Notación sigma
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Sep 23, 2015
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About This Presentation
Material explicativo acerca de la notación sigma y áreas bajo una curva
Slide Content
Notación sigma
La suma de � términos �
1,�
2,�
3,…,�
?????? se escribe como:
∑�
??????
??????
??????=1
=�
1+�
2+�
3+⋯+�
??????
Donde � es el índice de la suma, �
?????? el i-enésimo término de la suma y los limites
superior e inferior de la suma son “n” y “1”.
Ejemplo de notación sigma:
∑�
6
??????=1
=1+2+3+4+5+6
Propiedades de la suma utilizando la notación sigma
∑��
??????
??????
??????=1
=�∙∑�
??????
??????
??????=1
∑(�
??????±�
??????)=∑�
?????? ± ∑�
??????
??????
??????=1
??????
??????=1
??????
??????=1
∑�=��
??????
??????=1
∑�=
�(�+1)
2
??????
??????=1
∑�
2
=
�(�+1)(2�+1)
6
??????
??????=1
∑�
3
=
�
2
(�+2)
2
4
??????
??????=1
La suma de � términos �
1,�
2,�
3,…,�
?????? se escribe como:
∑�
??????
??????
??????=1
=�
1+�
2+�
3+⋯+�
??????
Donde � es el índice de la suma, �
?????? el i-enésimo término de la suma y los limites
superior e inferior de la suma son “n” y “1”.
Ejemplo de notación sigma:
∑�
6
??????=1
=1+2+3+4+5+6
Propiedades de la suma utilizando la notación sigma
∑��
??????
??????
??????=1
=�∙∑�
??????
??????
??????=1
∑(�
??????±�
??????)=∑�
?????? ± ∑�
??????
??????
??????=1
??????
??????=1
??????
??????=1
∑�=��
??????
??????=1
∑�=
�(�+1)
2
??????
??????=1
∑�
2
=
�(�+1)(2�+1)
6
??????
??????=1
∑�
3
=
�
2
(�+2)
2
4
??????
??????=1
Ejemplo 1:
Hallar
∑
�+1
�
2
??????
??????=1
=∑
1
�
2
(�+1)
??????
??????=1
=
1
�
2
∑(�+1)
??????
??????=1
=
1
�
2
(∑�+∑1
??????
??????=1
??????
??????=1
)
=
1
�
2
[
�(�+1)
2
+�]
=
1
2
+
3
2�
Ejemplo 2:
Hallar:
∑�(�−1)
2
15
??????=1
=∑�(�
2
−2�+1)
15
??????=1
=∑�
3
−2�
2
+�
15
??????=1
=∑�
3
−2∑�
2
+∑�
15
??????=1
15
??????=1
15
??????=1
=
�
2
(�+1)
2
4
−2[
�(�+1)(2�+1)
6
]+
�(�+1)
2
Hallar
∑
�+1
�
2
??????
??????=1
=∑
1
�
2
(�+1)
??????
??????=1
=
1
�
2
∑(�+1)
??????
??????=1
=
1
�
2
(∑�+∑1
??????
??????=1
??????
??????=1
)
=
1
�
2
[
�(�+1)
2
+�]
=
1
2
+
3
2�
Ejemplo 2:
Hallar:
∑�(�−1)
2
15
??????=1
=∑�(�
2
−2�+1)
15
??????=1
=∑�
3
−2�
2
+�
15
??????=1
=∑�
3
−2∑�
2
+∑�
15
??????=1
15
??????=1
15
??????=1
=
�
2
(�+1)
2
4
−2[
�(�+1)(2�+1)
6
]+
�(�+1)
2
=
15
2
(16)
2
4
−2[
15(16)(31)
6
]+
15(16)
2
=12 040
El área de una región plana
Desde los origines del cálculo, esta rama de la matemáticas se ha enfocado en dos
tipos de problemas clásicos, el problema de la recta tangente y el problema del
área. Para describir esto aproximaremos el área que se genera bajo una curva
representada en el eje de coordenadas:
Ejemplo:
Emplear 5 rectángulos para calcular dos aproximaciones del área de la región
determinada por la gráfica: �(�)=−�
2
+5 � �� ��� � �� �=0 ,�=2.
Solución:
a) Encontremos la anchura de cada rectángulo:
∆�=
2−0
5
=
2
5
b) Encontramos el área de los rectángulos por debajo de la curva,
15
2
(16)
2
4
−2[
15(16)(31)
6
]+
15(16)
2
=12 040
El área de una región plana
Desde los origines del cálculo, esta rama de la matemáticas se ha enfocado en dos
tipos de problemas clásicos, el problema de la recta tangente y el problema del
área. Para describir esto aproximaremos el área que se genera bajo una curva
representada en el eje de coordenadas:
Ejemplo:
Emplear 5 rectángulos para calcular dos aproximaciones del área de la región
determinada por la gráfica: �(�)=−�
2
+5 � �� ��� � �� �=0 ,�=2.
Solución:
a) Encontremos la anchura de cada rectángulo:
∆�=
2−0
5
=
2
5
b) Encontramos el área de los rectángulos por debajo de la curva,
??????
1=�(
2
5
)∙
2
5
=
242
125
??????
2=�(
4
5
)∙
2
5
=
218
125
??????
3=�(
6
5
)∙
2
5
=
178
125
??????
4=�(
8
5
)∙
2
5
=
122
125
??????
5=�(
10
5
)∙
2
5
=
2
5
??????
??????=∑�(�
??????)∆�=
242
125
+
218
125
+
178
125
+
122
125
+
2
5
=
162
25
5
??????=1
c) Encontramos el área de los rectángulos que están por encima de
la curva:
??????
1
′=�(0)∙
2
5
=2
??????
2
′=�(
2
5
)∙
2
5
=
242
125
1=�(
2
5
)∙
2
5
=
242
125
??????
2=�(
4
5
)∙
2
5
=
218
125
??????
3=�(
6
5
)∙
2
5
=
178
125
??????
4=�(
8
5
)∙
2
5
=
122
125
??????
5=�(
10
5
)∙
2
5
=
2
5
??????
??????=∑�(�
??????)∆�=
242
125
+
218
125
+
178
125
+
122
125
+
2
5
=
162
25
5
??????=1
c) Encontramos el área de los rectángulos que están por encima de
la curva:
??????
1
′=�(0)∙
2
5
=2
??????
2
′=�(
2
5
)∙
2
5
=
242
125
??????
3
′=�(
4
5
)∙
2
5
=
218
125
??????
4
′=�(
6
5
)∙
2
5
=
178
125
??????
5
′=�(
8
5
)∙
2
5
=
122
125
??????
??????=∑�(�
??????
′)∆�=2+
242
125
+
218
125
+
178
125
+
122
125
=
202
25
5
??????=1
Por lo que el área bajo la curva se encuentra en el siguiente intervalo
162
25
<��<
202
25
3
′=�(
4
5
)∙
2
5
=
218
125
??????
4
′=�(
6
5
)∙
2
5
=
178
125
??????
5
′=�(
8
5
)∙
2
5
=
122
125
??????
??????=∑�(�
??????
′)∆�=2+
242
125
+
218
125
+
178
125
+
122
125
=
202
25
5
??????=1
Por lo que el área bajo la curva se encuentra en el siguiente intervalo
162
25
<��<
202
25
Sumas superior e inferior
Se puede generalizar un procedimiento para encontrar el área bajo una curva, para
esto vamos a subdividir el intervalo [�,�] en � subintervalos.
Consideremos lo siguiente:
Como � es una función continua el teorema del valor extremo garantiza la
existencia de un valor mínimo y máximo de �(�) en cada subintervalo:
�(�
??????)=����� ���� �� �(�)
�(??????
??????)=����� ���� �� �(�)
Se define entonces que
(Á��� ��� ����á����� ��������)=�(�
??????)∆�≤�(??????
??????)∆�=(Á��� ��� ����á����� ������������
La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre se suma inferior
y la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos recibe el nombre de suma
superior por lo que:
���� ��������=??????̅(�)=∑�(??????
??????)∆�
??????
??????=1
���� ��������=??????(�)=∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
Se puede generalizar un procedimiento para encontrar el área bajo una curva, para
esto vamos a subdividir el intervalo [�,�] en � subintervalos.
Consideremos lo siguiente:
Como � es una función continua el teorema del valor extremo garantiza la
existencia de un valor mínimo y máximo de �(�) en cada subintervalo:
�(�
??????)=����� ���� �� �(�)
�(??????
??????)=����� ���� �� �(�)
Se define entonces que
(Á��� ��� ����á����� ��������)=�(�
??????)∆�≤�(??????
??????)∆�=(Á��� ��� ����á����� ������������
La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre se suma inferior
y la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos recibe el nombre de suma
superior por lo que:
���� ��������=??????̅(�)=∑�(??????
??????)∆�
??????
??????=1
���� ��������=??????(�)=∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
Hallar las sumas superior e inferior
Determinar la suma inferior y superior de la región delimitada por la gráfica de
�(�)=�
2
y el eje x entre �=0 � �=2
Solución:
Primero encontramos el ancho de los rectángulos:
∆�=
�−�
�
=
2−0
�
=
2
�
Puntos terminales izquierdos
�
??????=�+∆�(�−1)
�
??????=0+
2
�
(�−1)
�
??????=
2
�
�−
2
�
Utilizando los puntos terminales izquierdos, obtenemos la suma inferior
??????(�)=∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
=∑�(
2
�
�−
2
�
)
??????
??????=1
2
�
=∑(
2
�
�−
2
�
)
2
2
�
??????
??????=1
=
2
�
∑(
4�
2
�
2
−
8�
�
2
+
4
�
2
)
??????
??????=1
=
8
3
−
4
�
+
4
3�
2
Determinar la suma inferior y superior de la región delimitada por la gráfica de
�(�)=�
2
y el eje x entre �=0 � �=2
Solución:
Primero encontramos el ancho de los rectángulos:
∆�=
�−�
�
=
2−0
�
=
2
�
Puntos terminales izquierdos
�
??????=�+∆�(�−1)
�
??????=0+
2
�
(�−1)
�
??????=
2
�
�−
2
�
Utilizando los puntos terminales izquierdos, obtenemos la suma inferior
??????(�)=∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
=∑�(
2
�
�−
2
�
)
??????
??????=1
2
�
=∑(
2
�
�−
2
�
)
2
2
�
??????
??????=1
=
2
�
∑(
4�
2
�
2
−
8�
�
2
+
4
�
2
)
??????
??????=1
=
8
3
−
4
�
+
4
3�
2
Empleando los puntos terminales derechos podemos encontrar la suma superior
??????����� ���������� �����ℎ��=�+�∆�=0+
2
�
�=
2
�
�
??????(�)=∑�(??????
??????)∆�
??????
??????=1
=∑�(
2�
�
)
2
�
??????
??????=1
=
2
�
∑(
2�
�
)
2
??????
??????=1
=
2
�
∑(
4�
2
�
2
)
??????
??????=1
=
8
3
+
4
�
+
4
3�
2
Si buscamos le limite al infinito de cada suma obtenemos lo siguiente:
lim
??????→∞
??????(�)=lim
??????→∞
(
8
3
+
4
�
+
4
3�
2
)=
8
3
lim
??????→∞
??????(�)=lim
??????→∞
(
8
3
−
4
�
+
4
3�
2
)=
8
3
Por lo que podemos afirmar:
lim
??????→∞
??????(�)=lim
??????→∞
??????(�)
Y por medio de esta afirmación podemos definir que:
Á���=lim
??????→∞
∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
??????����� ���������� �����ℎ��=�+�∆�=0+
2
�
�=
2
�
�
??????(�)=∑�(??????
??????)∆�
??????
??????=1
=∑�(
2�
�
)
2
�
??????
??????=1
=
2
�
∑(
2�
�
)
2
??????
??????=1
=
2
�
∑(
4�
2
�
2
)
??????
??????=1
=
8
3
+
4
�
+
4
3�
2
Si buscamos le limite al infinito de cada suma obtenemos lo siguiente:
lim
??????→∞
??????(�)=lim
??????→∞
(
8
3
+
4
�
+
4
3�
2
)=
8
3
lim
??????→∞
??????(�)=lim
??????→∞
(
8
3
−
4
�
+
4
3�
2
)=
8
3
Por lo que podemos afirmar:
lim
??????→∞
??????(�)=lim
??????→∞
??????(�)
Y por medio de esta afirmación podemos definir que:
Á���=lim
??????→∞
∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
Ejemplo:
Hallar el área de la región delimitada por la gráfica �(�)=�
3
, y el eje x entre
�=0 � �=1.
Solución:
∆�=
1−0
�
=
1
�
Determinamos �
??????
�
??????=0+
1
�
�=
�
�
De esto definimos que:
Á���=lim
??????→∞
∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
=lim
??????→∞
∑(
�
�
)
3
1
�
??????
??????=1
=lim
??????→∞
1
�
∑
�
3
�
3
??????
??????=1
=lim
??????→∞
1
�
4
[
�
2
(�+1)
2
4
]
=lim
??????→∞
1
4�
2
(�
2
+2�+1)
=lim
??????→∞
1
4
+
1
2�
+
1
4�
2
Á��� �� �� ����ó�=
1
4
Hallar el área de la región delimitada por la gráfica �(�)=�
3
, y el eje x entre
�=0 � �=1.
Solución:
∆�=
1−0
�
=
1
�
Determinamos �
??????
�
??????=0+
1
�
�=
�
�
De esto definimos que:
Á���=lim
??????→∞
∑�(�
??????)∆�
??????
??????=1
=lim
??????→∞
∑(
�
�
)
3
1
�
??????
??????=1
=lim
??????→∞
1
�
∑
�
3
�
3
??????
??????=1
=lim
??????→∞
1
�
4
[
�
2
(�+1)
2
4
]
=lim
??????→∞
1
4�
2
(�
2
+2�+1)
=lim
??????→∞
1
4
+
1
2�
+
1
4�
2
Á��� �� �� ����ó�=
1
4
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