Movimiento Relativo

Mov Relativo

1. Universidad Nacional Multidisciplinaria Ricardo Morales Aviles UNM- SEDE GRANADA INGENIERIA ELECTROMECANICA II AÑO DINAMICA Movimiento, velocidad y aceleración relativa ENTREGA : Fabrizio Eugenio Maria Sega 20/08/22

2. Hasta ahora se ha considerado, para el cálculo de superficies de nivel y de presión en un punto interior de un fluido, que éste se encontraba en reposo, o bien, que podría estar en movimiento uniforme, sin ninguna aceleración. Sin embargo, cuando el fluido se encuentra en el interior de un recipiente, sin ocuparlo en su totalidad, y por lo tanto, con completa libertad de movimiento para desplazarse por el interior del mismo, y el recipiente se mueve con un movimiento acelerado o retardado, se observa que el líquido va tomando una cierta inclinación que depende de la aceleración a que se halla sometido el sistema. Para su estudio supondremos un deposito prismático con una cierta cantidad de líquido; una partícula del mismo estará sometida a tres tipos de fuerzas, es decir, la fuerza debido a la aceleración del movimiento ,la fuerza debida a la aceleración de la gravedad y fuerza que hacer girar a los líquidos en su eje vertical

3. Establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.

4. Considérese un líquido contenido en un recipiente y que este recipiente se desplaza con una aceleración horizontal constante. En tales circunstancias la superficie libre se inclina; una partícula líquida continua en reposo con respecto a otra y con respecto a las paredes del recipiente, de modo que no hay rozamiento entre ellas y el estudio de la repartición de presiones puede hacerse con los principios hidrostáticos.

5. Se presentan tres casos do interés: aceleración horizontal constante aceleración vertical constante rotación alrededor de un eje vertical, a velocidad angular constante. 1 2 3

6. El movimiento siempre es un concepto relativo porque debe referirse a un sistema de referencia o referencial particular escogido por el observador. Puesto que diferentes observadores pueden utilizar referenciales distintos, es importante relacionar las observaciones realizadas por aquellos. Una partícula se encuentra en movimiento en un referencial si su posición con respecto a él cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partícula está en reposo en dicho referencial. A efectos prácticos, podemos distinguir dos modalidades de movimiento relativo: M o vi miento de una pa r tícula en dos r e f e r enciales di f e r entes en movimiento relativo entre sí. Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial. MOVIMIENTO RELATIVO

7. ACELERACIÓN (para el campo de la física) Es una magnitud vectorial que sirve para expresar la manera en la que un cuerpo altera la velocidad que lleva en una determinada trayectoria de manera ascendente. La aceleración está dispuesta según la física como la fuerza entre el peso (masa del cuero) y el sistema internacional de unidades dispone una para esta variable física, m/s^2. Isaac Newton, padre de la física y la mecánica en su obra nos indica que la aceleración está dispuesta por la fuerza que el objeto lleva consigo en el recorrido que describe, la aceleración se aprecia cuando la partícula experimenta un aumento de la velocidad en la misma dirección en la que va pues, si altera su curso, la aceleración no será uniforme y el caso en el que cambie la orientación este objeto desacelerara. La aceleración se relaciona con el tiempo y la para desarrollar varios tipos de esta y a su vez son variables las cuales son aplicadas en distintos campos de estudio.

8. ACELERACIÓN RELATIVA La aceleración relativa hace referencia a la que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como referencial absoluto o fijo. El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio).

9. ACELERACIÓN TRANSPORTE (arrastre) Es ta acele r ación e s l a co r r esp o ndiente a l m o v imien t o de arrastre en la composición de aceleraciones. Se produce cuando la velocidad de una partícula varía en su recorrido (con la distancia)

10. ACELERACIÓN CORIOLIS (complementaria) Esta aceleración es siempre perpendicular al eje de rotación del sistema y a la velocidad del cuerpo. El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotación tienda a acelerarse con respecto a ese disco según si el movimiento es hacia el eje de giro o alejándose de éste.

11. RESUMEN CINEMÁTICO DEL MOVIMIENTO RELATIVO Sean dos ternas, una de ellas en movimiento relativo respecto a la otra Se define un observador “parado” (fijo) en cada una de las respectivas ternas . Se ubica P referido a las dos ternas . N otar qu e e l v ector O Ω pe r mite f ijar di s t ancia relativa entre los dos observadores . Si la longitud entre dos puntos es invariante y tampoco varia el tempo observado desde cualquier de los observadores se puede escribir :

12. La terna móvil se considera un sistema rígido (por invariabilidad de longitud entre dos puntos) y suponemos que el punto P se mueve. Este movimiento se da con respecto a la terna fija y a la terna móvil. (Esto no quiere decir que el punto P se pueda estar fijo en alguna situación en particular con una de las ternas). ¿Cuáles son los movimientos posibles de una terna móvil? Trasnacional Rotatorio Rototraslacional

13. Se supone que P tiene una trayectoria determinada, vista desde Ω y vista desde O. Ambas trayectorias vistas son verdaderas; ya que es lo que cada uno de los observadores ve en las respectivas ternas. ¿Cómo se vinculan? Por (1), reemplazando en (3). Donde: S i:

14. El termino remarcado suele llamárselo velocidad de arrastre o velocidad de transporte (V¹). ACELERACION EN EL MOVIMIENTO RELATIVO Como se vinculan la aceleración absoluta y la relativa? De la (10)

15. La aceleración absoluta es: a la aceleración de P vista por el observador Se defina como aceleración relativa de la terna móvil. Notas : 1.- puede aparecer en cualquiera de las dos ternas, fija o móvil, pues será el mismo vector siempre.

16. EJEMPLO:

17. OTRAS ACELERACIONES: ACELERACIÓN CENTRÍPETA O NORMAL Aceleración que es preciso dar a un cuerpo para mantenerlo en rotación sobre una trayectoria circunferencial. Su valor viene dado por la fórmula a =v*/r La aceleración total es igual a la diferencia geométrica de dos velocidades consecutivas, dividida por la diferencial del tiempo. Se demuestra que la aceleración normal o centrípeta es igual al cuadrado de la velocidad partido por curvatura. Si p es igual a infinito, normal será nula; por lo el radio de l a acelera c ión tanto esta no existe en el movimiento rectilíneo variado. ACELERACIÓN CENTRÍFUGA Aceleración que aparece en un cuerpo sometido a rotación. Su dirección es perpendicular al movimiento del cuerpo y va dirigida hacia el exterior. La aceleración centrífuga es proporcional al cuadrado de la velocidad y es inversamente proporcional al radio.

18. OTRAS ACELERACIONES: ACELERACIÓN TANGENCIAL Recibe este nombre la proyección de la aceleración total sobre la tangente a la trayectoria en el punto que se considera. Se sabe que la aceleración total es la diferencia geométrica de dos velocidades consecutivas, v+dv y v dividida por dt; luego la aceleración que se busca será la diferencia de las proyecciones de v+dv y v, partida por dt. Se deduce que la aceleración tangencial es igual a la derivada de la velocidad con relación al tiempo . Si el movimiento del punto sobre su trayectoria es uniforme, la aceleración tangencial será nula, puesto que la velocidad y es constante . La recíproca es también verdad .

19. OTRAS ACELERACIONES: ACELERACIÓN MECÁNICA En el movimiento uniformemente variado rectilíneo es la cantidad constante en que varía la velocidad en la unidad de tiempo. Si se representa el incremento de la velocidad en un cierto intervalo de tiempo, la expresión mecánica de la aceleración en el movimiento uniformemente variado rectilíneo, será: Aceleración = Variación de v / Variación de t En el movimiento rectilíneo variado la aceleración no es, como en el uniformemente variado, constante, sino función del tiempo. Se llama aceleración en un movimiento variado rectilíneo cualquiera, al límite dv/dt, es decir la derivada de la velocidad con relación al tiempo. Se tendrá por lo tanto: Aceleración = dv/dt Si se pone en esta fórmula en vez de v su valor: v = ds/dt (V. VELOCIDAD) Se encontrará: Aceleración = dv/dt = ds/dt2 La aceleración representa, en valor absoluto, un cierto número de unidades de longitud, y como cantidad algebraica puede venir afectada del signo más o del menos; en el primer caso el movimiento se llama acelerado, y en el segundo retardado.

20. OTRAS ACELERACIONES: ACELERACIÓN ANGULAR Se da este nombre, en el movimiento de rotación de un cuerpo, a la aceleración de un punto situado a la unidad de distancia del eje. Si se representa por s el arco descrito por el citado punto, desde su posición inicial, y por la función que indique la ley del movimiento, se tendrá: s = f (t). Si se sustituye este valor en la expresión general de la aceleración, se encontrará fácilmente, llamando w a la velocidad angular. Aceleración angular = d2f(t)/dt2 = r dw/dt La aceleración de un punto A situado a la distancia r del eje de rotación, es r veces la aceleración angular. En efecto: sea y la velocidad del punto A, la que será igual a w.r (V. VELOCIDAD ANGULAR); la aceleración del citado punto vendrá dada por la fórmula dv/dt y sustituyendo en esta expresión en vez de v su valor, se tiene: Aceleración del punto A = dwr/dt = r dw/dt La aceleración angular se expresa fácilmente por medio del momento de inercia del cuerpo que gira y de las fuerzas que producen el movimiento. Sea I el momento de inercia del cuerpo, t el tiempo, w la velocidad angular y N el momento estático de las fuerzas exteriores con respecto al eje de rotación.

21. 𝑋 = − −𝑎 𝑌 = 𝑍 = −𝑔 𝑑𝑝 = 𝜌 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧

22. Para un punto cualquiera 1 𝑃 𝑋 𝑍 𝜌 ∫ 𝑑𝑝 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑥 − 𝑔 ∫ 𝑑𝑧 𝟎 0 0 𝑃 𝜌 = 𝑎𝑋 − 𝑔𝑍 𝑃 𝑎 𝛾 = 𝑔 𝑋 − 𝑍 𝑃 𝛾 = 𝑋 ta n 𝛼 − 𝑍 𝑃 𝛾 = ℎ Si por un punto trazamos una paralela a la superficie liquida vamos a tener una superficie de nivel o presión constante.

23. 𝑎̅ x y -z P 𝑑𝑃 = 𝜌 ( 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝑧 . 𝑑 𝑧 ) 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = −𝑔 − (±𝑎 )

24. 𝑑𝑃 = 𝜌[−𝑔 − (±𝑎)]𝑑𝑧 𝑃 −𝑧 ∫ 𝑑𝑃 = 𝜌 ∫ [−𝑔 − (±𝑎)]𝑑𝑧 0 0 𝑃 = −𝜌[−𝑔 − (±𝑎)]𝑧 𝑃 𝜌 = [𝑔 + (±𝑎)]𝑧 = [ 𝑃 𝑔 + (±𝑎) 𝜌 . 𝑔 𝑔 ] 𝑧 𝑃 𝑔 + (±𝑎) 𝛾 = [ 𝑔 ] 𝑧 Cuando 𝑎 = 𝑔 Entonces, 𝑃 𝛾 = 2𝑧 𝑃 = 2𝛾𝑧 Cuando sea acelerado y hacia abajo. 𝑃 = Presión Total (relativa)

25. La aceleración vertical puede ser ascendente o descendente. En un prisma elemental vertical cualquiera en el interior del líquido se verifica:

26. 𝑃 2 . 𝑑𝐴 = 𝑃 1 𝑑𝐴 − 𝑊 = 𝑚 . 𝑎 𝑣 𝑤 𝑃 2 . 𝑑𝐴 − 𝑃 1 𝑑𝐴 − 𝑊 = 𝑔 . 𝑎 𝑣 𝑃 2 . 𝑑𝐴 − 𝑃 1 𝑑𝐴 − 𝛾 . ℎ 𝑑𝐴 = 𝛾 ℎ 𝑑𝐴 𝑔 . 𝑎 𝑣 2 1 𝑃 = 𝑃 + 𝛾ℎ + 𝑎 𝑣 𝑔 . 𝛾 ℎ Es decir, por efecto del movimiento ascendente del recipiente la presión en todos los puntos del líquido aumenta con relación a la presión con el recipiente en reposo. Este efecto es el mismo que experimenta el pasajero de un ascensor durante la subida.

27. Para la aceleración vertical descendente se obtiene: Es decir, si se deja caer el recipiente no hay variación en la presión: P2 = P1. En ambos casos de aceleración vertical las superficies de igual presión resultan horizontales y por eso paralelas entre sí. 𝑃 1 𝑃 2 2 1 𝑃 = 𝑃 + 𝛾ℎ − 𝑎 𝑣 𝑔 𝛾 𝑎 𝑣

28. Cuando se le somete a una velocidad angular, la superficie del líquido va cambiando. Cuando 𝜔 = constante; entonces la superficie toma una forma parabólica. Fuerza centrípeta. 𝐹 𝑐 = 𝑚𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 = 𝜔 2 𝑟

29. 𝑡𝑔𝛼 = 𝑑𝑟 = 𝑑𝑧 𝜔 2 𝑟 𝑔

30. 𝑧 = 𝜔 2 𝑑𝑧 = 𝑔 𝑟𝑑𝑟 𝜔 2 𝑟 2 2𝑔 + 𝐶 𝑝 𝑎 𝑟 𝑎 𝑧 = ℎ , 𝑟 = ∴ ℎ = 𝐶 𝑧 = ℎ + 𝜔 2 𝑟 2 2𝑔 𝑑𝑃 = 𝜌(𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 + 𝑍𝑑𝑧)

31. 𝑋 = − −𝜔𝑥 = 𝜔 2 𝑥 𝑦 = − −𝜔 2 𝑦 = 𝜔 2 𝑦

32. 𝜌 𝑃 0 0 ℎ 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 1 ∫ 𝑑𝑃 = ∫ 𝜔 2 𝑥𝑑 𝑥 + ∫ 𝜔 2 𝑦 𝑑𝑦 − ∫ 𝑔𝑑𝑧 1 𝜌 𝑃 − 𝑃 = + 𝜔 2 𝑥 2 𝜔 2 𝑦 2 2 2 − 𝑔(𝑧 − ℎ) 𝑃 − 𝑃 = 𝜌 𝜔 2 2 𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝜌𝑔 𝑧 − ℎ 2𝑔 𝛾 𝑃 − 𝑃 = 𝜔 2 𝜔 2 − 𝛾 𝑧 − ℎ 𝜔 2 𝑟 2 𝑃 = 𝑃 + 𝛾 ℎ − 𝑧 + 𝛾 2𝑔 En el caso de considerar presiones relativas → 𝑃 = 𝜔 2 𝑟 2 𝑃 = 𝛾 ℎ − 𝑧 + 𝛾 2𝑔 = 𝛾 ℎ − 𝑧 + 𝛾 Considerando de la presión en la superficie → 𝑃 = 𝑃 = 𝜔 2 𝑟 2 2𝑔 𝜔 2 𝑟 2 𝑧 = ℎ + 2𝑔 → 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

33. EJERCICIO 3 🠶 Un vaso cilíndrico de 2.50m es llenado con agua hasta los dos metros. El diámetro del vaso es 1.40. Hallar la velocidad angular y las revoluciones por minuto (R.P.M) que harán elevar el agua hasta los bordes del vaso.

34. DATOS: ℎ 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2.50𝑚 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑠𝑜 = 1.40𝑚 𝑟 = 0.70𝑚

35. Como el agua no se ha perdido: 𝑉𝑜 𝑙 . 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑜 𝑖 𝑑 𝑒 = 𝑉𝑜𝑙. 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 sin 𝑎𝑔𝑢𝑎( 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜) 𝜋𝑟 2 ℎ 2 = 𝜋𝑟 2 (2.50𝑚 − 2.00𝑚) 𝐷𝑒 𝑠 𝑝 𝑒 𝑗𝑎 𝑛 𝑑 𝑜 : ℎ = 1𝑚

36. 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 2𝑔 𝑧 = ; 1𝑚 = 𝜔 2 𝑟 2 𝜔 2 . 70𝑚 2 2𝑔 𝐷𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜔 2 = 1 𝑚 𝑥 1 9 . 6 𝑚 / 𝑠 2 0.49𝑚 2 𝜔 = 6 . 3 3 𝑟𝑎 𝑑 / 𝑠 𝑒 𝑔 𝐸𝑛 𝑅 . 𝑃 . 𝑀 : 1 𝑅 . 𝑃 . 𝑀 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 60𝑠 𝜔 = 6.33 𝑟𝑎𝑑 / 𝑠𝑒𝑔 𝑥 60𝑠𝑒𝑔 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝜔 = 60 . 5 𝑅 . 𝑃 . 𝑀

37. Determinar el ángulo que forma la superficie del líquido contenido en un tanque “1” con la horizontal, si el tanque desciende por razón de su propio peso, por un plano inclinado a 30º con la horizontal. El descenso del tanque “1” que pesa 600 Kg., produce el ascenso de otro menor, cuyo peso es de 200 Kg.. El coeficiente de fricción entre el fondo de ambos tanques y la superficie del plano inclinado es u=0.25

38. So l ución Para el tanque de 200 Kg:

39. Sumando (1) y (2):

40. Que de acuerdo con el teorema de D ’ Alambert, debe ser considerada con signo contrario; las proyecciones de la aceleraci ó n sobre los ejes X, Y, Z son: Reemplazando estas aceleraciones con la ecuaci ó n de Euler, o integrando: De donde:

41. Un tanque de sección transversal rectangular (6 x 1 m) está lleno de agua hasta los 4m de altura y está unido a un peso Q= 60000 kg por medio de una cuerda flexible y inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie horizontal es f=0.6 y todos los demás rozamientos son despreciables. Hallar la presión en un punto del tanque situado a 1m sobre el punto A de la figura. Despreciar el peso propio del tanque.

42. SOLUCION: Como 𝐹 = 𝑚. 𝑎 ; y llamando T la tensión de la cuerda, se tendrá por el diagrama de cuerpo libre que corresponde al peso Q:

43. 60000 − 𝑇 = 600 9 .8 𝑎 … … … … . ( 1 ) En el diagrama del tanque:

44. ) entonces Teniendo en cuenta que la NORMAL ( N ) es igual al peso del tanque (24000 kg podremos hallar la fuerza que se opone al movimiento del Tanque ( Fr ) entonces: 𝐹𝑟 = 𝑁 . 𝑓 𝐹𝑟 = 24000 ∗ 0.6 hora tenemos que: 𝑇 − 𝐹 𝑟 = 𝑚 . 𝑎 𝑇 − 24000 ∗ . 6 = 24000 9 . 8 𝑎 … … … … . . ( 2) Sumando (1) con (2). 60000 − 24000 ∗ . 6 = 60000 + 24000 9 . 8 𝑎 45600 = 84000 9 . 8 𝑎

45. Despejando: 84000 45600 ∗ 9.8 𝑎 = = 5.32 𝑚 / 𝑠 2 Por Euler se tiene: 1 𝑑 𝑝 = 𝑎 𝑥 𝑑 𝑥 + 𝑎 𝑦 𝑑 𝑦 + 𝑎 𝑧 𝑑 𝑧 … … … … … … … … … … . 3 𝜌 Donde: 𝑎 𝑥 = 5.32 𝑚 / 𝑠 2 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑧 = −𝑔 Reemplazando en (3) e integrando para los puntos (B-0) 1 𝜌 𝑋 1 ∫ 𝑑 𝑝 = 5 . 32 ∫ 0 0 𝑍 1 𝑑 𝑥 − 𝑔 ∫ 𝑑𝑧 = 5.32 ∗ 𝑋 1 − 𝑔 ∗ 𝑍 1 𝑍 1 = ta n 𝛼 = 5 . 32 = . 545 𝑋 1 9.8

46. Sobre elevación del nivel de agua en la vertical levantada en A. 𝛥ℎ = 6 ∗ ta n 𝛼 6 ∗ 0.545 2 2 = = 1.635 𝑚 Luego la presión en M será: ℎ = 4 + 1.635 − 1 = 4.635 𝑚

47. Tendremos 4.635 de columna de agua, entonces la presión será: 𝑝 = 𝑤ℎ = 1000 ∗ 4.635 = 4635 𝑘𝑔 / 𝑚 2 𝑝 = 0.4635 𝑘𝑔 / 𝑐𝑚 2

48. ¿Cómo varían las presiones en el seno de la masa liquida contenida en el recipiente que se mueve verticalmente para los siguientes datos?: Cuando sube con una aceleración a=4.9 m/seg2 Cuando baja con una aceleración a=4.9 m/seg2 Cuando el depósito cae. Cuando el depósito suba con una retardación igual a la gravedad. Cuando el depósito suba con una aceleración igual a la gravedad.

49. Solución Resolviendo el problema de una manera general: Por la ecuación de Euler se tiene: 1 dp = a x . d x + a y . d y + a z . d z ρ Donde: ax = ay = az = -g – ( ± a) Reemplazando estos datos en la ecuación de Euler e integrando: 1 𝜌 𝑝 −z ∫ 𝑑𝑝 = −g ±a ∫ dz 𝜌 1 𝑝 = − g ± a z −z 1 𝜌 𝑝 = g ± a z

50. Dividiendo ambos miembros entre g: = 𝑝 g ± a z 𝜌 . g g Co m o 𝜌 . g = peso específi c o = 𝑤 , se tie n e de s p e jando la presión: 𝑝 = g ± a g 𝑤 𝑧 … … … … . 1 Reemplazando (1) en la expresión general para todos los casos: Caso a: 𝑝 = 9.8 + 4.9 9 . 8 𝑤𝑧 = 1.5𝑤𝑧 𝑘𝑔 / 𝑚 2 Caso b: 𝑝 = 9.8 − 4.9 9 . 8 𝑤𝑧 = 0.5𝑤𝑧 𝑘𝑔 / 𝑚 2 Caso c: Cuando el depósito cae a= -g 𝑝 =

51. Caso d: Cuando el depósito suba con retardación a= -g 𝑝 = Caso e: Cuando el depósito suba con aceleración igual a la gravedad a= g 𝑝 = g + a g 𝑤𝑧 𝑝 = g + g g 𝑤𝑧 = 2g g 𝑤𝑧 = 2𝑤𝑧