Números reales

Números reales

1. MATEMÁTICA Y FÍSICA ESPECIALIDAD ACREDITADA SISTEMA DE NÚMEROS REALES Melecio Paragua Morales [email protected] [email protected]

2. LA RECTA NUMÉRICA Es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados que están separados uniformemente.

3. REPRESENTACIÓN Números negativos cero Números positivos Esta dividida en dos mitades simétricas.

4. APLICACIÓN Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. Se puede determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.

5. LOS NÚMEROS REALES

6. DEFINICIÓN Es la unión de los números racionales e irracionales .

7. CLASIFICACIÓN

8. Números naturales (N) Es cualquiera de los números 1, 2, 3... Que se pueden usar para contar elementos o cosas. N = {1, 2, 3,..}

9. Números enteros (Z) Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación de suma. Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..}

10. Números racionales (Q): (fraccionarios, o quebrados) Cuando un número se puede escribir en forma de fracción. Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación. Q = {... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, 4.1515......}

11. Números irracionales (I) No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

12. REPRESENTACIÓN DE LOS REALES (R) Con los Irracionales se completa la representación de la recta numérica, asociando a cada punto de ella con un número real.

13. APLICACIÓN Los números reales pueden representar cualquier medida tal como:

14. MÁS EJEMPLOS

15. PROPIEDADES DE LA NÚMEROS REALES (PROPIEDAD DE ORDEN)

16. TRICOTOMÍA Es una división en tres partes. Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:

17. TRANSITIVIDAD La transitividad se cumple siempre que un elemento se relaciona con otro y este último con un tercero.

18. Si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c Para tres números reales a, b, y c: Si a > b y b > c entonces a > c Si a < b y b < c entonces a < c Si a > b y b = c entonces a > c

19. DENSIDAD La recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

20. Los números racionales e irracionales son densos en la recta real, ya que todo número tiene vecinos racionales e irracionales cercanos a él. Ejemplo:  

21. INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN MEDIANTE DESIGUALDADES

22. DESIGUALDADES Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que sea verdadera.

23. Nombre Símbolo Definición Representación grafica Intervalo Abierto (a,b) Intervalo cerrados [a,b] Intervalos Semiabiertos (a,b] [a,b) Intervalos Infinitos (a,∞) [a,∞)

24. INTERVALOS ABIERTOS: Representación NOTACIÓN DEL CONJUNTO   NOTACIÓN DEL INTERVALO  

25. INTERVALOS CERRADOS: Representación NOTACIÓN DEL CONJUNTO   NOTACIÓN DEL INTERVALO

26.   Intervalos semiabiertos por la izquierda Intervalos semiabiertos por la derecha Son los abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha: Son los cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha:

27. INTERVALOS INFINITOS: Representación por la izquierda abierto por la derecha abierto por la izquierda cerrado por la derecha cerrado

28. LECTURA DE LA SIMBOLOGÍA < menor que ≤ menor que o igual que > mayor que ≥ mayor que o igual que

29. EJEMPLOS (5,∞) 1 2 3 4 5 6 7

30. EJEMPLOS (-∞,7) 1 2 3 4 5 6 7

31. EJEMPLOS (-∞,-2] -6 -5 -4 -3 -2 -1

32. EJEMPLOS [8,∞) 2 3 4 5 6 7 8

33. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Y DESIGUALDADES CUADRATICAS CON UNA INCOGNITA

34. DESIGUALDAD DE PRIMER GRADO Es todo enunciado abierto que tiene el signo > o < con una sola variable y con exponente 1.      

35. w + 5 < 8 w + 5 + (-5) < 8 + (-5) w + 0 < 3 w < 3 w + 5 < 8 -5 -5 w + 0 < 3 w < 3 1 2 3 -20 -15 -10 -5 -25 4 5 3

36. DESIGUALDAD CUADRATICA CON UNA INCOGNITA Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes:        

37. x²+ x-2 < 0 ax 2 + bx + c < 0 (x-1)(x+2)< 0 (x-1)= 0 x<1 (x+2)=0 x< -2 Fórmula general 1 2 3 -4 -3 -2 -1 -5 4 5  

38. VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

39. Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras. El valor absoluto está relacionado con las nociones de: Magnitud Distancia Matemáticos y físicos

40. Formalmente, el  valor absoluto  o  módulo  de todo  número real está definido por: Nota: Estos casos solamente los podrás utilizar si el valor de “b” es un numero natural positivo.

41. RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

42. GRÁFICA DE ECUACIONES: x 1 2 3 4 y 7 4 1 -2 -5  

43. GRÁFICA DE ECUACIONES:   x -2 -1 1 2 3 y 2 -1 -2 -1 2 7

44. Resuelva todos los ejercicios que se les propone