Matrizes - Completo com exercícios

Aqui temos a introdução do assunto matrizes e exercícios para vocês tentarem resolver, qualquer dúvida é só comentar aqui que eu explico o exercício. Obrigada!

2. Origem da matriz:
 O primeiro vestígio de matrizes foi escrito durante a dinastia Han
entre  200 a.C e 300 a.C no texto texto “Nove Capítulos da Arte
Matemática”. Mas o 1º a usar o termo “matriz” foi Sylvester
em 1850 que ao voltar a Inglaterra conheceu Cayley e
compartilharam seus interesses na matemática. Cayley percebeu
rapidamente o significado do conceito de matriz e por volta
de 1853, Cayley havia publicado uma nota apresentando pela
primeira vez a inversa de uma matriz.

3. O uso das matrizes no dia-a-dia:
•Imagens de internet (GIF, JPEG)

4. •Planilhas eletrônicas (Excel)

5. Uma matriz pode ser representada de três formas:
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
Colchetes Parênteses
Barra dupla

6. Elemento


Coluna
ColunaColuna
Linha
Linha

7. Vamos ver algumas definições úteis:
Matriz A ( m linha e n colunas )
Elemento qualquer que está na linha i e na
coluna j

8. Uma matriz pode ser descrita também através de uma lei
de formação. Exemplo: A = (a ) onde a = i + j:
ij2x3 ij
A = (a )
ij
2x3
a = i + j
ij
A = =

9. Matriz linha: Só tem uma linha.
Exemplo:

10. Exercício - Matriz linha:
a) Escreva a matriz linha do tipo 1x4 tal que
a
i j
 = 2i + 3j.

11. Matriz coluna: Só tem uma coluna
Exemplo:
A =

12. Matriz quadrada: m = n
Exemplo 1: Exemplo 2:

13. Exercícios – Matriz quadrada
(PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( a
i j
 ) 
2 x 2
, em
que a
i j
 = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. 

14. Matriz triangular inferior: Matriz em que os elementos acima da
diagonal são iguais a zero.
Exemplo 1: Exemplo 2:

15. Matriz triangular superior: Matriz em que os elementos
abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Exemplo 1: Exemplo 2:
A =

16. Matriz diagonal
Exemplo 1: Exemplo 2:

17. Exercício – Matriz diagonal
Escreva a matriz diagonal de 4ª ordem tal que os elementos
diferentes de zero satisfaçam à seguinte condição a
ij
 = i - 3j.

18. Matriz identidade: os elementos que pertencem à diagonal
principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não
pertencem à diagonal principal são iguais a zero. 
Exemplo:
Matriz de ordem 2:
Matriz de ordem 3:

19. Matriz nula: é qualquer matriz onde todos os elementos
são 0. 
A =

20. Se A = B, então:
• a=
• b=
• c=
• d=
A =
1
2
3
4
B =
a
c
b
d

21. Exercício: Determine x e y para que as matrizes A e B
sejam iguais:

22. Se duas matrizes possuem a mesma ordem, basta
somarmos os elementos correspondentes. Exemplo:
A =
1 2
3
4 5 6
B =
2 5 4
1 2 9
A + B =
=

23. Exercício:  Determine a matriz C, resultado da soma da
matriz A e B:
A = 2 0 -4 B = 2 3 2
10 7 1 0 4 7
C = C =

24. Exemplo:
2 . 1 2
3 4
=

25. Considerando a matriz: -2 3
4 -5
, determine:
a) 4 . ( A + B)
A= E
B=
1 0
2 1

26. Exercício: Determine a matriz oposta de
e depois determine (–A + A):

27. Para calcular A-B as matrizes devem ser da mesma ordem.
Exemplo: Dada a matriz A =  e a matriz B =
, se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos: 

28. Para que seja possível: colunas da 1ª matriz deve ser
igual ao nº de linhas da segunda. Exemplo:
B = 2 1
3 2
4 5
A = 1 2 3
3 1 1

29. Exercício: Seja A= 1 4 e B= 1 :
2 5
3 6 2
a)Existe o produto AB? Justifique:
b)Existe o produto BA? Justifique:
c)Calcule o produto AB:

30. Exemplo 1:
Exemplo 2:
B =

31. Exercício: a) Determine a matriz do tipo 3x1 tal que a
ij
 = i.3 + 3j.
b) Determine a matriz transposta da obtida no item A.

32. É quando uma matriz e sua transposta são
iguais. Exemplo: Dada a matriz A
= , sua transposta será?
Toda matriz identidade é simétrica.

33. A . A = In e A . A = In
A= 5 1
4 1
-1
-1