Numero Complejos

Que son los números complejos y como se realizan las operaciones con ellos?, aquí les paso información que espero les ayude a resolver sus dudas.

1. ÁLGEBRA SUPERIOR
ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN
EL 2007
Martha G. Canales LeyvaRocío Patricia Rivas Llanas
Leticia Lizette Espinosa Fahl
Joaquín Gilberto Treviño Dávila
José Santos García
Claudio Hiram Carmona Jurado
Abraham Leonel López León
Carlos Alfonso Gameros Morales
Kluis Roberto Fernández Guillén
Arturo Córdova González
Ph. D. Martha G. Canales Leyva
1

2. OBJETIVO DEL CURSO
 
Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este
programa como base para las demás materias que son los
fundamentos sólidos del área de Ingeniería.
 
2

3. NÚMEROS COMPLEJOS 
Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades
Lectura comprensiva
Concepto de número complejo
Representación de un número complejo en el plano
cartesiano
Conjuntos de números
Cálculo de un ángulo usando arco tangente
Funciones seno y coseno
Graficar en el plano cartesiano
Concepto de par ordenado
3

4. NÚMEROS COMPLEJOS
4.1. Números Complejos 
Definición
Es un número que esta formado por dos partes, una parte real y otra
parte imaginaria y se expresa en varias notaciones.
Generalmemte se usa la letra “z” para nombrarlos.
Forma Cartesiana
z = a + b i
Donde a y b son números reales e i = √ -1 es la unidad imaginaria.
“a” es la parte real y “bi” la parte imaginaria
Ejemplo z
1
= 4 + 3i z
2
= -2 + 2 i
4

5. NÚMEROS COMPLEJOS
4.1. Números Complejos 
Conjugado de un número complejo
El conjugado de un número complejo
z
1
= a + b i se define como
El conjugado es
z
1
= a - b i
Ejemplo
z
1
= 7 – 5 i z
1
= 7 + 5 i

5

6. NÚMEROS COMPLEJOS
4.1. Números Complejos 
Imaginario Puro y Real Puro
Cuando a = 0 queda
z
1
= 0 + b i
Y se denomina Imaginario Puro
Ejemplo
z
1
= – 5 i
Por otra parte si b = 0 se tiene un Real Puro
Ejemplo
z
2 = 7 + 0 i z
2 = 7
6

7. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Representación Cartesiana
Utilizando los dos ejes cartesianos, el eje vertical corresponde a la
parte imaginaria y el eje horizontal corresponde a la parte real.
Los números complejos se pueden representar como puntos del
par ordenado.
z
1
= a + b i = (a,b)
7

8. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Ejemplos
z
1
= 3 + 6 i P
1
(3,6)
z
2
= -2 + 4 i P
2
(-2,4)
z
3
= -3 – 1 i P
3
(-3,-1)
z
4
= 2 – 3 i P
4
(2,-3)

R
I
•
•
•
•
8

9. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Ejemplos
Si i = √ -1 es la unidad imaginaria
i
i
2

=i i = √ -1 √ -1 =-1
i
3

=i
2

i


= -1 i =- i
i
4

= i
2
i
2

= (-1) (-1) = 1
i
5

= i
4
i


= 1 i = i
Y asi sucesivamente...
R
I
i
i
2
i
4
i
3
•
•
•
•
9

10. NÚMEROS COMPLEJOS
4.1. Números Complejos 
Representación cartesiana de los números Imaginario Puro
y Real Puro
El imaginario puro se ubica sobre el eje de la I y el real
puro sobre el eje R
Ejemplo z
2
=

3

i
z
3
= -2
z
4
= 4

z
1 = – 5 i
•
•
•
•
I
10

11. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Con los números complejos representados en la forma
Cartesiana se pueden realizar las siguientes
operaciones:
Suma
Resta
Multiplicación
División
Potencia
11

12. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Suma
Sean los dos números complejos
z
1 = a
1 +
b
1 i
z
2
= a
2
+

b
2
i

Se define la suma de dos números complejos como
z
3
= z
1
+ z
2
=( a
1
+

a
2
) + ( b
1
+ b
2
) i
Ejemplo Sean z
1 = 7 -2 i z
2 = -3 +8 i
z
3
= z
1
+ z
2
=( 7-3) +(-2+8)i = 4 +4i 12

13. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Resta
Sean los dos números complejos
z
1
= a
1
+

b
1
i

z
2
= a
2
+

b
2
i
Se define la resta de dos núumeros complejos como
z
3
= z
1
- z
2
=( a
1
-

a
2 ) + ( b
1
- b
2
) i
Ejemplo z
1
=17 -2 i z
2
= -3 +28 i
z
3
= z
1
- z
2
=( 17-(-3)) +(-2-28)i = 20 - 30i
13

14. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Multiplicación
Sean los dos números complejos
z
1
= ( a
1
+

b
1
i

)

z
2 = ( a
2 +
b
2 i
)

Se define la multiplicación de dos números complejos como
z
3
= z
1
z
2
=( a
1
a
2
–b
1
b
2
) + (a
1
b
2
+ a
2
b
1
) i
Ejemplo Sean z
1 = 5 -2 i z
2 = -3 +4 i
z
3
= z
1
z
2
=( 5 (-3) – (-2)4) + (5(4) + (-3)(-2)) = -7 + 26i
14

15. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Multiplicación
Ejemplo Sean z
1
= 5 -2 i z
1
= 5 + 2
z
3
= z
1
z
2
=( 5 (5) – (-2)2) + (5(2) + (5)(-2)) = 25 +4= 29
La multipliación de un número complejo por su conjugado es
igual a la suma de los cuadrados de las partes reales,
quedando como resultado un Real Puro.
15

16. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
División
Sean los dos números complejos
z
1
= a
1
+

b
1
i

z
2 = a
2 +
b
2 i

Se define la división aplicando la multiplicación por la unidad,
formando dicha unidad con el conjugado de z
2
para obtener un real
en el denominador
z
3
= = = 2
1
z
z
2
2
z
z
2
1
z
z
)b(a
 i )ba - b (a  ) bb aa (
2
2
 2
2
21122121
+
++
16

17. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Ejemplo
Sean los dos números complejos
z
1
= 2

+

3

i

z
2 = -4
+1
i

z
3
= = =
=-5/17 – 14/17 i
2
1
z
z
)(1)   (-4) (
 i 2(1))- ((-4)3  3(1))  (2(-4)
22
+
++
)b(a
 i )ba - b (a  ) bb aa (
22
2
 22
2
21122121
+
++
17

18. NÚMEROS COMPLEJOS
4.2. Números Complejos en forma Cartesiana
Potencia
Sea el número complejo
z
1
= a
1
+

b
1
i

Se define la potencia con base a la multilicación
z
2
n

= (a
1
+

b
1
i)
n

= (a
1
+

b
1
i) (a
1
+

b
1
i) (a
1
+

b
1
i) ..... (a
1
+

b
1
i)
Ejemplo
z
1 = -5
+
3
i

z
2
=

z
1
3

= ( -5

+

3

i )
3

= ( -5

+

3

i )( -5

+

3

i

)( -5

+

3

i

)
= 10 + 198 i


18

19. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Números Complejos en forma Polar
Se enuncia un número complejo en la forma polar
como:
Z
1
= r
1
(Cos q
1
+ i Sen q
1
)
En donde:
Módulo r
1
= (a
2
+ b
2
)
½
Amplitud o argumento q
1
= arc tan (b/a)
19

20. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Representación Polar
Para graficar en la notación Polar,
solo es necesario un eje, que
es R.
Z
1
= r
1
(Cos q
1
+ i Sen q
1
)
En donde:
r
1
= (a
2
+ b
2
)
½

q
1
= arc tan (b/a)
a
b
q
R
I
20

21. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Operaciones con los números complejos expresados en forma polar
•Multiplicación
•División
•Potencia
•Raíces
21

22. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Multiplicación de números complejos expresados en forma polar
Sean los dos números complejos
z
1
=r
1
( Cos q
1
+ i Sen q
1
)
z
2 =r
2 ( Cos q
2+ i Sen q
2 )
Se define la multiplicación como
z
3
= z
1
z
2
= r
1
r
2
(Cos ( q
1
+ q
2
)

+ i Sen ( q
1
+

q
2
) )
Ejemplo z
1 = 5( Cos 10 º
+ i Sen10º
)
z
2 =3
( Cos 15 º
+ i Sen 15º
)

Calcular z
3
=z
1
z
2
= 5(3)((Cos (10+ 15))+ ( i Sen(10 + 15)))
z
3 =15 ( Cos 25º
+ i Sen 25º
)

22

23. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
División de números complejos expresados en forma polar
Sean los dos números complejos
z
1
=r
1
( Cos q
1
+ i Sen q
1
)
z
2
=r
2
( Cos q
2
+ i Sen q
2
)
Se define la división como
z
3
= z
1
/z
2
=( r
1
/

r
2
)

(Cos ( q
1
- q
1
)

+ i Sen ( q
1
-

q
1
) )
Ejemplo z
1
=24 ( Cos 40º

+ i Sen 40º

) z
3
=10 ( Cos 3º

+ i Sen3º

)
Calcular z
4
= z
1
/

z
3
= (24-10) (( Cos (40-3)+ i Sen (40-3)

))
z
4 = 2.4(( Cos37º
+ i Sen 37º
)
23

24. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Potencia de números complejos expresados en forma polar
Sea el número complejo
z
1 =r
1 ( Cos q
1+ i Sen q
1 )
Se define la potencia como
( z
3
)
n

=(r
1
)
n

(Cos (n q
1
)

+ i Sen ( n q
1
) )
Ejemplo Sea z
1
= 2 ( Cos 30º

+ i Sen 30º

)
z
1
4
= (2( Cos 30º
+ i Sen 30º
))
4
= 2
4
( Cos4(30)
+ i Sen 4(30)
)
z
1
4
=16 ( Cos 120º

+ i Sen 120º

)
24

25. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar
La expresión para calcular la potencia de un número complejo,
es la fórmula de Moivre, la cual es válida para todo valor real
de n. Para valores fraccionarios corresponde a radicales.
Las n raíces enésimas de un número complejo se obtienen
dando valores a k =0,1,2,3... n-1 en:
( z
3
)
1/ n

=(r
1
)
1/ n

(Cos ( )

+ i Sen ( ) )
n
360k  
0
1+q
n
360k  
0
1+q
25

26. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar ……
Ejemplo Sea z
3
= 81( Cos 16º

+ i Sen 16º

)

z
4
=( z
3
)
1/ 4

=(r

)
1/ n

(Cos (q
1
+k 360
o
)

/ n)

+ i Sen ( q
1
+k 360
o
)

/ n) )
Serán 4 raices para k con valores de 0,1,2,3
Para k=0
z
1
=(81)
1/ 4

(Cos (16

+0( 360
o
))

/4)

+ i Sen (16

+0( 360
o
))

/4))

z
1
=3( Cos 4º

+ i Sen 4º

)
Para k=1
z
2
=(81)
1/ 4

(Cos (16

+1( 360
o
))

/4)

+ i Sen (16

+1( 360
o
))

/4))

z
2
=3( Cos 94º

+ i Sen 94º

)
26

27. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar
Para k=2
z
3=(81)
1/ 4
(Cos (16
+2( 360
o
))
/4)
+ i Sen (16
+2( 360
o
))
/4))

z
3
=3( Cos184º

+ i Sen 184º

)
Para k=3
z
4
=(81)
1/ 4

(Cos (16

+3( 360
o
))

/4)

+ i Sen (16

+3( 360
o
))

/4))

z
4
=3( Cos 274º

+ i Sen 274º

)
27

28. NÚMEROS COMPLEJOS
4.3. Números Complejos en Forma Polar
Raices de números complejos expresados en forma polar
Ejemplo
Representadas las cuatro raices en el Eje Polar quedan
z
1
z
2
z
3
z
4
R
28

29. NÚMEROS COMPLEJOS
4.4. Coversión de forma Cartesiana a forma Polar y
viceversa
Forma Polar y forma Cartesiana
Para convertir considerar la definición
de los números complejos en
ambas formas.
z
1
= r
1
(Cos q
1
+ i Sen q
1
) y z
1
= a + bi
En donde:
Para la forma Cartesiana será:
a= r
1
Cos q
1
b = r
1
Sen q
1
Para la forma Polar será:
r
1
= (a
2
+ b
2
)
½
q
1
= arc tan (b/a)
a
b
q
R
I
r
29

30. NÚMEROS COMPLEJOS
Bibliografía
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