Notación sigma

Presentación de "Notación Sigma" por Jorgelis Betania Jiménez López

1. Unidad I: Integral Definida.

Notación Sigma

La letra sigma () denota Sumatoria, indica la suma de una serie de términos que
corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede
generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una
unidad.
La sumatoria está compuesta por un índice comúnmente llamado “i” (también j o k), un
límite inferior de la sumatoria llamado m y n límite superior de la sumatoria llamado n (
cuando n es entero):
n

i=m
100
Un ejemplo fácil: 1+2+3+4+5+…+100= 
i=1

Propiedades de la Sumatoria (importante)

n
(a) C = n.C, cuando C es una constante.
i=1

(b)

Integral Definida

Podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el
límite inferior y "b" el límite superior de la integral:



a: es el límite inferior de la integral
b: es el límite superior de la integral
f (x): la función integrando.

Propiedades de la Integral Definida:

(a) si a>b, entonces:

(b) si f(a), entonces:

(c) Si k es una constante cualquiera, entonces:

(d) si la función f es integrable en [a,b] y, k es una constante arbitraria, entonces:

2. (e) si las funciones f y g son integrables en [a,b], entonces f +/- g también es integrable en
[a,b] y:

(f) si f es integrable en [a,b], [a,c] y [c,b], y a < c < b, entonces:

(g) si f es integrable en un intervalo cerrado I y, {a,b,c} pertenece I, entonces:

(h) si f es integrable en [a,b] y f (x) ≥ 0 ∀x pertenece [a,b], entonces:

(i) si las funciones f y g son integrales en [a,b] y f (x) ≥ g (x) ∀x pertenece [a,b], entonces:

(j) sea f continua en [a,b]. Si m es el valor mínimo absoluto y M el valor máximo absoluto
de f en [a,b], y:

Entonces:



La interpretación geométrica del teorema (j) es la siguiente:
(1) Como f (x) ≥ 0, ∀x pertenece [a,b], el área de la región bajo la curva de f (x), encerrada
en las rectas x=a y x=b y el eje x, está dada por la integral definida:

(2) El área de la región rectangular cuyas dimensiones son M y (b – a) es el mayor que el
área dada por (1) y, el área de la región rectangular cuyas dimensiones son m y (b – a) es
menor que el área dada por (1).

Teorema del Valor Medio para integrales

Definición: Sea f continua en [a,b], el valor medio (o promedio), fmed, de f en [a,b] es:


Teorema fundamental del cálculo

3. 1er teorema fundamental del cálculo: Sea f una función continua en un intervalo
cerrado [a,b] y sea la función F definida por:
, para toda x pertenece [a,b];
entonces:
F es una antiderivada de f en [a,b], esto es
2do teorema fundamental del cálculo: Sea f una función continua en un intervalo
cerrado [a,b] y F es una antiderivada de f e [a,b], entonces:



Sustitución y cambio de variable

Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que
resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de
artificios matemáticos.

Ejemplo:

Sea u = 3 + , entonces du = dz de donde 2du = dz y sustituyendo en la integral

propuesta, nos queda y regresando el cambio nos queda