modulo 3matematicafinanziariaperfett.pdf
Frapny
24 views
50 slides
Sep 19, 2025
Slide 1 of 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
About This Presentation
matematica finanziaria
Slide Content
Complementi di Matematica M-Z
Prof. Riccardo De Blasis
[email protected]
II Parte
Matematica Finanziaria
Prof. Riccardo De Blasis
[email protected]
II Parte
Matematica Finanziaria
MODULO 3
•Tasso nominale di interesse
•Tasso istantaneo di interesse
•La legge esponenziale
•Forza di interesse e scindibilità
•Operazioni finanziarie eque
•Scomposizione di operazioni finanziarie
2
•Tasso nominale di interesse
•Tasso istantaneo di interesse
•La legge esponenziale
•Forza di interesse e scindibilità
•Operazioni finanziarie eque
•Scomposizione di operazioni finanziarie
2
Il tasso nominale d’interesse
Prendiamo in considerazione il regime finanziario dell’interesse composto
e consideriamo la seguente situazione:
❖ investiamo un capitale C
❖ l’interesse via via prodotto è corrisposto con una prefissata periodicità, ad esempio m volte
in un anno
❖ l’interesse maturato è staccato e messo a disposizione dell’investitore
❖ all’inizio di ogni m-esimo di anno il capitale a frutto ammonta esattamente a C e alla fine di
ogni m-esimo di anno l’interesse maturato è
3
�(�)=(1+�)
�
�=??????⋅�
1/�
Prendiamo in considerazione il regime finanziario dell’interesse composto
e consideriamo la seguente situazione:
❖ investiamo un capitale C
❖ l’interesse via via prodotto è corrisposto con una prefissata periodicità, ad esempio m volte
in un anno
❖ l’interesse maturato è staccato e messo a disposizione dell’investitore
❖ all’inizio di ogni m-esimo di anno il capitale a frutto ammonta esattamente a C e alla fine di
ogni m-esimo di anno l’interesse maturato è
3
�(�)=(1+�)
�
�=??????⋅�
1/�
Su ogni unità di capitale investita l’investitore si trova ad aver riscosso m rate di
ammontare i
1/m , ciascuna pagata al termine di 1/m di anno
4
1/m 2/m
1
t
r(t)
1
ammontare i
1/m , ciascuna pagata al termine di 1/m di anno
4
1/m 2/m
1
t
r(t)
1
Quello che abbiamo definito è il
tasso nominale convertibile m volte in un anno indicato con J(m)
Valido per ogni regime
finanziario()
1/
()11
m
Jmmi =+−
nel regime
dell’interesse
composto (con i tasso
annuale)1/
1/
(1)1
m
m
ii=+− 1/
()
m
Jmmi=
5
tasso nominale convertibile m volte in un anno indicato con J(m)
Valido per ogni regime
finanziario()
1/
()11
m
Jmmi =+−
nel regime
dell’interesse
composto (con i tasso
annuale)1/
1/
(1)1
m
m
ii=+− 1/
()
m
Jmmi=
5
Andamento di J(m) a partire da un tasso prefissato i
i=20%
100 è un valore significativo perché grande
6
J(m)
m
m J(m)
1 0,2000
2 0,1909
3 0,1880
4 0,1865
5 0,1857
6 0,1851
…. ….
100 0,1825
Al tendere di m all’infinito la
funzione presenta un asintoto
orizzontale
�(�)=�⋅1+�
1/�
−1
i=20%
100 è un valore significativo perché grande
6
J(m)
m
m J(m)
1 0,2000
2 0,1909
3 0,1880
4 0,1865
5 0,1857
6 0,1851
…. ….
100 0,1825
Al tendere di m all’infinito la
funzione presenta un asintoto
orizzontale
�(�)=�⋅1+�
1/�
−1
7
�(�)=�⋅�
1/�
�(�)=�⋅1+�
1/�
−1⇒
�(�)
�
+1=1+�
1/�
�
1/�=
�(�)
�
�=1+
�(�)
�
�
−1
Formule inverse
OSSERVAZIONI
✓ Nella pratica, si fa riferimento al tasso nominale quando si usa una unità di misura del tempo
inferiore all’anno
✓ In capitalizzazione semplice tasso nominale e tasso effettivo annuo coincidono
✓I In capitalizzazione composta, invece, il tasso nominale è un tasso virtuale (annuo) che è
convertibile nel tasso effettivo riferito ad un periodo più breve
�(�)=�⋅�
1/�
�(�)=�⋅1+�
1/�
−1⇒
�(�)
�
+1=1+�
1/�
�
1/�=
�(�)
�
�=1+
�(�)
�
�
−1
Formule inverse
OSSERVAZIONI
✓ Nella pratica, si fa riferimento al tasso nominale quando si usa una unità di misura del tempo
inferiore all’anno
✓ In capitalizzazione semplice tasso nominale e tasso effettivo annuo coincidono
✓I In capitalizzazione composta, invece, il tasso nominale è un tasso virtuale (annuo) che è
convertibile nel tasso effettivo riferito ad un periodo più breve
Esempi
•Il tasso nominale annuo convertibile trimestralmente è dell’8%, determinare il
tasso annuo effettivo
�
1/�=
�(�)
�
⇒�
1/2=
�(2)
2
=4%=0,04
??????=??????(1+�
1/2)
20
⇒??????=
??????
(1+�
1/2)
20
=
3000
(1,04)
20
=1369,17
•Si investe un capitale C al tasso nominale convertibile semestralmente J(2)=8%
per 10 anni. Determinare C affinché il montante prodotto sia M=3000 euro
Il tasso nominale è convertibile 4 volte nell’anno, quindi il tasso trimestrale è �
1/4=
�(4)
4
=2%=0,02
⇒1+�=(1+0,02)
4
=1,0824⇒�=8,24%
� è il tasso annuo equivalente al 2% trimestrale e all’8% nominale convertibile trimestralmente
8
•Il tasso nominale annuo convertibile trimestralmente è dell’8%, determinare il
tasso annuo effettivo
�
1/�=
�(�)
�
⇒�
1/2=
�(2)
2
=4%=0,04
??????=??????(1+�
1/2)
20
⇒??????=
??????
(1+�
1/2)
20
=
3000
(1,04)
20
=1369,17
•Si investe un capitale C al tasso nominale convertibile semestralmente J(2)=8%
per 10 anni. Determinare C affinché il montante prodotto sia M=3000 euro
Il tasso nominale è convertibile 4 volte nell’anno, quindi il tasso trimestrale è �
1/4=
�(4)
4
=2%=0,02
⇒1+�=(1+0,02)
4
=1,0824⇒�=8,24%
� è il tasso annuo equivalente al 2% trimestrale e all’8% nominale convertibile trimestralmente
8
TASSO ISTANTANEO DI INTERESSE
Al crescere di m, aumentando il numero delle rate corrisposte in un anno, si abbrevia l’intervallo
tra una rata e l’altra, anticipando il pagamento delle rate, si paga nominalmente di meno
Se consideriamo il tasso nominale d’interesse J(m) e facciamo tendere m all’infinito, otteniamo:
9
lim
�→+∞
�(�)=lim
�→+∞
�⋅(1+�)
1/�
−1=log(1+�) =??????
lim
�→+∞
��=lim
�→+∞
�⋅(1+�)
1
�−1=lim
�→+∞
(1+�)
1
�−1
1
�
→??????.??????.
0
0
⇒TeoremadiDeL′Hospital: lim
�→+∞
(1+??????)
1/??????
⋅log(1+??????)⋅
−1
??????
2
−1
??????
2
=1⋅log(1+�)
⇒lim
�→+∞
�(�)=log(1+�)
Al crescere di m, aumentando il numero delle rate corrisposte in un anno, si abbrevia l’intervallo
tra una rata e l’altra, anticipando il pagamento delle rate, si paga nominalmente di meno
Se consideriamo il tasso nominale d’interesse J(m) e facciamo tendere m all’infinito, otteniamo:
9
lim
�→+∞
�(�)=lim
�→+∞
�⋅(1+�)
1/�
−1=log(1+�) =??????
lim
�→+∞
��=lim
�→+∞
�⋅(1+�)
1
�−1=lim
�→+∞
(1+�)
1
�−1
1
�
→??????.??????.
0
0
⇒TeoremadiDeL′Hospital: lim
�→+∞
(1+??????)
1/??????
⋅log(1+??????)⋅
−1
??????
2
−1
??????
2
=1⋅log(1+�)
⇒lim
�→+∞
�(�)=log(1+�)
❖ Il valore ??????=log(1+�) è noto come tasso istantaneo di interesse
❖ ?????? ha il significato di tasso nominale annuo convertibile infinite volte in un anno
❖ La retta y=?????? è un asintoto orizzontale della funzione �(�), come si può
vedere dal grafico precedente
❖ Al tendere di m all’infinito le rate si trasformano in un flusso continuo e
uniforme durante tutto l’anno per un ammontare nominale pari a ??????
❖ Possiamo riscrivere le formule del montante e del valore attuale in
capitalizzazione composta usando il parametro ??????⇒ si otterrà la legge
esponenziale
10
❖ ?????? ha il significato di tasso nominale annuo convertibile infinite volte in un anno
❖ La retta y=?????? è un asintoto orizzontale della funzione �(�), come si può
vedere dal grafico precedente
❖ Al tendere di m all’infinito le rate si trasformano in un flusso continuo e
uniforme durante tutto l’anno per un ammontare nominale pari a ??????
❖ Possiamo riscrivere le formule del montante e del valore attuale in
capitalizzazione composta usando il parametro ??????⇒ si otterrà la legge
esponenziale
10
La legge esponenziale
Se gli interessi formatisi istantaneamente venissero staccati e reinvestiti al tasso
effettivo i (in capitalizzazione composta) per tutto il resto dell’anno, il montante
percepito alla fine sarebbe esattamente pari a i
Esistono alcune relazioni notevoli basate sul tasso ??????=log(1+�) :
�
??????
=�
log(1+??????)
→�
??????
=1+�
�=�
??????
−1
�
??????⋅�
=(1+�)
�
=�(�)
11
Se gli interessi formatisi istantaneamente venissero staccati e reinvestiti al tasso
effettivo i (in capitalizzazione composta) per tutto il resto dell’anno, il montante
percepito alla fine sarebbe esattamente pari a i
Esistono alcune relazioni notevoli basate sul tasso ??????=log(1+�) :
�
??????
=�
log(1+??????)
→�
??????
=1+�
�=�
??????
−1
�
??????⋅�
=(1+�)
�
=�(�)
11
Mediante l’utilizzo dei tassi istantanei le formule fondamentali della legge degli
interessi composti possono riscriversi:
✓ Il regime dell’interesse composto è detto anche della capitalizzazione
esponenziale o legge esponenziale
✓ Si tratta comunque di un’unica legge di capitalizzazione che possiamo scrivere
mettendo in evidenza il parametro i oppure il parametro ??????
✓ Nella legge esponenziale, il montante si ottiene capitalizzando istante per
istante gli interessi semplici calcolati al tasso ??????
12
??????=??????⋅�
??????⋅�
??????=??????⋅�
−??????⋅�
capitalizzazione
attualizzazione
�(�)=�
??????⋅�
??????(�)=�
−??????⋅�
interessi composti possono riscriversi:
✓ Il regime dell’interesse composto è detto anche della capitalizzazione
esponenziale o legge esponenziale
✓ Si tratta comunque di un’unica legge di capitalizzazione che possiamo scrivere
mettendo in evidenza il parametro i oppure il parametro ??????
✓ Nella legge esponenziale, il montante si ottiene capitalizzando istante per
istante gli interessi semplici calcolati al tasso ??????
12
??????=??????⋅�
??????⋅�
??????=??????⋅�
−??????⋅�
capitalizzazione
attualizzazione
�(�)=�
??????⋅�
??????(�)=�
−??????⋅�
Prendiamo in considerazione la legge esponenziale �(�)=�
??????⋅�
, con reale e
positivo ⇒ per qualunque valore del tempo t, la quantità �
??????⋅�
rappresenta il
valore in t di un euro investito all’istante 0:
Per t=0 l’uguaglianza è verificata in quanto �
0
=1
⇒ Generalizzando:
??????(�) è, quindi, il montante di ??????, secondo la legge esponenziale all’istante t>0
??????(�)=??????⋅�
??????⋅�
1 euro e
t
euro
t=0 t
13
??????⋅�
, con reale e
positivo ⇒ per qualunque valore del tempo t, la quantità �
??????⋅�
rappresenta il
valore in t di un euro investito all’istante 0:
Per t=0 l’uguaglianza è verificata in quanto �
0
=1
⇒ Generalizzando:
??????(�) è, quindi, il montante di ??????, secondo la legge esponenziale all’istante t>0
??????(�)=??????⋅�
??????⋅�
1 euro e
t
euro
t=0 t
13
Forza di interesse (intensità istantanea d’interesse)
✓ Consideriamo la generica legge capitalizzazione ad una variabile r(t)
✓Assegnato un capitale C, l’interesse che risulta prodotto in un periodo infinitesimale di
tempo, tra t e t+∆t è dato dalla differenza fra i montanti calcolati nei due periodi:
la differenza è l’interesse prodotto nel periodo ∆t
14
t t+∆t
??????�=??????⋅��
??????�+Δ�=??????⋅��+Δ�,Δ�>0
⇒Δ??????(�)=??????(�+Δ�)−??????(�)
0
C M(t)=Cr(t)
✓ Consideriamo la generica legge capitalizzazione ad una variabile r(t)
✓Assegnato un capitale C, l’interesse che risulta prodotto in un periodo infinitesimale di
tempo, tra t e t+∆t è dato dalla differenza fra i montanti calcolati nei due periodi:
la differenza è l’interesse prodotto nel periodo ∆t
14
t t+∆t
??????�=??????⋅��
??????�+Δ�=??????⋅��+Δ�,Δ�>0
⇒Δ??????(�)=??????(�+Δ�)−??????(�)
0
C M(t)=Cr(t)
dove abbiamo supposto che la funzione r(t) è derivabile in t
15
Δ??????�=??????�+Δ�−??????�
⇒ ��,�+Δ�=
??????(�+Δ�)−??????(�)
??????(�)
���������� �ℎ� �(�)=
�(�)
??????
⇒ ��,�+Δ�=
�(�+Δ�)−�(�)
�(�)
���������� �ℎ� ??????=??????∙�(�)
Si definisce INTENSITÀ DI INTERESSE il rapporto:
??????�,�+Δ�
Δ�
=
�(�+Δ�)−�(�)
Δ�
∙
1
�(�)
Si definisce FORZA DI INTERESSE o tasso/intensità istantaneo/a di interesse
il limite per Δ�→0 dell’intensità di interesse:
??????�=���
Δ�→0
??????�,�+Δ�
Δ�
=���
Δ�→0
�(�+Δ�)−�(�)
Δ�
∙
1
��
=
�′(�)
��
15
Δ??????�=??????�+Δ�−??????�
⇒ ��,�+Δ�=
??????(�+Δ�)−??????(�)
??????(�)
���������� �ℎ� �(�)=
�(�)
??????
⇒ ��,�+Δ�=
�(�+Δ�)−�(�)
�(�)
���������� �ℎ� ??????=??????∙�(�)
Si definisce INTENSITÀ DI INTERESSE il rapporto:
??????�,�+Δ�
Δ�
=
�(�+Δ�)−�(�)
Δ�
∙
1
�(�)
Si definisce FORZA DI INTERESSE o tasso/intensità istantaneo/a di interesse
il limite per Δ�→0 dell’intensità di interesse:
??????�=���
Δ�→0
??????�,�+Δ�
Δ�
=���
Δ�→0
�(�+Δ�)−�(�)
Δ�
∙
1
��
=
�′(�)
��
Osserviamo che la forza d’interesse è la derivata logaritmica della legge di
capitalizzazione:
??????(�)=
�
′
�
��
=
�
��
log�(�)⇒න
0
�
??????���=log��
0
�
=log[�(�)]
Usando gli esponenziali: �
log�(�)
=�
0
�
??????(�)��
⇒�(�)=�
??????
�
??????(�)��
Quindi nota la forza d’interesse possiamo risalire alla legge di capitalizzazione
16
capitalizzazione:
??????(�)=
�
′
�
��
=
�
��
log�(�)⇒න
0
�
??????���=log��
0
�
=log[�(�)]
Usando gli esponenziali: �
log�(�)
=�
0
�
??????(�)��
⇒�(�)=�
??????
�
??????(�)��
Quindi nota la forza d’interesse possiamo risalire alla legge di capitalizzazione
16
Forza di interesse nei principali regimi finanziari
Notiamo che nell’interesse semplice la forza di interesse è una funzione
decrescente, nella capitalizzazione iperbolica una funzione crescente, mentre
nella legge dell’ interesse composto la forza d’interesse è una costante
17
�(�)
1+�⋅�
1
1−�⋅�
(1+�)
�
Interesse semplice
Sconto commerciale
Interesse composto
??????(�)=
�
1+�⋅�
??????(�)=
�
1−�⋅�
??????(�)=log(1+�)
Notiamo che nell’interesse semplice la forza di interesse è una funzione
decrescente, nella capitalizzazione iperbolica una funzione crescente, mentre
nella legge dell’ interesse composto la forza d’interesse è una costante
17
�(�)
1+�⋅�
1
1−�⋅�
(1+�)
�
Interesse semplice
Sconto commerciale
Interesse composto
??????(�)=
�
1+�⋅�
??????(�)=
�
1−�⋅�
??????(�)=log(1+�)
Esempi
•Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è ??????(�)=0,055
2�
1+�
2
, dedurne il
fattore di capitalizzazione.
La legge di capitalizzazione è �(�)=�
0
�
??????(�)��
18
න
0
�
??????(�)��=න
0
�
0,055
2�
1+�
2
��=0,055⋅න
0
�
2�
1+�
2
��=0,055⋅log1+�
2
0
�
=0,055⋅log1+�
2
−log1=log1+�
20,055
�(�)=�
0
�
??????(�)��
=�
log1+�
2
0,055
=1+�
20,055
•Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è ??????(�)=0,055
2�
1+�
2
, dedurne il
fattore di capitalizzazione.
La legge di capitalizzazione è �(�)=�
0
�
??????(�)��
18
න
0
�
??????(�)��=න
0
�
0,055
2�
1+�
2
��=0,055⋅න
0
�
2�
1+�
2
��=0,055⋅log1+�
2
0
�
=0,055⋅log1+�
2
−log1=log1+�
20,055
�(�)=�
0
�
??????(�)��
=�
log1+�
2
0,055
=1+�
20,055
Calcoliamo prima l’integrale che ci permette di risalire alla legge di capitalizzazione e quindi il
montante:
19
න
0
�
�
1+�
��=�⋅න
0
�
1
1+�
��=�⋅log�+1
0
�
=�⋅log(�+1)−log1=�⋅log(�+1)
�(�)=�
??????⋅log(�+1)
??????(�)=??????⋅�(�)=100⋅�
??????⋅log(�+1)
=100⋅�
0,05⋅log4
=107,177
•Data la forza d’interesse ??????(t)=�/(�+1), calcolare il montante di 100 dopo tre periodi se
il tasso di rendimento i è il 5%.
La legge di capitalizzazione è �(�)=�
0
�
??????(�)��
montante:
19
න
0
�
�
1+�
��=�⋅න
0
�
1
1+�
��=�⋅log�+1
0
�
=�⋅log(�+1)−log1=�⋅log(�+1)
�(�)=�
??????⋅log(�+1)
??????(�)=??????⋅�(�)=100⋅�
??????⋅log(�+1)
=100⋅�
0,05⋅log4
=107,177
•Data la forza d’interesse ??????(t)=�/(�+1), calcolare il montante di 100 dopo tre periodi se
il tasso di rendimento i è il 5%.
La legge di capitalizzazione è �(�)=�
0
�
??????(�)��
Proprietà della legge esponenziale
Proprietà di scindibilità
20
Una legge di capitalizzazione si dice “scindibile” se il montante ottenuto da un
capitale C all’epoca t
1+ t
2 al tasso i è uguale al montante ottenuto dallo stesso
capitale C all’epoca t
1 al tasso i, capitalizzato ulteriormente fino all’epoca t
2
0 t
1 t
1+t
2
C
M
1 M
2
0 t
1+t
2
C
M
��
0,�
2=��
0,�
1∙��
1,�
2, ��� �
0<�
1<�
1
Proprietà di scindibilità
20
Una legge di capitalizzazione si dice “scindibile” se il montante ottenuto da un
capitale C all’epoca t
1+ t
2 al tasso i è uguale al montante ottenuto dallo stesso
capitale C all’epoca t
1 al tasso i, capitalizzato ulteriormente fino all’epoca t
2
0 t
1 t
1+t
2
C
M
1 M
2
0 t
1+t
2
C
M
��
0,�
2=��
0,�
1∙��
1,�
2, ��� �
0<�
1<�
1
❖ In generale una legge di capitalizzazione è scindibile se il montante dipende solo dalla durata e
non da eventuali operazioni di capitalizzazione (investimento o disinvestimento) intermedie
❖ Date 3 epoche �,�,�:�<�<�⇒�(�,�)=�(�,�)⋅�(�,�) (opp. ??????(�,�)=??????(�,�)⋅??????(�,�))
❖ Significa che se capitalizzo in un unico tempo o spezzo l’operazione il risultato non cambia
❖ Consideriamo il regime esponenziale e calcoliamo sia il montante M, ottenuto capitalizzando C
per il tempo t
1 e capitalizzando il risultato per il tempo t
2, sia il montante M
2 ottenuto
capitalizzando C per il tempo t
1+t
2:
??????=??????⋅1+�
�
1⋅1+�
�
2=??????⋅1+�
�
1+�
2
??????
2=??????⋅1+�
�1+�2
⇒??????=??????
2
Il regime esponenziale è scindibile
OSS. Si può derivare la scindibilità anche direttamente dalla definizione:
��,�⋅��,�=�
??????�−�
⋅�
??????�−�
=�
??????�−�
=�(�,�)
21
non da eventuali operazioni di capitalizzazione (investimento o disinvestimento) intermedie
❖ Date 3 epoche �,�,�:�<�<�⇒�(�,�)=�(�,�)⋅�(�,�) (opp. ??????(�,�)=??????(�,�)⋅??????(�,�))
❖ Significa che se capitalizzo in un unico tempo o spezzo l’operazione il risultato non cambia
❖ Consideriamo il regime esponenziale e calcoliamo sia il montante M, ottenuto capitalizzando C
per il tempo t
1 e capitalizzando il risultato per il tempo t
2, sia il montante M
2 ottenuto
capitalizzando C per il tempo t
1+t
2:
??????=??????⋅1+�
�
1⋅1+�
�
2=??????⋅1+�
�
1+�
2
??????
2=??????⋅1+�
�1+�2
⇒??????=??????
2
Il regime esponenziale è scindibile
OSS. Si può derivare la scindibilità anche direttamente dalla definizione:
��,�⋅��,�=�
??????�−�
⋅�
??????�−�
=�
??????�−�
=�(�,�)
21
Legame tra scindibilità e forza di interesse
Teorema per le leggi ad un tempo
22
Condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge di capitalizzazione sia scindibile
è che la sua forza d’interesse sia una costante (è indipendente da t)
Interesse semplice
Sconto commerciale
Interesse composto()
1
i
t
it
=
+ ()log(1)ti=+ ()
1
d
t
dt
=
−
È una costante infatti
è scindibile
Teorema per le leggi ad un tempo
22
Condizione necessaria e sufficiente affinchè una legge di capitalizzazione sia scindibile
è che la sua forza d’interesse sia una costante (è indipendente da t)
Interesse semplice
Sconto commerciale
Interesse composto()
1
i
t
it
=
+ ()log(1)ti=+ ()
1
d
t
dt
=
−
È una costante infatti
è scindibile
Forza d’interesse nel caso di due tempi
Considerando x fisso e incrementando y:
Il procedimento è analogo al caso di funzioni ad una variabile con le opportune
modifiche considerando il fatto che stiamo trattando funzioni a 2 variabili
Δ??????�,�=??????�,�+��−??????�,�=??????��,�+��−��,�
⇒��,�=
��,�+��−��,�
�(�,�)
⇒
��,�
��
=
��,�+��−��,�
��
∙
1
�(�,�)
??????�,�=���
��→0
��,�+��−��,�
��
∙
1
��,�
=
1
��,�
∙
??????��,�
??????�
23
Considerando x fisso e incrementando y:
Il procedimento è analogo al caso di funzioni ad una variabile con le opportune
modifiche considerando il fatto che stiamo trattando funzioni a 2 variabili
Δ??????�,�=??????�,�+��−??????�,�=??????��,�+��−��,�
⇒��,�=
��,�+��−��,�
�(�,�)
⇒
��,�
��
=
��,�+��−��,�
��
∙
1
�(�,�)
??????�,�=���
��→0
��,�+��−��,�
��
∙
1
��,�
=
1
��,�
∙
??????��,�
??????�
23
❖ In analogia al caso di un solo tempo, nota la forza di interesse, si ricava la
legge di capitalizzazione �(�,�):
dove si è fatto uso della condizione log��,�=log1=0
❖ Si ottiene, quindi:
??????�,�=
1
��,�
∙
??????��,�
??????�
=
??????log��,�
??????�
⇒log��,�=න
�
�
??????�,���
�(�,�)=�
�
�
??????(�,�)��
24
legge di capitalizzazione �(�,�):
dove si è fatto uso della condizione log��,�=log1=0
❖ Si ottiene, quindi:
??????�,�=
1
��,�
∙
??????��,�
??????�
=
??????log��,�
??????�
⇒log��,�=න
�
�
??????�,���
�(�,�)=�
�
�
??????(�,�)��
24
✓ Notiamo che nel RIS e nel RIA dipende da x mentre nel RIC è costante
✓ Vale la seguente condizione necessaria e sufficiente:
25
�(�,�)
1+�⋅(�−�)
1
1−�⋅(�−�)
(1+�)
�−�
=�
??????(�−�)
RIS
RIA
RIC
??????(�,�)=
�
1+�⋅(�−�)
??????�,�=
�
1−�⋅(�−�)
??????(�,�)=log(1+�)=??????
Un regime �(�,�) è scindibile ⇔ la forza di interesse ??????(�,�) è indipendente da �
✓ Vale la seguente condizione necessaria e sufficiente:
25
�(�,�)
1+�⋅(�−�)
1
1−�⋅(�−�)
(1+�)
�−�
=�
??????(�−�)
RIS
RIA
RIC
??????(�,�)=
�
1+�⋅(�−�)
??????�,�=
�
1−�⋅(�−�)
??????(�,�)=log(1+�)=??????
Un regime �(�,�) è scindibile ⇔ la forza di interesse ??????(�,�) è indipendente da �
Definizioni fondamentali: operazioni finanziarie
➢ Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive
date di esigibilità
➢ Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante
una coppia di vettori ad n componenti reali x/t dove x = {x
0,…,x
n} rappresenta il vettoredei
pagamenti (e/o incassi); e t = {t
0,…,t
n} rappresenta le scadenze, ordinate in senso crescente
➢Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli daipagamentiveri e propri
usando il segno algebricoopposto
➢Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie x’/t’e x”/t”come quella operazione
finanziaria x/tottenuta con lo scadenzariounionet=t’ U t” e sommando algebricamentei pagamenti
che cadono alle stessedate
Ad esempio:
Sommandox’/t’= {-95,100}/{0,1} con x”/t”={100,-3,-103}/ {0,1/2,1} si ottiene x/t= {5,-3,-3} / {0,1/2,1}
26
➢ Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive
date di esigibilità
➢ Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante
una coppia di vettori ad n componenti reali x/t dove x = {x
0,…,x
n} rappresenta il vettoredei
pagamenti (e/o incassi); e t = {t
0,…,t
n} rappresenta le scadenze, ordinate in senso crescente
➢Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli daipagamentiveri e propri
usando il segno algebricoopposto
➢Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie x’/t’e x”/t”come quella operazione
finanziaria x/tottenuta con lo scadenzariounionet=t’ U t” e sommando algebricamentei pagamenti
che cadono alle stessedate
Ad esempio:
Sommandox’/t’= {-95,100}/{0,1} con x”/t”={100,-3,-103}/ {0,1/2,1} si ottiene x/t= {5,-3,-3} / {0,1/2,1}
26
Valore di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale
Consideriamo un’operazione finanziaria x/t={x
1, x
2,…, x
n}/ {t
1,t
2,…, t
n} e valutiamo, secondo la
leggeesponenzialecon intensità assegnata, il valore attuale riferito all’istante t=0
dell’importogenericox
k:
??????0,�
??????=�
??????⋅�
−??????⋅�
??????�=1,2,…,� �
−??????�
=(1+�)
−�
Definiamoil valore attuale dell’operazione finanziariax, la somma dei valori attuali di ogni
singolo flusso:
??????(0,�)=
??????=1
�
??????0,�
??????=
??????=1
�
�
??????⋅�
−??????⋅�
??????
o anche:
??????(0,�)=
??????=1
�
�
??????⋅1+�
−�
??????
27
Consideriamo un’operazione finanziaria x/t={x
1, x
2,…, x
n}/ {t
1,t
2,…, t
n} e valutiamo, secondo la
leggeesponenzialecon intensità assegnata, il valore attuale riferito all’istante t=0
dell’importogenericox
k:
??????0,�
??????=�
??????⋅�
−??????⋅�
??????�=1,2,…,� �
−??????�
=(1+�)
−�
Definiamoil valore attuale dell’operazione finanziariax, la somma dei valori attuali di ogni
singolo flusso:
??????(0,�)=
??????=1
�
??????0,�
??????=
??????=1
�
�
??????⋅�
−??????⋅�
??????
o anche:
??????(0,�)=
??????=1
�
�
??????⋅1+�
−�
??????
27
➢Considerandoun istante generico t>0 possiamocapitalizzareil valore attuale A(0,x) da 0 a t
medianteil fattore �
??????⋅�
:
??????(�,�)=??????0,�⋅�
??????⋅�
per ottenere il valore, non più attuale ma in t, di x
➢ Sostituendo in quest’ultima uguaglianza la definizione di valore attuale si ottiene:
??????(�,�)=
??????=1
�
�
??????⋅�
??????⋅�−�
??????=
??????=1
�
�
??????⋅(1+�)
�−�
??????
x
n
t
1 t
n
x
2…
0 t
2…
x
1
28
medianteil fattore �
??????⋅�
:
??????(�,�)=??????0,�⋅�
??????⋅�
per ottenere il valore, non più attuale ma in t, di x
➢ Sostituendo in quest’ultima uguaglianza la definizione di valore attuale si ottiene:
??????(�,�)=
??????=1
�
�
??????⋅�
??????⋅�−�
??????=
??????=1
�
�
??????⋅(1+�)
�−�
??????
x
n
t
1 t
n
x
2…
0 t
2…
x
1
28
Operazioni finanziarie eque
❖Un’operazione finanziaria x si dice EQUA al tempo t, conformemente alla legge
esponenziale adottata, se M(t,x) = 0
❖Il significato di equità dipende, quindi, dalla legge esponenziale adottata e, a
priori, dall’istante t; intuitivamente possiamo dire che un’operazione non può
essere equa se ogni elemento x
k è positivo o negativo
❖Deve esistere almeno un importo x
k che presenta un segno diverso dagli altri
importi
29
❖Un’operazione finanziaria x si dice EQUA al tempo t, conformemente alla legge
esponenziale adottata, se M(t,x) = 0
❖Il significato di equità dipende, quindi, dalla legge esponenziale adottata e, a
priori, dall’istante t; intuitivamente possiamo dire che un’operazione non può
essere equa se ogni elemento x
k è positivo o negativo
❖Deve esistere almeno un importo x
k che presenta un segno diverso dagli altri
importi
29
Esempio
A titolo di esempio, costruiamo una operazione equa
partendo dall’operazione:
x/t={3 ; 103} / {0,25 ; 0,75}
secondo la legge esponenziale il cui tasso annuo è i=5%
30
3 103
0,250,750
x
t
✓Calcoliamo il valore attuale A(0,x):
A(0,x) = 3 1,05
-0,25
+ 103 1,05
-0,75
= 2,9636 + 99,2991 =102,2627
✓“Costruiamo” appositamente l’operazione equa, aggiungendo all’operazione data proprio il
valore attuale trovato:
{-102,2627 ; 3 ; 103} / {0 ; 0,25 ; 0,75}
A titolo di esempio, costruiamo una operazione equa
partendo dall’operazione:
x/t={3 ; 103} / {0,25 ; 0,75}
secondo la legge esponenziale il cui tasso annuo è i=5%
30
3 103
0,250,750
x
t
✓Calcoliamo il valore attuale A(0,x):
A(0,x) = 3 1,05
-0,25
+ 103 1,05
-0,75
= 2,9636 + 99,2991 =102,2627
✓“Costruiamo” appositamente l’operazione equa, aggiungendo all’operazione data proprio il
valore attuale trovato:
{-102,2627 ; 3 ; 103} / {0 ; 0,25 ; 0,75}
Proprietà funzionali della legge esponenziale
Per la legge di capitalizzazione esponenziale valgono le seguenti proprietà funzionali:
1 – Proprietà invariantiva
✓Sostanzialmente esprime che l’equità non cambia se cambiamo l’istante t di
osservazione
✓Ciò si dimostra semplicemente riconducendo il valore M(t’,x) al prodotto di M(t,x)
(pari a zero) moltiplicato una costante positiva
Se un’operazione finanziaria è equa all’istante t secondo una
assegnata legge esponenziale, lo è in qualsiasi altro istante
31
Per la legge di capitalizzazione esponenziale valgono le seguenti proprietà funzionali:
1 – Proprietà invariantiva
✓Sostanzialmente esprime che l’equità non cambia se cambiamo l’istante t di
osservazione
✓Ciò si dimostra semplicemente riconducendo il valore M(t’,x) al prodotto di M(t,x)
(pari a zero) moltiplicato una costante positiva
Se un’operazione finanziaria è equa all’istante t secondo una
assegnata legge esponenziale, lo è in qualsiasi altro istante
31
2 – Proprietà additiva
✓È intuitivamente semplice, si dimostra sfruttando la proprietà additiva delle sommatorie
3 – Proprietà di uniformità nel tempo
32
Se due operazioni finanziarie sono eque in un medesimo istante,
secondo la stessa legge esponenziale, anche l’operazione
finanziaria somma è equa allo stesso istante
La somma di due operazioni eque in due istanti diversi secondo
una medesima legge esponenziale, è un’operazione equa, secondo la
stessa legge, in un qualsiasi istante
✓È intuitivamente semplice, si dimostra sfruttando la proprietà additiva delle sommatorie
3 – Proprietà di uniformità nel tempo
32
Se due operazioni finanziarie sono eque in un medesimo istante,
secondo la stessa legge esponenziale, anche l’operazione
finanziaria somma è equa allo stesso istante
La somma di due operazioni eque in due istanti diversi secondo
una medesima legge esponenziale, è un’operazione equa, secondo la
stessa legge, in un qualsiasi istante
Scomposizione di operazioni finanziarie
✓Può risultare comodo scomporre un’operazione finanziaria x/t nella somma di due o più
operazioni finanziarie più semplici: ad esempio si possono separare gli importi x
k positivi da
quelli negativi ed ottenere rispettivamente un’operazione degli incassi y/t ed un’operazione dei
pagamenti in senso stretto z/t
✓Nell’ipotesi in cui la x/t sia equa si dovrà avere:
in quanto ??????�,�=??????�,�+??????�,�=0
33
??????�,�=−??????(�,�)
✓Può risultare comodo scomporre un’operazione finanziaria x/t nella somma di due o più
operazioni finanziarie più semplici: ad esempio si possono separare gli importi x
k positivi da
quelli negativi ed ottenere rispettivamente un’operazione degli incassi y/t ed un’operazione dei
pagamenti in senso stretto z/t
✓Nell’ipotesi in cui la x/t sia equa si dovrà avere:
in quanto ??????�,�=??????�,�+??????�,�=0
33
??????�,�=−??????(�,�)
Esempio
Scomponiamo la seguente operazione finanziaria, equa conformemente alla legge esponenziale
al tasso annuo i=4%
x/t= {-10,577; 11 ; -99; 102,96} / {0 ; 1 ; 2 ; 3}
❖Gli incassi sono rappresentati dal vettore: y/t={0;11;0;102,96}/{0;1;2;3}
❖Mentre i pagamenti sono rappresentati dal vettore: z/t={-10,577;0;-99;0}/{0;1;2;3}
❖Calcoliamo ivaloriin t=0:
A(0,y)=111,04
-1
+ 102,961,04
-3
=10,577 + 91,531 = 102,108
A(0,z)=-10,577 -991,04
-2
= -10,577 -91,531= -102,108
❖Ovviamente, per l’equità ipotizzata, A(0,y)= -A(0,z)
34
Scomponiamo la seguente operazione finanziaria, equa conformemente alla legge esponenziale
al tasso annuo i=4%
x/t= {-10,577; 11 ; -99; 102,96} / {0 ; 1 ; 2 ; 3}
❖Gli incassi sono rappresentati dal vettore: y/t={0;11;0;102,96}/{0;1;2;3}
❖Mentre i pagamenti sono rappresentati dal vettore: z/t={-10,577;0;-99;0}/{0;1;2;3}
❖Calcoliamo ivaloriin t=0:
A(0,y)=111,04
-1
+ 102,961,04
-3
=10,577 + 91,531 = 102,108
A(0,z)=-10,577 -991,04
-2
= -10,577 -91,531= -102,108
❖Ovviamente, per l’equità ipotizzata, A(0,y)= -A(0,z)
34
Un altro modo di scomporre un’operazione finanziaria è considerare gli importi fino ad un
istante t separati da quelli successivi, in modo che:
??????�,�=??????
′
�,�+??????(�,�)
avendo chiamato “montante in t dell’operazione” la quantità:
ed avendo chiamato “valore residuo in t” la quantità:
35
??????′�,�=
??????/�
??????<�
�
??????⋅�
??????⋅�−�
??????
??????�,�=
??????/�
??????>�
�
??????⋅�
−??????⋅�
??????−�
istante t separati da quelli successivi, in modo che:
??????�,�=??????
′
�,�+??????(�,�)
avendo chiamato “montante in t dell’operazione” la quantità:
ed avendo chiamato “valore residuo in t” la quantità:
35
??????′�,�=
??????/�
??????<�
�
??????⋅�
??????⋅�−�
??????
??????�,�=
??????/�
??????>�
�
??????⋅�
−??????⋅�
??????−�
✓ Il valore M’ è chiaramente la somma in t dei montanti di tutti gli importi x
k fino a t,
così come il valore V è la somma dei valori attuali in t degli importi successivi a t
✓ Nell’ipotesi in cui x/t sia equa, in qualunque istante t deve essere: M’(t,x)=-V(t,x)
✓ Infatti M(t,x)=M’(t,x)+V(t,x)=0 e dalla seconda uguaglianza si ottiene la tesi
36
0 t
1 t
V
M
t
2 t
n
k fino a t,
così come il valore V è la somma dei valori attuali in t degli importi successivi a t
✓ Nell’ipotesi in cui x/t sia equa, in qualunque istante t deve essere: M’(t,x)=-V(t,x)
✓ Infatti M(t,x)=M’(t,x)+V(t,x)=0 e dalla seconda uguaglianza si ottiene la tesi
36
0 t
1 t
V
M
t
2 t
n
Esempio
Calcoliamo il montante ed il valore residuo in t=1 dell’operazione finanziaria
x/t={-100;2;2;2;102}/{0;0,5;1;1,5;2} valutatasecondo la legge esponenziale di intensità =0,04
▪??????
′
1,�=−100�
0,04∙1
+2�
0,04∙0,5
+2=−104,08108+2,04040+2=−100,04068
▪??????1,�=2�
−0,04∙0,5
+102�
−0,04∙1
=99,9609
▪Il montante non è uguale al valore residuo in t=1, in quanto manca l’ipotesi di equità
▪Al contrario, consideriamo l’intensità =0,0396 che rende x/t equa. Tale intensità corrisponde ad
un tasso annuo i=0,0404 oppure ad un tasso semestrale equivalente del 2%:
??????
′
1,�=−100�
0,0396∙1
+2�
0,0396∙0,5
+2=−104,04+2,04+2=−100
??????1,�=2�
−0,0396∙0,5
+102�
−0,0396∙1
=100
37
Calcoliamo il montante ed il valore residuo in t=1 dell’operazione finanziaria
x/t={-100;2;2;2;102}/{0;0,5;1;1,5;2} valutatasecondo la legge esponenziale di intensità =0,04
▪??????
′
1,�=−100�
0,04∙1
+2�
0,04∙0,5
+2=−104,08108+2,04040+2=−100,04068
▪??????1,�=2�
−0,04∙0,5
+102�
−0,04∙1
=99,9609
▪Il montante non è uguale al valore residuo in t=1, in quanto manca l’ipotesi di equità
▪Al contrario, consideriamo l’intensità =0,0396 che rende x/t equa. Tale intensità corrisponde ad
un tasso annuo i=0,0404 oppure ad un tasso semestrale equivalente del 2%:
??????
′
1,�=−100�
0,0396∙1
+2�
0,0396∙0,5
+2=−104,04+2,04+2=−100
??????1,�=2�
−0,0396∙0,5
+102�
−0,0396∙1
=100
37
La legge esponenziale
Proprietà funzionali
Proprietà invariantiva
Proprietà additiva
Proprietà dell’uniformità
Proprietà di scindibilità
Il regime
finanziario
dell’interesse
composto è
scindibile
Il regime
finanziario dello
sconto
commerciale non è
scindibile
Il regime
finanziario
dell’interesse
semplice
non è scindibile
Teorema per le leggi a una
variabile
Condizione necessaria
e sufficiente affinchè una legge di
capitalizzazione sia scindibile è che la
sua forza d’interesse sia una costante,
ossia non dipenda da t
Ha una forza
d’interesse
costante
38
Proprietà funzionali
Proprietà invariantiva
Proprietà additiva
Proprietà dell’uniformità
Proprietà di scindibilità
Il regime
finanziario
dell’interesse
composto è
scindibile
Il regime
finanziario dello
sconto
commerciale non è
scindibile
Il regime
finanziario
dell’interesse
semplice
non è scindibile
Teorema per le leggi a una
variabile
Condizione necessaria
e sufficiente affinchè una legge di
capitalizzazione sia scindibile è che la
sua forza d’interesse sia una costante,
ossia non dipenda da t
Ha una forza
d’interesse
costante
38
ESERCIZI
•Investite 2.500 euro per due anni al tasso del 10% nominale pagabile due volte l’anno. Quale
montante ricavate al termine, se ogni disponibilità ulteriore vi rende il 3% quadrimestrale?
�(2)=0,1→�
1/2=0,05→ INTERESSE STACCATO OGNI SEMESTRE = 2.500⋅0,05=125
Le prime 3 rate vengono capitalizzate al tasso �
1/3=0,03→(1+0,03)
3
=1+�→�=0,092727
4 rate da 125 => 500 di interessi,
Inoltre ogni rata produce interessi
Montante delle prime 3 rate:
??????=125⋅(1,093
3/2
+1,093
1
+1,093
1/2
)=410,04
�=−3⋅125+410,04=35,04,�
���=535,04,??????=2.500+535,04=3.035,04
39
t=0 t=6 m t=12 m t=18 m t=24 m
C=2500 125125 125125
i = 9,3%
•Investite 2.500 euro per due anni al tasso del 10% nominale pagabile due volte l’anno. Quale
montante ricavate al termine, se ogni disponibilità ulteriore vi rende il 3% quadrimestrale?
�(2)=0,1→�
1/2=0,05→ INTERESSE STACCATO OGNI SEMESTRE = 2.500⋅0,05=125
Le prime 3 rate vengono capitalizzate al tasso �
1/3=0,03→(1+0,03)
3
=1+�→�=0,092727
4 rate da 125 => 500 di interessi,
Inoltre ogni rata produce interessi
Montante delle prime 3 rate:
??????=125⋅(1,093
3/2
+1,093
1
+1,093
1/2
)=410,04
�=−3⋅125+410,04=35,04,�
���=535,04,??????=2.500+535,04=3.035,04
39
t=0 t=6 m t=12 m t=18 m t=24 m
C=2500 125125 125125
i = 9,3%
•Se il tasso annuo d’interesse è il 10,50% trovare il montante, in capitalizzazione mista, di una
somma di 8.000 euro giacente in un deposito bancario dal 15 ottobre 1984 al 6 aprile 1987
40
Capitalizzazione mista: regime interesse semplice all’interno
dell’anno; regime dell’interesse composto per anni interi
Capitalizzazione mista, i = 0,105; C = 8.000
(1) 15 ott. 84 → 31 dic. 84, interesse semplice: �
1(�)=1+0,105⋅(77/365)
(2) 2 anni, interesse composto: �
2(�)=1,105
2
(3) 1 gen. 87 → 6 apr. 87, interesse semplice: �
3(�)=1+0,105⋅(96/365)
??????=8.000⋅�
1⋅�
2⋅�
3=10.260,31
somma di 8.000 euro giacente in un deposito bancario dal 15 ottobre 1984 al 6 aprile 1987
40
Capitalizzazione mista: regime interesse semplice all’interno
dell’anno; regime dell’interesse composto per anni interi
Capitalizzazione mista, i = 0,105; C = 8.000
(1) 15 ott. 84 → 31 dic. 84, interesse semplice: �
1(�)=1+0,105⋅(77/365)
(2) 2 anni, interesse composto: �
2(�)=1,105
2
(3) 1 gen. 87 → 6 apr. 87, interesse semplice: �
3(�)=1+0,105⋅(96/365)
??????=8.000⋅�
1⋅�
2⋅�
3=10.260,31
•Verificare se le seguenti leggi finanziarie sono scindibili:
���,�=1+�⋅1−�
�−�
(�)�(�,�)=1+�⋅log(1+�−�)
(�)�(�,�)=�
0,5∙(�
2
−�
2
)
41
(�)??????=
??????
??????�
log1+�⋅1−�
�−�
=
??????⋅�
�−�
1+??????−??????⋅�
�−�
No
(�)??????=
??????
??????�
log1+�⋅log(1+�−�)=
�
1+�⋅log(1+�−�)
⋅
1
1+�−�
No
(�)??????=
??????
??????�
log�
1
2
�
2
−�
2
=
??????
??????�
1
2
�
2
−�
2
=�Si
���,�=1+�⋅1−�
�−�
(�)�(�,�)=1+�⋅log(1+�−�)
(�)�(�,�)=�
0,5∙(�
2
−�
2
)
41
(�)??????=
??????
??????�
log1+�⋅1−�
�−�
=
??????⋅�
�−�
1+??????−??????⋅�
�−�
No
(�)??????=
??????
??????�
log1+�⋅log(1+�−�)=
�
1+�⋅log(1+�−�)
⋅
1
1+�−�
No
(�)??????=
??????
??????�
log�
1
2
�
2
−�
2
=
??????
??????�
1
2
�
2
−�
2
=�Si
•Calcolare il montante che si produce in un anno e due mesi investendo un capitale di 1.250 se:
42
(�)??????(�)=0,1(�:anni); (�)??????(�)=0,1(�:semestri) ;
(�)??????(�)=0,08(primoanno) e ??????(�)=0,12(successivamente,�:anni);
(�)??????(�)=1−exp(−�)(�:anni)
??????=?�=7/6??????=1.250 ??????(�)=??????⋅�
0
�
??????(�)��
(�)??????(�)=0,1 →??????=1.250⋅�
0,1⋅7/6
=1.404,68
(�)??????(�)=0,1 →??????=1.250⋅�
0,1⋅(7/6)⋅2
=1.578,50
(�)??????(�)=0,08;??????(�)=0,12 →??????=1.250⋅�
(0,08+0,12⋅1/6)
=1.381,46
(�)??????(�)=1−�
−�
→??????=1.250⋅�
0
7/6
1−�
−�
��
=1.250⋅�
�+�
−�
0
7/6
=1.250⋅�
0,4781
=2.016,20
42
(�)??????(�)=0,1(�:anni); (�)??????(�)=0,1(�:semestri) ;
(�)??????(�)=0,08(primoanno) e ??????(�)=0,12(successivamente,�:anni);
(�)??????(�)=1−exp(−�)(�:anni)
??????=?�=7/6??????=1.250 ??????(�)=??????⋅�
0
�
??????(�)��
(�)??????(�)=0,1 →??????=1.250⋅�
0,1⋅7/6
=1.404,68
(�)??????(�)=0,1 →??????=1.250⋅�
0,1⋅(7/6)⋅2
=1.578,50
(�)??????(�)=0,08;??????(�)=0,12 →??????=1.250⋅�
(0,08+0,12⋅1/6)
=1.381,46
(�)??????(�)=1−�
−�
→??????=1.250⋅�
0
7/6
1−�
−�
��
=1.250⋅�
�+�
−�
0
7/6
=1.250⋅�
0,4781
=2.016,20
•Un’operazione finanziaria produce interessi in base ad un tasso istantaneo d’interesse pari a ??????=
0,09. Calcolare dopo quanto tempo raddoppia un capitale iniziale di 1.000.000 investito a tali
condizioni; verificare inoltre il tempo necessario alla formazione di un montante pari a 2.320.000
43
??????=??????⋅�
??????⋅�
⇒2=�
??????⋅�
⇒�=
log2
??????
=7,7016
??????=2.320.000
⇒
??????
??????
=�
??????⋅�
⇒�=
log
??????
??????
??????
=
log
2.320.000
1.000.000
0,09
=9,3507
0,09. Calcolare dopo quanto tempo raddoppia un capitale iniziale di 1.000.000 investito a tali
condizioni; verificare inoltre il tempo necessario alla formazione di un montante pari a 2.320.000
43
??????=??????⋅�
??????⋅�
⇒2=�
??????⋅�
⇒�=
log2
??????
=7,7016
??????=2.320.000
⇒
??????
??????
=�
??????⋅�
⇒�=
log
??????
??????
??????
=
log
2.320.000
1.000.000
0,09
=9,3507
•Assegnata la forza d’interesse ??????(�)=0,4+0,05⋅�
�
→ calcolare il montante prodotto in un anno e due mesi da un capitale iniziale di 1.250.000 euro
44
??????(�)=??????⋅�
0
�
??????(�)��
=1.250.000⋅�
0
14/12
??????(�)��
න
0
14/12
??????(�)��=න
0
14/12
(0,4+0,05⋅�
�
)��=0,4⋅�+0,05⋅�
�
0
14/12
=0,4⋅
14
12
+0,05⋅�
14/12
−0,05=0,577→�
0,577
=1,781
⇒??????=1.250.000⋅1,781=2.226.372,87
�
→ calcolare il montante prodotto in un anno e due mesi da un capitale iniziale di 1.250.000 euro
44
??????(�)=??????⋅�
0
�
??????(�)��
=1.250.000⋅�
0
14/12
??????(�)��
න
0
14/12
??????(�)��=න
0
14/12
(0,4+0,05⋅�
�
)��=0,4⋅�+0,05⋅�
�
0
14/12
=0,4⋅
14
12
+0,05⋅�
14/12
−0,05=0,577→�
0,577
=1,781
⇒??????=1.250.000⋅1,781=2.226.372,87
•Data la forza d’interesse ??????(�)=
2??????
1+2??????⋅�
esplicitare la formula della legge di capitalizzazione
45
??????(�)=??????⋅�(�)=??????⋅�
0
�
??????(�)��
න
0
�
??????(�)��=න
0
�
2�
1+2�⋅�
��=2�⋅න
0
�
��
1+2�⋅�
=log|1+2�⋅�|
0
�
=log(1+2�⋅�)
⇒�(�)=1+2�⋅�
2??????
1+2??????⋅�
esplicitare la formula della legge di capitalizzazione
45
??????(�)=??????⋅�(�)=??????⋅�
0
�
??????(�)��
න
0
�
??????(�)��=න
0
�
2�
1+2�⋅�
��=2�⋅න
0
�
��
1+2�⋅�
=log|1+2�⋅�|
0
�
=log(1+2�⋅�)
⇒�(�)=1+2�⋅�
•Data la seguente forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse) ??????(�)=�, calcolare il
montante di 100 dopo tre anni se il tasso i è pari al 6%
46
??????(�)=??????⋅�(�), �(�)=�
0
�
??????(�)��
න
0
3
0,06��=0,18⇒�
0,18
=1,1972
⇒??????=100⋅1,1972=119,72
montante di 100 dopo tre anni se il tasso i è pari al 6%
46
??????(�)=??????⋅�(�), �(�)=�
0
�
??????(�)��
න
0
3
0,06��=0,18⇒�
0,18
=1,1972
⇒??????=100⋅1,1972=119,72
•Data la seguente forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse) ??????(�)=log(1+�/2),
calcolare il montante di 100 dopo tre anni se il tasso i è pari al 10%
47
??????(�)=??????⋅�(�) �(�)=�
0
�
??????(�)��
??????(�)=log(1+0,05)=0,04879
න
0
3
0,04879��=0,14637⇒�
0,14637
=1,1576
⇒??????=100⋅1,1576=115,76
calcolare il montante di 100 dopo tre anni se il tasso i è pari al 10%
47
??????(�)=??????⋅�(�) �(�)=�
0
�
??????(�)��
??????(�)=log(1+0,05)=0,04879
න
0
3
0,04879��=0,14637⇒�
0,14637
=1,1576
⇒??????=100⋅1,1576=115,76
•Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è ??????(�)=�+�⋅�,
calcolare il montante di 100 dopo tre anni se �=0,02 e �=0,10
48
??????(�)=??????⋅�(�) �(�)=�
0
�
??????(�)��
න
0
3
(0,02+0,10�)��=0,02�+
0,10
2
�
2
0
3
=0,51
⇒�
0,51
=1,6653
⇒??????=100⋅1,6653=166,53
calcolare il montante di 100 dopo tre anni se �=0,02 e �=0,10
48
??????(�)=??????⋅�(�) �(�)=�
0
�
??????(�)��
න
0
3
(0,02+0,10�)��=0,02�+
0,10
2
�
2
0
3
=0,51
⇒�
0,51
=1,6653
⇒??????=100⋅1,6653=166,53
•Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è ??????(�)=0,055⋅
2�
1+�
2
dedurne il fattore di capitalizzazione
49
න
0
�
0,055⋅
2�
1+�
2
��=0,055⋅log|1+�
2
|
0
�
=
=0,055⋅log1+�
2
=log1+�
20,055
⇒�(�)=1+�
20,055
2�
1+�
2
dedurne il fattore di capitalizzazione
49
න
0
�
0,055⋅
2�
1+�
2
��=0,055⋅log|1+�
2
|
0
�
=
=0,055⋅log1+�
2
=log1+�
20,055
⇒�(�)=1+�
20,055
•Un’operazione finanziaria, a fronte di un investimento unitario consente di
ottenere all’epoca t un montante pari a
1,2⋅�+2
�+2
, calcolare la forza d’interesse
corrispondente
50
Per definizione: ??????(�)=
�′(�)
�(�)
=
�
��
log�(�)⇒??????(�)=
�
��
log
1,2⋅�+2
�+2
??????(�)=
1,2⋅(�+2)−1⋅(1,2⋅�+2)
(�+2)
2
⋅
�+2
(1,2⋅�+2)
??????(�)=
0,4
(�+2)⋅(1,2⋅�+2)
ottenere all’epoca t un montante pari a
1,2⋅�+2
�+2
, calcolare la forza d’interesse
corrispondente
50
Per definizione: ??????(�)=
�′(�)
�(�)
=
�
��
log�(�)⇒??????(�)=
�
��
log
1,2⋅�+2
�+2
??????(�)=
1,2⋅(�+2)−1⋅(1,2⋅�+2)
(�+2)
2
⋅
�+2
(1,2⋅�+2)
??????(�)=
0,4
(�+2)⋅(1,2⋅�+2)
Tags
Categories
TechnologyDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 24
- Slides 50
- Age 73 days
Related Slideshows
11
8-top-ai-courses-for-customer-support-representatives-in-2025.pptx
JeroenErne2
44 views
10
7-essential-ai-courses-for-call-center-supervisors-in-2025.pptx
JeroenErne2
45 views
13
25-essential-ai-courses-for-user-support-specialists-in-2025.pptx
JeroenErne2
36 views
11
8-essential-ai-courses-for-insurance-customer-service-representatives-in-2025.pptx
JeroenErne2
33 views
21
Know for Certain
DaveSinNM
19 views
17
PPT OPD LES 3ertt4t4tqqqe23e3e3rq2qq232.pptx
novasedanayoga46
23 views