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Metodo romberg
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Dec 16, 2016
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About This Presentation
Aquí explico detalladamente el Metodo de Romberg.
Size:
689.11 KB
Language:
es
Added:
Dec 16, 2016
Slides:
23 pages
Slide Content
Slide 1
Método de
Romberg
Exponen
Erick Sebastián Martínez Baca
Rosa Elena Sorto
Slide 2
Método de Romberg
Alutilizarlaregladeltrapeciodesegmentosmúltiplesyla
regladeSimpsondesegmentosmúltiples,sepudoobservar
queamedidaqueaumentabaelnumerodesegmentos,�,el
errordisminuía;peroparavaloresmuygrandesde�,elerror
porredondeoempezabaacreceryelesfuerzocomputacional
sevolvíagrande.
Slide 3
Método de Romberg
ElmétododeintegracióndeRombergestadiseñadoparaevitarestos
inconvenientesyestabasadoenlaregladeltrapecio,perosolosepuede
usarencasosenlosqueseconocelafunción�(�).
LaformuladeRombergeslasiguiente:
�
�,�=�
�,�−1+
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
=
4
�−1
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
……….(1)
Slide 4
Método de Romberg
Donde:
�
�,�−1��
�−1,�−1;sonlasintegralesmasymenosexactas,
respectivamentee�
�,�eslaintegralmejorada.
�indicaelniveldeintegración
�evaluacionesdelaregladeltrapecio.
Slide 5
Método de Romberg
Donde:
�
??????=
�
�,�−�
�,�−1
�
�,�
100……………………………………..(2)
Slide 6
Método de Romberg
Precaucionesquesedebentenerencuentaalusarestemétodo:
Elpasonodebesermuypequeñoparaquenoseincrementeelerrorpor
redondeo.
Estemétodoseutilizaenelcasoenqueserequieramayorprecisiónenel
calculodelaintegral.
Elnivel�=1correspondealaestimacióndelaregladeltrapeciooriginal.
Elnivel�=2correspondeaunaaproximaciónconunordendeerror
�ℎ
4
.
Elnivel�=3correspondeaunaaproximaciónconunordendeerror
�ℎ
6
yasísucesivamente.
Slide 7
Método de Romberg
Ejemplo
UtilicelaintegracióndeRombergparaevaluardeforma
aproximada
0
3??????
??????
????????????????????????
1+??????
2
��;������
7,7
Slide 8
Método de Romberg
Solución
SetrabajarainicialmenteconlaregladelTrapecio,para
generarlosdatosdelnivel�=1,calculandolaintegralcon
distintosnúmerosdesegmentos,loscualesdebenirse
duplicandohastaquelavariacióndelasintegralessea
mínima.
Slide 9
Método de Romberg
Solución
Secomienzanloscálculosconlosvaloresmostradosenla
Tabla1,loscualesseobtuvieronparalosdiferentestamaños
depasoindicados.
Slide 10
Método de Romberg??????���??????���� �� ��������
�
??????
���(??????)
�+??????
�
�
�
�?????? ,�����??????���� �� ������ �� ������� ����� �
�,�
��������� �
1,1 � �
�,1 ,���������� �� ����� ��� �������� ���� ��������� ���������.
��� �=0 ,�=3 � ℎ
1=3
�
1,1=
ℎ
1
2
�(�)+�(�) =
�−�
2
�(�)+�(�) ���������� �� ������� ��� ��������.
�
1,1=
3−0
2
�(0)+�(3) ………………………..��������� ��� �������� � � �.
�
1,1=
3
2
0+0.2834471132 …………………….������� �� �� ����������.
�
1,1=0.425170669………………………….…..������ ������������.
Slide 11
Método de Romberg¿���� ��������� �
�,1?
���� ������� �� �� ������� �������:
�
�,1=
1
2
�
�−1,1+ ℎ
�−1 �((�+(2�−1)ℎ
�)
2
�−2
�=1
; ����� ℎ
�=
�−�
2
�−1
; �=2
������������ ��� ������� ��: �=0 ,�=3 ,�=1 � �=2 �������:
�
2,1=
1
2
�
2−1,1+ ℎ
2−1 �(0+(2(1)−1)ℎ
2)
2
2−2
�=1
; ����� ℎ
2=
3−0
2
2−1
=
3
2
�
2,1=
1
2
�
1,1+ ℎ
1 �(1∗ℎ
2)
1
�=1
; ����� ℎ
2=
3
2
; ℎ
1=3 � �
1,1=0.425170669
�
2,1=
1
2
0.425170669+3�(
1∗3
2
)
�
2,1=
1
2
0.425170669+3(1.375526886)
�
2,1=2.275875664
Slide 12
Método de Romberg �
�,1=
1
2
�
�−1,1+ ℎ
�−1 �((�+(2�−1)ℎ
�)
2
�−2
�=1
; ����� ℎ
�=
�−�
2
�−1
;�=3
������������ ��� ������� ��: �=0 ,�=3 ,�=1 ,2 � �=3 �������:
�
3,1=
1
2
�
3−1,1+ ℎ
3−1 �((0+(2(�)−1)ℎ
3)
2
3−2
�=1
; ����� ℎ
3=
3−0
2
3−1
=
3
4
�
3,1=
1
2
�
2,1+ ℎ
2 �((2(�)−1)ℎ
3)
2
�=1
; ����� ℎ
3=
3
4
; ℎ
2=
3
2
� �
2,1=2.275875664
�
3,1=
1
2
2.275875664+
3
2
�
3
4
+�(
3∗3
4
))
�
3,1=
1
2
2.275875664+
3
2
(0.9235387304+1.217674714)
�
3,1=
1
2
5.487695831
�
3,1=2.743847915
Slide 13
Método de Romberg �
�,1=
1
2
�
�−1,1+ ℎ
�−1 �((�+(2�−1)ℎ
�)
2
�−2
�=1
; ����� ℎ
�=
�−�
2
�−1
; �=4
������������ ��� ������� ��: �=0 ,�=3 ,�=1 ,2 ,3 ,4 � �=4 �������:
�
4,1=
1
2
�
4−1,1+ ℎ
4−1 �((0+(2(�)−1)ℎ
4)
2
4−2
�=1
; ����� ℎ
4=
3−0
2
4−1
=
3
8
�
4,1=
1
2
�
3,1+ ℎ
3 �((2(�)−1)ℎ
4)
4
�=1
; ����� ℎ
3=
3
4
; ℎ
4=
3
8
� �
3,1=2.743847915
�
4,1=
1
2
2.743847915+
3
4
(�
1∗3
8
+�
3∗3
8
+�
5∗3
8
+�(
7∗3
8
))
�
4,1=
1
2
2.275875664+(2.951816992)
�
4,1=
1
2
5.695664907
�
4,1=2.847832453
Slide 14
Método de Romberg
��������������������������ℎ��������������ℎ����7�������:
�
5,1=2.8732076;�
6,1=2.8795311;�
7,1=2.8811108
Slide 15
Tabla 1 Valores iniciales para el calculo de la integral con la formula
de Romberg
�=�
�
ℎ=
�−�
�
�ℎ
??????=
�−�
2(�)
��
0+2
�=1
??????−1
��
�+��
??????
��������
1 3
�ℎ
1=
3−0
2
�
3
���(3)
1+3
2
+
�
0
���(0)
1+0
2
�
1,1=0.42517
2 1.5
�ℎ
2=
3−0
22
�
3
���(3)
1+3
2
+2
�
1,5
���(1.5)
1+1.5
2
+
�
0
���(0)
1+0
2
�
2,1=2.275876
4 0.75
�ℎ
3=
3−0
24
�
3
���(3)
1+3
2
+2
�
2.25
���(2.25)
1+2.25
2
+
�
1.5
���(1.5)
1+1.5
2
+
�
0.75
���(0.75)
1+0.75
2
+
�
0
���(0)
1+0
2
�
3,1=2.743848
8 0.375
�ℎ
4=
3−0
2(8)
�
3
���(3)
1+3
2
+2….+
�
0
���(0)
1+0
2
�
4,1=2.84782
16 0.1875
�ℎ
4=
3−0
2(16)
�
3
���(3)
1+3
2
+2….+
�
0
���(0)
1+0
2
�
5,1=2.87320
32 0.09375
�ℎ
4=
3−0
2(32)
�
3
���(3)
1+3
2
+2….+
�
0
���(0)
1+0
2
�
6,1=2.879531
Slide 16
Método de Romberg
Solución
Lacualsecompletaparalosniveles�=2,3,4,5,6�7
aplicandolaformuladeRomberg,deestemodosetiene:
Para�=2yhaciendovariar�desde2hasta7
Slide 17
Método de Romberg
�
�,�=�
�,�−1+
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
=
4
�−1
�
�,�−1−�
�−1,�−1
4
�−1
−1
����=�,…,�;�=�
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
Slide 18
Método de Romberg
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
�
�,�=
�
�−�
��,�−�−��−�,�−�
�
�−�
−�
=
�
�
��,�−��,�
�
�
−�
=
�∗�.�������−�.�������
�
=�.�������
Slide 19
Método de Romberg
Solución
Seprocededeigualmanerapara�=3,yhaciendovariar�
desde1hasta5,yluegocon�=4,5,6�7,talcomose
muestraenlafigura1.
Slide 20
Método de Romberg
Figura 1 Resumen de valores calculados con la formula de Romberg
Slide 21
Método de Romberg
Slide 23
Método de Romberg
Solución
Para�=64ydespuésdesieteiteracioneselvalordela
integralpormétododeRomberges�
7,7=2.881637275
∴�������������������������������������,
0
3??????
??????
�????????????(??????)
1+??????
2
��,���������������������������ℎ�����
7,7
0
3??????
??????
�????????????(??????)
1+??????
2
≅2.8816373�
2
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