Metodo romberg

13,924 views 23 slides Dec 16, 2016
Slide 1
Slide 1 of 23
Slide 1
1
Slide 2
2
Slide 3
3
Slide 4
4
Slide 5
5
Slide 6
6
Slide 7
7
Slide 8
8
Slide 9
9
Slide 10
10
Slide 11
11
Slide 12
12
Slide 13
13
Slide 14
14
Slide 15
15
Slide 16
16
Slide 17
17
Slide 18
18
Slide 19
19
Slide 20
20
Slide 21
21
Slide 22
22
Slide 23
23

About This Presentation

Aquí explico detalladamente el Metodo de Romberg.


Slide Content

Método de
Romberg
Exponen
Erick Sebastián Martínez Baca
Rosa Elena Sorto

Método de Romberg
Alutilizarlaregladeltrapeciodesegmentosmúltiplesyla
regladeSimpsondesegmentosmúltiples,sepudoobservar
queamedidaqueaumentabaelnumerodesegmentos,�,el
errordisminuía;peroparavaloresmuygrandesde�,elerror
porredondeoempezabaacreceryelesfuerzocomputacional
sevolvíagrande.

Método de Romberg
ElmétododeintegracióndeRombergestadiseñadoparaevitarestos
inconvenientesyestabasadoenlaregladeltrapecio,perosolosepuede
usarencasosenlosqueseconocelafunción�(�).
LaformuladeRombergeslasiguiente:
�
�,�=�
�,�−1+
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
=
4
�−1
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
……….(1)

Método de Romberg
Donde:
�
�,�−1��
�−1,�−1;sonlasintegralesmasymenosexactas,
respectivamentee�
�,�eslaintegralmejorada.
�indicaelniveldeintegración
�evaluacionesdelaregladeltrapecio.

Método de Romberg
Donde:
�
??????=
�
�,�−�
�,�−1
�
�,�
100……………………………………..(2)

Método de Romberg
Precaucionesquesedebentenerencuentaalusarestemétodo:
Elpasonodebesermuypequeñoparaquenoseincrementeelerrorpor
redondeo.
Estemétodoseutilizaenelcasoenqueserequieramayorprecisiónenel
calculodelaintegral.
Elnivel�=1correspondealaestimacióndelaregladeltrapeciooriginal.
Elnivel�=2correspondeaunaaproximaciónconunordendeerror
�ℎ
4
.
Elnivel�=3correspondeaunaaproximaciónconunordendeerror
�ℎ
6
yasísucesivamente.

Método de Romberg
Ejemplo
UtilicelaintegracióndeRombergparaevaluardeforma
aproximada

0
3??????
??????
????????????????????????
1+??????
2
��;������
7,7

Método de Romberg
Solución
SetrabajarainicialmenteconlaregladelTrapecio,para
generarlosdatosdelnivel�=1,calculandolaintegralcon
distintosnúmerosdesegmentos,loscualesdebenirse
duplicandohastaquelavariacióndelasintegralessea
mínima.

Método de Romberg
Solución
Secomienzanloscálculosconlosvaloresmostradosenla
Tabla1,loscualesseobtuvieronparalosdiferentestamaños
depasoindicados.

Método de Romberg??????���??????���� �� ��������
�
??????
���(??????)
�+??????
�
�
�
�?????? ,�����??????���� �� ������ �� ������� ����� �
�,�
��������� �
1,1 � �
�,1 ,���������� �� ����� ��� �������� ���� ��������� ���������.
��� �=0 ,�=3 � ℎ
1=3

�
1,1=

1
2
�(�)+�(�) =
�−�
2
�(�)+�(�) ���������� �� ������� ��� ��������.
�
1,1=
3−0
2
�(0)+�(3) ………………………..��������� ��� �������� � � �.
�
1,1=
3
2
0+0.2834471132 …………………….������� �� �� ����������.
�
1,1=0.425170669………………………….…..������ ������������.

Método de Romberg¿���� ��������� �
�,1?
���� ������� �� �� ������� �������:
�
�,1=
1
2
�
�−1,1+ ℎ
�−1 �((�+(2�−1)ℎ
�)
2
�−2
�=1
; ����� ℎ
�=
�−�
2
�−1
; �=2
������������ ��� ������� ��: �=0 ,�=3 ,�=1 � �=2 �������:
�
2,1=
1
2
�
2−1,1+ ℎ
2−1 �(0+(2(1)−1)ℎ
2)
2
2−2
�=1
; ����� ℎ
2=
3−0
2
2−1
=
3
2

�
2,1=
1
2
�
1,1+ ℎ
1 �(1∗ℎ
2)
1
�=1
; ����� ℎ
2=
3
2
; ℎ
1=3 � �
1,1=0.425170669
�
2,1=
1
2
0.425170669+3�(
1∗3
2
)
�
2,1=
1
2
0.425170669+3(1.375526886)
�
2,1=2.275875664

Método de Romberg �
�,1=
1
2
�
�−1,1+ ℎ
�−1 �((�+(2�−1)ℎ
�)
2
�−2
�=1
; ����� ℎ
�=
�−�
2
�−1
;�=3
������������ ��� ������� ��: �=0 ,�=3 ,�=1 ,2 � �=3 �������:
�
3,1=
1
2
�
3−1,1+ ℎ
3−1 �((0+(2(�)−1)ℎ
3)
2
3−2
�=1
; ����� ℎ
3=
3−0
2
3−1
=
3
4

�
3,1=
1
2
�
2,1+ ℎ
2 �((2(�)−1)ℎ
3)
2
�=1
; ����� ℎ
3=
3
4
; ℎ
2=
3
2
� �
2,1=2.275875664
�
3,1=
1
2
2.275875664+
3
2
�
3
4
+�(
3∗3
4
))
�
3,1=
1
2
2.275875664+
3
2
(0.9235387304+1.217674714)
�
3,1=
1
2
5.487695831
�
3,1=2.743847915

Método de Romberg �
�,1=
1
2
�
�−1,1+ ℎ
�−1 �((�+(2�−1)ℎ
�)
2
�−2
�=1
; ����� ℎ
�=
�−�
2
�−1
; �=4
������������ ��� ������� ��: �=0 ,�=3 ,�=1 ,2 ,3 ,4 � �=4 �������:
�
4,1=
1
2
�
4−1,1+ ℎ
4−1 �((0+(2(�)−1)ℎ
4)
2
4−2
�=1
; ����� ℎ
4=
3−0
2
4−1
=
3
8

�
4,1=
1
2
�
3,1+ ℎ
3 �((2(�)−1)ℎ
4)
4
�=1
; ����� ℎ
3=
3
4
; ℎ
4=
3
8
� �
3,1=2.743847915
�
4,1=
1
2
2.743847915+
3
4
(�
1∗3
8
+�
3∗3
8
+�
5∗3
8
+�(
7∗3
8
))
�
4,1=
1
2
2.275875664+(2.951816992)
�
4,1=
1
2
5.695664907
�
4,1=2.847832453

Método de Romberg
��������������������������ℎ��������������ℎ����7�������:
�
5,1=2.8732076;�
6,1=2.8795311;�
7,1=2.8811108

Tabla 1 Valores iniciales para el calculo de la integral con la formula
de Romberg
�=�
�
ℎ=
�−�
�
�ℎ
??????=
�−�
2(�)
��
0+2
�=1
??????−1
��
�+��
??????
��������
1 3
�ℎ
1=
3−0
2
�
3
���(3)
1+3
2
+
�
0
���(0)
1+0
2
�
1,1=0.42517
2 1.5
�ℎ
2=
3−0
22
�
3
���(3)
1+3
2
+2
�
1,5
���(1.5)
1+1.5
2
+
�
0
���(0)
1+0
2
�
2,1=2.275876
4 0.75
�ℎ
3=
3−0
24
�
3
���(3)
1+3
2
+2
�
2.25
���(2.25)
1+2.25
2
+
�
1.5
���(1.5)
1+1.5
2
+
�
0.75
���(0.75)
1+0.75
2
+
�
0
���(0)
1+0
2
�
3,1=2.743848
8 0.375
�ℎ
4=
3−0
2(8)
�
3
���(3)
1+3
2
+2….+
�
0
���(0)
1+0
2
�
4,1=2.84782
16 0.1875
�ℎ
4=
3−0
2(16)
�
3
���(3)
1+3
2
+2….+
�
0
���(0)
1+0
2
�
5,1=2.87320
32 0.09375
�ℎ
4=
3−0
2(32)
�
3
���(3)
1+3
2
+2….+
�
0
���(0)
1+0
2
�
6,1=2.879531

Método de Romberg
Solución
Lacualsecompletaparalosniveles�=2,3,4,5,6�7
aplicandolaformuladeRomberg,deestemodosetiene:
Para�=2yhaciendovariar�desde2hasta7

Método de Romberg
�
�,�=�
�,�−1+
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
=
4
�−1
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
����=�,…,�;�=�
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������

Método de Romberg
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������

Método de Romberg
Solución
Seprocededeigualmanerapara�=3,yhaciendovariar�
desde1hasta5,yluegocon�=4,5,6�7,talcomose
muestraenlafigura1.

Método de Romberg
Figura 1 Resumen de valores calculados con la formula de Romberg

Método de Romberg

Método de Romberg
Solución
Para�=64ydespuésdesieteiteracioneselvalordela
integralpormétododeRomberges�
7,7=2.881637275
∴�������������������������������������,

0
3??????
??????
�????????????(??????)
1+??????
2
��,���������������������������ℎ�����
7,7

0
3??????
??????
�????????????(??????)
1+??????
2
≅2.8816373�
2
Tags