Operaciones con Conjuntos.

Operaciones con Conjuntos
Estructuras Discretas
SAIA A.

1. Antonio Miquilena

2. Introducción.
Enmatemáticas,álgebradeconjuntoseselestudiodelas
operacionesbásicasquepuedenrealizarseconconjuntos,comola
unión,intersecciónycomplementación.Acontinuación,veremosla
teoríadecadaunadeestasoperaciones.
LaTeoríadeConjuntosfuedesarrolladaporelmatemáticoyfilósofo
G.Cantor(1845–1918)afinalesdelsigloXIX.
Elconceptodeconjuntoesunodelosmásfundamentalesenlas
Matemáticasydeotrasciencias.Eldesarrollodeestateoríacondujo
alacreacióndelasllamadasÁlgebrasdeBoole,deconsecuencias
insospechadasenlasmodernastecnologíasdelacomputación.

3. UNIÓN
Sean A y B conjuntos.
LaunióndelosconjuntosAyBeselconjunto,
denotadoporAB,formadoporloselementosque
esténenalmenosunodelosconjuntosAoB.Este
conjunto,expresadoporcomprensiónes:
AB = { xU / xA˅xB}
Así,podemosdecirqueloselementosdelaunión
delconjuntoAconelconjuntoBsonaquéllosque
esténobienenAoenBoenambos.
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4. INTERSECCIÓN
Laintersecciónde los conjuntos A y B es el conjunto,
denotado por AB, formado por los elementos que estén
simultáneamente en los conjuntos A y B. Este conjunto,
expresado por comprensión es:
AB = {xU / xA˄xB}
Así, podemos decir que los elementos de la intersección de
A con B son aquéllos que estén a la vez en A y en B.
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5. DIFERENCIA
Sean A y B conjuntos. Ladiferenciadel conjunto A
menos B, denotado por A–B, es el conjunto formado
por los elementos que estén enA y no enB.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
A–B = { xU / xA˄xB}
Así, podemos decir que los elementos de la diferencia
de A con B son aquéllos que estén únicamente en A.
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6. COMPLEMENTACIÓN
Sea A un conjunto. Elcomplementariodel conjunto A es el conjunto,
denotado porA
l
,formado por los elementos del universal U que no estén en A.
Este conjunto, expresado por comprensión es:
A
l
= { xU /xA}
Así, podemos decir que los elementos de la intersección de A con B son
aquéllos que estén a la vez en A y en B.
Como cabe esperar,si un conjunto es el complementario de otro
conjunto, diremos que ambos conjuntosson complementarios.
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7. CARDINAL DE UN CONJUNTO
Comoyahemosestudiadoantes,losconjuntosfinitossonlosque
tienen“unospocos”elementos,másconcretamente,sontalesque
podemoscontarloselementosquetiene.
Elcardinal de un conjunto finito A es el número de elementos
que tiene dicho conjunto. A ese número lo denotaremos por | A |.
No es difícil llegar a que, si tenemos dos conjuntos A y B, entonces
| AB | = | A | + | B |–| AB |
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8. PRODUCTO CARTESIANO
Enmatemáticas,elproductocartesianodedosconjuntoses
unaoperación,queresultaenotroconjunto,cuyoselementossontodos
losparesordenadosquepuedenformarsetomandoelprimerelemento
delparordenadodelprimerconjuntoyelsegundoelementodelpar
ordenadodelsegundoconjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos:
Y
su producto cartesiano es:
que se representa:
El producto cartesiano recibe su nombre deRené Descartes, cuya
formulación de lageometría analíticadio origen a este concepto.
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9. CONJUNTOS DISJUNTOS.
Aveces,dosconjuntosnotienenningúnelementoencomún,estoes,la
interseccióndeamboseselconjuntovacío.Enestecasodiremosquelos
conjuntosondisjuntosoincompatibles.Porejemplo,elconjuntodelos
númerosnaturalesimparesyelconjuntodelosnúmerosnaturalespares
sondisjuntosporquenohayningúnnúmeronaturalquesea
simultáneamentepareimpar,esdecir,lainterseccióndeambos
conjuntoseselconjuntovacío.
Losconjuntosdisjuntosserepresentan,medianteundiagramadeVenn
quevisteantesparalaintersección.
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10. PROPIEDADES
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