Operações envolvendo números complexos.pptx

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1. Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de Operações envolvendo números complexos, vamos começar com uma breve revisão sobre: Igualdade de complexos; Oposto de um número complexo; Conjugado de um número complexo. http://2.bp.blogspot.com/-Yr2wUq1eG0E/T9lFT4WDsPI/AAAAAAAAkeY/QpOcWTVbcO8/s1600/professora+3d.gif

2. IGUALDADE DE COMPLEXOS Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1 = a + bi e z 2 = c + di, temos que: z = z ⇔ a = c e b = c

3. EXEMPLO 1 Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais? Igualando os complexos, temos: (x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i ⇒ x – 1 = 3 x = 4 y + 2 = –5 y = –7 Resolução :

4. EXEMPLO 2 Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais? Igualando os complexos, temos: (m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i m – 5 = n + 3 n = 2m + 1 ⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3 ⇒ – m = 9 m = – 9 ⇒ n = 2(–9) + 1 n = – 17 Resolução :

5. OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo indicado por –z , assim definido. z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi

6. Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1) a) 3 + 4i = b) –3 + i = c) 1 – i = d) –2 + 5i = EXEMPLO – 3 – 4i 3 – i 1 + i 2 – 5i

7. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par ordenado simétrico a z em relação ao eixo x. Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z .

8. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária) a) 3 + 4i = b) 1 – i = c) –2 – 5i = d) 2i = e) – 8 = EXEMPLO 3 – 4i 1 + i – 2+5i 2i 8

9. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos as suas partes reais e imaginárias , separadamente. Se z 1 = a + bi 2 c di são dois números complexos, então a sua soma é um outro número complexo dado por = ( ) + ( b d ) i e sua diferença é um outro número complexo dado por - i.

10. EXEMPLO Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente) a) (2 + 5i) + (3 + 4i) =       (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i b) i + (2 – 5i) i + 2 – 5i = 2 – 4i c) (2 + 5i) (3 + 4i)        2 + 5i – 3 – 4i = 1 + i d) (1 + i) (1 i) 1 + i – 1 + i = 2i

11. Para as potências do tipo i n da unidade imaginária , n natural , valem as definições. Para n > 2 , valem as propriedades usuais da potenciação em ℝ. POTÊNCIAS DE I = 1 2 –1 3 = i . i = (–1). i – i 4 = (–1).(–1) 5 = (1). i 6 = 1.(–1) 7 = 1.(–i) .......

12. Qualquer potência de i n , n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras. POTÊNCIAS DE I O valor de é o mesmo de r , sendo o resto da divisão de por 4 .

13. EXEMPLOS 1º) Calcular i 42 + i 37 . 1 9 10 2 4 i = i = –1 = –1 + i 2º) Calcular i 4n – 2 4n (i ) n –1

14. Dados dois números complexos, z 1 e 2 , para obter 3 = . , aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois reduzirmos os “termos semelhantes”. MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS

15. Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração) a) (2 + 3i) (3 – 2i)         = (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i) = 6 – 4i + 9i – 6i 2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i b) (1 + 3i) (1 + i) = (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i) = 1 + i +3i + 3i = 1 + 4i – 3 = 2 + 4i EXEMPLO 1

16. EXEMPLO 2 Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z + 5z = 7 + 6i. Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos 2z + 5z = 7 + 6i ⇒ 2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i 7a – 3bi = 7 + 6i 7a = 7 –3b = 6 a = 1 e b = –2 z = 1 – 2i Resolução :

17. EXEMPLO 3 Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i. z.(2 – i) = 8 + i Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos (a + bi).(2 – i) = 8 + i 2a – ai + 2bi – bi 2 ⇒ = 8 + i 2a – ai + 2bi + b 2a + b + (2b – a)i 2a + b = 8 2b – a = 1 Resolução :

18. Resolvendo o sistema, chegamos a: 2a + b = 8 2b – a = 1 x (2) ⇒ 4b – 2a = 2 + 5b = 10 b = 2 2a + 2 = 8 a = 3 z = a + bi z = 3 + 2i

19. Sejam dois números complexos, z 1 e 2 , com z ≠ 0, definimos a divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador. DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS

20. EXEMPLO Efetue as divisões indicadas abaixo. 8 + i 2 – i a) (8 + i).(2 + i) (2 – i).(2 + i) 16 + 8i + 2i + i 2 – i 16 + 8i + 2i – 1 4 – (–1) 15 + 10i 5 = 3 + 2i b) (8 + i).(3 – 2i) (3 + 2i).(3 – 2i) 24 – 16i + 3i – 2i 3 – 4i 24 – 16i + 3i + 2 9 + 4 26 – 13i 13

21. Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z –1 e assim definido. INVERSO DE UM COMPLEXO

22. EXEMPLO Determine o inverso do número complexo z = i. z –1 = 1 i (1) . (–i) (i) . (–i) –i 2 – i

23. POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL) Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência z n é, por definição, o produto de fatores iguais a .

24. EXEMPLO 1 (3 + i) = 1 (–5 + 2i) –5 + 2i (2 – 3i) 2 = 4 – 12i + 9i = 4 – 12i – 9 –5 – 12i (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i + i = 1 + 3i – 3 – i –3 + 2i

25. EXEMPLO 2 Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i) 2 seja imaginário puro. z = (k + 2i) = k + 4ki + 4 i – 4 + 4ki z imaginário puro, devemos ter: Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0 ⇒ k – 4 = 0 4k ≠ 0 k = ±

26. POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO) A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se:

27. EXEMPLO Sendo z = 1 – i, calcular z –2 . z –1 = 1 1 – i Primeiro vamos calcular z ; depois z 1 + i 2 – i = (z ) 1 + 2i + i 4 1 + 2i – 1 2i i (1 – i).(1 + i)

28. EXERCÍCIOS http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm 1º) ( UCSal ) - Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real qual deve ser o valor de “a”? 2º) (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b. 3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i 2 + i 3 + ... + i 1001 . 4º) Calcule o número complexo i 126 -126 31 - i 180 5º) (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n. 6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos: a) b)

29. EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números complexos. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm . SHOW DO MILHÃO Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser obtido no endereço: https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1

30. REFERÊNCIAS Sites : http :// www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-algebrica.html http:// www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm Livros I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.