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Material estudio

1. Técnicas de Demostración en Matemáticas
Regino Criado
“El uso de “obvio” para decir “estoy seguro de que es cierto, pero no puedo probarlo” no es
una práctica recomendable en matemáticas” C.Clark
“Obvio es la palabra más peligrosa del mundo en matemáticas” E. T. Bell

2. R.C.. 22/9/17 – 2 –
¿Cómo demostrarías la siguiente igualdad?
2 + 2 = 4

3. R.C.. 22/9/17 – 3 –
¿Cómo demostrarías las siguientes igualdades?
1.000.000 + 5 = 1.000.005
2*(10) + 2*(10) = 4*(10)
10 10 10
2 + 2 = 4

4. R.C.. 22/9/17 – 4 –
Matemáticas y demostraciones
En sus orígenes, las matemáticas estaban compuestas por
una colección de problemas resueltos.

Muchos descubrimientos se “verificaban geométricamente”.

Orígenes:

5. R.C.. 22/9/17 – 5 –
Teorema de Pitágoras
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c

6. R.C.. 22/9/17 – 6 –
90º
Tales y sus teoremas
Todo diámetro biseca a la circunferencia
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

7. R.C.. 22/9/17 – 7 –
Nacimiento de la idea de ciencia:
1. Existen leyes de la naturaleza que gobiernan el
universo

2. El hombre puede esclarecerlas con el uso de la
razón

Tales y la ciencia

8. R.C.. 22/9/17 – 8 –
Matemáticas y demostraciones
En la Antigua Grecia (siglo V a.C.), buscando una forma de
garantizar la irrefutabilidad de los razonamientos,
empleados en las peleas dialécticas, se desarrolló un
concepto de demostración muy cercano al actual.

Posteriormente (entre los siglos IV y III a.C.) Euclides
presenta su trabajo “Los elementos” en un formato que se
conoce como método axiomático.

Orígenes:

9. R.C.. 22/9/17 – 9 –
El axioma quinto de Euclides
Geometría euclidea
Geometría esférica
Geometría Hiperbólica
Euclides
Riemann
Lobachevski-Bolyai
α+β+γ=180α+β+γ=180
α+β+γ>180
α+β+γ<180

10. R.C.. 22/9/17 – 10 –
Modelo Matemático

Simplificación

Los modelos matemáticos aportan el lenguaje y la
estructura conceptual para expresar reglas generales y
permiten obtener predicciones de validez general.
Modelos matemáticos

11. R.C.. 22/9/17 – 11 –
MATEMÁTICAS: Lenguaje de la ciencia que permite la
descripción sistemática de los fenómenos que suceden en el
MUNDO REAL y de las leyes que los gobiernan.



Sin embargo, es importante señalar que las matemáticas se
ocupan de la verdad o falsedad de sentencias que se refieren
a OBJETOS MATEMÁTICOS .
OBJETOS MATEMÁTICOS ABSTRACCIÓN
Modelos matemáticos

12. R.C.. 22/9/17
– 12 –
CARÁCTERÍSTICAS ESENCIALES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
1. Simplificación claridad


2. Facilidad para realizar inferencias dentro del
modelo.

3. Capacidad predictiva
Utilidad de los modelos matemáticos

13. R.C.. 22/9/17 – 13 –
¿Qué es la Lógica?
“Lógica es el estudio sistemático de las
condiciones generales de validez de inferencias...
Inferencia es el acto o proceso de derivar una
proposición de otra u otras”
Abraham Wolf (E. Británica XIV ed., 1929)

14. R.C.. 22/9/17 – 14 –
Si A, entonces B
A es verdadero
En consecuencia, B es verdadero
Ejemplo de razonamiento correcto:
q
p
qp⇒

15. R.C.. 22/9/17 – 15 –
¿porqué la regla modus ponens
es un razonamiento correcto?
¿Cómo podemos deducir otros
métodos de razonamiento correcto?
Pero,

16. Al realizar razonamientos empleamos sentencias que están conectadas entre sí por
conectivas lingüísticas y sus conectivos lógicos asociados.

Estos conectivos juegan un papel fundamental en relación con los conceptos de verdad y
validez de una demostración.
Lógica proposicional

17. Lógica proposicional

18. Lógica proposicional

19. R.C.. 22/9/17 – 19 –
Dos sentencias son LÓGICAMENTE
EQUIVALENTES si NO ES POSIBLE que
una sea verdadera y la otra falsa.

Veamos como ejemplo que las sentencias
Sentencias lógicamente equivalentes
y p→q
pq¬∨
son lógicamente equivalentes.

20. Razonamientos y lógica proposicional

21. Otras equivalencias lógicas:
Lógica proposicional

22. R.C.. 22/9/17 – 22 –
La equivalencia lógica entre las sentencias

resulta sorprendente. De hecho, es uno de los
fundamentos de las demostraciones “POR
REDUCCIÓN AL ABSURDO”
p y
pC¬→
pq¬∨
p
Razonamientos y lógica proposicional

23. R.C.. 22/9/17 – 23 –
V

F
p
p¬
pC¬→
F

V
pC¬→
pq¬∨
p
V

F
Razonamientos y lógica proposicional

24. R.C.. 22/9/17 – 24 –
Según hemos afirmado,
también son sentencias lógicamente
equivalentes
Es decir, demostrar que
es verdadera es equivalente a demostrar
que

lo es.
p y
pC¬→
pq¬∨
p
p¬
(q
v
q)
pC¬→
(q
v
q)
p¬
q) p
Razonamientos y lógica proposicional

25. R.C.. 22/9/17 – 25 –
Teorema: Existen números irracionales a,b tales que
a es racional
b
Este teorema ¿es VERDADERO o FALSO?

26. R.C.. 22/9/17 – 26 –
Una demostración no constructiva
Teorema: Existen números irracionales a,b tales
que
a es racional
b
()
()
() () ()2222
2
2
222
2
2
2
2
2
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

27. Otro tipo de dificultades son las que aparecen
en las demostraciones en las que intervienen
conjuntos infinitos. Por ejemplo, ¿Serías
capaz de demostrar la siguiente
igualdad?
1
2 4 8 16
+ + + +
..... =
1
1
1 1

28. Para verlo gráficamente, podemos considerar el
siguiente dibujo:

29. 1
2

30. 1
2
1
4

31. 1
2
1
4
1
8

32. 1
2
1
4
1
8
1
16

33. 1
2
1
4
1
8
1
16
1
32

34. 1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64

35. R.C.. 22/9/17 – 35 –
¡Muchas gracias por vuestra
atención!

pC¬→