
• *Ui¿FDVGHIXQFLRQHVUDFLRQDOHV
• Modelado y solución de problemas con
funciones racionales.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias.
• Actividad de aprendizaje 1. Análisis de
funciones racionales.
• Actividad de aprendizaje 2. Solución de
problemas con funciones racionales.
• Actividad de aprendizaje 3. Aplicación de la
variación inversa.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
8
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos, y variacio-
nales, para la comprensión y análisis de situa-
ciones reales, hipotéticas o formales.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
• Analiza las relaciones entre dos o más varia-
bles de un proceso social o natural para deter-
minar o estimar su comportamiento.
• Elige un enfoque determinista o uno aleatorio
para el estudio de un proceso o fenómeno, y
argumenta su pertinencia.
Competencias disciplinares que se
desarrollan

150. 148
Aplicas funciones racionales
B
loque VI


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Dado que las funciones racionales son divisiones de funciones, debemos tener cui-
dado con el valor del denominador. ¿Qué pasa si intentamos realizar una división
entre cero?

Aprende más
Funciones racionales
Concepto de función racional


Las funciones racionales son las que expresan el cociente de expresiones polino-
miales como fracciones donde el denominador (divisor) sea de grado mayor que
cero. La expresión general de una función racional es:



Px
fx
Qx

donde el grado de Qx

debe ser mayor que cero.
Un ejemplo es

x
fx
x


2
4
Dado que las funciones racionales son divisiones de funciones, debemos tener cui-
dado con el valor del denominador. ¿Qué pasa si intentamos realizar una división
entre cero?
Analiza el comportamiento de la función

fx
x

1

con base en la tabla 6.1.

151. Aplicas funciones racionales
149
x 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 ... 0
g(x) 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 ... ’
Dominio de una función racional
Tabla 6.1.
Puedes darte cuenta de que, a medida que x se aproxima a cero, el resultado de
la división es una cantidad cada vez más grande. Si seguimos añadiendo celdas
a la tabla, ¿cuál sería el valor de f para x = 0? Pues bien, dado que las divisiones
entre cero no existen, entonces tampoco existe un valor asociado a f cuando x = 0.
Del análisis anterior concluimos que la función f va tomando valores cada vez más
JUDQGHV\HVRVHGLFHTXHWLHQGHDLQ¿QLWRFXDQGRx tiende a cero, pero este tema
es objeto de estudio de un curso de cálculo diferencial. Por ahora nos limitaremos
DGHVFULELUJUi¿FDPHQWHORTXHVXFHGHFRQXQDIXQFLyQUDFLRQDOFXDQGRHOGHQRPL-
nador se anula.
Las funciones sólo pueden relacionar valores reales para x con valores reales para
y, de modo que la división entre cero no está permitida para una función. Esto da
la pauta para explicar la forma en que se determinan los valores del dominio de la
función. Ya que en el dominio de la función (Domf) sólo pueden estar los valores de
x que producen valores reales en f, entonces debemos excluir del dominio aquellos
valores de x que provoquen división entre cero, es decir, la condición que deben
cumplir los valores de la variable x para pertenecer a 'RPIes que:
Qxz0
Para entender este concepto, analizaremos primero la existencia de asíntotas.
$VtQWRWDVYHUWLFDOHV Los valores que hacen que Q(x) = 0, es decir, los ceros de Q(x)
VHOODPDQDVtQWRWDVYHUWLFDOHVGHXQDIXQFLyQUDFLRQDO\UHSUHVHQWDQJUi¿FDPHQWH
OtQHDVUHFWDVYHUWLFDOHVTXHODJUi¿FDGHf no corta, pero que tienen la propiedad de
OOHYDUODJUi¿FDGHfKDFLDXQYDORU\TXHWLHQGHD’Rí’6HJUD¿FDQFRPROtQHDV
punteadas.
Las asíntotas verticales tienen como ecuación x = x
i
, donde x
i
representa los ceros
de Q(x) como los valores x
1
, x
2
, ... que hacen que Q(x) = 0
Así, el GRPLQLRGHXQDIXQFLyQUDFLRQDOes el conjunto de todos los números rea-
les excepto los ceros de Q(x).

152. 150
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
x 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 ... ’
g(x) 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 ... 0
Tabla 6.2.
$VtQWRWDVKRUL]RQWDOHV Una función racional también puede tener asíntotas horizon-
WDOHVTXHVRQOtQHDVUHFWDVKRUL]RQWDOHVTXHOOHYDQODJUi¿FDGHfKDFLDHOLQ¿QLWR
(positivo o negativo) horizontalmente. Estas asíntotas pueden determinarse anali-
]DQGRHOFRPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FDGHf cuando aproximamos el valor de xD“’
Aunque esto es tema de cálculo diferencial, asignatura que cursarás posteriormen-
te, es posible tratar un método intuitivo del límite de la función f cuando la variable x
WRPDYDORUHVFDGDYH]PiVFHUFDQRVD“’
Considera ahora que a partir de

gx
x

1

se construye la tabla 6.2 en la siguiente
página.
Puedes darte cuenta de que, a medida que xVHDSUR[LPDD’HOUHVXOWDGRGHOD
división es una cantidad cada vez más cercana a cero. Así, la función racional tiene
asíntotas horizontales si, al aproximar el valor de xDLQ¿QLWRSRVLWLYR\QHJDWLYRHO
valor de f(x) se aproxima a un valor real LGHPRGRTXHODJUi¿FDGHf no corte la
recta y = L, que es la ecuación de la asíntota horizontal.
$VtQWRWDREOLFXD Si el grado de P(x) es mayor en una unidad que el grado de Q(x),
es decir:
grado P x grado Q x 1
Entonces la función tiene además una asíntota oblicua, por ejemplo:

x
fx
x



2
8
3
Las asíntotas oblicuas se obtienen realizando la división algebraica indicada en f, y
el cociente de la división es la ecuación de la asíntota oblicua.
Así, en

x
fx
x



2
8
3
tenemos:
xx
2
3
x


2
8
x
x


3
3
x
8
3
x

3
9
1

153. Aplicas funciones racionales
151
Rango de una función racional
Figura 6.1.
x í
Asintota vertical
y = xí
Asintota oblicua
De donde 3
1
3x
xfx



La asíntota oblicua es
yx 3
Esta función también tiene una asíntota vertical en yx 3
6XJUi¿FDHV
Para determinar el rango de la función, es necesario cambiar f(x) por y en la expre-
sión funcional y, si es posible, despejar la variable x.
En caso de que sea posible tal despeje, tendremos una función x = R(y), de modo
que:
el rango de



Px
fx
Qx


es igual al dominio de la función R(y)
Si descubres asíntotas verticales para R(y), éstas serán asíntotas horizontales para
f(x(VWRSXHGHVFRPSUREDUORFRQHOSURFHGLPLHQWRGHDSUR[LPDFLyQDOLQ¿QLWRH[-
plicado antes.
Es importante que sepas que el cálculo del dominio de una función implica conoci-
mientos algebraicos previos, entre los cuales se encuentra el tema de GHVLJXDOGD-
GHVo LQHFXDFLRQHV que, de manera simple, fueron abordados en cursos anteriores.
Figura 6.1.
y = xí
$VLQWRWDREOLFXD

154. 152
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVUDFLRQDOHV
Procedimiento (MHPSOL¿FDFLyQ
(1)
No siempre es posible el despeje, de modo que el rango de una función racional no
siempre se puede determinar.
Las intersecciones con los ejes coordenados se obtienen mediante las expresiones:
‡I
x
: f(x) = 0, es decir, se buscan los ceros de f, que son las abscisas de las inter-
secciones con el eje X. Esto sólo es posible si en el rango de la función (5DQJRI)
está contenido el valor de y HQFDVRGHQRVHUDVtHQWRQFHVODJUi¿FDGHf
no tiene intersecciones con el eje X.
Es fácil comprender que los ceros de P(x) son los ceros para f(x), de modo que bas-
ta calcular los ceros de P(x) mediante la solución de la ecuación P(x) = 0.
‡I
y
: y = f(0), es decir, se sustituye el valor x = 0 si este valor pertenece a 'RPIen
la función f y los resultados obtenidos son las ordenadas de las intersecciones
con el eje Y.
Para comprender este análisis se aplicará de forma directa en los siguientes ejem-
SORVGHJUi¿FDGHIXQFLRQHVUDFLRQDOHV
3DUDJUD¿FDUXQDIXQFLyQUDFLRQDOVHVLJXHHOSURFHGLPLHQWRTXHVHH[SOLFDFRQHO
ejemplo inicial.
Partimos de la función:



Px
fx
Qx

Ejemplo:

x
fx
x


2
4
1. Buscar asíntotas verticales:
a)
Qx 0

para obtener
xx!
12
,,
b) Las asíntotas verticales tienen
ecuaciones:
i
xx i !, para 1, 2,

x
x


1
40
4
Asíntota vertical: x 4

155. Aplicas funciones racionales
153

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
2. Determinar el dominio de la función
quitando del conjunto de los números
reales los valores de x donde hay
asíntotas verticales.

^`Domf \4


o bien
Domf f ‰ f, 4 4,

usando notación de intervalos
3. Cambiar
fx

por la variable
y.
x
y
x


2
4
4. Despejar, si es posible, la variable x.
yx x
xy y x
xy x y



42
420
24

24
4
2
xy y
y
x
y



5. Obtener la función
Ry

y su dominio.


y
Ry
y


4
2
y
y


20
2
^`DomR \2

o bien,
DomR f ‰ f, 2 2,

en
notación de intervalos.
6.
Rangof DomR Rangof f ‰ f, 2 2,
7. Asíntotas horizontales
a)

Como asíntotas verticales
Ry
E3RUDSUR[LPDFLyQ[D“’
No es necesario realizar ambos
procedimientos. Si no es posible a),
entonces debes realizar b).
a) Asíntota horizontal:
y 2
b) Para comprobar solamente:

x
x
x
fx
xx
xx



2
22
444
1
&XDQGR[VHDSUR[LPDDLQ¿QLWR
[VHDSUR[LPDDFHURSRUOR
TXHSXHGHD¿UPDUVHTXHKD\XQD
asíntota horizontal en y = 2. Que
resulta ser lo mismo que en a).

156. 154
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
(8)
(9)
(10)
(11)
8. Si >@ >@grado P grado Q 1 , la función
tiene asíntota oblicua, que se obtiene
por la división algebraica de P entre Q.
Dado que los grados de
x2 y
x4 son iguales a 1, f(x) no tiene
asíntotas oblicuas.
9. Intersecciones con el eje X: sustituir
y = 0 (puede ser en R(y)) si y = 0
pertenece 5DQJRI

y
Ry
y


4
2


R

40
00
02
o alternativamente



X
X
Px x
x
I
I


20
0
: 0,0
: 0,0
10. Intersecciones con el eje Y: sustituir
x = 0 en f ( x). Si x = 0 pertenece a
'RPI




Y
x
fx
x
f
I




2
4
20
00
04
: 0, 0
11. Tabular en caso de ser necesario.
*UD¿FDU
x
x
fx
x


2
4
í




24 8
1
44 8
2



22 4
2
24 2
6


26 12
6
64 2
8


28 16
4
84 4

157. Aplicas funciones racionales
155
Figura 6.2.
(12)
Ejemplo 1: Analiza la función

x
fx
x



3
3

\ERVTXHMDVXJUi¿FD
Solución:
Figura 6.2.
&iOFXORGHDVtQWRWDVYHUWLFDOHV
[í
[
'RPLQLR
Domf , 3 3, f ‰ f
&iOFXORGHOUDQJR



x3
y
x3
xy 3y x 3
xy x 3 3y
x y 1 31 y
31 y
x Ry
y1
y10
Asíntota horizontal: y 1
DomR Rangof ,1 1,











f ‰ f

,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;



X
31 0
R0 3
01
I : 3,0




Continúa...

158. 156
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
Figura 6.3.
y = 1
x = 3
x3
y
x3







y =yyy =y =y =y =y =yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy111111111111111111111111111111111111111111111
x =xxxxxxx=xxxx==xxxx=xxxx=x=xxxxx==x=x==x=x33333333333333333333333333333333333333333333333333333
x3x3x3x33xx3x33x33x3x333xx3x3x3xx3x3x3x3x333x3x3x3x3x3x33x3xx3x3x3x33x33x333x3x33x33xxx33x3x3xxx3333x3x3333xx3xxxx3333x333
yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy
x3x3x333x3x33x3xx3x3x3xx3x3xx33333x333x3x3x333x3x3x3x33x3x3x3xx33xxx3333333xxxxx3333xxx3x3x33x33xx3xxxxx33xxx33x333333


Ejemplo 2: Analiza la función fx
x


2
5
9

\ERVTXHMDVXJUi¿FD
Solución:
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH<


Y
03
f0 1
03
I : 0, 1




7DEXODFLyQ
x
x3
fx
x3



2
23 5
5
23 1




437
7
43 1



9
9 3 12
2
93 6



&iOFXORGHDVtQWRWDVYHUWLFDOHV

2
12
x 90
x3x3 0
x 3x 3



'RPLQLR
Domf , 3 3, 3 3, f ‰ ‰ f
&iOFXORGHOUDQJR

2
5
y
x9



2
x y 9y 5

2
x y 5 9y

25 9y
x
y



5 9y
x Ry
y

159. Aplicas funciones racionales
157

Figura 6.4.
[ í
x = 3
3DUDTXHRy

WHQJDUHVXOWDGRVUHDOHVVHGHEHFXPSOLUTXH
\DVtQWRWDKRUL]RQWDOHQHOHMH;

5 9y
0
y

t
5 9y 0t
<HVSRVLWLYRRFHURSDUDYDORUHVPD\RUHVRLJXDOHVD
5
9

GHPRGRTXH
$VtQWRWDYHUWLFDOHV\ HMH;1RKD\LQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;SRUTXH\ HVWi
IXHUDGH5DQJRI
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH<
7DEXODFLyQ
x
2
5
fx
x9


í
2
5 55
x 9 16 9 7


í
2
55
1
x 9 49



2
55
1
x 9 49



2
5 55
x 9 16 9 7


5
y
9
t
9y 5t
6L
5
y
9
!

\y0!HVGHFLUFXDQGR
y0!WHQHPRVTXH
5 9y
0
y

!
6L
5
y
9

5 9y
0
y

t

6L
5
y
9

5 9y
0
y




2
Y
55
f0
909
5
I : 0,
9


§·

¨¸
©¹

5
DomR Rangof , 0,
9
§º
f ‰ f
¨ »
©¼

2
5
fx
x9

160. 158
Aplicas funciones racionales
B
loque VI

Figura 6.5.
Ejemplo 3: Analiza la función
xx
fx
x



2
2
44
4

\ERVTXHMDVXJUi¿FD
Solución:
&iOFXORGHDVtQWRWDVYHUWLFDOHV
'RPLQLR
Domf f ‰ f, 2 2,
&DOFXORGHOUDQJR

,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH<
7DEXODFLyQ
x
2
2
x 4x 4
fx
x4



í


2
2
4 44 4 36
3
1244



x20
x2




2
2 x2 x2
x 4x 4
fx
x4




x2 x2
x2
x2




x2
y
x2
xy 2y x 2
xy x 2 2y
x y 1 21 y






1y 0
y1


DomR Rangof ,1 1, f ‰ f



X
21 0
R0 2
10
I : 2,0






2
2
Y
0 40 4
f0 1
04
I : 0, 1

161. Aplicas funciones racionales
159
Actividad de aprendizaje 1

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVUHVSXHVWDVHQHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

Sabías que...
Instrucciones (1):$QDOL]DODVIXQFLRQHVVLJXLHQWHV\ERVTXHMDVXJUi¿FD5HDOL]DOR
HQWXOLEUHWDUHJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHV
con tus compañeros de clase.
a)
()
x
fx
x


2
3
1
b)
()
x
fx
x


2
9
c) ()
x
fx
x



3
2
1
1

d)
()
x
fx
x


2
2
4

e)
()
x
fx
x



3
2
25
3


Es posible visualizar funcio-
nes en un gran número de
formas que observas en tu entorno, ya que el
desarrollo de funciones racionales permite
describir patrones de estas formas de manera
que se expresan en un lenguaje matemático.
Figura 6.6.

162. 160
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
Aprende más
Modelado y solución de problemas con funciones racionales
Las funciones racionales encuentran su aplicación principalmente en problemas de
variación inversa, es decir, en relaciones donde el valor de una variable aumenta
cuando el valor de otra variable disminuye y viceversa. Por ejemplo, si una obra de
construcción la realizan 4 obreros en 5 días, ¿cuántos días necesitarán 10 obreros?
Si aumenta la cantidad de obreros, el tiempo para terminar la misma obra deberá
ser menor. Aquí la cantidad de obreros y el tiempo para terminar la obra son varia-
bles en una relación de variación inversa.
Otro ejemplo lo encontramos en la OH\ GH JUDYLWDFLyQ XQLYHUVDO de Newton, que
HQXQFLDTXH³GRVFXHUSRVGHPDVDVm
1
y m
2
se atraen con una fuerza que es direc-
tamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la
distancia UHQWUHHOORV´HVGHFLUODIXHU]DGHDWUDFFLyQJUDYLWDFLRQDOHVWiGDGDSRU
la expresión:
mm
FG
r

12
2

donde
G
˜
u
2
11
2
Nm
6.67 10
kg

es la FRQVWDQWHGHJUDYLWDFLyQXQLYHUVDO
A partir de la expresión anterior, a mayor distancia de separación, menor será la
fuerza de atracción y viceversa.
Un ejemplo más lo encontramos en la ley de los gases ideales, que establece que
³HOSURGXFWRGHODSUHVLyQ\HOYROXPHQGHXQJDVLGHDOHVGLUHFWDPHQWHSURSRUFLR-
QDODVXWHPSHUDWXUDDEVROXWD´HVGHFLU
PV nRT donde
R
˜

˜
atm L
0.082
mol K

es la FRQVWDQWHXQLYHUVDOGHORVJDVHVLGHDOHV
¿Cómo varía el volumen de un gas ideal si mantenemos su temperatura y aumenta-
mos su presión? De la expresión anterior despejamos el volumen:
nRT
V
P

Nos damos cuenta de que la variación entre el volumen y la presión de un gas ideal
es inversa: a mayor presión disminuye el volumen y viceversa.

163. Aplicas funciones racionales
161

Otras aplicaciones las encontramos en el estudio del movimiento, el crecimiento
de poblaciones, la depreciación de bienes, geometrías arquitectónicas, diseño de
motores, etcétera.
Ahora te presentamos algunos ejemplos que ilustran la forma de emplear lo estudia-
do sobre las funciones racionales en la solución de problemas de variación inversa.
Ejemplo 1: Si x hombres están disponibles para realizar una obra que 4 hombres
realizan en 5 días, ¿cuál es la función del tiempo que realizarán dependiendo del
valor de x? ¿Qué tiempo les llevará a 10 hombres realizar la misma obra?
Solución:
k
t
x


HVODUHODFLyQGHYDULDFLyQLQYHUVDHQWUHW\NGRQGHWHVWiGDGDHQGtDV
&XDQGR[ W SRUORTXHN W[
$VtTXHHOPRGHORGHYDULDFLyQGHOWLHPSRFRQUHVSHFWRDODFDQWLGDGGHKRPEUHVHV

20
tx
x


(VWDIXQFLyQWLHQHDVtQWRWDHQ[ HMH<SRUORTXHQRWLHQHLQWHUVHFFLyQFRQHOHMH<
'DGRTXH3[ HVODIXQFLyQFRQVWDQWHODIXQFLyQQRFRUWDDOHMH;6XJUi¿FDHV
3DUD[ VHWLHQHTXH

20
t 10 10
2

4XHVLJQL¿FDTXHDKRPEUHVOHVOOHYDUiQGtDVUHDOL]DUODREUD
Figura 6.7.

20
tx
x

164. 162
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
Ejemplo 2: Un gas a 25°C tiene comportamiento ideal. ¿Cuál es la función de va-
riación del volumen molar (n = 1) con respecto al cambio de presión de dicho gas?
¿Qué volumen tendrá dicho gas si se somete a una presión de 2 atmósferas?
Solución:
Ejemplo 3: El cambio de posición en metros de un objeto respecto al tiempo del
movimiento (t), está dado por la expresión
st t t
2
2 52
Determina la función de su velocidad. ¿Qué velocidad tendrá el objeto a los 10 se-
gundo de iniciado su movimiento?



PV nRT
1 0.08205 25 273.15nRT
VP
PP
24.4632075
VP
P




$VtQWRWDHQ3 HMH<SRUORTXHQRKD\DVtQWRWDVFRQHOHMH<
7DPSRFRKD\LQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;
(OYROXPHQGHOJDVHVGHOLWURVDXQDSUHVLyQGHDWPyVIHUDV


Figura 6.8.

165. Aplicas funciones racionales
163

st
vt
t


2
2t 5t 2
vt
t


$VtQWRWDYHUWLFDOHQW HMH<1RKD\LQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH<
3DUDKDOODUODDVtQWRWDREOLFXD
2
oblicua
2t 5t 2 2
2t 5
tt
A : y 2t 5




3DUDHQFRQWUDULQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;

2
s t 2t 5t 2 0

2
d 5 4 2 2 25 16 9


59 53
22 4
r r

12
1
t t2
2


X
1
I : ,0 2,0
2
§·
¨¸
Figura 6.9.
Solución:

166. 164
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
Actividad de aprendizaje 2
Instrucciones:5HVXHOYHORVVLJXLHQWHVSUREOHPDVHQWXOLEUHWD5HJLVWUD\UHÀH[LR-
na tus respuestas para que después las comentes con tus compañeros de clase.
Resuelve los siguientes problemas:
a) Determina el modelo de variación del tiempo que requieren x obreros para rea-
lizar una tarea que 4 obreros realizan en 7 días. Analiza la función obtenida y
WUD]DVXJUi¿FD¢4XpWLHPSRUHTXLHUHQREUHURVSDUDUHDOL]DUODWDUHD"
b) La ley de Ohm expresa la relación entre intensidad de corriente (I, en amperes),
voltaje (V, en voltios) y resistencia (R, en ohm), con la expresión V = IR. Si en
un circuito particular el voltaje se considera constante e igual a 110 V, determina
el modelo de variación de la corriente con respecto a la resistencia. Analiza la
IXQFLyQREWHQLGD\WUD]DVXJUi¿FD¢4XpFRUULHQWHHQDPSHUHVVHWHQGUiSDUD
una resistencia total de 300 ohms?
F /DSUHVLyQTXHHMHUFHXQDIXHU]DVREUHXQDVXSHU¿FLHHVWiGDGDSRUODH[SUHVLyQ
F
P
A


Donde P se expresa en pascales (Pa), F en newtons (N) y A en metros cuadra-
dos (m
2
). Determina la función de variación de la presión que ejerce una fuerza
GH1VREUHGLVWLQWDViUHDV$QDOL]DODIXQFLyQREWHQLGD\WUD]DVXJUi¿FD
¢4XpSUHVLyQVHHMHUFHVREUHXQDVXSHU¿FLHGHŒm
2
?

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVUHVSXHVWDVHQHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

167. Aplicas funciones racionales
165
Actividad de aprendizaje 3
Recordemos que dos cantidades mantienen una relación de variación directa cuan-
do ambas crecen o decrecen juntas. Si k representa la constante de proporciona-
lidad, la relación se puede representar como y = kx. A diferencia de la variación
directa, en la variación inversa, si x crece, y decrece y viceversa. Esto es:
k
y
x
o bien
xy k
Donde el producto (k) resulta ser la constante de variación y ni ésta ni x pueden ser
cero (kx
Instrucciones: Realiza una investigación sobre el tema de variación inversa:
1. En equipos conformados de acuerdo a las instrucciones de tu profesor, elaboren
mapas conceptuales sobre el tema de variación inversa como caso particular de
la función racional en hojas de rotafolio o cartulinas y explíquenlos a sus compa-
ñeros de clase.
2. Cada equipo deberá entregar al profesor evidencia de su investigación y una
conclusión que describa la importancia del trabajo realizado y sus aplicaciones
en la solución de problemas cotidianos en distintos ámbitos: social, político, cien-
Wt¿FRHWF

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVUHVSXHVWDVHQHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

168. 166
Aplicas funciones racionales
B
loque VI
Cierre del bloque VI
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
$O¿QDOGHOSUHVHQWHEORTXH\DFXHQWDVFRQQXHYRVHOHPHQWRVGHDSUHQGL]DMHSDUD
que poco a poco te apropies de ellos y puedas trabajar y aplicar funciones raciona-
les a situaciones teóricas, pero también a algunas situaciones reales.
Con estos elementos, te invito a que investigues acerca de algún tipo de aplicación
de funciones racionales y comparte la información con tu docente y grupo.
Cuestiónense acerca de la utilidad de estar desarrollando estos aprendizajes y la
LPSRUWDQFLDGHPDQHMDUORVDGHFXDGDPHQWH$O¿QDOSUHVHQWDDWXGRFHQWHODVREVHU-
vaciones del trabajo realizado para realimentar tu aprendizaje en cuanto a funciones
racionales
Como recordarás, en el desarrollo de este bloque VI se propuso la elaboración de
una investigación que consiste en realizar actividades relacionadas con la variación
GLUHFWD7RPDHQFXHQWDTXHHOSUR\HFWRGHEHUiFXPSOLUFRQODVHVSHFL¿FDFLRQHV
que se te pidieron. Ha llegado la hora de hacer la exposición frente al grupo.
Autoevaluación
Instrucciones: Realiza los siguientes ejercicios, anotando en tu libreta los procedi-
mientos completos con un orden y limpieza, como evidencia del análisis y solución
del problema.
1. Determina la función de la recta que pasa por los puntos (í5, 3) y (0, í4) y traza
VXJUi¿FD
2. Analiza la función
fx x x
2
6 6 36

\WUD]DVXJUi¿FD
3. Analiza la función
fx x x x
32
46

\WUD]DVXJUi¿FD
([SOLFDHOFRPSRUWDPLHQWRGHODJUi¿FDGH
fx x
7
3
5. Analiza la función
x
fx
x



3
2
1
4
\WUD]DVXJUi¿FD

169. Aplicas funciones racionales
167
6. Una computadora que se compró hace 6 años cuesta 1850 pesos. Si hace 4
años su precio era de 3500 pesos, ¿cuál es el modelo de depreciación del pre-
cio de la computadora en el tiempo? ¿Cuánto costó la computadora cuando era
nueva?
7. Determina el área máxima del terreno rectangular que se puede cercar con 248
metros de reja.
8. Determina el modelo de variación del tiempo que requieren x alumnos para re-
solver los problemas de un examen de matemáticas si se sabe que un equipo de
5 alumnos resuelve el examen en 30 minutos. Analiza la función obtenida y traza
VXJUi¿FD¢4XpWLHPSRUHTXLHUHXQDOXPQRSDUDUHVROYHUHOH[DPHQpOVROR"

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDODVUHVSXHVWDVHQHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Si de la actividad anterior lograste los 8 puntos, considera tu resultado como
Excelente, y si lograste 7 a 8 puntos es Bien, de 5 a 6 es Regular y si tus respuestas
correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1RVX¿FLHQWH, lo que
exige que atiendas tus áreas de oportunidad.
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en
función de las respuestas correctas que tuviste?
Excelente
Bien
Regular
1RVXÀFLHQWH

171. Bloque VII
Utilizas funciones
exponenciales y logarítmicas
Bloque VII. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

172. 170
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Introducción
Las funciones exponenciales y logarítmicas se emplean en diferentes sectores,
como el económico, el de salud, el de producción, el de población, por mencionar
algunos, ejemplo de lo anterior se puede ver en periódicos y revistas donde se
menciona la deuda externa de un país, los gastos en servicios de salud, el uso de
internet y la población mundial. Donde se observa un crecimiento aun ritmo acele-
rado en sus indicadores. Algunas de las funciones especiales que se abordarán en
este bloque, son la función exponencial natural y la función natural logarítmica. En
ambas funciones la base es e, un número irracional cuyo valor es aproximadamente
2.7183. Algunos fenómenos, tales como el fechado con carbono en el caso de ana-
lizar restos fósiles, el decaimiento radiactivo del comportamiento de un elemento
de la tabla periódica y el crecimiento de los ahorros invertidos en una cuenta en la
que el interés sea capitalizado de forma continua, pueden describirse por medio de
funciones exponenciales naturales.

173. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
171
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?
Bloque VII
1. Concepto de función exponencial.
• *Ui¿FDVGHIXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHV
• Dominio y rango.
2. Función exponencial.
3. Función exponencial natural.
4. Logarítmos comunes y naturales.
• Logarítmos de otras bases.
• Propiedades generales de los logarítmos.
• Concepto de función logarítmica.
• Dominio y rango.
• *Ui¿FDVGHIXQFLRQHVORJDUtWPLFDV
5. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias.
• Actividad de aprendizaje 1. Investigación sobre
series y sucesiones numéricas.
• Actividad de aprendizaje 2. Función
exponencial.
• Actividad de aprendizaje 3. Logaritmos
comunes y naturales.
• Actividad de aprendizaje 4. Función
logarítmica.
• Actividad de aprendizaje 5*Ui¿FDVGH
funciones logarítmicas.
• Actividad 6. Ecuaciones logarítmicas y
exponenciales.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
10
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos y variaciona-
les, para la comprensión y análisis de situacio-
nes reales, hipotéticas o formales
• Formula y resuelve problemas matemáticos,
aplicando diferentes enfoques.
• Explica e Interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales
• Argumenta la solución obtenida de un proble-
PD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUi¿FRV DQDOtWL-
cos o variacionales mediante el lenguaje ver-
bal, matemático y el uso de la tecnología de la
información y la comunicación
• &XDQWL¿FDUHSUHVHQWD\FRQWUDVWDH[SHULPHQWDO
o matemáticamente las magnitudes del espacio
y las propiedades físicas de los objetos que lo
rodean.
• ,QWHUSUHWDWDEODVJUi¿FDVPDSDVGLDJUDPDV\
WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV\FLHQWt¿FRV
Competencias disciplinares que se
desarrollan

174. 172
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Se deja caer una pelota desde una altura de 10 m. Cuando rebota alcanza la mitad
de la altura desde la que se dejó caer. ¿A qué altura se encuentra la pelota después
de 5 rebotes? En el recuadro dibuja un esquema que muestre la solución a este
problema:

Aprende más
Concepto de función exponencial
(QIHEUHURGHODGTXLULVWHXQDXWRHQ6LFDGDDxRGLVPLQX\HGH
su valor inicial, ¿cuánto valdrá en el año 2015? Compara tus resultados con las res-
puestas de tus compañeros de grupo.
Se denomina función exponencial a toda función de la forma:
y = a  b
x
ó f(x) = a ÂE
kx

Donde x acepta cualquier valor real, b es un número positivo y distinto de 1 y a
y k

175. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
173
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHV
(QODGH¿QLFLyQDQWHULRUb se conoce como EDVH y la variable independiente x se
conoce como H[SRQHQWH.
(QIRUPDJUi¿FDVHUHSUHVHQWDGHODVLJXLHQWHPDQHUD
Ejemplo 1:2EWHQHUODJUi¿FDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDOGHEDVH
Solución:
6HFDOFXODQORVYDORUHVGH
x
fx 7
8WLOL]DXQDFDOFXODGRUDSDUDKDOODUORVYDORUHVTXHVHPXHVWUDQDFRQWLQXDFLyQ
x í í í
I[
7UD]D ODV SDUHMDV GH FRRUGHQDGDV HQ HO VL-
JXLHQWHSODQR\YHUL¿FDVLSHUWHQHFHQDOJUi-
¿FR
Figura 7.2. Gráfica de f(x) = 7
x
Figura 7.1. f (x) = a Ãb
kx

176. 174
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Sabías que...
Ejemplo 2:2EWHQHUODJUi¿FDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDOGHEDVH
2
3
.
Solución:
6HFDOFXODQORVYDORUHVGH
x
2
fx
3
§·

¨¸
©¹
8WLOL]DXQDFDOFXODGRUDSDUDKDOODUORVYDORUHVTXHVHPXHVWUDQDFRQWLQXDFLyQ
x í í í
I[
7UD]DODVSDUHMDVGHFRRUGHQDGDVHQHOVLJXLHQWHSODQR\YHUL¿FDVLSHUWHQHFHQDOJUi¿FR
GHOD¿JXUD
Figura 7.3. Gráfica de f(x) = (2/3)
x

La gráfica de la función exponencial tiene una curvatura característica que
hace que la función crezca (presenta crecimiento) si el exponente es positivo
y = b
x
; o bien, si el exponente es negativo tienda a hacerse cero y = b
íkx
(presenta un de-
caimiento) o si la base es menor que uno y mayor que cero, esta característica es conocida
como variación exponencial.

177. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
175
Dominio y rangoDominio y rango
Al igual que cualquier otro tipo de funciones, la función exponencial tiene un dominio
y un rango para los cuales la función tiene valores reales.
$ODQDOL]DUODJUi¿FDGHOHMHPSORVHREVHUYDTXHODJUi¿FDGHODIXQFLyQHVFRQWL-
nua y que siempre hay una valor de f(x) para cada valor de x, por lo tanto, el GRPLQLR
GHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO es D = {x : í’x’`TXHFRUUHVSRQGHDWRGRVORV
números reales.
2WUDFDUDFWHUtVWLFDGHHVWDJUi¿FDHVTXHQXQFDWRPDYDORUHVQHJDWLYRVHQHOHMH
Y por tanto, el rDQJRGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO es R = { y : 0 < y’`RELHQHO
conjunto de todos los números reales positivos.
/DVIXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHVSXHGHQJUD¿FDUVHVHOHFFLRQDQGRYDORUHVSDUDx, de-
terminando los correspondientes valores de y, y trazando los puntos.
En forma general, para toda función exponencial de la forma y = a  b
x
ó f(x) = a ÂE
kx

donde b > 0 y E1:
‡El dominio de la función es (í’’
‡ (OUDQJRGHODIXQFLyQHV’
‡ /DJUi¿FDSDVDSRUORVSXQWRVí1, ab), (0, a) y (1, ab) .En casi todos los casos,
SXHGHWUD]DUVHXQDEXHQDJUi¿FDH[SRQHQFLDODSDUWLUGHHVWRVSXQWRV
‡ /DVJUi¿FDVGHIXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHVVRQFRQWLQXDV\WLHQHQSRUDVtQWRWDDO
eje X, es decir, se aproximan a dicho eje sin llegar a tocarlo nunca.
‡ /DJUi¿FDGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDOSXHGHVHUFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWHVHJ~Q
la base b sea mayor o menor que 1 o los valores de su dominio están entre 0 y 1.
La base de las funciones exponenciales no puede ser negativa, pero ¿qué tipo de
JUi¿FDUHVXOWDVLHOH[SRQHQWHHVQHJDWLYR"HVGHFLUTXpVXFHGHFRQODVIXQFLRQHV
de la forma y = b
í[
o su equivalente y b
x
, por la ley de los exponentes.
Ejemplo 1:2EWHQHUODJUi¿FDGHODIXQFLyQH[SRQHQFLDOGHEDVH\H[SRQHQWH
negativo.
Solución:
/DIXQFLyQVHHVWDEOHFHFRPR
x
fx 3


6HFDOFXODQORVYDORUHV\VHREWLHQHQORVVLJXLHQWHVUHVXOWDGRV9HUL¿FDVLORVYDORUHV
REWHQLGRVSHUWHQHFHQDODJUi¿FDVLJXLHQWH

178. 176
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Actividad de aprendizaje 1
Instrucciones (1): En equipos de 3 a 4 integrantes, realiza la investigación sobre
series o sucesiones numéricas aritméticas y geométricas; elaborar un mapa con-
ceptual para su exposición, donde se represente la información con ejemplos que
muestren la diferencia entre sucesiones aritméticas y geométricas.
Instrucciones (2): Realiza los siguientes ejercicios conceptuales.
a) ¿Qué son las funciones exponenciales?
b) Considera la función exponencial y = 2
x
. Contesta lo siguiente:
• ¿Qué sucede con la variable y conforme x crece?
• ¿La variable y puede ser cero? Explica.
• ¿El valor de y puede ser negativo? Explica.
Figura 7.4. Gráfica de f(x) = 3
íx
x f(x)
-2
-1.5
-0.5
0
0.5
0.75
1
(QFRQFOXVLyQSRGHPRVDVHJXUDUTXHODJUi¿FDGHODIXQFLyQy = a  b
x
, es cre-
ciente si el exponente es mayor que uno y decreciente en los casos en que el
exponente es negativo, o bien, si la base es mayor que cero y menor que uno.

179. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
177
c) Considera la función exponencial y = 2
í[
. Escribe una función exponencial equi-
valente a la anterior, pero que no tenga signo negativo en el exponente. Explique
cómo obtuvo su respuesta.
d) Considera las ecuaciones y = 2
x
y y = 3
x

• 'HWHUPLQDHOSXQWRGHLQWHUVHFFLyQGHODJUi¿FDGHFDGDIXQFLyQFRQHOHMH
<&RPSDUHODVJUi¿FDVGHODVGRVIXQFLRQHV¢&XiOGHODVGRVSUHVHQWDXQ
crecimiento más acelerado?
Instrucciones (3):7UD]DODJUi¿FDGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVHQXQPLVPRSODQR
cartesiano y contesta las preguntas referentes al análisis de las respuestas. Utiliza
GLIHUHQWHVFRORUHVSDUDJUD¿FDU
Funciones:
a) y = 3x
b) y = x
3
c) y = 3
x
‡ ¢&XiOGHODVWUHVJUi¿FDVWLHQHPD\RU
crecimiento cuándo x > 2?
‡ ¢&XiOGHODVWUHVJUi¿FDVWLHQHPD\RU
FUHFLPLHQWRFXiQGR”x < 4?
‡ ¢&XiOGHODVWUHVJUi¿FDVWLHQHPD\RU
crecimiento cuándo x•"
• Compara tus respuestas con la de otro compañero para hacer una conclusión
acerca del crecimiento exponencial.
*Ui¿FDV

180. 178
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Instrucciones (5): De las siguientes funciones exponenciales, realiza una tabula-
FLyQ\HODERUDUODJUi¿FD\HVFULEHWXVREVHUYDFLRQHVFRQWHVWDQGRDODSUHJXQWD
¢H[LVWHDOJ~QSXQWRHQFRP~QHQODVWUHVJUi¿FDV"¢3RUTXp"&RPSDUDWXVUHVXOWD-
dos con las respuestas de tus compañeros de grupo.
)XQFLyQ7DEXODFLyQ*Ui¿FD
y = 3
x
Observaciones:

)XQFLyQ7DEXODFLyQ*Ui¿FD
y = 10
x
Observaciones:
xy
xy

181. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
179
)XQFLyQ7DEXODFLyQ*Ui¿FD
y = Œ
x
Observaciones:
Instrucciones (6): Responde a lo siguiente.
D ¢3RUFXiOHVSXQWRVGHOHMH<SDVDQODVJUi¿FDVGHODVIXQFLRQHVH[SRQHQFLDOHV
del ejercicio (4), respectivamente?
E ([SOLFDSRUTXpWRGDVODVJUi¿FDVH[SRQHQFLDOHVy = a  b
x
pasan por (0, a)?
c) ¿Por qué no puede ser igual a 1 la base de una función exponencial?
Instrucciones (7):(QSDUHMDVHQXQDKRMDPLOLPpWULFDWUDFHQODVJUi¿FDVGHXQD
ecuación exponencial con base 10, tomando valores para la constante a = 0.5 y
a í7HVXJHULPRVXWLOL]DUFRORUHVGLIHUHQWHVSDUDFDGDJUi¿FD

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
xy

182. 180
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Aprende más
Función exponencial
7LHQHXQDFXUYDWXUDFDUDFWHUtVWLFDTXHKDFHTXHODJUi¿FDFUH]FDVLHOH[SRQHQWH
es positivo; o bien, tienda a hacerse cero o presente un comportamiento decrecien-
te, si el exponente es negativo o si la base es menor que uno y mayor que cero, esta
característica es conocida como variación exponencial, y se representa por:
y = a  b
kx
donde k
Si k LPSOLFDUtDTXHODJUi¿FDGHODIXQFLyQVHFRQYLUWLHUDHQODJUi¿FDGHODIXQ-
ción y = 1, si kHVQHJDWLYRHQWRQFHVODJUi¿FDSUHVHQWDUiXQdecaimiento. Con k
SRVLWLYRODJUi¿FDSUHVHQWDUiVLHPSUHXQ crecimiento . El factor de crecimiento es a,
porque multiplica al término exponencial.


5HÀH[LRQHPRVVREUHODDFWLYLGDG
¿De qué te das cuenta?
'HODVJUi¿FDVGHODVGLIHUHQWHVIXQFLRQHVTXHKDVUHDOL]DGRHQODDFWLYLGDG
anterior, escribe las los cambios que observas según su función y explica el
porqué.

183. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
181
Ejemplo 1:2EWHQHUODJUi¿FDGHODHFXDFLyQH[SRQHQFLDOGHEDVH\FRQVWDQWH
k = 2, es decir f (x) = 4
íx
.

Solución:
Ejemplo 2:2EWHQHUODJUi¿FDGHODHFXDFLyQH[SRQHQFLDOGHEDVH\FRQVWDQWH
k = í2, es decir f (x) = 4
2x
.
Solución:
Se tabula la función correspondiente.
k es negativo, entonces
ODJUi¿FDSUHVHQWDXQ
decaimiento.
x f(x)
0.503 0.247
1.95 0.0045
0 1
í0.5034.03503
í0.628 5.718
Figura 7.5. Gráfica de f(x) = 4
−2x
.
(0, 1)
Se tabula la función correspondiente.
k es positivo, entonces
ODJUi¿FDSUHVHQWDXQ
crecimiento.
x f (x)
0.503 4.035
0.69186.8083
0 1
í0.0519
í0.0037
(0, 1)
(0,(0,(0,(0,(0,0(0,(0,(0,(00,0,(0(00,0(0,0000,1)1)1)1)1)1)1)1)1)111)1)11)1
Figura 7.6. Gráfica de f(x) = 4
2x
.
(0, 1)

184. 182
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Función exponencial natural
Como se vio anteriormente, las condiciones para que un número sea base de una
función exponencial es que sea positivo y diferente de uno, condiciones que dejan
como opción al número irracional llamado e, el cual tiene un valor aproximado de
2.71828...
En el interés compuesto, n veces los intereses se abonan en n periodos (año, tri-
mestre, mes, etc.). En el interés compuesto continuo los intereses se abonan ins-
tantáneamente. Mientras más grande sea el valor de n la ganancia tiende a ser
2.7182818…, que es el valor del número e.
Los criterios de una función exponencial son:
y = a  e
kx
es creciente si k es positivo
y = a  e
kx
es decreciente si k es negativo
El dominio de la función exponencial natural es D = {x : í’x’`TXHFRUUHVSRQGH
al conjunto de todos los números reales.
2WUDFDUDFWHULVWLFDGHHVWDJUi¿FDHVTXHQXQFDWRPDYDORUHVQHJDWLYRVHQHOHMH<
por tanto, el rango de una función exponencial natural es R = {y : 0 < y’`RELHQ
el conjunto de todos los números reales positivos.
Ejemplo 1: ,GHQWL¿FDUODIXQFLyQy = 2e
0.5x
como crecimiento o decaimiento expo-
QHQFLDOQDWXUDO\GLEXMDUVXJUi¿FD+DOODUORVYDORUHVGHy, localizar los puntos de
FRRUGHQDGDVVREUHODJUi¿FDFRUUHVSRQGLHQWH
Sabías que...
El número e apareció en 1618, en trabajos publicados por John Napier, pero
su importancia no se ve reflejada sino hasta los trabajos de Jacob Bernoulli,
quien estudió un problema particular llamado interés compuesto en el que se muestra el
surgimiento del valor e.
La función exponencial natural es una función exponencial con base e:
y = a  e
kx

185. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
183
Solución:
Ejemplo 1: ,GHQWL¿FDUODIXQFLyQy = 2e
í0.5x
como crecimiento o decaimiento expo-
QHQFLDOQDWXUDO\GLEXMDUVXJUi¿FD+DOODUORVYDORUHVGHy, localizar los puntos de
FRRUGHQDGDVVREUHODJUi¿FDFRUUHVSRQGLHQWH
Solución:
Se tabula la función correspondiente.
,QWHUSUHWDFLyQJUi¿FD
Crecimiento exponencial natural
0.5 es positivo.
xy
í3
í
í
0
1
Figura 7.7. Gráfica de y = 2e
0.5x
.
(0, 2)
Se tabula la función correspondiente.
,QWHUSUHWDFLyQJUi¿FD
Decaimiento exponencial natural
íHVQHJDWLYR
xy
í
í
0
1
2
(0, 2)
(0,(0,(0,0(0,(0,0,(0,(0,0(0((00(0(0,(0(02)2)22)2)2)2)22)))2)2)))2
Figura 7.8. Gráfica de y = 2e
í0.5x
.
(0, 2)

186. 184
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Actividad de aprendizaje 2
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los pro-
cesos completos que sean evidencia de la aplicación de las propiedades y concep-
tos estudiados.
1. Considera las ecuaciones y = e
kx
, y = e
k + x
y los valores í2, í1, í0.5, 0.75, 1 y 3
para la constante k. Con ayuda de una hoja de cálculo (u otro programa de com-
putadora apropiado), construye una tabla de valores para cada caso y realiza la
JUi¿FDFRUUHVSRQGLHQWHGHFDGDIXQFLyQ,PSULPHWXVHMHUFLFLRV\FRPSiUDORV
con otras soluciones.
,GHQWL¿FDUFDGDIXQFLyQFRPRFUHFLPLHQWRRGHFDLPLHQWRH[SRQHQFLDOQDWXUDO\
GLEXMDUVXJUi¿FD
a) y = 4e
0.5x

b) y = 4e
í0.5x

'HSRVLWDVHQXQDFXHQWDEDQFDULDTXHWHSURGXFHLQWHUHVHVFRPSXHV-
tos a 15% anual. Calcula el saldo en tu cuenta al cabo de 3 años, si los intereses
se capitalizan:
a) Mensualmente
b) Semestralmente
c) Continuamente
¢&XiOVHUiHOPRQWRHQDxRVGHGHSRVLWDGRVHQXQDFXHQWDEDQFDULD
que otorga 18% de interés anual, compuesto trimestralmente?

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

187. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
185
Aprende más
Logarítmos comunes y naturales
Existen dos tipos de logaritmos que son muy usados en la práctica. Primero, el
logaritmo común de un número es la potencia a la que hay que elevar el número 10
para obtener el número propuesto, en general sea x un número real, entonces el
logaritmo común es la función que asigna una potencia (o exponente) al cual hay
que elevar la base 10 para obtener dicho número x.

Simbólicamente es log x
Ejemplo: log 1 = 0 porque 100= 1
log 10 = 1 porque 101 = 10
log 100 = 2 porque 102 = 100
log 1000 = 3 porque 103 = 1000
log 10000 = 4 porque 104 = 10000
log 100000 = 5 porque 105 = 100000
log 1000000 = 6 porque 106 = 1000000
Segundo, el logaritmo natural de base e o Neperiano de un número es la potencia
a la que hay que elevar el número e, para obtener el número propuesto, en general
sea x un número real, entonces el logaritmo natural es la función que asigna una po-
tencia (o exponente) al cual hay que elevar la base e para obtener dicho número x.
Simbólicamente es ln x donde e = 2.718281828459...
ln 1 = log
e
1 = 0 porque e
0
= 1
En general, todas las propiedades que se presenten para cualquiera de estos loga-
ritmos, se cumplen para ambas bases (10 y e). Una propiedad básica de estos es:
ln e
x
= x para cualquier valor de x
e
ln x
= x para x > 0

En general, log
b
(b
x
) = x para cualquier valor de x y b
log
b
(x)
= x para x > 0, un caso
particular de la propiedad anterior es cuando x = 1, lo cual implicaría:
ln e
1
= ln e = 1 y e
ln1
= e
0
= 1
En general, log
b
(b) = 0 y log
b
(1) = 0

188. 186
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Logarítmos de otras bases
Propiedades generales de los logarítmos

Para calcular logaritmos con base distinta a 10, se puede utilizar una calculadora
FLHQWt¿FDTXHWHQJDODFDSDFLGDGGHFDOFXODUGHPDQHUDDXWRPiWLFDORJDULWPRVGH
cualquier base o bien recurrir al cambio de base.
3URSLHGDG La base en todo sistema de logaritmo es siempre un número positivo
mayor que cero. Ejemplo: 10 > 0.
3URSLHGDGEl logaritmo de un número, cuando existe, es único. Ejemplo:
log 1000 = 3
ln H = 1
log
3
27 = 3
3URSLHGDG El logaritmo del número cero no existe. Ejemplo:

10
?
= 0 entonces log 0 = ?
H
?
= 0 entonces ln 0 = ?
7
?
= 0 entonces log
7
0 = ?
3URSLHGDGEl logaritmo de la unidad en cualquier sistema de logaritmos es igual
a cero. Ejemplo:
log 1 = 0 es decir 10
0
= 1
ln 1 = 0 es decir e
0
= 1
log
4
1=0 es decir 4
0
= 1
3URSLHGDGLos números negativos carecen de logaritmos.
Sabes que y = log
b
(x)si y sólo si x = b
y
, entonces, si tomamos x = b
\
yaplicamos
ln a ambos lados de la ecuación tenemos:
ln [ \ ln b, despejando
x
y
b

ln
ln
, sabemos que y = log
b
(x) entonces:

b
x
x
b

ln
log
ln

que también es válido para el logaritmo de base 10

189. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
187
log (í5) = ? porque 10
?
= í5
ln (í2) = ? porque H
?
= í2
log
6
(í8)= ? porque 6
?
= í8
3URSLHGDG La misma relación de igualdad o desigualdad que se da entre dos o
más números existe entre sus logaritmos en un mismo sistema.
20 > 10 entonces log 20 > log 10
1.3010 > 1.000
3URSLHGDGLos logaritmos de los números mayores que la unidad son positivos.
Los logaritmos de los números menores que la unidad, pero mayores que cero, son
negativos. Ejemplo:
log 10 = 1 porque 10
1
= 10
log 1000 = 3 porque 10
3
= 1000
log 0.1 = í1 porque 10
-1
=
1
10

= 0.1
log 0.0001 = í4 porque 10
-4
=
4
1
10
= 0.0001
3URSLHGDG El logaritmo del producto de varios factores es igual a la suma de los
logaritmos de cada uno de ellos.
log
b
(A × B) = log
b
A + log
b
B

a) (5 × 20 × 37) = ln 5 + ln 20 + ln 35
b) log
2
(8 × 16 × 24) = log
2
8 + log
2
16 + log
2
64
3URSLHGDG El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos
el logaritmo del denominador.

b bb
A
AB
B
§·

¨¸
©¹
log log log
a)
§·

¨¸
©¹
430
ln ln430 ln12
12
b)
§·

¨¸
©¹
5 55
625
log log 625 log 25
25

190. 188
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Sabías que...
3URSLHGDG El logaritmo de una potencia es igual al producto de dicha potencia
por el logaritmo del número base.

n
bb
An A ˜log log
a) ln 254 = 41n25
b) log
2
103 = 3 log
2
10
3URSLHGDG El logaritmo de la raíz de un número es igual al logaritmo del número
dividido entre el índice de la raíz.
n bn
bb b A
AA A
nn

1
log1
log log log

a)

3 log37
log 37
3
b)

8
8
log 45
log 45
2
Los logaritmos constituyeron un recurso para realizar operaciones muy labo-
riosas antes de que se introdujeran calculadoras y computadoras. Por ejem-
plo, para hallar (0.00013)(0.5)
í25
/ (1.047)
3
:
1. Se aplicaban primero los logaritmos:
log [(0.0013)(0.5)
í25
/ (1.047)
3
] =
log (0.0013)(0.5)
í25
í(1.047)
3
=
log (0.0013) + log (0.5)
−25
− 3log 1.047 =
−3.8860 + 7.5257 − 0.0598 = 3.5799
2. Se hallaba por último el antilogaritmo (función inversa) de este último número:
antilog 3.5799 = 3801.01
Así (0.00013)(0.5)
í25
/ (1.047)
3
≈ 3801
(Los valores de logaritmos y antilogaritmos se consultaban en tablas)

191. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
189
Actividad de aprendizaje 3
Instrucciones: Resuelve los siguientes logaritmos comunes y naturales en tu li-
EUHWD5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQWXV
compañeros de clase.
1. Determina los siguientes logaritmos:
a) log 0.9104 b) log 5767 c) log 3.003
d) log 300100 e) log 0.3 f) log 0.000347
2. Calcula el valor de x en cada una de las siguientes expresiones:
a) log x = 3.1886 b) log x = 1.5736 c) log x = 4.6931
d) log x = 4.2351 e) log x = 3.6297 f) log x = 1.4437
g) log x = 3.8661 h) log x = 2.8393 i) log x = 0.1358
j) log x = 2.8464 k) log x = 2.6372 l) log x = 4.2867
m) log x = 2.1679 n) log x = 4.5791 o) log x = 3.7455
3. Escribe las siguientes expresiones en notación logarítmica:
a) 2
3
= 8 b) 2x = y c) 8

= 4
d) 5
3
= 125 e) 6
0
= 1 f) 10
í2
= 0.01
g) 4
í2
h) 4
3
= 64 i) 2
7
= 128
j) b
x
= m
4. Escribe las siguientes expresiones en notación logarítmica:
a) log
3
81 = 4 b) log
9
1 = 0 c) log
x
y = z

192. 190
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

d) log
3
í5e) log 1000 = 3f) log
36

g) log
2
8 = í5h) log
3
x = yi) log
2
x = y
j) log 100 = 2
5. Encuéntrense los valores de las literales indicadas.
a) log
6
Q = 3b) log
3
Q = í5c) log
b
27 = í3
d) log
b
27 = í3e) log
b
íf) log
b
í
g) log
b
1000 = 3h) log
b
íi) log
2
n = 8
j) log
b
í
6. Empleando logaritmos efectúense las operaciones indicadas en los problemas,
obténgase las respuestas con cuatro cifras.
a)
3
496b)
4
.801c) 3
(77.6)(66.5)
(44.3)(33.2)
d)
3
6.16 81.2e)
3
77.1 1.41f)
3
615
401
g)

2/3
215
(16.2) 41.1
h)
6
10.66i)
4
.1081
7. Utilizando el cambio de base, determina:
a) log 5 b) log 6 c) log 8 d) log 100

193. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
191
Aprende más
Concepto de función logarítmica
Dado un número real x, mayor que cero, la función logarítmica es la inversa de la
función exponencial de base b.
Algebraicamente el logaritmo base b se denota como:
log
b
(x)
Dado que esta función y la función exponencial con bVRQLQYHUVDVVHSXHGHD¿UPDU
que y = log
b
(xVLJQL¿FDx = b

y
entonces, si existe una función:
f(y) = x = b

y

La cual cumple con las características de las funciones exponenciales, su función
inversa está dada por:
f(x) = x = log
b
(y)
Que resulta ser la función inversa de la función exponencial.


5HÀH[LRQHPRVVREUHODDFWLYLGDG
¿De qué te das cuenta?
Al realizar la operación del logaritmo de un número, con diferentes bases.
¢&yPRLQÀX\HHQHOUHVXOWDGRDPHGLGDTXHODEDVHGLVPLQX\HRDXPHQWD"

194. 192
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Dominio y rango


En la función logarítmica:
a) La base b debe ser un número positivo y distinto de uno, igual que en la función
exponencial.
b) La variable x nunca puede ser cero pues no existe un número y real tal que b

y

sea cero.
c) La variable x sólo puede tomar valores positivos debido a que la base positiva
genera sólo potencias positivas.
Por ejemplo:


22
2 1
4 16 5 0.04
5
Para obtener el dominio y el rango de la función logarítmica dado que es la función
inversa de la función exponencial, el dominio de la función exponencial se convierte
en el rango de la función logarítmica. Lo mismo sucede con el rango. Es decir, el
dominio de una función logarítmica es D = {x : < x’`TXHHHOHHFRPRHOFRQMXQWR
de todos los números reales positivos. Este dominio se puede verificar, ya que la
gráfica nunca toma valores negativos sobre el eje x.
El rango de una función logarítmica es R = {x : í’ x’`TXHHVHOFRQMXQWRGH
todos los números reales. En resumen:


x
b
yb b b y xb b !z !z
f f f
0, 1 log 0, 1
Dominio , 0,
Rango



xy
b
by x
f ff
§·

¨¸
©¹
0, ,
1
1, se transforma en
0, 1Puntos en la gráfica
1, se transforma en


b
b
­­ §·

¨¸°°
©¹
°°
°°
®®
°°
°°
°°
¯¯
1
, 1
1, 0
, 1
$FRQWLQXDFLyQVHLGHQWL¿FDQORVORJDULWPRV\ODVEDVHVGHODVVLJXLHQWHVH[SUHVLR-
nes:

195. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
193
Actividad de aprendizaje 4

2
93
3
2 log 9 2 es el logaritmo base 3 de 9


2
0.25 2
2
2 log 0.25 í2 es el logaritmo base 2 de 0.25

0
20 1
20
0 log 1 0 es el logaritmo de base 20 de 1


1
0.1 10
10
1 log 0.1 í1 es el logaritmo base 10 de 0.1

2
5 25
5
2 log 25 2 es el logaritmo base 5 de 25
Instrucciones: Resuelve los siguientes logaritmos comunes en tu libreta. Registra
\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQWXVFRPSDxHURVGH
clase.
1. Obtener el logaritmo y la base para cada número:
a) 100000 = 10
5
b) 7
4
=

343 c) 64 = 4
3

d) 64 = 2
6
e) 64 = 2
6
f) 64 = 8
2
2. Escribe cada expresión en su forma exponencial o logarítmica, según el caso:
a) 4 = log
5
625 b) 25
2
= 625 c) 0.001 = 10
í
d) 2 = log

0.111 e) 6
1
= 6
3. Escriba cada ecuación en forma exponencial; luego determine el valor descono-
cido.
a) log
4
16 = \b) log
2
x = 5 c) log

x = 2 d) log
5
125 = \
e) log
3
x = 3 f) log

x = 4 g) log
b
81 = 4 h) log
b
í

i) log
b
25 = 2

196. 194
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVORJDUtWPLFDV
Cualquier función logarítmica con base mayor que cero y diferente de 1, que tenga
la forma f(x) = log
b
(xGHVFULELUiXQDJUi¿FDVLPLODUDODTXHVHPXHVWUDDFRQWLQXD-
ción y siempre pasará por el punto (1, 0) sin importar la base que se utilice.
Ejemplo 1: *UD¿TXHy = log
2
x e indique el dominio y el rango de la función.
Solución:


Figura 7.9. Gráfica de f(x) = log
b
x
Dominio. El conjunto de valores de "x", es {x / x > 0}
Rango. Conjunto de valores de "y", es el conjunto de todos los valores reales
^.
Esta es una ecuación de la forma y = log
b
xGRQGHE ORTXHVLJQL¿FDTXH
y = log
2
x

197. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
195
Ejemplo 2: *UD¿TXHy = log

x e indique el dominio y el rango de la función.
Solución:
Con esta expresión construiremos la tabla de valores seleccionados de "y" y determi-
nando los valores correspondientes de "x". Los tres puntos listados en el cuadro del
dominio y rango aparecen en la tabulación.
xy
1/6 í4
1/8 í3
1/4 í2
1/2 í1
1 0
2 1
4 2
8 3
Figura 7.10. Gráfica de y = log
2
x
(0, 1)
Dominio: El conjunto de valores de "x", es {x / x > 0}
Rango: Conjunto de valores de "y", es el conjunto de todos los valores reales
^.
Esta es una ecuación de la forma y = log
b
xGRQGHE ORTXHVLJQL¿FDTXH
x = (1/2)
y
Con esta expresión construiremos la tabla de valores seleccionados de "y" y determi-
nando los valores correspondientes de "x". Los tres puntos listados en el cuadro del
dominio y rango aparecen en la tabulación.
xy
16 í
8 í
4 í
2 í
1 0
1/2 1
1/4 2
1/8 3
Figura 7.11.
(1, 0)

198. 196
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Dado que la función logarítmica x = b
y
(y = log
b
x) es la inversa de la función exponen-
cial y = b
x
VXJUi¿FDVHREWLHQHUHÀHMDQGRODJUi¿FDH[SRQHQFLDOHQODUHFWDx = y
(QOD¿JXUDVHPXHVWUDQODVJUi¿FDVJHQHUDOHVGHy = b
x
y de y = log
b
x, b > 0
en los mismos ejes. Observa que son simétricos respecto de la recta y = x, podemos
ver que el rango de la función exponencial es el dominio de la función logarítmica, y
viceversa. Además, los valores de x y de y en los pares ordenados están intercam-
biados en las funciones exponencial y logarítmica.

Actividad de aprendizaje 5
Instrucciones: 5HVXHOYHORVVLJXLHQWHVHMHUFLFLRVHQWXOLEUHWD5HJLVWUD\UHÀH[LRQD
tus respuestas para que después las comentes con tus compañeros de clase.
1. Escribe los conceptos que se piden de la función logarítmica y = log
b
x
• ¿Qué restricciones hay sobre b?
• ¿Cuál es el dominio de la función? Y, ¿cuál es su rango?
• Escribe la función y = log
b
x en forma exponencial.
• ¿Cuál es el concepto de función exponencial?
*UD¿TXHFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV
a) y = log

x
b) y = log
2
x
Figura 7.12.
f(x) = 2
x
f(x) = x
f(x) = log
2
xFunción exponencial
Función logarítmica

199. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
197
c) y = log
3
x
d) y = log
4
x
*UD¿TXHFDGDSDUGHIXQFLRQHVHQORVPLVPRVHMHV
a) y = 2
2
, y = log

x,
b) y
x
, y = log
2
x,
c) y = 2
x
, y = log
2
x,
d) y
x
, y = log

x,

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
En este apartado analizaremos varios casos en los que se aplican ecuaciones expo-
nenciales o logarítmicas, o bien se tendrán que construir modelos a partir de datos
proporcionados.



5HÀH[LRQHPRVVREUHODDFWLYLGDG
¿De qué te das cuenta?
6LDQDOL]DVWHODVJUi¿FDVSXHGHVREVHUYDUFRPRODIXQFLyQORJDUtWPLFDHVOD
función inversa de la función exponencial, pero esto no solo sucede en las
JUi¿FDV¢4XpVXFHGHFRQODVRSHUDFLRQHV"

200. 198
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
En ocasiones algunas ecuaciones logarítmicas o exponenciales deben resolverse
SRU PpWRGRV JUi¿FRV (VWR RFXUUH FXDQGR ODV H[SUHVLRQHV UHVXOWDQWHV PHGLDQWH
transformaciones algebraicas son más complejas que la expresión inicial, en térmi-
nos generales se debe:
1. Tener presente las propiedades de logaritmos
2. Aislar los términos exponenciales o logarítmicos
3. Interpretar en forma inversa exponentes y logaritmos
Ejemplos 1: Resuelva la ecuación 5
n
= 20
Solución:
Ejemplos 2: Resuelva la ecuación
x

1
8
2
Solución:
Ejemplos 3: Resuelva la ecuación
x
3
2
log 1 4
6HFDOFXODHQDPERVODGRVGHODHFXDFLyQHOORJDULWPR\VHGHVSHMDQ
n
log 5 log 20
n log 5 log 20
log 20
n
log 5
n 1.8612




(VFULELUHOFRPR
3
\

11
como 2
2


x
3
3x 11
2
2
22
3x 1
1
x
3

201. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas

Solución:
Los siguientes ejemplos muestran algunas aplicaciones prácticas:
Ejemplo 4: Si al iniciar un cultivo hay 1000 bacterias este número se duplica cada
hora, entonces el número de bacterias al cabo de horas puede calcularse mediante
la fórmula N = 1000 (2)
t
, ¿Cuánto tiempo tardará el cultivo en tener 30000 bacterias?
Solución:

Ejemplo 5: Los logaritmos se utilizan para medir la magnitud de los terremotos. En
la escala Richter, desarrollada por el sismólogo Charles F. Richter, por ejemplo, la
magnitud, R, de un terremoto está dada por la fórmula:
R = log
10
I
Donde I representa el número de veces que es más intenso el terremoto respecto
de la actividad sísmica más pequeña que se puede medir con un sismógrafo.
a) Si el terremoto mide 4 grados en la escala Richter, ¿cuántas veces es más inten-
so respecto de la actividad sísmica más pequeña que se puede medir?
b) ¿Cuántas veces es más intenso un terremoto que mide 5 grados que uno de 4?


3
4
3
3
3
x 1 2 Escribir en forma exponencial
x 1 16
x 1 16 Raíz cúbica de ambos lados
x -1 16 Despejar x




2EVHUYDTXHVHTXLHUHGHWHUPLQDUHOYDORUGHWSDUDKDFHUORXWLOL]DUHPRVORJDULWPRV
HVFULELpQGRORHQDPERVH[WUHPRVGHODHFXDFLyQ

t
log 30 log 2
log 30 t log 2
log 30
t
log 2
t 4.91




6HUiQHFHVDULRXQWLHPSRGHKRUDVSDUDTXHHOFXOWLYRWHQJDEDFWHULDV
199

202. 200
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
Solución:
Ejemplo 6: En el lugar de un accidente un socorrista atiende a una persona incons-
ciente y sin respiración, en tanto otro efectúa dos tomas de temperatura con dife-
rencia de un minuto, siendo éstas de 37°C y 36°C. El termómetro ambiental de la
ambulancia marca 21°C de temperatura. Si la primera toma se hizo a las 7:00 p.m.,
¿Cuánto tiempo lleva sin respirar la persona?
Solución:
D (VLPSRUWDQWHHQWHQGHUHOSUREOHPDHOQ~PHURDVLJQDGRHQODHVFDOD5LFKWHU5
HV3DUDGHWHUPLQDUFXiQWDVYHFHVHVPiVLQWHQVRHOWHUUHPRWRUHVSHFWRGHOD
DFWLYLGDGVtVPLFDPiVSHTXHxDTXHSXHGHPHGLUVH,VXVWLWXLPRV5 HQODIyUPXOD
\GHVSHMDPRV,
10
10
4
R log I
4 log I Cambiar a la forma exponencial
10 I
I 10000




5HVSXHVWDXQWHUUHPRWRTXHPLGHJUDGRVHVYHFHVPiVLQWHQVRUHVSHFWRGHOD
DFWLYLGDGVtVPLFDPiVSHTXHxDTXHVHSXHGHPHGLU
E &DPELDUDODIRUPDH[SRQHQFLDO\UHVROYHU
10
5
5 log I
I 10
I 100000



5HVSXHVWDFRPR XQWHUUHPRWRTXHPLGHHVYHFHVPiV
LQWHQVRTXHXQWHUUHPRWRTXHPLGH
/DWHPSHUDWXUDFRUSRUDOQRUPDOHVGHƒ&8VDQGRODIyUPXODSDUDHOHQIULDPLHQWRGH
ORVFXHUSRV
fm
im
TT
kt ln
TT



2EWHQHPRVHOVLVWHPDGHHFXDFLRQHVORJDUtWPLFDV
36 21
kt ln
37 21

203. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
201
Actividad de aprendizaje 6
Los estudios de funciones de crecimiento y decaimiento exponencial se relacionan
con muchos procesos sociales. Tal es el caso del crecimiento de poblaciones vege-
tales, animales o humanas.
Trabajo de investigación: el estudio del crecimiento y decaimiento exponencial, es
XQDKHUUDPLHQWD~WLOHQWUDEDMRVGHLQYHVWLJDFLyQFLHQWt¿FD
Instrucciones: En equipos de tres a cuatro personas realiza las siguientes activi-
dades:
1. Investiga en libros, revistas o gente que conozca del tema, tres ejemplos de
crecimiento exponencial tomando como referencia lo descrito en cada inciso y
preséntalo al grupo.
a) El número de contagios de una enfermedad cuando no se toman medidas
sanitarias.
b) El número de células de un feto, mientras se desarrolla en el útero materno.
c) El número de virus o bacterias que se desarrollan en un charco de cultivo.
2. Investigación en libros, revistas o gente que conozca del tema, tres ejemplos de
decaimiento exponencial tomando como referencia lo descrito en cada inciso y
preséntalo al grupo
1 36 21
k t ln
60 37 21
§·

¨¸
©¹
5HVROYLHQGRODVHFXDFLRQHVHQFRQWUDPRVHOYDORUGHODVYDULDEOes:
k 0.0198, t 2.25
3RUWDQWRPLQXWRVDQWHVGHODSULPHUDWRPDODWHPSHUDWXUDFRUSRUDOHUDGHƒ&
/DSHUVRQDOOHYDFHUFDGHPLQXWRVVLQUHVSLUDU

204. 202
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
a) La cantidad de energía eléctrica generada por una batería.
b) La cantidad de células cancerígenas, después de aplicar radiación.
F /DFDQWLGDGGHPDWHULDOUDGLRDFWLYRHQXQUHDFWRUGH¿VLyQ
3. Elaboren mapas conceptuales sobre el tema en hojas de rotafolio o cartulinas y
explíquenlos a sus compañeros de clase.
4. Cada equipo deberá entregar al profesor evidencia de su investigación y una
conclusión que describa la importancia del trabajo realizado y sus aplicaciones
en la solución de problemas cotidianos en distintos ámbitos: social, político, cien-
Wt¿FRHWF

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

205. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
203
Cierre del bloque VII
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
Autoevaluación
Una vez estudiada la parte principal de este bloque VII de funciones exponenciales
y logaritmicas, lo consecuente es que desarrolles las habilidades y actitudes nece-
sarias, para así evidenciar que estas aprehendiendo dichas funciones .
$O¿QDOGHOSUHVHQWHEORTXH\DFXHQWDVQXHYRVHOHPHQWRVGHDSUHQGL]DMHSDUDTXH
poco a poco te apropies de ellos y puedas trabajar o utilizar funciones exponencia-
les y logarítmicas a situaciones teóricas, pero también a algunas situaciones reales.
Con estos elementos, te invito a que investigues acerca de algún tipo de aplicación
de funciones de crecimiento y decaimiento exponencial que se relacione con algún
proceso social y comparte la información con tu docente y grupo.
Cuestiónense acerca de la utilidad de estar desarrollando estos aprendizajes y la
LPSRUWDQFLDGHPDQHMDUORVDGHFXDGDPHQWH$O¿QDOSUHVHQWDDWXGRFHQWHODVREVHU-
vaciones del trabajo realizado para realimentar tu aprendizaje en cuanto a funciones
exponenciales y logarítmicas.
Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los pro-
cesos completos que sean evidencia de la aplicación de reglas y conceptos estu-
diados.
1. En tu casa te sirven en el desayuno unos huevos recién sacados de la sartén, a
40°C. La temperatura ambiente es de 20°C y la temperatura (en °C) de tu desa-
yuno está relacionada con el tiempo (en horas), mediante el modelo:
T
t



20
4.1605 ln
40 20
¿Cuánto tardará tu desayuno en enfriarse a 30°C?
2. Cuando pones un refresco a enfriar en el congelador, si el refresco está a 18°C
\VHFRQJHODHQKRUDVHVWDQGRHOFRQJHODGRUDíƒ&
a) Determina la constante en la fórmula del enfriamiento del problema 3.
b) ¿En cuánto tiempo el refresco estará a 6°C?

206. 204
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
B
loque VII
3. La ecuación y = 41.3 + H
0.1527W
modela la cantidad de personas (en millones) eco-
nómicamente activas en el país, a partir de 2010 (t = 1).
a) ¿Cuántas personas estaban produciendo ingresos en el país en el año 2010?
b) ¿En cuánto tiempo la población económicamente activa ascenderá a 44 mi-
llones?
4. Si en tres horas se congela un refresco en el refrigerador, estando el refresco a
15°C al introducirlo, ¿Cuál es la temperatura del congelador?
5. La ecuación y = 4 + ln0.5
ít
modela la demanda de bicicletas cada año, entre
1951 (t = 1) y 1960. ¿Cuál fue la demanda en 1958? está expresada en millo-
nes.
6. Construir un modelo para el crecimiento de una población de mapaches en un
zoológico, con capacidad máxima para 80 de ellos, iniciando con una pareja. El
primer dato es para x = 0 (años), y = 4 (mapaches). Un segundo dato podría ser
TXHDO¿QDOGHOSULPHUDxRKXELHUDQPDSDFKHVx = 1, y = 4
7. Una fórmula que se utiliza en ocasiones para calcular la energía sísmica liberada
por un terremoto es log E = 11.8 + 1.5 m
V
, donde E es la energía sísmica y m
V
es
ODPDJQLWXGGHODVXSHU¿FLHGHODRQGD
D 'HWHUPLQDODHQHUJtDOLEHUDGDSRUXQWHUUHPRWRFX\DPDJQLWXGGHODVXSHU¿FLH
de la onda es 6.
b) Si la energía liberada durante un terremoto es de ¿Cuál es la magnitud de la
VXSHU¿FLHGHODRQGD"
8. El nivel de presión del sonido es
r
p
P
s 20log
0.0002
, donde P
U
es la presión del
VRQLGRHQGLQDVFP
2
.
D 'HWHUPLQHHOQLYHOVLODSUHVLyQGHOVRQLGRHVGHGLQDVFP
2
.
b) Si el nivel es de 10.0, determine la presión del sonido.
9. La escala Richter, usada para medir la intensidad (o fuerza) de los terremotos,
relaciona la magnitud, M del terremoto con la energía que libera, E, en ergios,
mediante la fórmula:
E
M


log 11.8
1.5

207. Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
205


3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en
función de las respuestas correctas que tuviste?
Excelente
Bien
Regular
1RVXÀFLHQWH

Si un terremoto libera 1.259 × 10
21
ergios de energía, ¿cuál es su magnitud en la
escala Richter?
9. En equipos utilice la fórmula de cambio de base para evaluar log
3
45
10. Resolver la ecuación
xx log 3 5 log 5 1.23
11. Resolver la ecuación
x
77
3
log log 64
2
Si de la actividad anterior obtuviste los SXQWRV, considera tu resultado como
([FHOHQWH y si lograste DSXQWRVes %LHQ, de DHV5HJXODU y si tus respuestas
correctas fueron PHQRVGH considera tu desempeño como 1RVX¿FLHQWH, lo que
exige que atiendas tus áreas de oportunidad.

209. Bloque VIII
Aplicaciones funciones periódicas
Bloque VIII. Aplicas funciones periódicas

210. 208
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Introducción
8QDIXQFLyQSHULyGLFDVHSXHGHGH¿QLUFRPRXQDIXQFLyQSDUDODFXDOPDWHPiWL-
camente f. f.t), para todo valor de t. La constante mínima t que satisface
la relación se llama el período de la función. Una función es periódica si cumple la
condición de periodicidad, es decir, si después de cada cierto intervalo de tiempo o
espacio constante, llamado periodo, la función adquiere el mismo valor de partida.
Las aplicaciones de las funciones trigonométricas son extensas e interesantes. Por
ejemplo, los fenómenos de vibración tales como los de las cuerdas de una guitarra
para producir sonido y el sonido mismo se describen mediante funciones trigono-
métricas. También el estudio de los temblores es analizado mediante funciones tri-
gonométricas.
La electricidad, y particularmente el cálculo de su intensidad en corriente alterna,
está determinada por funciones trigonométricas, la luz y las ondas electromagnéti-
cas, como las ondas de radio y televisión, también obedecen modelos trigonomé-
tricos.

211. Aplicas funciones periódicas
209
¿Qué aprenderás y cómo organizarás tu
estudio?
Bloque VIII
1. Concepto de función trigonométrica.
2. Periodicidad de las funciones trigonométricas.
• Función seno.
• Función coseno.
3. *Ui¿FDVGHIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDV
• Función seno generalizada (senoidal).
4. Función coseno.
• Función coseno generalizada (cosenoide).
5. Modelado y solución de problemas con
funciones trigonométricas.
Durante este bloque realizarás los siguientes pro-
GXFWRVGHDSUHQGL]DMHTXHSRQGUiQGHPDQL¿HVWRHO
desarrollo de tus competencias.
• Actividad de aprendizaje 1. Función seno
• Actividad de aprendizaje 2. Función coseno.
• Actividad de aprendizaje 3. Análisis de las ca-
racterísticas de las funciones periódicas.
• Autoevaluación.
Contenidos curriculares que se abordan
Tiempo
Evaluación del aprendizaje
10
horas
• Construye e interpreta modelos matemáticos
mediante la aplicación de procedimientos arit-
méticos, algebraicos, geométricos y variaciona-
les, para la comprensión y análisis de situacio-
nes reales, hipotéticas o formales
• Formula y resuelve problemas matemáticos,
aplicando diferentes enfoques.
• Explica e Interpreta los resultados obtenidos
mediante procedimientos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales
• Argumenta la solución obtenida de un proble-
PD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUi¿FRV DQDOtWL-
cos o variacionales mediante el lenguaje ver-
bal, matemático y el uso de la tecnología de la
información y la comunicación
• &XDQWL¿FDUHSUHVHQWD\FRQWUDVWDH[SHULPHQWDO
o matemáticamente las magnitudes del espacio
y las propiedades físicas de los objetos que lo
rodean.
• ,QWHUSUHWDWDEODVJUi¿FDVPDSDVGLDJUDPDV\
WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV\FLHQWt¿FRV
Competencias disciplinares que se
desarrollan

212. 210
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII


3DUDLQLFLDUUHÁH[LRQD
Para comenzar, te invitamos a realizar lo siguiente y responder las preguntas:
1. Traza un triángulo que mida dos unidades por lado y determina:
a) ¿Qué tipo de triángulo es?
2. Traza la altura y responde:
c) ¿Qué propiedades geométricas tiene la altura del triángulo?
d) ¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo?
e) ¿Cuál es la medida de la altura del triángulo?

Aprende más
Concepto de función trigonométrica
Estas funciones surgen de la relación entre dos la-
dos de un triángulo rectángulo y un ángulo interior
en una razón matemática.
Para entender el comportamiento de estas funcio-
nes es necesario recordar algunos conceptos im-
portantes:


Figura 8.1.

213. Aplicas funciones periódicas
211
1. Un triángulo rectángulo tiene dos lados perpendiculares entre sí: x y y, que for-
man un ángulo recto (cuya medida es de 90°). Estos lados se denominan catetos
del triángulo.
2. El tercer lado: h, opuesto al ángulo recto, se denomina hipotenusa del triángulo
y su medida es mayor que la de los catetos: h > x, h > y.
3. Los lados se relacionan mediante el teorema de PitágorasTXHHQXQFLDTXH³OD
VXPDGHORVFXDGUDGRVGHORVFDWHWRVHVLJXDODOFXDGUDGRGHODKLSRWHQXVD´
h
2
= x
2
+ y
2
6LWRPDPRVDOiQJXOR.WHQHPRVODVVLJXLHQWHVUD]RQHVGHORVGRVODGRV
• )XQFLyQVHQRGHOiQJXOR.
y
sen
h
a
a
cateto opuesto de
hipotenusa
• )XQFLyQFRVHQRGHOiQJXOR.
x
cos
h
a
a
cateto adyacente de
hipotenusa
• )XQFLyQWDQJHQWHGHOiQJXOR.
y
tan
x
a
a
a

cateto opuesto de
cateto adyacente de
• )XQFLyQFRVHFDQWHGHOiQJXOR.
h
csc
y
a
a

hipotenusa
cateto opuesto de

• )XQFLyQVHFDQWHGHOiQJXOR.
h
sec
x
a
a

hipotenusa
cateto adyacente de
• )XQFLyQFRWDQJHQWHGHOiQJXOR.
x
cot
y
a
a
a

cateto adyacente de
cateto opuesto de
Para el ángulo b

WDPELpQVHSXHGHQGH¿QLUODVPLVPDVVHLVIXQFLRQHVWULJRQRPp-
trica.

Periodicidad de las funciones trigonométricas
Si en el plano cartesiano dibujamos un círculo de radio r con centro en el origen y
trazamos uno de sus radios, tenemos una herramienta útil para analizar a las fun-
ciones trigonométricas, denominado círculo trigonométrico.

214. 212
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Para el triángulo OPQ, que es un triángulo rectángulo, se cumple el teorema de
Pitágoras, de modo que: r
2
= x
2
+ y
2
.
3DUDHOiQJXORGH¿QLGRSRUHOSXQWRP(x, y$SDUWLUGHHVWDVGH¿QLFLRQHVSRGH-
mos analizar las funciones trigonométricas para entender y aplicar sus propiedades
a la solución de problemas.
Función seno
Está determinada por la coordenada y del punto P y el radio r cuya medida perma-
QHFHFRQVWDQWH'HHVWHPRGRSRGHPRVD¿UPDUTXHHOYDORUGHHVWDIXQFLyQGHSHQ-
de, principalmente, del valor de y.
En el primer cuadrante, los puntos tienen coordenadas positivas, de modo que la
razón yr se mantiene positiva en este cuadrante. El ángulo HVDJXGRƒ < 90°)
y la coordenada y cambia desde 0 hasta r; es decir, 0 < y < r.
El ángulo de 0°, que es la frontera inicial de los ángulos del primer cuadrante, está
determinado por el punto (r, 0) por lo que:
sen
r
$
0
00
<HOiQJXORGHƒTXHHVIURQWHUD¿QDOGHORViQJXORVGHOSULPHUFXDGUDQWHHVWi
determinado por el punto (0, r), por lo que:
Figura 8.2.
CII
í
CIII
íí
CI
(+, +)
CIV
í
P(x, y)
r
x
y
QO
(0, r)
(0, íU)
(íU, 0) (r, 0)
Y
X

215. Aplicas funciones periódicas
213
r
sen
r
$ 90 1
Por lo que se concluye que en el cuadrante I se cumple la condición (0 < sen 1).
Con la información obtenida hasta el momento, obtenemos la siguiente tabla:
Cuadrante I:
0° 30° 45° 60° 90°
seno 0
1
2
2
2
3
2
1
La coordenada y se mantiene positiva, con 0 < y < r, y los ángulos cumplen las con-
diciones 90°< yƒ\VHQ/DIXQFLyQVHQRSURGXFHYDORUHVSRVLWLYRV
en el segundo cuadrante, siendo equivalentes a los valores del primer cuadrante
REWHQLGRVFRQODH[SUHVLyQ
r
= ĒGRQGH
r
se denomina ángulo de referen-
cia. La expresión para el ángulo de referencia anterior es válida para el cuadrante II,
exclusivamente. Para la función seno en el cuadrante II se tiene que:
120° 135° 150° 180°
ƒí60° 45° 30° 0°
seno
3
2
2
2
1
2
0
Figura 8.3.
CII
í
CIII
íí
CI
(+, +)
CIV
í
P(x, y)
O
(0, r)
(0, íU)
(íU, 0) (r, 0)
Y
X
180í

216. 214
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII

íƒ
seno

Ē
seno
Mediante un análisis semejante tenemos lo siguiente.
&XDGUDQWH,,,íU < yƒƒ
U
ƒííVHQ0.
210° 225° 240° 270°
30° 45° 60° 90°
seno

1
2

2
2

3
2
í
&XDGUDQWH,9íU < yƒƒ
U
ƒííVHQ0.
300° 315° 330° 360°
60° 45° 30° 0°

3
2

2
2

1
2
0
Observa que calcular la función seno en ángulos . mayores a 360º es equivalente
a calcular la función del ángulo .í 360º así que los valores de las tablas se repiten
LQ¿QLWDPHQWHFDGDž
Si tenemos un ángulo mayor que 2? (mayor de 360°), ¿qué ocurre con los valores
de la función?
Consideremos el caso del ángulo de 390°
S§·
¨¸
©¹
13
6
:
390° = 360° + 30°, de modo que el punto que determina al ángulo de 30° es el mismo
que para 390°. Dos ángulos determinados en el círculo trigonométrico por el mismo
punto se denominan iQJXORVFRWHUPLQDOHV. 30° y
390° son iQJXORVFRWHUPLQDOHV. Si ambos ángulos
están determinados por el punto P, entonces sus
funciones trigonométricas tienen exactamente los
mismos valores:
sen senq q
1
390 30
2
cos cosq q
3
390 30
2
Figura 8.4.

217. Aplicas funciones periódicas
215
Función coseno
Cuadrante I
f° f°rad f
ref
cos f
Cuadrante III
f° f°rad f
ref
cos f
Cuadrante IV
f° f°rad f
ref
cos f
Cuadrante II
f° f°rad f
ref
cos f
Lo mismo ocurre si utilizamos ángulos negativos. Esta característica de la función
seno se denomina SHULRGLFLGDG.
Del círculo trigonométrico tenemos:
0°0-1
30°
S
6
-
3
2
45°
S
4
-
2
2
60°
S
3
-
1
2
90°
S
2
-0
210° 30°
3
2
225°
S5
4
45°
2
2
240°
S4
3
60°
1
2
270°
S3
2
90° 0
300°
S5
3
60°
1
2
315°
S7
4
45°
2
2
330°
S11
6
30°
3
2
360°
S2 0° 1
120°
S2
3
60°
1
2
135°
S3
4
45°
2
2
150°
S5
6
30°
3
2
180° ? 0° í

218. 216
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
*Ui¿FDVGHIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDV
$QWHVGHJUD¿FDUDODVIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVFRPHQFHPRVGH¿QLHQGRXQUD-
GLiQ8QUDGLiQVHGH¿QHFRPRHOiQJXORFHQWUDOTXHVHJHQHUDFXDQGRHODUFRGH
FLUFXQIHUHQFLDWLHQHXQDORQJLWXGLJXDODOUDGLR2EVHUYDODVLJXLHQWH¿JXUD

El ángulo en color azul tiene una medida de 1 radián. Sabemos que el diámetro de
la circunferencia se puede colocar sobre el perímetro de ella de modo que se cum-
ple que:
p
Perímetro
diámetro
Es decir, el diámetro de la circunferencia cabe en su perímetro ? veces. Esto signi-
¿FDTXHVLFRORFDPRVGLiPHWURVVREUHHOSHUtPHWURGHODFLUFXQIHUHQFLDSRGUHPRV
colocar 3 diámetros completos y faltará una curva de longitud w = 0.14159265,
FRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDTXHGH¿QHHOYDORUGHODFRQVWDQWH?. Recuerda que
? es la razón del perímetro de una circunferencia al diámetro de la misma; es decir,
representa las veces que el diámetro de la circunferencia cabe en su contorno o
perímetro. Dado que el diámetro mide lo que dos radios, entonces en el perímetro
de la circunferencia caben 2Œradianes.
Figura 8.5.
r
r
r
r
r
w
r
r
r
r
r
r
r
r







.
90° = ?UDG
0° = 0 rad
360° = 2? rad
180° = ? rad
ƒ ? rad
Figura 8.6.

219. Aplicas funciones periódicas
217
Sabías que...

De este modo podemos establecer una relación de equivalencia de las medidas
angulares entre grados y radianes:
p
p
p q
q

q
1 rev 360 2 rad
1 360
rev rad
22
1
rev 180 rad
2
Así, si deseamos saber cuál es la equivalencia en radianes de 30° realizamos la
siguiente conversión:
q q30 30
p
˜
q
rad
180
pp

30
rad rad
180 6
; 30° equivalen a
p
6
radianes
Ejemplo 1: ¿Cuál es la equivalencia de 45° en radianes?
Solución:
Ejemplo 2: ¿Cuál es la medida, en grados, de
p3
2
?
Solución:
8QDYH]HQWHQGLGRHOFRQFHSWRGHUDGLiQSRGHPRVJUD¿FDUDODVIXQFLRQHVWULJRQR -
métricas.

Cuando la medida de un ángulo está expresada en radianes no es necesario
escribir la unidad rad. El radián es la unidad por defecto de la medida angular
en Matemáticas.
45 45q q
180
p
˜
q
945
180p

5
9p420
p


Por lo tanto,

45
4
p
q
3 1803 3 180
22 ppp
pq
˜
2p
3 90
270
1
§· §·
q q q¨¸ ¨¸
¨¸
©¹©¹

Por lo tanto,

3
270
2p
q

220. 218
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Utilizando los valores calculados para la función seno, mediante el círculo unitario,
WHQHPRVODJUi¿FDVLJXLHQWH
5HFRUGDQGRODSHULRGLFLGDGGHODIXQFLyQVHQRWHQHPRVTXHODJUi¿FDGHODIXQFLyQ
seno hasta 390° es:
(Q ¿JXUD OD FXUYD D]XO TXH UHSUHVHQWD ORV YDORUHV GH OD IXQFLyQ VHQR SDUD
ángulos comprendidos entre 0° y 360° (0 y 2?), denominada curva seno base, se
reproduce totalmente para ángulos desde 360° hasta 720° (2Œa 4?).
Figura 8.7.
f (x) = sen x
Figura 8.8.
f (x) = sen x

221. Aplicas funciones periódicas
219
f(x) = sen x
f (x) = sen x
3RU~OWLPRWHQHPRVTXHODJUi¿FDSDUDYDORUHVQHJDWLYRV\SRVLWLYRVHVODVLJXLHQWH
8QDYH]TXHKHPRVFRPSUHQGLGRFyPRHVODJUi¿FDFRPSOHWDGHODIXQFLyQVHQR
analicemos sus elementos:
'RPLQLR 'RPI[í’’/DJUi¿FDVHH[WLHQGHKRUL]RQWDOPHQWHFRQWLQXDPHQWH
desde í’hasta ’.
5DQJR 5DQJRI\í/DJUi¿FDYDUtDYHUWLFDOPHQWHGHVGHíhasta 1.
Figura 8.10.
Figura 8.9.

222. 220
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Intersección con el eje Y. El origen del plano cartesiano, que es el punto (0, 0).
Intersecciones con el eje X. Todos los puntos (n?GRQGHQ ííí
2, 3...
Puntos máximos.
n
p
41
2
SDUDQ ííí
Puntos mínimos.
n
p
43
2
SDUDQ ííí
Periodo (T). 2?, que es la longitud de la onda que se reproduce periódicamente (en
ODJUi¿FDHVODRQGDD]XOT = 2?. La función seno repite sus valores cada 2Œuni-
dades del eje X.
Frecuencia (f). Es el inverso del periodo:
f
Tp

11
2
Representa el número de ondas seno base que se tienen cada 2Œunidades; es de-
cir, hay una onda seno base cada unidades sobre el eje X.
Amplitud (A).(VODPi[LPDGLVWDQFLDGHOHMH;DODJUi¿FDGHODIXQFLyQVLQLPSRUWDU
la dirección; es decir, hacia arriba del eje X, el máximo se encuentra en 1 (distancia
GHXQDXQLGDG\KDFLDDEDMRGHOHMH;ODPi[LPDGLVWDQFLDVHSUHVHQWDHQíGLV-
tancia de una unidad): A = 1.
Función seno generalizada (senoidal)
Se ha analizado, hasta el momento, la función f(x) = sen x. Sin embargo, añadiendo
parámetros numéricos a esta función, podemos realizar algunas transformaciones
JUi¿FDV\KDFHUOD~WLOSDUDODDSOLFDFLyQDSUREOHPDVWDOHVFRPRHOHVWXGLRGHOVRQL-
do, la electricidad, el movimiento de rotores, etcétera.
Cuando añadimos parámetros numéricos a la función f(x) = sen x, obtenemos una
IXQFLyQFX\DJUi¿FDVHGHQRPLQDsenoide, onda seno, onda senoidal, sinusoide u
onda sinusiodal.
La expresión de la función seno generalizada o senoidal es:
f(x) = a  sen (bx + c) + d

223. Aplicas funciones periódicas
221
Donde:
a es el parámetro de amplitud,
b es el parámetro de periodo,
c es el parámetro de fase inicial (desplazamiento horizontal) y
dHVHOGHVSOD]DPLHQWRYHUWLFDO\G
Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la función base f(x) = sen x, que se acaba de
analizar.
El parámetro dUHSUHVHQWDHOGHVSOD]DPLHQWRGHODJUi¿FDFRQUHVSHFWRDOHMH;/D
JUi¿FDEDVHWLHQHVXLQLFLRHQHOSXQWRd). Si d HOHMHKRUL]RQWDOGHODJUi¿FD
es el eje X. Si d!ODJUi¿FDEDVHGHVHQRVHGHVSOD]DKDFLDDUULED\VLd < 0, la
JUi¿FDVHGHVSOD]DKDFLDDEDMR(OSDUiPHWURaGHDPSOLWXGPRGL¿FDODGLVWDQFLD
Pi[LPDGHVGHHOHMHEDVHGHODJUi¿FDXELFDGRHQy = dKDVWDODJUi¿FDVHQRLGDO
(hacia arriba y hacia abajo del eje).
• Si a ! OD JUi¿FD VH DODUJD YHUWLFDOPHQWH FRQ UHVSHFWR D OD JUi¿FD GH
f(x) = sen x.
• Si 0 < aODJUi¿FDVHDFRUWDYHUWLFDOPHQWHFRQUHVSHFWRDODJUi¿FDGH
f(x) = sen x.
• 6LíaODJUi¿FDVHDFRUWDHLQYLHUWHYHUWLFDOPHQWHFRQUHVSHFWRDODJUi-
¿FDGHf(x) = sen x.
• Si aíODJUi¿FDVHDODUJDHLQYLHUWHYHUWLFDOPHQWHFRQUHVSHFWRDODJUi¿FD
de f(x) = sen x.
Figura 8.11.
f (x) = a sen (x) + d

224. 222
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
El parámetro b GH SHULRGR SHUPLWH FRPSULPLU R DODUJDU OD JUi¿FD EDVH VHQRLGDO
KRUL]RQWDOPHQWH&RQHVWHSDUiPHWURVHSXHGHGHWHUPLQDUHOSHULRGRGHODJUi¿FD
mediante la expresión:
T
b
p

2
Si 0 < bODJUi¿FDVHDODUJDKRUL]RQWDOPHQWH\VLb!ODJUi¿FDVHDFRUWDKR-
rizontalmente.
Si bODJUi¿FDVHLQYLHUWHKRUL]RQWDOPHQWHGHPRGRTXHODJUi¿FDEDVHVHWUD]D
de derecha a izquierda.
Figura 8.12.
f (x) = sen 2 x
f (x) = sen x f (x) = sen x/2
Figura 8.13.
f (x VHQíx)
f (x) = sen ( x)
Parámetro c (desplazamiento horizontal)

225. Aplicas funciones periódicas
223
Figura 8.14.
f (x) = sen ( x + ?
f (x) = sen (x)
f (x) = sen ([í?
El parámetro c, de fase inicial (o desplazamiento horizontal) se emplea para des-
SOD]DUODJUi¿FDKRUL]RQWDOPHQWH(OLQLFLRGHODJUi¿FDVHORFDOL]DHQODVROXFLyQGH
la ecuación:
bx c 0 ; es decir, en
c
x
b

0
(O¿QDOGHODJUi¿FDGHSHQGHGHOSHULRGRGHPRGRTXHHO¿QDOGHODJUi¿FDHVWDUi
dado en la solución de la ecuación:
bx cS 2 ; es decir,
c
x
bS

4
2
, que es lo mismo que
cc
x xT
bb bSS

40
22
6LF!ODJUi¿FDGHODIXQFLyQEDVHVHQRLGDOVHGHVSOD]DUiKRUL]RQWDOPHQWHKDFLD
ODL]TXLHUGD\VLFODJUi¿FDGHODIXQFLyQEDVHVHQRLGDOVHGHVSOD]DUiKRUL]RQ-
talmente hacia la derecha.
Análisis de la función senoide:
'RPLQLR'RPI í’’
5DQJR 5DQJRI [G_D_G_D_]
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<[ \ = a  sen (c) + d, (0, a  sen (c))
Figura 8.14.

226. 224
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Procedimiento (MHPSOL¿FDFLyQ
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPi[LPRV3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPtQLPRV3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3HULRGR(T)T
b
S

2
)UHFXHQFLD(f)
b
f
S

2
$PSOLWXG(A) A = _D_
$KRUDYHDPRVHOSURFHGLPLHQWRSDUDJUD¿FDUIXQFLRQHVVHQRJHQHUDOL]DGDVWRPD-
remos como ejemplo la función:
senf x a bx c d ˜
1. ,GHQWL¿FDORV
parámetros a, b, c, y d.
a 2

b
1
2

c
S

4
d 1
2. Calcula el periodo:
T
b
S

2
T
b
SS
S

22
4
1
2
3. Calcula los puntos
principales por los
TXHSDVDUiODJUi¿FD
senoidal, resolviendo
las ecuaciones:
c
x
b

0
,

bx c
S

1
2
,
bx c
S
2 ,

bx c
S

3
3
2

y
bx c
S
4
2
x
S
SS


0
2
4
1 42
2
xx
xSS S S
o o
11
1
33
242 2 4 2xx
xS SS
S
o o
22
2
55
24 2 4 2
xx
xSS S S
o o
33
3 3 77
24 2 2 4 2xx
xS SS
S
o o
44
4
99
2
24 2 4 2

227. Aplicas funciones periódicas
225
4. Traza el plano
cartesiano, y en él, la
línea horizontal y = d
5. Localiza, sobre el eje
trazado, los valores x
0
,
x
1
, x
2
, x
3
, x
4
.
6. Con el valor del
parámetro a limita los
YDORUHVGHODJUi¿FD
colocando líneas
punteadas en
y = d + a y en
y = día
7. Colocar los puntos
(x
0
, d), (x
1
, d + |a|) y
(x
4
, 0).
Figura 8.15.
Figura 8.16.
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
Figura 8.17.
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
y í
y íí í
Figura 8.18.
(x
1
, d)
y = 1
y í
(x
3
, d) (x
5
, d)
(x
2
, d + |a|)
(x
4
, d í |a|)
y = d + |a|
y = dí_a|

228. 226
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
8. 7UD]DODJUi¿FD
empezando en x
0
en
dirección hacia x
4

considerando que:
Si a > 0, debes trazar
ODJUi¿FDVHQREDVH
original y si a < 0,
GHEHVWUD]DUODJUi¿FD
seno invertida.
/RVVLJXLHQWHVHMHPSORVLOXVWUDQHOSURFHVRUHFRPHQGDGRSDUDJUD¿FDUIXQFLRQHV
senoidales.
Ejemplo 1: $QDOL]D\WUD]DODJUi¿FDGHODIXQFLyQf(x) = 3 Âsen x.
Solución:
Figura 8.19.
(x
1
, d)
y = 1
y í
(x
3
, d) (x
5
, d)
(x
2
, d + |a|)
(x
4
, d í |a|)
y = d + |a|
y = dí_a|
Análisis de la función senoide:
'RPLQLR'RPI í’’
Rango: Rangof = [0 í |3|, 0 + |3|] = [í, 3]
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<[ \ ÂVHQ
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPi[LPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPtQLPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
Periodo (T):
22
T2
b1
pp
p
Frecuencia (f):
b1
f
22pp

Amplitud (A): A = |3| = 3
Los parámetros son:
a 3, b 1, c 0, d 0
'DGRTXHD ODJUi¿FDWLHQHFRPRHMHSULQFLSDODOHMH;

229. Aplicas funciones periódicas
227
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
f (x) = 3 sen x
f (x) = sen x
Ejemplo 2: $QDOL]D\FRQVWUX\HODJUi¿FDGHODIXQFLyQ
4 sen
4
fx x
p§·

¨¸
©¹
Solución:
'RPLQLR'RPI í’’
5DQJR5DQJRI [í____] = [í, ]
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<

2
x 0, y 4 sen 0 4 2 2, 0, 2 2
42p §·§·
˜ ¨¸¨¸ ¨¸
©¹ ©¹
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPi[LPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD.
&DOFXODPRVORVSXQWRVSULQFLSDOHVGHODJUi¿FD
0
c0
x0
b1


1
x
2
p


x
p
2

3
3
x
2p


4
x2p


'DGRTXHD WUD]DPRVODJUi¿FDVHQRLGDOVLQGHVSOD]DPLHQWRV\DODUJDGDYHUWLFDO-
PHQWH
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;x , 3, 2, ,0,,2,
p pp pp !!
3XQWRVPi[LPRV
2n
x 2 n, n , 2, 1,0,1,2,
212ppp
p
!!
3XQWRVPtQLPRV
3 2n 3
x 2 n, n , 2, 1,0,1,2,
212pp p
p
!!
Continúa...

230. 228
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
I[ íVHQ[Œ/4)
f (x) = sen x
3XQWRVPtQLPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3HULRGR7
22
T2
b1SS
S

)UHFXHQFLDI
b1
f
22
SS

$PSOLWXG$$ _í_
/RVSDUiPHWURVVRQ
a 4,b1,c ,d0
4
S

'DGRTXHG ODJUi¿FDWLHQHFRPRHMHSULQFLSDODOHMH;&DOFXODPRVORVSXQWRVSULQ-
FLSDOHVGHODJUi¿FD
0
c 4
x
b14
S
S


11
xx
42 4
SS S
o

22
3
xx
44SS
S
o
33
35
xx
42 4SS S
o

44
7
x2 x
44SS
S
o

'DGRTXHD íWUD]DPRVODJUi¿FDLQYLUWLHQGRYHUWLFDOPHQWHODFXUYDEDVHVHQRLGDO
TXHGHEHVHUXQDJUi¿FDGHVSOD]DGDŒDODL]TXLHUGDDODUJDGDYHUWLFDOPHQWHHLQYHU-
WLGDFRQUHVSHFWRDODVHQRLGDOEDVH
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;
3
n , n , 2, 1,0,1,2,
4S
S
!!
3XQWRVPi[LPRV
5
n , n , 2, 1,0,1,2,
4S
S
!!
3XQWRVPtQLPRV
3
n , n , 2, 1,0,1,2,
4S
S
!!

231. Aplicas funciones periódicas
229
Actividad de aprendizaje 1

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV
Aprende más
Función coseno



Instrucciones: Determina la amplitud y el periodo para cada ecuación y traza su
JUi¿FD
a)
6 senyx ˜
b) 5 sen 3yx ˜
c) 1.5 sen 4yx ˜
d)
11
sen
22
yx
§·
˜
¨¸
©¹
e)
sen
54
x
y
S§·

¨¸
©¹
Los elementos de la función coseno son los siguientes:
'RPLQLR 'RPI[í’’/DJUi¿FDVHH[WLHQGHKRUL]RQWDOPHQWHFRQWLQXDPHQWH
desde í’hasta ’.
5DQJR 5DQJRI\í/DJUi¿FDYDUtDYHUWLFDOPHQWHGHVGHíhasta 1.

232. 230
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Función coseno generalizada (cosenoide)
f (x) = cos x
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH< El punto (0, 1).
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH; Todos los puntos
nS§·
¨¸
©¹
,0
2
, donde Q ííí
1, 2, 3... .
3XQWRVPi[LPRV 2Q? para Q ííí
3XQWRVPtQLPRV Q?, para Q ííí
3HULRGR(T)2?.
)UHFXHQFLD(f)Es el inverso del periodo:
f
T
S

11
2
$PSOLWXG(A)(VODPi[LPDGLVWDQFLDGHOHMH;DODJUi¿FDGHODIXQFLyQVLQLPSRUWDU
la dirección; es decir, hacia arriba del eje X, el máximo se encuentra en 1 (distancia
GHXQDXQLGDG\KDFLDDEDMRGHOHMH;ODPi[LPDGLVWDQFLDVHSUHVHQWDHQíGLV-
tancia de una unidad): A = 1.
Su expresión general es:
f(x) = a  cos (bx + c) + d
Donde:
a es el parámetro de amplitud,
Figura 8.20.

233. Aplicas funciones periódicas
231
b es el parámetro de periodo,
c es el parámetro de fase inicial (desplazamiento horizontal) y
dHVHOGHVSOD]DPLHQWRYHUWLFDO\G
Análisis de la función cosenoide:
'RPLQLR'RPI í’’
5DQJR 5DQJRI [G_D_G_D_]
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<[ \ = a  cos (c) + d, (0, a  cos (c) + d)
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPi[LPRV3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPtQLPRV3XHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3HULRGR(T)T
b
p

2
)UHFXHQFLD(f)
b
f
p

2
$PSOLWXG(A) A = _D_
Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la función base f(x) = cos x que se acaba de
DQDOL]DU/RVSDUiPHWURVGHODIXQFLyQFRVHQRLGHDIHFWDQODJUi¿FDGHODIXQFLyQ
coseno base de la misma manera que en la función senoide. El procedimiento para
JUD¿FDUODVIXQFLRQHVFRVHQRLGHVHVVHPHMDQWHDOGHOWUD]DGRGHODJUi¿FDGHOD
función senoide.
Con los siguientes ejemplos se ilustra el proceso de análisis de las funciones cose-
noides:
Ejemplo:$QDOL]D\WUD]DODJUi¿FDGHODIXQFLyQ

3
cos 2
24
x
fx
§·

¨¸
©¹
.
Solución:
'RPLQLRDomf , f f 5DQJR
3 3 17
Rangof 2 , 2 ,
2 2 22
ªº ªº

«» «»
¬¼¬¼

234. 232
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
f (x) = 3/2 cos (x/4) +2
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<[ \ DÂFRVFGDÂFRVFG

3 33
y cos 0 2 1 2 2
2 22
77
y , 0,
22
˜ ˜
§·

¨¸
©¹
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;SXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPi[LPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPtQLPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3HULRGR7
2
T8
1
4S
S

)UHFXHQFLDI
1
f
8
S

$PSOLWXG$
33
A
22

/RVSDUiPHWURVVRQ
31
a ,b ,c 0,d 2
24

0
c0
x0
1b
4


11
1
x0 x2
42 S
S
o


22
1
x0 x4
4
SS o
33
13
x0 x6
42 S
S
o

44
1
x 02 x 8
4
SS o
'DGRTXHD WUD]DPRVODJUi¿FDGHODFXUYDEDVHFRVHQRLGDOVLQGHVSOD]DPLHQWR
KRUL]RQWDODODUJDGDYHUWLFDOPHQWH\GHVSOD]DGDYHUWLFDOPHQWHFRPRVHPXHVWUDHQOD
¿JXUD

235. Aplicas funciones periódicas
233
Actividad de aprendizaje 2

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

Instrucciones: Realiza los ejercicios en tu cuaderno.
1. Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles son el dominio y el rango de las funciones seno y
coseno?
b) ¿Cómo se comporta la función seno? ¿y el coseno?
c) ¿Cuál es el procedimiento recomendado para trazar la
JUi¿FD GH OD IXQFLyQ VHQR JHQHUDOL]DGR" ¢\ GHO FRVHQR
generalizado?
7UD]DODJUi¿FDGHODVIXQFLRQHVGDGDV
a)

fx x
S§·

¨¸
©¹
cos
2

Compara lo obtenido de la función anterior con la función
seno. ¿Qué puedes concluir de este ejercicio?
b)

fx x
51
cos 2
22
c)

fx x
S§·

¨¸
©¹
31
cos 3
4 64
Figura 8.21.
Figura 8.22.

236. 234
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Aprende más
Modelado y solución de problemas con funciones
trigonométricas
Las aplicaciones de las funciones trigonométricas son extensas e interesantes. Por
ejemplo, los fenómenos de vibración tales como los de las cuerdas de una guitarra
para producir sonido y el sonido mismo se describen mediante funciones trigono-
métricas. También el estudio de los temblores es analizado mediante funciones tri-
gonométricas.
La electricidad, y particularmente el cálculo de su intensidad en corriente alterna,
está determinada por funciones trigonométricas, la luz y las ondas electromagnéti-
cas, como las ondas de radio y televisión, también obedecen modelos trigonomé-
tricos.
Los movimientos periódicos, es decir aquellos que cada cierto intervalo de tiempo
repiten los valores su posición, velocidad y aceleración, variando desde un valor
mínimo hasta un valor máximo en cada oscilación, se dice que son movimientos
armónicos simples (MAS). Por ejemplo, los péndulos, los resortes, las cuerdas de
una guitarra, etcétera. El modelo que obedece el MAS es:
x = a  sen (& ÂW + x
0
)
Donde x es la posición de un punto del objeto que vibra en MAS, a es la elongación
máxima o amplitud, & es la frecuencia angular (número de ciclos por unidad de
tiempo) y x
0
es la posición inicial o de equilibrio.
Los siguientes son algunos ejemplos de la forma de analizar y resolver problemas
con el uso de las funciones trigonométricas.
Ejemplo 1: 8QREMHWRVHVXVSHQGHGHXQUHVRUWH¿MRVHHORQJD\VHVXHOWDGHPRGR
que produce un movimiento vibratorio donde:
a25 cm
w
3
Hz
4

x
p

0
6
&RQVWUX\HODJUi¿FDGHOPRYLPLHQWRGHOUHVRUWH\FDOFXODVXSRVLFLyQDORVVHJXQ-
dos.

237. Aplicas funciones periódicas
235
íŒ Œ Œ
íFP
4 s
y = 25 sen (3/4t + ?/6)
Solución:
/DH[SUHVLyQSDUDODSRVLFLyQGHOREMHWRHV
3
x 25 sen t
46S§·
˜ ˜
¨¸
©¹
4XHGHDFXHUGRDOHVWXGLRGHODIXQFLyQVHQRWLHQHXQDJUi¿FDFRQDPSOLWXGGH
XQLGDGHVDVtFRPRXQGHVSOD]DPLHQWRKRUL]RQWDOKDFLDODL]TXLHUGDGH?UHVSHFWRD
ODIXQFLyQEDVHGHVHQR
(OSHULRGRGHODIXQFLyQHVODJUi¿FDVHDODUJDKRUL]RQWDOPHQWH
00
32
x0x
46 9SS
o

11
34
xx
4 62 9SS S
o

22
31 0
xx
46 9SS
S
o

33
3 3 16
xx
4 62 9SS S
o
44
32 2
x2 x
46 9SS
S
o
*Ui¿FD
/DSRVLFLyQDORVVHJXQGRVHVGH


3
f 4 25 sen 4 25 sen 3 9.32
46 6SS§ · §·
˜ ˜
¨ ¸ ¨¸
© ¹ ©¹
28
T
33
4SS

238. 236
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
I (t) = 10 sen (t/2)
Ejemplo 2: La ecuación para calcular la intensidad de la corriente eléctrica alterna
en un dispositivo de cómputo está dada por la expresión:

p
I t I sen kt ˜
Donde I
p

es el valor de pico de la corriente o su amplitud, en amperes, k es la cons-
tante de frecuencia, en Hertz (Hz) y t es el tiempo, en segundos. Si el pico máximo
de corriente es de 10 amperes y k &RQVWUX\HODJUi¿FDGHOFRPSRUWDPLHQWR
de la corriente en este dispositivo.
Solución:
Ejemplo 3: Por una de las cuerdas de una guitarra se propaga una onda transversal
FRQDPSOLWXGGHFPIUHFXHQFLDGH+]\YHORFLGDGGHSURSDJDFLyQGHFPV
&DOFXODODHFXDFLyQGHRQGD\WUD]DVXJUi¿FD(OPRGHORGHODVRQGDVTXHVHSUR-
pagan en cuerdas está dado por la expresión:
f(t) = a  cos (bt)
/DIXQFLyQGHOSUREOHPDHV

t
I t 10 sen
2
§·
˜
¨¸
©¹

'RQGHQRKD\GHVSOD]DPLHQWRV
01234
x0 x x2 x3 x4pppp
*Ui¿FD
'RQGHODDPSOLWXG\HOSHULRGRHV
2
T4
1
2p
p

239. Aplicas funciones periódicas
237
f (t) = 7 cos (80?t)
Donde a es la amplitud, b = 2?f, f es la frecuencia y t es el tiempo.
Encuentra la ecuación de las ondas sonoras producidas por una cuerda de una gui-
tarra con una amplitud de 7 cm y frecuencia de 40 Hz.
Solución:
/DHFXDFLyQEXVFDGDHV
f t 7 cos 2 40 t 7 cos 80 tSS ˜ ˜
/DJUi¿FDQRWLHQHGHVSOD]DPLHQWRVSRUORTXH
00
80t0 t0S o

11
1
80 t t
2 160S
S
o

22
1
80 t t
80
SS o
33
33
80 t t
2 160S
S
o

44
1
80 t 2 t
40
SS o
/DJUi¿FDHV

240. 238
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Actividad de aprendizaje 3
Instrucciones:5HVXHOYHORVVLJXLHQWHVHMHUFLFLRVHQWXOLEUHWD5HJLVWUD\UHÀH[LRQD
tus respuestas para que después las comentes con tus compañeros de clase.
$QDOL]DHOHIHFWRGHODVFRQVWDQWHVHQODJUi¿FDGHODVVLJXLHQWHVHFXDFLRQHV
a)
yx sen 1
b) yx sen 1
c)
yx S
§·

¨¸
©¹
2
cos
3
¢&XiOHVODJUi¿FDGHODVIXQFLyQ

3
sen
2
yx
?
a)
b)
d)
yx S
§·

¨¸
©¹
2
cos
3
e)
yx S
§·

¨¸
©¹
2
cos 3
3

241. Aplicas funciones periódicas
239

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODSpQGLFHDO¿QDOGHOOLEUR
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

c)
d)
¢&XiOHVODHFXDFLyQGHODJUi¿FDTXHVHPXHVWUD"
a)
x
y
§·

¨¸
©¹
2 cos
2
b) yx 2 cos 2
c)
x
y
§·

¨¸
©¹
cos 1
2
d) yx cos 2 1

242. 240
Aplicas funciones periódicas
B
loque VIII
Cierre del bloque VIII
5HÁH[LRQDVREUHORDSUHQGLGR
$O¿QDOGHHVWHWH[WRVHSUHVHQWDURQVLWXDFLRQHVHQODVTXHVHLQFOX\yHOFRQFHSWR
de aplicas funciones periódicas. A lo largo del texto se han abordado los conceptos
básicos al respecto de las relaciones y funciones. Siendo que estas últimas son el
motivo principal del presente material, realiza una síntesis en la que describas las
ventajas de conocer los elementos de las funciones periódicas descritos y como los
aplicarías para mejorar determinadas situaciones.
Es importante considerar que el trabajo de funciones es extenso y, en ocasiones, la
teoría formal se vuelve un tanto compleja; sin embargo, puedes comenzar con las
bases respecto a qué elementos de una función periódica debes conocer, si existe
alguna forma de organizarlas y, en general, los elementos aplicables a ellas. Integra
WRGRORDQWHULRUDWUDYpVGHXQDLQYHVWLJDFLyQFX\RSURSyVLWRVHDLGHQWL¿FDUODLPSRU-
tancia de trabajar adecuadamente con funciones de cualquier tipo.
Autoevaluación
Instrucciones (1): En tu libreta escribe una solución para los siguientes plantea-
PLHQWRV5HJLVWUD\UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQ
tus compañeros de clase.
a) Describe el análisis para trazar una función seno generalizada (senoidal):
b) Describe el análisis para trazar una función coseno generalizada (cosenoide)
Instrucciones (2): Investiga diferentes situaciones donde consideres que se pue-
GHQREVHUYDUODVJUi¿FDVGHIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVVHQR\FRVHQR5HJLVWUD\
UHÀH[LRQDWXVUHVSXHVWDVSDUDTXHGHVSXpVODVFRPHQWHVFRQWXVFRPSDxHURVGH
clase.
f x A sen tx
f x A tx cos

243. Aplicas funciones periódicas
241

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ
FRQVXOWDHODQH[RGHUHVSXHVWDV
*XDUGDHOGHVDUUROOR\VROXFLyQGHHVWDDFWLYLGDGHQWXSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDV

10. Resolver la ecuación xx log 3 5 log 5 1.23
11. Resolver la ecuación x
77
3
log log 64
2

244. 242
• *Ui¿FDuna de las formas más útiles con la que podemos representar situacio-
nes que pueden recibir los nombres de funciones y relaciones.
• Conjunto: grupo o colección de personas, objetos, etc., que tienen alguna ca-
racterística en común.
• Función: relación tal que cada elemento del dominio está relacionado con uno,
y sólo un elemento del codominio.
• Relación: subconjunto de un producto cartesiano formado por los elementos de
pVWH~OWLPRQRUPDOPHQWHGH¿QLGRSRUXQDUHJODROH\GDGD6XVHOHPHQWRVVH
denotan como (x, yVLJQL¿FDTXH[HVWiUHODFLRQDGRFRQy.
• Dominio: conjunto formado por los primeros componentes de las parejas que
pertenecen a la relación.
• Imagen: conjunto formado por los segundos componentes de las parejas que
pertenecen a la relación, el cual es un subconjunto del codominio.
• Contradominio: conjunto al cual pertenecen los segundos componentes de las
parejas contenidas en la relación.
• Regla de correspondencia: la función es una regla de correspondencia entre
los elementos de dos conjuntos llamados dominio y rango.
• Constante:VtPERORTXHUHSUHVHQWDXQYDORU¿MRPLHQWUDVTXHXQDYDULDEOHHV
un símbolo que puede representar diferentes valores.
• Asíntotas:ORVYDORUHVTXHKDFHQDXQDIXQFLyQTXHVHDLQGH¿QLGDSRUTXHDO
denominador se convierte a cero.
• Funciones explícitas: la variable dependiente está despejada.
• Funciones implícitas: la función está dada por una ecuación; es decir la varia-
ble dependiente no está despejada.
• Función inyectiva: función univalente o uno-uno si y sólo si cada f (x) en el re-
corrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio; es decir, es
función inyectiva si cada elemento del dominio tiene una imagen diferente.
• Función escalonada: DTXHOODFX\DJUi¿FDWLHQHODIRUPDGHXQDHVFDOHUDRXQD
serie de escalones (que no necesariamente deben ser crecientes).
• Valor absoluto: se representa por el símbolo |x_HVWRVLJQL¿FDTXHVLx es de
signo positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que
quede positivo.
• Funciones polinomiales: modelos matemáticos que describen relaciones entre
dos variables por medio de un polinomio, que, como sabemos, es la expresión
de suma o resta de términos algebraicos no semejantes entre sí.
• Pendiente de la recta: valor numérico de la inclinación de una recta, se repre-
senta por la letra (m).
• Función cuadrática: su expresión general es f (x) = a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
que suele
expresarse como f (x) = ax
2
+ bx + c con aVHOHFRQRFHFRPRIXQFLyQFXD-
GUiWLFDDOJUD¿FDUHVWDIXQFLyQVHGHVFULEHXQDSDUiEROD
• Dominio de las funciones polinomiales: todo el conjunto de los números rea-
les.
• Función continua:VXVJUi¿FDVQRSUHVHQWDQLQWHUUXSFLRQHV
Glosario

245. 243
• Raíces racionales: técnicas utilizadas para factorizar polinomios de tercer gra-
GRFRQHOSURSyVLWRGHHQFRQWUDU\FRPELQDUORVIDFWRUHVGHOFRH¿FLHQWHGH[GH
mayor grado y los factores del termino independiente, ya que las raíces del poli-
nomio siempre dan como producto a esos dos números.
• Funciones algebraicas:VHGH¿QHQDSDUWLUGHUHODFLRQHVDULWPpWLFDVFRPROD
suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.
• Raíces del polinomio: ceros del polinomio. Valores de x que hacen que un po-
linomio a
n
x
n
+ ... + a
1
x + a
0
valga cero se les llaman raíces o ceros del polinomio.
• Ceros de una función polinomial I ([): son los valores que hacen que f (x) = 0.
*Ui¿FDPHQWHVHUHFRQRFHQSXHVVRQORVYDORUHVGHODVDEVFLVDVGHORVSXQWRV
GHLQWHUVHFFLyQGHODJUi¿FDFRQHOHMH;
• Rango: conjunto de todos los números reales, es decir, Rangof =^TXHVLJQL¿-
FDTXHODJUi¿FDVHH[WLHQGHYHUWLFDOPHQWHGHVGHí’KDVWD’
• Función racional: aquella que se obtiene al dividir un polinomio entre otro po-
linomio de mayor o menor grado que el primero siempre que ambos polinomios
tengan la misma variable.
• Dominio de una función racional: Es el conjunto de todos los números reales
excepto los ceros.
• Función exponencial: se denomina función exponencial a toda función de la
forma y = a à b
x
o f (x) = a à b
kx
donde x se acepta cualquier valor real, b es un
número positivo y distinto de 1 y a\k
• Función exponencial natural: función con base e, es decir, y = a à e
kx
.
• Función logarítmica: potencia a la que hay que elevar el número 10 para obte-
ner el número propuesto.
• Función periódica: función que cumple la condición de periodicidad, es decir,
si después de cada cierto intervalo de tiempo o espacio constante, llamado pe-
riodo, la función adquiere el mismo valor de partida.
• Círculo trigonométrico: si en el plano cartesiano dibujamos un círculo de radio
r con centro en el origen y trazamos uno de sus radios, tenemos una herramienta
útil para analizar a las funciones trigonométricas.
• Funcion seno: está determinada por la ordenada y del punto P y el radio r cuya
PHGLGDSHUPDQHFHFRQVWDQWH'HHVWHPRGRSRGHPRVD¿UPDUTXHHOYDORUGH
esta función depende, principalmente, del valor de y, de modo que la razón yr
se denomina función seno.
• Función coseno: está determinada por la abscisa x del punto P y el radio r cuya
PHGLGDSHUPDQHFHFRQVWDQWH'HHVWHPRGRSRGHPRVD¿UPDUTXHHOYDORUGH
esta función depende, principalmente, del valor de x, de modo que la razón xr
se denomina función coseno.
• Radian: ángulo central que se genera cuando el arco de circunferencia tiene
una longitud igual al radio.
• Valor de Œ: razón del perímetro de una circunferencia al diámetro de la misma;
es decir, representa las veces que el diámetro de la circunferencia cabe en su
contorno o perímetro.
Glosario

246. 244
Retroalimentación de las actividades de aprendizaje
Evaluación diagnóstica
Apéndice
I.
1.
7pUPLQR
DOJHEUDLFR
&RHILFLHQWH
QXPpULFR
/LWHUDO
*UDGR
DEVROXWR
*UDGRUHODWLYR
DODSULPHUD
YDULDEOH
23
7x y xy
2
3mn PQ
32
7.5a bc abc
2
x x
xy
5
1
5
xy
45
xy xy 9
3
ab
3
1
3
ab
1
mn
2

1
2
PQ
233
10 r s 3
10
UV
5.75 5.75 --- --- ---
2.



5 115 11 1 55 1 55 1
43 12 12 12
3 5 2 3 1 2 15 6 1 2 22 2


2 11
1 51
12
2 22

6
12 12 3 15
2



22
22
Producto de binomios conjugados Diferencia de cuadrados
7x 2y 7x 2y 7x 2y 49x 4y

247. 245
Apéndice
II.
III.
9.


2
22 2 2 2
1 11
10 7 1 4 y 10 64 4 y 100 64 4 y Ÿ Ÿ


22 2
1 1 11
100 64 4 y 36 4 y 36 4 y 64y Ÿ Ÿ Ÿr

11
y 6 4 y 46r Ÿ BORTXHLPSOLFDGRVVROXFLRQHV
1
y2

1
y 10

/RVSXQWRVTXHGLVWDQGHOSXQWR

2
P 7,4

VRQ
1
P 1, 2

\

1
P ' 1,10
/DJUi¿FDPXHVWUDODYDOLGH]GHHVWDFRQFOXVLyQ
10.
8
70xy
37
30x y
26
7x y
53
12x y
4
xy
7F G x2x2 0
6.

2
2 x3 x3
x9
x 5x 6




x2 x3
x3
x2



4.
5x
2
2y 1


5x 2 2y 1
5x 4y 2
5x 2 4y
5x 2
y
4


5x 2
y
4


5.
3x x 2 x 30 2x
2
3x 6x x 30 2x
2
3x 7x 30 2x
2
3x 7x 2x 30 0
2
3x 9x 30 0

2
3x3x100
2
x 3x 10 0
x5x2 0
x5 0 x2 0
12
x 5 x2

248. 246
Bloque I
3DUDLQLFLDUUHÀH[LRQD

Actividad de aprendizaje 1
Apéndice
I. Palabras que se pueden asociar a las imágenes dadas:
II. Ahora establece una palabra que relaciones con lo siguiente:
$EHMD:0LHO
9DFD:/HFKH
*DOOLQD:+XHYRV
%RUUHJR:/DQD
III. En plenaria o por equipos se comentan las respuestas basándose en las preguntas que se
plantean para ese momento de la actividad.
I.
1. Es una actividad detonadora. El alumno deberá elegir los valores para la tabla que considere me-
jores con base en lo estudiado en clase. El conjunto de los números reales o el plano cartesiano.
2.
El objetivo es modelar (linealmente) la situación. Cada elemento de la secuencia se escribe como
una función del elemento previo, como una formula:

nn
x n ,y 2n 1
II.
3. Es una actividad detonadora. El alumno deberá elegir los valores para la tabla que considere
mejores con base en lo estudiado en clase.
4. Soluciones:
^`A B 2,0 , 2,4 , 2,9 , 5,0 , 5,4 , 5,9u
^`A A 2,2 , 2,5 , 5,2 , 5,5u
5. Es una actividad detonadora. El alumno deberá elegir los valores para la tabla que considere
mejores con base en lo estudiado en clase.
)UtR /X] 6RPEUD Ácido

249. 247
Actividad de aprendizaje 2

Apéndice
1.
a)







2
2
fx x 5
f1 1 5 6
f2
f3
f4
f5







b)







f x x -5
f 1 1 - 5 = 1-5
f1 4 y f1 6
f2
f3
f4
f 16

rr





c)




f x x -3
f 7 7 - 3=4
f8 4
f9
f 10





d) 6HWUDWDGHXQDIXQFLyQ
2.
D5HODFLyQ
E5HODFLyQ
F5HODFLyQ
^`Rango y : y 5 t\
(VXQDUHODFLyQ
(VXQDUHODFLyQ
^`Rango x : y 5 t\
^`Rango x\
(VXQDIXQFLyQ

250. 248
Actividad de aprendizaje 3
Actividad de aprendizaje 4
Apéndice
1. A = (x)(2x)
2. A = l
3


Función Tabla Pares ordenados Gráfica
a)
y = 5x
b)
y = x
2
G = {(1,1),(-1,1), (2,4),(-2,4)}
c)
y = x + 3
d)
()f x 2x=
xy
15
2 10
3 15
4 20
xy
11
−1 1
24
−2 4
xy
−3 0
03
4.
2
V r 3rπ=⋅⋅
5. ( )( )
3
x A 2x B 2x 240 m− −=
()
x3
x
2
A
2




=
3.
xy
00
11
22
33
G = {(1,5),(2,10), (3,15),(4,20)}
G = {(−3,0),(0,3)}
G = {(0,0),(1,1), (2,2),(3,3)}

251. 249
Apéndice
e)
f)
5HODFLyQ)XQFLyQ)XQFLyQ
g)
x

2
f x x 3x 3


2
f 2 2 3 2 3 13


2
fab ab 3ab 3


2
11 1
f 33
xx x
§·§· §·

¨¸¨¸ ¨¸
©¹©¹ ©¹



2
f 4 4 34 37



2
f t t 3t 3

x


x1
fx
x3




21 1
f(x)
23 5






a b1
fx
ab3






1
1
x
fx
1
3
x






41 5
fx 5
43 1






t1
ft
t3




x

fx x 3

fx 2 3 1



fx a b 3

fx t 3

fx 4 3 7



1
fx 3
x

252. 250
Actividad de aprendizaje 5



Apéndice
1.
2
f x 3x 5x
'RPLQLR
\
5DQJR
25
yy
12
­½
 t®¾
¯¿
\ :

2.

fx x 3
'RPLQLR
^`x x3 t\ :
5DQJR
^ `y y0 t\ :

3.

4
fx
x2


'RPLQLR 5DQJR
4.
22 2
x y 9 y 9x Ÿ r
'RPLQLR
^`x 3x3 dd\ :
5DQJR
^`y 0y3 dd\ :

253. 251




Apéndice
5.

fx x 4
5DQJR
^`x y0 t\ :
'RPLQLR
^`x x 2 x2 d t\ : ó

6.


2
x 25
fx
x5



5DQJR
\
'RPLQLR
\

7.


2
2x 7x 3
fx
x3



5DQJR
^`y y5 z\ :
'RPLQLR
^`y x3 z\ :

8.


2
x 4x 3
fx
x1



5DQJR
^`y y2 z\ :
'RPLQLR
^`x x1 z\ :

254. 252
Bloque II
Actividad de aprendizaje 1
Apéndice
9.

2
2
(x 4)(x 3)
fx
x x6



5DQJR
^`y y 4 y1 z z\ : y
'RPLQLR
^`x x 2 x3 z z\ : y
10.

2
1
fx
x1


5DQJR
^`y y 1 y0 d !\ : ó
'RPLQLR
^`x x 1 x1 z z\ : y
I.
1.
p x 3x 7

1
px y
y7
y 3x 7 despejando x sustituyendo a y por x
3
x7
se obtiene la funcion inversa p ( x )
3







2.

2
m x x 1

21
mx y
y x 1 despejando x y 1 m ( x ) x 1


r Ÿ r

255. 253
Inversa
Inversa
Apéndice
3.
3
y x

3
1 3
Despejando x y sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
fx x



4.
11
yx
63


1
Despejando x 6y 2 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
f x 6x 2



5.
2
y 6x 1

1
y1
Despejando x sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
6
x1
fx
6





B
6.
a)

pxx1 ; gxx1

px y
g( x ) es la función inversa de p( x )
comprobación :
Despejando x de p( x ) , x y 1 sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
gx x 1



b)

x3
F x 6x 3; G x
6




Fx y
G( x ) es la función inversa de F( x )
comprobación :
y3
Despejando x de F( x ) , x sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
6
x3
Gx
6

256. 254
Apéndice
7.
a)

f(x) 5
b)
2
x y1

1
Despejando x 1 y sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
f x 1 x función para realizar la gráfica solicitada



B
B
c)

1
y
x


1
1
Despejando x sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
y
1
f x función para realizar la gráfica solicitada
x

257. 255
Actividad de aprendizaje 2
c)
b)
a)
Apéndice
d)
y 4x 2

1
y2
Despejando x sustituyendo a y por x, se obtiene la funcion inversa
4
x2
f x función para realizar la gráfica solicitada
4





1.
e) /RVLPSRUWHVGHOHQYtRGHSDTXHWHVGHGLIHUHQWHVSHVRVHQXQDR¿FLQDGHFRUUHRVVRQ
3HVRJ,PSRUWH
S”
S”
S”
S”
S”
S”
S”
S”
S”
S”
d)

258. 256
2.
a)
Actividad de aprendizaje 3
1.
a) \ I[íF
\ [í
b) y = f (x + c)
y = 2( x + 1)
c) \ I[íF
\ [í
d) y = f (x) + c
y = 2x + 1
2.
a) y = |[í|
b) y = |x| í 2
b)
c)
a)
d)
a)
b)
Apéndice

259. 257
a)
b)
Apéndice
3.
a) \
b) \ í 2
4.
a)
x 2 si x 1
f(x)
2x 1 si x 1
­
®
t¯
b)
3x 1 si x 1
f(x)
x 2 si x 1
­
®
t¯

260. 258
Autoevaluación
1. Algebraica
2. Logarítmica
3. Trigonométrica
4. Exponencial
5. Racional
6. Radical
7. Logarítmica
8. Algebraica
Bloque III
Actividad de aprendizaje 1
f(x) = í2 f(x) = í1.5
f(x) = 2.5
9. Trigonométrica
10. Exponencial
11. Trigonométrica
12. Algebraica
13. Valor absoluto
14. Idéntica
15. Intervalos
16. Intervalos
Apéndice

261. 259
Actividad de aprendizaje 2
Apéndice
1. /DVUHFWDVKRUL]RQWDOHVWLHQHQHFXDFLRQHVGHODIRU-
PD

p
yy 0
3RUORWDQWRODHFXDFLyQEXVFDGDHVy20
2. Las rectas verticales tienen ecuaciones de la for-
ma:

p
xx 0
3RUORWDQWRODHFXDFLyQEXVFDGDHV
5
x 0 4x 5 0
4
Ÿ
3. 6HEXVFDODUHFWD
2
ATXHSDVHSRU2WDOTXH
12
A &AGRQGH
1
: 2x y 6 0 A
/DVUHFWDVSDUDOHODVWLHQHQSHQGLHQWHVLJXDOHVHQWRQ-
FHV
21
2
mm 2
1

8VDQGRODIRUPDSXQWRSHQGLHQWH

2
: y 0 2 x 0 y 2x 2x y 0 Ÿ Ÿ A
4. /RViQJXORVGHLQFOLQDFLyQGHEHQH[SUHVDUVHHQHO
UDQJR
0 180Tqd qHVGHFLUFRPRiQJXORVHQ&,\
&,,
(OiQJXORGHƒHVXQiQJXORGH&,9TXHHVFRWHUPLQDO
GHƒTXHHVRSXHVWRSRUHOYpUWLFHGHOiQJXORGH&,,
180 45 135q q q GHPRGRTXHHQUHDOLGDG135T q
m tan 135 1 q

y3 1x5 y3 x5 xy20 Ÿ Ÿ

262. 260
2
m
1
m
y
Apéndice
5. 6HREWLHQHHOSXQWRPHGLRGHOVHJPHQWRTXHXQHORVSXQWRVGDGRV
m
57 2
x1
22



m
6 10 4
y2
22



M 1, 2
6HFDOFXODODSHQGLHQWHGHOVHJPHQWRGDGR
1
10 6 16 4
m
7 5 12 3



/DSHQGLHQWHGHODPHGLDWUL] HVUHFtSURFDHLQYHUVDGH
2
3
m
4

3DUDREWHQHUVXHFXDFLyQXVDPRVODIRUPDSXQWRSHQGLHQWH
/DJUi¿FDVLJXLHQWHPXHVWUDORVUHVXOWDGRV
6.3DVDPRVODIRUPDJHQHUDODODIRUPDSHQGLHQWHRUGHQDGDDORULJHQGHVSHMDQGRODYDULDEOH
5
5x 15 3y y x 5
3
Ÿ

'HDTXt
5
m
3

\b5

263. 261
Apéndice
7.
La función, es
y f x kx , la cual, como hemos estudiado, despejando:
y 300
k 50 pesos/libro
x6

El modelo de variación es: f x 50x , donde x es la cantidad de libros que se compran. Para saber
el costo de 25 libros:
f 25 50 25 1250 pesos
8.
y 115 23
k k m/min
x 80 16


23
fx x
16


GRQGH[HVHOWLHPSRUHFRUULGRHQPLQXWRV
1
x hora 30 minutos
2


SRUORTXH


23
f 30 30 43.125 km
16

9.
/DIXQFLyQHV
y f x kx

ODFXDOFRPRKHPRVHVWXGLDGRGHVSHMDQGR
y 1500
k 300 pesos/conejo
x5

(OPRGHORGHYDULDFLyQHVf x 300x GRQGH[HVODFDQWLGDGGHFRQHMRVTXHVHFRPSUDQ3DUD
VDEHUHOFRVWRGHFRQHMRV
f 25 300 15 4500 pesos
10.
y 75
k5 km/litro
x 15

f x 5x , donde x es el número de litros por lo que

f 30 5 30 150 km

264. 262
Actividad de aprendizaje 3
Apéndice
2.



2
2
2
x3x 6x 9
fx x 3 4y 0
44

Ÿ
6HWUDWDGHXQDSDUiERODGHHMHYHUWLFDOFRQYpUWLFHHQ9$EUHKDFLDDUULED
'DGRTXHHOWpUPLQRLQGHSHQGLHQWHGHODIRUPDIXQFLRQDOHV
9
4
ODSDUiERODFRUWDDOHMH<HQHOSXQWR
9
0,
4
§·
¨¸
©¹
/DGLVWDQFLDIRFDOHVGHS SRUORTXHORVH[WUHPRVGHOODGRUHFWRVRQ

2
x 3 41 0 x 3 2 Ÿ r

HVGHFLU\
/DJUi¿FDHV
3. El modelo matemático buscado es de la forma

2
f x ax bx c por lo que:

2
6a2 b2 c 4a2bc 6 Ÿ

2
12 a 1 b 1 c a b c 12 Ÿ

2
4 a0 b0 c c 4 Ÿ
$VtVHREWLHQHHOVLVWHPD
2a b 1
ab 8


Ÿ
a3
b5


'HGRQGHHOPRGHORPDWHPiWLFRHV

2
f x 3x 5x 4
/DJUi¿FDHV

265. 263
Apéndice
4. /DDOWXUDPi[LPDRFXUUHHQHOYpUWLFHGHODSDUiEROD

2
10y 49t 600t
2600
10y 49 t t
49
§·

¨¸
©¹
210 600 90000 90000
yt t
49 49 2401 2401

2
10 90000 300
yt
49 2401 49
§·

¨¸
©¹
2
300 10 9000
ty
49 49 49
§· § ·

¨¸ ¨ ¸
©¹ © ¹
5.

NN
2
Ingresos
Utilidad
Costos de producciónpor
ventas
y 347 x 3x 535x 1030


2
y 347 x 3x 535x 1030
/DIXQFLyQGHXWLOLGDGHV
y 3x 882x 1030
2 1030
y 3 x 294x
3
§·

¨¸
©¹
2 1030
y 3 x 294x 21609 21609
3
§·

¨¸
©¹

263797
y 3 x 147
3
§·

¨¸
©¹

21 63797
y x 147
33


21 63797
y x 147
33


2 1 63797
x 147 y
33


x 147 y 63797
9pUWLFH147, 63797
&RQXQLGDGHVVHREWLHQHODXWLOLGDG
Pi[LPDGHSHVRV
9pUWLFH

300 9000
, 6.122,183.67
49 49
§·
|
¨¸
©¹
(QVHJXQGRVODSLHGUDDOFDQ]DVXDOWXUD
Pi[LPDGHP

266. 264
Autoevaluación
Apéndice
1. 6HWUDWDGHXQDOtQHDUHFWDFRQSHQGLHQWHP íUHFWDGHFUHFLHQWH\RUGHQDGDDORULJHQE í
HVGHFLUFRUWDDOHMH<HQHOSXQWR2WURSXQWRGHODUHFWDHVíí í/D
JUi¿FDHV
2.
$OPRPHQWRGHODFRPSUD[ ODFDVDFRVWDEDESHVRV$E
&XDQGRKDQSDVDGRDxRV[ ODFDVDFXHVWDSHVRV%
&XDQGRKD\DQSDVDGRDxRV[ ODFDVDFRVWDUiGHSHVRV&
/DSHQGLHQWHHV
1000000 700000 300000
m 100000
85 3



'HPRGRTXH
700000 b
100000 500000 700000 b b 700000 500000
50

Ÿ Ÿ

b 200000
(OPRGHORGHYDULDFLyQGHOSUHFLRGHODFDVDHQHOWLHPSRHV
y 100000x 200000
+DFHDxRVODFDVDFRVWyPLOSHVRV

267. 265
Apéndice
3.
24 9 15
m3
72 5



y 9 3x 2
(OPRGHORPDWHPiWLFRGHODUHFWDHV
y 3x 3
/DDOWXUDGHOSXQWRSDUDHOTXH[ HV
y 3 10 3 30 3 33
6.



2
2
2
x3x 6x 9
fx x 3 4y 0
44

Ÿ
5.
$%
80 45 35
m
95 4




35 35 5
y 45 x 5 y x
44 4
Ÿ

35 5 705
y 20 176.25
4 44
|

/D GLVWDQFLD UHFRUULGD FRQ OLWURV GH
JDVROLQDHVGHNP
4.
$%
157 98 59
m
16 10 6




59 59 1
y 98 x 10 y x
66 3
Ÿ
&XDQGR[


59 1 5900 1 5899
y 200 1966.33
6 3 33 3
|
$XQDSURIXQGLGDGGHPODSUHVLyQVRSRUWDGD
SRUHOVXEPDULQRVHUiGH3D

268. 266
Apéndice
6HWUDWDGHXQDSDUiERODGHHMHYHUWLFDOFRQYpUWLFHHQ9$EUHKDFLDDUULED
'DGRTXHHOWpUPLQRLQGHSHQGLHQWHGHODIRUPDIXQFLRQDOHV
9
4
ODSDUiERODFRUWDDOHMH<HQHOSXQWR
9
0,
4
§·
¨¸
©¹
/DGLVWDQFLDIRFDOHVGHS SRUORTXHORVH[WUHPRVGHOODGRUHFWRVRQ

2
x 3 41 0 x 3 2 Ÿ r

HVGHFLU\
/DJUi¿FDHV
3. Modelo matemático buscado es de la forma

2
f x ax bx c por lo que:

2
6a2 b2 c 4a2bc 6 Ÿ

2
12 a 1 b 1 c a b c 12 Ÿ

2
4 a0 b0 c c 4 Ÿ
$VtVHREWLHQHHOVLVWHPD
2a b 1
ab 8


Ÿ
a3
b5


'HGRQGHHOPRGHORPDWHPiWLFRHV

2
f x 3x 5x 4
/DJUi¿FDHV

269. 267
Bloque IV
Actividad de aprendizaje 1
1.
a) Se trata de una función polinomial impar, con
FRH¿FLHQWH SULQFLSDO SRVLWLYR D
3
= 1), por tanto, la
JUi¿FDVHH[WLHQGHGHVGHODSDUWHGHDEDMRGHOHMH
x hasta la parte de encima de éste. Dado que el
WpUPLQRLQGHSHQGLHQWHHVODJUi¿FDFRUWDDOHMH<
HQHOSXQWR6XJUi¿FDHV
b) Se trata de una función polinomial impar, con
FRH¿FLHQWH SULQFLSDO SRVLWLYR D
3
= 1), por tanto, la
JUi¿FDVHH[WLHQGHGHVGHODSDUWHGHDEDMRGHOHMH
x hasta la parte de encima de éste. Dado que el
WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH HV OD JUi¿FD SDVD SRU HO
RULJHQ6XJUi¿FDHV
c) Se trata de una función polinomial impar, con
FRH¿FLHQWHSULQFLSDOQHJDWLYRD
3
= -6), por tanto, la
JUi¿FDVHH[WLHQGHGHVGHODSDUWHGHDUULEDGHOHMH[
hasta la parte de abajo de éste. Dado que el término
LQGHSHQGLHQWH HV OD JUi¿FD FRUWD DO HMH < HQ HO
punto (0, 3).
Apéndice

270. 268
Actividad de aprendizaje 2



Apéndice
2.
D 'HEDMR
E 'HEDMR
F
I.
a)

b)

c)

d)

e)
II.
1. Es cúbica
y x 40 2x (20 2x )
2. Todos los números reales
3. Sí
/DJUi¿FDHV
3.
a) $UULED
b) $UULED
F

271. 269
Actividad de aprendizaje 3
Autoevaluación

Apéndice
1.
3ROLQRPLR *UDGR 7pUPLQRSULQFLSDO
&RH¿FLHQWH
SULQFLSDO
&RH¿FLHQWH
FRQVWDQWH
6
f(x) x x

[


3
f(x) 2x 3x 2

[


4
g( x) 3x x 1

[


3
h( x ) x

x


2.
3ROLQRPLR *UDGR 7pUPLQRSULQFLSDO
&RH¿FLHQWH
SULQFLSDO
&RH¿FLHQWH
FRQVWDQWH
\ [

[


\ í[

í í[

í í
\ [

x


\ [

[


1. /DHFXDFLyQGHVSHMDGDHV
32
y 2x 9x 10x 2

/DJUi¿FDHV
2. 8QDHVLJXDODFHUR\GRVVRQFRPSOHMDV
3. (OSROLQRPLRTXHFRUUHVSRQGHHV
32
y x 2x x 2

272. 270
Bloque V
Actividad de aprendizaje 1
Apéndice
4. /DJUi¿FDTXHOHFRUUHVSRQGHDODIXQFLyQSROLQRPLDO
4
f(x) x 1 HV
5. *UD¿FDODIXQFLyQ
432
f(x) x 2x 3x 1
6ROXFLRQHVGHODVGLYLVLRQHVVLQWpWLFDV
1.
42
2
54
4x 8x 104x 16
6x 5x 3
3x 2x 4x 8



2.
2
32 6m
6m m 1
5m 4m 2m 1


3. 2a b
4.
x2
5.
32
3p 2p p 7

273. 271
Actividad de aprendizaje 2
Apéndice
I.
1. (YDOXDFLyQGHOWHRUHPDGHOUHVLGXR

2
p(1)41 121 5 3

'LYLVLyQVLQWpWLFD
5HVSXHVWD
3
4x 8
x1


2. (YDOXDFLyQGHOWHRUHPDGHOUHVLGXR

2
p(1/ 2) 2 1/ 2 9 1/ 2 1 6

'LYLVLyQVLQWpWLFD
5HVSXHVWD
6
x5
x 1/ 2


3. (YDOXDFLyQGHOWHRUHPDGHOUHVLGXR

432
P 7 5 7 30 7 40 7 36 7 14 483

'LYLVLyQVLQWpWLFD

5HVSXHVWD
32 483
5x 5x 5x 71
x7


II.
4.
3ODQWHDPLHQWRGHODHFXDFLyQ

43 2
x1x1x3x5 0
x 8x 14x 8x 15 0


6ROXFLyQJUi¿FD

í í í
í
9


í
í
í í
í í í

274. 272
Actividad de aprendizaje 3
Apéndice
Apéndice
5.
Planteamiento de la ecuación:
( )( )( )( )( )
53
x2x1xx1x2 0
x 5x 4x 0
+ + − −=
− +=
Solución gráfica:
1.
• Se debe resolver la ecuación: f (x) = 0
• La cantidad de soluciones de una ecuación polinomial depende del grado, de modo que si éste
es n, la ecuación f (x) = 0 tendrá n soluciones, cada una de las cuales puede ser real o compleja,
y, como consecuencia, la gráfica de f (x) = 0 tendrá como máximo n intersecciones con el eje X.
• Son n intersecciones con el eje X en el caso de que todas las raíces de la ecuación sean reales.
2.
a)
Factorización:
(x − 1)(x + 2)(x + 3) = 0
Los ceros son: x = −3; x = −2; x = 1

b)
Factorización
()()
2
x 1 x 2x 2 0− − +=
Solución compleja: x = 1 − i; x = 1 + i
Solución real: x = 1

275. 273
Actividad de aprendizaje 4
Apéndice
Apéndice
c)
Factorización
() ()
2
x2x40− +=
Solución real:
x = 2
Solución compleja:
x = −2i
x = 2i
d)
Solución real
x = −0.93
x = 0.46
Solución compleja:
x = 0.73 – 0.5i
x = 0.73 + 0.5i
e)
Solución real
x = −1.5
Solución compleja:
x = 0.031 − 0.5i
x = 0.031 – 0.5i
x = 0.73 – 1.19i
x = 0.73 + 1.19i
1.
Los ceros o raíces son
x = -3
x = -2
x = +1
Tienen multiplicidad de 1.

276. 274
Apéndice
2.
El cero real es
x = 1
Tiene multiplicidad 1.
Los ceros complejos son:
x = 1 – i
x = 1 + i
3.
Factorización :
() ( )( )
22
x 3 2x 1 2x 1 0+ + −=
Soluciones reales:
11
x 3 ,x , x
22
=−=− =
4.
Factorización :
( )( ) ()
2
x3x1x 1 0− + +=
Soluciones reales:
x = −1; x = 3
Soluciones complejas :
x = −i; x = i

5.
Soluciones reales:
x = −0.93; x = 0.45
Soluciones complejas :
x = 0.74 – 0.5i
x = 0.74 – 0.5i

277. 275
Actividad de aprendizaje 5
Apéndice
1.
Raíces complejas :
x = −9i
x = 9i
2.
Raíces complejas:
()
1
x 2 i2
3
= −+
1
x ( 2 i 2)
3
= −+

3.
Raíces complejas:
x 1 i3=−−
x 1 i3=−+
4.
Raíz real
x = 5
Solución compleja:
x 1 i5=−−
x 1 i5=−+

278. 276

Autoevaluación
Apéndice
5.
Solución real:
x1=

Solución compleja:
3
x1=−−
()
2
3x1= −
1.
Solución real:
x = 1
2.
Cociente:
32
2x 3x 10x−−
Residuo :
38x
x2+
3.
Ceros:
x = −3
x = −1
x = 2
Dominio ∈
Rango ∈

279. 277
4.
Raíz real
x=-2.54
Raíces complejas:
x = −0.75 − 0.85i
x = −0.75 + 0.85i
x = 2.02 − 1.78i
x = 2.02 + 1.78i
5.
Todas las raíces son complejas:
x = 2.78 − 3.4i
x = 2.78 + 3.43i
x = −0.78 − 0.77i
x = −0.78 + 0.77i
Apéndice
277

280. 278
Bloque VI
Actividad de aprendizaje 1
Apéndice
1.
a)
1x 0 x1z Ÿ z Dom : x ,1 1, f ‰ f DVtQWRWDYHUWLFDOx1



2
22
y y 43 y
y 1 x 3x 3x yx y 0 x
23
r
Ÿ Ÿ

2
y y 12y
x gy
6
r


@>
2
y 12y 0 Rango : y , 12 0, t Ÿ  f ‰ f
6LQDVtQWRWDVKRUL]RQWDOHV

2
1
12 12 12 12
x2
6
r



2
2
0 0 12 0
x0
6
r

0tQLPR0,0 Máximo: 2, 12


2
30
f0 0
10





2
0 0 12 0
g0 0
6
r

,QWHUVHFFLRQHVFRQORVHMHV'DGRTXHHOJUDGRGHOQXPHUDGRUHVPD\RUTXHHOGHQRPLQDGRU
HQXQDXQLGDGVHWLHQHQDVtQWRWDVREOLFXDV

2
x 1 3x
2
3x 3x
3x

3x
3x 3
3
3


*Ui¿FD

3
f x 3x 3
1x


DVtQWRWDREOLFXDy 3x 3

281. 279
Apéndice
b)

2
x 90 x 3 z Ÿ zr Dom : x , 3 3, 3 3, f ‰ ‰ f DVtQWRWDVYHUWLFDOHVx3 x3


2
22
1 1 4y 9y
y x 9 x yx x 9y 0 x
2y
r
Ÿ Ÿ

2
1 1 36y
x gy
2y
r

2y0 y0zŸz DVtQWRWDKRUL]RQWDOHQy0 HMH;
Rango : , 0 0,f ‰ f


2
0
f0 0
09


LQWHUVHFFLRQHVFRQORVHMHV
*Ui¿FD
c)
2
x 10 x 1 z Ÿ zr Dom : x , 1 1,1 1, f ‰ ‰ f DVtQWRWDVYHUWLFDOHVx1 x1
x1
y




2
x x1
x1



2
22
x x1
yx1 x x1 x x yx1y 0
x1x1

Ÿ Ÿ




2
2
1y 1y 411y
x 1yx 1y 0 x
21
r
Ÿ
2
y 1 1 2y y 4 4y
x
2
r



2
y 1 y 2y 3
x gy
2
r

@>
2
y 2y 3 0 Rango : y , 3 1, t Ÿ  f ‰ f QRKD\DVtQWRWDVKRUL]RQWDOHV


2
31 3 2 3 3
g3 2
2
r




2
1 1 1 21 3
g1 0
2
r

282. 280
Apéndice
0i[LPR0tQLPR



3
2
01
f0 1
01



g0QRH[LVWH
,QWHUVHFFLRQHV

2
x 1 x
x
2
1
x

x
x

1
*Ui¿FD
d)
2
4x 0 x 2 Ÿ zr DVtQWRWDVYHUWLFDOHVx2 \x2

2
22
2 2 4y 4y
4y yx 2x yx 2x 4y 0 x
2y
r
Ÿ Ÿ

2
2
2 4 1 4y
2 2 1 4y
x
2y 2y
r
r


2
1 1 4y
x gy
y
r

y0zDVtQWRWDKRUL]RQWDOHQHOHMH;1RKD\Pi[LPRVQLPtQLPRV



2
20
f0 0
40


LQWHUVHFFLRQHV

1
fx x
x1


DVtQWRWDREOLFXDyx

283. 281

Apéndice
*Ui¿FD
e)
2
x 30 x 3 z Ÿ zr Dom : , 3 3, 3 3,f ‰ ‰ f
DVtQWRWDVYHUWLFDOHVx3 \x3
'DGDODDOWDGL¿FXOWDGSDUDGHVSHMDUODYDULDEOH[QRHVSRVLEOHGHWHUPLQDUUDQJRPi[LPRVPtQLPRV
QLDVtQWRWDVKRUL]RQWDOHV



3
2
20 5 5
f0
303




3
3
3
2
2x 5 5
02 x5 x
2x3

Ÿ Ÿ

,QWHUVHFFLRQHV
5
0,
3
§·
¨¸
©¹

3
5
,0
2
§·
¨¸
¨¸
©¹

23
x 3 2x
3
5
2x


2x
6x
6x 5


*Ui¿FD

2
6x 5
f x 2x
x3



DVtQWRWDREOLFXDy 2x

284. 282
Actividad de aprendizaje 2
Apéndice
a) 6HDQ\ORVGtDVQHFHVDULRVSDUDUHDOL]DUODWDUHD\[ODFDQWLGDGGHREUHURVSDUDUHDOL]DUOD
HQWRQFHV
k
y
x

SRUORTXH
k
7 k2 8
4
Ÿ
/DIXQFLyQVROLFLWDGDHV
28
fx
x

$VtQWRWDHQ[ HMH<'DGRTXHDOGHVSHMDU[VHREWLHQH
28
gy
y

/DJUi¿FDWLHQHDVtQWRWDHQ\ HMH;1RWLHQHLQWHUVHFFLRQHV3DUDYDORUHVQHJDWLYRVGH[OD
IXQFLyQHVQHJDWLYD\SDUDYDORUHVSRVLWLYRVHVSRVLWLYD*Ui¿FD

28
f 15 1.87
15
|
REUHURVQHFHVLWDUiQGtDVFHUFDGHGtDVDSUR[LPDGDPHQWH
b)


110
110 IR I R
R
Ÿ
$VtQWRWDVHQORVHMHVFRRUGHQDGRV6LQLQWHUVHFFLRQHV/DUHVLVWHQFLDQRSXHGHVHUQHJDWLYDSRUOR
TXHHOGRPLQLRHV
Dom : R 0, f
/DFRUULHQWHVLHPSUHVHUiSRVLWLYDSXHV5VLHPSUHHV
SRVLWLYD
Rango : 0,f
*Ui¿FD

110 11
I 300 0.37
300 30
|
3DUDXQDUHVLVWHQFLDGHRKPVHWLHQHXQDFRUULHQWH
GHDPSHUHV

285. 283
Actividad de aprendizaje 3
Autoevaluación
Apéndice
c)
)XQFLyQGHYDULDFLyQ

150
PA
A

$VtQWRWDVHQORVHMHVFRRUGHQDGRV6LQLQWHUVHFFLRQHV(OiUHDQRSXHGHVHUQHJDWLYDSRUORTXHHO
GRPLQLRHV
Dom : A 0, f
/DSUHVLyQVLHPSUHVHUiSRVLWLYDSXHV$VLHPSUHHVSRVLWLYDRango : 0,f
*Ui¿FD

150 75
P2 23.8732
2
S
SS |
1DSOLFDGRVDXQDVXSHU¿FLHGH2SP

SURGXFHXQDSUHVLyQGH3D
La actividad corresponde a un producto de aprendizaje. Revisar instrucciones.
1.

43 7
m
05 5




b4
0RGHORPDWHPiWLFR
7
fx x 4
5

UHFWDGHFUHFLHQWH
*Ui¿FD

286. 284
Apéndice
2.

2
22
1 1 1 25
y6xx66xx 6 6x
4 4 24
§·
§· §·
¨¸¨¸ ¨¸
¨¸
©¹ ©¹
©¹
2
1 75
y 6x
22
§·

¨¸
©¹
2
75 1
y 6x
22
§·

¨¸
©¹
2
1 1 75
xy
26 2
§ ·§ ·

¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
3DUiERODGHHMHYHUWLFDODEUHKDFLDDUULED9pUWLFH
1 75
,
22
§·

¨¸
©¹

22
12
6x 6x 36 0 x x 6 0 x 2 x 3 0 x 2, x 3 Ÿ Ÿ Ÿ

,QWHUVHFFLRQHV
2,03,0\0, 36
*Ui¿FD
3.
)XQFLyQSROLQRPLDOF~ELFDLPSDU&RH¿FLHQWHSULQFLSDOSRVLWLYR
3
a1 6XJUi¿FDVHGHVSOD]DGHVGH
DEDMRGHOHMH;KDFLDDUULEDGHpVWH
'DGRTXHHOFRH¿FLHQWHLQGHSHQGLHQWHHVODJUi¿FDFRUWDDOHMH<HQ'RPLQLR\FRQWUDGRPLQLR
7RGRVORVUHDOHV
/DJUi¿FDVHPXHVWUDDFRQWLQXDFLyQ

287. 285
.
Apéndice
4.
)XQFLyQSROLQRPLDOLPSDUGHJUDGR&RH¿FLHQWHSULQFLSDOSRVLWLYR
7
a1 6XJUi¿FDVHGHVSOD]D
GHVGHDEDMRGHOHMH;KDFLDDUULEDGHpVWH
'DGRTXHHOFRH¿FLHQWHLQGHSHQGLHQWHHVODJUi¿FDFRUWDDOHMH<HQ'RPLQLR\FRQWUDGRPLQLR
7RGRVORVUHDOHV7 7
x 3 0 x 3 1.17 Ÿ | GHGRQGHOD~QLFDLQWHUVHFFLyQFRQHOHMH;HV
7
3,0
*Ui¿FD
5.
)XQFLyQUDFLRQDO
2
x 40 x 2 z Ÿ zr
$VtQWRWDVHQ
x2 \x2
'RPLQLR
x , 2 2, 2 2, f ‰ ‰ f

288. 286

Apéndice



3
2
01 1
f0
404



LQWHUVHFFLyQFRQHOHMH;HQ
1
0,
4
§·
¨¸
©¹
'DGRTXHHOJUDGRGHOQXPHUDGRUHVPD\RUHQXQDXQLGDGDOJUDGRGHOGHQRPLQDGRU

23
x 4 x
3
1
x


x
4x
4x 1


*Ui¿FD
6.
(QHOPRPHQWRGHODFRPSUD
0, b
$KRUD6,1850
+DFHDxRV2, 3500
3500 1850 1650 825
m
26 4 2




b 3500 825
b 3500 825 b 4325
02 2

Ÿ Ÿ

(OPRGHORHV
825
y x 4325
2

&XDQGR HUD QXHYD OD FRPSXWDGRUD FRVWy
SHVRV2EVHUYDODJUi¿FD
$VtQWRWDREOLFXD
yx

289. 287
Apéndice
7.
2 x y 248
x y 124
y 124 x

2
22
A xy x 124 x x 124x x 124x 3844 3844 x 62 3844

22 2
A x 62 3844 x 62 A 3844 x 62 A 3844 Ÿ Ÿ


2 1
x 62 4 A 3844
4
§·

¨¸
©¹
3DUiERODGHHMHYHUWLFDOTXHDEUHKDFLDDEDMR(OYpUWLFHSXQWRGHPD\RUDOWXUD$HV9
GHGRQGHHOiUHDPi[LPDGHP

RFXUUHFXDQGR[ \ PHVGHFLUFXDQGRHOWHUUHQRHVGH
IRUPDFXDGUDGD
8. (VXQDUHODFLyQLQYHUVDGDGRTXHDPD\RUFDQWLGDGGHDOXPQRVVHUHTXLHUHPHQRUWLHPSRSDUD
UHVROYHUHOH[DPHQk
y
x


k
30 k 150
5
Ÿ

(OPRGHORPDWHPiWLFRHV

150
y
x

$VtQWRWDHQ[ HMH<'DGRTXHDOGHVSHMDU[VHREWLHQH
150
gy
y

/D JUi¿FD WLHQH DVtQWRWD HQ \ HMH ; 1R WLHQH LQWHUVHFFLRQHV 3DUD YDORUHV QHJDWLYRV GH [
ODIXQFLyQHVQHJDWLYD\SDUDYDORUHVSRVLWLYRVHVSRVLWLYD8QDOXPQRUHVXHOYHHOH[DPHQHQ
PLQXWRVKRUDV\PHGLDFRQVLGHUDQGRHOPLVPRGHVHPSHxRHQWRGRVORVDOXPQRV
*Ui¿FD

290. 288
Bloque VII
Actividad de aprendizaje 1
¿Con qué conocimientos cuento?
1. Ejercicios conceptuales. Se sugiere que el alumno investigue en el texto las respuesta.
/DVIXQFLRQHVJUD¿FDGDVVRQ
‡ /DJUi¿FDTXHWLHQHPD\RUFUHFLPLHQWRFXDQGR[! es 4
x
‡ /DJUi¿FDTXHWLHQHPD\RUFUHFLPLHQWRFXDQGR”[HV
x
‡ /DJUi¿FDTXHWLHQHPD\RUFUHFLPLHQWRFXDQGR[•HV[
3
• Los alumnos pueden manejar diferentes puntos de vista y llegar a una conclusión.
Actividad de aprendizaje 2
1.
Ecuación (ecuaciones): y = e
kx

x y
-8.0 0.0003
-7.0 0.0009
-6.0 0.0025
-5.0 0.0067
-4.0 0.0183
-3.0 0.0498
-2.0 0.1353
-1.0 0.3679
0 1.0
1.0 2.7183
2.0 7.3891
3.0 20.0855
4.0 54.5982
5.0 148.4132
6.0 403.4288
7.0 1096.6332
8.0 2980.958
9.0 8103.0839
a)
b)
c)
Apéndice

291. 289
Apéndice
Ecuación (ecuaciones): y = H
N[
{k: 1}
x y
-5.0 0.0183
-4.0 0.0498
-3.0 0.1353
-2.0 0.3679
-1.0 1.0
0 2.7183
1.0 7.3891
2.0 20.0855
3.0 54.5982
4.0 148.4132
5.0 403.4288
6.0 1096.6332
7.0 2980.958
8.0 8103.0839
/DVIXQFLRQHVVHLGHQWL¿FDQFRPR
D&UHFLPLHQWRH[SRQHQFLDOE'HFDLPLHQWRH[SRQHQFLDO

a) 0HQVXDOPHQWH
Fórmula

n
M C1 i
36
0.15
M 17500 1 27369.016 este es el saldo a los 3 años
12
§·

¨¸
©¹

b) 6HPHVWUDOPHQWH
2
0.15
M 17500 1 $20223.43 este es el saldo a los 3 años
2
§·

¨¸
©¹
c) &RQWLQXDPHQWH

292. 290
Actividad de aprendizaje 3
Apéndice
2
0.15
M 17500 1 $27541.82 este es el saldo a los 3 años
360
§·

¨¸
©¹
4.
2
0.18
M 1200 1 $1431.02 este es el saldo a los 4 años
4
§·

¨¸
©¹
1.
D í
b) 3.7609
c) 0.4776
d) 5.4773
H í
I í
2.
3.
a)
log x 3.1886
3.11886
x 10 1314.8009

b)

log x 4.2351

4.2351
x 10 17183.0400
c)
log x 3.8661
3.8661
x 10 7346.8302
d) log x 2.8464

2.8464
x 10 702.1017
e)
log x 2.1679
2.1679
x 10 147.1974
f)
log x 1.5736

1.5737
x 10 37.4714
g)
log x 3.6297

3 ,6297
x 10 4262.8495

h)
log x 2.8393
2.8393
x 10 690.7168

i)
log x 2.6372

2.6372
x 10 433.7106

j)

log x 4.5791

4.5791
x 10 37940.2336

a)
3
28


2
log 8 3
b)
2/3
84

8
2
log 4
3

c)
0
61

6
log 1 0
d)

21
4
16



6
1
log 2
16

e)
x
bm

b
log m x
f)

x
2 y

2
log y x
g)

3
5 125

5
log 125 3
h)

2
10 0.01



10
log 0.01 2
i)

3
4 64

4
log 64 3

293. 291
Apéndice
4.
5.
a)
3
log 81 4 Ÿ
4
3 81

b)
9
log 1 0
0
91Ÿ

c)

x
log y z
z
xyŸ
d)

3
1
log 5
243

51
3
243

Ÿ

e)
log 1000 3
3
10 1000Ÿ

f)

36
1
log 6
2

1
2
36 6Ÿ

g)

2
1
log 3
8

31
2
8

Ÿ

h)

3
log x y
y
3xŸ

i)

2
log x y
y
2xŸ
j)
log100 2
2
10 100Ÿ

j)

7
2 128

2
log 128 7

a)
6
log n 3

3
n 6 216
b)
3
log n 5

51
n3
243


c)
b
log 27 3



1 1
33
3 3
3
11
b 27 b 27
327


Ÿ

d)
b
1
log 3
4





4
11
4
44
4
11
b3b 3 b
813



§·
Ÿ Ÿ ¨¸
©¹
e)
b
2
log 4
3


log 496
0.898494
3

f)
b
log 1000 3



1
33 33
b 1000 b 1000 10 Ÿ
g)
b
1
log 6
3


3
1
3
3
11
b
2166


§·
¨¸
©¹

h)
b
1
log 27
3




3
1
3
3
3
11
b 27 b
1968327



§·
Ÿ ¨¸
©¹

i)
2
log n 8

8
n 2 256
j)
b
log 125 3


1
33
3
3
11
b 125 b
5125

Ÿ

294. 292
Apéndice
6.
a)
3
496
log 496
0.898494
3

b)
4
.801
log 0.801
0.024092
4


c)
3
(77.6 )(66.5 )
(44.3 )(33.2 )
log77.6 log 66.5 log 44.3 log 33.2
0.181714
3



d)
3
6.16 81.2
log 6.16 log 81.2
1.03131
23


e)
3
77.1 1.41
log77.1 log1.41
23


f)
3
615
401
log 615 log 401
23


g)

2/3
215
(16.2 ) 41.1
2 log 41.1
log 215 log16.2
32

í
h)

6
10.666 log10.66
i)
4
.1081
log 0.1081
4

í

j)
3
457
228 16.5
log 228 log16.5
log 457
32


7.
a)

log 5

log 5
log10

b)

log 6
log 5
log10

c)


log 8
log 8
log10

d)


log100
log100
log10

295. 293
Actividad de aprendizaje 4
Apéndice
1.
a)

/RJDULWPR EDVH
b)

/RJDULWPR EDVH
c)

/RJDULWPR EDVH
d)

/RJDULWPR EDVH
e)/RJDULWPR EDVH

a)

5
4 log 625

4
5 625

b)

2
25 625

5
log 625 2

c)

3
0.001 10



10
log 0.001 3


d)

1
3
2 = log 0.111

2
1
0.111
3
§·

¨¸
©¹

e)

1
66


6
log 6 1

a)

4
log 16 y

y
4 16
y2



b)
2
log x 5

5
x 2 32

c)

1
2
log x 2

2
11
x
24
§·

¨¸
©¹

d)

5
log 125 y

y
5 125
y3



e)

3
log x 3

3
x 3 27

f)

1
3
log x 4

4
11
x
3 81
§·

¨¸
©¹

g)

b
log 81 4
4
b 81
b3



h)

b
1
log 3
27


31
b
27
1
b
3




i)
b
log 25 2


2
b 25 b 5 Ÿ

296. 294
Actividad de aprendizaje 5
Apéndice
1.
‡ ¢4XpUHVWULFFLRQHVKD\VREUHE"
/DEDVHEGHEHVHUXQQ~PHURSRVLWLYR\GLVWLQWRGHXQRLJXDOTXHHQODIXQFLyQH[SRQHQFLDO
/DYDULDEOH[QXQFDSXHGHVHUFHURSXHVQRH[LVWHXQQ~PHUR\UHDOWDOTXHE
y
VHDFHUR
/DYDULDEOH[VyORSXHGHWRPDUYDORUHVSRVLWLYRVGHELGRDTXHODEDVHSRVLWLYDEJHQHUDVyOR
SRWHQFLDVSRVLWLYDV
3RUHMHPSOR
22
2 1
4 16 ; 5 0.04
5


‡ ¢&XiOHVHOGRPLQLRGHODIXQFLyQ"<¢FXiOHVVXUDQJR"
(OGRPLQLRGHXQDIXQFLyQORJDUtWPLFDHV
^`D x:0 x f
VHOHHFRPRFRQMXQWRGHWRGRVORVQ~PHURVUHDOHVSRVLWLYRV
(VWHGRPLQLRVHSXHGHYHUL¿FDU\DTXHODJUi¿FDQXQFDWRPDYDORUHVQHJDWLYRVVREUHHOHMH[(O
UDQJRGHXQDIXQFLyQORJDUtWPLFDHV
^`R x : x f f

TXHHVHOFRQMXQWRGHWRGRVORVQ~PHURVUHDOHV
‡ (VFULEHODIXQFLyQ\ ORJ
b
[HQIRUPDH[SRQHQFLDO
6DEHVTXH\ ORJ
b
[Vt\VyORVL[ E
y
HVODIRUPDH[SRQHQFLDO
‡ ¢&XiOHVHOFRQFHSWRGHIXQFLyQH[SRQHQFLDO"
6HGHQRPLQDIXQFLyQH[SRQHQFLDODWRGDIXQFLyQGHODIRUPD\ D Ãb
x
RI[ DÃb
[
GRQGH[
DFHSWDFXDOTXLHUYDORUUHDOEHVXQQ~PHURSRVLWLYR\GLVWLQWRGH\D\N(QODGH¿QLFLyQ
DQWHULRUEVHFRQRFHFRPREDVH\ODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH[VHFRQRFHFRPRH[SRQHQWH
2.
a)

297. 295
b)
c)
d)
3.
a)
Apéndice

298. 296
b)
c)
d)
Apéndice

299. 297
Actividad de aprendizaje 6
Apéndice
1.
30 20
4.1605t ln
40 20
ln0.5
t 0.1666 horas
4.1605





2.
a)

4 21
k 3 ln
18 21
k 0.3069




b)

6 21
t 0.3069 ln
18 21
t 5.2442




3.
a)
0.1527 1
y 41.3 e
y 42.4650 millones de personas


b)

0.1527 t
42.4650 41.3 e
log1.1650
t 0.1527
log 2.7183
t 1
En un año la población
activa será de 44 millones

ªº
y
«»
¬¼

4.
fm
im
TT
kt ln
TT




f
f
T 15
3 0.3069 ln
18 15
T 3.6288




5.


8
y 4 ln0.5
y 4 8 ln0.5
y 9.5452




6.
kt
0
p pe
S
o
HVHOYDORULQLFLDO\NHVODWDVDGHDXPHQWRR
GLVPLQXFLyQ
7.
a)
1
f (log E )


s
log E 11.8 1.5m ,
1
f (log E )

[

b)
1
f (log E )

[


8.
a)
2
p
0.0036 dinas / cm
s 20 log 25.1055
0.0002

b) p
10
s 20 log 93.9794
0.0002

9.
21
log(1.259 10 ) 11.8
M6 .2
1.5
u

10.
3
log 45
log 45 3.4650
log 3

300. 298
Bloque VIII
Actividad de aprendizaje 1

Apéndice
a)
$PSOLWXG
3HULRGR
2S
b)
$PSOLWXG
3HULRGR
2
3S
11.
log 3x 5 log 5x 1.23
3x 5
log 1.23
5x
Se debe calcular antilogaritmo en ambos extremos de la ecuación
3x 5
anti log log 1.23
5x
3x 5
17
5x
82x 5
x 0.061


§·

¨¸
©¹





12.


3 3
2
2
x 64 64 512

301. 299
Apéndice
c)
$PSOLWXG
3HULRGR
2
S
d)
$PSOLWXG
1
2
3HULRGR4S
e)
$PSOLWXG1RWLHQH
3HULRGR
10S

302. 300
Actividad de aprendizaje 2
Apéndice
1.
a)
&RVHFDQWH
'RPLQLR
^`, 2, ,0, ,2,S S SS\! ! 5DQJR @>. 1 1,f ‰ f
6HFDQWH
'RPLQLR
33
, , ,, ,
2 22 2S SS S­½
®¾
¯¿
\! !
5DQJR @>. 1 1,f ‰ f
&RWDQJHQWH
'RPLQLR
^`, 2, ,0, ,2,S S SS\! ! 5DQJR\
b)
6HFDQWH
&RQWLQXDHQ
x k ,k
2
S
S­½
 ®¾
¯¿
\]
&UHFLHQWHHQ
0, ,
22
SS
S§ ·§ ·
‰‰ ‰
¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
!!
'HFUHFLHQWHHQ
33
,, 2
22SS
SS§ ·§ ·
‰‰ ‰
¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
!!
0i[LPRVHQ2k , 1 , kS] PtQLPRVHQ2k 1 , 1 , kS ]
&RVHFDQWH
&RQWLQXDHQ
^`x k ,kS \]
&UHFLHQWHHQ
3
,,
22SS
SS§ ·§ ·
‰‰ ‰
¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
!!
GHFUHFLHQWHHQ
3
0, , 2
22SS
S§ ·§ ·
‰‰ ‰
¨ ¸¨ ¸
© ¹© ¹
!!
0i[LPRVHQ
3
2k , 1 , k
2S
S§·

¨¸
©¹
]
PtQLPRVHQ
2k , 1 , k
2
S
S§·

¨¸
©¹
]
&RWDQJHQWH
&RQWLQXDHQ
^`x k ,kS \] GHFUHFLHQWHHQ\QRWLHQHPi[LPRVQLPtQLPRV

303. 301
Apéndice
c) 6H UHFRPLHQGD XVDU DOJXQD DSOLFDFLyQ GH VRIWZDUH FRPR *HRJHEUD (Q HO &' GHO PDWHULDO
FRPSOHPHQWDULRVHH[SOLFDQHMHPSORVDFHUFDGHOWUD]DGRGHHVWDVIXQFLRQHV
2.
D
&RQFOXVLyQ$PEDVIXQFLRQHVFRUUHVSRQGHQDOPLVPROXJDUJHRPpWULFR
b)
c)

304. 302
Actividad de aprendizaje 3
Apéndice
1.
a)0XHYHODJUi¿FDKDFLDDUULEDXQDXQLGDG
b)0XHYHODJUi¿FDKDFLDDEDMRXQDXQLGDG
c)&RUUHODJUi¿FDKRUL]RQWDOPHQWHKDFLDODL]TXLHUGD
2
3S

305. 303
Apéndice
d)&RUUHODJUi¿FDKRUL]RQWDOPHQWHKDFLDODGHUHFKD
2
3S
e)'HVSOD]DPLHQWRKDFLDODL]TXLHUGD
2
3S
\KDFLDDUULEDXQLGDGHV
2. /DUHVSXHVWDFRUUHFWDHVE
3. /DUHVSXHVWDFRUUHFWDHVD

306. 304
Autoevaluación
Apéndice
1.
a)
'RPLQLR
Domf : x , f f
/DJUi¿FDVHH[WLHQGHKRUL]RQWDOPHQWHFRQWLQXDPHQWHGHVGHí’KDVWD’
5DQJR
>@Rangof : y 1,1
/DJUi¿FDYDUtDYHUWLFDOPHQWHGHVGHíKDVWD
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH<HORULJHQGHOSODQRFDUWHVLDQRTXHHVHOSXQWR
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;WRGRVORVSXQWRVQŒGRQGHQ ííí
3XQWRVPi[LPRV
4n 1
2
S

SDUDQ ííí
3XQWRVPtQLPRV
4n 3
2
S

SDUDQ ííí
3HULRGR7ŒTXHHVODORQJLWXGGHODRQGDTXHVHUHSURGXFHSHULyGLFDPHQWH7 Œ
/DIXQFLyQVHQRUHSLWHVXVYDORUHVFDGDŒXQLGDGHVGHOHMH;
)UHFXHQFLDIHVHOLQYHUVRGHOSHULRGR
11
f
T2
S

5HSUHVHQWDHOQ~PHURGHRQGDVVHQREDVHTXHVHWLHQHQFDGDŒXQLGDGHVHVGHFLUKD\XQDRQGD
VHQREDVHFDGDŒXQLGDGHVVREUHHOHMH;
$PSOLWXG$HVODPi[LPDGLVWDQFLDGHOHMH;DODJUi¿FDGHODIXQFLyQVLQLPSRUWDUODGLUHFFLyQHV
GHFLUKDFLDDUULEDGHOHMH;HOPi[LPRVHHQFXHQWUDHQGLVWDQFLDGHXQDXQLGDG\KDFLDDEDMRGHO
HMH;ODPi[LPDGLVWDQFLDVHSUHVHQWDHQíGLVWDQFLDGHXQDXQLGDG$
b)
'RPLQLR
Domf , f f
5DQJR
Rangof d a , d a ª º
¬¼
,QWHUVHFFLyQFRQHOHMH< x 0, y a cos c d, 0, a cos c d ˜ ˜
,QWHUVHFFLRQHVFRQHOHMH;SXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPi[LPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3XQWRVPtQLPRVSXHGHQGHWHUPLQDUVHGHVSXpVGHWUD]DUODJUi¿FD
3HULRGR7
2
T
bS

)UHFXHQFLDI
b
f
2
S

$PSOLWXG$
Aa

307. 305
Si a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0, se tiene la función base f(x) = cos x, que se acaba de analizar.
/RVSDUiPHWURVGHODIXQFLyQFRVHQRLGHDIHFWDQODJUi¿FDGHODIXQFLyQFRVHQREDVHGHODPLVPD
manera que en la función senoide.
(OSURFHGLPLHQWRSDUDJUD¿FDUODVIXQFLRQHVFRVHQRLGHVHVVHPHMDQWHDOGHOWUD]DGRGHODJUi¿FDGH
la función senoide.
2.
$OJXQDV VLWXDFLRQHV GRQGH VH SXHGHQ REVHUYDU ODV JUi¿FDV GH IXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV VHQR \
coseno.
• Los aparatos utilizados en un hospital como el electroencefalograma y el electrocardiograma.
• Las olas del mar.
• Cuando observamos las montañas.
• El ecualizador de la radio al escuchar música.
Apéndice

308. 306
Antonyan, N., Cendejas, L. y Aguilar, G. (2007). Matemáticas 2 Funciones. México:
Thomson.
Arriaga, A., Benítez, M., Ramírez, L. y Villamil, P. (2009). Matemáticas 4. México:
Progreso.
Cuéllar, J. A. (2006). Matemáticas IV – Relaciones y funciones. México: McGraw-
Hill.
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309. 307
Créditos
Bloque VI
Página 159
Functions in real life
© N.Grazziano
Tomado de: Funciones
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curiosidades.html

310. 308
Notas
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314. Matemáticas IV. Cuarto semestre. Telebachillerato.
se imprimió por encargo
de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos,
en los talleres de Impresora y Encuadernadora Progreso, S. A. de C. V.,
con domicilio en Calzada San Lorenzo, número 244, Colonia Paraje San Juan,
Alcaldía de Iztapalapa, C. P. 09830, Ciudad de México,
en el mes de diciembre de 2022.
El tiraje fue de 51,836 ejemplares.
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